US - Diskretna - Zadaci

7/24/2019 US - Diskretna - Zadaci

http://slidepdf.com/reader/full/us-diskretna-zadaci 1/40

PRVI KOLOKVIJUM IZ DISKRETNE MATEMATIKE 19.04

1. U skupu

1,0,1 A definisana je relacija

2 2: , : x y A x y x yρ ρ .

Odrediti elemente relacije i prikazati je grafički. Ispitati osobine relacije.

2. Dati su iskazi : 0 1 p a , n n

k q V k , r A B B A , i

22231

21s

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg

izkaza:

p q r s .

3.Odrediti

2

f x

funkcije 12

x

f x

.

4. Dat je skup 0,1, 2, 9P . Odrediti skupove 3 A x x P x i

2 B x x P x P , a zatim izračunati \ A B A B .

5. Koliko u gradu ima telefona sa petocifrenim brojevima:

a) ako svaki broj čine različite cifre,

b) ako se cifre ponavljaju?( tel broj ne može da počne sa 0)

6. Kako glasi 104 permutacija vez ponavljanja elemenata od osnovne 1,2,3,4,5?

7. U razvoju binoma 2 1 n

x x

, zbir koeficijenta prvog, drugoh i trećeg člana je 46.

Naći član koji ne sadrži x.

8. Primenom matematičke indukcije dokazati da je izraz 15 2n n deljiv sa 3.

9. Proveriti da li je tačan sledeći zaključak:

Danas pada sneg i aerodrom je zatvoren. Aerodrom nije zatvoren.

Zaključak: Ne pada sneg.



Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE

1. U skupu


2 2: , : x y A x y x yρ ρ .


Rešenje:

1,1 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1

R,S,T



22231

21s


izkaza: p q r s

Rešenje:

, , , p T q r sτ τ τ τ

p q r s T τ

3. Odrediti 2 f x funkcije 12

x f x .

Rešenje:Prvo dokažemo da je preslikavanje 1-1 i na.

1

2 1 1 1 12 2

2 2 2 2 4 6 f x x f f f f f x x



Rešenje:

3 0,1,2

2 0,1,2,3,4

A x x P x

B x x P x P

\ 3,4 A B A B


a) ako svaki broj čine različite cifre,

b) ako se cifre ponavljaju?

( tel broj ne može da počne sa 0)

Rešenje:

a) 10 9

5 4V V




b)10 10

5 4V V

6.Kako glasi 104 permutacija vez ponavljanja elemenata od osnovne 1,2,3,4,5?

Rešenje:

52143


x x



Rešenje:

7 84T


Rešenje:

1. Za 1n 1 25 2 9 , je deljiv sa 3.

2. Za n k 15 2k k pretpostavljamo da je deljivo sa 3.

3. Za 1n k 1 2 1 15 2 5 5 2 2 3 5 2 5 2k k k k k k k

4. Svaki sabirak je deljiv sa 3,čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2 ,

jdeljivost dokazana i za 1n k , odakle zaključujemo da je je formula tačna

za sve prirodne brojeve.

9. Proveriti da li je tačan sledeći zaključak:

Danas pada sneg i aerodrom je zatvoren. Aerodrom nije zatvoren.

Zaključak: Ne pada sneg.

Rešenje: p: Danas pada sneg

q: Aerodrom je zatvoren

, p q q

p

modus tolens

ili napraviti tablicu

p q p q q p

T T T T T T T T




T T T

ili dokazati da je formula p q q p tautologija

p q p q q p q q p F

T T T T

T T T

T T T T

T T T T T

Kolokvijum nosi 20 bodova

Svaki zadatak po 2 boda a, 7 i 8 po 3.



DRUGI KOLOKVIJU IZ DISKRETNE MATEMATIKE 7.06.2011

1. Znajući da je 10

n

i

!

,! !

n nn k

k k n k

, napisati neki od algoritama za

izračunavanje binomnog koeficijentan

k

.

2. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije, ako je funkcija zadata

tablicom?

1 p 2 p 3 p f

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 10 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b) minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.

3. Napisati formulu i nacrtati prekidačko kolo koje odgovara datoj logičko digitalnojšemi

4. Nacrtati:

a) Ojlerov put

b) Ojlerov graf c) Hamiltonov graf

d) Hamiltoniv put

sa pet čvorova.

