Signali i sustavi op parametara. - sis.zesoi.fer.hr

Signali i sustavi

Sustavi drugog reda

2

SIMULINK primjer

iired13

Prisilni odziv sustava

prisilni odziv sustava predstavlja partikularno rješenje nehomogene jednadžbe. općenito se može dobiti Lagrangeovom metodom varijacije

parametara.

za pobudu eksponencijalnom funkcijom računanje odziva je jednostavno jer se yp(t) može predstaviti eksponencijalom (deriviranjem se mijenja samo kompleksna amplituda eksponencijale).

određivanje kompleksne amplitude temelji se na metodi neodređenih koeficijenata.

4

Prisilni odziv sustava opći oblik diferencijalne jednadžbe:

( ) ,st ju t Ue U U e ϕ= =

pobudni signal u(t) u obliku eksponencijale

( ) ( 1)1 0

( ) ( 1)1 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n nn n

m mm m

a y t a y t a y t

b u t b u t b u t

−−

−−

+ +…+ =

= + …+

U kompleksna amplituda (|U| amplituda, ϕ faza),

s - kompleksna frekvencija, s = σ + jΩ,5

uvrštavanjem u polaznu jednadžbu

( ) ( )11 0 0

n n st m stn n ma s a s a Ye b s b Ue−

−+ +… = +…+

amplituda partikularnog rješenja Y određena jeamplitudom pobude, svojstvima sustava te kompleksnom frekvencijom s.


pretpostavljeno rješenje (Y neodređeni koeficijent): ( ) sty t Ye=

11 0

11 0

( )m m

m mn n

n n

b s b s bY U H s U

a s a s a

−−

−−

+ +…+= =+ +…+

6

Prijenosna funkcija

Transfer ili prijenosna funkcija sustava H(s)- veličina koja određuje odnos kompleksne amplitude prisilnog odziva Yest i kompleksne amplitude pobude Uest .

0

0

( )m

mn

n

b s b YH s

a s a U

+…+= =+…

H(s) ima značenje faktora kojim treba množiti kompleksnu amplitudu ulaza da se dobije amplituda izlaza

Y = H(s)U

7

Prijenosna funkcija

1 2

1 2

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )m

n

s s s s s sH s K

s p s p s p

− − ⋅⋅⋅⋅ −=− − ⋅⋅⋅⋅ −

općenito je transfer ili prijenosna funkcija sustava H(s) racionalna funkcija koju možemo prikazati kao

K je realni faktor a si (i=1,..,m) i pi (i=1,..,n) su nule odnosno polovi prijenosne funkcije

svaki od članova (s-sk) može biti predstavljen kao vektor u kompleksnoj s ravnini

8

Prijenosna funkcija

vektor (s-pk) je usmjeren od sk do s i može biti prikazan u polarnom obliku

s

sk

(s-sk)

σ

jω

( )( ) kj s sk ks s s s e ∠ −− = −

stoga se prijenosna funkcija sastoji od produkta i kvocijenta vektora

9

Prijenosna funkcija1 2

1 2

( )( ) ( )1 2

( )( ) ( )1 2

( )m

n

j s sj s s j s sm

j s pj s p j s pp

s s e s s e s s eH s K

s p e s p e s s e

∠ −∠ − ∠ −

∠ −∠ − ∠ −

− − ⋅⋅⋅⋅ −=

− − ⋅⋅⋅⋅ −tako da vrijedi

1 2

1 2

( ) m

p

s s s s s sH s K

s p s p s s

− − ⋅⋅⋅⋅ −=

− − ⋅⋅⋅⋅ −i

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )m

n

H s K s s s s s s

s p s p s p

∠ = ∠ + ∠ − + ∠ − + ∠ −− ∠ − − ∠ − − ∠ −

( )( ) ( ) j H sH s H s e ∠=pa je

10

primjer:


( ) 0, 2 ( ) 0,16 ( ) ( )y t y t y t u t+ + =

kompleksna amplituda partikularnog rješenja Yje

za pobudu ( ) stu t Ue=

partikularno rješenje je oblika ( ) sty t Ye=

2

1

0,2 0,16Y U

s s=

+ +11

partikularno rješenje je


2

1( ) ( )

0, 2 0,16st sty t UH s e Ue

s s= =

+ +

prijenosna funkcija je

2

1,2

1( )

