Sinyal dan Sistem Telkom

PE 2533PE-2533 Si l & Si tSinyal & Sistem

1 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Motivation

LTI System

H(z)+

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom2G(z)

TT 2223TT-2223 Sinyal & SistemSinyal & Sistem

BAB #1:BAB #1: PENDAHULUAN SINYAL & SISTEM


Outline

Sinyal & SistemAnalisis Fourier Waktu KontinyuAnalisis Fourier Waktu DiskritTransformasi ZTransformasi LaplaceTransformasi LaplacePengenalan Filter

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom4

Tujuan

Mendefinisikan beberapa fungsit tik d t di k t kmatematika yang dapat digunakan untuk

mendeskripsikan berbagai variasi sinyalMengenali peristilahan yang menjelaskankarakteristik sistem yang pentingMengembangkan teknik untukmengklasifikasikan sistem sesuai dengang gkarakteristiknya.


Definisi


Definisi

Sistem dapat didefinisikan sebagaik l bj k disekumpulan objek yang disusun

membentuk proses dengan tujuan tertentu.Sebagai model matematik yangmenghubungkan antara input dan output,umum disebut I/O systemMasukan dari enviroment ke system danykeluaran dari system ke enviroment disebut sinyal.y


Definisi

Diskrit : hanya terdefinisi pada bilangani tinteger.Kontinyu : di luar definisi diskrit.


Sinyal bisa digambarkan sebagai fungsikt /”ti i l ” d f i f k iwaktu/”time signals” dan fungsi frekuensi.

Sinyal fungsi waktu dapat dibedakanj di Si l W kt K ti (t) dmenjadi Sinyal Waktu Kontinyu (t) dan

Sinyal Waktu Diskrit (n).


Sistem yang menghubungkan sinyal inputk ti d i l t t k tikontinyu dengan sinyal output kontinyudisebut Sistem Waktu Kontinyu (SWK) danSi t h b k i l i tSistem yang menghubungkan sinyal inputdiskrit dengan sinyal output diskrit disebutSi t W kt Di k itSistem Waktu Diskrit.


x(t)

x(t) SWK y(t) y(t)=T(x(t))

t

y(n)

x(n) SWD y(n)

x(n)

y(n)=T(x(n))y(n) T(x(n))

n


Sampling

Rekonstruksi

Waktu Kontinyu t Waktu Diskrit

t

Sampling

Pasangan

ℑ ℑ‐1

Kontinyu

Pasangan

ℑ ℑ‐1

Diskrit

Frekuensi KontinyuΩ

y

Frekuensi Diskritω

Rekonstruksi


Si l i l DSinyal-sinyal Dasar


Sinyal impulse δ(t),δ(n) Sinyal impuls / delta kontinyu

)t(δ =

=0 t1,

δ(t)

Si l i l / d lt di k it

t1

=ainnyal t 0,

δ(t)

Sinyal impuls / delta diskrit

)n(δ = 0n1

n1

)(

=

=ainnyaln 0,0n 1,

(n)δ


Setiap sinyal waktu diskrit dapat dinyatakan sebagaideretan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatuderetan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatukoefisien (konstanta)


Sinyal langkah satuan u(t),u(n)Sinyal impuls / delta kontinyu

)t(δ >=

=0 t1,

u(t)

Si l i l / d lt di k it

t1

=ainnya t 0,

u(t)l

Sinyal impuls / delta diskrit

)n(δ => 0n1

n1

)(

=>

=ainnyan 0,

0n 1,(n)u

l


Sinyal Segitiga

)t(∧

1

)t(∧

t-1 1

1t1-;1)( ≤≤−= ttλ 1t1 ;1)( ≤≤ttλ


Sinyal Persegi Rect(t) atau Π(t)

π(t)( )

t-0,5 0,5

1 , -0,5 ≤ t ≤ 0,5Rect(t) = Π(t)=

0 , t lainnya


Sinyal sinc atau [sin(t)/t]

sinc (t)

t0 1 32-1-2

~t~ t

tsin)t(csin <<π

π=


tπ

Fungsi Genap &

Fungsi GanjilFungsi Ganjil


Fungsi Waktu KontinyuSetiap fungsi / sinyal dapat dinyatakansebagai fungsi genap, fungsi ganjil ataubukan fungsi genap maupun ganjil. Berikutcontoh fungsi genap waktu kontinyu danfungsi ganjil waktu kontinyu.


F i G W k K i F i G jil W k K iFungsi Genap Waktu Kontinyu Fungsi Ganjil Waktu Kontinyu


Pada dasarnya setiap sinyal dapatdi ik j di b i d b idiuraikan menjadi bagian genap dan bagianganjil. Diberikan sinyal g(t) dapatdi k ik k j l hdiekspresikan merupakan penjumlahanbagian genap dan bagian ganjil sebagaib ik tberikut :

g(t) = ge(t) + go(t)


Dimana bagian genap dari g(t) adalah :

ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2ge( ) [g( ) g( )]

Dan bagian ganjil dari g(t) adalah :

go(t) = [g(t) - g(-t)]/2go( ) [g( ) g( )]


Sehingga bila diketahui bahwa g(t) adalah fungsi genap,maka :maka :

ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = g(t) dan go(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = 0ge( ) [g( ) g( )] g( ) go( ) [g( ) g( )]


Begitu pula bila g(t) adalah fungsi ganjil,kmaka :

ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = 0 dan

go(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = g(t)

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

26

Contoh soal 1.1.

Periksalah apakah g(t) = 4 cos (3πt)merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?


Solusi :Solusi :

ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = [4 cos (3πt) + 4 cos (-3πt)]/2ge(t) [g(t) g( t)]/2 [4 cos (3πt) 4 cos ( 3πt)]/2= 8 cos (3πt)/2 = 4 cos (3πt)

Dango(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = [4 cos (3πt) - 4 cos (-3πt)]/2 = 0

Jadi g(t) = 4 cos (3πt) adalah fungsi genap


Contoh soal 1.2.Gambarkan bagian genap dan bagian ganjil dari fungsiGambarkan bagian genap dan bagian ganjil dari fungsi

waktu diskrit berikut ini :


Solusi :g(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 maka bagian genap dari g(t) adalah ge(t) =

[g(t) + g(-t)]/2 dan bagian ganjil dari g(t) adalah go(t) = [g(t)- g(-t)]/2, dengan gambar sebagai berikut :g( )] , g g g


Dengan cara yang sama dapat digambarkan bagian genapd i (t) d l h (t) [ (t) + ( t)]/2 d b i jil d idari g(t) adalah ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 dan bagian ganjil darig(t) adalah go(t) = [g(t) - g(-t)]/2, sebagai berikut :


Latihan :1 Jika g(t) adalah 7e-2t-3 tuliskan dan sederhanakan :1. Jika g(t) adalah 7e-2t-3 , tuliskan dan sederhanakan :

a. g(3) b. g(2-t) c. g(t/10 + 4) d. g(jt)

2 D i i i f i (t) k t l h ( t) (t) (t 1) d (2t)2. Dari masing-masing fungsi g(t), sketsalah g(-t), -g(t), g(t-1) dan g(2t)


Carilah bagian genap dan bagian ganjil dari fungsiberikut :berikut :

a. g(t) = 2t2 – 3t + 6 c. g(t) = sinc(t)b (t) 20 (40 t /4) d (t) t(2 t)(1 + 4t)b. g(t) = 20 cos (40πt – π/4) d. g(t) = t(2-t)(1 + 4t)


Seperti halnya fungsi waktu kontinyu, makaf i kt di k it d t dib d kfungsi waktu diskrit dapat dibedakanmenjadi fungsi genap, fungsi ganjil danb k f i jilbukn fungsi genap maupun ganjil.Namunseperti fungsi waktu kontinyu, setiapf i kt di k it d t di ik j difungsi waktu diskrit dapat diuraikan menjadibagian genap dan bagian ganjil. Berikut

t h f i d f i jil ktcontoh fungsi genap dan fungsi ganjil waktudiskrit.


Fungsi Genap Waktu Diskrit Fungsi Ganjil Waktu Diskrit


Diberikan g(n) adalah fungsi waktu diskritk bil ( ) d l h b i d imaka bila ge(n) adalah bagian genap dari

g(n) dan go(n) adalah bagian ganjil dari g(n)kmaka :

ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 )]


Bila g(n) adalah fungsi genap maka :Bila g(n) adalah fungsi genap maka :

g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = g(n) dan g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = 0ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n) dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0

Bila g(n) adalah fungsi ganjil maka :Bila g(n) adalah fungsi ganjil maka :

g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = 0 dan g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = g(n)ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n)


Contoh soal 1.3.Periksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakanPeriksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakan

fungsi genap atau fungsi ganjil?


Contoh soal 1.4.

Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil d i ( ) ( ) ( 4)dari g(n) = u(n) – u(n-4)


Solusi :

Bagian genap dari g(n) Bagian ganjil dari g(n)


Latihan :1 Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]1. Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]2. Diberikan sinyal sebagai berikut :

Sketsalah a g(-n) b g(2-n) c g(2n) d g(n/2)Sketsalah a. g( n) b. g(2 n) c. g(2n) d. g(n/2)


Operasi SinyalOperasi Sinyal


Sinyal dapat dioperasikan berdasar amplitudonyamaupun waktunya Pada kuliah ini operasi sinyalmaupun waktunya.Pada kuliah ini, operasi sinyalyang dibahas adalah berdasar waktunya seperti :

PencerminanPenskalaan WaktuPenskalaan WaktuPergeseran


Sinyal Waktu Kontinyu f(t)

±±=±±

abt(af)bat(f

Sinyal Waktu Diskrit f(n)

a

±±=±±

bn(af)ban(f ±±=±±

an(af)ban(f


Contoh soal 1.5.Diketahui sinyal waktu kontinyu f(t)Diketahui sinyal waktu kontinyu f(t)

<≤ 0t1- 1

t-1

1-0,5t

0 1 2

≤≤=

lainnya t 02t00,5t -1)t(f

a. f(2t)f(2t)

t

1-t1

( t)

≤≤−

≤=

lainnya t 0 1t 0 t1

0t 0,5 1)t2(f


-0,5 1 y

Bukti :

≤≤

≤≤=

0102t1- 1

≤≤−=

≤≤

401 202t0 )25,01

02

-

)2( tf

t

tf

=

≤≤−lainnya t 0

4t0 1 t


b. f(t/3)

t1 61−

( )tf31

≤≤−

≤≤

= 6t0 11

10t3-

)(1 ttf

c t(t 3)t

-3

6

lainny t 06

)(3f

c. t(t-3)

2,5-0,5t

f(t-3)

≤≤

≤≤ 3t2

03-t1- 1

t

,5 0,5t

2

≤≤−≤≤−−

lainnya t 05t3 t5,05,2

23-t0 )3t(5,01


y

d. f(t+3)f(t-4)

≤≤−−

≤≤=+ -1t4- t5,01

-4t5- 1)4t(f

e t(t 3)

t-5 -2

lainnya t 0

e. t(t-3)f(-t)

≤≤≤≤1t0

0-t1- 1

t

1+0,5t

≤≤+≤≤−−−

lainnyat02t2- t5,01 2-t0 )t(5,01)t(f


lainnya t 0

f. f(-0.5t) ≤≤ 0t-31-1

f(-0,5t)

1+0,25t

≤≤−−≤≤≤

− 2t-30 )t3(5,014 3t t 0t-31- 1

)t5,0(f

g f (3 t) = f (t 3)

t

≤≤+−lainnya t 0

3t1 t5,05,0

g. f (3-t) = f- (t-3)

-0,5+0,5t

≤

≤≤43t t

0t-31- 1

t

≤≤+−≤≤−−−

lainnyat 03t1 t5,05,0

2t-30 )t3(5,01)t3(f


h. f (2t-3) = f2(t+0.2)

2,5-t

≤≤−−≤≤

≤≤

− 23-2t0 )3t2(5,011,5 t 1

03-2t1- 1

)3t2(f

i f ( 3t 4) = f[ 3(t+ )]

t11,5 2,5

≤≤−lainnya t 0

2,5t1,5 t5,2

i. f (-3t-4) = f[-3(t+ )]

≤≤

≤≤

31t

34-

04--3t1- 1

2

≤≤+≤≤−−−−−

lainnya t 0-4/3t 2- t5,13

2 4--3t0 )4t3(5,0133

)4t3(f

50

-2

Jangkung Raharjo [email protected] ;Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom

Sifat & Klasifikasi Sistem


51

a). Statis (memoryless) dan Dinamis (with)memory)

Sistem statis jika keluaran sistem hanyatergantung/hanya dipengaruhi padamasukan saat itu (memoryless), sedangkansistem dinamis jika keluaran sistem dapatmengingat masa lalu (with memory)


b). Linieritas dan homogenitasSistem linier jika memenuhi prinsip superposisi

SWK)t(x1 )t(y1

SWK)t(x 2 )t(y2

)t(SWK )t(y)t(y 21 +

)t(x1)t(x 2

Dan homogenitasαx1(t)+ β x2(t) = αy1(t) + β y2 (t)


Mengapa diperlukan sistem yang linear ?

Pada gambar di bawah ini,pada gambar (a) terlihat bahwasuatu sinyal sebagai masukan sistem yang linear akany g y gdihasilkan sinyal output yang sama dengan sinyalinputnya, hanya mengalami penundaan (delay).Sedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu sinyalSedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu sinyalsebagai masukan suatu sistem yang tidak linear akanmenghasilkan sinyal output yang mengalami distorsihphasa.



Pergeseran WaktuSistem tak ubah waktu jika output sistem tidak berubah

bentuk walaupun inputnya digeser tetapi outputnya akanbergeser sejauh pergeseran input.g j p g p

)t(x )t(

x(t) y(t)

SWK)t(x1 )t(y1

0 1 0 2t

x(t-3) y(t)

SWK2 3 0 2

t4


Dengan kata lain :

Jika y1 (t) adalah output sistem dengan input x1 (t)y2 (t) adalah output sistem dengan input x2 (t)y2 (t) adalah output sistem dengan input x2 (t)

dan x(t) = x1 (t-t0) maka y(t) = y1 (t – t0)

Sistem disebut LTW (Linear dan Tak Berubah terhadapW kt ) t LTI (Li Ti I i t) jik Li i d t kWaktu) atau LTI (Linear Time Invariant) jika Linier dan takubah waktu .


d). KausalitasSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapatSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapat

direalisasikan. Sistem LTW disebut kausal bila keluaranpada waktu n=n0 (untuk SWD) hanya bergantung padaharga-harga dari masukan n<n0 (sebelumnya dansekarang)dan keluaran-keluaran sebelumnya.

Dengan kata lain bahwa keluaran saat ini y(n) (untuk SWD)hanya bergantung pada harga-harga dari masukan saatini x(n) dan atau masukan-masukan sebelumnya dan ataukeluaran-keluaran sebelumnya.


Kondisi Perlu dan Cukup (KPC) untuk menyatakankausalitas adalah :kausalitas adalah :

h (n) = 0 untuk n < 0 . h(n) adalah respon impuls sistem.Respons impuls SWD

h(n)

kausal

h(n)

Non kausal

Respons impuls SWK

n0

n0

kausal

h(t)

Non kausal

t

h(t)


t0

t0

e). StabilitasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatas

menghasilkan keluaran terbatas “BIBO” Bounded inputBounded output.

Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC)untuk menyatakanstabilitas adalah :

untuk SWD( )∑

∞

∞=

∞<n

nhuntuk SWD

untuk SWK

−∞=n

( )∫∞

∞<dtth


∫∞−

Contoh : Respons impuls LTW suatu SWDh(n)

Stabil

n0

.......

h(n)

Tidak Stabil

n0

.......


Stabilitas sistem dapat juga dilihat dari letakl d i f i t f i tpola dari fungsi transfer sistem:

Untuk SWK stabil, letak pole di sebelah kirisumbu imajinerUntuk SWD stabil, letak pole didalam, plingkaran satuan


Jadi untuk kuliah sinyal dan sistem inii t l d l h LTW/LTI (Li isistem yang perlu adalah LTW/LTI (Linier

tak ubah waktu / linier time invariant)d ik k h i t t b tdengan memeriksa apakah sistem tersebutkausal dan stabil.