5. Ako povezan planarni graf deli ravan na 8 oblasti i ima 3 čvora, koliko on mora da

ima grana?

6. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126 grana?

7. Za datu matricu susedstva, napisati matricu incidencije, listu susedstva i nacrtati

odgovarajući graf .




0 1 1 1 0

1 0 1 1 11 1 0 1 0

1 1 1 0 1

0 1 0 1 0

8. Formirati binarno stablo pretrage za imena Mia, Beka, Laza, Mira, Dušan, Ena, Ivan,

Sonja i Lena, ako se ime Mia uzima za koren stabla.

( abeceda - a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž )

9. Odredti minimalnu cenu puta između Atine i Glazgova, koristeći Dajkastrinalgoritam, i ako težine predstavljaju cene letova između gradova.

Atina Beograd

Cirih

Pariz Rim

Firenca Glazgov

66

12

2

15

45

5

5

10. Primenoma) Primovog algoritma, b) Kruskalovog algoritma

od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A za korena stabla.

A B

C

D E

F G

6

61

2

2

2 3

4

5

5

5




1. Znajući da je 10

n

i

!

,! !

n nn k

k k n k

, napisati neki od algoritama za

izračunavanje binomnog koeficijentan

k

.

Rešenje:rekurzivni algoritam

: ( 0)

0 0 1

1

procedura koef n k

if k then koef

else

koef k koef k

k n k

2. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata

tablicom?

1 p

2 p

3 p f

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b) minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logočko kolo.

Rešenje:

a) p q r p q r p q r p q r

b) p q q r

3. Napisati formulu i nacrtati prekadačko kolo koje odgovara datoj logčkoj digitalnojšemi

Rešenje:




p q r p q

4. Nacrtati:

a) Ojlerov put

b) Ojlerov graf c) Hamiltonov graf

d) Hamiltoniv put

sa pet čvorova.

5. Ako povezan planarni graf deli ravan na 8 oblasti i ima 3 čvora, koliko on morada ima grana?

Rešenje:

2 2

8 3 2 9

f e v e f v

e

6. Koliko čvorova, listova i kog je nivoa potpuno binarno stablo koje ima 126

grana?

Rešenje:

1 1 1

1 126 1 127,

2 1 127 2 1 2 128 6,

2 64,

n n n

k

e v v v grane

v k novoi

l listovi

7. Za datu matricu susedstva, napisati matricu incidencije, listu susedstva i nacrtatiodgovarajući graf .

0 1 1 1 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

0 1 0 1 0

Rešenje:




8. Formirati binarno stablo pretrage za imena Mia, Beka, Laza, Mira, Dušan, Ena,

Ivan, Sonja i Lena, ako se ime Mia uzima za koren stabla.

( abeceda - a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž )

Rešenje:

Mia

Mira

Sonja

Beka

Laza

Lena Dusan

Ena Ivan

9. Odredti minimalnu cenu puta između Atine i Glazgova, koristeći Dajkastrin

algoritam, ako težine predstavljaju cene letova između gradova.

Atina Beograd

Cirih

Pariz Rim

Firenca Glazgov

66

12

2

15

4

5

5

5

Rešenje:




Atina ,2 Beograd A

,3Cirih B

,8Glazgov C

,7 Rim B

,7Firenca P

,6Pariz A

2

2

1

15

55

6 5 6

Najmanja cena je puta je GCBA dužine 8

10. Primenom

a) Primovog algoritma,

b) Kruskalovog algoritmaod zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A za korena stabla.

A B

C

D E

F G

6

61

2

2

2 3

4

5

5

5

Rešenje:a) dužina 14

b)

A B

C

D E

F G

61

2

2

2 3

4

grane težine Sortirane grane

AB 2 BC 1AD 6 AB 2

BE 5 DE 2

DE 2 DF 2

BC 1 CG 3

EC 6 FG 4

CG 3 FE 5

EG 5 EG 5

FG 4 BE 5

FE 5 AD 6

DF 2 EC 6




A B

C D E

F G

61

2

2

2 3

4



ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE

1. U skupu


2 2: , : x y A x y x yρ ρ .




22231

21s


izkaza:

p q r s

3.

Odrediti inverznu funkciju funkcije

1

1

x

f x x

i skicirati grafik.



