1

Doc. dr Neli Kristina Todorovi ć-Vasovi ć

Aleksandra Jesenko Rokvi ć

Praktikum za eksperimentalne vežbe iz

fizike

Beograd, 2011

2

3

Uvod

‚‚Nauka počinje tamo gde počinje merenje“ D.I.Mendeljejev (1834-1907)

Merenje predstavlja postupak (niz postupaka) kojim se vrši uporeñivanje neke fizičke veličine A sa drugom istorodnom veličinom [A] koja je usvojena za jedinicu mere. Rezultat merenja je broj A koji se naziva brojna vrednost i koji pokazuje koliko odgovarajućih jedinica sadrži merena fizička veličina. Odnosno,

A = A[A]

fizička brojna jedinica veličina vrednost mere

Na primer: m = 20 kg

Dakle, da bismo nešto izmerili mora postojati jedinica mere za svaku fizičku veličinu i procedura za uporeñivanje vrednosti fizičke veličine sa tom jedinicom mere. Zbog prvog zahteva postoji čitav niz sistema jedinica, od kojih je danas zvanično usvojen (i propisan zakonom) Meñunarodni sistem jedinica (SI sistem), a zbog drugog imamo veliki broj instrumenata i metoda za merenje svake fizičke veličine.

Pre uvoñenja metra, postojao je veliki broj različitih mernih sistema. Ti različiti sistemi mera razlikovali su se ne samo meñu državama, nego i u gradovima iste države, pa čak i po strukovnim udruženjima. Razvoj nauke, meñunarodne trgovine i saradnje ukazivali su na potrebu za donošenjem jedinstvenog mernog sistema, za čije će osnove biti izabrane prirodne veličine za koje se zna da se tokom dužeg vremenskog perioda neće menjati a koje se mogu lako reprodukovati i kontrolisati. Na osnovu toga, Francuska akademija nauka 1793. predlaže da se za mernu jedinicu dužine uzme metar, kao desetomilioniti deo jedne četvrtine Zemljinog meridijana, što pokreće uvoñenje metarskog sistema mera. Godine 1875. u Parizu 16 država potpisuje Metarsku konvenciju, osnovni metrološki dokument decimalnog metarskog sistema. Prema ovoj konvenciji, osnovna merna jedinica za dužinu je metar a za masu kilogram. Kneževina Srbija im se priključuje 1879. Zakon o merama u Srbiji je donet 1873. godine i to je početak zakonske metrologije u Srbiji.

4

Nauka koja se bavi metodama merenja fizičkih veličina, realizacijom i održavanjem etalona fizičkih veličina, razvojem sredstava za merenje i obradom rezultata merenja (obradom podataka merenja i procenom nesigurnosti dobijenih rezultata) naziva se metrologija.

Meñunarodni sistem jedinica (SI sistem) se sastoji od:

• osnovnih fizičkih veličina (nezavisne, raznorodne fizičke veličine pomoću kojih je moguće izraziti sve ostale fizičke veličine)

• izvedenih fizičkih veličina

Osnovne fizičke veličine SI sistema prikazane su u tabeli 1.

VELIČINA OZNAKA VELIČINE JEDINICA

OZNAKA JEDINICE

Dužina l metar m

Masa m kilogram kg

Vreme t sekund s

termodinamička temperatura T kelvin K

jačina el. struje I amper A

jačina svetlosti J kandela cd

količina supstance n mol mol

Tabela 1. Osnovne fizičke veličine SI sistema

Za jedinice SI sistema koriste se prefiksi. Jedninica izvedena njihovom upotrebom, u odnosu na osnovnu jedinicu, umnožena je odgovarajućim eksponentom broja 10. U tabeli 2 navešćemo prefikse, njihove oznake i vrednosti multiplikativnih faktora.

5

PREFIKS OZNAKA FAKTOR

eksa E 1810

peta P 1510

tera T 1210

giga G 910

mega M 610

kilo k 310

hekto h 210

deka da 110

deci d 110−

centi c 210−

mili m 310−

mikro µ 610−

nano n 910−

piko p 1210−

femto f 1510−

ato a 1810−

Tabela 2. Prefiksi jedinica SI sistema

Jedna od važnih osobina rezultata merenja je da se oni ne mogu dobiti sa proizvoljno velikom tačnošću. Brojevi koji su dobijeni kao rezultat merenja su približni brojevi i oni se mogu izraziti samo sa ograničenim brojem cifara čija je tačnost zagarantovana.

Svaki rezultat izvršenog merenja nije kompletan ako ne postoji informacija o tačnosti merenja. Na problem nailazimo već pri usvojenoj definiciji apsolutne greške koju smo predstavljali kao apsolutnu vrednost razlike izmerene i tačne vrednosti:

Tii XX −=∆ (1)

Osnovni problem u ovoj definiciji je to što tačna vrednost nije poznata. Zato se u praksi pod tačnom vrednošću najčešće podrazumeva dogovorena tačna vrednost a to je ona vrednost merene veličine koja je dobijena najtačnijim dostupnim mernim postupkom.

Meñunarodni propisi koji se odnose na oblast izražavanja nesigurnosti eksperimentalnih rezultata, pojavili su se još 1993. godine u zajedničkom izdanju vodećih organizacija meñunarodnog metrološkog sistema pod nazivom Uputstvo za izražavanje merne nesigurnosti.

Da bismo uspešno pratili svetske tokove u metrologiji potrebno je u ovom uvodnom delu predstaviti suštinu gore navedenih obavezujućih propisa. Zašto je poznavanje osnovnih pravila u metrologiji veoma bitno za farmaceute? Zbog toga što je proces merenja veoma prisutan u farmaciji i što je pojam greške merenja u ovoj nauci veoma važan ako uzmemo u obzir da greške mogu biti kobne. Poznavanje principa merenja olakšava pristupanje obradi

6

mernih rezultata koji su od velike važnosti kako u naučnom radu tako i u praktičnoj primeni u farmaceutskoj industriji.

Treba razjasniti da ovi propisi nisu formalnog karaktera već su doneti sa ciljem rešavanja mnogih problema vezanih za pojam procene greške odnosno merne nesigurnosti merenja kao i sa ciljem da se izvrši unificiranje terminologije u metrologiji.

Prilikom merenja se suočavamo sa različitim pojavama koje utiču na tačnost merenja. Na primer, prema uzrocima nastanka greške razlikujemo slučajne, sistematske i grube greške.

Slučajne greške nastaju zbog mnoštva neizbežnih malih promena koje se neprekidno dešavaju u mernom objektu, mernoj opremi i okolini ili ih pravi onaj koji vrši merenje. Pri svakom merenju iste veličine slučajna odstupanja se razlikuju po vrednosti i po predznaku. Zbog toga se one mogu smanjiti računanjem srednje vrednosti ponovljenih merenja.

Sistematske greške nastaju zbog nesavršenosti mernog objekta, merne opreme, postupka onog koji meri i zbog uticaja okoline. Pri uzastopno ponovljenim merenjima iste veličine uz nepromenjene uslove, sistematske greške ostaju stalne po vrednosti i predznaku, ili se uz promenjene uslove predvidivo menjaju. U svakom slučaju, sistematske greške se mogu iz rezultata odstraniti ispravkom.

Grube greške nastaju zbog nepažnje onoga koji meri, zbog pogrešne primene metoda i neodgovarajućeg ili neispravnog instrumenta. Merni rezultat sa grubom greškom se odbacuje.

Ovi i slični problemi, o kojima će biti reči u daljem tekstu, su razlog nastanka Uputstva za izražavanje merne nesigurnosti.

Podsetnik

Podsetimo se nekih termina vezanih za merenje .

Pod uslovno tačnom vrednošću se može smatrati ona koja se dobija merenjem etalonskim instrumentom koji obično postoje u nacionalnim metrološkim institucijama ili ona koju dobijamo kao srednju vrednost više puta ponovljenih merenja ili, najopštije, kao dogovorenu tačnu vrednost.

Apsolutna greška je apsolutna vrednost razlike izmerene vrednosti merene veličine xi i dogovorene prave vrednosti xT :

Tii XX −=∆

Ona je iskazana brojem i mernom jedinicom merene veličine.

Relativna greška je količnik apsolutne greške i dogovorene prave vrednosti:

δ=T

i

x

∆

Ona je bezdimenziona veličina.

Relarivna greška se može izraziti i u procentima:

δ (%)=δ⋅100 [%]

7

Kada se vrši merenje iste fizičke veličine više puta onda se mogu koristiti termini ponovljivost i reproduktivnost.

• Ponovljivost se odnosi na seriju merenja iste fizičke veličine, izvršenih pod istim uslovima i u kratkom vremenskom roku.