Contoh soal 1.6.Diketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretanDiketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretan

masukan x(n) dengan hubungan input – output sebagaiberikut :y(n) = ax2(n-1)y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

P ik if t i t di tPeriksa sifat sistem diatas


Solusi :y(n) = ax2 (n 1)y(n) = ax2 (n-1)

LinearitasJika input x1(n) maka output y1 (n) = ax1

2 (n-1)Jika input x1(n) maka output y1 (n) ax1 (n 1)Input x2 (n) maka output y2 (n) = ax2

2 (n-1)Ambil x(n) = x3(n) = αx1 (n) + (3x2(n)Makay(n) = y3(n) = a [x(n-1)]2

= a [α x1(n-1) + β x2 (n-1)]2

= a [α2 x12 (n-1) + 2αβx1 (n-1) x2 (n-1) + β2 x2 (n-1)]

≠ y (n) + β y (n)≠ α y1(n) + β y2 (n)


Pergeseran waktuJika input x1 (n) maka output y1 (n) = a x1

2 (n-1)Jika input x1 (n-k) maka output y1(n) = a x1

2 (n-k-1)= y1 (n-k)


KausalitasSyarat kausal : output saat ini hanyatergantung pada input saat ini dan/atauinput saat sebelumnya dan / atau outputsaat sebelumnya.


Stabilitasy(n) = a x2 (n-1) jika < M maka

Jadi sistem tsb adalah :nonlinier time invariant kausal stabil-nonlinier – time invariant – kausal – stabil


y(n) = a x(n-2) + b x (n + 2)Bukti kausal dapat dilihat dari respons impuls

h(n)h(n)ab

20-2321

l

karena h(n) ada untuk n < 0causal non


Diambil x(n) = x3(n) = α x1(n) + β x2(n)maka y(n) = y (n) = α a x (n 2 + b x(n+2)+β a x (n 2) + bmaka y(n) = y3 (n) = α a x1(n-2 + b x(n+2)+β a x2(n-2) + b

x2 (n+2)= α y1(n) +β y2(n)y1( ) β y2( )

sistem LinierJika x(n) = x1(n) maka y(n) = y1(n) = ax1(n-2) +bx1(n+2)

Jika x(n) = x (n-k) maka y (n) = a x1 (n-k-2) + b x1 (n-k-2)= y1 (n-k-t)

Kesimpulan sistem : Linier, Tak ubah waktu, Non kausal, StabilStabil


Sistem OperatorSistem Operator


Sistem operator :L = Output/Input =Fungsi alih sistem (fungsi transfer sistem)p p g ( g )Untuk SWK L(p) = N(p)/D(p) = Numerator/Denumerator

Dimana p = operator diferensial d/dtp-1 = operator integral ∫ ( ) dtp-1 = operator integral ∫ (.) dt

Untuk SWD L(q) = N(q)/D(q) = Numerator/DenumeratorDimana q = operator maju

q-1 = operator tundaq-1.x(n) = x(n-1)q.x(n) = x(n+1)q ( ) ( )

Untuk menganalisis suatu sistem maka buat dulu model matematis(hubungan input-outputnya).


Contoh soal : 1.7.Carilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dariCarilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari

rangkaian berikut :RL

Ci (t))t(ϑ+

-

O t t i t i(t) i t i t (t)Output sistem = i(t); input sistem = v(t)


Model matematis sistem :

∫ ∞−=++

t)t(vdt)t(i

C)t(Ri

dt)t(diL 1

)t(v)t(idtC

RdtdL

t=

++ ∫ ∞−

1

)t(v)t(ipC

RLp =

++ −11 p

Cp


Cp)t(ioutput 1L(p)= CCx

ppx

CpRLp)t(v

)t(iinputoutput

11

−

++==

12 ++ RCpLCppC


Contoh soal: 1.8.Carilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari SistemCarilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari Sistem

Waktu Diskrit dengan hubungan input-output sebagaiberikut :

3y(n) + 4y(n-1) + 7y(n-2) = 2x(n) + 5x(n-1)Solusi :D k t did tDengan menggunakan operator q didapat :y(n)(3 + 4q-1 + 7q-2 ) = x(n) (2 + 5q-1)

74352

74352

2

2

2

2

21

1

+++

=++

+== −−

−

qqq

qqx

qqq

)n(x)n(y)q(L


76

Solusi Persamaan Diferensial ddan

Persamaan DifferencePersamaan Difference (Perbedaan) ( )


Persamaan Diferensial (u/ SWK)

Secara Umum Persamaan Diferensial Sistem WaktuKontinyu dapat dituliskan sebagai berikut :Kontinyu dapat dituliskan sebagai berikut :

)t(xb...dt

)t(xdb)t(ya)t(ydtda...

dt)t(yda

dt)t(yda m

m

mn

n

nn

n

n 0011

1

1 ++=++++ −

−

−

n = orde persamaan diferensial

n

koefisien penyebut & koefisien D(p)∑=

=i

ia0

koefisien pembilang & koefisien N(p)∑=

=m

iib

0


Umumnya n > m, ambil p = d/dt maka :

[ ] [ ] )t(xb...pb)t(yapa...papa mm

nn

nn 001

11 ++=++++ −

−

011

1

011

1

apa...papabpb...pbpb

)p(D)p(N

)t(x)t(y)p(L n

nn

n

mm

mm

++++++++

=== −−

−−

Dimana : D(p) =N( )

011

1 apa...papa nn

nn ++++ −

−

N(p) =

L(p) = Sistem operator

011

1 bpb...pbpb mm

mm ++++ −

−

L(p) Sistem operator


Jadi : D(p) y(t) = N(p) x(t)Ada dua solusi yaitu solusi komplementer dan solusi partikuler.y p p1. solusi komplementer (yc(t)) jika input x(t) = 0

D(p) yc(t) = 0 yc(t) ≠ 0 maka D(p) =0

Jadi = 0011

1 apa...papa nn

nn ++++ −

−

∑n

AAAA )()()()(Didapat yc(t) =

Dimana : yi(t) = eri(t)

∑=

+++=i

nnii tyAtyAtyAtyA1

2211 )(...)()()(

yi( )

ri = akar-akar polynomial D(p)Ai = konstanta yang dihitung dari kondisi awali y g g


Kemungkinan akar D(p) adalah riil atau kompleks dan simpel atau jamak Maka :atau jamak. Maka :yi(t) = erit untuk semua akar riil yang berbedayi(t) = ert , tert , t2ert , … , tm-1ert untuk m buah akar riil y ( )yi(t) = eαt cos βt ; eαt sin βt untuk akar komplek yang simple

jβr = α + jβyi(t) = eαt cos βt ; eαt sin βt r(1)

= teαt cos βt ; teαt sin βt r(2)= teαt cos βt ; teαt sin βt r(2)= tm-1eαt cos βt ; tm-1eαt sin βt r(m) untuk

akar kompleks yang sama sebanyak m buah.


2. Solusi khusus (particular) jika input sistem ada , x(t) ≠ 0

D(p) yp(t) = N(p) x(t)

yp(t) = )t(x)p(L)t(x)p(D)p(N

=p

Kasus khusus jika input eksponensial maka output juga

)p(D

Kasus khusus jika input eksponensial maka output jugaeksponensial.Ambil x(t) = Aest maka yp(t) = L(p) x(t)p

p = sJangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom82

Jika input sinusoida maka dibuat menjadi bentukeksponensialeksponensial.

Ingat : ejΏt = cos Ωt + j sin ΩtJika x(t) = A cos Ω(t) = Re ( A ejΩt )( ) ( ) ( )Maka:

y(t)=L(p).x(t)|p = jΩ

Jika x(t) = A sin Ω(t) = Im (A ejΩt ) maka y(t) = L(p) x(t)|p = jΩ

Didapat :Solusi persamaan = solusi komplementer + solusi particular

y(t) = y (t) + y (t)Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom83

Contoh soal 1.9.

dengan y(0) = 4 dan dy/dt = 1tcoseydtdy

dtyd t 3502410 22

2−=++

y(t) ( p2 + 10p + 24 ) = 50 e-2t cos 3t

)p)(p(pp)p(D)p(N)Lp

461

24101

2 ++=

++==

x(t) = 50e-2t cos 3t = Re(50e-2t ej3t ) = Re(50e(-2+j3)t ) solusi komlementer x(t) = 0

y (t) = Ae-6t + Be-4tyc(t) = Ae-6t + Be-4t


solusi particulary (t) = ( L(p) x(t) )yp(t) = ( L(p) x(t) )

=

+

=

−−+− 35035050 2232 tsinejtcoseReeRe

ttt)j(

p=-2+j3

=

++−−−

=

++ 243020912424102 jj

Repp

Re

[ ] [ ]( )1813332550

181181

1813350 22

jtsinjtcosReejjx

jtsinjtcosRee tt

−−+=−−−−

+−+ −−

=

325181181 jj+

tcosetsine)tsintcos(e ttt 31323

13363183

132 222 −−− −=+−


solusi lengkap

= tttt BeAetcosetsine)t(y 4622 31323

1336 −−−− ++−=

= tttttt BeAetcosetsinetsinetcosedt

)t(dy 462222 46313433

1323

137233

1336 −−−−−− −−++−=

994614641080 BABA)(dy=

y(0) = -2/13 + A + B = 4 - - > A + B = 54/13

139946146

134

131080

=+>−−=−−+= BABAdt

)(dy

y( )2A = -117/13 A= -9/2

dan B = 225/26

jadi tttt eetcosetsine)t(y 6422 922532336 −−−− +jadi


eetcosetsine)t(y226

313

313

−+−=

Stabilitas SistemSWK stabil jika bagian riil akar-akar polinomial D(p) adalahSWK stabil jika bagian riil akar akar polinomial D(p) adalah

negatif (akar-akar polinomial D(p) terletak di sebelah kirisumbu imajiner). Pada sistem diatas pada p = -6 dan p =4 adalah negatif maka sistem stabil-4 adalah negatif, maka sistem stabil.sistem stabil, jika p = α + jβ stabil jika α < 0

Bidang p : Im (p)

d h t bil iil( )daerah stabil riil(p)


Persamaan Perbedaan (u/ SWD)

Bentuk umum sistem LTW

∑ ∑= =

≥>−−−=−N

i

M

iii M)in(xb)in(ya

0 0

0

Untuk penyederhanaan , ambil a0 = 1y(n) + a1y(n-1) + … + aNy(n-N) = b0x(n) + … + bMx(n-M)

dengan operator q :dimana q-1 x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x(n+1),maka didapat:

y(n) (1 + a1q-1 + … + aNq-N ) = x(n) (b0 + b1q-1 + … + bMq-M)


NN

MM

qa...qaqqb...qbb

)q(D)q(N

)n(x)n(y)q(L −−

−−

++++++

=== 11

110

jadi : D(q) y(n) = N(q) x(n)jadi : D(q). y(n) = N(q). x(n)


Seperti halnya SWK ,maka pada SWD juga ada dua macamsolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusisolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusipartikular (solusi khusus) :

y(n) = yc(n) + yp(n)

S l i k l t jik d t k ( ) 0Solusi komplementer jika deretan masukan x(n) = 0D(q) yc(n) = N(q).0 = 0, maka D(q) = 0 dengan solusi :

∑ ∑= =

==m

k

m

k

mkkkkc rA)n(yA)n(y

1 1


dimana rk = akar polynomial D(q) dengan solusi :(i) r riil dan tunggal y (n) = r n(i) . rk riil dan tunggal yk(n) = rk

n

(ii). rk riil dan jamak sejumlah m buahyk (n) = rn, nrn, n2rn,…,nm-1rnyk (n) r , nr , n r ,…,n r

(iii). rk kompleks tapi tunggal , rk = α + jβ = rejΦ

yk(n) = rn cos nφ dan rn sin nφ(iv). rk kompleks dan jamak sejumlah m buah

yk(n) = rn cos nφ ; rn sin nφ= nrn cos nφ ; nrn sin nφ

.= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n


Solusi khusus jika deretan masukan adaD(q) y (n) = N(q)x(n)D(q) yp(n) = N(q)x(n)

yp(n) = )n(x)q(L)n(x)q(Nyp(n)

Kasus khusus jika input eksponensial , ambil x(n) = A(s)n

)n(x)q(L)n(x)q(D

q=

didapat : yp(n) = L(q)x(n) q = s

Stabilitas sistem SWD stabil jika magnitudo akar polynomialD(q) < 1 (atau didalam lingkaran satuan).


Contoh soal 1.10.y(n + 3) 8y(n + 2) + 37y(n+1) 50y(n) = 8(0 5)n y(0) = 2y(n + 3) – 8y(n + 2) + 37y(n+1) – 50y(n) = 8(0,5)n , y(0) = 2,

y(1) = 3, y(2) = 5dengan operator qg p qy(n) (q3 – 8q2 + 37q - 50) = 8(0,5)n

508 ),()(L)q(N)n(y n

D( ) ( 3 8 2 37 50) ( 2)( 2 6 25)

50378508

23 −+−=== − qqq

),()q(L)q(D)q(N

)n(x)n(y

D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)


D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)Akar-akar D(q)

q1 = 2

q2,3 = 432

100366 jj±=

−±

q2 = 3 + j4 = 5 < 0,927 radq3 = 3 – j4 = 5 < -0,927 rad 3 jSolusi komplementer

yc(n) = A(2)n + B(5)n cos 0,927n + C(5)n sin 0,927n


solusi partikulary (n) = L(q) x(n) =

50823

),( n

yp(n) = L(q) x(n) = q = s q = 0,5

50378 23 −+− qqq

yp(n) = nn

),(),(),(),(

),( 5026769

5050375085050823 −=

−+−

solusi total/lengkap

i)(C)(B)(A)()( nnnn 927059270525064 n,sin)(Cn,cos)(B)(A),()n(y nnnn 927059270525026764

+++−=


64 CBA)( 2267640 =+++−= CBA)(y

32 B)( 392705927052267321 =+++−= ,sinC,cosBA)(y

5854612585461254162 =+++= sincosBA)(y 5854612585461254267

2 =+++−= ,sin,cosBA)(y

didapat : A = 2,1886B = 0,05108C = 0 35666C = 0,35666


Sehingga:

- cek stabilitas :

n,sin)(,n,cos)(,)(,),()n(y nnnn 92705356660927050510802188625026764

+++−=

cek stabilitas : Plot akar D(q) :

Im D(q) x

1 2 3 Re D(q)

xsistem tidak stabil (karena ada akar polinomial D(q) yang

terletak di luar lingkaran satuan)


Realisasi SWD dan SWK


Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal dapat direalisirdalam bentukdalam bentuk

struktur langsung tipe Istruktur langsung tipe IIg g p


Realisasi SWDStruktur Langsung Tipe I :Hubungan input output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskanHubungan input-output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskan

sebagai berikut

∑∑NN

∑∑==

−=−0i

i0i

i )in(xb)in(ya

Untuk penyederhanaan, ambil a0 = 1, sehingga didapathubungan berikut :

NN

)nn(xb...)1n(xb)n(xb

)in(ya)in(xb)n(y

n10

N

0ii

N

0ii

−++−+=

−−−= ∑∑==


)mn(ya...)1n(ya n1 −++−−

q-1 q-1

b1bN

+ + +

x(n)

y(n)

1

b0 q-1

q-1

aN aN-1

q-1


Struktur Langsung Tipe IIMengacu pada hubungan input outpur SWD berikut iniMengacu pada hubungan input-outpur SWD berikut ini,

)in(xb)in(yaN

i

N

i −=− ∑∑

)(b)1(b)(b)nn(ya...)1n(ya)n(ya

)in(xb)in(ya

n10

0ii

0ii

=−++−+

∑∑==

)nn(xb...)1n(xb)n(xb n10 −++−+


[ ] [ ]n1n1 bbb)()( −−−−[ ] [ ]

n1

nn

110

nn

110

nn

110

qa1qb...qbb)n(y)q(N)q(L

qb...qbb)n(xqa_...qaa)n(y

=+++

===

+++=++

∑ −−−

−−−−

43421

43421)q(L

0ii

)q(L

n

0i

ii

nn

110

2

1

qaqaqa...qaa)n(x)q(D

)q(L

=+++

=== ∑∑ =

=

−−−


Fungsi Transfer L(q) diuraikan menjadi 2, sehingga L(q) =L1(q) L2(q) Masing-masing fungsi transfer dapatL1(q). L2(q) . Masing masing fungsi transfer dapatdigambarkan struktur realisasinya dan kemudian digabungkembali, hingga didapat L(q) total.

