Sntesis de periodo 2 grado octavo.

PRODUCTOS NOTABLES.Los productos notables son expresiones algebraicas que resultan de generalizar ciertos casos de multiplicacin de polinomios.CUADRADO DE UN BINOMIOUn binomio es una suma o una diferencia de dos nmeros (o expresiones numricas).Aplicando algunas propiedades bsicas de los nmeros, es muy fcil demostrar que:"El cuadrado de la suma es la suma de los cuadradosMSel doble del producto"

"El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadradosMENOSel doble del producto"Llamando a esos nmeros "a" y "b", una demostracin sera:

(a + b) (a + b) = (a + b)2 = aa+ ab + ba+ bb = a2+ 2ab+ b2

y la otra demostracin sera:

(a - b) (a - b) = (a - b)2= aa- ab - ba+ bb = a2- 2ab+ b2Observa que la segunda identidad puede verse como un caso particular de la primera, cuando "b" sea un nmero negativo:

(a - b)2= (a + (-b))2= a2+ 2a(-b)+ b2= a2- 2ab+ b2

Ejemplos de binomios al cuadrado:Desarrollar usando los productos notables. (4x3 2y2)2

Primero: calculamos el cuadrado del primer trmino: (4x3)2= 16x6Segundo: Se aplica el signo del binomio: en este caso (-)Tercero: El doble producto del primero por el segundo: 2 (4x3)(2y2) = 16x3y2Cuarto: El cuadrado del segundo trmino: (2y2)2= 4Y4

Entonces tenemos: (4x3 2y2)2 = 16x6- 16x3y2+ 4y4

CUADRADO DE UN TRINOMIO:

El cuadrado de la suma de tres trminos es igual al cuadrado del primer trmino, ms el cuadrado del segundo trmino, ms el cuadrado del tercer trmino, ms el doble del producto del primer trmino por el segundo trmino, ms el doble del producto del segundo trmino por el tercer trmino, ms el doble del producto del primer trmino por el tercer trmino:

Producto de la suma por la diferencia de dos trminos:

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

(c + d) (c - d) = c2 - d2

Ejemplo:

(4x + 3y)(4x - 3y) = 16x2 - 9y2a) El cuadrado de la primera cantidad es (4x)2= 16x2

b) El cuadrado de la segunda cantidad es (3y)2= 9y2

EL CUBO DE UN BINOMIO:

CUBO DE UN BINOMIO (CUANDO EL BINOMIO ES LA SUMA DE DOS TERMINOS):

El cubo de la suma de dos trminos es igual al cubo de la primera cantidad ms el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, ms el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, ms el cubo de la segunda cantidad.

(a + b)3 = a3 + 32 b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = elevar al cubo (a + b) equivale a multiplicar este binomio por s mismo dos veces = (a + b) (a + b) (a + b)

Efecte la multiplicacin recordando lo indicado en Producto de Polinomios y notar que el resultado ser (a + b) (a + b) (a + b) = a3 + 32 b + 3ab2 + b3

CUBO DE UN BINOMIO (CUANDO EL BINOMIO ES LA DIFERENCIA DE DOS TRMINOS):

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, ms el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, menos el cubo de la segunda cantidad.

(a b)3 = a3 3a2 b + 3ab2 b3

(a b)3 = elevar al cubo (a b) equivale a multiplicar este binomio por s mismo dos veces = (a b) (a b) (a b)

Efecte la multiplicacin recordando lo indicado en Producto de Polinomios y notar que el resultado ser (a b) (a b) (a b) = a3 3a2 b + 3ab2 b3

Ejemplos:

EL TRINGULO DE PASCAL.

El tringulo de Pascal es un arreglo de un nmero que permite que permite hallar los coeficientes de una expresin cualquiera de la forma (a + b)n o (a - b)n, donde n es un nmero natural.

El tringulo de Pascal, cada fila comienza y termina en 1. El resto de valores se obtiene de la suma de los dos nmeros que se encuentran exactamente sobre l, ubicado en la fila inmediatamente superior.

Desarrollo de la cinco primeras potencias del binomio a + b

COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios.Para determinar los cocientes notables, es necesario tener en cuenta lo siguientes

A continuacin podremos ver en la tabla algunos de los cocientes notables mas usados:

Para probar un cociente notable podremos realizar las divisin entre polinomios miremos: efectuar la divisin entre

Estemos muy atentos a este ejercicio.

