Bab 4 Sinyal dan Sistem Di Domain Frekuensiopenstorage.gunadarma.ac.id/handouts/S1-Sistem Komputer... · 2009-02-07 · BAB 4 Sinyal dan Sistem di Domain IV-1 Bab 4: Sinyal dan Sistem

BAB 4 Sinyal dan Sistem di Domain

IV-1

Bab 4: Sinyal dan Sistem di Domain Frekuensi

1 Konsep Spektrum Frekuensi Suatu Sinyal dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen sinusoidal (atau eksponensial kompleks). Dengan dekomposisi semacam itu, sebuah sinyal dikatakan direpresentasikan dalam Domain Frekuensi.

Pada sinyal periodik, dekomposisi menjadi komponen sinusoidal disebut Deret Fourier. Sedangkan pada sinyal aperiodik (finite energy) disebut sebagai Transformasi Fourier. Transformasi Fourier dan Deret Fourier adalah alat matematis yang sangat penting dalam analisis dan desain sistem LTI.

Dengan melakukan analisis frekuensi, kita dapat melihat representasi matematis komponen-komponen frekuensi yang terkandung dalam suatu sinyal. Rangkaian frekuensi yang terkandung dalam sinyal tersebut disebut spectrum.

1.1 Frekuensi Sinyal Kontinue Periodik

Tujuan Belajar 1

Peserta dapat menghitung spektrum (deret Fourier) dari sinyal kontinu yang periodik.

Representasi matematis dasar dari sinyal periodik adalah Deret Fourier, yang merupakan penjumlahan berbobot linear (linear weighted sum) dari sinyal sinusoidal atau eksponensial kompleks.

Kombinasi linear dari eksponensial kompleks harmonis dalam bentuk

∑∞

−∞==

k

tkFjk

oectx π2)( adalah sinyal periodik dengan periode fundamental: o

p TT

1= .

Oleh karena itu, kita dapat berpikir bahwa sinyal eksponensial { tkFj oe π2 k = …, -2, -1, 0, 1, 2, …} adalah “building block” dasar, yang darinya kita dapat mengkonstruksi sinyal periodik dengan berbagai tipe dengan memilih frekuensi fundamental dan koefisen-koenfisien {ck}. Fo menentukan periode fundamental dari x(t) dan koefisien {ck} menentukan bentuk dari gelombang (waveform).

Bila diberikan sinyal periodik x(t) dengan periode Tp. Kita dapat merepresentasikan sinyal tersebut dengan suatu deret yang disebut Deret Fourier, dimana frekuensi fundamental Fo dipilih timbal balik dengan periode Tp. Untuk menentukan ekpresi dari koefisen-koenfisien {ck}, kita pertama-tama harus mengalikan kedua sisi dengan eksponensial kompleks ltFj oe π2− , dimana l adalah integer, dan kemudian mengintegrasikan kedua sisi pada satu periode, dari to ke to+Tp. Akan kita dapatkan :


IV-2

dtecedtetxpo

o

oo

po

o

o

Tt

t k

tkFjk

tlFjTt

t

tlFj ∫ ∑∫+ ∞

−∞=

−+

−

= πππ 222)(

( )( ) ( ) oopoo

o

poopo

o

o

tlkFjTtlkFj

t

Tt

k o

tlkFj

k

Tt

t

tlkFj

kk

ee

lk

lkFje

cdtec

−+−

+∞

−∞=

−+−∞

−∞=

=

≠↓

−= ∑∫∑

ππ

ππ

π

22

)(2)(2

karena

bila 0

)(2

tapi bila k=l

p

Tt

t o

po Tt

Tttdt

po

o

=+

=∫+

Jadi pl

k

Tt

t

tlkFjk Tcdtec

po

o

o =∑ ∫∞

−∞=

+− )(2π

Karena to adalah sembarang, maka integral dapat dievaluasi dalm setiap interval Tp. Konsekuensinya, integral untuk koefisien Deret Fourier dapat ditulis sebagai

∫ −=p

o

T

tkFj

pk dtetx

Tc π2)(

1

Tujuan Belajar 2

Peserta mengerti konvergensi deret Fourier melalui kondisi Dirichlet.

Hal penting yang muncul dalam merepresentasikan sinyal periodik dalam Deret Fourier adalah apakah deret tersebut konvergen untuk x(t) pada setiap nilai t, yaitu bila sinyal

x(t) dan representasi Deret Fourier-nya ∑∞

−∞=k

tkFjk

oec π2 adalah sama untuk setiap nilai t.

Kondisi Dirichlet menjamin bahwa deret tersebut akan sama dengan x(t), kecuali pada nilai t dimana x(t) diskontinyu.

Kondisi Dirichlet adalah :

1. Sinyal x(t) memiliki discontinuitas dalam setiap perioda dalam jumlah yang terbatas.

2. Sinyal x(t) mengandung maxima dan minima dalam suatu perioda dalam jumlah yang terbatas.

3. Sinyal x(t) dapat diintegralkan secara absolut dalam sembarang periode,


IV-3

∫ ∞<pT

dttx |)(|

Sebagai kesimpulan, bila sinyal x(t) adalah periodik dan memenuhi Kondisi Dirichlet, maka sinyal tersebut dapat direpresentasikan sebagai Deret Fourier

∑∞

−∞=

=k

tkFjk

oectx π2)( dimana ∫ −=p

o

T

tkFj

pk dtetx

Tc π2)(

1

Tujuan Belajar 3

Peserta dapat menghitung variant dari deret Fourier dalam bentuk cos dan sin.

Secara umum, Ck adalah bilangan kompleks. Lebih jauh lagi, bila sinyal periodik tersebut adalah, maka Ck dan C-k adalah complex conjugate.

kjkk ecc θ||=

kjkk ecc θ−

− = ||

maka :

( )kk jjkkk eeccc θθ −

− +=+ ||

kkc θcos||2=

Sehingga Deret Fourier dapat direpresentaskan dalam bentuk :

∑∞

=++=

1)2cos(2)(

kkoo tkFctx θπ

dimana co adalah real ketika x(t) adalah real.

Persamaan tersebut dapat jabarkan menjadi :

kokoko tkFtkFtkF θπθπθπ sin2sincos2cos)2cos( −=+

Sehingga kita dapat merepresentasikan Deret Fourier dalam bentuk :

∑∞

=−+=

1)2sin2cos()(

kokoko tkFbtkFaatx ππ

dimana a0 = co

ak = 2|ck|cosθk bk = 2|ck|sinθk


IV-4

Tujuan Belajar 4

Peserta dapat menghitung Power Density Spectrum atau Power Spectrum dari sinyal kontinu yang periodik, dalam term domain waktu maupun domain Fourier (Parseval’s relation).

Suatu sinyal periodik memiliki energi tak terhingga (infinite) dan daya rata-rata yang terhingga (finite), yang diberikan sebagai

∫=

pTpx dttx

TP 2|)(|

1

Kita ingat bahwa *xxx = , maka :

∫=

pTpx dttxtx

TP )(*)(

1

∫ ∑∞

−∞=

−=

p

o

T k

kFjk

ptdtectx

Tπ2*)(

1

k

k T

tkFj

pk

c

dtetxT

c

p

o

↑

= ∑ ∫

∞

−∞=

−

)(1 2* π

∑∞

−∞==

kkc 2||

Ini disebut Parseval's Relation, yang dihitung dalam term ck.

Tujuan Belajar 5

Peserta dapat memplot spektrum secara alternatif berbetuk power spectrum maupun magnitude dan fasa.

Kita dapat melihat bahwa x(t) adalah deret dari harmonic :

...... 222

21

21

222 ++++++ −

−−

−tFojFotjFotjtFoj eCeCCoeCeC ππππ

Daya rata-rata pada masing-masing komponen frekuensi adalah :

Px = 2|| kc


IV-5

Bila kita memplot 2|| kc sebagai fungsi dari frekuensi kF0, k= …-2,-1,0,1,2, … , maka dapat dibuat suatu diagram yang disebut Power Density Spectrum, yang menggambarkan bagaimana daya dari sinyal periodik didistribusikan diantara komponen-komponen frekuensi.

power density spectrumIckI

2

......0 Fo 2Fo 3Fo 4Fo 5Fo

Frekuensi,F-Fo-2Fo-3Fo-4Fo-5Fo

Gambar 1. |ck|2 adalah daya dari komponen pada frekuensi kFo

Karena daya pada sinyal periodik ada hanya pada nilai diskrit frekuensi (F= … -2F0, -F0, 0, F0,2F0 …), makanya sinyal tersebut dikatakan memiliki line spectrum. Spasi diantara garis spectral yang bersebelahan adalah sebanding dengan periode fundamental Tp.