• Reproduktivnost se odnosi na seriju merenja iste fizičke veličine, izvršenih pod promenljivim uslovima. Pod promenljivim uslovima merenja se podrazumevaju različiti postupci merenja, različita merila, različiti etaloni i mesta merenja kao i to da je serija merenja izvršena u dužim vremenskim intervalima.

Za uspešno rešavanje zadataka merenja i iskazivanja rezultata merenja potrebno je poznavanje klasične statističke teorije i teorije greške. Bez teorije, ne bismo znali kako da interpretiramo pojedina merenja, kako da ih obradimo i kako da ih prikažemo. U narednim poglavljima biće reči o:

• matematičkom aparatu klasične statistike odnosno raspodelama verovatnoće i standardnom odstupanju

• pojmu merne nesigurnosti, tipovima merne nesigurnosti • metodu najmanjih kvadrata kod linearnih zavisnosti • predstavljanju rezultata merenja

i na kraju izdvojeni su neki karakteristični primeri iz eksperimentalne prakse.

Statistička obrada rezultata merenja

Pojmovi iz klasične statističke teorije

Kada se izvrši veliki broj ponovljenih merenja jedne iste fizičke veličine, rezultati tih merenja:

x1, x2 ,..., xN (2)

se nazivaju populacija. Pod velikim brojem ponavljanja podrazumevamo teorijski beskrajno veliki broj merenja iste fizičke veličine. Elementi populacije xi slučajne su prirode.

Srednja vrednost populacije µ se izračunava kao aritmetička sredina rezultata merenja:

∑=N

1ix

N

1µ (3)

N - broj ponovljenih merenja

Odstupanje pojedinih rezultata od srednje vrednosti µ je µ−ix . Po pravilu, broj

odstupanja sa pozitivnim znakom blizak je broju odstupanja sa negativnim znakom (i lako se

dokazuje da je ∑ =−N

ix1

0)( µ ). Vrednosti ovih odstupanja se ipak mogu dosta razlikovati i zato

8

se uvodi veličina koja će izraziti to odstupanje za celu populaciju: standardno odstupanje populacije.

Standardno odstupanje populacije, σ, je definisano kao veličina čiji kvadrat pomnožen brojem merenja N ima vrednost jednaku zbiru kvadrata svih pojedinih odstupanja :

( )∑ −=N

ixN1

22 µσ

odnosno:

N

)x(N

i∑ −= 1

2µσ (4)

Relativno standardno odstupanje jednako je standardnom odstupanju podeljenom srednjom vrednošću, odnosno definiše se izrazom:

µσσ =r (5)

Koristi se za izražavanje ponovljivosti merenja. Što je rσ manje, ponovljivost je bolja, i obrnuto.Svaka veličina slučajnog karaktera ima standardno odstupanje. Varijansa ili disperzija je kvadrat standardnog odstupanja populacije:2σ

Uzorak. Ako manji broj puta ponavljamo merenje i dobijemo skup rezultata: x1, x2 ,.., xn, takav manji skup rezultata predstavlja uzorak . Uzorak je podskup populacije. Elementi uzorka su slučajne promenljive.

• Najboljom aproksimacijom srednje vrednosti populacije smatra se srednja vrednost uzorka:

∑=n

1is x

n

1x (6)

n - broj ponovljenih merenja

• Važna osobina je da ∑ =− min)xx( si2 tj. da suma kvadrata odstupanja ima najmanju

moguću vrednost. • Standardno odstupanje uzorka od n članova obeležava se sa s i predstavlja najbolju

aproksimaciju standardnog odstupanja populacije.

1n

)xx(s

n

1

2si

−

−=∑

(7)

(Napomena: obratiti pažnju da se kod uzorka u formuli za standardno odstupanje u imeniocu pojavljuje n-1 (umesto N kod populacije), i kada radimo sa relativno malim brojem merenja, što će na našim vežbama uglavnom biti slučaj, obavezno koristimo ovu formulu.)

9

• Srednja vrednost elemenata uzorka takoñe je slučajna promenljiva, pa zato imamo i standardno odstupanje srednje vrednosti:

n

s

sx

s = (8)

Iz ovog izraza vidimo da je standardno odstupanje srednje vrednosti manje n puta od standardnog odstupanja pojedinih rezultata, s.

Ovo nam pokazuje da je srednja vrednost xs kao merni podatak pouzdanija nego pojedinačni rezultati xi , što opravdava potrebu za višestrukim ponavljanjem merenja.

Histogram

Histogram predstavlja jedan način grafičkog prikazivanja rezultata merenja. Eksperimentalno iskustvo pokazuje da se pri ponavljanju nekog merenja rezultati na odreñeni način grupišu oko srednje vrednosti. Histogramom možemo lepo prikazati ovakvo grupisanje rezultata i to na sledeći način. Posmatrajmo tabelu sa n rezultata nekog ponovljenog merenja, tj. Uzorak: x1, x2..., xn ( u našem konkretnom primeru dat je slučaj merenja frekvencije u vežbi „Nuklearna magnetna rezonancija“, sa 24 merenja – tabela 3 ).

Tabela 3. Rezultati merenja frekvencije kod NMR

Redni broj n Frekvencija [MHz] Redni broj n Frekvencija [MHz]

1 12,44 13 12,45

2 12,46 14 12,44

3 12,49 15 12,46

4 12,48 16 12,47

5 12,43 17 12,49

6 12,45 18 12,45

7 12,46 19 12,42

8 12,43 20 12,46

9 12,50 21 12,48

10 12,51 22 12,47

11 12,45 23 12,46

12 12,47 24 12,47

10

Postoje dva načina crtanja histograma.

Prvi način crtanja histograma sastoji se u sledećem: rezultati merenja se poreñaju po veličini i nanose na x-osu počev od minimalnog (xmin = 12,42 MHz) do maksimalnog rezultata(xmax = 12,51 MHz). Za svaki rezultat prebrojimo koliko puta se ponovio i tu vrednost označimo sa ni (Tabela 4). Taj broj ponavljanja pojedine vrednosti merenja ni nazivamo učestanost rezultata merenja i nju crtamo na y-osi (slika1).

Tabela 4. Učestanost rezultata pojedinih merenja

Slika 1. Histogram na kome je predstavljena učestanost rezultata pojedinih merenja

Kod drugog načina crtanja histograma, ukupan interval u kome postoje rezultati (interval od xmin do xmax) delimo na m jednakih delova (intervala) čija se širina može izraziti kao:

m

XXX minmax −

=∆ (9)

Pri tome, broj m intervala histograma treba odabrati na odgovarajući način. Ako je broj intervala m suviše mali, histogram prikazuje raspodelu rezultata grubo i bez potrebnog razlaganja. Ako je pak suviše veliki broj intervala m, neki od intervala ostaju prazni, odnosno, javljaju se prekidi u prikazivanju raspodele. Preporučuje se da broj intervala histograma bude

nm ≈ ili 1nm +≈ . Oba slučaja se mogu sresti u literaturi vezanoj za ovaj problem.

X [MHz] 12,42 12,43 12,44 12,45 12,46 12,47 12,48 12,49 12,50 12,51

ni 1 1 2 4 5 4 3 2 1 1

11

U svakom od intervala sada se pojavljuje nekoliko mernih rezultata. Ukupan broj pojavljivanja

svih rezultata u okviru jednog intervala naziva se učestanost datog intervala i označava sa ixn .

Svakom intervalu odgovara i relativna učestanost data izrazom n

nP ix

i= , gde je n ukupan

broj mernih rezultata. Takoñe , za svaki interval je potrebno odrediti gustinu relativne učestanosti, pi, i nju crtamo na y-osi:

xn

n

x

Pp ixii ∆

=∆

= (10)

Celokupna površina svih pravougaonika jednaka je 1:

111 1

1==∆⋅ ∑∑ ∑ =∆⋅

∆m

x

m m

i inixxp

nx

xn

n

To izražava logičnu činjenicu da se svi rezultati nalaze u intervalu od xmin do xmax (verovatnoća da svi rezultati budu u tom intervalu jednaka je 1) i naziva se uslov normiranosti.

U našem konkretnom primeru broj mernih rezultata je 24=n . Broj segmenata histograma će

biti 589,424 ≈==m . Širina segmenta je:

][018,05

42,1251,12minmax MHzMHzm

XXX =−=−=∆

Granice pojedinih segmenata onda iznose: 12,42; 12,438; 12,456; 12,474; 12,492; 12, 51.

