1/signali

1. Signali i sistemi

SIGNAL I ŠUM

Iako je reč "signal" u svakodnevnoj upotrebi formalna definicija ovog pojma nije u potpunosti precizna.

Sa matematičke taške gledišta signal je neka funkcija koja zavisi od jedne ili više nezavisnih promenljivih. Ova veoma široka definicija dovodi do toga da se praktično sve što je promenljivo u vremenu ili prostoru, na primer sunčeva svetlost, količina dinara ili crvenih krvnih ćelija može smatrati signalom.

U fizici signal se posmatra kao fenomen koji nastaje iz nekog izvora energije. U tom smislu signal je struktuirana energija koja se oslobaña iz nekog električnog izvora, iz hemijske reakcije, iz ljudskog grla ili na bilo koji drugi način.

U svakodnevnom životu, meñutim, pojam signal se vezuje za informaciju koju on nosi. Tako se na primer crvena krvna zrnca prebrojavaju da bi se dobila informacija o nečijem zdravstvenom stanju, dinari se broje da bi se dobila informacija o ekonomskoj situaciji, signali iz različitih izvora energije pomažu da se dobije informacija o procesima koji se odvijaju unutar izvora itd. U tom kontekstu u teoriji signala usvojeno je da je signal vremenski ili prostorno promenljiv fizički fenomen koji nosi neku informaciju.

Akcenat na informaciju koja se prenosi bitan je, pre svega, zbog toga što postoje i promenljivi fizički fenomeni koji ne nose nikakvu informaciju. Ovi fenomeni nazivaju se šumovi ili poremećaji. Pored toga, što ne nose informaciju oni veoma često interferiraju sa signalom i zamagljuju informaciju koju signal nosi. Otuda se šum posmatra kao nepoželjan signal koga treba odstraniti sa ciljem dobijanja jasnije informacije.

Signali imaju veoma različite pojavne oblike: govorni signal kod koga je informacija sadržana u izgovorenim glasovima, zvučni signal koji informaciju predstavlja pomoću boje i visine tona, toplotni signal kod koga je informacija iskazana različitim temperaturama, svetlosni signal koji informaciju predstavlja vizuelno ili pomoću različitog intenziteta svetlosti, ili pomoću različitog trajanja svetlih i tamnih segmenata, električni signal kod koga je informacija sadržana u nekoj od karakteristika signala (amplituda ili učestanost) itd.

Pri opserviranju nekog fizičkog fenomena o kome se želi dobiti informacija najčešće se koriste merni instrumenti koji informaciju o nekoj fizičkoj veličini daju u formi električnog signala. Ova forma signala je veoma pogodna i ukoliko se želi prenos signala na daljinu.

Veoma često informacija koju signal nosi se odnosi na stanje ili ponašanje nekog procesa. Fizičari tako prate signale u vakumskim komorama u potrazi za različitim česticama, geolozi pokušavaju da otkriju signale koji najavljuju zemljotres, biolozi proučavaju signale različitih biljnih i životinjskih vrsta, političari prate signale koji im pomažu da usmere svoje kampanje, neurolozi istražuju elektrohemijske signale koji se emituju u neuronima u mozgu.

I inženjeri ispituju različite signale, s tim što u oblasti tehnike postoji i svojevrsna razlika. Pored ispitivanja signala inženjeri se bave i njihovim oblikovanjem. Sam način oblikovanja zavisi od svrhe koja se želi ostvariti. Ovo oblikovanje se ostvaruje pomoću sistema.

SISTEM

Sistem je skup meñusobno povezanih elemenata koji deluju kao jedna celina, koja ima sposobnost da kada je pobuñena nekim signalom na svom ulazu proizvede odgovarajući signal (odziv) na svom izlazu. Sistem može biti električni, mehanički, biološki, ekonomski, politički itd. Neki sistemi su prirodni, nastali evolucijom tokom niza

2/signali

godina, a neki su veštački, projektovani sa idejom da se omogući obavljanje neke funckije (npr. telekomunikacioni sistemi za prenos signala na daljinu).

Signali se obrañuju u sistemu. Sama svrha obrade može biti raznovrsna. Signal se može obrañivati da bi se iz njega izvukla informacija i predstavila na neki razumljiviji ili pogodniji način, ili da bi se na osnovu nje predvideli neki fenomeni koji će se dogoditi u budućnosti. Pored toga, obradom u sistemu signal se može transformisati u oblik pogodniji za prenos na daljinu. Isto tako, obrada signala može imati za cilj da se na izlazu sistema postigne neki željeni efekat, kao što je formiranje laserskih signala, otvaranje ili zatvaranje različitih ventila, pokretanje mašina itd.

MATEMATIČKI MODEL

Uprkos izuzetnoj raznovrsnosti signala i sistema, pokazuje se da se oni imaju neke zajedničke karakteristike i da se mogu, bar u nekoj meri, analizirati na isti način. U osnovi analize signala i sistema leži njihovo predstavljanje pomoću odgovarajućih jednačina, odnosno formiranje matematičkih modela.

Matematički model signala i sistema je skup jednačina kojima se oni mogu opisati i to tako da se na osnovu poznavanja vrednosti nezavisno promenljivih može odrediti vrednost signala. Pri tome, budući da i signali i sistemi mogu biti veoma složeni, matematički model je veoma često samo aproksimacija realnog fizičkog signala ili sistema. To nadalje znači da se i rezultati analize moraju kritički posmatrati i da se stalno mora voditi računa o odnosu teorijskih rezultata i njihove fizičke ostvarljivosti.

U zavisnosti od vrste signala, matematička funkcija kojom se oni modeliraju može imati jednu ili više nezavisnih promenljivih. Kod jedne široke klase signala nezavisna promenljiva je vreme. U tom slučaju signal se modelira pomoću diferencijalnih jednačina koje izražavaju njegovu promenu u vremenu. Pokazaće se meñutim, da je sa gledišta analize, veoma često pogodno da se odreñenim transformacijama vremenski promenljive funkcije preslikaju u domen neke druge nezavisno promenljive veličine. Otuda se signali i sistemi modeliraju i analiziraju u vremenskom, frekvencijskom i kompleksnom domenu.

Posebnu klasu signala čine signali koji imaju dve ili tri nezavisne promenljive koje odgovaraju dimenzijama u prostoru. Ovi signali se koriste za formiranje i prenos slike.

3/signali

2. Vrste signala

U zavisnosti od aspekta koji se posmatra postoje različite podele signala.

Definisanost signala u vremenu (nezavisna promenljiva)

• Kontinualni signali – definisani u svakom trenutku vremena na nekom vremenskom intervalu. Ovi signali se označavaju i kao analogni signali jer je njihova promena analogna promeni neke fizičke veličine koja se posmatra i o kojoj oni nose informaciju. Treba istaći da je najveći broj fizičkih fenomena koji se posmatra po svojoj prirodi kontinualan. • Diskretni signali – definisani samo u odreñenim trenucima vremena na nekom vremenskom intervalu.

Diskretni signali mogu nastati tako što se neki kontinualni fizički fenomen prati (meri) u odreñenim diskretnim trenucima vremena. Tako se , na primer, meteorološki podaci u jednom gradu (temperatura,

pritisak, brzina vetra, vlažnost vazduha itd.) beleže svakog sata. Pored toga, diskretni signali mogu nastati i u nekom procesu koji

je po svojoj prirodi diskretan (na primer obračun dnevnog interesa na računu štednje). Konačno, čak i pod uslovima da se vrši kontinualno merenje na nekom fizičkom procesu kontinualni signali se, zbog potreba obrade, mogu disktretizovati tako što se u nekim odreñenim trenucima vremena uzimaju vrednosti kontinualnog signala – odbirci i na osnovu njih se formira diskretni signal. Ovaj postupak se naziva odabiranje, a vremenski interval uzimanja odbiraka se zove perioda odabiranja. Samo se po sebi razume da se u ovom slučaju postavlja pitanje odnosa periode odabiranja i tačnosti sa kojom dobijeni diskretni signal opisuje kontinualni fenomen. O tome će kasnije biti više reči.

Vrednosti amplitude

• Signali kontinualne amplitude – imaju amplitudu koja uzima vrednost iz kontinualnog skupa vrednosti definisanog na nekom segmentu.

• Signali diskretne amplitude - imaju amplitudu koja uzima vrednosti iz nekog konačnog skupa vrednosti definisanog na nekom segmentu. Ovi signali se najčešće dobijaju kvantizacijom signala kontinualne amlitude. U postupku kvantizacije vrednost signala kontinualne amplitiude u nekom trenutku vremena se zaokruživanjem ili odsecanjem dovodi na jednu od diskretnih vrednosti amplitude. U principu, signali diskretne amplitude mogu biti kontinualni ili diskretni po vremenu.

Treba istaći da obrada signala pomoću računara nužno dovodi do

diskretizacije i kvantizuacije signala (Sl. 3). Diskretizacija je neophodna zato što se vrednosti signala u računar mogu uneti samo u odreñenim trenucima vremena. Kvantizacija se zahteva zbog konačne dužine reči računara koja samim tim odreñuje i broj različitih kvantizacionih nivoa. Pri tome, kasnije će biti pokazano, da se pod odreñenim uslovima iz diskretizovanog signala, makar teorijski, može izvršiti

Sl. 1 Primer kontinualnog signala

Sl. 2 Primer diskretnog signala

dis kretn i s ignald is kretn i s ignald is kretn i s ignald is kretn i s ignal

tttt

x[n]x[n]x[n]x[n]

t t t t

kontinualni s ignalkontinua lni s ignalkontinua lni s ignalkontinua lni s ignal

x(t)x(t)x(t)x(t)

tttt

4/signali

rekonstrukcija originalnog kontinualnog signala. Meñutim, prosec kvantizacije je u potpunosti ireverzibilan i nema načina da se iz izvrši rekonstrukcija kvantizovanog signala.

• Digitalni signali – posebna vrsta kontinualnih signala diskretne amplitude koja se formira kodiranjem diskretnih signala, diskretne amplitude. Ovi signali se javljaju kao povorka pravougaonih impulsa (četvrtki). Visina pojedinog impulsa odgovara nekom broju u sistemu koji je korišćen za kodiranje (često je to binarni brojni sistem). Ukoliko amplituda digitalnog signala ima samo samo dva nivoa onda se takav signal zove binarni signal. Pri tome se informacija koju taj signal nosi može

da kodira bilo preko dužine trajanja impulsa (širina četvrtke), bilo preko broja impulsa koji se javljaju na nekom intervalu vremena ili jednostavno tako što se postojanje impulsa interpretira kao bit vrednosti 1, a nepostojanje kao bit vrednosti nula. Niz ovih bitova predstavlja jedan binarni broj.

Sve veća rasprostranjenost digitalnih sistema dovodi do povećanog značaja digitalnih signala. Izmeñu ostalog, jedna od izuzetno važnih osobina digitalnih signala je njihova manja osetljivost na šum. Naime, budući da se kod digitalnog signala tačno zna koji nivoi amplitude se mogu očekivati, postavljanjem odgovarajućih pragova signal se. u nekim slučajevima, može proceniti i ako je zašumljen (Sl. 5). Očigledno je da se isti pristup ne može primeniti kod zašumljenog kontinualnog ili diskretnog signala koji mogu imati proizvoljne vrednosti amplituda. Samo se po sebi razume, da je i kod digitalnih signala ovaj postupak moguć samo dotle dok je odnos amplitude signala i šuma relativno mali.

Sl. 3 Postupak diskretizacije i kvantizacije kontinualnog signala x(t)

Sl. 4 Binarni digitalni signal

dig i ta ln i s igna ld ig i ta ln i s igna ld ig i ta ln i s igna ld ig i ta ln i s igna l tttt

x(t)x(t)x(t)x(t)

0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x(t)x(t)x(t)x(t)x[n]x[n]x[n]x[n]x[n] kvantx[n] kvantx[n] kvantx[n] kvant

kv

ati

za

cij

a (

q=

0.5

)k

va

tiz

ac

ija

(q

=0

.5)

kv

ati

za

cij

a (

q=

0.5

)k

va

tiz

ac

ija

(q

=0

.5)

d is kre tizaci ja (T=1)dis kre tizaci ja (T=1)dis kre tizaci ja (T=1)dis kre tizaci ja (T=1)

5/signali

Modeliranje signala

• Deterministički signali – signali čije se vrednosti mogu odrediti i koji se mogu predstaviti pomoću matematičke jednačine

• Stohastički signali – signali čije se vrednosti ne mogu egzaktno odrediti i koji se. prema tome, ne mogu prikazati pomoću matematičke formule. Oni se modeliraju pomoću deskriptora koji izražavaju neke bitne osobine signala (srednja vrednost, varijansa itd.)

0

1

nezas um l jen dig i ta ln i s ignalnezas um l jen dig i ta ln i s ignalnezas um l jen dig i ta ln i s ignalnezas um l jen dig i ta ln i s ignal

tttt

x(t)x(t)x(t)x(t)

00000000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00001111 1111 1111 1111 1111

-1

0

1

zas um l jen s igna lzas um l jen s igna lzas um l jen s igna lzas um l jen s igna l

tttt

x(t)+n(t)x(t)+n(t)x(t)+n(t)x(t)+n(t)

00000000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00001111 1111 1111 1111 1111

0.6 0.6 0.6 0.6

0

1signal posle poredjenja bitova sa pragomsignal posle poredjenja bitova sa pragomsignal posle poredjenja bitova sa pragomsignal posle poredjenja bitova sa pragom

tttt

xf(t)xf(t)xf(t)xf(t)

00000000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00001111 1111 1111 1111 1111

Sl. 5 Izdvajanje informacije iz zašumljenog binarnog signala (prag = 0.6)

6/signali

3. Karakteristične kontinualne funkcije

Jedinična odskočna funkcija (step funkcija) Odskočna funkcija je funkcija koja u jednom trenutku vremena t0 promeni vrednost sa vrednosti A na vrednost B. Vrednost odskočne funkcije u tački prekida (promene vrednosti) definiše se na više načina. Najčešće se koristi jedan od sledeća tri oblika:

>

=+

<

=

>

≤=

≥

<=

0

0

0

30

02

0

01

ttB

tt2

BAttA

)t(httB

ttA)t(h

ttB

ttA)t(h

Interesantno je zapaziti da je, nezavisno od načina definisanja, integral odskočne funkcije na nekom intervalu uvek isti. Naime,

i 0 0h (t)dt A(t ) B( t ) i 1,2,3β

α

= −α + β− =∫

Ova osobina ima za posledicu činjenicu da je odziv svakog sistema na pobudu predstavljenu bilo kojom od ovih (ili drugačije definisanih) odskočnih funkcija uvek isti. Pored toga, ove funkcije se ne razlikuju ni sa gledišta različitih transformacija koje sa na njih primenjuju. U tom smislu one su potpuno ekvivalentne, što znači da je sa gledišta analize signala svejedno koji oblik se koristi.

Izložena osobina odskočnih funkcija se može generalisati. Naime, dva signala predstavljena funkcijama koje imaju iste vrednosti na nekom intervalu vremena, a razlikuju se samo u vrednostima u konačnom broju tačaka prekida su ekvivalentna u smislu efekta koje imaju kao pobude bilo kog realnog sistema.

U skladu sa izloženim, najčešća definicija jedinične odskočne funkcije je1:

≥

<=

0

0

tt1

tt0)t(h

Izraz jedinična odskočna funkcija podrazumevaće, dakle, ovaj oblik osim ako se posebno ne naglasi da se radi o drugačijoj definiciji tačke prekida. I ako bi striktno gledano odskočna funkcija trebalo da se prikaže tako da se jasno istakne kako je definisana njena vrednost u nuli (Sl. 6-a), uobičajeno je da se to podrazumeva, te da se funkcija prikazuje tako da se sa grafika ne vidi koju vrednost ona zapravo ima za t=0 (Sl.

6-b). Odskočna funkcija se u analizi signala koristi za predstavljanje akcije prekidača

koji u nekom trenutku menja svoje stanje. Imajući u vidu različite moguće definicije odskočne funkcije, bilo bi prirodno postaviti pitanje kolika je vrednost signala u trenutku prebacivanja prekidača. Odgovor se ne može dati, jer u suštini nijedan realni kontinualni fizički proces, pa samim tim ni prekidački proces, ne može trenutno da promeni svoje stanje. Svi fizički procesi se menjaju kontinualno, brže ili sporije. Drugim rečima, sve kontinualne funkcije koje se koriste za modeliranje stvarnih, fizički ostvarljivih, signala ne mogu imati singularnu tačku. Meñutim, imajući u vidu da su neke promene veoma

1 U anglosaksonskoj literature jediniča odskočna funkcija se najčešće označava slovom "u" (unit step function); kod nas je uobičajena oznaka "h" koja potiče od alternativnog naziva ove funkcije "Hevisajdova funkcija" (po matematičaru Hevisajdu koji je uveo pojam ove funkcije), dok se simbol "u" koristi za označavanje signala na ulazu u sistem.

Sl. 6 Jedinična odskočna funkcija

7/signali

brze i da se sa gledišta efekta koje one imaju može smatrati da se dešavaju trenutno, one se mogu aproksimirati odskočnom funkcijom. To zapravo znači da se odskočna funkcija koristi da predstavi idealni, fizički neostvarljiv, prekidač koji sa zadovoljavajućom tačnošću aproksimira realni prekidač. U tom smislu, celokupna diskusija vezana za definiciju vrednosti u singularnoj tačci ima samo teorijski značaj.

Signum funkcija

<−

=

>

=

0t1

0t0

0t1

)tsgn(

Jedinična nagibna funkcija (rampa) Jedinična nagibna funkcija definiše se kao

∫∞−

λλ=

<

≥=

t

d)(h0t0

0tt)t(r

Ova funkcija se koristi za prikazivanje signala koji nastaju u nekom trenutku i

posle toga se linearno menjaju.

Jedinična impulsna funkcija Jedinična impulsna funkcija karakteristična je po tome što nije definisana u jednoj

tačci i nema adekvatnu grafičku reprezentaciju. Ova funkcije se zapravo definiše preko efekta koju ima kada se pomnoži sa nekom drugom funkcijom. Da bi se objasnila definicija impulsne funkcije uspostavićemo, kao prvo, njenu vezu sa jediničnom odskočnom funkcijom

Posmatrajmo funkciju ha(t) (Sl. 7) koja teži ka odskočnoj funkciji kad a teži ka nuli. Izvod ove funkcije jednak je pravougaonom impulsu (Sl. 8)

0

0 2

12

2

1 2

0 2

1 2

0 2

a aa

aa

t a /

ah (t) t t a / lim h (t) h(t)

a

t a /

t a /dh (t)

/ a t a / (t)dt

t a /

→

< − = + < = ⇒ >

< −

= < = δ >

Posmatrajmo nadalje proizvod dobijenog pravougaonog

impulsa i neke kontinualne funkcije x(t), koja je neprekidna za t=0 (Sl. 9). Površina koju dobijeni proizvod zaklapa sa

apscisnom osom je 2 2

2 2

1a / a /

aa / a /

P (t)x(t)dt x(t)dta

− −

= δ =∫ ∫

Ako se potraži limes ove površine kada širina pravougaonog impulsa a teži ka nuli,

Sl. 7 Aproksimacija jedinične odskočne

funkcije

Sl. 8 Pravougaoni impuls

8/signali

dobiće se

2 2

0 0 02 2

1 10 0

a / a /

a a aa / a /

lim P lim x(t)dt x( ) lim dt x( )a a→ → →− −

= = =∫ ∫

Iz rezultata se vidi da funkcija δa(t) ima osobinu da množenjem sa nekom drugom funkcijom, kada a teži ka nuli, izdvoji vrednost te funkcije za t=0.

Prirodno se postavlja pitanje da li je uočena osobina karakteristika samo jediničnog pravougaonog impulsa, ili možda postoje i druge funkcije koje imaju istu osobinu. U traženju odgovora na ovo pitanje posmatrajmo trougaonu funkciju definisanu kao

>

<

−

=δ

at0

ata

t1

a

1)t(a

Ako se potraži limes površine funkcije δa(t)x(t) dobiće se

)0(xdta

t1

a

2lim)0(xdt)t(x

a

t1

a

1limPlim

a

00a

a

a0a0a

=

−=

−= ∫∫ →

−→→

Očigledno je da pravougaoni impuls nije jedina funkcija sa uočenom osobinom. Šta više pokazuje se da postoji čitav niz funkcija različitog oblika koje imaju osobinu da izdvajaju vrednost x(0). Pokazuje se takoñe da oblik ovih funkcija nije bitan, već je dovoljno da površina ispod funkcije bude takva da je

1dt)t(a =δ∫∞

∞−

Polazeći od ove činjenice jedinična impulsna funkcija se definiše kao funkcija koja množeći neku drugu funkciju izdvaja njenu vrednost u t=0. Ta funkcija se označava sa δ(t). Drugim rečima, δ(t) ne predstavlja jednu jedinstvenu funkciju u klasičnom smislu te reči, već usvojeni način označavanja čitave klase funkcija koje imaju istu osobinu

)0(xdt)t(x)t( =δ∫∞

∞−

U izvesnom smislu jedinična impulsna funkcija može se shvatiti kao impuls čija je širina toliko mala da se daljim smanjivanjem širine neće prouzrokovati nikakva promena na signalu na kome se ona primenjuje. Površina ispod impulsa se zove snaga ili težina impulsa.

Vraćajući se sada na uspostavljenu vezu izmeñu aproksimacije jedinične odskočne funkcije i pravougaonog impulsa vidi se da se jedinična impulsna funkcija može definisati i kao izvod jedinične odskočne funkcije.

0 0

0 2

1 2

0 2

a aa a

a a

t a /dh (t) dh (t) dh(t)

/ a t a / (t) lim lim (t) (t)dt dt dt

t a /→ →

< −

= < = δ ⇒ = = δ = δ >

To nadalje znači da je

∫∞−

λλδ=t

d)()t(h Otuda se impulsna funkcija često definiše i kao

Sl. 9 Izdvajanje x(0)

Sl. 10 Trougaona funkcija

9/signali

∫ <<=δ≠=δ2

1

t

t

21 t0tza1dt)t(i0tza0)t(

Ako se sada zamisli da se pravougaona ili

trougaona funkcija centriraju oko neke tačke t0 umesto oko koordinatnog početka (t=0), onda se vidi da se funkcija δ(t-t0) može definisati kao

)t(xdt)t(x)tt( 00 =−δ∫∞

∞−

odnosno

∫ <<=−δ≠=−δ2

1

t

t

201000 tttza1dt)tt(ittza0)tt(

Potrebno je zapaziti da funkcija δ(t-t0) zapravo vrši odabiranje funkcije x(t) u tačci t0. Nadalje, vidi se da važi i relacija

)tt()t(x)tt()t(x 000 −δ=−δ

Izložena osobina impulsne funkcije dovodi do toga da se ona koristi za predstavljanje procesa odabiranja. Sam proces odabiranja se u tom slučaju zamišlja kao proces u kome je neki prekidač zatvoren u beskonačno kratkom vremenskom intervalu u kome se uzima vrednost odbirka. Samo se po sebi razume da se takav odabirač (prekidač) ne može konstruisati. Realni odabirači su uvek zatvoreni neki mali konačni period vremena, što znači da oni zapravo realizuju neku pravougaonu funkciju male (ali konačne) širine. Otuda, impulsnu funkciju treba shvatiti kao reprezentaciju

idealnog, fizički neostvarljivog, odabirača, koji sa zadovoljavajućom tačnošću aproksimira realni odabirač. U tom smislu su i svi problemi vezani za definiciju impulsne funkcije prevashodno teorijske (matematičke) prirode.

Očigledno je da impulsna funkcija, budući da nije definisana za t=0, nema adekvatnu grafičku reprezentaciju. Dogovoreno je meñutim da se ona prikazuje jednom strelicom u tački u kojoj nije definisana, pri čemu se, ukoliko funkcija nije jedinična, uz strelicu zapisuje i snaga (težina) impulsa (Sl. 12).

Polazeći od definicije impulsne funkcije može se pokazati da važi i

( )0 01

a(t t ) (t t )a

δ − = δ − (osobina skaliranja)

( ) ( ) ( )0 0 0

1 1sgn(a)

sgn(a)

da(t t ) dt dt t t dt

a a a

∞⋅∞ ∞

−∞ −∞⋅ −∞

τδ − = δ τ − τ = δ − =∫ ∫ ∫

Sl. 11 Odabiranje kontinualne funkcije

Sl. 12 Grafički prikaz impulsne funkcije

10/signali

Povorka impulsa (češalj) Povorka ravnomerno rasporeñenih jediničnih impulsnih

funkcija sa rastojanjem T.

∑∞

−∞=

−δ==n

brojceon;)nTt()t(p)t(comb

Ponekad, ova funkcije se definiše i tako što se usvaja da je T=1

Jedinična pravougaona funkcija

>

=

<

=

2/1t0

2/1t2/1

2/1t1

)t(rect

Jedinična trougaona funkcija

>

<−=

1t0

1tt1)t(tri

Jedinična sinc funkcija

t

)tsin()t(csin

ππ

=

Ponekad se definiše i kao t

)tsin()t(csin =

Dirihleova funkcija

)tsin(N

)Ntsin()N,t(drcl

ππ

=

Za neparno N Dirihleova funkcija je suma sinc funkcija.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tttt

s inc(t)s inc(t)s inc(t)s inc(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tttt

d rcl (t,5 )drcl (t,5 )drcl (t,5 )drcl (t,5 )

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tttt

d rcl (t,4 )drcl (t,4 )drcl (t,4 )drcl (t,4 )

11/signali

Sinusoidalne funkcije Neprigušena sinusoida

0 00

22d(t) A cos( t ) A cos( f t ) A cos( t )

T

π= + θ = π + θ = ω + θ

Prigušena sinusoida

[ ]0 0 0( j )t t0 0g(t) Ae Ae cos( t) jsin( t)

ω +σ σ= = ω + ω

gde je T0 – fundamentalni period sinusoide f0 – fundamentalna učestanost izražena u hercima (f0 = 1/T0) ω0 - fundamentalna učestanost izražena u rad/s (ω0=2πf0) σ0 – faktor relativnog prigušenja

U zavisnosti od problema koji se posmatra u analizi signala može biti pogodnije da se za predstavljanje signala koristi ili učestanost izražena u hercima ili u rad/s.

4. Karakteristične diskretne funkcije

Ne postoji jedinstvena konvencija za predstavljanje diskretnih signala. U načelu, diskretni signal može da se predstavi kao x(t), pri čemu se podrazumeva da će nezavisno promenljiva t da uzima vrednosti iz nekog diskretnog skupa. Da bi se jasnije naglasilo da se radi o diskretnom signalu koristi se oznaka x[n], gde je n nenegativan ceo broj koji označava redni broj odbirka. Meñutim, ukoliko se radi o diskretizaciji nekog kontinualnog signala sa periodom odabiranja T, onda se diskretni signal može označavati i kao x[nT], pri čemu je n ceo broj koji može uzeti i pozitivne i negativne vrednosti. Konačno, česta je praksa da se perioda T izostavi iz zapisa signala, tako da se diskretni signal predstavlja samo kao x[n] (n ceo broj).

U daljem tekstu usvojiće se oznaka x[n], pri čemu će se podrazumevati da, ukoliko ona predstavlja diskretizovanu kontinualnu funkciju, x[n] odgovara odbirku uzetom u trenutku t=nT.

Interesantno je napomenuti da pri modeliranju diskretnih funkcija nema nikakvih posebnih problema poput onih kod kontinualnih funkcija vezanih za postojanja singularne tačke ili nedefinisanosti impulsne funkcije u jednoj tačci. Naime, za razliku od kontinualnih, diskretni signali se, po svojoj definiciji, koriste da opišu neki fizički fenomen samo u odreñenim trenucima vremena. U tom smislu se i ne postavlja pitanje da li se njihova vrednost menja trenutno ili ne. Ovi signali, po definiciji, nemaju definisane vrednosti izmeñu tačaka odabiranja.

Jedinična odskočna funkcija

[ ]

<

≥=

0n0

0n1nh

Jedinična nagibna funkcija

[ ]

<

≥=

0n0

0nnnr

Jedinična impulsna funkcija

[ ]

≠

==δ

0n0

0n1n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tttt

exp(-0 .2 t)s in(3 .14t)exp(-0 .2 t)s in(3 .14t)exp(-0 .2 t)s in(3 .14t)exp(-0 .2 t)s in(3 .14t)exp(-0 .2 t)exp(-0 .2 t)exp(-0 .2 t)exp(-0 .2 t)

12/signali

Slično kao i kontinualna jedinična funkcija i ova funkcija ima osobinu odabiranja,

što znači da je [ ] [ ] [ ]00 nxnxnn =−δ∑∞

∞−

Meñutim, diskretna impulsna funkcija nema istu osobinu skaliranja. Naime, [ ] [ ]nan δ=δ

Jedinična pravougaona funkcija

[ ]

>

≤=

Nn0

Nn1nrectN

Povorka jediničnih impulsa (češalj)

[ ] [ ] [ ]0Nm

comb n p n n mN∞

=−∞

= = δ −∑

Eksponencijalna funkcija

[ ] nn AAenx α== β

Sinusoidalna funkcija

[ ] ( ) ( )θ+Ω=θ+π=

θ+

π= ncosAFn2cosAn

N

2cosAnx

gde su A i N realne konstante.

0 1 2 3 4 5 60

0.10.2

0.30.4

0.5

0.6

0.7

0.80.9

1

nnnn

x[n ]x[n ]x[n ]x[n ]

x[n]=(0.6) x[n]=(0.6) x[n]=(0.6) x[n]=(0.6) tttt

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nnnn

x[n]x[n]x[n]x[n]

x[n]=(-0.6) x[n]=(-0.6) x[n]=(-0.6) x[n]=(-0.6)tttt

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

nnnn

x[n]x[n]x[n]x[n] x[n ]=(1 .5) x[n ]=(1 .5) x[n ]=(1 .5) x[n ]=(1 .5) tttt

0 1 2 3 4 5 6-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

nnnn

x[n]x[n]x[n]x[n]

x[n]=(-1.5) x[n]=(-1.5) x[n]=(-1.5) x[n]=(-1.5)tttt

13/signali

Polazeći od osobina sinusoidalne funkcije vidi se da je period N0 jednak

najmanjem broju n za koji važi kFnN

n== , gde

je k ceo broj. Tako na primer sinusoida

[ ]

π= n

5.2

2sinnx ima period N0 = 5. Konstanta

00 N

1F = odreñuje deo periodičnog ciklusa koji

se odvije izmeñu dva odbirka. U posmatranom primeru to je jedna petina ciklusa (F0 = 0.2).

Očigledno je da je period jednak sa N samo onda kada je N ceo broj.

DISKRETIZACIJA KONTINUALNE SINUSOIDALNE FUNKCIJE

Posmatrajmo kontinualnu sinusoidalnu funkciju ( )θ+π= tf2cosA)t(x 0 . Pretpostavimo da se ova funkcija želi diskretizovati sa periodom odabiranja Ts

(učestanost odabiranja fs = 1/Ts). Tada se diskretizovana kontinualna sinusoidalna funkcija može prikazati kao

[ ] ( )

θ+

π=θ+π= n

f

f2cosAnTf2cosAnx

s

0s0

Dobijena diskretna funkcija biće periodična samo ako je količnik fs/f0 racionalan broj. Pri tome, u opštem, slučaju period diskretizovanog signala neće biti jednaka periodu originalnog kontinualnog signala.

Na primer, diskretizacijom sinusoide ( )2 0 2= πx(t) Acos . t

koja ima period T0 = 1/0.2=5, dobija se diskretni sinusoidalan signal koji ima period N0 = 5 ako je perioda odabiranja Ts = 2, što u vremenskom domenu odgovara intervalu vremena od N0Ts = 10 sekundi. Meñutim, ako se odabiranje vrši sa periodom Ts = 1.5, dobiće se signal koji je periodičan sa periodom N0 = 10, što u vremenskom domenu odgovara intervalu od N0Ts =15 sekundi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nnnn

No =5 No =5 No =5 No =5 Ts =2Ts =2Ts =2Ts =2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nnnn

No =10 No =10 No =10 No =10

Ts =1.5Ts =1.5Ts =1.5Ts =1.5

Sl. 13 Odabiranje sinusoidalnog signala

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1111 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N=2.5No=2.5

14/signali

Iz svega izloženog, jasno je i da se diskretizacijom dve različite sinusoide mogu dobiti isti odbirci. To je, na primer slučaj ako se sinusoide

π= t

5

2cos)t(x1 i

π= t

5

12cos)t(x2

diskretizuju sa periodom Ts = 1. Naime, odgovarajuće diskretizovane funkcije su:

[ ]

[ ] [ ]nxn2n5

2cosn

5

12cosnx

n5

2cosnx

12

1

=

π+

π=

π=

π=

0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

1

nnnn

15/signali

Elementarne transformacije zavisno i nezavisno promenljive

Da bi se jasnije istakle osobine i specifičnosti kontinualnih i diskretnih funkcija sve transformacije će se posmatrati uporedno na oba tipa funkcija.

Skaliranje amplitude

kontinualne funkcije diskretne funkcije

x(t) → Ax(t) x[n] → Ax[n]

• Isti efekat na oba tipa funkcija. Skaliranje sa A=-1 dovodi do rotacije funkcije oko ose nezavisne promenljive.

• Najčešće se koristi za modeliranje pojačanja ili slabljenja signala

Pomeranje u vremenu (po nezavisnoj promenljivoj)

kontinualne funkcije diskretne funkcije

x(t) → x(t-t0) x[n] → x[n-n0] ; n0 ceo broj

• Transformacija ima isti efekat na oba tipa funkcija, s tim što se kod diskretnih

funkcija ne može ostvariti proizvoljni pomeraj u vremenu • Za t0, odnosno n0 pozitivno, signal je zakašnjen. Otuda se ova transformacija

najčešće koristi za modeliranje kašnjenja signala do koga dolazi pri propagaciji signala na daljinu.

• Za t0, odnosno n0 negativno, signal je isprednjačen. Samo se po sebi razume da se ova operacija ne može sresti kod realnih fizičkih signala, jer bi za njeno izvoñenje bilo neophodno da se na neki način predvide buduće vrednosti signala koji nosi informaciju o fizičkom fenomenu koji se u tom trenutku još uvek nije dogodio.

Naime kao što je već rečeno, svaki fizički ostvarljiv signal nosi informaciju o nekom fizičkom fenomenu. To nadalje znači da su, pri posmatranju tog fenomena, u nekom trenutku vremena t0 (odnosno n0) poznate samo prethodne vrednosti i trenutna vrednost signala (od početka posmatranja fenomena do trenutka t0).

Uprkos ovoj činjenici, treba istaći da se pri obradi diskretnih signala pokazuje da je neki put izuzetno pogodno da se niz prikupljenih odbiraka signala x[n] na nekom intervalu vremena (n=0,1,...n0) posmatra tako da se trenutak posmatranja pomeri u neku tačku n0-i, u odnosu na koju se neki odbirci posmatraju kao "prošlost" a neki kao "budućnost". Neki autori smatraju da je ovaj pristup doveo do suštinske revolucije na polju digitalne obrade signala.

0 1 2 3 4 5 6

0

x(t)x(t)x(t)x(t)x(t-2)x(t-2)x(t-2)x(t-2)

0 1 2 3 4 5 6

0

nnnn

x[n]x[n]x[n]x[n]x[n-2]x[n-2]x[n-2]x[n-2]

16/signali

Skaliranje nezavisne promenljive

kontinualne funkcije diskretne funkcije

t → at n→kn

• za a>1 funkcija se sužava duž vremenske ose (ubrzavanje)

• za 0<a<1 funkcija se širi duž vremenske ose (usporavanje)

• za a<0 funkcija se rotira oko y-ose (vreme "teče unazad")

• k>1 – funkcija se sužava (ubrzavanje), vrši se kompresija podataka, uzima se svaki k-ti odbirak (decimacija funkcije faktorom k)

• 0<k<1 – funkcija se širi (usporavanje); funkcija je definisana samo u tačkama gde je nk ceo broj; Interpolacijom se mogu definisati vrednosti i u ostalim tačkama (u posmatranom primeru vrednosti u tačkama n=0, 2, 4 i 6 odreñene su iz funkcije x[n], dok je za vrednosti u tačkama n=1, 3 i 5 korišćena linearna interpolacija – povlači se prava linija izmeñu dve susedne vrednosti signala)

• za k< 0 funkcija se rotira oko y-ose (vreme "teče unazad")

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x(t)x(t)x(t)x(t)x(2 t)x(2 t)x(2 t)x(2 t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x(t)x(t)x(t)x(t)x(t/2)x(t/2)x(t/2)x(t/2)

x[n ]x[n ]x[n ]x[n ]

x[2n]x[2n]x[2n]x[2n]

nnnn

nnnn

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

x[n]x[n ]x[n ]x[n ]

x[0.5n]x[0.5n]x[0.5n]x[0.5n]

nnnn

nnnn

1 2 3 4 5

17/signali

Refleksija

kontinualne funkcije diskretne funkcije

x(t) → x(-t) x[n] → x[-n]

• Formira se funkcija koja je simetrična u .odnosu na ordinatnu osu

5. Parnost funkcije

Parnost funkcije

kontinualne funkcije diskretne funkcije

parna funkcija: x(-t)=x(t) neparna funkcija: x(-t)=-x(t)

parni deo funkcije: 2

)t(x)t(x)t(xp

−+=

neparni deo funkcije: 2

)t(x)t(x)t(xn

−−=

)t(x)t(x)t(x np +=

parna funkcija: x[-n]=x[n] neparna funkcija: x[-n]=-x[n]

parni deo funkcije: [ ] [ ] [ ]2

nxnxnxp

−+=

neparni deo funkcije: [ ] [ ] [ ]2

nxnxnxn

−−=

[ ] [ ] [ ]nxnxnx np +=

• parna funkcija je simetrična u odnosu na ordinatnu osu • neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak (vrednost neparne

funkcije za x=0 mora da bude jednaka nuli) • zbir, razlika, proizvod i količnik parnih funkcija su parne funkcija • zbir i razlika neparnih funkcija su neparne funkcije • proizvod i količnik neparnih funkcija su parne funkcije

6. Primeri operacija nad signalima

Pr. 1 – Jediniična odskočna funkcija

Nacrtati signale h(t), h(t-2) i h(t+2)

≥

<=

0t1

0t0)t(h

≥⇒≥−

<⇒<−=−

2t02t1

2t02t0)2t(h

−≥⇒≥+

−<⇒<+=+

2t02t1

2t02t0)2t(h

Kašnjenje ili prednjačenje signala dobija se jednostavnim uvrštavanjem nove nezavisne

promenljive (t-2) odnosno (t+2).

Nacrtati signale h(-t), h(-t-2) i h(-t+2) Kao što je već rečeno operacijom refleksije formira se funkcija koja je simetrična originalnoj

funkciji u odnosu na ordinatnu osu. Analitički izraz dobija se zamenom nezavisne promenljive sa (-t).

18/signali

≤⇒≥−

>⇒<−=−

0t0t1

0t0t0)t(h

h( t 2)

h( (t 2)

0 (t 2) 0 t 2

1 (t 2) 0 t 2

h(( t) 2)

0 ( t) 2 0 t 2

1 ( t) 2 0 t 2

− − =

= − + =

− + < ⇒ > −= =

− + ≥ ⇒ ≤ −= − − =

− − < ⇒ > −=

− − ≥ ⇒ ≤ −

≤⇒≥+−

>⇒<+−

=+−=

=

≤⇒≥−−

>⇒<−−=

=−−=

=+−

2t02)t(1

2t02)t(0

)2)t((h

2t0)2t(1

2t0)2t(0

)2t((h

)2t(h

Kombinacija refleksije i pomeranja u vremenu može se intepretirati na dva načina. Tako se na primer h(-t-2) može da posmatra ili • kao refleksija funkcije h(t) kojom se dobija funkcija v(τ)=h(-t) | τ=-t, a zatim se cela novodobijena v(τ) funkcija isprednjači za 2, w(τ)=v(τ+2)=h(-(t+2)=h(-t-2), ili • kao refleksija originalne funkcije h(t) koja je prvo zakašnjenja za –2 tako da se dobije v(t)=h(t-2), a zatim se izvrši refleksija novodobijene funkcije v(t), w(τ)=v(-t)=h((-t)-2)= h(-t-2).

Obratiti pažnju na činjenicu da kod refleksije pomeranje od –2 predstavlja prednjačenje signala

(pomeranje suprotno od smera t-ose), dok pomeranje od +2 predstavlja kašnjenje (pomeranje u smeru t-ose). Ova činjenica se može lako razumeti ako se uoči da se operacija refleksije može posmatrati i kao formiranje funkcije koja je identična originalnoj, s tim što se uvodi nova osa τ čiji je smer suprotan smeru t-ose. U odnosu na ovu novu osu pomeranje od –2 predstavlja pomeranje u smeru ose (kašnjenje po τ-osi), dok +2 predstavlja pomeranje suprotno od smera ose (prednjačenje po τ-osi).

Pokazati da je

≥

<≤−

−<

=−−−−=−+

0t0

0t21

2t0

)2t(h)t(h)t(h)2t(h

Na osnovu dobijenih rezultata direktno se vidi da važi dati izraz. Ova osobina jedinične odskočne funkcije se često koristi za formiranje analitičkog izraza složene funkcije koja je definisana različitim izrazima na pojedinim intervalima.

1

t0

h(-t)

-1

-1-2

1 2

2

1

t0

h(-t-2)

-1

-1-2

1 2

2

1

t0

h(-t+2)

-1

-1-2

1 2

2

1

0

h(-t-2)

-1

-1-2

1 2

2h(t-2)

Refleksija

1

t0

h(-t-2)

-1

-1-2

1 2

2h(-t)

Prednjacenje za 2

t

1

t0

h(t+2)-h(t)=h(-t)-h(-t-2)

-1

-1-2

1 2

2

19/signali

Pr. 2 – Kontinualni signali

Posmatra se signal x(t)

[ ] [ ])2t(h)t(ht)t(h)1t(h

2t0

2t0t

0t11

1t0

)t(x −−+−+−=

≥

<≤

<≤−−

−<

=

Pomeranje u vremenu Zakašnjeni signal x1(t)=x(t-2) je

[ ] [ ])4t(h)2t(h)2t()2t(h)1t(h

4t22t0

4t222t02t

2t102t11

1t12t0

)2t(x)t(x1

−−−−+−−−−

=

≥⇒≥−

<≤⇒<−≤−

<≤⇒<−≤−−

<⇒−<−

=−=

Isprednjačeni signal x2(t)= x(t+1) je

[ ] [ ])1t(h)1t(h)1t()1t(h)2t(h

1t21t0

1t121t01t

1t201t11

2t11t0

)1t(x)t(x2

−−++++−+−

=

≥⇒≥+

<≤−⇒<+≤+

−<≤−⇒<+≤−−

−<⇒−<+

=+=

Refleksija

[ ] [ ])1t(h)t(h)t(h)2t(ht

2t2t0

0t22t0t

1t00t11

1t1t0

)t(x)t(x3

−−−−+−

=

−≤⇒≥−

≤<−⇒<−≤−

≤<⇒<−≤−−

>⇒−<−

=−=

Parni i neparni deo funkcije x(t) Za odreñivanje parnog i neparnog dela funkcije koriste se definicioni izrazi. Postupak odreñivanja

može se izvesti grafički ili analitički. Grafičko odreñivanje parnog i neparnog dela signala prikazano je na slici.

[ ][ ][ ]

[ ])2t(h)1t(h)2/t1(

)1t(h)t(h)2/12/t(

)t(h)1t(h)2/12/t(

)1t(h)2t(h)2/t1(

2t0

2t112/t

1t02/12/t

0t12/12/t

1t212/t

2t02

)t(x)t(x)t(xp

−−−++

+−−−+

+−++−

−+−+−=

=

≥

<≤+

<≤−

<≤−−−

−<≤−+−

−<

=

=−+

=

[ ][ ][ ]

[ ])2t(h)1t(h2/t

)1t(h)t(h)2/12/t(

)t(h)1t(h)2/12/t(

)1t(h)2t(h2/t

2t0

2t12/t

1t02/12/t

0t12/12/t

1t22/t

2t02

)t(x)t(x)t(xn

−−−+

+−−++

+−+−+

++−+=

≥

<≤

<≤+

<≤−−

−<≤−

−<

=

=−−

=

1

t0

x(t+1)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

1

t0

x(t-2)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

1

t0

x(t)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

1

t0

x(-t)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

20/signali

Refleksija i vremensko pomeranje

Refleksijom funkcije x(t-2)=x1(t) dobija se

[ ] [ ])2t(h)4t(h)2t()1t(h)2t(h

4t4)t(0

4t24)t(22t

2t12)t(11

1t1)t(0

)2)t((x)2t(x)t(x4

+−++−+−+−=

=

−≤⇒≥−

−>≥−⇒<−≤−−

−>≥−⇒<−≤−

−>⇒<−

=

=−−=−−=

Prednjačenjem funkcije x(-t)=x3(t) dobija se

[ ] [ ])2t(h)4t(h)2t()1t(h)2t(h

4t22t0

2t402t22t

1t212t01

1t12t0

))2t((x)2t(x)t(x4

+−++−+−+−

=

−≤⇒−≤+

−≤<−⇒<+≤−−−

−≤<−⇒≤+<−

−>⇒>+

=

=+−=−−=

Refleksijom funkcije x(t+1)=x2(t) dobija se

[ ] [ ])1t(h)1t(h)t1()2t(h)1t(h

1t1t0

1t11t11t

1t21t21

2t2t0

)1t(x)t(x5

−−+−+−−−−

=

−≤⇒≥−

−>≥⇒<−≤−+−

>≥⇒−<−≤−−

>⇒−<−

=+−=

Kašnjenjem funkcije x(-t)=x3(t) dobija se

[ ] [ ]

5x (t) x( t 1) x( (t 1))

0 t 1 1 t 2

1 0 t 1 1 1 t 2

t 1 2 t 1 0 1 t 1

0 t 1 2 t 1

h(t 1) h(t 2) (1 t) h(t 1) h(t 1)

= − + = − − =

− > ⇒ > − < − ≤ ⇒ < ≤

= =− + − ≤ − < ⇒ − < ≤ − ≤ − ⇒ ≤ −

− − − − + − + − −

1

t0

x(-t-2)

-1-1-2 1 2 3

2

4

x(t-2)

-3-4

Refleksija

1

t0

x(-t-2)

-1-1-2 1 2 3

2

4

x(-t)

-3-4

Prednjacenje za 2

x(-t+1)

x(t+1)

1

t0

-1-1-2 1 2 3

2

4

Refleksija

x(-t+1)

x(-t) 1

0

-1-1-2 1 2 3

2

4

Kašnjenje za 1

21/signali

Skaliranje

[ ] [ ])4t(h)t(h2

t)t(h)2t(h

4t22/t0

4t022/t02/t

0t202/t11

2t12/t0

)2/t(x)t(x6

−−+−+−

=

≥⇒≥

<≤⇒<≤

<≤−⇒<≤−−

−<⇒−<

==

[ ] [ ])1t(h)t(ht2)t(h)2/1t(h

1t2t20

1t02t20t2

0t2/10t211

2/1t1t20

)t2(x)t(x7

−−+−+−

=

≥⇒≥

<≤⇒<≤

<≤−⇒<≤−−

−<⇒−<

==

Skaliranje i pomeranje u vremenu Formirati funkciju x8(t)= x(t/2-2) Skaliranje i vremensko kašnjenje može da se interpretira na dva načina.

• Originalna funkcija x(t) može prvo da se skalira tako da se dobije v(τ)=x(t/2) | τ=t/2 , a zatim se funkcija v(τ) zakasni za τ=2 (⇒t=4), w(τ)=v(τ-2)=x(t/2-2). Polazeći od izraza za funkciju x6(t) i uvrštavajući kašnjenje od –2 dobija se

[ ][ ]

8 2 2 2 2

0 4 2 2

1 2 4 0 2 4

2 2 0 4 4 4 8

0 4 4 8

2 4

2 2 4 8

x (t) x(t / ) x((t / ) )

t t

t t

t / t t

t t

h(t ) h(t )

(t / ) h(t ) h(t )

= − = − =

− < − ⇒ < − − ≤ − < ⇒ ≤ <

= =− ≤ − < ⇒ ≤ <

− ≥ ⇒ ≥

= − − − − +

+ − − − −

• Funkcija x8(t) može da se posmatra i kao funkcija x(t) zakašnjena za 2, nad kojom je izvršena operacija sa faktorom ½ .

[ ] [ ]

8 2 2

0 2 2 1 2

1 1 2 2 0 2 4

2 2 0 2 2 2 4 8

0 2 2 2 8

2 4 2 2 4 8

x (t) x(t / )

t / t

t / t

t / t / t

t / t

h(t ) h(t ) (t / ) h(t ) h(t )

= − =

− < − ⇒ < − − ≤ − < ⇒ ≤ <

= =− ≤ − < ⇒ ≤ <

− ≥ ⇒ ≥

= − − − − + − − − −

Skaliranje, refleksija i vremensko pomeranje Formirati funkciju x9(t)= x(-2t+1) Imajući u vidu sve što je do sada rečeno o

transformacijama signala, i ova funkcija se može formirati na više različitih načina.

• Translacija – refleksija – skaliranje Budući da se skaliranje vrši kasnije, tranlacija

funkcije vrši se za +1, odnosno za iznos koji je naveden u funkciji

1

t0

x(t/2)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

1

t0

x(2t)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

22/signali

• Refleksija – translacija – skaliranje Pošto se kao prvo vrši refleksija funkcija, i operacija

translacije se mora obaviti u suprotnom smeru, što znači da se umesto prednjačenja za +1, vrši kašnjenje za -1.

• Skaliranje - refleksija – translacija Operacija skaliranja koja prethodi svim drugim

transformacijama, zahteva da se sva pomeranja izvrše za skalirani iznos. Pored toga, i operacija refleksije koja prethodi translaciji zahteva da se refleksija primeni i na smer translacije tako da se tranlacija vrši za -½ . Formiraćemo, prema tome, funkciju x(-2t) koju ćemo posle zakasniti za ½ (skalirani, reflektovani iznos pomeranja).

Analitički izraz tražene funkcije je

( )[ ] [ ]

0 2 1 1 1

1 1 2 1 0 1 2 12 1

2 1 0 2 1 2 1 2 1 2

0 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2 1 2 1

t t

t / tx( t )

t t / t /

t t /

t h(t / ) h(t / ) h(t / ) h(t )

− + < − ⇒ > − − < − + ≤ ⇒ < ≤

− + = =− + < − + ≤ ⇒ − ≤ < − + > ⇒ ≤ −

= − + + − − − − − −

7. Opšti izraz za transformaciju nezavisno promenljive

KONTINUALNI SIGNALI

Neka je v(t)=x(at+b)

Opšti postupak za dobijanje funkcije v(t) može se formulisati na sledeći način:

1. Nacrtati originalni signal x(τ)na osi τ

2. Polazeći od transformacije vremena odrediti t kao funkciju od τ

a

b

atbat −

τ=⇒+=τ

3. Nacrtati transformisanu t-osu direktno ispod τ-ose

4. Nacrtati signal v(t) na t-osi

Izloženi postupak primenićemo na crtanje funkcija x8(t) i x9(t).

x8(t)= x(t/2-2) 42t)2(t2/1 +τ=⇒−+=τ

Uvrštavanjem nekoliko vrednosti za τ, direktno se dobija t-osa. Funkcija, naravno ima isti izgled samo na promenjenoj osi.

x9(t)= x(-2t+1)

2

1

2t1t2 +

τ−=⇒+−=τ

Budući da je dobijena t-osa u suprotnom smeru, ona se mora okrenuti (zajedno sa signalom).

1

t0

x(-2t+1)

-1-2 1 2 3

2

4

x(-2t)

Kašnjenje za 1/2

23/signali

DISKRETNI SIGNALI

U principu sve što je za kontinualne signale rečeno u pogledu formiranja refleksije i pomeranja u vremenu važi i kod diskretnih signala. Najjednostavniji način za formiranje ovih signala je da se nacrta nova osa. To znači da se postupak može formulisati na sledeći način.

Neka je v[n]=x[an+b] gde je a proizvoljna konstanta, i b konstanta takva da je b/a ceo broj

1. Nacrtati originalni signal x[k] na osi k

2. Polazeći od transformacije vremena odrediti n kao funkciju od k

a

b

a

knbank −=⇒+=

3. Nacrtati transformisanu n-osu direktno ispod k-ose 4. Nacrtati signal v[n] na n-osi

Za signal x[n] prikazan na slici, primenjen je opisani postupak na dobijanje funkcija v1[n]=x[n-3] i

v2[n]=x[-n+2] 3kn)3(nk]3n[x]n[v1 +=⇒−+=⇒−=

k2n)2(nk]2n[x]n[v 2 −=⇒−−−=⇒+−=

1

k0

x[k]

-1-2 1 2 3

2

4

n321 4 5 6 7

1

n0

x[n-3]

21 4 5 6

2

73

1

k0

x[k]

-1-2 1 2 3

2

4

n234 1 0 -1 -2

-2-3-4 -1 0 1 2

1

2

43

x[2-n]

24/signali

Izvesna razlika izmeñu kontinualnih i diskretnih signala postoji kod skaliranja, zato što je diskretni signal definisan samo u odreñenim tačkama. Za signal x[n] prikazan na slici formirati signal v[n]=x[2n]

Osa se dobija preko izraza k=2n ⇒ n=k/2 Za signal x[n] prikazan na slici formirati signal v[n]=x[n/3] Osa se dobija preko izraza k=n/3 ⇒ n=3k

Očigledno je da signal x=[n/3] nema definisane odbirke u jednom broju tačaka. Ovi odbirci se mogu konstruisati na osnovu postojećih rezultata primenom neke od interpolacionih metoda. Najčešće se koristi linearna interpolacija kao što je to prikazano na slici.

1

k0

x[k]

-1-2 1 2 3

2

4

n0-1 1 2

n

x[2n]

-1 1 n-6-9-12 -3 0 3 6

1

2

9

x[n/3]

-3

3

-2

0 2-2

3

1

2

1

k0

x[k]

-1-2 1 2 3

2

n0-6 6

-3

3

-12 -9 -3 3 9

-4

3

-4

n-6-9-12 -3 0 3 6

1

2

9

x[n/3]

3

1 2 4 5 7 8-1-2-4-5-7-8-10-11

25/signali

8. Diferenciranje i integracija diskretnih funkcija

Diferenciranje Operacijom diferenciranja funkcije u nekoj

tačci odreñuje se nagib funkcije u toj tačci. Budući da operacija diferenciranja podrazumeva neprekidnost funkcije očigledno je da je ona zapravo definisana isključivo za kontinualne funkcije.

