Lekcije Signali i Sistemi

Ñàäðæàj

1 Îñíîâíè ïîjìîâè î ñèãíàëèìà è ñèñòåìèìà 31.1 Ñèãíàëè è »èõîâà ïîäåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Îñíîâíè êîíòèíóàëíè ñèãíàëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Êîìïëåêñíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Îñíîâíè äèñêðåòíè ñèãíàëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Ñèñòåìè è »èõîâà ïîäåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè ñèñòåìè 192.1 Îäçèâ êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà è êîíâîëóöèîíè èíòåãðàë . . . . . . . . . . . 192.2 Îñîáèíå âðåìåíñêè êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Îïèñ êîíòèíóàëíèõ ñèñòåìà ïîìî£ó äèôåðåíöèjàëíèõ jåäíà÷èíà . . . . . . . . 232.4 Îäçèâ äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà è êîíâîëóöèîíà ñóìà . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Îñîáèíå äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Îïèñ äèñêðåòíèõ ñèñòåìà ïîìî£ó äèôåðåíöíèõ jåäíà÷èíà . . . . . . . . . . . . 28

3 Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà è âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè LTI ñèñòåìè 293.1 Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà íåêèõ ñèãíàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Îñîáèíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Ëèíåàðíîñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Ïîìåðàj ó âðåìåíñêîì äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Ïîìåðàj ó s-äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.4 Âðåìåíñêî ñêàëèðà»å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.5 Èíâåðçèjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.6 Äèôåðåíöèðà»å ó âðåìåíñêîì äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.7 Äèôåðåíöèðà»å ó s-äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.8 Èíòåãðàöèjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.9 Êîíâîëóöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.1 Äåôèíèöèjà èíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Êîðèø£å»å òàáëèöå Ëàïëàñîâèõ òðàíñôîðìàöèîíèõ ïàðîâà . . . . . . . 403.4.3 Ðàçâîj íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.1 Äåôèíèöèjà ôóíêöèjå ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Êàðàêòåðèñòèêå êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà LTI ñèñòåìà îïèñàíèõ ëèíåàðíîì äèôåðåíöèjàëíîì

jåäíà÷èíîì ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.4 Ïîâåçèâà»å êîíòèíóàëíèõ ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Óíèëàòåðàëíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

3.6.1 Äåôèíèöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.2 Îñíîâíå îñîáèíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 z-òðàíñôîðìàöèjà è âðåìåíñêè äèñêðåòíè LTI ñèñòåìè 494.1 z-òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 z-òðàíñôîðìàöèjà íåêèõ ñåêâåíöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Îñîáèíå z-òðàíñôîðìàöèje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1 Ëèíåàðíîñò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2 Ïîìåðàj ó âðåìåíñêîì äîìåíó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3 Ìíîæå»å ñà z−n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.4 Âðåìåíñêà èíâåðçèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.5 Ìíîæå»å ñà n (äèôåðåíöèðà»å ó z-äîìåíó) . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.6 Êîíâîëóöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.7 Àêóìóëàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Èíâåðçíà z-òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.1 Äåôèíèöèjà èíâåðçíå z-òðàíñôîðìàöèjå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2 Êîðèø£å»å òàáëèöå z-òðàíñôîðìàöèîíèõ ïàðîâà . . . . . . . . . . . . . 604.4.3 Ðàçâîj ó ñòåïåíè ðåä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.4 Ðàçâîj íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.1 Äåôèíèöèjà ïðåíîñíå ôóíêöèjå ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.2 Êàðàêòåðèñòèêå äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà îïèñàíèõ ëèíåàðíèì äèôåðåíöíèì

jåäíà÷èíàìà ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5.4 Ïîâåçèâà»å äèñêðåòíèõ ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Óíèëàòåðàëíà z-òðàíñôîðìàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.1 Äåôèíèöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.2 Îñíîâíå îñîáèíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6.3 Ôóíêöèjà ïðåíîñà ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2

Ãëàâà 1

Îñíîâíè ïîjìîâè î ñèãíàëèìà è

ñèñòåìèìà

Îñíîâå òåîðèjà ñèãíàëà è ñèñòåìà ñó íåîïõîäíå ó ñêîðî ñâèì ïî§èìà åëåêòðîòåõíè÷êîãèíæå»åðñòâà, êàî è ó íèçó äðóãèõ èíæå»åðñêèõ è íàó÷íèõ äèñöèïëèíà. Ó îâîì ïîãëàâ§ó ñóäàòè ìàòåìàòè÷êè îïèñè è ïðåäñòàâ§à»å ñèãíàëà è ñèñòåìà êàî è »èõîâà ïîäåëà.

1.1 Ñèãíàëè è »èõîâà ïîäåëà

Ñèãíàë jå âðåìåíñêè ïðîìåí§èâà ôèçè÷êà âåëè÷èíà êîjà íîñè èíôîðìàöèjó î ïîíàøà»óèëè ïðèðîäè ôåíîìåíà. Íà ïðèìåð, ó RC êîëó ñèãíàë ìîæå ïðåäñòàâ§àòè ïðîìåíó íàïîíàíà êîíäåíçàòîðó èëè ñòðójå êîjà ïðîòè÷å êðîç îòïîðíèê. Ó ìàòåìàòè÷êîì ñìèñëó ñèãíàë jåïðåäñòàâ§åí êàî ôóíêöèjà íåçàâèñíå ïðîìåí§èâå t êîjà ïðåäñòàâ§à âðåìå.

Âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè è äèñêðåòíè ñèãíàëè

Ñèãíàë x(t) jå âðåìåíñêè êîíòèíóàëàí àêî jå t êîíòèíóàëíà ïðîìåí§èâà. Àêî jå t äèñêðå-òíà ïðîìåí§èâà, òàäà jå x(t) äåôèíèñàí ó òà÷íî îäðå¢åíèì âðåìåíñêèì òðåíóöèìà, ïà jåñèãíàë âðåìåíñêè äèñêðåòàí. Íàj÷åø£å ñå äèñêðåòíè ñèãíàë ïðåïîçíàjå êàî ñåêâåíöà áðîjåâà,îçíà÷åíà ñà xn èëè x[n], ãäå jå n öåî áðîj. Íà ñëèöè 1.1 ïðèêàçàíè ñó ïðèìåðè âðåìåíñêèêîíòèíóàëíîã è äèñêðåòíîã ñèãíàëà.

x(t)

t0(a)

x[n]

n0 3 5

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 4 6(á)

Ñëèêà 1.1: à) Âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè ñèãíàë è á) Âðåìåíñêè äèñêðåòíè ñèãíàë.

Äèñêðåòàí ñèãíàë x[n] ìîæå áèòè äîáèjåí âðåìåíñêèì îäàáèðà»åì ñèãíàëà x(t) êàî:

x(t0), x(t1), . . . , x(tn), . . .

3

èëè ó êðà£åì îáëèêó

x[0], x[1], . . . , x[n], . . .

îäíîñíî

x0, x1, . . . , xn, . . .

ãäå jå xn = x[n] = x(tn). Âðåìåíñêè ïåðèîä èçìå¢ó îäáèðàêà ñå íàçèâà ïåðèîä îäàáèðà»à, Ts,ïà jå xn = x[n] = x(nTs).

Äèñêðåòíè ñèãíàë x[n] ñå ìîæå äåôèíèñàòè íà äâà íà÷èíà:

1. Îäðå¢èâà»åì ïðàâèëà çà ðà÷óíà»å n-òå âðåäíîñòè ñåêâåíöå. Íà ïðèìåð,

x[n] = xn =

(12

)n, n ≥ 0

0 , n < 0

èëè

xn =1, 1

2 ,14 , . . . ,

(12

)n, . . .

2. Èñïèñèâà»åì âðåäíîñòè ñâèõ ÷ëàíîâà ñåêâåíöå. Íà ïðèìåð, ñåêâåíöà ïðèêàçàíà íà

ñëèöè 1.1á) ñå ìîæå íàïèñàòè êàî:

xn = . . . , 0, 0, 1, 2, 2, [1], 0, 1, 0, 2, 0, 0, . . .

èëè

xn = 1, 2, 2, [1], 0, 1, 0, 2

Ñðåä»à çàãðàäà ïîêàçójå íà âðåäíîñò ÷ëàíà ñåêâåíöå çà n = 0 . Àêî íåìà ñðåä»å çàãðàäå,ïðâè ÷ëàí ñåêâåíöå ïðåäñòàâ§à áðîjíó âðåäíîñò çà n = 0, äîê ñó çà n < 0 ñâå âðåäíîñòèíóëà.

Ñóìà è ïðîèçâîä äâå ñåêâåíöå ñó äåôèíèñàíè íà ñëåäå£è íà÷èí:

cn = an+ bn → cn = an + bn,cn = an · bn → cn = an · bn,cn = α · an → cn = α · an,

ãäå jå α ðåàëàí áðîj.

Àíàëîãíè è äèãèòàëíè ñèãíàëè

Àêî âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè ñèãíàë ìîæå äà óçìå áèëî êîjó âðåäíîñò èç êîíòèíóàëíîãèíòåðâàëà (a, b) , ïðè ÷åìó a ìîæå áèòè −∞ è b ìîæå áèòè +∞, òàäà ñå îí íàçèâà àíàëîãíèñèãíàë. Àêî âðåäíîñòè äèñêðåòíîã ñèãíàëà ïîòè÷ó èç êîíà÷íîã ñêóïà îäðå¢åíèõ âðåäíîñòè,òàäà ñå çà »åãà êàæå äà jå äèãèòàëíè ñèãíàë.

Ðåàëíè è êîìïëåêñíè ñèãíàëè

Âðåäíîñòè ðåàëíîã ñèãíàëà ñó ðåàëíè áðîjåâè, à âðåäíîñòè êîìïëåêñíîã ñèãíàëà ñó êîì-ïëåêñíè áðîjåâè. Óîïøòåíî, êîìïëåêñíè ñèãíàë x(t) ìîæå ñå íàïèñàòè êàî,

x(t) = x1(t) + jx2(t) (1.1)

ïðè ÷åìó ñó x1(t) è x2(t) ðåàëíè ñèãíàëè è j =√−1. Ó (1.1) ïðîìåí§èâà t ïðåäñòàâ§à

êîíòèíóàëíó èëè äèñêðåòíó ïðîìåí§èâó.

4

1.1. ÑÈÃÍÀËÈ È ÈÕÎÂÀ ÏÎÄÅËÀ

Äåòåðìèíèñàíè è ñëó÷àjíè ñèãíàëè

Àêî jå âðåäíîñò ñèãíàëà ó ïîòïóíîñòè îäðå¢åíà çà ñâàêè âðåìåíñêè òðåíóòàê, îíäà jåðå÷ î äåòåðìèíèñàíîì ñèãíàëó. Íàj÷åø£å ñå ìîäåëójå ó ìàòåìàòè÷êîì ñìèñëó êàî ïîçíàòàôóíêöèjà ïî âðåìåíó. Âðåäíîñòè ñëó÷àjíîã ñèãíàëà ó îäðå¢åíîì âðåìåíñêîì òðåíóòêó ñóñëó÷àjíå ïà ñå ìîðàjó îïèñàòè ñòàòèñòè÷êè.

Ïàðíè è íåïàðíè ñèãíàëè

Ñèãíàë x(t) èëè x[n] jå ïàðàí ñèãíàë àêî çàäîâî§àâà ñëåäå£ó ðåëàöèjó,

x(−t) = x(t)x[−n] = x[n]

(1.2)

Ñèãíàë x(t) èëè x[n] jå íåïàðàí ñèãíàë àêî çàäîâî§àâà ñëåäå£ó ðåëàöèjó,

x(−t) = −x(t)x[−n] = −x[n] (1.3)

Ïðèìåðè ïàðíèõ è íåïàðíèõ ñèãíàëà ñó ïðèêàçàíè íà ñëèöè 1.2.

x(t)

0 t

(a)

x[n]

n0 3 5

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 4 6

(á)

x(t)

0 t

(â)

x[n]

n0 3 5

2

1

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 4 6

(ã)

Ñëèêà 1.2: Ïðèìåðè ïàðíèõ ñèãíàëà (à è á) è íåïàðíèõ ñèãíàëà (â è ã).

Ñâàêè ñèãíàë ñå ìîæå èçðàçèòè êàî çáèð äâà ñèãíàëà, ïðè ÷åìó jå jåäàí ïàðàí, à äðóãèíåïàðàí,

x(t) = xe(t) + xo(t)x[n] = xe[n] + xo[n].

(1.4)

Ïàðíè è íåïàðíè äåî êîíòèíóàëíîã ñèãíàëà x(t) jå äåôèíèñàí êàî,

xe(t) =12 (x(t) + x(−t))

xo(t) =12 (x(t)− x(−t)) (1.5)

5

Ïàðíè è íåïàðíè äåî äèñêðåòíîã ñèãíàëà x[n] jå äåôèíèñàí êàî,

xe[n] =12 (x[n] + x[−n])

xo[n] =12 (x[n]− x[−n]) (1.6)

Ïðîèçâîä äâà ïàðíà èëè äâà íåïàðíà ñèãíàëà jå ïàðàí ñèãíàë, à ïðîèçâîä ïàðíîã è íåïàðíîãñèãíàëà jå íåïàðàí ñèãíàë.

Ïåðèîäè÷íè è íåïåðèîäè÷íè ñèãíàëè

Êîíòèíóàëíè ñèãíàë x(t) jå ïåðèîäè÷àí àêî ïîñòîjè ïîçèòèâíà âðåäíîñò T çà êîjó âàæè äàjå,

x(t+ T ) = x(t). (1.7)

Ïðèìåð ïåðèîäè÷íîã êîíòèíóàëíîã ñèãíàëà jå ïðèêàçàí íà ñëèöè 1.3a). Èçðàç (1.7) ñåìîæå íàïèñàòè è ó ñëåäå£åì îáëèêó,

x(t+mT ) = x(t), (1.8)

ãäå jå m öåî áðîj. Íàjìà»è ïîçèòèâàí áðîj T çà êîjè âàæè ðåëàöèjà (1.7) íàçèâà ñå îñíîâíèïåðèîä ñèãíàëà x(t) è îçíà÷àâà ñå ñà T0. Íà îñíîâó îâîãà óî÷àâà ñå äà çà êîíòèíóàëíè ñèãíàëñà êîíñòàíòíîì âðåäíîø£ó ó âðåìåíó íèjå ìîãó£å îäðåäèòè îñíîâíè ïåðèîä. Êîíòèíóàëíèñèãíàë êîjè íèjå ïåðèîäè÷àí íàçèâà ñå íåïåðèîäè÷àí ñèãíàë.

x(t)

t0 T 2T-T

(a)

x[n]

n0 N 2N-N(á)

Ñëèêà 1.3: à) Ïåðèîäè÷íè êîíòèíóàëíè ñèãíàë è á) Ïåðèîäè÷íè äèñêðåòíè ñèãíàë

Äèñêðåòíè ñèãíàë x[n] jå ïåðèîäè÷aí àêî ïîñòîjè ïîçèòèâíà öåëîáðîjíà âðåäíîñò N çà êîjóâàæè äà jå,

x[n+N ] = x[n]. (1.9)

Ïðèìåð òàêâå ñåêâåíöå jå äàò íà ñëèöè 1.3á). Íà îñíîâó (1.9) ñëåäè äà jå,

x[n+mN ] = x[n], (1.10)

ãäå jå m öåî áðîj. Íàjìà»è ïîçèòèâàí öåî áðîj N çà êîjè âàæè ðåëàöèjà (1.9) íàçèâà ñåîñíîâíè ïåðèîä ñèãíàëà x[n] è îçíà÷àâà ñå ñà N0. Ñåêâåíöà êîjà íèjå ïåðèîäè÷ía íàçèâà ñåíåïåðèîäè÷ía ñåêâåíöà. Ñåêâåíöà äîáèjåíà óíèôîðìíèì îäàáèðà»åì ïî âðåìåíó ïåðèîäè÷íîãêîíòèíóàëíîã ñèãíàëà íå ìîðà áèòè ïåðèîäè÷íà. Çáèð äâà êîíòèíóàëíà ïåðèîäè÷íà ñèãíàëàíå ìîðà áèòè ïåðèîäè÷àí, à ñóìà äâå ïåðèîäè÷íå ñåêâåíöå jå óâåê ïåðèîäè÷íà ñåêâåíöà.

Ñèãíàëè åíåðãèjå è ñíàãå

Íîðìàëèçîâàíå åíåðãèjå ñèãíàëà x(t) è ñåêâåíöå x[n] ñå äåôèíèøó ðåäîì êàî,

E =

+∞∫−∞

|x(t)|2dt, (1.11)

6

1.2. ÎÑÍÎÂÍÈ ÊÎÍÒÈÍÓÀËÍÈ ÑÈÃÍÀËÈ

E =

+∞∑n=−∞

|x[n]|2. (1.12)

Íîðìàëèçîâàíå ñðåä»å ñíàãå ñèãíàëà x(t) è ñåêâåíöå x[n] ñå äåôèíèøó ðåäîì êàî,

P = limT→+∞

1

T

T/2∫−T/2

|x(t)|2dt, (1.13)

P = limN→+∞

1

2N + 1

N∑n=−N

|x[n]|2. (1.14)

Íà îñíîâó ïðåòõîäíèõ ðåëàöèjà ìîãó ñå äåôèíèñàòè ñëåäå£å êëàñå ñèãíàëà:

1. Çà x(t) (x[n] ) ñå êàæå äà jå ñèãíàë (ñåêâåíöà) åíåðãèjå àêî è ñàìî àêî jå 0 < E < +∞ èP = 0.

2. Çà x(t) (x[n] ) ñå êàæå äà jå ñèãíàë (ñåêâåíöà) ñíàãå àêî è ñàìî àêî jå 0 < P < +∞ èE → +∞.

3. Ñèãíàëè êîjè íå ïðèïàäàjó ïðåäõîäíèì äâåìà êëàñàìà íàçèâàjó ñå ñèãíàëèìà íè åíåðãèjåíè ñíàãå.

Óî÷àâà ñå äà jå ïåðèîäè÷íè ñèãíàë ñèãíàë ñíàãå àêî jå ñàäðæàj åíåðãèjå ïî ïåðèîäè êîíà÷àí.Íà îñíîâó îâå îñîáèíå, ñðåä»à ñíàãà îâîã ñèãíàëà ñå ìîæå èçðà÷óíàòè íà îñíîâíîì ïåðèîäó.

1.2 Îñíîâíè êîíòèíóàëíè ñèãíàëè

1.2.1 Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë

Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë u(t) jå äåôèíèñàí íà ñëåäå£è íà÷èí,

u (t) =

1 t > 00 t < 0

. (1.15)

Îâàj ñèãíàë jå ïðèêàçàí íà ñëèöè 1.4a).

t

u(t)

0

1

(a)

t

u(t-t0)

0

1

t0

(á)

Ñëèêà 1.4: à) Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë è á) Ïîìåðåíè jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë

Ïðèìå£ójå ñå äà ñèãíàë èìà äèñêîíòèíóèòåò çà t = 0. Âðåäíîñò jåäèíè÷íîã îäñêî÷íîãñèãíàëà çà t = 0 íèjå äåôèíèñàíà. Ïîìåðåíè jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë u(t−t0) jå äåôèíèñàíêàî,

u (t− t0) =

1 t > t00 t < t0

(1.16)

7

è ïðèêàçàí íà ñëèöè 1.4á) ãäå jå t0 > 0. Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë ñå ìîæå êîðèñòèòèçà ìàòåìàòè÷êî ïðåäñòàâ§à»å äðóãèõ ñèãíàëà. Ïðàâîóãàîíè èìïóëñ ñà ñëèêå 1.5a) ìîæå ñåïðåäñòàâèòè êàî ðàçëèêà äâà jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñèãíàëà,

p (t) = u (t)− u (t− 1) . (1.17)

Ñèìåòðè÷íè ïðàâîóãàîíè èìïóëñ ñà ñëèêå 1.5á) êîjè èìà âðåäíîñò A íà âðåìåíñêîì èíòåðâàëó

t

p(t)

0

1

1(a)

t

i(t)

0

A

T/2-T/2

(á)

Ñëèêà 1.5: à) Ïðàâîóãàîíè èìïóëñ è á) Ñèìåòðè÷íè ïðàâîóãàîíè èìïóëñ

îä −T/2 äî T/2 jå äàò êàî:

i (t) = A

[u

(t+

T

2

)− u

(t− T

2

)](1.18)

Ñèìåòðè÷íè òðîóãàîíè èìïóëñ ñà ñëèêå 1.6 ìîæå ñå ïðåäñòàâèòè êàî ñóìà jåäèíè÷íèõîäñêî÷íèõ ñèãíàëà. Ïðâî ñå èçâåäå jåäíà÷èíà çà ëèíåàðíå ñåãìåíòå ëåâî è äåñíî îä t = 0.Çà ëåâè ëèíåàðíè ñåãìåíò jå vl (t) =

(2T t+ 1

) [u(t+ T

2

)− u (t)

]è äåñíè ëèíåàðíè ñåãìåíò jå

vD (t) =(− 2

T t+ 1) [

u (t)− u(t− T

2

)], îíäà jå

v (t) = vl (t)+vD (t) =

(2

Tt+ 1

)[u

(t+

T

2

)− u (t)

]+

(− 2

Tt+ 1

)[u (t)− u

(t− T

2

)](1.19)

t

v(t)

0

1

T/2-T/2

Ñëèêà 1.6: Ñèìåòðè÷íè òðîóãàîíè èìïóëñ

1.2.2 Jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë

Jåäèíè÷íè èìïóëñíè èëè Äèðàêîâ äåëòà ñèãíàë δ (t) ìîæå ñå ïðåäñòàâèòè ïîìî£ó jåäèíè÷íîãîäñêî÷íîã ñèãíàëà íà ñëåäå£è íà÷èí:

t∫−∞

δ (τ) dτ = u (t) , (1.20)

δ (t) = 0 ∀t = 0. (1.21)

Ðàäè áî§åã ðàçóìåâà»à jåäèíè÷íîã èìïóëñíîã ñèãíàëà, jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë jåïðåäñòàâ§åí íà ñëèöè 1.7a).

8


t0

1

-(a)

t0 -

ε2

1

(á)

Ñëèêà 1.7: Îájàø»å»å Äèðàêîâîã äåëòà ñèãíàëà

Ñèãíàë ñà ñëèêå 1.7a) ïîñòàjå jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë êàäà ε→ 0. Ñèãíàë ñà ñëèêå 1.7á)jå ïðâè èçâîä ñèãíàëà ñà ñëèêå 1.7a), ãäå jå çà ε→ 0, 1/2ε ïîñòàjå íåîãðàíè÷åíî, àëè ïîâðøèíàïðàâîóãàîíèêà îñòàjå 1. Ïðåìà òîìå, ìîæå ñå ñìàòðàòè äà jå δ (t) âåîìà âèñîêè øè§àê èëèèìïóëñ ñà íåîãðàíè÷åíîì àìïëèòóäîì, íóëòîì øèðèíîì è jåäèíè÷íîì ïîâðøèíîì.