Učestanosti po intervalima iznose:

21

=xn 62

=xn 93 =xn 54 =xn 25

=xn

Gustine relativne učestanosti xn

np ix

i ∆= su:

63,4018,024

2018,0241

1=

⋅=

⋅= xn

p

89,132 =p 83,203 =p 57,114 =p 63,45 =p

Histogram sada izgleda kao na slici 2:

12

Slika 2. Histogram na kome je predstavljena gustina relativne učestanosti pi(x)

Ukupna površina histograma iznosi: ∑ ≈=∆⋅5

1

19999,0xpi , što znači da je ispunjen uslov

normiranosti.

Funkcije raspodele

Ako posmatramo proces merenja sa veoma velikim brojem n, tako da možemo smatrati da ∞→n , tada možemo reći da uzorak prelazi u populaciju i rezultati se praktično kontinualno rasporeñuju po x osi. Zbog toga možemo uzeti da širina segmenta histograma

0x→∆ , (te u tom slučaju možemo umesto ∆x napisati dx ). U našem primeru to bi izgledalo kao na slici 3.

Slika 3. Funkcija raspodele

Obvojnica histograma u ovom slučaju postaje neprekidna funkcija (slika 3) i nju nazivamo funkcija raspodele. Funkciju raspodele možemo obeležiti sa )x(p . Verovatnoća

13

nalaženja nekog rezultata u malom intervalu ),( dxxx + je onda data izrazom dxxp ⋅)( , što u stvari predstavlja površinu pravougaonika čije su stranice )(xp i dx , dok je verovatnoća da će

se rezultat naći u konačnom inretvalu [ ]21, xx data integralom:

∫=2

1

)(2,1

x

x

dxxpP (11)

Svaka funkcija raspodele je normirana, kao što je to slučaj i sa histogramom o čemu smo govorili ranije. To znači da je ukupna površina ispod krive jednaka jedinici. Kada sa diskretnih vrednosti preñemo na kontinualne pri ∞→n (odnosno sa sume na integral

dxx →∆ ), dobijamo:

∫+∞

∞−

= 1)( dxxp (12)

Ako je funkcija raspodele )(xp poznata, onda se srednja vrednost µ i standardno odstupanje σ mogu odrediti sledećim formulama:

∫+∞

∞−

= dxxxp )(µ (13)

∫+∞

∞−

−= dxxpx )()( 22 µσ (14)

U narednom poglavlju opisane su osnovne osobine poznatih i najčešće korišćenih funkcija raspodele.

Gausova raspodela i Gausova standardizovana raspodela

Izuzetno svestrani matematičar i astronom Karl Fridrih Gaus (1777-1855) je na osnovu eksperimentalnog iskustva i teorijskih analiza izveo raspodelu koja uspešno prikazuje rezultate merenja praćene slučajnom greškom. Ova raspodela je poznata kao Gausova ili normalna raspodela i prikazuje kako se slučajne promenljive rasporeñuju oko srednje vrednosti.

Slučajne promenljive koje imaju Gausovu (normalnu) raspodelu nastaju kao rezultat velikog broja uticaja, pri čemu je efekat pojedinačnog uticaja neznatan u odnosu na celokupnu sumu efekata svih pojedinačnih uticaja.

Tipičan primer su promenljive koje nastaju iz ponovljenih merenja jedne iste fizičke veličine koja je karakteristika datog objekta, jer se istom aparaturom i sa istom preciznošću ne dobijaju uvek isti rezultati. Na rezultate merenja utiču slučajni faktori koji se ne mogu kontrolisati i koji variraju od jednog merenja do drugog. Slučajne promenljive – rezultati ponovljenih merenja imaju normalnu raspodelu.

14

Gausova (normalna) raspodela se može predstaviti funkcijom oblika:

2x

2

1

Ge

2

1)x(p

−−= σ

µ

πσ (15)

Kao što je već poznato iz prethodnog teksta µ je srednja vrednost a σ je standardno odstupanje. Izgled Gausove raspodele prikazan je na slici 4.

Slika 4. Gausova raspodela

Najvažnije osobine Gausove raspodele su:

1. )(xpG je pozitivna i neprekidna funkcija za svaku realnu vrednost x

2. za µ=x funkcija )(xpG ima maksimum koji iznosi ππππσσσσ

µµµµ2

1)( =Gp

3. kriva )(xpG je simetrična oko srednje vrednosti (što je u skladu sa eksperimentalno

utvrñenom činjenicom da su pozitivna i negativna odstupanja rezultata oko srednje vrednosti podjednako verovatna)

4. površina ispod krive jednaka je 1 (normiranost)

Verovatnoća da se neki rezultat nañe u intervalu od x1 do x2 odreñuje se integralom:

dx

x

x

x

ep ∫

−−=

2

1

2,1

2

21

2

1 σσσσµµµµ

ππππσσσσ (16)

15

Kada se uvede promenljiva:

σ

µ−=

xz (17),

dobija se standardizovana ili uopštena Gausova raspodela (slika 5), koja ima oblik:

22

1

GU

ze

2

1p−

=π

(18)

Promenljiva Z je bezdimenziona veličina sa srednjom vrednošću nula. Standardno odstupanje uopštene Gausove raspodele ima vrednost jedan i takoñe je bezdimenziona veličina. To znači da se sve Gausove raspodele, bez obzira na µµµµ i σσσσ , smenom (17) preslikavaju u jedinstvenu

raspodelu GUp (slika 5).

Slika 5. Standardizovana (uopštena) Gausova raspodela

Verovatnoća da se neki rezultat nañe u intervalu (z1, z2) je:

dzz

z

ze

π2

1p2

1

22

1

2,1 ∫=− (19)

Verovatnoća 2,1

p bilo koje raspodele u praksi se naziva statistička sigurnost nalaženja

nekog rezultata u nekom odreñenom intervalu, odnosno opsegu.

16

Integral (19) nije analitički rešiv, i obično se daje tablica sa vrednostima integrala )(1 zI (tabela 5):

(20)

Tabela 5. Vrednosti integrala I1 uopštene Gausove raspodele

Statistička sigurnost koja odgovara opsegu )( σσσσµµµµ ± izračunava se tako što se odrede

bezdimenzione granice 1z i 2z koje prema smeni (17) iznose 12,1 ±=z . Zbog osobina

integrala i simetričnosti funkcije (videti sliku 5) očigledno se dobija:

)1(2)( 1IP =±σσσσµµµµ

odnosno ubacivanjem vrednosti iz tabele 5:

%3,68683,0)( ==±σσσσµµµµP

Statistička sigurnost Gausove raspodele koja odgovara opsegu ( σµ ± ) ima vrednost od 0.683. To znači da statističkoj sigurnosti od 68,3% odgovara interval rezultata )( σµ ± . Odnosno, u

opsegu (srednja vrednost ± standardno odstupanje) nalazi se 68,3% rezutata. Na slici 4, ovo odgovara šrafiranoj površini P, koja, dakle, predstavlja verovatnoću nalaženja rezultata u intervalu poluširine od jednog standardnog odstupanja oko srednje vrednosti µ .

Na sličan način dobijamo da opsegu ( )σσσσµµµµ 2± odgovara statistička sigurnost od 95,4% ,

a opsegu ( )σσσσµµµµ 3± odgovara statistička sigurnost od 99,7%.

z I1(z) z I1(z) z I1(z)

0,00 0,0000 1,10 0,3643 2,20 0,4861

0,10 0,0398 1,20 0,3849 2,30 0,4893

0,20 0,0792 1,30 0,4032 2,40 0,4918

0,30 0,1179 1,40 0,4192 2,50 0,4938

0,40 0,1554 1,50 0,4332 2,60 0,4953

0,50 0,1914 1,60 0,4452 2,70 0,4961

0,60 0,2257 1,70 0,4554 2,80 0,4974

0,70 0,2580 1,80 0,4640 2,90 0,4981

0,80 0,2881 1,90 0,4713 3,00 0,4986

0,90 0,3158 2,00 0,4772 3,20 0,49965

1,00 0,3413 2,10 0,4821 4,00 0,49997

∫=z

dzzpzIGU

0

1 )()(

17

Napomena:

Kada u eksperimentu imamo uzorak sa malim brojem elemenata (3 do 30 ponovljenih merenja), Gausova raspodela neće biti adekvatna jer se ona u principu odnosi samo na populacije, tj. skupove sa velikim brojem podataka. Pokazuje se da ovakav uzorak ne bi dobro reprezentovao populaciju, odnosno standardno odstupanje s bi bilo manje od standardnog odstupanja σ odgovarajuće populacije. U takvim slučajevim primenjuje se tzv. Studentova raspodela . Njen oblik je analogan obliku Gausove raspodele, ali ona zavisi od parametra

1−= nns , koji se naziva broj stepeni slobode i jednak je broju mernih rezultata minus 1.

