Embed Size (px)
Citation preview
Izpitne naloge iz Diskretnih struktur
RI-UNI, RIT-UNI, ITK-UNI
FERI
dr. Iztok Peterin
Maribor 2008
V tej datoteki so zbrane izpitne naloge predmeta Diskretne strukture na starismeri RI-UNI kot tudi na bolonjski smeri RIT-UNI in ITK-UNI na Fakulteti
za elektrotehniko, racunalnistvo in informatiko iz solskih let 1998/99 do2007/08. Naloge od leta 2001/02 vsebujejo tudi resitve. Ker se je programnekoliko spreminjal, ni odve previdnost pri reevanju. Prosim, da morebitne
napake med resitvami posredujete na [email protected].
1
1. izpit 1998/99
1. Doloci najmanjso podgrupo simetricne grupe S4, ki vsebuje element(1 2 3 43 1 4 2
)2. Preveri ali drzita sklepa:
(a) ¬p ∨ q, ¬q ∨ r, ¬ (p ∨ q ⇒ s) � r ∧ s(b) p ∨ q ⇒ r ∧ s, s ∨ t⇒ u � p⇒ u
3. Naj bo S = {00001, 00002, 00003, . . . , 09999, 10000} . Stevili m in n izmnozice S sta v relaciji R natanko tedaj, ko m lahko dobimo iz n tako,da spremenimo vrstni red cifer stevila n. Recimo (00131, 01301) ∈ R ali(02543, 05423) ∈ R.
(a) Dokazi, da je R ekvivalencna relacija.
(b) Doloci ekvivalencni razred stevila 00324.
(c) Na koliko ekvivalencnih razredov nam razbije mnozico S relacija R.
4. Poisci kromaticni polinom za graf:
Na koliko nacinov lahko pobarvamo graf G z desetimi barvami?
2
2. izpit 1998/99
1. Ali sta mnozici [3,∞) in (−2, 2] enakomocni? Ce sta, poisci bijekcijo mednjima!
2. Dokazi veljavnost naslednjega sklepa:
∀x : (P (x)⇒ ∀y : (Q (x)⇒ R (x, y)))∃x : (P (x) ∧ ∃y : ¬R (x, y))� ∃x : ¬Q (x) .
3. V mnozici pozitivnih racionalnih stevil Q+ definiramo operacijo ∗ s pred-pisom a ∗ b = ab
a+b . Kaj je (Q+, ∗) kot algebrska struktura?
4. Induktivni razred Gn je podan z bazo in naslednjimi pravili:
(a) Pokazi, da imajo vsi grafi iz razreda Gn sodo stevilo tock!
(b) Ali so vsi grafi iz razreda Gn ravninski?
(c) Pokazi, da velja n = 2 (f − 2) , ce je n ctevilo tock grafa in f steviloobmocij na katera graf razreze ravnino!
3
3. izpit 1998/99
1. Preveri ali je graf Hamiltonski in doloci njegovo kromaticno stevilo.
2. Pokazi, da sta mnozici A = [0, 1) ∪ (2, 3] in B = (2, 3] enakomocni.
3. Pokazi, da je mnozica I = [1, 2) ∩Q z operacijo
x⊕ y ={
xy; xy < 212xy; xy ≥ 2
Abelova grupa.
4. Induktivni razred grafov Cn je dolocen z bazo B in pravilom P.
(a) Poicsi povezavo med stevilom tock in stevilom povezav v vsakemgrafu razreda Cn.
(b) Ali je graf s slike element razreda Cn?
4
4. izpit 1998/99
1. Na mnozici Z× Z je definirana operacija ∗ s predpisom:
(a, b) ∗ (c, d) =(a+ (−1)b c, b+ d
).
Dokazi, da je G = (Z× Z, ∗) nekomutativna grupa.
2. Dokazi veljavnost naslednjega sklepa:
∃x : P (x) ∨ ∃x : Q (x)∀x : (P (x)⇒ Q (x))� ∃x : Q (x) .
3. Nad abecedo Σ = {a, b, c} sestavi induktivno definicijo za naslednji razredizjav: vsi nizi vsebujejo 1999 a− jev in ce niz vsebuje n c − jev, vsebuje2n b− jev.
4. Povezavi e = uv in f = u′v′na grafu sta v relaciji Θ, ce velja
d (u, u′) + d (v, v′) 6= d (u, v′) + d (u′, v) .
(a) Zapisi katere povezave na ciklu C5 so v relaciji Θ.
(b) Ali je Θ tranzitivna relacija?
(c) Poisci ekvivalencne razrede relacije Θ∗ na ciklu C6.
5
5. izpit 1998/99
1. Induktivni razred M ⊆ Z× Z je definiran takole:
B. (0, 0) ∈MP1. (i, j) ∈M ⇒ (i+ 3, j − 2) ∈MP2. (i, j) ∈M ⇒ (i− 2, j + 3) ∈M.
Ali sta elementa (2, 3) in (3, 2) iz M. Dokazi, da za vsako naravno stevilovelja (n, n) ∈M.
2. Preveri ali drzita sklepa:
(a) p ∨ r, p⇒ q, r ⇒ s � q ∧ s(b) p ∨ q, ¬q, r ⇒ ¬p � ¬r
3. Na mnozici A = {a, b, c, d, e, f} imamo definirano relacijo
R = {(a, e) , (b, a) , (b, c) , (b, f) , (c, d) , (d, e) . (f, e)} .
Poisci tranzitivno ovojnico R∗ relacije R in pokazi, da je R∗ Strogo delnourejena. Narisi se graf relacije R.
4. Ali sta grafa G in H :
(a) Hamiltonska,
(b) izomorfna?
6
6. izpit 1998/99
1. mnozici celih stevil definiramo relacijo
R = {(m,n) ; mn > 0} ∪ {(0, 0)} .
Pokazi, da je R ekvivalencna relacija in doloci ekvivalentne razrede.
2. Prevedi naslednji besedili v izjavni racun in preveri resnicnost sklepov:
(a) student, ki ima naslednji dan izpit, si rece: ce bo jutri dez, bomnaredil. Naslednji dan je lepo vreme. Ali to pomeni, da je studentpadel na izpitu?
(b) Racunalnicar, ki dobro obvlada teorijo, vedno naredi dober program.Dober program je lahko prodati. Torej: racunalnicar, ki ne prodasvojega programa, ne obvlada dobro teorije.
3. Induktivni razred Cn nad abecedo Σ = {a, b} je definiran z
B. λ ∈ CnP1. x ∈ Cn ⇒ a3x ∈ CnP2. x ∈ Cn ⇒ xb3 ∈ Cn
P3. axb ∈ Cn ⇒ x ∈ Cn.
(a) Ali so nizi a4b7, a1999b, b2000 iz razreda Cn?
(b) Pokazi: ce je anbm ∈ Cn, je tudi ambn ∈ Cn.
4. Za naslednji graf resi problem kitajskega postarja z zacetkom in koncemv a.
7
1. izpit 1999/00
1. Na mnozici A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} je definirana relacija R s pred-pisom
mRn⇐⇒ (m | n) ∨ (n | m) .
Preveri, ali je R ekvivalencna relacija.
2. S pravilnostno tabelo preveri ali sta izjavi p∧(q ∨ r) in ¬ (p ∧ q)⇒ (p ∧ r)enakovredni.
3. Za graf na sliki ugotovi:
(a) Ali je Eulerjev?
(b) Doloci njegovo kromaticno stevilo!
(c) Ali je graf ravninski?
4. Naj bo K konceptualen razred nad abecedo Σ = {a, b, c} , v kateremnastopa c natanko 2000 krat. Poisci induktivni razred Cn, ki je enakK in to tudi dokazi.
8
2. izpit 1999/00
1. Pokazi, da je mnozica F = {f1, f2, f3, f4} , kjer so f1 (x) = x, f2 (x) =1x , f3 (x) = −x in f4 (x) = − 1
x , grupa za kompozitum preslikav (f ◦ g) (x) =f (g (x)) .
2. V grafu G imamo tocke VG = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , povezave pa so defini-rane s predpisom
EG = {pq | p+ q je prastevilo} .
Narisi graf G in preveri ali je Hamiltonov in ravninski.
3. Preveri veljavnost naslednjega sklepa:
p⇒ q ∨ r, q ⇒ ¬p, ¬ (s ∧ r) � p⇒ ¬s
4. Induktivni razred Cn je podan z bazo in pravili:
B. aba ∈ CnP1. xby ∈ Cn ⇒ xabya ∈ CnP2. xby ∈ Cn ⇒ xbya ∈ Cn
P3. xby, ybz ∈ Cn ⇒ xbz ∈ CnP4. xaabyaa ∈ Cn ⇒ xabya ∈ CnP5. xby, ybx ∈ Cn ⇒ xcy ∈ Cn.
(a) Katere izmed besed a2ba4, a3ba2, aca in a2ca3 so iz Cn?
(b) Pokazi, da je pravilo P3 izpeljano iz ostalih pravil.
9
3. izpit 1999/00
1. Preveri ali veljata naslednja sklepa:
(a) p ∨ q, ¬p ∨ r, ¬r, � q,
(b) p⇐⇒ q, q ⇒ r, r ∨ ¬s, ¬s⇒ q, � s.
2. Doloci podgrupo grupe S4, ki jo generirata permutaciji
α =(
1 2 3 41 3 4 2
)in β =
(1 2 3 42 4 3 1
).
3. Poisci resitev diferencne enacbe
an+2 − an = cosπn
2+ n2n, a0 = 1, a1 = 1.
4. Povezavi e = uv in f = u′v′na grafu sta v relaciji Θ, ce velja
d (u, u′) + d (v, v′) 6= d (u, v′) + d (u′, v) .
(a) Zapisi katere povezave na ciklu C5 so v relaciji Θ.
(b) Ali je Θ tranzitivna relacija?
(c) Poisci ekvivalencne razrede relacije Θ∗ na ciklu C6.
10
4. izpit 1999/00
1. Za poljubne mnozice A, B in D pokazi trditvi:
(a) A ⊆ BC ⇐⇒ A ∩B = ∅,(b) A ∩B 6= ∅ ∧B\D = ∅ ⇒ A ∩D 6= ∅.
2. Poisci vse podgrupe grupe (Z60,+60) in jih razvrsti v mrezo z relacijo ⊆ .Ali je ta mreza Boolova algebra?
3. Na mnozici celih stevil je definirana relacija R s predpisom
aRb⇐⇒ 5 | (3a+ 2b) .
Ali je R ekvivalencna relacija? Ce je, doloci se ekvivalencne razrede!
4. Ugotovi stevilo tock in stevilo povezav v polnem dvodelnem grafu Kmn inpoisci vse polne dvodelne grafe, ki so regularni.
11
5. izpit 1999/00
1. Pokazi veljavnost naslednjega sklepa
∀x : (p (x) ∨ q (x))∀x : [(¬p (x) ∧ q (x))⇒ r (x)]� ∀x : (¬r (x)⇒ p (x)) .
2. Narisi mrezo vseh deliteljev stevila 315, ce je
a ∩ b = D (a, b) in a ∪ b = v (a, b) .
Ali je ta mreza lahko Boolova algebra?
3. Na mnozici {1, 2, 3, . . . , 10} je definirana relacija R s predpisom
aRb⇐⇒ a− b = 3k, k ∈ Z.
Ali je R ekvivalencna relacija? Ce je, doloci se ekvivalencne razrede!
4. Preslikava f : Z4 × Z4 → Z4 je definirana s predpisom
f ((n,m)) = n+4 m.
Pokazi, da je f epimorfizem in doloci ker f.
12
6. izpit 1999/00
1. Preveri ali veljata naslednja sklepa:
(a) p⇒ q ⇒ r, p ∨ s, ¬s, t⇒ q, � ¬r ⇒ ¬t,(b) p, p⇒ r, p⇒ (q ∨ ¬r) , ¬s ∨ ¬q, � s.
2. Pokazi, da sta kroga z enacbama (x− 2)2 + y2 ≤ 1 in x2 + y2 ≤ 4enakomocna. (Poisci bijekcijo med njima.)
3. Poisci resitev diferencne enacbe
an+2 + 4an+1 + 4an = 7n22n, a0 = 1, a1 = 2.
4. Pokazi, da ne obstoja regularen graf stopnje 3 na 7 tockah. Narisi se grafna 7 tockah z zaporedjem stopenj (1, 1, 2, 3, 3, 4, 6) .
13
1. izpit 2000/01
1. Kaksno strukturonam predstavlja mnozica matrik oblike
M ={[
a b0 c
]; a, b, c ∈ R, ac = 1
}z operacijo mnozenja matrik?