Íà ñëèöè 1.8a) jå ïðèêàçàí jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë δ (t), à ïîìåðåíè jåäèíè÷íè èìïóëñíèñèãíàë δ (t− t0) çà t0 > 0 íà ñëèöè 1.8á).

t0

(t)

(a)

t0

(t-t0)

t0

(á)

Ñëèêà 1.8: à) Jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë è á) Ïîìåðåíè jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë

Ñèãíàë δ (t) íèjå ó êëàñè äî ñàäà èçó÷àâàíèõ ôóíêöèjà è ìàòåìàòè÷êè ñå ìîæå äåôèíèñàíàêàî,

+∞∫−∞

φ(t)δ(t)dt = φ(0), (1.22)

ïðè ÷åìó jå φ(t) áèëî êîjà ðåãóëàðíà ôóíêöèjà êîíòèíóàëíà çà t = 0. Àëòåðíàòèâíà äåôèíèöèjàñèãíàëà δ (t) jå äàòà ñëåäå£îì jåäíàêîø£ó,

b∫a

φ(t)δ(t)dt =

φ(0), a < 0 < b0, a < b < 0 0 < a < b

(1.23)

ïðè ÷åìó çà a = 0 è b = 0 ñèãíàë δ (t) íèjå äåôèíèñàí. Ïîìåðåíè jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàëδ (t− t0) ñå äåôèíèøå êàî,

+∞∫−∞

φ(t)δ(t− t0)dt = φ(t0) (1.24)

Âàæíå îñîáèíå ñèãíàëà δ (t) ñó:

δ(at) =1

|a|δ(t), a ∈ R, (1.25)

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0) , (1.26)

9

àêî jå ñèãíàë x(t) êîíòóíóàëàí çà t = t0.Äîêàç.Çà a > 0

+∞∫−∞

φ(t)δ(at)dt =

at = τt = τ/a

dt = (1/a) dτ

= 1a

+∞∫−∞

φ( τa )δ(τ)dτ = 1aφ(

τa )∣∣τ=0

= 1|a|φ(0)

Çà a < 0

+∞∫−∞

φ(t)δ(at)dt =

at = τt = τ/a

dt = (1/a) dτ

= 1a

−∞∫+∞

φ( τa )δ(τ)dτ =− 1a

+∞∫−∞

φ( τa )δ(τ)dτ =

= − 1a φ(

τa )∣∣τ=0

= 1|a|φ (0)

Ïðåìà òîìå çà áèëî êîjè ðåàëàí áðîj a âàæè äà jå+∞∫−∞

φ(t)δ(at)dt = 1|a|φ (0). Ó ñêëàäó ñà

èçðàçîì (1.22) äîáèjàìî ñëåäå£å,

+∞∫−∞

φ(t)δ(at)dt = 1|a|φ (0) = 1

|a|

+∞∫−∞

φ(t)δ(t)dt =+∞∫−∞

φ(t) 1|a|δ(t)dt

îäàêëå ñëåäè îñîáèíà (1.25).Àêî ñå ó ðåëàöèjè (1.25) ïîñòàâè äà jå a = −1 äîáèjà ñå äà jå δ(−t) = δ(t).

+∞∫−∞

φ(t) [x(t)δ(t− t0)] dt =+∞∫−∞

[φ(t)x(t)] δ(t− t0)dt =φ (t0)x (t0) =

= x (t0)+∞∫−∞

φ(t)δ(t− t0)dt =+∞∫−∞

φ(t) [x (t0) δ(t− t0)] dt

çà ñâàêó ôóíêöèjó φ(t) êîjà jå êîíòèíóàëíà çà t = t0. Îäàâäå ñëåäè îñîáèíà (1.26). Àêî ñå óðåëàöèjè (1.26) ïîñòàâè äà jå t0 = 0 äîáèjà ñå äà jå x(t)δ(t) = x(0)δ(t).

Êîðèñòå£è (1.24) è (1.25), ñâàêè êîíòèíóàëíè ñèãíàë x(t) ñå ìîæå èçðàçèòè êàî

x(t) =

+∞∫−∞

x(τ)δ(t− τ)dτ. (1.27)

1.2.3 Êîìïëåêñíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàëè

Êîìïëåêñíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàë jå äåôèíèñàí êàî,

x(t) = ejω0t = cosω0t+ j sinω0t (1.28)

Àêî ñå ïðèìåíè ðåëàöèjà (1.7) íà îâàj ñèãíàë äîáèjà ñå,

ejω0(t+T ) = ejω0t ⇒ ejω0T = 1⇒ ω0T = m2π ⇒ T =m2π

ω0(1.29)

íà îñíîâó ÷åãà ñå ìîæå çàê§ó÷èòè äà jå îâàj ñèãíàë ïåðèîäè÷àí ñà îñíîâíèì ïåðèîäîì T0 = 2πω0.

Óîïøòåíè êîìïëåêñíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàëè

Óîïøòåíè êîìïëåêñíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàë jå äåôèíèñàí êàî,

x(t) = est = e(σ+jω)t = eσt (cosωt+ j sinωt) (1.30)

ïðè ÷åìó jå s = σ + jω. Ðåàëíè äåî îâîã ñèãíàëà eσt cosωt è èìàãèíàðíè äåî eσt sinωt ñóåêñïîíåíöèjàëíî ðàñòó£è (σ > 0) èëè åêñïîíåíöèjàëíî îïàäàjó£è (σ < 0) ïðîñòîïåðèîäè÷íèñèãíàëè, ñëèêà 1.9.

10


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)

(a)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)

(á)

Ñëèêà 1.9: Åêñïîíåíöèjàëíè ïðîñòîïåðèîäè÷íè ñèãíàë a) ðàñòó£è á) îïàäàjó£è

Ðåàëíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàëè

Àêî ñå ó èçðàçó (1.30) íàïèøå äà jå s = σ òàäà ñå äîáèjà ðåàëíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàë,

x(t) = eσt. (1.31)

Çà σ > 0 îâàj ñèãíàë åêñïîíåíöèjàëíî ðàñòå, äîê çà σ < 0 ñèãíàë åêñïîíåíöèjàëíî îïàäà,ñëèêà 1.10.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

x(t)

(a)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

x(t)

(á)

Ñëèêà 1.10: Êîíòèíóàëíè ðåàëíè åêñïîíåíöèjàëíè ñèãíàë a) σ > 0, á) σ < 0

Ñèíóñîèäàëíè ñèãíàëè

Êîíòèíóàëíè ñèíóñîèäàëíè ñèãíàë ñå ìîæå èçðàçèòè êàî

x(t) = A sin (ω0t+ θ) (1.32)

ãäå jå: A ðåàëíà àìïëèòóäà ñèãíàëà, ω0 óãàîíà ó÷åñòàíîñò ó ðàäèjàíèìà ïî ñåêóíäè è θïî÷åòíà ôàçà ó ðàäèjàíèìà. Ñèíóñîèäàëíè ñèãíàë jå ïðèêàçàí íà ñëèöè 1.11 è »åãîâ îñíîâíèïåðèîä T0 = 2π

ω0. Ðåöèïðî÷íà âðåäíîñò îñíîâíîã ïåðèîäà T0 íàçèâà ñå îñíîâíà ôðåêâåíöèjà f0

è èçðàæàâà ñå ó õåðöèìà (Hz), f0 = 1T0. Ïðåìà òîìå îñíîâíà óãàîíà ó÷åñòàíîñò jå ω0 = 2πf0.

11

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)

Ñëèêà 1.11: Êîíòèíóàëíè ñèíóñîèäàëíè ñèãíàë

1.3 Îñíîâíè äèñêðåòíè ñèãíàëè

Jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñåêâåíöà

Jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñåêâåíöà u[n] äåôèíèñàíà jå êàî,

u[n] =

1, n ≥ 00, n < 0

(1.33)

è ïðèêàçàíà jå íà ñëèöè 1.12a). Íàïîìåíà äà jå âðåäíîñò u[n] = 1 çà n = 0 çà ðàçëèêó îäjåäèíè÷íîã îäñêî÷íîã ñèãíàëà êîjè íèjå äåôèíèñàí çà t = 0. Ïîìåðåíà jåäèíè÷íà îäñêî÷íàñåêâåíöà u[n− k] äåôèíèñàíà jå êàî,

u[n− k] =

1, n ≥ k0, n < k

(1.34)

è ïðèêàçàíà jå íà ñëèöè 1.12á).

0

u[n]

n21 3 4-1-2-3

1

5 6 7(a)

0

u[n-k]

n21 3 4 k-1-2-3

1

(á)

Ñëèêà 1.12: a) Jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñåêâåíöà á) Ïîìåðåíà jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñåêâåíöà

Jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà

Jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà δ[n] äåôèíèñàíà jå êàî,

δ[n] =

1, n = 00, n = 0

(1.35)

è ïðèêàçàíà jå íà ñëèöè 1.13a). Ïîìåðåíà jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà δ[n− k] äåôèíèñàíàjå êàî,

12

1.3. ÎÑÍÎÂÍÈ ÄÈÑÊÐÅÒÍÈ ÑÈÃÍÀËÈ

δ[n− k] =

1, n = k0, n = k

(1.36)


0

[n]

n21 3 4 5 6 7-1-2-3

1

(a)

0

[n-k]

n21 3 4 k 6 7-1-2-3

1

(á)

Ñëèêà 1.13: à) Jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà á) Ïîìåðåíà jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà

Íà îñíîâó (1.35) è (1.36) ìîæå ñå óî÷èòè ñëåäå£å:

x[n]δ[n] = x[0]δ[n], (1.37)

x[n]δ[n− k] = x[k]δ[n− k]. (1.38)

Íà îñíîâó èçðàçà îä (1.33) äî (1.36), δ[n] è u[n] ñó ïîâåçàíè êàî:

δ[n] = u[n]− u[n− 1], (1.39)

u[n] = δ (n) + δ (n− 1) + . . . =n∑

k=−∞

δ[k]. (1.40)

Êîðèñòå£è (1.36), ñâàêà ñåêâåíöà x[n] ñå ìîæå èçðàçèòè êàî,

x[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]. (1.41)

Êîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà

Êîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà jå äàòà ó ñëåäå£åì îáëèêó,

x[n] = ejΩ0n = cosΩ0n+ j sinΩ0n. (1.42)

Àêî ñå ïðèìåíè ðåëàöèjà (1.9) íà îâó ñåêâåíöó äîáèjà ñå,

ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1⇒ Ω0N = m2π ⇒ Ω0

2π=

m

N(1.43)

íà îñíîâó ÷åãà ñå ìîæå çàê§ó÷èòè äà jå îâà ñåêâåíöà ïåðèîäè÷íà àêî jå Ω0

2π ðàöèîíàëàí áðîj,

òàäà jå îñíîâíè ïåðèîä N0 = m(

2πΩ0

). Êîðèñíî jå àíàëèçèðàòè êîìïëåêñíó åêñïîíåíöèjàëíó

ñåêâåíöó íà ó÷åñòàíîñòè (Ω0 + 2πk) , ïðè ÷åìó jå k öåî áðîj,

ej(Ω0+2πk)n = ejΩ0nej2πkn = ejΩ0n,

jåð jå ej2πkn = 1. Äàêëå êîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà íà ó÷åñòàíîñòè Ω0 èìà èñòåâðåäíîñòè êàî è íà ó÷åñòàíîñòèìà Ω0 ± 2π, Ω0 ± 4π,... Ïðåìà òîìå, äîâî§íî jå ïîñìàòðàòèñàìî èíòåðâàë äóæèíå 2π (0 ≤ Ω0 < 2π èëè −π ≤ Ω0 < π).

13

Óîïøòåíà êîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà

Óîïøòåíà êîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà jå äåôèíèñàíà êàî,

x[n] = Cαn (1.44)

ïðè ÷åìó ñó C è α êîìïëåêñíè áðîjåâè. Àêî ñå C = 1 è α = ejΩ0 çàìåíè ó (1.44) äîáèjà ñåêîìïëåêñíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà äåôèíèñàíà èçðàçîì (1.42).

Ðåàëíå åêñïîíåíöèjàëíå ñåêâåíöå

Àêî ñó C è α ó èçðàçó (1.44) ðåàëíè áðîjåâè, îíäà jå x[n] ðåàëíà åêñïîíåíöèjàëíà ñåêâåíöà.Ó çàâèñíîñòè îä α ìîãó ñå èçäâîjèòè ÷åòèðè ðàçëè÷èòà ñëó÷àjà: α > 1, 0 < α < 1, −1 < α < 0è α < −1. Ïðèìåðè îâèõ ñåêâåíöè ñó ïðèêàçàíè íà ñëèöè 1.14 ïðè ÷åìó jå C ïîçèòèâàí ðåàëàíáðîj. Òàêî¢å àêî jå α = 1, îíäà jå x[n] êîíñòàíòíà ñåêâåíöà, äîê çà α = −1, ñåêâåíöà x[n]ìå»à íàèçìåíè÷íî âðåäíîñòè +C è −C.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

n

x[n]

(a)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

n

x[n]

(á)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

n

x[n]

(â)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

n

x[n]

(ã)

Ñëèêà 1.14: Ðåàëíå åêñïîíåíöèjàëíå ñåêâåíöå a) α > 1, á) 0 < α < 1, â) −1 < α < 0, ã) α < −1

Ñèíóñîèäàëíà ñåêâåíöà

Ñèíóñîèäàëíà ñåêâåíöà ìîæå ñå èçðàçèòè ó îáëèêó,

14

1.4. ÑÈÑÒÅÌÈ È ÈÕÎÂÀ ÏÎÄÅËÀ

x[n] = A sin (Ω0n+ θ) . (1.45)

Àêî jå n áåçäèìåíçèîíî, òàäà ñó Ω0 è θ èçðàæåíè ó ðàäèjàíèìà. Äâà ïðèìåðà ñèíóñîèäàëíèõñåêâåíöè ïðèêàçàíè ñó íà ñëèöè 1.15.

-10 -5 0 5 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

(a)

-10 -5 0 5 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

(á)

Ñëèêà 1.15: Ñèíóñîèäàëíå ñåêâåíöå a) x[n] = sin (πn/6), á) x[n] = sin (n/2)

Èçâåäåíè çàê§ó÷öè çà ïåðèîäè÷íîñò êîìïëåêñíèõ åêñïîíåíöèjàëíèõ ñåêâåíöè âàæå è çàñèíóñîèäàëíå ñåêâåíöå. Ñåêâåíöà ïðèêàçàíà íà ñëèöè 1.15a) jå ïåðèîäè÷íà ñà îñíîâíèìïåðèîäîì 12, à ñåêâåíöà ñà ñëèêå 1.15á) íèjå ïåðèîäè÷íà.

1.4 Ñèñòåìè è »èõîâà ïîäåëà

Ñèñòåì jå ìàòåìàòè÷êè ìîäåë ôèçè÷êîã ïðîöåñà êîjè ïîâåçójå óëàçíè ñèãíàë (ïîáóäó) ñàèçëàçíèì ñèãíàëîì (îäçèâîì). Íåêà ñó x è y óëàçíè è èçëàçíè ñèãíàëè ðåäîì, à T îïåðàòîðêîjè ïðåäñòàâ§à äåôèíèñàíî ïðàâèëî ïîìî£ó êîãà ñå óëàçíè ñèãíàë òðàíñôîðìèøå ó èçëàçíè.Îâà òðàíñôîðìàöèjà ñå ìîæå ìàòåìàòè÷êè çàïèñàòè êàî,

y = T x . (1.46)

Ñèñòåì ñà jåäíèì óëàçíèì è èçëàçíèì ñèãíàëîì ïðèêàçàí jå íà ñëèöè 1.16a), à ñèñòåì ñàâèøå óëàçíèõ è èçëàçíèõ ñèãíàëà íà ñëèöè 1.16á).

x yTx

(a)

x1

Txxn

y1

ym

. . .

. . .

(á)

Ñëèêà 1.16: Ñèñòåì ñà à) jåäíèì óëàçíèì è èçëàçíèì ñèãíàëîì á) âèøå óëàçíèõ è èçëàçíèõñèãíàëà

15

x(t) Tx y(t)

(a)

x[n] Tx y[n]

(á)

Ñëèêà 1.17: a) Âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè ñèñòåì, á) Âðåìåíñêè äèñêðåòíè ñèñòåì

Êîíòèíóàëíè è äèñêðåòíè âðåìåíñêè ñèñòåìè

Àêî ñó óëàçíè è èçëàçíè ñèãíàëè ñèñòåìà êîíòèíóàëíè ó âðåìåíó, îíäà jå ñèñòåì âðåìåíñêèêîíòèíóàëàí, ñëèêà 1.17a). Àêî ñó óëàçíè è èçëàçíè ñèãíàëè ñèñòåìà ñåêâåíöå, îíäà jå ñèñòåìâðåìåíñêè äèñêðåòàí, ñëèêà 1.17á).

Ñèñòåìè ñà è áåç ìåìîðèjå

Çà ñèñòåì ñå êàæå äà jå áåç ìåìîðèjå, àêî èçëàç ñèñòåìà ó áèëî êîì òðåíóòêó çàâèñè ñàìîîä óëàçíîã ñèãíàëà ó èñòîì òðåíóòêó. Îñòàëè ñèñòåìè èìàjó ìåìîðèjó. Ïðèìåð êîíòèíóàëíîãñèñòåìà áåç ìåìîðèjå jå îòïîðíèê R êðîç êîjè ïðîòè÷å ñòðójà x(t) êàî óëàçíè ñèãíàë è íàïîííà »åìó y(t) êàî èçëàçíè ñèãíàë, y(t) = Rx(t). Ïðèìåð êîíòèíóàëíîã ñèñòåìà ñà ìåìîðèjîìjå êîíäåíçàòîð êàïàöèòèâíîñòè C êðîç êîjè ïðîòè÷å ñòðójà x(t) êàî óëàçíè ñèãíàë è íàïîí íà

»åìó y(t) êàî èçëàçíè ñèãíàë, y(t) = 1C

t∫−∞

x(τ)dτ .

Äèñêðåòíè ñèñòåì ÷èjå ñó óëàçíà x[n] è èçëàçíà y[n] ñåêâåíöà ïîâåçàíå ðåëàöèjîì y[n] =n∑

k=−∞x[k], ïðåäñòàâ§à ïðèìåð äèñêðåòíîã ñèñòåìà ñà ìåìîðèjîì.

Êàóçàëíè è íåêàóçàëíè ñèñòåìè

Ñèñòåì jå êàóçàëàí àêî »åãîâ èçëàçíè ñèãíàë y(t) ó îäðå¢åíîì âðåìåíñêîì òðåíóòêó t = t0çàâèñè ñàìî îä óëàçíîã ñèãíàëà x(t) çà t ≤ t0. Äðóãèì ðå÷èìà, èçëàç êàóçàëíîã ñèñòåìàó ñàäàø»åì òðåíóòêó çàâèñè îä âðåäíîñòè óëàçà ó ñàäàø»åì è ó ïðåòõîäíèì òðåíóöèìà.Ïðàêòè÷íî êàóçàëíè ñèñòåì íå ìîæå äàòè îäçèâ ïðå íåãî øòî ñå ïîáóäè. Ñèñòåì êîjè íèjåêàóçàëàí íàçèâà ñå íåêàóçàëíè ñèñòåì. Ïðèìåðè íåêàóçàëíèõ ñèñòåìà ñó: y(t) = x(t + 1),y[n] = x[−n]. Ñâè ñèñòåìè áåç ìåìîðèjå ñó êàóçàëíè, îáðàòíî íå âàæè.

Ëèíåàðíè è íåëèíåàðíè ñèñòåìè

Àêî îïåðàòîð T èç ðåëàöèjå (1.46) çàäîâî§àâà äâà ñëåäå£à óñëîâà, îíäà ñå íàçèâà ëèíåàðíèîïåðàòîð è ñèñòåì ïðåäñòàâ§åí ïîìî£ó »åãà ëèíåàðíè ñèñòåì:

1. Àäèòèâíîñò: Àêî ñó äàòè y1 = T x1 è y2 = T x2, îíäà jå

T x1 + x2 = y1 + y2 (1.47)

çà ïðîèçâî§íå ñèãíàëå x1 è x2;

2. Õîìîãåíîñò (ñêàëèðà»å):

T αx = αy (1.48)

çà ïðîèçâî§íè ñèãíàë x è ñêàëàð α.

16

1.4. ÑÈÑÒÅÌÈ È ÈÕÎÂÀ ÏÎÄÅËÀ

Ñèñòåì êîjè íå çàäîâî§àâà ðåëàöèjå (1.47) è/èëè (1.48) íàçèâà ñå íåëèíåàðíè ñèñòåì. Îâåäâå îñîáèíå ìîãó áèòè îájåäè»åíå ó jåäíó ôîðìóëó êîjà jå ïîçíàòà êàî îñîáèíà ñóïåðïîçèöèjå,

T α1x1 + α2x2 = α1y1 + α2y2 (1.49)

ïðè ÷åìó ñó α1 è α2 ïðîèçâî§íè ñêàëàðè. Ïðèìåðè ëèíåàðíèõ ñèñòåìà ñó îòïîðíèê èêîíäåíçàòîð. Ïðèìåðè íåëèíåàðíèõ ñèñòåìà ñó: y = x2, y = cosx. Îñîáèíà õîìîãåíîñòèóêàçójå äà ëèíåàðíè ñèñòåìè çà íóëòè óëàç äàjó íóëòè èçëàç.

Âðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè è âðåìåíñêè íåèíâàðèjàíòíè ñèñòåìè

Ñèñòåì jå âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí àêî âðåìåíñêè ïîìåðàj (êàø»å»å èëè ïðåä»à÷å»å) óóëàçíîì ñèãíàëó óçðîêójå èñòè âðåìåíñêè ïîìåðàj ó èçëàçíîì ñèãíàëó. Ñòîãà, çà êîíòèíóàëíåñèñòåìå, ñèñòåì jå âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí àêî jå,

T x (t− τ) = y (t− τ) (1.50)

çà ïðîèçâî§íó ðåàëíó âðåäíîñò τ . Çà äèñêðåòíå ñèñòåìå, ñèñòåì jå âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí(èíâàðèjàíòàí íà ïîìåðàj) àêî jå,

T x[n− k] = y[n− k] (1.51)

çà ïðîèçâî§àí öåî áðîj k. Ñèñòåì êîjè íå çàäîâî§àâà (1.50) èëè (1.51) íàçèâà ñå âðåìåíñêèíåèíâàðèjàíòàí ñèñòåì. Ïðîâåðó äà ëè jå ñèñòåì âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí, ìîãó£å jå ñïðîâå-ñòè ïîðå¢å»åì ïîìåðåíîã èçëàçíîã ñèãíàëà ñà èçëàçíèì ñèãíàëîì êîjè jå äîáèjåí êàî îäçèâñèñòåìà íà ïîáóäó êîjà ïðåäñòàâ§à ïîìåðåíè óëàçíè ñèãíàë.

Ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè ñèñòåìè

Ñèñòåì êîjè jå ëèíåàðàí è âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí íàçèâà ñå ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðè-jàíòíè ñèñòåì, (Linear TimeInvariant LTI ).

Ñòàáèëíîñò ñèñòåìà

Ñèñòåì jå BoundedInput/BoundedOutput (BIBO) ñòàáèëàí àêî ïðîèçâî§íè îãðàíè÷åíèóëàçíè ñèãíàë, |x| ≤ k1, óçðîêójå îäãîâàðàjó£è òàêî¢å îãðàíè÷åíè èçëàçíè ñèãíàë, |y| ≤ k2.k1 è k2 ñó ïîçèòèâíè ðåàëíè áðîjåâè.