Primena Studentove raspodele sastoji se u korekciji standardnog odstupanja njegovim

množenjem odgovarajućim faktorom PnSt , koji zavisi od broja članova uzorka i tražene

statističke sigurnosti. Vrednosti faktora Studentove raspodele PnSt , date su tabelarno (videti

deo o proširenoj mernoj nesigurnosti, tabela 7).

Uniformna (ravnomerna) raspodela

Rezultati merenja mogu da imaju i uniformnu raspodelu. Uniformna raspodela je odreñena srednjom vrednošću µ i poluširinom intervala a . Ova raspodela je prikazana na slici 6. Vrednost a se naziva često i granična greška (maksimalno odstupanje).

Slika 6. Uniformna (ravnomerna) raspodela

Vrednosti slučajne promenljive x mogu da se nalaze u opsegu )a,a(x +−∈ µµ , pri čemu je svaka vrednost iz datog intervala podjednako verovatna. Kao što je već rečeno, svaka raspodela mora da ispunjava uslov normiranosti, što znači da površina ispod krive raspodele iznosi 1. To u slučaju uniformne raspodele znači da površina pravougaonika čije su stranice

)(xp i 2a mora biti jednaka 1. Iz ovog uslova dobijamo vrednost )(xp : a

xp2

1)( = . Dalje,

vrednost standardnog odstupanja σ dobijamo iz jednačine (11), ubacujući konkretnu vrednost )(xp :

18

∫ −=+∞

−∞dx)x(p2)x(2 µσ

( )∫+

−

−=a

a

dxxa

µ

µ

µσ 22

2

1

Standardno odstupanje kod uniformne raspodele iznosi 3

a=σ .

Šrafirana površina P na slici predstavlja verovatnoću nalaženja rezultata u intervalu poluširine od jednog standardnog odstupanja σ oko srednje vrednosti µ , tj. u intervalu ( σµ ± ). Ova verovatnoća iznosi 0,577, odnosno 57,7%. To znači da statistička sigurnost uniformne raspodele koja odgovara opsegu (σµ ± ) ima vrednost od 0,577 , odnosno da se u opsegu ( σµ ± ) nalazi 57,7% svih izmerenih rezultata.

Uniformna raspodela se koristi pri odreñivanju nesigurnosti u slučajevima koji će detaljnije biti opisani u poglavlju o tipovima nesigurnosti. Najčešće se primenjuje kada se raspolaže sa malo informacija o nekom instrumentu, odnosno kada ne postoji iskustvo ili drugo saznanje o eventualnom grupisanju rezultata oko srednje vrednosti. Koristi se i kada se raspolaže sa tabličnim vrednostima nekih parametara (gustina, otpornost), i tada se polovina datog opsega usvaja za poluširinu raspodele a .

Simetrična trougaona raspodela

Osnovna karakteristika trougaone raspodele je skoncentrisanost rezultata oko srednje vrednosti (slika 7).

Slika 7. Simetrična trougaona raspodela

19

To znači da su manja odstupanja rezultata od srednje vrednosti verovatnija od većih odstupanja. Sa slike 6 vidimo da se svi rezultati nalaze u ograničenom intervalu poluširine a (odnosno granične greške a) i da su simetrično rasporeñeni oko srednje vrednosti µ . Usled normiranosti raspodele, dobijamo da maksimum raspodele ima vrednost p(µ )=1/a a

standardno odstupanje trougaone raspodele iznosi 6

a=σ . Trougaona raspodela se koristi

kada se iz iskustva zna da postoji jasno grupisanje mernih rezultata oko srednje vrednosti ali tako da ne zadovoljava Gausovu raspodelu. Ovde imamo da statističkoj sigurnosti od 65% odgovara opseg )( σµ ± , što znači da se 65% svih rezultata sigurno nalazi u intervalu

)( σµ ± .

Standardno odstupanje indirektno merenih veličina

Većina fizičkih veličina meri se posredno. Posredno merena fizička veličina Y je funkcija niza meñusobno nezavisnih veličina (x1, x2, x3,..., xn), kojima se vrednost odreñuje direktnim merenjem:

)x,...,x,x(fY n21= (21)

Procenjena vrednost merene veličine Y označi se sa y i dobija se prema prethodnoj jednačini uzimajući u proračun izmerene vrednosti vrednosti x1, x2, x3,..., xn :

)x,...,x,x(fy n21= (22)

A svaka od izmerenih vrednosti xi ima svoje standardno odstupanje =ix

σixs .

Standardno odstupanje yσ =y

s indirektno merenih veličina aproksimira se relacijom:

∑

=

∂∂n

1

2

ix

s

2

ix

yy

s (23)

ix

y

∂∂

je parcijalni izvod složene funkcije y(x1, x2 ,.., xn) po promenljivoj xi .

Relativno standardno odstupanje yr

s indirektno merenih veličina izražava se kao

∑

==

∂∂n

1

2

ix

s

2

ix

y

y

1

yyry

ss (24)

Ove formule se koriste za izračunavanje složene merne nesigurnosti o čemu će biti reči kasnije.

20

Merna nesigurnost

Izražavanje merne nesigurnosti

Merni rezultat se dobija merenjem. Merenjem dobijamo vrednost merne veličine u odnosu na mernu jedinicu. Primena mernog rezultata moguća je jedino uz poznavanje njegovog kvaliteta. Kvalitet mernog rezultata se iskazuje mernom nesigurnošću. Što je merna nesigurnost manja, kvalitet mernog rezultata je veći. Merna nesigurnost se iskazuje standardnim odstupanjem ili proširenim standardnim odstupanjem i ona je parametar koji se pridružuje rezultatima merenja.

Celovit merni rezultat se sastoji od najbolje aproksimacije merne veličine M, merne nesigurnosti u i merne jedinice [M], i uobičajeni zapis rezultata je:

])[( MuM ± (25)

Slika 8. Celovit merni rezultat

Merni rezultat se može dobiti jednim merenjem. Ako se merenje iste merne veličine ponavlja više puta, onda mernim rezultatom smatramo aritmetičku srednju vrednost rezultata ponovljenih merenja.

Možemo ovde navesti neke od osnovnih uzroka merne nesigurnosti:

• Nepotpuna i nesavršena realizacija definicije merene veličine • Nereprezentativni uzorak osnovnog skupa • Nedovoljno poznavanje okolnih uslova koji utiču na merenje • Subjektivnost pri merenju („različiti majstori različito mere“) • Nedovoljna tačnost etalona • Aproksimacije i pretpostavke ugrañene u postupak merenja • Razlike očitanih ponovljenih merenja pri prividno istim uslovima.

Kao što smo videli i iz prethodnog teksta, znajući funkciju raspodele možemo odrediti i verovatnoću koja odgovara datom podatku. U ovakvoj postavci merne nesigurnosti imamo da sve vrste nesigurnosti imaju slučajan karakter, pa im se zato pridružuje uvek odgovarajuća funkcija raspodele.

21

Bitno je naglasiti da se pri izražavanju merne nesigurnosti koriste većinom termini i matematički aparat klasične statističke teorije ali su uvedeni i novi pojmovi za oblast izražavanja merne nesigurnosti.

Usvojeno je da se merna nesigurnost označava slovom u (uncertainty = nesigurnost). U indeksu može pisati i oznaka fizičke veličine na koju se data merna nesigurnost odnosi ( na primer um kada se radi o mernoj nesigurnosti mase: mum± ). Očigledno je da merna

nesigurnost mora imati istu jedinicu kao merena veličina (rezultat). Osnovni princip je da se svakom podatku o nesigurnosti pridruži odgovarajuća funkcija raspodele kao i verovatnoća, odnosno statistička sigurnost.

Koristićemo i sledeće pojmove:

• Standardna merna nesigurnost, u, po definiciji je jednaka standardnom odstupanju σ== su . Statistička sigurnost koja odgovara standardnoj mernoj nesigurnosti zavisi

od raspodele koja se pripisuje datom merenju. Na primer u slučaju Gausove raspodele intervalu širine jednog standardnog odstupanja, (σ±sx ) odgovara sigurnost od 68,3%, za

)2( σ±sx sigurnost od 95,4%, a za opseg od )3( σ±sx sigurnost je 99,7%.

• Merna nesigurnost tip A - odreñuje se isključivo metodom statističke obrade rezultata. a to znači da nesigurnost tipa A postoji samo ako se radi o merenju koje je ponovljeno više puta.

• Merna nesigurnost tip B - odreñuje se svim ostalim metodama, izuzev statističke analize.