0, 2 0,16

0.1 j 0.3873

H ss s

p

=+ +

= − ±12

Prijenosna funkcija

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5 -1.5-1

-0.50

0.51

1.50

5

10

15

freqS3dσ

| H(s)|

Ω

13

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 -1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-4

-2

0

2

4

14

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5-4

-2

0

2

4

freqS3d_faza15

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

010

freqS3d_4

H(s)

σ

Ω

16

freqS3d_4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0

10

17

0 0

0

, (0)t bu Ue U H

a= = =


specijalni slučajevi kompleksne frekvencije pobude s:

s = 0 - prisilni odziv na pobudu konstantom

18

(0 )( ) cos( ) sin( )j t j tu t Ue Ue U t jU t+ Ω Ω= = = Ω + Ω

Prisilni odziv sustava s = jΩ − odziv na harmonijsku (ili sinusnu)

pobudu

kompleksna amplituda odziva je

11 0

11 0

( ) ( )( )

( ) ( )

m mm m

n nn n

b j b j bY U H j U

a j a j a

−−

−−

Ω + Ω +…+= = ΩΩ + Ω +…+

a odziv( ) ( ) j ty t UH j e Ω= Ω

19

A(Ω) − amplitudno frekvencijska karakteristika.

ϕ(Ω) − fazno frekvencijska karakteristika.

Prisilni odziv sustava( )

r i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,jH j H H jH A e ϕ ΩΩ = Ω = Ω + Ω = Ω

H(jΩ) se naziva frekvencijska karakteristika sustava.

20


za pobudu ( ) ;j tu t Ue U Realni− Ω= ∈

kompleksna amplituda odziva je

11 0

11 0

( ) ( )( )

( ) ( )

m mm m

n nn n

b j b j bY U H j U

a j a j a

−−

−−

− Ω + − Ω +…+= = − Ω− Ω + − Ω +…+

a odziv

( ) ( ) j ty t UH j e− Ω= − Ω

21


za pobudu ( ) cos( )2

j t j tUe Ueu t U t

Ω − Ω+= = Ω

odziv je

( ) ( )( )

2

j t j tUH j e UH j ey t

Ω − ΩΩ + − Ω=

*( ) ( )

( )2 2

j t j tUH j e UH j ey t

Ω Ω⎛ ⎞Ω Ω= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

22

Prisilni odziv sustava( )

( ) 22

j tUH j ey t Re

Ω⎧ ⎫Ω= ⎨ ⎬⎩ ⎭

( )( ) ( ) H j j ty t Re U H j e e∠ Ω Ω= Ω

( ) ( ) cos( ( ))y t U H j t H j= Ω Ω + ∠ Ω

23

Primjer − SIMULINKSIMULINK primjer

primjer124

za naš primjer

Frekvencijska karakteristika kontinuiranog sustava

2

1( )

0, 2 0,16

1

( 0,1 0,3873)( 0,1 0,3873)

H ss s

s j s j

=+ +

=+ − + +

2

1( )

( ) 0, 2( ) 0,16H j

j jΩ =

Ω + Ω +

25

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

10

12

14

-1 01-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2

4

6

8

10

12

14

Frekvencijska karakteristika kontinuiranog sustava

26

-3.0252

-3.0378

0.3225

0.2590

1.8

2.0

-3.00900.41301.6

-2.98730.54901.4

-2.95620.76791.2

-2.90781.15811.0

-2.81981.97640.8

-2.60124.28750.6

-1.570812.50000.4

-0.32187.90570.2

0.00006.25000.0

ϕ(Ω)A(Ω)Ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3

-2

-1

0

A(ω)

φ(ω)

Frekvencijske karakteristike

27


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

1( )

( 0,1 0,3873)( 0,1 0,3873)H s

s j s j=

+ − + +

0.1059( )

( 0,322)( 0,1 0,3873)( 0,1 0,3873)

1

( 0.3162 0.2450)( 0.3162 0.2450)

H ss s j s j

s j s j

=+ + − + +

⋅+ − + +

0,413( )

( 0, 2)( 0,1 0,3873)( 0,1 0,3873)H s

s s j s j=

+ + − + +

28


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

0

2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

29

Diskretni sustavi – model s ulazno izlaznim varijablama

0 1 2

0 1 2

[ ] [ 1] [ 2] .... [ ]

[ ] [ 1] [ 2] .... [ ]N

M

a y n a y n a y n a y n N

b u n b u n b u n b u n M

+ − + − + + − == + − + − + + −

opis linearnog sustava jednadžbom diferencija

rješenje ove jednadžbe je:

[ ] [ ] [ ]h py n y n y n= +

dakle, zbroj rješenja homogene jednadžbe i partikularnog rješenja 30

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija

Određivanje partikularnog rješenja

Lagrangeova metoda varijacije parametara rješenje se dobiva u eksplicitnom obliku

primjena rezultira složenim sumacijama

Metoda neodređenog koeficijenta ograničena na pobude oblika polinoma i

eksponencijalnih nizova

veliki broj pobuda može se aproksimirati gore navedenim nizovima

češće se upotrebljava u analizi sustava

31

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija ...

razmotrimo partikularno rješenje za kompleksni eksponencijalni ulazni niz:

pobuda eksponencijalog oblika

[ ] ; ,n nu n Ue Uz e Kompleksniε ε= = ∈

partikularno rješenje možemo napisati u obliku

yp[n] = Y zn

U i Y su kompleksne amplitude pobude i odziva32


uvrštenjem pretpostavljenog rješenja Yzn u jednadžbu

1 20 1 2

1 20 1 2

( .... )

( .... )

N nN

M nM

a a z a z a z Yz

b b z b z b z Uz

− − −

− − −

+ + + + =

= + + + +

A(z) Y zn = B(z) U zn

pa je kompleksna amplituda odziva1

0 11

0 1

( )( )

( )

MM

NN

b b z b zB zY U U H z U

A z a a z a z

− −

− −

+ + += = =+ + +

…

…

33


partikularno rješenje (prisilni odziv) je dakleyp[n]=H(z)Uzn

odziv nehomogene jednadžbe diferencija uz

pobudu u[n]=Uzn je prema tome

[ ] [ ] [ ]1 1 1 2 1 ..... ( )

h p

n n n nN

y n y n y n

C q C q C q H z Uz

= +

= + + + +

34

Prijenosna funkcija diskretnog sustava

transfer funkcija se definira kao1

0 11

0 1

( )M

MN

N

b b z b zH z

a a z a z

− −

− −

+ + +=+ + +

…

…

a može se formalno napisati iz jednadžbe diferencija zamjenom operatora E-1 s brojem z-1

0 1 2

0 1 2

[ ] [ 1] [ 2] .... [ ]

[ ] [ 1] [ 2] .... [ ]N

M

a y n a y n a y n a y n N

b u n b u n b u n b u n M

+ − + − + + − == + − + − + + −

jednadžbu diferencija

35


možemo prikazati uz pomoć operatora za pomak E-1

1 20 1 2

1 20 1 2

.... [ ]

.... [ ]

NN

MM

a a E a E a E y n

b b E b E b E u n

− − −

− − −

+ + + + =

= + + + +

gdje je [ ] [ ]( )NN Na E y n a y n N− −

( ) ( )E EA y B u=

jednadžba diferencija se može prikazati i kao

36


odnosno gdje je( )y H E u=

složeni operator kojeg treba interpretirati kao jednadžbu diferencija

( )( )

1 20 1 2

1 20 1 2

....( )

....

MM

NN

B E b b E b E b EH E

A E a a E a E a E

− − −

− − −

+ + + += =+ + + +

prema prije kazanom slijedi1

0 11

0 1

( )M

MN

N

b b z b zH z

a a z a z

− −

− −

+ + +=+ + +

…

…

37

Primjer rješavanja nehomogene jednadžbe diferencija

Primjer: naći odziv diskretnog sustava opisanog jednadžbom diferencija

[ ] [ ][ ] 0.8 2 [ 1] 0.64 [ 2] [ ]

uz 1 2 0

y n y n y n u n

y y

− − + − =− = − =

neka je pobuda neprigušena kompleksna eksponencijala:

0 0,22[ ] 1 (0.7705 0.6374)

cos(0.22 ) sin(0.22 )

j nn j n nu n Uz Ue e j

n j n

ω π

π π= = = = +

= + 38


0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

-0.5

0

0.5

1

korak n

ampl

ituda

realni dio

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

-0.5

0

0.5

1

korak n

ampl

ituda

imaginarni dio

0,22[ ] (0.7705 0.6374) cos(0.22 ) sin(0.22 )j n nu n e j n j nπ π π= = + = +

39


jednadžbu diferencija se može riješiti korak po korak n=0,1,2,..30 :

0

0.22

[0] 1 0.8 2 0 0.64 0 1

[1] 1 0.8 2 1 0.64 0 1.902 0.637

[2] ......