∑∑

=ω⇒ω

===

−

−

n

0i

1in

1i

1 )n(xqa)n()n(x)n(

qa

1)q(L

∑

∑

ωω

=n

0ii

)in(a)n(x)n(

qa

∑ −ω−=ω i )in(a)n(x)n(


x(n) ω(n)+

q‐1

q‐2

‐a1

q‐N

‐a2

‐aN

∑ ∑ −− ω=⇒==N N

1i

1i qb)n()n(yqb)n(y)q(L ∑ ∑

= =ω=⇒=

ω=

0i 0iii2 qb)n()n(yqb

)n()q(L


y(n)ω (n)

+b0

q-1

q-2

b1

q-N

b2

bN


Rangkaian total digabung :L(q) = L (q) L (q)L(q) = L1(q) . L2(q)

)n(y.)n()n(y ω=

)n()n(x)n(x ω

( )x (n) b0 y(n)

q‐1

b1‐a1

++b0

q‐2

b2‐a2

bN‐aN

q‐N


NN

Contoh soal 1.12.Buat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubunganBuat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubungan

input-output sebagai berikut:y(n) + 3y(n-1) + 5(n-2) + 7y(n-2) = 6 x(n) + 4 x(n-1)y( ) y( ) ( ) y( ) ( ) ( )

Jawab :Struktur langsung tipe I :y(n) = 6x(n) + 4x(n-1) – 3y(n-1) – 5y (n-2) – 7y(n-3)


x (n)

q-1

6

4

+

q-1

y (n)

-3

q-1

-5

q-1

-7


Struktur langsung tipe II :y(n) [1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3] = x(n) [6 + 4q-1]y(n) [1 + 3q 1 + 5q 2 + 7q 3] = x(n) [6 + 4q 1]

1321321

q46x1q46)()n(y 1 −+=

+=

−

ω(n)/x(n) = 1/[1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3]

321321q

q7q5q31q7q5q31)n(x −−−−−− ++++++

→ x(n) = ω(n) + 3ω(n-1) + 5ω(n-2) + 7ω(n-3)ω(n) = x(n)-3ω(n-1)-5ω(n-2)-7ω(n-3)

y(n)=6ω(n) + 4ω(n-1)⇒+=ω

−1q46)n()n(y


x (n)6ω

y(n)

q-1

43

++6ωn

q-2

4-3

-5

ωn-1

-7q-1

ωn-2

ωn-3


Realisasi SWKSecara prinsip sama seperti SWD dimana q-1 diganti denganBentuk umum SWK LTWBentuk umum SWK-LTW

∑∑ =m in

i )t(xdb)t(yd

a; m ≤ n

∑∑==

=0i

ii0i

iidt

bdt

a


Ambil a-n = 1 dan m = n

∑∑−

==−=

1n

0ii

iii

in

0iin

n

dt

)t(ydadt

)t(xdbdt

)t(yd

n1n1

221

xdbxdbxdbdxb)t(xb +++++=−

nn1n1n221odt

bdt

b.......dt

bdt

b)t(xb +++++=−−

1n )(ddd −

1n

1n1n21o

dt

)t(yda........dtdya

dtdya)t(ya

−−−−−=


Struktur langsung tipe I

bn-2

bn-1

bn

n

n

dtd

1n1n

dtd

−

−

2n2n

dtd

−

−

22

dtd

dtd

box (t) ∫ ∫ + 3y (t)∫∫

b1

b2

+

-an-1

-an-2

-a2

-a1-a0


Contoh soal 1.13.Gambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaanGambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaan

diferensial berikut :

SWK – LTW : )t(x5dtdx3y50

dtdy37

dt

yd8

dt

yd2

2

3

3+=+++

2

2

3

3

dtyd8

dtdy37y50

dtdx3)t(x5

dtyd

−−−+=


3

x (t) ∫ ∫ y (t)∫53

3

dtd

22

dd

dtd

x (t) ∫ ∫+

y (t)∫

‐8

+dt 2dt

‐37

‐50

Buat untuk struktur langsung tipe II nya


g g p yL(P) = L1(P) . L2(P) ….. Ln(P)

Contoh soal 1.14.Gambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaan diferensialg p

berikut :d3y(t)/dt3 + 4d2y(t)/dt2 + 11dy(t)/dt + 15y(t) = 2 dx(t)/dt + 5 x(t)Realisasi langsungRealisasi langsungp=d/dt ; p-1 =[p3+ 4p2 + 11p + 15] y(t) = [2p + 5] x(t)k lik d 3

∫

kalikan dengan p-3

[1 + 4 p-1 + 11 p-2 + 15 p-3] y(t) = [2 p-2 + 5 p-3] x(t)y(t) + 4 p-1 y(t) + 11 p-2 y(t) + 15 p-3y(t) = 2 p-2 x(t) + 5 p-3 x(t)y(t) = -4 p-1 y(t) + p-2 [5x(t) – 11y(t)] + p-3[5x(t) – 15 y(t)]


x (t)

5 2

+ ∫p-3 p-2

+ ∫ p-1

+ ∫ py (t)

-15 -11 -4


Respons ImpulseRespons Impulse


Respons impuls adalah respons sistem( t t i t ) jik k dib i(output sistem) jika masukannya diberisinyal impuls

δ(n)

SWD h (n)

δ(t)Respons impuls

SWK h (t)


Sistem sering digambarkan dengan responsSistem sering digambarkan dengan responsimpulsnya karena dengan respons impulsdapat dilihat apakah sistem tersebut kausaldapat dilihat apakah sistem tersebut kausaldan stabil atau tidak.

h(n) y (n)x (n)

SWD ⇒

h(t) y (t)x (t)SWK ⇒


Respons Impuls SWDDiketahui SWD - LTWy(n) + a y(n 1) + a y(n 2) + + a y(n N) = x(n)y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + ….+ an- y(n-N) = x(n)Respons impuls sistem adalah respons sistem (output) jika

x(n) = δ(n)( ) ( )Sehingga dapat dituliskan h(n) = y(n)

x(n) =δ (n)Jadih(n) + a1 h(n-1) + a2 h(n-2) + …. + aN h(n-N) = δ(n)k SWD k l > h( ) 0 t k <0karena SWD kausal ==> h(n) = 0 untuk n<0


makan = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n 1) ; h(n 2) dst = 0n = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n-1) ; h(n-2) dst = 0n = 1 h(1) + a1 h(0) + 0 + ….+ 0 = δ(1) = 0n = 2 h(2) + a1 h(1) + a2 h(0) + … = δ(2) = 0n 2 h(2) a1 h(1) a2 h(0) … δ(2) 0… dstingat solusi persamaan y(n) = yc(n) + yp(n)p

D(q) y(n) = N(q) x(n)

m⇒yc(n) ⇒ D(q) yc(n) = 0 ⇒ D(q) = 0 maka yc(n) = ∑

=

m

1k

nkk rA


⇒yp(n) ⇒ yp(n) = L(q) x(n)q=s untuk x(n) = A(s)n

tetapi input disini bukan eksponesial maka y (n)=0tetapi input disini bukan eksponesial maka yp(n)=0


Contoh soal 1.15.y(n) 0 8y(n 1) + 0 15 y(n 2) = x(n)y(n) – 0,8y(n-1) + 0,15 y(n-2) = x(n)

Respons impulsh(n)-0,8 h(n-1) + 0,15 h(n-2) = δ(0)h(n) 0,8 h(n 1) 0,15 h(n 2) δ(0)

n=0 ⇒ h(0) – 0,8 h(-1) + 0,15 h(-2) = δ (0) = 1 ⇒ h(0) = 1n=1 ⇒ h(1) – 0,8 h(0) + 0,15 h(-1) = δ(1) = 0 ⇒ h(1) = 0,8n=2 ⇒ h(2) – 0,8 h(1) + 0,15 h(0) = δ(2) = 0 ⇒ h(2) = 0,8 x

0,8 – 0,15 = 0,49


solusiy (n) = nn

mn AAA )()(∑yc(n) =

dimana y(n) [1- 0,8 q-1 + 0,15 q-2] = x(n)

nn

k

nkk rArArA )()( 2211

1+=∑

=

dimana y(n) [1 0,8 q 0,15 q ] x(n)

qqq1 222

L(q) = )3,0q)(5,0q(q

15,0q8,0q

q

2

qxq15,0q8,01

12321 −−

=+−

=+− −−


Jadiy (n) = A (0 5)n + B (0 3)nyc(n) = A (0,5)n + B (0,3)n

n=0 ⇒ y(n) = A + B = h(0) = 1n=1 ⇒ y(n) = 0,15A + 0,3 B = h(1) = 0,8n 1 ⇒ y(n) 0,15A 0,3 B h(1) 0,8

A + 0,6 B = 1,6A + B = 1

- 0,4B = 0,6 ⇒ B = -1,5A = 2,5

Maka y(n) = h(n0 = [2,5 (0,5)n – 1,5 (0,3)n] u(n) Bagaimana kalau imputnya superposisi ?Karena sistem linier maka outputnya juga superposisiKarena sistem linier maka outputnya juga superposisi


Contoh soal 1.16.y(n) 2y(n 1) + 1 31 y(n 2) 0 28 y(n 3) = x(n) + 3x(n 2)y(n) – 2y(n-1) + 1,31 y(n-2) – 0,28 y(n-3) = x(n) + 3x(n-2)

respons impuls didapat jika x(n) = δ (n) dan 3x(n-2) = 3δ(n-2)y(n) [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3] = x(n) [1 + 3 q-2]y(n) [1 2 q 1,31 q 0,28 q ] x(n) [1 3 q ]L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q) = [1 + 3 q-2] / [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3]Kalikan L(q) dengan q3 / q3 , didapat :

q3q3 +

28,0q31,1q2q

q3q)q(L23 −+−

+=


D(q) = q3-2 q2 + 1,31 q - 0,28 = (q - 0,5) (q - 0,7) (q - 0,8)yc(n)=A(0,5)n + B(0,7)n + C(0,8)nyc( ) ( , ) ( , ) ( , )

Input 1 : δ(n) maka h(n) = 2h(n-q) + 1,31 h(n-2)-0,28 h(n-3)=δ(n)]n = 0 ⇒ h(0) = 1n =1 ⇒ h(1) 2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n =1 ⇒ h(1) –2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n = 2 ⇒ h(2) –2h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 0 ⇒ h(2) = 2,69

dimana

2/496/25

28,07,05,0)1(1)0(

−==

=++=

=++=BA

CBAhCBAh

3/6469,264,049,025,0)2( ==++= CCBAh


Jadi

untuk n ≥ 0nnn1 )8,0(

369)7,0(

249)5,0(

125)n(h +−=

Input 2 : 3δ(n-2)outputnya h(n) – 2h(n-1) + 1,31 h(n-2) – 0,28 h(n-3) = 3δ (n-2)n = 0 h(0) – 2h(-1) + 1,31 h(-2) – 0,28 h(-3) = 3δ (-2) = 0

h(0) = 0n = 1 h(1) – 2h(0) + 0 – 0 = 3δ (-1) = 0 ⇒ h(1) = 0( ) ( ) ( ) ( )n = 2 h(2) –2 h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 3δ (0) = 3 ⇒ h(2) = 3


Makah(0) = A + B + C = 0 A= 50h(0) = A + B + C = 0 A= 50h(1) = 0,5A + 0,7B + 0,8C = 0 B = -150h(2) = 0,25A + 0,49B + 0,64C = 3 C = 100h(2) 0,25A 0,49B 0,64C 3 C 100jadi

h2(n) = 50(0,5)n – 150 (0,7)n + 100 (0,8)n n ≥ 2Maka : h(n) = h1 (n) + h2 (n)

=+−= 1dan0nuntuk)80(64)70(49)50(25 nnn

≥+−=

=+−=

2 n untuk )8,0(3

364)7,0(2

349)5,0(6

325

1dan 0n untuk )8,0(3

)7,0(2

)5,0(6)n(h

nnn


Latihan :Carilah respons impuls sistem dengan persamaanCarilah respons impuls sistem dengan persamaan

perbedaan berikut :y(n) = x(n) +0,8 y(n-1)y( ) ( ) y( )25y(n) + 6y(n-1) + y(n-2) = x(n)2y(n) + 6y(n-2) = x(n) – x(n-2)


Respons Impuls SWKDari persamaan differensial

)t(ya)t(dtdya...............

)t(ydt

dadt

)t(yda o11n

1n1nn

nn ++++

−

−

−

)()(............)()(011

1

1 txbdttdxbtx

dtdb

dttxdb m

m

mm

m

m ++++ −

−

−

dalam operator p :L(p) = N(p)/D(p) = y(t)/x(t) → D(p) y(t) = N(p) x(t)


Respons impuls h(t) = y(t) jika input x(t) = δ (t)dimanadimana

y(t) = h(t) = yc(t) + yp(t)

∑=

==n

1i

)t(ric ieA)t(y)t(h

r = akar dari polinomial D(p)


Contoh soal 1.17.Carilah respons impuls dari SWK dengan persamaanCarilah respons impuls dari SWK dengan persamaan

diferensial berikut ini :

dxdyyd2)t(x3

dtdx2y3

dtdy4

dt

yd2

+=++

Solusi : y(t) [p2 + 4p + 3] = [2 p + 3] x(t)


2 )1p)(3p(3p2

3p4p

3p2)P(L++

+=

++

+=

tt3c BeAe)t(y

3p4p

−− +=

↓

++

t = 0 ⇒ yc(0) = A + B= 0

)(tdy

1/2B-1/2A1A 2

13)(

=→=−

=−−= BAdttdyc

y(t) =

1/2B =

t3t e21e

21 −− −


input (1) = 3 x(t) ⇒ h1(t) = t3t e23e

23 −− −

input (2) = ⇒ h2 (t) =

22

dtdx2 tt3 ee3

dt)t(dy2 −− −=p ( ) 2 ( )

jadi h(t) = h (t) + h (t)

dt dt

jadi h(t) = h1(t) + h2(t)

h(t) = [1,5 e-3t + 0,5 e-t] u(t)


Konvolusi


KonvolusiAdalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahan

dalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasidalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasiperkalian sekaligus integral dalam kawasan waktu (SWK).Dapat digunakan untuk mendapatkan respons sistemt h d k b b J di k t f iterhadap masukan bebas. Jadi merupakan transformasidari masukan ke keluaran.


Penjumlahan KonvolusiJika x(n) adalah input suatu SWD – LTW dan y(n) adalah

output sistem tersebut dimana y(n) = T [x(n)] maka :output sistem tersebut dimana y(n) T.[x(n)] , maka :

∑ ∑ −=−=~ ~

)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y

dimana operasi diatas didefinisikan sebagai operatork l i “ * ” hi

∑ ∑−= −=~k ~k

)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y

konvolusi “ * ” , sehingga

∑ ∑∆

−=−==~ ~

)k(*)kn(x)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Dimana h (n) adalah respons impuls

∑ ∑−= −=~k ~k

)k()kn(x)kn(h)k(x)n(h)n(x)n(y

Dimana h (n) adalah respons impuls


Prinsif dan sifatnya sama dengan SWD dimana Σ digantid i t l

x[n] y[n]

dengan integral

SWDH[ ] y[ ]

x(n) * h(n) = y(n)


Sifat-sifat Konvolusi :Komutatif :

x(n) * y(n) = y(n) * x(n)Asosiatif :

x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)Distributif untuk operasi penjumlahan

x(n) * [y(n) + z(n)] = x(n) * y(n) + x(n) * z(n)Memiliki elemen identity : δ(n)

x(n) * δ (n) = δ(n) * x(n) = x(n)Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)p p g g ( )

x(n) * δ(n-k) = x(n-k)

Lihat lagi operasi pencerminan dan pergeseran


Contoh soal 1.18.x[n] y[n]

h(n)x[n] y[n]

Dengan input x(n) dan respons impuls h(n) seperti di bawahini, dapatkan output sistem y(n) = x(n)*h(n)

x (n) h (n)

32

n0 1 2

0,5

n0

1


Jawab :

∑−=

−==~

~k)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Disini k merupakan variabel penjumlahan untuk harga ntertentu. Misalnya diberikan harga suatu n=N0 makaj l hk k li t d t (k) djumlahkan semua perkalian antara deretan x(k) denganh(n0-k) untuk semua k [-~ , ~], dimana h(n0-k) = h-(k-n)yaitu pencerminan dari h(k) kemudian digeserkan sejauhy p ( ) g jn0.