2. Poisci resitev diferencne enacbe
an+2 − 4an = 2− 8n+ 3n, a0 = 0, a1 = 5.
3. Pokazi veljavnost naslednjega sklepa:
∀x : (p (x)⇒ (q (x) ∧ r (x)))∀x : [p (x) ∧ s (x)]� ∀x : (r (x) ∧ s (x)) .
4. Na mnozici A = {a, b, c, d, e, f} je definirana relacija
R = {(a, b) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, b) , (d, a) , (d, c) , (f, e)} .
Opisi korake Floyd-Warschalovega algoritma in tudi izracunaj R!
14
2. izpit 2000/01
1. Na mnozici
A = {0, 1, 2, . . . , n} × {0, 1, 2, . . . , n} , n ∈ N,
definiramo relacijo R s predpisom
(a, b)R (c, d)⇐⇒ a− b > c− d.
Ali je R strogo delno ureja mnozico A? Poisci posebne elemente (mini-malne in maksimalne ter prvega in zadnjega, ce obstajajo).
2. Ali je grupa (Z2,+2)×(Z4,+4) izomorfna grupi (Z8,+8)? (Namig: upostevaj,da izomorfizem slika inverze v inverze.)
3. Mnozici tock
[a, b] ={
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}
recemo pravokotnik. Pokazi, da je mnozica pravokotnikov
P ={
[a, b] ; a, b ∈ R+0
}za relacijo ⊆ (vsebovanost mnozic) mreza. Kaj sta ∩ in ∪?
4. Za graf na sliki doloci:
(a) ali je Eulerjev,
(b) ali je ravninski,
(c) ali je Hamiltonov.
15
3. izpit 2000/01
1. Naj bo H podgrupa grupe G. Relacija ∼ na grupi G je definirana s pred-pisom x ∼ y ⇔ xy−1 ∈ H za vsak x, y ∈ G. Pokazi, da je ∼ ekvivalencnarelacija.
2. Poisci resitev diferencne enacbe
an+3 − 8an = 2n+1n2 + 2n, a0 = a2 = a4 = 0.
3. Preveri veljavnost naslednjega sklepa:
∀x : (p (x)⇒ ∀y : (q (y)⇒ r (x, y)))¬∀x : [p (x)⇒ ∀y : r (x, y)]
� ¬∀x : q (x) .
4. Danemu besedilu T priredimo graf G = (V,E) na naslednji nacin:
V = {t ; crka t nastopa v besedilu T}E = {(u, v); crki u in v sta sosedi v besedilu T},
ce ne upostevamo presledkov in locil. Za besedilo FAKULTETA ZARACUNALNISTVO IN INFORMATIKO narisi graf in preveri ali je ravnin-ski in Eulerjev.
16
4. izpit 2000/01
1. Pitagorejsko sestevanje je definirano z operacijo a ‡ b =√a2 + b2. Kaj je
(R+0 , ‡) kot algeberska struktura?
2. Naj bo n naravno stevilo. Na mnozici A = {0, 1, . . . , n} × {0, 1, . . . , n}definiramo relacijo R s predpisom
(a, b)R(c, d)⇔ a+ b > c+ d.
(a) Ali je relacija R strogo delno ureja mnozico A?
(b) Ali je R sovisna?
(c) Poisci R-minimalne in R-maksimalne elemente.
3. Prevedi v izjavni racun naslednji pogovor, ki je (baje) potekal med ocetomin sinom v anticni Grciji in preveri ali sta sklepa pravilna.
Oce:”Ce bos posten, ti bodo nasprotovali bogati in mocni. Ce bos lagal, tibodo nasprotovali preprosti ljudje. Lahko si le ali postenjak ali laznivec.Torej: ali ti bodo nasprotovali bogati in mocni, ali pa preprosti ljudje.”
Sin:”Ce bom postenjak, me bo podpiralo ljudstvo. Ce bom laznivec, mebodo podpirali bogati in mocni. Ker sem lahko ali laznivec ali postenjak,me bodo podpirali ali bogati in mocni, ali pa preprosto ljudstvo.”
4. Povezavi e = uv in f = u′v′na grafu sta v relaciji Θ, ce velja
d (u, u′) + d (v, v′) 6= d (u, v′) + d (u′, v) .
(a) Zapisi katere povezave na ciklu C5 so v relaciji Θ.
(b) Ali je Θ tranzitivna relacija?
(c) Poisci ekvivalencne razrede relacije Θ∗ na grafu hisa na sliki:
17
5. izpit 1999/00
1. Kaj predstavlja mnozica
M ={[
a bc d
]| a, b, c, d ∈ Q, ad 6= bc
}z operacijo [
a bc d
]?
[p qr s
]=[ap+ cq bp+ dqar + cs br + ds
]kot algeberska struktura?
2. Tocki na grafu, ki ima stopnjo ena, recemo list, vsem preostalim tockam panotranje tocke. Razred grafov T sestavljajo vsa drevesa, v katerih imajovse notranje tocke stopnjo tri.
(a) Pokazi, da je za grafe iz razreda T stevilo listov za 2 vecje od stevilanotranjih tock.
(b) Narisi vse neizomorfne grafe razreda T na 12 tockah.
(c) Ali obstaja drevo iz T na 13 tockah?
3. Resi diferencno enacbo
an+2 + an+1 − 4an − 4an−1 = 2n + cosπn
3, a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2.
4. Skiciraj mnozici
A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4 ∨ (3 ≤ x ≤ 4 ∧ −2 ≤ y ≤ 0)}
B = {(x, y) ∈ R2 | (x− 3)2 + (y + 4)2 ≤ 1 ∨ (−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1)}
in pokazi, da sta enakomocni.
18
6. izpit 2000/01
1. V grupiG = (A, ?) izberemo poljuben element q ∈ A in definiramo grupoidH = (A, �) z operacijo a � b = a ? q ? b.
(a) Pokazi, da je tudi H grupa.
(b) Pokazi, da je preslikava f : a 7→ a ? q−1 izomorfizem grup G in H.
2. Graf Kk,m,n, k ≥ m ≥ n ≥ 1 je sestavljen iz treh disjunktnih mnozic tocks k,m in n elementi ter vseh povezav med tockami iz razlicnih mnozic.
(a) Narisi K2,2,3. Ali je ravninski?
(b) Za katere vrednosti k,m in n je graf Kk,m,n Eulerjev?
3. Na mnozici A = {a, b, c, d, e, f} je definirana relacija
R = {(a, e) , (b, a) , (b, c) , (b, f) , (c, d) , (d, e) , (f, e)}.
Z Floyd-Warschalovim algoritmom (korake utemelji) poisci tranzitivnoovojnico R in pokazi, da je R strogo delno urejena.
(a) Dokazi pravilnost sklepa:
p ∨ q, (¬p ∧ q)⇒ r |= ¬r ⇒ p.
(b) Preveri ali je naslednja izjava tavtologija:
(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (p⇒ r).
19
1. izpit 2001/02
1. Vsako naravno stevilo n lahko (na en sam nacin) zapisemo v obliki
n = pa11 p
a22 . . . pai
i ,
kjer so p1 < p2 < . . . < pi prastevila in a1, a2, . . . , ai naravna stevila.S pomocjo tega zapisa priredimo vsakemu naravnemu stevilu n dve za-poredji:
a(n) = (a1, a2, . . . , ai, 0, 0, . . .) in p(n) = (p1, p2, . . . , pi, 0, 0, . . .).
Na mnozici naravnih stevil definiramo relaciji A in P takole:
mAn⇔ a(m) = a(n) in mPn⇔ p(m) = p(n).
(a) Opisi relacijo A ∗ P.(b) Katere izmed relacij A,P,A ∗ P so ekvivalencne?
2. Doloci grupi, ki ju generirata permutaciji
α =(
1 2 3 4 5 62 3 4 5 6 1
)in β =
(1 2 3 4 5 62 3 1 5 4 6
).
Ali sta grupi izomorfni?
3. Resi diferencno enacbo
2an+2 + an+1 − an = 3n2 + 2n+ 4 sinπn
3, a0 = 1, a1 = −1.
4. Dokazi ali ovrzi naslednja sklepa:
(a) p ∨ q, ¬p, ¬q ∨ r, s⇒ ¬r |= ¬s.(b) ∀x : (p(x) ∧ q(x)), ∃x : (p(x) ⇒ (r(x) ∧ q(x))), ∀x : ¬s(x),∀x : (r(x)⇒ (s(x) ∨ t(x))) |= ∃x : t(x).
20
2. izpit 2001/02
1. Pokazi, da mnozica preslikav oblike
f(x) = ax+ b, a 6= 0, a, b ∈ Q, x ∈ R
sestavlja grupo za kompozitum funkcij ◦. Ali je to Abelova grupa?
2. Naj bo f : A → B surjektivna funkcija. Na A definiramo relacijo ∼ sformulo
a ∼ b⇔ f (a) = f (b) .
Dokazi, da je ∼ ekvivalencna relacija in ugotovi kaj so ekvivalencni razredi.Kdaj je ekvivalencnih razredov koncno in kdaj stevno mnogo.
3. Dokazi ali ovrzi naslednja sklepa:
(a) p⇒ (r ∧ q), r ⇒ (s ∨ t), ¬s, p ∧ q |= t.
(b) p⇒ (q ⇒ r), ¬p⇒ ¬q, p |= r.
4. Za graf na sliki preveri ali je:
(a) Eulerjev,
(b) Hamiltonov,
(c) ravninski.
21
3. izpit 2001/02
1. Podana je mnozica
A = {(a, b) | a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0}
in operacija ∗(a, b) ∗ (c, d) = (ac− 5bd, bc+ ad).
Ali je (A, ∗) grupa?
[Resitev: Je grupa. Pri notranjosti operacije je treba paziti na dodatenpogoj! Asociativnost je rutinsko delo. Enota e = (1, 0) in inverz (a, b)−1 =(
aa2+5b2 ,
−ba2+5b2
).]
2. Na realnih stevilih je definirana relacija ∼:
∀x, y ∈ R, x ∼ y def⇐⇒ x− y ∈ Z.
Pokazi, da je ∼ ekvivalencna relacija in opisi ekvivalencne razrede.
[Resitev: Zlahka se pokaze, da relacija je ekvivalencna. Ekvivalencnirazredi so: [x] = {y ∈ R | y = x− k, k ∈ Z} za vsak x ∈ [0, 1).]
3. Poisci resitev linearne kongurence 29x ≡ 5 mod 385 na dva nacina:
(a) direktno;
(b) s pomocjo Kitajskega izreka o ostankih.
[Resitev: x ≡ 40 mod 385. V (b) primeru je potrebno razbiti 385 naprastevila.]
4. Podana sta grafa G = (V (G), E(G)) in H = (V (H), E(H)). Kartezicniprodukt G�H je graf z V (G�H) = V (G) × V (H). Tocki (x, y) in (a, b)tvorita povezavo v G�H, ce velja x = a in yb ∈ E(H) ali xa ∈ E(G) iny = b. Narisi graf P3�K1,3 in ugotovi ali je ravninski.
[Resitev: Graf je na sliki, oznacene tocke tvorijo subdivizijo K3,3, tako dani ravninski.]
www
w www
w www
w�����
��� �
���
� �� �� �
22
4. izpit 2001/02
1. Po Sahari gre karavana sestavljena iz n kamel. Na koliko nacinov se lahkopo pocitku v oazi razporedijo tako, da nobena kamela ne hodi za istokamelo kot je hodila pred pocitkom? Naredi se poseben primer za n = 4.
[Resitev: Vseh razvrstitev je n!. Razvrstitev, kjer vsaj ena kamela hodi zaisto kot prej, je
(n−1
1
)(n−1)!–binomski simbol nam pove na koliko nacinov
lahko izberemo to eno kamelo iz n− 1 kamel (prva od prej ne more hoditiza isto kot prej!!!), (n − 1)! pa nam pove na koliko nacinov jih lahkorazporedimo v vrsto. Podobno nadaljujemo: za vsaj dve kameli za istimikot prej je
(n−1
2
)(n−2)! in tako naprej. Po nacelu vkljucitev in izkljucitev
dobimo # = n!−(n−1
1
)(n− 1)! +
(n−1
2
)(n− 2)!− · · ·+ (−1)n−1
(n−1n−1
)1! =∑n−1
k=0(−1)k(n−1k
)(n− k)!. V primeru, ko je n = 4 je # = 11.]
2. Z matriko A zakodiraj po modulu 26 besedno zvezo VLAK JE ODPEL-JAL, ce je matrika
A−1 =[−3 62 5
].
Odkoriraj se niz HGMD.