La factorizacin es uno de los conceptos fundamentales del estudio del algebra.Enlgebra, la factorizacin es expresar un nmero (por ejemplo, un nmero compuesto o un polinomio) como producto de otros nmeros o polinomios ms pequeos (factores).Por ejemplo, el nmero 15 se factoriza ennmeros primos3 5; y a - b se factoriza comobinomio (a - b) (a + b).

Todo polinomio que no se puede expresar como producto de polinomios ms simples, se llama polinomio primo.

Factorizacin de un monomio:

La factorizacin de un monomio consiste en expresarlo como el producto de dos o ms monomios.

Ejemplo: Cabe aclarar que no es la nica manera de factorizarlo pueden existir ms.

FACTORIZACIN POR FACTOR COMN.Algunos polinomios entre sus trminos tienen expresiones comunes estas pueden ser numricas o literales (variables). Esta expresin recibe el nombre de factor comn.Por ejemplo Factorizar el polinomio: ax + ay

Primero: se extrae el factor comn segn sus caractersticas, parte numrica, parte literal.Segundo: se divide cada expresin del polinomio dado por el factor comn extrado.Tercero: Se escribe la factorizacin del polinomio compuesto.Ejemplo: Sacar el factor comn de Primero calculamos el m.c.d de la parte numrica, luego tomamos de la variable que se repite la que tiene menor exponente. En este caso x y n. entonces tenemos:

Respuesta: 10xn(2x 5) Ejemplo # 2 Calcular el factor comn de la siguientes expresin.

Observando la expresin vemos que el factor comn es entonces tenemos:

FACTOR COMUN POR AGRUPACIN DE TRMINO.

En ocasiones los polinomios no tienen un factor comn en todos sus trminos, pero si hacemos una agrupacin lograremos obtener expresiones comunes.

Miremos: , No hay factor comn en todos sus trminos, sin embargo, al agrupar algunos trminos del polinomio obtenemos grupos de trminos con algn factor comn.Miremos: si tomamos la expresin

Factorizacin de binomios.Se aplica en cocientes y productos notables.Factorizacin de la diferencia de cuadrados.La diferencia de cuadrados indica que se puede factorizar como el producto de dos factores.

Para identificar si es una diferencia de cuadrados verificamos las siguientes condiciones. EL binomio debe tener dos trminos, separados por el signo menos. Los dos trminos deben estar al cuadrado, es decir, se les puede extraer la raz Cuadrada exacta.

Ejemplo:

FACTORIZACIN DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE CUBOS.Las expresiones de la forma En la factorizacin de la suma o resta de cubos, se identifican las siguientes caractersticas Sus trminos tienen igual signo en la suma. Sus trminos tienen diferente signo en la resta. Cada uno de sus trminos tiene raz cubica exacta.

Ejemplo:

Primero extraemos las raz cubica de cada trmino

, Se factorizan por suma de cubos.

, Se Resuelve la operacin.

Y obtenemos lo siguiente:

FACTORIZACIN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.

Factorizacin de trinomios.

Cuando los polinomios tienen tres trminos, se factorizan segn sus caractersticas. Por tal razn hay tres clases de trinomios: Los trinomios cuadrados perfectos:Los trinomios de la forma :Y los trinomios de la forma:

Los trinomios cuadrados perfectos:Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es perfecto si: El primer y el tercero trmino tienen raz cuadrada exacta. El segundo trmino es el doble producto de las races cuadradas del primer y tercer trmino. El primer y tercer trmino siempre son positivos el segundo trmino puede ser positivo o negativo.

Ejemplo:

Primero ordenamos el polinomio de la siguiente manera. Luego verifiquemos si es trinomio cuadrado perfecto as:Primero sacamos la raz cuadrada del primer y tercer trmino

y Segundo: Verificamos si el segundo trmino es igual al doble producto de la raz cuadrada del primer y tercer trmino as:

Como el segundo trmino si es el doble producto de las races cuadradas del primer y tercer trmino entonces concluimos que el trinomio si es un trinomio cuadrado perfecto y los factorizamos as:

Ejemplo # 2.