Interesantno je zapaziti da operacija diferenciranja kontinualnog signala nije fizički ostvarljiva. Naime, nagib signala u nekoj tačci zavisi i od narednih vrednosti signala. Meñutim, ako se signal dobija merenjem na nekom fizičkom procesu, onda su te naredne vrednosti nepoznate, te se ni nagib ne može egzaktno da odredi. Drugim rečima za realizaciju difirenciranja signala bilo bi neophodno konstruisati ureñaj koji bi imao sposobnost predviñanja budućih vrednosti signala (Sl. 15).

Iz ove analize ne treba zaključiti da se diferencijatori signala ne proizvode. Naime, kao što je to već rečeno za odabirač ili prekidač, i ovde se zapravo rai o tome da je idealni diferencijator nemoguće napraviti. Meñutim, ureñaji koji daju zadovoljavajuću aproksimaciju prvog izvoda nekog kontinualnog signala se sasvim sigurno mogu konstruisati.

Kao što je već rečeno diskretne funkcije nemaju definisan prvi izvod. Meñutim, ako se poñe od činjenice da prvi izvod zapravo odreñuje nagib funkcije, onda se vidi da se ovaj nagib može aproksimirati nagibom koji se dobija formiranjem konačnih razlika prve vrste diskretnih signala. U tom smislu usvaja se da konačne razlike prve vrste kod diskretnih signala, zapravo, odgovaraju operaciji diferenciranja kod kontinualnih signala. Pri tome je moguće definisati dva tipa konačnih razlika prve vrste: diferenciranje unapred: [ ] [ ] [ ]nx1nxnx f ++=∆

diferenciranje unazad : [ ] [ ] [ ]1nxnxnxb −−=∆ Iz same definicije je jasno da nema nikakvih problema pri realizaciji diferenciranja

unazad, jer su u tom trenutku poznata oba odbirka i x[n] i x[n-1]. Izvestan problem svakako postoji pri realizaciji diferenciranja unapred, no on se može jednostavno prevazići tako što će se izračunavanje zakasniti za jedan odbirak. Integracija

Integracija je operacija inverzna operaciji diferenciranja. Pri tome, imajući u vidu da je izvod konstante jednak nuli, jasno je da je integral svake kontinualne funkcije neodreñen do nivoa konstante. Ova neodreñenost se izbegava definisanjem odreñenog integrala, tako da važi

Sl. 14 Diferenciranje

Sl. 15 Dva signala koja imaju iste vrednosti do trenutka t

Sl. 16 Aproksimacija diferenciranja pomoću konačnih razlika

t

x(t)

dt

)t(dxtg ====αααα

26/signali

∫∞−

λλϕ=⇒=ϕt

d)()t(xd(t)

dx(t)(t)

Ukoliko se, meñutim, pretpostavi da je neka kontinualna funkcija jednaka nuli do nekog trenutka vremena t0, onda je

∫∫∫ λλϕ=λλϕ+λλϕ=⇒<≡ϕ∞−

t

t

t

t

t

0

00

0

d)(d)(d)()t(xtt za 0,(t)

U svakom slučaju, odreñivanjem granica integracije, integral postaje u potpunosti odreñen i predstavlja površinu koju podintegralna funkcija zaklapa sa osom nezavisno promenljive.

Naglasimo i da je učinjena pretpostavka izvesno opravdana kod svih kontinualnih signala koji nastaju merenjem na nekom fizičkom procesu, pri čemu se sa merenjem otpočinje i trenutku t0. Naime, u tom slučaju i ne preostaje ništa drugo već da se pretpostavi da taj signal ima vrednosti nula pre početka merenja.

Samo se po sebi razume da se kod diskretnih signala ne može govoriti o površini koju oni zaklapaju sa osom nezavisno promenljive. Uočeni problem se može prevazići ako se poñe od definicije operacije difereneciranja kod diskretnih funkcija i potraži inverzna operacija. Na taj način se pokazuje da važe sledeće relacije.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑

∑∑

−∞=+=

−

−∞=

−

=

ϕ=ϕ+=⇒−−=∆=ϕ

ϕ=ϕ+=⇒−+=∆=ϕ

n

kb

n

1nkb0bb

1n

kf

1n

nkf0ff

kknxn x 1nxnxnxn Za

kknxn x nx1nxnxn Za

0

0

Ako se nadalje pretpostavi da su sve vrednosti funkcije x jednake nuli do trenuka n0 onda važi

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]∑

∑

=

−

−=

ϕ=⇒=ϕ

ϕ=⇒=−ϕ

n

nkb00b

1n

1nkf00f

0

0

knxnxn

knxnx1n

Polazeći od ovih izraza, usvojeno je da se kod diskretnih funkicija operacija integracije zamenjuje sumom (akumulacija). Pri tome, kao i kod operacije diferenciranja postoje dva moguća načina definisanja integracije.

Već je pokazano da je kontinualna odskočna funkcija jednaka integralu impulsne, a da je nagibna funkcija jednaka integralu odskočne funkcije. Usvajajući izloženu definiciju integrala diskretnih funkcija vidi se da iste relacije važe i za diskretne funkcije.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑

∑

−∞=

−∞=

=⇒−−=

δ=⇒−−=δ

n

k

n

k

khnr1nrnrnh

knh1nhnhn

Sl. 17 Odreñeni integral

∫∫∫∫ λλλλλλλλϕϕϕϕt

t0

d)(

27/signali

Imajući u vidu da operacija diferenciranja kontinualnih funkcija ima jasnu geometrijsku interpretaciju i da se konačne razlike prve vrste mogu posmatrati kao aproksimacija nagiba, postavlja se pitanje da li se i ovako definisana akumulacija može posmatrati kao aproksimacija površine koju formira integral kontinualne funkcije. Na postavljeno pitanje dobija se potvrdan odgovor ukoliko se potraži pravougaona aproksimacija površine. Imajući u vidu da se ova aproksimacija može izvršiti na dva načina jasno je da se dobijaju dva izraza: aproksimacija pomoću visine koja odgovara levoj strani pravougaonika (odgovara diferenciranju unapred - f) i aproksimacija pomoću visine koja odgovara desnoj strani pravougaonika (odgovara diferenciranju unazad - b) (Sl. 18).

9. Konvolucija

KONVOLUCIJA KONTINUALNIH SIGNALA – KONVOLUCIONI INTEGRAL

Konvolucija je operacija nad dva signala koja kao rezultat daje treći signal. Definiše se relacijom

∫+∞

∞−

λλ−λ=∗= d)t(g)(x)t(g)t(x)t(y

Smenom promenljivih λ=t-τ može se pokazati da je konvolucija komutativna, odnosno da važi

∫+∞

∞−

ττ−τ=∗=∗= d)t(x)(g)t(x)t(g)t(g)t(x)t(y

Pokazuje se da je konvolucija veoma važan fizički koncept u mnogim naučnim poljima, meñu kojima su i obrada i analiza signala i sistema. Otuda je izuzetno važno da se razume njeno značenje, kao i način izračunavanja.

U skladu sa definicijom konvolucije vidi se da se ona može izvesti u četiri koraka.

i. refleksija – formiranje funkcije g(-λ) (simetrična sa g(λ) u odnosu na ordinatnu osu)

ii. pomeranje u vremenu – pomeranje g(-λ) za iznos t iii. množenje –množenje pomerene funkcije sa x(λ) iv. integracija – površina ispod funkcije koju čini formirani proizvod je vrednost

konvolucije u trenutku t (jedna tačka funkcije y(t)).

[[[[ ]]]]∑∑∑∑++++

−−−−====ϕϕϕϕ

1n

1nk

k

Sl. 18 Pravougaona aproksimacija integrala

[[[[ ]]]]∑∑∑∑++++

====ϕϕϕϕ

2n

nk

k

28/signali

Da bi se ilustrovao grafički metod evaluacije konvolucionog integrala posmatraće se konvolucija dve funkcije (Sl. 19)

>λ

≤λ≤

<λ

=λ

10

101

00

)(x

>λ

≤λ≤

<λ

=λ

10

102/1

00

)(g

Da bi se odredila konvolucija neophodno je da se kao prvo formira refleksija funkcije g i

zatim izvrši njeno pomeranje u vremenu (Sl. 20).

Konvolucija se odreñuje tako što se funkcija g(-λ) pomera duž vremenske ose, množi sa funkcijom x(λ) i odreñuje se površina koju taj proizvod zaklapa sa vremenskom osom. Svaka od tih površina predstavlja jednu vrednost konvolucionog integrala (Sl. 21).

Analitičko rešavanje konvolucije u posmatranom primeru može se izvršiti na sledeći način. Pre svega, date funkcije mogu se predstaviti analitički kao

( ) ( ))1(h)(h5.0)(g)1(h)(h5.0)(g,)1(h)(h)(x −λ−−λ−=λ−=⇒−λ−λ=λ−λ−λ=λ Odreñivanje konvolucionog integrala zahteva da se, u zavisnosti od meñusobnog položaja dve funkcije, odrede granice integracije unutar kojih proizvod dve funkcije nije nula.

Sl. 19 Signali čija se konvolucija odreñuje

Sl. 20 Operacije refleksije i vremenskog pomeranja pri odreñivanju konvolucije

Sl. 21 Grafičko odreñivanje konvolucije (korak t1=0.5)

29/signali

0d)t(g)(x)t(y0)t(g)(x,t,2tza

)t2(5.0d5.0d)t(g)(xd)t(g)(x)t(y,2t1za

t5.0d5.0d)t(g)(xd)t(g)(x)t(y,1t0za

0d)t(g)(x)t(y0)t(g)(x,t,0tza

1

1t

1

1t

t

0

t

0

=λλ−λ=⇒=λ−λ∀>

−=λ=λλ−λ=λλ−λ=≤<

=λ=λλ−λ=λλ−λ=≤≤

=λλ−λ=⇒=λ−λ∀<

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫

∞+

∞−

−−

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

Konvolucija diskretnih signala – konvoluciona suma Konvolucija diskretnih signala definiše se analogno kontinualnoj konvoluciji, pri

čemu se integral prirodno zamenjuje sumom.

∑∞

−∞=

−=∗=k

]kn[g]k[x]n[g]n[x]n[y

Smenom promenljivih k=t-j može se pokazati da je konvolucija komutativna, odnosno da važi

∑∞

−∞=

−=∗=∗=j

]jn[x]j[g]n[x]n[g]n[g]n[x]n[y

Iz definicije konvolucije diskretnih signala vidi se da se ona izvodi kroz isti niz koraka, s tim što se poslednji korak –

integracija, zamenjuje sa korakom sabiranje. Naime, umesto odreñivanja površine (konvolucioni integral), proizvod odbiraka se sabira (konvoluciona suma).

U cilju ilustracije postupka diskretne konvolucije posmatraće se konvolucija dva pravougaona signala (Sl. 22).

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5khkhkg5khkh

5k0

4k05.0

0k0

kg

5khkh

4k0

4k01

0k0

kx

−−−−=−⇒−−=

>

≤≤

<

=

−−=

>

≤≤

<

=

Kao što je već rečeno, da bi se odredila konvolucija, neophodno je da se odredi refleksija signala g[k], i izvrši vremensko pomeranje, a zatim se za različite vrednosti promenljive n izračunava konvoluciona suma. Drugim rečima, funkcija g[-k] se pomera duž vremenske ose,

množi sa funkcijom x[k] i svi odbirci proizvoda se sabiraju (Sl. 24). Taj zbir predstavlja jednu vrednost funkcije y[n].

Sl. 22 Diskretni signali čija se konvolucija odreñuje

Sl. 23 Okretanje i pomeranje diskretnog signala u cilju odreñivanja konvolucione sume

30/signali

U posmatranom primeru, analitičko odreñivanje konvolucije može se izvršiti na sledeći način

( )

0]kn[g]k[x]n[y0]kn[g]k[x,k8nza

5.0]kn[g]k[x]n[y5.0]48[g]4[x,0]kn[g]k[x4k,k8nza

)n9(5.01)4n(45.0]kn[g]k[x]kn[g]k[x]n[y8n4za

)1n(5.0]kn[g]k[x]kn[g]k[x]n[y4n0za

5.0]kn[g]k[x]n[y5.0]0[g]0[x,0]k[g]k[x0k,k0nza

0]kn[g]k[x]n[y0]kn[g]k[x,k0nza

k

k

4

4nkk

n

0kk

k

k

=−=⇒=−∀>

=−=⇒=−=−≠∀=

−=+−−=−=−=≤<

+=−=−=≤≤

=−=⇒==−≠∀=

=−=⇒=−∀<

∑

∑

∑∑

∑∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

−=

∞

−∞=

=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

I kontinualna i diskretna konvolucija imaju iste osobine pa nema razloga da se odvojeno posmatraju.

Ograničenost signala Potrebno je zapaziti da će rezultat konvolucije zapravo zavisiti od toga da li su

signali ograničeni ili ne. Naime, ako su oba signala neograničena na celom vremenskom intervalu, onda se pomeranjem jednog od njih stalno dobija kompletna pokrivenost i ukupna površina (ili zbir) je neograničena. Otuda se, konvolucija posmatra samo u slučaju kada je bar jedan od signala ograničen. U tom smislu definišu se tri kategorije signala:

• signali leve strane (ograničeni sa desne strane) – x(t)=0 za t>tl, x[n]=0 za n>nl

• signali desne strane (ograničeni sa leve strane) – x(t)=0 za t<td, x[n]=0 za n<nd

Sl. 24 Grafičko odreñivanje konvolucije diskretnih signala

31/signali

• signali konačnog trajanja (ograničeni sa obe strane) – x(t)=0 za t<td i t>tl, trajanje signala Tx= tl - td x[n]=0 za n<nd i n>nl , trajanje signala Nx = nl – nd + 1

Polazeći od oblika ovih signala vidi se da će pri konvoluciji dva signala leve

strane, rezultat takoñe biti signal leve strane (Sl. 25) čija je granica odreñena sa

lglxlxlg

lglxlxlg

nnnnnnza,0]n[g]n[x]n[y

ttttttza,0)t(g)t(x)t(y

+>⇒>−=∗=

+>⇒>−=∗=

Konvoluciji dva signala desne strane, je signal desne strane (Sl. 26) čija je granica odreñena sa

dgdxdxdg

dgdxdxdg

nnnnnnza,0]n[g]n[x]n[y

ttttttza,0)t(g)t(x)t(y

+<⇒<−=∗=

+<⇒<−=∗=

Konačno konvolucija dva signala ograničenog trajanja je signal ograničenog trajanja čija je granica odreñena sa (Sl. 27)

lglxdgdx

lglxlxlgdgdxdxdg

lglxdgdx

lglxlxlgdgdxdxdg

nnnnnza,0]n[y

nnnnnninnnnnnza,0]n[g]n[x]n[y

tttttza,0)t(y

ttttttittttttza,0)t(g)t(x)t(y

+<<+≠

+>⇒>−+<⇒<−=∗=

+<<+≠

+>⇒>−+<⇒<−=∗=

Trajanje ovog signala jednako je zbiru trajanja signala čija se konvolucija vrši, odnosno • za kontinualne signale: Ty = Tx + Tg = (tlx + tlg) - (tdx + tdg)

• za diskretne signale: Ny = Nx + Ng – 1 = (nlx + nlg) – (ndx + ndg) + 1

Odreñivanje granica integracije kod signala konačnog trajanja

Očigledno je da je konvolucija jednaka nuli sve dotle dok se povećavanjem vremena t refleksija signala g ne dovede u položaj u kome njegova desna granica (leva

g( )

tlg -tlg

g(- ) g(t- )x( )

tlx tlxt-tlg

x( )

g( )

tdg -tdg

g(- ) g(t- )x( )

tdx t-tlg

x( )

tlx tlg -tlg tdx tlx t-tdg

Sl. 25 Konvolucija signala leve strane

Sl. 26 Konvolucija signala desne strane

Sl. 27 Konvolucija dva signala ograničenog trajanja

32/signali

granica originalnog, nereflektovanog signala) ne dodirne levu granicu signala x. Na isti način se vidi da će konvolucija ponovo biti jednaka nuli kada refleksija signala g u potpunosti izañe izvan segmenta signala x, odnosno kada njegova leva granica (desna

l

l

l l l d

t g

x

x g t x g

x( )g(t )d

−

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

l

d

l d d l

t g

t g

x g t x g

x( )g(t )d

−

−

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

d

d

d l d d

x

t g

x g t x g

x( )g(t )d

−

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

Sl. 29 Konvolucija dva signala u slučaju kada je signal g uži od signala x

Sl. 28 Konvolucija dva signala u slučaju kada je signal g širi od signala x

1

0

x( )

-1-2 1 2 3 4

g( )

-3

g(- )

1

0-1-2 1 2 3 4-3

xl xdgl gd-gl-gd

t-glt-gd

l

l

l l d l

t g

x

x g t x g

x( )g(t )d

−

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

>0<0

g(3- )g(5- )

d

l

d l l d

x

x

x g t x g

x( )g(t )d

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

d

d

l d d d

x

t g

x g t x g

x( )g(t )d

−

+ < ≤ +

λ −λ λ∫

5-4-5

-4-5

1

0-1-2 1 2 3 4-3

t-glt-gd

g(5- )

g(6- )

-4-5

1

0-1-2 1 2 3 4-3

t-glt-gd

g(6- )g(8- )

-4-5 5 6

5 6

5 6

33/signali

granica originalnog, nereflektovanog signala) dodiruje desnu granicu signala x. U intervalu u kome se signali makar delimično prekrivaju granice integracije zavise od toga da li je signal g uži ili širi od signala x. U prvom slučaju postojaće interval vremena u kome se reflektovani signal g pomera unutar segmenta obuhvaćenog signalom x, što znači da su na tom intervalu granice odreñene širinom signala g (Sl. 29). U drugom slučaju, meñutim, reflektovani signal g počinje da izlazi iz segmenta obuhvaćenog signalom x, pre nego što njegov levi deo uñe kompletno u taj segment. U tom slučaju granice su odreñene širinom signala x (Sl. 28).

OSOBINE KONVOLUCIJE

Kontinualni signali Diskretni signali

Periodičnost konvolucije Ako je signal x(t) periodičan sa

periodom T0 tada je i rezultat konvolucije sa proizvoljnom funkcijom g(t) takoñe periodičan sa istim periodom

)Tt(y)t(g)t(x)t(y)Tt(x)t(x 00 +=∗=⇒+= Dokaz

)t(yd)t(g)(x

d)t(g)T(x)Tt(y

ddTsmena

;d)Tt(g)(x)Tt(y

00

0

00

=ττ−τ=

=ττ−+τ=+

τ=λ⇒τ−=λ−

λλ−+λ=+

∫

∫

∫

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

Ako je signal x[n] periodičan sa periodom N0 tada je i rezultat konvolucije sa proizvoljnom funkcijom g[n] takoñe periodičan sa istim periodom

]Nn[y]n[g]n[x]n[y]Nn[x]n[x 00 +=∗=⇒+= Dokaz

]n[y]jn[g]j[x

]jn[g]Nj[x]Nn[y

jkNsmena

]kNn[g]k[x]Nn[y

j

j00

0

k00

=−=

=−+=+

−=−

−+=+

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

Refleksija konvolucije

)t(g)t(x)t(y −∗−=−

Dokaz

)t(g)t(xd))(t(g)(x

d)t(g)(x)t(y

ddza

;d)t(g)(x)t(y

−∗−=ττ−−−τ−=

=ττ+−τ−−=−

τ−=λ⇒τ−=λ

λλ−−λ=−

∫

∫

∫

∞+

∞−

∞−

∞

+∞

∞−

]n[g]n[x]n[y −∗−=−

Dokaz

]n[g]n[x)]j(n[g]j[x

]jn[g]j[x]n[y

jkza

]kn[g]k[x]n[y

j

j

k

−∗−=−−−−=

=+−−=−

−=

−−=−

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

Konvolucija sa impulsnom funkcijom

)tt(x

d)tt()(x)tt()t(x)t(y

0

00

−=

=λ−λ−δλ=−δ∗= ∫+∞

∞−

]nn[x

]nkt[]k[x]nn[]n[x]n[y

0

k00

−=

=−−δ=−δ∗= ∑∞

−∞=

34/signali

Komutativnost, asocijativnost i distributivnost konvolucije

( ) ( )( ) )t(z)t(g)t(z)t(x)t(z)t(g)t(x

)t(y)t(g)t(x)t(z)t(g)t(x

)t(x)t(g)t(g)t(x

∗+∗=∗+

∗∗=∗∗

∗=∗

( ) ( )( ) ]n[z]n[g]n[z]n[x]n[z]n[g]n[x

]n[z]n[g]n[x]n[z]n[g]n[x

]n[x]n[g]n[g]n[x

∗+∗=∗+

∗∗=∗∗

∗=∗

Pomeranje u vremenu

)tt(g)tt(x)ttt(y 2121 −∗−=−−

Dokaz

)tt(g)tt(x

d)tt(g)t(x)ttt(y

ddtza

;d)ttt(g)(x)ttt(y

21

2121

1

2121

−∗−=

=τ−τ−−τ=−−

τ=λ⇒τ=λ+

λλ−−−λ=−−

∫

∫

∞

∞−

+∞

∞−

]nn[g]nn[x]nnn[y 2121 −∗−=−−

Dokaz

]nn[g]nn[x

]njn[g]nj[x]nnn[y

jknza

]knnn[g]k[x]nnn[y

21

j2121

1

k2121

−∗−=

=−−−=−−

=+

−−−=−−

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

10. Korelacija signala

Nema nikakve sumnje da karakteristike pojedinih signala imaju značajnu ulogu u analizi signala i sistema. Pored toga, meñutim, i odnos izmeñu dva signala često može biti od posebnog interesa. Uspostavljanje ove veze, ili nemogućnost da se ona uspostavi ukazuju na to da li su fizički fenomeni o kojima ovi signali nose informacije meñusobno povezani ili ne.

Ne upuštajući se u detaljnu analizu ispitivanja eventualne veze izmeñu signala, ni u aspekte primene ovih rezultata, zadržaćemo se samo na osnovnom pojmu korelacije.

Korelacija je tehnika kojom se utvrñuje da li su dva signala povezana i kvantitativno odreñuje mera te povezanosti. U principu korelacija se odreñuje poreñenjem srednje vrednosti proizvoda dva signala sa proizvodom njihovih srednjih vrednosti. Ako je srednja vrednost proizvoda dva signala veća od proizvoda srednjih vrednosti kaže se da su signali pozitivno korelisani (oba signala se na izvestan način kreću u istom smeru tako da im se u velikoj meri poklapaju delovi sa pozitivnim i negativnim vrednostima) (Sl. 30). Ako je srednja vrednost proizvoda manja od proizvoda srednjih vrednosti, signali su negativno korelisani (signali se kreću tako da su im segmenti sa pozitivnim i negativnim delovima u protiv fazi) (Sl. 31). Konačno, ako je srednja vrednost proizvoda

Sl. 30 Pozitivno korelisani signali x1(t) i

x2(t)

Sl. 31 Negativno korelisani signali x1(t) i x2(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1(t)

x2(t)

x1(t)x2(t) s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))

s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

t

x1(t)

x2(t)

x1(t)x2(t)

s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))

s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))

35/signali

jednaka proizvodu srednjih vrednosti, signali su nekorelisani (Sl. 32). U analizi signala i sistema uobičajeno je da se umesto korelisanosti, posmatra funkcija korelacije koja izražava korelisanost dva signala u funkciji vremenskog pomeraja koji postoji izmeñu njih. U tom smislu funkcija korelacije se definiše kao • Kontinulani realni signali

∞ ∞

−∞ −∞

= λ λ + λ = τ − τ τ∫ ∫xgR (t) x( )g( t)d x( t)g( )d

• Diskretni realni signali

∞ ∞

=−∞ =−∞

= + = −∑ ∑xgk j

R [n] x[k]g[k n] x[ j n]g[ j]

Uporeñivanjem izraza za funkciju korelacije sa odgovarajućim izrazima za konvoluciju vidi se da se radi o veoma sličnoj operaciji. Razlika je zapravo u tome što se ovde vrši pomeranje originalne, nereflektovane funkcije g. U tom smislu očigledno je da važi

+∞ +∞

−∞ −∞

= − ∗ = −λ − λ λ = τ + τ τ∫ ∫xgR (t) x( t) g(t) x( )g(t )d x( )g(t )d

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − ∗ = − − = +∑ ∑xgk j

R [n] x[ n] g[n] x[ k]g[n k] x[ j]g[n j]

Potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da, za razliku od operacije konvolucije, korelacija nije komutativna operacija. Naime, iz definicionog izraza sledi

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

= λ λ + λ = λ + = τ

= τ − τ τ = − = α

= τ τ + α τ = α = − = ∗ −

∫

∫

∫

gx

xg xg

R (t) g( )x( t)d t

g( t)x( )d t

x( )g( )d R ( ) R ( t) x(t) g( t)

Odnosno ∞

=−∞

= + = − = ∗ −∑gx xgk

R [n] g[k]x[k n] R [ n] x[n] g[ n]

Pr. 3

Izloženi rezultati ilustrovani su u odreñivanju korelacije dva kontinualna signala. Pri tome je korelacija signala x sa signalom g odreñena na dva načina: pomeranjem signala g (Sl. 33) i pomeranjem signala x (Sl. 34).

Sl. 32 Nekorelisani signali x1(t) i x2(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

t

x1(t)

x2(t)

x1(t)x2(t)

s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))s r(x1(t)x2(t))

s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))s r(x1(t))s r(x2(t))

36/signali

t t 2

xg

2 t

R (t) 2d 2 ( 1)d 2t

− − +

− −

= τ+ − τ = −∫ ∫ i

t 2

xg

2

R (t) 2 ( 1)d 2(t 4)

− +

−

= − τ = −∫ i

xgR (t) 0=

t 2

xg

2 t t

R (t) 2d 2 ( 1)d 2t

−

− − −

= τ + − τ = −∫ ∫ i2

xg

2 t

R (t) 2d 2(t 4)

− −

= τ = +∫

xgR (t) 0=

xgR (t)

xgR (t) x( )g( t)d

∞

−∞

= λ λ + λ∫

Sl. 33 Korelacija signala x i g –

∞

−∞

= τ τ + τ∫xgR (t) x( )g( t)d

37/signali

Korelacijom signala g i x (Sl. 35) dobija se refleksija prethodno odreñene funkcije.

1

0

x( )

-1-2 1 2 3 4

g( )

-3 5-4-5

1

0-1-2 1 2 3 4-3 5-4-5

x( t)

=2+t=-2+t

t<-4

t<0 t>0

1

0-1-2 1 2 3 4-3 5-4-5

-4<t<-2

-2<t<2

1

0-1-2 1 2 3 4-3 5-4-5

2<t<4

4<t

2 t

xg

2

R (t) 2d 2(t 4)

+

−

= τ = +∫

0 2

xg

2 t 0

R (t) 2d 2 ( 1)d 2t

− +

= τ+ − τ = −∫ ∫ i

2

xg

2 t

R (t) 2 ( 1)d 2(t 4)

− +

= − τ = −∫ i

xgR (t) 0=

xgR (t) 0=

t=-5

xgR (t) x( t)g( )d

∞

−∞

τ − τ τ∫

t0-1-2 1 2 3 4-3 5-4-5

xgR (t)

Sl. 34 Korelacija signala x i g –

∞

−∞

= τ − τ τ∫xgR (t) x( t)g( )d

38/signali

Pr. 4 Odredićemo funkciju korelacije dva diskretna signala prikazana na slici

2 t

gx

2

R (t) 2d 2(t 4)

−

−

= τ = − −∫

0 2

gx

2 t 0

R (t) 2d 2 ( 1)d 2t

− −

= τ+ − τ =∫ ∫ i

2

gx

2 t

R (t) 2 ( 1)d 2(t 4)

− −

= − τ = − +∫ i

gxR (t) 0=

gxR (t) 0=

gxR (t)

gx xgR (t) g( )x( t)d R ( t)

∞

−∞

= τ τ+ λ = −∫

Sl. 35 Korelacija signala g i x –

∞

−∞

= λ + λ λ∫gxR (t) g( )x(t )d

Sl. 36 Signali za koje se odreñuje funkcija korelacije

39/signali

Pomeranjem signala g duž k-ose (vodeći računa o tome da se za n>0 signal pomera u levo, a za n<0 u desno), utvrñuju se granice izvan kojih je korelaciona funkcija jednaka nuli. Preostale vrednosti se dobijaju direktnim sabiranjem odbiraka (Sl. 37)

n

∞

=−∞

= +∑xgk

R [n] x[k]g[k n]

3 =

= + = ⋅ =∑0

xgk 0

R [n] x[k]g[k n] 0.5 1 0.5

2 =

= + = ⋅ + ⋅ =∑1

xgk 0

R [n] x[k]g[k n] 0.5 0.5 1 1 1.25

1 =

= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑2

xgk 0

R [n] x[k]g[k n] 0.5 1 1 0.5 2 1 3

0 =

= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑3

xgk 1

R [n] x[k]g[k n] 1 1 2 0.5 1 1 3

-1 4

2

2 1 1 0 5 0 5 1 3

=

= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑xgk

R [n] x[k]g[k n] . .

-2 =

= + = ⋅ + ⋅ =∑4

xgk 3

R [n] x[k]g[k n] 1 1 0.5 0.5 1.25

-3 =

= + = ⋅ =∑4

xgk 4

R [n] x[k]g[k n] 0.5 1 0.5

4 k

g[7+

0-4

d l

xg

g n x 1 n 4;

R [n] 0

− ≤ − ⇒ ≥

=

gd-ngl-n

4 k

g[7+

0-4

l d

xg

g n x 1 n 4;

R [n] 0

− ≥ + ⇒ ≤ −

=g[-5+

gd-ngl-n

4 n

Rxg[n]

0-4

smer opadanja n

3.00

1.25

0.50

Sl. 37 Funkcija korelacije

40/signali

11. Energija i snaga signala

U analizi signala i sistema, njihovi matematički modeli se često posmatraju kao čiste matematičke apstrakcije pri čemu se gubi iz vida njihova veza sa realnim fizičkim fenomenima o kojima nose informacije. Tipični signali koji se sreću u električnim kolima su napon, struja, elektricitet itd. U hemijskim sistemima prati se promena protoka i koncentracije, temperature itd, u mehaničkim brzina, pomeraj, momenat itd. S obzirom na raznorodnost fizičkih signala sa jedne strane, i na činjenicu da se u osnovi opisivanja svih fizičkih fenomena nalazi zakon o održanju energije (iskazan u odgovarajućoj formi u zavisnosti od sistema preko Njutnovih zakona, Kirhovljevih zakona i sl.), usvojeno je da se kao zajednička osobina svih signala posmatra energija signala, koja se definiše kao

∫∞

∞−

= dt)t(xE2

x - energija kontinualnog signala x(t)

Ova definicija obezbeñuje da stvarna energija koju signal nosi bude proporcionalna (najčešće ne i jednaka) energiji signala Ex. Tako je na primer, stvarna energija koju signal ima na jednom otporniku, otpornosti R, na čijim krajevima se nalazi napon u(t) jednaka

∫∞

∞−

==R

Edt

R

)t(uE u

2

Na potpuno analogan način, energija diskretnog signala se definiše kao

∑∞

−∞=

=n

2x ]n[xE - energija diskretnog signala x[n]

Teorijski gledano energija signala biće neograničeno velika ukoliko je signal

neograničenog vremenskog trajanja. Takav je, na primer, slučaj sa sinusoidalnim signalima. Da bi se izbegli problemi koji u analizi signala mogu nastati usled činjenice da integral (odnosno suma) ne konvergiraju, uvodi se pojam srednje snage signala koji se definiše kao

∫−

∞→=

2/T

2/T

2

Tx dt)t(x

T

1limP - srednja snaga kontinualnog signala x(t)

∑−=∞→

=N

Nn

2

Nx ]n[x

N2

1limP - srednja snaga diskretnog signala x[n]

Za periodične signale izračunavanje srednje snage se može pojednostavniti zato što oni imaju istu snagu unutar svake periode. Prema tome za periodične signale važi

∫+

=00

0

Tt

t

2

0x dt)t(x

T

1P - srednja snaga periodičnog kontinualnog signala x(t) (period T0)

∑−+

=

=1Nk

kn

2

0x

0

]n[xN

1P - srednja snaga periodičnog diskretnog signala x[n] (period N0)

41/signali

Signali koji imaju konačnu energiju nazivaju se signali energije, dok se signali koji imaju konačnu srednju snagu nazivaju signali snage.

Potrebno je da se istakne da nijedan fizički ostvarljiv signal ne traje beskonačno dugo. Naime, svi fizički signali nastaju u nekom trenutku i nestaju u nekom drugom trenutku. Otuda je i energija signala uvek konačna. Meñutim, matematički modeli sa kojima se predstavljaju ti signali i pomoću kojih se oni analiziraju nemaju tu osobinu. Tipičan primer je sinusoidalni signal, koji mi posmatramo kao periodičan, iako striktno gledano, budući da je on konačnog trajanja on ne može biti periodičan. Drugim rečima, pri analizi signala treba imati na umu da se radi o matematičkoj aproksimaciji fizičkih fenomena, pa dobijene rezultate treba uvek posmatrati i sa aspekta njihove fizičke ostvarljivosti.

1/sistemi

Uvod u sisteme

1. Matematički model sistema

Kao što je već rečeno sistem je skup meñusobno povezanih elemenata koji deluju kao jedna celina, u okviru koje se, u meñusobnim uzročno posledičnim interakcijama izmeñu elemenata, obavlja neka funkcija.

Ova, na izgled, jednostavna definicija sistema krije u sebi nekoliko potencijalnih problema. Pre svega, polazeći od koncepcije sistema kao "meñusobno povezanih elemenata", postavlja se pitanje gde su granice te povezanosti, odnosno koje sve interakcije i relacije treba uzeti u razmatranje da bi se opisao sistem. Nema nikakve sumnje da bi u nekoj kompletnoj analizi ovih veza svaki sistem mogao zapravo obuhvatiti ceo univerzum. I koliko god bi ta predstava odražavala realnost ona bi, sa praktične tačke gledišta, onemogućila analizu pojedinih sistema.

Mogućnost spoznaje i ovladavanja sistemom zahtevala je da se posmatranju sistema pristupi na drugačiji način. Činjenica da su u svakom sistemu neke interakcije daleko jače od drugih, omogućila je da se izdvoji skup relativno čvrsto povezanih elemenata. Ovaj skup koji aproksimira posmatranu pojavu se označava kao sistem . Uobičajeno je da se ovako izdvojena celina predstavlja blok dijagramom. Uobičajeno je da se ovako izdvojena celina predstavlja blok dijagramom (Sl. 1).

Sve uzročno posledične veze koje nisu uključene u sistem mogu se predstaviti odgovarajućim signalima koji deluju na sistem i izazivaju neku promenu u njegovom ponašanju, odnosno načinu rada. Pri tome se ovi signali dele u dve kategorije: kao signali pobude, odnosno ulazni signali i poremećaji. Iz ove podele sledi da se svi spoljni signali u analizi sistema ne tretiraju na isti način. Meñu njima se izdvaja jedna grupa signala koji će se menjati na neki odreñeni način da bi se ostvarilo željeno ponašanje sistema ili da bi se ostvario neki drugi željeni efekat. Ti signali označavaju se kao ulazni signali. Preostali signali, koji pobuñuju sistem, ali se ne upravlja njihovom promenom označavaju se kao poremećaji (Sl. 2).

Brojni su razlozi koji dovode do toga da se neka spoljna pobuda nañe u jednoj ili drugoj kategoriji. Kod sistema za prenos signala na daljinu, signali koji se prenose prirodno pripadaju grupi ulaznih signala, dok sve druge pobude koje zapravo predstavljaju smetnje u prenosu predstavljaju poremećaje. Kod sistema upravljanja, izdvaja se jedna grupa signala čijom promenom se može postići željeno ponašanje sistema i istovremeno u zadovoljavajućoj meri eliminisati dejstvo svih drugih pobuda koje predstavljaju poremećaje. Ovi ulazni signali se često nazivaju upravljački signali. Pri tome, da bi se omogućilo da se njihovom promenom ostvare željeni efekti u sistem se postavljaju odgovarajući izvršni organi. Tako se, na primer, da bi se ostvario željeni protok

neke tečnosti u sistem ugrañuje ventil na čije otvaranje ili zatvaranje deluje upravljački signal. Isto tako, u cilju ostvarivanja pomeraja nekog mehaničkog elementa u sistem može da se ugradi motor, čija pobuda će biti upravljački signal i tome slično.

Konačno, treba istaći da su neki signali pobude po svojoj prirodi stohastički te se oni i ne mogu tretirati drugačije nego kao poremećaji. Takav je na primer, slučaj sa svim

Sl. 1 Blok dijagram sistema

Sl. 2 Signali pobude: ulazni signali i poremećaji

2/sistemi

pobudama koje nastaju usled promene meteoroloških uslova u kojima sistem radi – temperatura okoline, atmosferski pritisak, vetar itd.

Imajući u vidu da ulazni signali izazivaju neke promene u ponašanju sistema, prirodno se postavlja pitanje na koji način se te promene prate. Gledano potpuno opšte može se reći da se ponašanje sistema prati preko skupa signala koji se označavaju kao

izlazni signali. Samo se po sebi razume da izbor ovog skupa zavisi od prirode sistema koji se posmatra. Kod sistema za prenos signala, izlazni signali su zapravo signali koji se prenose na daljinu. Kod nekih drugih sistema, kao što su na primer sistemi upravljanja, izlazni signali se odabiraju tako da omoguće stvaranje kompletne slike o

svim promenama u sistemu. Ovde na izbor utiče i mogućnost nabavke i ugradnje odgovarajuće merne opreme koji će omogućiti praćenje i registrovanje izlaznih signala.

Ne upuštajući se dalje u detaljno razmatranje načina i efekata izbora ulaznih i izlaznih signala, može se zaključiti da svaki sistem ima sposobnost da kada je pobuñen nekim signalom na svom ulazu proizvede odgovarajuću reakciju (odziv) na svom izlazu (Sl. 3). U tom smislu, sistem može biti neki ureñaj, proces (prirodni ili veštački) ili algoritam koji ima jedan ili više ulaznih signala koji deluju kao pobuda sistema izazivajući neke promene u ponašanju sistema. Promene

ponašanja sistema prate se preko jednog ili više izlaznih signala koji se mogu posmatrati i kao odziv sistema na pobudu koja deluje na njegovom ulazu. U skladu sa ovom definicijom svaki sistem se može posmatrati kao preslikavanje skupa ulaznih signala U skup izlaznih signala Y

YU: →H

Funkcija preslikavanja H predstavlja matematički model sistema. U zavisnosti od toga da li su ulazni i izlazni signali kontinualni ili diskretni matematički model predstavlja kontinualni ili

diskretni sistem (Sl. 4). Jedan sistem može biti sastavljen od više komponenti – podsistema. pri čemu

je svaki od njih okarakterisan svojom funkcijom preslikavanja, odnosno svojim matematičkim modelom (Sl. 5). Konačno, sistem može biti u otvorenoj sprezi što znači da njegov odziv zavisi isključivo od ulaza u sistem i u zatvorenoj sprezi kada njegov odziv zavisi i od ulaza i od izlaza kojim se prati ostvarenje željenog efekta i pomoću koga se koriguje pobuda da bi se ponašanje sistema prilagodilo zadanom cilju.

Pr. 1

U cilju ilustracije koncepta opisa sistema preko funkcije preslikavanja posmatraće se jedno RC kolo (Sl. 6). Pod pretpostavkom da se prekidač zatvara u trenutku t=0 i da kondenzator nije naelektrisan, napon na krajevima otpornika uR(t), kondenzatora uC(t) i struja i(t) u kolu povezani su sledećim relacijama.

t

R C

0

1u (t) Ri(t) ; u (t) i( )d

C= = λ λ∫

Sl. 3 Sistem kao preslikavanje ulaza na izlaz

Sl. 4 Kontinualni i diskretni sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom)

Sl. 5 Složeni kontinualni sistem sa dva

ulaza i dva izlaza – podsistem H4 u

zatvorenoj sprezi

3/sistemi

U skladu sa time, ako se usvoji da se zatvaranje prekidača može modelirati jediničnom odskočnom funkcijom (h(t)), matematički model (jednačina) koji opisuje ovo kolo ima oblik

C Cu(t) RCu (t) u (t)

RCy(t) y(t) Uh(t)

= + ⇒

⇒ + =

ɺ

ɺ

To znači da se posmatrano RC kolo modelira pomoću diferencijalne jednačine prvog reda. Ne upuštajući se, za sada, u metodologiju

rešavanja ove jednačine, pokazuje se da ona, pod datim početnim uslovima (uC(0)=0), ima rešenje: t

RCy(t) U 1 e h(t)−

= −

koje je prikazano na Sl. 7. Zamenjujući operaciju diferenciranja uc(t) pomoću konačnih razlika prve vrste (diferenciranje unazad), može se dobiti jednačina koja opisuje diskretizovano RC kolo

Ova jednačina se može rešiti iterativnim postupkom, tako da se dobije

nRC

y[n] 1 Uh[n]1 RC

= − + (Sl. 8)

Izvesno je da se, u opštem slučaju,

matematički modeli ne mogu odrediti na tako jednostavan način kao što je to urañeno u posmatranom primeru. Ipak, ovaj primer ilustruje jedan od osnovnih pristupa formiranju matematičkog modela koji se zasniva na zakonu održanja energije koji važe u svakom realnom sistemu. Naravno, u zavisnosti od vrste

sistema, ovi zakoni biće korišćeni u jednom od svojih specifičnih oblika – Omov zakon i Kirhovljeva pravila u električnim kolima, Njutnovi

zakoni održanja sile i momenata u mehaničkim sistemima, zakoni održanja protoka i mase u hemijskim sistemima itd.

Drugi pristup u formiranju matematičkog modela zasniva se na primeni matematičkih metoda u odreñivanju funkcije preslikavanja ulaza i izlaza. Kod ovog pristupa, koji se označava i kao identifikacija matematičkog modela, formiraju se skupovi pobudnih i njima odgovarajućih izlaznih signala i onda se traži odgovarajuća funkcija koja ih povezuje.

U traženju samog modela i u analizi sistema na osnovu formiranog modela značajnu ulogu igraju specifične osobine sistema, na osnovu kojih se sistemi mogu klasificirati.

Sl. 6 RC kolo sa odskočnom pobudom

Sl. 7 Odziv RC kola na odskočnu pobudu

Sl. 8 Odziv diskretizovanog RC kola

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tttt

yyyy

RC=0.5RC=0.5RC=0.5RC=0.5

U=2U=2U=2U=2

0 1 2 3 4 51.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

nnnn

yyyy

RC=0.5RC=0.5RC=0.5RC=0.5U=2U=2U=2U=2

( )RC y[n] y[n 1] y[n] Uh[n]

RC 1y[n] y[n 1] Uh[n]

1 RC 1 RC

− − + = ⇒

− − =+ +

4/sistemi

2. Osobine sistema

Budući da se sve osobine sistema odnose i na kontinualne i na diskretne sisteme one će biti izložene paralelno. Radi pojednostavljenja izlaganja posmatraće se sistemi sa jednim ulazom i jednim izlazom. Pri tome, ne upuštujaći se u ovom trenutku u način odreñivanja funkcije preslikavanja, usvojiće se sledeće oznake

)t(y)t(u →H - pobuda u(t) kontinualnog sistema H izaziva odziv y(t)

]n[y]n[u →H - pobuda u[n] diskretnog sistema H izaziva odziv y[n]

yu →H - pobuda u (u(t) ili u[n]) sistema H (kontinualnog ili diskretnog) izaziva odziv y (y(t) ili y[n])

Sve osobine koje će biti navedene važe i za sisteme sa više ulaza i više izlaza.

MEMORIJA SISTEMA Za sistem se kaže da ima memoriju ukoliko njegov izlaz u nekom proizvoljnom

trenutku t0 (odnosno n0) zavisi ne samo od vrednosti pobude u tom trenutku (u(t0) ili u[n]) već i od vrednosti pobude u drugim trenucima vremena. Ovi sistemi se često zovu i dinamički sistemi.

Sistemi kod kojih izlaz u nekom proizvoljnom trenutku t1 (odnosno n1) zavisi samo od vrednosti pobude u tom trenutku (u(t1) ili u[n1]) su sistemi bez memorije. Ovi sistemi označavaju se i kao statički sistemi.

Tipičan primer sistema bez memorije je otpornik kod koga, prema Omovom zakonu, u svakom trenutku vremena t važi relacija

)t(Ri)t(uR = dok je, recimo, kondenzator sistem sa memorijom, jer napon na njegovim krajevima u trenutku t1 zavisi i od prethodnih vrednosti struje i(t) (za t<t1)

∫∞−

λλ=1t

1C d)(iC

1)t(u

Kod sistema sa memorijom postavlja se pitanje od kada se zapravo računaju te prethodne vrednosti.

Pretpostavlja se, naime, da posmatranje sistema započinje u nekom trenutku vremena t0, odnosno da je to trenutak od koga mi pratimo pobudu (u(t), t ≥ t0) i odziv (y(t), t ≥ t0). Sistem je naravno postojao i pre nego što smo mi počeli da ga posmatramo, što znači da su na njega možda delovale neke pobude, na koje se on na neki način odazivao i koje, svakako, utiču i na njegovo ponašanje u periodu u kome se sistem posmatra. To praktično znači da je na neki način potrebno da se obuhvati kompletna predistorija sistema, odnosno da se moramo vratiti na "prapočetak", što iskazano jezikom matematike znači da vreme počinje da se prati od -∞. Naime, izvesno je da u trenutku svog nastanka sistem nije imao nikakvu pobudu, pa samim tim ni nikakvu energiju koja bi se reflektovala na odzivu, odnosno da je bio relaksiran.

Pojam relaksiranosti sistema može se proširiti i na bilo koji vremenski trenutak. U tom smislu, smatra se da je sistem relaksiran u nekom trenutku vremena t0 ukoliko njegov odziv za t ≥ t0, zavisi isključivo od pobude koja se na njega dovede počev od trenutka t0. Tako na primer, kondenzator će biti relaksiran u trenutku t=0, ako je uC(0)=0, pa se tada napon na njegovim krajevima može izraziti kao

∫ λλ=t

0

C d)(iC

1)t(u

Imajući u vidu da se sistemi modeliraju pomoću diferencijalnih, odnosno

5/sistemi

diferentnih jednačina, pojam relaksiranosti se često izražava preko početnih uslova. Drugim rečima, sistem opisan diferencijalnom ili diferentnom jednačinom biće relaksiran u trenutku t0, ako su svi početni uslovi jednaki nuli.

KAUZALNOST SISTEMA Sistem je kauzalan ako njegov odziv u nekom trenutku vremena t1 (n1) zavisi

isključivo od pobude koja na njega deluje u tom trenutku vremena ili je delovala pre tog trenutka (u(t) za t ≤ t1, odnosno u[n] za n ≤ n1).

Samo se po sebi razume da su svi realni fizički sistemi kauzalni. Naime, izvesno je da nema realnog sistema koji bi bio u stanju da predvidi buduću pobudu i da na nju počne da reaguje pre nego što ona deluje na njega. Drugim rečima, u realnom fizičkom svetu svakoj posledici mora prethoditi uzrok. Meñutim, iz ove činjenice ne treba izvući zaključak da je kauzalnost nužan uslov pri svakoj obradi signala i analizi sistema.

Pre svega, kao što je već ranije rečeno postoje signali kod kojih nezavisno promenljiva nije vreme (npr. slika) pa u skladu sa time ne postoji razlog da funkcija preslikavanja ne bude takva da vrednost zavisne promenljive (izlaza) zavisi o vrednosti pobude za bilo koju vrednost nezavisno promenljive. Pored toga, diskretni signali se mogu obrañivati i tako što se prikupi izvesan broj odbiraka pre nego što počne njihova obrada u računaru (off-line obrada podataka). Otuda se, ukoliko je dozvoljeno da se signal zakasni za izvesno vreme, neće javiti problem nepoznavanja odziva i u nekom budućem trenutku. (Već je istaknuto da je ova činjenica imala snažan uticaj na razvoj digitalne obrade signala.) Drugim rečima, sa gledišta obrade signala, uslov kauzalnosti se javlja isključivo onda kada se obrada obavlja u realnom vremenu, odnosno istovremeno sa prikupljanjem (merenjem) izlaznih signala.

Pr. 2

Sistem opisan jednačinom y(t) = u(t-2) je kauzalan jer vrednost odziva u svakom trenutku vremena t1 zavisi od vrednosti koju je ulaz imao dve jedinice vremena pre tog trenutka (t1-2), kao što je to ilustrovano na Sl. 9.

Pr. 3

Sistem opisan jednačinom y(t) = u(t+1) je nekauzalan jer vrednost odziva u svakom trenutku vremena t1 zavisi od vrednosti koju će ulaz imati jednu jedinicu vremena posle tog trenutka (t1+1), kao što je to ilustrovano na Sl. 10.

Sl. 9 Kauzalan sistem y(t) = u(t-2)

Sl. 10 Nekauzalan sistem y(t) = u(t+1)

1

t0

u(t)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

1

t0

y(t)

-1

-1-2

1 2 3

2

4

6/sistemi

Pr. 4 - Refleksija Budući da se

operacijom refleksije signal preslikava simetrično u odnosu na ordinantu osu, čime "buduće" vrednosti postaju "prethodne" izvesno je da operacija refleksije uvek dovodi do nekauzalnog sistema, kao što je to ilustrovano na Sl. 11.

Pr. 5 – Skaliranje po vremenu

Operacija skaliranja po vremenu takoñe može rezultovati u nekauzalnom sistemu. Naime, kod usporavanja signala odreñivanje odziva za negativne vrednosti vremena zahteva poznavanje vrednosti pobude koja će kasnije delovati na sistem (Sl. 12). Kod ubrzavanja signala problem nastaje pri odreñivanju vrednosti odziva za pozitivne vrednosti vremena (Sl. 13).

L INEARNOST S ISTEMA Sistem je linearan ukoliko ima osobinu aditivnosti i homogenosti, odnosno ako

važi princip superpozicije.

Aditivnost

0 2 4 6 8 10 12

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tttt

u1u1u1u1u2u2u2u2u=u1+u2u=u1+u2u=u1+u2u=u1+u2

Sl. 11 Nekauzalan sistem y(t) = u(1-t)

Sl. 12 Nekauzalan sistem y(t) = u(t/2)

Sl. 13 Nekauzalan sistem y(t) = u(2t)

Sl. 14 Ilustracija pobude i odziva sistema koji ima osobinu aditivnosti – y je odziv na pobudu u

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

tttt

y1y1y1y1y2y2y2y2y=y1+y2y=y1+y2y=y1+y2y=y1+y2

7/sistemi

Sistem je aditivan ukoliko je njegov odziv na zbir ulaznih signala jednak zbiru

odziva na pojedinačne ulazne signale, odnosno ako važi

]n[y]n[y]n[u]n[u]n[y]n[u

]n[y]n[u

)t(y)t(y)t(u)t(u)t(y)t(u

)t(y)t(u

212122

11

212122

11

+→+⇒

→

→

+→+⇒

→

→

H

H

H

H

H

H

Homogenost Sistem je homogen ukoliko je njegov odziv na multipliciranu pobudu jednak

multipliciranom odzivu na originalnu pobudu, odnosno ako važi

]n[ay]n[au]n[y]n[u

)t(ay)t(au)t(y)t(u

→⇒→

→⇒→HH

HH

Moglo bi se postaviti pitanje u kojoj meri su osobina aditivnosti i homogenosti

povezane. U principu, može se pokazati da za svaki realni multiplikator a osobina aditivnosti implicira i osobinu homogenosti. Obrnuto, meñutim ne važi. Sistem može biti homogen, ali ne i aditivan, kao što se to vidi iz sledećeg primera.

Pr. 6

Sistem čiji je matematički model dat sa 2u (t)

u(t 1) 0y(t) u(t 1)

0 u(t 1) 0

− ≠

= − − =

ima osobinu homogenosti, ali ne i aditivnosti. Da bi se utvrdila osobina homogenosti potražićemo odziv sistema na pobudu au(t) i uporediti ga

sa ay(t)

( )2 2au(t) u (t)a u(t 1) 0u(t 1) 0

ay(t)u(t 1)au(t 1)

0 u(t 1) 00 u(t 1) 0

− ≠ − ≠ = =− −

− =− =

Očigledno je da ovaj sistem ima osobinu homogenosti. Ispitivanjem odziva sistema na zbir pobuda pokazuje se, meñutim, da sistem nema osobinu

aditivnosti. Naime zbir odziva na pobude u1(t) i u2(t) 2 21 2

1 21 21 2

1 2

2 21 2

1 21 2 1 2

1 2

u (t) u (t)u (t 1) 0 u (t 1) 0

y (t) y (t)u (t 1) u (t 1)

0 u (t 1) 0 0 u (t 1) 0

u (t) u (t)u (t 1) 0, u (t 1) 0

y (t) y (t) u (t 1) u (t 1)

0 u (t 1) 0, u (t 1) 0

− ≠ − ≠

= = ⇒− − − = − =

+ − ≠ − ≠

+ = − − − = − =

je različit od odziva na zbir pobuda u1(t) + u2(t)

( )21 21 2

1 2

1 2

u (t) u (t)u (t 1) u (t 1) 0

y(t) u (t 1) u (t 1)

0 u (t 1) u (t 1) 0

+ − + − ≠

= − + −

− + − =

Dobijeni rezultat ilustrovan je na Sl. 15.

8/sistemi

Superpozicija Princip superpozicije obuhvata osobinu aditivnosti i homogenosti. Posmatrano

potpuno opšte za sistem sa više ulaza i više ulaza ovaj princip se iskazuje na sledeći način

∑∑ →⇒→∀k

kkk

kkkk uyauayu,k HH

Sistem je linearan ukoliko ispunjava princip superpozicije. Linearnost je najpoželjnija osobina sistema, zato što ona omogućava relativno

jednostavnu analizu sistema. Naime, linearan sistem modelira se pomoću linerane funkcije preslikavanja, što pruža mogućnost za primenu čitavog niza matematičkih metoda koje su razvijene za linearne operatore.

U praksi, linearnost sistema se ispituje tako što se dovoñenjem različitih signala na ulaz sistema i snimanjem odziva proverava da li važi princip superpozicije.

