Diskretne strukture, Uvodno predavanjenasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P00-UVOD.pdf · Diskretna matematika Nasuprotmatematiˇckojanalizi, kojasebavikontinualnimprocesima,

Diskretna matematikaDiskretna matematikaDiskretna matematika

DISKRETNE STRUKTURE je jedan od nekoliko predmeta na studijama matematike i

informatike iz oblasti DISKRETNE MATEMATIKE, jedne od najaktuelnijih disciplina

savremene matematike.

DISKRETNA MATEMATIKA je deo matematike koji se bavi izucavanjem diskretnih

kolekcija objekata, pod cime se podrazumevaju kolekcije koje se sastoje od posebnih,

izolovanih ili nepovezanih objekata.

U takve kolekcije spadaju skupovi, relacije, funkcije, grafovi i stabla, celi i racionalni

brojevi, algebarske strukture, i mnogo sta drugo.

Matematicki kursevi zasnovani na materijalu koji se izucava u diskretnoj matematici

ukljucuju logiku, teoriju skupova, teoriju brojeva, linearnu algebru, apstraktnu algebru

(algebarske strukture), kombinatoriku, teoriju grafova, diskretnu verovatnocu, itd.

Osim toga, diskretna matematika predstavlja i ulaz u naprednije kurseve u svim mate-

matickim disciplinama.

DISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJE

Diskretna matematikaDiskretna matematikaDiskretna matematika

Nasuprot matematickoj analizi, koja se bavi kontinualnim procesima, procesima koji se

odlikuju neprekidnim tokom, diskretna matematika se bavi diskretnim procesima, pro-

cesima koji se sastoje od niza individualnih koraka.

Dok su ideje matematicke analize cinile osnovu nauke i tehnologije u doba industrijske

revolucije, ideje diskretne matematike cine osnovu nauke i tehnologije u eri racunara.

Kljucni razlog za to je taj sto se u racunarima informacije predstavljaju, obraduju i

cuvaju u diskretnom obliku.

Diskretna matematika obezbeduje matematicke osnove za mnoge oblasti racunarskih

nauka, kao sto su strukture podataka, dizajn i analiza algoritama, formalni jezici,

automati i izracunljivost, konstrukcija prevodilaca, kriptografija, vestacka inteligencija,

baze podataka, softversko inzinjerstvo, racunarske mreze, itd.

Da bi se razumele tehnike izracunavanja u buducnosti, danasnjim studentima je neop-

hodna jaka osnova u diskretnoj matematici.

Diskretna matematika obezbeduje matematicke osnove i za neke druge nauke, kao sto

su operaciona istrazivanja, hemija, biologija, inzinjerstvo, ekonomija, lingvistika i dr.


Diskretne struktureDiskretne struktureDiskretne strukture

DISKRETNE STRUKTURE predstavljaju prvi i osnovni kurs iz diskretne matematike

kako na studijama matematike, tako i na studijama informatike.

Ponegde se materija koju obuhvata ovaj kurs izucava u okviru kurseva sa drugacijim

nazivom, ali sadrzaj svih tih kurseva je najvecim delom isti i obuhvata sledece teme:

❏ osnove logike, odnosno, osnove iskazne i predikatske logike,

❏ tehnike dokazivanja,

❏ skupovi,

❏ relacije,

❏ funkcije,

❏ kardinali i osnove tehnike prebrojavanja, i drugo.



STA JE CILJ PREDMETA DISKRETNE STRUKTURE?

1) MATEMATICKO REZONOVANJE

Verovatno najvazniji cilj ovog predmeta je

❏ da pomogne studentima da razviju sposobnost da razmisljaju apstraktno,

❏ da im pomogne da razumeju i nauce da koriste matematicku argumentaciju.