FACTORIZACIN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN Y SUSTRACCIN.En algunos casos hay trinomios que el primer y tercer trmino son cuadrados perfectos pero el segundo trmino no es el doble producto de las races del primer trmino por el tercero, por tal razn es posible sumar y restar un trmino de tal manera que el trinomio dado se conviertan en un trinomio cuadrado perfecto, a esto se le denomina completar cuadrados para ello procedemos de la siguiente forma.

Primero: Se hallan las races cuadradas del primer y tercer trmino.Segundo: Se multiplica por 2 las races obtenidas anteriormente, para determinar cul debe ser el segundo trmino de un trinomio que sea cuadrado perfecto.Luego: Se busca un trmino semejante, de tal forma que sumado con el segundo trmino que tiene el trinomio d como resultado el nuevo trmino para que sea trinomio cuadrado perfecto. Se suma y se resta este trmino semejante al trinomio dado.

Ejemplo: Determinar si es o no trinomio cuadrado perfecto de no serlo completarlo por medio de la suma o resta de trminos semejantes.

Primero: Se hallan las races del primer y tercer trmino y

Segundo: Se halla el doble producto de las races.

No es trinomio cuadrado perfecto ahora tendremos que completarlo de la siguiente manera:

Tomamos el que necesitamos y los restamos con el segundo trmino del trinomio para calcular el trmino semejante que nos hace falta. Este es el trmino que nos hace falta ahora sumamos y restamos en el trinomio cuadrado perfecto para completar el cuadrado perfecto as.

Entonces obtenemos Miremos:

Esto forma un trinomio cuadrado perfecto por tal razn obtenemos lo siguiente:

Trinomios de la forma :Las caractersticas de un trinomio de la forma :El primer trmino tiene coeficiente 1 y es un cuadrado perfecto.El segundo trmino contiene la misma variable del primer trmino elevado a la mitad del exponente de la variable del primer trmino.El tercer trmino es un trmino independiente.

Para factorizar este tipo de trinomios procedemos as: Ejemplo:

Primero: Se halla la raz cuadrada del primer trmino y se escribe en dos parntesis.

Segundo: Se buscan dos nmeros tales que su producto sea el trmino independiente y su suma o resta e coeficiente del segundo trmino.Miremos: Entonces esos dos nmeros son 7 y 2.Tercero: Se expresa el producto en dos factores de tal forma que en cada uno se ubique los dos nmeros encontrados anteriormente.

Trinomios de la forma:Las caractersticas de un trinomio de la forma :

El primer trmino tiene coeficiente diferente de 1.El segundo trmino es la raz cuadrada de la variable del primer trmino.El tercer trmino es un trmino independiente.

Para factorizar este tipo de trinomios procedemos as: Ejemplo:

Primero: Se multiplica y se divide cada trmino por el coeficiente del primer trmino en este caso por 4 as.

Se multiplica cada trmino excepto el segundo este se deja indicado miremos.

Luego al primer trmino el sacamos la raz cuadrada y la elevamos al cuadrado, y en el segundo trmino cambiamos el orden de los dos factores numricos. De la siguiente forma.

Cambiamos en el segundo trmino el lugar del 15 por el 4.

De esta manera logramos que el segundo trmino sea la raz cuadrada del primer trmino. Ahora si podremos factorizar:

Primero: Se halla la raz cuadrada del primer trmino y se escribe en dos parntesis.

Segundo: Se buscan dos nmeros tales que su producto sea el trmino independiente y su suma o resta e coeficiente del segundo trmino.Miremos:

Tercero: Se expresa el producto en dos factores de tal forma que en cada uno se ubique los dos nmeros encontrados anteriormente, recuerde esto sigue dividido entre 4.

Cuarto: Debemos quitar el 4 que est dividiendo para ello miramos de cul de los dos factores podremos sacar un factor comn 4 de tal manera que se pueda dividir con el 4 del denominador miremos:

Posteriormente se divide el 4 factor comn con el denominador de la expresin y obtenemos

FACTORIZACIN DE UN CUBO PERFECTO.

Ejemplo:Probar si es un cubo perfecto.

COMBINACION DE LOS CASOS DE FACTORIZACIN.

En algunos polinomios es necesario usar uno o ms casos de factorizacin para factorar dicho polinomio.

Ejemplo:

Primero utilizamos el caso de factorizacin factor comn as:

Por ltimo en la expresin podemos aplicar la diferencia de cuadrados y obtenemos , entonces la expresin