Sebagai alternatif dari memplot Power Density Spectrum, kita dapat memplot Magnitude Spectrum { || kc } dan Phase spectrum { || kθ } sebagai fungsi dari frekuensi.

Koefisien Detet Fourier yang merupakan bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai :

kjkk ecc θ||=

dimana kk c/_=θ

Power Density Spectrum adalah kuadrat dari Magnitude Spectrum, jadi tidak mengandung info θk. Bila sinyal periodik adalah x(t) real, maka koefisien deret Fourier-nya memenuhi kondisi

c-k =ck* sehingga |ck|2 = |ck

*|2

Oleh karena itu, power spectrum adalah fungsi symetric/even dari frekuensi. Kondisi ini berrati pula bahwa Magnitude spectrum adalah fungsi symetric/even dan Phase spectrum adalah fungsi ganjil. Sebagai konsekuensi dari adanya simetri tersebut, spektrum dari fungsi real cukup dispesifikasi pada frekuensi positif saja.

∑ ∑∞

=

∞

=++=+=

1 1

2221222 )(||2

k kkkokox baacCP


IV-6

Tujuan Belajar 6

Peserta dapat menghitung spektrum dari deret pulsa rektangular waktu kontinu.

Bagaimana menentukan Deret Fourier dan Power Density Spectrum dari pulsa rectangular train?

Gambar 2. Pulsa rectangular train.

Untuk menyelesaikannya, pertama-tama kita lihat bahwa x(t) adalah periodik dengan periode dasar Tp ⇒ Fo = 1/Tp, jadi kita bisa menggunakan deret Fourier. Selain itu, x(t) adalah sinyal genap sehingga x(t) = x(-t), maka kita dapat memilih interval integrasi dari -Tp/2 s.d. Tp/2

Untuk k=0, kita dapatkan :

pp

T

Tp TA

AAdtT

dttxT

Cop

p

τ

τ

ττ

τ

====−−−

∫∫2/

2/2/

2/

2/

2/

1)(

1

Untuk k tidak sama dengan nol, kita dapatkan :

2/

2/22/

2/

)(22

1

τ

τπτ

τ

ππ −−

−

−== ∫

o

ktFj

p

tkFj

pk kFj

eTA

dtAeT

co

o

2j

sin

2

jxjx

tkFjtkFj

pok

eex

jee

TkFA

coo

−

−

−=

↓

−=⇒

ππ

π

maka :

)sin( τππ o

pok kF

TkFA

c = k = ±1, ±2, …


IV-7

karena Φ=Φ

Φcsin

sin , maka

( ) sinc)sin(

τπτ

τπτπτ

opo

o

pk kF

TA

kFkF

TA

c ==

↓ ∅k

∅k bernilai diskrit karena Fo dan τ fixed bergantung k . Tapi bila ∅ kontinu

sinc ∅

- decays to zero as |∅| → 0 - bernilai nol pada ∅ = mπ, m = ±1, ±2, …

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 3. Fungsi sinc.

Script Matlab 1

» clear » x=-5*pi:0.001:5*pi; » y=sinc(x); » plot(x,y);

Jadi ∅k adalah sample dari ∅ pada posisi (πFoτ)k. Jadi ck adalah sample dari sin∅ pada posisi tersebut dengan amplitudo terskala sebesar Aτ/Tp

Ctt. Karena x(t) even → ck real → fase spectrum


IV-8

0 →ck positive π → ck negative

kjkk ecc θ||= → jadi plot saja ck tanpa perlu phase dan

magnitude Akibat dari perubahan Tp dan τ pada spektrum

• Fix Tp dan varies τ

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Gambar 4. Hasil mengubah 05.0=τ .

Script Matlab 2

» a=1; » tp=1; » tau=0.05; » x=-7*pi:1:7*pi; » y=((a*tau)/tp)*sinc(x*tau); » stem(x,y); » axis([-7*pi 7*pi -0.1 0.3]);


IV-9

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


Script Matlab 3


• Fix τ, vary Tp

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3



IV-10

Script Matlab 4


Perhatikan, bila k≠0 dan sin(πkFoτ), ck = 0 Padahal pada kFo tertentu

(π(kFo)τ = mπ, m= ±1, ±2, …) ⇒ sin πkFoτ = 0 ⇒ ini terjadi pada kFo = m/τ

Contoh : Bila Fo = 4 Hz dan τ=0.2Tp, (τ = 0.2/4=0.1/2) ck = 0 pada kFo = m.2/0.1 = 20m → kFo = ±20, ±40, ±60, … → pada k = ±5, ±10, ±15, … PDF:

=

=

)(sin

0,

||2

2

2

2

τπτ

τ

op

pk

kFcTA

kTA

c

1.2 Frekuensi Sinyal Kontinu Aperiodik

Tujuan Belajar 7

Peserta dapat menghitung spektrum (X(F)) dari sinyal kontinu yang aperiodik, serta mengerti hubungannya dengan kasus periodik.

Pada sinyal kontinyu periodik, kita melihat bahwa sinyal memiliki spektra garis dengan spasi yang sebanding dengan frekuensi fundamental. Bila periodenya dibuat menjadi tak terhingga (menjadi sinyal aperiodik), maka lebar spasi akan nol dan spectrum-nya menjadi kontinyu.


IV-11

Gambar 7. Sinyal aperiodik dengan durasi terbatas dapat digunakan untuk membuat sinyal periodik.

Bila kita mengamati sinyal aperiodik dengan durasi finit pada gambar (a) diatas, maka kita dapat menyusun suatu sinyal periodik xp(t) dengan perioda Tp, seperti pada gambar (b).

Jelas, xp(t) = x(t) dengan Tp tak terhingga, yaitu )()( lim txtx pTp ∞→

= .

Representasi Deret Fourier untuk sinyal periodik adalah :

∑= tkFjkp

okctx )(2)( π Fo =1/Tp

dimana

dtetxT

c tkFjT

Tp

pk

o

p

p

)(22/

2/

)(1 π−

−∫=

dtetxT

c tkFj

pk

o )(2)(1 π−

∞

∞−∫=

Kini kita definisikan suatu fungsi, Tranformasi Fourier X(F) dari x(t), sebagai :

∫∞

∞−

−= dtetxFX Ftj π2)()(

X(F) adalah fungsi dengan variable kontinyu F. Koefisien Fourier dapat diekspresikan dengan term X(F) sebagai :

)()()(1

ooooop

k kFXFkFXFkFXT

c ===

maka :

kpp

o cTTk

XkFX =

=)(


IV-12

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa koefisien ck adalah sampling dari X(F), yang diambil pada setiap kelipatan Fo dan diskala sebesar Fo (dikalikan dengan 1/ Tp). Dengan mensubstitusikan ck diperoleh :

tkFj

k ppp

oeTk

xT

tx π21)( ∑

∞

−∞=

=

Untuk mencari x(t) dari X(F) maka didefiniskan :

)()( lim txtx p

Tp ∞→

= Fo= ∆F= 1/Tp

sehingga :

∑∞

−∞=

∆ ∆∆=k

Ftkjp FeFkXtx π2)()( k∆F → F

Jelas bahwa pada Tp mendekati tak terhingga, xp(t) tereduksi menjadi x(t), juga F∆ menjadi differensial dF dan k F∆ menjadi variabel frekuensi kontinyu F. Maka

diperoleh :

∫∞

∞−∞→

== )()()( 2lim txdFeFXtx Ftjp

Tp

π

Dapat disimpulkan, untuk sinyal kontinyu aperiodik, berlaku :

∫∞

∞−

= dFeFXtx Ftj π2)()(

dan

∫∞

∞−

−= dtetxFX Ftj π2)()(

Tujuan Belajar 8

Peserta dapat menghitung Power Density Spectrum atau Power Spectrum dari sinyal kontinu yang periodik, dalam term domain waktu maupun domain Fourier (Parseval’s relation).