[Resitev: A =[−5 62 3
], zakodirani niz je JFNKMFUKBTC AFDN,
odkodirana beseda je TEMA.]
3. Doloci vse podgrupe grupe Z105 ter jih razvrsti v mrezo. Ali je dobljenamreza Boolova algebra?
[Resitev: Podgrup je osem: Z105, {0}, 〈3〉105, 〈5〉105, 〈7〉105, 〈15〉105,〈21〉105, 〈35〉105, kjer mnozica 〈a〉b predstavlja vse veckratnike stevila apo modulu b. Mreza je 3-kocka, kar je seveda Boolova algebra.]
4. Resi Kitajski problem postarja za graf na sliki!
v
v
v
vvv
vvvv ```````
����TTTTTTbbbbb
bbb
XX
XXXXX
����
TTTTT
5
3
3
5
15
42
5
36
23
241
4
3 13
[Resitev: V grafu sta dve tocki lihe stopnje, tako da moramo poiskati potmed njima, ki porabi najmanjso vrednost. Obstajata dve poti med njimaz vrednostjo 14. Eno izmed teh dveh je treba preoditi dvakrat. Skupensestevek je 89.]
23
4. izpit 2001/02
1. Poisci vse celostevilske resitve sistema kongurenc
x ≡ 2 mod 3x ≡ 3 mod 4x ≡ 4 mod 5x ≡ 6 mod 7.
[Resitev: x ≡ −1 mod 420.]
2. Resi diferencno enacbo
an+2 − 4an+1 + an = 3n+ 2n, a0 = a1 = 0.
[Resitev: an = −7+6√
312 (2 +
√3)n − 7+6
√3
12 (2−√
3)n − 32n+ 3
2 −2n
3 .]
3. Naj bosta ∼1 in ∼2 ekvivalencni relaciji na mnozici X.
(a) Ugotovi, ali je relacija R definirana s predpisom
∀x, y ∈ X, xRy def⇐⇒ (x ∼1 y) ∨ (x ∼2 y)
ekvivalencna relacija na X![Resitev: R ni tranzitivna in ni ekvivalencna relacija.]
(b) Ugotovi, ali je relacija S definirana s predpisom
∀x, y ∈ X, xSy def⇐⇒ (x ∼1 y) ∧ (x ∼2 y)
ekvivalencna relacija na X![Resitev: S je ekvivalencna relacija.]
4. Ali sta grafa G in H na sliki izomorfna? Doloci se njuni kromaticni stevili.
[Resitev: χ(G) = 4 in χ(H) = 3, saj sta barvanji vidni na sliki, hkrati paG vsebuje podgraf K4 in H vsebuje podgraf K3. Grafa nista izomorfna,saj imata razlicni kromaticni stevili. (Ali tocki stopnje 3 v G sta sosedi,medtem ko tocki stopnje 3 v H nista sosedi in se kak razlog bi se nasel.)]
t
t
t
ttt
tttt t
t
t
ttt
tttt
##�����@@LLLLL
�����XXX
XX
���
QQQ
����� XXXXXXTTTT ,
,,
ll �
��
ZZZ�
���������```A
AAA��
����
����
��TTTTXXX
XXX
�����
G H
12
3 41 4
4
2
31
2
1
32
2 3
3
1
23
24
6. izpit 2001/02
1. Na mnozici [1, 3]× [2, 5] definiramo relacijo � s predpisom
(x, y) � (a, b)def⇐⇒ x < a ∨ (x = a ∧ y ≤ b).
Pokazi, da je � linearna ureditev (ki ji pravimo leksikografska). Ali �linearno ureja celo ravnino R2?
[Resitev: Relacija je linearna na [1, 3] × [2, 5] in tudi na R2. V dokazu jetreba upostevati distributivnost logicnih operatorjev ’in’: ∧ in ’ali’ ∨.]
2. V ravnini imamo 6 tock (A,B,C,D,E, F ) od katerih nobena trojica nelezi na isti premici.
(a) Koliko premic dolocajo?
(b) Koliko trikotnikov dolocajo?
(c) Koliko trikotnikov s stranico CE dolocajo?
(d) Koliko trikotnikov z ogliscem C dolocajo?
[Resitev: 15, 20, 4 in 10.]
3. Na mnozici N0 definiramo binarno operacijo ∗ s predpisom a∗ b = D(a, b),pri cemer je D(0, 0) = 0 in D(a, 0) = a. Ugotovi, kaj je (N0, ∗) kotalgeberska struktura. Kaj pa (N, ∗)? Ali imata strukturi absorpcijskielement?
[Resitev: (N0, ∗) je komutativni monoid (enota je 0) in (N, ∗) je komuta-tivna polgrupa. V obeh primerih je absorpcijski element 1.]
4. Ugotovi ali je graf na sliki ravninski in ugotovi njegovo kromaticno stevilo.
[Resitev: Graf zlahka pobarvamo s 4 barvami in vsebuje K4 kot podgraf.Torej je χ(G) = 4. Graf je ravninski-iz vsakega K4 ’vzemi’ eno diagonaloin jo narisi ’okoli’.]
1. izpit 2002/03
1. Podani sta permutaciji
α =(
1 2 3 4 5 63 1 2 5 6 4
)in β = (1 2 3 4) .
Poisci podgrupi v S6 generirani z α in z β. Ali sta podgrupi izomorfni?[Resitev: G = (id, α, α2) in H = (id, β, β2, β3). Nista izomorfni, saj imatarazlicno stevilo elementov.]
25
wwwwwwww
w w
w w%%%@@@
���
@@@
eee���
��� @@@
@@@
���
2. Resi diferencno enacbo
an+2−5an+1+6an = 1+6n−2n2, a0 = 2 in a1 = 4.[Resitev:an = 2n+3n−n2.]
3. Mnozici tock [a, b] recemo pravokotnik. Pokazi, da je mnozica pravokot-nikov P za relacijo ⊆ (vsebovanost mnozic) mreza.
[a, b] ={
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}, P =
{[a, b] ; a, b ∈ R+
0
}Kaj sta ∩ in ∪? Ali obstajata prvi in zadnji element? [Resitev: Zlahka sepreveri, da je P delno urejena mnozica; [a, b]∩[c, d] = [min{a, c},min{b, d}]in [a, b]∪ [c, d] = [max{a, c},max{b, d}]; prvi element je [0, 0], zadnjega pamreza nima.]
4. Posplosen Petersenov graf Pn,k je definiran z
V (Pn,k) = {ui, vi | i ∈ Zn}, E(Pn,k) = {uiui+1, uivi, vivi+k | i ∈ Zn}.
Narisi grafa P5,2 in P8,2 ter preveri ali sta ravninska. [Namig: tocke ui najbodo razporejene po zunanji kroznici, tocke vi pa po notranji.] [Resitev:P5,2 ni ravninski (oznacene tocke tvorijo subdivizijoK3,3); P2,8 je ravninski(stiri v-je narises zunaj okoli).]
uuu
u u
uu
uu
ulllll�������B
BBBBB�����
!!!bb
���
AAA
������CCCCCCc
ccc
��
��
n k lu uu u uuuu
u u
u u
uu
uu
llll����
����AAA����PP
PP�������l
ll"""aaaa
XXX�����
��
%%%%LLLXXXXLLL��� A
AA
P5,2 P8,2
26
2. izpit 2002/03
1. Sod z volumnom 500 litrov polnimo z 12 oziroma 14 literskimi vedri. Nakoliko nacinov lahko napolnimo sod, ce napolnitev pomeni kolikokrat smouporabili 12 litersko in kolikokrat 14 litersko vedro? V sod vedno zlijemopolno vedro. Vode iz soda ne zajemamo.
[Resitev: na 6 nacinov in sicer (2, 34), (9, 28), (16, 22), (23, 16), (30, 10)in (37, 4), pri cemer prvo stevilo pove kolikokrat smo zajeli z 12 litrskimvedrom in drugo s 14 literskim vedrom.]
2. Pokazi, da je mnozica matrik
M ={[
a b0 c
]| a, b, c ∈ R, ac = 1
}grupa z operacijo mnozenja matrik. Ali je se vedno grupa, ce spremenimopogoj ac = 1 v ac = 2?
[Resitev: ce upostevamo lastnosti matrik, zlahka pokazemo, da je grupa.Ni pa vec grupa s spremenjenim pogojem—nimamo vec notranjosti op-eracije.]
3. Na tockah ravnine R2 definiramo relacijo 2 s predpisom:
(x, y) 2 (a, b)def.⇐⇒ x < a ∨ y ≤ b.
Ali relacija 2 delno ureja ravnino R2? Ali je relacija 2 strogo sovisna?
[Resitev: 2 ne ureja delno ravnine, je pa strogo sovisna.]
4. Za graf na sliki preveri ali je
(a) Eulerjev ali semi-Eulerjev? [Resitev: ima stiri tocke lihe stopnje(b, c, g, h) in ni Eulerjev niti semi-Eulerjev.]
(b) Hamiltonov ali semi-Hamiltonov? [Resitev: obhod se zlahka najde—G je Hamiltonov in semi-Hamiltonov]
(c) doloci njegovo kromaticno stevilo! [Resitev: λ(G) = 3—zlahka gapobarvamo s tremi barvami λ(G) ≤ 3, vsebuje pa trikotnik λ(G) ≥ 3.]
uuu
uuuuuu%%% @
@@�
��e
ee
����������
27
3. izpit 2002/03
1. Opisi korake Warshallovega algoritma na mnozici {a, b, c, d, e, f} za relacijo
R = {(b, c), (b, e), (c, e), (d, a), (e, b), (e, c), (f, a), (f, f)}.
Ali je dobljena tranzitivna ovojnica R∗ tudi ekvivalencna relacija?
[Resitev: Relaciji R se do R∗ dodajo le se pari (b, b), (c, b), (c, c) in (e, e); niekvivalencna, saj ni refleksivna (na diagonali so tudi nicle) in ni simaetricna.]
2. Na koliko nacinov lahko izberemo 9 zog s kupa rdecih, modrih in zelenihzog, ce:
(a) ni omejitev; [Resitev: 55.]
(b) moramo vzeti vsaj 4 zelene zoge; [Resitev: 21.]
(c) lahko vzamemo najvec 3 modre zoge. [Resitev: 34.]
3. Resi sistem kongruencnih enacb
11x ≡ 3(mod 26)13x ≡ 4(mod 33)17x ≡ 5(mod 35).
[Resitev: x ≡ 25225(mod 30030).]
4. Na sliki sta grafa G in H. Ali sta izomorfna? Ali je G ravninski? Dolocise kromaticno stevilo χ(G)!
[Resitev: G in H nista izomorfna (edina tocka stopnje 2 v H ima obasoseda stopnje 3, medtem ko ima v G enega soseda stopnje 3 in enegastopnje 4); G ni ravninski-vsebuje subdivizijo K3,3; χ(G) = 3-vsebujetrikotnik, 3-barvanje pa oznacujejo stevila na sliki.]
s s
s ss s
s
����������
��
BBBBBBBBBB
@@@������@@@@
lllee
ssss
s s
\\\\����
���
��
LLLLLLL�������������
DDDDDD
sEEEEEEEEE
���
G H
� ��� ��
m3 2
13
2 31
28
4. izpit 2002/03
1. G je povezan graf brez ciklov, v katerem so samo tocke stopnje 1, stopnje3 in stopnje 4. Tock stopnje 1 je 12, stevilo tock stopnje 3 pa je tri kratvecje kot stevilo tock stopnje 4. Koliko tock premore graf G? Narisi sekak tak graf!
[Resitev: tock je 20, teh grafov je vec-na primer poti na osmih tockahdodamo po tri liste (tocke stopnje ena) na zacetku in koncu te poti, vsemvmesnim tockam na poti pa po en list.]
2. Resi diferencno enacbo
an+1 − 4an − 12an−1 = (n+ 2)6n, a0 = 1, a1 = 0.
[Resitev: an =(
5128 + 7
32n+ 116n
2)
6n + 123128 (−2)n.]
3. Naj bo A = {1, 2, . . . , 50}. Stevili x = x1x2 in y = y1y2 iz mnozice A stav relaciji R,ce je absolutna vrednost razlike njunih stevk enaka:
xRy ⇐⇒ |x1 − x2| = |y1 − y2|.
Preveri ali je R ekvivalencna relacija. Ce je, doloci se ekvivalencne razrede.