Potrebno je da se istakne da je najveći broj realnih fizičkih sistema nelinearan, pa se na njih ne mogu primeniti metode razvijene za linearne sisteme. Ovaj problem se u praksi prevazilazi primenom tehnike linearizacije matematičkog modela. U postupku linearizacije, nelinearna funkcija koja predstavlja model nekog sistema, se linearizuje u okolini jedne tačke, koja se naziva radna tačka. Dobijeni lienarni model predstavlja zadovoljavajuću aproksimaciju originalnog sistema pod uslovom da se sistem nalazi u bliskoj okolini ravnotežne tačke. Sam postupak nalazi svoje opravdanje u činjenici da se u praksi veoma često zahteva da neki fizički, nelinearni sistem radi u okolini radne tačke. To nadalje znači da se on može linearizovati i da se u njegovoj analizi može koristiti metodologija razvijena za linearne sisteme.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tttt

uuuu0.5u0.5u0.5u0.5u

0 1 2 3 4 5 6 7 81

1.5

2

2.5

3

3.5

tttt

u1u1u1u1u2u2u2u2u=u1+u2u=u1+u2u=u1+u2u=u1+u2

Sl. 15 Primer sistema koji ima osobinu homogenosti, ali nema osobinu aditivnosti

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tttt

yyyy0.5y0.5y0.5y0.5y

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

tttt

y1y1y1y1y2y2y2y2yyyyy1+y2y1+y2y1+y2y1+y2

9/sistemi

INKREMENTALNO LINEARNI SISTEM Posebnu klasu čine sistemi koji su u osnovi

nelinearni, jer ne zadovoljavaju princip superpozicije, ali se mogu predstaviti jednim linearnim sistemom na čijem se izlazu superponira jedan signal, koji zapravo predstavlja odziv sistema na nulti ulaz (Sl. 16). Budući da se taj signal javlja kao inkrement na izlazu ovakvi sistemi se označavaju kao inkrementalno linearni sistemi.

Pr. 7

Kao ilustraciju ovog tipa sistema posmatrajmo sistem opisan jednačinom 2]n[u3]n[y +=

Budući da je ( )( )( ) ( ) 4]n[ku]n[ku3]n[y]n[y2]n[ku]n[ku3]n[y

2]n[ku3]n[y

2]n[ku3]n[y

212121a

22

11

++=+≠++=

+=

+=

očigledno je da sistem ne zadovoljava princip superpozicije, što znači da nije linearan. Meñutim, pošto je njegov podsistem

]n[u3]n[y = linearan i pošto se sistem može predstaviti kao

0 03 2= + = =y[n] x[n] y [n]; x[n] u[n]; y [n]

ovaj sistem je inkrementalno linearan.

STACIONARNOST SISTEMA Sistem je stacionaran ukoliko je njegov

odziv na vremenski pomerenu pobudu i sam vremenski pomeren u istom iznosu (Sl. 17). Ovo zapravo znači da je odziv sistema neosetljiv na trenutak otpočinjanja dejstva pobude. Otuda se kod stacionarnih sistema najčešće usvaja da pobuda počinje da deluje u trenutku t0 = 0.

U principu stacionarnost je osobina koju mogu imati i linearni i nelinearni sistemi, mada se ona mnogo reñe sreće kod nelinearnih

sistema.

U praksi se stacionarnost sistema

proverava tako što se odziv sistema na neki dati ulaz, zakašnjen za neko vreme τ, poredi sa odzivom sistema na zakašnjen ulaz (Sl. 18).

Sl. 16 Blok dijagram inkrementalno linearnog

sistema (H1 linearni sistem)

Sl. 17 Odziv stacionarnog sistema

Sl. 18 Ispitivanje stacionarnosti sistema

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tttt

yyyy

odziv na h(t)odziv na h(t)odziv na h(t)odziv na h(t)odziv na h(t-1)odziv na h(t-1)odziv na h(t-1)odziv na h(t-1)

10/sistemi

Pr. 8

Ispitati stacionarnost sistema čiji je matematički model opisan sledećom jednačinom

( ) )t(ue1)t(y t4.0−+= u slučaju kada je pobuda jedinični odskočni signal, u(t)=h(t).

Uporeñivanjem odziva sistema na odskočnu pobudu koja počinje da deluje u trenutku t0=0, zakašnjenog za τ=2

( ) )2t(he1)2t(y )2t(4.0 −+=− −− i na zakašnjenu odskočnu pobudu (h(t-2))

( ) )2t(he1)t(y t4.0a −+= −

vidi se da je ovaj sistem nestacionaran (Sl. 19). Iz dobijenog rezultata se, takoñe vidi da je sistem opisan jednačinom

( )00.4(t t )y(t) 1 e u(t)

− −= + ,

gde je t0 početni trenutak dejstva pobude, stacionaran.

Pr. 9

Ispitati stacionarnost sistema čiji je matematički model opisan sledećom jednačinom )at(u)t(y =

Budući da je zakašnjen odziv ))t(a(u)t(y τ−=τ−

različit od odziva na pobudu zakašnjenu za isti iznos )at(u)t(ya τ−=

sistem je nestacionaran.

STABILNOST S ISTEMA Postoje različite definicije pojma stabilnosti sistema. Jedna od

najrasprostranjenijih je BIBO stabilnost koja se iskazuje osobinom da sistem na ograničen ulaz ima ograničen izlaz (bounded input bounded output).

21

21

B]n[y,tdatako]n[y]n[uB]n[u,t

B)t(y,tdatako)t(y)t(uB)t(u,t

≤∀→≤∀

≤∀→≤∀

H

H

Ukoliko je struja u nekom kolu i(t)=B1h(t), napon na krajevima otpornika u tom kolu je )t(hB)t(hRB)t(Ri)t(u 21R === . U skladu sa iznetom definicijom, otpornik je stabilan sistem u BIBO smislu. Meñutim, isti zaključak se ne može izvesti za kondenzator, kod koga se za istu struju i(t) dobija

t t1 1

C t

B B1u (t) i( )d h( )d th(t)

C C C →∞−∞ −∞

= λ λ = λ λ = →∞∫ ∫

Kondenzator je prema tome nestabilan sistem.

Sl. 19 Odskočni odziv nestacionarnog

sistema

Sl. 20 Nestabilan fizički sistem čije je

zasićenje |y(t)|≤≤≤≤6.5

0 1 2 3 4 5 6-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

tttt

yyyy

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tttt

h(t) - y(t)h(t-2) - ya(t)y(t-2)

11/sistemi

Imajući u vidu da je kondenzator nestabilan sistem, može se postaviti pitanje da li će posle dovoljno dugog vremena napon na njegovim krajevima zaista postati neograničeno velik. Samo se po sebi razume da se ovo neće dogoditi. Naime, kondenzator, kao i svi drugi realni, fizički sistemi ne mogu imati beskonačno velike izlaze. Svi realni sistemi imaju neki maksimum (zasićenje) koji mogu ostvariti na svom izlazu (Sl. 20). U skladu sa time i kondenzator, u izloženom primeru, će posle izvesnog vremena ući u zasićenje i dalji rast napona na njegovim krajevima više neće biti moguć. Ovaj izvesni nesklad izmeñu matematičkog rezultata i stvarnog ponašanja sistema može se objasniti činjenicom da usvojeni matematički model kondenzatora odgovara realnom kondenzatoru samo za odreñeni opseg pobudne struje. Naime, kao što je već ranije istaknuto, gotovo svi matematički modeli predstavljaju linearizovane sisteme i kao takvi imaju ograničen opseg važenja.

U skladu sa izloženim, moglo bi se reći da se kod realnih sistema nestabilnost manifestuje tako što na ograničenu pobudu njihov odziv raste do zasićenja izlaza.

INVERTIBILNOST MODELA Sistem je invertibilan ukoliko se na osnovu

posmatranja odziva sistema može jednoznačno odrediti pobuda koja je izazvala taj odziv. To zapravo znači da je sistem invertibilan ukoliko svaka pobuda sistema proizvodi drugačiji odziv sistema.

Ukoliko je sistem invertibilan postoji matematički model inverznog sistema

]n[u]n[y]n[y]n[u

)t(u)t(y)t(y)t(u

→⇒→

→⇒→1-

-1

HH

HH

Pr. 10

Ispitati invertibilnost sistema čiji je matematički model y(t) sin(u(t))=

Za svaku vrednost pobude u(t), odziv će biti jednoznačno odreñen. Meñutim, zbog periodičnosti sinusne funkcije, jednoj vrednosti odziva y(t) odgovara čitav niz pobudnih signala

1u(t) sin (y(t))−=

Pr. 11

Ispitati invertibilnost sistema čiji je matematički model y(t) u(t 2) u(1 t)= − + −

Očigledno je da ima veoma mnogo kombinacija vrednosti koje mogu dati isti zbir, što znači da se na osnovu poznavanja odziva, ne može odrediti pobuda. To znači da sistem nije invertibilan.

Pr. 12

Odrediti invertibalan sistem diskretnog sistema čiji je matematički model

[ ] [ ] [ ]y n u n 1 u n 1= − + +

U principu ova vrsta problema se rešava odreñivanjem rekurzivne relacije po ulaznom signalu.

Sl. 21 Invertibilan sistem i njegov inverzni sistem

12/sistemi

[ ] [ ] [ ]y n u n 1 u n 1

u[n 1] y[n] u[n 1]

u[n 2] y[n 1] u[n]

u[n 3] y[n 2] u[n 1] y[n 2] y[n] u[n 1]

u[n 4] y[n 3] u[n 1] y[n 3] y[n 1] u[n]

u[n 5] y[n 4] u[n 3] y[n 4] y[n 2] y[n] u[n 1]

u[n 6] y[n 5] u[n 4] y[n 5]

= − + + ⇒

+ = − −

+ = + −

+ = + − + = + − + −

+ = + − + = + − + +

+ = + − + = + − + + − −

+ = + − + = + y[n 3] y[n 1] u[n]− + + + −

Iz dobijenih relacija sledi da u odreñivanju parnih odbiraka signala u učestvuju neparni odbirci signala y i obratno. Otuda sledi da se matematički model inverznog sistema može definisati kao

nn k

k

nn k

k

u[2n] ( 1) y[2k 1]

u[2n 1] ( 1) y[2k]

−

=−∞

−

=−∞

= − −

+ = −

∑

∑

Ispravnost dobijenog modela se može dokazati matematičkom indukcijom.

1/lti

Linearni stacionarni sistemi

1. Jedinični impulsni odziv diskretnog sistema

Linearni stacionarni sistemi se izdvajaju kao posebna kategorija sistema u kojoj važi princip superpozicije i nepromenljivost odziva sistema pri vremenski zakasneloj pobudi. Ove osobine omogućavaju da se doñe do opšte metode za odreñivanje odziva diskretnog sistema na proizvoljnu diskretnu pobudu, odnosno da se doñe do diskretne funkcije koja predstavlja matematički model sistema.

Posmatrajmo sistem na koga deluje neki proizvoljni diskretni pobudni signal u[n]. Postavlja se pitanje na koji način se može odrediti odziv sistema y[n] na ovu pobudu. U traženju odgovora na postavljeno pitanje poćićemo od činjenice da se svaki diskretni signal, posmatran kao pobuda sistema, može prikazati kao zbir impulsnih funkcija, različitih amplituda koje deluju na sistem u različitim trenucima vremena. Da bi ilustrovali ovu tvrdnju posmatrajmo diskretni signal koji ima vrednosti različite od nule samo u pet tačaka (Sl. 1)

=

=−

=

−=−

−=

=

ndrugokojebilo0

2n5.1

1n1

0n4.1

1n6.0

2n2

]n[u

Ovaj signal se može predstaviti zbirom impulsnih funkcija (Sl. 2)

[ ]∑∞

−∞=

−δ=

⇒−δ+−δ+δ++δ−++δ−=

=−δ+−δ−δ++δ−+δ=

k

kn]k[u]n[u

]2n[]2[u]1n[]1[u]n[]0[u]1n[]1[u]2n[]2[u

]2n[5.1]1n[]n[4.1]1n[6.0]2n[2]n[u

Posmatrajmo sada proizvoljni pobudni diskretni signal

[ ]∑∞

−∞=

−δ=k

kn]k[u]n[u , kome odgovara odziv sistema y[n].

[ ] ]n[ykn]k[u]n[y]n[uk

→−δ⇒→ ∑∞

−∞=

HH .

Budući da je sistem linearan, prema principu superpozicije, odziv sistema na ovu povorku impulsa biće jednak zbiru odziva na pojedinačne impulse.

[ ] ∑∞

−∞=

=⇒→−δk

kk ]n[x]n[y]n[xkn]k[u H

Nadalje, pošto za sistem važi princip homogenosti svaki odziv na pojedinačni impuls biće jednak odzivu sistema na jedinični impuls pomnoženom sa amplitudom impulsa.

[ ] ∑∞

−∞=

=⇒=⇒→−δk

kkkk ]n[v]k[u]n[y]n[v]n[u]n[x]n[vkn H

Konačno, kako je sistem stacionaran, što znači da je odziv na vremenski pomerenu pobudu jednak odzivu pomerenom za isti iznos, odziv na

Sl. 1 Diskretni signal u[n]

Sl. 2 Diskretni signal kao zbir impulsa

2/lti

jedinični impuls koji deluje u trenutku n=k (δ[n-k]) jednak je odzivu na impuls u trenutku n=0 (δ[n]) zakašnjenjom za iznos k.

[ ] [ ] ∑∞

−∞=

−=⇒−=⇒−→−δ⇒→δk

k ]kn[g]k[u]n[y]kn[g]n[v]kn[gkn]n[gn HH

Opisani postupak odreñivanja odziva sistema na proizvoljnu pobudu ilustrovan je grafički (Sl. 3).

y[n]

2

-0.6

1.4

-1

1.5

n

n

n

n

n

-0.6 [n+1]

1.4 [n]

-1 [n-1]

1.5 [n-2]

2 [n+2]

X-2

[n]

X-1

[n]

x0[n]

x1[n]

x2[n]

Sl. 3 Ekvivalentni načini formiranja odziva linearnog stacionarnog sistema

y[n]

2

-0.6

1.4

-1

1.5

n

n

n

n

n

X

X

X

X

X

1

1

1

1

1

[n+2]

[n+1]

[n]

[n-1]

[n-2]

V-2

[n]

V-1

[n]

v0[n]

v1[n]

v2[n]

3/lti

Iz svega što je izloženo vidi se da je za odreñivanje odziva diskretnog linearnog stacionarnog sistema dovoljno da se raspolaže odzivom sistema g[n] na jedinični impuls δ[n]. Kada se on poznaje, odziv na proizvoljni pobudni signal dobija se konvolucijom tog signala sa jediničnim impulsnim odzivom.

]n[g]n[u]kn[g]k[u]n[yk

∗=−= ∑∞

−∞=

Primena konvolucione sume za odreñivanje odziva sistema zahteva još da se ustanovi metoda za odreñivanje jediničnog impulsnog odziva sistema, o čemu će kasnije biti više reči.

Pr. 1

U cilju ilustracije opisanog postupka, pretpostavimo da je

jedinični impulsni odziv nekog sistema ]n[ha]n[g n= . Odredićemo

odziv tog sistema na jediničnu odskočnu funkciju u[n] = h[n] (Sl. 5).

U odreñivanju rezultata korišćen je zbir geometrijske progresije. Takoñe, budući da je pobuda jednaka nuli za n<0, to znači da je i odziv jednak nuli za n<0. Iz tog razloga je krajnji rezultat

pomnožen sa jediničnom odskočnom funkcijom h[n].

Pr. 2

Odrediti impulsni odziv sistema čiji je matematički model odreñen jednačinom

]1n[u]n[u]n[y −−=

Polazeći od izraza za konvolucionu sumu, direktno se dobija

]1n[]n[]n[g]kn[g]k[u]1n[]1n[u]n[]n[u]n[yk

−δ−δ=⇒−=−δ−−δ= ∑∞

−∞=

2. Jedinični impulsni odziv kontinualnog sistema

Jednostavnost i svojevrsna elegancija sa kojom se kod diskretnih sistema uspostavlja veza izmeñu odziva sistema na proizvoljni signal i jediničnog impulsnog odziva, a koja potiče od osobina linearnih stacionarnih sistema, nužno nameće da se sličan pristup primeni i na kontinualne sisteme. Ovde je, meñutim, problem u tome što, za razliku od diskretnih signala, proizvoljni kontinualni signal nije jednak sumi impulsnih funkcija, niti bilo kojih funkcija standardizovanog oblika. To nadalje znači, da primena principa superpozicije zahteva da se, pre svega, kontinualni signal aproksimira sumom funkcija utvrñenog oblika.

Polazeći od rezultata dobijenog za diskretne sisteme, čini se prirodnim da se kao osnovni elemenat aproksimacije koristi pravougaoni impuls

Sl. 4 Jedinični impulsni odziv diskretnog sistema

Sl. 5 Konvolucija signala pri odreñivanju odziva

Sl. 6 Osnovni elemenat aproksimacije

n k

k

(n 1) n 1n nn k n k n

1k 0 k 0

y[n] h[k]a h[n k]

a 1 1 aa a a a h[n]

1 aa 1

∞−

=−∞

− + +− −

−= =

= − =

− −= = = =

−−

∑

∑ ∑

4/lti

jedinične površine (Sl. 6), koji teži ka impulsnoj funkciji kada širina pravougaonika teži ka nuli.

( ) )t()t(lim)t(h)t(h1

)t(0

δ=δ⇒∆−−∆

=δ ∆→∆

∆

Usvajajući pravougaoni impuls kao osnovu za aproksimaciju, proizvoljna

kontinualna pobuda u(t) može se aproksimirati na sledeći način (Sl. 7)

( )

∆∆−δ∆=

=∆−∆−−∆−∆=≈

∆

∞

−∞=

∞

−∞=∆

∑

∑

)kt()k(u

)kt(h)kt(h)k(u)t(u)t(u

k

k

Ako se širina impulsa smanjuje (∆→0) aproksimacija u∆(t) teži ka originalnoj funkciji u(t), pri čemu se dobija

∫

∑∞

∞−

∆

∞

−∞=→∆∆

→∆

λλ−δλ=

=∆∆−δ∆==

d)t()(u

)kt()k(ulim)t(ulim)t(uk00

Pretpostavimo sada da funkcija u∆(t) deluje na jedan sistem čiji je odziv y∆(t).

)t(y)kt()k(u)t(y)t(uk

∆∆

∞

−∞=∆∆ →∆∆−δ∆⇒→ ∑ HH

Signal pobude je zbir pravouagonih impulsa amplitude u(k∆), vremenski pomerenih za iznos ∆. Budući da je sistem linearan, prema principu superpozicije, odziv sistema može se dobiti kao zbir odziva na pojedinačne pravougaone impulse pomnožene faktorom u(k∆)∆.

∆∆=⇒→∆−δ ∑∞

−∞=∆∆ )t(v)k(u)t(y)t(v)kt( k

k

kH

Nadalje, budući da je sistem stacionaran odziv na vremenski pomeren pravougaoni impuls jednak je odzivu na pravougoani impuls koji počinje u koordinatnom početku, vremenski pomerenom za isti iznos.

∆∆−∆=⇒=∆−→∆−δ⇒→δ ∆

∞

−∞=∆∆∆∆∆ ∑ )kt(g)k(u)t(y)t(v)kt(g)kt()t(g)t(

k

kHH

Ako se sada pusti da širina pravougaonog impulsa teži ka nuli, dobiće se

∫∑∞

∞−∆

∞

−∞=→∆∆

→∆

∆→∆

∆→∆

λλ−λ=∆∆−∆=

→δ⇒→δ

d)t(g)(u)kt(g)k(ulim)t(ylim

)t(g)t()t(glim)t(lim

k00

00

HH

U skladu sa izloženim, ukoliko je g(t) jedinični impulsni odziv linearnog stacionarnog kontinualnog sistema, odziv sistema na proizvoljni pobudni signal

dobija se konvolucijom tog signala sa jediničnim impulsnim odzivom.

Sl. 7 Aproksimacija kontinualne funkcije

Sl. 8 Jedinični impulsni odziv kontinualnog sistema

5/lti

)t(g)t(ud)t(g)(u)t(y ∗=λλ−λ= ∫∞

∞−

Kao i kod diskretnih sistema, primena ovog izraza kod kontinualnih sistema zahteva da se utvrdi metodologija odreñivanja jediničnog impulsnog odziva.

Pr. 3

U cilju ilustracije opisanog postupka, pretpostavimo da je jedinični impulsni odziv nekog sistema atg(t) e h(t)−=

Odziv ovog sistema na jedinični step signal u(t) = h(t) odreñuje se konvolucijom (Sl. 9)

( )

t

a (t ) a ( t )

0

t at

0

y(t) h( )e h(t )d e d

1 1e 1 e h(t)a a

∞− −λ − −λ

−∞

−λ −

= λ −λ λ = λ =

= − = −

∫ ∫

Napomenimo da se množenjem rezultata sa jediničnom odskočnom funkcijom h(t) ističe da je on validan samo za t ≥ 0. Naime, budući Da je za t<0

pobuda jednaka nuli, to i odziv mora biti nula za t<0.

3. Osobine lineranih stacionarnih sistema

POČETNI TRENUTAK t0

• Budući da je sistem stacionaran, odnosno da njegov odziv ne zavisi od trenutka u kome sistem počinje da radi, može se usvojiti da je t0 = 0.

• Pobudni signal počinje da deluje na sistem od t=0, pa se može smatrati da je on nula za t<0.

)t(h)t(u)t(u0)t(u,0tza =⇒=< ]n[h]n[u]n[u0]n[u,0nza =⇒=<

potrebno je istaći da se veoma često množenje sa jediničnom odskočnom funkcijom podrazumeva, a ne piše eksplicitno

RELAKSIRANOST SISTEMA Ako je sistem relaksiran onda je njegov jedinični impulsni odziv u početnom trenutku t=0 jednak nuli

∫∫∞∞

∞−

λλ−λ=λλ−λ=

⇒<==

0

d)t(g)(ud)t(g)(u)t(y

)0tza0)t(uuz(0)0(g

∑∑∞

=

∞

−∞=

−=−=

⇒<==

0kk

]kn[g]k[u]kn[g]k[u]n[y

)0nza0]n[uuz(0]0[g

KAUZALNI SISTEM • Ako je sistem kauzalan onda jedinični impulsni odziv ne može postojati pre nego

što se sistem pobudi impulsom u početnom trenutku t = 0

∫∫∞−

∞

∞−

λλ−λ=λλ−λ=

⇒>λ=λ−⇒=<t

d)t(g)(ud)t(g)(u)t(y

tza0)t(g0)t(g0tza

∑∑−∞=

∞

−∞=

−=−=

⇒>=−⇒=<n

kk

]kn[g]k[u]kn[g]k[u]n[y

nkza0]kn[g0]n[g0nza

Sl. 9 Konvolucija signala pri odreñivanju odziva

6/lti

KAUZALNI I RELAKSIRAN SISTEM

∫∫ λλ−λ=λλ−λ=∞

∞−

t

0

d)t(g)(ud)t(g)(u)t(y ∑∑=

∞

−∞=

−=−=n

0kk

]kn[g]k[u]kn[g]k[u]n[y

S ISTEM BEZ MEMORIJE

• Pošto kod sistema bez memorije odziv zavisi samo od pobude u tom trenutku, za linearne stacionarne sisteme jedini mogući sistem bez memorije je "čisto" pojačanje. (Atribut "čisto" koristi se da označi da je reč o idealnom pojačavaču)

• Jedinični impulsni odziv mora biti nula za sve vrednosti nezavisne promenljive osim za vrednost jednaku nuli

0)t(g0tza

)t(Ku)t(y

=≠

=

0]n[g0nza

]n[Ku]n[y

=≠

=

INVERTIBILNOST SISTEMA

Ako postoji inverzni sistem onda konvolucija jediničnog impulsnog odziva sistema (g) i jediničnog impulsnog odziva invertibilnog sistema (gi) daje jedinični impuls

)t()t(g)t(gg ii δ=∗⇒∃ ]n[]n[g]n[gg ii δ=∗⇒∃

STABILNOST SISTEMA Stabilnost u BIBO smislu zahteva da sistem ima ograničen odziv na ograničenu pobudu. Korišćenjem činjenice da je apsolutna vrednost integrala (sume) manja ili jednaka od apsolutne vrednosti podintegralne funkcije (članova sume) ovaj uslov se može precizirati u smislu zahteva koje treba da ispuni jedinični impulsni odziv Ako je uB)t(u,t ≤∀ , uslov stabilnosti u

BIBO smislu zahteva yB)t(y,t ≤∀ .

Polazeći od konvolucionog integrala dobija se

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

λλ≤λλ−λ=

=λλ−λ≤λλ−λ=

d)(gBd)t(u)(g

d)t(u)(gd)t(u)(g)t(y

u

Ako je impulsni odziv apsolutno integrabilan tada je

yu BGB)t(yGd)(g =≤⇒∞<=λλ∫∞

∞−

Potreban i dovoljan uslov BIBO stabilnosti kontinualnog, linearnog, stacionarnog sistema je da je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan

Ako je uB]n[u,n ≤∀ , uslov stabilnosti

u BIBO smislu zahteva yB]n[y,n ≤∀ .

Polazeći od konvolucione sume dobija se

∑∑

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

≤−

≤−≤−=

ku

k

kk

]k[gB]kn[u]k[g

]kn[u]k[g]kn[u]k[g]n[y

Ako je impuslni odziv takav da je apsolutno sumabilan, tada je

yuk

BGB]n[yG]k[g =≤⇒∞<=∑∞

−∞=

Potreban i dovoljan uslov BIBO stabilnosti diskretnog, linearnog, stacionarnog sistema je da je njegov impulsni odziv apsolutno sumabilan

7/lti

JEDNIČNI ODSKOČNI ODZIV

dt

)t(ds)t(gd)(gd)t(h)(g)t(s

)t(h)t(g)t(s)t(h)t(ut

=⇒λλ=λλ−λ=

∗=⇒=

∫∫∞−

∞

∞−

]1n[s]n[s]n[g

]k[g]kn[h]k[g]n[s

]n[h]n[g]n[s]n[h]n[un

kk

−−=⇒

⇒=−=

∗=⇒=

∑∑−∞=

∞

−∞=

4. Redna i paralelna veza sistema

Budući da nema suštinske razlike u tome da li se posmatra veza kontinualnih ili diskretnih sistema usvojićemo zajedničku oznaku za signale i njihovu konvoluciju

=signalediskretneza]n[x

signaleelnkontinuaza)t(xx

−

λλ−λ

=∗

∑

∫∞

−∞=

∞

∞−

signala diskretnih ukonvolucij za]kn[g]k[u

signala ihkontinualn ukonvolucij zad)t(g)(u

gu

k

Redna (serijska, kaskadna) veza sistema

Dva sistema vezana su na red ukoliko je izlaz jednog sistema ulaz drugog sistema (Sl. 10).

Neka su g1 i g2 jedinični impulsni odzivi dva sistema i neka je odziv prvog sistema y1 jednak ulazu drugog sistema (y1 = u2), tada je, s obzirom na osobinu distributivnosti konvolucije, odziv redne veze (y=y2) na pobudu u=u1

( )21

211211212222111

ggg,guy

)gg(uggugyyguyguy

∗=∗=⇒

⇒∗∗=∗∗=∗=⇒∗=∗=

Iz dobijenog izraza vidi se da se rednom vezom dva sistema dobija sistem čiji je impulsni odziv jednak konvoluciji impulsnih odziva ta dva sistema. Pri tome, budući da je konvolucija komutativna, očigledno je da redosled vezivanja sistema ne utiče na impulsni odziv redne veze.

Poopštenjem ovog rezultata jednostavno se pokazuje da je impulsna funkcija redne veze m sistema jednaka konvoluciji impulsnih funkcija pojedinačnih sistema.

m21 gggg ∗∗∗= ⋯

Paralelna veza sistema

Dva sistema vezana su paralelno ukoliko imaju zajednički ulaz, dok se njihovi izlazi sabiraju i daju odziv celog sistema.

Neka su g1 i g2 jedinični impulsni odzivi dva sistema i neka su njihovi odzivi na pobudu u jednaki y1 i y2. Tada je odziv paralelne veze jednak

Sl. 10 Redna veza dva sistema

Sl. 11 Paralelna veza sistema

8/lti

zbiru ova dva odziva, dok se impulsni odziv paralelan veze (g), s obzirom na osobinu asocijativnosti konvolucije, može odrediti kao

21

212121

ggggu

)gg(uguguyyy

+=⇒∗=

=+∗=∗+∗=+=

Paralelna veza m sistema rezultuje u sistemu čiji je impulsni odziv jednak zbiru pojedinačnih impulsnih odziva m21 gggg +++= ⋯ .

5. Diferentne jednačine

U opštem slučaju svaki linerani stacionarni diskretni sistem može se modelirati pomoću linearne diferentne jednačine. Ako se pretpostavi da na sistem u trenutku n=0 počinje da deluje neka pobuda u[n], onda se sistem može predstaviti diferentnom jednačinom

)M,Nmax(sistemared]kn[ub]kn[yaM

0kk

N

0kk =−=− ∑∑

==

Izvesno je da se ova jednačina može rešavati rekurzivno

∑∑==

−−−=N

1kk

M

0kk0 ]kn[ya]kn[ub]n[ya

Pri tome se, bez gubitka opštosti, može smatrati da je a0=1. Naime, ukoliko to nije slučaj cela jednačina se može podeliti sa a0.

ODZIV NULTOG POČETNOG STANJA I ODZIV NULTOG ULAZA Da bi se jasnije sagledalo značenje rešenja ove jednačine posmatraće se niz

rešenja koji se dobija u različitim trenucima vremena

]Mn[ub]1n[ub]n[ub]Nn[ya]2n[ya]1n[ya]n[y

]MN[ub]1N[ub]N[ub]0[ya]2N[ya]1N[ya]N[y

]0[ub]1[ub]N1[ya]1[ya]0[ya]1[y

]0[ub]N[ya]2[ya]1[ya]0[y

M10N21

M10N21

10N21

0N21

−++−++−−−−−−−=

−++−++−−−−−−=

++−−−−−−=

+−−−−−−−=

⋯⋯

⋮

⋯⋯

⋮

⋯

⋯

Na osnovu ovih jednačina vidi se da jedan deo odziva zavisi isključivo od signala pobude, dok drugi deo odziva zavisi zapravo od vrednosti izlaza sistema u trenucima pre otpočinjanja dejstva pobude. Ti izlazi mogu biti posledica energije koja se u sistemu sakupila usled dejstva neke ranije pobude. Pri tome, važno je uočiti, da nije potrebno znati kakva je ta prethodna pobuda bila, jer je celokupna informacija o efektima te pobude i o njenim eventualnim posledicama na buduće ponašanje sistema sadržana u vrednostima izlaza y[k], k=-1, -2,...,-N. U tom smislu, ove vrednosti se označavaju kao početno stanje sistema.

U cilju sagledavanja uticaja ova dva dela odziva na ukupni odziv sistema posmatraćemo isti sistem u dve moguće situacije: • Na sistem ne deluje pobuda u[n]≡0, pa je odziv sistema y[n] = yzu[n] – odziv nulte

pobude, pri datim početnim stanjima y[k], k=-1, -2,...,-N • Početna stanja sistema su jednaka nuli (y[k] = 0, k=-1, -2,...,-N), pa je odziv sistema

y[n] = yzs[n] – odziv nultog početnog stanja Iz jednačine sistema vidi se da je

9/lti

]Nn[ya]2n[ya]1n[ya]n[y

]0[ya]2N[ya]1N[ya]N[y

]N1[ya]1[ya]0[ya]1[y

]N[ya]2[ya]1[ya]0[y

zuNzu2zu1zu

zuNzu2zu1zu

N2zu1zu

N2zu1zu

−−−−−−−=

−−−−−−=

−−−−−−=

−−−−−−−=

⋯

⋮

⋯

⋮

⋯

⋯

]Mn[ub]1n[ub]n[ub]Nn[ya]2n[ya]1n[ya]n[y

]MN[ub]1N[ub]N[ub]0[ya]2N[ya]1N[ya]N[y

]0[ub]1[ub]0[ya]1[y

]0[ub]0[y

M10zsNzs2zs1zs

M10zsNzs2zs1zs

10zs1zs

0zs

−++−++−−−−−−−=

−++−++−−−−−−=

++−=

=

⋯⋯

⋮

⋯⋯

⋮

Kombinovanjem ovih rešenja, za sistem koji ima početne uslove i na koga deluje pobuda dobija se

( )

( ) ( )

( )( )

]n[y]n[y]Mn[ub]1n[ub]n[ub]Nn[ya]2n[ya]1n[ya]n[y

]N[y]N[y

]0[ya]2N[ya]1N[ya]MN[ub]1N[ub]N[ub

]0[ya]2N[ya]1N[ya

]MN[ub]1N[ub]N[ub]0[ya]2N[ya]1N[ya]N[y

]1[y]1[y]0[ub]1[ub]0[ya]N1[ya]1[ya]0[ya

]0[ub]1[ub]N1[ya]1[ya]0[ya]1[y

]0[y]0[y]0[ub]N[ya]2[ya]1[ya]0[y

zszuM10N21

zszu

zsNzs2zs1M10

zuNzu2zu1

M10N21

zszu10zs1N2zu1

10N21

zszu0N21

+=−++−++−−−−−−−=

+=

=−−−−−−−++−++

+−−−−−−=

=−++−++−−−−−−=

+=++−+−−−−−−=

=++−−−−−−=

+=+−−−−−−−=

⋯⋯

⋮

⋯⋯

⋯

⋯⋯

⋮

⋯

⋯

⋯

Na osnovu izvršene analize vidi se da se odziv svakog linearnog stacionarnog

diskretnog sistema može dobiti kao zbir odziva nultog početnog stanja i odziva nultog ulaza

]n[y]n[y]n[y zszu +=

Posmatranje odziva sistema kao zbira odziva nultog ulaza i nultog početnog stanja omogućava da se uoči da, u opštem slučaju, ne važi princip superpozicije. Naime, za različite signale pobude menjaće se samo deo odziva koji potiče od nultog početnog stanja (yzs), dok će drugi deo odziva yzu uvek biti isti. To nadalje znači da će u opštem slučaju sistem koji je opisan lineranom diferentnom jednačinom biti inkrementalno linearan, jer se na njegovom izlazu superponira uvek isti signal yzu(Sl. 12).

Iz izložene analize sledi da će sistem opisan linearnom diferentnom jednačinom biti

linearan samo ako ima početno stanje jednako nuli, odnosno ako je relaksiran u trenutku otpočinjanja dejstva pobude tako da je yzu[n]≡0.

Sl. 12 Odziv sistema kao zbir odziva nultog ulaza i nultog početnog stanja

10/lti

Nadalje, iz samog oblika diferentne jednačine vidi se da odziv sistema u trenutku n zavisi samo od trenutne i prošlih pobuda, što znači da je ovako modeliran sistem kauzalan. Konačno, polazeći od opšteg oblika linerane diferentne jednačine, može se pokazati da je pod datim uslovom sistem i stacionaran.

Partikularno i homogeno rešenje U teoriji diferentnih jednačina pokazuje se da se rešenje može naći kao zbir

homogenog i partikularnog rešenja ]n[y]n[y]n[y hp +=

gde je ]n[yp - partikularno rešenje koje odgovara nekom datom ulaznom signalu

]n[yh - homogeno rešenje koje odgovara jednačini 0]kn[yaN

0kk =−∑

−

, i koje se odreñuje

na osnovu pretpostavke o N pomoćnih uslova odziva sistema.

Pr. 4

Ne upuštajući se u teorijske aspekte pronalaženja opšteg rešenja diferentne jednačine, sam postupak će se ilustrovati na primeru rešavanja diferentne jednačine prvog reda

01 1− − = = − = ≠ny[n] ay[n ] u[n], u[n] b h[n], y[ ] Y a b

• rešenje za n ≥ 0

Ako se pretpostavi partikularno rešenje oblika, npy [n] Ab , n 0= ≥ zamenom u jednačinu se

dobija n n n 1 n 1

p p

n 1n

p

by [n] ay [n 1] b Ab aAb b A aAb 1 A

b a

b by [n] b , n 0

b a b a

− −

+

− − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒−

⇒ = = ≥− −

Ako se rešenje homogene jednačine formira kao = nhy [n] Kc dobija se

11 0 0−− − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =n n nh h hy [n] ay [n ] Kc aKc c a y [n] Ka

tako da je rešenje diferentne jednačine n 1

np h

by[n] y [n] y [n] Ka , n 0

b a

+= + = + ≥

−

Ako se, nadalje, u cilju odreñivanja konstante K potraži rešenje diferentne jednačine za n=0 dobija se

0 00 1 1 1− − = ⇒ + − = ⇒ = −− −b b

y[ ] ay[ ] K aY K aYb a b a

Konačno, zamenom konstante K u rešenje jednačine dobija se n 1 n 1

n 10

b ay[n] Y a , n 0

b a

+ ++ −

= + ≥−

• rešenje za n<0 Budući da pobudni signal počinje da deluje tek za n=0, rešenje za n<0 jednako je homogenom

rešenju 1

0 0 01 −= = − = ⇒ = ⇒ =nhy[n] y [n] Ka , y[ ] Y Ka Y K Y a

10 0+= <ny[n] Y a , n

• rešenje za bilo koje n Kombinujući oba dobijena rešenja, vidi se da se se rešenje posmatrane diferentne jednačine

može izraziti kao

11/lti

n 1 n 1n 1

0b a

y[n] Y a h[n]b a

+ ++ −

= + −

Uprkos činjenici da se odziv sistema izražava zbirom partikularnog i homogenog rešenja, kao i zbirom odziva nultog početnog stanja i nultog ulaza, potrebno je da se istakne da ova dva zbira ne treba povezivati.

U posmatranom primeru vidi se da je odziv nultog ulaza jednak homogenom rešenju za n<0. zu zu zu zu

zu zu 0

2zu zu 0

3zu zu 0

n 1zu zu 0

y [n] ay [n 1] 0 y [n] ay [n 1]

y [0] ay [ 1] aY

y [1] ay [0] a Y

y [2] ay [1] a Y

y [n] ay [n 1] a Y+

− − = ⇒ = − ⇒

= − =

= =

= =

= − =

⋮

Odziv nultog početnog stanja može se dobiti rekurzivnim rešavanjem jednačine

( )

nzs zs

zs

2 2

zs zs

3 32 2 2 2

zs zs

n 1 n 1n

zs zs

y [n] ay [n 1] u[n], u[n] b h[n], y[ 1] 0

y [0] 1

b ay [1] ay [0] b a b

b a

b ay [2] ay [1] b a a b b a ab b

b a

b ay [n] ay [n 1] b , n 0

b a

+ +

− − = = − = ⇒

=

−= + = + =

−

−= + = + + = + + =

−

−= − + = ≥

−

⋮

Uporeñivanjem ovih rezultata vidi se da partikularno rešenje u sebi sadrži odziv nultog početnog stanja i deo odziva nultog ulaza.

REKURZIVNI I NEREKURZIVNI DISKRETNI SISTEMI

U posebnom slučaju kada je N = 0 diferentna jednačina diskretnog sistema se svodi na

∑=

−=M

0kk ]kn[ub]n[y

Ova jednačina je očigledno nerekurzivna. Šta više, ukoliko je ulazni signal jedinična impulsna funkcija, iz jednačine se direktno dobija i funkcija jediničnog impulsnog odziva

∑=

−δ=M

0kk ]kn[b]n[g

Iz izraza za jedinični impulsni odziv vidi se da on ima konačan broj vrednosti različitih od nule (g[n] = bn ≠ 0, za n = 0,1,2,...,M). Takav sistem se naziva sistem sa konačnim impulsnim odzivom ili FIR sistem (finite-impulse-response).

Za razliku od ovih sistema, sistemi opisani opštim oblikom diferentne jednačine su rekurzivni i maju impulsni odziv koji nije nula na neograničenom vremenskom intervalu. Takvi sistemi se nazivaju sistemi sa impulsnim odzivom beskonačnog trajanja ili IIR sistemi (infinite-impulse-response).

6. Diferencijalne jednačine

Ponašanje linearnih kontinualnih stacionarnih sistema može se opisati pomoću linearnih diferencijalnih jednačina čiji je opšti oblik

12/lti

∑∑==

=M

0kk

k

k

N

0kk

k

kdt

)t(udb

dt

)t(yda

gde je red jednačine (N) odreñen stepenom najvišeg izvoda izlaza sistema. Sledeći analogiju izmeñu diskretnih i kontinualnih sistema logično je očekivati da

se i kod kontinualnih sistema odziv predstavlja zbir odziva nultog početnog stanja (yzs(t)) i nultog ulaza (yzu(t))

)t(y)t(y)t(y zuzs += Meñutim, za razliku od diskretnih sistema, ovde se ta jednakost ne može tako jednostavno pokazati, već ona sledi iz rezultata teorije diferencijalnih jednačina.

Iz teorije diferencijalnih jednačina je takoñe poznato da se za neki dati ulazni signal u(t) rešenje jednačine y(t) može, u opštem slučaju, dobiti kao zbir homogenog i partikularnog rešenja

)t(y)t(y)t(y hp +=

gde je yp(t) – partikularno rešenje – jedno od rešenja koje zadovoljava diferencijalnu jednačinu za neki dati pobudni signal.

yh(t) –rešenje homogene diferencijalne jednačine (u(t)≡0) - 0

0kN

kk

d y(t)

dt==∑ , koje se

odreñuje na osnovu pretpostavke o N pomoćnih uslova odziva sistema. U principu, uslovi se mogu izabrati potpuno proizvoljno. Meñutim, pokazuje se da je pogodno da se pomoćni uslovi definišu preko vrednosti odziva (i eventualno izvoda odziva) u trenutku otpočinjanja dejstva pobude. U tom smislu pomoćni uslovi definišu početno stanje sistema.

Pr. 5

Ne upuštajući se u metodologiju rešavanja diferencijalnih jednačina, radi ilustracije odreñivanja rešenja posmatraćemo sistem opisan diferencijalnom jednačinom prvog reda

00−+ = = = ≠btdy(t)ay(t) u(t), u(t) e h(t), y( ) Y a b

dt

Ako se pretpostavi da je partikularno rešenje oblika btpy (t) Ae , t 0−= > , tada se njegovom

zamenom u jednačinu dobija 1

0 1

10

− − − −

−

+ ≡ > ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = ⇒−

⇒ = > −

p bt bt bt btp

btp

dy (t)ay (t) e , t bAe aAe e (a b)A A

dt a b

y (t) e , ta b

U cilju dobijanja homogenog rešenja potrebno je rešiti jednačinu

0+ =hh

dy (t)ay (t)

dt

Pretpostavljajući da je homogeno rešenje oblika thy (t) Keλ= , zamenom u homogenoj jednačini može se

odrediti λ 0λ λλ + = ⇒ λ = −t tKe aKe a

tako da rešenje jednačine postaje

bt atp h

1y(t) y (t) y (t) e Ke , t 0

a b

− − = + = + > −

Preostaje još da se odredi vrednost konstante K. Pošto ulazni signal ne sadrži impulsnu funkciju, odziv sistema mora biti neprekidna funkcija za svako t, što znači da važi

13/lti

( )

0 0

at bt at0

1 1y(0) K Y K Y , t 0

a b a b

1y(t) Y e e e , t 0

a b

− − −

= + = ⇒ = − > ⇒ − −

⇒ = + − > −

Konačno, da bi se odredilo rešenje jednačine i za t<0, potrebno je zapaziti da je u tom slučaju pobuda sistema jednaka nuli, što znači da se celokupno rešenje svodi na homogeno rešenje

ath

0 0

at0

y(t) y (t) Ke , t 0

y(0) Y K Y ,

y(t) Y e , t 0

−

−

= = <

= ⇒ = ⇒

⇒ = <

odnosno za bilo koje vreme t rešenje se može prikazati kao

( )at bt at0

1y(t) Y e e e h(t)

a b

− − − = + − −

Odziv nultog ulaza i nultog početnog stanja Dobijeno rešenje može da se interpretira i tako što će se uočiti da deo rešenja potiče od dejstva

pobudnog signala, a deo od početnog stanja sistema. Naime, ako je početno stanje sistema Y0=0 tada se rešenje svodi na

( )bt atzs

1y(t) y (t) e e h(t)

a b

− − = = − − - odziv nultog početnog stanja, odnosno odziv koji potiče

od pobude. Ukoliko je meñutim pobuda sistema jednaka nuli tada se rešenje svodi na

0−= = at

zuy(t) y (t) Y e - odziv nultog ulaza

Tako da se odziv sistema, zapravo, dobija kao zbir ova dva odziva

zs zuy(t) y (t) y (t)= + Kao i kod diskretnih sistema, potrebno je zapaziti da ova dva odziva nisu direktno povezana sa

partikularnim i homogenim rešenjem. Naime, iz posmatranog primera se vidi da odziv nultog početnog stanja sadrži i partikularno i deo homogenog rešenja.

I kod kontinualnih sistema se vidi da će linerana diferencijalna jednačina modelirati linearni kontinualni stacionarni sistem samo ako je sistem relaksiran u trenutku otpočinjanja dejstva pobude, odnosno ako je početno stanje sistema jednako nuli. Ako to nije slučaj, sistem je inkrementalno linearan.

7. Blok dijagram linearnih stacionarnih kontinualnih i diskretnih sistema

Ako se poñe od činjenice da se svaki linearni stacionarni sistem može modelirati pomoću linearne diferencijalne, odnosno diferentne jednačine koja u sebi sadrži operacije sabiranja signala, množenja konstantnom i diferenciranja, odnosno kašnjenja signala, onda se postavlja pitanje na koji način se, kombinovanjem jednostavnih elemenata koji realizuju ove elementarne operacije nad signalima, može formirati bilo koji linearan kontinualan ili diskretni sistem.

U traženju odgovora na ovo pitanje, podsetimo se da diferencijator zapravo nije fizički ostvarljiv. Pored toga, kao što je već rečeno, diferenciranje nije poželjna operacija zato što izuzetno pojačava amplitude signala visokih učestanosti. Otuda se ova operacija zamenjuje nekom fizički ostvarljivom, pogodnijom, operacijom.

Jedan od mogućih načina da se to izvede je da se diferencijalna jednačina sukcesivno integrali. Da bi objasnili ovu ideju posmatrajmo sistem koji je opisan diferencijalnom jednačinom

)t(ub)t(ub)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya 210210 ɺɺɺɺɺɺ ++=++ Integraleći levu i desnu stranu jednačine dobićemo

)t(ub)t(ubd)(ub)t(ya)t(yad)(ya 21

t

021

t

0 ɺɺ ++ττ=++ττ ∫∫∞−∞−

Uvoñenjem smene

14/lti

∫∫∞−∞−

ττ=ττ=t

1

t

1 d)(u)t(u,d)(y)t(y

dobija se )t(ub)t(ub)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya 21102110 ɺɺ ++=++

Ponovna integracija daje

)t(ub)t(ubd)(ub)t(ya)t(yad)(ya

)t(ubd)(ubd)(ub)t(yad)(yad)(ya

211

t

10211

t

10

2

t

1

t

102

t

1

t

10

++ττ=++ττ⇒

⇒+ττ+ττ=+ττ+ττ

∫∫

∫∫∫∫

∞−∞−

∞−∞−∞−∞−

Smenom

∫∫∞−∞−

ττ=ττ=t

12

t

12 d)(u)t(u,d)(y)t(y

dobija se )t(ub)t(ub)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya 2112021120 ++=++

Konačno, da bi se dobijena jednačina mogla napisati u konciznom obliku uvedimo i smenu

)t(u)t(u),t(y)t(y 00 == pa model sistema dobija oblik

2,1k,d)(u)t(u,d)(y)t(y

)t(u)t(u),t(y)t(y

)t(ub)t(ya

t

1kk

t

1kk

00

2

0kk2k

2

0kk2k

=ττ=ττ=

==

=

∫∫

∑∑

∞−−

∞−−

=−

=−

Iz ove jednačine se vidi da se linearni kontinualni sistem može realizovati pomoću integratora umesto diferencijatora. U opštem slučaju za N ≥ M, sukcesivnom integracijom N puta dobija se

k kt tN N

k kk kk 0 k 0

k 1 k 1N N

0 1 k 0 1 kk 1 k 1k 1 k 1

d y( ) d u( )a dt b

d d

d y(t) d u(t)a y (t) a b u (t) b ;

dt dt

= =−∞ ∞

− −

− −= =

τ τ= ⇒ τ τ

+ = +

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑

t t

0 1 0 0 1 0

k 1 k 1t tN N

0 1 k 0 1 kk 1 k 1k 1 k 1

k 2 kN

0 2 1 1 k 0 2 1 1 kk 2k 2

y (t) y(t), y (t) y ( )d ; u (t) u(t), u (t) u ( )d

d y( ) d u( )a y ( ) a d b u ( ) b d

d d

d y(t) da y (t) a y (t) a b u (t) b u (t) b

dt

−∞ −∞

− −

− −= =−∞ −∞

−

−=

= = τ τ = = τ τ

τ ττ + τ = τ + τ⇒ τ τ

+ + = + +

∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

∑2N

k 2k 2

t t

2 1 2 1

u(t)

dt

y (t) y ( )d ; u (t) u ( )d

−

−=

−∞ −∞

= τ τ = τ τ

∑

∫ ∫

15/lti

N N

k N k k N kk 0 k 0

t t

k k 1 k k 1

j

a y (t) b u (t)

y (t) y ( )d ; u (t) u ( )d , k 1,2, , N

b 0 za j M

− −= =

− −−∞ −∞

=

= τ τ = τ τ =

= >

∑ ∑

∫ ∫

⋮

⋯

Napomenimo da se za slučaj kada je M > N pokazuje da sistem nije fizički ostvarljiv, tako da ta realizacija nije od interesa.

Na osnovu svega izloženog sledi da je za reprezentaciju linearnog stacionarnog sistema u formi blok dijagrama neophodno raspolagati sa tri tipa operacija (blokova): • Sabirač

Isti simbol se koristi i za kontinualne i za diskretne signale, pri čemu se uvek podrazumeva da su oba ulazna signala, kao i rezultat istog tipa. Samo se po sebi, meñutim, razume da se elektronska kola za sabiranje kontinualnih i diskretnih signala realizuju na različite

načine. Napomenimo još i da se veoma često znak sabiranja podrazumeva (i ne navodi

eksplicitno). Ukoliko se signal oduzima, to se mora eksplicitno naznačiti. • Množač konstantom

I ovde se isti simbol koristi i za diskretne i za kontinualne signale

• Integrator odnosno elemenat jediničnog kašnjena

Kombinovanjem ovih elemenata može se formirati bilo koji linearan, stacionaran

kontinualan ili diskretan sistem relaksiran u trenutku otpočinjanja dejstva pobude. Šta više ako se blokovi integratora i jediničnog kašnjenja definišu sa mogućnošću uvoñenja početnog uslova onda se pomoću blok dijagrama mogu predstaviti i inkrementalno linerani (nerelaksirani) sistemi.

Realizacija diskretnog sistema u formi blok dijagrama

U principu iz opšteg oblika diferentne jednačine za M=N

∑∑==

−−−=N

1kk

N

0kk ]kn[ya]kn[ub]n[y

∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞−−−−

ττττττττ====t

d)(x)t(y

∫ ∫∫∫∫ ττττττττ++++====t

0

d)(x)0(y)t(y

16/lti

koja opisuje diskretni sistem vidi se da se on može direktno realizovati kao što je to pokazano na Sl. 13.

Samo se po sebi razume da se ista realizacija može ostvariti i ako je M ≠ N. U tom slučaju će jednostavno dve grane imati različiti broj elemenata za kašnjenje.

Analizom ove realizacije vidi se da se ona sastoji iz dva sistema S1 i S2 koji su vezani na red. Budući da je redna veza sistema komutativna, odnosno da redosled vezivanja sistema ne utiče na izlaz sistema, ova realizacija se može zameniti i ekvivalentnom rednom vezom ista dva sistema u obrnutom redosledu kao što je to prikazano na Sl. 14. Samo se po sebi razume, da su u obe realizacije samo ulaz i izlaz sistema isti dok se se signal na mestu spajanja dva sistema mora razlikovati.

Ako se sada pogleda realizacija sistema posle komutacije (Sl. 15) vidi se da se dva niza elemenata za kašnjenje generišu zapravo isti signal. Iz toga sledi da se jedan niz elemenata za kašnjenje može eliminisati čime se dobija sistem sa upola manjim brojem elemenata za kašnjenje što je daleko pogodnije sa praktične tačke gledišta. Ovakva realizacija koja ima najmanji mogući broj elemenata za kašnjenje se označava kao kanonična realizacija (Sl. 16). Sa slike se vidi da se signal w[n] generiše prema sledećoj relaciji

∑=

−−=N

1kk ]kn[wa]n[u]n[w ,

dok se izlaz sistema formira kao

Sl. 13 Direktna realizacija linearnog stacionarnog diskretnog sistema

Sl. 14 Komutacija redne veze dva sistema

17/lti

∑=

−=N

0kk ]kn[wb]n[y

Sl. 15 Realizacija sistema posle komutacije

Sl. 16 Kanonična realizacija linearnog stacionarnog diskretnog sistema

18/lti

Realizacija kontinualnog sistema u formi blok dijagrama Polazeći od jednačine

N,,2,1k,d)(u)t(u;d)(y)t(y

),t(u)t(u;),t(y)t(y

)t(ub)t(ya

t

1kk

t

1kk

00

N

0kkNk

N

0kkNk

⋯=ττ=ττ=

==

=

∫∫

∑∑

∞−−

∞−−

=−

=−

i usvajajući da je aN = 1 vidi se da se odziv sistema može izraziti kao

∑∑−

=−

=− −=

1N

0kkNk

N

0kkNk )t(ya)t(ub)t(y .

Otuda sledi da se linearni kontinualni sistem može realizovati blok dijagramom kao što je to prikazano na Sl. 17.

Isto kao i kod diskretnih sistema i kontinualni sistemi se, komutacijom redne veze dva sistema, mogu realizovati u kanoničnoj formi sa manjim brojem integratora kao što je to prikazano na Sl. 18. Iz dobijenog blok dijagrama vidi se da se kanonična forma realizuje prema sledećim relacijama

1

00

0

1 1 2

N

k N kk

N

k N kk

t

k k

w (t) u(t) a w (t)

y(t) b w (t)

w (t) w ( )d ; k , , ,N

−

−=

−=

−−∞

= −

=

= τ τ =

∑

∑

∫ ⋯

Sl. 17 Direktna realizacija linearnog stacionarnog kontinualnog sistema

19/lti

8. Sopstvene funkcije linearnih stacionarnih kontinualnih i diskretnih sistema

Posmatraćemo linearne stacionarne kontinualne i diskretne sisteme, pri čemu ćemo i nadalje zadržati istu formu reprezentacije signala:

x(t) za kontinualne signalex

x[n] za diskretne signale

=

Ako se pretpostavi da postoji neki skup funkcija ϕk takav da se svaki pobudni signal u može prikazati kao

k kk

u a= ϕ∑

tada se, po principu superpozicije, odziv linearnog stacionarnog sistema može prikazati u formi

k kk

y a= ψ∑

gde je ψk odziv sistema na pobudu ϕk koji se može odrediti konvolucijom sa jediničnim impulsnim odzivom.

k k kgψ = ϕ ∗

Izloženi rezultat važi za bilo koju bazu funkcija ϕk. Postavlja se, meñutim, pitanje da li se baza funkcija može odrediti tako da odziv na pobudnu funkciju baze bude jednak funkciji istog oblika skaliranoj po amplitudi, odnosno da važi

k k kbψ = ϕ

∫

∫

∫

Sl. 18 Kanonična realizacija lineranog stacionarnog kontinualnog sistema

20/lti

U tom slučaju odziv sistema na proizvoljnu pobudu mogao bi takoñe da se predstavi preko funkcija iste baze

k k k k kk

y c c a b= ϕ =∑

Funkcije baze ϕk koje ispunjavaju ovu osobinu nazivaju se sopstvene funkcije sistema.