Bila x(t) adalah sinyal energi berhingga dengan tranformasi Fourier X(f), maka energinya dapat diekpresikan sebagai:

∫∞

∞−

= dttXEx2|)(|

bila diekspresikan dalam X(F) persamaannya menjadi :


IV-13

∫∞

∞−

= dFFX 2|)(|

Ini adalah Parseval’s Relation untuk sinyal aperiodik energi berhingga dan mengekspresikan prinsip konservasi energi dalam domain waktu dan frekuensi.

Sedangkan kuantitas Sxx(F) = 2|)(| FX merepresentasikan distribusi energi dari sinyal sebagai fungsi frekuensi. Oleh karena itu Sxx(F) disebut Energy Density Spectrum dari x(t). Intergral dari Sxx(F) sepanjang semua frekuensi menghasilkan total energi dari sinyal tersebut.

Tujuan Belajar 9

Peserta dapat menghitung spektrum dari sebuah pulsa rektangular waktu kontinu.

Bagaimana menentukan Transformasi Fourier dan Energy Density Spectrum dari sinyal pulsa rektangular pada gambar (a) dibawah ini ?

Jelas bahwa sinyal tersebut aperiodik dan memenuhi Kondisi Dirichlet, oleh karena itu Transformasi Fourier-nya ada. Dengan mengaplikasikan persamaan transformasi fourier diperoleh :

( )τπ

τπτ

τ

τ

π

FF

AdtAeFX Ftj sin2/

2/

2 == ∫−

−

Diagramnya dapat dilihat pada gambar atas bagian (b).

Energy Density Spectrum dari pulsa rektangular adalah :


IV-14

( )2

2 sin)(

=

τπτπ

τF

FAFS xx

Berikut ini beberapa gambar pulsa rektangular dalam berbagai variasi lebar berserta Transformasi Fouriernya.

Gambar 8. Beberapa gambar pulsa rektangular dalam berbagai variasi lebar berserta

Transformasi Fouriernya

1.3 Frekuensi Sinyal Diskrit Periodik

Tujuan Belajar 10

Peserta dapat menghitung spektrum (deret Fourier) untuk sinyal periodik waktu diskrit.

Kita diberi skuens periodik x(n) dengan periode N, dimana x(n)=x(n+N) untuk semua n. Representasi deret fourier untuk x(n) terdiri dari N harmonic yang berhubungan dengan fungsi eksponensial


IV-15

nNk

j

k es

=π2

k = 0, 1, …, N-1

dan diekspresikan sebagai

∑−

=

=1

0

)(N

kkk scnx

dimana {ck} adalah koefisien-koefisien dalam representasi deret. Bagaimana mencari ck ?

factor scaling

, *

↓

= Gsxc kk

∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

−

−

==1

0

1

0

1

0

)(22),(

N

n

N

n

N

k

Nn

lkj

k

nnk

jecenx

ππ

±±=−

=

↓

∑ ∑−

=

−

=

−

,else NN,,lN ,k

ecN

k

N

n

Nn

l)p(kj

k

020

1

0

1

0

2

Sehingga diperoleh :

1 1

0

2

∑−

=

−=

N

n

nnk

pj

k x(n)eN

c

Maka untuk sinya diskrit periodik :

( ) ( )Nnxnx

nSecnxN

kk

nNk

j

k

+=↓

== ∑−

=

relately harmonical

)()(1

0

2π

Ingat :

∑−

=

≠−

−=

=1

0 1,1

11,N

n

Nn

aa

aaN

a

maka ±±=

=∑−

=

otherwiseNNkN

eN

n

nk

jn

,02,,0,1

0

2π


IV-16

( )nj

nNk

j

k

N

n

Nknjk

keens

nx

enxN

c

ωπ

π

==

↓

=

−

=

−∑

2

1

0

/2

)(

pada fasadan amplitudo

)(1

∑

∑−

=

−

−

=

+−

+

==

=

1

0

2

1

0

)(2

)(1

)(1

N

nk

nNk

j

N

n

Nn

Nkj

Nk

CenxN

enxN

C

π

π

karena

∑ −

n

Nn

kjnj eenxN

ππ 22)(1

Berikut ini beberapa contoh pencarian spectrum untuk sinyal diskrit periodik:

a. nnx π2cos)( =

b. nnx3

cos)(π

=

c. )4()( += nxnx , x(n) = {1, 1, 0, 0} Jawab :

a. 2

12 =→= oo fπω → non periodic

b. fo = 1/6 → x(n) periodic N = 6

( )

( )

021

21

21

21

62

cosingat

5,...,1,0 61

432

51

6/26/2

5

0

6/2

====

==→

+==

==

−

=

−∑

cccc

cc

een

nx

kenxc

o

njnj

n

knjk

ππ

π

π

Spectrum

f

21


IV-17

c. ∑=

−=

3

0

42

)(41

n

nk

j

k enxCπ

+=

− kje 4

21

41 π

, k = 0, 1, 2, 3, …

+=→

−21

41 k

j

k eCπ

Co = 1/2 C1 = 1/4(1-j) C2 = 0 C3 = 1/4(1+j)

Tujuan Belajar 11

Peserta dapat menghitung power density spectrum dalam term domain waktu maupun domain Fourier (Parseval’s relation).

Daya rata-rata dari sinyal waktu-diskrit periodik dengan periode N didefiniskan sebagai:

∑ ∑−

=

−

=

==1

0

1

0

22 |||)(|1 N

n

N

kkx cnx

NP

Skuens 2|| kc untuk k=0,1,…,N-1 adalah distribusi daya sebagai fungsi frekuensi dan disebut Power Density Spectrum dari sinyal periodik. Energi dari skuens x(n) pada satu perioda

∑ ∑−

=

−

=

==1

0

1

0

22 |||)(|N

n

N

kkN cNnxE

Sebagai contoh, bagaimana mencari deret Fourier dan PDS dari sinyal waktu-diskrit kontinyu square-wave dibawah ini?

Dengan mengaplikasikan persamaan analisis, diperoleh :

2kc

k N-1 2 1


IV-18

10 ,1

)(1 1

0

21

0

/2 ,...N-kAeN

enxN

CL

n

nNk

jN

n

Nknjk === ∑∑

−

=

−−

=

− ππ

( )

NkNkL

e

ee

NA

kLNA

neNA

Ck

NLkj

L

nNkj

NkLjNk

j

/sin/sin

11

0,

/)1(2

1

0/2

/2

2

πππ

π

π

π

−−

−

=−

−

=

↓

−−

==

= ∑

Power Density Spectrum dari sinyal tersebut adalah :

= 22

2

2

sinsin

|

pk/NpkL/N

NA

NAL

|Ck

1.4 Frekuensi Sinyal Diskrit Aperiodik

Tujuan Belajar 12

Peserta dapat menghitung spektrum ( ( )ωX ) untuk sinyal aperiodik waktu diskrit.

Tranformasi Fourier untuk sinyal waktu-diskrit energi berhingga x(n) didefinisikan sebagai :

integer )2()(

,)()( *

=+=↓

== ∑∞

−∞=

−

kkXX

sxenxXn

nj

πωω

ω ω

Cari x(n) → ssxnx ∑= *,)(

Mari kita mengevaluasi skeuens x(n) dari X(ω). Pertama-tama kita kalikan kedua sisi dengan ejωn dan mengintegralkannya dalam interval (-π,π).


IV-19

∑

∫ ∑∫

−=

−

∞→

−

−∞

−∞=−

=

↓

=

N

Nn

njN

NN

njnj

n

nj

enxX

X

deenxdeX

ω

π

π

ωωπ

π

ω

ω

ω

ωωω

)()(

)(

)()(

lim

Dengan asumsi konvergen

( )mx

nm

denxdenxn n

nmjnmj

π

π

ωωπ

π

π

π

ωω

2

0 ,0 ,2

)()( )()(

= =

=

↓

== ∫ ∑ ∑ ∫−

∞

−∞=

∞

−∞= −

−−−

maka didapat : ∫−

=π

π

ω ωωπ

deXnx nj)(21

)(

Maka untuk sinyal waktu-diskrit aperiodik berlaku :

∑∞

−∞=

−=n

njenxX ωω )()(

∑∞

−∞=

+− ==+n

nkj XenxkX )()()2( )2( ωπω πω

∫−

=π

π

ω ωωπ

deXnx nj)(21

)(

Tujuan Belajar 13

Peserta dapat menghitung spektrum dari sebuah pulsa rektangular waktu diskrit.