[Resitev: R je ekvivalencna; ekvivalencni razredi: [1] = {01, 10, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45},[2] = {02, 13, 20, 24, 31, 35, 42, 46}, [3] = {03, 14, 25, 30, 36, 41, 47}, [4] ={04, 15, 26, 37, 40, 48}, [5] = {05, 16, 27, 38, 49, 50}, [6] = {06, 17, 28, 39},[7] = {07, 18, 29}, [8] = {08, 19}, [9] = {09} in [11] = {11, 22, 33, 44}.]
4. Naj bo G = {x ∈ R | x > 0, x 6= 1}. Na mnozici G definiramo operacijo ∗s predpisom a ∗ b = aln b za a, b ∈ G. Pokazi, da je (G, ∗) Abelova grupa!
[Resitev: je Abelova grupa.]
29
5. izpit 2002/03
1. Na koliko nacinov lahko sestavis ogrlico iz 5 rdecih, 3 modrih, 2 zelenih in1 crne kroglice?
[Resitev: 1260. Za oglico postavljamo kroglice v krog, zato je potrebnoeno kroglico fiksirat-najbolje crno (ker je samo ena). Ostale postavimov vrsto na 10!
5!3!2! . To stevilo se delimo z 2, saj lahko verizico obracamo.Ni pa potrebno nicesar pristet, saj ni med postavitvami v vrsto nobenega’palindroma’.]
2. Resi sistem kongruencnih enacb
x ≡ 3(mod 10)x ≡ 13(mod 11)x ≡ 15(mod 17).
[Resitev: x ≡ 1443(mod 1870).]
3. Naj bo (G, ∗) grupa in A = {x∗y∗x−1∗y−1 | x, y ∈ G} njena podmnozica.Pokazi, da je (G, ∗) Abelova natanko takrat, ko mnozica A vsebuje le enotogrupe (G, ∗).[Resitev: trditev drzi. Ce je G Abelova, je seveda x ∗ y ∗ x−1 ∗ y−1 = e,saj elementi komutirajo. Ce je A = {e} potem x ∗ y ∗ x−1 ∗ y−1 = e’pomnozimo’ iz desne z y in nato z x in imamo komutativnost.]
4. Za grafG na sliki preveri ali je ravninski, Hamiltonov, Eulerjev ali poleuler-jev. Doloci se njegovo kromaticno stevilo χ(G)!
[Resitev: G je ravninski (le zamenjaj notranji tocki), ni Eulerjev, je poleuler-jev in je Hamiltonov. χ(G) = 4.]
s ss ss
s
s���� A
AAA�
��
���
�
��
��
eeeeeeXXX
XXXX@@@@@CCCCCCCC�������� ,
,,l
lll
30
6. izpit 2002/03
1. Podana sta grafa G = (V (G), E(G)) in H = (V (H), E(H)). Krepki pro-dukt G � H je graf z V (G � H) = V (G) × V (H). Tocki (x, y) in (a, b)tvorita povezavo v G�H, ce velja x = a in yb ∈ E(H) ali xa ∈ E(G) iny = b ali xa ∈ E(G) in yb ∈ E(H). Narisi graf P3 � P4 in ugotovi ali jeravninski ter doloci njegovo kromaticno stevilo.
[Resitev: graf je na spodnji sliki, ni ravninski (oznacene tocke tvorijosubdivizijo K5) in χ(G) = 4.]
2. Resi diferencno enacbo
an+2 + 3an+1 + 2an = 5 sinπn
2, a0 = a1 = 0.
[Resitev: an = 52 (−1)n − (−2)n + 1
2 sin πn2 −
32 cos πn2 .]
3. Poisci vse podgrupe Z390, jih uredi z relacijo ⊆ in jih razvrsti v Hassejevdiagram. Ali je to Boolova algebra?
[Resitev: podgrupe so: 〈0〉 , 〈195〉 , 〈78〉 , 〈130〉 , 〈65〉 , 〈30〉 , 〈39〉 , 〈26〉,〈15〉 , 〈13〉 , 〈10〉 , 〈6〉 , 〈5〉 , 〈3〉 , 〈2〉 , 〈1〉. To je Boolova algebra.]
4. Poisci tri taka zaporedna liha stevila, da je prvo deljivo s 32, drugo s 52
in tretje s 72.
[Resitev: Imamo sistem 2x ≡ −1(mod 9), 2x ≡ −3(mod 25) in 2x ≡−5(mod 49), uporabimo Kitajski izrek o ostankih in dobimo x ≡ 1787(mod 10125).Torej so iskana stevila 3573, 3575 in 3577.]
ssssssssssss
eee�
��@@@���
@@@���
���@@@
@@@���@
@@%%%l mk nj
31
1. izpit 2003/04
1. Poisci vsa realna stevila a ∈ R, da bo (R\{a}, ∗) Abelova grupa, ce je ∗definirana s predpisom x ∗ y = x+ y + xy za x, y ∈ R.[Resitev: enota je 0, inverz pa za a = −1 ne obstaja. Torej je a = −1.Nato je potrebno preveriti se notranjost operacije v R\{−1}.]
2. Poisci resitev diferencne enacbe
an+2 − 4an+1 + 4an = 5− 3n+ 3n, a0 = 2, a1 = 1.
[Resitev: an = 2n(2− n)− 1− 3n+ 3n.]
3. Ce je sklep veljaven, sestavi dokaz, sicer navedi protiprimer:
¬p ∨ r, r ∧ ¬t⇒ p ∧ ¬r, t ↑ ¬r � t⇐⇒ r.
[Resitev: Sklep je veljaven. Ekvivalenco se razdeli na dve implikaciji, natopa se vsaka dokaze s pomocjo pogojnega sklepa.]
4. Za graf G na sliki preveri ali je ravninski in ali je Hamiltonov, ter dolocinjegovo kromaticno stevilo χ(G)!
[Resitev: je Hamiltonov; χ(G) = 3 (G vsebuje trikotnik, po drugi strani paga lahko pobarvamo s tremi barvami); je ravninski (prenesi recimo zgornjilevi tocki po ’diagonali’ in ju se zamenjaj med sabo).]
s ss
sss s
seee���AAAAAAAA�
���BBBB((((
EEEEEEEEEE����������CCCCPP
PPPP
PPPP@@@@@@@
�����
���
""
""
"""
32
2. izpit 2003/04
1. Koliko razlicnih pozitivnih celostevilskih resitev ima enacba x1+x2+x3 =13 ob pogojih x1 ≤ 5, x2 ≤ 7 in x3 ≤ 8?
[Resitev: 29; ce dovolimo se nicle pa 33.]
2. Naj bo ∼ relacija na R definirana s predpisom
x ∼ y ⇐⇒ sinx− sin y ∈ Z.
Pokazi, da je ∼ ekvivalencna relacija in opisi ekvivalencna razreda od 0 inπ6 .
[Resitev: je ekvivalencna relacija [0] = {kπ2 | k ∈ Z} in [π6 ] = {( 16 +
2k)π, ( 56 + 2k)π, ( 7
6 + 2k)π, ( 116 + 2k)π | k ∈ Z}.]
3. Podani sta permutaciji
α =(
1 2 3 4 5 6 7 84 2 1 5 8 6 3 7
)in β = (1, 2, 3, 4) (7, 5, 8) .
(a) Preveri ali α−1 in β komutirata.
(b) Poisci podgrupo v S8 generirano z α.
[Resitev: α−1 in β ne komutirata; 〈α〉 = {id, α, α2, α3, α4, α5}.]
4. Na 4 × 4 sahovnici se lahko iz polj v kotih (1, 4, 13, 16) premikamo v vsasosednja polja, iz preostalih polj pa le diagonalno v sosednja polja. Narisiustrezen graf in ugotovi ali je le ta Hamiltonov, polhamiltonov, Eulerjevali poleulerjev!
1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16
[Resitev: je Hamiltonov in polhamiltonov, ni Eulerjev in ni poleulerjev.]
33
3. izpit 2003/04
1. Poisci zacetno nalogo a0 = 0 in a1 = 1 diferencne enacbe an+2 − 6an+1 +8an = 5n2n.
[Resitev: an = 7 · 4n−1 − 2n−2(7 + 52n+ 5
2n2).]
2. Dokazi, da je mnozica realnih funkcij, ki jo generirata funkciji
f(x) =1x
in g(x) =1
1− x.
za operacijo kompozitum funkcij, tvori koncno grupo. Kaj je enota tegrupe?
[Resitev: Enota je id(x) = x, (f ◦ f)(x) = x, (g ◦ g)(x) = x−1x = f1,
(g ◦ f1)(x) = x, (g ◦ f)(x) = xx−1 = f2 in (f ◦ g)(x) = 1 − x = f3. Vsi
mesani kompozitumi nam dajo ze kako izracunano funkcijo, tako da je〈f, g〉 = {id, f, g, f1, f2, f3}.]
3. Zakodiraj besedo DANES z modulom Q = 31 in kodirnim stevilom s = 7,ce imajo crke nase abecede vrednosti od 1 do 25, ostala mesta pa so x = 26,y = 27, w = 28, q = 29, ! = 30 in presledek je 0. Doloci se dekodirnostevilo t (ts ≡ 1(modϕ(Q))) in dekodiraj besedo BLJAK.
[Resitev: DANES→DAVEF, t = 13 in BLJAK→GJTAP.]
4. Poisci vsa minimalna vpeta drevesa za utezen graf na sliki.
[Resitev: Minimalni vpeti drevesi sta dve; obakrat so na drevesih obepovezavi z utezjo 1, vse povezave z utezjo 2, spodnja leva povezava zutezjo 4 in enkrat ena, drugic pa druga povezava z utezjo 3.]
s sss ss
ss@@@@
,,
,,
llll
43
21
4
55
1 234
2
34
4. izpit 2003/04
1. Poisci vse podgrupe grupe Z260 in jih razvrsti v mrezo z relacijo ⊆. Ali jedobljena mreza Boolova algebra? Odgovor utemelji!
[Resitev: podgrupe so: Z260, 〈2〉, 〈4〉, 〈5〉, 〈10〉, 〈13〉, 〈20〉, 〈26〉, 〈52〉, 〈65〉,〈130〉 in {0}. To ni Boolova algebra.]
2. Na neki osnovni soli je vpisanih 57 prvosolcev. Na koliko nacinov jih lahkorazporedijo v razrede A, B in C, ce mora biti v vsakem razredu
(a) enako stevilo ucencev?[Resitev: # = 57!3!
(19!)3 .]
(b) vsaj 18 otrok?[Resitev: # = 57!3!
(19!)3 + 57!3!(18!)221! + 57!3!
18!19!20! .]
3. Podan je sistem linearnih kongruencnih enacb
x ≡ a(mod 15)x ≡ 4(mod 21)x ≡ 5(mod 11).
(a) Izberi a tako, da bo sistem resljiv in ga resi.[Resitev: a ≡ 4(mod 3); za a = 4, je resitev x ≡ 214(mod 1155).]
(b) Izberi a tako, da sistem ni resljiv. Zakaj obstoj takega a ni v naspro-tju s Kitajskim izrekom o ostankih?[Resitev: katerikoli drug a, recimo a = 0. Ker moduli niso paromatuji ni v nasprotju s Kitajskim izrakom o ostankih.]
4. Ali sta grafa na sliki izmorfna? Ali sta Hamiltonova? Doloci tudi njunikromatici stevili!
[Resitev: Nista izomorfna, saj ima recimo v prvem grafu edina tockastocnje 6 dva soseda stopnje 3, medtem ko tega v drugem grafu ni. StaHamiltonova—zlahka se najde Hamiltonov cikel v obeh grafih.]
tttt tt ttt ttt
ttttt�
��
QQQ
HHH
H
����
@@
��
,,
QQ aaaa
����H
HHH
!!!!
@@@@����@
@@�
��S
SS���
���@
@@t
35
5. izpit 2003/04
1. Koliko resitev ima enacba x1 + x2 + x3 = 19, xi ∈ N, ce
(a) ni omejitev?
(b) velja x1 ≥ 3, x2 ≥ 4 in x3 ≥ 5?
(c) velja x1 ≤ 8, x2 ≤ 8 in x3 ≤ 5?
[Resitev: #a = C(18, 16) = 153, #b = C(9, 7) = 36 in #c = 6.]
2. Poisci vse celostevilske resitve sistema kongruenc
2x ≡ 7(mod 5), 5x ≡ 2(mod 11) in 3x ≡ 1(mod 13).
[Resitev: x ≡ 711(mod 715).]
3. Fibonaccijeva kocka je graf Γk, ki ima za tocke nize nicel in enic dolzinek, v katerih ne smeta nastopati dve zaporedni enici; dve tocki sta sosedikadar se razlikujeta v natanko enem bitu.
(a) Narisi Γ1, Γ2, Γ3 in Γ4.
