DISKRETNE MATEMATIČKE STRUKTURE

(seminarski rad)

Student:

Profesor:

SADRŽAJ:...................................................................................................................................1

1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE...........................................................2

2. FUNKCIJE GENERATRISE..............................................................................................4

3. DEFINICIJA ISKAZANE ALGERBRE.............................................................................8

4. O OPISNOJ TEORIJI SKUPOVA......................................................................................9

5. PREDIKATI, RELACIJE I ISKAZANE FUNKCIJE.......................................................10

6. ALGEBARSKE STRUKTURE S JEDNOM BINARNOM OPERACIJOM...................10

7. ALGEBARKSE STRUKTURE S VIŠE OPERACIJA.....................................................12

8. TEORIJA GRAFOVA.......................................................................................................15

9. FORMALNE TEORIJE I IZRAČUNJLJIVOST..............................................................18

10. RAČUN VJEROVATNOĆE.............................................................................................19

11. ELEMENTI TEORIJE IGARA.........................................................................................20

1

1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE

Matematičke misli se izražavaju nekim od postojećih jezika (recimo, srpsko-hrvatskim) koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematičkih simbola. Osnovne cjeline u jednom jeziku su rečenice. Od posebnog interesa su afirmativne rečenice koje imaju neki smisao. Ovakve rečenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.

Primjer 1. Rečenica »7<15« je sud i to istinit, dok je rečenica »7 je kvadrat prirodnog broja« takođe sud ali neistinit.

Kao što primjećujemo, sud ne može istovremeno biti istinit i neistinit (princip kontradikcije) a isto tako sud ne može biti ni istinit ni neistinit (princip isključenja trećeg).

Sudove obično obilježavamo velikim slovima latinice, na primjer, P, Q, R,... Za svaki sud P definiše se njegova vrijednost istinitosti τP pomoću

Vrijednost istinitosti suda obilježavaćemo odgovarajućim malim slovima latinice. Dakle, τP=p.

Simbole 1 i 0 ne treba obavezno smatrati brojevima jedan i nula. Za vrijednost istinitosti sudova mogu se uzeti bilo koja dva različita objekta, odnosno simbola. Tako su u matematičkoj literaturi u čestoj upotrebi simboli T i umjesto, redom, 1 i 0. Simbol T se čita »te« i potiče od engleske riječi »true« (istinit). Simbol čita se »ne te«. Mi ćemo zbog primjene matematičke logike u tehnici koristiti prvonavedene simbole. Skup {0, 1} obilježavaćemo sa B.

Postoje i rečenice koje tvrde nešto što ima smisla ali za koje ne možemo tvrditi ni da su istinite ni da su neistinite. Na primjer, rečenica » x1 = 1« je istinita ako je x = 1 ili x = - 1. Međutim, ona je neistinita, na primjer, za x = 2. Ovakvi primjeri opravdavaju uvođenje sledeće definicije.

Definicija 2. Afirmativna rečenica, koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više projenjivih parametara i koja postaje sud uvjek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, naziva se predikat.

Primer 2. Rečenica » x2 + y2 ≤ 1« je predikat sa dva parametra. Za x = y = 0 dobijamo istinit sud » 02 + 02 ≤ 1« dok, na primjer, za x = 1, y = 2 dobijamo neistinit sud » 12 + 22 ≤ 1«.

Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina predikata. U oznaci predikata uvjek naglašavamo parametre od kojih on zavisi, na primjer, P (x), Q(x,y), R(x1, x2 ,..., xn ) itd. Podrazumjeva se da je za svaki predikat zadata oblast variranja njegovih parametara (bilo eksplicitno, bilo implicitno). Tako smo u primjeru 2 podrazumjevali da x i y označavaju realne brojeve.

U tekstu koji slijedi pod rečenicom ćemo podrazumjevati bilo sud bilo predikat . Poznato je da se od rečenica mogu formirati složenije rečenice upotrebom raznih sveza (i, ili, itd.).

Definicija 3. Ako su P i Q rečenice, onda se rečenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, označavaju redom sa i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija, ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija rečenica P i Q (odnosno rečenice P kod negacije).

Ako su P i Q sudovi onda se istinitost navedenih složenih rečenica može udvrditi na osnovu vrijednosti istinitosti sudova P i Q bez analize samog značenja rečenica P i Q.

2

U sledećoj tabeli (tablice istinitosti) navedene su vrijednosti istinitosti složenih rečenica iz definicije 3 u zavisnosti od vrijednosti istinitosti sudova P i Q.

Navedene tablice istinitosti konstruisane su tako da su u saglasnosti sa svakodnevnom logikom,stečenom na osnovu iskustva i koju smatramo tačnom. Jedino kod implikacije P Q nailazimo na naizgled neobičnu situaciju kada je τP = 0. Implikacija je tada istinita bez obzira na vrijednosti istinitosti suda Q. To znači: iz pogrešne premise svaki zaključak je logički ispravan. Naravno, zaključivanje iz pogrešnih premisa nema većeg značaja ali su navedene vrijednosti u tablici istinitosti usvojene jer ne »smetaju« čitavoj konstrukciji a u nekim situacijama to ima i izvjesne prednosti (vidjeti zadatak 3).

Rečenica P Q se može pročitati na više ekvivalentnih načina:Ako P, onda Q; iz P proizlazi Q; P povlaci Q;P je dovoljan uslov za Q;Q je potreban uslov za P.

Rečenica P Q se može pročitati na jedan od sledećih načina:Ako je P onda Q i ako Q onda P;P je ekvivalentno sa Q;P važi ako i samo ako važi Q;P potreban i dovoljan uslov za Q;Q je potreban i dovoljan uslov za P.

Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je rečenica P Q identična sa rečenicom i da je

rečenica P\/Q identična sa rečenicom

Od predikata se mogu formirati nove rečenice upotrebom tzv. kvantifikatora. Postoje dva kvantifikatora: univerzalni i egzistencijalni . Simbol se čita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa početnim slovom nemačke reci »aile« (svi) odnosno engleske »all«. se čita »postoji« i potiče od odgovarajućeg njemačkog izraza »es gibt«, odnosno engleskog »exist«. Kvantifikatori se upotrebljavaju ispred predikata i obično se vezuju za neku promenljivu (parametar) iz predikata. Upotrebu kvantifikatora objasnićemo na primjerima.