• Kombinovana merna nesigurnost

• Proširena merna nesigurnost U, predstavlja umnožak standardne merne nesigurnosti u i koeficijenta proširenja K : uKU ⋅= .

Tipovi mernih nesigurnosti

Postoje dva osnovna tipa merne nesigurnosti. To su tip A i tip B. Ova podela je bazirana samo na osnovu metoda kojima se nesigurnosti odreñuju. U odreñenim uslovima, koristi se i kombinovana merna nesigurnost.

Merna nesigurnost tipa A

Merna nesigurnost tip A (oznaka uA ) se odreñuje statističkom analizom rezultata koji su dobijeni ponavljanjem merenja. Kao što je već rečeno, to znači da nesigurnost tipa A postoji samo ako se radi o merenju koje je ponovljeno više puta. Ako imamo uzorak ponovljenih merenja nxxx ,...,, 21 , možemo izračunati njihovu srednju vrednost sx , standardno odstupanje

pojedinih elemenata, koje je u stvari jednako standardnoj nesigurnosti pojedinih rezultata suA = i standardno odstupanje srednje vrednosti merenja, koje je sada standardna nesigurnost

srednje vrednosti, tj. rezultata sxsAx

su =

22

n

ss

sx = (26)

Odnosno:

1

)(1

2

−

−=∑

n

xx

u

n

si

A (27)

)1(

)(1

2

−

−==∑

nn

xx

n

uu

n

siA

sAx (28)

Srednjoj vrednosti merenja kod dovoljno velikih uzoraka se, po pravilu, pridružuje Gausova raspodela nezavisno od raspodele kojoj pripadaju elementi uzorka. Vidimo da ponavljanjem merenja i računanjem srednje vrednosti možemo mernu nesigurnost rezultata,

nastalu slučajnim odstupanjem odnosno devijacijom, smanjiti za faktor n1 . Merna nesigurnost tipa A podleže Gausovoj raspodeli koja je i opisana u prethodnom poglavlju.

Merna nesigurnost tipa B

Merna nesigurnost tip B može se odrediti kod pojedinačnog merenja. Standardne nesigurnosti tipa B (oznaka uB ):

• Odreñuju se pojedinačnom analizom merenja, • Ne zavise od broja ponavljanja merenja

Standardna merna nesigurnost tipa B predstavlja standardno odstupanje dobijeno analizom različitih uticaja na mereni rezultat.

Procena nesigurnosti tipa B zasniva se na:

• specifikaciji instrumenata kojim se meri. U specifikaciju su obično unete granične greške instrumenta. Pod graničnom greškom podrazumevamo najveću dopuštenu grešku koju instrument sme da ima, a da se smatra ispravnim

• podacima o baždarenju instrumenta kojim merimo, • podacima o nesigurnosti konstanti koje koristimo, • podacima o ponovljivosti mernog procesa, • podaci o ranije sprovedenim sličnim merenjima, • iskustvu i znanju o svojstvima relevantnih instrumenata i mernih objekata itd.

Kvalitet mernih rezultata ranije je iskazivan na više načina. Neki od njih su bili:

• granične greške direktno merenih veličina, • sigurne granične greške posredno merene veličine, • statističke granične greške posredno merene veličine, i drugi načini .

23

Svi navedeni iskazi nisu meñusobno usklañeni i otežavaju ili onemogućavaju uporeñivanje kvaliteta na razne načine dobijenih mernih rezultata. Zato je obavezujuća preporuka da se kvalitet mernog rezultata iskazuje mernom nesigurnošću a kvalitet mernih ureñaja graničnim greškama.

Budući da su izvori podataka različiti, podaci mogu biti različito iskazani, pa ih treba preračunati u nesigurnost iskazanu standardnim odstupanjem. Pri tome je neophodno pridružiti odgovarajuću funkciju raspodele ovoj mernoj nesigurnosti. Za mernu nesigurnost tipa A uvek je reč o Gausovoj raspodeli, a kod merne nesigurnosti tipa B najčešće je odgovarajuća raspodela uniformna, mada se u specijalnim slučajevima može pojaviti kao odgovarajuća i trougaona raspodela (raspodele opisane u prethodnom poglavlju).

Kombinovana (složena) merna nesigurnost

Kombinovana merna nesigurnost se koristi u sledećim slučajevima:

1. Ako imamo ponovljena merenja kod kojih je odreñena nesigurnost tipa A, ali je istovremeno odreñena i nesigurnost tipa B. Tada se kombinovana merna nesigurnost može definisati kao ukupna merna nesigurnost koja se sastoji od merne nesigurnosti tipa A i merne nesigurnosti tipa B:

2B

2A uuu

c+= (29)

2. Kada su merenja izvršena jednom, ali na rezultat utiču merne nesigurnosti više merenih veličina, odnosno rezultat se dobija indirektno, izračunavanjem preko formule (na primer, gustina tela odreñuje se na osnovu merenja mase i zapremine, koristeći izraz Vm=ρ ).

U poglavlju o standardnom odstupanju indirektno merenih veličina dobili smo formulu za odreñivanje standardnog odstupanja indirektno merene veličine (23) . Ako u formuli (23)

zamenimo standardna odstupanja ixs odgovarajućim nesigurnostima

ixu pojedinačnih

merenja (ii xx us = ), dobijamo formulu za mernu nesigurnost indirektno merene veličine y :

∑∂

∂

=

n 2

ix

2

x

yy

1i

uu (30)

Ovo je glavna relacija za odreñivanje merne nesigurnosti indirektno merene veličine y.

Relativna merna nesigurnost indirektno merene veličine je onda :

∑

==

∂∂n

ix

ui

x

y

yyyry

uu

1

22

1 (31)

Kasnije u primerima prikazaćemo kako se može koristiti ova jednačina u praksi.

24

Proširena merna nesigurnost

Proširena merna nesigurnost, U, predstavlja umnožak standardne merne nesigurnosti u i koeficijenta proširenja K :

uKU ⋅= (32)

Koeficijent proširenja K može imati vrednost u intervalu od 3 do 3 , u zavisnosti od raspodele. U nekoj literaturi može se naći grublja procena pa se uzima da je ]3,2[K ∈ . Proširenoj mernoj nesigurnosti odgovara visoka vrednost statističke sigurnosti, reda veličine 99%. To znači da se merena veličina sa velikom sigurnošću nalazi u intervalu )( Uxs ± .

Kada postoje opravdani razlozi za to, nesigurnost rezultata se može prikazati proširenom nesigurnošću U. Tada je potrebno navesti koeficijent proširenja K i statističku sigurnost. Ako je raspodela Gausova, iz statističke sigurnosti lako je odrediti koeficijent proširenja K. Meñutim, ako statistička raspodela nije Gausova potrebno je navesti raspodelu i odgovarajuće dodatne podatke pomoću kojih se može odrediti koeficijent proširenja. Na primer, ako je rezultat aritmetička sredina manjeg broja ponovljenih merenja (n<20), onda treba navesti broj merenja (broj stepeni slobode je broj merenja minus 1) na osnovu kojih se koeficijent proširenja može očitati iz tablice Studentove raspodele.

U tabeli 6 dati su koeficijenti proširenja za različite funkcije raspodele.

Tabela 6. Koeficijenti proširenja za različite funkcije raspodele

Raspodela Stat. sigurnost unutar (µ±σ)

Koeficijent proširenja K

Uniformna (ravnomerna)

57,7% 1,73

Simetrična trougaona

65,0% 2,45

Gausova

68,3%

2 pri P=95%

2,58 pri P=99%

3 pri P=99,7%

25

Procena merne nesigurnosti

Procena merne nesigurnosti iz graničnih grešaka

U specifikacijama mernih instrumenata iskazane su granice ili granične greške unutar kojih se sigurno nalazi prava vrednost merene veličine. Izražavanje graničnih grešaka različito je za analogne i digitalne instrumente.

Podatak o graničnim greškama ( a± ) ne sadrži informaciju o stvarnoj vrednosti greške instrumenta kojim merimo. Zato u slučaju kada nemamo informaciju o raspodeli grešaka svih instrumenata iz odreñene proizvodnje, pretpostavljamo da su sve izmerene vrednosti M (izmerene bilo kojim instrumentom iz te proizvodnje) unutar raspona koji je ograničen granicama greške )aM,aM( +− jednako verovatne, a izvan tih granica nemoguće. Ovome odgovara naziv uniformna raspodela i standardna odstupanja pojedinih očitavanja koja su jednako verovatna u intervalu iznose:

3as

ix= (33)

Pošto se merna nesigurnost iskazuje standardnim odstupanjem, važi:

3

au

B= (34)

Na ovaj se način procenjuje merna nesigurnost tipa B, kada raspolažemo graničnim greškama instrumenta, statističkim graničnim greškama itd.