Dengan kata lain dapat dituliskan langkah-langkah penjumlahan konvolusi sebagai berikut :penjumlahan konvolusi sebagai berikut :

Gambarkan x(n) dan h(n)( ) ( )Ubah peubahnya dari n menjadi k, sehingga didapat x(k) dan h(k)L k k i t h d b tik l d i h(k)Lakukan pencerminan terhadap sumbu vertikal dari h(k) atau x(k) sehingga didapat h(-k) atau x(-k)


Misalkan yang dicerminkan adalah h(k) maka didapat h(-k)dan x(k) Geser h(-k) untuk n =0 dan kalikan besarandan x(k). Geser h( k) untuk n 0 dan kalikan besaranpada h(-k) dan x(k) pada waktu yang sama danjumlahkan. Sehingga akan dikalikan h(-k) dengan x(k).G l i h( k) t k 1 k kit k likGeser lagi h(-k) untuk n=1, maka kita akan mengalikanh(1-k) dengan x(k), begitu seterusnya hingga antara h(n-k)dan x(k) tidak bersinggungan lagi.


Integral KonvolusiPrinsif dan sifatnya sama dengan SWD dimana Σ diganti

dengan integral ∫dengan integral ∫

x(t) y(t)H

∫ ∫− −

εεε−=εε−ε∆=~

~

~

~

d)(h)t(xd)t(h)(x)t(h*)t(x)t(y


Secara grafis :Gambarkan x(ε) dan h(t ε) dimana h(t ε) = h (ε t ) yaituGambarkan x(ε) dan h(t0-ε) dimana h(t0-ε) = h-(ε-t0) yaituh(ε) yang dicerminkan kemudian digeser sejauh t0 laludiintegrasikan.Disini ε merupakan variabel integrasi, jadi set satu harga tkemudian lakukan operasi diatas dimana hasil integrasimerupakan luas dibawah kurvamerupakan luas dibawah kurva.


Energi & Daya SinyalEnergi & Daya Sinyal


Energi Sinyal

Energi sinyal waktu kontinyu x(t) didefinisikanb i E b ik tsebagai Ex berikut :


Energi Sinyal (cont’)

Satuan dari energi sinyal tergantung darit d i i l D l k tsatuan dari sinyal. Dalam kasus tegangan

sinyal v(t) yang diterapkan pada suatui t R i dib ik k i tresistor R, enrgi yang diberikan ke resistor

adalah sebesar :


Analogi dengan sinyal waktu kontinyu, maka energi sinyalwaktu diskrit didefinisikan sebagai :waktu diskrit didefinisikan sebagai :


Contoh 1.20.Carilah energi sinyal dari x(t) = 3 tri(t/4)Carilah energi sinyal dari x(t) = 3 tri(t/4)Solusi :Dari definisi energi :Dari definisi energi :

Menggunakan definisi sinyal segitiga :

Maka dapat didefinisikan sinyal tri(t/4) sebagai berikut :


Dan

S hi i i lSehingga energi sinyalnya :


Contoh 1.21.Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Solusi :Dari definisi :Dari definisi :

= 1/[1-1/4] = 4/3


Daya Sinyal

Daya rata-rata sinyal waktu kontinyudid fi i ik b i b ik tdidefinisikan sebagai berikut :


Daya Sinyal (cont’)

D t t i l kt di k itDaya rata-rata sinyal waktu diskritdidefinisikan sebagai berikut :


Untuk sinyal periodik, maka daya rata-ratai l kt k ti i dik d l hsinyal waktu kontinyu periodik adalah

sebagai berikut :


Sedangkan untuk sinyal waktu diskritperiodik, daya rata-ratanya adalah :


Contoh 1.22.Carilah daya sinyal x(t) = A cos (2πfo +θ)


Solusi :Dari definisi daya sinyal waktu kontinyu periodik adalah :Dari definisi daya sinyal waktu kontinyu periodik adalah :Menggunakan identitas trigonometri :


Didapat :

= A2/2


Latihan :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :

x(t) = tri[(t-3)/10]x(n) = 10 sin (2πn/4)x(n) 10 sin (2πn/4)


PE-2533 Sinyal dan SistemSinyal dan Sistem

BAB #2:BAB #2: ANALISIS FOURIER SINYAL

WAKTU KONTINYU


Tujuan

Mengembangkan metode dari ekspresii l kt k ti d kt di k itsinyal waktu kontinyu dan waktu diskrit

sebagai kombinasi linear dari sinusoidal, riild k l kdan kompleksMemahami sifat-sifat umum dari sinyalMenerapkan metode untuk menentukanrespons dari sistem waktu kontinyu danp ywaktu diskrit


Deret Fourier WaktuDeret Fourier Waktu Kontinyuy(TFWK)( )


Analisis Fourier pada sinyal waktu kontinyub t j t k i d hk i l d ibertujuan untuk memindahkan sinyal darikawasan waktu ke kawasan frekuensi, yaitud k D t F i W ktdengan menggunakan Deret Fourier WaktuKontinyu (DFWK) untuk sinyal perodik, dand T f i F i W ktdengan Transformasi Fourier WaktuKontinyu (TFWK) untuk sinyal tidak periodik( i dik)(aperiodik).


DFWK bentuk TrigonometriDiberikan contoh sinyal periodic x(t) berikut :

)(tx )(tx)(tx


Sinyal periodic x(t) dengan periode T berikut :x(t) = x(t+kT)x(t) = x(t+kT)

dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai berikut :p y g g

∑∞

Ω+Ω+=1

000 ) sin cos()( nn tnbtnaatx

dengan ao, dan adalah koefisien Fourier yang ditunjukkan sebagai berikut:

=1n

sebagai berikut:


∫+−=Tt

tdttx

Ta 0

0

)(10

∫+− Ω=Tt

tn dttntxT

a 0

0

cos)(20

∫+− Ω=Tt

tn dttntxT

b 0

0

sin)(20∫tT 0


Deret x(t) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk alternative Trigonometri :Trigonometri :

∑∞

−Ω+= 00 )cos()( tndatx φ

Maka :

∑+

Ω+1

00 )cos()(n

nn tndatx φ

]sinsincoscos[)( 000 nnnn tcndtndatx φφ Ω+Ω+= ∑∞

1n+


Jadi secara sederhana hubungan koefisien dan terhadap dan dapat ditunjukkan sebagai berikut :dan dapat ditunjukkan sebagai berikut :

a d φcosanφn

nnn

nnn

dbda

φφ

sin cos

==

bndn


Integral penting :

∫+ =ΩTt

tdttn0

0

0 sin 0

∫+ =ΩTt

tdttnc0

0

0 os 0

∫+ =ΩΩTt

tdttmtn0

0

0 cos sin 00

mnjikamnjika

TdttmstnTt

t =≠

=ΩΩ∫+

2/0

in sin0

000

k0

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom173mnjikamnjika

TdttmstnTt

t =≠

=ΩΩ∫+

2/0

in sin0

000

Contoh 2-1Dibawah ini diberikan contoh untuk memperoleh deretDibawah ini diberikan contoh untuk memperoleh deret

Fourier dari suatu sinyal kontinyu gelombang persegi.

(t)x(t)

t

1

t

-1

T-T


Deret Fourier bentuk trigonometri :

∑∞

=

Ω+Ω+=1

000 ) sin cos()(n

nn tnbtnaatx

1

0111

)(1

4/34/

00

0

=

∫∫

∫+

TT

Tt

t

dd

dttxT

a

0.1 .1 4/4/

=

−= ∫∫− TT

dtdtT

)2(cos1)2(cos12 4/34/ ππ dttndttnaTT

+ ∫∫

)2

sin(4

)(cos.1)(cos.14/4/

ππ

nn

dttT

ndttT

nT

aTTn

=

−+= ∫∫−


2πn

222 4/34/

∫∫TT ππ 0)2(sin.1)2(sin.12 4/3

4/

4/

4/=−+= ∫∫−

dttT

ndttT

nT

bT

T

T

Tnππ

sehingga deret Fourier untuk gelombang persegi yangtersebut :

∑∞

Ω= cos)sin(4)( tnntx π∑=

Ω=1

0cos).2

sin()(n

tnn

txπ


DFWK bentuk Eksponensial

2cos

00

0

tjntjn eetnΩ−Ω +

=Ω20

eettjntjn

2sin

00

0

Ω−Ω −=Ω

Substitusi ke persamaan sebelumnya :

j20

∑∞ Ω−ΩΩ−Ω

∞

=

+

Ω+Ω+=1

000 ) sin cos()(

0000 tjntjntjntjnn

nn

eeee

tnbtnaatx

∑

∑∞

Ω−Ω

∞

=

++

−+=

−+

++=

0

10

)(

)22

(

00

0000

tjnnntjnnn

n

jj

n

jj

n

ejbaejbaa

jeebeeaa


∑=1

0 )22

(n

Disederhanakan :ac =

2)(

00

nnn

jbac

ac−

=

=

2)(

2nn

njba

c+

=−

Sehingga :2

∞

∑−∞=

Ω−+=n

tjnnecatx 0

0)(


Substitusikan danna nb

∫+ Ω−−=Tt

t

tjnn dtetxT

c 0

0

0 )(1

Hubungan antara koefisisen Fourier bentuk trigonometri dengan bentuk eksponensial ditunjukkan sebagai berikut :

nj

nnn cedjba n 2==− − φ


Diberikan gelombang persegi dengan lebar pulsa ∆, tinggi A,dan periode T sebagai berikut :dan periode T, sebagai berikut :

(t)x(t)

t

1

t

-1

T-T


Maka :

2

2

2

002

2

00

0

0

1

.0 .0 1 )(1

Ω

−

− −

Ω−Ω−Ω−+ Ω−

++==

∆

−

−

∫

∫ ∫∫∫tj

T

T tjntjntjnTt

t

tjnn dtedtedtAe

Tdtetx

Tc

T

T

T

T

[ ] 0020

2

2

0

2

1

Ω−ΩΩ

−

Ω−

−=−

=

=

∆

∆

∆∫tjntjn

tjn

tjn

eeAeA

dtAeT

[ ]( )

( ) ( )22

00

0

0

0

2

sinc sin

22

∆Ω∆Ω

∆Ω

−

∆=

∆=

ΩΩ

∆

nn

n

TA

TA

jjTnTjn

( )2 TT


Untuk n=0 dengan L'Hopital diperoleh , sehingga

( ) tjnn eAAx(t) 00 .sinc 2Ω

∞∆Ω∑ ∆

+∆

= ( )n

eTT

x(t) . sinc 2−∞=

∑+


Sifat sifat DFWKSifat-sifat DFWK


1. Diferensiasi dan Integrasi∞

Bila x(t) =Maka :

∑∞

−∞=

Ω

n

tjnn ec 0.

Maka :

tjnn

tjnn ectjnec

dd

ddx

00 ... 0Ω

∞∞Ω ∑∑ Ω==

Terlihat muncul komponen akibat diferensiasi.

nn

n jdtdt 0

∞−−∞=∑∑

tjn 0ΩDengan cara yang sama dapat dicari hasil integrasinya.


2. Pergeseran waktu

Bila

d

∑∞

−∞=

Ω−=n

tjnn ectx 0.)(

)()(dan

maka :

)()( τ−= txty

∑∞

−Ω−=−= tjnn ectxty )(0.)()( ττ

−∞=n

τ00.)( Ω−∞

−∞=

Ω∑= jn

n

tjnn eecty

muncul sebagai akibat pergeseran di kawasan waktuτ0Ω− jne


Respons Steady StateRespons Steady State


Sistem dengan notasi operator p sebagaib ik tberikut :

L(p) = y(t)/x(t) = N(p)/D(p)

Dimana D(p) dan N(p)adalah polinomialdalam operator diferensial pdalam operator diferensial p.


Respons sistem y(t) = yc(t) + yp(t)

dimana yc(t) adalah solusi komplementer,yc( ) p ,yang didapat saat input masih samadengan nol dan yp(t) adalah solusig yp( )particular yang didapat saat input tidaksama dengan nol.g


Respons steady state untuk inputk i l (t) A jΏt d l heksponensial x(t) = A ejΏt adalah :

yss = [N(p)/D(p)] x(t) setiap p digantidengan jΏ.g j


Input sinusoidal :)(cos)( φ+ΩtAtx )( cos)( φ+Ω= tAtx

tjtj eUeUtAtx )( cos)( Ω−∗Ω +=+Ω= φ

φjAeU 5.0=

φjAeU −∗ = 5.0

NN )()( tj

jp

tj

jp

UepDpNUe

pDpNty

)()(

)()()( Ω−

Ω−=

Ω

Ω=

+=


Dapat dituliskan :

θ

)()()( j

jp

MepDpNty ==

Ω=

tjtj eYeYty )( Ω−∗Ω +=

)( )( φθθ +== jj MAeUMety

)( cos 2)( φθ ++Ω= tMAtyss


ContohRangkaian listrik seperti gambar di bawah dengan masukan

sistem sebagai berikut :sistem sebagai berikut :

)3

6cos8)4

3cos(2010)( ππ−+++= tttx

34

1 Mohm 1 Mohm

X(t) 1 υF 1 υF


Rangkaian tersebut jika dinyatakan dalam operator p :

131

)()()(

maka , )()()13(

3

3

++==

=++

pptxtypL

txtypp

Dalam kasus ini, input terdiri atas tiga komponen, dengan frekuensi 0, 3,dan 6 radian

13)( ++ pptx

dan 6 radian.

3 113

1pp

=++

2974.2

33

0

1

8305.013

1

13

j

jp

jp

epp

pp

=++

++

=

=


66658.2

63 0254.0

131 j

jp

epp

=++ =

Akhirnya tegangan keluaran steady-state diberikan oleh :

+−+

+++= 66658.2

36cos0203.02974.2

43cos609.1610 ππ ttyss


Daya rata-rata Sinyal Periodik

Teorema Parseval :

Tt1 0 2∫+

dttxT

Pt

)(1 0

0

2∫=

dengan T adalah periode

Tdengan T adalah periode



Sehingga jika x(t) adalah tegangan atauSehingga jika x(t) adalah tegangan atauarus, pada suatu resistor 1 ohm, makadaya rata ratanya adalah :daya rata-ratanya adalah :

1 ∑∫∞+

== n

Tt

tcdttx

TP 22 )(1 0

0

dengan adalah koefisien Fourier

−∞=nT 0

dengan adalah koefisien FourierJangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom196


Persamaan di atas juga mungkinPersamaan di atas juga mungkindiekspresikan dalam bentuk koefisien deretFourier trigonometri sehinggaFourier trigonometri, sehingga

22212

0 )( nn baaP ∑∞

++=1

20 )( nn

n baaP ∑=

++


Spektrum sinyalDiberikan gelombang persegi dengan lebar pulsa ∆, tinggi A,

dan periode T sebagai berikut :dan periode T, sebagai berikut :

(t)x(t)

t

1

t

-1

T-T


Didapat :Cn = [A∆/T] sinc[nΏo∆/2] dimana Ώo = 2π/TCn = [A∆/T] sinc[nΏo∆/2] dimana Ώo = 2π/TCn = [A∆/T] sinc[nπ∆/T]Gambarkan untuk ∆ = 0,1 dan T =0,5 maka :Gambarkan untuk ∆ 0,1 dan T 0,5 maka :Ώo = 2π/T = 2π/0,5 = 4π∆/T = 0,1/0,5 = 0,2nπ∆/T = 0,2 nπ = xx = π jika n =5

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi

Telkom199

Terlihat bahwa sinyal waktu kontinyu periodik mempunyaispektrum yang diskrit sebagai berikut :spektrum yang diskrit sebagai berikut :


Transformasi FourierTransformasi Fourier Waktu Kontinyuy

(TFWK)( )


TFWK untuk memindahkan sinyal waktu kontinyu (SWK)aperiodik / terbatas dari kawasan waktu ke kawasanaperiodik / terbatas dari kawasan waktu ke kawasanfrekuensi.