Pri izvoñenju konvolucije i koncepta jediničnog impulsnog odziva korišćen je princip superpozicije i to tako što je pobuda sistema dekomponovana na niz elementarnih impulsnih funkcija, pa je odziv sistema odreñivan kao zbir pojedinačnih odziva na elementarne funkcije. Nema nikakve sumnje da dekompozicija pobude na impulsne funkcije ne predstavlja jedini mogući oblik dekompozicije. Šta više, uvoñenje pojma sopstvenih funkcija otvara nove mogućnosti sa aspekta dekompozicije signala, a shodno tome i u analizi sistema. Otuda je neobično važno da se ove sopstvene funkcije odrede i za kontinualne i za diskretne sisteme.

Kontinualni sistemi

Pri odreñivanju sopstvene funkcije za linearne kontinualne sisteme može se poći od činjenice da se ovi sistemi modeliraju pomoću linearnih diferencijalnih jednačina. Otuda se čini da bi mogući kandidat za sopstvenu funkciju bila funkcija koja bi pri diferenciranju zadržavala isti oblik, dok bi amplituda funkcije bila eventualno skalirana. Najjednostavnija funkcija koja ima tu osobinu je zapravo kompleksna eksponencijalna funkcija

ks tk (t) eϕ =

gde je sk proizvoljna kompleksna konstanta. Ne upuštajući se u detaljnu analizu izloženog koncepta napomenućemo jedino da se može pokazati da se samo ograničen broj signala može prikazati pomoću konačnog skupa funkcija ϕk . Otuda se, da bi ovaj koncept mogao da uključi i proizvoljni signal u(t), pojam sopstvenih funkcija proširuje na kontinuum sopstvenih funkcija

st(t) eϕ = gde je s kompleksna promenljiva.

Da bi se pokazalo da su kompleksne eksponencijalne funkcije zaista sopstvene funkcije, potražiće se odziv lienarnog stacionarnog kontinualnog sistema koji ima jedinični impulsni odziv g(t)

s(t ) st s st(t) (t )g( )d e g( )d e e g( )d G(s)e∞ ∞ ∞

−λ − λ

−∞ −∞ −∞ψ = ϕ − λ λ λ = λ λ = λ λ =∫ ∫ ∫

gde je G(s) kompleksna konstanta odreñena izrazom

∫∞

∞−

λ− λλ= de)(g)s(G s

Budući da bilo koja eksponencijalna pobuda u(t) = est proizvodi odziv koji je takoñe eksponencijalna funkcija y(t) = G(s) est, za bilo koju proizvoljnu vrednost s i bilo koji jedinični impulsni odziv g(t), funkcija ϕ(t) = est je zaista sopstvena funkcija linearnog stacionarnog sistema. Funkcija G(s) se naziva sopstvena vrednost koja odgovara sopstvenoj funkciji est.

Izloženi koncept sopstvene vrednosti omogućava da se uoči da je odziv linearnog stacionarnog kontinualnog sistema na kompleksni sinusoidalni signal takoñe kompleksni sinusoidalni signal iste učestanosti, ali u opštem slučaju, drugačije

21/lti

amplitude i faze. Tačnost ove tvrdnje može se direktno proveriti odreñivanjem odziva sistema na kompleksnu sinusoidu.

θ∞

∞−

λπ−

θ+ππ

π

=λλ=π

=π=

⇒=

∫ jf2j0

)tf2(jtf2j0

tf2j

Bede)(g)f2j(G

,Bee)f2j(G)t(y

e)t(u

0

00

0

Ova činjenica dovodi do ideje da se sistem analizira tako što se signali dekomponuju na kompleksne sinusoide, koje čine posebnu klasu sopstvenih funkcija. Dekomponovanje signala na sinusoidalne signale dovodi do jednog novog koncepta u predstavljanju signala a to je predstavljanje signala u frekvencijskom domenu. Kao što će se pokazati, primena ovog koncepta dovodi do toga da se diferencijalne jednačine kojima se modelira sistem mogu prikazati u formi linearnih algebarskih jednačina, što nadalje znači da se u analizi sistema mogu koristiti metode linearne algebre. Pored toga, ovaj pristup omogućava i da se bolje razumeju neki aspekti prirode samih sistema.

U zavisnosti od klase pobudnih funkcija i usvojenog oblika konstante s, signali se mogu dekomponovati na različite načine.

Pre svega, ukoliko se posmatra klasa pobudnih funkcija koja se može predstaviti

prebrojivom bazom funkcija ks tk (t) eϕ = , odnosno ako je

∑=k

tsk

kea)t(u

tada je odziv

∑=k

tskk

ke)s(Ga)t(y

Usvajajući da je sk = jkω0 , odnosno da je baza sopstvenih funkcija niz kompleksnih sinusoidalnih funkcija, dobijeni rezultat odgovara reprezentaciji periodične funkcije preko Furijeovog reda. U tom slučaju analizi linearnih stacionarnih kontinualnih sistema može se pristupiti preko teorije Furijeovih redova.

Ukoliko se, meñutim, pobudne funkcije ne mogu prikazati preko baze funkcija

ϕk(t), već samo preko kontinuuma st(t) eϕ = , tada se i pobudni signal i odziv mogu predstaviti samo preko integrala. U slučaju kada je kompleksna konstanta imaginarna (s=jω), odnosno kada je baza sopstvenih funkcija neprebrojiv niz kompleksnih sinusoidalnih signala, odgovarajuća prezentacija se označava kao Furijeova transformacija. Poopštavajući nadalje ideju dekompozicije signala i usvajajući proizvoljnu kompleksnu konstantu s dobija se reperezentacija sistema koja se označava kao Laplasova transformacija.

Diskretni sistemi

Pokazuje se da su i kod diskretnih stacionarnih sistema, sopstvene funkcije diskretne kompleksne eksponencijalne funkcije oblika

nk k[n] zϕ =

gde je zk proizvoljna kompleksna konstanta. Pri tome, isto kao i kod kontinualnih sistema, da bi se izbegao problem prebrojivosti funkcija baze, sopstvene funkcije se proširuju na kontinuum

n[n] zϕ = gde je z kompleksna promenljiva.

22/lti

Da bi se pokazalo da su kompleksne eksponencijalne funkcije zaista sopstvene funkcije, potražiće se odziv linearnog stacionarnog diskretnog sistema čiji je jedinični impulsni odziv g[n]

n k n k n

k k k[n] [n k]g[k] z g[k] z z g[k] G(z)z

∞ ∞ ∞− −

=−∞ =−∞ =−∞ψ = ϕ − = = =∑ ∑ ∑

gde je G(Z) kompleksna konstanta odreñena izrazom

∑∞

−∞=

−=k

kz]k[g)z(G

Iz ovog rezultata takoñe sledi da će i kod diskretnih sistema odziv sistema na kompleksni sinusoidalni signal biti kompleksni sinusoidalni signal iste učestanosti, ali drugačije amplitude i faze. Otuda, se i kod diskretnih sistema koristi isti koncept dekomopozicije signala na sisnusoidalne signale, koji dovodi do predstavljanja sistema u frekvencijskom domenu. Samo se po sebi razume, da će se primenom ovog koncepta pokazati da se diferentne jednačine koje modeliraju linearne stacionarne diskretne sisteme zamenjuju algebarskim jednačinama.

Sledeći analogiju sa kontinualnim sistemima, ukoliko se pobudna funkcija može

izraziti preko prebrojive baze funkcija nk k[n] zϕ = , odnosno ako je

∑=k

nkkza]n[u

tada je odziv

∑=k

nkkk z)z(Ga]n[y

Usvajajući da je 2j k /Nkz e π= dobijeni rezultat odgovara reprezentaciji periodične

funkcije preko diskretnog Furijeovog reda. U tom slučaju analizi linearnih stacionarnih diskretnih sistema može se pristupiti preko teorije diskretnih Furijeovih redova.

Ukoliko se, meñutim, pobudne funkcije ne mogu prikazati preko prebrojive baze

funkcija, već samo preko kontinuuma n[n] zϕ = , tada se i pobudni signal i odziv mogu predstaviti samo preko integrala. U slučaju kada je kompleksna konstanta imaginarna, odnosno ima jediničnu amplitudu (z = ejΩ) odgovarajuća prezentacija se označava kao diskretna Furijeova transformacija (DFT). Ukoliko je, meñutim, kompleksna konstanta proizvoljna, reprezentacija se označava kao Z-transformacija.

9. Ortogonalne funkcije i greška aproksimacije

Ideja prikazivanja jedne funkcije preko niza nekih drugih funkcija koje čine bazu funkcija može se najbolje razumeti ako se posmatra analogija sa predstavljanjem vektora.

Poznato je da se svaki vektor može reprezentovati pomoću skupa brojeva koji predstavljaju dužinu projekcije vektora na koordinatne ose. Pri tome je dimenzija vektorskog prostora odreñena maksimalnim brojem linearno nezavisnih vektora koji se mogu formirati u datom koordinatnom sistemu. Ako se ovi linearno nezavisni vektori usvoje kao koordinatne ose, svaki vektor je jednoznačno odreñen svojim projekcijama na vektore baze. Ako se pretpostavi da je skup wi, skup jediničnih vektora baze

1 1 2kw , k , , ,N= = ⋯

tada se svaki vektor v može prikazati kao

∑=

=N

1kkk wav

23/lti

Usvajajući ovaj koncept reprezentacije vektora, prirodno se postavlja pitanje kolika je greška u slučaju da skup vektora baze nije kompletan, odnosno da je dimenzija baze manja od dimenzije vektora. Neka je v N-dimenzioni vektor i neka se on predstavlja pomoću vektora v~ u prostoru dimenzija N1 (N1<N).

∑=

=1N

1kkk wbv~

Tada je kvadrat greške jednak

( )2

N

1Niii

N

1iiii

2222

1

1wawbav~v2v~v)v~v(e

+−=−+=−= ∑∑

+==

Greška aproksimacije će biti minimalna ukoliko su vektori baze ortogonalni

. 1

0i k

i kw w

i k

==

≠

Konačno, ako su vektori baze ortogonalni, tada je i projekcija vektora na bilo koju koordinatnu osu potpuno nezavisna od projekcija na ostale ose.

Ista ova ideja o reprezentaciji vektora može se proširiti i na predstavljanje

funkcija. Naime, funkcija x(t) može se prikazati preko skupa brojeva ak koji na nekoj odgovarajuće odabranoj bazi funkcija ϕk(t), na intervalu (a,b) jednoznačno odreñuju funkciju preko izraza

k kk

x(t) a (t) a t b= ϕ < <∑

Po analogiji sa prikazivanjem vektora, može se pokazati da skup funkcija ϕk(t) može da predstavlja bazu ukoliko su funkcije linearno nezavisne. Pri tome, ukoliko se želi da greška aproksimacije bude minimalna neophodno je da funkcije budu ortogonalne, odnosno da važi

0

bk

k ia

C k i(t) (t)dt

k i∗ =

ϕ ϕ = ≠

∫

U cilju odreñivanja koeficijenata ak pomnožićemo obe strane jednačine x(t) sa ϕ*i(t) i integraliti na intervalu (a,b)

2

b

k k ik a

b b

i k k ika a

b b

i k k i i ika a

b b b

i i ia a a

i b bi

i i ia a

x(t) a (t) (t) ;

x(t) (t)dt a (t) (t)dt

x(t) (t)dt a (t) (t)dt a C

x(t) (t)dt x(t) (t)dt x(t) (t)dt

aC

(t) (t)dt (t) dt

∗

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗

= ϕ ⋅ ϕ ⇒

ϕ = ϕ ϕ ⇒

ϕ = ϕ ϕ = ⇒

ϕ ϕ ϕ

= = =

ϕ ϕ ϕ

∑ ∫

∑∫ ∫

∑∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Ukoliko se realna funkcija x(t) aproksimira konačnim brojem članova reda

24/lti

N

k kk N

x(t) a (t) a t b=−

= ϕ < <∑

tada je, uzimajući u obzir izraz za odreñivanje koeficijenata, srednje kvadratna greška aproksimacije

2

2

N

N k kk N

b b b N N*

N N N k k k kk N k Na a a

b b bN N N

k k k k k k j jk N k N j Na a a

ˆe (t) x(t) x(t) x(t) a (t)

e (t) dt e (t)e (t)dt x(t) a (t) x(t) a (t) dt

x(t) dt a (t)x(t)dt a (t)x(t)dt a a (t)dt

=−

∗ ∗

=− =−

∗ ∗ ∗ ∗

=− =− =−

= − = − ϕ

= = − ϕ − ϕ =

− ϕ − ϕ + ϕ ϕ

∑

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

2

2 2

b N

k Na

b N N N

k k k k k k k k kk N k N k Na

b N

k kk Na

x(t) dt a a C a a C a a C

x(t) dt a C

=−

∗ ∗ ∗

=− =− =−

=−

=

= − − +

= −

∑∫

∑ ∑ ∑∫

∑∫

gde je korišćena činjenica da je b

ia

ii

x(t) (t)dt

aC

∗ϕ

=∫

Očigledno je da će srednjekvadratna greška težiti ka nuli ukoliko je ispunjen sledeći uslov

∑∫∫∞

−∞=∞→=⇒=

kk

2k

b

a

2b

a

2N

NCadt)t(x0dt)t(elim

Iz ove relacije sledi da je potreban uslov konvergencije da funkcija x(t) ima ograničenu energiju na intervalu (a,b).

1/Fourier

Furiejovi redovi i Furiejova transformacija

1. Ortogonalnost trigonometrijskih funkcija Pokazaćemo da je niz trigonometrijskih funkcija

0

0

2jk tk (t) e ,

Tω π

ϕ = ω = (1)

ortogonalan na intervalu T. Uočimo, pre svega, da je svaka funkcija niza periodična sa periodom T.

0 0 0 0 02jk (t T) jk t jk T jk t jk tj kk k(t T) e e e e e e (t)ω + ω ω ω ωπϕ + = = = = = ϕ (2)

Zapazimo, takoñe i da je svaka funkcija niza ϕk periodična sa periodom Tk=T/k, odnosno da je njen period podmultipl perioda T.

Nadalje, podsećajući se da je uslov ortogonalnosti funkcija definisan izrazom

0

bk

k na

C k n(t) (t)dt

k n∗ =

ϕ ϕ = ≠

∫ (3)

usvajajući da je b-a = T dobija se

( )

0

0

00 0

00

0

0 0 0

0

0 0 0 0

0

0

1

10

t T

t Ttjk t jn t t Tj(k n) tt T

t j(k n) t t

t

j(k n) t j(k n) (t T)

dt k n T k n

e e dte k n

j(k n)e dt k n

T k nT k n

e e k n k nj(k n)

+

+ω − ω +− ω+

− ω

− ω − ω +

= =

= = = ≠ − ω≠

==

= = − ≠ ≠ − ω

∫∫

∫ (4)

Iz dobijenog rezultata vidi se da je niz trigonometrijskih funkcija ortogonalan i da je pri tome koeficijent ortogonalnosti Ck konstantan i jednak periodu funkcija T. Sledeći ideju o predstavljanju neke funkcije preko baze ortogonalnih funkcija, funkcija x(t) može se predstaviti kao

0jk t

kk

x(t) a e∞

ω

=−∞

= ∑ (5)

pri čemu se koeficijenti ak odreñuju iz uslova ortogonalnosti funkcija. Primenjujući već

izloženi postupak, odnosno množeći obe strane jednačine (1) funkcijom *n(t)ϕ i

integraleći na intervalu T, dobija se 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1

t T t Tjn t j(k n) t

kkt t

t T t Tjn t j(k n) t

kkt t

t T t Tjn t jn t

n nt t

x(t)e dt a e dt

x(t)e dt a e dt

x(t)e dt Ta a x(t)e dtT

+ + ∞− ω − ω

=−∞

+ +∞− ω − ω

=−∞

+ +− ω − ω

= ⇒

= ⇒

= ⇒ =

∑∫ ∫

∑∫ ∫

∫ ∫

(6)

2/Fourier

Prema očekivanju dobijeni rezultat u potpunosti odgovara opštem izrazu koji se dobija pri predstavljanju funkcije preko baze ortogonalnih funkcija.

2

b

ia

i b

ia

x(t) (t)dt

a

(t) dt

∗ϕ

=

ϕ

∫

∫

2. Razvoj periodičnih signala u Furiejov red U opštem slučaju koeficijenti razvoja funkcije x(t) odreñeni izrazom (6) zavise od

izbora t0. Iz izraza se takoñe vidi da bi ova zavisnost mogla da bude izbegnuta ako bi i funkcija x(t) bila periodična sa istim periodom T. Ta činjenica dovela je do ideje, koju je prvi izneo Furije (Fourier), da se svaka periodična funkcija može razviti u red oblika (5), gde je ω0 odreñena periodom funkcije x(t) (ω0=2π/T). Po njemu je red dobio naziv Furieov red. Tako formiran red naziva se harmonijski ili trigonometrijski niz. Komponente ovog niza za k = ±1 nazivaju se fundamentalne komponente niza, dok se preostale komponente za |k| ≥ 2 označavaju kao harmonici (ili viši harmonici).

Realni signali

Ukoliko je signal x(t) realan, odnosno ukoliko važi da je x*(t) = x (t), tada se Furijeov red može prikazati i u nešto drugačijem obliku. Naime, polazeći od definicije reda vidi se da za realni signal važi

0 0 0 0jk t jk t jm t jm t

k k m mk k m m

k k k k

x (t) a e a e a e x(t) a e

a a a a

∗∞ ∞ ∞ ∞ω − ω ω ω∗ ∗ ∗

−=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

∗ ∗− −

= = = = =

⇒ = ⇒ =

∑ ∑ ∑ ∑ (7)

pri čemu je a0 realna konstanta. Otuda se, za kjkk eAa θ= jednačina reda može

prikazati u obliku

( )

( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0

0

1

0 0

1 1

0 0

1

2

k k

jk t jk t jk tk k k

k k

jk t jk t j(k t ) j(k t )k k k

k k

k kk

x(t) a e a a e a e

a a e a e a A e e

a A cos(k t )

∞ ∞ω ω − ω

−=−∞ =

∞ ∞ω − ω ω +θ − ω +θ∗

= =

∞

=

= = + + =

= + + = + + =

= + ω + θ

∑ ∑

∑ ∑

∑

(8)

Ukoliko se, meñutim, kompleksni koeficijenat prikaže u drugačijem obliku kao ak=ack+jask tada se dobija

( )

( )

0 0 0

0

1

0 0 0

1

2

jk t jk t jk tk k k

k k

ck skk

x(t) a e a a e a e

a a cos(k t) a sin(k t)

∞ ∞ω ω − ω∗

=−∞ =

∞

=

= = + + =

= + ω − ω

∑ ∑

∑ (9)

Iz dobijene relacije sledi da se svaki realni periodični signal može formirati sabiranjem konstantnog signala i sinusoidalnih signala čija je učestanost multipl osnovne učestanosti (Sl. 1).

3/Fourier

Koeficijenti Furijeovog reda Već je pokazano da iz osobine ortogonalnosti periodičnih funkcija sledi da se

koeficijenti Furijeovog reda mogu dobiti prema relaciji

∫+

ω−=Tt

t

tjkk

0

0

0 dte)t(xT

1a

Realni i imaginarni deo ovih koeficijanata odreñuje se prema sledećoj relaciji 0

0

0

0

0

0

1

1

t T

ck kt

t T

sk kt

a Re(a ) x(t)cos(k t)dtT

a Im(a ) x(t)sin(k t)dtT

+

+

= = ω

= = − ω

∫

∫

(10)

Uobičajeno je da se definiše jedan Furiejov par kao

0jk t

kk

x(t) a e∞

ω

=−∞

= ∑ (11)

0

0

0

1t T

jk tk

t

a x(t)e dtT

+− ω= ∫ (12)

Jednačina (11) se označava kao jednačina sinteze Furijeovog reda, dok se jednačina (12) označava kao jednačina analize Furijeovog reda.

Slobodni član reda 0

0

0

1t T

t

a x(t)dtT

+

= ∫ (13)

jednak je srednjoj vrednosti funkcije x(t), odnosno jednosmernoj komponenti signala. Da bi se koristio izraz (12) za odreñivanje koeficijenata reda neophodno je da se

usvoji vrednost za t0. Kao što je već rečeno budući da je funkcija x(t) periodična sa

Sl. 1 Ilustracija koncepta prikazivanja funkcije kao linearne kombinacije sinusoida

4/Fourier

periodom T, rezultat ne zavisi od usvojene vrednosti za t0. Otuda je uobičajeno je da se ona usvaja tako da se integracija obavi na što elegantniji način.

Parne i neparne funkcije

Neka je x(t) realna parna funkcija, periodična sa periodom T. Tada je njen Furijeov red odreñen izrazom

0

0

0

0

2

0 0

2

0 2 2

0 0 0

2 0 0

2

0 0

2

0

1 1

1 1 2

1 1

1

t T T/

ckt T/

T/ T/

T/

t T T/

skt T/

T

a x(t)cos(k t)dt x(t)cos(k t)dtT T

x(t)cos(k t)dt x(t)cos(k t)dt x(t)cos(k t)dtT T T

a x(t)sin(k t)dt x(t)sin(k t)dtT T

x(t)sin(k t)dtT

+

−

−

+

−

−

= ω = ω =

= ω + ω = ω

= ω = ω =

= ω

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0

0

0

0 2

0

2 0

2 0 2 2

0 0

2 2 0 0

0 0

1

10

1 1 1 1 2

2

T/

/

t T T/ T/ T/

ct T/ T/

jk tk ck

k k

x(t)sin(k t)dtT

a x(t)dt x(t)dt x(t)dt x(t)dt x(t)dt aT T T T T

x(t) a e a a cos(k t)

+

− −

∞ ∞ω

=−∞ =

+ ω =

= = = + = =

= = + ω

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑

(14)

Na isti način, ukoliko je x(t) realna neparna funkcija, periodična sa periodom T, njen Furijeov red je odreñen izrazom

2 0 2

0

2 2 0

2 0 2

0 0 0

2 2 0

2 0

0 0 0

2 2

1 1 10

1 1 10

1 1 1

T/ T/

T/ T/

T/ T/

ckT/ T/

T/

skT/ T/

a x(t)dt x(t)dt x(t)dtT T T

a x(t)cos(k t)dt x(t)cos(k t)dt x(t)cos(k t)dtT T T

a x(t)sin(k t)dt x(t)sin(k t)dt x(t)sin(k t)dT T T

− −

− −

− −

= = + =

= ω = ω + ω =

= − ω = − ω − ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0

2

0

2

0

0

0

1

2

2

T/

T/

jk tk sk

k k

t

x(t)sin(k t)dtT

x(t) a e a sin(k t)∞ ∞

ω

=−∞ =

=

= − ω

= = − ω

∫

∫

∑ ∑

(15)

Očigledno je da je svaka parna realna funkcija odreñena koeficijentima ack, dok su koeficijenti ask jednaki nuli. Isti tako, svaka neparna realna funkcija odreñena je koeficijentima ask, dok su koeficijenti ack jednaki nuli.

Pr. 1

U cilju ilustracije formiranja Furijeovog reda odrediće se furijeov red povorke pravougaonih impulsa čiji je period T=1 (Sl. 2).

S obzirom da je funkcija realna i parna koeficijenti Furijeovg reda odreñeni su izrazom (14).

5/Fourier

Sl. 2 Povorka pravougaonih impulsa sa periodom 1 i srednjom vrednošću 1/2

0 5 0 25

0 0

0 25

0

1 2

2 22 2

2 1 2 12 2

2 2 2 2

1

10

2

0

. .

k ck

.

(k )/

k ta a x(t)cos( )dt cos( k t)dt

T T

sin( k t) sin(k / )sinc(k / )

k k /

( )k neparno

k

k

k parno

−

π= = = π

π π= = = π =

π π

−

π

= =

∫ ∫

Grafička ilustracija odreñivanja nekoliko prvih koeficijenata reda data je na (3, Sl. 4, Sl. 5).

∫−

πt

5.0

dt)t2cos()t(x

∫−

πt

5.0

dt)t2sin()t(x

∫−

π∗t

5.0

dt)t22cos()t(x

∫−

π∗t

5.0

dt)t22sin()t(x

3 Odreñivanje koeficijentata uz prvi harmonik

Sl. 4 Odreñivanje koeficijenata uz drugi harmonik

6/Fourier

Furijeov red povorke pravougaonih impulsa je

1

12 2

2 k

x(t) sinc(k / )cos( k t)∞

=

= + π π∑ (16)

3. Spektar funkcije Iz izraza za Furijeov red vidi se da je je on zapravo odreñen vrednošću

koeficijenata. Otuda se došlo na ideju da se koeficijenti posebno posmatraju i prikazuju u funkciji rednog broja člana reda, ili u funkciji učestanosti (kf0 odnosno kω0). Ova reprezentacija koeficijenata naziva se spektar funkcije. Na Sl. 6 prikazan je spektar posmatrane povorke pravougaonih impulsa. (Ako bi se on predstavljao u funkciji od kω0, tada bi za pojedine komponente spektra vrednosti na apcisi bile k/ω0=2πk.)

Potrebno je istaći da se, ukoliko su koeficijenti kompleksni, oni mogu predstaviti pomoću dva grafika na kojima se prikazuju apsolutne vrednosti i argumenti koeficijenata. (Samo se po sebi razume, da se ta reprezentacija može primeniti i u posmatranom primeru, i to tako što bi se na jednom dijagramu nacrtale apsolutne vrednosti, dok bi se na drugom argument

alternativno menjao uzimajući vrednosti nula i π).

Iz spektra povorke pravougaonih impulsa vidi se da su svi parni harmonici jednaki nuli, dok neparni opadaju sa porastom indeksa k (srazmerno sa 1/k).

x(t) i cos(3*2 t)

x(t)cos(3*2 t)

ac3=-0.1061

0.5-0.5 0

0.5-0.5

0.5-0.5 0

t

t

t

0

∫∫∫∫−−−−

ππππ∗∗∗∗t

5.0

dt)t23cos()t(x

∫∫∫∫−−−−

ππππ∗∗∗∗t

5.0

dt)t23sin()t(x

Sl. 5 Odreñivanje koeficijenata uz treći harmonik

Sl. 6 Spektar funkcije - koeficijenti furijeovog reda povorke pravougaonih impulsa

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

7/Fourier

Iz ovog sprektra vidi se zapravo još nešto, a to je da on u potpunosti opisuje samu funkciju. Naime, budući da se sve periodične funkcije mogu razviti u Furijeov red, sledi da se one zapravo razlikuju samo po koeficijentima. To nadalje znači da spektar neke periodične funkcije nosi kompletnu informaciju o toj funkciji.

4. Konvergencija Furijeovog reda Budući da u opštem slučaju Furijeov red ima neograničen broj članova sume,

prirodno se postavlja pitanje da li ovaj red konvergira, odnosno da li se baš svaka periodična funkcija x(t) može predstaviti tim redom. Naime, ako se predpostavi da je xK konačan red oblika

0

Kjk t

K kk K

x (t) a e ω

=−

= ∑ (17)

onda je pitanje pod kojim uslovima će fukcija x(t) biti aproksimirana sa xK(t) tako da neka odgovarajuća mera greške aproksimacije teži ka nuli kad K→∞. Ako se greška aproksimacije definiše kao

K Ke (t) x(t) x (t)= − (18)

tada se kao mera greške može usvojiti srednjekvadratna greška (srednja snaga periodičnog signala)

0

0

21t T

e K kt

P E e (t) dtT

+

= = ∫ (19)

Ukoliko EK→0, kad K→∞ tada Furijeov red kovergira ka x(t). (Zapaziti da uslov konvergencije ne zahteva da greška teži ka nuli za svako t (kad K→∞) već samo da srednja snaga teži ka nuli.)

U skladu sa rezultatom izvedenim za opšti skup ortogonalnih funkcija, očigledno je da je dovoljan uslov konvergencije greške da srednja snaga signala na periodu T bude konačna, odnosno da važi

0

0

21t T

xt

P x(t) dtT

+

= < ∞∫ (20)

Potrebne i dovoljne uslove koje periodična funkcija treba da zadovolji da bi red konvergirao, odnosno da bi se mogla razviti u Furijeov red postavio je Dirihle (Dirichlet). Ako funkcija x(t) ispunjava bilo koji od sledećih dovoljnih uslova tada će srednjekvadratna greška konvergirati ka nuli.

Uslov 1 Periodični signal x(t) je neprekidna funkcija

Uslov 2 Periodični signal x(t) ima ograničenu srednju snagu

0

0

21t T

xt

P x(t) dtT

+

= < ∞∫ (21)

Napomenimo da svi signali koji se primenjuju u inžinjerskoj praksi ispunjavaju ovaj uslov.

Uslov 3 (Dirihleov uslov) Sa izuzetkom izvesnih patoloških slučajeva, dovoljan uslov konvergencije je da je

funkcija x(t) apsolutno integrabilana na intervalu t0 < t < t0 + T, odnosno da važi

8/Fourier

0

0

t T

t

| x(t) | dt+

< ∞∫ (22)

Patološki slučajevi se isključuju sa dva dodatna uslova • x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar jednog perioda T • x(t) ima konačan broj, konačnih prekida

Za funkcije koje ispunjavaju Dirihleov uslov pokazuje se da greška eK(t) teži ka nuli kad K teži beskonačnosti za svaku vrednost t osim u tačkama prekida. U svakoj tačci prekida, Furijeov red teži ka srednjoj vrednosti koju daju levi i desni prekid u toj tačci.

Pr. 2

Povorka trougaonih funkcija prikazana je na Sl. 7. Budući da je funkcija parna koeficijenti Furijeovog reda mogu se odrediti na sledeći način:

2 2

0 0 2

2

2

0 02 2 2 4 2

1 0

2

21 2

2

T/ T/

ck

ck

kk t k t

a x(t)cos dt t cos dt k parnoT T T T T

k neparnok

sin (k / )a , k , ,...

(k / )

=π π = = − = − ⇒

− π

π= =

π

∫ ∫ (23)

pa je Furijeov red

2

21

22 2

2

K

Kk

sin (k / )x (t) cos( k t)

(k / )=

π= π

π∑ (24)

Pošto je x(t) neprekidna funkcija, prema

uslovu 1, Furijeov red (24) konvergira. (Samo se po sebi razume da za ispitivanje konvergencije nije

neophodno da se odrede koeficijenti Furijeovog reda.)

Pr. 3

Posmatra se testerasta funkcija prikazana na Sl. 8. Ova funkcija nije neprekidna, ali ima konačnu snagu.

22 22

2 2

1 1 2 1

3

T/ T/

xT/ T/

P x(t) dt t dtT T T

− −

= = = ∫ ∫

U skladu sa uslovom 2 odgovarajući Furijeov red je konvergentan.

Pr. 4 Povorka alternativnih jediničnih impulsnih

funkcija (Sl. 9) nije neprekidna i nema konačnu

snagu, ali je pošto je1 4

3 4

2

/ T

/ T

x(t) dt−

=∫ , ona je

apsolutno integrabilna na periodu T. Pored toga, ova funkcija zadovoljava i preostale Dirihleove uslove. To znači da se u skladu sa uslovom 3 ova funkcija može

Sl. 7 Povorka trougaonih funkcija

Sl. 8 Testerasta funkcija

Sl. 9 Povorka alternativnih jediničnih funkcija

9/Fourier

predstaviti pomoću konvergentnog Furijeovog reda.

Pr. 5

Periodični signal 1

0x(t) , t Tt

x(t T) x(t)

= < <

+ =

ne ispunjava nijedan od 3 navedena uslova, što znači da se ne može razviti u Furijeov red.

Pr. 6 – Gibsov fenomen

Budući da povorka pravougaonih impulsa (16) ispunjava uslove konvergencije (ima konačnu snagu, a i apsolutno je integrabilna) izvesno je da će njena aproksimacija xK(t) konvergirati ka x(t) sa porastom broja članova reda K (Sl. 10). Ukoliko se pretpostavi da je vrednost signala u tački prekida jednaka nuli, Furijeov red je

1

12 2

2

K

Kk

x (t) sinc(k / )cos( k t)=

= + π π∑

Interesantno je zapaziti da sa porastom vrednosti K, oscilacije na gornjem i donjem nivou signala postaju sve uže, ali je preskok uvek isti i iznosi oko 9% od nivoa signala. Ovaj efekat je poznat kao Gibsov (Gibbs) fenomen i može se primetiti uvek kada se Furiejov red skraćuje na konačna broj članova. Nesumnjivo je da ovaj fenomen deluje, u izvesnom smislu, zbunjujuće. Naime, prirodno se postavlja pitanje kako je moguće da srednjekvadratna greška teži ka nuli, kad je preskok uvek konstantan? Odgovor leži u činjenici da se sa povećanjem broja članova reda (K), preskok pomera ka tački prekida i postaje toliko uzak da je ukupna greška sve manja i manja.

5. Srednja snaga periodičnog signala Već je ranije istaknuto da periodični signali

imaju beskonačnu energiju, pa se za ove signale izračunava srednja snaga

21

xT

P x(t) dtT

= ∫ (25)

U cilju izračunavanja srednje snage signala, podsetićemo se da za razvoj funkcije preko baze ortogonalnih funkcija važi

0 0 0

0

2

2 22

2 2

jk t jm t j(k m) t* *k m k m

k m k m

T/ T/j(k m) t* *

k m k k kk m k kT/ T/

x(t) x(t)x * (t) a e a e a a e

a a e dt a a dt T a

∞ ∞ ∞ ∞ω − ω − ω

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

∞ ∞ ∞ ∞− ω

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞− −

= = = ⇒

= =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫(26)

U skladu sa time, srednja snaga periodičnog signala se može odrediti kao

2 21

x kkT

P x(t) dt aT

∞

−∞

= = ∑∫ (27)

Sl. 10 Aproksimacije pravougaone povorke impulsa za K = 0, 1, 3, 5, 7

10/Fourier

gde su ak koeficijenti Furijeovog reda. U tom smislu veličina 2ka može se interpretirati

kao srednja snaga k-tog harmonika.

6. Odziv linearnog stacionarnog sistema na periodičnu pobudu Podsetimo se da se odziv linearnog stacionarnog sistema, čiji je jedinični

impulsni odziv g(t), na pobudu u(t) odreñuje konvolucionim integralom

y(t) u(t )g( )d∞

−∞

= − λ λ λ∫ (28)

Ako je pobudna funkcija periodična, tj 0e)t(u ω= , tada je odziv sistema

0 0 0 0

0

j (t ) j t j j ty(t) e g( )d e e g( )d G(j )e∞ ∞

ω −λ ω − ω λ ω

−∞ −∞

= λ λ = λ λ = ω∫ ∫ (29)

(Ovaj rezultat sledi i iz činjenice da su periodične funkcije sopstvene funkcije linearnih stacionarnih sistema.) Polazeći od rezultata (29), uzimajući u obzir osobinu linearnosti, vidi se da je odziv linearnog stacionarnog sistema na periodični signal predstavljen Furijeovim redom

0jk t

kk

u(t) a e∞

ω

=−∞

= ∑ (30)

odreñen sa

0 0 0

0 0 0

jk t jk t jk tk k k k

k k

y(t) a G(jk )e b e ; b a G(jk ), G(jk ) g(t)e dt∞∞ ∞

ω ω − ω

=−∞ =−∞ −∞

= ω = = ω ω =∑ ∑ ∫ (31)

To zapravo znači da je i odziv periodični signal koji se može predstaviti Furijeovim redom. Pri tome su koeficijenti Furijeovog reda odziva (bk) jednaki skaliranim koeficijentima Furiejovog reda pobude. Za svaki harmonik k skala faktor jednak je funkciji G(jkω0). Funkcija G(jkω0) naziva se frekvencijska funkciji prenosa.

7. Furijeova transformacija Već je rečeno da se svaka funkcija x(t) može prikazati preko baze ortogonalnih

funkcija. To naravno važi i za bazu periodičnih funkcija ortogonalnih na intervalu širine 2π/ω0, gde je ω0 proizvoljna učestanost (1). Posmatrano, dakle iz ugla mogućnosti prikazivanja neke funkcije x(t) čini se da je nebitno da li je ona periodična ili ne. U tom smislu prirodno se postavlja pitanje šta je to što Furijeov red čini specifičnim u odnosu na sve druge redove koji bi se dobili predstavljanjem neperiodičnih funkcija.

Odgovor na postavljeno pitanje leži u već istaknutoj činjenici da koeficijenti razvoja funkcije

0

0

0

1t T

jk tk

t

a x(t)e dtT

+− ω= ∫

zavise od izbora intervala ortogonalnosti, odnosno od izbora parametra t0. U opštem slučaju svaki izbor ovog parametra dovešće do drugačijeg skupa koeficijenata ak, što znači da veza izmeñu njih i funkcije x(t) nije jednoznačna. Za razliku od toga, ukoliko je funkcija x(t) periodična na intervalu T, onda vrednost koeficijenata ne zavisi od izbora parametra t0, te jednoj funkciji x(t) odgovara samo jedan skup koeficijenata ak. Taj skup predstavlja spektar funkcije i on nosi kompletnu informaciju o samoj funkciji.

11/Fourier

U skladu sa izvršenom analizom vidi se da se suština Furijeovog reda ogleda zapravo u tome što se učestanost funkcija baze ω0 bira na specifičan način i to tako da bude jednaka učestanosti periodične funkcije koja se predstavlja. Upravo ova činjenica omogućuje da se odredi spektar funkcije, koji se može potpuno ravnopravno koristiti za njeno predstavljanje.

Imajući u vidu da predstavljanje periodičnog signala pomoću spektra pruža jedan potpuno drugačiji uvid u karakteristike signala i omogućava da se na veoma jednostavan način odredi odziv linearnog stacionarnog sistema, prirodno se postavlja pitanje da li se opisani postupak može na neki način proširiti i na neperiodične funkcije. Budući da se neperiodični signal može shvatiti kao periodični signal čija je perioda

beskonačno velika, čini se da bi odgovor na postavljeno pitanje mogao da se potraži upravo iz tog ugla.

U cilju boljeg razumevanja ove ideje, posmatraće se spektar jedne povorke pravougaonih impulsa xT(t) periode T i širine impulsa Tp (Sl. 11). Ukoliko perioda ove povorke teži ka beskonačnosti signal xT(t) teži ka

jednom pravougaonom impulsu centriranom u koordinatnom početku

p

T p pT

p

1 t T / 2

lim x (t) x(t) 1/ 2 t T rect(t / T )

0 t T / 2→∞

<

= = = = >

(32)

(Pravougaoni signal x(t) u tačkama prekida definisan je kao aritmetička sredina leve i desne granice, da bi se u tim tačkama obezbedila jednakost signala sa odgovarajućim Furiejovim redom).

Koeficijenti Furijeovog reda signala xT(t) mogu se odrediti iz izraza (32)

( )

0 0

0 00

22

2 2

22 2 0

20

0

1 1

21 1

2

1 2

p

p

p p p

p

T /T/jk t jk t

k TT/ T /

T / jk T / jk T / pjk t

T /

p pp

p

a x (t)e dt e dtT T

sin(k T / )e e e

jk T jk k

sin(k T / T) Tsinc(k T / T); k , ,...

k TT

aT

− ω − ω

− −

− ω ω− ω

−

= = =

ω= = − = =− ω − π π

π= = π = ± ±

π

=

∫ ∫

(33)

U cilju analize dobijenog rezultata, definišimo diskretnu funkciju ω =0 kX(jk ) a T (34)

koja predstavlja skaliranu vrednost spektra (koeficijenata razvoja reda). Ova funkcija ima diskretne vrednosti na učestanostima

0

2 kk

T

πω = ω = (35)

Posmatranjem spektra funkcije X(jkω0) za različite vrednosti periode T ( Sl. 12), vidi se da spektar stalno zadržava isti oblik, s tim što se sa povećanjem perioda T smanjuje rastojanje izmeñu harmonika (ω0). Otuda je osnovano pretpostaviti da će kada T→∞ ,

Sl. 11 Povorka impulsa širine Tp

12/Fourier

rastojanje izmeñu harmonika postati beskonačno malo, tako da diskretna funkcija spektra teži ka kontinualnoj funkciji nezavisne promenljive ω

(kω0→ ω, X(jkω0) → X(jω). Uočeni fenomen se može izraziti i

analitički. Pošto je povorka pravougaonih impulsa xT(t) periodična funkcija, sa periodom T=2π/ω0, ona se može predstaviti Furijeovim redom oblika

∞ω

=−∞∞

ω

=−∞∞

ω

=−∞

= =

= ω =

= ω ωπ

∑

∑

∑

0

0

0

jk tT k

k

jk t0

k

jk t0 0

k

x (t) a e

1X(jk )e

T

1X(jk )e

2

(36)

Već je rečeno da signal xT(t) teži ka impulsu x(t) kad T→∞. Meñutim tada i

ω0=2π/T→dω, kω0→ ω, tako da se dobija

∞∞ω ω

→∞ →∞ =−∞ −∞∞

− ω − ω

→∞ →∞ →∞− −∞

= ω ω = ω ω=π π

ω = = = = ω

∑ ∫

∫ ∫

0

0

jk t j tT 0 0

T Tk

T/2jk t j t

0 kT T T

T/2

1 1lim x (t) lim X(jk )e X(j )e d x(t)

2 2

lim X(jk ) lim Ta lim x(t)e dt x(t)e dt X(j )

(37)

Poopštavajući izloženi postupak na proizvoljnu neperiodičnu funkciju dolazi se do

Furijeove transformacije koja se definiše parom

11

2

j tx(t) X( j )e d X( j )∞

ω −

−∞

= ω ω = ωπ ∫ F (38)

j tX(j ) x(t)e dt x(t)∞

− ω

−∞

ω = =∫ F (39)

Jednačina (38) se zove jednačina sinteze Furijeove transformacije, a jednačina (39) je jednačina analize Furijeove transformacije.

Primetimo da obe ove relacije definišu jednoznačno istu funkciju x(t). Razlika je zapravo u tome što se funkcija izražena preko jednačine sinteze posmatra u vremenskom domenu, odnosno ima vreme kao nezavisnu promenljivu, dok jednačina analize omogućava da se funkcija posmatra u frekvencijskom domenu, odnosno pomoću učestanosti ω rad/s ili f(Hz) (ω=2πf). U tom smislu signal se zapravo definiše svojim frekvencijskim

sadržajem, odnosno amplitudom i fazom pojedinih frekvencijskih komponenti od kojih je on sastavljen.

Sl. 12 Spektar povorke pravougaonih impulsa za različite vrednosti periode T

Sl. 13 Spektar pravougaonog impulsa

-100 -50 0 50 100

0

0.2

0

0.2

0

0.2

13/Fourier

Potrebno je da se istakne da se za razliku od periodičnog signala koji se predstavlja zbirom sinusoidalnih funkcija perioda koje su podmultipl periode T (diskretni spektar), neperiodični signal predstavlja zbirom sinusoidalnih signala čije se periode nalaze na kontinuumu realnih brojeva, te je njegov spektar kontinualna funkcija..

Primenjujući definiciju Furijeovog para na pravougaoni impuls dobija se spektar funkcije x(t) (Sl. 13)

( )

∞− ω − ω

−∞ −

− ω ω

ω = = =

ω ω ω = − = = = − ω ω ω

∫ ∫p

p

p p

T /2

j t j t

T /2

j T /2 j T /2 p p pp p

p

X(j ) x(t)e dt e dt

2sin( T / 2) sin( T / 2) T1e e T T sinc

j T / 2 2

(40)

Potrebno je za-

paziti da je prva nula spektra ove funkcije na učestanosti ω=2π/Tp. To nadalje znači da će, se nula pomerati ka koordi-natnom početku ukoliko se širina impulsa pove-ćava i da će se spektar "sabijati" oko ordinatne ose (Sl. 14). Teorijski gledano kada impuls postane beskonačno dugačak, spektar će se pretvoriti u jedinični im-puls intenziteta Tp.

Izloženi fenomen zapravo ilustruje Haj-zenbergov (Heisenberg) princip neodreñenosti

koji se, izmeñu ostalog, može iskazati i tvrdnjom da je trajanje funkcije u vremenskom domenu obrnuto proporcionalno širini spektra (širini propusnog opsega) u frekvencij-skom domenu. PROPUSNI OPSEG SIGNALA

Predstavljanje funkcije pomoću spektra omogućava da se vidi da sve frekvencijske komponente ne učestvuju podjednako u kompoziciji funkcije. U analizi signala se pokazalo da se može smatrati da su za formiranje signala neobično važne

one komponente spektra čija amplituda nije manja od 2/1 od vrednosti amplitude pri učestanosti ω=0. Otuda se došlo na ideju da se definiše učestanost ω0 pri kojoj

amplituda signala opadne na 2/1 od vrednosti amplitude pri učestanosti ω=0, odnosno na kojoj je

ω =0

1X(j ) X(0)

2 (41)

Ova učestanost se označava kao učestanost propusnog opsega.

Sl. 14 Spektri pravougaonog impulsa za različite širine impulsa Tp

TpTpTpTp2Tp2Tp2Tp2Tp4Tp4Tp4Tp4Tp6Tp6Tp6Tp6Tp

14/Fourier

Praksa takoñe pokazuje da je pogodno da se slabljenje amplituda frekvencijskih komponenti izražava u decibelima, gde se decibel definiše kao logaritamski odnos amplituda pomnožen sa 20. Slabljenje pri učestanosti propusnog opsega iznosi prema tome 3dB

( ) ω= =

0X(j20log 20log 2 3dB

X(0 (42)

USLOVI KONVERGENCIJE FURIJEOVE TRANSFORMACIJE

Imajući u vidu da je Furijeova transformacija izvedena kao svojevrsno poopštenje Furijevog reda, prirodno je očekivati da će i uslovi konvergencije biti tesno povezani.

Neka je za signal x(t), primenom jednačine analize (39) odreñena Furijeova transformacija.X(jω) i neka je )t(x signal koji je izračunat na osnovu jednačine sinteze (38). Neka je nadalje greška aproksimacije definisana kao

= − ˆe(t) x(t) x(t) (43) tako da je ukupna energija signala greške

∞

−∞

= ∫2

E e(t) dt (44)

tada Furijeova transformacija funkcije x(t) konvergira ukoliko je ukupna energija signala greške jednaka nuli. (Slično kao i kod Furijeovih redova i ovde se ne traži da bude

)t(x)t(x = za svako t, već samo da je energija razlike ova dva signala bude jednaka nuli.)

Može se pokazati da bilo koji od dva sledeća uslova daju dovoljne uslove za konvergenciju Furijeove transformacije. a. Funkcija x(t) ima ograničenu energiju

∞<∫∞

∞−

dt)t(x2 (45)

b. (Dirihlet) • Funkcija x(t) je apsolutno integrabilna

∞<∫∞

∞−

dt)t(x (46)

• Na bilo kom ograničenom intervalu funkcija x(t) ima ograničen broj maksimuma i minimuma

• Na bilo kom ograničenom intervalu funkcija x(t) ima ograničen broj konačnih prekida

DUALNOST FURIJEOVE TRANSFORMACIJE Ako se Furijeova transformacija označi sa F i pogledaju izrazi kojima je

definisan Furijeov par

∫

∫∞

∞−

ω−

∞

∞−

ω

=ω=

ωωπ

=

dte)t(x)j(X)t(x

de)j(X2

1)t(x

tj

tj

F

15/Fourier

vidi se da su izrazi neobično slični, odnosno da se razlikuju samo po predznaku eksponencijalne funkcije i faktoru skaliranja. Drugim rečima, za Furijeovu transformaciju važi osobina dualnosti,

))t(j(X2

1)(x

)(x2)jt(X

)j(X)t(x

−π

=ω

ω−π=

ω=

1-F

F

F za

(47)

To zapravo znači da se Furijeova transformacija neke funkcije vremena koja ima isti analitički izraz kao Furijeova transformacija signala x(t) može dobiti tako što se taj signal posmatra kao funkcija od učestanosti ω.

Naglasimo pri tome da se, ukoliko funkcija x(t) ima prekid u tački a, njena inverzna Furijeova transformcaija može dobiti samo ako je funkcija u tački prekida definisana kao srednja vrednost leve i desne granice, odnosno ako je

2

)a(x)a(x)a(x

+− += (48)

U cilju ilustracije osobine dualnosti, podsetimo se da smo pokazali da je Furijeova transformacija pravougaonog impulsa širine Tp (40)

ω=

ω

ω==ω⇒=

2

TcsinT

2/T

)2/Tsin(T)T/t(rect)j(X)T/t(rect)t(x

pp

p

pppp F

Na osnovu osobine dualnosti, Furijeova transformacija sinc funkcije biće

ω <

π π π = = −ω = ω = ω =

ω >

F F

pp

p p p pp p p p

p

1 Tsin(tT / 2 2 2 2

sinc(tT / 2 rect( / T ) rect( / T ) 1/ 2 TtT / 2 T T T

0 T

(49)

odnosno,

p p p pp p p

p

T T T sin(tT / 2)rect( / T ) sinc( tT / 2) sinc(tT / 2)

2 2 2 tT / 2ω = − = =

π π π-1F (50)

Tačnost dobijenog izraza proverićemo preko definicije inverzne Furijeove transformacije

( )

∞ω ω

−∞ −

−ω

−

ω = ω ω = ω =π π

= = − =π π

= = =π π π

∫ ∫-1Fp

p

p p p

p

T / 2

j t j tp p

T / 2

T / 2 jtT / 2 jtT / 2j t

T / 2

p p pp p

p

1 1rect( / T ) rect( / T )e d e d

2 2

1 1 1 1e e e

2 jt 2 jt

T sin(tT / 2) T1 2sin(tT / 2) sinc(tT / 2)

2 t 2 tT / 2 2

Pre nego što se razmotre osobine Furijeove transformacije, potrebno je da se istakne da se ona može definisati i kao funkcija učestanosti f. U tom slučaju se posmatra par

∞− π

−∞∞

π

−∞

= =

= =

∫

∫-1

F

F

j2 ft

j2 ft

x(t) X(f) x(t)e dt

x(t) X(f) X(f)e df

(51)

16/Fourier

Samo se po sebi razume da izmeñu ova dva oblika definicije Furijeove transformacije nema nikakve razlike. Radi se zapravo o tome da neki autori smatraju da je forma u kojoj se dobija X(f) u izvesnoj meri elegantnija (jer se izbegava množenje ili deljenje sa 2π). Ukoliko se koristi ova definicija, osobina dualnosti je još izraženija.

)f(X)f(x

)f(x)t(X

)f(X)t(xza

−=

−=

=

1-F

F

F

8. Furijeova transformacija karakterističnih signala • Jedinična impulsna funkcija x(t) = δ(t)

Budući da je jedinična impulsna funkcija apsolutno integrabilna, Furijeova transformacija konvergira tako da se direktnom primenom jednačine (39) dobija

∞

− ω

−∞

δ = ∆ ω = δ =∫F j t(t) (j ) (t)e dt 1 (52)

Iz dobijenog izraza sledi da je spektar jedinične impulsne funkcije konstanta za sve vrednosti učestanosti, što znači da sve frekvencijske komponente koje komponuju ovaj signal podjednako zastupljene. Primetimo, takoñe, da je spektar neograničenog trajanja što odgovara Hajzenbergovom principu, jer je impulsna funkcija ograničenog trajanja.

• Konstanta x(t)=A Striktno gledano ova funkcija ne

ispunjava uslove za konvergenciju Furijeove transformacije. Meñutim može se pokazati da se do izraza za Furijeovu transformaciju ipak može doći ako se posmatra funkcija

tAe)t(x

σ−σ = (53)

koja teži ka konstanti A kada σ→0. Naime, budući da ova funkcija ispunjava uslove konvergencije, za nju se može odrediti Furijeova transformacija. Za dobijenu transformaciju se onda potraži granična vrednost kada σ→0.

∞ ∞−σ − ω σ − ω −σ − ω

σ−∞ −∞

∞σ− ω −σ− ω

−∞

ω = = + =

σ+ =

σ +ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0t j t t j t t j t

0

0( j )t ( j )t

2 20

X (j ) Ae e dt Ae e dt Ae e dt

2Ae dt Ae dt A

(54)

Ako sada pustimo da σ→0 dobiće se

σσ→ σ→

σω = = ω≠

σ +ω2 20 0

2lim X (j ) lim A 0 za 0 (55)

Konačno ako se potraži površina funkicje Xσ(jω) dobiće se

π=

π+

π=

σω

σσ

=ωω+σ

σ=ωω

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−σ ∫∫ A2

22A2tg

A2d

2Ad)j(X 1

22 (56)

Budući da funkcija Xσ(jω) kad σ→0 ima vrednost nula za sve vrednosti nezavisne promenljive osim za ω = 0, i da je površina koju ona zaklapa sa osom nezavisno

Sl. 15 Grafik funkcije 2e-σσσσ|t|

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2 σ=0.6σ=0.6σ=0.6σ=0.6σ=0.06σ=0.06σ=0.06σ=0.06

17/Fourier

promenljive konstantna ona po definiciji predstavlja impulsnu funkciju. To nadalje znači da je

)(A2A)j(X)j(Xlim0

ωδπ==ω=ωσ→σ

F (57)

Potrebno je zapaziti da se i ovde još jedanput potvrñuje princip dualnosti. Naime, pokazali smo da je

)(21i1)t( ωπδ==δ FF Izloženi postupak u kome se funkcija koja ne ispunjava uslove za egzistenciju

Furijeove transformacije, zamenjuje funkcijom koja ispunjava uslove, a teži ka datoj funkciji, označava se kao generalizovana Furijeova transformacija.

• Eksponencijalni signal x(t)=e-ath(t)

Za a<0 signal nije apsolutno integrabilan, što znači da njegova Furijeova transformacija ne postoji. Za a>0 signal je integrabilan te se njegova Furijeova transformacija može naći. (Zapaziti da za a=0 signal zapravo predstavlja jediničnu odskočnu funkciju, čija će Furijeova transformacija kasnije biti odreñena).

0

2 2

1

10

at j t at j tX(j ) e h(t)e dt e e dta j

X( j ) ; argX( j ) arctg ;aaa

∞ ∞− − ω − − ω

−∞

ω = = = ⇒+ ω

ω ω = ω = − > + ω

∫ ∫ (58)

Iz dobijenih rezultata se vidi da je propusni opseg ovog signala ω0 = a (Sl. 16). pored toga vidi se i da su vremenska konstanta signala (1/a) i njegov propusni opseg obrnuto proporcionalni.