(b) Izracunaj stevilo tock grafa Γk. [Namig: poisci rekurzivno relacijo.]
[Resitev: glej sliko spodaj; rekurzija je ak = ak−1 +ak−2 z zacetnim pogo-jem a1 = 2 in a2 = 3 dobimo an = 1
2n−15
((5 + 2
√5) (
1 +√
5)n−1
+(5− 2
√5) (
1−√
5)n−1
).]
4. Stevili a in b iz mnozice A = {n ∈ N |10 < n ≤ 16} sta v relaciji R kadarje a− b ≡ 2(mod 3). Zapisi matriko relacije R in poisci njeno tranzitivnoovojnico R.
[Resitev: R =
0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 1 0 0
in R =
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
.]
t t t t t t ttttttttt
ttt
0 110 00 01 000010
100
001
101 00000010
0100 0101
0001
1000 10011010
36
6. izpit 2003/04
1. Poisci splosno resitev diferencne enacbe an+4 − 3an+2 − 4an = 5n+ 4n.
[Resitev: an = C12n+C2(−2)n+C3 sin πn2 +C4 cos πn2 −
56n+ 5
18 + 12044n.]
2. Naj bo f : A → B surjektivna funkcija. Na A definiramo relacijo ∼ spredpisom a ∼ b ⇔ f(a) = f(b). Pokazi, da je ∼ ekvivalencna relacija inopisi ekvivalencne razrede.
[Resitev: ∼ je ekvivalencna, ekvivalencni razredi so praslike, torej [a] =f−1(a) (kot praslika, ne kot inverz).]
3. Na mnozici Z×Q je definirana relacija ∗ s predpisom
(n, e) ∗ (m, f) = (n+m, 2me+ f).
Kaj predstavlja (Z×Q, ∗) kot algebrska struktura?
[Resitev: (Z×Q, ∗) je grupa; enota: (0, 0); (e, f)−1 = (−e,−2−ef).]
4. Za graf na sliki doloci
(a) ali je ravninski;
(b) ali je Eulerjev;
(c) χ(G).
[Resitev: ni ravninski (subdivizija K3,3 je oznacena na sliki); ni Eulerjev—ima tocko lihe stopnje; χ(G) = 2 (dvodelni graf).]
tt tt
ttt
t tt
,,,
���JJJJPPP��
��%%%%eee
QQQQLLLLLLLLL
���������
BBBBBBBB
��������
PPPPPP
XXXXXX
X
n
m k
37
1. izpit 2004/05
1. Stirje decki in osem deklic se posede v krog in igra gnilo jajce. Na kolikorazlicnih nacinov se lahko posedejo, ce jih razlikujemo le po spolu?
[Resitev: # = (12−1)!(4−1)!8! + (12−1)!
4!(8−1)! = 495.]
2. Za tocki (x, y) in (a, b) ravnine definiramo relaciji
(x, y) ≺ (a, b)⇔ x < a ∧ y ≤ b,
(x, y) � (a, b)⇔ x ≤ a ∧ y ≤ b.
Pokazi, da relacija ≺ strogo delno in relacija � delno ureja ravnino R2.
[Resitev: asimetricnost ≺ se najlazje pokaze s protislovjem (redukcijo naabsurd), ostale lastnosti pa zahtevajo rutinsko delo.]
3. Zapisi algoritem, ki stevilo n = (nknk−1 . . . n1n0)10 zapise v dvojiski oblikin = (n`n`−1 . . . n1n0)2 in oceni njegovo casovno odvisnost.
[Resitev: f(r) = 6log10 2r + 2 = O(r), kjer je r = log10 n za algoritem
z = 0,
i = 0
while z > 0
xi = z(mod 2);
z = z(div 2);
i = i+ 1;
end.]
4. Resi Kitajski problem postarja na grafu na sliki, ce zacnes v tocki p.
[Resitev: 52]
t tt ttt
t t,,,
AAA
PPPPPPPP����
hhhhh
JJAA
hhhhhhh
����
bbbb
XXXXCC
((((((
2
5
21
3 5 31
3 25
64
22
2
38
2. izpit 2004/05
1. Poisci vse celostevilske resitve sistema kongruenc
11x ≡ 3(mod 26)13x ≡ 4(mod 33)17x ≡ 5(mod 35).
[Resitev: x ≡ 25225(mod 30030).]
2. Naj bosta (G, ∗) in (G′, ◦) grupi. Pokazi, da je njun produkt (G × G′, ·)grupa, ce je
(a, b) · (x, y) = (a ∗ x, b ◦ y).
Kdaj je ta grupa Abelova?
[Resitev: (G × G′, ·) je grupa in je Abelova natanko takrat, ko sta obe(G, ∗) in (G′, ◦) Abelovi grupi.]
3. Poisci splosno resitev diferencne enacbe
2an+2 − an+1 − an = sinπn
2+ 3n cos
πn
2.
[Resitev: an = C1+C2(− 12 )n+ 1
10
((−3n− 333) sin πn
2 + (−9n+ 124) cos πn2).]
4. Naj bo X = {1, 2, 3, 4, 5} in naj bo V mnozica vseh podmnozic z dvemaelementoma mnozice X. Dva elementa iz V sta sosedi, ce je njun presekprazen. Narisi tako opisan graf! Ali je izomorfen grafu na sliki?
[Resitev: sta izomorfna, oznacitev tock je na sliki.]
tttt ttt
t
t
tJJJJ �
����TTTT
aaaaa��
PPPP
PP
!!!!!@@ !!!!!
DDDDDD
������
{1, 2} {3, 4}
{3, 5}
{4, 5}
{1, 3}
{2, 5}{1, 4}
{2, 3}
{1, 5}
{2, 4}
39
3. izpit 2004/05
1. Na mnozici Z × Q imamo definirano relacijo ∼ s predpisom (a, b) ∼(c, d) ⇐⇒ ad = bc. Ali je ∼ ekvivalencna relacija? Ce je, poisci ekvi-valencne razrede. Preveri se ali je ∼ sovisna.
[Resitev: ∼ ni tranzitivna(poglej elemenet (0, 0)) in torej tudi ni ekvi-valencna; ni sovisna.]
2. Podani sta permutaciji
α =(
1 2 3 4 5 6 73 5 6 1 7 2 4
)in β = (1, 2, 7)(4, 3, 6).
Poisci podgrupo grupe S7, ki je generirana α. Ali je ta (pod)grupa
izomorfna grupi Z2 × Z3? Resi se enacbo απβ = βα.
[Resitev: 〈α〉 = {id, α, α2, α3, α4, α5, α6}; nista izomorfni, saj imata ra-zlicno stevilo elementov; π = (1, 3, 5, 6)(2, 7).]
3. Zakodiraj besedo KOMAR z modulom Q = 31 in kodirnim stevilom s = 7,ce imajo crke nase abecede vrednosti od 1 do 25, ostala mesta pa so x = 26,y = 27, w = 28, q = 29, ! = 30 in presledek je 0. Doloci se dekodirnostevilo t (ts ≡ 1(modϕ(Q))) in dekodiraj besedo AHDTR.
[Resitev: KOMAR→ZGSAH, t = 13, AHDTR→ARDUS.]
4. Za graf G je α(G) velikost najvecje mnozice S ⊆ V (G), za katero poljubnitocki iz S nista sosedi v grafu G. Doloci α(Kn), α(Km,n), α(Pn), α(Cn)in α(G), ce je G podan z
V (G) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}E(G) = {ab, bc, cd, ae, bf, cg, dh, ef, fg, gh, ei, fj, gk, hl, ij, jk, kl}.
[Resitev: α(Kn) = 1, α(Km,n) = max{m,n}, α(Pn) =⌈n2
⌉, α(Cn) =
⌊n2
⌋in α(G) = 6.]
40
4. izpit 2004/05
1. Resi linearno kongruenco 4x ≡ 11(mod 315) na dva nacina
(a) direktno;
(b) s pomocjo Kitajskega izreka o ostankih.
[Resitev: x ≡ 239(mod 315).]
2. Poisci resitev diferencne enacbe
an + an−1 + 6an−2 = 5n(−1)n + 2n
[Resitev: an = (√
6)n(C1 sinϕn+C2 cosϕn) + 132n+ ( 5
6n+ 5536 )(−1)n; kjer
je ϕ = arctan√
23.]
3. Na mnozici M vseh realnih zvezni funkcij je definirana relacija ≤ s pred-pisom f ≤ g ⇐⇒ f(x) ≤ g(x) za vsak x ∈ R. Ali relacija ≤ delno urejamnozico M? Ali je (M,≤) mreza? Kaj sta inf{f, g} in sup{f, g}?[Resitev: relacija ≤ ureja delno mnozico M , hkrati je (M ≤) tudi mreza,kjer sta inf{f, g} = h(x) = minx∈R{f(x), g(x)} in sup{f, g} = k(x) =maxx∈R{f(x), g(x)}.]
4. Graf G je podan z
V (G) = {a, b, c, d, e, f, g, h}E(G) = {ab, ae, ad, ah, bc, be, bf, cd, cf, cg, dg, dh, ef, eh, fg, gh}.
Preveri ali je G ravninski, Hamiltonov ali Eulerjev in doloci χ(G).
[Resitev: G je na spodnji sliki, je ravninski (kot se vidi s slike), je Haminltonov(abcdgfeha), je tudi Eulerjev (vse tocke imajo stopnjo 4) in je χ(G) = 4.]
s
ssssss
s
@@@
���@
@@���HH
HHHAAAAA�����
�����
�����TTTTTHHH
HH���
��a b
cd
e
f
g
h
41
5. izpit 2004/05
1. Dokazi naslednji enakosti:
(a)(nr
)(rk
)=(nk
)(n−kr−k), k ≤ r ≤ n;
(b)(2n2
)= 2(n2
)+ n2.
[Resitev: obe enakosti zlahka dokazemo, ce upostevamo definicijo bi-nomskega koeficienta.]
2. Poisci vse podgrupe grupe C140. Narisi Hassejev diagram teh podgrupglede na relacijo ⊆. Ali je to Boolova algebra?
[Resitev: podgrupe: 〈a〉 ,⟨a2⟩,⟨a4⟩,⟨a5⟩,⟨a7⟩,⟨a10⟩,⟨a14⟩,⟨a20⟩,⟨a28⟩,⟨
a35⟩,⟨a70⟩
in 〈e〉, kjer je recimo⟨a35⟩
= {e, a35, a70, a105}. Hassejev di-agram je na spodnji sliki. To ni Boolova algebra, saj je
⟨a2⟩∩⟨ak⟩6= 〈e〉
za k 6= 0 in⟨a2⟩∪ 〈e〉 =
⟨a2⟩.]
3. Na mnozici vseh premic v ravnini je definirana relacija ∇ s predpisomp∇q ⇐⇒ p = q ali p in q nimata skupnega presecisca. Ali je ∇ ekvi-valencna relacija? Kaj so ekvivalencni razredi? Je ∇ ekvivalencna tudi,ce obravnavamo vse premice v prostoru R3?
[Resitev: ∇ je ekvivalencna relacija v ravnini, [p] = {q | q||p}. V prostoruR3 ∇ ni vec ekvivalencna relacija, saj recimo za premice p : x = y, z = 0,q : x = 1, y = 2, z ∈ R in r : y = −x, z = 0 ne velja tranzitivnost.]
4. Dvodelno kolo BWn je graf, ki ga sestavlja cikel dolzine 2n in dodatnacentralna tocka, ki je soseda vsake druge tocke na ciklu. Narisi BW3 inBW5. Ugotovi koliko tock in koliko povezav ima graf BWn, ali je dvodelen,ravninski in ali je Hamiltonov?
[Resitev: Slika je spodaj, |V (BWn)| = 2n+ 1, |E(BWn)| = 3n, so dvode-leni in ravninski, niso pa Hamiltonovi.]
ttttttttttttttttttt tttt
t
t
t
t
ttt
���
@@@������
���
@@@�
��
@@@���@
@@
���
���@@@
@@@
@@@�
��
���@
@@@@@�
��
���
@@@%
%%
��
��CCCCC
BW3
BW5
〈e〉
⟨a70⟩⟨
a28⟩⟨
a20⟩
⟨a4⟩ ⟨
a35⟩
⟨a7⟩⟨
a2⟩
〈a〉
⟨a5⟩
⟨a14⟩⟨
a10⟩
42
6. izpit 2004/05
1. Poisci splosno resitev diferencne enacbe
an+2 − 9an = n sinπn
4+ 3 cos
πn
4.
[Resitev: an = C13n+C2(−3)n+(− 9
82n+ 1413362
)sin πn
4 +(− 1
82n−11873362
)cos πn4 .]