Procena merne nesigurnosti kod tipa A, svodi se na odreñivanje standardnog odstupanja pojedinih merenja As (27) i standardnog odstupanja srednje vrednosti merenja

sxs (28).

Razmotrimo sada neke konkretne primere, odnosno načine procena, merne nesigurnosti, na osnovu granične greške za instrumente koje ćemo koristiti u našoj laboratoriji:

Kod instrumenata sa proporcionalnom skalom (na primer lenjir ), granična greška je data preko vrednosti najmanjeg podeoka na skali. U zavisnosti od veličine podeoka (odnosno naše procene da li možemo očitati i pola podeoka) za graničnu grešku uzimamo polovinu najmanjeg podeoka, odnosno najmanji podeok. Znači, kod standardnog lenjira, kada imamo jedno očitavanje, za graničnu grešku uzimamo polovinu najmanjeg podeoka lenjira. Prilikom merenja dužine lenjirom ipak ćemo kao grešku uzimati najmanji podeok, jer se i naslanjanje

26

jednog kraja predmeta na nulu lenjira tretira kao jedno očitavanje. Mernu nesigurnost onda procenjujemo u zavisnosti od raspodele koju pridružujemo datom merenju. Ako raspodela nije eksplicitno navedena i nemamo podatke o tome kako se rezultati rasporeñuju oko srednje vrednosti, pretpostavićemo da važi uniformna (ravnomerna) raspodela, pa će onda merna nesigurnost iznositi:

3

1

3

mmaul ==

Kada radimo sa vagama , za graničnu grešku ćemo uzimati najmanju vrednost mase koju data vaga može da izmeri (dakle, vrednost najmanjeg tega iz kompleta tegova date vage, odnosno vrednost najmanjeg podeoka na skali jahača kod analitičke vage itd.) Mernu nesigurnost onda procenjujemo opet na osnovu raspodele koju pridružujemo datom merenju.

Analogni instrumenti su oni merni instrumenti kojima se vrednost merene veličine odreñuje po položaju kazaljke prema skali.

Kod analognih električnih mernih instrumenata granična greška je data preko sledeće formule:

100

maxOka = (35)

gde je:

k - klasa tačnosti instrumenta (označena je na svakom instrumentu i može iznositi od 0,1 kod etalonskih, 1 ili 1,5 kod laboratorijskih, do 2,5 ili 4 kod pogonskih instrumenata). Klase tačnosti u stvari predstavljaju vrednost granične greške iskazane u procentima (u odnosu na maksimalnu vrednost mernog područja).

O - opseg mernog instrumenta (može biti za napon, jačinu struje itd.).

Na osnovu izračunate granične greške, mernu nesigurnost procenjujemo tek na osnovu pridružene funkcije raspodele .

Digitalni instrumenti su oni merni instrumenti kojima se vrednost merene veličine obrañuje i prikazuje brojčano tj. digitalno. Digitalni instrumenti nisu svrstani u klase tačnosti. Iskazivanje granične greške kod njih nije standardizovano.

Granična greška kod digitalnih instrumenata se najčešće navodi kao zbir dve ili više komponenti. Ovde se nećemo upuštati u detaljniji opis odreñivanja granične greške jer prevazilazi potrebe ovog kursa. Obično uzimamo najmanju brojnu vrednost koja se može očitati na displeju kao graničnu grešku digitalnog instrumenta. Ako ona, na primer iznosi

a=0,001, onda je merna nesigurnost ovog instrumenta ua=3

001,0 (pod pretpostavkom da je

raspodela ravnomerna). Kod digitalnih instrumenata čest je i slučaj da je granična greška navedena u katalogu proizvoñača.

27

U obradi rezultata merenja jedan od veoma bitnih delova je i ispravno prikazivanje rezultata merenja. U Uputstvu za izražavanje merne nesigurnosti iz 1993 navedena su i pravila vezana za zaokruživanje merne nesigurnosti i rezultata koji joj odgovara. U daljem tekstu pozabavićemo se i ovim problemom.

Ispravno predstavljanje rezultata merenja

Pojam zaokruživanja

Kada smo dobili rezultat i mernu nesigurnost koja mu odgovara moramo da znamo kako treba ispravno zapisati merni rezultat. Za to postoje pravila koja su dobijena na osnovu iskustva i koja su data u Uputstvu za izražavanje merne nesigurnosti (1993).

Rezultat merenja koji je iskazan prevelikim brojem cifara je nepregledan i ostavlja lažni utisak velike tačnosti. Zbog toga merni rezultat treba zaokružiti na broj cifara koji odgovara tačnosti merenja. Osnovni uslov pri zaokruživanju (smanjenju broja cifara) jeste da se zaokruživanjem ne poveća nesigurnost mernog rezultata.

Prema pravilu zaokruživanja suvišne cifre izostavljamo i to :

ako je prva odbačena cifra veća od 5, prethodna cifra se povećava za 1 ako je prva odbačena cifra manja od 5, prethodna cifra se ne menja ako je prva odbačena cifra jednaka 5, razlikujemo 3 slučaja:

1. iza cifre 5 je nula → prethodna cifra se ne menja 2. iza cifre 5 su cifre različite od nule → prethodna se poveća za 1 3. odbačeni deo se sastoji samo od cifre 5 →zadržana cifra se promeni u najbližu

(veću) parnu

Primeri : zaokružiti sledeći rezultat na 4 značajne cifre

R= 4,89261 Ω ≈ 4,893 Ω (6 >5 → povećava se za 1)

R= 4,89231 Ω ≈ 4,892 Ω (3<5 → ostaje ista)

R= 4,892501 Ω ≈ 4,892 Ω (iza 5 je nula → ostaje ista)

R= 4,892531 Ω ≈ 4,893 Ω (iza 5 veća od 0→povećava se za 1)

R= 4,8925 Ω ≈ 4,892 Ω (samo 5 →parna)

Odreñivanje broja značajnih cifara

Merna nesigurnost se prema meñunarodnom dogovoru prikazuje sa dve značajne cifre . Ako se merna nesigurnost ili merni rezultat dobijaju matematičkim operacijama (indirektno dobijene merne veličine), zaokružuju se samo jednom, na kraju. Meñurezultate treba iskazivati sa jednom ili dve cifre više.

28

Značajne cifre zaokruženog broja su sve cifre od prve cifre s leva različite od nule do cifre na mestu zaokruživanja.

Pravila za odreñivanje broja značajnih cifara

1. Sve cifre, osim nule su značajne. 2. Nule izmeñu značajnih cifara su značajne. 3. Nule na kraju broja, a iza decimalnog zareza, su značajne. 4. Nule ispred prve značajne cifre broja nisu značajne. 5. Status nula na kraju celog broja nije odreñen , tj. one mogu biti značajne a ne moraju, pa

u tom slučaju je najbolje broj pisati u eksponencijalnom obliku (npr. 1106 ⋅ ima jednu značajnu cifru, a 1100,8 ⋅ ima dve značajne cifre).

Primeri odreñivanja značajnih cifara:

Broj

234 ima tri značajne cifre

3,3 ima dve značajne cifre

12,7 ima tri značajne cifre

0,209 ima tri značajne cifre

2,00 ima tri značajne cifre

0,0023 ima dve značajne cifre

3105 ⋅ ima jednu značajnu cifru

110000,5 ⋅ ima četiri značajne cifre

700 može imati tri, dve ili jednu značajnu cifru, ali zato 2107 ⋅ ima jednu značajnu cifru, a 21000,7 ⋅ ima tri značajne cifre.

Prilikom odreñivanja značajnih cifara mernog rezultata moramo raspolagati informacijom o mernoj nesigurnosti. Merni rezultat zaokružujemo tako da prvo (apsolutnu) mernu nesigurnost zaokružimo na dve značajne cifre. Potom rezultat zaokružujemo na istoj mesnoj vrednosti kao i mernu nesigurnost. Na primer, ako je poslednja cifra merne nesigurnosti na mesnoj vrednosti stotog dela, tada će i brojčana vrednost mernog rezultata biti zaokružena na mesnoj vrednosti stotog dela. Neka je merna nesigurnost 0,xx, onda će merni rezultat biti predstavljen kao xxx,xx gde je x bilo koja značajna cifra.

Navešćemo primere koji nam opisuju kako da ispravno predstavimo rezultat merenja i odgovarajuću mernu nesigurnost:

Primer 1

Na digitalnom ampermetru očitano je 19,847A, a procenjena merna nesigurnost je 0,0136A. Izraziti ispravno rezultat sa svojom mernom nesigurnošću.