Ñèñòåìè ñà ïîâðàòíîì ñïðåãîì

Ïîñåáíó êëàñó âåîìà âàæíèõ ñèñòåìà ïðåäñòàâ§àjó ñèñòåìè ñà ïîâðàòíîì ñïðåãîì. Êîä»èõ ñå èçëàçíè ñèãíàë ïðåêî ïîâðàòíå ãðàíå âðà£à íà óëàç è äîäàjå óëàçíîì ñèãíàëó, øòî jåïðèêàçàíî íà ñëèöè 1.18.

x(t) Tx y(t)

Ñëèêà 1.18: Ñèñòåì ñà ïîâðàòíîì ñïðåãîì

17

18

Ãëàâà 2

Ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè

ñèñòåìè

Ñèñòåìè êîjè èìàjó îñîáèíå ëèíåàðíîñòè è âðåìåíñêå èíâàðèjàíòíîñòè íàçèâàjó ñå ëèíåàðíèâðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè ñèñòåìè. Îâè ñèñòåìè ìîãó ñå ìàòåìàòè÷êè îïèñàòè ïðèìåíîìîïåðàöèjå ëèíåàðíå êîíâîëóöèjå. Âàæíîñò îïåðàòîðà êîíâîëóöèjå ñå îãëåäà ó ÷è»åíèöèäà ïîçíàâà»å îäçèâà LTI ñèñòåìà íà ïîáóäó jåäèíè÷íèì èìïóëñíèì ñèãíàëîì, îìîãó£àâàîäðå¢èâà»å îäçèâà ñèñòåìà íà áèëî êîjó ïîáóäó. Ó îâîì ïîãëàâ§ó jå ðàçìîòðåíî è îäðå¢èâà»åðåëàöèjà èçìå¢ó óëàçíèõ è èçëàçíèõ ñèãíàëà çà LTI ñèñòåìå ïðèìåíîì äèôðåíöèjàëíèõ èäèôåðåíöíèõ jåäíà÷èíà.

2.1 Îäçèâ êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà è êîíâîëóöèîíè èíòåãðàë

Èìïóëñíè îäçèâ

Èìïóëñíè îäçèâ h(t) êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà ïðåäñòàâ§à îäçèâ ñèñòåìà êàäà jå íà óëàçäîâåäåí jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë δ(t),

h(t) = T δ (t) . (2.1)

Îäçèâ íà ïðîèçâî§íè óëàçíè ñèãíàë

Íà îñíîâó ðåëàöèjå (1.27), óëàçíè ñèãíàë x(t) ìîæå ñå ïðåäñòàâèòè íà ñëåäå£è íà÷èí,

x(t) =

+∞∫−∞

x (τ) δ (t− τ) dτ. (2.2)

Ïîøòî jå ñèñòåì ëèíåàðàí, »åãîâ îäçèâ y(t) íà ïðîèçâî§íè ïîáóäíè ñèãíàë x(t) ìîæå áèòèèçðàæåí íà ñëåäå£è íà÷èí,

y(t) = T x (t) = T

+∞∫

−∞

x (τ) δ (t− τ) dτ

=

+∞∫−∞

x (τ)T δ (t− τ) dτ. (2.3)

Óñëåä âðåìåíñêå èíâàðèjàíòíîñòè ñèñòåìà, âàæè äà jå,

h(t− τ) = T δ (t− τ) . (2.4)

Ñìåíîì (2.4) ó (2.3), äîáèjà ñå,

19

y(t) =

+∞∫−∞

x (τ)h (t− τ) dτ. (2.5)

Èçðàç (2.5) ïîêàçójå äà jå êîíòèíóàëíè LTI ñèñòåì ó ïîòïóíîñòè îïèñàí ïîìî£ó ñâîã èìïóëñíîãîäçèâà h(t).

Êîíâîëóöèîíè èíòåãðàë

Jåäíàêîñò (2.5) ïðåäñòàâ§à êîíâîëóöèjó äâà êîíòèíóàëíà ñèãíàëà x(t) è h(t) îçíà÷åíó êàî,

y(t) = x(t) ∗ h(t) =+∞∫

−∞

x (τ)h (t− τ) dτ. (2.6)

Îâà jåäíàêîñò ñå íàj÷åø£å íàçèâà êîíâîëóöèîíè èíòåãðàë. Ïðåìà òîìå, èçëàç íåêîãâðåìåíñêè êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà jå êîíâîëóöèjà îä óëàçà x(t) ñà èìïóëñíèì îäçèâîì h(t)îä ñèñòåìà. Íà ñëèöè 2.1 ïðèêàçàíà jå äåôèíèöèjà èìïóëñíîã îäçèâà h(t) è ðåëàöèjà (2.6).

LTI(t) h(t)x(t) y(t)=x(t)*h(t)

Ñëèêà 2.1: Êîíòèíóàëíè LTI ñèñòåì

Îñîáèíå êîíâîëóöèîíîã èíòåãðàëà

Êîíâîëóöèîíè èíòåãðàë èìà ñëåäå£å îñîáèíå:

1. Êîìóòàòèâíîñò

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t), (2.7)

2. Àñîöèjàòèâíîñò

(x(t) ∗ h1(t)) ∗ h2(t) = x(t) ∗ (h1(t) ∗ h2(t)) , (2.8)

3. Äèñòðèáóòèâíîñò

x(t) ∗ (h1(t) + h2(t)) = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t). (2.9)

Èçðà÷óíàâà»å êîíâîëóöèîíîã èíòåãðàëà

Êîíâîëóöèjà äåôèíèñàíà èçðàçîì 2.6, ìîæå ñå ïðèêàçàòè è ó ñëåäå£åì îáëèêó,

y(t) = x(t) ∗ h(t) =+∞∫−∞

x (τ)h (t− τ) dτ =

t− τ = vτ = t− vdτ = −dv

τ → −∞⇒ v → +∞τ → +∞⇒ v → −∞

= −−∞∫+∞

x (t− v)h (v) dv =

=+∞∫−∞

h (v)x (t− v) dv =+∞∫−∞

h (τ)x (t− τ) dτ =h(t) ∗ x(t).

20

2.2. ÎÑÎÁÈÍÅ ÂÐÅÌÅÍÑÊÈ ÊÎÍÒÈÍÓÀËÍÈÕ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ

Ïðåìà òîìå, èçëàç íåêîã âðåìåíñêè êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà ìîæå ñå èçðà÷óíàòè è íàñëåäå£è íà÷èí,

y(t) = h(t) ∗ x(t) =+∞∫

−∞

h (τ)x (t− τ) dτ, (2.10)

øòî ó íåêèì ñëó÷àjåâèìà ìîæå áèòè jåäíîñòàâíèjå çà èçðà÷óíàâà»å íåãî ïðèìåíà èçðàçà(2.6). Ó ñêëàäó ñà èçðàçîì (2.6) èçðà÷óíàâà»å êîíâîëóöèîíîã èíòåãðàëà ñå ñàñòîjè èç ñëåäå£à÷åòèðè êîðàêà:

1. Èìïóëñíè îäçèâ h(τ) òðåáà èíâåðòîâàòè ó âðåìåíó, h(−τ), ïà ïîìåðèòè çà t êàêî áè ñåäîáèî ñèãíàë h (t− τ) = h [− (τ − t)] êîjè jå ôóíêöèjà îä τ ñà ïàðàìåòðîì t.

2. Ñèãíàëè x(τ) è h (t− τ) ñå èçìíîæå çà ñâå âðåäíîñòè τ ïðè äåôèíèñàíîì ïàðàìåòðó t.

3. Ïðîèçâîä x(τ)h (t− τ) ñå èíòåãðàëè ïî ñâèì âðåäíîñòèìà τ ÷èìå ñå äîáèjà âðåäíîñò y(t)çà êîíêðåòíî t.

4. Êîðàöè îä 1 äî 3 ñå ïîíàâ§àjó çà ñâå âðåäíîñòè t êàêî áè ñå äîáèî ñèãíàë y(t).

Îäñêî÷íè (ñòåï) îäçèâ

Îäñêî÷íè (ñòåï) îäçèâ s(t) îä âðåìåíñêè êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà ñå äåôèíèøå êàî îäçèâñèñòåìà êàäà jå íà óëàçó jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë u(t),

s(t) = T u (t) . (2.11)

Íà îñíîâó (2.10) îäñêî÷íè îäçèâ s(t) ñå ìîæå îäðåäè êàî,

s(t) = h(t) ∗ u(t) =+∞∫

−∞

h (τ)u (t− τ) dτ =

u (t− τ) =

1 t− τ > 0, τ < t0 t− τ < 0, τ > t

=

t∫−∞

h (τ) dτ.

(2.12)Íà îñíîâó îâîãà, îäñêî÷íè îäçèâ s(t) ñå ìîæå ðà÷óíàòè èíòåãðàöèjîì èìïóëñíîã îäçèâà h(t).Äèôåðåíöèðàjó£è (2.12) ïî ïðîìåí§èâîj t, äîáèjà ñå

h(t) = s′ (t) =ds(t)

dt. (2.13)

Äàêëå, èìïóëñíè îäçèâ ñèñòåìà h(t) ìîæå áèòè îäðå¢åí íàëàæå»åì ïðâîã èçâîäà ñòåï îäçèâàòîã ñèñòåìà s(t).

2.2 Îñîáèíå âðåìåíñêè êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà


Ïîøòî èçëàç y(t) êîíòèíóàëíîã ñèñòåìà áåç ìåìîðèjå çàâèñè ñàìî îä òðåíóòíîã óëàçàx(t) è àêî jå ñèñòåì ëèíåàðàí è âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí îíäà çàâèñíîñò îäçèâà îä ïîáóäå ñåìîæå èçðàçèòè ó ñëåäå£åì îáëèêó,

y(t) = Kx (t) , (2.14)

ãäå jå K êîíñòàíòà (ïîjà÷à»å). Íà îñíîâó îâîãà îäãîâàðàjó£è èìïóëñíè îäçèâ îâîã ñèñòåìà jå,

h(t) = Kδ (t) . (2.15)

Àêî jå èìïóëñíè îäçèâ h (t0) = 0 çà t0 = 0, êîíòèíóàëíè LTI ñèñòåì èìà ìåìîðèjó.

21

Êàóçàëíîñò

Êàóçàëíè ñèñòåì íå ìîæå äàòè îäçèâ ïðå íåãî øòî ñå ïîáóäè. Ñòîãà, çà èìïóëñíè îäçèâêàóçàëíîã êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà âàæè,

h(t) = 0, t < 0. (2.16)

Ïðèìåíîì (2.16) íà (2.10), îäçèâ êàóçàëíîã êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà ñå ìîæå èçðàçèòè êàî,

y(t) =

+∞∫0

h (τ)x (t− τ) dτ (2.17)

Àêî ñå óñëîâ êàóçàëíîñòè ïðèìåíè íà ðåëàöèjó (2.6), äîáèjà ñå,

y(t) =

t∫−∞

x (τ)h (t− τ) dτ. (2.18)

Èçðàç (2.18) ïîêàçójå äà ñå ñàìî âðåäíîñòè óëàçíîã ñèãíàëà x(t) çà êîjå âàæè äà jå τ ≤ têîðèñòå çà ðà÷óíà»å èçëàçíîã ñèãíàëà y(t). Ñèãíàë x(t) ñå íàçèâà êàóçàëíèì àêî jå

x(t) = 0, t < 0, (2.19a)

îäíîñíî àíòèêàóçàëíèì àêî jå

x(t) = 0, t > 0. (2.19á)

Íà îñíîâó èçðàçà (2.17), (2.18) è (2.19a), êàäà jå ïîáóäà ñèñòåìà êàóçàëíà, îäçèâ êàóçàëíîãêîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà jå äàò êàî,

y(t) =

t∫0

h (τ)x (t− τ) dτ =

t∫0

x (τ)h (t− τ) dτ. (2.20)

Ñòàáèëíîñò

Íåêà jå óëàçíè ñèãíàë x(t) òàêàâ äà çàäîâî§àâà ñëåäå£ó íåjåäíàêîñò, |x (t)| ≤ k1, ïðè÷åìó jå k1 ïîçèòèâàí ðåàëàí áðîj. Òàäà £å àïñîëóòíà âðåäíîñò îäçèâà ñèñòåìà áèòè, |y(t)| =∣∣∣∣∣+∞∫−∞

h (τ)x (t− τ) dτ

∣∣∣∣∣ ≤ +∞∫−∞|h (τ)x (t− τ)| dτ =

+∞∫−∞|h (τ)| |x (t− τ)| dτ ≤ k1

+∞∫−∞|h (τ)| dτ . Àêî jå

èìïóëñíè îäçèâ àïñîëóòíî èíòåãðàáèëàí, îäíîñíî+∞∫−∞|h (τ)| dτ = g < +∞ , ãäå jå g ïîçèòèâàí

ðåàëàí áðîj, îíäà ñå ìîæå ïèñàòè äà jå |y (t)| ≤ k1g = k2, à òî çíà÷è äà ñå äîáèjà îãðàíè÷åíèèçëàçíè ñèãíàë. Ïðåìà òîìå, àïñîëóòíà èíòåãðàáèëíîñò èìïóëñíîã îäçèâà êîíòèíóàëíîã LTIñèñòåìà jå ïîòðåáàí è äîâî§àí óñëîâ çà BIBO ñòàáèëíîñò òîã ñèñòåìà, îäíîñíî äà jå

+∞∫−∞

|h (τ)| dτ < +∞. (2.21)

22

2.3. ÎÏÈÑ ÊÎÍÒÈÍÓÀËÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀ ÏÎÌÎÓ ÄÈÔÅÐÅÍÖÈJÀËÍÈÕJÅÄÍÀ×ÈÍÀ

2.3 Îïèñ êîíòèíóàëíèõ ñèñòåìà ïîìî£ó äèôåðåíöèjàëíèõ

jåäíà÷èíà

Ëèíåàðíå äèôåðåíöèjàëíå jåäíà÷èíå ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà

Ó îïøòåì îáëèêó ëèíåàðíà äèôåðåíöèjàëíà jåäíà÷èíà ñà êîíñòàòíèì êîåôèöèjåíòèìà N -òîã ðåäà jå äàòà êàî,

N∑k=0

akdky(t)

dtk=

M∑k=0

bkdkx(t)

dtk, (2.22)

ãäå ñó ak è bk ðåàëíè áðîjåâè. ÐåäN îäãîâàðà íàjâå£îj äåðèâàöèjè îäçèâà y(t) ó (2.22). Ïðèìåðñèñòåìà êîjè ñå ìîæå îïèñàòè îâèì òèïîì äèôåðåíöèjàëíèõ jåäíà÷èíà jå RC êîëî ïðèêàçàíîíà ñëèöè 2.2. Óëàçíè ñèãíàë x(t) je vg (t), à èçëàçíè ñèãíàë y(t) jå vC (t). Îäãîâàðàjó£àäèôåðåíöèjàëíà jåäíà÷èíà ïðâîã ðåäà jå,

dy(t)dt + 1

RC y(t) = 1RCx(t)

R

C

++

vC(t)vg(t) i(t)

Ñëèêà 2.2: RC êîëî êàî ïðèìåð êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà

Îïøòå ðåøå»å äèôåðåíöèjàëíå jåäíà÷èíå (2.22) çà îäðå¢åíè óëàçíè ñèãíàë x(t) ìîæå ñåäàòè ó ñëåäå£åì îáëèêó,

y(t) = yp(t) + yh(t), (2.23)

ïðè ÷åìó jå yp(t) ïàðòèêóëàðíî ðåøå»å êîjå çàäîâî§àâà äèôåðåíöèjàëíó jåäíà÷èíó, à yh(t)õîìîãåíî ðåøå»å êîjå çàäîâî§àâà õîìîãåíó äèôåðåíöèjàëíó jåäíà÷èíó,

N∑k=0

akdkyh(t)

dtk= 0. (2.24)

Òà÷àí îáëèê yh(t) îäðå¢åí jå ñà N ïî÷åòíèõ óñëîâà. Ìîæå ñå ïðèìåòèòè äà ðåëàöèjà (2.22) íåîïèñójå ïîòïóíî èçëàç ñèñòåìà y(t) ó çàâèñíîñòè îä óëàçà ó ñèñòåì x(t) àêî ïî÷åòíè óñëîâèíèñó äåôèíèñàíè. Óîïøòåíî, ïî÷åòíè óñëîâè ñó ñëåäå£å âðåäíîñòè,

y(t), dy(t)dt , . . . , dN−1y(t)

dtN−1

ó íåêîì âðåìåíñêîì òðåíóòêó.

23

Ëèíåàðíîñò

Ñèñòåì îïèñàí ñà äèôåðåíöèjàëíîì jåäíà÷èíîì (2.22) £å áèòè ëèíåàðàí ñàìî àêî ñâèïî÷åòíè óñëîâè èìàjó âðåäíîñò íóëà. Àêî âðåäíîñòè ïî÷åòíèõ óñëîâà íèñó jåäíàêå íóëè,òàäà ñå îäçèâ ñèñòåìà ìîæå èçðàçèòè ó îáëèêó,

y(t) = yzi(t) + yzs(t), (2.25)

ïðè ÷åìó yzi(t) ïðåäñòàâ§à ñîïñòâåíè îäçèâ, îäíîñíî îäçèâ íà ïî÷åòíå óñëîâå, à yzs(t) jå îäçèâêàäà ñó ïî÷åòíè óñëîâè jåäíàêè íóëè. Îâî jå èëóñòðîâàíî íà ñëèöè 2.3. Âàæíî jå íàïîìåíóòèäà jå yzi(t) = yh(t) è yzs(t) = yp(t), êàî è äà ó îïøòåì ñëó÷àjó yzi(t) ñàäðæè yh(t), äîê yzs(t)ñàäðæè è yh(t) è yp(t).

x(t)

y(t)

yzs(t)

yzi(t)

+

+

Ñëèêà 2.3: Ïðèíóäíè è ñîïñòâåíè îäçèâ ñèñòåìà


Àêî jå x(t) = 0 çà t < t0, îíäà ñå ïðåòïîñòàâ§à äà jå y(t) = 0 çà t < t0. Äàêëå îäçèâñèñòåìà çà t > t0 ìîæå áèòè èçðà÷óíàò èç äèôåðåíöèjàëíå jåäíà÷èíå (2.22) ñà ïî÷åòíèì

óñëîâèìà y(t0) =dy(t0)

dt = . . . = dN−1y(t0)dtN−1 = 0, ïðè ÷åìó jå

dky(t0)dtk

= dky(t)dtk

∣∣∣t=t0

Ïðåìà òîìå ëèíåàðíè êàóçàëíè ñèñòåì ñå íàçèâà ðåëàêñèðàíè ñèñòåì è êîä »åãà jå îäçèâ íàïî÷åòíå óñëîâå jåäíàê íóëè, yzi(t) = 0.

Âðåìåíñêà èíàâðèjàíòíîñò

Çà ëèíåàðíå êàóçàëíå ñèñòåìå, íóëòè ïî÷åòíè óñëîâè óçðîêójó âðåìåíñêó èíâàðèjàíòíîñò.


Èìïóëñíè îäçèâ h(t) êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà îïèñàíîã ñà (2.22) çàäîâî§àâà äèôåðåíöèjàëíójåäíà÷èíó,

N∑k=0

akdkh(t)

dtk=

M∑k=0

bkdkδ(t)

dtk(2.26)

ñà íóëòèì ïî÷åòíèì óñëîâèìà.

2.4 Îäçèâ äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà è êîíâîëóöèîíà ñóìà


Èìïóëñíè îäçèâ h[n] äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà ñå äåôèíèøå êàî îäçèâ ñèñòåìà êàäà jå íàóëàçó jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà δ[n],

h[n] = T δ [n] . (2.27)

24

2.4. ÎÄÇÈÂ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÃ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ È ÊÎÍÂÎËÓÖÈÎÍÀ ÑÓÌÀ

Îäçèâ íà ïðîèçâî§íè óëàç

Íà îñíîâó (1.41), óëàçíà ñåêâåíöà x[n] ó ñèñòåì ñå ìîæå èçðàçèòè êàî, x[n] =+∞∑

k=−∞x[k]δ[n− k].

Ïîøòî jå ñèñòåì ëèíåàðàí, îäçèâ ñèñòåìà y[n] íà ïðîèçâî§íè óëàç x[n] ìîæå ñå ïðåäñòàâèòèêàî,

y[n] = T x[n] = T

+∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

=

+∞∑k=−∞

x[k]T δ[n− k]. (2.28)

Ïîøòî jå ñèñòåì âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí, òî jå

h[n− k] = T δ[n− k] . (2.29)

Ñìåíîì (2.29) ó (2.28), äîáèjà ñå

y[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]. (2.30)

Èç îâîãà ñå çàê§ó÷ójå äà jå äèñêðåòíè LTI ñèñòåì ó ïîòïóíîñòè îïèñàí ïîìî£ó èìïóëñíîãîäçèâà h[n].

Êîíâîëóöèîíà ñóìà

Jåäíàêîñò (2.30) ïðåäñòàâ§à êîíâîëóöèjó äâå ñåêâåíöå x[n] è h[n] îçíà÷åíó êàî,

y[n] = x[n] ∗ h[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]. (2.31)

Jåäíà÷èíà (2.31) ñå ÷åñòî íàçèâà êîíâîëóöèîíà ñóìà. Ïðåìà òîìå, èçëàç íåêîã äèñêðåòíîãLTI ñèñòåìà jå êîíâîëóöèjà óëàçà x[n] è èìïóëñíîã îäçèâà h[n] ñèñòåìà. Íà ñëèöè 2.4 ïðèêàçàíàjå äåôèíèöèjà èìïóëñíîã îäçèâà h[n] è (2.31).

LTI[n] h[n]x[n] y[n]=x[n]*h[n]

Ñëèêà 2.4: Äèñêðåòíè LTI ñèñòåì

Îñîáèíå êîíâîëóöèîíå ñóìå

Êîíâîëóöèîíà ñóìà èìà ñëåäå£å îñîáèíå:

1. Êîìóòàòèâíîñò

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n], (2.32)

2. Àñîöèjàòèâíîñò

(x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) , (2.33)

3. Äèñòðèáóòèâíîñò

x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]. (2.34)

25

Èçðà÷óíàâà»å êîíâîëóöèîíå ñóìå

Êîíâîëóöèjà äâå ñåêâåíöå äåôèíèñàíà èçðàçîì (2.31), ìîæå ñå ïðèêàçàòè è ó ñëåäå£åìîáëèêó,

y(n) = x(n) ∗ h(n) =+∞∑

k=−∞x[k]h[n− k] =

n− k = mk = n−m

k = −∞→ m = +∞k = +∞→ m = −∞

=+∞∑

m=−∞x[n−m]h[m] =

=+∞∑

k=−∞h[k]x[n− k] =h(n) ∗ x(n).

Ïðåìà òîìå, èçëàç äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà ìîæå ñå èçðà÷óíàòè è íà ñëåäå£è íà÷èí,

y[n] = h[n] ∗ x[n] =+∞∑

k=−∞

h[k]x[n− k]. (2.35)

Ó ñêëàäó ñà èçðàçîì (2.31) èçðà÷óíàâà»å êîíâîëóöèîíå ñóìå ñå ñàñòîjè èç ñëåäå£à ÷åòèðèêîðàêà:

1. Èìïóëñíè îäçèâ h[k] òðåáà èíâåðòîâàòè, h[−k], ïà ïîìåðèòè çà n êàêî áè ñå äîáèî ñèãíàëh [n− k] = h [− (k − n)] êîjè jå ôóíêöèjà îä k ñà ïàðàìåòðîì n.

2. Ñèãíàëè x[k] è h [n− k] ñå ïîìíîæå çà ñâå âðåäíîñòè k ïðè äåôèíèñàíîì ïàðàìåòðó n.

3. Ïðîèçâîä x[k]h [n− k] ñå ñóìèðà çà ñâàêó âðåäíîñò k êàêî áè ñå äîáèëà jåäíà âðåäíîñòçà èçëàçíó ñåêâåíöó y[n].

4. Êîðàöè îä 1 äî 3 ñå ïîíàâ§àjó çà ñâå âðåäíîñòè n êàêî áè ñå äîáèî ñèãíàë y[n].