2. Poisci resitev sistema linearni kongruenc
5x ≡ 7(mod 14)x ≡ 3(mod 17)
4x ≡ 2(mod 15).
[Resitev: x ≡ 2723(mod 3570).]
3. Podana je mnozica A = {f : R → R | f je zvezna in f(1) = 1}. Kajpredstavlja mnozica A z operacijo kompozituma kot algebrajska struk-tura? Ali se kaj spremeni, ce realna stevila zamenjamo z racionalnimi inspustimo pogoj za zveznost?
[Resitev: (A, ◦) je monoid (funkcije, ki niso bijektivne nimajo inverza);nic se ne spremeni.]
4. Za graf G na sliki preveri ali je ravninski, Hamiltonov, pol-Hamiltonov,Eulerjev, pol-eulerjev in doloci χ(G).
[Resitev: ni ravninski, saj zgornje tocke tvorijo K5, ni Hamiltonov, sajmora vsaka izmed srednjih tock imeti na ciklu eno izmed spodnjih tockna sliki-to pa pri razmerju tock 5:2 ne gre; je pol Hamiltonov; ni Eulerjevniti pol Eulerjev; χ(G) = 5.]
t t t t t
t tt t t t t� �' $� �� �� � �@@@
HHHHHH�
������������
��@
@@
������
PPPPPPPPP
43
1. izpit 2005/06
1. Na koliko nacinov lahko sosedovim otrokom Katarini, Reneju in Maticurazdelis 13 bombonov, ce
(a) ni omejitev;
(b) vsak dobi vsaj dva bombona;
(c) vsak dobi najvec sest bombonov.
[Resitev: #a = Cp(3, 13) = 105, #b = Cp(3, 7) = 36 in #c = 21(vkljucitve-izkljucitve).]
2. Za mnozico tock A = {a, b, c, d, e, f} poisci tranzitivno ovojnico R∗ zarelacijo
R = {(a, b) , (c, d), (d, e), (b, e), (e, a), (d, f)}.
[Resitev: R∗ =
1 1 0 0 1 01 1 0 0 1 01 1 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 0 0 1 00 0 0 0 0 0
, R∗ ni ekvivalencna relacija.]
3. Na pravilnem n-kotniku imamo mnozico rotacij ρk okoli sredisca n-kotnikaza kot 2kπ
n . Pokazi, da tvori mnozica {ρk|k ∈ Zn} z operacijo kompozitumaAbelovo grupo. Ali je ta grupa izomorfna ciklicni grupi Cn?
[Resitev: To je Abelova grupa (ρk ◦ ρj = ρk+j), ki je izomorfna grupi Cn.]
4. Za grafa G in H na sliki doloci zaporedje stopenj tock. Ali sta izomorfna?Ali Sta G in H ravninska? Doloci se χ(H) in χ(G).
[Resitev: oba grafa imata isto zaporedje stopenj tock (4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3),G je ravninski (glej sliko), H ni ravninski (vsebuje K3,3, ki je oznacen nasliki), χ(H) = 2 in χ(G) = 3.]
44
t tt ttt
t
tt
ttt
ttt ttt
tt
t
t
tt
@@@
���eeee
���
���
���
HHHH
HH
@@
��@@
,,
@@@@@
��
���������������
���������
������
���� AAAA
AAAAAA
AAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAA
G H
2. izpit 2005/06
1. Ce obstaja, poisci resitev sistema linearnih kongruenc
x ≡ 11(mod 9)x ≡ 2(mod 6)
8x ≡ 3(mod 17).
[Resitev: drugo enacbo razdelimo na dva dela in vidimo, da je tista zmod 3 nepotrebna glede na prvo. (Torej drugo enacbo nadomestimo zx ≡ 2(mod 2).) Potem je x ≡ 146(mod 306).]
2. Poisci zacetno nalogo a0 = 0 in a1 = 1 za diferencno enacbo
an+2 − 4an+1 + 4an =(3n2 + 4
)3n.
[Resitev: an = 2n(−148− 24n) + 3n(3n2 − 36n+ 148.]
3. Razvrsti elemente mnozice (del(858), D, v,′ ) v mrezo. Ali je to Boolovaalgebra?
[Resitev: del(858) = {1, 2, 3, 11, 13, 6, 22, 26, 33, 39, 143, 66, 78, 286, 429, 858}je Boolova algebra, slika mreze je odspodaj.]
4. Grafa G ima za tocke vse podmnozice mnozice {0, 1, 2, 3, 4} z dvema in stremi elementi. Dve podmnozici sta sosedi, ce je ena vsebovana v drugi.Narisi ta graf! Ali je dvodelen? Ali je ravninski?
[Resitev: Graf je na sliki; narisan je tako, da je vidna particija in jedvodelen; ni ravninski-oznacena je subdivizija K3,3.]
45
tttt
ttt
t
t
ttt
tttt
QQQ
@@@@HHH
HHHHTTTT�������
������
���
����
���������
����
�������
LLLLHHHH
HHH@@@@
QQQ
����
����
���
����
HHH
HHH
H
HHHHH
HH@@@
@@@@
�����
��
@@@@
PPPP
PPPP
PP
����
����
����
��
1
2 3 11 13
622
2633 39 143
4292867866
858
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t0,1 0,2 0,3 0,4 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4
0,1,2
0,1,3
0,1,40,2,3
0,2,4
0,3,4
1,2,3
1,2,41,3,4
2,3,4
LLLLLL
bbbbbbbbb
������
AAAAAA
bbbbbbbbb
%%%%%%
LLLLL
bbbbbbbbb
%%%%%
������
bbbbbbbbb
,,,
,,,,
������
bbbbbbbbb
###
####
������
bbbbbbbbb
������
������
LLLLLL
,,
,,
,,,
LLLLL
,,,
,,,,
%%%%%%
LLLLLL
������
%%%%%%
������
G :Del(858):
`j k k
3. izpit 2005/06
1. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih resi:
x ≡ 3(mod 7)x ≡ 5(mod 22)x ≡ 11(mod 15).
[Resitev: x ≡ 731(mod 2310).]
2. Resi diferencno enacbo
an+1 − 5an − 6an−1 = n+ 5n, a0 = 1, a1 = 1.
[Resitev: an = 1811756n + 73
84 (−1)n − 112n−
7144 −
565n.]
3. V grupi (S8, ◦) so podane permutacije
α = (1, 3, 5, 7) (2, 4, 6, 8)β = (1, 5, 3) (2, 4, 6) (7, 8)γ = (1, 3) (4, 7) .
Poisci podgrupo, ki je generirana z α. Ali β in γ−1 komutirata? Resienacbo απγ = β.[Resitev: 〈α〉 = {id, α, α2, α3}, β in γ−1 ne komutirata in π = (1, 8, 2, 4, 7)(3, 5).]
4. Naj bo G = (V,E) graf. Povezavi e, f ∈ E sta v relaciji δ natankotakrat, ko je e = f ali sta e in f nasprotni povezavi v nekem stiriciklubrez diagonal. Ali je δ ekvivalencna relacija? Poisci ekvivalencne razredetranzitivne ovojnice δ∗ za grafa K2,3 in Q3 (kocka).[Resitev: δ je refleksivna in simetricna, ne pa tranzitivna (glej recimoK2,3). Vse povezave K2,3 so v istem ekvivalencnem razredu δ∗; Q3 imatri ekvivalencne razrede (vzporedne povezave, ce Q3 narisemo kot ogrodjekocke).]
46
4. izpit 2005/06
1. Linearno kongruenco 513x ≡ 7(mod 260) resi na dva nacina:
(a) direktno;
(b) s pomocjo Kitajskega izreka o ostankih.
[Resitev: x ≡ −1(mod 260).]
2. Na zboru aktiva kmeckih zena spodnje Sajerske je 5 okroglih miz za 10oseb. Na koliko nacinov se lahko posede 50 zena, ce
(a) ni pogojev;[Resitev: # =
(5010
)9!(4010
)9!(3010
)9!(2010
)9!(1010
)9!5!.]
(b) za vsako mizo je natanko ena izmed petih prepirljivk;[Resitev: # = 5!
(459
)9!(369
)9!(279
)9!(189
)9!(99
)9!5!.]
(c) predsedstvo 10 zena sedi skupaj za najboljso mizo.[Resitev: # = 9!
(4010
)9!(3010
)9!(2010
)9!(1010
)9!4!.]
3. Zaporedji (an)n∈N in (bn)n∈N sta v relaciji ∼, ce in samo ce imata istostevilo nenicelnih elementov. Ali je ∼ ekvivalencna? Ce je, poisci ekvi-valencne razrede. Navedi se protiprimer, da ∼ ni sovisna.
[Resitev: ∼ je ekvivalencna, ekvivalencni razredi:[i] = {(an)n∈N | (an)n∈Nima i nenicelnih elementov}, kjer je i ∈ N0 ∪ {∞}; zaporedji (recimo)(1, 0, 0, 0, . . .) in zaporedje samih nicel tvorita protiprimer da ∼ ni sovisna.]
4. Resi Kitajski problem postarja na spodnjem grafu.
[Resitev: graf je poleulerjev, zato dodamo pot med tockama j in f , ki jenajcenejsa, to je jlhgef . Nato poiscemo Eulerjev obhod, ki “stane” 72.]
tt t t
ttttttt t,
,,((((hhhh
QQQQ������
��```LLLLL��
����������
����@
@@
@@@
@@@@������������Q
QQQ
HHH
HH
4
2
3 53
11
6
10
2
1
21
3 3
2
13
334a
bc
d
e f
g
hij
k l
47
5. izpit 2005/06
1. Resi zacetno nalogo a0 = 12 in a1 = − 11
2 za diferencno enacbo
an+2 − 3an+1 + 2an = 2n+ 5 + 3n.
[Resitev: an = 3n
2 − 6n− n2.]
2. Skiciraj Hassejev diagram mreze vseh deliteljev stevila 340 (za relacijo|).Kako sta definirana infinum in supremum? Ali je ta mreza tudi Boolovaalgebra, ce definiramo komplementiranje z a′ = 330
a ?
[Resitev: slika Hassejevega diagrama je spodaj; inf{a, b} = D(a, b) insup{a, b} = v(a, b); to ni Boolova algebra, saj recimoD(2, 2′) = D(2, 170) =2 6= 1 in mreza ni komplementirana.]
3. Na mnozici M vseh zaporedij je definirana operacija ∗:
(a1, a2, . . .) ∗ (b1, b2, . . .) = (min{a1, b1},min{a2, b2}, . . .).
Kaj predstavlja (M, ∗) kot algeberska struktura? Ali vsebuje absorpcijskielement?
[Resitev: (M, ∗) je komutativna polgrupa, saj nima enote (za katerokolizaporedje e = (e1, e2, . . .) in zaporedje f = (e1 + 1, e2, . . .) velja e ∗ f 6= f ;nima absorpcijskega elementa (podoben argument, le da vzamemo e1 − 1za prvi clen.]
4. Za grafa G = (V (G), E(G)) in H(V (H), E(H)) definirajmo nov graf G∗Hna naslednji nacin:
V (G ∗H) = V (G) ∪ V (H) inE(G ∗H) = E(G) ∪ E(H) ∪ {uv | u ∈ V (G), v ∈ V (H)}.
Narisi grafa P3 ∗ C4 in K4 ∗ N3. Ali je P3 ∗ C4 ravninski? Doloci seχ(K4 ∗N3).
[Resitev: grafa sta na spodnji sliki; P3 ∗ C4 ni ravninski, saj vsebuje grafK3,3 kot podgraf (vse tocke iz P3 in tri tocke iz C4); χ(K4 ∗N3) = 5 (tockeiz N3 dobijo isto barvo, tocke iz K4 pa vsaka svojo.]
48
ttttttttttttt tt tt t
t tt tt tt t
���
@@@������
���
@@@�
��
@@@���@
@@
���
���@@@
@@@
1
17 5 2
8534
104
170 68 20
340
����
����
����
����
hhhh hhhh�����
�����
``` ```
%%%%
%%%%````````Z
ZZ
ZZ
ZZ
ZZZ
��
��
LLL
LLL
ll
ll
lllle
eeeee
eeeeee
������
������
P3 ∗ C4
P3 N3C4
�����
DDDDD
N3 ∗K4
K4
6. izpit 2005/06
1. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih resi:
3x ≡ 12(mod 5)23x ≡ 8(mod 11)40x ≡ 5(mod 17).
[Resitev: x ≡ 899(mod 935).]
2. Na mnozici vseh krooznic v ravnini je definirana relacija � s predpisom
K1 � K2 ⇐⇒ K1 ∩K2 vsebuje natanko eno tocko.