∑∞

Ω− tjnt 0)( ∑−∞=

Ω=n

tjnnectx 0)(

1∫

+ Ω−−=Tt

t

tjnn dtetxT

c 0

0

0 )(1

∞→→=Ω TT

untuk 020

π


Sehingga untuk sinyal periodik sangat kecil.Konskuensinya spektrum diskret untuk fungsi periodikKonskuensinya, spektrum diskret untuk fungsi periodikakan digantikan dengan spektrum kontinyu untuk fungsiaperiodik. Dengan demikian persamaan deret Fourierb t k k l k h di ti d i t l D ibentuk komplek harus diganti dengan integral. Darimodifikasi persamaan diperoleh :

∫∞1

∫∞

∞−

Ω ΩΩ= deXtx tj)(21)(π

∫∞

∫∞

∞−

Ω−=Ω dtetxX tj)()(


Pasangan TFWKPasangan TFWK


Sinyal Pulsa Persegix(t)x(t)

A

t

-T/2 T/2

Transformasi Fourier dari x(t) adalah :

TΩ∫

∞)

2(sinc)( TATdtAeX tj Ω

==Ω ∫∞

∞−

Ω−


Sinyal eksponensial :x(t)

)()( tyetx at−=

x(t)1

0t

10

1)( )(

0

∞Ω+

−==Ω Ω+−

∞Ω−−∫ e

jadteeX tja

a

tjjat

|x(Ω)|tan-1(Ω/α)

0untuk 1 >Ω+

= aja

)arctan(1)(j Ω−

|x(Ω)|

Ω

1/a π/a

Ω)arctan(

22 )(1)( a

je

aX

Ω+=Ω Ω

0Ω

0


Sinyal eksponensial dua sisi : 0 ),()( >= − atyetx ta

0

)(

+=

=Ω

Ω−Ω−∞

−

Ω∞

∞−

−

∫∫∫

dteAedteAe

dteAeX

tjattjat

tjta

22

0

2 Ω+

=Ω+

+Ω−

=

∞−∫∫

aA

jaA

jaA

x(t) x(Ω)

0

t Ω

0


Sinyal Impulse : )(tδ

1)()( 00 ≅=−=Ω Ω−∞

∞−

Ω−∫ tjtj edtettX δ

x(t)=δ(t) |x(Ω)|

1

tΩ

00Ω


Sinyal Sinc.Bila berbentuk persegi maka :)(ΩXBila berbentuk persegi maka :)(ΩX

deXtx tj

21)(

21)(

ππ ∫∞

∞−

Ω =ΩΩ=

WtWtAWdAeW

W

tj sincsin21

πππ ∫−

Ω =Ω=

x(Ω) x(t)

0

t

0W

Ω

W


Sifat sifat TFWKSifat-sifat TFWK


Linearitas

[ ][ ])()( 11 txFX =Ω

[ ])()( 22 txFX =Ω

[ ] [ ])()()()( 22112211 Ω+Ω=+ XaXatxatxaF[ ] [ ])()()()( 22112211


Pergeseran Waktu

Jika [ ])()( txFX =Ω

maka

[ ])()( txFX =Ω

maka

[ ] )()( 0 Ω=− Ω− XettF tjδ[ ] )()( 0 ΩXettF δ


Pergeseran Frekuensi


maka

[ ])()( txFX =Ω

maka

[ ] [ ])(0X tjΩ−ΩΩ[ ] [ ])(00 txeX tjΩ=Ω−Ω


Diferensiasi & Integrasi Kawasan Frekuensi


maka

[ ]

maka

[ ])()(

tjtxFddX

−=ΩΩ

dΩ


Konvolusi kawasan waktu

Jika , , , x(t) dan h(t) [ ])()( txFX =Ω [ ])()( thFH =Ω [ ])()( tyFY =Ω

dihubungkan dengan integral konvolusi :

∫∞

∞−−= τττ dthxty )()()(

Maka :)()()( ΩΩ=Ω XHY


Konvolusi kawasan frekuensi

Jika [ ])()( txFX =Ωdan [ ])()( tyFY =Ω

maka

[ ] ∫∞

∞−−Ω= duuyuXtytxF )()(

21)()(π


2π

TFWK Sinyal ySinusoidal & Cosinusoidal


TFWK sinyal sinusoidalTeorema Euler :

2cos

00

0

tjntjn eetnΩ−Ω +

=Ω

jeet

tjntjn

2sin

00

0

Ω−Ω −=Ω

j

tjtj edetx 01)(1)( Ω∞ Ω =ΩΩ−Ω= ∫ δ edetx

2)(

2)( 0∞−

=ΩΩ−Ω= ∫ πδ

π


Karena :

F [ ] 0Ω−Ω=Ω π20tje

Maka :

FDan

[ ] [ ] (( 00 ))cos Ω−Ω+Ω+Ω=Ω δδπt

F [ ] [ ] (( 00 ))sin Ω−Ω−Ω+Ω=Ω δδπjt


Gambar TFWK pada sinyal snusoidal

X(Ω)

ππ

X(Ω)jπ

−Ω0

Ω0

−Ω0 Ω0 00

Ω Ω

(a) (b)

a. Transformasi Fourier sinyal Cosinusoidal

−jπ(a) (b)

b. Transformasi Fourier sinyal Sinusoidal


Energi SinyalEnergi Sinyal


Kandungan energi sinyal didefinisikan sebagai :

∫∞

∞−= dttxE )(2

ΩΩ= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

Ω dtdeXtxE tj)(21)(2

π

Ω

Ω=

∫

∫ ∫∞

∞

∞−

∞

∞−

Ω ddtetxX tj

1

)()(21 π

ΩΩ−Ω= ∫ ∞−dXX )()(

21 π



BAB #3:BAB #3:ANALISIS FOURIER SINYAL

WAKTU DISKRIT


TujuanMemahami prinsip dasar deret Fourier dan TransformasiFourier Waktu Diskrit serta dapat menerapkannya padaFourier Waktu Diskrit serta dapat menerapkannya padaberbagai Sinyal Waktu DiskritMemahami sifat-sifat deret Fourier dan TransformasiFourier Waktu Diskrit dan menerapkan dalam analisissinyal


Deret Fourier Waktu Diskrit(DFWK)


DFWK bentuk TrigonometriDiberikan sebuah sinyal waktu diskrit x(n) periodik dengan

periode N :periode N :x(n)=x(n+kN)

nx(n) = an cos ( 2πn/N)

n

x(n) = bn sin ( 2πn/N)n

0 17


DFWK : ∑∞

Ω+Ω+= 000 )sincos()( nn tnbtnaatxDFWK :

DFWD :

∑=

Ω+Ω+1

000 )sincos()(n

nn tnbtnaatx

∑∞

=

++=1

0 )sincos()(k

okok nkwbnkwaanxDFWD : Dimana frekuensi sudut = 2π/periode Ώ0 = 2π/T; ω0 =

2π/N

=1k

Bentuk-bentuk trigonometri yang penting :cos(Nω0n)=cos (2πn)=cos (0ω0n)

([N 1] ) ( )cos([N+1]ω0n)=cos(ω0n)cos([N+2]ω0n)=cos(2ω0n)

cos([N+k]ω0n)=cos(kω0n)cos([N k]ω0n) cos(kω0n)


DFWK bentuk EksponensialDFWK : ∑

∞

−∞=

Ω−=n

tjnnectx 0)(

∫+ Ω−−=Tt

t

tjnn dtetxT

c 0

0

0 )(1

DFWD : ∑−

±±==1

0,....2,1,0,)( 0

N

kk neanx

njkω

=0k

( ) 1...2,1,0,10

1

0

−== −−

=∑ Nkenx

Na njk

N

nk

ω

0n


Disingkat penulisannya : ∑−

=

±±==1N

0k

knNk ,....2,1,0n,wa)n(x

( ) 1...2,1,0,1 1

0−== −

−

=∑ Nkwnx

Na kn

N

N

nk

0

2ω

πjN

j

N eew =∆

Nk2j

kN ew

π

=


Bentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode dari n =0 sampaidengan N-1 karena sifat eksponensial dan periodisitas :dengan N 1, karena sifat eksponensial dan periodisitas :

[ ] 122

0 ==

= kj

N

Nkj

Njk eee ππ

ω

Dimana k adalah integer sejumlah N dari 0 sampai N-1.

[ ]


Respons Steady State thd masukan sinusoidal


Sistem dalam notasi operator q : L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q)Respons sistem : y(n) = y (n) + y (n)Respons sistem : y(n) = yc(n) + yp(n)Respons steady state input eksponensial x(n) = Ayss(n) = [N(q)/D(q)] x(n) dimana q=

[ ]njke 0ω

[ ]0ωjeyss(n) [N(q)/D(q)] x(n) dimana qJika input sinusoidal maka ubah dahulu ke dalam bentuk

eksponensial

[ ]e


Contoh

Tentukan respon tunak (steady state) darii t kt di k it b ik tsistem waktu diskrit berikut :

y(n+2)-0.8y( n+1)+0.15y(n)= x(n)

dimana x(n) = 5 + 2 ej2πn/10


ContohJadi disini seolah-olah inputnya ada 2 buah yaitu x1(n) = 5

dan x2(n) = ej2πn/10dan x2(n) eDengan menggunakan operator q, dapat ditulis :

y(n)[q2 – 0,8 q + 0,15] = x(n)

1L(q) = y(n)/x(n)

( ) L( ) ( ) d j0

15.08.01

2 +−=

qq

yss1(n) = L(q) x1(n) dengan q = ej0

286,1435,0/515080

500 ==

+= jj


15.08,0 00 +− jj ee

yss2(n) = L(q) x2(n) dengan q = ej2π/10

102

104

102

15080

2=

jj

nj

eππ

π

102

1010

15,0)4.0sin8,02.0cos8,04,0sin4,0(cos2

15.08,0

+−−+=

+−nj

jje

eeπ

ππππ

)94,12,0(102

873,3488,0188,0

2

,),,,,(

−=+−

= nj

nj

ej

e

jj

π

π

Sehingga : yss(n) = )94,12,0(873,3286,14 −+ nje π


Transformasi Fourier Waktu Diskrit

(TFWD)( )


Tinjau sinyal waktu diskrit terbatas :x(n) ≠ 0 0 ≤ n ≤ Nx(n) ≠ 0 , 0 ≤ n ≤ N1

Buatlah x(n) menjadi sinyal periodik dengan periode N (dimana N> N1)( 1)

x(n) nN1-10(a)

)(~ nxN1-10-N N n(b)


Dengan menggunakan analisis DFWD dapat ditulis :

∑−

ω=1N

)njk(k

0ea)n(x~ ∑=0n

)njk(1N

k0e)n(x~

N1a ω−

−

∑=0n

k )(N =

∑


Karena =0, n> N1, maka

)(1

0)(1 njkN

k enxN

a ω−−

∑=0

)(n

k N =∑

knN

N

k wnxN

a −−

∑=1

)(1N

nk N =

∑0

)(


Karena x(n) ≠ 0, 0 ≤ n ≤ N1 maka

knN

n

k wnxa −∞=

∑= )(1N

nk wnxN

a−∞=

∑ )(

)( 0)(1 njkn

ω−∞=

∑ )( 0)( njk

nk enxN

a ω

−∞=∑=


Perlu diingat bahwa ω0 = 2π/N

Perlu diperhatikan bahwa akan mendekatipx(n) untuk nilai N yang semakin tinggi.

Sehingga dapat dinyatakan :

)n(x)n(x~limN

=∞→


N ∞→

Sedangkan bila N ~ maka ω0 0hi kt k tisehingga spektrumnya kontinyu.

n ∞=)( 0)(. njk

nk enxaN ω−

−∞=∑=n ∞=

)(n ∞=

∑ )()(. nj

nk enxaN ω−

−∞=∑=


n ∞

)( ωjXN − )(. ωjk eXaN =

Dengan ω = k.ω0 inilah yang disebutsebagai Transformasi Fourier Waktu Diskritdari x(n).


Kembali ke persamaan sebelumnya :

∑−

=1

)( 0)()(~ Nnjk

k eanx ω∑=0

)()(n

k eanx

∑−

=1

)(0

0)](1[)(~ NnjkekXnx ωω∑

=00 )]([)(

n N


)njkN

0~ ωω∑ )njk0

0n

0 0e)k(X2

)n(x~ ω

=

ωπ

ω=∑

Untuk N ~ maka ω0 0

Sehingga ω0 berubah menjadi suatu elemen frekuensi dω,dengan demikian :

1ωω

π= ∫

π ω2

0

)njk de)(X21)n(x


Jadi pasangan Transformasi Fourier WaktuDi k it (TFWD) d i d l hDiskrit (TFWD) dan inversenya adalahsebagai berikut :

)()()( njn

enxX ωω −∞=

∑= )()(n −∞=∑

π

∫21 ωω

ππ ω∫=

2

0

))(21)( deXnx njk


TFWDTFWD Sinyal SinusoidalSinyal Sinusoidal


nj 0Ae)n(x ω=

∑∞

−∞=

π−ω−ωπδ=ωk

0 )k2(2)(X

( ) )ee(2AncosAnx njnj

000 ω−ω +=ω=

∑∞

−∞=

π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ=ωk

00 )k2()k2()(X


Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa TFWD dari fungsi sinusTFWD dari fungsi sinus

)ee()j2(

AnsinA)n(x njnj0

00 ω−ω −=ω=

Adalah :

)j2(

∑∞

−∞=

π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ−=ωk

00 )k2()k2([j)(X


TFWD sinyal cosinusoidalX(n)

n

π π π ππ π

TFWD sinyal sinusoidal

n-2π 0 2π−ω0 ω0

π ππ

X(n)

n-2π 0

−π

2π

−π−π

−ω0ω0


Sifat sifat TFWDSifat-sifat TFWD

Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi

Telkom251

a. Periodik atau berulang

X(ω+2π)=X(ω)b. Linearitasb. Linearitas

Jika dan[ ] )(X)n(x 11 ω=F [ ] )(X)n(x 22 ω=F

Maka :[ ] 11

[ ] )(Xa)(Xa)n(xa)n(xa 22112211 ω+ω=+F[ ] )()()()( 22112211


c. Pergeseran waktu dan frekuensimaka

Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(Xe)nn(x 0nj0 ω=− ω−F

Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(X)n(xe 0nj 0 ω−ω=ω−F


d. Penskalaan waktu dan frekuensi

Jika [ ] )(X)n(x ω=F

maka

[ ] )(X)n(x ωF

[ ] )k/(X)nk(x ωFmaka [ ] )k/(X)nk(x ω=F

dimana k> 1


e. Differensiasi dan penjumlahan


maka [ ] )(Xe1()1n(x)n(x )j ω−=−− ω−F

Dan

∑∑∞

−∞=ω−

−∞=

π−ωδπ+ω−

=

kj

n

m)k2()0(X)(X

e11)m(xF


f. Differensiasi dalam frekuensi

Jika [ ] )(X)n(x ω=F[ ] )()(

maka [ ])(d)(dXj)n(nx

ωω

=F)(d ω


g.Teorema Parseval


maka

[ ] )()(

∫∑π∞ 2 22 1maka ∫∑

−∞=

ωωπ

=0

2

n

2 d)(X21)n(x


h. Konvolusi

Jika ∑∞

−= )kn(h)k(x)n(y

maka

−∞=k

)(X)(H)(Y ωω=ωmaka )(X)(H)(Y ωω=ω


i. Konvolusi Periodik/Konvolusi sirkular

)n(R)mn(x~)m(x~mnxmx)n(y N2

1N

1

Nk

21 −=⟩−⟨⟩⟨= ∑∑−+

dimana ,

)n(R)mn(x)m(xmnxmx)n(y N20m

11k

21 ⟩⟨⟩⟨ ∑∑=+

k adalah integer, ekspresi <r> adalah r modulo N untuk rinteger sembarang, N adalah perioda( ) ( ) d t t b tx1(n)=x2(n)= deretan terbatas

y(n) adalah respons sistem



BAB #4:BAB #4: T f i ZTransformasi Z


TujuanMemahami sifat sifat Transformasi ZMemahami sifat-sifat Transformasi ZMemahami hubungan antara Transformasi Z denganTransformasi Fourier Waktun Diskrit serta hubungangTransformasi Z dengan Transformasi LaplaceDapat menggunakan Transformasi Z untuk memecahkanpersamaan perbedaan dengan kondisi awalpersamaan perbedaan dengan kondisi awal.