j

y e

y e j

y

π

= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = +=

40

Primjer rješavanja jednadžbe diferencija

korak 0: u[0] = 1 y[0] = 1korak 1: u[1] = 0.77051+j0.63742 y[1] = 1.9019+j0.6374korak 2: u[2] = 0.18738+j0.98229 y[2] = 1.6991+j1.7035korak 3: u[3] = -0.48175+j0.87631 y[3] = 0.2233+j2.3956korak 4: u[4] = -0.92978+j0.36812 y[4] = -1.7645+j1.9882korak 5: u[5] = -0.95106- j0.30902 y[5] = -3.0903+j0.4072korak 6: u[6] = -0.53583- j0.84433 y[6] = -2.9028- j1.6561korak 7: u[7] = 0.12533- j0.99211 y[7] = -1.1811- j3.1264korak 8: u[8] = 0.72897- j0.68455 y[8] = 1.2506- j3.1617korak 9: u[9] = 0.99803- j0.06279 y[9] = 3.1688- j1.6390

41


42

Blok dijagram sustava

z-1

z-1

+

+

-a2

-a1

u[n] y[n]

y[n-1]

y[n-2]-0.64

0.8 2

43


riješimo sada istu jednadžbu analitički

rješenje homogene jednadžbe :

[ ] 0.8 2 [ 1] 0.64 [ 2] 0y n y n y n− − + − =

1 21 0.8 2 0.64 0q q− −− + =

[ ] nhy n Cq=

44


Korijeni su : , pa izlazi :( )41,2 0.8 0.4 2 1

jq e j

π±= = ±

4 41 1 2 2 1 2[ ] 0.8

j n j nn n nhy n C q C q Ce C e

π π−⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Partikularno rješenje oblika 0,22 0,22[ ] ( )j j npy n H e eπ π=

( )

1 2

0,22 - -0.11420,22 0,22

1( )

1 0.8 2 0.641

( ) 3.54 - 1.32 3.781 0.8 2 0.64

j j

j j

H zz z

H e j ee e

π π

π π

− −

−−

= ⇒

− +

= = =− +

0,22 - 0.114( ) 1 3.54 - 1.32 3.78j jY H e j eπ π= ⋅ = =45


pa je partikularno rješenje

Kompletno rješenje tj. totalni odziv je :

0,224 41 2

[ ] [ ] [ ]

0.8 (3.54 - 1.32) za 0

h p

j n j nn j n

y n y n y n

C e C e j e nπ π

π−

= + =

⎡ ⎤= + + ≥⎢ ⎥

⎣ ⎦

0,22[ ] (3.54 - 1.32) j npy n j e π=

46


iz polazne jednadžbe:0[ ] 0.8 2 [ 1] 0.64 [ 2] 1 j ny n y n y n e ω− − + − = ⋅

za n=0,1 slijedi0

0.22

[0] 1 0.8 2 0 0.64 0 1

[1] 1 0.8 2 1 0.64 0 1.902 0.637j

y e

y e jπ

= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = +vrijednost kompletnog rješenja za n=0,1 :

1 2

0.224 41 2

[0] 1 3.54 1.32

[1] 1.902 0.637 0.8 (3.54 1.32)j j j

y C C j

y j C e C e j eπ π

π− ⋅

= = + + − ⋅

⎡ ⎤= + ⋅ = + + − ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦ 47


dobivamo:j2.8053

1

1.7432

2.46 0.86 2.6060 e

0.08 0.46 0.4669 j

C j

C j e

= − + ⋅ = ⋅

= − + ⋅ = ⋅

2.81 1.74 0.114 0.224 4[ ] 0.8 2.61 0.467 3.78j n j nn j j j j ny n e e e e e eπ π

π π− −⎡ ⎤= + + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

- 0.114

0,224 41 2

3.78

[ ] [ ] [ ]

0.8 (3.54 - 1.32) za 0j

h p

j n j nn j n

e

y n y n y n

C e C e j e nπ

π ππ−

= + =

⎡ ⎤= + + ≥⎢ ⎥

⎣ ⎦

48


Pogledajmo sada razdvojene odzive:

1 1 2 2[ ] n nvy n C q C q= +

vlastito titranje sustavaili komplementarno rješenje:

0[ ] j npy n Y e ω= ⋅partikularno rješenje:

490 1 0 2 0 3 0 4 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

k o r a k n

Am

plitu

da

R e a l n i

0 1 0 2 0 3 0 4 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

k o r a k n

Am

plitu

da

Im a g i n a r n i d i o

0 1 0 2 0 3 0 4 0- 3

- 2 . 5

- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

k o r a k n

Am

plitu

da

R e a l n i

0 1 0 2 0 3 0 4 0- 3

- 2 . 5

- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

k o r a k n

Am

plitu

da


0 1 0 2 0 3 0 4 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

k o r a k n

Am

plitu

da

R e a l n i

0 1 0 2 0 3 0 4 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

k o r a k n

Am

plitu

da


50

Diskusija rješenja

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

korak n

Am

plitu

da

Realni

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

korak n

Am

plitu

da

Imaginarni dio

51

Ukupno rješenje

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

korak n

Am

plitu

da

Realni

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

korak n

Am

plitu

da

Imaginarni dio

52


obzirom da je |q1|=|q2|=0.8, vlastito titranje sustava trne u nulu proporcionalno sa 0.8n

za linearne sustave kod kojih su moduli svih korijena karakterističnog polinoma |qi|<1,odziv sustava y[n] na trajnu periodičku pobudu postaje jednak prisilnom odzivu yp[n] za veliki n

….. vlastito titranje yv[n] isčezava, i kažemo da je sustav ušao u stacionarno stanje.

53


H(z) je prijenosna funkcija prijenosna ili transfer funkcija daje odnos

kompleksnih amplituda prisilnog odziva i pobude, kad je pobuda Uzn

[ ]

[ ]( )( )

( ) [ ] n

np

n

u n Uz

y nB z Yz YH z

A z u n Uz U=

= = = =

pokazano je da se transfer funkcija može lako napisati iz jednadžbe diferencija formalnom zamjenom operatora E-1 s brojem z-1

54


prijenosnu funkciju:1

00 11

0 1

0

( )

Mj

jMjMNN

jNj

j

b zb b z b z

H za a z a z a z

−− −

=− −

−

=

+ + += =+ + +

∑

∑

…

…

možemo pisati i u obliku

10( ) ( )0 1

10 1

0

( )

MM j

jM MjN M N MMNN N

N jNj

j

b zb z b z b

H z z za z a z a a z

−−

=− −−

−

=

+ + += =+ + +

∑

∑

…

…

55


prijenosnu funkciju možemo pisati uz pomoć produkta korijenih faktora:

1

0 10

10

0 1

(1 )( )

(1 )

MM jjjj j

N Njj jj j

z zb z bH z

aa z p z

−−= =

− −= =

−= = ⋅

−

∑ ∏∑ ∏

odnosno u obliku

0 1( ) ( ) 0

00 1

( )( )

( )

MM M jjjj jN M N M

N NN jj jj j

z zb z bH z z z

aa z z p

−= =− −

−= =

−= =

−

∑ ∏∑ ∏

z1, z2, …, zM su nule a p1, p2, …, pN polovi prijenosne funkcije 56


partikularno rješenje (prisilni odziv) je dakleyp[n]=H(z)Uzn

ovisno o z, partikularni niz može biti rastući ili padajući aperiodičan ili valovit

stalan ili periodičan

linearna kombinacija eksponencijala može dati realni kosinusni niz

2 cos( )j n j nre re r nω ω ω−+ =57


za pobudu [ ] (1)n nu n Uz U= =


[ ] ( )1

( ) (1) (1)n n np z

y n Yz H z Uz H U=

= = = ⋅ ⋅

za pobudu [ ] ( 1)n nu n Uz U= = −


[ ] ( )1

( ) ( 1) ( 1)n n np z

y n Yz H z Uz H U=−

= = = − ⋅ ⋅ −

58


za pobudu [ ] ( ) = 1zan j n j nu n Uz U e e Uω ω= = =


[ ] ( )( ) ( )j

n n j j np z e

y n Yz H z Uz H e eωω ω

== = =

pa je0 1

0 1

( )j jM

j Mj jN

N

b b e b eH e

a a e a e

ω ωω

ω ω

− −

− −

+ + +=+ + +

…

…

frekvencijska karakteristika diskretnog sustava59

Frekvencijska karakteristika

frekvencijska karakteristika diskretnog sustava

0 1

0 1

( )j jM

j Mj jN

N

b b e b eH e

a a e a e

ω ωω

ω ω

− −

− −

+ + +=+ + +

…

…

H(ejω) funkcija od ejω

ejω = ej(ω+2πi) vrijednost transfer funkcijeza z= ejω je periodična s 2π

H(ejω)= Hr(ejω)+ Hi(e

jω)