5. Koristeći tautologije dokazati skupovnu jednakost A B B A .


a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?


7. Koliko se trouglova dobija konstrukcijom svih dijagonala konveksnogdvanaestougla ako im se temena poklapaju sa temenima dvanastougla?


x x




10. Napisati algoritam, po izboru, za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .




11. Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?

1

p2

p3

p f

1 1 1 01 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1

12. Uprostiti izraz i zatim nacrtati logičko digitalno kolo

p q p s p q p r s

13. Nacrtati regularne grafove stepena 2.

14. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 7 čvorova?

15. Dat je graf, napisati njegovu matricu incidencije, matricu susedstva i listususedstva

a

b

c

d

16. Konstruisati binarno stablo koje sadrži imena data poređana u abecednom poretku: Ana, Vanja, Dušan, Mile, Žika, Mladen, Predrag

17. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova P i Q koristeći Dajkastrinalgoritam

P

Q

D E

3

23

44 62

26

1C A B

F









Rešenje:

a) 10 95 4V V

b)10 105 4V V

7. Koliko se trouglova dobija konstrukcijom svih dijagonala konveksnogdvanaestougla ako im se temena poklapaju sa temenima dvanastougla?

Rešenje:

123

12220

3C


x x


Naći član koji ne sadrži x.Rešenje:

7 84T


Rešenje:

1. Za 1n 1 25 2 9 , je deljiv sa 3.2. Za n k 15 2k k pretpostavljamo da je deljivo sa 3.

3. Za 1n k 1 2 1 15 2 5 5 2 2 3 5 2 5 2k k k k k k k

4. Svaki sabirak je deljiv sa 3,čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2 ,

jdeljivost dokazana i za 1n k

, odakle zaključujemo da je je formula tačnaza sve prirodne brojeve.

10. Napisati algoritam po izboru za računanje faktorijela ! f n n za 0n N .




11. Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?

1

p2

p3

p f

1 1 1 01 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1

12. Uprostiti izraz i zatim nacrtati logičko digitalno kolo

p q p s p q p r s

Rešenje:

p s

13. Nacrtati regularne grafove stepena 2.Rešenje:

14. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 7 čvorova?Rešenje:

12 4

2k v

l

15. Dat je graf, napisati njegovu matricu incidencije, matricu susedstva i listususedstva




a

b

c

d

Rešenje:

, ,

,

,

, ,

lv

b c d a

a d b

a d c

a b cd

1 1 1 0 0

1 0 0 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

ab ac ad bd cd

a

b A

c

d

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

A

16. Konstruisati binarno stablo koje sadrži imena data poređana u abecednom poretku: Ana, Vanja, Dušan, Mile, Žika, Mladen, Predrag.

Rešenje:

17. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova P i Q koristeći Dajkastrinalgoritam

P

Q

D E

3

23

446

2

26

1

C A B

F

Ana

Vanja

Z ika

D usan

M ile

M lade nPr edrag



ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 20.06.2011

1. U skupu

2, 1,0,1,2 A definisana je relacija

2 2: , : x y A x y x yρ ρ .

Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.

2. Dati su iskazi : 2 2,4,6,......,2 ,... p A x x N x n , !q P n n ,

0r a a i 3 3 3s a a .

Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećeg iskaza:

p q r s .

3. Ako je 3 1 f x x i 2g x x odrediti 2 1 f g .

4. Ako je , , A a b c , , B x y . Odrediti A B i B A .

5. Koliko se brojeva između 3000 i 6000 može napisati od cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,

ako se cifre ne ponavljaju?

6. Koja je permutacija numerika, od osnovne a,e,i,k,m,n,r,u ?

7. Zbir koeficijenata drugog i trećeg člana binoma 31

n

a aa

jednaka je 28.

Odredi član koji sadrži 5a .

8. Primenom pravila modus tolens izvesti zaključak:(objasniti)

Ako danas ima snega, ići ćemo na skijanje.

Nećemo ići na skijanje.


10. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?

p q r f

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1




b) Minimizirati dobijeni izraz i nacrtati logičko kolo.

Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni graf

11. Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni

graf.