Rešenje: AI 847,19=

AAuI 014,00136,0 ≈= ⇒

29

AI )014,0847,19( ±=

Primer 2

Mereni napon gradske mreže je 223,566 V, a procenjena merna nesigurnost je 0,125 V. Kako bismo ispravno izrazili rezultat?

Rešenje: VVuU 12,0125,0 ≈=

VVU 57,223566,223 ≈=

VU )12,057,223( ±=

Primer 3

Relativna gustina nekog tela iznosi 3,7692588 a procenjena merna nesigurnost je 0,0041503. Relativna merna nesigurnost iznosi 0,00110109. Zaokružiti mernu nesigurnost, relativnu mernu nesigurnost i rezultat, i ispravno ih zapisati.

Rešenje:

0041,00041503,0 ≈=du

7693,35887692,3 ≈=d

)041,07693,3( ±=d

0011,000110109,0 ≈=drelu

Primer 4

Zaokružiti rezultat, mernu nesigurnost i relativnu mernu nesigurnost i ispravno predstaviti rezultat sa svojom mernom nesigurnošću.

scmW 311363,55=

scmuW3910382,0=

016518,0=Wrelu

Rešenje:

smsmscmW 35363 10511363,51011363,5511363,55 −− ⋅=⋅==

smsmscmuW35363 100382091,010910382,0910382,0 −− ⋅=⋅==

smuW3510091,0 −⋅≈ ⇒

smsmW 3535 10511,510363511,5 −− ⋅≈⋅=

smW 3510)091,0511,5( −⋅±=

30

%7,1017,0518016,0 =≈=Wrelu

Primer 5

Ispravno izraziti sledeći rezultat sa svojom mernom nesigurnošću (obavezno izraziti u eksponencijalnom obliku):

AI µ0558,224=

AuI µ15,7=

Rešenje:

Rezultat i mernu nesigurnost najpre izrazimo u eksponencijalnom obliku, sa obavezno istim eksponentom, i onda zaokružujemo prema pravilima.

AAAI 46 10240558,2100558,2240558,224 −− ⋅=⋅== µ

AAAuI46 105071,01015,715,7 −− ⋅=⋅== µ

AuI410072,0 −⋅≈ ⇒ AAI 44 10241,210558240,2 −− ⋅≈⋅=

AI 410)072,0241,2( −⋅±=

Dakle, prethodno navedene principe i kriterijume možemo uobličiti u jedno uputstvo za ispravno predstavljanje rezultata merenja (odreñivanja):

UPUTSTVO ZA ISPRAVNO PREDSTAVLJANJE REZULTATA MEREN JA

1. Izračunati rezultat, mernu nesigurnost i relativnu mernu nesigurnost 2. Izraziti rezultat eksponencijalnom notacijom, tako da decimalni zarez bude iza

prve značajne cifre rezultata (Izuzeci: rezultati čiji su eksponenti 10-1, 100 i 101 i veličine čija forma izražavanja je uobičajena, npr. T=293 K) 3. Izraziti mernu nesigurnost sa istim eksponentom kao rezultat 4. Zaokružiti mernu nesigurnost na dve značajne cifre 5. Zaokružiti rezultat na istoj mesnoj vrednosti kao mernu nesigurnost 6. Zaokružiti relativnu mernu nesigurnost na dve značajne cifre

Grafički prikaz rezultata merenja

Posmatranjem rezultata koji su tabelarno sreñeni, često nije moguće sagledati prirodu zavisnosti izmeñu dve merene veličine. Grafičko predstavljanje ima tu prednost da se priroda zavisnosti može direktno vizuelno uočiti, odnosno ono pokazuje uspešnost merenja ako je ta relacija poznata. Porast jedne veličine kada druga raste ili opada, maksimumi, minimumi,

31

prevojne tačke, brzina promene, mogu se direktno dobiti iz oblika grafika, nagiba, preseka sa osama.

Kada imamo eksperimentalno dobijenu zavisnost dve fizičke veličine koje možemo obeležiti kao x i y, grafik zavisnosti crtamo na milimetarskom papiru i poštujemo odreñena pravila koja ovde navodimo.

1) Koordinatne ose crtamo tako da se one nalaze duž same ivice milimetarske podele

2) Fizičke veličine i jedinice obeležavaju se na osama i to pri njihovim krajevima kao na slici 10

3) Nezavisno promenljiva se nanosi na apscisnu osu (x-osu), zavisno promenljiva na ordinatnu (y- osu), na pr. )(Tfp =

4) Vrednosti koje crtamo na osama su u srazmeri sa pravim vrednostima. Razmeru biramo tako da se ceo opseg merenih veličina može prikazati. Numeričke vrednosti podeoka na skali treba birati tako da se koordinate tačaka na krivoj mogu lako očitati, bez dodatnog računanja. Obično se na ose ucrtavaju samo brojčane vrednosti koje se meñusobno razlikuju za istu vrednost. Najbolje vrednosti podeoka su: 1, 2, 5 i 10, odnosno ove

vrednosti pomnožene sa n10 (n=1, 2 ,3...) (pogledati sliku 10). U mnogim slučajevima nije neophodno da skale počinju od nule. Razmere na osama ne moraju biti iste.

5) Parove fizičkih veličina na grafiku prikazujemo kao tačke, a njihove merne nesigurnosti dužima odgovarajuće dužine. Razlikujemo dva slučaja :

a) Ako su vrednosti merne nesigurnosti koja odgovara fizičkoj veličini manje od 1,5 mm (podrazumeva se da crtamo vrednosti merne nesigurnosti u srazmeri sa odabranom razmerom za veličinu kojoj odgovara) onda ih nećemo crtati na grafiku.

b) Ako su vrednosti merne nesigurnosti koja odgovara fizičkoj veličini veće od 1,5 mm onda ih crtamo.

Ovo je predstavljeno na slici 9. U prvom slučaju vrednost (si, Fi) crtamo kao tačku bez mernih nesigurnosti.

Slika 9. Grafičko predstavljanje merne nesigurnosti

32

U drugom slučaju crtamo merne nesigurnosti odgovarajućih fizičkih veličina tako da dobijamo krstić u čijem centru je tačka (si, Fi). Mernu nesigurnost Su crtamo paralelno s osi

tako da od tačke levo bude vrednost Su− a desno od tačke Su+ . Za mernu nesigurnost koju

crtamo za fizičku veličinu F, imamo gore Fu+ i dole Fu− (slika 9).

Nekad se može desiti da postoje vrednosti merne nesigurnosti koje odgovaraju samo jednoj fizičkoj veličini od dve zavisne veličine i onda crtamo samo te merne nesigurnosti. Na slici 10 vidimo da je to slučaj sa mernom nesigurnošću Rln (nemamo mernu nesigurnost za d).

6) Kada su ucrtane merne nesigurnosti koje su pridružene datim parovima (xi, yi), tek onda možemo provlačiti pravu odnosno krivu kroz date tačke. Glavno pravilo je da prava ili kriva ne mora da prolazi kroz sve tačke, ali bi trebalo da preseca (prolazi kroz) oblasti merne nesigurnosti tačaka. Takoñe, kada provlačimo krivu izmeñu tačaka treba obratiti pažnju da približno jednak broj tačaka treba da se nalazi iznad i ispod krive ( napraviti kompromis izmeñu glatkosti krive i prolaženja kroz tačke). Naravno, svaki grafik mora imati koncizan naslov, koji u potpunosti opisuje prikazanu relaciju, i legendu, ako je to potrebno.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,22,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4 Apsorpcija gama zracenjalnR=f(d)

d[cm]

lnR

Slika 10. Grafičko predstavljanje rezultata merenja

33

Metoda najmanjih kvadrata

Kada se merenjem dobije niz parova vrednosti ),(),...,,(),...,(),,( 2,211 nnii yxyxyxyx dve

fizičke veličine izmeñu kojih znamo da postoji linearna zavisnost, postavlja se pitanje na koji ćemo način kroz date tačke provući najbolju moguću pravu (takozvanu optimalnu pravu). Postupak koji se pokazao kao najbolji je numerički postupak koji se naziva metoda najmanjih kvadrata.