Îäñêî÷íè (ñòåï) îäçèâ

Îäñêî÷íè (ñòåï) îäçèâ s[n] äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà ÷èjè jå èìïóëñíè îäçèâ h[n] jå

s[n] = h[n] ∗ u[n] =+∞∑

k=−∞

h[k]u[n− k] =

n∑k=−∞

h[k]. (2.36)

Íà îñíîâó (2.36), ñëåäè äà jå s [n] =n−1∑

k=−∞h[k] + h [n] = s [n− 1] + h [n], ïà jå

h[n] = s[n]− s[n− 1]. (2.37)

2.5 Îñîáèíå äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà


Ïîøòî îäçèâ y[n] äèñêðåòíîã ñèñòåìà áåç ìåìîðèjå çàâèñè ñàìî îä òðåíóòíå âðåäíîñòèóëàçíå ñåêâåíöå x[n], à ïîä óñëîâîì äà jå ñèñòåì ëèíåàðàí è âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí, çàâèñíîñòîäçèâà îä ïîáóäå ìîæå ñå èçðàçèòè ó îáëèêó,

y[n] = Kx[n], (2.38)

ïðè ÷åìó jå K êîíñòàíòà (ïîjà÷à»å). Íà îñíîâó îâîãà îäãîâàðàjó£è èìïóëñíè îäçèâ jå,

h[n] = Kδ[n]. (2.39)

Àêî jå èìïóëñíè îäçèâ h[n0] = 0 çà n0 = 0, îíäà äèñêðåòíè LTI ñèñòåì ïîñåäójå ìåìîðèjó.

26

2.5. ÎÑÎÁÈÍÅ ÄÈÑÊÐÅÒÍÈÕ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ


Ñëè÷íî êàî êîä êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà, óñëîâ êàóçàëíîñòè çà äèñêðåòíå LTI ñèñòåìåjå,

h[n] = 0, n < 0. (2.40)

Ïðèìåíîì óñëîâà êàóçàëíîñòè (2.40) íà (2.35), îäçèâ äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà jå èçðàæåí êàî,

y[n] =+∞∑k=0

h[k]x[n− k] (2.41)

Àêî ñå óñëîâ êàóçàëíîñòè ïðèìåíè íà ðåëàöèjó (2.31), äîáèjà ñå,

y[n] =n∑

k=−∞

x[k]h[n− k]. (2.42)

Èç ïîñëåä»å jåäíà÷èíå ñå âèäè äà ó ôîðìèðà»ó èçëàçà y[n] ó÷åñòâójó âðåäíîñòè x[n] çà êîjåjå k ≤ n.

Ñëè÷íî êàî êîä êîíòèíóàëíèõ ñèãíàëà, êàæå ñå äà jå ñåêâåíöà x[n] êàóçàëíà àêî jå

x[n] = 0, n < 0, (2.43à)

îäíîñíî àíòèêàóçàëíà àêî jå

x[n] = 0, n ≥ 0. (2.43á)

Êàäà jå óëàçíà ñåêâåíöà ó ñèñòåì êàóçàëíà îíäà jå îäçèâ êàóçàëíîã äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìàäàò êàî,

y[n] =n∑

k=0

h[k]x[n− k] =n∑

k=0

x[k]h[n− k]. (2.44)


Íåêà jå óëàçíè ñåêâåíöà x[n] òàêâà äà çàäîâî§àâà ñëåäå£ó íåjåäíàêîñò, |x (n)| ≤ k1, ïðè÷åìó jå k1 ïîçèòèâàí ðåàëàí áðîj. Òàäà £å àïñîëóòíà âðåäíîñò îäçèâà ñèñòåìà áèòè, |y (n)| =∣∣∣∣∣ +∞∑k=−∞

h[k]x[n− k]

∣∣∣∣∣ ≤ +∞∑k=−∞

|h [k]| |x[n− k]| ≤ k1+∞∑

k=−∞|h [k]|. Àêî jå èìïóëñíè îäçèâ àïñîëóòíî

ñóìàìàáèëàí, îäíîñíî+∞∑

k=−∞|h [k]| = g < +∞, ãäå jå g ïîçèòèâàí ðåàëàí áðîj, îíäà ñå ìîæå

ïèñàòè äà jå |y [n]| ≤ k1g = k2, à òî çíà÷è äà ñå äîáèjà îãðàíè÷åíà èçëàçíà ñåêâåíöà. Ïðåìàòîìå, àïñîëóòíà ñóìàìàáèëíîñò èìïóëñíîã îäçèâà äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà jå ïîòðåáàí èäîâî§àí óñëîâ çà BIBO ñòàáèëíîñò òîã ñèñòåìà, îäíîñíî äà jå

+∞∑k=−∞

|h[k]| < +∞. (2.45)

27

2.6 Îïèñ äèñêðåòíèõ ñèñòåìà ïîìî£ó äèôåðåíöíèõ jåäíà-

÷èíà

Ëèíåàðíå äèôåðåíöíå jåäíà÷èíå ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà

Ó îïøòåì îáëèêó ëèíåàðíà äèôåðåíöíà jåäíà÷èíà ñà êîíñòàòíèì êîåôèöèjåíòèìà N -òîãðåäà jå äàòà êàî,

N∑k=0

aky[n− k] =M∑k=0

bkx[n− k] (2.46)

ïðè ÷åìó ñó ak è bk ðåàëíè áðîjåâè. Ðåä N îäãîâàðà íàjâå£åì êàø»å»ó îäçèâà y[n]. Ðåøå»åäèôåðåíöíå jåäíà÷èíå (2.46) è ñâå îñîáèíå ñèñòåìà, êàî øòî ñó ëèíåàðíîñò, êàóçàëíîñò èâðåìåíñêà èíâàðèjàíòíîñò, ìîãó ñå èçâåñòè ñëåäå£è ïðèñòóï êîjè jå àíàëîãàí äèñêóñèjè çàäèôåðåíöèjàëíå jåäíà÷èíå. Íàðî÷èòî òðåáà èñòà£è äà £å ñèñòåì îïèñàí ïîìî£ó (2.46) áèòèêàóçàëàí è ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðèjàíòíè àêî jå ñèñòåì áåç ïî÷åòíîã ñòà»à.

Ðåêóðçèâíè îáëèê

Äèôåðåíöíà jåäíà÷èíà (2.46) ìîæå ñå ïðèêàçàòè íà ñëåäå£è íà÷èí,

y[n] =1

a0

(M∑k=0

bkx[n− k]−N∑

k=1

aky[n− k]

)(2.47)

Îâà äèôåðåíöíà jåäíà÷èíà íàçèâà ñå ðåêóðçèâíà jåäíà÷èíà êîjà îäðå¢ójå ðåêóðçèâíó ïðîöåäóðóçà îäðå¢èâà»å èçëàçà ñèñòåìà ïîä óñëîâèìà ïîçíàâà»à âðåäíîñòè óëàçà è ïðåòõîäíèõ èçëàçàñèñòåìà. Ó ñïåöèjàëíîì ñëó÷àjó êàäà jå N = 0, íà îñíîâó (2.47) ñëåäè äà jå

y[n] =1

a0

(M∑k=0

bkx[n− k]

). (2.48)

Îâî jå íåðåêóðçèâíà jåäíà÷èíà ïîøòî ïðåòõîäíå âðåäíîñòè èçëàçíå ñåêâåíöå íèñó ïîòðåáíåçà èçðà÷óíàâà»å òðåíóòíå âðåäíîñòè èçëàçà.


Èìïóëñíè îäçèâ h[n] äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà îïèñàíèõ ñà äèôåðåíöíîì jåäíà÷èíîì (2.47),ìîæå ñå ëàêî îäðåäèòè êàî,

h[n] =1

a0

(M∑k=0

bkδ[n− k]−N∑

k=1

akh[n− k]

). (2.49)

Çà ñèñòåì îïèñàí ñà äèôåðåíöíîì jåäíà÷èíîì (2.48) èìïóëñíè îäçèâ jå äàò êàî,

h[n] =1

a0

M∑k=0

bkδ[n− k] =

bn/a0, 0 ≤ n ≤M0, n < 0, n > M

(2.50)

Íà îñíîâó (2.50) ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà èìïóëñíè îäçèâ ñèñòåìà èìà êîíà÷àí áðîj ÷ëàíîâà÷èjà ñå âðåäíîñò ðàçëèêójå îä íóëå. Óñëåä îâå îñîáèíå, ñèñòåì îïèñàí ñà äèôåðåíöíîìjåäíà÷èíîì (2.48) íàçèâà ñå ñèñòåì êîíà÷íîã èìïóëñíîã îäçèâà (nite impulse response FIR).Ñ äðóãå ñòðàíå, ñèñòåì ÷èjè èìïóëñíè îäçèâ èìà áåñêîíà÷àí áðîj îäáèðàêà ÷èjå ñó âðåäíîñòèðàçëè÷èòå îä íóëå íàçèâàjó ñå ñèñòåìè ñà áåñêîíà÷íèì èìïóëñíèì îäçèâîì (innite impulseresponse IIR).

28

Ãëàâà 3

Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà è

âðåìåíñêè êîíòèíóàëíè LTI

ñèñòåìè

Îäçèâ LTI ñèñòåìà jå îäðå¢åí êîíâîëóöèjîì óëàçà è èìïóëñíîã îäçèâà ñèñòåìà. Ó îâîìïîãëàâ§ó óâîäè ñå Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà êàî ìàòåìàòè÷êè àïàðàò çà ïðåäñòàâ§à»åêîíòèíóàëíèõ ñèãíàëà ó s-äîìåíó (s jå êîìïëåêñíà ïðîìåí§èâà) è îïèñàí jå êîíöåïò îäðå¢è-âà»à ïðåíîñíå ôóíêöèjå çà êîíòèíóàëíå LTI ñèñòåìå.

3.1 Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà

Íåêà jå èìïóëñíè îäçèâ êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà h(t), à ïîáóäà êîìïëåêñíè åêñïîíåíöè-jàëíè ñèãíàë est îíäà jå îäçèâ ñèñòåìà y(t) äàò íà ñëåäå£è íà÷èí,

y(t) = h (t) ∗ est =+∞∫

−∞

h (τ)es(t−τ)dτ = est+∞∫

−∞

h (τ)e−sτdτ = estH(s), (3.1)

ïðè ÷åìó jå,

H(s) =

+∞∫−∞

h (t)e−stdτ. (3.2)

Äåôèíèöèjà

Ôóíêöèjà H(s) ó èçðàçó (3.2) ïðåäñòàâ§à Ëàïëàñîâó òðàíñôîðìàöèjó îä h(t). Çà ïðîèç-âî§íè êîíòèíóàëíè ñèãíàë x(t), Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà X(s) jå äåôèíèñàíà êàî,

X(s) =

+∞∫−∞

x(t)e−stdt. (3.3)

Ïðîìåí§èâà s jå êîìïëåêñíà è ìîæå ñå èçðàçèòè êàî,

s = σ + jω. (3.4)

29

Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà äåôèíèñàíà ïîìî£ó (3.3) ÷åñòî ñå íàçèâà áèëàòåðàëíà (äâîñòðàíà)Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà çà ðàçëèêó îä óíèëàòåðàëíå (jåäíîñòðàíå) Ëàïëàñîâå òðàíñôîð-ìàöèjå, êîjà jå äåôèíèñàíà êàî,

XI(s) =

+∞∫0−

x(t)e−stdt, (3.5)

ïðè ÷åìó jå 0− = limε→0

(0− ε). Jàñíî jå äà ñó áèëàòåðàëíà è óíèëàòåðàëíà òðàíñôîðìàöèjà

åêâèâàëåíòíå ñàìî àêî jå x(t) = 0 çà t < 0. ×åñòî ñå èçðàç (3.3) ñìàòðà îïåðàòîðîì êîjèòðàíñôîðìèøå ñèãíàë x(t) ó ôóíêöèjó X(s), øòî ñå ìîæå ñèìáîëè÷êè çàïèñàòè êàî

X(s) = L x(t) , (3.6)

äîê ñå çà ñèãíàë è »åãîâó Ëàïëàñîâó òðàíñôîðìàöèjó êàæå äà îáðàçójó Ëàïëàñîâ òðàíñôîð-ìàöèîíè ïàð îçíà÷åí êàî,

x(t)←→ X(s). (3.7)

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå

Îïñåã âðåäíîñòè êîìïëåêñíå ïðîìåí§èâå çà êîjè êîíâåðãèðà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjàíàçèâà ñå îáëàø£ó êîíâåðãåíöèjå (region of convergence ROC). Èçðà÷óíàâà»å Ëàïëàñîâåòðàíñôîðìàöèjà è îäðå¢èâà»å »åíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå ïðèêàçàíî jå êðîç íåêîëèêî ïðè-ìåðà.

Ïðèìåð 3.1Äàò jå ñèãíàë x(t) = e−atu(t) è a ∈ R. Íà îñíîâó jåäíàêîñòè (3.3) Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìà-

öèjà îä x(t) jå,

X(s) =+∞∫−∞

e−atu(t)e−stdt =+∞∫0+

e−(s+a)tdt =

= − 1s+a e−(s+a)t

∣∣+∞0+

= 1s+a , Re (s) > −a,

(3.8)

jåð jå limt→+∞

e−(s+a)t = limt→+∞

(e−(σ+a)te−jωt

)= 0 ñàìî àêî jå σ + a > 0 èëè Re (s) > −a.

Ïðåìà òîìå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå jå îäðå¢åíà êàî Re (s) > −aè ïðèêàçàíà jå ó êîìïëåêñíîj ðàâíè íà ñëèöè 3.1 êàî îñåí÷åíà îáëàñò äåñíî îä ïðàâå Re (s) =−a. Êîìïëåêñíà ðàâàí ñå íàçèâà s-ðàâàí, à õîðèçîíòàëíå è âåðòèêàëíå îñå ñå íàçèâàjó σ-îñàè jω-îñà, ðåäîì.

j

-a

a>0s-

(a)

j

s-

-a

a<0

(á)

Ñëèêà 3.1: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå çà ïðèìåð 3.1 à) a > 0 è á) a < 0

30

3.1. ËÀÏËÀÑÎÂÀ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

Ïðèìåð 3.2Äàò jå ñèãíàë x(t) = −e−atu(−t) è a ∈ R. Íà îñíîâó jåäíàêîñòè (3.3) Ëàïëàñîâà òðàíñôîð-

ìàöèjà îä x(t) jå,

X(s) =+∞∫−∞−e−atu(−t)e−stdt = −

0−∫−∞

e−(s+a)tdt =

= 1s+a e−(s+a)t

∣∣0−−∞ = 1

s+a , Re (s) < −a,(3.9)

jåð jå limt→−∞

e−(s+a)t = 0 ñàìî àêî jå σ + a < 0 èëè Re (s) < −a.Äàêëå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå îäðå¢åíà jå êàî Re (s) < −a è

ïðèêàçàíà jå ó êîìïëåêñíîj ðàâíè íà ñëèöè 3.2 êàî îñåí÷åíà îáëàñò ëåâî îä ïðàâå Re (s) =−a. Óïîðå¢èâà»åì (3.8) è (3.9), óî÷àâà ñå äà jå àëãåáàðñêè èçðàç çà X(s) èäåíòè÷àí çà îáàñèãíàëà, àëè ñå ðàçëèêójó îäãîâàðàjó£å îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå. Ïðåìà òîìå, äà áè Ëàïëàñîâàòðàíñôîðìàöèjà áèëà jåäèíñòâåíà çà ñâàêè ñèãíàë x(t), îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñå ìîðà îäðåäèòèêàî ñàñòàâíè äåî òðàíñôîðìàöèjå.

j

-a

s-a>0

(a)

a<0

-a

j

s-

(á)

Ñëèêà 3.2: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå çà ïðèìåð 3.2 à) a > 0 è á) a < 0

Ïîëîâè è íóëå

Íàj÷åø£å X(s) jå ðàöèîíàëíà ôóíöèjà ïðîìåí§èâå s, îäíîñíî

X(s) =a0s

m + a1sm−1 + . . .+ am

b0sn + b1sn−1 + . . .+ bn=

a0b0

(s− z1) . . . (s− zm)

(s− p1) . . . (s− pn)(3.10)

Êîåôèöèjåíòè ak è bk ñó ðåàëíè áðîjåâè, à m è n ñó ïîçèòèâíè öåëè áðîjåâè. X(s) ñå íàçèâàïðàâîì ðàöèîíàëíîì ôóíêöèjîì àêî jå m > n, äîê jå ó ñóïðîòíîì íåïðàâà ðàöèîíàëíàôóíêöèjà. Êîðåíè ïîëèíîìà ó áðîjèîöó, zk, íàçèâàjó ñå íóëàìà X(s) jåð jå X(s) = 0 çàòå âðåäíîñòè s. Êîðåíè ïîëèíîìà ó èìåíèîöó, pk, ñå íàçèâàjó ïîëîâè X(s) jåð âðåäíîñòX(s) òåæè áåñêîíà÷íîñòè çà òå âðåäíîñòè s. Ïðåìà òîìå, ïîëîâè ôóíêöèjå X(s) ëåæå âàíîáëàñòè êîíâåðãåíöèjå, äîê ñå íóëå ìîãó íàëàçèòè è óíóòàð è âàí îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå.X(s) ñå ìîæå ó ïîòïóíîñòè îïèñàòè ïîìî£ó íóëà è ïîëîâà, èçóçåâ çà ôàêòîð ñêàëèðà»à a0/b0.Äàêëå ïîòïóíî ïðåäñòàâ§à»å X(s) ó s-ðàâíè ïîäðàçóìåâà ïðèêàç ïîçèöèjà íóëà è ïîëîâà óçîçíà÷àâà»å îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå.

Ñòàíäàðäíî "õ" ñå êîðèñòè çà îçíà÷àâà»å ïîëîâà, à "î" çà îçíà÷àâà»å íóëà. Çà ôóíêöèjóX(s) äåôèíèñàíó êàî,

X(s) = 2s+4s2+4s+3 = 2 s+2

(s+1)(s+3) , Re (s) > −131

ïðèêàçàíà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñà íóëàìà è ïîëîâèìà íà ñëèöè 3.3. Îâà ôóíêöèjà èìàjåäíó íóëó çà s = −2 è äâà ïîëà çà s = −1 è s = −3 ñà ôàêòîðîì ñêàëèðà»à 2.

j

-1

s-

-2-3x xo

Ñëèêà 3.3: Ðàñïîðåä íóëà è ïîëîâà ó s-ðàâíè çà X(s) = (2s+ 4) /(s2 + 4s+ 3

)Îñîáèíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå

Êàî øòî ñå ìîæå çàê§ó÷èòè èç ïðèìåðà 3.1 è 3.2, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå X(s) çàâèñè îäïðèðîäå ñèãíàëà x(t), ïà ñå ìîãó íàâåñòè îñîáèíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå. Ïðåòïîñòàâ§à ñå äàjå X(s) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà ïðîìåí§èâå s.

Îñîáèíà 1: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå íå ñàäðæè ïîëîâå. Îâà îñîáèíà ñëåäè äèðåêòíî èçäåôèíèöèjå ïîëîâà, îäíîñíî ÷è»åíèöå äà X(s) òåæè áåñêîíà÷íîñòè êàäà ïðîìåí§èâà óçèìàâðåäíîñòè êîjå îäãîâàðàjó ïîëîâèìà.

Îñîáèíà 2: Àêî jå x(t) ñèãíàë êîíà÷íîã òðàjà»à, îäíîñíî x(t) = 0 èçóçåâ íà êîíà÷íîìèíòåðâàëó t1 ≤ t ≤ t2 (−∞ < t1 è t2 < +∞), òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå öåëà s-ðàâàí èçóçåâìîæäà s = 0 èëè s = +∞.

Äîêàç.Íåêà X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ0. Òàäà jå íà îñíîâó (3.3)

|X(s)| ≤+∞∫−∞|x (t) e−st| dt =

t2∫t1

|x (t)| e−σ0tdt < +∞.

Íåêà jå Re (s) = σ1 > σ0. Îíäà

+∞∫−∞

∣∣x (t) e−(σ1+jω)t∣∣ dt = t2∫

t1

|x (t)| e−σ1tdt =t2∫t1

|x (t)| e−σ0te−(σ1−σ0)tdt.

Ïîøòî jå σ1 − σ0 > 0, èçðàç e−(σ1−σ0)t îïàäà åêñïîíåíöèjàëíî. Ó èíòåðâàëó ó êîjåì jå ñèãíàëðàçëè÷èò îä íóëå, ìàêñèìàëíà âðåäíîñò îâîã èçðàçà jå e−(σ1−σ0)t1 è ìîæå ñå ïèñàòè

t2∫t1

|x (t)| e−σ1tdt < e−(σ1−σ0)t1t2∫t1

|x (t)| e−σ0tdt < +∞.

Íà îñíîâó îâîãà çàê§ó÷ójå ñå äà X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ1 > σ0. Ñ äðóãå ñòðàíå, çàRe (s) = σ1 < σ0 âàæè äà jå

t2∫t1

|x (t)| e−σ1tdt < e−(σ1−σ0)t2t2∫t1

|x (t)| e−σ0tdt < +∞

è ïîíîâî X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ1 < σ0. Íà îñíîâó îâîãà ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå îáóõâàòà öåëó s-ðàâàí.

Îñîáèíà 3: Àêî jå x(t) ñèãíàë îãðàíè÷åí ñà ëåâå ñòðàíå, îäíîñíî x(t) = 0 çà t < t1 < +∞,òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå,

32

3.1. ËÀÏËÀÑÎÂÀ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

Re (s) > σmax

ïðè ÷åìó σmax îäãîâàðà ìàêñèìàëíîj âðåäíîñòè ðåàëíîã äåëà áèëî êîã ïîëà îä X(s). Ïðåìàòîìå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ïîëóðàâàí êîjà ñå íàëàçè ñà äåñíå ñòðàíå âåðòèêàëíå ëèíèjåRe (s) = σmax ó s-ðàâíè è äåñíî jå ó îäíîñó íà ñâå ïîëîâå X(s).

Äîêàç.Íåêà jå x(t) = 0 çà t < t1 è X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ0. Òàäà jå

|X(s)| ≤+∞∫−∞|x (t) e−st| dt =

+∞∫−∞|x (t)| e−σ0tdt =

+∞∫t1

|x (t)| e−σ0tdt < +∞

Íåêà jå Re (s) = σ1 > σ0. Îíäà

+∞∫t1

|x (t)| e−σ1tdt =+∞∫t1

|x (t)| e−σ0te−(σ1−σ0)tdt < e−(σ1−σ0)t1+∞∫t1

|x (t)| e−σ0tdt < +∞

X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ1 è »åíà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêó Re (s) > σ0. Êàêîîáëàñò êîíâåðãåíöèjå íå îáóõâàòà ïîëîâå X(s), çàê§ó÷ójå ñå äà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáëèêà

Re (s) > σmax

ïðè ÷åìó jå σmax ìàêñèìàëíè ðåàëíè äåî ñâèõ ïîëîâà X(s).Îñîáèíà 4: Àêî jå x(t) ñèãíàë îãðàíè÷åí ñà äåñíå ñòðàíå, îäíîñíî x(t) = 0 çà t > t2 > −∞,

òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó,

Re (s) < σmin,

ïðè ÷åìó σmin îäãîâàðà ìèíèìàëíîj âðåäíîñòè ðåàëíîã äåëà áèëî êîã ïîëà X(s). Íà îñíîâóîâîãà, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ïîëóðàâàí êîjà ñå íàëàçè ñà ëåâå ñòðàíå âåðòèêàëíå ëèíèjåRe (s) = σmin ó s-ðàâíè è ëåâî jå ó îäíîñó íà ñâå ïîëîâå X(s).