Bila ada deretan x(n) maka TZ[x(n)] didefinisikan sebagai :

TZ 2 sisi∑∞=

−=n

nznTxzX ).()(TZ 2 sisi−∞=n

TZ 1 sisi∑∞=

=

−=n

n

nznTxzX0

).()(


Definisi diperluas :

TZ[h(n)] = H(z) = h(n) z-n∑∞

[ ( )] ( ) ( )

Untuk z = ejω didapat H(ejω)

∑−∞=n

Untuk z = ejω didapat H(ejω)


S hi bil d h( ) d t dihit H( )Sehingga bila ada h(n), dapat dihitung H(z),kemudian z diganti dengan ejω didapatH( jω ) it R F k iH(ejω ) yaitu Respons Frekuensi.

Dengan kata lain, untuk mencari responsfrekuensi dapat dilakukan melalui TZ.p


Daerah KonvergensiDaerah Konvergensi


Daerah Konvergensi merupakan tempat kedudukan (harga-harga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaharga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaberhingga.

a. Diberikan sinyal kausal x(n) = Aαn u(n), |α| >0 maka :

X( ) A ( ) A A A ( / )∑∞

∑∞

∑∞

∑∞

X(z) = Aαn u(n).z-n = Aαn z-n = A αn z = A (α/z)n

X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|

∑−∞=n ∑

=0n∑

=0n∑

=0n

X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|Sehingga X(z) = , |z| > |α| dengan daerah konvergensidi setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari α.

11 −− zAα

di setiap titik di luar lingkaran dengan jari jari α.


b. Diberikan sinyal antikausal x(n) = Aα-n u(-n), |α| >0 maka :

X(z) = Aα-n u(-n).z-n = Aα-n z-n = A α-n z-n = A (α.z)n∑∞

−∞=n∑

∞

=0n∑

∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

X(z) akan berhingga bila (αz) < 1 atau |z| < |1/α|Sehingga X(z) = , |z| < |1/α| dengan daerah konvergensiA

1disetiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari 1/α.

zα−1


DeretanDeretan dalam Waktu Terbatasdalam Waktu Terbatas


Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,N2] dengan N1< N2 dan N1,N2 terbatas, maka :maka :

X(z) = x(n).z∑=

2

1

N

Nn

X(z) konvergen di setiap titik pada bidang z dengankemungkinan pengecualian di z = 0 atau z = ~.

( 3) 2 ( 2) 5 ( 1) 3 (0) 0 (1) 4 (2) 2 (3)x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3)= -4, x(4) = -2

23

4

2

x(n)

0-1

-2

-3 1 2

3 4

5-4

-2


-5

4321123 2424352)( −−−− −−+++−= zzzzzzzzX 2424352)( +++ zzzzzzzzX

Terlihat bahwa bila ada z berpangkatitif k tid k b l k kpositif, maka z = ~ tidak berlaku karena

hasilnya tak terhingga. Begitu pula bila adab k t ti k 0 tid kz berpangkat negative maka z = 0 tidak

berlaku karena hasilnya juga tak terhingga.


Bila deretan dengan waktu terbatas adalahRespons Impuls h(n) dari suatu sistem linear danRespons Impuls h(n) dari suatu sistem linear dantak berubah terhadap waktu maka sistem tersebutdisebut dengan “SISTEM RESPONS IMULSgTERBATAS” (RIT) atau FINITE IMPULSERESPONSE SYSTEM (FIR SYSTEM).

Bila N1 = -~ dan/ N2 = ~ maka sistemnya disebutdengan “SISTEM RESPONS IMULS TAKTERBATAS” atau INFINITE IMPULSERESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM)RESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM).


Deretan KausalDeretan Kausal


Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,~] dengan N1 ≥ 0 , maka :

X(z) = x(n).z-n∑∞

= 1Nn

Contoh : Diberikan sinyal x(n) = an u(n)

X(z) = , |z| > |α|11

1−− az

X(z) konvergen di setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari a. Bila a < |1|, maka sistem stabil.


Deretan tidak KausalDeretan tidak Kausal


Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, N1] dengan N1 <0 , maka :

X(z) = x(n).z-n∑−∞=

1N

n

Contoh : Diberikan sinyal x(n) = - bn u(-n-1)

X(z) = -bn.z - n = -b-n.z n = - b-n.z n = 1 - b-n.z n∑−

−∞=

1

n∑

∞

=1n∑

∞

=1n

∑∞

=0n

= 1 - (b-1.z) n∑∞

=0n


X(z) akan konvergen bila |b-1.z| < 1.

X(z) = 1 - = , |z| < |b|zb 111

−− bzz−

X(z) konvergen di setiap titik di dalam lingkaran dengan jari-jari b.


Deretan Dua SisiDeretan Dua Sisi


Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, ~], maka :

X(z) = x (n) z-n = x(n). z-n + x(n). z-n∑∞

−∞=n∑

∞

=0n∑−

−∞=

1

n

Contoh :Diberikan sinyal x(n) = an u(n)

b ( 1) | | |b|= - bn u(-n-1) , |a| < |b|

X(z) = + = dengan ROC |a| < |z| < |b|z z 2( bazz −−X(z) = + = , dengan ROC |a| < |z| < |b|az − bz − ))(( bzaz −−


TZTZ Beberapa SinyalBeberapa Sinyal


a.Sinyal impuls

=

=ainnyaln00n 1,

(n)δ

X ( ) ( ) n 1

ainnyaln 0,

∑∞

X (z) = x(n) z-n = 1∑=0n


b. Deretan konstan∞== ,,.........2,1,0,)( nAnx

X(z) = z-n = A( 1 + z-1 + z-2 + …)∑∞

=0)(

nnx

= , |z| > |1|A , | | | |11 −− z


c. Deretan eksponensialnrAnx )( u(n)

X (z) = A rn z-n = A (r z-1 )n = = , >

rAnx .)( =∑

∞

=0n∑

∞

=0n

11 −− rzA

rzAZ− z r

d. Deretan sinusoidal/cosinusoidal Diberikan sinyal cosinusoidal nAnx βcos.)( =Diberikan sinyal cosinusoidal

X(z) = TZ TZ [ ]nA βcos

+

−

22

njnj AeAe ββ

X(z) = (A/2)

− βjezz

−+ − βjez

z

−+− − ββ jj ezezAz=


+−−

+− 12 2 ββ jj zezezezezAz

=

+−

−1cos2

cos222 2 β

βzz

zAz

= , > 1]1cos2

cos[2 +−

−ββ

zzzAz z

Im[z]lingkaransatuan

β

n Re[z]


Diberikan sinyal sinusoidalX(z) =TZ [A sin ] = TZnβ

−AeAe njnj ββX(z) =TZ [A.sin ] = TZ

=

nβ

−

je

je

22

− ββ jj

zzA

= ; > 1

−− − ββ jj ezezj2

1cos2sin

2 +− ββ

zzAz z1cos2 +βzz

Im[z]lingkaransatuan

n Re[z]

β


Sifat-sifat TZSifat sifat TZ


Linearitas(1)Bila deretan x(n) = αx1(n) + βx2(n), dengan α dan β konstan,

maka :maka :

X(z) = TZ [ ])()( 21 nxnx βα +( )

)()(

).().(

21

20

10

zXzX

znxznx n

n

n

n

βα

βα

+=

+= −∞

=

−∞

=∑∑

dengan X1(z) = TZ[x1(n)] , ROC R1 -< < R1+;

X ( ) TZ[ ( )] ROC R < <R d

)()( 21 β

zX2(z) =TZ[x2(n)] , ROC R2 -< <R2+ dan X(z) = Z [x(n)],

z


Linearitas(2)Maka TZ[αx1(n) + βx2(n)] dengan ROC dari hasil TZ ini

diberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z)diberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z).ROC : max [R1 - ; R2-] < < min [R1+ ; R2+]z


Pergeseran Deretan(1)Diberikan xk(n) = x(n-k) adalah deretan x(n) yang tergeser

sebesar k cuplikan dan bilasebesar k cuplikan dan bilaTZ[x(n)] = X(z) maka :TZ[x(n-k)] = Xk(z)[ ( )] k( )

= xk(n) z-n = x(n-k) z-n∑∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

Sebut n-k = m maka Xk(z) = x(m)z-(m+k)=z-k x(m) z-m∑∞

−∞=n∑

∞

−∞=n

= z-k X(z)


Pergeseran Deretan(2)Bila TZ[x(n)] = X(z) , Rx -< < Rx+;

Maka :z

Maka :TZ[x(n-k)] = z-k X(z), Rx -< < Rx+;

Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n-k) adalahz

Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n k) adalahsama , dengan kemungkinan pengecualian di z = 0 dan z= ~.


Perkalian n (diferensiasi)-1Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka :

TZ [ ] )()( zXdzdznnx −=

Bentuk umum : [ ] m

mmm

dzzxdznxn )()()( −=

Bukti TZ [ ] ∑∑∞

=

−−∞

=

− ==0

1

0)()()(

n

n

n

n znnxzznnxnnx

∑∑∞

−∞

−−

== 1 )())(( nn zdznxzznnxz ∑∑

==

−==00

).().)((nn

zdzznxzznnxz

)().( zXddzznx

ddz n −=

−= ∑

∞−


0 dzdz n

∑

=

Perkalian dengan rn

Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka : TZ [ ] )()(rzXnxr n =

Bukti :

[ ] )().().()(00 r

zXrznxznxrnxr

n

n

n

nnn ∑∑∞

=

−∞

=

− =

==


Penjumlahan Konvolusi(1)Jika X (z) =TZ [x (n)] , ROC R1- < < R1+;

X (z)=TZ[ x (n)] ROC R < < RzzX (z)=TZ[ x (n)] , ROC R2 -< < R2+,

Maka :X1(z) X2(z) = TZ Bukti :

z

−∑

∞

=021 )().(

kknxkx

Bukti :

TZ n

n kkzknxkxknxkx −

∞

=

∞

=

∞

=∑ ∑∑

−=

− .)().()().(

0 021

021

,).()(0 0

21 knmzmxkxk n

km −== ∑ ∑∞

=

∞

=

−−

[ ] [ ])().(

,).()(

21

0 021

zXzX

zmxzkxk n

mk

=

= ∑ ∑∞

=

∞

=

−−


Penjumlahan Konvolusi(2)Contoh :x(n) = u(n) maka X(z) = z-n = |z| > |1|1∑

∞

x(n) = u(n), maka X(z) = z n = , |z| > |1|

h(n) = an u(n), maka H(z) = anz-n = , |z| > |a|, dengan

11 −− z∑=0n

∑∞ 1h(n) a u(n), maka H(z) a z , |z| |a|, dengan

a < 1, maka :∑

=0n 11 −− az

1 2zY(z) = X(z).H(z) = . = , |z| > |1|11

1−− z 11

1−− az

−− ))(( bzaz

z


Teorema Nilai Awal (1)

Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :

)(lim)0( zXxz ∞→

=

Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk

z ∞→

Penerapan utama dari sifat ini adalah untukmenentukan nilai awal x(0) secaralangsung dari X(z) tanpa melakukanlangsung dari X(z), tanpa melakukanevaluasi inverse TZ.


Teorema Nilai Awal (2)

Buktinya diberikan seperti berikut ini :Dari persamaan definisi TZSS,

X(z) = x(0) + x(1). z-1 + x(2).z-2 + x(3).z-3 + ....

Bila z , maka seluruh suku akan menjadit k il k li k t H l i isangat kecil, kecuali suku pertama. Hal ini

membuktikan persamaan nilai awal di atas.


Teorema Nilai Akhir(1)Jika TZ [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam

lingkaran satuan dengan pengecualian yang mungkin darilingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin daripole yang sederhana pada z = 1, maka nilai x(n) pada ndiberikan oleh :li x(n)=

Bukti :

xn→lim lim

z→1zz

X z−

1( )

Bukti :Dengan mempertimbangkan TZ , Dari sifat

pergeseran maka dapat dituliskan :)]()1([ nxnx −+

p g pTZ )]()1([ nxnx −+ )()]0()([ zXzxzzX −−=

nk

znxnx −−+= ∑ )]()1([lim


nkznxnx

=∞→

+∑ )]()1([lim0

Teorema Nilai Akhir(2)Hal ini dapat disusun kembali sebagai :

dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :

nk

nkznxnxxzXz −

=∞→

−+=−− ∑ )]()1([lim)0()()1(0

dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :

...)]1()[...)]1()2([)]0()1([)0()()1(1

kxXkxxxxxzXzimlz→

+−−++−+−+=−

)(lim kxk ∞→

=


PenskalaanBila TZ[x(n)] = X(z) maka

TZ[αn x(n)] = αn x(n) z-n = x(n) (z/α)-n∑∞

=0n∑

∞

=0n

= G(z/α)Dengan cara yang sama :

TZ[ x(n)] = G(z )nje 0ω0ωje−


LatihanCarilah hasil TZ dan daerah konvergensi dari sinyal :

x(n) = [3(4/5)n (2/3)2n] u(n)x(n) = [3(4/5)n – (2/3)2n] u(n)x(n) = 2n u(n) + 3n u(-n)


Inverse Transformasi ZInverse Transformasi Z


Tujuan dari Inverse Transformasi Z adalahb lik d i k f k i ( )mengembalikan dari kawasan frekuensi (z)

ke kawasan waktu (n). Ada beberapat d I T f i Z t l imetode Inverse Transformasi Z, antara lain

:


Metode Penyesuaian Koefisien

Jika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0 1 2∑∞

−nJika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0,1,2,…

Contoh :

∑=0n

nnza

Contoh :X (z) =

lakukan pembagian :464

5323

2

++−−zzzzz

x (z) = 0z0 +3z-1 +7z-2 + …↑ ↑ ↑a0 a1 a2

x(0) x(1) x(2)↑ ↑ ↑

x(0) x(1) x(2)


Metode Deret TaylorMerefer pada suatu bilangan komplek c dimana |c| < 1.

= c−1

1∑

∞

=0n

nc0n


Metode Ekspansi ParsiilMetode ini merupakan metode yang paling popular, karena

cukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangcukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangsederhana.

N )(iaX(z) =

(i) (i)

∑=

N

i 11)(1

)(−− zip

ia

)(iaa(i) pn(i)

Maka x(n) = a(i) pn(i) n ≥ 0

1)(1)(

−− zip

∑N

Maka x(n) = a(i) pn(i) , n ≥ 0= 0 , n < 0

∑=i 1


PE-2533 Sinyal & SistemSinyal & Sistem

BAB #5:BAB #5: TRANSFORMASI LAPLACETRANSFORMASI LAPLACE


Tujuan

Memahami sifat-sifat Transformasi laplaceMemahami hubungan antara TransformasiLaplace dengan Transformasi FourierMemahami Transformasi Laplace untukmemecahkan persamaan diferensialpdengan kondisi awal


Pendahuluan

Pada analisis transien, rangkaian selaludih d k d bil k l kdihadapkan dengan bilangan kompleks σ +jΩ. Sedangkan Transformasi Fourier WaktuK ti (TFWK) h b k j d lKontinyu (TFWK) hanya bekerja dalamdaerah σ.


Pendahuluan (cont’)

Transformasi Laplace, seperti halnya TFWKt f ik i l diyang mentransformasikan sinyal di

kawasan waktu ke kawasan frekuensi(d l f k i k l k )(dalam frekuensi kompleks).


Daerah KonvergensiDaerah Konvergensi


Diberikan fungsi kausal : g1(t) = A.eαt u(t), α>0


Transformasi Laplace dari g1(t) adalah :


Konvergen bila (α-σ) negative, sehingga σ> α.Jika σ> α e(α-σ)t mendekati 0 untuk t ~Jika σ> α e(α σ)t mendekati 0, untuk t ~.Daerah σ> α disebut Daerah KonvergensiJadiJadi


Diberikan fungsi anti kausal : g2(t) = A.e-αtu(-t) = g1(-t) , α>0

Konvergen bila σ<-α


TZ nya adalah :


Transformasi LaplaceTransformasi Laplace BilateralBilateral


TLB diturunkan dari TFWK :

∫∞

∞−

Ω−=Ω dtetxX tj)()(

∫∞

∞−

Ω ΩΩ= deXtx tj)(21)(π

Definisikan suatu fungsi y(t) = e-σt x(t) , dengan e-σt adalahfaktor konvergensi.

M k TFWK d i (t)Maka TFWK dari y(t) :∼ ∼

Y(Ω) = ∫ e-σt x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(σ+jΩ)t dtY(Ω) = ∫ e x(t) e j dt = ∫ x(t) e ( j ) dt-∼ -∼


= X(σ+jΩ)∼

Jadi X(σ+jΩ)= ∫ x(t) e-(σ+jΩ)t dt-∼

= X(σ+jΩ)∼

x(t) = (1/2Π) ∫ X(σ+jΩ) e-(σ+jΩ)t dΩ-∼

Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = σ+jΩ sehinggads = jdΩ dan dΩ = ds/j.