Preveri katerim izmed naslednjh lastnosti ustreza �: refleksivnost, ire-fleksivnost, simetricnost, tranzitivnost, intranzitivnost in sovisnost. Ugo-tovi se, koliko ekvivalencnih razredov ima tranzitivna ovojnica relacije �(utemelji!).
[Resitev: relacija � je irefleksivna in simetricna, ostalih zgornjih lastnostipa nima (poisci protiprimere!). Tranzitivna ovojnica relacije � ima leen ekvivalencen razred, saj lahko med poljubnima kroznicama najdemotretjo, ki se dotika obeh.]
3. Stirje igralci igrajo poker (4 barve po 13 kart), pri katerem dobi vsakigralec dve karti, preostale tri pa so skupne vsem stirim. Na koliko nacinovlahko prvi igralec dobi:
(a) krizevo kraljevo barvo (kriz asa, kralja, damo, fanta in desetko)?
(b) krizevo barvo (vseh pet je krizev)?
(c) poker iz asov (vsi stirje asi, peta karta poljubna)?
[Resitev: najprej je potrebno ugotoviti, da to kako se karte delijo ne vplivana rezultat; #a = 47!5!, #b =
(135
)47!5! in #c = 48!5!.]
49
4. Za graf na sliki doloci ali je Hamiltonov in ravninski in doloci njegovokromaticno stevilo.
[Resitev: Hamiltonov cikel je abcdefghijka, je ravninski (tocki j in kpremaknemo “ven”); χ(G) = 3 (barvanje je na sliki in G ima lih cikel).]
t tt tt t
ttt
t t,
,,���JJJJ
eee
QQQQ
%%%%�����l
lll����AAAA,
,,,H
HHH���
��
aaaaa!!!!!
PPPPPa
b
c
d
e
f
g
hi
j
k
1
2
2
1
2
23
23
13
1. izpit 2005/07
1. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih resi:
5x ≡ 3(mod 7)x ≡ 6(mod 10)
13x ≡ 15(mod 17).
[Resitev: x ≡ 366(mod 1190).]
2. Na mnozici vseh konvergentnih realnih vrst M definiramo operaciji ⊕ in� s predpisoma
∞∑n=1
an ⊕∞∑n=1
bn =∞∑n=1
(an + bn) in∞∑n=1
an �∞∑n=1
bn =∞∑n=1
anbn.
Kaj predstavljata (M,⊕) in (M,�) kot algeberski strukturi?
[Resitev: (M,⊕) je Abelova grupa; (M,�) nima vrednosti kot algebrskastruktura, saj ni zagotovljena notranjost operacije: za a =
∑∞n=1
(−1)n
√n∈
M (konvergira po Weierstrasovem kriteriju) je a � a =∑∞n=1
1n /∈ M
(harmonicna vrsta, ki ne konvergira).]
3. Resi zacetno nalogo a0 = − 13 in a1 = 0 za diferencno enacbo
an+2 + 2an+1 + 4an = 3n2n.
[Resitev: an = 2n(n4 −13 −
112√
3sin 2πn
3 −112 cos 2πn
3 ).]
50
t t tt t tt t tt t tt t tt t tt t tt tt t ttt t tt t tt t t
@@@
@@@
�����
@@@
@@@
�����
�����
@@@���@
@@
���
JJJJJJJ
@@@�
��JJJJJJJ @
@@
%%%
�����
QQQQ
G1G2 G3
a
bc
d
e
fgh
i j
k
l
a
b
c d
e
fg
i
j
hkl
4. Kateri izmed grafov na sliki so izomorfni?
[Resitev: G1∼= G3-glej oznacitev na sliki; G1 � G2, saj sta tocki stopnje
4 v G2 sosedi, v G1 pa ne.]
2. izpit 2006/07
1. Na kmetiji s petimi molznimi stroji imajo 100 krav in deset izmed njihima teleta. Na koliko razlicnih nacinov jih lahko zvecer pomolzejo, ce zavse krave brez telet porabijo isto casa in ce
(a) molzejo vse, vendar je za krave s teleti rezerviran en molzni stroj.[Resitev: # = (
(9023
)23! +
(6723
)23! +
(4422
)22! +
(2222
)22! + 10!)5!.]
(b) molzejo le tiste brez telet.[Resitev: # = (
(9018
)18! +
(7218
)18! +
(5418
)18! +
(3618
)18! +
(1818
)18!)5!.]
2. Na mnozici vseh dvomestnih stevil imamo definirano relacijo ≶ s predpi-som:
x1x2 ≶ y1y2 ⇐⇒ x1 < y1 ∨ x2 ≥ y2.(V zapisu x1x2 je x1 desetica, x2 pa enica dvomestnega stevila.) Preverikatere lastnosti ima relacija ≶ (refleksivnost, irefleksivnost, simetricnost,asimetricnost, antisimetricnost, tranzitivnost, intranzitivnost, sovisnost instroga sovisnost).
[Resitev: je refleksivna in strogo sovisna, ostalo pa ne drzi..]
3. Podani sta permutaciji α = (1, 4, 5)(2, 3) in β = (1, 4, 5).
(a) Ali α in β komutirata?
(b) Ali sta podgrupi 〈α〉 in 〈α, β〉 izomorfni?
[Resitev: α in β komutirata; podgrupi sta izomorfni, saj je β = α4.]
4. Za graf na sliki doloci ali je Hamiltonov in ravninski in doloci njegovokromaticno stevilo.
[Resitev: Hamiltonov cikel je abcdefghijklmna, ni ravninski, saj vsebujesubdivizijo K3,3 (glej sliko); χ(G) = 4.]
51
t t
t ttt tJJJJ
tttt t t t���""""aaaaa
JJJJ%%%%e
ee��BB��
@@@aaa
DD�
��bb
��EEEE!!
!!!
%%
����
SS
aaaaa
���
a b
c
d
ef
g
h
i
j
k
l
mn
j kk
3. izpit 2006/07
1. Kolikoje pravih 5-mestnih stevil, ki imajo
(a) vse stevke razlicne;
(b) vse stevke razlicne in narascajo (na primer 13789);
(c) vse stevke razlicne in padajo;
(d) vsaj dve stevki enaki;
(e) vsaj dve zaporedni stevki enaki.
[Resitev: #a = 27216, #b =(95
)= 126, #c =
(105
)= 252, #d = 62784 in
#c = 30951.]
2. Kaj predstavlja (Z, ∗) kot algebrska struktura, ce je
a ∗ b = 5ab− 3a− 3b.
Kaj pa (Q, ∗)? Ali obstaja absorpcijski element?
[Resitev: oba sta komutativna grupoida; ni aborpcijskega elementa.]
3. Podani sta ekvivalencni relaciji ∼1 na mnozici A in ∼2 na mnozici B. Namnozici A×B definiramo relacijo ∼ s predpisom
(x, y) ∼ (a, b)⇐⇒ x ∼1 a ∧ y ∼2 b.
Ali je ∼ ekvivalencna relacija na A×B? Kaj so ekvivalencni razredi?
[Resitev: direktnose pokaze, da je ∼ ekvivalencna relacija; [(x, y)] = [x]×[y].]
4. Resi Kitajski problem postarja za spodnji graf. Ali je graf ravninski?
[Resitev: dodati moramo pot uvwz in povezavo xy, da dobimo Eulerjevgraf z minimalnim obhodom, ki znese 122. Graf je ravninski, saj le dvepovezavi narisemo “okoli”.]
52
tt
t
t
tt
t
t
tt
tt
t
t
tt
tt
t
tt
@@@
���
@@@�
��
���
@@@
@@@�
��
@@@
@@@�
��
@@@�
��
@@@
@@@�
��
���
���
c
d
AAAAAAAAAAAA
���
���
AAAAAA @
@@
@@2 6
4
3
1 2
3 8
7
6
4
7
3
73
2
1
4
2
35
1
6
2
32
1
1
4
3
11
4
u
v
w
z
x
y
4. izpit 2006/07
1. Linearno kongruenco 27x ≡ 18(mod 476) resi na dva nacina:
(a) direktno;
(b) s pomocjo kitajskega izreka o ostankih.
[Resitev: x ≡ 318(mod 476).]
2. Podani sta permutaciji
α = (1 3 5 6)(2 4) in β =(
1 2 3 4 5 62 4 6 3 1 5
).
(a) V S6 resi enacbo απα−1 = β2.
(b) Ali je < α > izomorfna < β >?
[Resitev: π = (1 3 2)(4 5 6); < α >�< β >, saj so v prvi 4. elementi, vdrugi pa 6.]
3. Poisci vse delitelje stevila 252 in jih razvrsti v mrezo (narisi Hassejevdiagram). Kaj sta infinum in supremum te mreze? Ali je ta mreza Boolovaalgebra?
[Resitev: mreza je na sliki; inf{a, b} = D(a, b) in sup{a, b} = v(a, b); niBoolova algebra, saj je recimo sup{3, a} 6= 252, za vsak a 6= 252.]
4. Graf G ima za vozlisca polja 4 × 4 sahovnice. Dve polji sta sosednji, celahko iz enega polja do drugega pridemo z eno potezo lovca. Narisi grafG in ugotovi ali je Hamiltonov, ravninski in doloci χG).
53
[Resitev: graf G je na sliki, ni Hamiltonov, saj ni povezan; je ravninski glejsliko (narisana je samo ena povezana komponenta, saj je druga izomorfna;oznaceno je tudi barvanje); χ(G) = 4(= ω(G)).]
tttt
tttttt
tttttt
tt
���
@@@������
���
@@@�
��
@@@���@
@@
���
���@
@@
@@@
1
2 7 3
621
9
84
18
36
63
126
252@@
@@
@@
@@
@@@�����
�����
@@
421228
414
del(252)
ssss
ssss
s ss ss ss s
""""Q
""""
bbb Q
QQ"""Q
QQQ
ZZZ���
���
���
bbbQQQ
ZZZ
ss
ssss
"""Q
QQ"""Q
QQQ
ZZZ
s s�������bb hh
12
3
4
34 1
2
G
������
���
5. izpit 2006/07
1. Poisci splosno resitev diferencne enacbe
an+2 − 5an+1 − 6an = n+ 3n.
[Resitev: an = C16n + C2(−1)n − 110n+ 3
100 −1123n.]
2. Na mnozici vseh zaporedij M je definirana operacija ∗ s predpisom
(a1, a2, a3, . . .) ∗ (b1, b2, b3, . . .) = (a1, b2, a3, b4, . . .) .
Kaj predstavlja (M, ∗) kot algebrska struktura? Kaj se spremeni, ce seomejimo na vsa konvergentna zaporedja?
[Resitev: (M, ∗) je polgrupa; ce se omejimo na konvergentna zaporedja,nimamo algebrske srukture, saj nimamo vec notranjostioperacije.]
3. Na mnozici zaporedij je definirana relacija ∼ s predpisom
(an) ∼ (bn)⇐⇒ (an) ∗ (bn) = (bn) ∗ (an) ,
kjer je ∗ operacija iz prejsnje naloge. Ali je ∼ ekvivalencna relacija? Ceje, doloci se ekvivalencne razrede.
[Resitev: opaziti je potrebno, da je (an) ∼ (bn)⇐⇒ (an) = (bn). Potem jeseveda ∼ ekvivalencna relacija z ekvivalencnimi razredi [(an)] = {(an)}.]
4. Ali sta grafa G in H s spodnje slike izomorfna? Ali je H ravninski?
[Resitev: nista izomorfna, saj je recimo edino vozlisce stopnje 6 v grafuG vsebovano v dveh trikotnikih, v grafu H pa v treh trikotnikih. Graf H niravninski, saj recimo notranja vozlisca tvorijo subdivizijo K5.]
54
t tt t
t tt tt tt tt tt t
t tt tt tt tt t
@@@
@@@
���
���
ZZZ
ZZZ
,,,
,,,eeB
BBBBB
�������
���
���PP
PPPP
LL���QQ��
LLL
��
XXX��
����hhhh
hhHH
����EEEE@
@@ �������LLZ
Z``
��PP���
�ee���
��EEE����
�����ll
G H
6. izpit 2006/07
1. Resi zacetno nalogo a0 = 3 in a1 = − 109 diferencne enacbe
2an − an−1 − an−2 = 2n.
[Resitev: an = 13n
2 + 59n−
13 + 10
3 (− 12 )n.]
2. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih poisci vse resitve sistema
5x ≡ 1(mod 8)15x ≡ 7(mod 23)3x ≡ 4(mod 5).
[Resitev: x ≡ 853(mod 920).]