Äîêàç.Íåêà jå x(t) = 0 çà t > t2 è X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ0. Òàäà jå

|X(s)| ≤+∞∫−∞|x (t) e−st| dt =

+∞∫−∞|x (t)| e−stdt =

t2∫−∞|x (t)| e−σ0tdt < +∞

Íåêà jå Re (s) = σ1 < σ0. Îíäà

t2∫−∞|x (t)| e−σ1tdt =

t2∫−∞|x (t)| e−σ0te−(σ1−σ0)tdt < e−(σ1−σ0)t2

t2∫−∞|x (t)| e−σ0tdt < +∞

X(s) êîíâåðãèðà çà Re (s) = σ1 è »åíà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêó Re (s) < σ0. Êàêîîáëàñò êîíâåðãåíöèjå íå îáóõâàòà ïîëîâåX(s), çàê§ó÷ójå ñå äà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáëèêà,

Re (s) < σmin,

ïðè ÷åìó jå σmin ìèíèìàëíè ðåàëíè äåî ñâèõ ïîëîâà X(s).Îñîáèíà 5: Àêî jå x(t) äâîñòðàíè ñèãíàë, îäíîñíî x(t) jå ñèãíàë áåñêîíà÷íîã òðàjà»à êîjè

íèjå îãðàíè÷åí íè ñà ëåâå íè ñà äåñíå ñòðàíå, òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó,

σ1 < Re (s) < σ2,

ïðè ÷åìó σ1 è σ2 îäãîâàðàjó ðåàëíèì äåëîâèìà äâà ïîëà X(s). Íà îñíîâó îâîãà, îáëàñòêîíâåðãåíöèjå jå äåî s-ðàâíè èçìå¢ó âåðòèêàëíèõ ëèíèjà Re (s) = σ1 è Re (s) = σ2.

Äîêàç.Äâîñòðàíè ñèãíàë x(t) ñå ìîæå ïîñìàòðàòè êàî

x (t) = x1 (t)u (t) + x2 (t)u (−t) ,ïðè ÷åìó ñó x1 (t) äåî ñèãíàëà çà t > 0 è x2 (t) äåî ñèãíàëà çà t < 0. Êàêî jå x1 (t) äåñíèñèãíàë íà îñíîâó îñîáèíå 3 çàê§ó÷ójå ñå äà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó Re (s) > σ1. Ñäðóãå ñòðàíå x2 (t) jå ëåâè ñèãíàë, òå íà îñíîâó îñîáèíå 4 îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêóRe (s) < σ2. Ïîøòî îáëàñò êîíâåðãåíöèjå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå ñèãíàëà x(t) ìîðà äàçàäîâî§è îáà óñëîâà, îâà îáëàñò jå ó îáëèêó σ1 < Re (s) < σ2.

33

3.2 Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà íåêèõ ñèãíàëà

Jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë

Êîðèñòå£è (3.3) è (1.22), äîáèjà ñå

L δ (t) =+∞∫

−∞

δ (t) e−stdt = 1, ∀s. (3.11)

Jåäèíè÷íè îäñêî÷íè ñèãíàë

Êîðèñòå£è (3.3), äîáèjà ñå

L u (t) =+∞∫

−∞

u (t) e−stdt =

+∞∫0+

e−stdt = − 1

se−st

∣∣∣∣+∞

0+=

1

s, Re (s) > 0, (3.12)

ïðè ÷åìó jå 0+ = limε→0

(0 + ε).

Ïîðåä ïðåòõîäíà äâà ñèãíàëà, Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå ñèãíàëà êîjè ñå ÷åñòî êîðèñòåñó ïðèêàçàíå ó Òàáåëè 3.1.

Òàáåëà 3.1: Íåêè Ëàïëàñîâè òðàíñôîðìàöèîíè ïàðîâè

x(t) X(s) Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå

δ(t) 1 öåëà s-ðàâàí

u(t) 1s Re (s) > 0

−u(−t) 1s Re (s) < 0

tu(t) 1s2 Re (s) > 0

tku(t) k!sk+1 Re (s) > 0

e−atu(t) 1s+a Re (s) > −Re (a)

−e−atu(−t) 1s+a Re (s) < −Re (a)

te−atu(t)1

(s+a)2 Re (s) > −Re (a)

−te−atu(−t) 1(s+a)2 Re (s) < −Re (a)

cosω0t u(t)s

s2+ω20

Re (s) > 0

sinω0t u(t)ω0

s2+ω20

Re (s) > 0

e−at cosω0t u(t)s+a

(s+a)2+ω20

Re (s) > −Re (a)

e−at sinω0t u(t)ω0

(s+a)2+ω20

Re (s) > −Re (a)

34

3.3. ÎÑÎÁÈÍÅ ËÀÏËÀÑÎÂÅ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÅ

3.3 Îñîáèíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå

Ó îâîì äåëó ñó ïðåäñòàâ§åíå îñíîâíå îñîáèíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå.

3.3.1 Ëèíåàðíîñò

Àêî jå

x1(t)←→ X1(s), ROC = R1,

x2(t)←→ X2(s), ROC = R2,

òàäà jå

a1x1(t) + a2x2(t)←→ a1X1(s) + a2X2(s), R′ ⊃ R1 ∩R2 (3.13)

ïðè ÷åìó ñó a1 è a2 ïðîèçâî§íå êîíñòàíòå.

Îçíàêà A ⊃ B îçíà÷àâà äà ñêóï A ñàäðæè ñêóï B, äîê A ∩ B îçíà÷àâà ïðåñåê ñêóïîâàA è B. Íà îñíîâó îâîãà, (3.13) óêàçójå äà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ðåçóëòójó£å Ëàïëàñîâåòðàíñôîðìàöèjå íàjìà»å âåëèêà êàî è ïðåñåê îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå ïîjåäèíèõ Ëàïëàñîâèõòðàíñôîðìàöèjà. Íàj÷åø£å jå R′ = R1 ∩R2. Îâî jå ïðèêàçàíî íà ñëèöè 3.4.

s-

R2 R1R1∩R2

j

Ñëèêà 3.4: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå a1X1(s) + a2X2(s)

Äîêàç.

X(s) = L a1x1(t) + a2x2(t) =+∞∫−∞

(a1x1(t) + a2x2(t)) e−stdt =

=+∞∫−∞

a1x1(t)e−stdt+

+∞∫−∞

a2x2(t)e−stdt = a1

+∞∫−∞

x1(t)e−stdt+ a2

+∞∫−∞

x2(t)e−stdt.

Êàêî jå X1(s) =+∞∫−∞

x1(t)e−stdt,ROC = R1 è X2(s) =

+∞∫−∞

x2(t)e−stdt,ROC = R2, îíäà jå

X(s) = a1X1(s) + a2X2(s),

ïðè ÷åìó jå

R′ ⊃ R1 ∩R2

êàêî áè ñå çàäîâî§èî óñëîâ ïîñòîjà»à Ëàïëàñîâèõ òðàíñôîðìàöèjà ñèãíàëà x1(t) è x2(t).

35

3.3.2 Ïîìåðàj ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

îíäà jåx(t− t0)←→ e−st0X(s), R′ = R (3.14)

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ïðå è ïîñëå ïîìåðàjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó îñòàjå èñòà.Äîêàç.

L x(t− t0) =+∞∫−∞

x(t− t0)e−stdt =

t− t0 = vt = v + t0dt = dv

t→ −∞⇒ v → −∞t→ +∞⇒ v → +∞

=+∞∫−∞

x(v)e−s(v+t0)dv =

=+∞∫−∞

x(v)e−sve−st0dv = e−st0+∞∫−∞

x(v)e−svdv =e−st0X (s) .

3.3.3 Ïîìåðàj ó s-äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jåes0tx(t)←→ X(s− s0), R′ = R+Re (s0) (3.15)

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå êîjà jå ïðèäðóæåíà X(s − s0) jå èñòà êàî çà X(s) ïîìåðåíà çà Re (s0).Îâî jå ïðèêàçàíî íà ñëèöè 3.5.

Äîêàç.

L es0tx(t) =+∞∫−∞

es0tx(t)e−stdt =+∞∫−∞

x(t)e−(s−s0)tdt = X (s− s0) .

j

s-

R

(a)

j

s-

+Re(s0)

R’

+Re(s0)

(á)

Ñëèêà 3.5: Ïðîìåíà îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå ïîìåðà»åì ó s-äîìåíó: à) îáëàñò êîíâåðãåíöèjåX(s), á) îáëàñò êîíâåðãåíöèjå X(s− s0)

36


3.3.4 Âðåìåíñêî ñêàëèðà»å

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jå

x(at)←→ 1

|a|X( sa

), R′ = aR. (3.16)

Ñêàëèðà»å âðåìåíñêå ïðîìåí§èâå t ôàêòîðîì a óçðîêójå ñêàëèðà»å ïðîìåí§èâå s ñà 1/a êàîè àìïëèòóäñêî ñêàëèðà»å X (s/a) ñà 1/ |a|. Îäãîâàðàjó£è åôåêàò íà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jåïðèêàçàí íà ñëèöè 3.6.

j

s-

R

(a)

j

s-

a a

R’

(á)

Ñëèêà 3.6: Ïðîìåíà îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå âðåìåíñêèì ñêàëèðà»åì: à) îáëàñò êîíâåðãåíöèjåX(s), á) îáëàñò êîíâåðãåíöèjå X (s/a)

Äîêàç.Çà a > 0

L x(at) =+∞∫−∞

x(at)e−stdt =

at = τt = τ/a

dt = dτ/at→ −∞⇒ τ → −∞t→ +∞⇒ τ → +∞

=

= 1a

+∞∫−∞

x(τ)e−sa τdτ = 1

aX(sa

), R′ = aR.

Çà a < 0

L x(at) =+∞∫−∞

x(at)e−stdt =

at = τt = τ/a1

dt = dτ/a1t→ −∞⇒ τ → +∞t→ +∞⇒ τ → −∞

= 1a

−∞∫+∞

x(τ)e−(sa )τdτ =

= − 1a

+∞∫−∞

x(τ)e−(sa )τdτ = − 1

aX(sa

), R′ = aR.

Ïðåìà òîìå, êîìáèíîâà»åì äîáèjåíèõ ðåçóëòàòà çà a > 0 è a < 0 ìîæå ñå íàïèñàòè ñëåäå£àðåëàöèjà, L x(at) = 1

|a|X(sa

), R′ = aR.

37

3.3.5 Èíâåðçèjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jåx(−t)←→ X(−s), R′ = −R (3.17)

Âðåìåíñêà èíâåðçèjà x(t) óçðîêójå èíâåðçèjó è σ-îñå è jω-îñå ó s-ðàâíè. Èçðàç (3.17) ñå äîáèjàäèðåêòíî èç (3.16) çàìåíîì a = −1.

3.3.6 Äèôåðåíöèðà»å ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jådx(t)

dt←→ sX(s), R′ ⊃ R (3.18)

Äèôåðåíöèðà»å ó âðåìåíñêîì äîìåíó îäãîâàðà ìíîæå»ó îäãîâàðàjó£å Ëàïëàñîâå òðàíñôîð-ìàöèjå ñà s. Îäãîâàðàjó£à îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå íåïðîìå»åíà èçóçåâ ó ñëó÷àjó ïîíèøòàâà»àíóëå è ïîëà çà s = 0.

Äîêàç.

X(s) =+∞∫−∞

x(t)e−stdt, ROC = R

Àêî ñå ãîð»è èçðàç äèôåðåíöèðà ïî ïðîìåí§èâîj t, äîáèjà ñå

0 =+∞∫−∞

(dx(t)dt e−st − x (t) se−st

)dt =

+∞∫−∞

dx(t)dt e−stdt− s

+∞∫−∞

x (t) e−stdt

L(

dx(t)dt

)=

+∞∫−∞

dx(t)dt e−stdt = s

+∞∫−∞

x (t) e−stdt = sX (s) , R′ ⊃ R

3.3.7 Äèôåðåíöèðà»å ó s-äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jå

−tx(t)←→ dX(s)

ds, R′ = R. (3.19)

Äîêàç.Àêî ñå äèôåðåíöèðà äåôèíèöèîíè èçðàç Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå îä x(t) ïî ïðîìåí§èâîj

s, äîáèjà ñå

dX(s)ds =

+∞∫−∞

(−t)x(t)e−stdt =+∞∫−∞

[−tx (t)] e−stdt.

Ïðåìà òîìå, äîáèjåíè èíòåãðàë ïðåäñòàâ§à Ëàïëàñîâó òðàíñôîðìàöèjó îä −tx(t), îäàêëåñëåäè äà jå,

L −tx(t) = dX(s)ds , R′ = R.

38


3.3.8 Èíòåãðàöèjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå

x(t)←→ X(s), ROC = R,

òàäà jåt∫

−∞

x(τ)dτ ←→ 1

sX(s), R′ = R ∩ Re (s) > 0 . (3.20)

Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà îä èíòåãðàöèjå ñèãíàëà x(t) ó âðåìåíñêîì äîìåíó jå ìíîæå»å ñà1/s »åãîâå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå. Íîâà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå óñëîâ§åíà óâî¢å»åìäîäàòíîã ïîëà çà s = 0 êàî ïîñëåäèöà ìíîæå»à ñà 1/s.

Äîêàç.

Íåêà jå f (t) =t∫

−∞x(τ)dτ , îäíîñíî x (t) = df(t)

dt . Ïðèìåíîì îñîáèíå äèôåðåíöèðà»à ó

âðåìåíñêîì äîìåíó ñëåäè äà jå X(s) = sF (s), ãäå jå F (s) =+∞∫−∞

f(t)e−stdt. Îäàâäå jå F (s) =

+∞∫−∞

f(t)e−stdt =+∞∫−∞

t∫−∞

x(τ)dτe−stdt = 1sX (s), îäíîñíî L

t∫

−∞x(τ)dτ

= 1

sX(s), R′ = R ∩

Re (s) > 0.

3.3.9 Êîíâîëóöèjà

Àêî jå

x1(t)←→ X1(s), ROC = R1,

x2(t)←→ X2(s), ROC = R2,

òàäà jå

x1(t) ∗ x2(t)←→ X1(s)X2(s), R′ ⊃ R1 ∩R2 (3.21)

Îâà îñîáèíà êîíâîëóöèjå èìà öåíòðàëíî ìåñòî ó àíàëèçè è ñèíòåçè êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà.Äîêàç.

L x1(t) ∗ x2(t) = L

+∞∫−∞

x1(τ)x2(t− τ)dτ

=

+∞∫−∞

(+∞∫−∞

x1(τ)x2(t− τ)dτ

)e−stdt =

=+∞∫−∞

x1(τ)

(+∞∫−∞

x2(t− τ)e−stdt

)dτ.

Èíòåãðàë+∞∫−∞

x2(t− τ)e−stdt ïðåäñòàâ§à Ëàïëàñîâó òðàíñôîðìàöèjó ñèãíàëà x2(t) çàêàø-

»åíîã çà τ , ïà íà îñíîâó îñîáèíå ïîìåðàjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó ñëåäè äà jå

L x1(t) ∗ x2(t) =+∞∫−∞

x1(τ)X2(s)e−sτdτ = X2(s)

+∞∫−∞

x1(τ)e−sτdτ = X2(s)X1(s)

Àêî íåêà íóëà îä Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå jåäíîã ñèãíàëà ïîíèøòè ïîë îä Ëàïëàñîâåòðàíñôîðìàöèjå äðóãîã ñèãíàëà, îíäà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå êîí-âîëóöèjå îâà äâà ñèãíàëà ìîæå áèòè âå£à. Ïðåìà òîìå R′ ⊃ R1 ∩R2.

Ó òàáåëè 3.2 ñó ïðèêàçàíå ñâå ïðåòõîäíî íàâåäåíå îñîáèíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå.

39

Òàáåëà 3.2: Íåêå îñîáèíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå

Îñîáèíà Ñèãíàë ÒðàíñôîðìàöèjàÎáëàñòêîíâåðãåíöèjå

x(t) X(s) Rx1(t) X1(s) R1

x2(t) X2(s) R2

ëèíåàðíîñò a1x1(t)+a2x2(t) a1X1(s) + a2X2(s) R′ ⊃ R1 ∩R2

ïîìåðàj ó âðåìåíó x(t− t0) e−st0X(s) R′ = Rïîìåðàj ó s-äîìåíó es0tx(t) X(s− s0) R′ = R+Re (s0)

âðåìåíñêî ñêàëèðà»å x(at) 1|a|X

(sa

)R′ = aR

âðåìåíñêà èíâåðçèjà x(−t) X(−s) R′ = −Räèôåðåíöèðà»å ó âðåìåíó dx(t)

dtsX(s) R′ ⊃ R

äèôåðåíöèðà»å ó s-äîìåíó −tx(t) dX(s)ds

R′ = R

èíòåãðàöèjà ó âðåìåíót∫

−∞x(τ)dτ 1

sX(s) R′ = R ∩ Re (s) > 0

êîíâîëóöèjà x1(t) ∗ x2(t) X1(s)X2(s) R′ ⊃ R1 ∩R2

3.4 Èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà

Ïîñòóïàê îäðå¢èâà»à âðåìåíñêîã îáëèêà ñèãíàëà x(t) íà îñíîâó »åãîâå Ëàïëàñîâå òðàíñ-ôîðìàöèjå íàçèâà ñå èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà êîjà ñå ñèìáîëè÷êè îçíà÷àâà êàîx(t) = L −1 X(s).

3.4.1 Äåôèíèöèjà èíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå

Ïîñòîjè ïðîöåäóðà çà ðà÷óíà»å èíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå êîjà jå ïðèìåí§èâàíà ñâå êëàñå ôóíêöèjà êîjà îáóõâàòà ðà÷óíà»å ëèíèjñêîã èíòåãðàëà ó êîìïëåêñíîj s-ðàâíè,îäíîñíî,

x(t) =1

2πj

c+j∞∫c−j∞

X(s)estds. (3.22)

Ó îâîì èíòåãðàëó, ðåàëíî c jå èçàáðàíî òàêî äà àêî jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå X(s) äàòà êàîσ1 < Re (s) < σ2, òàäà jå σ1 < c < σ2. Ðà÷óíà»å èíâåðçíîã Ëàïëàñîâîâîã èíòåãðàëà çàõòåâàïîçíàâà»å òåîðèjå êîìïëåêñíèõ ïðîìåí§èâèõ.

3.4.2 Êîðèø£å»å òàáëèöå Ëàïëàñîâèõ òðàíñôîðìàöèîíèõ ïàðîâà

Äà áè ñå óïîòðåáèëà îâà ìåòîäà çà ðà÷óíà»å èíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå X(s),ïîòðåáíî jå X(s) ïðåäñòàâèòè êàî ñóìó,

X(s) = X1(s) +X2(s) + . . .+Xn(s),

ãäå ñóX1(s),X2(s),...,Xn(s)ôóíêöèjå ñà ïîçíàòèì èíâåðçíèì òðàíñôîðìàöèjàìà x1(t), x2(t),...,xn(t). Íà îñíîâó îñîáèíå ëèíåàðíîñòè (3.13) ñëåäè äà jå,

x(t) = x1(t) + x2(t) + . . .+ xn(t).

3.4.3 Ðàçâîj íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå

Àêî jå X(s) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà, äàòà jå ó ñëåäå£åì îáëèêó,

40

3.5. ÏÐÅÍÎÑÍÀ ÔÓÍÊÖÈJÀ ÊÎÍÒÈÍÓÀËÍÈÕ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ

X(s) = N(s)D(s) = k (s−z1)...(s−zm)

(s−p1)...(s−pn),

òåõíèêà çàñíîâàíà íà ðàçâîjó íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå ìîæå ñå êîðèñòèòè çà îäðå¢èâà»åèíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå îä X(s).

a) Êàäà jå X(s) ïðàâà ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà, îäíîñíî m < n,

1. Ñëó÷àj jåäíîñòðóêèõ ïîëîâà

Àêî ñó ñâè ïîëîâè X(s), îäíîñíî ñâå íóëå D(s), jåäíîñòðóêå, òàäà ñå X(s) ìîæå íàïèñàòèêàî,

X(s) =c1

s− p1+ . . .+

cns− pn

, (3.23)

ïðè ÷åìó ñó êîåôèöèjåíòè ck äàòè êàî:

ck = (s− pk)X(s)|s=pk, k = 1, . . . , n. (3.24)

2. Ñëó÷àj âèøåñòðóêèõ ïîëîâà

Àêî D(s) èìà âèøåñòðóêå íóëå, îäíîñíî àêî ñàäðæè ÷ëàí îáëèêà (s− pi)r, îíäà ñå êàæå

äà jå pi âèøåñòðóêè ïîë X(s) r-òîã ðåäà. Ó îâîì ñëó÷àjó ðàçâîj X(s) ñàäðæè ÷ëàíîâåñëåäå£èõ îáëèêà,

λ1

s− pi+

λ2

(s− pi)2 + . . .+

λr

(s− pn)r , (3.25)

ïðè ÷åìó ñe êîåôèöèjåíòè λk ðà÷óíàjó êàî,

λr−k =1

k!

dk

dsk[(s− pi)

rX(s)]|s=pi

. (3.26)

á) Êàäà jå X(s) íåïðàâà ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà, îäíîñíî m ≥ n, êîðèø£å»åì ïðîøèðåíîãäå§å»à ìîæå ñå çàïèñàòè X(s) ó îáëèêó,

X(s) =N(s)

D(s)= Q(s) +

R(s)

D(s)(3.27)

ãäå ñó N(s) è D(s) ïîëèíîìè ïî s ó áðîjèîöó è èìåíèîöó ôóíêöèjå X(s), ðåäîì. Êîëè÷íèêQ(s) jå ïîëèíîì ïî s ñòåïåíà m − n, à îñòàòàê R(s) jå ïîëèíîì ïî s ñòåïåíà ìà»åã îä n.Èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà îä X(s) ðà÷óíà ñå îäðå¢èâà»åì èíâåðçíå Ëàïëàñîâåòðàíñôîðìàöèjå îä Q(s) è èíâåðçíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå îä R (s)/D (s). Ïîøòî jåR (s)/D (s) ïðàâà ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà, »åíà èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà ìîæå ñåðà÷óíàòè ïðèìåíîì ðàçâîjà íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå. Èíâåðçíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjàîä Q(s) ìîæå ñå ðà÷óíàòè êîðèñòå£è òðàíñôîðìàöèîíè ïàð,

dkδ(t)

dtk←→ sk, k = 1, 2, 3, . . . (3.28)

3.5 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà

3.5.1 Äåôèíèöèjà ôóíêöèjå ñèñòåìà

Ó ïðåòõîäíîì èçëàãà»ó, ïîêàçàíî jå äà jå èçëàç êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà, y(t) jåäíàêêîíâîëóöèjè óëàçà x(t) è èìïóëñíîã îäçèâà h(t),

y(t) = x(t) ∗ h(t) (3.29)

41

Ïðèìåíîì îñîáèíå êîíâîëóöèjå (3.21), äîáèjà ñå,

Y (s) = X(s)H(s) (3.30)

ïðè ÷åìó ñó Y (s), X(s) è H(s) Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå îä y(t), x(t) è h(t), ðåäîì. Èç (3.30)ñëåäè äà jå,

H(s) =Y (s)

X(s)(3.31)

Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà îä h(t) ó îçíàöè H(s) íàçèâà ñå ôóíêöèjà ñèñòåìà (ïðåíîñíàôóíêöèjà ñèñòåìà). Íà îñíîâó (3.31), ïðåíîñíà ôóíêöèjà ñèñòåìà H(s) ìîæå ñå äåôèíèñàòèêàî îäíîñ Ëàïëàñîâèõ òðàíñôîðìàöèjà èçëàçà y(t) è óëàçà x(t). Ôóíêöèjîì ñèñòåìà H(s) óïîòïóíîñòè jå îïèñàíî ïîíàøà»å ñèñòåìà. Íà ñëèöè 3.7 ïðèêàçàíå ñó ðåëàöèje (3.29) è (3.30).

x(t) y(t)=x(t)*h(t)h(t)

X(s)H(s)

Y(s)=X(s)H(s)

Ñëèêà 3.7: Èìïóëñíè îäçèâ è ïðåíîñíà ôóíêöèjà

3.5.2 Êàðàêòåðèñòèêå êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà

Îñîáèíå êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà ñå ìîãó ïîâåçàòè ñà êàðàêòåðèñòèêàìà H(s) ó s-ðàâíèè ðàñïîðåäîì »åíèõ ïîëîâà è îáëàø£ó êîíâåðãåíöèjå.