12. Da li je graf sa slike planaran? ( objasniti )

13. Primenoma) Primovog algoritma,

b) Kruskalovog algoritma

od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor a za korena

stabla.

a b d c

e

f gh

i j k

l

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

4

4

4

5

14. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin algoritam.

a b d c

e

f g h

i j k

l

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

4

4

4

5

1 kolokvijum – zadaci 1,2,3,4,5,6,72 kolokvijum –zadaci 8,9,10,11,12,13,14

Ceo ispit – zadaci 1,3,5,7,9,11,13




1. U skupu

2, 1,0,1,2 A definisana je relacija

2 2: , : x y A x y x yρ ρ .

Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije.

Rešenje:

: 2, 2 , 2,2 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1

1,1 , 0,0 , 2,2 , 2, 2

ρ

Osobine :

Relacija je refleksivna , jer 2 2 x x

Relacija je simetrična , jer 2 2 2 2 x y y x

Relacija je tranzitivna , jer 2 2 2 2 2 2 x y y z x z

Znači ova relacija je relacija ekvivalencije.

Razlikujemo 3 klase ekvivalencije 1 2 32,2 , 1,1 , 0C C C .

Količnički skup je 1 2 3/ , , A C C C ρ .

3boda

2. Dati su iskazi : 2 2,4,6,......,2 ,... p A x x N x n , !q P n n ,

0r a a i 3 3 3s a a .


iskaza: p q r s .

Rešenje:

, , , p T q T r T s T τ τ τ τ

p q r s

T T T T

T T

T

3 boda

3. Ako je 3 1 f x x i 2g x x odrediti2 1

f g

.

Rešenje:Ako je

1 2 1 2 1 2, x x R x x f x f x , odnosno 1 2 1 2 f x f x x x

preslikavanje je 1-1.

Dakle1 2 1 22 2 x x x x , čime smo dokazali da je preslikavanje“1 1 ”.

Kako je ,2

y y R x R x

zaključujemo da je preslikavanje “na”.




Prema tome postoji inverzno preslikavanje 1

2

xg x y .

2 3 3 1 1 9 4 f x x x , pa dobijamo

2 1 2 1 9 42

x f g f g x .

3boda

4. Ako je , , A a b c , , B x y . Odrediti A B i B A .

Rešenje:

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

A B a x a y b x b y c x c y

B A x a y a x b y b x c y c

A B B A

2boda

5. Koliko se brojeva između 3000 i 6000 može napisati od cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,

ako se cifre ne ponavljaju?

Rešenje:

Brojeva između 3000 i 4000 ima 7

3 7 6 5 210V . Znači ukupno ih

je 7

3

3 3 210 630V 630

3boda

6. Koja je permutacija numerika, od osnovne a,e,i,k,m,n,r,u ?

Rešenje:

Da bi slovo n izbilo na prvo mesto treba da prođe 5 7! 5 5040 25200 permutacija.

nu: još 6 6! 6 720 4320 num: još 4 5! 4 120 480 nume: još 1 4! 1 24 24 numer: još 3 3! 3 9 27

numeri: još 1 2! 1 2 2 numerik: još 1 1! 1 1 1 i naredna 30055 je tražena

3boda

7. Zbir koeficijenata drugog i trećeg člana binoma 31

n

a aa

jednaka je 28.

Odredi član koji sadrži 5a .

Rešenje:




N=7, k=3, T4=35a5

3boda

8. Primenom pravila modus ponens izvesti zaključak:Ako danas ima snega, ići ćemo na skijanje.

Nećemo ići na skijanje.

Rešenje:Danas nema snega

q

p q

p

2boda


2boda

10. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadatatablicom?

p q r f

1 1 1 01 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1


Rešenje:

pqr pqr pqr pqr pqr

Mimimalizovano

p q r

2+2 boda




11. Definisati i nacrtati jedan bipartitivni graf 3,3K i jedan kompletan bipartitivni

graf.

Rešenje:

2boda


Rešenje:

Kada bi bio planaran važila bi Ojlerova teorema 10, 15, 7v e f . Morao bi da

ispunjava uslov da je 2 30 35 5e f , što nije tačno. Znači graf nije planaran.

