RANGKUMAN SINYAL DAN SISTEM

RANGKUMAN SINYAL DAN SISTEM

Besaran

Besaran terbagi menjadi dua yaitu

1. Besaran Elektrik

Besaran Elektrik adalah besaran yang dapat dinyatakan dalam arus listrik ataupun tegangan listrik

2. Besaran Non Elketrik

Besaran non elektrik adalah besaran yang tidak dapat dinyatakan dalam arus atau atau tegangan listrik contoh kecepatan

Untuk menterjemahkan besaran non elektrik Besaran listrik diperlukan transducer/sensor

Sinyal :

Time domain Membangkintakn sinyal dengan function generator, Power supply, oscillator

Sinyal dapat dilihat dengan osiloscope, X-Y recorder

Frequency domain Dapat dilihat melalui : Spectrum analisis, Power harmonic analyzer

Secara umum, definisa sinyal dapat diartikan sebagai berikut:

Sinyal :

Suatu besaran yang dapat didetekksi dan mengandung informasi

Sinyal juga dapat diartikan sebagai suatu kuantitas fisk yang berubah terhadap waktu atau ruang maupun berubah terhadap variable-variable beban lain.

Setiap orang punya frekuensi alami ( yang berbeda-beda

Pada tingkatan yang paling mendasar, sinyal dapat diklasifikasikan :

1. Deterministik (real) :

a. Periodik : Sinusoidal, perioik komposit, psudorandom

b. Non periodic : Transient, kuasi periodic (jarak seolah-olah periodic)

2. Random

a. Random stationer : Rndom ergodik, random non ergodik

b. Random non stationer

Secara Umum, system dapat diartikan sebagai berikut

1. Sstem berfungsi untuk mengoperasikan suatu sinyal (secara analitis) dan untuk menghasilkansuatu sinyal yang baru

2. Sistem adalah sekumpulan elemen-elemen/komponen-komponen yang digabungkan menjadi satu kesatuan yang saling bekerja sama Y mencapai maksud / tujuan tertentu (remonse system)

rangkaian differensiator

Tuning time

Sistem dapat diklasifikasikan menjadi :

1. Lumped and distributed parameter system

2. Time invariant and time variant system

3. Cousaility and non caosaility system

4. Linierity and non linearity system

5. Stable and non stable system

6. System without memory

7. Invertible system

1. Lumped and distributed parameter system

Pada umumnya, model matematika tersebut, dituliskan dalam bentuk sebuah Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equation).

Contoh berikut ini merupakan tahapan untuk menyelesaikan persoalan Persamaan Diferensial dengan menggunakan Transformasi Laplace.

Contoh

Jika, diketahui sebuah model matematika sebagai berikut:

Pada persamaan ini, f(t) adalah fungsi pendorongnya, x(t) adalah respon sistemnya. Jika diterapkan Transformasi Laplace, dengan mengasumsikan semua harga awal adalah nol, maka akan didapat:

maka, perbandingan respon dengan pendorongnya, didapat:

Jika, diketahui bahwa fungsi pendorong, f(t), adalah fungsi tangga satuan (unit step function), maka F(s) = 1/s, sehingga:

Dengan menggunakan prinsip PFE, maka didapat:

Dengan menggunakan Tabel Transformasi Laplace, maka respon sistem adalah:

2. Time invariant and time variant system

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .

3. Sistem Invarian waktu dan varian waktu

Sistem dinamakan invarian waktu, jika karakteristik masukan-keluaran tidak berubah menurut waktu. Secara terperinci, anggaplah keluaran y(n) adalah transformasi dari x(n), sehingga dapat kita tulis :

y(n) = [x(n)]

(6.10)

Sekarang anggap sinyal masukan yang sama ditunda k sekon untuk menghasilkan x(n-k), dan juga dipakai sistem yang sama. Jika karakteristik sistem tidak berubah dengan waktu, maka keluaran sistem akan menjadi y(n-k), yakni keluaran akan sama seperti respons terhadap x(n), kecuali bahwa ia akan ditunda k sekon, yang sama dengan penundaan masukannya. Karen itu dapat kita definisikan sistem invarian waktu sebagai berikut.

Teorema : Suatu sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika

x(n)

y(n)

akan mamberikan

x(n-k)

y(n-k)

untuk setiap sinyal masukan x(n) dan setiap pergeseran k sekon.