Çà êàóçàëíè âðåìåíñêè LTI ñèñòåì, âàæè äà jå,

h(t) = 0, t < 0.

Ïîøòî jå h(t) ñèãíàë îãðàíè÷åí ñà ëåâå ñòðàíå, îäãîâàðàjó£è çàõòåâè çà H(s) jå äà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå ìîðà áèòè ó îáëèêó

Re (s) > σmax,

îäíîñíî îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå äåî s-ðàâíè êîjè ñå íàëàçè ñà äåñíå ñòðàíå ñâèõ ïîëîâàñèñòåìà. Ñëè÷íî òîìå, àêî jå ñèñòåì àíòèêàóçàëàí òàäà jå,

h(t) = 0, t > 0,

è h(t) jå ñèãíàë îãðàíè÷åí ñà äåñíå ñòðàíå. Ñòîãà, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ìîðà áèòè ó îáëèêó

Re (s) < σmin.

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå äåî s-ðàâíè êîjà ñå íàëàçè ñà ëåâå ñòðàíå ñâèõ ïîëîâà.

42

3.5. ÏÐÅÍÎÑÍÀ ÔÓÍÊÖÈJÀ ÊÎÍÒÈÍÓÀËÍÈÕ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ


Àïñîëóòíà èíòåãðàáèëíîñò èìïóëñíîã îäçèâà êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà jå ïîòðåáàí èäîâî§àí óñëîâ çà BIBO ñòàáèëíîñò òîã ñèñòåìà, îäíîñíî äà jå,

+∞∫−∞|h(τ)| dτ < +∞.

Îäãîâàðàjó£è çàxòåâ çà H(s) jå äà »åíà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñàäðæè jω-îñó.Äîêàç.LTI ñèñòåì jå BIBO ñòàáèëàí àêî è ñàìî àêî jå »åãîâ èìïóëñíè îäçèâ àïñîëóòíî èíòå-

ãðàáèëàí,+∞∫−∞|h(τ)| dτ < +∞. Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà îä èìïóëñíîã îäçèâà jå H(s) =

+∞∫−∞

h(t)e−stdt. Íåêà jå s = jω è òàäà jå,

|H(jω)| =

∣∣∣∣∣+∞∫−∞

h(t)e−jωtdt

∣∣∣∣∣ ≤ +∞∫−∞

∣∣h(t)e−jωt∣∣ dt = +∞∫

−∞|h(t)| dt < +∞.

Äàêëå äà áè ñèñòåì áèî ñòàáèëàí, ïîòðåáíî jå äà H(s) êîíâåðãèðà çà s = jω. Äðóãèì ðå÷èìà,îâî çíà÷è äà çà êîíòèíóàëíè ñòàáèëíè LTI ñèñòåì, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå H(s) ìîðà äà ñàäðæèèìàãèíàðíó îñó s = jω.

Êàóçàëíè è ñòàáèëíè ñèñòåìè

Àêî jå ñèñòåì èñòîâðåìåíî êàóçàëàí è ñòàáèëàí, òàäà ñå ñâè ïîëîâèH(s) ìîðàjó íàëàçèòè óëåâîj ïîëîâèíè s-ðàâíè. Ñâè ïîëîâè èìàjó íåãàòèâíå ðåàëíå äåëîâå jåð jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjåó îáëèêó Re (s) > σmax è êàêî jω-îñà ìîðà áèòè óê§ó÷åíà ó îáëàñò êîíâåðãåíöèjå, ïîòðåáíîjå äà σmax < 0.

3.5.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà LTI ñèñòåìà îïèñàíèõ ëèíåàðíîì äèôåðåí-öèjàëíîì jåäíà÷èíîì ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà

Ðàíèjå jå ðàçìàòðàí ñëó÷àj êîíòèíóàëíîã LTI ñèñòåìà çà êîjè ïîáóäà è îäçèâ çàäîâî§àâàjóîïøòó ëèíåàðíó äèôåðåíöèjàëíó jåäíà÷èíó ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà îáëèêà,

N∑k=0

akdky(t)dtk

=M∑k=0

bkdkx(t)dtk

.

Ïðèìåíîì Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå íà ëåâó è äåñíó ñòðàíó è êîðèñòå£è îñîáèíó äèôåðåí-öèðà»à ó âðåìåíñêîì äîìåíó (3.18), äîáèjà ñå,

N∑k=0

akskY (s) =

M∑k=0

bkskX(s)

èëè

Y (s)N∑

k=0

aksk = X(s)

M∑k=0

bksk.

Ïðåìà òîìå jå,

H(s) =Y (s)

X(s)=

M∑k=0

bksk

N∑k=0

aksk. (3.32)

Íà îñíîâó (3.32) ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà jå H(s) óâåê ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà è äà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå îä H(s) íèjå îäðå¢åíà. Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ìîðà ñå ïîâåçàòè ñà îñòàëèìæå§åíèì êàðàêòåðèñòèêàìà ñèñòåìà êàî øòî ñó êàóçàëíîñò è/èëè ñòàáèëíîñò.

43

3.5.4 Ïîâåçèâà»å êîíòèíóàëíèõ ñèñòåìà

Çà äâà LTI ñèñòåìà èìïóëñíèõ îäçèâà h1 (t) è h2 (t) êàæå ñå äà ñå íàëàçå ó êàñêàäíîj âåçè,àêî jå èçëàç jåäíîã ñèñòåìà ïîâåçàí íà óëàç äðóãîã ñèñòåìà. Îâàêàâ íà÷èí ïîâåçèâà»à äâàñèñòåìà ïðèêàçàí jå íà ñëèöè 3.8a). Åêâèâàëåíòíè èìïóëñíè îäçèâ ñèñòåìà h(t) äàò jå êàî,

h(t) = h1(t) ∗ h2(t).

Îäãîâàðàjó£à åêâèâàëåíòíà ôóíêöèjà ïðåíîñà jå,

H(s) = H1(s)H2(s), (3.33)


→x(t)

h1(t)y(t)

h2(t)

h(t)=h1(t)*h2(t)

x(t) y(t)h(t)

(a)

→X(s) Y(s)

H1(s) H2(s)

H(s)=H1(s)H2(s)

H(s)X(s) Y(s)

(á)

Ñëèêà 3.8: Äâà êàñêàäíî ïîâåçàíà ñèñòåìà: à) âðåìåíñêè äîìåí, á) s-äîìåí

Äâà ñèñòåìà ñå íàëàçå ó ïàðàëåëíîj âåçè àêî ñå íà óëàçå ñèñòåìà äîâîäè èñòà ïîáóäà, äîêñå èçëàçè ñèñòåìà ñàáèðàjó êàêî áè ñå äîáèî èçëàç öåëîêóïíîã ñèñòåìà. Îâî jå ïðèêàçàíî íàñëèöè 3.9a). Èìïóëñíè îäçèâ åêâèâàëåíòíîã ñèñòåìà jå äàò êàî,

h(t) = h1(t) + h2(t).

Îäãîâàðàjó£à åêâèâàëåíòíà ôóíêöèjà ïðåíîñà jå,

H(s) = H1(s) +H2(s), (3.34)


→x(t)

h1(t)

y(t)

h2(t)

+

+

h(t)=h1(t)+h2(t)

x(t) y(t)h(t)

(a)

→X(s) Y(s)

H1(s)

H2(s)

+

+

H(s)X(s) Y(s)

H(s)=H1(s)+H2(s)

(á)

Ñëèêà 3.9: Äâà ïàðàëåëíî ïîâåçàíà ñèñòåìà: à) âðåìåíñêè äîìåí, á) s-äîìåí

44

3.6. ÓÍÈËÀÒÅÐÀËÍÀ ËÀÏËÀÑÎÂÀ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

3.6 Óíèëàòåðàëíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà

3.6.1 Äåôèíèöèjà

Óíèëàòåðàëíà (jåäíîñòðàíà) Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà XI(s) îä ñèãíàëà x(t) äåôèíèñàíàjå êàî, (3.5):

XI(s) = LI x(t) =+∞∫0−

x(t)e−stdt. (3.35)

Äî»à ãðàíèöà èíòåðàöèjå jå èçàáðàíà äà áóäå 0− êàêî áè ñå äîïóñòèëî äà x(t) óê§ó÷è δ(t)èëè »åãîâå äåðèâàöèjå. Íà îñíîâó îâîãà óî÷àâà ñå äà èíòåãðàöèjà îä 0− äî 0+ jå íóëàèçóçåâ êàäà ïîñòîjè jåäèíè÷íè èìïóëñíè ñèãíàë èëè »åãîâ èçâîä. Óíèëàòåðàëíà Ëàïëàñîâàòðàíñôîðìàöèjà íå óçèìà ó îáçèð x(t) çà t < 0. Êàêî jå ñèãíàë x(t) ó (3.35) îãðàíè÷åí ñà ëåâåñòðàíå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå XI(s) jå óâåê ó îáëèêó Re (s) > σmax, îäíîñíî îáóõâàòà äåñíóïîëóðàâàí s-ðàâíè.

3.6.2 Îñíîâíå îñîáèíå

Âå£èíà îñîáèíà óíèëàòåðàëíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå ñó èñòå êàî è îñîáèíå áèëàòå-ðàëíå òðàíñôîðìàöèjå. Óíèëàòåðàëíà Ëàïëàñîâà òðàíñôîðìàöèjà jå êîðèñíà çà ðà÷óíà»åîäçèâà êàóçàëíèõ ñèñòåìà íà êàóçàëíó ïîáóäó êàäà jå ñèñòåì îïèñàí ëèíåàðíîì äèôåðåíöè-jàëíîì jåäíà÷èíîì ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà è íåíóëòèì ïî÷åòíèì óñëîâèìà. Îñíîâíåîñîáèíå óíèëàòåðàëíå Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå êîjå ñó êîðèñíå ó îâîj ïðèìåíè ñó îñîáèíåäèôåðåíöèðà»à è èíòåãðà§å»à ó âðåìåíñêîì äîìåíó.

Äèôåðåíöèðà»å ó âðåìåíñêîì äîìåíó

dx(t)

dt←→ sXI(s)− x(0−). (3.36)

Îâî jå ïîñëåäèöà limt→+∞

(x(t)e−st) = 0. Ïîíîâíà ïðèìåíà îâå îñîáèíå âîäè êà,

d2x(t)

dt2←→ s2XI(s)− sx(0−)− x′(0−), (3.37)

dnx(t)

dtn←→ snXI(s)− sn−1x(0−)− sn−2x′(0−)− . . .− x(n−1)(0−), (3.38)


x(r)(0−) = drx(t)dtr

∣∣∣t=0−

.

Äîêàç.Êîðèñòå£è (3.35) äîáèjà ñå:

LI

dx(t)dt

=

+∞∫0−

dx(t)dt e−stdt =

e−st = u ⇒ −se−st = du

dx(t)dt dt = dv ⇒ v = x(t)

=

= x(t)e−st|+∞0− − (−s)

+∞∫0−

x(t)e−stdt = −x(0−) + sXI(s), Re (s) > 0.

Ïðèìå»ójó£è (3.36) íà ñèãíàë x′(t) = dx(t)/dt, äîáèjà ñå

d2x(t)dt2 = d

dtdx(t)dt s (sXI(s)− x(0−))− x′(0−) = s2XI(s)− sx(0−)− x′(0−).

Óçàñòîïíîì ïðèìåíîì îâîã ïîñòóïêà äîáèjà ñå (3.38).

45

Èíòåãðàöèjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó

t∫0−

x(τ)dτ ←→ 1

sXI(s), (3.39)

t∫−∞

x(τ)dτ ←→ 1

sXI(s) +

1

s

0−∫−∞

x(τ)dτ. (3.40)

Äîêàç.

Íåêà jå g(t) =t∫

0−x(τ)dτ . Òàäà jå dg(t)

dt = x(t) è g(0−) = 0. Àêî jå g(t) ←→ GI(s), òàäà íà

îñíîâó (3.36) ñëåäè äà jå

XI(s) = sGI(s)− g(0−) = sGI(s),

îäíîñíî

GI(s) =1sXI(s),

t∫0−

x(τ)dτ ←→ 1sXI(s).

Èçðàçt∫

−∞x(τ)dτ ñå ìîæå íàïèñàòè êàî

t∫−∞

x(τ)dτ =0−∫

−∞x(τ)dτ +

t∫0−

x(τ)dτ.

Ïðâè èçðàç ó îâîj jåäíà÷èíè jå êîíñòàíòà. Ïðèìå»ójó£è (3.39) íà îâàj èçðàç, äîáèjà ñå

t∫−∞

x(τ)dτ ←→ 1sXI(s) +

1s

0−∫−∞

x(τ)dτ.

Òåîðåìà î ïî÷åòíîj âðåäíîñòè

x(0+) = lims→+∞

sXI(s). (3.41)

Äîêàç.Êîðèñòå£è (3.36) äîáèjà ñå

sXI(s)− x(0−) =+∞∫0−

dx(t)dt e−stdt =

0+∫0−

dx(t)dt e−stdt+

+∞∫0+

dx(t)dt e−stdt =

= x(t)|0+

0− ++∞∫0+

dx(t)dt e−stdt = x(0+)− x(0−) +

+∞∫0+

dx(t)dt e−stdt.

Íà îñíîâó îâîãà jå

sXI(s) = x(0+) ++∞∫0+

dx(t)dt e−stdt,

46

3.6. ÓÍÈËÀÒÅÐÀËÍÀ ËÀÏËÀÑÎÂÀ ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

lims→+∞

sXI(s) = x(0+) + lims→+∞

+∞∫0+

dx(t)dt e−stdt = x(0+) +

+∞∫0+

dx(t)dt

(lim

s→+∞e−st

)dt.

Êàêî jå lims→+∞

e−st = 0, òî jå

lims→+∞

sXI(s) = x(0+).

Òåîðåìà î êðàj»îj âðåäíîñòè

limt→+∞

x(t) = lims→0

sXI(s). (3.42)

Äîêàç.Êîðèñòå£è (3.36) äîáèjà ñå

lims→0

(sXI(s)− x(0−)) = lims→0

(+∞∫0−

dx(t)dt e−stdt

)=

+∞∫0−

dx(t)dt

(lims→0

e−st)dt.

Êàêî jå lims→0

e−st = 1, ñëåäè äà jå

lims→0

(sXI(s)− x(0−)) =+∞∫0−

dx(t)dt dt = x(t)|+∞

0− = limt→+∞

x(t)− x(0−),

îäàêëå ñå ìîæå çàê§ó÷èòè äà jå

lims→0

sXI(s) = limt→+∞

x(t).

3.6.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà ñèñòåìà

Êîðèñòå£è óíèëàòåðàëíó Ëàïëàñîâó òðàíñôîðìàöèjó, ïðåíîñíà ôóíêöèjà ñèñòåìà H(s) =Y (s)/X(s) jå äåôèíèñàíà ïîä óñëîâîì äà jå LTI ñèñòåì ðåëàêñèðàí, îäíîñíî äà ñó ñâè ïî÷åòíèóñëîâè íóëà.

47

48

Ãëàâà 4

z-òðàíñôîðìàöèjà è âðåìåíñêè

äèñêðåòíè LTI ñèñòåìè

Ó îâîì ïîãëàâ§ó jå ïðåäñòàâ§åíà z-òðàíñôîðìàöèjà êàî ìàòåìàòè÷êè àëàò êîjè îìîãó£àâàïðåäñòàâ§à»å äèñêðåòíèõ ñèãíàëà (ñåêâåíöè) ó z-äîìåíó (z jå êîìïëåêñíà ïðîìåí§èâà) êàîè ôóíêöèjå ïðåíîñà âðåìåíñêè äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà. Ïðèìåíîì z-òðàíñôîðìàöèjå ñåäèôåðåíöíå jåäíà÷èíå ïðåâîäå ó àëãåáàðñêå ÷èìå ñå çíà÷àjíî ïîjåäíîñòàâ§ójå àíàëèçà äèñêðåòíèõñèñòåìà.

4.1 z-òðàíñôîðìàöèjà

Íåêà jå èìïóëñíè îäçèâ äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà h[n], à ïîáóäà êîìïëåêñíîã åêñïîíåíöèjàëíîãîáëèêà zn, îíäà jå îäçèâ ñèñòåìà y[n] äàò íà ñëåäå£è íà÷èí,

y[n] = h (n) ∗ zn =

+∞∑k=−∞

h[n]zn−k = zn+∞∑

k=−∞

h[n]z−k =znH(z), (4.1)


H(z) =+∞∑

n=−∞h[n]z−n. (4.2)

Äåôèíèöèjà

Ôóíêöèjà H(z) ó (4.2) ïðåäñòàâ§à z-òðàíñôîðìàöèjó îä h[n]. Óîïøòåíî çà äèñêðåòíèñèãíàë x[n], z-òðàíñôîðìàöèjà X(z) jå äåôèíèñàíà êàî,

X(z) =

+∞∑n=−∞

x[n]z−n. (4.3)

Ïðîìåí§èâà z jå êîìïëåêñíà ïðîìåí§èâà è ìîæå ñå èçðàçèòè ó ñëåäå£åì îáëèêó êàî,

z = rejΩ, (4.4)

ãäå jå r ìîäóë êîìïëåêñíå ïðîìåí§èâå, à Ω jå óãàî êîjè ìîäóë çàêëàïà ñà ïîçèòèâíèì ñìåðîìàïñöèñíå îñå. z-òðàíñôîðìàöèjà äåôèíèñàíà ó (4.3) ñå ÷åñòî íàçèâà áèëàòåðàëíà (äâîñòðàíà)z-òðàíñôîðìàöèjà çà ðàçëèêó îä óíèëàòåðàëíå (jåäíîñòðàíå) z-òðàíñôîðìàöèjà êîjà jå äåôèíèñàíàêàî,

XI(z) =+∞∑n=0

x[n]z−n. (4.5)

49

Áèëàòåðàëíà è óíèëàòåðàëíà z-òðàíñôîðìàöèjà åêâèâàëåíòíå ñó àêî jå x[n] = 0 çà n < 0.Êàî è ó ñëó÷àjó Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå, èçðàç (4.3) ñå ïîíåêàä ñìàòðà îïåðàòîðîì êîjèòðàíñôîðìèøå ñåêâåíöó x[n] ó ôóíêöèjó X(z), øòî ñå ìîæå ñèìáîëè÷êè çàïèñàòè êàî,

X(z) = Z x[n] . (4.6)

Çà x[n] è X(z) ñå êàæå äà îáðàçójó z-òðàíñôîðìàöèîíè ïàð îçíà÷åí êàî,

x[n]←→ X(z). (4.7)

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå

Îïñåã âðåäíîñòè êîìïëåêñíå ïðîìåí§èâå z çà êîjó z-òðàíñôîðìàöèjà êîíâåðãèðà íàçèâà ñåîáëàñò êîíâåðãåíöèjå. Èçðà÷óíàâà»å z-òðàíñôîðìàöèjå è îäðå¢èâà»å »åíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjåïðèêàçàíî jå êðîç äâà ïðèìåðà.

Ïðèìåð 4.1

Äàòà jå ñåêâåíöà x[n] = anu[n], ïðè ÷åìó jå a ∈ R. Íà îñíîâó èçðàçà (4.3) z-òðàíñôîðìàöèjàîä x[n] jå,

X(z) =+∞∑

n=−∞anu[n]z−n =

+∞∑n=0

anz−n =+∞∑n=0

(az−1

)n.

Çà êîíâåðãåíöèjó X(z) ïîòðåáíî jå äà jå+∞∑n=0

∣∣az−1∣∣n < +∞.

Äàêëå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå îïñåã âðåäíîñòè z çà êîjå jå∣∣az−1

∣∣ < 1, îäíîñíî |z| > |a|.Òàäà jå,

X(z) =+∞∑n=0

(az−1

)n=

1

1− az−1, |z| > |a| . (4.8)

Ìíîæå»åì áðîjèîöà è èìåíèîöà ó (4.8) ñà z, X(z) ìîæå ñå íàïèñàòè êàî,

X(z) =z

z − a, |z| > |a| . (4.9)

Íà îñíîâó (4.9) óî÷àâà ñå äà jå X(z) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà ïðîìåí§èâå z. Ïðåìà òîìå, êàî èêîä Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå, îâà ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà ìîæå áèòè îïèñàíà ïîìî£ó »åíèõíóëà (êîðåíè ïîëèíîìà ó áðîjèîöó) è ïîëîâà (êîðåíè ïîëèíîìà ó èìåíèîöó). Ðàöèîíàëíàôóíêöèjà èç (4.9) èìà jåäíó íóëó çà z = 0 è jåäàí ïîë çà p = a. Îáëàñò êîíâåðãåíöèjåè ðàñïîðåä ïîëîâà è íóëà çà îâàj ïðèìåð ñó ïðèêàçàíè íà ñëèöè 4.1. Ó ïðèìåíàìà z-òðàíñôîðìàöèjå, êîìïëåêñíà ðàâàí ñå ÷åñòî íàçèâà z-ðàâàí.

Ïðèìåð 4.2

Äàòà jå ñåêâåíöà x[n] = −anu[−n − 1], ïðè ÷åìó jå a ∈ R. Ïðèìåíîì èçðàçà (4.3) z-òðàíñôîðìàöèjà îä x[n] jå,

X(z) =+∞∑

n=−∞−anu[−n− 1]z−n = −

−1∑n=−∞

anz−n = −−1∑

n=−∞

(az−1

)n.

Óâî¢å»åì ñìåíå äà jå n = −k, äîáèjà ñå, X(z) = −+∞∑k=1

(az−1

)−k= −

+∞∑k=1

(a−1z

)k.

50

4.1. Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

a Rez

z-

Imz

1xo

(a)

a Rez

z-

Imz

1xo

(á)

a Rez

z-

Imz

-1x o

(â)

a Rez

z-

Imz

-1x o

(ã)

Ñëèêà 4.1: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáëèêà |z| > |a| à) 0 < a < 1, á) a > 1, â) −1 < a < 0 è ã)a < −1

Çà êîíâåðãåíöèjó X(z) ïîòðåáíî jå äà+∞∑k=1

∣∣a−1z∣∣k < +∞. Äàêëå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå

îïñåã âðåäíîñòè z çà êîjå jå∣∣a−1z

∣∣ < 1, îäíîñíî |z| < |a|. Òàäà jå,

X(z) = −+∞∑k=1

(a−1z

)k= − a−1z

1− a−1z=

1

1− az−1, |z| < |a| . (4.10)

Ìíîæå»åì áðîjèîöà è èìåíèîöà ó (4.10) ñà z, X(z) ìîæå ñå íàïèñàòè êàî,

X(z) =z

z − a, |z| > |a| . (4.11)

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå è ðàñïîðåä ïîëîâà è íóëà çà îâàj ïðèìåð ñó ïðèêàçàíè íà ñëèöè 4.2.Ïîðåäå£è (4.8) ñà (4.10), îäíîñíî (4.9) ñà (4.11), óî÷àâà ñå äà jå àëãåáàðñêè èçðàç X(z) çàäâå ðàçëè÷èòå ñåêâåíöå èñòè èçóçåâ çà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå. Ïðåìà òîìå, êàî è ó ñëó÷àjóËàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå, îäðå¢èâà»å z-òðàíñôîðìàöèjå ïîäðàçóìåâà îäðå¢èâà»å àëãåáàðñêîãèçðàçà è îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå.

Îñîáèíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå

Êàî øòî jå ïîêàçàíî ó ïðèìåðèìà 4.1 è 4.2, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå X(z) çàâèñè îä ïðèðîäåñåêâåíöå x[n]. Ïðåòïîñòàâ§à ñå äà jå X(z) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà îä z.

51

a Rez

z-

Imz

1xo

(a)

a Rez

z-

Imz

1xo

(á)

a Rez

z-

Imz

-1x o

(â)

a Rez

z-

Imz

-1x o

(ã)

Ñëèêà 4.2: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáëèêà |z| < |a| à) 0 < a < 1, á) a > 1, â) −1 < a < 0 è ã)a < −1

Îñîáèíà 1: Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå íå ñàäðæè ïîëîâå.Îñîáèíà 2: Àêî jå ñåêâåíöà êîíà÷íîã òðàjà»à, îäíîñíî x[n] = 0 èçóçåâ íà êîíà÷íîì

èíòåðâàëó N1 ≤ n ≤ N2 (ïðè ÷åìó ñó N1 è N2 öåëè áðîjåâè), òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjåöåëà z-ðàâàí èçóçåâ ìîæäà z = 0 èëè z = +∞.

Äîêàç.Íà îñíîâó (4.3) z-òðàíñôîðìàöèjà ñåêâåíöå êîíà÷íîã òðàjà»à jå,

X(z) =N2∑

n=N1

x[n]z−n.

Àêî jå z ðàçëè÷èòî îä íóëå èëè áåñêîíà÷íîñòè, ñâàêè ÷ëàí ó ïðåòõîäíîj ñóìè jå êîíà÷àí èíà îñíîâó òîãà X(z) êîíâåðãèðà. Àêî jå N1 < 0 è N2 > 0, òàäà ïðåòõîäíà ðåëàöèjà ñàäðæèè ïîçèòèâíå è íåãàòèâíå ñòåïåíå ïî z. Êàäà |z| → 0, ÷ëàíîâè ñà íåãàòèâíèì ñòåïåíèìà ïîz ïîñòàjó íåîãðàíè÷åíè, äîê çà |z| → +∞ ÷ëàíîâè ñà ïîçèòèâíèì ñòåïåíèìà ïî z ïîñòàjóíåîãðàíè÷åíè. Íà îñíîâó îâîãà, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå öåëà z-ðàâàí èçóçåâ çà z = 0 èz = +∞. Àêî jå N1 ≥ 0, ïðåòõîäíà ðåëàöèjà ñàäðæè ñàìî íåãàòèâíå ñòåïåíå ïî z, è ñòîãàîáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñàäðæè z = +∞. Ñ äðóãå ñòðàíå, àêî jå N2 ≤ 0 ïðåòõîäíà jåäíà÷èíàñàäðæè ñàìî ïîçèòèâíå ñòåïåíå ïî z è îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñàäðæè z = 0.

Îñîáèíà 3: Àêî jå x[n] ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà ëåâå ñòðàíå, îäíîñíî x[n] = 0 çà n < N1 <+∞, òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó,

|z| > rmax èëè +∞ > |z| > rmax

52

4.1. Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

ïðè ÷åìó rmax îäãîâàðà ìàêñèìàëíîì ìîäóëó áèëî êîã ïîëà îä X(z). Íà îñíîâó îâîãà, îáëàñòêîíâåðãåíöèjå ñå íàëàçè âàí êðóæíèöå |z| = rmax ó z-ðàâíè ñà ìîãó£èì èçóçåòêîì çà z = +∞.

Äîêàç.Íåêà X(z) êîíâåðãèðà çà |z| = r0. Òàäà jå íà îñíîâó (4.3)

|X(z)| ≤+∞∑

n=−∞|x[n]| r−n

0 =+∞∑

n=N1

|x[n]| r−n0 < +∞.

Àêî jå r1 > r0, òàäà jå,

+∞∑n=N1

|x[n]| r−n1 =

+∞∑n=N1

|x[n]|(r0

r1r0

)−n

=

=+∞∑

n=N1

|x[n]| r−n0

(r1r0

)−n

≤(

r1r0

)−N1 ∞∑n=N1

|x[n]| r−n0 < +∞.

jåð jå (r1/r0)−n

îïàäàjó£à ñåêâåíöà. Íà îñíîâó îâîãà X(z) êîíâåðãèðà çà r = r1 è îáëàñòêîíâåðãåíöèjå X(z) jå ó îáëèêó

|z| > r0.

Êàêî îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îä X(z) íå ñàäðæè ïîëîâå, ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà jå îáëàñòêîíâåðãåíöèjå îä X(z) ó îáëèêó,

|z| > rmax,

ãäå jå rmax ìàêñèìàëàí ìîäóî áèëî êîã ïîëà X(z). Àêî jå N1 < 0, òàäà jå

X(z) =∞∑

n=N1

x[n]z−n = x [N1] z−N1 + . . .+ x [−1] z +

+∞∑n=0

x[n]z−n.

Íà îñíîâó îâîãà ñå ìîæå çàê§ó÷èòè äàX(z) ñàäðæè ïîçèòèâíå ñòåïåíå ïî z è ïîñòàjå íåîãðàíè÷åíçà z = +∞. Ó îâîì ñëó÷àjó îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêó

+∞ > |z| > rmax.

Íà îñíîâó îâèõ ðåçóëòàòà óî÷àâà ñå äà jå ñåêâåíöà x[n] êàóçàëíà àêî îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îäX(z) ñàäðæè z = +∞. Ìîæå ñå ïðèìåòèòè äà îâî íå âàæè ó ñëó÷àjó Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå.

Îñîáèíà 4: Àêî jå x[n] ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà äåñíå ñòðàíå, îäíîñíî x[n] = 0 çà n >N2 > −∞, òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó,

|z| < rmin èëè 0 < |z| < rmin

ïðè ÷åìó rmin îäãîâàðà ìîäóëó áèëî êîã ïîëà îä X(z). Íà îñíîâó îâîãà, îáëàñò êîíâåðãåíöèjåñå íàëàçè óíóòàð êðóæíèöå |z| = rmin ó z-ðàâíè ñà ìîãó£èì èçóçåòêîì çà z = 0.

Äîêàç.Íåêà X(z) êîíâåðãèðà çà |z| = r0. Íà îñíîâó (4.3) ñëåäè,

|X(z)| ≤+∞∑

n=−∞|x[n]| r−n

0 =N2∑

n=−∞|x[n]| r−n

0 < +∞.

Àêî jå r1 < r0, îíäà jå

N2∑n=−∞

|x[n]| r−n1 =

N2∑n=−∞

|x[n]|(r0

r1r0

)−n

=

=N2∑

n=−∞|x[n]| r−n

0

(r1r0

)−n

≤(

r0r1

)−N2 N2∑n=−∞

|x[n]| r−n0 < +∞.

53

jåð jå (r0/r1)nîïàäàjó£à ñåêâåíöà. Íà îñíîâó îâîãà X(z) êîíâåðãèðà çà r = r1 è îáëàñò

êîíâåðãåíöèjå X(z) jå ó îáëèêó,

|z| < r0.

Êàêî îáëàñò êîíâåðãåíöèjåX(z) íå ñàäðæè ïîëîâå, ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjåX(z) ó îáëèêó,

|z| < rmin.

ãäå jå rmin ìèíèìàëàí ìîäóî áèëî êîã ïîëà îä X(z). Çà N2 > 0 ñëåäè

X(z) =N2∑

n=−∞x[n]z−n =

0∑n=−∞

x[n]z−n + x [1] z−1 + . . .+ x [N2] z−N2 .

Íà îñíîâó îâîãà ñå ìîæå çàê§ó÷èòè äàX(z) ñàäðæè ïîçèòèâíå ñòåïåíå ïî z è ïîñòàjå íåîãðàíè÷åíçà z = 0. Ó îâîì ñëó÷àjó îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêó,

0 < |z| < rmin.

Íà îñíîâó îâèõ ðåçóëòàòà óî÷àâà ñå äà jå ñåêâåíöà x[n] àêî îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îä X(z)ñàäðæè z = 0. Ìîæå ñå ïðèìåòèòè äà îâî íå âàæè ó ñëó÷àjó Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå.

Îñîáèíà 5: Àêî jå x[n] äâîñòðàíà ñåêâåíöà, îäíîñíî ñåêâåíöà áåñêîíà÷íîã òðàjà»à êîjàíèjå îãðàíè÷åíà íè ñà ëåâå íè ñà äåñíå ñòðàíå, òàäà jå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó,

r1 < |z| < r2

ïðè ÷åìó ñó r1 è r2 ìîäóëè îä äâà ïîëà îä X(z). Ïðåìà òîìå, îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå êðóæíèïðñòåí èçìå¢ó êðóãîâà |z| = r1 è |z| = r1 ó z-ðàâíè.

Äîêàç.Äâîñòðàíà ñåêâåíöà x[n] ìîæå ñå ïîñìàòðàòè êàî,

x[n] = x1[n] + x2[n] = x[n]u[n] + x[n]u[−n− 1],

ïðè ÷åìó ñó x1[n] äåî ñåêâåíöå x[n] çà n ≥ 0 è x2[n] äåî ñåêâåíöå x[n] çà n ≤ −1. Ïîøòî jå x1[n]ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà ëåâå ñòðàíå îíäà ñå íà îñíîâó îñîáèíå 3 çàê§ó÷ójå äà jå »åíà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå ó îáëèêó |z| > r1. Ñ äðóãå ñòðàíå x2[n] jå ñà äåñíå ñòðàíå îãðàíè÷åíà ñåêâåíöà,ïà jå íà îñíîâó îñîáèíå 4 »åíà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáëèêà |z| < r2. Îáëàñò êîíâåðãåíöèjåz-òðàíñôîðìàöèjå îä äâîñòðàíå ñåêâåíöå x[n] äîáèjà ñå êàî ïðåñåê èçìå¢ó |z| > r1 è |z| < r2,îäíîñíî r1 < |z| < r2.

4.2 z-òðàíñôîðìàöèjà íåêèõ ñåêâåíöè

Jåäèíè÷íà èìïóëñíà ñåêâåíöà

Êîðèñòå£è (4.3) è (1.36), äîáèjà ñå,

X(z) =

+∞∑n=−∞

δ[n]z−n = z−0 = 1, ∀z. (4.12)

Jåäèíè÷íà îäñêî÷íà ñåêâåíöà

Çàìåíîì a = 1 ó èçðàçèìà (4.8) è (4.9), äîáèjà ñå,

u[n]←→ 1

1− z−1=

z

z − 1, |z| > 1. (4.13)

z-òðàíñôîðìàöèjå ñåêâåíöè êîjè ñå ÷åñòî êîðèñòå ñó ïðèêàçàíå ó òàáåëè 4.1. Óìåñòîðà÷óíà»à òðàíñôîðìàöèjå çà ñâàêó äàòó ñåêâåíöó, ìîæå ñå ïîãëåäàòè äàòà òàáëèöà è ïðî÷èòàòèæå§åíà òðàíñôîðìàöèjà, êàî ó ñëó÷àjó Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå.

54

4.3. ÎÑÎÁÈÍÅ Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJE

Òàáåëà 4.1: Íåêè z-òðàíñôîðìàöèîíè ïàðîâè

x[n] X(z) Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå

δ[n] 1 öåëà z-ðàâàí

u[n] 11−z−1 ,

zz−1 |z| > 1

−u[−n− 1] 11−z−1 ,

zz−1 |z| < 1

δ[n−m] z−m öåëà z-ðàâàí èçóçåâ 0(m > 0) èëè ∞ (m < 0)

anu[n] 11−az−1 ,

zz−a |z| > a

−anu[−n− 1] 11−az−1 ,

zz−a |z| < a

nanu[n] az−1

(1−az−1)2, az(z−a)2

|z| > a

−nanu[−n− 1] az−1

(1−az−1)2, az(z−a)2

|z| < a

(n+ 1) anu[n] 1(1−az−1)2

,(

zz−a

)2|z| > a

cosΩ0nu[n] z2−z cosΩ0

z2−2z cosΩ0+1|z| > 1

sinΩ0nu[n] z sinΩ0

z2−2z cosΩ0+1 |z| > 1

rn cosΩ0nu[n] z2−rz cosΩ0

z2−2rz cosΩ0+r2|z| > r

rn sinΩ0nu[n] rz sinΩ0

z2−2rz cosΩ0+r2 |z| > ran 0 ≤ n ≤ N − 10 n /∈ [0, N − 1]

1−aNz−N

1−az−1 |z| > 0

4.3 Îñîáèíå z-òðàíñôîðìàöèje

Ó îâîì äåëó ñó ïðåäñòàâ§åíå îñíîâíå îñîáèíå z-òðàíñôîðìàöèjå.

4.3.1 Ëèíåàðíîñò

Àêî jå

x1[n]←→ X1(z), ROC = R1

x2[n]←→ X2(z), ROC = R2

îíäà jå

a1x1[n] + a2x2[n]←→ a1X1(z) + a2X2(z), R′ ⊃ R1 ∩R2 (4.14)

ïðè ÷åìó ñó a1 è a2 ïðîèçâî§íå êîíñòàíòå.Äîêàç.

55

X(z) = Z a1x1[n] + a2x2[n] =+∞∑

n=−∞(a1x1[n] + a2x2[n]) z

−n =

=+∞∑

n=−∞a1x1[n]z

−n ++∞∑

n=−∞a2x2[n]z

−n = a1+∞∑

n=−∞x1[n]z

−n + a2+∞∑

n=−∞x2[n]z

−n

Êàêî jå X1(z) =+∞∑

n=−∞x1[n]z

−n, ROC = R1 è X2(z) =+∞∑

n=−∞x2[n]z

−n, ROC = R2, òî jå

X(z) = a1X1(z) + a2X2(z),

ïðè ÷åìó jå

R′ ⊃ R1 ∩R2,

÷èìå jå çàäîâî§åí óñëîâ ïîñòîjà»à z-òðàíñôîðìàöèjà ñåêâåíöè x1[n] è x2[n].

4.3.2 Ïîìåðàj ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå

x[n]←→ X(z), ROC = R,

îíäà jå

x[n− n0]←→ z−n0X(z), R′ = R ∩ 0 < |z| < +∞ . (4.15)

Ñïåöèjàëíè ñëó÷àjåâè

x[n− 1]←→ z−1X(z), R′ = R ∩ 0 < |z| , (4.16)

x[n+ 1]←→ zX(z), R′ = R ∩ |z| < +∞ . (4.17)

Ó ñêëàäó ñà ðåëàöèjàìà (4.16) è (4.17), z−1 ñå ÷åñòî íàçèâà îïåðàòîð jåäèíè÷íîã êàø»å»à,à z îïåðàòîð jåäèíè÷íîã ïðåä»à÷å»à. Óî÷àâà ñå äà îïåðàòîðè s−1 = 1/s è s ó Ëàïëàñîâîjòðàíñôîðìàöèjè îäãîâàðàjó èíòåãðàöèjè (3.20) è äèôåðåíöèðà»ó (3.18) ó âðåìåíñêîì äîìåíó.

Äîêàç.

Z x[n− n0] =+∞∑

n=−∞x[n− n0]z

−n =

n− n0 = mn = m+ n0

n→ −∞⇒ m→ −∞n→ +∞⇒ m→ +∞

=+∞∑

m=−∞x[m]z−(m+n0) =

= z−n0

+∞∑m=−∞

x[m]z−m = z−n0X (z)

.

Ìíîæå»å ñà z−n0 z-òðàíñôîðìàöèjå X(z) ñåêâåíöå x[n], çà n0 > 0, óçðîêójå äîäàâà»å ïîëîâàó z = 0 è »èõîâîã ïîòèðà»à ñà z = +∞. Ñëè÷íî, çà n0 < 0, äîëàçè äî äîäàâà»à íóëà ó z = 0,êîjå £å ñå ïîòèðàòè ñà z = +∞. Ó ñêëàäó ñà îâèì, êîìïëåêñíå âðåäíîñòè z = 0 è z = +∞ìîãó áèòè èëè äîäàòå èëè îäóçåòå îä îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå. Ïðåìà òîìå ñëåäè,

x[n− n0]←→ z−n0X(z), R′ = R ∩ 0 < |z| < +∞ ,

ãäå ñó R è R′ îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå z-òðàíñôîðìàöèjå ïðå è ïîñëå ïîìåðàjà ó âðåìåíó.

56

4.3. ÎÑÎÁÈÍÅ Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJE

4.3.3 Ìíîæå»å ñà z−n0

Àêî jå

x[n]←→ X(z), ROC = R,

îíäà jå

zn0 x[n]←→ X

(z

z0

), R′ = |z0|R. (4.18)

Ìíîæå»å ñà zn0 ñåêâåíöå x[n] óçðîêójå äà ïîë (íóëà) ó z = zk îä X(z) ïðåëàçè ó ïîë (íóëó) óz = z0zk, à îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñå øèðè, îäíîñíî ñêóï§à çà ôàêòîð |z0|.

Ñïåöèjàëíè ñëó÷àj

ejΩ0nx[n]←→ X(e−jΩ0z

), R′ = R. (4.19)

Ó îâîì ñïåöèjàëíîì ñëó÷àjó, ñâè ïîëîâè è íóëå ñó ïðîñòî ðîòèðàíè ó z-ðàâíè çà Ω0, äîê jåîáëàñò êîíâåðãåíöèjå íåïðîìå»åíà.

Äîêàç.

Z zn0 x[n] =+∞∑

n=−∞zn0 x[n]z

−n =+∞∑

n=−∞x[n]

(zz0

)−n

= X(

zz0

)Ïîë (íóëà) ó z = zk îä X(z) ñå ïîìåðà ó z = z0zk, è íà îñíîâó òîãà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñåøèðè èëè ñêóï§à çà ôàêòîð |z0|. Ó ñêëàäó ñà îâèì jå

zn0 x[n]←→ X(

zz0

), R′ = |z0|R

4.3.4 Âðåìåíñêà èíâåðçèjà

Àêî jå

x[n]←→ X(z), ROC = R,

îíäà jå

x[−n]←→ X

(1

z

), R′ =

1

R. (4.20)

Ïîë (íóëà) ó z = zk îäX(z) ñå ïîìåðà ó 1/zk ïîñëå âðåìåíñêå èíâåðçèjå. Ðåëàöèjà R′ = 1/R

óêàçójå íà èíâåðçèjó R. Îâàj çàê§ó÷àê îäãîâàðà ÷è»åíèöè äà ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà ëåâåñòðàíå ïîñëå âðåìåíñêå èíâåðçèjå ïîñòàjå ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà äåñíå ñòðàíå è îáðàòíî.

Äîêàç.

Z x [−n] =+∞∑

n=−∞x [−n] z−n =

−n = mn = −m

n→ −∞⇒ m→ +∞n→ +∞⇒ m→ −∞

=+∞∑

m=−∞x[m]zm =

=+∞∑

m=−∞x[m] 1

z−m =+∞∑

m=−∞x[m]

(1z

)−m= X

(1z

) .

57

4.3.5 Ìíîæå»å ñà n (äèôåðåíöèðà»å ó z-äîìåíó)

Àêî jå

x[n]←→ X(z), ROC = R,

îíäà jå

nx[n]←→ −z dX(z)

dz, R′ = R. (4.21)

Äîêàç.Àêî ñå îáå ñòðàíå èçðàçà (4.3) äèôåðåíöèðàjó ïî z, äîáèjà ñå

dX(z)dz =

+∞∑n=−∞

−nx[n]z−n−1.

Íà îñíîâó îâîãà ñëåäè äà jå

−z dX(z)dz =

+∞∑n=−∞

nx[n] z−n = Z nx[n]

ïà ñå ìîæå çàê§ó÷èòè

nx[n]←→ −z dX(z)dz , R′ = R

4.3.6 Êîíâîëóöèjà

Àêî jå

x1[n]←→ X1(z), ROC = R1

x2[n]←→ X2(z), ROC = R2

îíäà jåx1[n] ∗ x2[n]←→ X1(z)X2(z), R′ ⊃ R1 ∩R2 (4.22)

Îâà îñîáèíà êîíâîëóöèjå èìà öåíòðàëíî ìåñòî ó àíàëèçè è ñèíòåçè äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà.Äîêàç.

Z x1[n] ∗ x2[n] = Z

+∞∑

k=−∞x1[k]x2[n− k]

=

+∞∑n=−∞

(+∞∑

k=−∞x1[k]x2[n− k]

)z−n =

=+∞∑

k=−∞x1[k]

(+∞∑

n=−∞x2[n− k]z−n

)

Ñóìà+∞∑

n=−∞x2[n− k]z−n ïðåäñòàâ§à z-òðàíñôîðìàöèjó ñèãíàëà x2[n] çàêàø»åíîã çà k, òàêî

äà íà îñíîâó îñîáèíå ïîìåðàjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó âàæè

Z x1[n] ∗ x2[n] =+∞∑

k=−∞x1[k]X2(z)z

−k = X2(z)+∞∑

k=−∞x1[k]z

−k = X2(z)X1(z),

à îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñå íàëàçè ó ïðåñåêó îáëàñòè êîíâåðãåíöèjå X1(z) è X2(z). Àêî ñå íóëàîä z-òðàíñôîðìàöèjå jåäíå ñåêâåíöå ïîòèðå ñà ïîëîì îä z-òðàíñôîðìàöèjå äðóãå ñåêâåíöå,îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ìîæå áèòè è âå£à. Íà îñíîâó îâîãà ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà jå

x1[n] ∗ x2[n]←→ X1(z)X2(z), R′ ⊃ R1 ∩R2.

58

4.4. ÈÍÂÅÐÇÍÀ Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

4.3.7 Àêóìóëàöèjà

Àêî jå

x[n]←→ X(z), ROC = R,

îíäà jån∑

k=−∞

x[k]←→ 1

1− z−1X(z) =

z

z − 1X(z), R′ ⊃ R ∩ |z| > 1 . (4.23)

Óî÷àâà ñå äà jån∑

k=−∞x[k] äèñêðåòíè ïàð»àê èíòåãðàöèjè ó âðåìåíñêîì äîìåíó è íàçèâà ñå

àêóìóëàöèjà. Îäãîâàðàjó£è îïåðàòîð Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå çà èíòåãðàöèjó jå 1/s.Äîêàç.Íåêà jå

y[n] = x[n] ∗ u [n] =+∞∑

k=−∞x[k]u [n− k] =

n∑k=−∞

x[k].

Êîðèñòå£è îñîáèíó êîíâîëóöèjå, äîáèjà ñå

Y (z) = X(z)(

11−z−1

)= X(z)

(z

z−1

)ïðè ÷åìó îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îáóõâàòà ïðåñåê îáëàñòè êîíâåðãåíöèjåX(z) è îáëàñòè êîíâåðãåíöèjåz-òðàíñôîðìàöèjå u[n], îäíîñíî

n∑k=−∞

x[k]←→ 11−z−1X(z) = z

z−1X(z), R′ ⊃ R ∩ |z| > 1 .

Ó òàáåëè 4.2 ñó ïðèêàçàíå ñâå ïðåòõîäíî íàâåäåíå îñîáèíå z-òðàíñôîðìàöèjå.