Bagaimana menghitung spektrum dari sebuah pulsa rektangular waktu diskrit dibawah ini ?


IV-20

Gambar 9. Spektrum rektangular.

≤<≤

=πωω

ωωω

c

cX,0

,1)(

Invers transformasi dari X(ω) menghasilkan sekuens :

∫−

==c

c

cnj

nn

denxω

ω

ω

πω

ωπ

sin21

)(

Gambar 10. Sinyal yang memiliki spektrum rektangular.

Tujuan Belajar 14

Peserta mengerti fenomena Gibbs.

( )ω

πω

ω ωω

N

nj

n n

cnj

X

en

nenxX

sin)()(

=↓

== −∞

−∞=

∞

−∞=

−∑ ∑

XN(ω) untuk beberapa nilai N diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 11. Fenomena Gibbs.

Dengan bertambahnya N, osilasi menjadi semakin cepat, tapi ukuran dari riak tetap sama. Bila N→∝, osilasi akan konvergen pada titik diskontinyuitas pada ω=ωc, tapi


IV-21

amplitudonya tidak menuju nol. Oleh karena itu, XN(ω) konvergeb menuju X(ω) dalam sense mean-square.

Kelakuan osilatoris dari aproksimasi XN(ω) menuju funsi X(ω) pada titik diskontinyuitas dari X(ω) disebut Fenomena Gibbs.

Tujuan Belajar 15

Peserta dapat menghitung energy density spectrum dalam term domain waktu maupun domain Fourier (Parseval’s relation).

Relasi energi antara x(n) dan X(ω) adalah :

∑ ∫∞

−∞= −

==n

x dXnxE ωωπ

π

π

22 |)(|21

|)(|

Ini adalah Relasi Paserval untuk sinyal waktu-diskrit aperiodik dengan energi berhingga. Spektrum X(ω), secara umum, adalah bilangan kompleks dan dapat dituliskan sebagai : )(|)(|)( ωθωω jeXX = Sebagaimana dalam sinyal kontinyu, kuantitas 2|)(|)( ωω XSxx = merepresentasikan distribusi energi sebagai fungi frekuensi, dan disebut sebagai Energy Density Spectrum dari x(n). Untuk x(n) real maka berlaku simetri, dimana

ωω ()( XX =− dan )()( ωω XX −∠=−∠ demikian juga:

)()( ωω −= xxxx SS . Sebagai contoh, untuk mencari Sxx(ω) dari sinyal x(n) = anu(n) -1<|a| < 1 Maka kita mengaplikasikan transformasi fourier

( )∑ ∑∞

=

∞

=

−− ==0 0

)(n n

jnjn naeeaX ωωω

bila |a| < 1 → ωω jaeX −−

=1

1)(

Maka Energy Density Spectrum-nya adalah

( )( )ωωωωω jjxx aeaeXXS

−−== − 11

1)()()( *

2cos211

aa +−=

ω


IV-22

Gambar 12. Energy density spectrum.

Tujuan Belajar 16

Peserta mengerti hubungan spektrum antara sebuah pulsa rektangular dengan spektrum dari deret pulsa rektangular waktu diskrit.

Bila diketahui suatu skuens −≤≤

=otherwise

LnAnx

,010,

)( ,

bagaimana kita menentuka ni X(ω) dan Sxx(ω) nya?

Pertama-tama kita lihat bahwa ∑ ∑∞

−∞=

−

=

∞<==n

L

n

ALAnx1

0

||||)( , maka Transformasi

Fourier-nya ada. Lebih lanjut, kita mencatat bahwa x(n) adalah sinyal energi berhingga dengan LAEx

2||= . Maka Transformasi fouriernya adalah :

∑−

=−

−−

−−

==1

0 11

)(L

nj

Ljnj

ee

AAeX ω

ωωω

)2/sin()2/sin()1)(2/(

LL

Ae Lj ωω −−=

dengan

2/sin2/sin

)1(2

)(ωωω

ωL

LAX ∠+−−∠=∠


IV-23

Gambar 13. Spektrum pulsa rektangular.

Perhatikan bahwa kNckN

X =

π2

k=0,1,….,N-1

2 Ekstensi Transformasi Fourier

2.1 Hubungan Spektrum dengan Transformasi z

Tujuan Belajar 17

Peserta mengerti hubungan transformasi Fourier dengan z.

Transformasi Z untuk skuens x(n) didefinisikan sebagai

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX )()( ROC : r2 < |z| <r1

Marilah kita menuliskan variable kompleks z dalam bentuk z = rejω. Maka diperoleh :

[ ]∑∞

−∞=

−−=

=n

njnrez

ernxzX jω

ω )()(

⇒ Fourier Transform dari x(n)r-n


IV-24

Perlu dicatat bahwa, Transformasi Fourier ada bila ∑∞

−∞=

∞<=n

x nxE 2|)(|

Z transform exist bila ∑∞

−∞=

− ∞<n

nrnx |)(|

- anu(n), |a| > 1 → ada daerah Z-transform exist, FT tidak

- n

nnx c

πωsin

)( = , ada daerah FT exist Z-transform tidak

Keduaya exist bila |z| = 1 ∈ ROC

2.2 Konsep Cepstrum

Tujuan Belajar 18

Peserta dapat menghitung Cepstrum dari sinyal.

Untuk skuens {x(n)} yang mempunyai transformasi-Z X(z), diasumsikan bahwa

{x(n)} adalah skuens stabil sehingga X(z) konvergen pada unit circle. Cepstrum kompleks dari dari skuens {x(n)} didefinisikan sebagai skuens {cx(n)} yang merupakan invers tranformasi-Z dari Cx(z), dimana

{ } { }

( ) ( )

1;10

: ROC ln

)()(

21

21

><<

<<

=

↔

rr

rzr

zCzX

ncnx

x

x

bb

Dalam ROC tersebut, Cx(z) dapat direpresentasikan dengan Deret Laurent :

∑∞

−∞=

−==n

nxx znczXzC )()(ln)(

dimana

∫ −=c

nx dzzzX

jnc 1)(ln

21

)(π

Secara Transformasi Fourier, bila |z| = 1∈ ROC, maka :

∑∞

−∞=

−==n

njxx encXC ωωω )()(ln)(


IV-25

dimana {cx(n)} adalah skuens yang diperoleh dari invers tranformasi fourier dari X(ω), yaitu

∫−

=π

π

ω ωωπ

deXnc njx )(ln

21

)(

Dalam ekpresi magnitude dan fasa,

)(|)(|)( ωθωω jeXX = maka

)(|)(|ln)(ln ωθωω jXX += Dengan melakukan substitusi, kita peroleh Cepstrum Kompleks dalam bentuk :

[ ]∫∞

∞−

+= ωωθωπ

ω dejXnc njx )(|)(|

21

)(

2.3 Transformasi Fourier pada Sinyal dengan Pole di Unit-Circle

Tujuan Belajar 19

Peserta dapat mengekstensi transformasi Fourier agar dapat mencakup sinyal dengan pole pada unit circle.

Transformasi Fourier terdefinisi bila ( ) 1=zzX , sayangnya bila ada pole pada |z| = 1

maka Transformasi Fourier tidak eksis.

Skuens semacam itu misalnya skuens unit step yang mempunyai transformasi-Z :

111

)( −−=

zzX

atau skuens x(n)=(cos ωon)u(n) yang mempunyai transformasi-Z :

21

1

cos21cos1

)( −−

−

+−−

=zz

zzX

o

o

ωω

Untuk skuens semacam itu, kita dapat mengizinkan Transformasi Fourier untuk mengandung impuls pada frekuensi tertentu yang berkorespondensi dengan dengan lokasi pole dari X(z) yang terletak pada unit circle. Maka digunakan impulse δ(ω), yaitu sinyal dengan magnitude ∞, infinite angle, zero width dan unit area. Jadi "abaikan" titik-titik pole.

Kita lihat beberapa contoh skuens berikut dengan mengevaluasi Transformasi-Z-nya pada unit circle.

*Bagaimana menentukan Transformasi Fourier untuk sinyal step ?