Ako je P(x) predikat dužine 1 i x promjenljiva, simbol ( x) P(x) označava rečenicu: za svako x (važi) P(x). Kvantifikatori se mogu primjeniti i na predikate većih dužina. ( x) P(x, y) se čita: postoji x tako da. važi P (x, y).

Primjer 3. ( a) ( b) ((a i b su kompleksni brojevi) a2 –b2 =(a+b)(a-b)) se čita: za svako a i svako b, ako su a i b kompleksni brojevi onda je a2—b2=(a+b) (a—b); ili kraće: za sve kompleksne brojeve a i b važi a2—b2=(a+b) (a—b). Ako usvojimo da a i b označavaju kompleksne brojeve, ova rečenica bi se kraće mogla zapisati pomoću ( a) ( b) a2—b2=(a+b) (a—b).

Primjer 4. ( x) ( x je realan broj) (x2 = 1)). Ovo se može pročitati na sledeći način: postoji x takvo da je x realan broj i da je x=1; ili kraće: postoji realan broj x takav da je x2=1. (U stvari, postoje dva takva broja: 1 i -1). Slično prethodnom primjeru, ako x označava realan broj, kraći zapis predhodne rečenice bi bio ( x)x2=1. Napomenimo da bi pogrešno bilo, po ugledu na primjer 3, ovu rečenicu zapisati u obliku

( x) ((x je realan broj) (x2= 1)).

3

Napomenimo da se oblast variranja parametra u predikatu može precizirati naznakom odgovarajućeg skupa kojem pripada promjenljiva na koju se odnosi kvantifikator (vidjeti odjeljak 1. 3.). Takođe se često oznake kvantifikatora sažimaju pa se, na primjer, piše( a, b) umjesto ( a) ( b).

2. FUNKCIJE GENERATRISE

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise.Posmatrajmo beskonačni niz

(1)

Definicija 1. Funkcija naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija naziva se eksponencijalna funkcija gene-ratrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), članovi niza se mogu odrediti pomoću formula

.

Redove navedene u definicijama 1 i 2 shvatamo kao formalne redove. Konvergencija i druga analitička svojstva ovih redova obično se ne ispituju.

U kombinatorici je od interesa da se odrede funkcije generatrise za nizove čiji članovi predstavljaju rješenja različitih zadataka prebrojavanja. Odredićcmo najprije funkcije generatrise za elementarne kombinatorne probleme, opisane u uvodnom poglavlju, a zatim ćemo na taj način razvijenu tehniku funkcija generatrisa primjeniti na neke od komplikovanijih problema.

Da bi dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija , k=0,1,...,n , posmatrajmo

izraz

Kao koeficijent uz tk nalazi se elementarna simetrična funkcija reda k promenljivih .Sabirci funkcije

Sk su proizvodi od po k promenljivih iz skupa .Dakle, svaki takav sabirak reprezentuje po jednu

kombinaciju klase k tog skupa. Ako stavimo svaki sabirak je jednak 1 i koeficijent uz tk je

jednak broju kombinacija klase k skupa od tri elementa:

.

dobija se , k=1,2,3.

4

Neposrednom generalizacijom ovog postupka zaključuje se da je

funkcija generatrisa za brojeve kombinacija . Dakle , što potvrđuje raniji rezultat.

Da bismo dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija sa ponavljanjem, posmatrajmo kao uvodni primer izraz

Sabirci koeficijenata uz t3 predstavljaju sada kombinacije treće klase sa ponavljanjem skupa {xl, x2, x3} u kojima se element pojavljuje najviše dva puta, dok se i pojavljuju najviše jedanput. Stavljajući:

dobija se odgovarajuća funkcija generatrisa.

Na ovom primjeru se uočava da funkcija generatrisa za brojeve kombinacija skupa od n elemenata ima n faktora. Svaki faktor reguliše broj pojavljivanja jednog od elemenata u kombinacijama. Ako zahtjevamo da se i-ti element mora da pojavi u kombinacijama samo ili puta ili n2 puta ili . . . ili ns puta, onda je i-ti faktor funkcije

generatrise oblika .

Na osnovu izloženog funkcija generatrisa za brojeve kombinacija sa ponavljanjem (dakle, bez ikakvih ograničenja u pogledu broja pojavnjivanja elemenata) skupa od n elemenata glasi

Dalje dobijamo

Dakle,

što se slaže sa ranije izvedenim izrazom.

Da bismo dobili odgovarajuće funkcije generatrise za brojeve varijacija, primjetimo najprije da je funkcija generatrisa Gc (t) za brojeve kombinacija, u stvari, eksponencijalna funkcija generatrisa Hv(t) za brojeve varijacija:

Da bismo dobili opšti izraz za Hv(t) u slučaju kada su specificirani mogućni brojevi pojavljivanja svakog pojedinog od n elemenata, pretpostavimo da je funkcija Hv (t) opet proizvod od n faktora pri čemu svaki faktor i reguliše brojeve pojavljivanja elementa u varijaciji. Polazna osnova je opet jedan izraz koji sadrži promenljive t i x1, x2, ...,xn;

5

Svaki faktor je reprezentovan sa po jednim svojim tipičnim sabirkom gde je jedna funkcija koju ćemo

naknadno odrediti. Proizvod naznačenih sabiraka

može se napisati u obliku

gde je k=k1+k2+...+kn. Poslije množenja i unošenja x1=x2=...=xn=1 koeficjent uz treba da daje broj

varijacije klase k u kojima se x1 pojavljuje k1 puta, x2 se pojavljuje k2 puta, ..., xn se pojavljuje kn puta. Na osnovu

formule za broj permutacija sa ponavljanjem dolazimo do zaključka da je

Stoga su faktori funkcije H(t) oblika , gdje su p1, p2, ... dozvoljeni brojevi pojavljivanja

odgovarajućeg elementa u varijaciji.

Ako je broj pojavljivanja svih elemenata neograničen, onda dobijamo (sve) varijacije sa ponavljanjem. Stoga je odgovarajuća funkcija generatrisa

Na osnovu gore izloženog imamo

Dakle, , što je u skladu sa ranije izvedenim izrazom.

U kombinatorici se pod particijom podrazumjeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su prirodni brojevi pri čemu redosljed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi računa o redosljedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u sledećoj tabeli:

Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od tačaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram »pročita« po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.

Problem određivanja broja particija nije jednostavan i on će biti tretiran ovde tehnikom funkcija generatrisa. Broj kompozicija je određen u zadatku 9 na kraju ovog poglavlja.