• Periodični signal Evidentno je da periodični signali ne ispunjavaju uslove za egzistenciju Furijeove

transformacije. Meñutim, ovaj problem se može prevazići ako se podsetimo da smo uvoñenjem generalizovane Furijeove transformacije pokazali da, Furijeova transformacija može da bude impulsna funkcija. Ako se u skladu sa time posmatra funkcija

)(2)j(X 0ω−ωπδ=ω tada se signal kome odgovara ova transformacija može odrediti kao

tjtj0

tj1 0ede)(22

1de)j(X

2

1)j(X)t(x ω

∞

∞−

ω∞

∞−

ω− =ωω−ωπδπ

=ωωπ

=ω= ∫∫F (59)

Očigledno je da je rezultujući signal periodičan sa periodom T=2π/ω0.

Sl. 16 Moduo i argument Furijeove transformacije eksponencijalne funkcije

2a/1

18/Fourier

Nadalje, imajući u vidu da je signal y(t) kome odgovara Furijeova transformacija )(2)j(Y 0ω+ωπδ=ω

odreñen sa

tjtj0

tj 0ede)(22

1de)j(Y

2

1)t(y ω−

∞

∞−

ω∞

∞−

ω =ωω+ωπδπ

=ωωπ

= ∫∫ (60)

Furijeova transformacija sinusne i kosinusne funkcije jednostavno se odreñuje korišćenjem Ojlerovih formula

( )

( )

ω − ω

ω − ω

+= ω = ⇒ ω = π δ ω−ω + δ ω+ω

− π= ω = ⇒ ω = δ ω−ω − δ ω+ω

0 0

0 0

j t j t

0 0 0

j t j t

0 0 0

e eu(t) cos( t) U(j ) ( ) ( )

2

e ev(t) sin( t) V(j ) ( ) ( )

2j j

(61)

Sledeći isti koncept, ako je X(jω) povorka impulsa oblika ∞

=−∞

ω = π δ ω− ω∑ k 0

k

X(j ) 2 a ( k ) (62)

tada jednačina sinteze (38) daje ∞

ω

=−∞

= ∑ 0jk tk

k

x(t) a e (63)

Budući da x(t) zapravo predstavlja Furiejov red

proizvoljne periodične funkcije sa periodom 0

02

Tωπ

= ,

očigledno je da je Furijeova transformacija svake periodične funkcije povorka impulsa težine 2πak , udaljenih meñusobno za ω0. Težina impulsa odreñena je koeficijentima Furijeovog reda (ak).

Iz ovog zaključka sledi i da se Furijeova transformacija povorke jediničnih impulsa može dobiti, razvojem ove Funkcije u Furijeov red. Naime, pošto je

∫∑∑−

ω−∞

−∞=

ω∞

−∞=

=δ==−δ=2/T

2/T 0

tjk

0k

k

tjkk

k0

0

0

00

T

1dte)t(

T

1a;ea)kTt()t(p (64)

Furijeova transformacija povorke impulsa je

0 0 00 k k

2P(j ) ( k ) ( k )

T

∞ ∞

=−∞ =−∞

πω = δ ω− ω =ω δ ω− ω∑ ∑ (65)

9. Osobine Furijeove transformacije LINEARNOST

Furijeova transformacija je linearna operacija. Dokaz

Pokazaćemo da za Furijeovu transformaciju važe principi superpozicije i homogenosti

∑∑ ∫∫ ∑∑++

∞

∞−

ω−∞

∞−

ω−

++

ωα=α=α=

αN

1kkk

N

1k

tjkk

tjN

1kkk

N

1kkk )j(Xdte(t)xdte(t)x(t)xF (66)

POMERANJE U VREMENSKOM DOMENU

)jX(et(xe)tt(x 00 tjtj0 ω==− ω−ω−

FF (67) Dokaz

Sl. 17 Amplituda spektra sinusne i kosinusne funkcije

19/Fourier

)j(Xede)(xede)(xdte)tt(x)t-x(t 000 tjjtj)t(jtj00 ω=λλ=λλ=−= ω−

∞

∞−

ωλ−ω−∞

∞−

+λω−∞

∞−

ω− ∫∫∫F

Iz dobijenog rezultata sledi da se celokupni efekat pomeranja funkcije u vremenskom domenu svodi na promenu faze (argumenta) Furijeove transformacije

− ω θ ω −ωθ ω− = ω = ωF 0 0j t j( ( ) t )j ( )0x(t t e X(j ) e X(j ) e (68)

Potrebno je zapaziti da je promena faze linearna.

POMERANJE U KOMPLEKSNOM DOMENU (MODULACIJA)

ω = ω−ωF 0j t0e x(t) X(j( )) (69)

Dokaz

))(j(Xdte)t(xdtex(t)ex(t)e 0t)(jtjtjtj 000 ω−ω=== ∫∫

∞

∞−

ω−ω−∞

∞−

ω−ωωF

Potrebno je zapaziti da je pomeranje u kompleksnom domenu dualna operacija sa pomeranjem u vremenskom domenu.

Amplitudska modulacija signala Amplitudska modulacija (AM) signala se koristi pri prenosu signala x(t) kroz neki

komunikacioni kanal. Prenos se obavlja tako što se signal x(t) množi sa realnim sinusoidalnim signalom – nosećim signalom - tako da se formira signal y(t) koji je pogodniji za prenos kroz dati medijum. Na mestu prijema vrši se demodulacija signala da bi se dobio originalni signal x(t) (Sl. 18).

Neka je noceći signal definisan kao )tcos()t(v c ϕ+ω= (70)

tada se modulisani signal može formirati kao

( ) )tcos(B)t(x)t(y c ϕ+ω+= (71) gde je B proizvoljna konstanta.

Ako se, radi jednostavnosti, usvoji da je faza nosećeg signala ϕ = 0, dobija se

( )( ) [ ] [ ]( ) ( ))()(B)(jX)(jX

2

1y(t)

eeB)t(x2

1)t(y

cccc

tjtj cc

ω+ωδ+ω−ωδπ+ω+ω+ω−ω=

⇒++= ω−ω

F

(72)

Pri izvoñenju relacije (72) korišćene su osobina linearnosti i pomeranja u kompleksnom domenu, kao i izraz za Furijeovu transformaciju kosinusa.

Potrebno je zapaziti da je spektar modulisanog signala centriran oko učetsnosti nosećeg signala. Pored toga, u spektru se nalaze i dva impulsna signala amplitude πB koja potiču od pomeraja B. Ukoliko je B=0 ovi impulsi neće biti prisutni u spektru. U tom slučlaju radi se o modulaciji sa potiskivanjem nosioca. U svakom slučaju, budući da je spektar signala očuvan, izvesno je da će se odgovorajućim postupkom demodulacije, iz primljenog signala moći da odredi originalni signal.

Sl. 18 Idealni sistem za modulaciju i demodulaciju

20/Fourier

Pr. 7

U cilju ilustracije postupka modulacije posmatraće se signal ω ωπ π

= + + + − =ω ω π ω

0 0

0 0 0

sin( t)1 1 1x(t) u(t) u(t ) u(t ) ; u(t)

2 4 4 t (73)

Furijeova transformacija ovog signala je.

ω>ω

ω≤ω

ωπω

+=ω

0

00

0

cos2

1

2

1)j(X (74)

Za slučaj kada je ω0= 4π signal i njegov spektar prikazani su na Sl. 19

Posmatrani signal je modulisan signalom čija je noseća učestanost ωc = π, i B+1, tako da je formiran signal

( ) )tcos(1)t(x)t(y π+= (75) Izgled modulisanog signala i rezultujući spektar dati su na Sl. 20. Kao što se vidi, oblik spektra je u potpunosti očuvan samo je on pomeren za učestanost ωc

SKALIRANJE PO VREMENU I PO UČESTANOSTI

ω=

a

jX

a

1)at(xF (76)

gde je a realna konstanta Dokaz

ω=λλ=

<λλ−

>λλ

== ∫∫

∫∫

∞

∞−

ωλ−∞

∞−

ωλ−

∞

∞−

ωλ−∞

∞−

ω−

a

jX

a

1de)(x

a

1

0ade)(xa

1

0ade)(xa

1

dtex(at)x(at) a/j

a/j

a/j

tjF

Sl. 19 Osnovni signal i njegov spektar

Sl. 20 Modulisani signal i njegov spektar

21/Fourier

Na isti način se pokazuje da važi i dualna relacija =

F

1 tX(jaω) x

a a (77)

Iz dobijenog rezultata se vidi da skaliranje nezavisno promenljive faktorom a dovodi do inverznog skaliranja učestanosti i amplitude faktorom 1/a. Drugim rečima ako se signal komprimuje, njegov spektar se širi i obratno. Napomenimo da je ova osobina saglasna Hajzenbergovom principu neodreñenosti.

U posebnom slučaju za a=-1, sledi ( )ω−=− jX)t(xF

DIFERENCIRANJE = ω ω F

dx(t)j X( j )

dt (78)

Dokaz Diferenciranjem obe strane jednačine sinteze Furijeove transformacije (38) dobija

se

j t j tdx(t) d 1 1X( j )e d j X(j )e d j x(t)

dt dt 2 2

dx(t)j x(t) j X( j )

dt

∞ ∞ω ω

−∞ −∞

= ω ω = ω ω ω = ω ⇒

π π

= ω = ω ω

∫ ∫

F F

Na isti način se može izvesti i dualna relacije, tako da važi ( ) )t(jtx

dω

jωdX−= F (79)

KONVOLUCIJA ( ) )j(YjX)t(y)t(x ωω=∗F (80)

Dokaz

∫ ∫∫ ∫

∫∞

∞−

∞

∞−

ωω∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

λ

λ−λ=

λλ−λ=

=

λλ−λ=∗

ddte)t(y)(xdted)t(y)(x

d)t(y)(x)t(y)t(x

tj-tj-

FF

Primetimo da izraz u srednjoj zagradi predstavlja Furijeovu transformaciju signala y(t) pomerenog u vremenu za iznos λ, tako da je on, zapravo, jednak e-jωλY(jω). Otuda se dobija

)j(Y)j(X)j(Yde)(xd)j(Ye)(x

ddte)t(y)(x)t(y)t(x

jj

tj-

ωω=ω

λλ=λωλ=

=λ

λ−λ=∗

∫∫

∫ ∫∞

∞−

ωλ−∞

∞−

ωλ−

∞

∞−

∞

∞−

ωF

MNOŽENJE SIGNALA (KONVOLUCIJA U KOMPLEKSNOM DOMENU)

( ) )j(YjX2

1)t(y)t(x ω∗ω

π=F (81)

Dokaz Polazeći od jednačine konvolucije i zamenjujući izraz za X(jω) dobija se

22/Fourier

dt)(d)jj(Yee)t(x2

1dtd)jj(Ye)t(x

2

1

d)jj(Ydte)t(x2

1d)jj(Y)j(X

2

1)j(Y)j(X

2

1

t)(jtjtj

tj

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ϕ−ωω−∞

∞−

∞

∞−

ϕ−

∞

∞−

∞

∞−

ϕ−∞

∞−

ϕ−ωϕ−ω

π=

ϕϕ−ω

π=

ϕϕ−ω

π=ϕϕ−ωϕ

π=ω∗ω

π

Budući da je izraz u srednjoj zagradi predstavlja jednačinu sinteze Furijeove transformacije za signal 2πy(t), to je

(x(t)y(t)dte)t(y)t(xdt)t(y2e)t(x2

1)j(Y)j(X

2

1 tjtj F==ππ

=ω∗ωπ ∫∫

∞

∞−

ω−∞

∞−

ω−

SIMETRIJA

( )∗ ∗= − ωF x (t) X j (82)

Dokaz

( )∗∞ ∞

∗ ∗ − ω ω ∗

−∞ −∞

= = = − ω

∫ ∫F j t j tx (t) x (t)e dt x(t)e dt X j (83)

REALNA FUNKCIJA Ukoliko je funkcija x(t) realna funkcija tada je

)j(X)j(X)j(X)j(*X)t(xF)t(*xF)t(x)t(x ω=ω−⇒ω=ω−⇒=⇒= ∗∗ Iz ove relacije se vidi da je Furijeova transformacija realnih signala kompleksno konjugovana simetrična funkcija učestanosti. To nadalje znači da važe sledeće relacije

∗∗ ω = − ω ⇒ ω + ω = − ω + − ω ⇒ ω − ω = − ω + − ω

ω = − ω⇒

ω = − − ω

X (j ) X( j ) Re X(j ) jIm X(j ) Re X( j ) jIm X( j )

Re X(j ) jIm X(j ) Re X( j ) jIm X( j )

Re X(j ) Re X( j )

Im X(j ) Im X( j )

(84)

Drugim rečima realni deo Furijeove transformacije je parna funkcija po ω, dok je imaginarni deo neparna funkcija po ω. Otuda, hodograf funkcije X(jω) u ravni

(Re X(jω),Im X(jω)) mora biti simetričan u odnosu na osu Re X(jω).

Na isti način, ako se posmatraju moduo i argument Furijeove transformacije dobija se

θ ω

∗∗ θ ω θ −ω − θ ω θ −ω

ω = ω

ω = − ω ⇒ ω = − ω ⇒ ω = − ω ω = − ω

⇒θ ω = −θ −ω

j ( )

j ( ) j ( ) j ( ) j ( )

X(j ) X(j ) e

X (j ) X( j ) X(j ) e X( j ) e X(j ) e X( j ) e

X(j ) X( j )

( ) ( )

(85)

Ako se sada proizvoljna realna funkcija x(t) rastavi na svoj parni i neparni deo (xp(t) i xn(t) respektivno), tako da se dobije

)t(x)t(x;)t(x)t(x;)t(x)t(x)t(x nnppnp −=−=−+=

tada je

23/Fourier

)j(X)j(XIm

0)j(XRe)j(X)j(X)j(X)t(x)t(x

0)j(XIm

)j(X)j(XRe)j(X)j(X)j(X)t(x)t(x

)j(X)t(x;)j(X)t(x

nn

nnnnnn

p

ppppppp

nnpp

ω=ω

=ω⇒ω−=ω=ω−⇒−=−

=ω

ω=ω⇒ω=ω=ω−⇒=−

ω=ω=

∗

∗

FF

FF

FF

(86)

PARSEVALOVA RELACIJA Parsevalova relacija (ili kako je neki autori zovu teorema) definiše relaciju za

odreñivanje energije signala preko njegove Furijeove transformacije. ∞ ∞

−∞ −∞

= = ω ωπ∫ ∫

2 2x

1E x(t) dt X(j ) d

2 (87)

Dokaz Ako se definiše funkcija

)j(G)t(g)t(x)t(g2

ω== F

vidi se da važi

xtj Edt)t(g)0(Gdte)t(g)j(G ==⇒=ω ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ω−

Nadalje, budući da je

[ ] ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∗∞

∞−

∗

∗∗

ωωπ

=ϕϕϕπ

=⇒ϕϕ−ω−ϕπ

=ω

⇒ω=ω−∗ωπ

===

d)j(X2

1d)j(X)j(X

2

1)0(Gd)jj(X)j(X

2

1)j(G

)j(G)j(X)j(X2

1)t(x)t(x)t(x)t(g

2

2FFF

Parsevalova relacija pokazuje da se energija signala može odrediti integracijom

komponenti spektra duž svih učestanosti. Otuda se izraz 2)j(X ω često označava kao

spektralna gustina energije signala.

IZRAČUNAVANJE UKUPNE POVRŠINE

( )∞

−∞

= ω ⇒ =∫FZa x(t) X j x(t)dt X(0) (88)

Ova osobina sledi direktno iz same definicije Furijeove transformacije

[ ] ∫∫∞

∞−=ω

∞

∞−

ω−=ω =

== dt)t(xdte)t(x)t(x)0(X

0

tj0F

Dualna relacija je

[ ] ∫∫∞

∞−=

∞

∞−

ω= ωω

π=

ωω

π=ω= d)j(X

2

1de)j(X

2

1)j(X)0(x

0t

tj0t

1-F (89)

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA JEDINIČNE ODSKOČNE FUNKCIJE

= πδ ω +ω

F1

h(t) ( )j

(90)

Dokaz Uslov egzistencije inverzne Furijeove transformacije zahteva da se jedinična

odskočna funkcija definiše kao

24/Fourier

<

= = >

0 t 0

h(t) 1 / 2 t 0

1 t 0

(91)

U skladu sa time ona se može izraziti i kao zbir parne i neparne funkcije

)t(h)t(h)tsgn(2

1

2

1)t(h np +=+= , gde su

>

=

<−

===

0t2

10t0

0t2

1

)tsgn(2

1)t(hi

2

1)t(h np (92)

Očigledno je da je za odreñivanje Furijeove transformacije jedinične odskočne funkcije neophodno da se kao prvo odredi Furijeova transformacija signum funkcije. U tom cilju posmatraćemo Furijeovu transformaciju funkcije

∞ ∞ ∞

− ω

−∞ −∞ −∞

∞

−∞

ω ω= ⇒ = = − =

π π π π

ω= −

π

∫ ∫ ∫

∫

F j t

neparna parna

1 1 1 cos( t) 1 sin( t)x(t) x(t) e dt dt j dt

j t j t j t j t

1 sin( t)dt

t

(93)

gde je korišćena činjenica da je integral neparne funkcije na simetričnom intervalu jednak nuli.

Potražićemo vrednost izraza (93) za različite vrednosti učestanosti ω .

0dtt

)tsin(lim

1dt

t

)tsin(1limx(t)lim

000=

ωπ

−=ω

π−= ∫∫

∞

∞−→ω

∞

∞−→ω→ω

F (94)

Za ω>0, relacija (93) se svodi na

[ ] 0)(csin1

d)(csin1

d)sin(1

)t(dt

)tsin(1dt

t

)tsin(1x(t)

=ω

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

λπ

−=λλπ

−=

=λλλ

π−=ω

ωω

π−=

ωπ

−=

∫

∫∫∫

F

F

(95)

Na isti način za ω<0 sledi

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞∞

ω=−∞

ω ω λ= − = ω = λ =

π π ω π λ

= λ λ = λ π π

∫ ∫ ∫

∫

F

F0

1 sin( t) 1 sin( t) 1 sin( )x(t) dt d( t) d

t t

1 1sinc( )d sinc( )

(96)

To znači da nam je za odreñivanje vrednosti izraza (95) i (96) neophodno da nañemo Furijeovu transformaciju sinc funkcije. Budući da je pokazano da je (49)

)T/(rect2)2/tT(csin pp ωπ=F ,

Sl. 21 Parni i neparni deo jedinične odskočne funkcije

25/Fourier

za Tp=2, biće [ ] π=⇒ωπ= =ω 0)t(csin)2/(rect2)t(csin FF

Napomenimo da se isti rezultat može dobiti i primenom osobine skaliranja za Tp=1.

[ ] π=⇒ωπ== =ω 0)2/t(csin)2/(rect22

1))2/t(2(csin)t(csin FFF (97)

tako da je konačno

)sgn()sgn(

01

00

01

tj

1ω−=ω−=

<ω

=ω

>ω−

=

πF (98)

Sada na osnovu osobine dualnosti, sledi

ω

=ω−π

π−=j

2

)(j

12)tsgn(F (99)

Nadalje, s obzirom na osobinu linearnosti direktno se pokazuje da je

ω

+ωπδ=ω

+ωδπ=

+

=

+=j

1)(

j

2

2

1)(

2

12)tsgn(

2

1

2

1)tsgn(

2

1

2

1)t(h FFFF (100)

Ako se dobijeni rezultat pogleda sa aspekta osobina Furijeove transformacije parnih i neparnih funkcija vidi se da je Furijeova transformacija neparnog dela

ω=ω

j

1)j(Hn , dok impuls potiče od parnog dela koji je konstanta )()j(Hp ωπδ=ω .

INTEGRACIJA

)()0(X)j(Xj

1d)(x

t

ωδπ+ωω

=

λλ∫∞−

F (101)

Dokaz Pokazaćemo kao prvo da se funkcija čija se Furijeova transformacija traži,

uzimajući u obzir osobinu kauzalnosti, može dobiti konvolucijom funkcije x(t) sa jediničnom odskočnom funkcijom

∞

−∞ −∞

∗ = λ − λ λ = λ λ∫ ∫t

x(t) h(t) x( )h(t )d x( )d (102)

Iz ove relacije, korišćenjem osobine konvolucije, kao i izraza za Furijeovu transformaciju jedinične odskočne funkcije, sledi da je

)()0(X)j(Xj

1)j(H)j(X)t(h)t(xd)(x

t

ωδπ+ωω

=ωω=∗=

λλ∫∞−

FF (103)

Dualna relacija se izvodi na isti način, tako da se dobija da je

δπ+=λλ∫ω

∞−

)t()0(x)t(xjt

1d)j(X F (104)

10. Odabiranje Kao što je već ranije istaknuto ključna operacija pri pretvaranju kontinualnih

signala u diskretne je operacija odabiranja kojom se iz kontinualnog signala x(t) uzimaju

26/Fourier

odbirci x(nT), ravnomerno rasporeñeni sa rastojanjem T. Vremenski interval T se označava kao perioda odabiranja. Nadalje, pri analizi osobina jedinične impulsne funkcije istaknuta je njena osobina odabiranja. Polazeći od ove osobine vidi se da se proces odabiranja kontinualnog signala x(t) može modelirati množenjem tog signala povorkom jediničnih impulsa

∞

=−∞

= δ −∑k

p(t) (t kT) (105)

tako da se dobije ∞

=−∞

≠= = δ − ⇒ =

δ − =∑

k

0 t nTy(t) x(t)p(t) x(t) (t kT) y(t)

x(nT) (t nT) t nT (106)

Na primer, ako je signal x(t) opisan relacijom

t

)tsin()t(u;)t(u

4

1)t(u

4

1)t(u

2

1)t(x

0

00

00 ω

ω

π

ω=

ωπ

−+ωπ

++= (107)

tada je = δ −

π π= + + + − ω ω ω ω

=π ω

0 0

0 0

0

y(t) y(nT) (t nT); gde je

1 1 1y(nT) u(nT) u(nT ) u(nT )

2 4 4

sin( nT)u(nT)

nT

(108)

Ključno pitanje koje se ovde postavlja je da li se nakon odabiranja iz dobijenih odbiraka može rekonstruisati originalni signal. Intuitivno je jasno da odgovor na ovo pitanje treba da zavisi od prirode signala i od periode odabiranja. Naime, što se signal brže menja čini se da su šanse za uspešnu rekonstrukciju veće ukoliko je perioda odabiranja manja. Da bi se dobio egzaktan odgovor na ovo pitanje potražićemo Furijeovu transformaciju signala y(t).

Polazeći od osobine množenja Furijeove transformacije vidi se da je

= ω = = ω ∗ ωπ

F F1

y(t) Y(j ) x(t)p(t) X(j ) P(j )2

(109)

Nadalje, obzirom da je (65) ∞

=−∞

πω =Ω δ ω− Ω Ω =∑

k

2P(j ) ( k ) ;

T (110)

dobićemo

[ ]∑

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

Ω−ω

=Ω−ωδ∗ω=Ω−ωδΩ∗ωπ

=ω∗ωπ

=ω

k

kk

)k(jXT

1

)k()j(XT

1)k()j(X

2

1)j(P)j(X

2

1)j(Y

(111)

Sl. 22 Odabiranje signala postupkom množenja sa povorkom impulsa

0

0tttt

tttt

x(t)x(t)x(t)x(t)

y(t)y(t)y(t)y(t)tttt

0000

0000

δδδδ

0

27/Fourier

Iz rezultata se vidi da je Furijeova transformacija signala dobijenog procesom odabiranja jednaka periodičnom nizu čiji su svi članovi isti kao i Furijeova transformacija (spektar) originalnog signala. Drugim rečima spektar signala nakon odabiranja se replicira sa periodom koja je jednaka periodu odabiranja T. Sve replike originalnog sprektra centirarne su oko učestanosti kΩ. To nadalje znači da oblik rezultujuće krive zavisi od odnosa učestanosti odabiranja (Ω) i učestanost propusnog opsega signala (ω0). Naime, prva leva i desna replika spektra centrirane su na učestanostima ±Ω tako da se one respektivno prostiru na intervalima [(-Ω -ω0), (-Ω +ω0)] i [(Ω -ω0), (Ω +ω0)]. U skladu sa time ako je

ω ≤Ω−ω ⇒Ω≥ ω0 0 02 (112)

osnovni spektar i njegove replike biće razdvojeni (Sl. 23). Meñutim ukoliko ovaj uslov nije ispunjen, doći će do prekrivanja osnovnog spektra i replika, pa se u rezultujućem signalu osnovni spektar više neće jasno prepoznavati (Sl. 24).

Izložena osobina signala koji nastaje odabiranjem predstavlja fundamentalni rezultat teorije odabiranja signala. Naime, ona govori o tome pod kojim uslovima je moguće da se iz spektra signala koji je nastao odabiranjem izdvoji spektar originalnog signala. Otuda se uslov

02ω≥Ω naziva Teorema odabiranja. Ovu teoremu je prvi formulisao Šenon (Shannon), pa se ona često naziva i Šenonova teorema odabiranja.

Teorema odabiranja, zapravo, kaže da učestanost odabiranja mora da bude bar dva puta veća od učestanosti propusnog opsega signala ukoliko želimo da iz spektra signala koji je nastao odabiranjem originalnog signala izdvojimo originalni signal. Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen replike ("alias") spektra se preklapaju ("aliasing") i originalni signal je definitivno izgubljen (Sl. 24).

Granična učestanost 0N 2ω=Ω se naziva Nikvistova (Nyquist) učestanost odabiranja.

Sl. 23 Spektri osnovnog signala i signala koji nastaje odabiranjem kada je ΩΩΩΩ ≥≥≥≥ 2ωωωω0

28/Fourier

Zapazimo na kraju, da se uslovi očuvanja spektra pri odabiranju direktno vide iz frekvencijske reprezentacije signala, a samo intuitivno naziru iz vremenske reprezentacije, što svedoči o prednostima koje može da pruži posmatranje signala preko njegovog spektra.

11. Frekvencijski odziv linearnih stacionarnih kontinualnih sistema Već je pokazano da se ponašanje linearnih stacionarnih sistema može u

potpunosti opisati pomoću jediničnog impulsnog odziva sistema g(t). Pokazano je takoñe i da se odziv na proizvoljni signal dobija konvolucijom signala pobude i jediničnog impulsnog odziva

)t(u)t(g)t(y ∗= (113) U skladu sa osobinom konvolucije Furijeove transformacije odavde se dobija da

je ω = ω ωY(j ) G(j )U(j ) (114)

Funkcija ω

ω =ω

Y(j )G(j )

U(j ) (115)

naziva se frekvencijski odziv linearnog stacionarnog kontinualnog sistema ili frekvencijska funkcija prenosa linearnog stacionarnog kontinualnog sistema. Zapazimo da je linearan stacionaran sistem u potpunosti opisan svojom funkcijom prenosa. Budući da je

ω = ω ω ⇒

ωω = ω ω ⇒ ω =

ω

ω = ω + ω ⇒ ω = ω − ω

Y(j ) G(j )U(j )

Y(j )Y(j ) G(j ) U(j ) G(j )

U(j )

argY(j ) argG(j ) argU(j ) argG(j ) argY(j ) argU(j )

(116)

sistem se može posmatrati i preko amplitude funkcije prenosa |G(jω)| i faze funkcije

Sl. 24 Spektri osnovnog signala i signala koji nastaje odabiranjem kada je ΩΩΩΩ ≤≤≤≤ 2ωωωω0

29/Fourier

prenosa argG(jω). Pri tome ukoliko je jedinični impulsni odziv realna funkcija, važiće i sledeće relacije

ω = − ω

ω = − − ω

G(j ) G( j )

argG(j ) argG( j ) (117)

ODZIV LINERANOG STACIONARNOG SISTEMA NA PERIODIČNI POBUDNI SIGNAL

Pri definisanju koncepta sopstvenih funkcija pokazano je da periodični signal predstavlja sopstvenu funkciju za linearne stacionarne sisteme, što znači da je i odziv sistema takoñe periodična funkcija. Ova činjenica može se potvrditi i primenom frekevncijskog odziva i osobina Furijeove transformacije. Naime, ako je pobudni signal kompleksna sinusoida

ω= ⇒ ω = πδ ω−ω0j t0u(t) e U(j ) 2 ( ) (118)

tada je odziv sistema

∞ωω

−∞

ω = ω ω = ω πδ ω−ω = π ω δ ω−ω ⇒

= π ω δ ω−ω ω= ωπ ∫

0

0 0 0

j tj t0 0 0

Y(j ) G(j )U(j ) G(j )2 ( ) 2 G(j ) ( )

1y(t) 2 G(j ) ( )e d G(j )e

2

(119)

Ako je, meñutim, pobudni signal proizvoljna periodična funkcija čiji je Furijeov red ∞ ∞

ω

=−∞ =−∞

= ⇒ ω = πδ ω− ω∑ ∑0jk tk k 0

k k

u(t) a e U(j ) a 2 ( k ) (120)

tada je prema relaciji (114) odziv sistema ∞

=−∞

ω = ω ω = π ω δ ω− ω∑ k 0 0

k

Y(j ) G(j )U(j ) 2 a G(jk ) ( k ) (121)

ODZIV LINEARNOG STACIONARNOG SISTEMA NA PROIZVOLJAN SIGNAL Ako pobudni signal nije periodičan, tada se on može predstaviti preko jednačine

sinteze Furijeove transformacije

∫∞

∞−

ω ωωπ

= de)j(U2

1)t(u tj

tako da se odziv sistema na proizvoljnu pobudu dobija preko izraza

∫∞

∞−

ω ωωωπ

= de)j(U)j(G2

1)t(y tj

koji i nadalje ukazuje na činjenicu da se svaka komponenta spektra ulaznog signala skalira sa odgovarajućom komponentom spektra frekevncijske funkcije prenosa.

Na kraju zapazimo da je, u skladu sa osobinom konvolucije, funkcija prenosa serijske veze sistema jednaka proizvodu funkcija prenosa pojedinačnih sistema, a da je funkcija prenosa paralelne veze sistema jednaka zbiru funkcija prenosa pojedinačnih sistema.

Operacije koje se mogu realizovati pomoću linearnih stacionarnih sistema

• Kašnjenje u vremenskom domenu Imajući u vidu da je jedinični impulsni odziv

sistema koji realizuje čisto vremensko kašnjenje od t0 jednak

30/Fourier

− ωω = = δ − = ⇒

ω = ω = −ω

0j t0

0

G(j ) F g(t) F (t t ) e

G(j ) 1 , argG(j ) t (122)

Potrebno je zapaziti da je ovaj rezultat u saglasnosti sa izvedenom osobinom Furijeove transformacije o pomeranju signala u vremenskom domenu (67). To nadalje znači da će sistem koji realizuje čisto vremensko kašnjenje zapravo samo pomerati fazu pobudnog signala, pri čemu će pomeraj faze zavisti od učestanosti. U skladu sa time komponente spektra ulaznog signala koje imaju veću učestanost biće pomerene za veći iznos.

− ωω = ω ⇒

ω = ω ω = ω −ω

0j t

0

Y(j ) e U(j )

Y(j ) U(j ) , argY(j ) argU(j ) t (123)

• Diferencijator Jedinični impulsni odziv diferencijatora u

vremenskom domenu nije moguće definisati iz jednostavnog razloga što izvod jediničnog impulsa nije definisan. Uprkos tome, ako se pretpostavi da se

sistem pobuñuje proizvoljnim ulaznim signalom tada se, polazeći od osobina Furijeove transformacije (78), direktno dobija da je odziv idealnog diferencijatora signala

)j(Uj)j(Y ωω=ω budući da je, u opštem slučaju, odziv sistema jednak proizvodu frekvencijske funkcije prenosa i Furiejove transformacije pobude sledi

ω = ω ω = ω ω ⇒ ω = ωY(j ) G(j )U(j ) j U(j ) G(j ) j (124) funkcija prenosa diferencijatora

Kako je ω=ω)j(G (125)

amplituda diferencijatora neograničeno raste sa porastom učestanosti. To nadalje znači da će diferencijator daleko više pojačavati signale visoke učestanosti od signala niske učestanosti. Primetimo, takoñe, da idealan diferencijator nije stabilan sistem u BIBO smislu.

Faza diferencijatora je π ω>

ω = −π ω<

/ 2 0argG(j )

/ 2 0 (126)

što znači da idealni diferencijator pomera fazu ulaznog signala ravnomerno za sve učestanosti za iznos od ±π/2 (unapred za pozitivne učestanosti i unazad za negativne učestanosti).

• Integrator Polazeći od činjenice da je

jedinični impulsni odziv integratora jednak jediničnom odskočnom signalu h(t) sledi da je frekvencijska funkcija prenosa integratora (90)

ω = = = πδ ω +ω1

G(j ) F g(t) F h(t) ( )j

(127)

U skladu sa time odziv integratora na proizvoljni pobudni signal u(t) biće

ω = ω ω = πδ ω + ω = ω + πδ ω ω ω

1 1Y(j ) G(j )U(j ) ( ) U(j ) U(j ) U(0) ( )

j j (128)

ω+ωπδ=ω

j

1)()j(G

)t(hd)()t(gt

0

=ττδ= ∫

31/Fourier

Iz dobijenog izraza se vidi da će, ukoliko je U(0)=0, biti

ω = ωω

ω −π ω>ω =

ω + π ω<

1Y(j ) U(j )

argU(j ) / 2 0argY(j )

argU(j ) / 2 0

(129)

To zapravo znači da integrator slabi amplitudu pobudnog signala pri čemu su komponente spektra pobude koje pripadaju domenu visokih učestanosti daleko više oslabljene. Istovremeno integrator pomera i fazu pobudnog signala za isti iznos kao i idelani diferencijator, ali u suprotnom smeru.

12. Modeliranje sistema pomoću realnih racionalnih funkcija Kao što je već ranije pokazano linearni stacionarni kontinualni sistemi se

modeliraju pomoću diferencijalnih jednačina

= =

=∑ ∑k kN M

k kk kk 0 k 0

d y(t) d u(t)a b

dt dt (130)

∑∑==

=M

0kk

k

k

N

0kk

k

kdt

)t(udb

dt

)t(yda

Odreñivanjem Furijeove transformacije leve i desne strane jednačine, uz primenu osobine diferenciranja, dobija se (78)

= =

= =

=

=

ω ω = ω ω ⇒

ω ω = ω ω ⇒

ωωω

ω = = =ω ω

ω

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

N Mk k

k k

k 0 k 0

N Mk k

k k

k 0 k 0

Mk

k

k 0 MN

Nkk

k 0

a (j ) Y(j ) b (j ) U(j )

a (j ) Y(j ) b (j ) U(j )

b (j )P (j )Y(j )

G(j )U(j ) Q (j )

a (j )

(131)

Iz relacije (131) sledi da je frekvencijska funkcija prenosa linearnog stacionarnog kontinualnog sistema racionalna funkcija po (jω). Pri tome, ukoliko su koeficijenti aki bk realni, frekvencijska funkcija prenosa je realna, racionalna funkcija.

Činjenica da se linearan stacionaran sistem može opisati preko realne racionalne funkcije je neobično važna pri odreñivanju odziva sistema. Naime, umesto da se odziv sistema odreñuje rešavanjem diferencijalne jednačine odziv se može odrediti preko frekvencijske funkcije prenosa.

Pr. 8

U cilju ilustracije navedenog postupka posmatraćemo linerani sistem prvog reda čiji je impulsni odziv

−= atg(t) e h(t)

tako da je frekvencijska funkcija prenosa (58)

32/Fourier

ω =+ ω1

G(j )a j

(132)

Pretpostavimo da na sistem deluje jedinična odskočna funkcija h(t), čija je Furijeova transformacija (90)

ω = πδ ω +ω1

H(j ) ( )j

U tom slučaju odziv sistema je

1 1 1 10Y(j ) G( j ) ( ) G( j ) G( ) ( ) ( )

j j j (a j ) a

ω = ω πδ ω + = ω + π δ ω = + π δ ω ω ω ω + ω

(133)

Odziv sistema u vremenskom domenu y(t) može se odrediti pomoću inverzne Furijeove transformacije (jednačina sinteze). Da bi se olakšalo odreñivanje odziva pogodno je da se izraz (133) transformiše tako da se za sve članove inverzna Furijeova transformacija može dobiti preko tablica. U tom cilju, racionalni deo odziva se rastavlja na parcijalne razlomke

+ ω += + = ⇒ = = − = −

ω + ω ω + ω ω + ω1 A B Aa j (A B) 1 1

A , B Aj (a j ) j (a j ) (a j ) a a

(134)

tako da odziv postaje

( )at at

1 1 1 1 1 1 1Y(j ) ( ) ( )

j (a j ) a a j a (a j ) a

1 1 1 1 1 1 1y(t) ( ) h(t) e h(t) 1 e h(t)

a j a (a j ) a a a− −

ω = + π δ ω = − + π δ ω ⇒ω + ω ω + ω

= + πδ ω − = − = − ω + ω

(135)

ODNOS STEPENA POLINOMA U BROJIOCU I IMENIOCU Već ranije je istaknuto da je kod svih realnih sistema koji se modeliraju pomoću

linearnih diferencijalnih jednačina N≥M. To zapravo znači da je stepen polinoma u imeniocu veći ili jednak od stepena polinoma u brojiocu. Sada se ova tvrdnja može i direktno pokazati. Naime, najjednostavniji sistem kod koga je N < M je sistem kod koga je N = 0, M = 1, odnosno sistem čija je funkcija prenosa

ω = ωG(j ) j (136) Ova funkcija predstavlja idealni diferencijator (124), za koji je već rečeno da se ne može napraviti jer pretpostavlja sposobnost sistema da vrši predikciju. Na isti način, se vidi da bi svi sistemi kod kojih bi bilo M > N morali da sadrže idelane diferencijatore.

Napomenimo, da se u izvesnom smislu može postaviti i pitanje postojanja sistema kod koga je N = M. Jedan od takvih sistema i "čist" pojačavač kod koga je

G(j ) Kω = (137) Kao što je već ranije istaknuto sistem koji ima ovu funkciju prenosa bio bi sistem kod koga se reakcija na izlazu pojavljuje u istom trenutku u kome pobuda deluje. Činjenica je da nijedan realni fizički sistem nema tu osobinu, ali kao što je već rečeno, jedan broj sistema ima dovoljno brzu reakciju tako da se može smatrati da je ona trenutna.

13. Bodeovi dijagrami Činjenica da je frekvencijska funkcija prenosa realna racionalna funkcija

omogućava da se dobije jednostavna grafička reprezentacija amplitude i faze frekevencijskog prenosa. Pri tome se grafici prikazuju u log/log obliku, odnosno 20log|G(jω) prema logω, za ω > 0. Ovi dijagrami se zovu Bode-ovi dijagrami.|

Budući da su polinomi u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa realni, oni se mogu prikazati u faktorisanom obliku.

33/Fourier

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

0 1 1

2 2 2

0 1 1

1 1 1 1

2

2

cRk

k

cRk

k

C CR R

NNNk

N k N k k k kk k k

MMMk

M k m k k k kk k k

M NM N

k k k kk k k k

Q (j ) a ( j ) a ( j ) j ( j ) ( j ) ,

P ( j ) b ( j ) b j ( j ) ( j ) ,

M ; N

ξλν

= = =

ηµ

= = =

= = = =

ω = ω = ω α + ω ς + σ + σ ω + ω

ω = ω = β + ω γ + ρ + γ ω + ω

µ + η = ν + λ + ξ =

∑ ∏ ∏

∑ ∏ ∏

∑ ∑ ∑ ∑

(138)

pri čemu je pretpostavljeno da polinomi u imeniocu i brojiocu respektivno imaju realne nule -αk i -βk multipliciteta λk i µk, kao i kompleksne nule –(σk+jζk) i –(γk+jρk), koje se, pošto su polinomi realni, javljaju u konjugovano kompleksnim parovima, sa multiplicitetom ξk i ηk. Istovremeno je korišćena i činjenica da za konjugovano kompleksne nule važi da je

( )[ ] ( )[ ] 222 j2)j(jjjj ς+σ+ωσ+ω=ς−σ+ως+σ+ω (139)

Konačno, pretpostavljeno je i da je b0≠0, dok je dozvoljena mogućnost da polinom u imeniocu ima nulu reda ν za ω=0.

U skladu sa time, funkcija frekvencijskog prenosa može se predstaviti kao

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

νµ

= =

ξλν

= =

ηµ

= =

λν

=

β + ω γ +ρ + γ ω + ωω

ω = = =ω

ω α + ω ς + σ + σ ω + ω

+ ω β + γ ω γ +ρ + ω γ +ρ

=

ω + ω α + σ

∏ ∏

∏ ∏

∏ ∏

∏

cRk

k

cRk

k

cRk

k

R

k

MM2 2 2

m k k k k

M k 1 k 1NN

N 2 2 2N k k k k

k 1 k 1

MM2 2 2 2 2

k k k k k k

k 1 k 1N

k k

k 1

b j 2 (j ) (j )P (j )

G(j )Q (j )

a (j ) j 2 (j ) (j )

1 j / 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

K

(j ) 1 j / 1 2 (j( )

( )

( )

ξ

=

ηµ

= =

ξλν

= =

ω ς +σ + ω ς + σ

β γ +ρ

=

ω α ς + σ

∏

∏ ∏

∏ ∏

ck

cRk

k

cRk

k

N2 2 2 2 2k k k k

k 1

MM2 2

m k kkk 1 k 1

NN2 2

N k kkk 1 k 1

,

) / ( ) (j ) / ( )

b

K

a (j )

(140)

U cilju grafičke reprezentacije amplitude i faze funkcije prenosa pogodno je da se amplituda prikazuje u decibelima,

( ) ( )

( ) ( )

ηµ

= =

ξλν

= =

ω = ω =

+ ω β + γ ω γ +ρ + ω γ +ρ

= ω + ω α + σ ω ς +σ + ω ς +σ

∏ ∏

∏ ∏

cRk

k

cRk

k

dB

MM2 2 2 2 2

k k k k k k

k 1 k 1NN

2 2 2 2 2k k k k k k

k 1 k 1

20log G(j ) G(j )

1 j / 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

20log K

(j ) 1 j / 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

(141)

što omogućava da se iskoristi osobina logaritma proizvoda tako da se dobije

34/Fourier

= =

= =

ω =

= + µ + ω β + η + γ ω γ + ρ + ω γ + ρ −

−ν ω− λ + ω α − ξ + σ ω ς + σ + ω ς + σ

∑ ∑

∑ ∑

CR

CR

dB

MM2 2 2 2 2

k k k k k k k k

k 1 k 1

NN2 2 2 2 2

k k k k k k k k

k 1 k 1

G(j )

20logK 20log 1 j / 20log 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

20log 20log 1 j / 20log 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

(142)

Istovremeno argument frekvencijske funkcije prenosa može se dobiti iz izraza

( )

( )= =

= =

=

ω =

µ + ω β + η + γ ω γ + ρ + ω γ +ρ −

−ν ω − λ + ω α − ξ + σ ω ς +σ + ω ς +σ =

γ ω γ + ρωµ + η β −ω

∑ ∑

∑ ∑

∑

CR

CR

R

MM2 2 2 2 2

k k k k k k k k

k 1 k 1

NN2 2 2 2 2

k k k k k k k k

k 1 k 1

M 2 2k k k

k k 2kk 1

arg G(j )

arg(1 j / ) arg 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

arg(j ) (1 j / ) 1 2 (j ) / ( ) (j ) / ( )

2 (j ) / ( )arctg arctg

1=

= =

− γ +ρ

σ ω ς + σπ ω−ν ω − λ − ξ α −ω ς + σ

∑

∑ ∑

C

CR

M

2 2k 1 k k

NN 2 2k k k

k k 2 2 2kk 1 k 1 k k

/ ( )

2 (j ) / ( )sgn( ) arctg arctg

2 1 / ( )

(143)

Iz izraza (142) i (143) se vidi da se grafici amplitude i faze mogu dobiti sabiranjem, odnosno oduzimanjem amplitude i faze četiri osnovna grafika

ω =1G (j ) 20logK (144)

ω = −ν ω2G (j ) 20log(j ) (145)

ω = + ω3G (j ) p20log(1 j / a) (146)

ω ω = + ω+

2

4j

G (j ) q20log 1 j2bcc

(147)

Kao što je već rečeno, da bi se jasnije sagledao spektar signala, po pravilu se grafik prikazuje u logaritamskoj razmeri, tako da se na apscisnoj osi nanosi logω. U tom smislu jedinica na apsisnoj osi je jedna dekada.

• Grafik G1(jω) Najednostavniji grafik je svakako grafik konstante čija amplituda je prava linija sa nagibom od 0 dB/dec, a argument je jednak nuli (Sl. 25),

0)j(Garg

;dB)K(Klog20)j(G

1

1

=ω

==ω (148)

• Grafik G2(jω) Budući da je

Sl. 25 Bodeov dijagram pojačanja (K = 2)

(rad/sec)

5

5.5

6

6.5

7

7.5

10-1

100

101

102

-1

-0.5

0

0.5

1

35/Fourier

πω = −ν ω = −υ ω ω = −ν ω2G (j ) 20log j 20log ; argG(j ) sgn( )

2 (149)

grafik amplitude je prava linija sa nagibom od -ν20 dB/dec, dok je argument takoñe prava linija sa nagibom nula (Sl. 26).

• Grafik G3(jω) Za razliku od prethodne dve funkcije, grafik ovog izraza nije tako jednostavno

nacrtati. Naime, ω = + ω ⇒

ωω = +

ωω =

3

2

3 2

3

G (j ) p20log(1 j / a)

G (j ) p20log 1a

argG (j ) parctga

(150)

Analizirajući asimptotske osobine izraza za moduo i argument funkcije oblika G3(jω),

ω<< ω<<ω ω = + ≈ ≈ ω ω ω>>ω>>

ω<<ω

ω = ≈ πω>>

2

23 2

2

3

p20log 1 a 0 a

G (j ) p20log 1p20log aa p20log a

aa

0 a

argG (j ) parctga p a

2

(151)

Bode je predložio da se umesto stvarnog grafika crtaju asimptotski grafici i to tako što bi se izraz za moduo aproksimirao kao

(rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

dB)j(G2 ωωωω

Sl. 26 Bodeov dijagram funkcije G1 (jωωωω)

36/Fourier

ω<

ω ≈ ωω>

3

0 a

G (j )p20log a

a

(152)

tako da je grafik sastavljen od dve prave linije od kojih prva (za ω < a) ima nagib od 0dB/dec, dok druga (za ω > a) ima nagib od 20p dB/dec. Uporeñivanjem stvarnog i asimptotoskog izraza vidi se da usvojena aproksimacija ima najveće odstupanje od stvarne vrednosti pri prelomnoj učestanosti ω = a, gde je odstupanje jednako 3p dB.

U pogledu fazne karakteristike Bode je predložio da se funkcija argumenta aproksimira pravom linijom koja počinje na 00pri učestanosti 0,1a a završava se na p900 pri učestanosti 10a . Ova linija seče stvarnu funkciju argumenta u prelomnoj učestanosti (ω = a), gde je argument p450.

Još grublja aproksimacija se dobija ako se pretpostavi da je fazna karakteristika 0 do prelomne učestanosti (a), a zatim postaje p900. • Grafik G4(jω)

Za funkciju oblika G4 koristi se isti princip asimptotske aproksimacije, s tim što se prethodno izraz G4(jω) aproksimira kao

ω ω ≈ +

2

4j

G (j ) 1c

(153)

ω< ω ω ≈ + ≈ ω ω>

ω ω ω ≈ + ≈

2

4

22

4

0 cj

G (j ) q20log 1c q40log c

c

jargG (j ) qarg 1 q2arctg

c c

(154)

(rad/sec)

-40

-30

-20

-10

0

10-1

100

101

102

-90

-45

0

dB)j(G3 ωωωω

Sl. 27 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije oblika G3(jωωωω) za

p=-1 i a = 2 , ( )ω = + ω3G (j ) 1 1 j / 2

37/Fourier

Treba zapaziti da je ova aproksimacija značajno grublja, i da tačnost zavisi od

parametra b. Izvesno je da je greška koja se čini veća, ali i ovde Bodeov dijagram omogućava da se dobije makar okvirni uvid u izgled frekvencisjkih karakteristika.

• Grafik proizvoljne funkcije

Kombinovanjem navedenih asimptotskih izraza može se dobiti Bodeov dijagram proizvoljne funkcije prenosa. Dijagram se crta jednostavnim sabiranjem asimptotoskih

-60

-40

-20

0

20

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

b=0.05b=0.1b=0.25b=1

dB)j(G4 ωωωω

Sl. 28 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije oblika G4(jωωωω) za

q=-1, i c=2 , i različite vrednosti b 24

)2/j(b4j1

1)j(G

ω+ω+=ω

Sl. 29 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije

)10/j1(j

j1)j(G

ω+ωω+

=ω

-30

-20

-10

0

10

20

30From: Input Point To: Output Point

10-1

100

101

102

-90

-60

-30

dB)j(G ωωωω

ωωωωj/1

ωωωω++++ j1

)10/j1/(1 ωωωω++++

38/Fourier

karakteristika svih članova u funkciji prenosa. Pri tome je potrebno zapaziti da karakteristika modula pretstavlja niz pravih linija koje se u prelomnim učestanostima direktno nastavljaju jedna na drugu zato što je član koji se dodaje pri datoj prelomnoj učestanosti pre toga imao vrednost nula.

Prva asimptota Crtanje karakteristike započinje prvom asimptotom, odnosno jedinim članom koji

nema vrednost 0 u opsegu učestanosti koje su manje od najmanje prelomne učestanosti. Otuda je prva asimptota definisana relacijom

πω = − υ ω ω = −ν ωs dB

A (j ) 20logK 20log ; argG(j ) sgn( )2

(155)

Njen moduo je, prema tome, prava linija čiji je nagib -νdb/dec. Ako je ν=0, onda je to prava linija paralelna apscisnoj osi na rastojanju od K decibela. Ako je meñutim ν≠0 tada se jedna tačka potrebna za crtanje modula može najlakše dobiti ili kao tačka preseka sa apscisnom osom

ω = ⇒ω=νs dB

KA (j ) 0 (156)

ili kao vrednost asimptote za ω=1

=s dBA (j1) 20logK (157)

Argumenat prve asimptote je uvek prava linija paralelna sa apscisnom osom.

Ostale asimptote Doprinosi svih ostalih članova karakteristici modula zavise od njihovih prelomnih

učestanosti. Sa svakom prelomnom učestanošću po jedan član prestaje da bude nula nagib prave linije koji njemu odgovara se jednostavno dodaje nagibu koji je karakteristika pre toga imala.

Crtanje argumenta nije tako jednostavno. Dosta gruba aproksimacija argumenta se može dobiti ako se pretpostavi da svaki član ima argumenat 0 do prelomne učestanosti a zatim p900.

Pr. 9

Bodeova karakteristika funkcije prenosa + ω

ω =ω + ω

1 jG(j )

j (1 j / 10)

prikazana je na Sl. 29. Obzirom da je ν=-1 prva asimptota ima nagib od -20dB/dekadi. Pored toga pošto je i K=1 ona

seče logω ose pri učestanosti ω=1. Prva asimptota je jedini deo Bodeoovog dijagrama sve do prve prelomne učestanosti ω=1. Pri toj učestanosti prestaje da bude nula aproksimacija člana 1+jω. Kako ovaj član donosi nagib od +20dB/dekadi ukupni nagib postaje 0dB/dekadi. Prava linija sa tim nagibom nastavlja se sve do sledeće prelomne učestanosti ω=10. Pri toj učestanosti prestaje da bude nula i aproksimacija člana 1/(1+jω/10). Pošto ovaj član nosi nagib od -20dB/dekadi taj nagib se sabira sa prethodnim nagibom tako da ukupni nagib postaje -20dB/dekadi. Budući da više nema prelomnih učestanosti dijagram dalje ne menja nagib.

.

14. Filtracija U opštem slučaju filter se može posmatrati kao ureñaj koji razdvaja neki željeni

entitet od neželjenog entiteta. Sa gledišta teorije signala i sistema kriterijum za razdvajanje je najčešće učestanost. To zapravo znači da se u postupku filtracije izdvaja deo signala koji odgovara jednom delu spektra signala. Izdvajanje se vrši jednostavno

39/Fourier

propuštanjem signala kroz filtar. U osnovi ideja filtracije zasniva se na činjenici da se spektar signala odziva filtra dobija množenjem spektra ulaznog signala i funkcije prenosa filtra. Otuda, ako se filtar definiše tako da je njegova amplitudna karakteristika različita od nule samo u odreñenom opsegu

učestanosti, signal na izlazu filtra imaće nenulti spektar samo u tom opsegu učestanosti.

Filter se definiše preko funkcije prenosa G(jω), odnosno preko amplitudske (|G(jω)|) i fazne karakjteristike arg G(jω).

ωω = ω jargG(j )G(j ) G(j ) e (158)

Pri tome, se za sve filtre podrazumeva da je njihova funkcija jediničnog impulsnog odziva g(t) realna, što znači da je |G(-jω)|=|G(jω)|.

IDEALNI FILTRI Sledeći izloženu ideju o izdvajanju dela spektra signala uveden je pojam

idealnog filtra. U skladu sa izloženim, jasno je da se filtri specificiraju pomoću amplitudske karakteristike. Uobičajeno je da se fazna karakteristika ili definiše kao linearna arg G(jω) = -ωτ (čisto transportno kašnjenje) ili da se uopšte ne specificira. Postoje četiri osnovna tipa idealnih filtara.

a. Niskopropusni idealni filtar

ω < ωω = ω > ω

b

b

1G(j )

0 (159)

b. Visoko propusni idealni filtar

ω < ωω =

ω > ω

b

b

0G(j )

1 (160)

c. Filter propusnik opsega učestanosti

ω < ω <ωω = ω < ω ω >ω

a b

a b

1G(j )

0 i (161)

d. Filter neporpusnik opsega učestanosti

ω < ω <ωω = ω < ω ω >ω

a b

a b

0G(j )

1 i (162)

Sl. 30 Filtracija signala

40/Fourier

Pr. 10

Da bi se ilustrovao rad filtra posmatraće se spektar signala y(t) koji se dobija odabiranjem signala (108)

ω ωπ π= + + + − =

ω ω π ω0 0

0 0 0

sin( t)1 1 1x(t) u(t) u(t ) u(t ) ; u(t)

2 4 4 t (163)

∞

=−∞

= δ −∑k

y(t) x(kT) (t kT) (164)

pri čemu je učestanost odabiranja 02T

2ω≥

π=Ω .