= A(ω)ejϕ(ω) A(ω) = |H(ejω)|ϕ(ω) = arg(H(ejω))

60


za prije zadani sustav

i pobudu

prijenosna funkcija je

[ ] [ ][ ] 0.8 2 [ 1] 0.64 [ 2] [ ]

1z 2 0u

y n y n y n u n

y y

− − + − =− = − =

0 0,22[ ] j nn j nu n Uz e eω π= = =

1 2

1( )

(1 0.8 2 0.64 )H z

z z− −=

− +

61


a frekvencijska karakteristika

2

1( )

(1 0.8 2 0.64 )j

j jH e

e eω

ω ω− −=

− +

frekvencijsku karakteristiku izračunavamo iz

( ) ( )j

j

z eH z H eω

ω=

=

62


-1.5-1

-0.50

0.51

1.5 -1.5-1

-0.50

0.51

1.50

1

2

3

4

5

6

freqz3d63


odredimo omjer kompleksne amplitude odziva u stacionarnom stanju i pobude za još nekoliko frekvencija:

0, 0.15 , 0.20 , 0.23 , 0.25 , 0.27 ,

0.30 , 0.35 , 0.4 , 0.5 , 0.7

ω π π π π ππ π π π π

=video clip 9

za konkretnu frekvenciju pobude omjer kompleksne amplitude odziva i pobude je

( )0,22

20,22 0,22

0,22

1( ) 3.54 - 1.32

1 0.8 2 0.64

j

j jH e j

e e

π

π π

ω π

−−

= ⇒

= =− +

64


frekvencijska karakteristika danog sustava je

primjer

12.mov 65


-π π 3π

2

1( )

(1 0.8 2 0.64 )j

j jH e

e eω

ω ω− −=

− +

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

123

amplituda

ω

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-1

01

ω

faza

66


2

1( )

(1 0.8 2 0.64 )j

j jH e

e eω

ω ω− −=

− +

Koeficijent ai i bi su realni te vrijedi

H(e-jω)= H*(ejω) Hr(ejω) i A(ω) parne funkcije od ωHi(ejω) i ϕ(ω) neparne funkc. od ω

67

Frekvencijske karakteristikevremenski diskretnog sustava ...

Frekvencijska karakteristika se može odreditigrafički iz:

1

1

( )( )

( )

m

iin

ii

z zH z K

z q

=

=

−=

−

∏

∏praćenjem apsolutne vrijednosti |H(ejω)| i argumenta H(ejω) transfer funkcije najediničnoj kružnici z= ejω ravnine z

68


svaki korijeni faktor transfer funkcije dajesvoj individualni doprinos modulu(multiplikativno) i fazi (aditivno).

1

1

( )( )

( )

mj

ij i

nj

ii

e zH e K

e q

ω

ω

ω

=

=

−=

−

∏

∏

arg ( ) arg( ) arg( )j j ji iH e e z e qω ω ω⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦∑

69


grafički prikaz u polarnom koordinatnomsustavu

Im

Re

ejω

0 ω

1

z1

ejω-z1

korjeni faktori → vektori

70


vrijednost transfer funkcije na frekvenciji ω

1

1

( )

M

ij

N

i

dH e K

l

ω =∏

∏

di - udaljenost točke nakružnici ejω do nultočki zi

li - udaljenost točke nakružnici ejω do polova pi

fazni kut transfer funkcije

1 1

arg ( )M N

ji iH e ω ϕ ψ= −∑ ∑

ϕi = arg(ejω) - arg(zi)

ψi = arg(ejω) - arg(pi)71


Primjer:

1

1 2

( )( )( )

z zH z K

z q z q

−=− −

1

1 2

( )j dH e K

l lω =

arg H(ejω)=ϕ1-(Ψ1 + Ψ2)

Im

Re

ejΩ

q1

0 l2

q2ψ2

l1

d1 ϕ1

ψ1

z1

72

Za naš primjer

1 2

1( )

( )( )H z

z q z q=

− −z=ejω

1 2

1( )

( )( )j

j jH e

e q e qω

ω ω=− −


/4 /4

1( )

( 0,8 )( 0,8 )j

j j j jH e

e e e eω

ω π ω π−=

− −12.mov

Documents

Signali i sustavi op parametara. - sis.zesoi.fer.hr