6

Izvodimo funkcije generatrise za brojeve p(n) particija

prirodnog broja n pod izvesnim uslovima.Posmatrajmo najprije particije kod kojih su sabirci najviše jednaki m. Jedna takva particija ima oblik

(2)

gde ki (i=1, 2, . . . , m) označava broj ponavljanja sabirka i u particiji. Tada je

(3)

Broj particija oblika (2) jednak je broju načina faktorizacije veličine tn u formi (3). Broj ovih faktorizacija je, očigledno, jednak koeficijentu uz tn funkcije

Stoga je G(t) upravo tražena funkcija generatrisa i ona se može predstaviti u obliku

Ako se ne ograniči veličina sabiraka funkcija generatrisa dobija oblik

3. DEFINICIJA ISKAZANE ALGERBRE

U skupu B ={0, 1} (o kome je bilo riječi u odeljku 1.1.) definišemo unarnu operaciju i binarne operacije pomoću sledeće tablice:

7

Ove operacije redom nazivamo: negacija, disjunkcija, konjunkcija, implikacija, ekvivalencija i ekskluzivna disjunkcija.

■ Na primjer, važe jednakosti: itd.

Definicija 1. Uređen par (B, F), gde je B={0, 1} i F={ }, naziva se iskazna algebra. Drugim riječima, skup B snabdjeven operacijama naziva se iskazna algebra.

Primjetimo da su nazivi i oznake operacija u iskaznoj algebri isti kao nazivi i oznake operacija sa rečenicama koje smo opisali u odjeljku 1.1. Ovo je, strogo govoreći, neprecizno, ali je pogodno u izvjesnom smislu i ne može da dovede do zabune ako se pojmovno pravi razlika između, na primjer, konjunkcije rečenica i konjunkcije u iskaznoj algebri i ako se simboli u svakom konkretnom slučaju pravilno interpretiraju.

Iskazna algebra je konstruisana tako da odražava odnose vrijednosti istinitosti složenih rečenica sa vrijednostima istinitosti dijelova od kojih je ona sastavljena. Ako * označava jednu binarnu operaciju iskazne algebre, odnosno odgovarajuću operaciju sa rečenicama, važi relacija

(1)

gdje su P i Q rečenice a τ R vrednost istinitosti rečenice R, što se neposredno provjerava na osnovu

definicije operacija. Takođe za unarnu operaciju (negaciju) važi Primjetimo da je u relaciji (1),

simbol * upotrebljen u dva različita smisla.

Označimo odgovarajućim malim latinskim slovom vrijednost istinitosti jednog suda koji je označen velikim latinskim slovom, tj. neka je, na primer, Τ P=p. Vrijednost istinitosti, recimo, konjunkcije P Q je jednaka p q. Na sličan način, i za složenije rečenice vrijednost istinitosti dobijamo ako veliko slovo u zapisu rečenice zamjenimo odgovarajućim malim slovom. Na primjer, vrijednost istinitosti rečenice

4. O OPISNOJ TEORIJI SKUPOVATeorija skupova je nastala krajem prošlog vjeka kao opisna matematička teorija. Tvorac teorije skupova je

bio njemački matematičar G. Cantor. Od njega potiče i opisna »definicija« skupa navedena u uvodnom poglavlju (»Skup je objedinjenje izvjesnih elemenata u jednu cjelinu«). U izgradnji teorije skupova potrebno je pretpo-staviti da važe izvjesne aksiome (istine koje se ne dokazuju, tj. rečenice koje prihvatamo za istinite).

Kantor je implicitno koristio sledeće tri aksiome: Aksioma o jednakosti dva skupa. Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

8

Aksioma apstrakcije. Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x | P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.Aksioma izbora. Za svaki neprazan skup S postoji funkcija čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa a slike su elementi originala, tj.

Teorija skupova izgrađena na ovim aksiomama je protivrječna. Aksioma apstrakcije dovodi do sledeće kontradikcije poznate pod nazivom Russelov paradoks po B. Russelu koji gaje otkrio 1903. g.

Russelov paradoks. Posmatrajmo skup P svih skupova S koji nisu sami sebi element;, tj. P={ }, (Na

primjer, skup nije sam sebi element jer {1, 2} {1, 2}). Može se postaviti pitanje da li je . Ako se

pretpostavi P P onda je P jedan od skupova S za koje važi S S pa slijedi P P. Međutim, pretpostavka P P kaže da je P jedan od skupova S za koje je S S pa P P. Dakle, postoji kontradikcija.

Ovaj i drugi paradoksi otkriveni u teoriji skupova doveli su do njene revizije jer je bilo potrebno jednu fundamentalnu matematičku disciplinu kao što je teorija skupova osloboditi od protivrječnosti. To je dovelo i do razvoja matematičke logike (na primjer, do uvođenja formalnih teorija, između ostalog, i formalnih teorija sku-pova). Raznim programima revizije teorije skupova uklonjene su uočene pretivrječnosti ali nije dokazano da se nove protivrječnosti ne mogu pojaviti.

Aksioma izbora izgleda u prvi mah kao lako dokaziva teorema. Dokazati ovakvu teoremu značilo bi konstruisati funkciju koja se naziva funkcija izbora. To nije pošlo za rukom kada se radi o skupovima dovoljno komplikovane strukture. Pažljivim ispitivanjem utvrđeno je da se radi o nezavisnoj aksiomi a ne o teoremi koja je izvodiva iz ostalih aksioma.

U nekim programima revizije teorije skupova pojavljuje se pojam klase kao osnovan i opštiji od pojma skupa. Za dve klase A i B važi A B ili A B. Klase koje su elementi drugih klasa nazivaju se skupovi. Ovakvim definicijama obezbjeđuje se da skupovi ne mogu biti preopširni (prebogati) što i dovodi posredstvom aksiome apstrakcije do paradoksa.

Ako se opisna teorija skupova (ona se često naziva i naivna teorija skupova) primjenjuje sa izvjesnom opreznošću ona ne dovodi do paradoksa a posebno ne u vezi sa materijom izloženom u ovoj knjizi gdje se tretiraju diskretni skupovi, tj. konačni i prebrojivi skupovi (vidjeti sledeći odjeljak).