To znaci da studenti treba da nauce

❏ da koriste logicki ispravne forme zakljucivanja,

❏ da izbegnu opste greske u zakljucivanju,

❏ da koriste osnovne tehnike i strategije dokazivanja,

❏ da sami izvode nove rezultate iz onih za koje je poznato da su tacni,

❏ da rade sa simbolickim izrazima kao sa konkretnim objektima, i drugo.



2) DISKRETNE STRUKTURE

Ovaj predmet takode treba da nauci studente kako raditi sa diskretnim strukturama –

sa apstraktnim matematickim strukturama koje se koriste za predstavljanje diskretnih

objekata i odnosa izmedu njih.

Konkretno, studenti treba da nauce da rade sa skupovima, relacijama, funkcijama,

grafovima, nizovima, matricama i drugim diskretnim matematickim objektima.

3) KOMBINATORNA ANALIZA

Kroz ovaj predmet studenti treba da steknu i jednu od najvaznijih vestina u resavanju

problema, a to je sposobnost da prebroje i numerisu objekte.

Drugim recima, studenti treba da se upoznaju sa osnovnim tehnikama prebrojavanja.

Pri tome, naglasak je ne u primeni gotovih formula, vec u sprovodenju kombinatorne

analize u resavanju problema prebrojavanja.



4) ALGORITAMSKO MISLJENJE

Kroz ovaj, kao i kroz neke druge predmete, studenti matematike, a posebno studenti

informatike, treba da nauce i da algoritamski razmisljaju.

Matematicki deo ove aktivnosti obuhvata konstrukciju algoritma, verifikaciju da on

radi dobro, i eventualno, analizu koliko je memorijskog prostora i vremena potrebno

racunaru da bi ga izvrsio.

5) PRIMENE I MODELIRANJE

Jedan od zadataka ovog predmeta je i da se studenti upoznaju sa primenama konce-

pata i rezultata diskretne matematike u matematickim, racunarskim i drugim naukama,

kao i da se nauce da ih i sami primenjuju.

Znacajnu ulogu u tome treba da igraju i brojni dobri primeri iz istorije matematickih,

racunarskih i drugih nauka.


Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike

OSNOVE LOGIKE je jedna od glavnih oblasti predmeta DISKRETNE STRUKTURE.

Kao sto smo rekli, osnovni zadatak ove oblasti je da studentima pomogne da razumeju

i nauce da koriste matematicku argumentaciju.

Drugim recima, studenti treba da

❏ nauce da koriste logicki ispravne forme zakljucivanja,

❏ nauce da izbegnu opste greske u zakljucivanju,

❏ steknu rutinu u radu sa simbolickim izrazima, i drugo.

Ova oblast obuhvata osnovne elemente

❏ ISKAZNE LOGIKE, i

❏ PREDIKATSKE LOGIKE.



IZ ISTORIJE LOGIKE

Logika je kao nauka zasnovana u 4. veku p.n.e. u delu

ORGANON grckog filozofa ARISTOTELA.

Aristotel je u tom delu sistematizovao dotadasnja znanja

u ovoj oblasti, i sacinio prvu kolekciju pravila deduktiv-

nog zakljucivanja.

Ta pravila su, po njemu, trebala da budu orude kojim bi

se sluzile druge nauke.

Aristotle

384–322 BC

Inace, i sam naziv “Organon” znaci “orude”.



Nakon Aristotela, dugo vremena nije bilo nekog znacajnog napretka u razvoju logike.

Stagnacija logike trajala je vise od dve hiljade godina.

Jedan od onih koji su se najvise trudili da se logika izvuce

iz stagnacije bio je poznati nemacki matematicar i filozof

GOTFRID LAJBNIC.

Lajbnic je smatrao da osnovni uzrok stagnacije logike lezi

u jeziku kojim se ona koristi

Gottfried Wilhelm von Leibniz

1596–1650



Lajbnic je tvrdio da prirodni jezik, kojim se logika do tada sluzila, nije pogodan za

dalji razvoj logike, i da logika treba da se sluzi nekim specijalnim simbolickim jezikom,

slicnim jeziku matematike.

