Vremenski kontinuirani sustavi • Sustav je vremenski kontinuiran ako su u, x, y su funkcije kontinuirane nezavisne varijable t€T gdje je T neprebrojiv skup.

• Integrator je memorijski element.

Vremenski kontinuirani sustav 1. reda • Sustav 1. reda se sastoji od jednog elementa memorije (integratora) i jednog ili više funkcijskih blokova. • Dijeli se na - eksplicitne (integrator nije u povratnoj vezi) - implicitne (integrator je u povratnoj vezi)

Jednadžba stanja – Ulaz u integrator je predstavljen izlazom iz int. I ulazom u sustav Izlazna jednadžba – Daje veličinu izlaza za bilo koje vrijeme uz dan ulaz i početni uvijet KLASIFIKACIJE: Implicitni → pobuđeni → vremenski promjenjivi

nepobuđeni vremenski nepromjenjivi

Eksplicitni → vremenski promjenjivi vremenski nepromjenjivi

Vremenski kontinuirani sustav 2. reda • Sustav 2. reda se sastoji od 2 elementa memorije (integratora) i jednog ili više fun. blokova. • Opisuje se sa 2 dif. Jedn. 1. reda ili jednom dif. jedn. 2. reda • Ima dvije varijable stanja x1, x2 KLASIFIKACIJE: Linearan → vremenski promjenjivi

vremenski nepromjenjivi Nelinearan

V. K. S. Model s varijablama stanja • Sustav je n−tog reda ako treba n varijabli stanja za potpun opis njegovog vladanja • Pretpostavimo sustav s više varijabli ulaza, izlaza i stanja:

• Stanje u trenutku t se može izraziti s:

• Izlaz ovisi o stanju i pobudi:

• Vremenski kontinuiran sustav s varijablama stanja možemo rastaviti na dva podsustava:

V. K. S. Model s U-I varijablama • Upotrebljava se za sintezu i analizu • Model je skup dif jedn u kojima su samo ul i izl varijable i njihove derivacije • Linearan sustav n−tog reda s jednim ulazom i jednim izlazom

• Koeficijenti{ai} i {bi}: – konstantni -- vremenski stalan linearni sustav – funkcija vremena -- vremenski promjenjiv linearni sustav – zavise od ulaznih ili izlaznih varijabli i njihovih derivacija -- nelinearni sustav

Vremenski diskretni sustavi • Sustav je vremenski diskretan ako su u, x, y funkcije diskretne nezavisne varijable tk€T gdje je T prebrojiv skup. • Diskretni sustavi proizlaze iz numeričkog rješavanje dif. jedn. •Element kašnjenja je npr ele. vod konačne duljine

V.D.S. 1. reda • Jedan element za kašnjenje + jedan ili više funkcijskih blokova. • Podaci o stanju x(k) i ulazu u(k) dovoljni su da se odredi stanje u sljedecem koraku x(k + 1)

x(k + 1) = f (x(k), u(k), k), y(k) = g (x(k), u(k), k).

• Kad je f linearna funkcija

Sustav 1. reda: - Vremenski invarijantan - Nelinearan

V.D.S. 2. reda • Opis sustava sa 2 jednadžbe diferencija 1. reda:

• Sustav se može opisati s jednom jednadžbom diferencija drugog reda u obliku

• Sustavi drugog reda – vremenski invarijantni sustavi – vremenski promjenjivi sustavi – nelinearni sustavi

V. D. S. Model s U-I varijablama • Opis linearnog sustava jednadžbom diferencija

a i b konstante → Vremenski stalan sustav a i b funkcije koraka → Sustav promjenjiv po koraku

V. D. S. Model s varijablama stanja • Vremenski dis sustav je linearan i vremenski invarijantan ako se može opisati jednadžbama

A, B, C, D matrice s realnim elementima • Vektorska jednadžba stanja je identična skupu n linearnih jednadžbi diferencija

• Izlazna jednadžba identična je skupu r linearnih algebarskih jednadžbi:

Superpozicijski integral i sumacija • Da bi sustav s jednim ulazom i jednim izlazom bio linearan treba zadovoljiti Uvjet homogenosti: Uvjet aditivnosti: F(ax)=aF(x) F(x1+ x2) = F(x1) + F(x2) • Oba uvjeta napisana zajedno daju princip superpozicije F(ax1+ bx2) = aF(x1) + bF(x2) On je nužan i dovoljan uvjet, da je sustav linearan • Superpozicijski integral i sumaciju dobivamo iz principa superpozicije

• Za trenutne vrijednosti signala naziva se superpozicijski integral.

• Za uzorke naziva se superpozicijska sumacija. • Superpozicijski integral i sumacija pogodni su za analizu vremenski promjenjivih sustava.