Pretpostavimo da se ovaj signal propušta kroz nisko propusni filtar čija je frekvencijska karakteristika

b

b

TG(j )

0

ω < ωω = ω > ω (165)

Podsetimo se da je prema relaciji (49)

p

pp p p p

p p p pp

1 Tsin(tT / 2 2 2 2

sinc(tT / 2 rect( / T ) rect( / T ) 1/ 2 TtT / 2 T T T

0 T

ω < π π π

= = −ω = ω = ω = ω >

F F

Budući da je Tp širina pravougaonog impulsa amplitude 1, a da je širina impulsa amplitude T koji opisuje frekvencijsku karakteristiku filtra 2ωb= Tp, očigledno je da je

1 b bb

sin( t)G( j ) g(t) T T sinc( t)

t

ω ωω = = = ω

π π-F (166)

U skladu sa izloženim odziv filtra na signal y(t) biće

[ ]

∞ ∞

=−∞ =−∞∞

=−∞

= ∗ = ∗ δ − = − =

ωω −

π

∑ ∑

∑

k k

bb

k

v(t) g(t) y(t) g(t) x(kT) (t kT) x(kT)g(t kT)

x(kT)T sinc (t kT)

(167)

Ako se pri tome propusni opseg filtra usvoji tako da je Ω=2ωb dobija se ∞ ∞

=−∞ =−∞

Ω Ω π − = − = π ∑ ∑

k k

(t kT)v(t) x(kT)T sinc (t kT) x(kT)sinc

2 2 T (168)

Sl. 31 Ilustracija filtracije sa idealnim niskopropusnim filtrom

41/Fourier

Imajući u vidu da se filtracijom dobija spektar V(jω) (Sl. 31) koji je identičan spektru signala x(t) očigledno je da dobijeni izraz (168) predstavlja izraz za rekonstrukciju signala na osnovu odbiraka. Drugim rečima, ako se signal x(t), čiji je spektar ograničen na učestanost ω0, odabira sa učestanošću Ω≥2ω0, tada se poznavanjem odbiraka signala, može izvršiti njegova rekonstrukcija prema relaciji

∞

=−∞

π −= ∑k

(t kT)x(t) x(kT)sinc

T (169)

Primetimo da izvedena relacija za rekonstrukciju signala (169) ima veoma malu

upotrebnu vrednost. Naime, relacija podrazumeva da je za odreñivanje vrednosti signala u bilo kom trenutku vremena t neophodno da se poznaju svi odbirci signala. Sa praktične tačke gledišta to znači da je formula neprimenljiva. U nekoj hipotetičnoj situaciji u kojoj se vrši odabiranje signala i zatim se odbirci, preko nekog komunikacionog kanala, šalju do prijemnika, izvesno je da se na mestu prijema rekonstrukcija signala neće moći izvršiti prema datoj relaciji. Zapravo, rekonstrukcija će moći da otpočne tek u nekoj dalekoj budućnosti kada se prikupe svi odbirci signala, a tada verovatno više niko neće biti zainteresovan da ustanovi kako je originalni signal izgledao.

Pored navedenih problema sa rekonstrukcijom signala, postoji još jedan ozbiljan problem. Naime, nijedna od navedenih amplitudskih karakteristika zapravo se ne može fizički ostvariti. Tako, na primer, ako se posmatra niskopropusni idealni filter sa linearnom faznom karakteristikom, primenom inverzne Furijeove transformacije (jednačina sinteze) dobija se jedinični impulsni odziv

[ ] ω <ω ωω = ω = −τω ⇒ = ω − τ

ω >ω π

b bb

b

1G(j ) ; argG(j ) g(t) sinc (t )

0 (170)

Budući da je jedinični impulsni odziv nekauzalna funkcija (koja se prostire na intervalu -∞ < t < ∞) očigledno je da on nije fizički ostvarljiv. U tom smislu ovi filtri su i dobili naziv "idealni". Otuda se postupak projektovanja filtara zapravo svodi na formiranje sistema čije funkcije prenosa u što je moguće većoj meri odgovaraju željenim karakteristikama idealnog filtra.

Tokom poslednjih decenija razvijen je čitav niz izuzetno sofisticiranih metoda za projekotvanje filtara. Bez želje da se upuštamo u samu teoriju, pogledaćemo samo elementarne aproksimacije filtara pomoću sistema prvog i drugog reda.

NISKOPRPUSNI FILTAR PRVOG REDA b/j1

1)j(G

ωω+=ω

Iz frekevencijskih karakteristika se vidi da ovaj filter ima prilično dobru karakteristiku za učestanosti do ωb. Amplitudska karakteristika za male učestanosti ne unosi nikakvo pojačanje ili slabljenje (iznosi 0dB). Ona je ravna za male učestanosti i

Sl. 32 Amplitudska i fazna karakteristika niskopropusnog filtra prvog reda

42/Fourier

ukupni pad do učestanosti ωb iznosi 3dB. Meñutim, posle učestanosti ωb, karakteristika počinje da pada sa nagibom od –20db/dec. to znači da je na učestanosti 2ωb slabljenje oko 6dB, na 10ωb 20dB, na 100ωb 40dB i tako redom. Sa gledišta kvaliteta filtra ključni problem predstavlja ovaj relativno mali nagib karakteristike, odnosno propuštanje relativno širokog opsega oslabljenih učestanosti. Dva puta strmija karakteristika može se dobiti ako se dva niskopropusna filtra vežu na red. Meñutim u tom slučaju, je i slabljenje na niskim učestanostima veće, jer karakteristika pada za 6dB do učestanosti ωb.

VISOKOPROPUSNI FILTER PRVOG REDA ω+ω

ω=ω

j

j)j(G

b

Ovaj filter ima iste osobine kao i niskopropusni filter. Osnovni problem je u opsegu u kome bi trebalo da postoji značajno slabljenje signala, no karakteristika nije dovoljno strma (raste sa nagibom od 20dB/dec). Na učestanostima većim od ωb karakteristika je ravna i ima slabljenje koje je manje od 3dB.

FILTAR PROPUSNIK OPSEGA UČESTANOSTI )/j1)(/j1(

/j)j(G

21

1

ωω+ωω+

ωω=ω

Ovaj filter je zapravo kombinacija niskopropusnog i visokopropusnog filtra. Očigledno je da on mora imati iste nedostatke. Drugim rečima, filter je zadovoljavajući unutar propusnog opsega, ali ima suviše sporo opadajuće slabljenje na granicama propusnog opsega (nedovoljno strma karakteristika).

Sl. 33 Amplitudska i fazna karakteristika visokopropusnog filtra prvog reda

Sl. 34 Amplitudska i fazna karakteristika filtra propusnika opsega učestanosti

1/laplace

Laplasova transformacija

1. Laplasova transformacija Već je pokazano da je funkcija

ste)t( =φ gde je s kompleksna promenljiva, sopstvena funkcija linearnih stacionarnih sistema. Na osnovu osobine sopstvene funkcije sledi da je odziv sistema y(t) na pobudu φ(t)

ste)s(G)t(y = gde je G(s) kompleksna konstanta (sopstvena vrednosti) odreñena izrazom

∫∞

∞−

−= dte)t(g)s(G st

uz uslov da integral ( 3) konvergira. Izloženi koncept se može posmatrati kao svojevrsno poopštenje Furijeove

transformacije, do koga se dolazi tako što se klasa funkcija preko kojih se signal pretstavlja proširuje na kompleksne eksponecijalne funkcije.

Sledeći ovu ideju Lapalasova transformacijaI signala x(t) se definiše kao

∫∞

∞−

−== dte)t(x)t(x)s(X stL

Zapazimo da se, ukoliko X(s) konvergira za s=jω, Furijeova transformacija može jednostavno dobiti kao poseban slučaj Laplasove transformacije.

Zapazimo da je, čak i ako X(s) ne konvergira za s=jω, moguće uspostaviti vezu izmeñu Laplasove i Furijeove transformacije. Neka je

ω+σ= js tada je

( ) ttjtt)j( e)t(xdtee)t(xdte)t(x)j(X σ−∞

∞−

ω−σ−∞

∞−

ω+σ− ===ω+σ ∫∫ F

Pokazuje se da, efekat množenja funkcije x(t) eksponencijalnom funkcijom e-σt, može da dovede do toga da X(s) konvergira za odreñene vrednosti s, čak i ako Furijeova transformacija X(jω) ne konvergira. Primer

Furijeova transformacija signala x(t)=e-ath(t) konvergira samo za a>0.

0a;ja

1)t(he at >

ω+=−

F

meñutim, Laplasova transformacija

( )

asRea0a;as

1

ja

1

edteedte)t(he)j(X)s(X)t(he t)a(

0

tjt)a(t)j(atat

−>⇒−>σ⇒>σ++

=ω+σ+

=

====ω+σ== σ+−∞

ω−σ+−∞

∞−

ω+σ−−− ∫∫ FL

konvergira i ako a nije veće od nule. Drugim rečima, za svaku vrednost parametra a, u ravni kompleksne promenljive s (s-ravni), postoji oblast za koju Lapalasova transformacija postoji.

Oblast vrednosti kompleksne promenčljive s za koju Laplasova transformacija konvergira zove se oblast konvergencije i označavaćemo je sa R (U anglosaksonskoj

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

( 5)

( 6)

( 7)

2/laplace

literaturi ova oblast se označava sa ROC – Region of Convergence). Za posmatrani primer oblast konvergencije data je na Sl. 1. Sa slike se vidi da samo kada je a>0 R uključuje imaginarnu osu, što znači da tada i Furijeova transformacija konvegira.

σσσσ

jωωωω

a>0

jωωωω

a<0

-a -a

Res>-a Res>-a

Slučaj kada je a=0, odnosno kada je x(t)=h(t), je poseban slučaj. Naime, tada R ne uključuje imaginarnu osu, odnosno X(s) ne konvergira za s=jω. To zapravo znači da se Furijeova transformacija ne može odrediti iz X(s). Meñutim, ako se dozvoli da X(jω) uključi i impulsne funkcije, tada se Furijeova transformacija odskočne funkcije ipak može odrediti. Na isti način, svi periodični signali koji zadovoljavaju Dirihleove uslove imaju Furijeovu transformaciju (koja je sastavljena isključivo od impulsnih funkcija), ali nemaju Laplasovu transformaciju. Može se reći da je ova činjenica osnovni razlog zašto se Furiejova transformacija posmatra odvojeno, a ne kao poseban slučaj Laplasove transformacije.

Primer Neka je x(t)=-e-ath(-t), tada je Laplasova transformacija

asRe;as

1dtedte)t(he)s(X

0t)sa(stat −<

+==−−= ∫∫

∞−

+−∞

∞−

−−

Činjenica da obe funkcije imaju istu Laplasovu transformaciju, a da se rezultat zapravo razlikuje samo po obalsti konvergencije, dovela je do toga da oblast postane sastavni deo Laplasove transformacije. Naime, samo u tom slučaju laplasova transformacija će, za svaki signal, biti jednoznačno odreñena.

Sl. 1 Oblast konvergencije Laplasove transformacije funkcije x(t)=e-ath(t): Res>-a

( 8)

Sl. 2 Oblast konvergencije Laplasove transformacije funkcije x(t)=-e-ath(-t): Res<-a

3/laplace

2. Diajgram polova i nula Kao i kod Furijeove transformacije, Laplasova transformacija je veoma često

realna racionalna funkcije kompleksne promenljive s

Rs,)s(A

)s(B)s(X ∈=

gde su B(s) i A(s) polinomi kompleksne promenljive s, reda m i n respektivno. Pri tome su m korena polinoma B(s) nule Laplasove transformacije, dok su n korena polinoma A(s) polovi Laplasove transformacije. Imajući u vidu da X(s) ne konvergira u polovima, izvesno je da oni moraju da leže izvan oblasti R. Sa druge strane nule mogu biti kako u oblasti tako i van nje. U tom smislu, nule i polovi striktno gledano kakrakterišu realnu racionalnu funkciju B(s)/A(s), a ne Laplasovu transformaciju X(s).

Ako se podsetimo da koreni polinoma u potpunosti odreñuju polinom do nivoa konstantnog faktora, onda se dolazi do zaključka da se Laplasova transformacija može koncizno prikazati grafički tako što se pored oblasti konvergencije, specificira i položaj polova ("x") i nula ("o").

Primer Neka je x(t)=e-ath(t)+ e-bth(t), a≠b. Tada je Laplasova transformacija odreñena sa

( )

)b,amax(sRe;bs

1

as

1dtedte

dte)t(hedte)t(hedte)t(he)t(he)s(X

0

t)sb(

0

t)sa(

stbtstatstbtat

−−>+

++

=+=

=+=+=

∫∫

∫∫∫∞

+−∞

+−

∞

∞−

−−∞

∞−

−−∞

∞−

−−−

Nadalje je

)b,amax(sRe;abs)ba(s

bas2

)bs)(as(

bas2

bs

1

as

1)s(X

2−−>

+++

++=

=++++

=+

++

=

Polovi ove funkcije odreñeni su sa p1=-a i p2=-b, a konačna nula sa z=-(a+b)/2. Budući da svaka realna racionalna funkcija ima jednak broj polova i nula, izvesno je da funkcija X(s) ima još jednu nulu u beskonačnosti. Samo sepo sebi razume da se beskonačne nule ne mogu prikazati grafički.

Primer Laplasova transformacija kauzalne sinusoidalne funkcije x(t)=cos(ω0t)h(t) može

se odrediti direktnom primenom Ojlerovih formula

( )

0sRe,s

s

js

1

js

1

2

1dtedte

dteee2

1dte)t(h)tcos()s(X

20

2000

t)tjs(

0

t)tjs(

0

sttjtjst0

00

00

>ω+

=

ω++

ω−=+=

=+=ω=

∫∫

∫∫∞

ω+−∞

ω−−

∞−ω−ω

∞

∞−

−

( 9)

( 10)

( 11)

Sl. 3 Dijagram polova i nula za funkciju x(t)=e-ath(t)+ e-bth(t)

( 12)

4/laplace

Lapalsova transformacija kauzalnog kosinusa ima par konjugovanih polova na imaginarnoj osi, jednu konačnu nulu u koordinatnom početku i jednu nulu u beskonačnosti (Sl. 4).

Zapazimo da se ni za ovu funkciju Furiejova transformacija ne može odrediti iz Laplasove, zato što oblast konvergencije ne uljučuje imaginarnu osu.

3. Osobine oblasti konvergencije Izloženi primeri ukazuju da je oblast konvergencije uvek ograničena pravim

linijama koje su paralelne sa ordinatnom osom. Nadalje, u svim posmatranim primerima ona počinje od nekog od polova racionalne funkcije. Prirodno je, dakle, da se postavi pitanje, da li se radi o slučajno odabranim primerima ili u tome ima neke zakonitosti. Da bi se dobio odgovor na postavljeno pitanje, treba se podsetiti činjenice da se svaka realna racionalna funkcija može rastaviti na parcijalne razlomke. Ako se predpostavi da

su svi polovi realni i prosti, onda će svi članovi razvoja biti oblika )ps(

K

+, pa se može

smatrati da potiču od funkcija oblika x(t)=e-pth(t) ili x(t)=-e-pth(-t). Pokazano je već da se za obe ove funkcije granice konvergencije nalaze tačno na polovima. Pri tome granice se razlikuju u zavisnosti od toga da li je signal ograničen sa leve strane ili sa desne strane.

Sličnim rezonovanjem mogu se izvesti zakonomernosti i za slučaj kada svi polovi nisu realni i prosti. Neupuštajući se u detaljnu analizu polova navešćemo samo opšte zaključke koji važe za oblast konvergencije.

1. Signali desne strane x(t)=0 za t<td Ako je x(t) signal desne strane i ako X(s) konvergira za neko s, onda je oblast

konvergencije Res>σmax, gde je σmax najveći realni deo koji ima neki od polova

2. Signali leve strane x(t)=0 za t>tl Ako je x(t) signal leve strane i ako X(s) konvergira za neko s, onda je oblast

konvergencije Res<σmin, gde je σmin najmanji realni deo koji ima neki od polova

3. Signali konačnog trajanja x(t)=0 za t<td i t>tl Ako je x(t) signal konačnog trajanja i ako X(s) konvergira za neko s, onda X(s)

mora da konvergira u celoj s-ravni. Iz ovoga, zapravo, sledi da Laplasova transformacija signala konačnog trajanja, ne može imati konačnih polova.

4. Signali neograničenog trajanja Konačno, ako neki signal x(t) nije ograničen ni sa jedne strane i ako X(s)

konvergira za neku vrednost s, onda je oblast konvergencije oblika σ1<Res<σ2, gde su σ1 i σ2 realni delovi polova

Sl. 4 Dijagram polova i nula za funkciju x(t)=cos(ωωωω0t)h(t)

5/laplace

Ovaj zaključak sledi iz činjenice da se signal neograničenog trajanja može prikazati zbirom signala desne strane i signala leve strane, što znači da će se njihove oblasti konvergencije u jednom delu preklopiti i da je time odreñena oblast konvergencije signala neograničenog trajanja.

Jedinična impulsna funkcija – signal ograničenog trajanja

1)s(X)t()t(x

s,edte)tt()s(X)tt()t(x 0stst00

=⇒δ=

∀=−δ=⇒−δ= −∞

∞−

−∫

Pravougaoni impuls - signal ograničenog trajanja

[ ]

s,s

eedte

dte)tt(h)tt(h)s(X)tt(h)tt(h)t(x

122

1

ststt

t

st

st2121

∀−

==

=−−−=⇒−−−=

−−−

∞

∞−

−

∫

∫

Zapaziti da je X(0)=t2-t1, tako da X(s) nema polova. Nule funkcije su odreñene sa

12 tt

k2jz

−π

=ω=

Signal neograničenog trajanja

[ ]

asRea,as

s2

as

1

as

1dtedte

dte)t(he)t(he)s(X)t(he)t(he)t(x

22

0t)as(

0

t)as(

statatatat

<<−−

=−

++

=+=

=−−=⇒−−=

∫∫

∫

∞−

−−∞

+−

∞

∞−

−−−

Funkcija X(s) ima dva pola p=±a i jednu konačnu nulu z=0.

4. Inverzna laplasova transformacija Polazeći od činjenice da se Laplasova transformacija može interpretirati kao

Furijeova transformacija signala x(t)e-σt, inverzna laplasova transformacija se može izvesti preko inverzne Furijeove transformacije.

( 13)

( 14)

( 15)

Sl. 5 Funkcija neograničenog trajanja i dijagram polova i nula

6/laplace

( )

∫

∫∞

∞−

ωσ−

σ−∞

∞−

ω−σ−

ωω+σπ

=ω+σ=

⇒==ω+σ

de)j(X2

1)j(Xe)t(x

e)t(xdtee)t(x)j(X

tjt

ttjt

1-F

F

Množenjem obe strane jednačine sa eσt dobija se

)sj(,dse)s(Xj2

1de)j(X

2

1)t(x

j

j

stt)j( =ω+σπ

=ωω+σπ

= ∫∫∞+σ

∞−σ

∞

∞−

ω+σ

tako da je inverzna Laplasova transformacija odreñena relacijom

∫∞+σ

∞−σ

− ω+σπ

==j

j

st1 dse)j(Xj2

1)s(X)t(x L

Iz relacije ( 18) se vidi da se inverzna laplasova transformacija može dobiti konturnom integracijom u s-ravni duž prave linije koja je paralelena sa ordinatnom osom. Dodajući tome i činjenicu da je funkcija X(s) definisana unutar neke oblasti konvergencije, izvesno je da se integracija mora izvršiti u toj oblasti. To nadalje znači da ako je oblast konvergencije odreñena sa σ1<Res<σ2, gde su σ1 i σ2 konačne ili beskonačne vrednosti, integracija se može vršiti duž bilo koje prave (σ-j∞) (σ+j∞) za koju je ispunjen uslov σ1<σ<σ2.

Potrebno je uočiti još jednu činjenicu. Naime, ako smo Furijeovu transformaciju shvatili kao predstavljanje neperiodičnih signala zbirom (integralom) beskonačnog niz sinusoida od kojih svaka ima drugačiju učestanost i težinski faktor sa kojim učestvuje u ukupnom signalu, onda se Laplasova transformacija u svetlu relacije ( 5) može interpretirati kao slično predtsavljanje funkcije, s tim što je svaka sinusoida dodatno prigušena istim faktorom prigušenja (σ).

Za klasu sistema za koju je Laplasova transformacija realna racionalna funkcija, inverzna Laplasova transformacija se može odrediti i predstavljanjem funikcije pomoću parcijalnih razlomaka. Za svaki od parcijalnih razlomaka se inverzna Laplasova transformacija moža odrediti direktno korišćenjem tablica Laplasove transformacije, a na osnovu definisane oblasti konvergencije.

Ukoliko se pretpostavi da su svi polovi funkcije X(s) prosti, tada je

( )∏∑==

−===n

1iin

n

0i

ii psasa)s(A;

)s(A

)s(B)s(X

( )

( )

<−

=−

+=+

===

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

nmps

K

nmps

CC

)s(A

)s(BC

sa

sb

)s(A

)s(B)s(X

n

1i i

i

n

1i i

i0

10

n

0i

ii

m

0i

ii

gde je

n

n0 a

bC = celobrojni deo količnika

)s(A

)s(B,

B1(s) ostatak pri deljenju, B1(s)=B(s) - C0A(s)

( 16)

( 17)

( 18)

( 19)

( 20)

( 21)

7/laplace

( )

( )n,,2,1i

)s(A

)s(BpslimK

)s(A

))s(BpslimC

ips

i

1i

psi

i

i ⋯=

−=

−=

→

→

Obratiti pažnju na činjenicu da se koeficijenti razvoja zapravo računaju na isti način. Jednina razlika je u tome što ukoliko je red polinoma u brojiocu jednak redu polinoma u imeniocu, onda je neophodno da se realna racionalna funkcija transformiše tako da se predstavi zbirom konstante i realne racionalne funkcije kod koje je red polinoma u brojiocu za jedan manji od reda polinoma u imeniocu (prava racionalna funkcija).

Primer Neka je

)3s)(1s(

2

3s4s

2

)s(A

)s(B)s(X

2 ++=

++==

Razvoj funkcije na parcijalne razlomke daje

)3s(

1

)1s(

1

)s(A

)s(B)s(X

+−

+==

Posmatrana funkcija ima dva realna pola p1=-1 i p2=-3. Budući da je max(p1, p2)=-1 i min(p1, p2)=-3, to znači da, za oblast konvergencije postoje tri mogućnosti: a) x(t) je signal desne strane Ra: Res> max(p1, p2)=-1 b) x(t) je signal leve strane Rb: Res< min(p1, p2)=-3 c) x(t) je signal ograničenog trajanja Rc: -3> Res<-1 Odredićemo signal x(t) za svaku od ovih oblasti konvergencije.

a) Res> -1 Iz jednačine ( 7) vidi se da je

)t(heas

1asReza at1 −− =

+−> L

Na osnovu ovog rezultata za funkciju X(s) ( 24), se direktno dobija

[ ] )t(hee)s(x)t(x;1sRe

)t(he3s

13sRe

)t(he1s

11sRe

t3t1

t31

t1

−−−

−−

−−

−==−>⇒

=

+−>

=

+−>

L

L

L

b) Res< -3 Na isti način polazeći od rezultata ( 8) vidi se da važi

)t(heas

1asReza at1 −−=

+−< −−

L

dobija se

( 22)

( 23)

( 24)

Sl. 6 Moguće oblasti konvergencije Laplasove transformacije X(s)

( 25)

( 26)

( 27)

( 28)

8/laplace

[ ] )t(hee)s(x)t(x;3sRe

)t(he3s

13sRe

)t(he1s

11sRe

tt31

t31

t1

−+==−<⇒

−−=

+−<

−−=

+−<

−−−

−−

−−

L

L

L

c) –3> Res<-1 Kombinujući prethodna dva rezultata dobija se

)t(he)t(he)s(x)t(x;1sRe3

)t(he3s

13sRe

)t(he1s

11sRe

t3t1

t31

t1

−−−

−−

−−

−−−==−<>−⇒

=

+−>

−−=

+−<

L

L

L

Primer Neka je

2s

1

6

7

s

1

6

1

3

2

)2s(s3

1s4

3

2

s6s3

1s2

)s(A

)s(B)s(X

2

2

+−−=

+−−

+=+

−==

I u ovom slučaju postoje tri moguće oblasti konvergencije, što znači da inverzna Laplasova transformacija može da ima jedan od tri moguća oblika. Polazeći od činjenice da je ( 13)

)t(11 δ=−L

a) Res>0

)t(he

6

7)t(h

6

1)t(

3

2)s(x)t(x

)t(he2s

12sRe

)t(hs

10sRe

t21

t21

1

−−

−−

−

−−δ==⇒

=

+−>

=

>L

L

L

b) Res< -2

)t(he

6

7)t(h

6

1)t(

3

2)s(x)t(x

)t(he2s

12sRe

)t(hs

10sRe

t21

t21

1

−+−+δ==⇒

−−=

+−<

−−=

<−−

−−

−

L

L

L

c) –2>Res<0

)t(he

6

7)t(h

6

1)t(

3

2)s(x)t(x

)t(he2s

12sRe

)t(hs

10sRe

t21

t21

1

−−

−−

−

−−+δ==⇒

=

+−>

−−=

<L

L

L

5. Osobine Laplasove transformacije Imajući u vidu da se Laplasova transformacija može interpretirati kao Furijeova

transformacija funkcije x(t)e-σt, prirodno je očekivati da su osobine Laplasove transformacije u potpunosti analogne osobinama Furijeove transformacije.

Linearnost Ako se predpostavi da su R1 i R2 oblasti konvergencije Laplasove transformacije

funkcija x1(t) i x2(t)

21212121 RRR);s(bX)s(aX)t(xb)t(xa)t(bx)t(ax ∩⊃+=+=+ LLL

Ukoliko funkcija aX1(s)+b X2(s) nemaju zajedničkih faktora u brojiocu i imeniocu

( 29)

( 30)

( 31)

( 32)

( 33)

( 34)

( 35)

9/laplace

tada je R=R1∩R2. Meñutim, ukoliko postoji zajednički faktor tada oblast konvergencije rezultujuće Laplasaove transformacije može biti i šira od preseka oblasti R1 i R2, ali je izvesno da sadrži presek skupova R1 i R2.

Primer Posmatrajmo dva signala

asRea:R;)as)(as(

s2)s(X)t(he)t(he)t(x

asRe:R;as

1)s(X)t(he)t(x

22atat

2

11at

1

<<−−+

=⇒−−=

−>+

=⇒=

−

−

odredićemo Laplasove transformacije zbira i razlike ovih signala

21

2121

RRR

asRea:R;)as)(as(

as3

)s(X)s(X)t(x)t(x)s(X

∩=

⇒<<−−+

−=

=+=+= L

21

2121

RRR

asRe:R;)as(

1

)as)(as(

)as(

)s(X)s(X)t(x)t(x)s(X

∩⊃

⇒<−−

=−+

+−=

=−=−= L

Primetimo, da je razlika signala zapravo

jednaka x1(t)-x2(t) = eath(-t). otuda dolazi i do skraćivanja pola i nule u Laplasovoj transformaciji, pa je i oblast konvergencije proširena.

Pomeranje u vremenskom domenu

R'R);s(Xe)t(xe)t(x ss ===τ− τ−τ−LL

gde je R oblast konvergencije Laplasove transformacije funkcije x(t), a R' oblast konvergencije Laplasove transformacije funkcije x(t-τ) Dokaz

R'R);s(Xe)t(xede)(xe

de)(xdte)t(x)t(x

ssss

)(sst

===λλ=

=λλ=τ−=τ−

τ−τ−∞

∞−

λ−τ−

∞

∞−

τ+λ−∞

∞−

−

∫

∫∫

L

L

Pomeranje u kompleksnom domenu (modulacija)

00ts sReR'R);ss(X)t(xe 0 +=−=L

Dokaz

[ ]

000

0t)ss(sttsts

sReR'RsResRessRe

);ss(Xdte)t(xdte)t(xe)t(xe 000

+=⇒−=−

−=== −−∞

∞−

−∞

∞−∫∫L

gde je korišćena činjenica da je oblast konvergencije Laplasove transformacije funkcije x(t) odreñena granicom za Res.

( 36)

Sl. 7 Oblasti konvergencije i njihov presek

( 37)

( 38)

σσσσ

jωωωω

-a a

R2

R1

10/laplace

Primetimo da je modulacija dualna operacija sa operacijom pomeranja signala u vremenskom domenu.

Skaliranje nezavisne promenljive

aR'R;a

sX

|a|

1)at(x =

=L

Dokaz

aR'Ra

sRea/sRe;

a

sX

|a|

1de)(x

|a|

1

0ade)(xa

1

0ade)(xa

1

dte)at(x)at(x

)a/s(

)a/s(

)a/s(

st

=⇒=

=λλ=

=

<λλ−

>λλ

==

∫

∫

∫∫

∞

∞−

λ−

∞

∞−

λ−

∞

∞−

λ−∞

∞−

−L

Posledica: ( ) R'R;sX)t(x −=−=−L

Diferencijacija

R'R);s(sX)t(xsdt

)t(dx⊃==

LL

1 1 1

2 2 2

j j jst st st

j j j

dx(t) dy(t) X(s)e ds sX(s)e ds Y(s)e ds

dt dt j j j

dx(t)Y(s) sX(s) L y(t) L ; R ' R

dt

σ+ ∞ σ+ ∞ σ+ ∞

σ− ∞ σ− ∞ σ− ∞

= = = = ⇒

π π π

= = = ⊃

∫ ∫ ∫

Oblast konvergencije može da se proširi samo ako funkcija X(s) ima pol za s=0, koji se skraćuje prilikom množenja sa s. U protivnom R'=R.

Primer

R'RsRe:'R;1s

1s

dt

)t(dh)t(

dt

)t(dx

0sRe;s

1)s(X)t(h)t(x

⊃⇒∞<<∞−==

⇒δ=

>=⇒=

L

Dualna relacija operaciji diferenciranja

R'R;ds

)s(dX)t(tx ==−L

Dokaz

R'R;)t(txdte)t(txds

)s(dXdte)t(x)s(X stst =−=−=⇒= ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−L

( 39)

( 40)

( 41)

( 42)

11/laplace

Konvolucija u vremeskom domenu

yx RR'R);s(Y)s(X)t(y)t(x ∩⊃=∗L

Dokaz

[ ]

yx

ssst

st

RR'R);s(Y)s(X

)s(Yde)(xd)s(Ye)(xddte)t(y)(x

dted)t(y)(xd)t(y)(x)t(y)t(x

∩⊃=

=

λλ=λλ=λ

λ−λ=

=

λλ−λ=

λλ−λ=∗

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫

∞

∞−

λ−∞

∞−

λ−∞

∞−

∞

∞−

−

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

LL

Da bi Laplasova transformacija konvolucije egzistirala moraju da konvergiraju Laplasove transformacije oba signala. Otuda je oblast konvergencije konvolucije odreñena presekom oblasti konvergencije oba signala, s tim što se ona može proširiti ukoliko doñe do skraćivanja zajedničkih faktora.

Integracija

0sReR'R);s(Xs

1)t(x

s

1d)(x

t

>∩⊃==

λλ∫∞−

LL

Dokaz Osobina integracije se direktno izvodi iz konvolucije.

0sReR'Rs

1)s(X)s(H)s(X)t(h)t(xd)(x

d)(x)t(h)t(xd)t(h)(xd)(x

t

tt

>∩⊃==∗=

λλ⇒

⇒λλ=∗=λλ−λ=λλ

∫

∫∫ ∫

∞−

∞−∞−

∞

∞−

LL

Promena oblasti konvergencije može da potiče od uvoñenja dodatnog pola u s=0, koji se neće skratiti ukoliko X(s) nema nulu u s=0.

6. Funkcija prenosa linearnih stacionarnih sistema Podsetimo se da je odziv y(t) linearnog stacionarnog sistema čiji je jedinični

impulsni odziv g(t), na pobudu u(t) odreñen konvolucijom signala u(t) i g(t). Uzimajući u obzir osobinu konvolucije, sledi da je Laplasova transformacija odziva

ugy RRR);s(U)s(G)s(Y)t(u)t(g)t(y ∩⊃=⇒∗=

Funkcija

∫∞

∞−

−= dte)t(g)s(G st

naziva se funkcija prenosa sistema. Očigledno je da ovako definisana funkcija prenosa predstavlja poopštenje frekvencijske funkcije prenosa koja je definisana kao Furiejova transformacija jediničnog impulsnog odziva.

Imajući u vidu činjenicu da jedinilni impulsni odziv u potpunosti odreñuje lienaran stacionaran sistem, kao i činjenicu da se on, primenom inverzne Laplasove

( 43)

( 44)

( 45)

( 46)

12/laplace

transformacije, može dobiti iz funkcije prenosa, očigledno je da i funkcija prenosa u potpunosti opisuje taj sistem.

Primer Neka je jedinični impulsni odziv sistema g(t)=e-2th(t). Odrediti odziv ovog sistema

na pobudu u(t)=e-th(-t)

)t(he)t(he)s(Y)t(y

1sRe2;1s

1

2s

1

)1s)(2s(

1)s(Y

1sRe;1s

1)s(U

2sRe;2s

1)s(G

)s(U)s(G)s(Y

tt21 −+==

−<<−+

−+

=++

−=

−<+

−=

−>+

=

=

−−−L

Funkcije prenosa sistema koji realizuje elementarne operacije

• Čisto transportno kašnjenje

s;e)s(G)tt()t(g 0st0 ∀=⇒−δ= −

• Diferencijator

s;s)s(G)s(sU)s(Ydt

)t(du)t(y ∀=⇒=⇒=

• Integrator

0sRe;s

1)s(G)t(hd)()t(g

t

>=⇒=λλδ= ∫∞−

7. Neke osobine lineranih stacionarnih sistema • Kauzalni i antikauzalni sistemi

Impulsni odziv kauzalnog sistema je signal desne strane, što znači da će oblast konvergencije njegove funkcije prenosa biti oblika Res>σmax.

Impulsni odziva antikauzalnog sistema je signal leve strane, pa će oblast konvergencije njegove funkcije prenosa biti oblika Res<σmin.

U načelu, navedeni oblici oblasti konvergencije su potrebni, ali ne i dovoljni uslovi kauzalnosti i antikauzalnosti sistema. To zapravo znači da sistem čija funkcija prenosa ima oblast konvergencije Res>σmax nije nužno kauzalana, niti je sistem za kod koga je oblast konvergencije Res<σmin nužno anitkauzalan. Navedeni uslovi su dovoljni samo kod onih sistema čije se funkcije prenosa mogu razviti u parcijalne razlomke.

• Stabilnost sistema Pri analizi linearnih stacionarnih sistema pokazano je da je uslov BIBO stabilnosti

sistema da jedinični impulsni odziv bude kompletno integrabilan, odnosno da bude ispunjen uslov:

∞<∫∞

∞−

dt)t(g

Imajući u vidu da ovaj uslov pretstavlja istovremeno i Dirichlet-ov uslov za egzistenciju Furijeove transformacije, sledi da bi uslov stabilnosti mogao da se interperetira i sa ove tačke gledišta. Drugim rečima, sistem čije je jedinični impulsni odziv g(t) je BIBO

( 47)

( 48)

( 49)

( 50)

( 51)

13/laplace

stabilan ukoliko se njegova Furijeova transformacija G(jω) može dobiti iz Laplasaove transformacije G(s). Očigledno je da će ovaj uslov biti ispunjen samo ako oblast konvergencije G(s) obuhvata imaginarnu osu.

Četiri moguće oblasti konvergencije BIBO stabilnih sistema date su na Sl. 8. Ako se podsetimo da svi polovi sistema moraju da leže izvan oblasti konvergencije, onda sledi da je kauzalni sistem stabilan ukoliko se svi polovi funkcije prenosa nalaze u levoj poluravni s-ravni.

σσσσ

jωωωω

σσσσ

jωωωω

σσσσ

jωωωω

σσσσ

jωωωω

kauzalansistem

antikauzalansistem

Impulsni odzivogranicenog trajanja

Impulsni odzivneogranicenog

trajanja

• Inverzni sistemi Linearan stacionaran sistem čiji je jedinični imuplsni odziv g(t) je invertibilan

ukoliko postoji sistem čiji je jedinični impulsni odziv gi(t) takav da je

)t()t(g)t(gg ii δ=∗⇒∃ Sa gledišta Laplasove transformacije to znači da je funkcija prenosa inverznog sistema jednaka repricočnoj funkciji prenosa sistema

)s(G

1)s(G1)s(G)s(G)s(G iii =⇒=⇒∃

Iz relacije ( 53) se vidi da su polovi sistema jednaki nulama inverznog sistema, dok su nule sistema jednake polovima inverznog sistema. Imajući na umu da jedan isti izraz za Laplasovu transformaciju može imati različite oblasti konvergencije, izvesno je da

Sl. 8 Četiri moguće oblasti konvergencije za BIBO stabilne sisteme

( 52)

( 53)

14/laplace

inverzni sistem nije jednoznačno odreñen. U principu, pri definisanju inverznog sistema moraju se postaviti i dodatni uslovi kojima se precizira kakav treba da bude inverzni sistem (npr. kauzalnost, stabilnost itd.) Primer

Posmatrajnmo kauzalan, linearan stacionaran sistem čija je funkcija prenosa

2sRe:R;2s

1s)s(G −>

++

=

Za ovaj sistem moguće je naći dva inverzna sistema

1sRe:R;1s

2s)s(G

1sRe:R;1s

2s)s(G

i2

i1

−<++

=

−>++

=

Budući da je siste Gi1(s) kauzalan i stabilan, logično je da se on usvoji kao inverzni

sistrem.

Primer Posmatrajnmo kauzalan, linearan stacionaran sistem čija je funkcija prenosa

2sRe:R;2s

1s)s(G −>

+−

=

Za ovaj sistem moguće je naći dva inverzna sistema

1sRe:R;1s

2s)s(G

1sRe:R;1s

2s)s(G

i2

i1

<−+

=

>−+

=

Prvi od dva inverzna sistema je kauzalan i nestabilan, dok je drugi nekauzalan, ali stabilan, pa se izbor inverznog sistema mora napraviti kao kompromis ove dve osobine.

8. Povezivanje sistema i ekvivalentne transformacije U cilju analize sistema pogodno je da se oni prikazuju

grafički u formi blok dijagrama. Ova reprezentacija omogućava da se formiranjem jednostavnih algebarskih relacija koje povezuju signale u nekom složenom sistemu odredi njegova funkcija prenosa. Drugim rečima, uz pomoć algebarskih relacija ostvaruje se ekvivalentna transformacija jednog složenog sistema u sistem sa jednom funkcijom prenosa.

• Redna i paralelna sprega sistema

Sl. 9 Blok dijagram sistema

Sl. 10 Ekvivalentne transformacije redne i paralelne veze sistema

15/laplace

Već je pokazano da se impulsni odziv sistema koji su rednoj ili paralelenoj vezi dobija, respektivno konvlucijom, odnosno sabiranjem pojedinačnih impulsnih odziva. Uzimajući u obzir osobinu konvolucije Laplasove transformacije jasno je da važe sledeće relacije.

Redna veza sistema: )s(G)s(G)s(G 21= Paralelna veza sistema: )s(G)s(G)s(G 21 +=

• Sistem sa povratnom spregom U realizaciji različitih sistema pokazuje se da je veoma pogodno da se posmatra

sistem sa zatvorenom negativnom povratnom spregom, u kome se signal sa izlaza sistema vraća na ulaz. Ovom spregom se, zapravo, postiže da se informacija o ponašanju izlaza y(t) sistema poredi sa informacijom o željenom ponašanju (r(t)). Sistem se, u tom slučaju, pobuñuje signalom razlike željenog i ostvarenog ponašanja (e(t)).

r(t) y(t)ΣΣΣΣ-

+ G(s)

H(s)

e(t)r(t) y(t)

)s(H)s(G1

)s(G

++++

Ekvivalentna transformacija sistema sa zatvorenom negativnom povratnom spregom dobija se jednostavnim algebarskim relacijama. Sa slike se vidi da je

)s(R)s(G)s(H1

)s(G)s(Y)s(Y)s(H)s(G)s(R)s(G)s(E)s(G)s(Y

)s(Y)s(H)s(R)s(E

+=⇒−==

−=

• Ekvivalentna transformacija složenih sistema U cilju ilustracije postupka odreñivanja ekvivalentne funkcije prenosa

posmatraćemo sistem na Sl. 12.

ΣΣΣΣ-

+

H1(s)

r(t) y(t)G1(s) G2(s) G4(s)

G3(s)

H2(s)

ΣΣΣΣ-

++

Uočavajući rednu vezu sistema G1 i G2, kao i vezu sa povratnom spregom G4 i H1, i zamenjujući tza dva dela sistema ekvivalentnim funkcijama prenosa dobija se sistem na Sl. 13.

( 54)

Sl. 11 Sistem sa negativnom zatvorenom spregom i njegova ekvivalentne transformacija

( 55)

Sl. 12 Složeni sistem

16/laplace

ΣΣΣΣ+y(t)

G1(s)G2(s)

G3(s)

H2(s)

ΣΣΣΣ-

++

)s(H)s(G1

)s(G

14

4

++++

r(t)

Nadalje, zamenjujući paralelnu spregu sistema G1G2 i G3 dobija se sistema na Sl. 14.

y(t)G1(s)G2(s)+G3(s)

H2(s)

ΣΣΣΣ-

+)s(H)s(G1

)s(G

14

4

++++

r(t)

Konačno, dobijeni sistem je u jednoj od tri elementarne forme, tako da se njegova ekvivalentna transformacija dobija direktno (Sl. 15)

r(t) y(t)[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]])s(H)s(G1

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(H1

)s(H)s(G1

)s(G)s(G)s(G)s(G

14

4321

14

4321

++++++++++++

++++++++

9. Unilateralna (jednostrana) Laplasova transformacija Laplasova transformacija definisana izrazom ( 4) se često označava i kao

bilateralna Laplasova transformacija (BLT) zato što se granice integracije protežu od -∞ do +∞. Kada se bilateralna Laplasova transformacija primenjuje na kauzalne signale (x(t)=0 za t<0), izvesno je da više nema smisla da donja granica integracije bude -∞. Ako se podsetimo se da su zapravo svi realni, fizički ostvarljivi signali i sistemi kauzalni, onda ne bi trebalo da čudi da je ovom pitanju posvećena posebna pažnja. Otuda se došlo na ideju, da se za kauzalne signale definiše unilateralna Laplasova transformacija (ULT)

∫∞

−

−

==

0

stdte)t(x)t(x)s(X L

Sl. 13 Ekvivalentna transformacija sistema sa Sl. 12

Sl. 14 Ekvivalentna transformacija sistema sa Sl. 13

Sl. 15 Ekvivalentna transformacija sistema sa Sl. 14

( 56)

17/laplace

Unilateralna Laplasova transformacija je veoma korisna za analizu kauzalnih sistema i odreñivanje odziva na kauzalnu pobudu. Pri tome, pošto su funkcije za koju se Laplasova transformacija odreñuje kauzalne i oblast konvergencije postaje sasvim odreñena i definisana je kao Res>σmax, gde je σmax najveći realni deo koji ima neki od polova. Kao što je već rečeno, kauzalan sistem će biti stabilan samo ako se svi polovi funkcije prenosa nalaze u levoj poluravni s-ravi, odnosno ako je σmax<0.

U samoj primeni unilateralne Laplasove transformacije na kauzalne sisteme postavlja se pitanje kako treba da se posmatra donja granica integrala. Naime, čitav niz kauzalnih signala ima prekid u toj tačci, što znači da se leva i desna granica razlikuju, ili da (kao što je to slučaj sa impulsnom i odskočnom funkcijom) vrednost funkcije za t=0 čak i nije definisana. Pokazuje se da ovo pitanje nije samo teorijske prirode, već da ima i praktične posledice u analizi sistema. Otuda se i odgovor, zapravo, dobija iz fizičkog razumevanja celog problema.

Ako se posmatra bilatelarna Laplasova transformacija vidi se da se integral može rastaviti na sledeći način

∫∫∫∫∞

−−

∞−

−∞

∞−

−

+

+

−

−

++===

0

st0

0

st0

stst dte)t(xdte)t(xdte)t(xdte)t(x)t(x)s(X L

Ako je reč o kauzalnim signalima i stemima onda je izvesno da je

0dte)t(h)t(x0

st =∫−

∞−

−

Preostaje dakle, da se ispita srednji član izraza ( 57). Pokazuje se da njegova vrednost zavisi od prirode signala čija se Laplasova transformacija traži. Naime, ukoliko se radi o kauzalnoj pobudi koja ne sadrži impulsni signal, odnosno ako je pobudni signal oblika u(t)h(t) tada je

0st st st

0 0 0

u(t)h(t) 0; t 0 u(t)h(t)e dt 0 U(s) u(t)h(t)e dt u(t)h(t)e dt

+

− − +

∞ ∞+ − − −≠ ≥ ⇒ = ⇒ = =∫ ∫ ∫

Ukoliko je meñutim, pobuda impulsnog tipa, onda je izvesno da je

0

st st

0 0

u(t) (t) u(t)e dt 1 (s) u(t)e dt 1

+

−

∞− −

−

= δ ⇒ = ⇒ ∆ = =∫ ∫

Konačno, funkcija čija se Laplasova transformacija odreñuje može biti i jedinični impulsni odziv nekog sistema koji je ili linearan ili inkrementalno linearan. Naime, u trenutku otpočinjanja dejstva pobude (t=0), sistem ne mora biti relaksiran, što znači da g(0-) ne mora biti jednako 0. Drugim rečima, ukoliko je taj sistem bio pobuñivan, pre nego što mi počinjemo da ga posmatramo, onda je lako moguće da u njemu postoji neka sakupljena energija, odnosno da njegov početni uslov (odziv nultog ulaza) nije jednak nuli. U tom slučaju integracija mora da se započne od 0-. Otuda se unilateralna Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva odreñuje kao

st

0

G(s) g(t)e dt∞

−

−

= ∫

Ako se sve što je dosad rečeno sumira, vidi se da se unilateralna laplasova transformacija računa uvek od 0-, s tim što se ova granica, kod kauzalnih signala, zbog same prirode ovih signala pomera na 0+. Česta je praksa da se pri razmatranju

( 57)

( 58)

( 59)

( 60)

( 61)

18/laplace

unilateralne transformacije kao donja granica stavlja samo "0", dok se ukoliko funkcija ima prekid podrazumeva da je to 0-.

10. Osobine Unilateralne Laplasove transformacije Sa izuzetkom operacije diferenciranja i integracije, sve osobine bilateralne

Laplasove transformacije, važe i za unilateralnu transformaciju. Razmotrićemo zato samo neke posebne karakteristike unilateralne Laplasove

transformacije. Pri tome se smatra da je signal x(t)=0 za t<0.

Diferenciranje

)0(x)s(sX)0(x)t(xsdt

)t(dx −− −=−=

LL

Dokaz Primenom parcijalne integracije, pokazuje se da važi

)0(x)s(sXdte)t(xse)t(xdtedt

)t(dx

dt

)t(dx

0

st

0

stst

0

−∞

−∞−−∞

−=+==

∫∫−

−−

L

Primenjujući isti postupak za drugi izvod funkcije x(t) dobija se 2

22

d x(t)L s X(s) sx(0 ) x(0 )

dt− −

= − −

ɺ

Tako da za opšti slučaj važi da je n

n n 1 n 2 n 3 (n 2) (n 1)n

d x(t)L s X(s) s x(0 ) s x(0 ) s x(0 ) sx (0 ) x (0 )

dt− − − − − − − − − −

= − − − − − −

ɺ ɺɺ ⋯

Primedba Imajući u vidu činjenicu da kauzalni signal x(t) često ima prekid prve vrste za t=0,

potrebno je podsetiti se da se pri diferenciranju takvog signala javlja jedinični impuls za t=0. Odnosno, svaki kauzalni signal može da se prikaže kao proizvod nekauzalnog signala i jedinične odskočne funkcije, tako da je

( ))t()t(x

dt

)t(dx

dt

)t(dh)t(x)t(h

dt

)t(dx

dt

)t(h)t(xd

0tzadefinisano)t(h)t(x

δ+=+=⇒

⇒≥

Integracija

s

1)s(Xd)(x

t

0

=

λλ∫−

L

Dokaz Kao i kod bilateralne transformacije ova osobina se može izvesti uz pomoć

konvolucije sa jediničnom odskočnom funkcijom, uzimajući u obzir i osobine funkcije x(t)

s

1)s(X)s(H)s(X)t(h)t(xd)(x

d)(x)t(h)t(xd)t(h)(xd)(x

t

0

t

0

t

==∗=

λλ⇒

⇒λλ=∗=λλ−λ=λλ

∫

∫∫ ∫

−

−∞−

∞

∞−

LL

Prva granična teorema

)s(sXlim)0(xs ∞→

+ =

( 62)

( 63)

( 64)

( 65)

( 66)

( 67)

19/laplace

Dokaz Polazeći od izraza za diferenciranje dobija se

( )0

st st st

s s s s0 0 0

0 (R: Res

dx(t) dx(t) dx(t)lim e dt lim e dt lim e dt lim sX(s) x(0 )

dt dt dt

+

+− −

∞ ∞− − − −

→∞ →∞ →∞ →∞

>σ

= + = −∫ ∫ ∫

Pri odreñivanjuu granične vrednosti izraza na levoj strani jednačine moguća su dva slučaja:

a) signal x(t) nema prekid u t=0 – tada je

[ ])0(x)0(xlimdtedt

)t(dxlim

s

st0

0s

−+

∞→

−

∞→−=∫

+

−

b) signal x(t) ima prekid prve vrste za t=0 – tada je

[ ] [ ])0(x)0(xlimdte)t()0(x)0(xlimdtedt

)t(dxlim

s

st0

0s

st0

0s

−+

∞→

−−+

∞→

−

∞→−=δ−= ∫∫

+

−

+

−

Budući da je u oba slučaja vrednost integrala ista, dobija se

[ ] [ ] )s(sXlim)0(x)0(x)s(sXlim)0(x)0(xlimsss ∞→

+−

∞→

−+

∞→=⇒−=−

Druga granična teorema

Uz uslov da imaginarna osa pripada oblasti konvergencije X(s), važi )s(sXlim)t(xlim)(x

0st →∞→==∞

Dokaz Polazeći od osobine diferenciranja dobija se

( )

( )

( )

( ) ( ))s(sXlim)t(xlim)0(x)s(sXlim)0(x)t(xlim

)0(x)s(sXlimdtdt

)t(dx

)0(x)s(sXlimdtedt

)t(dxlim

)0(x)s(sXlimdtedt

)t(dxlim

0st0st

0s0

0s0

st

0s

0s

st

00s

→∞→

−

→

−

∞→

−

→

∞

−

→

∞−

→

−

→

−∞

→

=⇒−=−⇒

⇒−=⇒

⇒−=

⇒

⇒−=

∫

∫

∫

−

−

−

Primedba Potrebno je zapaziti da je ovaj dokaz izveden uz uslov da )t(xlim

t ∞→ postoji.

Ukoliko to nije slučaj, ova relacija ne važi. Naime, tada je moguće izračunati vrednost izraza )s(sXlim

0s→ ali ta vrednost nije jednaka vrednosti signala u beskonačnosti.

Primer Posmatrajmo sinusoidni signal x(t)=sinω0t. Ovaj signal nema definisanu graničnu

vrednost kada t→∞. To znači da druga granična teorema ne važi. Meñutim, ako se potraži unilateralna Laplasova transformacija signala x(t) vidi se da granična vrednost

)s(sXlim0s→

postoji

( 68)

20/laplace

0)s(sXlims

)s(X0s2

02

0 =⇒ω+

ω=

→

Primetimo da BIBO stabilnost sistema podrazumeva ograničenost odziva sistema na ograničenu pobudu. To znači da kod ovakvih sistema granična vrednost

)t(xlimt ∞→

postoji. Ako se potsetimo da se, sa gledišta unilateralne Laplasove

transformacije, uslov stabilnosti svodi na zahtev da se svi polovi funkcije prenosa nalaze u levoj poluravni s-ravni, onda je izvesno da će za sve odzive BIBO stabilnih sistema na ograničenu pobudu važiti druga granična teorema.

(Napomenimo da se teoriji kompleksnih promenljivih pokazuje se da druga granična teorema važi za sve signale čije Laplasove transformacije nemaju polova na imaginarnoj osi i u desnoj poluravni s-ravni, osim eventualno prostog pola u koordinatnom početku)

Primer Neka je funkcija prenosa jednog kauzalnog sistema

)2s)(1s(

3s)s(G

+++

=

Predpostavljajući da je sistem relaksiran, odrediti vrednost odziva sistema na jediničnu odskočnu pobudu h(t) za t=0 i t=∞.

Odziv sistema na jediničnu odskočnu pobudu definisan je izrazom

s

1

)2s)(1s(

3s)s(H)s(G)s(Y

+++

==

Primenom prve granične teoreme direktno se dobija

0)s(sYlim)0(ys

==∞→

+

Budući da dati sistem ima dva pola (p1=-1 i p2=-2) i da se oba nalaze u levoj poluravni s-ravni, on je BIBO stabilan. (Pošto je sistem kauzalan, oblast konvergencije je odreñena sa Res>-1). Kako je nadalje i pobuda ograničena to i odziv sistema mora biti ograničen, tako da važi druga granična teorema. Njenom primenom dobija se da je

5.1)s(sGlim)t(ylim)(y0st

===∞→∞→

Dobijeni rezultat se može proveriti ako se odredi odziv sistema y(t). Razvojem funkcije Y(s) u parcijalne razlomke i odreñivanjem inverzne Laplasove transformacije dobija se

5.0)2s)(1s(s

3s)2s(limC

2)2s)(1s(s

3s)1s(limB

5.1)2s)(1s(s

3sslimA

sugde;2s

C

1s

B

s

A

)2s)(1s(s

3s)s(Y

0s

1s

0s

=++

++=

−=++

++=

=++

+=

++

++=

+++

=

→

−→

→

Nadalje se, na osnovu tablica Laplasove transformacije, odreñuje inverzna transformacija tako da se dobije odziv sistema

[ ] )t(he5.0e25.1)t(y t2t −− +−= Iz odziva se direktno vidi da je

5.1)t(ylim;05.025.1)0(yt

==+−=∞→

+

( 69)

( 70)

( 71)

( 72)

21/laplace

11. Prelazni proces i stacionarno stanje sistema Pojam sopstvenih funkcija sistema uveden je sa idejom da se odredi klasa

pobudnih funkcija za koju će linearni stacionarni sistem imati odziv istog oblika kao i pobudna funkcija. Pri tome je, primenom konvolucije sa jediničnim impulsnim odzivom pokazano da je za klasu funkcija oblika est ovaj uslov ispunjen. Podsetimo se da je odziv sistema na eksponencijalnu pobudu jednak

stsst)t(s e)s(Gd)(geed)(ged)(g)t(u)t(y =λλ=λλ=λλλ−= ∫∫∫∞

∞−

λ−∞

∞−

λ−∞

∞−

gde G(s) označva bilateralnu Laplasovu transformaciju jediničnog impulsnog odziva. Drugim rečima, odziv je takoñe eksponencijalni signal, pri čemu su amplituda i faza tog signala odreñeni amplitudom i fazom funkcije G(s).