Pasangan TLB :∼

X(s) = ∫ x(t) e-st dt -∼

∼X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds

-∼Notasi : X(s) = ₤ [x(t)]

X(t) = ₤-1[X(s)]


Konvergensi TLB : terintegrasi secara mutlak .

∼ 0 ∼∫ x(t) e-σt dt = ∫ x(t) e-σt dt + ∫x(t) e-σt dt < ∼∫ x(t) e dt ∫ x(t) e dt ∫x(t) e dt <

-∼ -∼ 0

Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila :

∼X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas

-∼


Maka X(s) dijamin ada bila :Maka X(s) dijamin ada bila :

∼ ∼∫ x(t) e-σt dt = ∫ x(t) e-σt dt terbatas

-∼ -∼


Sebagai contoh :

x(t) = A. eαt , untuk t > 0= A. eβt, untuk t < 0 , dimana A, α, β adalah bilangan riil. A. e , untuk t < 0 , dimana A, α, β adalah bilangan riil.

Maka : konvergen untuk α < σ < β


Transformasi Laplace Satu Sisi


Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :∼

X(s) = ∫ x(t) e-st dt 00

σ+jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds

σ-jΩ


Konvergensi TLSS jika :

lim e-σt x(t) = 0s→ ∼s


Transformasi LaplaceTransformasi Laplace beberapa Sinyalp y


Sinyal Impuls δ(t)∼

₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e st dt 0

Ingat : δ(t) = 1 , t = 0Ingat : δ(t) 1 , t 0= 0 , t lainnya

Begitu pula e-st δ(t)= 1 , t = 0= 0 , t lainnya

∼₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt

00


Sinyal Langkah Satuan u(t)∼

₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt₤[u(t)] = ∫ u(t) e st dt 0

Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0Ingat : u(t) 1 , t ≥ 0= 0 , t < 0

Sehingga : ∼ ∼

₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e-∼ - e0]0 0

₤[u(t)] = 1/s₤[u(t)] = 1/s


Sinyal Ramp t.u(t)∼

₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt [ ( )] ∫ ( )0

Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = t Sehingga : ∼

₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt 0

Ingat : ∼∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)

0Untuk a > 0 dan n > 0

₤[t u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2


Sinyal Ramp t.u(t)Dengan cara yang sama :

∼ ∼₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt

0 00 0

₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)

₤[tn 1 (t)/( 1)!] 1/ n₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn


Sinyal Eksponensial(1)Bila f(t) = u(t) → F(s) = 1/s ,maka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)

Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)

Begitu pula untuk sinyal berikut ini :

₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)= 1/s - 1/(s+a)

₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]


Sinyal Eksponensial(2)Dengan cara yang sama :

₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2

Dan

₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n


Sinyal Sinusoidal&Cosinusoidal₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]

= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] ₤ [e-jΩt u(t)]= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e jΩt u(t)]= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]

₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)

Dengan cara yang sama :

₤[ Ωt (t)] /( 2 Ω2)₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2₤[ e cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a) + Ω


Sifat sifatSifat-sifat Transformasi LaplaceTransformasi Laplace


Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x1(t)] X1(s)₤[x2(t)] = X2(s)

maka :


Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)

Contoh :₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-₤[cos Ωt] ₤ [0,5 e 0,5 e ] 0,5 ₤ [e ] 0,5 ₤ [e

jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)

₤[ i Ωt] ₤ [0 5 jΩt 0 5 jΩt] 0 5 ₤ [ jΩt] 0 5 ₤ [ jΩt]₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)= Ω /(s + Ω )


Pergeseran Waktu(1)Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e-sτ X(s) , τ > 0

(Buktikan)(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :

x(t) X(s)

δ(t-τ) e-sτ

u(t-τ) e-sτ (1/s)

(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)

(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)

e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]


Pergeseran Waktu(2)Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam

kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakankawasan frekuensi pada tabel di atas merupakanpasangan transformasi Laplace. Sehingga bila diketahuidalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicarii l d l k kt l b l dib hsinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas

Invers Transformasi Laplace.


Pergeseran FrekuensiBila y(t) = x(t) e-αt maka ₤[y(t)] = Y(s) = X(s+α) dimana X(s) = ₤[x(t)]dimana X(s) = ₤[x(t)]

Begitu pula :Begitu pula :

₤[ e-αt cos Ωt u(t)] = (s+α)/[(s+α)2 + Ω2]

Juga :₤[ e-αt sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+α)2 + Ω2]


Penskalaan

₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)[ ( )] ( ) ( )


Diferensiasi Waktu∼

₤[dx(t)/dt] = ∫ dx(t)/dt e-st dt ambil u = e-st dan dv = dx(t)₤[dx(t)/dt] = ∫ dx(t)/dt. e st dt,ambil u = e st dan dv = dx(t) 0

Ambil u = e-st dan dv = dx(t)Ambil u e dan dv dx(t) b b b∫u dv = uv - ∫ v.du , du = -s e-st dt dan v = x(t) a a a

∼ ∼ ∫₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt

0 0₤[dx(t)/dt] = s X(s) x(0-)₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)


Integrasi Waktut

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/sJika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s0

t ∼ tt tIngat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt

0 0 0t

Ambil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt0

dv = e-st dt v = (1/s) e-stdv = e-st dt → v = -(1/s) e-st


PeriodisitasBila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal

periode pertama dari x (t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)] X1(s) maka :

₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s)

dengan T adalah periodeH l i i d t l bih dij l k b i b ik tHal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....Dengan f (t) adalah sinyal periode pertamaDengan f1(t) adalah sinyal periode pertama

f2(t) adalah sinyal periode keduadan seterusnya.dan seterusnya.


PeriodisitasSehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :f(t) = f (t) + f (t) + f (t) +f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + .....

= f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T) + ....F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + ....F(s) F1(s) F1(s) e F1(s) e ....

= F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....]= [1/(1-e-Ts)] F1(s)


Teorema Nilai Awal∼∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) x(0)∫[(dx(t)/dt] e st dt = s X(s) – x(0)0

∼s → ∼ : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0)

0 s →∼= limit [s X(s)] – x(0)

s→ ∼

x(0) = limit x(t) = limit s X(s)t→ 0 s→∼t→ 0 s→∼


Teorema Nilai Akhir∼∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) x(0)∫[(dx(t)/dt] e st dt = s X(s) – x(0)

0∼ ∼

limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dts→0 0 0 t→∼

= limit [x(t) – x(0)]t→∼

limit x(t) = limit s X(s)t→∼ s→0


Perkalian dengan t

Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/dsDan secara umum dapat dituliskan sebagai :

₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds


Pembagian dengan t

∼∫Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds0


TransformasiTransformasi RangkaianRangkaian


Transformasi Sumber Ideal(1)Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :

V(s)= ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]

Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.


Transformasi Sumber Ideal(2)Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen

k tak berdimensi k tak berdimensik tak berdimensi k tak berdimensi


Transformasi Sumber Ideal(3)Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen

k dalam ohm k dalam ohm (Siemens)k dalam ohm k dalam ohm (Siemens)


TransformasiTransformasi Elemen Pasif LinearElemen Pasif Linear


Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminalterhadap arus yang mengalor disebut IMPEDANSI Zterhadap arus yang mengalor disebut IMPEDANSI Z.

Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengang p gADMITANSI Y.

D l d i dit li kDalam domain s dituliskan :Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω)Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)


Transformasi Resistor(1)Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :

R = v(t)/i(t)R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)i(t) (1/R). v(t) G. v(t)

Setelah ditransformasi Laplace :V(s)= R. I(s)I(s) = G. V(s)

Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)


Transformasi Resistor(2)Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi

(model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan(model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkanpada gambar berikut :

a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi


Transformasi Kapasitor(1)

t

v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t )v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)

t0

i(t) = C. d v(t)/dti(t) C. d v(t)/dt

Transformasi Laplace :V(s)= I(s)/(C.s) + v(t0)/sI(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)

Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol,maka V(s)= I(s)/(C.s)I(s) = C s V(s)I(s) = C.s.V(s)


Transformasi Kapasitor(2)Sehingga dapat dituliskan :

Z (s) = 1/(C s) (Ω)Zc(s) = 1/(C.s) (Ω)Yc(s) = C.s (S)

a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor c). Model Paralel Kapasitorc). Model Paralel Kapasitor


ContohTentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5

mikro farad dengan tegangan awal 5 voltmikro farad dengan tegangan awal 5 volt.Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagaig g

berikut :


Impedansinya sebesar :

Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s =5/s V.sec

Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :


Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S),diparalel dengan sumber arus C v(0) = (2 5 x 10-6 F) (5V) =diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10 6 F).(5V) =

12,5 mikro Ampere.secSehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :gg p g p g


Transformasi Induktor(1)t

i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t )i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0) to

v(t) = L. d i(t)/dtv(t) L. d i(t)/dt

Setelah ditransformasi Laplace :I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s V(s)= L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)

Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)


Transformasi Induktor-2

a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktorc). Model Seri Induktor)


ContohTentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH

dengan arus awal 0 3 Adengan arus awal 0,3 A.Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagaig g

berikut :


Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L s) = 1/(20 10-3 s) = 50/sAdmitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10 3.s) = 50/s

(S)Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsecg g y ( ) ( )( )Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A secSehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan

b i b ik tsebagai berikut :


Contoh Soal Aplikasi 1(1)Diberikan rangkaian sebagai berikut :

Buat rangkaian transformasinya!!!!Solusi :Untuk t < 0


Contoh Soal Aplikasi 1(2)

Untuk t ≥ 0Untuk t ≥ 0


Contoh Soal Aplikasi 2(1)Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :

Solusi :Untuk t < 0

iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA


Contoh Soal Aplikasi 2(2)

Untuk t ≥ 0


Contoh Soal Aplikasi 2(3)VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V secZ (s) = 1200 + 0 02 s + 50 = 0 02 [s + 62 5 103 ] ΩZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] ΩIL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s +

62,5 .103 ) A .sec)iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 .

103)] A[250/(62 5 103)] [1 62 5 103t] (t) 0 02= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-

62,5 . 103t u(t) = [4 10-3 + 16 10-3 exp-62 5 103] u(t) [4. 10 16. 10 exp 62,5 . 10 ] u(t)


Contoh Soal Aplikasi 2-4


Latihan-1Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini :


Latihan-2Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :


Inverse Transformasi LaplaceInverse Transformasi Laplace Satu Sisi(ITLSS)


Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktuke kawasan waktu

X(s) → x(t)( ) ( )

σ+jΩx(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds

σ-jΩ

Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihatpasangan TLSS-nya.pasangan TLSS nya.


Sinyal Transformasi Laplace

δ(t) 1

u(t) 1/s

(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1](t e /n !) u(t) 1/[(s a) ]

Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]

Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2]

e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]

e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]

u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - .... (/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-sT0/2)

(SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2

( i ) ( ) 2 / 2 2 2(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2

Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2

e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2


( ) ( ) [( ) ]

Lebih mudah diselesaikan dengan carat khi d lih tterakhir dengan melihat :Bentuk polynomial X(s) = N(s)/D(s)Pasangan TransformasinyaBentuk X(s) = N(s)/D(s) dalam ekspansiBentuk X(s) N(s)/D(s) dalam ekspansiparsiil


a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)Contoh :Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)Bentuk ekspansi parsiil :

X( ) (2 1)/[ ( 4)( 1)] A/ B/( 4) C/( 1)X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]

(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]Maka : A+B+C = 0

3A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0 254A 1→ A 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C 3/5 0 6 d B 0 35C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35


X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)y(t) = [ 0 25 0 35 e-4t + 0 6 et] u(t)y(t) = [-0,25 – 0,35 e 4t + 0,6 et] u(t)

b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple poleb). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple poleX(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+

An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak

/(s-pk) +...+ (s-pk) An/(s-pn)Maka :Maka :

Ak = (s-pk) X(s) s=pks pk


Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) =Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s 1) =

(2s+1)/[s(s+4)(s-1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25

s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35

s=-4 s=-4s 4 s 4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6

s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [ 0 25 0 35 e-4t + 0 6 et] u(t)x(t) = [-0,25 – 0,35 e 4t + 0,6 et] u(t)


c). Akar D(s) multiple pole-simple

X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s)

s=pi

Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)]s=pis pi

Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)]s=pi

..

Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]s=pi


X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1 1/(s-1) + A1 2/(s-1)2A1,1/(s 1) + A1,2/(s 1)

Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1

s=1 s=1

A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)]= [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 1 1s=1 s=1

= [(-1)1 – (-1)]/1 = 0


A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2s=2 s=2s=2 s=2

Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2Jadi X(s) 2/(s 2) 1/(s 1)

x(t) = [2e2t + t et] u(t)


d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple polepole

Contoh :X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2 + 32] + 1/[(s+2)2 + 32]

x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)


e). D(s) kompleks konjugate multiple poleContoh :Contoh :X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4X( ) A/ B/( 2) (C jD)/( 3 j4) (C jD)/( 3 j4) (E jF)/( 3 j4)2 (EX(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-

jF)/(s+3-j4)2

Dimana :A = s. X(s) = 3 E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3

s=0 s= 13-j4j

B = (s+2) X(s) = -2 C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3s= 2 s= 3 j4s=-2 s= -3-j4


Dimana :A = s X(s) = 3A = s. X(s) = 3

s=0B = (s+2) X(s) = -2B (s 2) X(s) 2

s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3

s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3

s=-3-j4


Jadi :X(s) = 3/s 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2 j3)/(s+3X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-

j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2

x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t)=[3 2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)=[3-2e 2t+e 3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te 3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)


f). Metode GrafisUntuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan caraUntuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara

menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-( ) ( ) ( ) [( 1)( 2) ( m)] [(

p1)(s-p2)....(s-pn)]Nilai dari X(s) di s=s1 :X( ) k ( k li j k l ti k )/X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/

(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)


Evaluasi pole pk dari X(s)A = (s p ) X(s)Ak = (s-pk) X(s)

s=pk

Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalianAk k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap pole ke pk)

Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)


Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2 j , g j

(letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :

C-jD = 12 (√13 ∠33,7o)( 2∠90o)/[( 4∠90o)( √5∠153,4o)( √5∠26,6o)]j (√ , )( ) [( )( √ , )( √ , )]= 4,32∠-146,3o

= -3,6 – j2,4C+jD = 3 6 + j 2 4C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6

√ √B = [(12) (1∠180o ) (2)]/[(2∠180o )(√5) (√5)] = 2,4


Jadi :

X(s) = 4,6/s + 2,4/(s+2) + (-3,6 + ( ) , , ( ) ( ,j2,4)/(s+1+j2) + (-3,6-j2,4)/(s+1-j2)

x(t) = [4,6 + 2,4 e-2t + (-3,6 + j2,4) e-(1+j2)t + (-

3 6 j 2 4) e(-1+j2)t] u(t)3,6 – j 2,4) e( 1+j2)t] u(t)


Aplikasi TransformasiAplikasi Transformasi LaplaceLaplace


Solusi Pers Diferensial(1)Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) sn-1 x(0) sn-2 dx(0)/dtBentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn 1 x(0) – sn 2 dx(0)/dt -

......- dn-1(0)/dtn-1

Contoh :Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.a s o as ap ace a edua s s da d asu a o d s a as2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s

X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1)X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1)A = s X(s) = 2/3

s=0


Solusi Pers Diferensial(2)

B = (s+3) X(s) = 7/6B = (s+3) X(s) = -7/6s=-3

C = (s+1) X(s) = 5/2s=-1

X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1)x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)


Respons Impuls SistemContoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikutCari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut

ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0

Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)₤ : sY(s) y(0) + 3Y(s) 2X(s) + s X(s) x(0)

Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) –

1/(s+3)= 1 – 1/(s+3)

h(t) = δ(t) – e-3t u(t)h(t) δ(t) e u(t)


Solusi Lengkap Rangkaian RLCSudah dibahas pada sub bab yang lain secara lengkap.