11

1)()()(

1 −=

−=→=

− zz

zzXnunx


IV-26

→ pole di z = 1

( ) jjjjj

j

j

j

zeee

ee

ezXX

221||

.1)()(

222ωωω

ω

ω

ω

ω−=

−=

−==

kecuali z=1 atau ω=0

( )

( ) ( )ωπδωπω

πωωω

πωω

==

≠== −

1 ,2 di

2

2sin2

1

2sin2

2

2

Xk

kej

e jj

*Bagaimana menentukan Transformasi Fourier untuk sinyal x(n) = (-1)nu(n) ?

πjezz

zzX =−=→

+= 1

1)(2

↓ pole untuk ω ≠ 2π(k+1/2)

( ) 221||2

.11)(

22

2

ωω

ω

ω

ω

ωjj

j

j

j

zee

ee

ez

zX

−=+

=+

=+

=

2

2cos21 ω

ω

je=

*Bagaimana menentukan Transformasi Fourier untuk sinyal x(n) = cos ωonu(n) ?

21

1

cos21cos1

)( −−

−

+−−

=zz

zzX

o

o

ωω

( )( )oo jjo

j

eee

X ωωωω

ω ωω +−−

−

−−−

= (( 11cos1

)( ω ≠ ± ωo + 2πk

2.4 Teorema Sampling

Tujuan Belajar 20

Peserta dapat memahami teorema sampling dalam kontek domain frekuensi (hubungan antara ( )FX dengan ( )ωX ), termasuk konsep aliasing, dan interpolasi.

Bagianakah hubungan antara X(F) dengan X(ω) ? Xa(t) xa(nT) = x(n) Sampling


IV-27

• xa(t) adalah sinyal aperiodik dengan energi berhingga, maka spektrumnya dapat ditunjukkan oleh relasi Tranformasi Fourier :

dtetxFX Ftjaa

π2)()( −∞

∞−∫=

dFeFXtx Ftjaa

π2)()( ∫∞

∞−

=

• Sedangkan spktrum untuk sinyal diskrit x(n) dapat ditunjukkan oleh relasi

Tranformasi Fourier :

∑∞

−∞=

−=n

njenxX ωω )()( atau ∑∞

−∞=

−=n

njenxfX /2)()( π

skuens x(n) dapat dikembalikan sebagai :

∫∫−−

==2/1

2/1

2)()(21

)( dfefXdeXnx fnjnj ππ

π

ω ωωπ

∫∫∞

∞−−

=== dFeFxnTxnxdfefX FnTjaa

fnj ππ 22/1

2/1

2 )()()()(

Ingat bahwa dFF

dfFF

fss

1=→= , maka :

( )∫ ∫

−

∞

∞−

=

2/1

2/1

22)(

1dFeFXdFe

FF

XF

sFF

sFF nj

a

nj

ss

ππ

( )∑ ∫∞

−∞=

+

−

=k

Fk

Fk

nj

a

s

s

sFF

dFefX)(

)(

221

21

)(π

∑ ∫∞

−∞= −

−=k

F

F

nj

sa

s

s

sFF

dFekFFX2/

2/

2)(

π

∫ ∑−

−=2/

2/

2)(

s

s

sFF

F

F k

nj

sa dFekFFXπ

Disimpulkan bahwa :

∑∞

−∞=

−=

ksas

s

kFFXFFF

X )(

atau

[ ]∑∞

−∞=

−=k

sas FKfXFfX )()( **)

Berikut ini gambar sampling dari suatu sinyal analog pita terbatas dan aliasaing dari komponen spectral.


IV-28

)(ˆ txa )(ˆ FX a

Gambar 14. Aliasing di domain frekuensi.

Bila B < Fs/2, maka :

( )

>

≤=

2

21

0

s

s

ssF

FFF

Fa F,

F,X(F)X

inversnya adalah

∫−

=2/

2/

2)()(Fs

Fs

Ftjaa dteFxtx π

Kini asumsikan Fs = 2B= 1/T, maka kita mempunyai :


IV-29

[ ]∫ ∑−

−=2/

2/

22)(1

)(Fs

Fs

Ftjnj

sa dFeenx

Ftx Fs

F ππ

∑ ∫∞

−∞= −

−=n

Fs

Fs

tFj

s

dFenxF

Fsn

2/

2/

)(2)(1 π

( )

( )nTtg

nTtT

nTxn

a

−↓

−∑

∞

−∞=

sinc)(π

dimana )2(sincsinc)( BttT

tg ππ

=

=

Persamaan diatas yang digunakan untuk merekonstruksi sinyal analog dari sampelnya disebut sebagai formula interpolasi ideal. Teorema Sampling : Suatu sinyal waktu-kontinyu pita terbatas, dengan frekuensi tertinggi (bandwidth) B Hz, dapat direkonstruksi secara unik dari samplenya yang memiliki sampling rate Fs ≥ 2B sampel per detik. Relasi antara variabel frekuensi F dan f dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambar 15. Gambar dibawah ini menunjukkan relasi untuk sinyal sampel pada domain

waktu dan domain frekuensi.


IV-30

≤

∫−∞

∞

= dfefXnx fnj π2)()(

∑∞

−∞=

−=n

fnjenxfX π2)()(

∑∞

−∞=

−=k

sqs FkfXFfX )()(

∫∞

∞−

−= dtetxFX Ftjaa

π2)()(

∑∞

−∞= −−

=n

a TnTtTnTt

nxtx/)(

/)(sin)()(

ππ

∫∞

∞−

= dFeFXtx Ftjaa

π2)()(

Gambar 16. Peta spektrum dari sinyal kontinue dan diskrit hasil samplingnya.

Sekarang marilah kita melihat contoh soal berikut.

Jika diberikan sinyal waktu-kontinyu tFtx oa π2cos)( = , dengan sampling Fs, Fs/2 < Fo <Fs , maka rekonstruksi spektrum Xa(F) dapat digambar :


IV-31

Gambar 17. Hasil rekonstruksi spektrum.

2.5 Konsep Bandwidth

Tujuan Belajar 21

Peserta mengerti berbagai konsep bandwidth, termasuk LP, HP, BP, BS.

Bandwidth adalah range dari frekuensi dimana energi density spectrum terkonsentrasi.

Bandwidth dikatakan berkisar pada F1 ≤ F ≤ F2 , bila 95% power of energy berada dalam range antara F2 dan F1.

Dalam term sinyal bandpass, maka

*Sinyal narrow-band adalah sinyal yang bandwidth-nya

+

≈−210

112 12 FF

FF


IV-32

*Sinyal wide-band adalah sinyal yang bandwidth-nya yang lebih besar dari sinyal narrow-band.

*Sinyal bandlimited adalah sinyal yang spektrumnya nol diluar range frekuensi |f|≥B. Suatu sinyal waktu-diskrit energi berhingga x(n) dikatakan bandlimited bila :

|X(ω)| = 0 untuk ωo < |ω| <π.

*Sinyal timelimited adalah bila

x(t) = 0, |t| > τ ωo < |ω| <π

Perlu dicatat bahwa secara absolut tidak ada sinyal yang time limited sekaligus dengan band limited.

Gambar 18. Filter lowpass, highpass, dan bandpass.

3 Sifat-Sifat Transformasi Fourier

Tujuan Belajar 22

Peserta mengerti dan dapat memanfaatkan sifat-sifat transformasi Fourier, seperti simetri dari sinyal real, sifat linier, time-shifting, convolution, correlation, Frequency shifting, Modulation, Parseval’s, Multiplication, dan differentiation.

Berikut ini adalah sifat-sifat Transformasi Fourier : • Simetri


IV-33

Gambar 19. Hubungan simetris.

