Sistema Bidimensional(zegarra)

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Trigonometria

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  • Mett

    Captulo 7

    Sistema Bidimensional

    7.1. Sistema Cartesiano

    La correspondencia entre pares ordenados de numeros reales y puntos en elplano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596 - 1650), es lo queplanteamos en forma breve a continuacion.

    Definicion

    Sea un punto P (x, y) en el plano, (x, y) se llama par ordenado en que xes el primer elemento del par e y el segundo, por tanto; (x, y) 6= (y, x).

    Sean dos rectas perpendiculares en el plano, su punto de interseccion seacostumbra a llamar origen O, dichas rectas las llamaremos eje X y eje Y .

    Sobre el eje X, considerese numeros reales y diremos que hay corresponden-cia biunvoca con los puntos de dicho eje, analogamente sobre el eje Y .

    Sea el O(0, 0) el origen O, en el eje X a la derecha de O colocamos losnumeros reales positivos y su izquierda los negativos, con respecto al eje Ylos reales positivos por encima del origen O(0, 0) y los reales negativos pordebajo.

    165

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 166

    La interseccion del eje X y eje Y definen 4 cuadrantes que se acostumbrana denotar como: I, II, III y IV. (ver fig).

    Utilizando este esquema podemos asociar un par ordenado de numeros reales(x, y) a cada punto P del plano y viceversa (correspondencia biunvoca en-tre los puntos del plano y los pares ordenados (x, y)).

    Por tanto para todo P (x, y) del plano cartesiano

    x se acostumbra a llamar abscisa del punto P

    y se acostumbra a llamar ordenada del punto P

    (x, y) se acostumbran a llamar coordenadas de P

    Del punto P (x, y) se trazan perpendiculares a ambos ejes, que definen: laabscisa OA y de P igual a x y la ordenada OB de P igual a y. (ver fig.)

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 167

    Note que la abscisa y ordenada del origen son 0.

    7.2. Distancia entre dos puntos

    Dados los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la distancia entre P1 y P2 esta dadapor

    d =

    (x2 x1)2 + (y2 y1)2

    Demostracion.

    Notemos que las coordenadas del punto Q, son Q(x2, y1). Por Pitagoras enel 4 P1QP2, se tiene que:

    d2 = |x2 x1|2 + |y2 y1|2m

    d =

    (x2 x1)2 + (y2 y1)2

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 168

    7.3. Division de un Segmento en una razon

    dada

    Dados los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que definen el segmento P1P2 y seadada la razon

    P1P

    PP2=m

    n= , R, 6= 1

    entonces P (x, y)

    x =nx1 +mx2n+m

    =x1 + x2

    1 +

    y =ny1 +my2n+m

    =y1 + y2

    1 +

    (2)

    Demostracion.

    De la geometra elemental las rectas P1A,PR y P2B intersecan segmentosproporcionales sobre las dos transversales P1P2 y AB luego

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 169

    P1P

    PP2=AR

    RB=m

    n x x1

    x2 x =m

    n

    n(x x1) = m(x2 x) (n+m)x = nx1 +mx2

    x = nx1 +mx2n+m

    de aqu tambien se tiene

    x =x1 +

    mnx2

    1 + mn

    =x1 + x2

    1 +

    analogamente para el caso de las ordenadas, se tiene

    P1P

    PP2=CQ

    QD=m

    n y = ny1 +my2

    n+m=y1 + y2

    1 +

    Note que si el punto de division es interno a P1P2 entonces > 0, si encambio el punto es externo < 0

    7.4. Coordenadas del Punto medio de un tra-

    zo

    Notemos que si m = n o bien = 1, P (x, y) representa a las coordenadasdel punto medio del trazo P1P2, que es:

    P

    (x1 + x2

    2,y1 + y2

    2

    )

    Ejemplo.

    Sea A(2,3) y B(7, 1), determinamos P y Q tales que

    1.AP

    PB=

    2

    3

    2.AQ

    QB= 1

    3

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 170

    Solucion.

    1.

    Aplicando x =nx1 +mx2n+m

    = x = 3(2) + 2 73 + 2

    =8

    5e

    y =3(3) + 2 1

    3 + 2=75

    por tanto: P

    (8

    5,75

    )

    2.AQ

    QB= 1

    3 QA

    AB=

    1

    3(ver figura)

    De la figura, se tiene:

    2 = 1 7 + 3x1 + 3

    = x = 5

    3 = 1 1 + 3y1 + 3

    = y = 133

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 171

    7.5. Pendiente

    Dado un segmento P1P2 mediante los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la pen-diente del segmento P1P2 esta dada por

    m = tg =y2 y1x2 x1 , x1 6= x2 (3)

    si x2 = x1 se dice que el segmento no tiene pendiente.

    Notese que la pendiente mide el grado de inclinacion que tiene el segmentocon relacion a la horizontal paralela al eje X. Si = 0 o = 180 noteque la pendiente del segmento es cero

    Del concepto de segmento o trazo, podemos pasar en forma simple al con-cepto de una recta en el plano, basta con dejar libres en forma indefinidalos extremos del segmento, notemos que el concepto de pendiente no vara,el angulo ahora se mide con respecto al eje X. (ver fig.)

