3 sksOleh: Ira Puspasari

Interkoneksi Sistem Konvolusi

Sistem terdiri atas blok-blok yang dihubungkan satu sama lain.

Hubungan yang dimaksud adalah bagaimana sinyal dan informasi mengalir dalam sistem

Terdapat dua percabangan: titik pembagian dan titik penjumlahan

Titik pembagian: sinyal akan mengalir ke beberapa jalur lain, tetapi tidak diketahui besarnya sinyal yang dialirkan

Titik penjumlahan: bagaimana harus menjumlahkan sinyal untuk mendapatkan sinyal yang baru

Disebut juga hubungan bertingkat atau cascade

Keluaran dari blok sebelumnya menjadi inputan blok yang sedang diamati

Sinyal diproses secara berurutan

Sinyal masukan diproses secara bersamaan pada beberapa blok

Hubungan ini selalu menggunakan titik pembagian untuk membagi sinyal ke blok yang membutuhkan

Hubungan ini dapat mempersingkat proses Contoh: pengolahan sinyal digital pada arsitektur

prosesor

Proses dalam sebuah sistem merupakan sesuatu yang tersembunyi

Konvolusi adalah perhitungan matematis untuk melakukan proses dalam sebuah sistem

Konvolusi dilakukan berdasarkan impulse response sistem yang menyatakan karakteristik dari sebuah sistem

Impulse response membawa informasi atau ciri sebuah sistem

Impulse response: sesuatu yang mengkarakterisasi sistem

Sistem LTI menyebut karakteristik sebagai impulse response

Sistem kontrol/pengendalian menyebut karakteristik sebagai transfer function

Inpulse response disimbolkan: h(t); untuk kontinyu atau h(n); untuk diskrit

Secara matematis impulse response dihitung dengan menggunakan fungsi delta (δ)

Representasi sinyal–sinyal waktu diskrit dalam lingkup impuls

1,0

1],1[]1[]1[

n

nxnx

0,0

0],0[][]0[

n

nxnx

1,0

1],1[]1[]1[

n

nxnx

Jumlah dari lima deret x[n] untuk -2≤n≤2, dapat dituliskan:

...]3[]3[]2[]2[]1[]1[

][]0[]1[]1[]2[]2[]3[]3[...][

nxnxnx

nxnxnxnxnx

Dalam bentuk ringkas dapat dituliskan:

k

knkxnx ][][][

Hal ini berkorespondensi dengan representasi deret sembarang sebagai kombinasi linier unit impuls yang digeser δ[n-k] dimana beban dalam kombinasi linier adalah x[k]

Tanggapan y[n] dari sistem linier terhadap masukan x[n] dalam persamaan

k

knnu ][][

Adalah kombinasi linier berbobot dari tanggapan dasarnya

Artinya dengan masukan x[n] pada sistem linier dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

k

knnu ][][

Keluaran y[n] dapat dinyatakan sebagai

k

nhkxny k ][][][ (*)

Jika sistem linier adalah invarian, maka tanggapan unit impuls waktu tergeser ini merupakan semua versi waktu tergeser satu dengan lainnya.

Karena merupakan waktu tergeser Maka tanggapan hk[n] adalah versi ho[n] waktu tergeser, dapat dituliskan:

][ kn ][n

][][ 0 nhnhk

h[n] = keluaran sistem LTI pada saat masukannya

][nUntuk sistem LTI maka persamaan (*) menjadi:

k

knhkxny ][][][ (**)

Persamaan (**) adalah jumlah konvolusi atau jumlah superposisi

Operasi pada sisi kanan merupakan konvolusi dari deretan x[n] dan h[n], konvolusi dituliskan: ][*][][ nhnxny

Langkah-langkah Konvolusi y(n)=x[n]*h[n]

Pencerminan (folding). Cerminkan h[k] pada k=0 untuk memperoleh h[-k]

Pergeseran (Shifting). Geser h[-k] dengan n0 ke kanan (kiri) jika n0positif (negatif) untuk memperoleh h[n0-k]

Perkalian(multiplication).Kalikan x[k] dengan h[n0-k] untuk memperoleh produk vn0[k]=x[k]h[n0-k]

Penjumlahan (summation). Jumlahkan seluruh nilai deret produk vn0[k] untuk memperoleh nilai pada waktu n=n0

k

knhkxny ][][][

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah h[n]={1, 2, 1,-1}

Tentukan respon sistem terhadap sinyal masukan x[n]={1, 2, 3,1}

Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan Dengan 2 cara, yaitu secara grafik dan secara analitik

...}2,3,8,8,4,1,0{...][*][ khkx

Pergeseran n = 0 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 2, 2, 0,0} = 4

Pergeseran n = -1 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 0, 1, 0,0, 0}= 1

Pergeseran n = -2 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 0, 0, 0,0, 0}= 0

Pergeseran n = 1 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 1, 4, 3,0} = 8

Pergeseran n = 2 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 0, -1, 2, 6, 1}= 8

Pergeseran n = 3 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, -2, 3, 2, 0,0, 0}= 3

Pergeseran n = 4 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, -3, 1, 0,0, }= -2

Pergeseran n = 5 & penjumlahanSinyal 1 : x[n]= {1, 2, 3, 1}Sinyal 2 : h[n]= {-1, 1, 2, 1}Product & sum= {0, 0, 0, -1, 0,0, 0}= -1

Konvolusi dapat digunakan pada proses pemfilteran

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah h[n]={2, 1, 3,-1}

Tentukan respon sistem terhadap sinyal masukan x[n]={4, 2, 1,1}

Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan Dengan 2 cara, yaitu secara grafik dan secara analitik

1. Diketahui fungsi sinyal sebagai berikut :

Jika h[n]={1,1,2}, maka tentukan keluaran y[n] !

2. Dari soal no. 1, bila x[n-5], maka tentukan y[n] !

3. Dari soal no. 2, bila h[n]={0,0,2,1,0}, maka tentukan y[n] !

3;0

3;2

30;1

][

n

n

n

nx