Untuk keperluan uji coba respons sistem dari x(n-k) atau [x(n)]dinotasikan dengan y(n,k) , sehingga dapat ditulis :

y(n,k ) = [x(n)]

Sekarang dapat kita katakan suatu sistem invarian waktu, jika dan hanya jika :

y(n,k ) = y(n-k)

4. Causality system dan non causality

Keluaran sistem untuk setiap waktu hanya tergantung kepada input sekarang dan sebelumnya, juga output sebelumnya

y(n) = f [x(n), x(n1), x(n2), ,

y(n 1), y(n 2), ]

Contoh:

sistem kausal:

y(n) = 2x(n) 3x(n2)

sistem non kausal:

y(n) = x(n) + 3x(n+4)

Interaksi Sinyal-SistemUntuk sistem LTI (Linear Time Invariant), output y(n) dicari dengan menggunakan Jumlah Konvolusi(Convolution Sum):

h(n) : respon sistem LTI terhadap input unit impuls; k: variabel bantu

x

Sistem Linier Sistem Linier memenuhi sifat: dimana x1(n) dan x2(n) adalah input sistem, sedangkan a1 dan a2 adalah konstanta

ContohSistemLinierBuktikan bahwa sistem yang dinyatakan dengan:

y(n) = 2x(n) adalah linier

Jawab:

T[a1x1(n) + a2x2(n)] = 2[a1x1(n) + a2x2(n)]

= 2a1x1(n) + 2a2x2(n)

a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] = a1(2x1(n))+ a2(2x2(n))

= 2a1x1(n) + 2a2x2(n)

Contoh Sistem Non Linier Buktikan bahwa sistem yang dinyatakan dengan:

y(n) = [x(n)] 2adalah non linier

Jawab:

T[a1x1(n) + a2x2(n)] = [a1x1(n) + a2x2(n)]2

= a12x12(n) + 2a1x1(n) a2x2(n)+ a22x22(n)

a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] = a1(x12(n))+ a2(x22(n))

= a1x12(n) + a2x22(n)

5. Sistem StabilSistem Stabil BIBO(Bounded Input Bounded Output): output sistem adalah terbatas untuk input terbatas

Contoh Sistem Stabil Sistem yang dinyatakan dengan

y(n) = 0,1 * y(n1) + x(n)

dany(-1) = 0

adalah stabil, karena ketika diberi input unit impuls,outputnya adalah:

y(0) = 0,1 * y(1)+ x(0) = 1

y(1) = 0,1 * y(0) + x(1) = 0,1

y(2) = 0,1 * y(1) + x(2) = 0,01

danseterusnya

Contoh system tak stabil Sistem yang dinyatakan dengan

y(n) = 2* y(n1) + x(n)

dany(-1) = 0

adalah tidak stabil, karena ketika diberi input unit impuls,outputnya adalah:

y(0) = 2* y(1) + x(0) = 1

y(1) = 2* y(0) + x(1) = 2

y(2) = 2* y(1) + x(2) = 4

danseterusnya

6. Sistem bermemori dan tanpa memoriSistem bermemori adalah sistem yang keluarannya merupakan fungsi dari masukan sekarang dan masukan sebelumnya.

Sistem bermemori: y(t) = -4x(t-1) + 2x(t)

Sistem tanpa memori: y(t) = 2x7. InvertibilitasJika keluaran diketahui, kita dapat menentukan masukannya. Hasilnya dikatakan sebagai system invers.

contoh: y(t) = 2 x(t) ( x(t) = y(t)

contoh sistem yang tidak invertible: y[n] = 0.

Konvolusi Kontinyu

Keluaran sistem dengan tanggapan impuls h(t) dan masukan x(t) dapat direpresentasikan sebagai:

(2.4)

atau dapat juga dinyatakan:

Kedua rumusan diatas dikenal sebagai integral konvolusi. Untuk dua fungsi sembarang x(t) dan h(t) maka integral konvolusi r(t) dapat dinyatakan sebagai:

r(t) = x(t) * h(t)

Konvolusi kontinyu mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a) Komutatif

x(t)*y(t) = y(t)*x(t)

rxy(t) = ryx(t)

b) Distributif x(t)*[y(t) ( z(t)] = [x(t)*y(t)] ( [x(t)*z(t)]

rxy(t) = ryx(t) ( rxz(t)

c) Asosiatif

x(t)*[y(t)*z(t)] = [x(t)*y(t)]*z(t)

Untuk memperjelas penggunaan integral konvolusi disajikan contoh sebagai berikut:

Contoh soal 2.5:

Dua buah isyarat mempunyai rumusan sebagai berikut:

x(t) =10