• Linear

( ) ( )∑ ∑→ ωαα iiii Xnx Sebagai contoh :

( )( )

( )

( )

≥<

=

<≥

=

<=

−

0n 00n

0n 00n

X cari

1a

2

1

n

n

anx

anx

anxn

ω

Diperoleh :

∑ ∑∞

−∞=

∞

=

−− ==n n

njnnj eaenxX0

1 )()( ωωω

( )∑∞

=−

−

−==

0 11

nj

nj

aeae ω

ω

( )∑∑∞

=

−−

−∞=

− ==1

1

2 )(k

Kj

n

njn aeeaX ωωω

( )∑∞

= −==

0 1kj

jKjj

aeae

aeae ω

ωωω

maka akan menghasilkan :


IV-34

2

2

cos211

111

)(aa

ae

aeae

X j

j

j +−−

=−

+−

= − ωω ω

ω

ω

• Time Shifting dan Time reversal

( ) ( )

( ) ( )ωωω XXe

-n xn-k x

kj

−

↓↓

• Konvolusi )()()()( 2121 ωω XXnxnx ↔∗

Sebagai contoh, hitunglah konvolusi dari x1(n) * x2(n) Dimana

{ }↑

==

1,1,1)(21 nx(n)x

Maka : ( ) ( ) ωωω cos2121 +== XX

⇒ X(ω) = (1 + cos ω)2 = 1 + 4 cos ω + cos 2ω = 3 + 2(ejω + e -jω) + (ej2ω + e -j2ω)

{ }

↑

=

5,4,3,2,1 x(n)

• Korelasi

∑∞

−∞=−=

kxx nkxkxnr )()()( 2121

)()()( 2121ωωω XXS xx =⇔

)()( ωxxxx Slr ↔ Auto-Korelasi

• Frequency Shifting

)()( onj Xnxe o ωωω −↔

• Modulation

[ ])()(cos)(21

ooo XXnnx ωωωωω −++↔

Repersentasi grafis dari terorema modulasi dapat dilihat pada gambar berikut.


IV-35

Gambar 20. Hasil modulasi.

• Parseval

∫∑−

∞

∞−

↔π

π

ωωωπ

dXXnxnx )()(21

)()( *21

*21

• Multiplication

∫−

−↔π

π

λλωλπ

dXXnxnx )()(21

)()( 2121

• Diferensiasi

ωω

ddX

jnnx)(

)( ↔

Tujuan Belajar 23

Peserta menguasai pasangan transformasi yang berguna seperti impuls, rektangular, dan fungsi sinc.

Tabel berikut memberikan pasangan Transformasi Fourier untuk sinyal waktu-diskrit aperiodik yang sering digunakan.

−π π

X(ω)

1

π/2−π/2 2π−2π ω

ω

ω

0

0 π−π/2 π/2

1Y1(ω)

0 π/2 π−π/2

−π

−π

1

1/2

Y2(ω) = X(ω-π)


IV-36

Tabel 1. Pasangan transformasi Fourier yang sering digunakan.

4 Transformasi Fourier untuk Sistem

4.1 Sistem LTI di Domain Frekuensi

Tujuan Belajar 24

Peserta menguasai konsep eigenvalue dan eigenfunction dalam konteks respons frekuensi dari sistem LTI, terutama untuk menghitung respons sistem.

Eigenfunction dari suatu sstem sistem adalah sinyal input yang menghasilkan output yang berbeda dari input karena perkalian dengan faktor konstan. Faktor pengali tersebut disebut sebagi eigenvalue dari sistem.

Aejωn y(n)

H(ω)


IV-37

∑∞

−∞=

−=k

knjAekhny )()()(

( )ω

ωω

H

eekhA nj

k

kj

)(

↓

= ∑

∞

−∞=

−

y(n) = AH(ω)ejωn

Maka H(ω) adalah eigen value

ejωn adalah eigen vector/ eigen function Sebagai contoh, tentukan output dari sistem dengan respon impuls ( ) )()( 2

1 nunh n= dan

input njAenx 2)(π

= . Kita cari )( 2

πH terlebih dahulu untuk kemudian mencari y(n), hasilnya : ( )

fasaer tergesamplitudo tergeser

52

)( 6.262

↑↑

= − onjAenyπ

Tujuan Belajar 25

Peserta dapat menghitung respons frekuensi (magnitude dan phase) dari sistem yuang diketahui h(n) nya, dan dapat memanfaatkannya untuk menghitung output dari sinyal complex exponential dan sinusoidal dengan durasi tak terhingga.

Secara umum kita dapat menulis : )()()( ωθωω jeHH =

↓ = ∠ H(ω)

( ) ( )ωω

ωωω

IR

k k

jHH

kkhjkcokhH

sin)()()(

+↓↓

−= ∑ ∑

−

+= )()(

tan22

1

)()( ωω

ωω R

I

HH

j

IR eHH


IV-38

dengan catatan HR(ω) = HR(-ω) HI(ω) = -HI(-ω) Sebagai contoh, tentukan magnitude dan fasa dari h(ω) sistem three-point moving averages. y(n) = 1/3 (x(n+1) + x(n) + x(n-1)) Karena

h(n) = {1/3, 1/3, 1/3} maka

( ) ( )( )ω

ωω ωω

R

jj

H

eeH

cos211)( 31

31

↑

+=++= −

( ) 0 )cos21()( 3

1 =+= ωωω IHH

)(

0)()(

)(tanωω

ωωθ

RR

I

HHH

==

Jadi untuk input Aejωn y(n) = A|H(ω)|ejθ(ω)ejωn = A|H(ω)|ej(ωn+θω)

- input Ae-jωn

njj eeHAny ωωθω −−−= )()()(

))( )(( ωθωω +−= njeHA

- input Acosωn ))(cos()()( ωθωω += nHAny

- input Asinωn

))(sin()()( ωθωω += nHAny |H(ω)| = magnitude response θ(ω) = phase response Sebagai contoh, tentukan respon dari sistem dengan input sinyal x(n) = 10 - 5sinπn/2 + 20 cos ωπn Frekuensi responsnya

ωω jeH −−

=2111

)(

- untuk 10 → ω = 0 → H(0) = 2

- untuk π/2 → ω = π/2 → ( ) ojj

ee

H 6.26

212 5

2

1

12

−−

=−

= ππ

- untuk π → ω = π → 32

11

)(21

=−

= − ππ jeH


IV-39

Maka :

( ) ∞<<∞+−−= n- cos340

6.26sin5

1020)( 2 nnny o ππ

[ ]∑ ∑= =

++=⇒+=L

iiii

L

iiii nHAnynAnx

1 111 )(cos)()()cos()( ωθφωωφω

4.2 Respons Steady State dan Transien

Tujuan Belajar 26

Peserta dapat menghitung respons steady state dan transien pada sinyal input sinusoidal, khususnya pada kasus sistem ( ) ( ) ( )nxnayny +−= 1 .

Bagaimanakah respons steady state dan respons transient pada sinyal sinusoidal? • bila x(n) diterapkan pada n = -∞ maka tidak ada transien • bila x(n) diterapkan pada n = 0 maka akan muncul transient Sebagai contoh, y(n) = ay(n-1) + x(n) dan x(n) diterapkan pada n = 0 maka

condition initial

0n )()1()(0

1

↓

≥−+−= ∑=

+n

k

kn knxayany

asumsikan x(n) = Aejωn n ≥ 0, diaplikasikan pada n=0, diperoleh :

∑=

−+ +−=n

k

knjkn eaAyany0

)(1 )1()( ω

transient decay to 1a karena

statesteady

0n 11

)1()1(1

1

→→<

↑

↑

≥−

+−

−−= −−

+−++

φ

ωω

ωω

ωnj

jnj

j

njnn e

aeA

eaeeAa

ya

Bila menyangkut input sinudoidal, apalagi bila |a| kecil, → transient sering diabaikan → SS penting

Bagaimanakah respons steady state terhadap sinyal periodik ?

10 )()(/21

0

, ..., N- kecnxNnxNknjN

kk ===+ ∑

−

=

π

let Nknjkk ecnx /2)( π= ← komponen

cari response


IV-40

→ ∑= )()( nxnx k

( )

( )N

k

npjNpk

kkk

H

eHc(n)H(? (?(n)y Nk

πω

ω 2

22

=

↓

==

( )ny dari seriesFourier

2)()( 2

→↓

== ∑ ∑

k

k k

njkk

d

eN

kHcnyny N

kππ

LTI mengubah amplitudo dan menggeser fasa, tetapi tidak mempengaruhi perioda N

Tujuan Belajar 27

Peserta dapat menghitung respons sistem pada sinyal input yang aperiodik.

Untuk menghitung respons terhadap sinyal aperiodik, pertama-tama marilah kita lihat teorema konvolusi : Y(ω) = H(ω) X(ω) Yang berarti pula :

Y(ω)| = |H(ω)||X(ω)| ∠Y(ω) = ∠X(ω) + ∠H(ω) → H(ω) filter → X(ωi) = 0 → y(ωi) = 0 sistem tidak menambah frekuensi.