On je smatrao da bi se koriscenjem simbola proces deduktivnog zakljucivanja mogao

mehanizovati na slican nacin kao sto je koriscenje algebarske simbolike mehanizovalo

proces racunanja sa brojevima.

Prema njemu, logiku bi, po uzoru na aritmetiku, trebalo organizovati u takav sistem,

sa takvim pravilima, da funkcionise kao racun.

Na zalost, Lajbnic nije uspeo da realizuje te svoje ideje.

Njegovi spisi nisu cak ni publikovani, i otkriveni su tek 1905. godine, kada je problem

vec bio resen, i to upravo na nacin koji je on predlagao.



Neznajuci za Lajbnicove ideje, do slicnih ideja je, dva veka kasnije, dosao britanski

matematicar DZORDZ BUL.

Bul je pokrenuo logiku iz stagnacije prevevsi je na jezik

MATEMATIKE, odnosno na jezik ALGEBRE.

Na taj nacin je stvorena nova matematicka teorija koju

danas zovemo

MATEMATICKA LOGIKA

ili

SIMBOLICKA LOGIKA.

George Boole

1815–1864



Od sredine 19. veka pa do danas, matematicka logika se razvijala veoma intenzivno,

i razvila se u veoma znacajnu matematicku disciplinu, koja obezbeduje teoretske

osnove za mnoge oblasti matematickih i racunarskih nauka.

Posebno znacajnu ulogu matematicka logika je odigrala u procesu nastanka i razvoja

digitalnih elektronskih racunara.

Americki matematicar i elektro-inzenjer KLOD SENON

je 1930-tih godina pokazao kako se Bulove logicke ope-

racije i binarna aritmetika mogu upotrebiti u dizajniranju

slozenih prekidackih elektronskih kola.

Tako su nastala tzv. digitalna logicka kola, osnovne kom-

ponente iz kojih se grade savremeni digitalni elektronski

racunari.

Claude Shannon

1916–2001



U savremenim digitalnim racunarima informacije se predstavljaju dvema ciframa 0 i 1,

koje se nazivaju binarne cifre, ili skraceno bitovi.

Cifre 0 i 1 takode predstavljaju i logicke vrednosti netacno i tacno, tim redom, pa

se sve operacije sa bitovima koje vrse digitalni racunari svode na logicke operacije sa

bitovima.

Osim sto lezi u samoj osnovi racunarskih nauka, matematicka logika ima znacajne

primene i u drugim oblastima racunarskih nauka.

Na primer, matematicka logika predstavlja teoretsku osnovu

❏ relacionih baza podataka,

❏ teorije formalnih jezika, automata i izracunljivosti,

❏ vestacke inteligencije,

i mnogih drugih oblasti.



U delu ovog predmeta koji se bavi iskaznom logikom bavicemo se

❏ iskazima i logickim veznicima, pomocu kojih iz jednostavnijih formiramo slozenije

iskaze,

❏ iskaznim formulama, pomocu kojih iskaze predstavljamo na simbolicki nacin;

❏ nacinima na koje se iskaznim formulama dodeljuje istinitosna vrednost, kao i

istinitosnim tablicama, pomocu kojih se te istinitosne vrednosti izracunavaju;

❏ tautologijama, iskaznim formulama koje su tacne u svim svojim interpretacijama,

i kontradikcijama, formulama koje su netacne u svim svojim interpretacijama;

❏ logicki ekvivalentnim formulama, formulama koje imaju iste istinitosne vrednosti

u svim svojim interpretacijama;

❏ logickom argumentacijom, tj. postupcima za razlikovanje ispravne i neispravne

argumentacije;

❏ osnovnim pravilima zakljucivanja, i najcescim greskama u zakljucivanju;

i mnogim drugim pitanjima.