Ova metoda je jedna od glavnih metoda koje se koriste u kompjuterskim programima za crtanje optimalnih prava izmeñu datih eksperimentalnih tačaka. Neka je eksperimentalnim ispitivanjem zavisnosti )(xfy = dobijen niz parova vrednosti veličina x i y :

).,(),...,,(),...,(),,( 2,211 nnii yxyxyxyx Pretpostavimo da je ova zavisnost linearna. Opšti oblik

jednačine prave sa slike 11 je

baxy +=

gde je a - koeficijent pravca, a b - odsečak na ordinatinoj (y) osi. Metod najmanjih kvadrata se koristi za odreñivanje konstanti a i b računskim putem, pomoću eksperimentalnih podataka

).,(),...,,(),...,(),,( 2,211 nnii yxyxyxyx

Slika 11. Metoda najmanjih kvadrata

∆i

34

Konstante se odreñuju iz uslova da zbir kvadrata odstupanja i∆ (slika11) ima

minimalnu vrednost, što istovremeno predstavlja i uslov za optimalnu pravu:

[ ]2

11

2 )(∑∑==

+−=∆n

iii

n

ii baxy (36)

a to znači da je parcijalni izvod izraza (36) po a i po b jednak nuli. Iz toga dobijamo sledeće vrednosti za a i b:

∑∑

∑ ∑ ∑

==

= = =

−

−=

n

ii

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

xnx

yxnyxa

1

2

2

1

1 1 1 ,

∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

==

= = = =

−

−=

n

ii

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

xnx

xyxyxb

1

2

2

1

1 1 1 1

2

(37)

Kao i većina rezultata fizičkih merenja , konstante a i b se metodom najmanjih kvadrata odreñuju sa ograničenom tačnošću. Njihova standardna odstupanja se računaju po sledećim formulama:

∑∑ ∑

=

= =

−−

=n

1i n

1i

2n

1ii

2i

2ia

xxn

1

2n

ns ∆ , (38)

n

xss

n

1i

2i

ab

∑== . (39)

Ovaj metod ima smisla samo kada je zavisnost izmeñu y i x linearna.

Primeri iskazivanja rezultata merenja sa mernom nesigurnošću

1. Primer odreñivanja složene merne nesigurnosti

Gustinu neke tečnosti odreñujemo na osnovu merenja njene mase i zapremine,

izračunavanjem po formuli Vm=ρρρρ . Poznati su nam rezultati merenja mase i zapremine i

njihove merne nesigurnosti: gm )12,045,25( ±= , 3)50,000,30( cmV ±= . Odrediti mernu nesigurnost gustine tečnosti. Izračunati gustinu tečnosti i ispravno je zapisati sa svojom mernom nesigurnošću.

35

Rešenje:

Vm=ρρρρ

2

22

1

2

ixi

ux

u ∑

∂∂= ρρρρ

ρρρρ

22

22

2Vm u

Vu

mu

∂∂+

∂∂= ρρρρρρρρ

ρρρρ

Vm1=

∂∂ρρρρ

- parcijalni izvod gustine po masi

mVV 2

1−=∂∂ρρρρ

- parcijalni izvod gustine po zapremini

2

4

22

2

2 1Vm u

Vm

uV

u +=ρρρρ

2

4

22

2

1Vm u

Vm

uV

u +=ρρρρ

gm )12,045,25( ±=

3)50,000,30( cmV ±=

33848333,0

00,30

45,25

cmg

cmg

Vm ===ρρρρ

232434

2222

232)(50,0

)(00,30

45,2512,0

)(30

1cm

cmg

gcm

u +=ρρρρ

33015,001469,0

cmg

cmg

u ≈=ρρρρ ⇒

3)015,0848,0(cm

g±=ρρρρ

2. Primer iskazivanja mernog rezultata sa proširenom mernom nesigurnošću

Ponovljenim merenjima izmeren je napon gradske mreže od 231,30 V, sa mernom nesigurnošću od 0,12 V. Rezultat predstaviti sa proširenom mernom nesigurnošću za statističku sigurnost 95%, i to ako je:

a) merni rezultat je aritmetička sredina deset ponovljenih merenja,

36

b) merni rezultat je aritmetička sredina vrlo velikog broja merenja.

Rešenje:

a) Kada je broj ponovljenih merenja u uzorku manji od 30, ne možemo primeniti Gausovu raspodelu, već koristimo tzv. Studentovu raspodelu. Broj stepeni slobode je broj merenja minus 1. Iz tabele Studentove raspodele za dati broj stepeni slobode i traženu statističku sigurnost (95% ) očitamo koeficijent proširenja k. U našem slučaju on iznosi:

91101 =−=−= nns

26,2=k Onda imamo da je:

VuU 12,0= standardna nesigurnost

VVVukU UU 27,02712,012,026,2 ≈=⋅=⋅= proširena nesigurnost

VU )27,030,231( ±=

tn,P - parametar Studentove raspodele ns – broj stepeni slobode

P=50% P=68,3% P=95% P=99% P=99,7%

2 0,82 1,32 4,30 9,92 18,35 3 0,76 1,20 3,18 5,84 9,22 4 0,74 1,15 2,78 4,60 6,62 5 0,73 1,11 2,57 4,03 5,51 6 0,72 1,09 2,46 3,71 4,90 7 0,71 1,08 2,37 3,50 4,53 8 0,71 1,07 2,31 3,35 4,28 9 0,70 1,06 2,26 3,25 4,09 10 0,70 1,06 2,23 3,17 3,96 11 0,70 1,05 2,20 3,11 3,85 12 0,70 1,05 2,18 3,05 3,76 13 0,70 1,05 2,16 3,01 3,69 14 0,69 1,04 2,14 2,98 3,64 15 0,69 1,04 2,13 2,95 3,59 16 0,69 1,04 2,12 2,92 3,54 17 0,69 1,04 2,11 2,90 3,51 18 0,69 1,04 2,10 2,88 3,48 19 0,69 1,04 2,09 2,86 3,45 20 0,69 1,03 2,09 2,84 3,43

Tabela 7. Vrednosti faktora Studentove raspodele za različite brojeve stepeni slobode ns i statističke sigurnosti P

%95=P

37

b) U slučaju velikog broja merenja, raspodela rezultata je Gausova, tako da iz tabele 6 za traženu statističku sigurnost odreñujemo koeficijent proširenja k:

2=k

VVukU UU 24,012,02 =⋅=⋅=

VU )24,030,231( ±=

3. Primer merenja analognim instrumentom

Kolika je ukupna merna nesigurnost mernog rezultata dobijenog jednim merenjem analognim voltmetrom klase instrumenta k =1,5 na opsegu od Umax=150V ?

Rešenje:

Kod električnih mernih instrumenata granična greška je data izrazom:

100maxO

ka = ,

k- klasa tačnosti

Omax- opseg merenja instrumenta

U našem slučaju je:

k =1,5

VUO 150maxmax ==

VVO

ka 25,2100

1505,1

100max ===

Ako nije drugačije naglašeno, pretpostavljamo da je raspodela rezultata oko srednje vrednosti ravnomerna, te će onda merna nesigurnost biti:

VVVa

u 3,1300578,13

25,2

3≈===

4. Primer merenja digitalnim instrumentom

Primenom digitalnog voltmetra visoke rezolucije izmerena je sledeća vrednost napona VU 0055,24= . U katalogu proizvoñača daje se podatak da instrument na datom opsegu ima

graničnu grešku 0,022V. Iskustvo u radu sa ovim instrumentom pokazuje da se rezultati ravnomerno rasporeñuju oko srednje vrednosti. Odrediti mernu nesigurnost i ispravno zapisati rezultat sa svojom nesigurnošću.

38

Rešenje:

Granična greška instrumenta iznosi: Va 022,0=

S obzirom da je u primeru rečeno da se rezultati ravnomerno rasporeñuju oko srednje vrednosti, to znači da je raspodela rezultata ravnomerna, odnosno da merna nesigurnost iznosi:

VVVa

u 013,0012716,03

022,0

3≈===

Rezultat će onda biti:

VVU 006,240055,24 ≈= , odnosno:

VU )013,0006,24( ±=

39

Nazivi eksperimentalnih vežbi

VEŽBA 1.

Odreñivanje relativne gustine čvrstog tela hidrostatičkom vagom. Merenje relativne gustine tečnosti areometrima.

VEŽBA 2.

Apsorpciona spektrofotometrija.

VEŽBA 3.

Jednosmerna struja. Odreñivanje elektromotorne sile i unutrašnjeg otpora kola. Odreñivanje električnih otpora Vitstonovim mostom.

VEŽBA 4.

Analitička vaga. Odreñivanje osetljivosti neopterećene analitičke vage. Odreñivanje mase tela Gausovom metodom.

VEŽBA 5.

Spektralna analiza.

VEŽBA 6.

Nuklearna magnetna rezonancija (NMR). Fluorimetrija.

VEŽBA 7.

Odreñivanje relativne gustine tečnosti piknometrom i odreñivanje površinskog napona tečnosti uporednom kapilarnom metodom.

VEŽBA 8.

Refleksiona spektrofotometrija.

VEŽBA 9.Gama zračenje.