Skuens output dapat ditentukan dari invers transformasi Fourier :

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deYny j)(21

)(

↑ Tapi metode ini jarang digunakan karena kalah populer dibanding Z-transform. Dari pengkuadratan magnitude, kita memperoleh :

|Y(ω)|2 = |H(ω)|2|X(ω)|2

Syy(ω) = (H(ω))2 Sxx(ω)

4.3 Hubungan Dengan Fungsi Sistem

Tujuan Belajar 28

Peserta dapat menghitung ( )ωH dari ( )zH atau pole-zeronya.

Kita tahu bahwa bila fungsi sistem H(z) konvergen pada unit circle, maka kita mendapatkan respons frekuensi dari sistem dengan mengevaluasinya pada unit circle. Maka kita dapatkan


IV-41

( )

( )∏

∏

=

−

=

−

=

−

−== N

i

jk

M

k

jk

oez

ep

ezbzHH j

1

1

1

1)()(

ω

ω

ωω

dengan

( )

( )

=

−

−=

∏

∏

=

=*

*

1

*

1

*

* 1

1

1)(

zH

ep

ezbH N

k

jk

M

k

jo

ω

ω

ω

Jadi ωωωωωω jezzHzHHHHHH

=−=−== )()()()()()()( 1*2

Untuk menghitung H(ω) kita lakukan

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

=

=−

=

−

=

−

=

−

−=

−

−== N

kk

j

M

kk

j

MNjoN

i

jk

M

k

jk

oez

pe

zeeb

ep

ezbzHH

k

k

j

1

1)(

1

1

1

1)()(

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

)()( ωθω ω kj

kkj evze =−→

)()( ωφω ω jkk

j eupe =−→

maka )()...()()...(

)(1

1

ωωωω

ωN

Mo UU

VVbH =

∑ ∑= =

−+−+∠=∠M

i

N

iiio MNbH

1 1

)()()()( ωθωθωω

Gambar-gambar berikut merupakan intepretasi geometris dari kontribusi pole dan zero untuk Transformasi Fourier.


IV-42

Gambar 21. Ilustrasi geometris dari pengaruh pole dan zero terhadap spektrum.

Sebagai contoh, evaluasilah respons frekuensi dari sistem yang dideskripsikan oleh fungsi sistem :

8.0)(

8.08.11

)( 1 −=⇒

−±

−= − ω

ω

ω j

j

ee

Hz

zz

zH

Jelas, H(z) memiliki zero pada z=0 dan pole pada p=0.8, maka :

ωω

ω

ω

cos6.164.11

8.0)(

−=

−=

j

j

e

eH


IV-43

dan

8.0cossin

tan)( 1

−−= −

ωω

ωωθ

dalam decible :

∑ ∑= =

−+=M

k

N

kkkdB

UVbH1 1

1010 )(10log20)(log20log20)( ωωω

5 Sistem LTI Sebagai Filter

5.1 Konsep Filter

Tujuan Belajar 29

Peserta memahami bahwa sistem LTI dapat dipandang sebagai filter, terutama dalam hal magnitude response nya.

Filter adalah divais yang menentukan apa yang dilewatkan dari input yang diberikan. Kelakuan fikter ditentukan oleh karakteristik respons frekuensi H(ω), yang bergantung pada parameter sistem. H(ω) berlaku sebagai weighting function atau spectral shaping function untuk komponen-komponen frekuensi yang berbeda dalam sinyal input. Dalah hal ini, setiap sistem LTI dapat dipandang sebagai filter frequency-shaping.

Y(ω) = H(ω) X(ω) → filter ↑ pembobot frekuensi/ Fungsi pengubah spektrum Dengan mengubah-ubah ai dan bi, H(ω) dapat dibentuk dengan berbagai bentuk respons. Berikut ini gambar Magnitude Response untuk beberapa filter frekuensi-selektif ideal.


IV-44

Gambar 22. Spektrum dari beberapa jenis filter.

Tujuan Belajar 30

Peserta mengerti konsep linear phase response, dan motivasinya.

Karakteristik lain dari filter ideal adalah respon fasa linear. Untuk mendemonstrasikannya, marilah kita lihat :


IV-45

<<

=−

otherwisece

Honj

,0,

)( 21 ωωωω

ω

C, no constants. Let X(ω) ada di [ω1,ω2] Output filter mempunyai spektrum

Y(ω) = X(ω)H(ω)= CX(ω)e-jωno ω1 < ω <ω2 Dari sifat Transformasi Fourier, diperoleh y(n) = Cx(n-no)

Jadi output dari sistem ini adalah sinyal aslinya yang tergeser fasa dan terskala. Kedua perubahan ini biasanya dapat ditoleransi apabila terjadi pada sinyal seutuhnya. Dengan demikian filter-filter ideal mempunyai karakteristik linear di daerah passband, θ(ω) = -ωno

delay : ωωθ

ωτd

dg

)()( −= → envelope delay/ group delay

→ τg(ω) adalah time delay dari komponen ω akibat filter. Pada kasus fasa linear,

τg(ω) = no → semua komponen mendapat delay yang sama, sehingga integritas sinyal terjaga.

Tujuan Belajar 31

Peserta mengetahui definisi filter ideal, dan mengapa tidak dapat di buat secara praktis.

Dari bagian sebelumnya, dapat kita simpulkan bahwa filter passband ideal memiliki karakteristik - magnitude yang konstan - fasa yang linear Sayang sekali, hal ini hanya ada di dunia matematis Sebagai contoh, filter lowpass ideal memiliki respons impuls

n

nnh c

ep ππωsin

)( = -∞ < n <∞

→ non causal, not absolutely summable → unstable → Dalam praktek, filter ini dijadikan pedoman ideal untuk proses aproksimasi

Kita akan melihat bagaimana filter-filter dapat dibuat berdasarkan penempatan pole dan zero. Prinsip utama : letakkan ke dekat unit circle. Frekuensi sekitar zero akan diredam, frekuensi sekitar pole akan diperkuat.


IV-46

Selanjutnya : - pole harus di dalam UC, zero bisa di mana saja - pole/zero komplex harus berbentuk conjugate pairs agar koefisien real

( )

( )∏

∏

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

+= N

kk

M

kk

oN

k

kk

M

k

kk

zp

zzb

za

zbzH

1

1

1

1

0

0

1

1

1)(

bo dipilih agar |H(ωo)| = 1di pass, N ≥ M

Tujuan Belajar 32

Peserta dapat membuat filter (LP, HP, BP, BS) dengan menempatkan pole-zero pada posisi yang sesuai.

Dalam mendesain filter digital lowpass, - pole harus diletakkan dekat ω = 0 di dekat unit circle - zero harus diletakkan pada ω = π (high frequency)

Gambar 23. Contoh peletakan poles.

Sebagai contoh,

( ) ( )

( ) ?

azazH

0 ,1Hagar gain

11

1

1

11

==↑

−−= −

ωω

Tambah zero z = -1 → atenuasi frequency response

( ) 1

1

2 11

21

−

−

−+−

=azza

zH

→ highpass → folding the pole-zero position dengan cermin sumbu imaginer


IV-47

( )11

12

1 1

3 −+−−

=−

azza

zH

Contoh lagi, LPF dengan 2 buah pole.

( )211)(

−−=

pz

bzH o

tentukan bo dan p agar H(ω) memenuhi : H(0) = 1 |H(π/4)|2 = 1/2 Jawabannya adalah, di ω = 0, diperoleh

22 )1(1

)1()0( pb

pb

H oo −=⇒=

−=

di ω = π/4, ( )22

41

)1(4 π

πjpe

pH

−−

−=

( ) ( )( ) 2

2

244

2

221

)1(sincos1

)1(

+−

−=

+−−

=p

jp

pjpp

pππ

sehingga

32.0

21)1(221

22

21

)1( 2222

4

=⇒

=+=−→=

+

−

−

p

ppppp

p

( )2132.01

46.0)(

−−=

zzH

Prinsip yang sama dapat diterapkan pada perancangan filter BP

Tujuan Belajar 33

Peserta dapat mengubah filter LP menjadi HP dengan memproses h(n).