3boda

13. Primenom

a) Primovog algoritma, b) Kruskalovog algoritma


stabla.

a b d c

e f g h

i j k

l

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

4

4

4

5

Rešenje:a) dužina 24




a b d c

e f g h

i j k

l

2

2

2

3

3

3

33

1

1

1

b)

Zadržane grane težine

cd 1

bf 1

kl 1

ab 2

cg 2

fj 2

bc 3

gh 3

ae 3

ij 3

jk 3

2+2boda

14. Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin algoritam

a b d c

e f g h

i j k l

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

4

4

4

5

Rešenje:

abfjke dužine 9

3boda




0,0a 2,b a 6,d c 5,c b

3,e a 3, f b 6,g f 9,h g

7,i e 5, j f 8,k j 9,l k

2

2

2

3

3

33

3

3

3

1

1

14

44

5

1 kolokvijum – zadaci 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

2 kolokvijum –zadaci 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

Ceo ispit – zadaci 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.



PRVI KOLOKVIJUM IZ DISKRETNE MATEMATIKE 5.04

1.

U skupu 3 3 A x x Z x

definisana je relacija na sledeći način 2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati

je grafički i tablično. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencijeodrediti klase ekvivalencije.

2. Primenom tautologija dokazati skupovnu jednakost:

\ A B B


k

q V k , r A B B A , i22

23121

s


izkaza:

p q r s .

4. Odrediti 1 f x g x ako su date funkcije 1

2

x f x i 2 2g x x


2 B x x P x P , a zatim izračunati \P A B A B .

6. Koliko u gradu ima petocifrenih brojeva telefona:



7. Koja po redu je permutacija 24153 od osnovne 1,2,3,4,5?


x x





Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE 05.04.2012

1.

U skupu 3 3 A x x Z x

definisana je relacija na sledeći način 2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati

je grafički i tablično. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencijeodrediti klase ekvivalencije.

Rešenje:

12

2

0

3

3

1

1 2 3 4 50, 2 , 3,1 , 1 , 3 , 2C C C C C


\ A B B

Rešenje:

p q B , ovo je tautologija



22231

21s


izkaza:

p q r s

Rešenje:

, , , p T q r sτ τ τ τ

p q r s T τ

4. Odrediti 1 f x g x funkcije 1

2

x f x i 2 2g x x

Rešenje:Prvo dokažemo da je preslikavanje 1-1 i na.

1

1 1 1

2 2

2 2 2 2 4 6

f x x

f f g f g x x



Rešenje 1 kolokvijuma IZ DISKRETNE MATEMATIKE 05.04.2012


2 B x x P x P , a zatim izračunati \P A B A B .

Rešenje:

3 0,1,2

2 0,1,2,3,4

A x x P x

B x x P x P

\ 3,4

3,4 , 3 , 4 , 3, 4

A B A B

P

6. Koliko u gradu ima petocifrenih telefonskih brojeva:

a) ako svaki broj čine različite cifre, b) ako se cifre ponavljaju?( tel broj ne može da počne sa 0)

Rešenje:

a) 10 9

5 4V V

b)10 10

5 4V V

7. Koja je po redu 24153 permutacija bez ponavljanja elemenata od osnovne

1,2,3,4,5?

Rešenje:1 4! 2 3! 0 2! 1 37


x x

, zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana je 46.


Rešenje:

18 2

1

7

46 90 1 2

96

84

k k

k

n n nn

T x x k k

T



2 kolokvijum

1. Konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja:

Ja ili sam veseo ili sam tužan.

Nisam veseo.

Ako sam tužan, sedim kod kuće.

Zaključak: Sedim kod kuće.


3. Napisati algoritam za izračunavanje zbira brojeva od 1 do N, gde je N poznato.

4. Dato je logičko kolo

p

p

q

qr

r

a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja b) Napraviti tablicu ove funkcije

c) Na osnovu tablice napisati konjuktivnu formu funkcije

d) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo

5. a) Da li je moguće 6 gradova povezati putevima da iz tih gradova redom izlazi

5,4,3,2,2,2 puteva b) Ako je moguće, koliko graf koji predstavlja gradove i puteve ima grana?

c) Da li je ovaj graf Ojlerov?

d) Da li je Ojlerov put?

Za svaki odgovor potrebno je obrazloženje

6. Koliko najviše grana ima bipatritivni graf 2,3K , objasniti i nacrtati ga?


grana?



8. Napisati matricu incidencije, matricu susedstva i listu susedstva za graf

9. Formirati koreno binarno stablo pretrage ako elementi dolaze sledećim redom:

5,15,8,2,10,16,6,7,2.

10. Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem:

a) Primovog algoritma


G H

D E

2

3

44

7

5

22

6

1

C

A B

F 3

1

11. Primenom algoritama pretrage u širinu i dubinu nacrtati stabla od zadatog grafa,

uzimajući čvor a kao koren stabla.



ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 10.04. 2013

1. U skupu 2 2 A x x Z x definisana je relacija na sledeći način

2 2: , : x y A x y x yρ ρ . Prikazati je grafički, tablično i napisati parove

koji su u relaciji. Ispitati osobine relacije. Ako je relacija ekvivalencije odrediti

klase ekvivalencije.

2. Ispitati da li je sledeća formula tautologija: p q p r q r

3. Odrediti 1 f x g x

ako su date funkcije 1

2

x f x i 2 2g x x

4. Dat je skup 1,2,3,4,5,6,7 A . Koliko ima sedmocifrenih brojeva kod kojih se

cifre ne ponavljaju, a koji počinju sa 123

a) u datom poretku,

b) u proizvoljnom poretku.

5. Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro. Detaljno obrazložiti odgovor.

Ako danas sija sunce onda neću nositi kišobran. Ako je novembar mesec onda se

uvek nosi kišobran. Novembar je.

Zaključak: Ne sija sunce.

6. a) Kako izgleda disjunktivna forma Bulove funkcije ako je funkcija zadata tablicom?

p q r f

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 1

0 0 1 00 0 0 1



8. Koliko listova ima potpuno binarno stablo sa 8 čvorova?





10. Dat graf na slici:

a) Odredti dužinu najkraćeg puta između čvorova a i l koristeći Dajkastrin

algoritam.

b) Pomoću Primovog algoritma,c) Kruskalovog algoritma


stabla.

a b d c

e f g h

i j k

l

2

2

2

3

3

3

4

2

2

3

1

1

1

4

4

4

5

Studenti koji rade:

prvi kolokvijum rade zadatke 1,2,3,4,5

drugi kolokvijum rade zadatke 6,7,8,9,10ceo ispit rade zadatke 1,3,4,6, 9



ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 25.06

1 kolokvijum

1. U skupu 3 3 A x x Z x definisana je relacija na sledeći način

2 2: , : 2 2 x y A x y x x y yρ ρ . Odrediti elemente relacije i prikazati je

grafički i tablično. Ispitati osobine relacije.


A B C A C B C

3. Dati su iskazi : p dx x C , n n


22231

21s


iskaza: p q r s .



x f x i 2 2g x x

5. Odrediti skupove 3 A x x N x i 2 B x x N x N , a zatim skup

\ A B A B .

6. Koliko se petocifrenih brojeva može napisati sa ciframa 0,1,2,3,4:a) ako su cifre različite,

b) ako se cifre ponavljaju?

7. Odrediti 88 permutaciju bez ponavljanja elemenata, od osnovne 1,2,3,4,5?

8. U razvoju binoma 2 1

n

x x

, zbir koeficijenta prvog, drugog i trećeg člana je46. Naći član koji ne sadrži x.

2 kolokvijum

9. Izvesti zaključak i konstruisati dokaz koristeći pravila zaključivanja:

Ako student na ispitu zna, položiće ispit.Ako student na ispitu nezna onda može ispit da položi i da ga ne položi.

Zaključak je:

10. Primenom matematičke indukcije dokazati

1 1 1

1 2 2 3 1 1

n

n n n

11. Napisati algoritam za izračunavanje proizvoda brojeva od 1 do N, za zadato N.

12. Dati su grafovi na slici. Koji od njih predstavljaju Ojlerove puteve ili grafove i

Hamiltonove puteve ili grafove? Odgovore obrazložiti.

ab

d c



ISPIT IZ DISKRETNE MATEMATIKE 25.06

13. Da li je moguće napraviti mrežu puteva koja spaja 10 gradova, tako da iz

svakog grada izlazi 6 puteva? Ako je moguće koliko puteva postoji?