U delu ovog predmeta koji se bavi predikatskom logikom bavicemo se

❏ predikatima, pomocu kojih izrazavamo svojstva koja mogu imati izvesni objekti,

kao i odnose izmedu objekata;

❏ kvantifikatorima, preciznije univerzalnim i egzistencijalnim kvantifikatorom, pomo-

cu kojih, neformalno govoreci, naznacujemo koliko cesto je neko tvrdenje tacno;

❏ negacijom kvantifikatora i kombinovanjem kvantifikatora;

❏ predikatskim formulama, formulama izgradenim uz pomoc logickih veznika i kvan-

tifikatora, i simbola kojima izrazavamo razne operacije i odnose izmedu objekata,

❏ argumentacijom u predikatskoj logici, kao i osnovnim pravilima zakljucivanja u

predikatskoj logici;

❏ primenama predikatske logike, poput primena u programiranju u logici (skraceno

PROLOG), u vestackoj inteligenciji, itd;

i mnogim drugim pitanjima.


Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja

Kao sto smo ranije rekli, TEHNIKE DOKAZIVANJA je oblast predmeta DISKRETNE

STRUKTURE u okviru koje studenti treba da nauce

❏ da koriste osnovne tehnike i strategije dokazivanja, kao

❏ da sami izvode nove rezultate iz onih za koje je poznato da su tacni.

Pored toga, studenti treba da nauce i

❏ kako se, na pravilan nacin, u matematici uvode novi pojmovi, odnosno, kako se

pravilno koriste matematicke definicije;

❏ koji su osnovni principi na kojima se temelji organizacija svih matematickih teorija.

Pravilna upotreba matematickih dokaza je od sustinskog znacaja za bavljenje matema-

tikom, kao i informatikom, koja je iz nje proizisla, jer vise od 2000 godina DOKAZ

predstavlja ”zastitni znak” matematike.



IZ ISTORIJE DEDUKTIVNOG METODA

Prvi koji je upotrebio deduktivni nacin zakljucivanja bio

je TALES, prvi iz plejade cuvenih grckih filozofa.

Tales je dedukciju upotrebio dokazavsi nekoliko teorema

o podudarnosti trouglova.

Kasnije su njegovu ideju prihvatili i mnogi drugi, pocev

od PITAGORE i drugih pripadnika njegove skole.

Pitagorino ime nosi i najcuvenija teorema u istoriji mate-

matike, koju je on dokazao.

Thales of Miletus

624–547 BC

Inace, Pitagorina teorema je bila poznata i ranije, ali ju je Pitagora prvi dokazao

deduktivnim putem.



Iako se deduktivni metod poceo koristiti sa Talesom, on se nije koristio na organizovan

nacin, kako se to radi danas.

Drugim recima, iako se u matematici tog doba koristila dedukcija, matematika nije

bila organizovana kao DEDUKTIVNA TEORIJA.

Osnovne principe deduktivne organizacije matematic-

kih teorija postavio je u 3. veku p.n.e. grcki matema-

ticar EUKLID.

U svom cuvenom delu ELEMENTI Euklid je izlozio

geometriju kao AKSIOMATSKU TEORIJU.

Ta njegova teorija i danas predstavlja model po kome

se organizuju matematicke teorije.

Euclid of Alexandria

325–265 BC



Inace, osnovni principi deduktivne organizacije matematickih teorija su relativno jed-

nostavni:

❏ U jednoj deduktivnoj teoriji nije moguce sve definisati. Zato postoje termini teo-

rije koji se ne definisu, koje nazivamo OSNOVNI ili PRIMITIVNI TERMINI.

Svi ostali termini date teorije moraju se DEFINISATI, a u definicijama smemo

koristiti samo osnovne termine i one termine koji su prethodno definisani.

❏ U jednoj deduktivnoj teoriji nije moguce sve dokazati. Zato postoje tvrdenja koja

se ne dokazuju, koje nazivamo AKSIOME.

Sva ostala tvrdenja date teorije moraju se DOKAZATI, pri cemu je u dokazima

dozvoljeno koristiti samo aksiome i ona tvrdenja koja su prethodno dokazana.