5. PREDIKATI, RELACIJE I ISKAZANE FUNKCIJE

U uvodnom odjeljku 1.1. predikat dužine n smo definisali kao afirmativnu rečenicu koja ima smisla, koja sadrži n promjenljivih parametara i koja postaje sud uvek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti,tj. zamjene se sa konkretnim objektima. Ovo je opisna definicija predikata. Istom pojmu pristupamo sada na formalan način.

Posmatrajmo predikat dužine n. Podrazumjeva se da je zadat jedan skup D pri čemu se

parametri predikata smatraju elementima skupa D. Za izvjesne n-torke predikat P(

) postaje tačan sud dok za ostale n-torke predikat postaje netačan sud. Skup n-torki za koje predikat postaje tačan sud definiše jednu n-arnu relaciju u skupu D. Obrnuto, ako je zadata jedna n-arna relacija u skupu D

9

postoji predikat dužine n (shvaćen kao rečenica sa n parametara koja opisuje osobine n-torki iz te relacije) koji je tačan baš za n-torke iz te relacije. Stoga je opravdano predikat, izjednačiti sa relacijom.

Definicija 1. Predikat dužine n skupa D je svaka n-arna relacija skupa D.

n-arna relacija ρ u skupu D određuje i jedno preslikavanje Definišimo

Funkcija naziva se iskazna funkcija. Predikat se može definisati i kao iskazna funkcija.U okviru matematičke logike razvijena je teorija predikata koja se naziva predikatski ili kvantifikatorski račun. Objekti ove teorije su formule kvantifikatorskog računa ili kvantifikatorske formule koje predstavljaju predikate. U verziji kvantifikatorskog računa koji izlažemo u ovoj knjizi, kvantifikatori u formulama deluju samo na tzv. promjenljive a ne na funkcijska ili relacijska slova (videti sledeći odjeljak). Zbog toga se ovakav kvantifikatorski račun naziva kvantifikatorski račun prvog reda.

6. ALGEBARSKE STRUKTURE S JEDNOM BINARNOM OPERACIJOM

Kao što je istaknuto u uvodnom poglavlju, algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom nazivamo grupoidima. Grupoid je skup snabdjeven binarnom operacijom. Ako skup označimo sa X a. binarnu operaciju u tom skupu sa · ,odgovarajući grupoid G se označava kao uređen par G=(X, ·). Umjesto a · b ponekad ćemo pisati ab.

Grupoidi sa izvjesnim osobinama imaju odgovarajuća imena.

Definicija 1. Grupoid G=(X, · ), gde je • asocijativna operacija, naziva se semigrupa (polugrupa). Semigrupa sa jediničnim elementom naziva se monoid.

Definicija 2. Grupoid G=(X, • ), u kome za svako a, b X postoji jedinstveno rješenje jednačina a · x=b i y · a=b (po x i y respektivno), naziva se kvazigrupa.

Definicija 3. Kvazigrupa sa jediničnim elementom naziva se lupa.

Definiciji 4. Grupoid G= (X, · ) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:

Uslov 1° označava asocijativnost grupoida. Element e, čija se egzistencija utvrđuje u 2°, naziva se jedinični ili neutralni element grupoida, odnosno grupe. Element a-1 iz uslova 3° naziva se inverzni element elementa a.

Napomena Sa aspekta kvantifikaforskog računa u definiciji 4 postoji izvjesna nepreciznost. Naime, u 2° je e promjenljiva a u 3° konstanta koja obilježava element čija se egzistencija utvrđuje u 2°. Ispravno bi bilo uslove 2° i 3° predstaviti jedinstvenom formulom na sledeći način

10

Slična napomena važi za definiciju 7 i definiciju 1 iz 7.3.

Ako u nekom grupoidu element a ima inverzni element onda se za a kaže da je invertibilan. Na osnovu ovog može se dati i sledeća definicija grupe koja je ekvivalentna sa prethodnom.

Definicija 5. Semigrupa sa jediničnim elementom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa.

Definicija 6. Grupa G=(X, • ) u kojoj je operacija komutativna naziva se komutativna grupa ili Abelova grupa.

Primjer 1. Skup racionalnih brojeva različitih od 0 snabdjeven operacijom množenja (brojeva) predstavlja

grupu. Takođe su i grupoidi grupe.

Mnogi grupoidi sa operacijom sabiranja brojeva predstavljaju grupe (vidjeti primer 2), pa se često i u opštem slučaju grupe za oznaku operacije koristi simbol +. Ako je operacija grupe označena sa • grupa se naziva multiplikativna a ako je upotrebljen znak + grupa se naziva aditivna. Razlika između multiplikativne i aditivne grupe nije suštinska već se ogleda samo u različitoj notaciji. Definicija 4 je u multiplikativnoj notaciji. U aditivnoj notaciji neutralni element se obilježava sa 0 a inverzni element elementa a sa —a. Tako dobijamo i sledeću definiciju grupe ekvivalentnu ranije navedenim definicijama.

Definicija 7. Grupoid G= (X, +) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:

Primjer 2. Poznati primjeri aditivnih grupa su grupoidi (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +).

Primer 3. Dokazati da skup S={1, 2, ... ,p—1}, gde je p prost broj, obrazuje grupu u odnosu na množenje po modulu p. (Dva cijela broja a i b se množe po modulu m na taj način što se najprije pomnože na uobičajeni način pa se dobijeni rezultat ab podijeli sa m; ostatak pri djeljenju se zove proizvod po modulu m brojeva a i b).

Obilježićemo sa množenje po modulu p. Skup S je očigledno zatvoren u odnosu na .Da bi dokazali asocijativnost operacije , tj: (a b) c=a (b c), dokazaćemo daje

(1)

Zaista, a b= ab (mod p) i a b=ab + kp za neki cijeli broj k. Dalje je (a b) c= (a b)·c (mod p), (a b)· c=abc+kcp=abc (mod p), što daje prvu od relacija (1). Na sličan način se dokazuje i druga relacija.

Jedinični element, naravno, postoji; to je broj 1.Da bi dokazali invertibilnost elemenata iz S posmatrajmo za fiksirano a sve proizvode

(2)

elementa a sa elemetirna iz S. Među tim proizvodima nema jednakih, jer ako bi bilo i a=j za i>i, imali bi

ia=ja (mod p), tj. , a ovo je nemoguće jer p je prost broj i 1<i-j <,p-2, l<a<p-1. Prema tome, jedan od

proizvoda iz (2), recimo b a; mora biti jednak 1. Dakle, b je lijevi inverzni element za a. Na osnovu komutativnosti operacije ,b je i desni inverzni element za a.