Ideja o korišćenju unilateralne Laplasove transformacije zasniva se na pretpostavci da je pobuda sistema kauzalna a da je sam sistem ili kauzalan ili inkrementalno linearan. Otuda je prirodno da se postavi pitanje da li je kauzalna funkcija oblika esth(t) takoñe sopstvena funkcija sistema.

Ako se potraži odziv linearnog stacionarnog sistema pobuñenog ovom funkcijom vidi se da je

−

−

λ−

∞−

λ−∞

∞−

λ−

<λ=λλλ=

>λ=λ−=λλ=λλλ−=

∫

∫∫

0za0)(gd)(gee

tza0)t(hd)(geed)(g)t(he)t(y

t

0

sst

tsst)t(s

To zapravo znači da odziv sistema neće nužno biti istog oblika kao i pobudni signal. Meñutim, ukoliko je sistem BIBO stabilan, onda on ima ograničen impulsni odziv što znači da postoji neki, dovoljno velik trenutak vremena tN, za koji važi

NtzaN)(g >λ<λ

Kako je pored toga i funkcija e-sλ opadajuća funkcija po λ (za Res>0), izvesno je da će posle dovoljno dugog vremena podintegralna funkcija težiti ka nuli. Otuda se gornja granica integrala može povećati tako da se odziv aproksimira kao

)s(Ged)(gee)t(ytt st

0

sstN =λλ≈>∀ ∫

∞

−

λ−

gde je G(s) unilateralna Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva. Iz izvršene analize se može izvesti zaključak da će odziv linearnog stacionarnog

sistema na eksponencijalnu pobudu, posle dovoljno dugog vremena, biti i sam eksponencijalna funkcija. Kada istekne taj period vremena kaže se da je sistem ušao u stacionarno stanje. Interval vremena pre nastupanja stacionarnog stanja označava se kao prelazni proces. Potrebno je zapaziti da stacionarno stanje postoji samo kod sistema koji su BIBO stabilni.

U cilju ilustracije prelaznog procesa i stacionarnog stanja na Sl. 16 je prikazan odziv linearnog stacionarnog relaksiranog sistema na sinusoidalnu pobudu. Zapaziti da se stacionarno stanje može dostići i relativno brzo (ovde se to postiže za manje od 4s). Interval vremena posle koga sistem ulazi u stacionarno stanje zavisi, svakako, od karakteristika sistema.

( 73)

( 74)

( 75)

( 76)

22/laplace

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

pobudaodziv

prelazni proces stacionarno stanje

12. Primena unilateralne Laplasove transformacije na rešavanje linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima

Već je istaknuto da se ponašanje linearnih kontinualnih stacionarnih sitema može opisati pomoću linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima čiji je opšti oblik

∑∑==

=M

0kk

k

k

N

0kk

k

kdt

)t(udb

dt

)t(yda

gde je red jednačine (N) odreñen stepenom najvišeg izvoda izlaza sistema. Nadalje, budući da se bilateralna Laplasova transformacija k-tog izvoda funkcije odreñuje množenjem Laplasove transformacije faktorom sk, vidi se da se data jednačina može svesti na algebarsku jednačinu.

∑∑==

=M

0k

kk

N

0k

kk )s(Usb)s(Ysa

Kada se posmatraju kauzalni signali i sistemi, onda se isti postupak može primeniti i korišćenjem unilateralne Laplasove transformacije, s tim što se u tom slučaju moraju uzeti u obzir i početni uslovi odziva sistema y(t).

Izloženi postupak ilustrovaćemo odreñivanjem rešenja diferencijalne jednačine

)t(h)e2()t(u;4)0(y;2)0(y);t(u)t(y12)t(y7)t(y t−−− +=−===++ ɺɺɺɺ Budući da je pobudni signal kauzalan, i da su definisani početni uslovi, za

rešavanje jednačine mora se primeniti unilateralna Laplasova transformacija. Odreñivanjem Laplasove transformacije obe strane jednačine ( 79), uz korišćenje osbine linearnosti i diferenciranja, dobija se

[ ] [ ] )s(U)s(Y12)0(y)s(sY7)0(y)0(sy)s(Ys2 =+−+−− −−− ɺ Rešavanjem jednačine ( 80) po Y(s) i odreñivanjem U(s) dobija se

Sl. 16 Odziv linearnog stacionarnog sistema na kauzalnu sinusoidalnu pobudu

( 77)

( 78)

( 79)

( 80)

23/laplace

)4s)(3s)(1s(s

2s13s12s2

)1s(s

2s2414s2

)4s)(3s(

1

)1s(s

2s3)0(y)0(y7)0(sy

12s7s

1)s(Y

)1s(s

2s3)0(y)0(y7)0(sy)s(Y)12)s(Y)12s7s(

1s

1

s

2)0(y)0(y7)0(sy)s(Y12)s(sY7)s(Ys

23

2

2

2

++++++

=

++

+−+++

=

=

++

+++++

=⇒

⇒++

=−−−+++⇒

⇒+

+=−−−++

−−−

−−−

−−−

ɺ

ɺ

ɺ

U cilju odreñivanja inverzne Laplasove transformacije razvićemo Y(s) u parcijalne razlomke

6

7

)4s)(3s)(1s(s

2s13s12s2)4s(limD

6

17

)4s)(3s)(1s(s

2s13s12s2)3s(limC

6

1

)4s)(3s)(1s(s

2s13s12s2)1s(limB

6

1

)4s)(3s)(1s(s

2s13s12s2slimA

4s

D

3s

C

1s

B

s

A)s(Y

23

4s

23

3s

23

1s

23

0s

−=++++++

+=

=++++++

+=

=++++++

+=

=++++++

=

++

++

++=

−→

−→

−→

→

Sada se inverzna Laplasova transformacija direktno dobija iz tablica, tako da je rešenje diferencijalne jednačine

[ ] )t(he7e17e16

1)t(y t4t3t −−− −++=

Ranije je pokazano da se rešenje diferencijalne jednačine može dobiti kao zbir odziva na nultu pobudu (yzu(t)) i odziva na nulta početna stanja (yzs(t)). Proverićemo ovu tvrdnju rešavanjem posmatrane diferencijalne jednačine ( 79).

Ukoliko je pobuda jednaka nuli (u(t)=0), tada se jednačina ( 81) svodi na

)4s(

2

)3s(

4

)4s)(3s(

10s2

12s7s

)0(y)0(y7)0(sy)s(Y

2zu +−

+=

+++

=++

++=

−−− ɺ

tako da je odziv nulte pobude

( ) )t(he2e4)t(y t4t3zu

−− −=

Na isti način, ukoliko su početni uslovi jednaki nuli, tada se jednačina ( 81) svodi na

[ ]t4t3tzs

2zs

e5e7e16

1)t(y

4s

1

6

5

3s

1

6

7

1s

1

6

1

s

1

6

1

)4s)(3s)(1s(s

2s3

)1s(s

2s3

12s7s

1)s(Y

−−− +−+=

⇒+

++

−+

+=

=+++

+=

++

++=⇒

Sabiranjem odziva nulte pobude ( 85) i odziva nultog početnog stanja ( 86) dobija se zaista rešenje ( 83).

( 81)

( 82)

( 83)

( 84)

( 85)

( 86)

24/laplace

13. Dodatak

Tablice Laplasovih transformacija U tablici su date bilateralne Laplasove transformacije nekih karakterističnih

signala. Obratiti pažnju na činjenicu da za kauzalne signale ovi izrazi predstavljaju istovremeno i unilateralnu Laplasovu transformaciju.

Signal

Laplasova transformacija

Oblast

konvergencije

impuls )t(δ 1 svako s

kauzalna odskočna funkcija

h(t) s

1 Res>0

antikauzalna odskočna funkcija

-h(-t) s

1 Res<0

kauzalna eksponencijalna funkcija

)t(he at− as

1

+ Res>-a

antikauzalna eksponencijalna funkcija

)t(he at −− − as

1

+ Res<-a

težinska kauzalna eksponencijalna funkcija

)t(hte at− 2)as(

1

+ Res>-a

kauzalna sinusoida )t(h)tsin( 0ω 2

02

0

s ω+

ω Res>0

kauzalna kosinusoida )t(h)tcos( 0ω 2

02s

s

ω+ Res>0

kauzalna prigušena sinusoida

)t(h)tsin(e 0at ω−

20

20

)as( ω++

ω Res>-a

kauzalna prigušena kosinusoida

)t(h)tsin(e 0at ω−

20

2)as(

as

ω++

+ Res>-a

25/laplace

Koeficijenti razvoja u parcijalne razlomke funkcije koja ima višestruki pol Već smo videli da se koeficijenti pri razvoju u parcijalne razlomke realne

racionalne funkcije koja ima jednostruke polove dobijaju jednostavnim odreñivanjem graničnih vrednosti ( 21). Slična formula može se izvesti i za koeficijente koji odgovaraju višestrukom polu.

Predpostavimo da neka realna racionalna funkcija ima višestruki pol p višestrukosti n, što znači da polinom u imeniocu sadrži član oblika (s-p)n.

)s(A)ps(

)s(B

)s(A

)s(B)s(G

1n−

==

Parcijalni razlomci koji odgovaraju ovom polu dati su sledećim izrazom

nn

33

221

)ps(

K

)ps(

K

)ps(

K

ps

K

−+

−+

−+

−…

gde su koeficijenti Ki odreñeni izrazom

−

−=

−

−

→ )s(A

)s(B)ps(

dt

dlim

)!in(

1K n

in

in

psi

Samo se po sebi razume da se izraz ( 89) za n=1 svodi na ( 21).

( 87)

( 88)

( 89)

1/z

Z transformacija

1. Diskretan Furiejov red, diskretna Furiejova transformacija i Z transformacija

Laplasova transformacija, definisana kao poopštenje Furijeove transformacije, pokazuje se kao izuzetno pogodno sredstvo u analizi kontinualnih signala i sistema. U cilju analize diskretnih signala i sistema definisana je Z-transformacija. Otuda nije ni čudno što postoji veliki paralelizam izmeñu Laplasove i Z- transformacije.

Budući da je Laplasova tansormacija izvedena preko teorije sopstvenih funkcija prirodno je da se i kod diskretnih signala analiza započne od sopstvenih funkcija. Pri razmatranju sopstvenih funkcija pokazano da je funkcija

nz]n[ =φ gde je z kompleksna promenljiva, sopstvena funkcija linearnih stacionarnih diskretnih sistema. Na osnovu osobine sopstvene funkcije sledi da je odziv sistema y[n] na pobudu φ[n]

nz)z(G]n[y = gde je G(Z) kompleksna konstanta odreñena izrazom

∑∞

−∞=

−=k

kz]k[g)z(G

uz uslov da suma ( 3) konvergira. Nema nikakve sumnje da ovaj rezultat direktno asocira na odogovarajuću

kompleksnu konstantu preko koje je definisana Laplasova transformacija. Otuda se došlo na ideju da se izraz ( 3) označi kao Z-transformacija.

Z- transformacija diskretnog signala x[n] definiše se izrazom

∑∞

−∞=

−=k

kz]k[x)z(X

koji, kao i kod Laplasove transformacije konvergira za neke vrednosti promenljive z, koje odreñuju oblast konvergencije, koju ćemo označavati sa R. (U anglosaksonskoj literaturi ova oblast se označava sa ROC – Region of Convergence).

Kao i kod Furijeove transformacije, odnosno Laplasove transformacije i Z-transformacija je veoma često realna racionalna funkcija kompleksne promenljive z

Rz,)z(A

)z(B)z(X ∈=

gde su B(z) i A(z) polinomi kompleksne promenljive z, reda m i n respektivno. Pri tome su m korena polinoma B(z) nule z-transformacije, dok su n korena polinoma A(z) polovi z-transformacije. Imajući u vidu da X(z) ne konvergira u polovima, izvesno je da oni moraju da leže izvan oblasti R. Sa druge strane nule mogu biti kako u oblasti tako i van nje.

Primer

Neka je x[n] realna kauzalna eksponencijalna funkcija x[n]=anh[n]. Z-transformacija ove funkcije je

az1az;az

z

az1

1zaz]k[ha]n[ha)z(X 1

10k

kk

k

kkn >⇒<−

=−

==== −−

∞

=

−∞

−∞=

− ∑∑z

Pri odreñivanju vrednosti z-transformacije korišćena je činjenica da on za |az-1|<1 predstavlja opadajuću geometrijsku progresiju. Uslov egzistencije zbira odreñuje oblast

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

( 5)

( 6)

2/z

konvergnecije z-transformacije koja je za različite vrednosti parametra a prikazana na Sl. 1. Na slici su takoñe označeni i položaj pola funkcije (z=a) i nule z=0).

Skup tačaka koje ispunjavaju uslov |z|=1 čini jedinični krug. Ovaj krug u z-ravni igra istu ulogu koju u s-ravni igra imanginarna osa.

U slučaju kada je a=1, signal x[n] je jednak jediničnoj odskočnoj funkciji (x[n]=h[n]), a kada je a=-1, x[n]=(-1)nh[n]. Otuda sledi da je

1z;1z

z]n[h)1(

1z;1z

z]n[h

n >+

=−

>−

=

z

z

Obe funkcije imaju po jedan pol koji leži na jediničnom krugu, dok je oblast konvergencije izvan kruga.

Primer

Posmatrajmo antikauzalnu eksponencijalnu funkciju x[n]=-anh[-n-1], tada je

az1za;az1

1

az

z

za1

za

zazaz]k[ha]1n[ha)z(X

111

1

1k

kk1

k

kk

k

kkn

<⇒<−

=−

=−

−

=−=−=−−=−−−=

−−−

−

∞

=

−−

−∞=

−∞

−∞=

− ∑∑∑z

( 7)

Sl. 1 Oblast konvergencije Z-transformacije kauzalne funkcije x[n]=anh[n] R: |z|>|a|

( 8)

3/z

Kao i kod Lapalsove transformacije i ovde se za Z-transformaciju dve različite funkcije dobija isti izraz. Jedina razlika ogleda se u oblasti konvergencije (Sl. 2). Otuda i kod Z-transformacije oblast konvergencije čini njen sastavni deo. U tom slučaju Z-transformacija je za svaki signal jednoznačno odreñena.

Za |a|=1 dobija se

1z;1z

z]1n[h)1(1a

1z;1z

z]1n[h1a

n >+

=−−−−−=

<−

=−−−=

z

z

Polovi se nalaze na jediničnom krugu, ali je oblast konvergencije unutar kruga, za razliku od kauzalnih funkcija, gde je oblast konvergencije bila van kruga.

Imz

0<a<1

Reza

Imz

-1<a<0

Reza

Imz

a>1

a

Imz

a<-1

Reza

Rez1 1

-1-1

Primer

Neka je x[n]=anh[n]+ bnh[n], a≠b. Tada je z-transformacija odreñena sa

)b,amax(z:R

;)bz)(az(

]2/)ba(z[z2

)bz1)(az1(

z)ba(2

bz1

1

az1

1]n[hb]n[ha)z(X

11

1

11nn

>

−−+−

=−−

+−=

=−

+−

=+=

−−

−

−−zz

Oblast konvergencije (Sl. 3) odreñuje se iz uslova da z-transformacije obe funkcije moraju da konvergiraju.

( 9)

Sl. 2 Oblast konvergencije Z- transformacije antikauzalne funkcije x[n]=-anh[-n-1]; R: |z|<|a|

( 10)

Sl. 3 Oblast konvergencije za funkciju x[n]=anh[n]+ bnh[n], za slučaj 0<b<a<1

Imz

0<b<a<1

Rezb 1a

4/z

Primer

Kombinujući rezultate ( 6) i ( 8) Z-transformacija zbira kauzalne i antikauzalne eksponencijalne funkicije je

bza:R;)bz)(az(

z)ba(

)bz1)(az1(

z)ba(

bz1

1

az1

1]1n[hb]n[ha)z(X

11

1

11nn

<<−−

−=

−−

−=

=−

−−

=−−−+=

−−

−

−−zz

Pri tome se oblast konvergencije odreñuje tako da budu ispunjeni uslovi konvergencije za obe funkcije (Sl. 4).

Imz0<b<a<1

Rezb 1a

Imz0<b<1<a

Rezb 1 a

Imz1<b<a

b1a

2. Osobine oblasti konvergencije Izloženi primeri ukazuju da je, za razliku od oblasti konvergencije Laplasove

transformacije koja je uvek ograničena pravim linijama paralelnim sa ordinatnom osom, oblast konvergencije z-transformacije ograničena koncentričnim krugovima. Nadalje, u svim posmatranim primerima ona počinje od nekog od polova racionalne funkcije. Prirodno je, dakle, da se postavi pitanje, da li se radi o slučajno odabranim primerima ili u tome ima neke zakonitosti. Da bi se dobio odgovor na postavljeno pitanje, treba se podsetiti činjenice da se svaka realna racionalna funkcija može rastaviti na parcijalne razlomke. Ako se predpostavi da su svi polovi realni i prosti, onda će svi članovi razvoja

biti oblika )pz1(

K1−+

, pa se može smatrati da potiču od funkcija oblika x[n]=anh[n] ili

x[n]=-anh[-n-1]. Pokazano je već da se za obe ove funkcije granice konvergencije nalaze tačno na polovima. Pri tome granice se razlikuju u zavisnosti od toga da li je signal ograničen sa leve strane ili sa desne strane.

Sličnim rezonovanjem mogu se izvesti zakonomernosti i za slučaj kada svi polovi nisu realni i prosti. Ne upuštajući se u detaljnu analizu polova navešćemo samo opšte zaključke koji važe za oblast konvergencije.

1. Signali desne strane x[n]=0 za n<nd Ako je x[n] signal desne strane, ako X(z) konvergira za neko z, i ako je rmax

najveći radijus (moduo) koji ima neki od polova onda je oblast konvergencije izvan kruga odreñenog sa:

|z|>rmax, za kauzalne signale Za nekauzalne signale desne strane mora se isključiti z=∞, (z-n→∞, za z=∞ i

n<0), tako da je ∞>|z|>rmax ,

( 11)

Sl. 4 Oblasti konvergencije za funkciju x[n]=anh[n]+(-bnh[-n]), za različite odnose parametara a i b

5/z

2. Signali leve strane x[n]=0 za n>nl Ako je x[n] signal leve strane, ako X(z) konvergira za neko z, i ako je rmin najmanji

radijus (moduo) koji ima neki od polova onda je oblast konvergencije unutar kruga odreñenog sa:

|z|<rmin, za kauzalne signale Za nekauzalne signale leve strane mora se isključiti koordinatni početak (z-n→∞,

za z=0 i n>0), tako da je 0<|z|<rmin ,

3. Signali konačnog trajanja x[n]=0 za n<nd i n>nl Ako je x[n] signal konačnog trajanja i ako X(z) konvergira za neko z , onda X(z)

mora da konvergira u celoj z-ravni, osim možda u z=0 i z=∞. Iz ovoga, zapravo, sledi da z-transformacija signala konačnog trajanja, ne može imati konačnih polova, osim možda u z=0.

4. Signali neograničenog trajanja Konačno, ako neki signal x[n] nije ograničen ni sa jedne strane i ako X(z)

konvergira za neku vrednost z, onda je oblast konvergencije oblika r1 >|z|>r2 gde su r1 i r2 radijusi dva pola.

Ovaj zaključak sledi iz činjenice da se signal neograničenog trajanja može prikazati zbirom signala desne strane i signala leve strane, što znači da će se njihove oblasti konvergencije u jednom delu preklopiti i da je time odreñena oblast konvergencije signala neograničenog trajanja.

Jedinična impulsna funkcija – signal ograničenog trajanja

z;1z]n[]n[)z(k

n ∀=δ=δ=∆ ∑∞

−∞=

−z

neki signail ograničenog trajanja

n

k

n 1

k

n 1

k

[n 1] [k 1]z z; | z |

[n 1] [k 1]z z ; | z | 0

[n 1] [n 1] [k 1] [k 1] z z z ; 0 | z |

∞−

=−∞

∞− −

=−∞

∞− −

=−∞

δ + = δ + = < ∞

δ − = δ − = >

δ + + δ − = δ + + δ − = + < < ∞

∑

∑

∑

z

z

z

3. Inverzna Z-transformacija U teoriji kompleksnih promenljivih pokazuje se da se za odreñivanje inverzne Z-

transformacije može koristiti Cauchy-eva teorema uz pomoć koje se dobija da je

∫Γ

−−

π== dz)z(Xz

j2

1)z(X]n[x 1n1z

Gde se integracija vrši u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku po konturi koja obuhvata koordinatni početak.

Ne upuštajući se u izvoñenje ove relacije, niti u odreñivanje kružnog integrala, koncetrisaćemo se na praktično odreñivanje inverzne Z-transformacije.

Za klasu sistema za koju je Z-transformacija realna racionalna funkcija, inverzna transformacija se može odrediti bilo pomoću razvoja funkcije u stepeni red bilo i predstavljanjem funikcije pomoću parcijalnih razlomaka.

Razvoj Z-transformacije u stepeni red

( 12)

( 13)

( 14)

6/z

Ideja je da se inverzna transformacija dobije razvojem funkcije X(z) u stepeni red. Koeficijenti reda, na osnovu definicije z-ransformacije predstavljaju vrednosti odbiraka x[n]. U primeni ove ideje posmatraćemo odvojeno kauzalne i antikauzalne signale

Kauzalni signali Neka je Z-transformacija kauzalnog signala realna racionalna funkcija, čija je

oblast konvergencije |z|>rmax, odnosno neka je

∑∑=

−

=

−

−

−

==

>=

N

0i

ii

M

0i

ii

max1

1

za)z(A;zb)z(B

r|z|;)z(A

)z(B)z(X

Deobom polinoma B(z) polinomom A(z) i to tako da deoba počne od koeficijenata sa najnižim članom dobija se polinom po z-1

⋯

⋯⋯⋯

,2,1,0i];i[xcjegde

zcc)zbzazaa(:)zbzbzbb(

i

110

NN

22

110

MM

22

110

==

++=++++++++ −−−−−−−

Primer 1

]n[ha]n[x,a]2[x,a]1[x,1]0[x

za

)zaza(

za

)zaaz(

az

)az1(

zaaz1)az1(:1

|a||z|;az1

1)z(X

n2

33

3322

22

221

1

1

2211

1

====

⇒

−−

−−

−−

+++=−

⇒>−

=

−

−−

−

−−

−

−

−−−

−

⋯

…

Primer 2

⋯

⋯

…

25.005.011]n[x

43210n

z25.0

)z25.0z5.0z5.0(

z5.0z5.0

)z5.0zz(

z5.0z

)z5.0z1(

z25.0z5.0z1)z5.0z1(:1

z5.0z1

1)z(X

4

432

32

321

21

21

42121

21

−

⇒

−

+−−

−

+−−

−

+−−

−++=+−

⇒+−

=

−

−−−

−−

−−−

−−

−−

−−−−−

−−

Antikauzalni signali

Da bi se ovaj postupak primenio na antikauzalne signale neophodno je da se z-transformacija predstavi u obliku

( 15)

( 16)

( 17)

( 18)

7/z

∑∑=

−

=

− ==<=N

0i

ii

M

0i

iimin za)z(A;zb)z(B;r|z|;

)z(A

)z(B)z(X

Stepeni red se, i dalje, dobija deobom dva polinoma. Primer

]1n[ha]n[x,a]3[x,a]2[x,a]1[x

za

)zaza(

za

)zaza(

za

)zaz(

zazaza)za(:z

;az

z)z(X|a||z|;

az1

1)z(X

n321

43

4332

32

3221

21

21

33221

1

−−−=−=−−=−−=−

⇒

−−

−−

−−

−−−−=+−

−=⇒<

−=

−−−

−

−−

−

−−

−

−

−−−

−

⋯

…

Izloženi postupka odreñivanja inverzne z-transformacije je veoma zametan.

Pored toga on retko dovodi do izraza x[n] u zatvorenoj formi.

Rastavljanje Z-transformacije na parcijalne razlomke

Za one signale za koje je z-transformacija realna racionalna funkcija, inverzna transformacija se može odrediti i predstavljanjem funkicje u fromi zbira članova čije se Z-transformacije mogu odrediti iz tablica. Ako se pretpostavi da funkcija X(z) ima samo proste polove (pi, i=1,2,...,N) tada se formira izraz oblika

∑∑==

− −=

−=

N

1i i

iN

1i1

i

i

pz

zK

zp1

K)z(X

Za različite moguće oblasti članova sume formiraju se odgovarajuće inverzne transformacije.

Primetimo da se zahtevani izraz ( 21) može dobiti i tako što će se funkcija X(z) predstaviti u formi X(z)=zX1(z), a zatim će se funkcija X1(z) razviti u parcijalne razlomke.

Primer

Neka je

)z(zX)25.1z)(8.0z(

7.1zz

1z05.2z

z7.1z)z(X 12

2=

−−−

=+−

−=

tada je razvoj funkcije X1(z) u parcijalne razlomke

25.1z

1

8.0z

2)z(X1 −

−−

= ,

tako da se funkcija X(z) može predstaviti kao

11 z25.11

1

z8.01

2

25.1z

z

8.0z

z2)z(X

−− −−

−=

−−

−=

Posmatrana funkcija ima dva realna pola p1=0.8 i p2=1.25. Otuda za oblast konvergencije postoje tri mogućnosti

a) x[n] je signal desne strane Ra: |z| > max(p1, p2)=1.25

( 19)

( 20)

( 21)

( 22)

( 23)

( 24)

8/z

b) x[n] je signal leve strane Rb: |z|< min(p1, p2)=0.8

c) x[n] je signal ograničenog trajanja Rc: 0.8< R|z|<1.25 Odredićemo signal x[n] za svaku od ovih oblasti konvergencije.

a) |z| >=1.25 Iz jednačine ( 6)vidi se da je

]n[h)25.1()8.0(2z25.11

1

z8.01

2]n[x nn

11

11 −=

−−

−=

−−

−− zz

b) |z|< 0.8

Na isti način polazeći od rezultata ( 8) dobija se

]1n[h)25.1()8.0(2z25.11

1

z8.01

2]n[x nn

11

11 −−+−=

−−

−=

−−

−− zz

c) 0.8< R|z|<1.25

Kombinujući prethodna dva rezultata dobija se

]1n[h)25.1(]n[h)8.0(2z25.11

1

z8.01

2]n[x nn

11

11 −−+=

−−

−=

−−

−− zz

4. Osobine Z- transformacije Imajući u vidu da z-transformacija diskretnih signala odgovara Laplasovoj

transformaciji kontinualnih signala, prirodno je očekivati da su osobine z-transformacije i analogne osobinama Z- transformacije.

Linearnost

Ako se predpostavi da su R1 i R2 oblasti konvergencije Z- transformacije funkcija x1[n] i x2[n]

21212121 RRR);z(bX)z(aX]n[xb]n[xa]n[bx]n[ax ∩⊃+=+=+ zzz

Ukoliko funkcija aX1(z)+b X2(z) nemaju zajedničkih faktora u brojiocu i imeniocu tada je R=R1∩R2. Meñutim, ukoliko postoji zajednički faktor tada oblast konvergencije rezultujuće Z transformacije može biti i šira od preseka oblasti R1 i R2, ali je izvesno da sadrži presek skupova R1 i R2.

Pomeranje u vremenskom domenu

Ako je R oblast konvergencije Z-transformacije funkcije x[n], a R' obast konvergencije Z- transformacije funkcije x[n-n0]

R'R);z(Xz]n[xz]nn[x 00 nn0 ===− −− zz , osim eventualno za z=0 i z=∞

Dokaz

R'R);z(Xz]n[xzz]k[xz

z]k[xz]nn[x]nn[x

000

0

nn

k

kn

k

)nk(

n

n00

====

==−=−

−−∞

−∞=

−−

∞

−∞=

+−∞

−∞=

−

∑

∑∑

z

z

Na osnovu dobijenog rezultata definišu se dva operatora.

( 25)

( 26)

( 27)

( 28)

( 29)

9/z

Operator jediničnog kašnjenja z-1 : );z(Xz]1n[x 1−=−z

Operator jediničnog prednjačenja z : );z(zX]1n[x =+z

Pomeranje u kompleksnom domenu (modulacija)

R|z|'R);z/z(X]n[xz 00n0 ==z

Dokaz

Rz'R);z/z(X)z/z](n[xz]n[xz]n[xz 00n

n0

n

nn0

n0 ==== ∑∑

∞

−∞=

−∞

−∞=

−z

gde je korišćena činjenica da je oblast konvergencije R, Z- transformacije funkcije x[n] odreñena granicom za |z|.

Primetimo da je modulacija dualna operacija sa operacijom pomeranja signala u vremenskom domenu. Ovom operacijom se polovi (pi) i nule (ni) funkcije X(z) pomeraju u tačke z=z0pi, odnosno z= z0ni. U posebnom slučaju kada je z0=ejΩ0, polovi i nule se samo rotiraju za ugao Ω0.

Skaliranje po vremenu

( )a1 ax[an] X(z ); R ' R a-ceo broj= =z

Dokaz

( )k k m mk m a 1 a 1 a

k k m

x[an] x[ak]z x[m]z x[m] z X(z )=∞ =∞ =∞ −− −

=−∞ =−∞ =−∞

= = = =∑ ∑ ∑z

Za a=-1, odnosno za inverziju vremena, dobija se

R/1'R);z/1(X]n[x ==−z

Konačne razlike prve vrste

Diferenciranje unazad

R'R);z(X)z1(]1n[x]n[x 1 =−=−− −z

Diferenciranje unapred

R'R);z(X)1z(]n[x]1n[x =−=−+z

Dokaz Ovi izrazi se dobijaju direktnom primenom osobine linearnosti i vremenskog

pomeranja.

Diferenciranje u z domenu

R'R;dz

)z(dXz]n[nx =−=z

Dokaz

n n

n n

dX(z) dx[n]z z nx[n](z) nx[n]

dz dz

∞ ∞− −

=−∞ =−∞

= = − =

∑ ∑ z

Konvolucija u vremeskom domenu

( 30)

( 31)

( 32)

( 33)

( 34)

( 35)

10/z

yx RR'R);z(Y)z(X]n[y]n[x ∩⊃=∗z

Dokaz

yxi

i

k

k

k

)ki(

i

k

n

nn

n

kk

RR'R);z(Y)z(Xz]i[yz]k[xz]i[y]k[x

z]kn[y]k[xz]kn[y]k[x]kn[y]k[x]n[y]n[x

∩⊃===

=−==

−=

−=∗

∑∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

+−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

zz

Da bi Z-transformacija konvolucije egzistirala moraju da konvergiraju Z-transformacije oba signala. Otuda je oblast konvergencije konvolucije odreñena presekom oblasti konvergencije oba signala, s tim što se ona može proširiti ukoliko doñe do skraćivanja zajedničkih faktora.

Akumulacija

1|z|R'R);z(Xz1

1]k[x x1

n

k

>∩⊃−

=

−−∞=∑z

Dokaz Osobina akumulacije se direktno izvodi iz konvolucije.

1|z|R'R));z(Xz1

1)z(H)z(X)kn(h]k[x]k[x x1

k

n

k

>∩⊃−

==

−=

−

∞

−∞=−∞=∑∑ zz

Promena oblasti konvergencije može da potiče od uvoñenja dodatnog pola u z=1.

5. Funkcija prenosa linearnih stacionarnih diskretnih sistema Podsetimo se da je odziv y[n] linearnog stacionarnog diskretnog sistema čiji je

jedinični impulsni odziv g[n], na pobudu u[n] odreñen konvolucijom signala u[n] i g[n]. Uzimajući u obzir osobinu konvolucije, sledi da je Z- transformacija odziva

ugy RRR);z(U)z(G)z(Y]n[u]n[g]n[y ∩⊃=⇒∗=

Funkcija

∑∞

−∞=

−=n

nz]n[g)z(G

naziva se funkcija prenosa diskretnog sistema. Imajući u vidu činjenicu da jedinični impulsni odziv u potpunosti odreñuje lienaran

stacionaran sistem, kao i činjenicu da se on, primenom inverzne Z- transformacije, može dobiti iz funkcije prenosa, očigledno je da i funkcija prenosa u potpunosti opisuje taj sistem.

Primer

Neka je jedinični impulsni odziv sistema g[n]=0.5nh[n]. Odrediti odziv ovog sistema na pobudu u[n]=2nh[-n]

2|z|;z5.01

1)z2(z2z]n[h2)z(U

5.0|z|;z5.01

1)z(G

)z(U)z(G)z(Y

0k

k10

n

nn

n

nn

1

<−

===−=

>−

=

=

∑∑∑∞

=

−

−∞=

−∞

−∞=

−

−

( 36)

( 37)

( 38)

( 39)

( 40)

11/z

|n|nnnn

1

5.03

4]1n[h5.0]n[h5.0

3

4]1n[h2]n[h5.0

3

4]n[y

2z

z

5.0z

z

3

4

2z

3/4

5.0z

3/4z

)2z)(5.0z(

2z

)z2)(5.0z(5.0

z

)z5.01)(z5.01(

1)z(Y

=−−+=−−+=

⇒

−

−−

=

−

−−

=

=

−−−

=−−

=−−

=

−

−

Primetimo da je pri odreñivanju inverzne transformacije korišćena činjenica da je oblast konvergencije odreñena sa 0.5<|z|<2. Otuda signal koji odgovara polu z=0.5 mora biti kauzalan, a signal koji odgovara polu z=2 mora biti antikauzalan.

Funkcije prenosa sistema koji realizuje elementarne operacije

• Jedinično kašnjenje 1g[n] [n 1] G(z) z ; | z | 0−= δ − ⇒ = >

• Jedinično prednjačenje g[n] [n 1] G(z) z; | z |= δ + ⇒ = < ∞

• Akumulator (integrator)

1|z|;z1

1)z(G]k[x]n[g

1

n

k

>−

⇒=−

−∞=∑

6. Neke osobine lineranih stacionarnih sistema • Kauzalni i antikauzalni sistemi

Impulsni odziv kauzalnog sistema je signal desne strane, što znači da će oblast konvergencije njegove funkcije prenosa biti oblika |z|>rmax.

Impulsni odziva antikauzalnog sistema je signal leve strane, pa će oblast konvergencije njegove funkcije prenosa biti oblika |z|<σmin.

• Stabilnost sistema Pri analizi linearnih stacionarnih sistema pokazano je da je uslov BIBO stabilnosti

sistema da jedinični impulsni odziv bude kompletno sumabilan, odnosno da bude ispunjen uslov:

∞<∑∞

−∞=n

]n[g

Primetimo da ispunjenost ovog uslova implicira i odreñene osobine Z-transformacije. Naime,

j j n j n

n n n

G(e ) g[n](e ) g[n] e g[n]∞ ∞ ∞

Ω Ω − − Ω

=−∞ =−∞ =−∞

= ≤ =∑ ∑ ∑

Iz relacije ( 45) se vidi da će za stabilne sisteme, Z-transformacija konvergirati na jedničnom krugu (z=ejΩ). Ovo će biti ispunjeno samo ako oblast konvergencije obuhvata jedinični krug.

Četiri moguće oblasti konvergencije BIBO stabilnih sistema date su na Sl. 5. Ako se podsetimo da svi polovi sistema moraju da leže izvan oblasti konvergencije, onda sledi da je kauzalni sistem stabilan ukoliko se svi polovi funkcije prenosa nalaze unutar jediničnog kruga u z-ravni.

( 41)

( 42)

( 43)

( 44)

( 45)

12/z

Imz

kauzalansistem

Rez1

Imz

Rez

antikauzalansistem

Imzimpulsni odzivneogranicenog

trajanja

Imz

impulsni odzivogranicenog trajanja

Rez1

1

1

1

• Inverzni sistemi Linearan stacionaran sistem čiji je jedinični imuplsni odziv g[n] je invertibilan

ukoliko postoji sistem čiji je jedinični impulsni odziv gi[n] takav da je

]n[]n[g]n[gg ii δ=∗⇒∃ Sa gledišta Z- transformacije to znači da je funkcija prenosa inverznog sistema jednaka repricočnoj funkciji prenosa sistema

)z(G

1)z(G1)z(G)z(G)z(G iii =⇒=⇒∃

Iz relacije ( 47) se vidi da su polovi sistema jednaki nulama inverznog sistema, dok su nule sistema jednake polovima inverznog sistema. Imajući na umu da jedan isti izraz za Z-transformaciju može imati različite oblasti konvergencije, izvesno je da inverzni sistem nije jednoznačno odreñen. U principu, pri definisanju inverznog sistema moraju se postaviti i dodatni uslovi kojima se precizira kakav treba da bude inverzni sistem (npr. kauzalnost, stabilnost itd.)

• Povezivanje sistema i ekvivalentne transformacije U cilju analize sistema pogodno je da se oni

prikazuju grafički u formi blok dijagrama. Budući da je ova reperezentacija identična kao i za kontinualne sisteme, nesumnjivo je da i za diskretne sisteme važe sva pravila o

ekvivalentnim transformacijama sistema.

Sl. 5 Četiri moguće oblasti konvergencije za BIBO stabilne sisteme

( 46)

( 47)

Sl. 6 Blok dijagram sistema

G(z)u[n] y[n]

13/z

7. Unilateralna (jednostrana) Z- transformacija Z- transformacija definisana izrazom ( 4) se često označava i kao bilateralna Z-

transformacija (BZT) zato što se sabiranje vrši od -∞ do +∞. Kada se bilateralna Z- transformacija primenjuje na kauzalne signale (x[n]=0 za t<0), izvesno je da više nema smisla da sabiranej počinje od -∞. Ako se podsetimo se da su zapravo svi realni, fizički ostvarljivi signali i sistemi kauzalni, onda ne bi trebalo da čudi da je ovom pitanju posvećena posebna pažnja. Otuda se došlo na ideju, da se za kauzalne signale definiše unilateralna Z- transformacija (UZT)

∑∞

=

−=0k

kz]k[x)z(X

Unilateralna Z- transformacija je veoma korisna za analizu kauzalnih sistema i odreñivanje odziva na kauzalnu pobudu. Pri tome, pošto su funkcije za koju se Z- transformacija odreñuje kauzalne i oblast konvergencije postaje sasvim odreñena i definisana je kao |z|>rmax, gde je rmax najveći realni deo koji ima neki od polova. Kao što je već rečeno, kauzalan sistem će biti stabilan samo ako se svi polovi funkcije prenosa nalaze unutar jediničnog kruga u z-ravni, odnosno ako je rmax<1.

8. Osobine Unilateralne Z- transformacije Sa izuzetkom operacije vremenskog pomeranja signala unapred, sve osobine

bilateralne Z- transformacije, važe i za unilateralnu transformaciju. Razmotrićemo zato samo neke posebne karakteristike unilateralne Z-

transformacije. Pri tome se smatra da je signal kauzalan x[n]=0 za t<0.

Prednjačenje

0 0

0 0 0 0

n 1 n 1n n n nk k k

0 0k 0 k 0 k 0

n 0; x[n n ]h[n] z x[k]z z x[k]z z X(z) z x[k]z− −∞

− − −

= = =

∀ > + = − = −∑ ∑ ∑z

Dokaz

∑∑

∑∑−

=

−∞

=

−

∞

=

−−∞

=

−

−=

==+=+

1n

0k

kn

0k

kn

nk

)nk(

0n

n00

000

0

0

z]k[xzz]k[xz

z]k[xz]nn[x]n[h]nn[xz

Prva granična teorema

)z(Xlim]0[xz ∞→

=

Dokaz

]0[xz

]2[x

z

]1[x]0[xlimz)z(Xlim)z(Xlim

2z0n

n

zz=

+++==∞→

∞

=

−

∞→∞→∑ ⋯

Druga granična teorema

Uz uslov da jedinični krug pripada oblasti konvergencije X(z), važi )z(X)1z(lim]n[xlim

1zn−=

→∞→

( 48)

( 49)

( 50)

( 51)

14/z

Dokaz

nk

n nk 0

nk

nk 0

nk

z 1 z 1 nk 0

nk

z 1 n z 1k 0

lim z x[n 1] x[n] lim x[k 1] x[k] z

zX(z) zx[0] X(z) lim x[k 1] x[k] z

lim (z 1)X(z) zx[0] lim lim x[k 1] x[k] z

lim(z 1)X(z) x[0] lim lim x[k 1] x[k] z

−

→∞ →∞=

−

→∞=

−

→ → →∞=

−

→ →∞ →=

+ − = + − ⇒

⇒ − − = + − ⇒

− − = + − ⇒

− − = + −

∑

∑

∑

n

z 1 n nk 0

z 1 n

lim(z 1)X(z) x[0] lim x[k 1] x[k] lim x[n] x[0]

lim(z 1)X(z) lim x[n]

→ →∞ →∞=

→ →∞

⇒

− − = + − = − ⇒

− =

∑

∑

Primedba Potrebno je zapaziti da je ovaj dokaz izveden uz uslov da ]n[xlim

n ∞→ postoji.

Ukoliko to nije slučaj, ova relacija ne važi. Naime, tada je moguće izračunati vrednost izraza )z(X)1z(lim

1z−

→ ali ta vrednost nije jednaka vrednosti signala u beskonačnosti.

Primer

Posmatrajmo sinusoidni signal x[n]=sinΩ0n. Ovaj signal nema definisanu graničnu vrednost kada n→∞. To znači da druga granična teorema ne važi. Meñutim, ako se potraži unilateralna Z- transformacija signala x[n] vidi se da granična vrednost

)z(X)1z(lim1z

−→

postoji

0)z(X)1z(lim1)cos(z2z

)sin(z)z(X

1z02

0 =−⇒+Ω−

Ω=

→

Primetimo da BIBO stabilnost sistema podrazumeva ograničenost odziva sistema na ograničenu pobudu. To znači da kod ovakvih sistema granična vrednost

]n[xlimn ∞→

postoji. Ako se potsetimo da se, sa gledišta unilateralne Z- transformacije,

uslov stabilnosti svodi na zahtev da se svi polovi funkcije prenosa nalaze unutar jediničnog kruga z-ravni, onda je izvesno da će za sve odzive BIBO stabilnih sistema na ograničenu pobudu važiti druga granična teorema.

(Napomenimo da se teoriji kompleksnih promenljivih pokazuje se da druga granična teorema važi za sve signale čije Z- transformacije nemaju polova na jediničnom krugu ili izvan njega,osim eventualno prostog pola u tačci z=1).

Kašnjenje nekauzalnog signala U principu, ako je signal nekauzalan ne bi trebalo koristiit unilateralnu

transformaciju. Meñutim, pri analizi linearnih sistema se implicitno podrazumeva da su mogu da postoje početni uslovi definisani odzivima y[-1],... y[-N], kao i da se sistem posmatra od trenutka otpočinjanja dejstva pobude (n=0). Otuda ima smisla da se ovom pitanju posveti posebna pažnja. Potražićemo zato unilatirelanu transformaciju signala y[n-n0] smatrajući da je y[n] signal koji počinje od y[-N] (y[n]=0 za n<-N) i da je 1≤n0≤N.

( 52)

( 53)

15/z

]n[y]1n[yz]2n[yz]2[yz]1[yz)z(Yz

z]k[yz]1[yz]2n[yz]1n[yz]n[y

z]k[y]1[yz]2n[yz]1n[yz]n[y

z]nn[y]1[yz]2n[yz]1n[yz]n[y

z]nn[y]nn[y

)z(Yz]n[y]n[y

jeNeka

001

02)2n()1n(n

0k

kn)1n(0

20

10

0k

)kn()1n(0

20

10

nn

n0

)1n(0

20

10

0n

n00

0n

n

000

00

00

0

0

−++−++−++−+−+=

=+−++−++−+−=

=+−++−++−+−=

=−+−++−++−+−=

=−=−

⇒==

−−−−−−−

∞

=

−−−−−−

∞

=

+−−−−−

∞

=

−−−−−

∞

=

−

∞

=

−

∑

∑

∑

∑

∑

⋯

⋯

⋯

⋯

z

z

Izvedena relacija pokazuje da se unilateralna Z-transformacija može primeniti i na nekauzalne signale, ako se pri tome vodi računa o činjenici da signal nije kauzalan.

9. Primena unilateralne Z- transformacije na rešavanje linearnih diferentnih jednačina sa konstantnim koeficijentima

Već je istaknuto da se ponašanje linearnih diskretnih stacionarnih sitema može opisati pomoću linearnih diferentnih jednačina sa konstantnim koeficijentima čiji je opšti oblik

)M,Nmax(sistemared]kn[ub]kn[yaM

0kk

N

0kk =−=− ∑∑

==

Nadalje, budući da se bilateralna Z- transformacija signala pomerenog u vremenu za k-odbiraka odreñuje množenjem Z- transformacije faktorom z-k, vidi se da se, data jednačina može svesti na algebarsku jednačinu.

)z(Uzb)z(YzaM

0k

kk

N

0k

kk

=

∑∑=

−

=

−

Kada se posmatraju kauzalni signali i sistemi, onda se isti postupak može primeniti i korišćenjem unilateralne Z- transformacije. Pri tome će, ako su svi početni uslovi jednaki nuli, izraz dobijen unilateralnom transformacijom biti identičnog oblika, s tim što je oblast konvergencije automatski odreñena sa |z|>rmax. Iz izraza ( 55) se vidi da je funkcija prenosa sistema realna racionalna funkcija odreñena sa

∑

∑

=

−

=

−

==N

0k

kk

M

0k

kk

za

zb

)z(U

)z(Y)z(G

Ukoliko, meñutim početni uslovi nisu jednaki nuli, tada će se izraz za unilateralnu transformaciju razlikovati od izraza ( 55), jer se pri odreñivanju unilateralne transformacije mora uzeti u obzir da odziv y[n] nije kauzalan signal. Primer

Dat je linearan stacionaran diskretan sistem opisan diferentnom jednačinom

( 54)

( 55)

( 56)

( 57)

16/z

]n[u]2n[y2

1]1n[y

2

3]n[y =−+−−

Odrediti odziv ovog sistema na pobudni signal

]n[h4

1]n[u

n

=

uz predpostavku da su početni uslovi sistema odreñeni sa ;10]2[y;4]1[y =−=−

U cilju rešenja postavljenog zadatka odredićemo unilateralnu Z-transformaciju obe strane diferentne jednačine ( 57), vodeći računa o početnim uslovima sistema prema relaciji ( 53).

( ) ( ) )z(U]2[y]1[yz)z(Yz2

1]1[y)z(Yz

2

3)z(Y 121 =−+−++−+− −−−

Rešavanjem ove jednačine po Y(z) dobija se

2121

1

z2

1z

2

31

)z(U

z2

1z

2

31

]1[yz2

1]2[y

2

1]1[y

2

3

)z(Y−−−−

−

+−+

+−

−−

−−−

=

Uvrštavanjem izraza za U(z), kao i početnih uslova dobija se

( ))z(zY

4

1z

2

1z1z

2

1z

4

9z2

z

4

1z

2

1z

2

3z

z

2

1z

2

3z

z2z

z4

11z

2

1z

2

31

1

z2

1z

2

31

z21)z(Y

z4

11

1)z(U

1

2

2

3

2

2

12121

1

1

=

−

−−

+−=

=

−

+−

+

+−

−=

=

−

+−

++−

−=

−=

−−−−−

−

−

U cilju odreñivanja inverzne Z-transformacije razvićemo Y1(z) u parcijalne razlomke

( )

3

1)z(Y)

4

1z(limC

1)z(Y)2

1z(limB

3

2)z(Y)1z(limA

4

1z

C

2

1z

B

1z

A

4

1z

2

1z1z

2

1z

4

9z2

)z(Y

1

4

1z

1

2

1z

11z

2

1

=−=

=−=

=−=

−+

−+

−=

−

−−

+−=

→

→

→

( 58)

( 59)

( 60)

( 61)

( 62)

( 63)

17/z

Sada se inverzna Z-transformacija direktno dobija iz tablica, tako da je rešenje diferencijalne jednačine

]n[h4

1

3

1

2

1

3

2]n[y

4

1z

z

3

1

2

1z

z

1z

z

3

2)z(Y

nn

+

+=

⇒−

+−

+−

=

Iz jednačine ( 61) se jasno vidi da je odziv sistema jednak zbiru odziva na nultu pobudu (yzu[n]) i odziva na nulta početna stanja (yzs[n]). Polazeći od te činjenice, jasno je da se ceo problem može rešiti i tako što će se kao prvo odrediti ova dva odziva. Odziv nultog ulaza

]n[h2

132]n[y

2

1z

z3

1z

z2

2

1z

2

3z

2zz

z2

1z

2

31

]1[yz2

1]2[y

2

1]1[y

2

3

)z(Y

n

zu

221

1

zu

+−=

⇒−

+−

−=+−

−=

+−

−−

−−−=

−−

−

Odziv nultog početnog stanja

]n[h4

1

3

1

2

12

3

8]n[y

4

1z

z

3

1

2

1z

z2

1z

z

3

8

4

1z

2

1z

2

3z

zz

z2

1z

2

31

)z(U)z(Y

nn

zs

2

2

21zs

+

−=

⇒−

+−

−−

=

−

+−

=+−

=−−

Sada je

]n[h4

1

3

1

2

1

3

2

]n[h4

1

3

1

2

12

3

8]n[h

2

132]n[y]n[y]n[y

nn

nnn

zszu

+

+

=

+

−+

+−=+=

Napomenimo da se pri rešavanju diferentnih jednačina one često definišu i tako

da su vrednosti rešenja jednaka nuli za n<0. Tada se diferentna jednačina zapravo predstavlja u obliku

1N,,1,0i,]i[y;]kn[u]kn[y i

M

0kk

N

0kk −=γ=+β=+α ∑∑

==

⋯

Pri rešavanju ove jednačine mora se voditi računa o osobini unilateralne Z-transformacije pri pomeranju signala unapred.

Primer

U cilju ilustracije ove ideje posmatraćemo diferentnu jednačinu

( 64)

( 65)

( 66)

( 67)

( 68)

( 69)

18/z

]n[h4

1]n[u;4]1[x;10]0[x];n[u]n[x

2

1]1n[x

2

3]2n[x

n

====++−+

Odreñivanjem Z- transformacije obe strane jednačine ( 69), uz korišćenje osobine linearnosti i pomeranja u vremenu dobija se

[ ] [ ] )z(U)z(X2

1]0[x)z(Xz

2

3]1[xz]0[x)z(Xz 12 =+−−−− −

Rešavanjem jednačine ( 70) po X(z) i odreñivanjem U(z) dobija se

]n[h4

1

3

16

2

14

3

2]n[x

25.0z

z

3

16

5.0z

z4

1z

z

3

2

)25.0z)(5.0z)(1z(

75.3z5.13z10z

25.0z

1]0[x5.1]1[x]0[zx

5.0z5.1z

1z)z(X

nn

2

2

⋅+

⋅+=⇒

⇒−

+−

+−

=−−−

+−=

=

−

+−++−

=

Primetimo da se izračunavanjem izraza ( 71) za n=0 i n=1 vidi se da se dobijaju tačne početne vrednosti. Konačno, budući da su diferetne ( 57) i ( 69) zapravo povezane vremenskim pomeranjem odziva, vidi se da je

]2n[y]n[h4

1

3

1

2

1

3

2]n[h

4

1

3

16

2

14

3

2]n[x

2n2nnn

−=

⋅+

+=

⋅+

⋅+=

−−

Drugim rečima, s obzirom na oblik diferentne jednačine, vidi se da je efekat pobude na ulazni signal zakašnjen za dva odbirka. To znači da se pobuda koja deluje u trenutku n=0, "vidi" na izlazu tek u trenutku n=2.

10. Frekvencijski odziv sistema Sledeći usvojenu analogiju izmeñu Laplasove i Z-transformacije, sledeće pitanje

koje se otvara vezano je za odreñivanje izraza koji bi bili analogni Furiejovim redovima i Furijeovoj transformaciji.

Budući da je analiza konvergencije Z-transformacije pokazala da ulogu imanigarne ose (s=jω) kod kontinualnih signala, preuzima jedinični krug (z= ejΩ), prirodno je da se posebno analizira izraz G(ejΩ).

U cilju sagledavanja značenja funkcije G(ejΩ), podsetimo se da je funkcija zn sopstvena funkcija sistema. U skladu sa time diskretni periodični signal

x[n]=ejΩn, proizvoljne učestanosti Ω pretstavlja sopstvenu funkciju diskretnog sistema, što znači da će i odziv sistema na periodičnu pobudu biće takoñe periodičan i odreñen izrazom

∑∞

−∞=

Ω−Ω

ΩΩ

=

=

k

njj

njj

e]n[g)e(G

;e)e(G]n[y

Ukoliko sopstvena vrednost sistema, to jest funkcija G(ejΩ) konvergira, ona se označava kao frekvencijska funkcija prenosa ili (frekvencijski odziv) i ima istu ulogu kao funkcija G(jω) kod kontinualnih sistema.

Nadalje, pri analazi sopstvenih funkcija pokazano je da ukoliko se pobudna

funkcija može izraziti preko prebrojive baze funkcija nkk z]n[ =φ , odnosno ako je

∑=k

nkkza]n[u

( 70)

( 71)

( 72)

( 73)

( 74)

19/z

tada je odziv

∑=k

nkkk z)z(Ga]n[y

gde konstante G(zk) predstavljaju sopstvene vrednosti linearnog diskretnog sistema.

Usvajajući da je N/k2jk ez π= , pobudna funkcija je izražena zbirom periodičnih

funkcija (harmonika). Pri tome je i odziv linearnog diskretnog sistema takoñe izražen zbirom harmonika.

Primer

Da bi se ilustrovala prethodna tvrdnja odredićemo odziv sistema čiji je jedinični impulsni odziv definisan sa

1|a|];n[ha]n[g n <= na pobudni signal

njnj0

00 eencos2]n[u Ω−Ω +=Ω= Budući da je pobudni signal oblika ( 72), odziv se može dobiti iz relacije ( 73), tako da je

njjnjj 0000 e)e(Ge)e(G]n[y Ω−Ω−ΩΩ += pri tome je na osnovu ( 3)

( )

ϕ−Ω

∞

−∞=

ΩΩ−

ϕΩ−

∞

=

Ω−∞

−∞=

Ω−∞

−∞=

Ω−Ω

=−

==

=−

====

∑

∑∑∑

jj

n

njj

jj

0n

nj

n

njn

n

njj

Aeae1

1e]n[g)e(G

Aeae1

1aee]n[hae]n[g)e(G

0

00

0

0000

U skladu sa time odziv sistema je

)ncos(A2eAeeAe]n[y 0njjnjj 00 ϕ+Ω=+= Ω−ϕ−Ωϕ

Iz dobijenog rezultata se vidi da je odziv linearnog stacionarnog sistema na sinusoidalnu pobudu, takoñe sinusoidalna funkcija iste učestanosti, pri čemu amplituda i faza zavise od kompleksne konstante G(ejΩo).

Očigledno je da se funkcija G(ejΩ) može dobiti iz funkcije G(z), smenom z=ejΩ.