U ovom predmetu detaljnije cemo se pozabaviti matematickim teorijama, osnovnim

principima njihove deduktivne organizacije, matematickim definicijama i dokazima.



Dalje, govoricemo i o osnovnim metodima dokazivanja teorema.

Pre svega, govoricemo o

❏ podeli dokaza na direktne i indirektne dokaze, i o tome u kojim slucajevima

koristiti jedne, a u kojim druge;

❏ upotrebi dokaza svodenjem na kontradikciju;

❏ upotrebi dokaza podelom na slucajeve;

❏ dokazima oblika produzene implikacije;

❏ dokazivanju ekvivalencija;

❏ dokazima oblika ciklicne implikacije;

❏ dokazima oblika produzene ekvivalencije;

i drugim metodama dokazivanja.



Posebna paznja bice posvecena teoremama u kojima se koriste kvantifikatori.

Govoricemo o

❏ dokazima egzistencije, gde se dokazuje da postoji objekat sa izvesnim svojstvima,

i o dokazima jedinstvenosti, gde se dokazuje da postoji tacno jedan takav objekat;

❏ dokazivanju teorema sa univerzalnim kvantifikatorom (”za svaki”), i to metodom

iscrpljivanja i metodom generalizacije iz generickog primerka;

❏ opovrgivanju kontraprimerom, koje se koristi za dokazivanje netacnosti tvrdenja

sa univerzalnim kvantifikatorom, kao i o opovrgivanju tvrdenja o egzistenciji;

i drugim metodama dokazivanja teorema sa kvantifikatorima.

Takode, bice reci i o greskama u dokazivanju koje se najcesce prave.



Pored metoda dokazivanja, bice reci i o nekim od osnovnih strategija dokazivanja:

❏ o rezonovanju unapred i unazad;

❏ o ojacavanju dokaza podelom na slucajeve;

❏ o prilagodavanju postojecih dokaza; itd.

Verovatno najsire koriscen metod dokazivanja je dokaz matematickom indukcijom.

Ovde ce biti reci

❏ o principu matematicke indukcije, na kome se ovaj metod dokazivanja temelji;

❏ o razlici izmedu proste indukcije i jake indukcije;

❏ o visestrukoj indukciji; itd.



Na kraju dela koji se bavi tehnikama dokazivanja bice reci o matematickim definicijama,

gde cemo govoriti

❏ o tome kako se pravilno definisu matematicki pojmovi;

❏ o direktnim (eksplicitnim) i indirektnim (implicitnim) definicijama;

❏ o rekurzivnim (induktivnim) definicijama;

❏ kao i o strukturnoj indukciji, vidu matematicke indukcije koji se koristi za dokazi-

vanje tvrdenja koja se ticu rekurzivno definisanih objekata.


SkupoviSkupoviSkupovi

Svakako najznacajniju matematicku strukturu cine SKUPOVI, a TEORIJA SKUPOVA,

koja se bavi njihovim izucavanjem, zajedno sa LOGIKOM, i TEORIJAMA RELACIJA

i FUNKCIJA, predstavlja osnovu citave matematike.

U drugoj polovini 19. veka matematicari su se poceli jace

interesovati za apstraktna svojstva skupova.

To interesovanje dovelo je do nastanka nove matema-

ticke discipline – APSTRAKTNE TEORIJE SKUPOVA.

Njen tvorac bio je GEORG KANTOR, nemacki matema-

ticar .

Georg Cantor

1845–1918



Osnovna ideja apstraktne teorije skupova je izucavanje opstih svojstava skupova,

nezavisno od specificnih svojstava elemenata koji ih cine.

To znaci da nekog ko se bavi ovom oblascu ne zanima toliko kakva je priroda eleme-

nata koji cine neki skup, vec ih vise zanima u kakvim su odnosima ti elementi.