Dakle, (S, ) je grupa. Napomenimo da (S, ) ne predstavlja grupu ako p nije prost broj.

Svaka grupa je istovremeno semigrupa, kvazigrupa i lupa, obrnuto ne važi u opštem slučaju. U grupi su linearne jednačine (po x , odnosno y) ax=b i ya=b riješive. Ako se ove, jednačine pomnože sa a-1 sa lijeve odnosno desne strane dobijaju se rješenja Dakle, grupa je kvazigrupa. Kod kvazigrupe, međutim, riješivost pomenutih jednačina ne zavisi od postojanja inverzneg elementa a-1.

11

Cayleyjeve tablice kvazigrupa (X, ·) (uključujući i grupe) imaju sledeću interesantnu osobinu. U svakoj vrsti i svakoj koloni tablice svi elementi su različiti, što je uslovljeno jednoznačnom riješivošću linearnih jednačina. Svaka vrsta i svaka kolona određuje jednu permutaciju skupa X. Prema tome. Cayleyjeva tablica ko-načne kvazigrupe može se interpretirati kao latinski kvadrat.

7. ALGEBARKSE STRUKTURE S VIŠE OPERACIJA

PRSTEN

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gde su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1 (S, +) je Abelova grupa;

2 (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);

3 (tj. operacija ∙ je distributivna u odnosu na

operaciju +).

Neutralni element (aditivne) grupe (S, +) obilježava se sa 0 i zove se nula prstena (S, + , ∙ ). Inverzni element elementa a S u odnosu na operaciju + obilježava se sa -a, Umjesto a+(-b) piše se a-b. Operacije +, ∙ ne moraju, naravno, da budu sabiranje i množenje brojeva.

Primjer 1. Skup cijelih brojeva Z snabdjeven operacijama sabiranja i množenja predstavlja vrlo važaa primjer prstena. Osim (Z, +, ∙) postoje i drugi prsteni brojeva: (Q, +, ∙ ), (R, +, ∙ ), (C, +, ∙ ). U navedenim primjerima prsteni su beskonačni. Postoje i konačni prstenovi; na primjer, (M, , ), gdje je M ={ 1,2,..., m-1} a i označavaju sabiranje i množenje pomeduiu m, respektivno.

Teorema 1. U proizvoljnom prstenu (S, +, ∙ ) važi relacija

Dokaz. x ∙ 0 = x ∙ (0+0) = x ∙ 0 + x ∙ 0. Označavajući x ∙ 0 sa y dobijamo y=y+y. »Dodavanjem« elementa (- j) obijema stranama ove relacije dobija se y=0, tj. x ∙ 0 = 0. Na analogan način se dokazuje relacija 0 ∙ x = 0.Ovim jo dokaz završen.

Konstruisaćemo sve prstenove sa 1 i 2 elementa. Postoji samo jedan prsten sa jednim elementom. Obeležimo jedini element prstena sa 0. Cayleyjeve tablice za operacije + i ∙ su

Postoje dva prstena sa dva elementa

12

Aditivna grupa je u oba slučaja jedina grupa sa dva elementa (ciklička grupa), U konstrukciji Cayleyjevih tablica za ∙ teorema 1 ograničava broj mogućnosti. Prvi od ova dva prstena naziva se nula prsten. Drugi prsten je izomorfan sa prstenom ({0, 1}, , ) koji je konstruisan u vezi sa iskaznom algebrom. Izomorfnost se uviđa upoređivanjem Cayleyjevih tablica

sa ranije navedenim tablicama.Primjetimo da ovaj prsten ima neutralni (jedinični) element za drugu operaciju. Elementi ovog prstena su

idempotentni u odnosu na ∙ , tj. za svako x je x ∙ x = x.

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakie, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je ljevi (odnosno, desni) djelitelj nule ako postoji b 0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0). Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djelitelji nule naziva se oblast cjelih (ili područje integriteta).

Primjer 2. U prstenu ({0,1, 2, 3, 4, 5}, , ), gde odnosno označavaju sabiranje odnosno množenje po modulu 6, postoje djelitelji nule. Pošto je 2 3 = 3 2=0, 2 i 3 su djelitelji nule. Prsten (M, ,

) iz primjera 1 je oblast cjelih ako je m prost broj.

U području integriteta važi implikacija

Analogno pojmu podgrupe kod grupa uvodi se za prstenove pojam podprstena.

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ).

Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sledeći uslovi:1° (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x - y T.2° (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

Svaki prstenje podprsten samoga sebe. Takođe, skup koji sadrži samo nulu jednog prstena je podprsten tog prstena. Ovakvi podprstenovi nazivaju se trivijalni podprstenovi.Specijalni tipovi podprstena pojavljuju se prilikom generalizacije pojma relacije kongruencije po modulu prirodnog broja. Navedimo najprije neke osobine ove relacije definisane u skupu celih brojeva Z,

Relacija kongruencije po modulu m je relacija ekvivalencije u Z (vidjeti primjer 4 iz 1.3) i ona je saglasna sa operacijama + i ∙ u Z u sledećem smislu:

Drugim rečima klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju kongruencije po modulu m) zbira, odnosno proizvoda, dva cjela broja zavisi samo od klasa ekvivalencije tih brojeva a ne i od toga koje smo konkretne brojeve iz tih klasa ekvivalencije izabrali. (Ova osobina relacije kongruencije objašnjava na još jedan način zašto se takve osobine

13

operacija + i ∙ u Z, kao što je, na primjer, asocijativnost, preinose na operacije i sabiranja i množenja po modulu m iz primjera 3 iz 6.1. Vidjeti i primjer 1 iz ovog odeljka).

U proizvoljnoj algebarskoj strukturi pod relacijom kongruencije podrazumjeva se svaka relacija ekvivalencije koja je saglasna sa svim operacijama strukture.

Može se pokazati da je relacija kongruencije po modulu m jedina relacija kongruencije u prstenu cjelih brojeva.

U proizvoljnom prstenu relacije kongruencije se definišu pomoću specijalnih podprstenova koji se zovu ideali.

Definicija 6. Skup I se naziva ljevi, odnosno desni, ideal prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1° (1, +) je podgrupa grupe (S, +);

2° odnosno

Ako je I i ljevi i desni ideal, on se naziva ideal.