Konvolucijski integral i sumacija • U slučaju vremenski stalnih sustava h(t, τ) jeuvijek isti samo kasni za τ koliko kasni i pobudna δ funkcija tj. h(t, τ)= h(t -τ)

• Superpozicijski integral dobiva oblik koji se naziva konvolucijski integral

• Operacija između h i u naziva se konvolucijom • Za vremenski diskretne sustave dobiva se oblik koji se naziva konvolucijskom sumacijom

• Konvolucijski integral preslikava funkciju pobude u u funkciju odziva y

• Može se pokazati da za operaciju konvolucije vrijedi – komutativnost – asocijativnost – distributivnost – multiplikacija s konstantom – diferenciranje

Fourierov red. Složeni periodički signal može se aproksimirati trigonometrijskim polinomom: Furierovim redom rastavljamo periodične funkcije u sumu sinusa i kosinusa. Fourierov koeficijent

dobijemo tako da xn(t) koji smo dobili Furierovim redom pomnožimo s i integriramo po osnovnom periodu T.

Fourierova transformacija • Upotrebljava se za predstavljanje aperiodskih signala superpozicijom eksponencijala ili sinusoida. • Može se izvesti iz Fourierovog reda, tako da se aperiodski signal dobije kao granični slučaj periodičnog signala, čiji period ide u beskonačnost.

Fourierov spektar signala • Spektar signala može biti u pravokutnom obliku sa svojim realnim i imaginarnim dijelom napisan u polarnom obliku sa svojim amplitudnimi faznim spektrom.

• Da bi signal imao Fourierovu transformaciju mora zadovoljavati neke uvjete: Funkcija mora biti apsolutno integrabilna te imati konačan broj maksimuma i minimuma. Iznimka su stepenica i sinus ako se dozvoli uporaba impulsa.

Stanje ravnoteže sustava i njegova stabilnost • Stanje ravnoteže je stanje u kojem sustav može ostati neodređeno dugo ako nema pobude odnosno za omeđenu pobudu ima omeđen odziv • Nelinearni sustav može imati nijedno, jedno ili više stanja ravnoteže. • Stanje ravnoteže xe je: – stabilno, ako se sustav iz bilo kojeg stanja x0 vrada u stanje ravnoteže xe, – nestabilno, ako se sustav udaljuje iz stanja ravnoteže xe na najmanji mogudi poremedaj, – polustabilno, ako se sustav iz nekih stanja x0 vrada, a iz nekih ne u ravnotežno stanje xe.

Preslikavanje signala • Jednostavno preslikavanje – kompozicija funkcija: • Trenutna vrijednost - preslikava se u trenutnu. • Složenije preslikavanje − operator pridružuje signalu drugi signal Podjela: Memorijsko preslikavanje (ovisi o čitavoj proslosti signala) Predikcijsko preslikavanje (ovisi o čitavoj budućnosti signala )

Ovisnost trenutnih vrijednosti (ovisi o trenutnoj vrijednosti signala) Memorijsko-predikcijski (ovisi o prošlosti i budućnosti signala )

Z-transformacija Z - transformacija je operatorski postupak pogodan za rješavanje jednadžbi diferencija.

Postupkom Z transformacije transformira se niz brojeva u funkciju kompleksne varijable z.

Z transformacija niza:

Inverzna Z-transformacija • prelazimo (vradamo se) iz z u t domenu 1. Razvijamo u McLaurentov red oko točke

2. rastavljamo racionalane funkcije na parcijalne razlomke

3. Koristimo se integralom po zatvorenoj krivulji radiusa vedeg od radiusa apsolutne konvergencije

Frekvencijska karakteristika sustava • Odziv na sinusnu pobudu dan je izrazom i naziva se frekvencijska karakteristika sustava

• Veličina H(ω) je kompleksan broj koji nam pokazuje za svaku frekvenciju ω: – koliko se promijenila amplituda odziva – kakav je fazni pomak u odnosu na pobudu

Imamo: • Amplitudnu karakteristiku A(ω) • Faznu karakteristiku ϕ (ω).

Diskretna Fourierova transformacija DFT. DTF se koristi za numeričko određivanje spektra signala. Signal i njegov spektar treba predstaviti uzorcima odnosno otipkati. Koliko točno postupak predstavlja Fourierovu transformaciju izvornog kontinuiranog signala f u spektar F, zavisi kako je pokazano ranije od izabranog Tp i Ωp , te brzine opadanja signala i spektra za t > Tp/2 i ω > Ωp/2. (NADAM SE DA JE OVO ZA DFT DOVOLJNO)

Filip Jukić