Ova ideja dovela je ne samo do nastanka apstraktne teorije skupova, vec i do

izucavanja mnogih drugih novih, znacajnih matematickih struktura, kao sto su

❏ apstraktne algebarske strukture;

❏ apstraktni geometrijski prostori;

❏ apstraktni topoloski prostori;

i druge.



Da bi sa uspehom savladao ostale predmete na studijama, jedan student matematike

ili informatike mora da stekne osnovna znanja

❏ o zadavanju i predstavljanju skupova;

❏ o jednakosti skupova i inkluziji skupova;

❏ o osnovnim skupovnim operacijama: razlici skupova, preseku skupova, uniji

skupova i komplementu skupa, kao i o medusobnim odnosima ovih operacija;

❏ o partitivnom skupu datog skupa;

❏ o pojmu uredenog para, uredene n-torke i Dekartovog proizvoda skupova;

❏ o pojmovima familije skupova, preseka familije skupova i unije familije skupova,

i drugim konceptima teorije skupova.

Sve ovo bice obradivano u okviru ovog predmeta.


RelacijeRelacijeRelacije

U raznim oblastima se cesto javlja potreba da se izmedu izvesnih objekata uspostave

izvesne veze ili odnosi.

Na primer, cesto se javlja potreba

❏ da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,

❏ da se poredaju u skladu sa nekim pravilom,

❏ da se odrede izvesne slicnosti izmedu objekata, i da se oni grupisu u grupe

medusobno slicnih objekata, itd.

U matematici se sve ovo moze uraditi koriscenjem matematickog pojma RELACIJE,

kome je posvecen i znacajan deo predmeta DISKRETNE STRUKTURE.



U okviru ovog predmeta, studenti treba da steknu znanja

❏ o raznim nacinima predstavljanja relacija, kao sto su graficko predstavljanje i

predstavljanje Bulovim matricama;

❏ o grafovima, i njihovom odnosu sa relacijama;

❏ o nekim vaznim relacijama, kao sto su prazna relacija, univerzalna relacija i

identicka relacija (jednakost, dijagonala);

❏ o jednakosti relacija i inkluziji relacija;

❏ o osnovnim operacijama sa relacijama - uniji relacija, preseku relacija,

komplementu relacije i inverznoj relaciji;

❏ o kompoziciji relacija i njenoj asocijativnosti;

❏ o osnovnim svojstvima koja mogu imati relacije: refleksivnosti, simetricnosti,

antisimetricnosti i tranzitivnosti;

❏ o tranzitivnom zatvorenju relacije, i njegovim vezama sa putevima u grafu; itd.



Centralno mesto u izucavanju relacija, kao i njihovoj primeni, zauzimaju dva specijalna

tipa relacija: RELACIJE EKVIVALENCIJE i RELACIJE PORETKA ili UREDJENJA.

Uloga RELACIJA EKVIVALENCIJE je da se pomocu njih izraze odredene slicnosti

izmedu nekih objekata, i da se ti objekti grupisu u grupe medusobno slicnih objekata.

Istorijski gledano, prva relacija ekvivalencije koja je kao

takva izucavana bila je relacija na skupu celih brojeva po-

znata kao kongruencija po modulu prirodnog broja n.

Uveo ju je cuveni nemacki matematicar KARL FRIDRIH

GAUS, 1801. godine.

Carl Friedrich Gauss

1777–1855



Vezano za relacije ekvivalencije, studenti treba da se upoznaju

❏ sa osnovnim primerima relacija ekvivalencije, ukljucujuci i napred pomenutu

kongruenciju po modulu prirodnog broja n;

❏ sa pojmom klase ekvivalencije, sa razbijanjem skupa na klase medusobno ekvi-

valentnih elemenata, i pojmom particije skupa;

❏ sa prirodnom vezom koja postoji izmedu relacija ekvivalencije i particija skupa;

❏ sa pojmom faktor skupa, i da shvate njegov prakticni znacaj; itd.