Očigledno je svaki ideal podprsten. U komutativnem prstenu je svaki ljevi ideal istovremeno i desni, i obrnuto.Idealski uslovi 2° iz definicije 6 se izražavaju pogodno pomoću

S ∙ I I, I - S I,

gde je uveden »proizvod« A ∙ B skupova A i B (A, B S) pomoću

U prstenu cjelih brojeva ideali su skupovi oblika Im={m ∙ a | a Z}. Za m=2 dobijamo da skup parnih brojeva predstavlja jedan ideal. Taj ideal je ujedno jedun od klasa ekvivalencije u odnosu na relaciju (mod 2).U proizvoljnom prstenu definiše se kongruencija po modulu nekog ideala.

Definicija 7. Neka je I ideal prstena (S, +, ∙ ). Relacija kongruencije po modulu ideala I u skupu S definiše se pomoću

Ideal je igra kod prstenova onu ulogu koju invarijantne podgrupe igraju kod grapa. (Uporediti relaciju kongruencije po modulu ideala sa relacijom kongruencije po modulu invarijantne podgrupe)!

Neka je S/I količnički skup skupa S u odnosu na relaciju kongruencije po modulu ideala I. Lako se uviđa da je

gdje je

Vidi se da je I+x klasa razvoja po invarijantnoj podgrupi (I,+) grupe (S, +).Skupovi I+x zovu se klase razvoja po idealu I.U skup S/I uvode se operacije i pomoću

Može se pokazati da su ovako definisane operacije »dobro«.definisane.Struktura (S|I, , ) je prsten koji se naziva količnički prsten. On je homo-

morfna slika polaznog prstena (S, +, ∙).

14

Primjer 3. Količnički prsten prstena (Z, +, ∙) u odnosu na ideal I=mZ={m ∙ n | n Z} je prsten ({0,1,2,... ,m-1}, , ) iz primera 1.

8. TEORIJA GRAFOVA

IZOMORFIZAM GRAFOVA

Definicija 1. Dva grafa su izomorfna ako postoji uzajamno jednoznačno preslikavanje skupova njihovih čvorova (iz jednog na drugi) koje održava osobinu susednosti čvorova.

Grafovi na sl. 1 su izomorfni, jer preslikavanje čvorova (x)=x' održava osobinu susjednosti. Za svaki par indeksa i, j(i j) neposredno možemo provjeriti da su parovi čvorova xi, xj i xi', xj' ili oba parovi susednih čvorova ili oba parovi nesusjednih čvorova.

Graf čije su dve reprezentacije prikazane na sl. 1 naziva se Petersenov graf. On igra veiika ulogu u teoriji grafova.

Lako se može pokazati da su i grafovi na sl. 2 izomorfni.

Definicija 2. Za proizvoljne grafove G1 = (X1, U1) i G2=(X2, U2) kažemo da su izomorfni ako i samo ako postoji biunivoko preslikavanje skupa X1 na skup X2 za koje važi

15

Ako se graf predstavlja pomoću tačaka i linija u trodimenzionalnom prostoru, dve grane se uvijek mogu predstaviti tako da se međusobno ne seku i ne dodiruju (izuzev u čvoru koji je zajednički za te dve grane).

Deformacija geometrijskog reprezenta grafa u trodimenzionalnom prostoru, pri kojoj se čvorovi, eventualno, pomeraju ali se međusobno ne preklapaju, a grane izdužuju, skraćuju i savijaju ali se ne prekidaju i ne sljepljuju sa drugim granama, naziva se neprekidna deformacija. Izomorfni grafovi mogu se pomoću neprekidne deformacije dovesti do geometrijske podudarnosti, ako se još dopusti proces pri kojem se grana otkida od jednog svog čvora ali se na kraju opet vezuje za taj čvor..

Da je ova poslednja operacija potrebna uviđa se na primjeru regularnog grafa stepena 2 sa dve komponente povezanosti. Pri geometrijskoj reprezentaciji dve konture ovog grafa mogu da se obuhvataju kao karike na lancu a mogu da budu i sasvim odvojene.

Definicija 3. Dva multigrafa G1=(X1, U1) i G2=(X2, U2) su izomorfna ako postoji bijekcija : X1→X2 sa osobinom da se za svako x i y iz X1 u multigrafu G1 nalazi točno onoliko grana oblika (x, y) koliko se u multigrafu G2 nalazi grana oblika ( (x), (y)).

Relacija izomorfnosti dva grafa (ili multigrafa) je refleksivna simetrična i tranzitivna (tj. graf je izomorfan sa samim sobom; ako je G1 izomorfan sa G2 onda je i graf G2 izomorfan sa grafom G1; ako je G1 izomorfno sa G2

a G2 sa G3, onda je i G1 izomorfno sa G3). Dakle, relacija izomorfnosti je relacija ekvivalencije u skupu svih grafova pa je možemo proglasiti za relaciju jednakosti grafova. Prema tome, grafovi su jednaki ako i samo ako su izomorfni.

Iz same definicije uviđamo da su izomorfni grafovi, u stvari, isti grafovi ali različito predstavljeni, odnosno nacrtani. Stoga je značajno pitanje kako možemo prepoznati graf, tj. utvrditi da li su dva grafa izomorfna. Interesantno je da do danas nije poznat odgovarajući algoritam bitno različit od neposrednog provjeravanja. Takav algoritam možda i ne može da postoji ako se ne ograničimo na neke specijalne klase grafova.

U vezi sa ovim je i pitanje načina zadavanja odnosno predstavljanja grafa. Nedostatke pokazuju svi navedeni načini, ali drugi bitno različiti načini zadavanja grafa, koji bi bili efikasniji, nisu poznati. Vjerovatno već iz ove činjenice proističu ogromne teškoće koje se pojavljuju pri rješavanju pojedinih problema.

Dok u neprekidnoj matematici izvod i integral, zasnovani na pojmu granične vrjednosti, rešavaju bezmalo sve probleme, u diskretnoj matematici, u koju spada i teorija grafova, još ne postoji (i pitanje je da li može da postoji) ni približno tako moćno sredstvo. Ovaj nedostatak se djelimično ali samo prividno otklanja upotrebom elektronskih računara, jer se u praksi već sada pojavljuju grafovi sa nekoliko stotina i više čvorova, čije tretiranje i za brzu elektronsku mašinu predstavlja krupan zadatak.

Težina problema izomorfizma grafova vidi se, donekle, iz sledećeg razmatranja. Očigledno je da izomorfni grafovi moraju imati isti broj čvorova i isti broj grana.