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 172

    Es decir la pendiente comun a todos los puntos que forman la recta, estadada por

    m = tg

    donde es el angulo medido desde el eje X, hasta su encuentro con dicharecta, el angulo (positivo) puede ser medido en contra de los punteros deun reloj o bien a favor (negativo).

    Por tanto para determinar la pendiente de una recta, basta tomar dos pun-tos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) con x1 6= x2 que pertenezcan a la recta y aplicarla formula de pendiente de un segmento.

    m = tg =y2 y1x2 x1 , x2 6= x1

    En efecto:

    tg(180 ) = y2 y1x2 x1m

    tg = y2 y1x1 x2m

    tg =y2 y1x2 x1 , Notemos que x1 x2 > 0 y2 y1 > 0

    por tanto, al igual que para los segmentos, se tienen:

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 173

    7.6. Paralelismo y Perpendicularidad

    Sean dos segmentos dados P1P2 y P3P4 cuyas pendientes son conocidas m1y m2.

    Consideremos que los segmentos se cortan o bien sus prolongaciones asi sean y los angulos que forman dichos segmentos al cortarse. Note que unarelacion entre estos angulos es que:

    + = 180 (4)

    y como se conocen m1 y m2 esto implica que tg 1 = m1 y tg 2 = m2, dela figura = 2 1 tg = tg(2 1)

    tg =tg 2 tg 11 + tg2 tg 1

    tg = m2 m11 +m2m1

    (5)

    de aqu si los segmentos son paralelos o coincidentes = 0 o = 180 enambos casos

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 174

    m2 m1 = 0 m2 = m1 (condicion de paralelismo)

    si los segmentos son perpendiculares = 90 o = 270 en ambos casostg no existe y por tanto de (5)

    1 +m2m1 = 0 m2m1 = 1 (condicion de perpendicularidad).

    7.7. Lugares Geometricos - Ecuacion

    Definicion

    El lugar geometrico de un punto se puede definir como aquel conjunto depuntos del plano cartesiano que satisfacen ciertas condiciones geometricasdadas para dicho punto.

    El lugar geometrico de un punto cosntituye por lo general una curva en elplano cartesiano, asi entonces tambien podemos agregar que una curva es ellugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una o mas condicionesgeometricas dadas.

    Dicha curva en general se representa en el plano cartesiano por medio deuna ecuacion que involucra a las variables x e y, es decir por

    F (x, y) = 0

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 175

    As, los valores reales x e y son todas las coordenadas de los puntos ysolamente de aquellos puntos, que cumplen la condicion o condiciones ge-ometricas dadas y que definen el lugar geometrico.

    Ejemplo.

    1. Sea P un punto cualquiera del plano cartesiano, tal que P esta a unadistancia constante de un punto fijo C, del mismo plano.

    El lugar geometrico definido es una circunferencia de centro C. A ladistancia constante se suele llamar radio.

    2. Sea P un punto del plano cartesiano que equidista (esta a igual dis-tancia) de dos puntos fijos A y B del mismo plano.

    El lugar geometrico es la mediatriz ( o simetral) del segmento AB.

    3. Sea P un punto fijo de una circunferencia que rueda a lo largo de unarecta.

    Este lugar se llama cicloide. Note que el punto aunque esta fijo en lacircunferencia es movil con respecto a la recta.

    Observacion.

    El problema que se nos plantea cuando nos definen un lugar geometrico,es el de encontrar una ecuacion que lo represente. A esta ecuacion como sedijo se llama ecuacion del lugar geometrico.

    Una vez encontrada dicha ecuacion estudiaremos sus propiedades algebraica-mente y deduciremos de ellas las propiedades del lugar.

    7.8. Ejercicios Resueltos

    1. Determine un punto P (x, y) tal que equidiste de tres puntos fijos dadospor: A(3, 2), B(1, 3) y C(0,3)

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 176

    Solucion.

    Notemos que P (x, y) , es el centro de la circunferencia circunscrita altriangulo ABC.

    Se debe tener:

    PA = PC = P13 (1)

    PA =

    (x+ 3)2 + (y 2)2

    PC =x2 + (y + 3)2

    PB =

    (x 1)2 + (y 3)2

    as de (1) se obtienen

    3x 5y = 2

    2x+ 12y = 1

    cuyas soluciones son: x = 19

    46e y = 7

    46

    2. Dos vertices consecutivos de un cuadrado son los puntos O(0, 0) yA(2,3). Determine las coordenadas de los otros vertices.Solucion.

    Notemos que hay dos soluciones posibles, y tambien que el cuadradoes de lado l =

    13. Sea el vertice B(x, y), se debe tener:

    AB =

    13

    OB =

    26

    AB =

    (x+ 2)2 + (y + 3)2

    OB =x2 + y2

  • Mett

    Luis Zegarra. Sistema Bidimensional 177

    de donde resulta el sistema:

    x2 + y2 = 26

    2x+ 3y = 13cuyas soluciones son: B(1,5) y E(5,1)

    analogamente el vertice C(x, y), debe cumplir

    OC =

    13 x2 + y2 = 13

    AC =

    26 (x+ 2)2 + (y + 3)2 = 26

    de donde resolviendo se obtienen C(3,2) y D(3, 2)

    3. Determine la ecuacion del lugar geometrico de un punto P (x, y)