Drugi vazan specijalan tip relacija su RELACIJE PORETKA ili UREDJENJA.

Njihova uloga je

❏ da se pomocu njih izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu;

❏ da se pomocu njih izvesni objekti poredaju u skladu sa nekim pravilom; itd.

Vezano za relacije poretka, studenti treba da steknu osnovna znanja

❏ o parcijalno uredenim skupovima i nacinima za njihovo predstavljanje;

❏ o linearno (totalno) uredenim skupovima;

❏ o minimalnim elementima i najmanjim elementima uredenih skupova, i da nauce

da prave razliku izmedu njih, kao i o maksimalnim i najvecim elementima;

❏ o donjim i gornjim granicama skupa, i o infimumu i supremumu skupa;

❏ o nekim vaznim uredenjima na recima (stringovima), kao sto su prefiks, sufiks,

faktor, leksikografsko i alfabetsko uredenje; itd.


FunkcijeFunkcijeFunkcije

FUNKCIJE ili PRESLIKAVANJA predstavljaju jos jedan vazan pojam koji se koristi u

svim oblastima matematike i racunarskih nauka, kao i u drugim naukama.

Pojam funkcije vodi poreklo od pojma funkcionalne zavisnosti, pod cime se podrazu-

meva zavisnost jedne promenljive velicine od druge.

Takav oblik zavisnosti srecemo jos u najranijim stadijumima razvoja matematike, pre

svega u vidu tablica kojima se od pamtiveka izrazavala zavisnost dveju velicina.

Medutim, jasna predstava o pojmu funkcionalne zavisnosti stvorena je tek radom mate-

maticara 17. veka, kada je zapocelo intenzivno izucavanje FUNKCIJA kao sredstva

za izrazavanje te funkcionalne zavisnosti.

Sa pojavom apstraktne teorije skupova, FUNKCIJE ili PRESLIKAVANJA, kako ih jos

nazivamo, dobile su takode svoju apstraktnu interpretaciju.

Naime, tada je funkcija izmedu dva skupa definisana kao pridruzivanje koje svakom

elementu prvog skupa dodeljuje tacno jedan element drugog skupa.



Takode, funkcije se mogu shvatiti i kao transformacije, koje jedan skup transformisu

u drugi.

Tako shvacene, funkcije su dobile i veoma znacajne primene u

❏ geometriji i topologiji, gde se izucavaju razne transformacije geometrijskih i

topoloskih prostora;

❏ fizici, gde se razni fizicki procesi u prirodi mogu predstaviti preko transformacija.

U okviru ovog predmeta, izucavanje funkcija zapocinje se izucavanjem opstijeg pojma

KORESPONDENCIJE – relacije izmedju elemenata dva skupa.

Potom se funkcije definisu kao korespondencije sa izvesnim specijalnim svojstvima.



Ono sto studenti u okviru predmeta DISKRETNE STRUKTURE treba da nauce o

FUNKCIJAMA je sledece:

❏ sta su funkcije, i kako razlikovati one korespondencije koje jesu i one koje nisu

funkcije;

❏ kako se funkcije oznacavaju i predstavljaju, kada su dve funkcije jednake, sta su

restrikcija i prosirenje funkcije;

❏ kako se funkcije mogu nadovezati jedna na drugu, tj. formirati kompozicija funkcija,

i koja su osnovna svojstva kompozicije;

❏ kako se kompozicija funkcija moze interpretirati i prakticno primenjivati;

❏ sta je to identicka funkcija, i koja su njena osnovna svojstva;

❏ sta su to injektivne, surjektivne i bijektivne funkcije, i kako ustanoviti da li data

funkcija ima jedno od tih svojstava;

❏ sta je to inverzna funkcija, pod kojim uslovima ona postoji i kako se izracunava;

❏ sta je to jezgro funkcije, i koji je prakticni znacaj tog pojma.