Međutim, ispunjenje ovih uslova ne garantuje da su grafovi izomorfni. Na sl. 3 je dat kontraprimjer u kojem dva neizomorfna grafa imaju svaki po četiri čvora i četiri grane.

Grafovi na sl. 3 imaju različite stepene čvorova, pa to navodi na pretpostavku da je, možda, za izomorfizam grafova dovoljno da su skupovi stepena njihovih čvorova jednaki.

Međutim, na sl. 4 su data dva neizomorfna grafa kod kojih svi čvorovi imaju stepen 3, pa se i ovaj kriterijum pokazuje kao nedovoljan

16

Izomorfni grafovi mogu imati različite matrice susedstva. Na sl. 5 su data dva izomorfna grafa (tj. jedan graf sa dve različite numeracije čvorova). Ovim grafovima odgovaraju matrice susedstva

Dakle, A1 A2. Međutim, iz načina formiranja matrice susjedstva vidi se da se različite matrice susjedstva istog grafa mogu dobijati jedna iz druge prenumeracijom čvorova grafa, odnosno permutovanjem vrsta i kolona matrica. Pri ovom je bitno da se ista permutacija primjenjuje i na vrste i na kolone. Tako, na primjer, A1 se može dobiti iz A2 ako se najpre u A2 prva vrsta stavi na mjesto treće, treća na mjesto druge i druga na mjesto prve, a zatim se iste operacije izvrše sa kolonama.

Formulisaćemo i analitički uslov izomorfnosti grafova čije su matrice susjedstva A1 i A2, Za to je potrebno objasniti pojam permutacione matrice.

Permutaciom matrica je kvadratna matrica koja u svakoj vrsti i svakoj koloni ima tačno jedan element koji je jednak jedinici, ostali, elementi matrice su jednaki nuli. Skup permutacionih matrica reda n obrazuje grupu izomoifnu sa simetričnom grupom reda n. Ako se matrica A pomnoži permutacionom matricom P sa desna, dobija se matrica koja nastaje iz A permutovanjem kolona. Permutovanje vrsta matrica A istom permutacijom može se postići ako se A pomnoži s ljeva matricom Pt.

17

Na osnovu izloženog, matrice susjedstva A1 i A2 izomorfnih grafova zadovoljavaju relaciju A1 =Pt A2 P, gde je P neka permutaciona matrica.Napominjemo da su permutacione matrice ortogonalne, tj.da je Pt=P-1,gdje je P-1 Inverzna matrica matrice P. Stoga se uslov izomorfnosti može formulisati I ovako:Grafivi čije su matrice susedstva A1 i A2 su izomorfni ako i samo ako postoji ptrmutaciona matrica P takva da je A1 = P-1 A2P.Za matrice susjedstva grafova na sl. 5. važi relacija A1=P-1A2P, gde je

Izomorfizam grafa sa samim sobom naziva se automorfizam. Skup svih automorfizama jednog grafa obrazuje grupu.

9. FORMALNE TEORIJE I IZRAČUNJLJIVOST

U cilju striktnog aksiomatskog fundiranja »običnih« matematičkih teorija (tj; onih koje su izložene »običnim« jezikom) uveden je u matematičkoj logici pojam formalne teorije. Formalna teorija neke matematičke discipline izlaže tu disciplinu formalno pomoću simbolike specijalno izgrađene za tu teoriju. Osim jezika u formalnim teorijama formalizovan je i način zaključivanja. Razvijanje formalne teorije liči stoga na neku igru koja se odvija po izvjesnim pravilima (na primjer, šah).

ledan od razloga za razvijanje formalnih teorija bila je pojava paradoksa u teoriji skupova početkom ovog veka. Formalnim zasnivanjem teorije skupova i drugih fundamentalnih matematičkih disciplina nastojalo se da se paradoksi eliminišu i eventualno utvrdi neprotivrečenost tih teorija. Time bi cjela matematika bila postav ljena na čvršće temelje.

U izgradnji formalnih teorija veliku ulogu igra pojam efektivnog postupka (algoritma). Ovaj pojam smo susretali i ranije. Na primjer, rekli smo da postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je formula iskazne algebre tautologija (postupak sa tablicama istinitosti). Sadržaj ovog pojma treba shvatiti više ili manje intuitivno. Ipak, postoje matematički modeli ovog pojma za koje se veruje da izražavaju upravo ono što se inače intuitivno shvata pod pojmom efektivni postupak.

U odjeljku 9.1. daje se opšta definicija formalne teorije dok se u odjeljku 9.2. navode primjeri formalnih teorija. U 9.3. se opisuju rekurzivne funkcije kao jedan od modela za pojam efektivnog postupka. Najzad se u 9.4. uvodi pojam aritmetizacije formalne teorije i pokazuje kako se problem efektivnog postupka za ispitivanje da li je jedna formula teorema (problem odlučnosti formalne teorije) svodi na problem izračunljivosti aritmetičkih funkcija.

10. RAČUN VJEROVATNOĆE

OPERACIJE S DOGAĐAJIMA

U ovom poglavlju ćemo, u skladu sa intencijama ove knjige, opisati one djelove računa vjerovatnoće koji se odnose na diskretne slučajne pojave.

18

Izlaganje osnova računa vjerovatnoće je jasnije ako se, umjesto primjera iz stavrnog života, radi sa primjerima iz raznih igara na sreću. Tako se u svim kursevi-ma teorije vjerovatnoće srećemo sa bacanjem novčića ili kockice za igranje, sa izvlačenjem različito obojenih kuglica iz kutije (model urni) ili sa izvlačenjem karata iz špila.

U svim navedenim primjerima se radi o jednoj slučajnoj pojavi koja može da ima više ishoda. Pri bacanju novčića on može da padne »grbom« ili »pismom« na gore. Na bačenoj kockici može da se pojavi jedna, dve, tri, četiri, pet ili šest tačkica. Ako iz špila od 32 karte nasumice izvučemo jednu, očigledno je da postoje 32 mo guća ishoda jer izvučena karta može da bude bilo koja karta.

Različite ishode jedne slučajne pojave zvaćemo elementarnim događajima. Pod događajem u smislu računa verovatnoće podrazumevamo bilo koji elementaran događaj (ishod) ili bilo koju grupu elementarnih događaja (ishoda) jedne slučajne pojave. Objasnićemo to na primjerima.