14. Izračunati na koliko oblasti deli ravan planarni graf koji ima 6 čvorova i 4grane i nacrtati ga?


16. Ako potpuno binarno stablo ima 63 čvora, koliko ima listova i nivoa?

17.

a) Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem Primovog algoritma b) Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem Kruskalovog algoritma

c) Odrediti najkraći put od čvora C do čvora F primenom Dajkastrinog algoritma

G H

D

2

4

4

7

5

2

6

1

C

A B

F 3

1


p

p

q

qr

r

q

r

a) Napisati algebarski izraz funkcije koje kolo predstavlja

b) Napraviti tablicu ove funkcije

c) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo

Studenti koji rade ceo ispit rade 1,3,6,8,11,12,17,18 zadatak





2 kolokvijum iz diskretne matematike

1. Za unapred unete vrednosti promenljivih a i b napisati algoritam tako da se promenljivoj c dodeljuje manja od vrednosti a ili b. Ukoliko se vrednosti jednake

ispisuje se tekst sa obaveštenjem da je došlo do greške.


p

p

q

q

r

r


c) Na osnovu tablice napisati disjunktivnu formu funkcije

d) Primenom Bulove algebre minimizirati dobijeni izraz i nacrtati jednostavnije kolo

3. Dat je graf na slici.

Da li je on Ojlerov graf, put, Hamiltonov graf, put?

U situacijama kada nije dopuni graf nedostajućim granama.

4. a) ) Da li je moguće 6 gradova povezati putevima da iz tih gradova redom izlazi5,4,4,3,2,2 puteva ?

b) Ako postoji ovaj graf , koliko ima grana?

Obrazložiti odgovor

5. Koliko najviše grana ima bipatritivni graf 3,3K i nacrtati ga?


grana?





8. Formirati binarno koreno stablo pretrage ako elementi dolaze spedećim redom:

5,13,6,8,2,10,16,7,2.

9. Datom grafu pridruži minimalno stablo koriščenjem:

a) Primovog algoritma


uzimajući čvor A kao koren stabla.

c) Odrediti najkraći put od A do H u polaznom grafu, primenom Dijkastrinog

algoritma

G

H

D

E

3

3

44

7

5

2 2

6

1

C A

B

F 5

1

10. Primenom algoritama pretrage u širinu i dubinu nactrati stabla od zadatog grafa,

uzimajući čvor a kao koren stabla.







1. Koja od sledeći rečenica je iskaz:

a) Zemlja je zvezda b) Zemlja je zvezda ili nebesko telo

c) Na kojoj si godini studija?

d) 14>7

e) 2 22 4 4 x x x

f) 2

2 1 x

Odgovore detaljno obrazložiti!

2. Ispitati da li su formule p q i p q ekvivalentne.

3. Dokazati skupovnu jednakost A A B A

4. U skupu 1,2,3,4 A data je relacija preko uređenih parova:

1,1 , 1,2 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,4ρ .

Predstavi relaciju

a) Grafički

b) Tabelarnoc) Ispitaj osobine relacije



x f x i 2 2g x x

6. Student treba da pokaže 4 ispita u 8 dana. Na koliko načina to može da učini ako se

zna da poslednji ispit polaže 8 dana?

7. Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro. Detaljno obrazložiti odgovor.

Ako kamate rastu, onda će cene proizvoda pasti

Kamate ne rastu.Zaključak:

Cene proizvoda neće pasti

8. Napisati algoritam koji za unetih N brojeva izračunava njihov zbir.

9. Da li postoji graf sa 7 čvorova takav da su stepeni čvorova 2,2,4,4,6,3 i5?




10. Dato je logičko

p

p

q

qr

r


c) Na osnovu tablice napisati disjunktivnu formu funkcije

d) Primenom Bulove algebre minimizirati izraz i nacrtati jednostavnije kolo

11. Dato je stablo

A

B C

D

E

F

G

H I

Odrediti LKD, KDL I KLD obilaske stabla.

12. Dat graf na slici:

a) Odrediti dužinu najkraćeg puta između čvorova A i G koristeći Dajkastrin

algoritam.

od zadatog grafa, načiniti minimalno razapeto stablo uzimajući čvor A zakorena stabla.

b) Pomoću Primovog algoritma,

c) Kruskalovog algoritma

G

E

D

24

4

7

5

2

6

1

C

A

B

F

3

1

Studenti koji rade:

prvi kolokvijum rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7

drugi kolokvijum rade zadatke 8,9,10,11,12

ceo ispit rade zadatke 2,4,8, 9, 10, 12

Documents

US - Diskretna - Zadaci