Posebna paznja posvecena je bijektivnim funkcijama, ili ekvivalentno, funkcijama koje

poseduju inverznu funkciju, pre svega zbog izuzetno znacajnih primena koje one imaju

u raznim oblastima, kao sto su:

❏ fizika, gde se koriste za opisivanje povratnih procesa;

❏ geometrija, gde se koriste za opisivanje vecine geometrijskih transformacija;

❏ kriptografija i kodiranje, gde se informacije sifruju, odnosno kodiraju, bijektivnom

funkcijom, da bi se inverznom funkcijom mogle desifrovati, odnosno dekodirati;

❏ kombinatorika, gde se prebrojavanje objekata vrsi bijektivnim funkcijama, i gde

se permutacije definisu kao bijekcije konacnih skupova.

Konacno, u okviru ovog predmeta studenti ce biti upoznati i sa nekim fundamentalnim

matematickim pojmovima koji se definisu kao posebne vrste funkcija, kao sto su:

❏ algebarske operacije;

❏ konacni, beskonacni i visedimenzionalni nizovi, i matrice;

❏ Dekartov proizvod familije skupova.


Kardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanje

Istorijski, pojam KARDINALNOG BROJA je uveden da bi se pomocu njega mogla opi-

sati velicina skupova, odnosno da bi se skupovi mogli uporedivati po velicini.

Pocev od najprimitivnijih tehnika predstavljanja brojeva prstima ili urezanim znacima,

prebrojavanje elemenata skupa, odnosno uporedivanje skupova po broju elemenata,

vrsi se uz pomoc bijektivnih funkcija.

Do punog izrazaja, bijektivne funkcije dosle su u radu sa beskonacnim skupovima.

Jos u 17. veku, cuveni italijanski fizicar i matematicar Galileo

Galilej je primetio da kod beskonacnog skupa, njegov pravi

podskup moze biti iste velicine kao i ceo skup.

Kasnije, u 19. veku, primeceno je i da svi beskonacni skupovi

nisu iste velicine, da neki beskonacni skupovi mogu biti veci

od drugih.

Galileo Galilei

1564–1642



Naime, Georg Kantor je dokazao cuvenu teoremu koja kaze da skup prirodnih brojeva

i skup realnih brojeva nemaju istu velicinu, da je realnih brojeva ”vise” nego prirodnih.

To je dovelo do intenzivnog razvoja teorije kardinalnih brojeva u drugoj polovini 19.

veka i u 20. veku, i u ovom predmetu bice obradeni i osnovni elementi te teorije.

Vezano za KARDINALE, studenti ovde treba da saznaju:

❏ sta znaci da su dva skupa ekvipotentna (iste moci);

❏ kako se formalno definisu pojmovi konacnog i beskonacnog skupa, prebrojivog i

neprebrojivog skupa;

❏ kako se dokazuje neprebrojivost skupa realnih brojeva;

❏ kako se formalno definise kardinalni broj skupa, i kako se kardinalni brojevi ureduju;

❏ kako se vrse operacije sabiranja, mnozenja i stepenovanja kardinalnih brojeva;

❏ koji su najznacajniji beskonacni kardinalni brojevi, i kakav je njihov medusobni

odnos.



U okviru predmeta DISKRETNE STRUKTURE govorice se i o osnovnim principima

PREBROJAVANJA konacnih skupova.

Vezano za PRINCIPE PREBROJAVANJA, studenti ovde treba da saznaju:

❏ kako se formalno, matematicki definise pojam prebrojavanja;

❏ o osnovnim principima prebrojavanja

➠ principu jednakosti;

➠ principu zbira;

➠ principu proizvoda;

➠ Dirihleovom principu, odnosno principu postanskog sanduceta;

➠ principu ukljucenja-iskljucenja;

i drugo.


Documents

Diskretne strukture, Uvodno predavanjenasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P00-UVOD.pdf · Diskretna matematika Nasuprotmatematiˇckojanalizi, kojasebavikontinualnimprocesima,