Pojavljivanje šestice prilikom bacanja kocke može da se smatra kao događaj. Isto se može reći za pojavljivanje jedinice, dvojke itd. Grupu elementarnih događaja dvojka — četvorka — šestica, takođe, možemo smatrati događajem koga bismo mogli nazvati: pojavljivanje parnog broja prilikom bacanja kocke.

Događaj »prilikom izvlačenja jedne karte iz špila karata izvučena karta je tref« se sastoji od osam elementarnih događaja jer izvučena karta može biti bilo koja od osam karata trefove boje. Događaj »izvučena karta je as« se očigledno sastoji od četiri elementarna događaja.Kao što je rečeno, događaje obeležavamo velikim slovima latinice.

Suprotan događaj događaju A, koji obeležavamo sa , i čitamo »non A«, definiše se kao događaj koji se sastoji od svih elementarnih događaja koji ne ulaze u A, 'Tako, na primjer, prilikom bacanja novčića događaj »ispao je grb«, je suprotan događaju »ispalo je pismo«. Za događaj »prilikom bacanja kocke pojavio se paran broj«'suprotan događaj je »pojavio se neparan broj«, tj. »pojavila se ili jedinica ili trojka ili petica«. Događaj se, dakle, sastoji u tome što se događaj A nije desio.

Zbir događaja A i B je događaj C koji se sastoji od svih elementarnih događaja koji ulaze bilo u događaj A bilo u događaj B. Tada se piše C=A+B. Na primjer, prilikom bacanja kocke zbir događaja »pojavio se paran broj« i događaja »pojavio se broj koji nije djeljiv sa tri« je događaj »nije se pojavila trojka«. Zaista, prvi događaj se sastoji od elementarnih događaja koje ćemo označiti redom sa 2, 4, 6a drugi od elementarnih događaja 1, 2, 4, 5. Zbir se sastoji, prema uvedenoj defi-niciji, od elementarnih događaja 1, 2, 4, 5, 6, što se kratko može formulisati pomoću nije se pojavila trojka«.

Zbir dva događaja A i B je, dakle, događaj koji nastaje nastupanjem ili događaja A ili događaja B ili i A i B zajedno.

Nasuprot ovome, proizvod događaja A i B je događaj C koji nastupa ako se dese i A i B. Elementarni događaji događaja C ulaze i u događaj A i u događaj B. Za proizvod se piše C=A∙B.

Proizvod već navedenih događaja »pojavio se paran broj« i »pojavio se broj koji nije djeljiv sa. tri« je događaj »pojavila se dvojka ili četvorka«. Zaista, 2 i 4 su j ed in i elementarni događaji koji se sadrže u prvom i u drugom događaju.

Pr i l ikom izvlačenja jedne karte iz špila karata proizvod događaja »izvučen je as« i događaj »izvučen je tref« je očigledno događaj »izvučen je trefov as«.

Operacije sa. događajima su, u stvari, operacije sa skupovima. Zbir događaja se svodi na uni ju skupova, proizvod na presjek a negaciji odgovara komplement skupa. Algebra događaja koji su u vezi sa jednom slučajnom pojavom je algebra skupova za koju je univerzalni skup jednak skupu elementarnih događaja posmatrane slučajne pojave.

Zbog navedenog, za operacije sa događajima važe sve relacije iz algebre skupova. Važnije od ovih relacija su već navedene u odjeljku 4.3. i neće ovde biti ponavljane.

Na primjer, prve dvije od relacija (1) iz 4.3. u kontekstu računa vjerovatnoće znače da je događaj A +

siguran a daje događaj A ∙ nemoguć.Za operaciju negacije važe relacije

19

11. ELEMENTI TEORIJE IGARA

MATRIČNE IGRE

Definicija pojma igre u najbpštijem slučaju izlazi iz okvira ove knjige. Umjesto toga opisaćemo jednu specijalnu klasu igara, tzv. matrične igre ili igre dva igrača sa zbirom nula. Na primjeru ovakvih igara izložićemo osnovne pojmove i probleme teorije Igara. Matrična igra je određena matricom

čiji su elementi realni brojevi. Matrica A se naziva

U igri učestvuju dva igrača X i Y. Igrač X bira jednu od vrsta matrice A a igrač Y jednu od njenih kolona. Izbor vrste i kolone vrši se nezavisno, tj. prilikom izbora nijedan od igrača ne zna šta će onaj dragi izabrati. Ako je igrač X izabrao i-tu vrstu a igrač Y j-tu. kolonu, broj aij izražava dobitak igrača X, odnosno gubitak igrača Y. Veličina — aij predstavlja dobitak igrača Y. Naziv »igre dva igrača i zbirom nula« potiče otuda što je zbir dobitaka igrača X i Y jednak nuli. Izborom vrste (igrač X) i kolone (igrač Y) i utvrđivanjem dobitka odnosno gubitka pojedittih igrača igra je završena.

Kako treba igrati ovu igru ? Odgovor na ovo pitanje daćemo postupno. Definisaćemo najprije pojam strategije.

U proizvoljnoj igri pod strategijom nekog igrača podrazumjeva se skup pravila, fiksiranih prije početka igre, na osnovu kojih igrač određuje svoje postupke u toku igre. (Podrazumeva se da se igra u opštem slučaju sastoji od više postupaka — poteza — koje izvode igrači te svaki igrač treba više puta u toku igre da donosi odluku o tome kako da nastavi igru).

Kod matričnih igara svaki igrač izvodi tačno jedan potez — izbor vrste ili kolone. Strategija igrača X koja, kada se primjeni u igri, dovodi do toga da igrač X izabere i-tu vrstu označava se sa xi. Analogno tome, yj je strategija igrača Y čijom primjenom u igri igrač Y bira j-tu kolonu. Ovakve strategije igrača se nazivaju čiste strategije. Osim čistih, postoje i druge strategije, o kojima će kasnije biti riječi.

Određivanje najboljih strategija zavisi od principa optimalnosti koji se uzima u obzir. Najčešće se usvaja kao princip da igru treba igrati tako da se postigne što je mogućno veći dobitak, odnosno da se gubitak svede na minimum. Uređen par strategija igrača X i Y pomoću kojih igrači X i Y postižu ovaj cilj naziva, se rješenja igre a takve strategije se nazivaju optimalne strategije. Rješenje igre U opširnom slučaju ne mora biti jedinstveno.

20