Òàáåëà 4.2: Íåêå îñîáèíå Z òðàíñôîðìàöèjå

Îñîáèíà Ñèãíàë Òðàíñôîðìàöèjà Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå

x[n] X(z) Rx1[n] X1(z) R1

x2[n] X2(z) R2

ëèíåàðíîñò a1x1[n]+a2x2[n] a1X1(z) + a2X2(z) R′ ⊃ R1 ∩R2

ïîìåðàj ó âðåìåíó x[n− n0] z−n0X(z) R′ = R ∩ 0 < |z| <∞ìíîæå»å ñà zn0 zn0 x[n] X

(zz0

)R′ = |z0|R

ìíîæå»å ñà ejΩ0n ejΩ0nx[n] X(e−jΩ0z

)R′ = R

âðåìåíñêà èíâåðçèjà x[−n] X(1z

)R′ = 1

R

ìíîæå»å ñà n nx[n] −z dX(z)dz

R′ = R

àêóìóëàöèjà

n∑k=−∞

x[k] 11−z−1X(z) R′ ⊃ R ∩ |z| > 1

êîíâîëóöèjà x1[n] ∗ x2[n] X1(z)X2(z) R′ ⊃ R1 ∩R2

4.4 Èíâåðçíà z-òðàíñôîðìàöèjà

Èíâåðçíà z-òðàíñôîðìàöèjà ïîäðàçóìåâà îäðå¢èâà»å ñåêâåíöå x[n] íà îñíîâó »åíå z-òðàíñôîðìàöèjå X(z). Ñèìáîëè÷êè ñå îçíà÷àâà, x[n] = Z−1 X(z).

59

4.4.1 Äåôèíèöèjà èíâåðçíå z-òðàíñôîðìàöèjå

Êàî è ó ñëó÷àjó Ëàïëàñîâå òðàíñôîðìàöèjå, ïîñòîjè ôîðìàëíè èçðàç çà èíâåðçíó z-òðàíñôîðìàöèjóó ñìèñëó èíòåãðàöèjå z-ðàâíè,

x[n] =1

2πj

∮C

X(z)zn−1dz (4.24)

ïðè ÷åìó jå C êîíòóðà èíòåãðàöèjå êîjà îáóõâàòà êîîðäèíàòíè ïî÷åòàê. Çà ðà÷óíà»å èíâåðçíåz-òðàíñôîðìàöèjå ïðèìåíîì (4.24) ïîòðåáíî jå ïîçíàâàòè òåîðèjó êîìïëåêñíèõ ïðîìåí§èâèõ.

4.4.2 Êîðèø£å»å òàáëèöå z-òðàíñôîðìàöèîíèõ ïàðîâà

Äà áè ñå óïîòðåáèëà îâà ìåòîäà çà ðà÷óíà»å èíâåðçíå z-òðàíñôîðìàöèjå X(z), ïîòðåáíîjå X(z) ïðåäñòàâèòè êàî ñóìó,

X(z) = X1(z) +X2(z) + . . .+Xn(z),

ãäå ñó X1(z), X2(z),..., Xn(z) ôóíêöèjå ñà ïîçíàòèì èíâåðçíèì òðàíñôîðìàöèjàìà x1[n],x2[n],..., xn[n]. Íà îñíîâó îñîáèíå ëèíåàðíîñòè (4.14) ñëåäè äà jå,

x[n] = x1[n] + x2[n] + . . .+ xn[n].

4.4.3 Ðàçâîj ó ñòåïåíè ðåä

Äåôèíèöèîíè èçðàç z-òðàíñôîðìàöèjå (4.3) jå ñòåïåíè ðåä ïðè ÷åìó ñó âðåäíîñòè ñåêâåíöåx[n] êîåôèöèjåíòè z−n. Ñòîãà, àêî jå X(z) äàòà ó îáëèêó ñòåïåíîã ðåäà

X(z) =+∞∑

n=−∞x[n]z−n = . . .+ x[−2]z2 + x[−1]z + x[0] + x[1]z+1 + x[2]z−2 + . . .

ìîæå ñå îäðåäèòè áèëî êîjà âðåäíîñò ñåêâåíöå îäðå¢èâà»åì îäãîâàðàjó£åã êîåôèöèjåíòà óçñòåïåí z−1. Îâàj ïðèñòóï íèjå óâåê ó ìîãó£íîñòè äà äà ðåøå»å ó çàòâîðåíîj ôîðìè, àëè jåâåîìà êîðèñòàí çà ñåêâåíöå êîíà÷íå äóæèíå ãäå X(z) íå ìîæå èìàòè jåäíîñòàâíèjè îáëèêîä ïîëèíîìà ïî z−1. Çà ðàöèîíàëíè îáëèê z-òðàíñôîðìàöèjå, ðàçâîj ó ñòåïåíè ðåä ñå ìîæåîäðåäèòè äå§å»åì »åíîã ïîëèíîìà ó áðîjèîöó ñà ïîëèíîìîì ó èìåíèîöó.

4.4.4 Ðàçâîj íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå

Àêî jå X(z) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà, äàòà jå ó ñëåäå£åì îáëèêó,

X(z) = N(z)D(z) = k (z−z1)...(z−zm)

(z−p1)...(z−pn),

òåõíèêà çàñíîâàíà íà ðàçâîjó íà ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå ìîæå ñå êîðèñòèòè çà îäðå¢èâà»åèíâåðçíå z-òðàíñôîðìàöèjå îä X(z). Ïðåòïîñòàâ§àjó£è äà jå n ≥ m è äà ñó ñâè ïîëîâèpk ïðîñòè, òàäà jå,

X(z)

z=

c0z

+c1

z − p1+

c2z − p2

+ . . .+cn

z − pn=

c0z

+n∑

k=1

ckz − pk

(4.25)


c0 = X(z)|z=0, ck = (z − pk)X(z)

z

∣∣∣∣z=pk

. (4.26)

Äà§å ñëåäè äà jå,

X(z) = c0 + c1z

z − p1+ c2

z

z − p2+ . . .+ cn

z

z − pn= c0 +

n∑k=1

ckz

z − pk. (4.27)

60

4.5. ÏÐÅÍÎÑÍÀ ÔÓÍÊÖÈJÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÈÕ LTI ÑÈÑÒÅÌÀ

Óçèìàjó£è ó îáçèð îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñâàêîã èçðàçà ó (4.27) èç óêóïíå îáëàñòè êîíâåðãåíöèjåX(z) è êîðèñòå£è òàáåëó 4.1, ìîæå ñå îäðåäèòè óêóïíà èíâåðçíà z-òðàíñôîðìàöèjà.

Àêî jå m > n îíäà ñå ìîðà äîäàòè ïîëèíîì ïî z ðåäà m − n íà äåñíó ñòðàíó (4.27). Íàîñíîâó îâîãà, çà m > n ðàçâîj ó ïàðöèjàëíå ðàçëîìêå £å áèòè îáëèêà,

X(z) =m−n∑q=0

bqzq +

n∑k=1

ckz

z − pk. (4.28)

ÀêîX(z) èìà âèøåñòðóêå ïîëîâå (pi jå âèøåñòðóêè ïîë ðåäà r), òàäà ðàçâîjX (z)/z ñàäðæèèçðàçå ó îáëèêó,

λ1

z − pi+

λ2

(z − pi)2 + . . .+

λr

(z − pi)r , (4.29)

ïðè ÷åìó jå:

λr−k =1

k!

dk

dzk

[(z − pi)

rX(z)

z

]∣∣∣∣z=pk

. (4.30)

4.5 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà

4.5.1 Äåôèíèöèjà ïðåíîñíå ôóíêöèjå ñèñòåìà

Ó ïðåòõîäíîì èçëàãà»ó ïîêàçàíî jå äà jå îäçèâ äèñêðåòíîã LTI ñèñòåìà y[n] jåäíàê êîíâîëóöèjèïîáóäå x[n] è èìïóëñíîã îäçèâà h[n],

y[n] = x[n] ∗ h[n]. (4.31)

Ïðèìåíîì îñîáèíå êîíâîëóöèjå z-òðàíñôîðìàöèjå (4.22), äîáèjà ñå,

Y (z) = X(z)H(z), (4.32)

ãäå ñó Y (z), X(z) è H(z) z-òðàíñôîðìàöèjå îä y[n], x[n] è h[n], ðåäîì. Èç (4.32) ñëåäè äà jå,

H(z) =Y (z)

X(z). (4.33)

z-òðàíñôîðìàöèjà h[n] ó îçíàöè H(z) ïðåäñòàâ§à ôóíêöèjó ñèñòåìà (ïðåíîñíó ôóíêöèjóñèñòåìà). Íà îñíîâó (4.33) ïðåíîñíà ôóíêöèjà ñå ìîæå äåôèíèñàòè êàî îäíîñ z-òðàíñôîðìàöèjàîäçèâà Y (z) è ïîáóäå X(z). Ôóíêöèjà ñèñòåìà H(z) ó ïîòïóíîñòè êàðàêòåðèøå ïîíàøà»åñèñòåìà. Íà ñëèöè 4.3 ïðèêàçàíå ñó ðåëàöèjå (4.31) è (4.32).

x[n] y[n]=x[n]*h[n]h[n]

X(z)H(z)

Y(z)=X(z)H(z)

Ñëèêà 4.3: Èìïóëñíè îäçèâ è ôóíêöèjà ïðåíîñà

61

4.5.2 Êàðàêòåðèñòèêå äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà

Îñîáèíå äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà ñå ìîãó ïîâåçàòè ñà êàðàêòåðèñòèêàìà H(z) ó z-ðàâíè èðàñïîðåäîì »åíèõ ïîëîâà è îáëàø£ó êîíâåðãåíöèjå.


Çà êàóçàëíè äèñêðåòíè LTI ñèñòåì, âàæè äà jå,

h[n] = 0, n < 0.

Êàêî jå h[n] ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà ëåâå ñòðàíå, îäãîâàðàjó£è çàõòåâè çà H(z) jå äà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå H(z) ìîðà áèòè ó îáëèêó,

|z| > rmax.

Äàêëå îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ñïî§àø»à îáëàñò êðóãà ó z-ðàâíè. Ñëè÷íî, àêî jå ñèñòåìàíòèêàóçàëàí, òàäà jå,

h[n] = 0, n ≥ 0,

îíäà jå h[n] ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà äåñíå ñòðàíå è îáëàñò êîíâåðãåíöèjå îä H(z) ìîðà áèòèó îáëèêó,

|z| < rmin.

Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå óíóòðàø»îñò êðóãà ó z-ðàâíè êîjè íå ñàäðæè ïîëîâå îä H(z).


Ïîêàçàíî jå äà jå äèñêðåòíè LTI ñèñòåì BIBO ñòàáèëàí àêî è ñàìî àêî jå+∞∑

n=−∞|h[n]| < +∞.

Îäãîâàðàjó£è çàõòåâ çàH(z) jå äà »åíà îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ñàäðæè jåäèíè÷íè êðóã (|z| = 1).

Äîêàç.

Äèñêðåòíè LTI ñèñòåì jå BIBO ñòàáèëàí àêî è ñàìî àêî jå »åãîâ èìïóëñíè îäçèâ h[n]

àïñîëóòíî ñóìàáèëàí,+∞∑

n=−∞|h[n]| < +∞. z-òðàíñôîðìàöèjà îâîã èìïóëñíîã îäçèâà jå H(z) =

+∞∑n=−∞

h[n]z−n. Íåêà jå z = ejΩ òàêî äà jå |z| =∣∣ejΩ∣∣ = 1, òàäà je

∣∣H(ejΩ)∣∣ = ∣∣∣∣ +∞∑

n=−∞h[n]e−jΩn

∣∣∣∣ ≤ +∞∑n=−∞

∣∣h[n]e−jΩn∣∣ = +∞∑

n=−∞|h[n]| < +∞.

Ïðåìà òîìå, ñëåäè äà àêî jå ñèñòåì ñòàáèëàí, îíäà H(z) êîíâåðãèðà çà z = ejΩ, îäíîñíîçà ñòàáèëíè äèñêðåòíè ëèíåàðíè âðåìåíñêè èíâàðèjàíòàí ñèñòåì îáëàñò êîíâåðãåíöèjå H(z)ìîðà ñàäðæàâàòè jåäèíè÷íè êðóã |z| = 1.

Êàóçàëíè è ñòàáèëíè ñèñòåìè

Àêî jå ñèñòåì èñòîâðåìåíî êàóçàëàí è ñòàáèëàí, òàäà ñâè ïîëîâè ìîðàjó ëåæàòè óíóòàðjåäèíè÷íîã êðóãà jåð îáëàñò êîíâåðãåíöèjå jå ó îáëèêó |z| > rmax, è êàêî jåäèíè÷íè êðóã ìîðàáèòè óê§ó÷åí ó îáëàñò êîíâåðãåíöèjå, ìîðà áèòè rmax < 1.

62

4.6. ÓÍÈËÀÒÅÐÀËÍÀ Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

4.5.3 Ïðåíîñíà ôóíêöèjà äèñêðåòíèõ LTI ñèñòåìà îïèñàíèõ ëèíåàðíèìäèôåðåíöíèì jåäíà÷èíàìà ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíàòà

Ó ðàíèjåì èçëàãà»ó àíàëèçèðàíè ñó äèñêðåòíè LTI ñèñòåìè çà êîjå ïîáóäà è îäçèâ çàäîâî§àâàjóó îïøòåì îáëèêó ëèíåàðíó äèôåðåíöíó jåäíà÷èíó ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà:

N∑k=0

aky[n− k] =M∑k=0

bkx[n− k].

Ïðèìåíîì z-òðàíñôîðìàöèjå è êîðèñòå£è îñîáèíó âðåìåíñêîã ïîìåðà»à (4.15) è îñîáèíóëèíåàðíîñòè (4.14), äîáèjà ñå ñëåäå£å,

N∑k=0

akz−kY (z) =

M∑k=0

bkz−kX(z)

èëè

Y (z)N∑

k=0

akz−k = X(z)

M∑k=0

bkz−k.

Ïðåìà òîìå jå,

H(z) =Y (z)

X(z)=

M∑k=0

bkz−k

N∑k=0

akz−k

. (4.34)

Íà îñíîâó (4.34) ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà jå H(z) óâåê ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà è äà îáëàñòêîíâåðãåíöèjå îä H(z) íèjå îäðå¢åíà. Îáëàñò êîíâåðãåíöèjå ìîðà ñå ïîâåçàòè ñà îñòàëèìæå§åíèì êàðàêòåðèñòèêàìà ñèñòåìà êàî øòî ñó êàóçàëíîñò è/èëè ñòàáèëíîñò.

4.5.4 Ïîâåçèâà»å äèñêðåòíèõ ñèñòåìà

Äâà LTI ñèñòåìà ÷èjè ñó èìïóëñíè îäçèâè h1 [n] è h2 [n] îáðàçójó êàñêàäíó âåçó àêî jå èçëàçjåäíîã ñèñòåìà ïîâåçàí íà óëàç äðóãîã ñèñòåìà. Åêâèâàëåíòíè îäçèâ ñèñòåìà jå äàò êàî,

h[n] = h1[n] ∗ h2[n],

à îäãîâàðàjó£à ïðåíîñíà ôóíêöèjà jå,

H(z) = H1(z)H2(z), R ⊃ R1 ∩R2. (4.35)

Äâà ñèñòåìà ñå íàëàçå ó ïàðàëåëíîj âåçè àêî ñå íà óëàçå ñèñòåìà äîâîäè èñòà ïîáóäà, äîêñå èçëàçè ñèñòåìà ñàáèðàjó êàêî áè ñå äîáèî èçëàç öåëîêóïíîã ñèñòåìà. Åêâèâàëåíòíè îäçèâäâà äèñêðåòíà LTI ñèñòåìà ó ïàðàëåëíîj âåçè jå,

h[n] = h1[n] + h2[n],

à îäãîâàðàjó£à ïðåíîñíà ôóíêöèjà jå,

H(z) = H1(z) +H2(z), R ⊃ R1 ∩R2. (4.36)

4.6 Óíèëàòåðàëíà z-òðàíñôîðìàöèjà

4.6.1 Äåôèíèöèjà

Óíèëàòåðàëíà (jåäíîñòðàíà) z-òðàíñôîðìàöèjà XI(z) ñåêâåíöå x[n] jå äåôèíèñàíà êàî ó(4.5),

XI(z) = ZI x[n] =+∞∑n=0

x[n]z−n. (4.37)

63

Ðàçëèêójå ñå îä áèëàòåðàëíå z-òðàíñôîðìàöèjå ó òîìå äà ñå ñóìèðà»å âðøè ñàìî çà n ≥ 0.Ñòîãà, óíèëàòåðàëíà z-òðàíñôîðìàöèja ñåêâåíöå x[n] ñå ìîæå ðàçìàòðàòè êàî áèëàòåðàëíàòðàíñôîðìàöèjà ñåêâåíöå x[n]u [n]. Ïîøòî jå x[n]u [n] ñåêâåíöà îãðàíè÷åíà ñà ëåâå ñòðàíå,îáëàñò êîíâåðãåíöèjå XI(z) ñå íàëàçè óâåê âàí êðóãà ó z-ðàâíè.

4.6.2 Îñíîâíå îñîáèíå

Âå£èíà îñîáèíà óíèëàòåðàëíå z-òðàíñôîðìàöèjå ñó èñòà êàî è çà áèëàòåðàëíó. Óíèëàòåðàëíàz-òðàíñôîðìàöèjå jå êîðèñíà çà ïðîðà÷óí îäçèâà êàóçàëíîã ñèñòåìà íà êàóçàëíó ïîáóäó êàäàjå ñèñòåì îïèñàí ëèíåàðíèì äèôåðåíöíèì jåäíà÷èíàìà ñà êîíñòàíòíèì êîåôèöèjåíòèìà èíåíóëòèì ïî÷åòíèì óñëîâèìà. Îñíîâíà îñîáèíà óíèëàòåðàëíå z-òðàíñôîðìàöèjå êîjà jå êîðèñíàó îâîj ïðèìåíè jå îñîáèíà ïîìåðàjà ó âðåìåíñêîì äîìåíó êîjà ñå ðàçëèêójå ó îäíîñó íàáèëàòåðàëíó òðàíñôîðìàöèjó.

Ïîìåðàj ó âðåìåíñêîì äîìåíó

Àêî jå x[n]←→ XI(z), îíäà çà m ≥ 0, âàæè äà jå,

x[n−m]←→ z−mXI(z) + z−m+1x[−1] + z−m+2x[−2] + . . .+ x[−m], (4.38)

x[n+m]←→ zmXI(z) + zmx[0] + zm−1x[1] + . . .+ zx[m− 1]. (4.39)

Äîêàç.Çà m ≥ 0 äîáèjà ñå,

ZI x[n−m] =+∞∑n=0

x[n−m]z−n =

n−m = kn = k +m

n = 0⇒ k = −mn→ +∞⇒ k → +∞

=+∞∑

k=−m

x[k]z−(m+k) =

= z−m

(+∞∑k=0

x[k]z−k +−m∑

k=−1

x[k]z−k

)= z−m

(XI(z) + x[−1]z + x[−2]z2 + . . .+ x[−m]zm

)=

= z−mXI(z) + z−m+1x[−1] + z−m+2x[−2] + . . .+ x[−m]

.

Çà m ≤ −1 äîáèjà ñå,

ZI x[n+m] =+∞∑n=0

x[n+m]z−n =

n+m = kn = k −m

n = 0⇒ k = mn→ +∞⇒ k → +∞

=+∞∑k=m

x[k]z−(k−m) =

= zm(

+∞∑k=0

x[k]z−k −m−1∑k=0

x[k]z−k

)= zm

(XI(z)−

(x[0] + x[1]z−1 + . . .+ x[m− 1]z−(m−1)

))=

= zmXI(z)− zmx[0]− zm−1x[1]− . . .− zx[m− 1]

.

Òåîðåìà î ïî÷åòíîj âðåäíîñòè

Àêî jå x[n] êàóçàëíà ñåêâåíöà è àêî jå x[n]←→ X(z), òàäà âàæè äà jå

x[0] = limz→+∞

X(z). (4.40)

Îâà jåäíàêîñò ñå íàçèâà òåîðåìà î ïî÷åòíîj âðåäíîñòè.Äîêàç.Êàêî jå x[n] = 0 çà n < 0, äîáèjà ñå

64

4.6. ÓÍÈËÀÒÅÐÀËÍÀ Z-ÒÐÀÍÑÔÎÐÌÀÖÈJÀ

X(z) =+∞∑n=0

x[n]z−n = x[0] + x[1]z−1 + x[2]z−2 + . . .

Êàäà z → +∞, òàäà z−n → 0 çà n > 0 è íà îñíîâó îâîãà ñëåäè äà jå,

x[0] = limz→∞

X(z).

Òåîðåìà î êðàj»îj âðåäíîñòè

Àêî jå x[n] êàóçàëíà ñåêâåíöà, àêî jå x[n] ←→ X(z) è àêî jå X(z) ðàöèîíàëíà ôóíêöèjà÷èjè ñó ñâè ïîëîâè óíóòàð jåäèíè÷íîã êðóãà îñèì ìîæäà çà ïîë ïðâîã ðåäà ó z = 1, òàäà âàæèäà jå

limN→∞

x[N ] = limz→1

(1− z−1

)X(z). (4.41)

Îâà jåäíàêîñò ñå íàçèâà òåîðåìà î êðàj»îj âðåäíîñòè.Äîêàç.Ïðèìåíîì îñîáèíå ïîìåðàjà ó âðåìåíó âàæè äà jå,

Z x[n]− x[n− 1] =(1− z−1

)X(z).

Ëåâà ñòðàíà ïðåòõîäíå ðåëàöèjå ñå ìîæå íàïèñàòè êàî

+∞∑n=0

(x[n]− x[n− 1]) z−n = limN→+∞

N∑n=0

(x[n]− x[n− 1]) z−n.

Àêî z → 1, òàäà jå

limz→1

(1− z−1

)X(z) = lim

N→+∞

N∑n=0

(x[n]− x[n− 1]) = limN→+∞

x[N ].

4.6.3 Ôóíêöèjà ïðåíîñà ñèñòåìà

Êàî è ó ñëó÷àjó êîíòèíóàëíèõ LTI ñèñòåìà, êîðèñòå£è óíèëàòåðàëíó z-òðàíñôîðìàöèjó,ôóíêöèjà ïðåíîñà H(z) = Y (z)/X(z)jå äåôèíèñàíà ïîä óñëîâîì äà jå LTI ñèñòåì ðåëàêñèðàí,îäíîñíî äà ñó ñâè ïî÷åòíè óñëîâè íóëà.

65

66

Áèáëèîãðàôèjà

[1] Æå§êî óðîâè£ Áðàíêî Êîâà÷åâè£. Ñèãíàëè è ñèñòåìè. Àêàäåìñêà ìèñàî, Áåîãðàä,Ñðáèjà, 2007.

[2] L.F. Chaparro. Signals and Systems Using MATLAB. Academic Press, 2011.

[3] Simon S. Haykin and Barry Van Veen. Signals and Systems. John Wiley & Sons, Inc., NewYork, NY, USA, 1st edition, 1998.

[4] H. Hsu. Schaum's Outline of Signals and Systems. Schaum's Outline Series. McGraw-HillCompanies,Incorporated, 1995.

[5] Leland B. Jackson. Signals, Systems, and Transforms. Addison-Wesley Longman PublishingCo., Inc., Boston, MA, USA, 1991.

[6] Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck. Fundamentals of Signals and Systems Using the Weband Matlab (3rd Edition). Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA, 2006.

[7] S.T. Karris. Signals and Systems: With MATLAB Computing and Simulink Modeling. OrchardPublications, 2008.

[8] M. Nahvi. Signals & Systems: Sixth Edition. McGraw-Hill Higher Education, 2013.

[9] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab. Signals &Amp; Systems (2NdEd.). Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA, 1996.

[10] Charles L Phillips, John Parr, and Eve Riskin. Signals, Systems, and Transforms. PrenticeHall Press, Upper Saddle River, NJ, USA, 4th edition, 2007.

[11] Samir S. Soliman and Mandyam D. Srinath. Continuous and Discrete Signals and Systems.Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA, 1990.

67

Documents

Lekcije Signali i Sistemi