Bagaimanakah mengubah filter LP menjadi filter HP ? Prototipe LPF memiliki respons impuls hLP(n), maka hLP(n) ↔ HLP(ω)

HLP(ω) = HLP(ω-π) = HLP(ω)|ω=ω-π


IV-48

Ctt.

Bila ∑ ∑= =

−+−−=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0

)()()(

∑

∑

=

−

=

−

+=→ N

k

kjk

M

k

kjk

lp

ea

ebH

0

0

1)(

ω

ω

ω

∑

∑

=

−

=

−

−=

−+

−== N

k

kjk

k

M

k

kjk

k

LPlp

ea

ebkHH

1

0

)1(1

)()()(

ω

ω

πωωωω

∑∑==

−−+−−−=M

kk

kN

kk

k knxbknyany01

)()1()()1()(

5.2 Beberapa Filter Khusus

Tujuan Belajar 34

Peserta dapat mendesain dan membuat resonator digital.

Resonator digital adalah filter bandpass dua-pole spesial dengan pasangan pole konjugat-kompleks di dekat unit circle.

2π π π -π


IV-49

Gambar 24. Penempatan pole untuk resonator digital.

Bisa pula ditambah 1-2 zeros. Misalnya di origin atau di z = ±1 to eliminate response di ω = 0 dan ω = π Untuk kasus zero di origin , maka

( )( ) 2211 )cos2(111)( 1 −−−− +−

=−−

= −zrzr

b

zrere

bzH

o

ojzj

o

oo ωωω

|H(ω)| berpuncak dekat ω = ωo, dan bo dipilih agar |H(ωo)| = 1

( )( ) ( )( )ooooo jo

jjjjo

o rerb

ereereb

H ωωωωωω 21111)( −−−− −−

=−−

=

( )

12cos211

)(2

=−+−

=o

oo

rrr

bH

ωω

( ) oo rrrb ω2cos211 2 −+−=→

21

21

)()()(

PP

UUb

H o

↓↓

=ωω

ω θ(ω) = 2ω -φ1(ω) - φ2(ω)

)cos(21)( 21 ωωω −−+= orrU

)cos(21)( 22 ωωω +−+= orrU

→ U1(ω) punya min = (1-r) di ω = ωo U1(ω)U2(ω) mencapai nilai minimum pada frekuensi

resonansi frekuensi nilai

cos2

1cos

21

↑

+= −

or rr

ωω

Ctt.

Gambar 25. Spektrum resonator.

Bila r → UC, ωr ≈ ωo

Bila z = ±1

( )( )

( )( )11

11

11)(

11

−− −

−−

−−

+−=

zjzj oo rere

zzGzH

ωω


IV-50

221

2

)cos2(11

−−

−

+−−

=zrzr

zG

oω

[ ][ ])()(

2

111

)( ωωωω

ω

ω −−−

−

−−−

=oo jj

j

o reree

bH

)()(

)()(

21 ωωω

ωUU

NbH o=

)2cos1(2)( ωω −=N

Tujuan Belajar 35

Peserta dapat mendesain dan membuat filter notch.

Notch Filter adalah sebuah filter yang mengandung satu atau lebih notches

perfect zero. Contoh : Untuk meredam frekuensi PLN

Gambar 26. Spektrum filter notch.

( ) ( )( )11 1112

−−−

±

−−=

=

zezebzH

ezoo

o

jjo

j

ωω

ω

( )21cos21)( −− +−= zzbzH oo ω


IV-51

Untuk menaikkan kinerja, kita bisa menambah pole P1,2 = re±jωo

221

21

cos21cos21

)( −−

−−

+−+−

=zrzr

zzbzH

o

oo ω

ω


IV-52

Tujuan Belajar 36

Peserta dapat mendesain dan membuat filter comb.

Comb Filter adalah - Ekstensi dari Notch Filter - Digunakan untuk membuang harmonics

∑=

−+

=M

k

knxM

ny0

)(1

1)(

FIR :

∑=

−

+=

M

k

kzM

zH01

1)(

[ ]

( )1

)1(

11

11

)( −

+−

−−

+=

zz

MzH

M

+

+=

−

2sin

21

sin

1)(

2

ω

ωω

ωM

Me

H

Mj

( )12

+= Mkj

ezπ

k = 1, 2, 3, …M

pole z = 1 di cancel zero z = 1 In general

∑=

−=M

k

kk zhzH

0

)(

∑=

−=→M

k

kkL LzhzH

0

)(

∑=

−=M

k

jkLL ekhH

0

)()( ωω


IV-53

Jadi bila H(z) punya zero pada frekuensi ωo, HL(z) punya zero di ωk = ωo + 2πk/L , k = 0, … L-1 Bila diterapkan di filter sebelumnya, maka

L

ML

L zz

MzH −

+−

−−

+=

11

11

)()1(

[ ] 2/

)2/sin(2/)1(sin

11

)( LMjL e

LML

MH ω

ωω

ω −++

=

)1(2

+=→ MLk

j

k ezπ

Tujuan Belajar 37

Peserta dapat mendesain dan membuat filter allpass yang tidak trivial.

Semua filter allpass didefinisikan sebagai sistem yang memiliki respon magnitude konstan untuk semua frekuensi. 1)( =ωH 0 ≤ ω ≤ π Contoh Trivial : H(z)= z-k

NN

NNN

N

zazazzazaa

zH −−

−+−−−

+++++++

=...1

...)( 1

1

11

11

Bila ∑=

−−− =→=

N

k

Nkk zA

zAzzHzazA

0

1

)()(

)()(

)(ωH

1

π2− ππ− π2 π25

2π5

4π5

6π5

8π

1a a

1

),( or ω

),( or ω−

),( 1or ω

),( 1or ω−

oω


IV-54

1)()()( 12 ===

−ω

ωjez

zHzHH

→ all pass bila zo is pole, zo

-1 is zero Secara umum:

( )( )( )( )∏ ∏

= =−−

−−

−

−

−−−−

−−

=R CN

k

N

k kk

kk

k

kap zz

zzzaz

zH1 1

1*1

*11

1

1

111)(

ββββ

α

NR ⇒ Real poles and zero NC ⇒ Complex conjugate pairs Agar stabil -1 < αk < 1 |βk| < 1 Ini digunakan untuk phase equalizer

Tujuan Belajar 38

Peserta dapat mendesain dan membuat digital sinusoidal oscillator.

Osilator sinusoidal digital dapat dilihat sebagai bentuk terbatas dari resonator dua pole dimana pole kompeks-konjugate terletak pada unit circle.

22

111

)( −− ++=

zazab

zH o a1 = -2rcosωo

a2 = r2 ⇒ ojreP ω±=12

)()1sin(sin

)( nunrb

nh oo

no ωω

+=

→ bila r = 1, bo = Asinωo h(n) = Asin(n+1)ωou(n) → sinusoidal → digital frequency synthesizer

Gambar 27. Pembangkit sinusoid.

)(sin nA oδω

1a−

2a−

1−z

1−z


IV-55

( ) ( )( )( )( ) o

o

o

o

AyAy

Aynny

ωω

ωω

3sin22sin1

sin01sin

===

+=

Coupled form membangkitkan Asinωon A cosωon Cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ Sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ Didefinisikan α = nωo β = ωo yc(n) = cosnωou(n) = cos(ωo+(n-1)ωo)u(n) ys(n) = sin nωou(n) = sin(ωo+(n-1)ωo)u(n) )1()(sin)1()(cos)( −−−=→ nynyny sococ ωω )1()(cos)1()sin()( −+−= nynyny socos ωω

−−

−=

⇒

)1()1(

cossinsincos

)()(

nyny

nyny

s

c

oo

oo

s

c

ωωωω

initial condition yc(-1) = Acosωo ys(-1) = -Asinωo

Gambar 28. Pembangkit sinus dan cosinus.

6 Penutup Demikian telah dijelaskan konsep spektrum untuk sinyal dan sistem di domain frekusensi.

1−z

1−z

nny oc ωcos)( =

nny os ωsin)( =

oωcos

oωsin

oωsin−

oωcos

Documents

Bab 4 Sinyal dan Sistem Di Domain Frekuensiopenstorage.gunadarma.ac.id/handouts/S1-Sistem Komputer... · 2009-02-07 · BAB 4 Sinyal dan Sistem di Domain IV-1 Bab 4: Sinyal dan Sistem