Primetimo, takoñe, da će ova smena biti moguća ukoliko oblast konvergencije funkcije G(z) sadrži jedinični krug. Ako se, nadalje, podsetimo da kod kauzalnih sistema ovaj uslov povlači i njihovu BIBO stabilnost, onda sledi da se frekvencijska funkcija prenosa može odrediti samo za BIBO stabilne sisteme.

Funkcija G(ejΩ) pretstavlja Furijeovu transformaciju jediničnog impulsnog odziva g[n] diskretnog sistema. O ovoj transformaciji će posebno biti reći. Ipak, neke osobine ove transformacije se mogu direktno izvesti i na osnovu osobina Z-transformacije.

Periodičnost funkcije G(ejΩ) Budući da je ejΩ periodična funkcija sa periodom 2π, izvesno je da i funkcija

G(ejΩ) mora biti periodična sa istim periodom. Otuda se najčešće grafički prikazuje samo osnovni spektar funkcije.

Od posebnog interesa su dve vrednosti ove funkcije: • jednosmerna komponenta (Ω = 0) – koja se odreñuje iz izraza G(ej0)=G(1) • odziv na Nikvistovoj učestanosti Ω =π - koji se odreñuje iz izraza G(ejπ)=G(-1)

U cilju ilustracije periodičnosti funkcije G(ejΩ), posmatraćemo diskretni sistem čiji je jedinični impulsni odziv

1a];n[ha]n[g n <=

( 75)

( 76)

( 77)

( 78)

20/z

Diskretna funkcija prenosa ovog sistema je

|a||z|:R;az

z)z(G >

−=

Pošto je a<1, očigledno je da oblast konvergencije uključuje jedinični krug u z-ravni, što znači da je za ovaj sistem postoji frekvencijska funkcija prenosa i da je ona jednaka

Ω−Ω

ΩΩ

−=

−=

jj

jj

ae1

1

ae

e)e(G

ππππ−π−π−π−π 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π−3π−3π−3π−3π 3π3π3π3π0000 ΩΩΩΩ

)je(G ΩΩΩΩ

a1

1

−−−−

a1

1

++++

ππππ−π−π−π−π 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π−3π−3π−3π−3π 3π3π3π3π0000

ΩΩΩΩ

)je(Garg ΩΩΩΩ

Amplitudska i fazna karakteristika ove funkcije odreñene su sa

( ) ( )

Ω−

Ω−=

+Ω−=

−−==

Ω

ΩΩ−Ω∗ΩΩ

cosa1

sinaarctg)e(Garg

acosa21

1

ae1

1

ae1

1)e(G)e(G)e(G

j

2jjjjj

Iz amplitudske i fazne karakteristike funkcije (Sl. 7 i Sl. 8) vidi se da su obe funkcije periodične sa periodom 2π. Otuda je logično da se krive crtaju samo na

( 79)

( 80)

Sl. 7 Amplitudska karakteristika sistema ( 80) za a=0.5

Sl. 8 Fazna karakteristika sistema ( 80) za a=0.5

( 81)

21/z

segmentu Ω∈[-π,π].

Osobine funkcije G(ejΩ) kod sistema čiji je jedinični impulsni odziv realna funkcija Ako je jedinični impulsni odziv realna funkcija tada je

neparna)e(Garg)e(Garg

parna)e(G)e(G)e(G)e(G]n[g]n[g

jj

jjjj

Ω−Ω

Ω−ΩΩ−Ω∗∗

−=

=⇒=⇒=

Budući da je u posmatranom primeru jedinični impulsni odziv realna funkcija, i ove osobine se mogu proveriti na Sl. 7 i Sl. 8. S obzirom na osobine parnosti amlitudske i fazne karakteristike one se često prikazuju i samo na segmentu Ω∈[0,π]. Stacionarno stanje kauzalnih sistema

Kao i kod kontinualnih sistema, prirodno je i da se kod diskretnih sistema postavi pizanje da li osobina sopstvenih funkcija važi i za kauzalne funkcije.

Ako se potraži odziv linearnog stacionarnog diskretnog sistema sistema na kauzalnu eksponencijalnu pobudu u[n]=znh[n] dobija se

0kza0]k[g

nkza0]kn[hz]k[gz]k[gzz

]k[g]kn[hz]k[g]kn[u]n[u]n[g]n[y

kn

0k

nn

k

kn

k

)kn(

k

<=

>=−==

=−=−=∗=

−

=−∞=

−

∞

−∞=

−∞

−∞=

∑∑

∑∑

Iz dobijenog izraza se vidi znači da odziv sistema neće nužno biti istog oblika kao i pobudni signal. Meñutim, ukoliko je sistem BIBO stabilan, onda on ima ograničen impulsni odziv što znači da postoji neki, dovoljno velik trenutak vremena n0, za koji važi

0nnzaN]n[g ><

Kako je pored toga i funkcija z-k je opadajuća funkcija po k (za |z|>1), izvesno je da se, posle dovoljno dugog vremena, gornja granica sume može povećati, tako da se odziv aproksimira kao

n k n0

k 0

n n y[n] z g[k]z z G(z)∞

−

=

∀ > ≈ =∑

gde je G(z) unilateralna Z-transformacija jediničnog impulsnog odziva. Iz ovoga se može izvesti zaključak da će odziv linearnog stacionarnog diskretnog sistema na eksponencijalnu pobudu, posle dovoljno dugog vremena, biti i sam eksponencijalna funkcija. Kada istekne taj period vremena kaže se da je sistem ušao u stacionarno stanje. Interval vremena pre nastupanja stacionarnog stanja označava se kao prelazni proces. Potrebno je zapaziti da stacionarno stanje postoji samo kod sistema koji su BIBO stabilni.

11. Veza izmeñu Laplasove i Z-transformacije Pri analizi Furijeove transformacije pokazano je da se odabiranje kontinualnog

signala može izvršti tako što se kontinualni signal pomnoži povorkom jediničnih impulsa.

≠

=−δ=⇒−δ== δ

∞

−∞=δ ∑ nTt0

nTt)nTt()nT(u)t(u;)nTt()nT(u)t(p)t(u)t(u

n

Signal uδ(t) predstavlja povorku Dirakovih impulsa čija je snaga jednaka u(nT). Ako se formira diskretni signal u[n] takav da je

)nT(u]n[u =

( 82)

( 83)

( 84)

( 85)

( 86)

( 87)

22/z

tada su signali uδ(t), i u[n] opisani identičnim skupom brojeva. To nadalje znači da oni moraju nositi identičnu informaciju.

Sledeći ovaj koncept, posmatraćemo jedan linerani kontinualni sistem čiji je jedinični impulsni odziv gδ(t), i jedan linerani diskretni sistem čiji je jedinični impulsni odziv g[n]. Neka su ova dva odziva povezana relacijom

∑∞

−∞=δ −δ=

n

)nTt(]n[g)t(g

Iz relacije ( 88) sledi da kontinualni sistem ima impulsni odziv koji je sastavljen od ekvidistantnih Dirakovih impulsa, pri čemu je snaga impulsa odreñena jediničnim impulsnim odzivom diskretnog sistema. Ovo nadalje znači da će oba sistema na potpuno isti način obrañivati pobudni signal koji nosi istu informaciju (Sl. 9).

Funkcije prenosa ova dva sistema definisane su sa

∑∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=δ

∞

−∞=

− =

−δ==n

nTs

nn

n e]n[g)nTt(]n[g)s(G;z]n[g)z(G L

Meñutim, ukoliko su ova dva sistema ekvivalentna, onda i njihove funkcije prenosa moraju biti ekvivalentne. Ova elvivalencija se, zaista, i vidi iz relacije ( 89) iz koje sledi da je

Tsez)z(G)s(G

=δ =

Dobijeni rezultat ukazuje na činjenicu da su s i z ravan vezani preslikavanjem z=esT. Ovaj rezultat i ne pretstavlja veliko iznenañenje, ako se podsetimo da je, pri odreñivanju oblasti konvergencije, ulogu imanigarne ose kod Laplasove transformacije, preuzeo jedinični krug kod Z-transformacije.

Budući da je preslikavanje z=ejωT periodično sa periodom T, vidi se da se delovi imaginarne ose dužine ω0=2π/T preslikavaju na isti način. Svaki od ovih segmenata se zapravo preslikava u jednični krug. Ovo periodično preslikavanje, može da posluži kao još jedno objašnjenje fenomena preklapanja spektra pri procesu odabiranja. Naime, svi delovi spektra koji odgovaraju pojedinim segmentima imaginarne ose, preslikani na jediničlni krug izgledaju identično. Otuda sledi da je jedini način, da se iz slike na jediničnom krugu izvuče spektar kontinualnog signala je da on nema komponente van osnovnog segmenta -π/T<ω<π/T. Ako se učestanost odabiranja označi sa Ω=2π/T, onda se ovaj uslov zapravo svodi na zahtev da se učestanost odabiranja odabere tako da spektar kontinualnog signala bude ograničen na −Ω/2<ω<Ω/2. Ovaj rezultat je identičan uslovu koji daje teorema odabiranja.

Zapazimo takoñe da se preslikavanjem leva poluravan s-ravni preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga, dok se desna poluravan preslikava u prostor izvan jediničnog kruga. Pri tome se takoñe svaki od pojaseva širine 2π/T preslikava na ista mesta u z-ravni.

( 88)

Sl. 9 Ekvivalencija kontinualnog i diskretnog sistema

( 89)

( 90)

g[n]

gδδδδ(t)

nn

tt

u[n] y[n]

uδδδδ(t) yδδδδ(t)

23/z

0

/T

1

Imz

Rez

Res

Ims sTez =

/T

/T

-1

/T

12. Dodatak

Tablice Z-transformacija U tablici su date bilateralne Z- transformacije nekih karakterističnih signala.

Obratiti pažnju na činjenicu da za kauzalne signale ovi izrazi predstavljaju istovremeno i unilateralnu Z-transformaciju.

Signal

Z- transformacija

Oblast

konvergencije

impuls

δ[n] 1 svako z

δ[n-no], no>0 z-no |z|>0

δ[n+no], no>0 zno |z|<∞

kauzalna odskočna funkcija

h[n] 1z1

1

1z

z−−

=−

|z|>1

antikauzalna odskočna funkcija

-h[-n-1] 1z1

1

1z

z−−

=−

|z|<1

kauzalna eksponencijalna funkcija

]n[han 1az1

1

az

z−−

=−

|z|> |a|

antikauzalna eksponencijalna funkcija

]1n[ha n −−− − 1az1

1

az

z−−

=−

|z|<|a|

težinska kauzalna eksponencijalna funkcija

]n[ha)1n( n+ 212

2

)az1(

1

)az(

z−−

=−

|z|> |a|

Sl. 10 Preslikavanje s-ravni u z-ravan

24/z

kauzalna sinusoida ]n[h)tsin( 0Ω 1cosz2z

sinz

02

0

+Ω−

Ω |z|>1

kauzalna kosinusoida ]n[h)tcos( 0Ω 1cosz2z

coszz

02

02

+Ω−

Ω− |z|>1

kauzalna prigušena sinusoida

]n[h)tsin(a 0n Ω

20

20

acosaz2z

sinza

+Ω−

Ω |z|>a

kauzalna prigušena kosinusoida

]n[h)tcos(a 0n Ω

20

20

2

acosaz2z

coszaz

+Ω−

Ω− |z|>a

1/DFT

Diskretna Furiejova transformacija

1. Furijeova transformacija diskretnih signala

Polazeći od činjenice da Furijeova analiza kontinualnih signala omogućava da se preko spektra signala sagleda čitav niz osobina signala, prirodno je da se postavi pitanje da li se Furiejova analiza može primeniti i na diskretne signale.

Podsetimo se se Laplasova transformacija kontinualnih signala, može posmatrati kao svojevrsno poopštenje Furijeve transformacije. Odnosno, da se za sve kontinualne signale kod kojih oblast konvergencije Laplasove transformacije obuhvata imaginarnu osu, Furijeova transformacija može dobiti iz Laplasove transformacije smenom s=jω. Pokazano je, takoñe, da ovo ne važi za periodične signale i za odskočnu funkciju (kao i niz drugih signala koji imaju prekid prve vrste), odnosno za one signale čije Laplasove transformacije imaju polove na imaginarnoj osi. Kod takvih signala, Furijeova transformacija u sebi sadrži impulsnu funkciju i može se odrediti iz same definicije Furijeove transformacije.

Imajući u vidu snažnu analogiju koja postoji izmeñu kontinualnih i diskretnih sistema, kao i izmeñu Laplasove i Z-transformacije, čini se potpuno opravdanim da se i Z-transformnacija posmatra kao svojevrsno poopštenje Furijeove transformacije diskretnih signala. U tom smislu, prirodno je da se za one diskretne signale kod kojih oblast konvergencije Z-transformacije obuhvata jedinični krug, Furiejova transformacija odreñuje iz Z-transformacije smenom z=ejΩ. Otuda se Furijeiva transformacija diskretnih signala definiše kao

∑∞

−∞=

Ω−Ω =n

njj e]n[x)e(X (1)

Konstanta Ω naziva se kružna učestanost. U cilju ispitivanja osobina Furijeove transformacije diskretnih signala pogodno je

da se analiziraju različiti tipovi signala

Signali za koje oblast konvergencije obuhvata jedinični krug

Sa gledišta kompleksne z-ravni (1), Furijeova transformacija se odreñuje za vrednosti koje argumenat ima na jediničnom krugu ( jz e Ω= ). Otuda sledi da se za one diskretne signale za koje oblast konvergencije Z-transformacije obuhvata jedinični krug Furiejova transformacija može da odrediti i kao

Ω=Ω = jezj )z(X)e(X (2)

To nadalje znači da sve osobine z-transformacije važe i za Furijeovu transformaciju ove klase signala.

Primetimo da egzistencija Z-transformacije kod ove klase signala, implicira i da je signal apsolutno sumabilan, odnosno da važi

∑∞

−∞=

∞<n

]n[x (3)

Primer

Neka je x[n] kauzalni eksponencijalni signal

1a],n[ha]n[x n ≠= tada je

az,az1

1)z(X

1>

−=

−

2/DFT

Budući da za |a|<1, oblast konvergencije obuhvata jedinični krug, tako da je Furijeova transformacija signala x[n]

1a,ae1

1)e(X

jj <

−=

Ω−Ω

Za slučaj kada je |a|>1, Furijeova transformacija nije definisana. Ukoliko je meñutim x[n] antikauzalni signal

1a],1n[ha]n[x n ≠−−−= tada je Z-transformacija

az,az1

1)z(X

1<

−=

−

tako da Furijeova transformacija postoji za |a|>1, a ne postoji za |a|<1. Primer

Pravouagoni impuls širine N ]Nn[h]n[h]n[p −−=

ima Z-transformaciju

z,z1

z1

z1

1z

z1

1)z(P

1

N

1N

1∀

−

−=

−−

−=

−

−

−−

−

pa je Furijeova transformacija

( )( )

( )( )

( )( ) 2

)1N()e(Parg,

2/sin

2/Nsin)e(P

2/sin

2/Nsine

eee

eee

e1

e1)e(P

jj

2/)1N(j2/j2/j2/j

2/Nj2/Nj2/Nj

j

Njj

−Ω−=

ΩΩ

=

⇒ΩΩ

=−

−=

−

−=

ΩΩ

−Ω−Ω−ΩΩ−

Ω−ΩΩ−

Ω−

Ω−Ω

Signali za koje oblast konvergencije Z-transformacije ne obuhvata jedinični krug

U slučaju signala čija Z-transformacija ne obuhvata jedinični krug, za odreñivanje Furijeove transformacije diskretnih signala ne može da se koristi z-transformacija.

Da bi se odredile osobine Furijeove transformacije ovih funkcija poćiće se od činjenice da je ejΩ periodična funikcija sa periodom 2π. To znači da i funkcija X(ejΩ) mora biti periodična sa istim periodom. Periodičnost funkcije X(ejΩ) implicira da se ona, uz uslov da su ispunjeni odgovarajući uslovi, može razviti u Furijeov red.

Podsetimo se da se periodični signal x(t) sa periodom T=2π/ω0 može razviti u red oblika

∑∞

−∞=

ω=k

tjkk

0ea)t(x ∫−

ω−=2/T

2/T

tjkk dte)t(x

T

1a 0 (4)

Uzimajući u obzir da je X(ejΩ) funkcija po Ω, i uočavajući da je ω0=2π/T=1, vidi se da je

∑∑∑∞

−∞=

Ω−∞

−∞=

Ω−−

∞

−∞=

ΩΩ ===n

jnn

n

jnn

k

jkk

j ebeaea)e(X (5)

∫∫π

π−

ΩΩπ

π−

−Ω−Ω− Ω

π=Ω

π== de)e(X

2

1de)e(X

2

1ab njj)n(jj

nn (6)

Ako se sada izraz (5) uporedi sa jednačinom (1) vidi se da je

∫π

π−

ΩΩ Ωπ

== de)e(X2

1b]n[x njj

n (7)

Iz izloženih rezultata sledi da se sve osobine koje važe za Furijeove redove kontinualnih signala mogu i ovde primeniti, s tim što vreme i učestanost treba da

3/DFT

zamene mesta. Samo se po sebi razume, da se ove osobine ne ograničavaju samo na ovu klasu signala, jer proističu, ne iz tipa signala, već iz periodičnost funkcije X(ejΩ)

Signali konačne energije

Pre svega, podsetimo se da je uslov konvergencije Furijeovog reda (5) u srednje kvadratnom smislu

∞<Ω∫π

π−

Ω d)e(X2j (8)

Ovaj uslov se ,meñutim, na osnovu Parsevalove relacije svodi na

∞<=Ωπ ∑∫

∞

−∞=

π

π−

Ω

n

22j ]n[xd)e(X2

1 (9)

To znači da Furijeova transformacija postoji i za sve diskretne signale koji imaju konačnu energiju.

Zapazimo i da važi nejednakost

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

≥

n

22

n

]n[x]n[x (10)

Ukoliko je izraz na levoj strani nejednačine (10) konačan, odnosno ako je signal apsolutno sumabilan, onda on mora imati konačnu energiju. Obrnuto, meñutim, ne važi. Činjenica da je izraz na desnoj strani nejednačine (10) konačan, odnosno da signal ima konačnu energiju ne mora da znači i da je on apsolutno sumabilan.

Primer Neka je

n

nsin]n[x b

π

Ω=

Ovaj signal nije apsolutno sumabilan, ali ima konačnu energiju. To znači da se njegova Furijeova transformacija može odrediti, ali ne preko Z-transformacije (koja ne postoji za z=ejΩ).

Sledeći analogiju sa Furijeovom transformacijom kontinualnih signala, može se očekivati da će Furijeova transformacija ovog diskretnog signala biti idealan, niskopropusni filtar

π<Ω

Ω>Ω

Ω<Ω=Ω

bb

bj ,0

1)e(X

Da bi proverili tačnost predpostavke izračunaćemo x[n] prema relaciji (7)

n

nsine

jn2

1de

2

1de)e(X

2

1]n[x bnjnjnjj b

b

b

bπ

Ω=

π=Ω

π=Ω

π= Ω

Ω−Ω

Ω

Ω−

Ωπ

π−

ΩΩ ∫∫

Primer: Jednični impuls Budući da je jedinični impuls signal konačne energije, njegova Furijeova

transformacija se može odrediti direktno iz definicionog izraza

Ω∀=⇒δ= Ω ,1)e(X]n[]n[x j (11)

Periodični signali

Problem periodičnih signala koji nemaju konačnu energiju rešen je, kod Furijeove transformacije kontinualnih signala tako što je prihvaćeno da ona može da sadrži impuslne funkcije. Ako se opet poslužimo analogijom i pretpostavimo da je

4/DFT

∑ Ω−Ωδπ=Ω

kkk

j )(A2)e(X (12)

tada je, na osnovu relacije (7), diskretni signal kome odgovara ova Furijeova transformacija zbir komplesknih sinusoida

∑∑ ∫∫ Ωπ

π−

Ωπ

π−

ΩΩ =ΩΩ−Ωδ=Ωπ

=k

njk

k

njkk

njj keAde)(Ade)e(X2

1]n[x (13)

Primer Posmatrajmo sinusoidalni signal

( ) ⇒π<Ω−=Ω= Ω−Ω0

njnj0 ,ee

j2

1nsin]n[x 00 (14)

Na osnovu relacije (12) Furijeova transformacija sinusoide je

( ))()(j)e(X 00j Ω+Ωδ−Ω−Ωδπ−=Ω (15)

Na isti način može se odrediti i Furijeova transformacija kosinusoide

( )( ))()()e(X

,ee2

1ncos]n[x

00j

0njnj

000

Ω+Ωδ+Ω−Ωδπ=

⇒π<Ω+=Ω=

Ω

Ω−Ω

(16)

Primer: Konstanta Iz relacije (12) može se direktno odrediti Furijeova transformacija diskretne

konstantne

π≤ΩΩπδ=⇒= Ω ),(2)e(X1]n[x j (17)

2. Osobine Furijeove transformacije diskretnih signala

Budući da su sve osobine analogne osobinama Furijeove transformacije kontinualnih signala, kao i Z-transformacije, što znači da se i dokazuju na isti način, navešćemo ih bez dokaza. (Oznaka ↔ koristi se da označi Furiejov par, odnosno diskretni signal i njemu odgovarajuću Furijeovu transformaciju).

Linearnost

∑∑ Ω↔k

jkk

kkk )e(Xa]n[xa (18)

Primer

( ))()(jae1

1)e(X

1ansin]n[ha]n[x

00jj

0n

Ω+Ωδ−Ω−Ωδπ+−

=

<Ω−=

Ω−Ω

(19)

Zapaziti da je na slici Sl. 1

prikazan samo osnovna komponenta spektra. Naime, budući da je spektar periodična sa periodom 2π, evidentno je da nema razloga da se crtaju i ostali delovi spektra.

Sl. 1 Amplitudski spektar signala (19) za a=0.8 i ΩΩΩΩ0=2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.55

5/DFT

Pomeranje u vremenu i modulacija

)e(Xe]nn[x jnj0

0 ΩΩ−↔− (20) Dualna operacija

)e(X]n[xe )(j0

nj 00 Ω−ΩΩ ↔ (21)

Furijeova transformacija diskretne odskočne funkcije Budući da je

( ) 1e1)e(H]n[]1n[h]n[h jj =−⇒δ=−− Ω−Ω

Budući da je za Ω=0 izraz ( ) 0e1 j =− Ω− , može se zaključiti da H(ejΩ) sadrži impuls za

Ω=0. To bi značilo da je H(ejΩ) oblika

( ) )(Ce1

1)e(H

jj Ωδ+

−=

Ω−Ω

gde, u skladu sa relacijom (17) konstanta C odgovara jednosmernoj komponenti amplitude C/2π.

U cilju odreñivanja konstante C, potražićemo Furijeovu transofmaciju parnog dela odskočnog signala (koji daje jednosmernu komponentu signalu). Kako je

π=⇒=π

⇒=⇒+= C2

1

2

C

2

1]n[h)nsgn(

2

1

2

1]n[h p

Otuda sledi da je

( ) )(e1

1)e(H

jj Ωπδ+

−=

Ω−Ω (22)

Zapazimo takoñe da za diskretne signale važi i ]n[]n[h]n[h]nsgn[ δ=−−=

Primer

Odrediti Furijeovu transformaciju diskretnog signala

]n[x)1(]n[y n−=

Kako je (-1)n=e±jπn, to je

)e(X]n[xe)e(Y )(jnjj π±Ωπ±Ω == F

Signal y[n] nastaje modulacijom sa kompleksnom sinusoidom i time se njegov spektar pomera za ±π (Sl. 2)

Inverzija vremena i konjugacija

)e(X]n[x jΩ−↔− (23)

)e(X]n[x jΩ−∗∗ ↔ (24)

Diferenciranje po učestanosti

Ω↔

Ω

d

)e(dXj]n[nx

j (25)

Sl. 2 Amplitudski spektar signala (19) modulisanog

komplesknom sinusoidom čija je učestanost ππππ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

6/DFT

Konvolucija signala

)e(X)e(X]n[x]n[x j2

j121

ΩΩ↔∗ (26)

Množenje signala

)e(X)e(X2

1]n[x]n[x j

2j

121ΩΩ ⊗

π↔ (27)

gde ⊗ označava periodičnu konvoluciju koja se, za periodične funkcije, definiše kao

∫π

Ω−θθΩΩ θ=⊗2

)(j2

j1

j2

j1 d)e(X)e(X)e(X)e(X (28)

Akumulacija

)()e(X)e(Xe1

1)e(H)e(X]n[h]n[x]k[x]n[y 0jj

jjj

n

k

Ωδπ+−

=↔∗== ΩΩ−

ΩΩ

−∞=∑ (29)

Parsevalova relacija

Za signale konačne enrgije izraz

∑∞

−∞=

=n

2x ]n[xE (30)

može da se shvati kao Furiejova transformacija signala y[n] za učestanost Ω=0, jer je

∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−∗ ===⇒==n

2

nn

0j0j2]n[x]n[ye]n[y)e(Y]n[x]n[x]n[x]n[y (31)

Budući da je, na osnovu osobine množenja

∫∑

∫∫

∫

π

Ω∞

−∞=

π

θ

π

θ∗θ

π

θ−Ω−∗θΩ−∗ΩΩ

Ωπ

=

⇒θπ

=θπ

=

⇒θπ

=⊗π

=

2

2j

n

2

2

2j

2

jj0j

2

)(jjjjj

d)e(X2

1]n[x

d)e(X2

1d)e(X)e(X

2

1)e(Y

d)e(X)e(X2

1)e(X)e(X

2

1)e(Y

(32)

Simetrija

Ako je x[n] realni signal Furijeova transformacija ima čitav niz dodatni osobina.

Simetričnost konjugacije

)e(X)e(X)e(X)e(X]n[x]n[x

)e(X]n[xjjjj

j

Ω−Ω∗ΩΩ−∗∗

Ω−∗∗

=⇒=⇒=

↔ (33)

j j j

j j j j j

j

j

za X(e ) Re X(e ) jIm X(e )

X (e ) Re X(e ) jIm X(e ) Re X(e ) jIm X(e )

Re X(e ) parna funkcija

Im X(e ) neparna funkcija

Ω Ω Ω

∗ Ω Ω Ω − Ω − Ω

− Ω

− Ω

= + ⇒

⇒ = − = − ⇒

⇒

(34)

7/DFT

( )

( ) ( )

( )

j

j j

jarg X(e )j j

jarg X(e ) jarg X(e )j j j

j

j

za X(e ) X(e ) e

X (e ) X(e ) e X(e ) e

X(e ) parna funkcija

arg X(e ) neparna funkcija

Ω

Ω − Ω

Ω Ω

−∗ Ω Ω Ω

Ω

Ω

= ⇒

⇒ = = ⇒ (35)

Parni i neparni deo signala

Ako se realni signal x[n] rastavi na svoj parni i neparni deo x[n]=xp[n]+xn[n] tada se na osnovu izloženih osobina može pokazati da je

Furijeove transformacija parnog dela signala uvek realna, a neparnog uvek imaginarna.

( )

( )

p n

jn jn j jp p p p p p

n n

p p p p

p p

jn jn jn n n n n

n n

F x[n] F x [n] F x [n]

F x [ n] x [ n]e x [n]e X (e ) X (e ) F x [n]

iz x [ n] x [n] F x [ n] F x [n]

F x [n] F x [n] realna funkcija

F x [ n] x [ n]e x [n]e X (e ) X

∞ ∞ ∗− Ω Ω − Ω ∗ Ω

=−∞ =−∞

∗

∞ ∞− Ω Ω − Ω ∗

=−∞ =−∞

= +

− = − = = = =

− = ⇒ − = ⇒

⇒ = −

− = − = = =

∑ ∑

∑ ∑ ( )

( )

jn

n n

n n n n

(e ) F x [n]

iz x [ n] x [n]

F x [ n] F x [n] F x [n] F x [n] imaginarna funkcija

∗Ω

∗

=

− = − ⇒

⇒ − = − ⇒ = − −

(36)

3. Diskretna Furijeova transformaija – grafička interpretacija

Iako je Furiejova transformacija diskretnih signala van svake sumnje korisna u analizi diskretnih signala, ona i dalje nije prilagoñena izračunavanjima u računaru. Naime, već je rečeno da je jedna od osnovnih prednosti pretstavljanja informacija u formi diskretnih signala, ta što se oni mogu pamtiti u računaru i obrañivati u formi odbiraka. Drugim rečima, kada u nekom procesu merenja nastaju podaci oni se odmah mogu uneti u računar i pripremiti za obradu. Sa druge strane, sve dok proces radi nije moguće odrediti njegov spektar. Razlog tome leži u činjenici da se prema definiciji Furijeove transformacije diskretnog signala, spektar odreñuje uz predpostavku da se poznaju svi odbirci od -∞ do ∞.

Budući da se čitavom nizu praktičnih aplikacija, odbirci signala mogu dobiti u realnom vremenu (vremenu u kome nastaju), prirodno se nametnula potreba za definicijom odgovarajuće transformacije koja bi na osnovu konačnog broja odbiraka mogla da da predstavu o spektru signala. Drugim rečima, traži se transformacije pomoću koje će konačan broj odbiraka da bude reprezentovan konačnim brojem tačaka (odbiraka) spektra. Ovakva transformacije se naziva diskretna Furiejova transformacija (DFT).

U svetlu iznete ideje DFT zapravo predstavlja jedan algoritam za izračunavanje spektra diskretnog signala pomoću konačnog broja odbiraka, a ne transformaciju u smislu u kome su razmatrane sve prethodne transformacije.

8/DFT

)(X~

ωωωω)t(x~

Sl. 3 Grafičko izvoñenje diskretne Furijeove transformacije

9/DFT

Postoji više načina da se definiše diskretna Furijeova transformacija. Imajući u vidu da ona nastaje iz Furijeove transformacije, čini se da ima smisla da se pri definisanju odmah i uspostavi veza izmeñu ove dve transformacije. Da bi to postigli analiziraćemo proces obrade signala i spektra grafički ilustrovan na Sl. 3.

Poći ćemo od kontinualnog signala x(t) i njemu odgovarajućeg spektra X(ω), jer smo na tom nivou u potpunosti ovladili korespondencijom izmeñu osobina signala prikazanog u vremenskom domenu osobina spektra. (Uočimo da je posmatrani signal parni pa je njegov spektar realan).

Da bi ovaj signal mogao da se obrañuje u računaru on se mora odabirati. Već je pokazano da će odbirci diskretnog signala x[n] biti jednaki snazi impulsa koji nastaju množenjem signala x(t) povorkom Dirakovih impulsa (funkcija češlja). Odabraćemo u tu svrhu povorku Dirakovih impulsa p(t) koja ima periodu T. Odgovarajući spektar signala p(t), P(ω) je takoñe povorka Dirakovih impulsa sa periodom 2π/T. Kada se signal x(t) pomnoži signalom p(t) dobiće se opet niz Dirakovih impulsa čija je snaga jednaka vrednosti signala u trenutcima x(nT). Budući da je Furiejova transformacija proizvoda signala jednaka konvoluciji Furijeovih transformacija signala, spektar proizvoda se može dobiti konvolucijom spektara

)j(P)j(X2

1)t(p)t(x ω∗ω

π=F (37)

(Radi jednostavnosti u oznaci na ordinatnoj osi izostavljen je faktor 1/2π). Kao što je već i rečeno, rezultujući spektar koji nastaje odabiranjem je periodičan. Zapazimo da se čak i njegov centralni deo razlikuje od origanalnog spektra zbog efekta peklapanja. Naime, teorija pokazuje da se preklapanje spektra može izbeći ukoliko se učestanost odabiranja izabere tako da bude dvostruko veća od propusnog opsega spektra signala koji se odabira. Ukoliko signal x(t) nema ograničen spektar onda se preklapanje naravno ne može izbeći. U tom slučaju, ne preostaje ništa drugo nego da se poveća učestanost odabiranja, odnosno da se smanji perioda T. U praksi to se i radi, tako da se signal odabira maksimalnom brzinom koja ostavlja dovoljno vremena da se u računaru izmeñu prikupljanja dva sukcesivna odbirka obavi zahtevana obrada.

Dobijeni par signala x(t)p(t) i X(ω)∗P(ω) još uvek nije pogodan za računarsku obradu. Problem je zapravo u tome što je broj odbiraka signala x(t)p(t) neograničen. Iz tog razloga je neophodno da se ovaj signal na neki način "skrati" tako da se dobije samo konačan broj, recimo N, odbiraka. Ovo se može postići množenjem signala signalom ograničenog trajanja, na primer pravougaonim impulsom w(t) širine T0. Na taj način broj odbiraka će biti N=T0/T. Ovim je izvršena druga modifikacija originalnog signala. Spektar koji odgovara pravougaonom impulsu je sinc funkcija, tako da se spektar odsečenog signala x(t)p(t)w(t), dobija konvolucijom signala W(ω) sa signalom X(ω)∗P(ω). Rezultujuća Furijeova transformacija sada pored preklopljenih delova spekta dobija i izvesnu oscilaciju (koja potiče od spektra W(ω)). Da bi se smanjio ovaj efekat treba se prisetiti odnosa izmeñu širine pravouagonog impulsa i njegove Furijeove transformacije. Drugim rečima, ako se pravougaoni impuls širi, sinc funkcija se približava impulsnoj funkciji, tako da efekat usled konvolucije opada. Odavde se može zaključiti da je poželjno da se usvoji da je širina pravouagonog impulsa što je moguće veća.

Meñutim, rezultujući par signala x(t)p(t)w(t) i X(ω)∗P(ω)∗W(ω) i dalje nije pogodan za računarsku obradu. Problem je, zapravo, u tome što je spektar signala i dalje kontinualna funkcija. Rečeno je već, da je za računarsku obradu potrebno da svi signali budu predstavljeni pomoću konačnog broja odbiraka. U cilju prevazilaženja ovog problema, izvršićemo odabiranje spektra pomoću povorke dirakovih impulsa Q(ω), čiji je

10/DFT

period 2π/T0. Na taj način se formira signal )(X~

ω . Kao rezultat ovog procesa odabiranja,

odgovarajući signal u vremenskom domenu )t(x~ postaće, takoñe, periodičan sa periodom T0. Ovde treba obratiti pažnju na činjenicu da je učestanost odabiranja u frekevncijskom domenu (2π/T0) izabrana upravo tako da ponavljanje signala u vremenskom domenu bude van odabranog opsega u kome se signal odabira (T0).

U svakom slučaju par signala )t(x~ i )(X~

ω , je periodičan te se može definisati pomoću konačnog broja odbiraka (N=T0/T), te ispunjava sve uslove za računarsku obradu. Ovih N odbiraka definiše par Furijeove transformacije i aproksimira originalni par. Da bi se to postiglo bilo je neophodno da se i signal u vremenskom domenu i njegov spektar transformišu u periodične signale. N vremenskih odbiraka i N odbiraka spektra predstavljaju jednu periodu signala u vremenskom i frekvencijskom domenu. Budući da su ovi odbirci vezani za oraignalnu kontinualnu Furijeovu transformaciju, izvesno je da se iz te veze može izvesti diskretna relacija.

4. Diskretna Furijeova transformaija – teorijsko izvoñenje

U izvoñenju diskretne Furijeove transformacije pratićemo grafičko izvoñenje. Pre svega, odabiranjem signala x(t) sa periodom T dobija se

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−δ=−δ=kk

)kTt()kT(x)kTt()t(x)t(p)t(x (38)

Zatim se rezultujuća funkcija odseca množenjem sa pravougaonom funkcijom širine T0. Neka je taj impuls definisan izrazom

−−<<−

=tvrednostiostaleza0

2/TTt2/T1)t(w 0 (39)

Odgovor na prirodno pitanje zašto ovaj impuls nije centriran u nuli, daćemo nešto kasnije. U suštini, na ovaj način se u izvesnoj meri pojednostavljuje označavanje.

Odsecanje signala daje signal

T

TN;)kTt()kT(x)t(w)kTt()kT(x)t(w)t(p)t(x 0

1N

0kk

=−δ=

−δ= ∑∑

−

=

∞

−∞=

(40)

Poslednji korak u modifikaciji originalne Furiejove transformacije sastoji se u odabiranju spektra signala. Spektar se odabira množenjem sa povorkom Dirakovih impulsa periode 2π/T0.

0kT

2;)k()(Q

π=ΩΩ−ωδ=ω ∑

∞

−∞=

(41)

kome odgovara vremenski signal

∑∞

−∞=

−δπ

=i

00 )iTt(

2

T)t(q (42)

Budući da spektar )(X~

ω nastaje množenjem spektra povorkom impulsa

( )[ ] )(Q)(W)(P)(X)(X~

ω⋅ω∗ω∗ω=ω (43) u skladu sa osobinama Furiejove transformacije, odgovarajući signal u vremenskom domenu se dobija konvolucijom

11/DFT

( )

⋯

⋯

+−−δπ

+

+−δπ

+−+δπ

+=

=

−δ

π∗

−δ=∗=

∑

∑∑

∑∑

−

=

−

=

−

=

∞

−∞=

−

=

1N

0k0

0

1N

0k

01N

0k0

0

i0

01N

0k

)kTTt()kT(x2

T

)kTt()kT(x2

T)kTTt()kT(x

2

T

)iTt(2

T)kTt()kT(x)t(q)t(w)t(p)t(x)t(x~

(44)

Imajući u vidu da je funkcija (44) periodična sa periodom T0, ona se može napisati u kompaktnoj formi kao

∑ ∑∞

−∞=

−

=

−−δ

π=

i

1N

0k0

0 )iTkTt()kT(x2

T)t(x~ (45)

Iz dobijenog izraza se vidi i zašto je bilo neophodno da se položaj pravougaonog impulsa definiše na način na koji je to urañeno (39). Naime, rezultujuća funkcija je periodična i ima N odbiraka unutar jedne periode. Da je pravougaoni impuls odabran tako da njegovi krajevi koincidiraju sa odbircima, onda bi se N-ta tačka iz jednog perioda poklopila sa prvom tačkom sledećeg perioda pa bi došlo do njihovog sabiranja, kao što je to ilustrovano na Sl. 4 . Drugim rečima, nije važno kako je pravougaonik centriran, ali je važno da se njegove granične tačke ne poklope sa odbircima signala (40).

Preostaje još da se izvede Furijeova transformacija signala )t(x~ . Budući da je Furijeova transformacija funkcije koja je periodična sa periodom T0 jednaka povorci impulsa to je

kk

X(j ) 2 a ( k )∞

=−∞

ω = π δ ω− Ω∑ɶ (46)

gde je ak koeficijenat Furijeovog reda

Sl. 4 Primer loše i dobro odabranog odsecanja signala

tT

q(t)

T0

x(t)p(t)w(t)*q(t)

t

t

T0-T/2-T/2 2T0-T/2

T0-T/2-T/2

-T0-T/2

T0 T0T0

x(t)p(t)w(t)

-T0

12/DFT

⋯2,1,0k;dte)t(x~T

1a

2/TT

2/T

tjk

0k

0

±±== ∫−

−

Ω− (47)

Zamenom izraza (45) dobija se

∫ ∑ ∑−

−

Ω−∞

−∞=

−

=

−−δ

π=

2/TT

2/T

tjk

i

1N

0n0

0

0k

0

dte)iTnTt()nT(x2

T

T

1a (48)

Pošto se integracija vrši samo po jednom periodu integral će biti različit od nule samo za i=0, tako da koeficijent reda postaje

∑∑ ∫

∫ ∑

−

=

Ω−−

=

−

−

Ω−

−

−

Ω−−

=

π=−δ

π

=

−δ

π=

1N

0n

jnkT1N

0n

2/TT

2/T

tjk

2/TT

2/T

tjk1N

0nk

e)nT(x2

1dt)nTt(e)nT(x

2

1

dte)nTt()nT(x2

1a

0

0

(49)

Konačno, kako je

N

2

T

T2T

T

2T

00

π=π=

π=Ω (50)

to je

∑−

=

π−

π=

1N

0n

N/nk2jk e)nT(x

2

1a (51)

pa je traženi spektar

∑ ∑

∑ ∑∞

−∞=

−

=

π−

∞

−∞=

−

=

π−

Ω−ωδ

=

=Ω−ωδπ

π=ω

k

1N

0n

N/nk2j

k

1N

0n

N/nk2j

)k(e)nT(x

)k(e)nT(x2

12)j(X

~

(52)

Potrebno je zapaziti da u relaciji (52) izraz u zagradi predstavlja zapravo intenzitet impulsa pri učestanostima ω=kΩ. U tom smislu izraz bi mogao da se napiše i kao

∑∞

−∞=

Ω−ωδΩ=ωk

)k()k(Y)j(X~ (53)

Već je pokazano da se za svaki signal koji informaciju nosi preko snage (intenziteta) impulsa može formirati ekvivalentni diskretni signal koji će informaciju nositi preko svojih odbiraka. Tako, na primer, signali

∑∞

−∞=δ −δ=

nss )nTt()nT(u)t(u i (54)

)nT(u]n[u s= (55) nose istu informaciju, te se u tom smislu mogu smatrati ekvivalentnim. Otuda se izraz (53) može smatrati ekvivalentim sa

∑−

=

π−=Ω=1N

0n

N/nk2je)nT(x)k(Y]k[X~

(56)

Dodajmo tome i činjenicu da se za signal

∑∞

−∞=δ −δ==

k

)kTt()kT(x)t(p)t(x)t(x (57)

13/DFT

može odrediti njemu ekvivalentan signal )nT(x]n[x = (58)

pa se izraz (56) može prikazati i kao

∑−

=

π−=1N

0n

N/nk2je]n[x]k[X~ (59)

Dalje pojednostavljenje samog pisanja ovog izraza može se dobiti ako se uvede promenljiva

N/2jeW π−= (60) tako da se dobije

∑−

=

=1N

0n

knW]n[x]k[X~ (61)

Potrebno je zapaziti da izraz Wn predstavlja, u stvari, N-ti koren iz broja jedan i to za bilo koju vrednost n. Iz teorije kompleksnih brojava poznato je da N-ti koren ima samo N različitih vrednosti koje se dobijaju za vrednosti n=0,1,...,N-1. To nadalje znači da je

nN/n2jm2jN/n2jN/mN2jN/n2jN/)mNn(2jmNn W1eeeeeeW =⋅==== π−π−π−π−π−+π−+ (62) Drugim rečima funkcija (61) je periodična sa periodom N.

]k[X~

W]n[xW]n[x]mNk[X~ 1N

0n

kn1N

0n

)mNk(n ===+ ∑∑−

=

−

=

+ (63)

Otuda je dovoljno da se računa samo N odbiraka ove funkcije. U skladu sa time Diskretna Furijeova transformaciju (DFT) signala x(t) ili signala x[n] definiše se kao

1N,1,0k;W]n[xe]n[x]k[X1N

0n

kn1N

0n

N/nk2j −=== ∑∑−

=

−

=

π−⋯ (64)

Zapazimo da ovako definisana DFT predstavlja samo jedan period funkcije ]k[X~

(61)

Inverzna diskretna Furijeova transformacija Inverzna DFT se definiše kao

1N,1,0n;W]k[XN

1e]k[X

N

1]n[x

1N

0k

kn1N

0k

N/nk2j −=== ∑∑−

=

−−

=

π⋯ (65)

Tačnost ovog izraza može se proveriti uvrštavanjem izraza (65) u izraz (64) uz korišćenje osobine ortogonalnosti funkcije W

( )221 1

2

2 20 0

11

01 1

Nj (n i) /N j (n i)N Nkn ik j (n i)k /N

j (n i) /N j (n i) /Nk k

e N n ieW W e

n ie e

π − π −− −− π −

π − π −= =

− =−= = = =

≠− − ∑ ∑ (66)

]k[XWW]i[XN

1WW]i[X

N

1]k[X

1N

0n

inkn1N

0i

1N

0n

kn1N

0i

in =

=

= ∑∑∑ ∑

−

=

−−

=

−

=

−

=

− (67)

S obzirom na periodičnost funkcije W očigledno je da i inverzna DFT zapravo predstavlja samo jedan period signala x[k]ɶ . Odsecanje kontinualnog signala x(t) – funkcije prozora

Funkcija sa kojom se množi kontinualni signal da bi se dobio vremenski ograničen signal naziva se prozor. Prilikom formiranja diskretne Furijeove

14/DFT

transformacije za odsecanje signala u vremenskom domenu korišćen je pravougaoni prozor. Ovaj signal se pokazao pogodnim zato što njegova Furijeova transformacija pri konvoluciji sa Furijeovom transformacijom signala ne menja oblik spektra originalnog signala (za dovoljno veliko T0 ona se približava impulsu). Meñutim, izvestan problem nastaje na krajevima spektra ovog prozora na kojima postoje oscilacije. Ukoliko se to želi izbeći koriste se drugačiji prozori.

Bez želje da se detaljno upuštamo u karakteristike različitih prozora, napomenimo samo da se njihovi spektri karakterišu širinom osnovnog dela spektra, nivoom oscilacija izvan osnovnog dela i brzinom opadanja oscilacija izvan osnovnog dela.

5. Diskretni Furiejov red (DFS) i osobine Diskretne Furijeove transformacije

Pre nego što se ispitaju osobine diskretne Furijeove transformacije potrebno je obratiti pažnju na nekoliko činjenica. Pre svega diskretizovan signal x(t)p(t) odsečen pomoću prozora w(t) (39)

T

TN;)kTt()kT(x)t(w)t(p)t(x)t(x 0

1N

0kR =−δ== ∑

−

=δ (68)

može da se zameni ekvivalentnim diskretnim signalom

≥<

−≤≤=

Nni0n0

1Nn0]n[x]n[xR (69)

U skladu sa time odgovorajuća konvolucija spektara X(ω)∗P(ω)∗W(ω) može se posmatrati kao Furijeova transformacija diskretnog signala xR[n], odnosno

g (70)

Odavde, nadalje sledi, da spektar )(X~

ω nastaje odabiranjem spektra )e(X jR

Ω . Njegov diskretni ekvivalent

∑∑−

=

−

=

π− ==1N

0n

nk1N

0n

N/nk2j W]n[xe]n[x]k[X~ (71)

je periodična funkcija sa periodom N. Samo se po sebi razume da je dobijeni izraz identičan sa izrazom (61), jer se radi samo o drugačijem izvoñenju izraza za isti spektar.

Činjenica da je ]k[X~

periodična funkcija sa periodom N, dovela je do ideje da se

izraz (71) označi kao Diskretni Furijeov red (DFS) signala ]n[x~ . U tom kontekstu, smatra

se da signal )t(x~ ima kao svoj diskretni ekvivalent ]n[x~ , odnosno da je

]n[x~)nT(x~ = . (72)

Budući da je signal )t(x~ , periodičan sa periodom T0, to znači da je signal ]n[x~ periodičan sa periodom N

]n[x~]Nn[x~)nT(x~)T)Nn((x~)NTnT(x~)TnT(x~ 0 =+⇒=+=+=+ (73)

U skladu sa izloženim Diskretni Furijeov red (DFS) definiše se sledećim parom

jendačina analize DFS

∑∑−

=

−

=

π− ==1N

0n

nk1N

0n

N/nk2j W]n[xe]n[x]k[X~

(74)

jednačina sinteze DFS

15/DFT

1 12

0 0

1N N

j nk /N nk

n n

x[k] X[n]e X[n]WN

− −π −

= =

= =∑ ∑ɶɶ (75)

pri čemu je korišćena činjenica da je 1N,1,0n,]n[x]n[x~ −== ⋯ (76)

Potrebno je da se istakne da se DFS odnosi na periodične signale ]n[x~ i ]k[X~

, dok se DFT odnosi na odbirke ]n[x i ]n[X koji se nalaze unutar jedne periode ovih signala.

Polazeći od prethodnih napomena može se očekivati da će osobine DFSa direktno pratiti osobine Furijeove transformacije diskretnih signala. U izvesnoj meri iste ove osobine će pratiti i DFT. Meñutim, ovde se kao problem javlja činjenica da DFT ima ograničen broj odbiraka, odnosno da su njegovi odbirci definisani samo na intervalu [0,N-1]. Tako se, na primer, kada se razmatra vremensko pomeranje signala može desiti da odbirci pomerenog signala x[n-n0] budu izvan segmenta na kome je signal definisan.

Izloženi problem se prevazilazi tako što se odbirci uvek svode na osnovni segment i to deljenjem po modulu N. Otuda se pomeranje za n0 odreñuje kao

[ ] [ ] 0Nmod0Nmod0 nnmNnn,1Nnn0 −=+−−≤−≤ (77)

Uzimajući u obzir ovu napomenu sve osobine diskretne Furijeove transformacije identične su sa osobinama diskretnog Furijeovog reda, jer DFT predstavlja samo jednu periodu ovog reda.

Linearnost

Uz uslov da sve funkcije imaju isti broj odbiraka N

∑∑ ↔i

ii

i ]k[X~

a]n[x~a

Pomeranje u vremenskom domenu

]k[X~

W]nn[x~ 0kn0 ↔− (78)

]k[XW]nn[x kkn

Nmod00↔− (79)

S obzirom na oblik izraza W, pomeranje u vremenu zapravo dovodi do linerane promene faze.

Modulacija

]kk[X~

]n[x~W 0nk0 −↔− (80)

Nmod0nk ]kk[X]n[xW 0 −↔− (81)

Inverzija ose nezavisno promenljive

]k[X~

]n[x~ −↔− (82)

NmodNmod ]k[X]n[x −↔− (83)

Konjugacija

]k[X~

]n[x~ −↔ ∗∗ (84)

Nmod]k[X]n[x −↔ ∗∗ (85)

16/DFT

Konvolucija

]k[X~

]k[X~

]in[x~]i[x~]n[x~]n[x~ 21

1N

0i2121 ↔−=∗ ∑

−

=

(86)

]k[X]k[X]in[x]i[x]n[x]n[x 21

1N

0iNmod2121 ↔−=∗ ∑

−

=

(87)

Za diskretnu Furijeovu transformaciju ovako definisana konvolucija naziva se cirkularna konvolucija.

Množenje

∑−

=

−=∗↔1N

0i212121 ]ik[X

~]i[X

~]k[X

~]k[X

~]n[x~]n[x~ (88)

∑−

=

−=∗↔1N

0iNmod212121 ]ik[X]i[X]k[X]k[X]n[x]n[x (89)

Parsevalova relacija

∑∑−

=

−

=

↔1N

0i

21N

0n

2]k[X

~

N

1]n[x~ (90)

Simetrija

Ako je signal ]n[x~ realan tada važi

]k[X]k[X

]k[X~

]k[X~

Nmod∗

∗

=−

=− (91)

Odavde sledi da je

NmodNmod

NmodNmod

]k[Xarg]k[Xarg;]k[X]k[X

]k[X~

arg]k[X~

arg;]k[X~

]k[X~

]k[XIm]k[XIm,]k[XRe]k[XRe

]k[X~

Im]k[X~

Im,]k[X~

Re]k[X~

Re

−=−=

−=−=

−=−=

−=−=

(92)

Ako se signal ]n[x~ rastavi na svoj parni i neparni deo tada je

]k[X~

Im]n[x~

]k[X~

Re]n[x~

]n[x~]n[x~]n[x~

n

p

np

↔

↔

⇒+=

(93)

6. Primeri

• Neka je x[n] jednosmerni signal. Odrediti DFS i DFT ovog signala Budući da je signal jednosmeran on se može prikazati kao x[n]=C. U skladu sa

definicionim izrazima za DFS i DFT dobija se

k

kN1N

0n

nk1N

0n

nk

W1

W1CWW]n[x]k[X

~

−

−=== ∑∑

−

=

−

=

(94)

Budući da je

17/DFT

=

≠=∀=⇒= π−

brojceoN/k1

brojceonijeN/k1Wik;0WeW kkNN/2j (95)

to znači da je DFS

∑∑∞

−∞=

−

=

−δ=

=

≠=

=

≠

=m

1N

0n

]mNk[CNmNkNC

mNk0mNkC

mNk0

]k[X~ (96)

Uzimajući osnovni period dobijenog periodičnog reda dobija se i DFT 1N,1,0k];k[CN]k[X −=δ= ⋯ (97)

• Neka je x[n] kompleksni sinusoidalni signal N/pn2jCe]n[x π= . Odrediti DFS i DFT ovog signala.

Polazeći od činjenice da je pnN/pn2j CWCe]n[x −π == (98)

vidi se da se signal x[n] može shvatiti kao modulacija konstante C. U skladu sa osobinom modulacije dobija se DFS

∑∞

−∞=

−−δ=m

]mNpk[CN]k[X~ (99)

Pretpostavljajući da je 0<p<N dobija se i DFT 1N,1,0k];pk[CN]k[X −=−δ= ⋯ (100)

• Odrediti cirkularnu konvoluciju dva

pravougaona signala x1[n] i x2[n] za slučaj kada je N=12 i N=8

Cirkuralna konvolucija signala definisana je kao

N 1

1 2 1 2 modNi 0

x [n] x [n] x [i]x [n i]−

=

∗ = −∑ (101)

U cilju odreñivanja ovog izraza potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da su odbirci ograničeni na segment 0<i<N, što znači da se svi odbirci koji se nekom operacijom nad signalom nañu izvan tog opsega moraju kružno (sa modulom N) preslikati unutar segmenta. To zapravo znači da se može smatrati da se redni brojevi odbiraka vrte po krugu koji ima N tačaka i to u smeru kazaljke na časovniku ako je n>0 i u

suprotnom smeru ako je n<0 (Sl. 5). Uzimajući u obzir način na koji se izvodi operacija modN, na Sl. 6 prikazan je signal

x2[n-i] za nekoliko vrednosti n. Polazeći od ove slike jasno je da konvolucija signala ]n[x]n[x]n[y 21 ∗= ima izgled kao na (Sl. 7). Rezultujući signal je trougaoni. Primetimo da

bi se isti rezultat dobio i kada bi se nad ovim signalima izvršila linearna konvolucija.

Sl. 5 Grafička ilustracija operacije modN

n>0

18/DFT

Situacija je meñutim drugačija

ukoliko je N=8, jer tada pri cirkularnoj konvoluciji dolazi do preklapanja odbiraka (Sl. 8). Otuda se cirkuralna konvolucija razlikuje od linearne konvolucije .

Da bi se ovo preklapanje izbeglo, odnosno da bi cirkuralna konvolucija dva signala bila jednaka linearnoj konvoluciji neophodno je da dovoljan broj odbiraka signala ima vrednost nula. Ovo se postiže tako što se sekvenca signala produžava za segment N'.

Vrednost N' zavisi od samog signala, no izvesno je da će za N'=N, čime se dobija dvostruka dužina segmenta originalnog signala, preklapanje biti izbegnuto.

Sl. 6 Signali x1[i] i x2[n-i] za N=12

Sl. 7 Cirkularna konvolucija signala x1[n] i x2[n] za N=12

19/DFT

Sl. 8 Signali x1[i] i x2[n-i] za N=8

Sl. 9 Cirkularna konvolucija signala x1[n] i x2[n] za N=8

20/DFT