(sudah dibahas lengkap pada transformasi rangkaian)(sudah dibahas lengkap pada transformasi rangkaian)


Analisis SWK(1)Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah

Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan denganTerhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan denganhubungan Input dan Output sebagai berikut :

anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)Respons sistem y(t) = x(t) * h(t)Transformasi Laplace : [ansn +an-1sn-1 +…+ a0] Y(s) = [b0+b s + b sm] X(s)+b1s ….+ bmsm] X(s)Fungsi Transfer Sistem :

H(s) = Y(s)/X(s) = [b0 +b1s ….+ bmsm] / [ansn +an-1sn-1 +…+ a0]( ) ( ) ( ) [ 0 1 m ] [ n n 1 0]h(t) = ₤-1[H(s)]


Analisis SWK(2)Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s)

y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)]

Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)Stabilitas Sistem SWK : H(s) N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :

a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutrak terintegrasic). Limit h(t) = 0

t→∼d). Akar riil D(s) < 0e) Letak pole di sebelah kiri sumbu imajinere). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner


PE 2 33PE-2533 Sinyal & SistemSinyal & Sistem

BAB #6:BAB #6: PENGENALAN FILTER


Tujuan

Mengenal jenis filter analog dan filter dijital. Mengenal karakteristik filter analog maupun filter dijital.Mengetahui kelebihan dan kekurangan masing-masing filter.g g


Filter Analog

Filter analog yang sering digunakan sebagai C t t filt Dijit l R I lCounterpart filter Dijital Respons Impuls Tak Terbatas adalah :Filter ButterworthFilter ChebyshevyFilter Ellyptic


Gambar 6.1. Respons Frekuensi Filter(a) Butterworth (b) Chebyshev tipe-I (c) Chebyshev tipe-II (d) Elliptic(a) Butterworth (b) Chebyshev tipe-I (c) Chebyshev tipe-II (d) Elliptic


Filter Analog Butterworth

Filter yang akan kita rancang biasanya adalah filter yang sudah dinormalisasiyang sudah dinormalisasi.

Contoh : LPF dengan Frekuensi Cut Off fco = 1 rad/detrad/det

Filter frekuensi kendali (normalisasi)Filter frekuensi kendali (normalisasi).Respons Magnitude Squared :

|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n]


Filter Analog Butterworth (cont’)

Dengan Ω = frekuensi cut off (1 rad/s)n = derajad filter

H(s).H(-s) = 1/[1+(-s2)]n



Tempat kedudukan pole-pole filter Butterworth(a). n ganjil (b). n genap ( ) g j ( ) g p


Filter Analog Butterworth (cont’)Fungsi transfer Filter Butterworth dapat dituliskan :

nnH(s) = k0/[ Π (s-sk)]

k=1

dimana sk adalah pole-pole filter Butterworth

sk = exp [jπ(0,5 + (2k-1)/2n] dengan k = 1, 2, …, n


Filter Analog Butterworth (cont’)Fungsi Transfer Filter Butterworth juga dapat dinyatakan :

H(s) = 1/[ Π (s-sk)] = 1/Bn(s)LHPPoles

Dengan Bn(s) adalah polinomial Butterworth.Pole-pole sk dicari dari hubungan sebagai berikut :

Untuk n ganjil : 1 ∟ kπ/n ; k = 0, 1, 2, ..., 2n-1.

Untuk n genap : 1 ∟ π/2n + kπ/n ; k = 0, 1, 2, ..., 2n-1.



Polinomial Butterworth



Polinomial Butterworth (lanjutan)Polinomial Butterworth (lanjutan)


Filter Analog Butterworth (cont’)Sifat Filter Butterworth :

Hanya mempunyai poley p y pPada Ω =1 → H(Ω) = 1/√2 Derajad filter n menentukan karakteristik filter

Bila redaman pada Ωt > 1 (yaitu di daerah stopband) sebesar A db, maka dari hubungan :

|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n], terlihat bahwa H(Ωt ) = 1/A

Sehingga didapat persamaan :

|(1/A)2|= 1/[1 + Ωt2n]|(1/A) | 1/[1 + Ωt ]


Filter Analog Butterworth (cont’)Dari persamaan tersebut, derajad (orde) filter n dapat dicari :

n = log (A2 – 1)/(2 log Ωt)

Kuadrat respons frekuensi untuk berbagai orde filter


Filter Analog Butterworth (cont’)Contoh-contoh :

1). H(s) =k0/(s-s1) Orde-1

s1 = ejπ(0,5+0,5) = ejπ = -1

H(s) = k0/(s+1) pada s =0 maka H(s) = 1 sehingga k0=1

Didapat H(s) = 1/(s+1)


Filter Analog Butterworth (cont’)Contoh :

H(s) =k0/(s-s1) Orde-1

s1 = ejπ(0,5+0,5) = ejπ = -1

H(s) = k0/(s+1) pada s =0 maka H(s) = 1 sehingga k0=1

Didapat H(s) = 1/(s+1)


Filter Analog Butterworth (cont’)Latihan : Diberikan LPF Butterworth dengan redaman pada Ωt > 3 rad/detik g p

sebesar 30 dbBerapakah orde filter tersebut?Carilah pole-pole filter tersebutCarilah pole pole filter tersebut.Carilah fungsi transfer filter tersebut.



Gain Filter Butterworth untuk berbagai orde ng


Filter Analog Chebyshev

Tipe I : Hanya mempunyai polep y p y p

Response Magnitude Squared :Response Magnitude Squared :

Hn(jΩ)2 = 1/ [1 + ε2Tn2(Ω)] n(j ) [ n ( )]


Filter Analog Chebyshev (cont’)

n ganjil n genapKuadrat Respon Magnitude dari Filter Che Byshev type I untuk orde n ganjil dan n genapKuadrat Respon Magnitude dari Filter Che Byshev type I untuk orde n ganjil dan n genap

Pada Ω = 1 → H(1)2 = 1/(1 +ε2)Ω = Ωr→ H(Ωr)2 = 1/A2



(a). plot dari polinomial Chebyshev orde 5 yaitu T5(Ω)(b). plot kuadrat respons magnitudenya |H5(jΩ)|2( ) p p g y | 5(j )|


Filter Analog Chebyshev (cont’)Pole=pole dari Hn(s). Hn(-s) didapat dengan menentukan

akar-akar dari persamaan :akar akar dari persamaan :

1 + ε2 Tn2(s/j) = 0n ( j)

T t k d d k l l Filt Ch b h d l hTempat kedudukan pole-pole Filter Chebyshev adalahsebagai berikut :

Bila sk = σk + j Ωk dengan k = 1 2 n maka :Bila sk σk j Ωk dengan k 1, 2, …n, maka :

σk2/sinh Q + Ωk

2/cosh Q = 1k k


Filter Analog Chebyshev (cont’)Dimana :

σk = - sinh Q sin[(2k-1)π/2n] ; Ωk = cosh Q cos [(2k-1)π/2n]

sinh Q = (γ - γ-1)/2; cosh Q = (γ + γ-1)/2

γ = [(1 + √1 +ε2 )/ε]1/n

Tempat kedudukan pole pole filter Chebyshev merupakanTempat kedudukan pole-pole filter Chebyshev merupakan Ellyps.



(a). Tempat kedudukan pole-pole (b). Dari H(s) untuk n=6, ε = 0,7647831



Sifat-sifat Filter Chebyshev :T t k d d k l l did l lliTempat kedudukan pole-pole nya didalam ellipPassband tidak rata (tipe-I)Daerah Transisi curamFasanya terpengaruh ripple jugaAplikasi filter microwave



Sifat filter Chebyshev ditentukan oleh :Derajad filter (n)Faktor ripple (ε)pp ( )Frekuensi daerah stopband (Ωr)Redaman pada stopband (A)Redaman pada stopband (A)



Bila Faktor ripple, Redaman stopband dan frekuensistopband diketahui maka orde (derajad) filterstopband diketahui, maka orde (derajad) filterdapat dicari dengan hubungan :

n = log (g +√ g2 -1)/[log(Ωr + √Ωr2 -1]

Dimana g = √[A2 1)/ε2]Dimana g = √[A2 – 1)/ε2]



Fungsi transfer Filter Chebyshev :D h k l lDengan hanya menggunakan pole-pole yang

terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, makaFungsi transfer filter dapat dituliskan :Fungsi transfer filter dapat dituliskan :

Dimana K adalah konstanta sedemikian sehingga harga H(0)Dimana K adalah konstanta sedemikian sehingga harga H(0)= 1 untuk n ganjil dan H(0) = 1/(1 +ε2)1/2 untuk n genap.



Sedangkan Vn(s) adalah polinomial dalam ssebagai berikut :sebagai berikut :

V ( ) b n 1 b bVn(s) = sn + bn-1 sn-1 +…+ b1s + b0

S hi K t t K d t d d hSehingga Konstanta K dapat dengan mudahditentukan sebagai berikut :

K V (0) b t k jilK = Vn(0) = b0 , untuk n ganjilK = Vn(0) / ( 1 + ε2)1/2 = b0 , untuk n genap



Derajad filter dapat ditentukan dari :


Filter Analog Ellyptic

Respons Magnitude Squared untuk filter Elliptic dapat dituliskan sebagai :dapat dituliskan sebagai :

H (jΩ)2 1/ [1 + 2R 2(Ω)]Hn(jΩ)2 = 1/ [1 + ε2Rn2(Ω)]

Dimana Rn(Ω) adalah fungsi rasional Chebyshev b i f i Ω dit t k d isebagai fungsi Ω yang ditentukan dari

karakterisstik ripple.


Filter Analog Ellyptic (cont’)

Kuadrat Respons Magnitude untuk LPF Ellypticp g yp



Kuadrat Respons magnitude Ternormalisasi



Normalisasi frekuensi pada filter Ellyptic d l hadalah :

[Ω1Ω2]1/2 = 1

Ω1 = [Ω2/Ω1]



Fungsi Transfer Filter Elliptic :



Parameter-paremeter filter Elliptic :εAΩrG1 dan G2



Dengan hubungan :


Filter Dijital

Pemfilteran Dijital :i l d kpemrosesan sinyal dengan menggunakan

program komputer yakni memproses suatu filedari sampel sampel sinyal dan menghasilkandari sampel-sampel sinyal dan menghasilkansuatu file baru dari sampel-sampel terfilter.Sehingga pemfilteran dijital dapatgg p j pdiimplementasikan pada suatu komputer dijital.


Filter Dijital (cont’)

Dewasa ini ada kecenderungan untuki l t ik tmengimplementasikannya secara cepat,

untuk desain khusus dan murah sehinggai dit b hk d t Di it lsering ditambahkan dengan suatu Digital

Sinyal Prosessor (DSR) Chip.


Filter Dijital (cont’)

Deskripsi Filter Dijitalp j

Blok Diagram Pemfilteran DijitalBlok Diagram Pemfilteran Dijital


Keuntungan Filter Dijital

Filter dijital dapat mempunyai karakteristik yang tidak dapat dipenuhi filter analog seperti responstidak dapat dipenuhi filter analog, seperti respons fasa yang benar-benar linear.Performansi filter dijital relatif tak berubah denganPerformansi filter dijital relatif tak berubah dengan perubahan lingkungan seperti variasi temperatur.Cut off daerah transisi dsb di bawah kontrolCut off, daerah transisi dsb di bawah kontrol komputer, sehingga dapat diset “high precission”. Kepresisian ditentukan panjang wordp p j g


Keuntungan Filter Dijital (cont’)

Fleksibilitas tinggi : cut off, daerah transisi dsbdapat bervariasi dengan perubahan kecil padadapat bervariasi dengan perubahan kecil padaprogram.Mudah membangun filter linear fasaMudah membangun filter linear fasaRespons Frekuensi dapat otomatis di “ajust” jikadiimplementasikan menggunakan prosesordiimplementasikan menggunakan prosesorterprogram (kasus Filter adaptif)Dapat memfilter sejumlah inputDapat memfilter sejumlah input


Keuntungan Filter Dijital (cont’)

Data terfilter & data tak terfilter dapat disimpan untuk keperluan yang akan datanguntuk keperluan yang akan datangDengan perkembangan teknologi elektronika, filter dijital dapat dipabrikasi dengan ukuran kecilfilter dijital dapat dipabrikasi dengan ukuran kecil, konsumsi daya rendah, harga murahMudah dalam pengembangan ke filter adaptifMudah dalam pengembangan ke filter adaptif.


Keuntungan Filter Dijital (cont’)Dibanding dengan filter analog, filter dijital lebih banyak aplikasinya, antara lain :

Kompresi Data.Biomedical Signal Processing.Speech ProcessingSpeech Processing.Image Processing.Digital Audio.T l h E h C ll tiTelephone Echo Cancellation.Video Processing.Watermaking.Steganografi.Inverse Filteringdsbdsb


Gambaran Implementasi

Step 1 : Pada sampel sinyal x(n) diterapkanTransformasi Fourier sehingga didapat fungsi diTransformasi Fourier, sehingga didapat fungsi dikawasan frekuensi X(f).Step 2 : Terapkan fungsi “pemberat” H(f)Step 2 : Terapkan fungsi pemberat H(f)pada kawasan frekuensi, sehingga didapatkanX(f) yang terfilter.( ) y gStep 3 : Terapkan Inverse Transformasi Fourieruntuk mendapatkan sinyal y(n).p y y( )


Gambaran Implementasi (cont’)

Implementasi Sederhana Pemfilteran DijitalImplementasi Sederhana Pemfilteran Dijital


Tipe Filter Dijital

Filter Respons Impuls Tak Terbatas (RITT)/I fi it I l R (IIR)/Infinite Impulse Response (IIR) :

~y(n) = ∑ h(k).x(n-k)

k=0Terlihat bahwa Respons Impuls IIR Filter TAK TERBATASSecara Praktis tidak feasibel menghitung output filter IIRdengan persamaan di atas, karena respons impulnyasangat panjang (teori : tak terbatas)


Tipe Filter Dijital (cont’)

Sehingga Filtering IIR diekspresikan dalam bentuk Rekursif sebagai berikut :bentuk Rekursif sebagai berikut :

~y(n) = ∑ h(k) x(n k)y(n) = ∑ h(k).x(n-k)

k=0~ ~

= ∑ ak.x(n-k) - ∑ bk.y(n-k) k=0 k=1

ak dan bk adalah koefisien filter IIR


Tipe Filter Dijital (cont’)

Filter Respons Impulse Terbatas (RIT) / FiniteI l R (FIR)Impulse Response (FIR) :

N-1y(n) = ∑ h(k) x(n-k)y(n) ∑ h(k).x(n k)

k=0


Obyektif Filter FIR & IIRFIR Filter :

Sederhana (+)Sederhana (+)Stabil (+)Hampir selalu berfasa linear (+)Hampir selalu berfasa linear ( )Delay = 0,5 panjang h(n) (-)

IIR Filter :Orde rendah & Delay pendek (+)Sulit membuat fasa linear (-)Ada kemungkinan tak stabil (-)


Pertimbangan Pemilihan

1. Filter FIR dapat secara tepat mempunyaif li i lik i t k drespons fasa linear, implikasinya tak ada

distorsi fasa (Perlu dalam transmisi data,bi di l di it l di i ibiomedical, digital audio, image processingdsb.)

Fasa Filter IIR non linear


Pertimbangan Pemilihan (cont’)

2. Filter FIR direalisasikan non rekursifFilter FIR selalu stabilFilter IIR belum tentu stabil

3 Filter FIR banyak memerlukan koefisien3. Filter FIR banyak memerlukan koefisiendibanding Filter IIR. Kurang ekonomisdalam hal komputasi dan memorydalam hal komputasi dan memorypenyimpanan


Pertimbangan Pemilihan (cont’)

4. Filter analog dapat dengan mudahdit f d l ki l Filt IIRditransform dalam ekivalen Filter IIRmenyesuaikan spesifikasi.

Tak dapat dilakukan pada Filter FIR karenap ptak ada “analoque counterpart” nya

5. Dan sebagainya.


Kompromi (Pedoman Umum)

Penggunaan IIR FilterBil di l k filt d t ffBila diperlukan filter dengan cut off curam,terutama penggunaan karakteristik ellyptic akanmenggunakan koefisien yang lebih kecilmenggunakan koefisien yang lebih kecildibanding filter FIR

Penggunaan FIR FilterBila jumlah koefisien tidak terlalu besar danBila jumlah koefisien tidak terlalu besar dankhusunya bila diperlukan syarat tanpa distorsifasa (distorsi fasa yang kecil)( y g )


Terima KasihTerima Kasih


Documents

Sinyal dan Sistem Telkom