3. Na koncertu fantovske skupine s stirimi clani Janijem, Adijem, Bokijemin Alijem je priletelo na oder 18 enakih medvedkov. Na koliko nacinov sijih lahko razdelijo, ce
(a) ni omejitev;
(b) vsak dobi vsaj dva;
(c) Boki lahko dobi najvec stiri.
[Resitev: #a = Cp(4, 18) = 1330, #b = Cp(4, 10) = 286 in #c = #a −#Boki≥5 = 770.]
4. Graf G je podan z
V (G) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}E(G) = {ac, ah, ad, af, bi, be, bk, bd, bg, cd, ci, cg,
cj, cf, de, dh, df, dk, eh, ek, ei, fj, gi, gj, hk, ij}.
Ali je G izomorfen grafu H s spodnje slike? Ali je H Hamiltonov?
[Resitev: grafa nista izomorfna, saj je stopnja vozlisca d v grafu G 7,medtem, ko takega vozlisca v H ni; graf H je Hamiltonov.]
55
t t
t ttt ttt tt
@@@
ZZZ
,,,H
�����
ee��� E
EE```��������EEEEEE
TTT�
��
EEEE
,,aa
ZZ,,@@
,,
1. izpit 2007/08
1. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih poisci vse resitve sistema
x ≡ 6(mod 17)x ≡ 8(mod 11)x ≡ 5(mod 9).
[Resitev: x ≡ 635(mod 1683).]
2. Izracunaj katerih je vec:
(a) stirimestnih stevil z lastnostjo, da je vsaka naslednja stevka vecja alienaka prejsnji, ali petmestnih stevil z isto lastnostjo;[Resitev: #4 =
(94
)=(95
)= #5 (obojih je enako).]
(b) stirimestnih stevil z lastnostjo, da je vsaka naslednja stevka manjsaali enaka prejsnji, ali petmestnih stevil z isto lastnostjo.[Resitev: #4 =
(104
)<(105
)= #5 (lahko vsebujejo niclo).]
3. Kaj nam predstavlja (Z, ∗) kot algebrsak struktura za
a ∗ b = 5ab− 3a− 3b+ 1.
Se kaj spremeni, ce Z nadomestimo s Q?
[Resitev: (Z, ∗) in (Q, ∗) sta komutativna grupoida, saj asociativnost niizpolnjena.]
4. Mnozica S ⊆ V (G) je dominantna za graf G, ce je vsako vozlisce u ∈ V (G)iz te mnozice ali pa ima soseda v mnozici S. Dominantno stevilo γ(G)grafa G je velikost najmanjse dominantne mnozice. Doloci γ(Pn) in γ(G)za graf G na spodnji sliki.
[Resitev: γ(Pn) =⌈n3
⌉in γ(G) = 6.]
56
tttt
tttt
tttt
tttt
tttt
G
2. izpit 2007/08
1. Poisci splosno resitev diferencne enacbe
an+2 − 3an+1 + 2an = sinπn
2.
[Resitev: an = C12n + C2 + 110 sin πn
2 + 310 cos πn2 .]
2. Z matriko A =[
3 82 −1
]zakodiraj besedo SOVA po modulu 26. Z enako
kodo smo prejeli besedo BVMIPS. Odkodiraj jo!
[Resitev: SOVA→CUZS;A−1 ≡[
11 10−4 −7
](mod 26) in BVMIPS→RLSCV .]
3. Na mnozici A = {a, b, c, d, e, f} imamo definirano relacijo
R = {(a, e) , (b, a) , (b, c) , (b, f) , (c, d) , (d, e) . (f, e)} .
Poisci tranzitivno ovojnico R∗ relacije R in pokazi, da je R∗ Strogo delnourejena. Narisi se graf relacije R.
[Resitev: relaciji R.dodamo povezave (b, e) , (b, d) in (c, e) in dobimo R∗;le ta je strogo delno urejena, saj je tranzitivna po definiciji, je pa tudiasimetricna (ni hkrati poveav (x, y) in (y, x).]
4. Graf G ima stiri vozlisca stopnje 4, pet vozlisc stopnje 2 in sest vozliscstopnje 1, je ravninski in vsebuje natanko dva cikla. Koliko vozlisc imagraf G. Narisi kaksen tak graf!
[Resitev: seveda ima graf vsaj 15 vozlisc in ker bi vsako vozlisce stopnje3 zvisalo stevolo vozlisc stopnje 1 (natanko dva cikla), je 15 tudi stevilovozlisc tega grafa. Takih grafov je vec; eden je ce zlepimo eno vozliscecikla C4 z enim vozliscem cikla C6, nakar dodamo v vsa preostala vozliscacikla C4 po dva lista.]
57
3. izpit 2007/08
1. Resi zacetno nalogo a0 = 4 in a1 = 1 diferencne enacbe
5an+2 − 6an+1 + an = 8n− 2.
[Resitev: an = n2 − 4n+ 4.]
2. Dokazi ali ovrzi naslednja sklepa:
(a) Zmagal bo Popaj ali Silak. Ce zmaga Popaj, bo Oliva vesela. Torej:ce zmaga Silak, Oliva ne bo vesela.[Resitev: sklep je napacen (ce ja Oliva vesela, Popaj zmaga in Sliakzmaga).]
(b) p ∨ q ⇒ r ∧ s, r ∨ t⇒ u � p⇒ u.[Resitev: sklep je resnicen; najlaze ga dokazemo s pomocjo pogojnegasklepa.]
3. Na mnozici A = {a, b, c, d, e, f} je definirana relacija
R = {(a, e), (b, a), (b, c), (b, f), (c, d), (d, e), (f, e)}.
Doloci tranzitivno ovojnico R in pokazi, da R strogo delno ureja mnozicoA!
[Resitev: R = {(a, e), (b, a), (b, c), (b, d), (b, f), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e), (f, e)},seveda je R tranzitivna (po definiciji) in asimetricna (zlahka vidimo) izzato R strogo delno ureja mnozico A.]
4. Resi Kitajski problem postarja za spodnji graf. Preveri se, ali je grafHamiltonov?
[Resitev: med obema vozliscema lihe stopnje dodamo najcenejso pot (ki je6), zato je resitev 58 (narediti je treba Eulerjev obhod); graf ni Hamiltonov,saj je dvodelen z liho vozlisci.]
58
t tt t tt tt
tLLLL����eeee
����
��JJJJJ
JJJ���
����
���
%%%JJJ
���
@@@
bbbbbbb
3 2
527
12
2
35
64
3
5
2
4. izpit 2007/08
1. S Kitajskim izrekom o ostankih resi sistem
x ≡ 33(mod 17)x ≡ 12(mod 18)x ≡ 40(mod 19).
[Resitev: x ≡ 4980(mod 5814).]
2. Dokazi ali ovrzi naslednja sklepa:
(a) Samo pripravljeni studentje naredijo izpit. Nekateri studentje nisonaredili izpita. Torej nekateri studentje niso bili pripravljeni.
(b)
∀x : (P (x)⇒ ∀y : (Q(y)⇒ R(x, y))),¬∀x : (P (x)⇒ ∀y : R(x, y)),
� ¬∀x : Q(x).
[Resitev: oba sklepa sta resnicna.]
3. Deduktivna teorija T = (E , I) je definirana nad abecedo Σ = {|,+,=}z razredom izjav E = {n + k = m;n, k,m ∈ N}, ce n pomeni stevilozaporednih crtic |. Aksiom je definiran z
A. ` |+ | = ||,
pravili pa sta
P1.X + Y = Z ` X|+ Y = Z|,P2.X + Y = Z ` X + Y | = Z|.
59
(a) Pokazi ` 3 + 2 = 5.
(b) Pokazi X + Y = Z ` Y +X = Z.
(c) Ali je T polna glede na preslikavo f : X 7→ X|?
[Resitev: za tocko (a) se uporabi 2 × P1 in P2, za (b) (y − 1) × P1 in(x − 1) × P2 in obratno (kjer se P1 in P2 zamenjata), f ni polna, sajrecimo f : 1 + 1 = 8→ 1 + 1 = 9, vendar noben ni izrek.]
4. Graf G je komplement grafa G = (V (G), E(G)), ce je V (G) = V (G) inE(G) = {uv;uv /∈ E(G)}. Narisi grafe K5, C5, P5 in komplement Pe-tersenevega grafa. Ali je slednji Hamiltonov?
[Resitev: K5 je izomorfen N5 in C5 je izomorfen C5, za preostala glej sliko;komplement Petersenovega grafa je Hamiltonov (po Diracovem izreku).]
tttt tt ttttt
tt tt
tt ttttt
tt tt
tt tttt����
����
������
������ HH
HH
HHHH
���DDDc
c ���EEE���
BBBB
lllhhh aa
aaa
����%%%%%
HHHHTTT
eeeee
bbb
bb
###
!!!!!!
P5
Petersen
60
5. izpit 2007/08
1. Poisci splosno resitev diferencne enacbe
an+2 + 3an+1 + 2an = 5n− 2n.
[Resitev: an = C1(−1)n + C2(−2)n + 56n−
2536 −
112 2n.]
2. V mnozici naravnih stevil je definirana relacija deljivosti | s predpisom
a|b⇔ ∃c ∈ N : b = ac.
(a) Ali je | ekvivalencna relacija?
(b) Doloci |−1, |−1 ∗ |, | ∗ |−1 in |2.
[Resitev: | ni ekvivalencna, saj ni simetricna; a|−1b: a je veckratnik b,a|−1 ∗ |b: a ima enakega delitelja kot b, a| ∗ |−1b: a je delitelj istega stevilakot b (vedno res) in a|2b: a deli b.]
3. S pomocjo Kitajskega izreka o ostankih poisci vse resitve sistema
7x ≡ 3( mod 9)15x ≡ 4( mod 23)3x ≡ 12( mod 5).
[Resitev: x ≡ 264( mod 1035).]
4. Preveri ali je graf na sliki ravninski, Hamiltonov ali Eulerjev!
[Resitev: ni Eulerjev, saj vsebuje vozlisca lihe stopnje; ni ravninski, saj vo-zlisca stopnje 4 tvorijo subdivizijoK5; je Hamiltonov: acdeobkihngfmlja.]
t
ttt t t
t ttttttt
tZZZTTT��
,,,l
llTT������
PPPP
PPP
``````
PPPPlllllTTTT
��������hhh
""
""
""��� ����
EEEEEE���
`
a b
c
d
e
fg
h
i
j
k
l
mn
o
61
6. izpit 2007/08
1. Resi zacetno nalogo a0 = − 25 in a1 = 46
5 za diferencno enacbo
an+1 + 2an + 2an−1 = (n+ 3) · 2n.
[Resitev: an =√
2n(− 2425 cos 3πn
4 + 1625 sin 3πn
4 ) + (n5 + 1425 )2n.]
2. Dokazi ali ovrzi naslednja sklepa:
(a) Barona je umoril nekdo izmed njegovega osebja: kuharica, streznikali sofer. Ce je morila kuharica, je bil zastrupljen s hrano. Ce je krivsofer, je bil vzrok smrti bomba. Hrana ni zastrupljena in streznik nimorilec. Torej: morilec je sofer!
(b) Vsi telovadci so gibcni. Peter je okoren. Torej Peter ni telovadec!
[Resitev: oba sklepa sta resnicna; predpostavki (b) sta ∀x : T (x) ⇒ G(x)in ¬G(p), kjer je p Peter.]
3. Na naravnih stevilih je definirana relacija ∼ s predpisom
m ∼ n⇔ m2(mod10) = n2(mod10).
Ali je ∼ ekvivalencna? Ce je, doloci se ekvivalencne razrede!
[Resitev: ∼ je ekvivalencna, imamo sest ekvivalencnih razredov
[1] = {n ∈ N| enica x-sa je 1 ali 9}[2] = {n ∈ N| enica x-sa je 2 ali 8}[3] = {n ∈ N| enica x-sa je 3 ali 7}[4] = {n ∈ N| enica x-sa je 4 ali 6}[5] = {n ∈ N| enica x-sa je 5}[10] = {n ∈ N| enica x-sa je 0}.]
4. Ali sta grafa G in H s slike izomorfna? Preveri se ali je G ravninski, terali je H Eulerjev ali Hamiltonov.
[Resitev: sta izomorfna (glej oznake), G je ravninski (saj je izomorfen H,ki je ravninski), H ni Eulerjev (4 vozlisca lihe stopnje) in je Hamiltonov:abcfeda.]
Dodatna literatura• V. Batagelj, S. Klavzar, DS1, Logika in mnozice, Naloge, DMFA 1991,
Ljubljana.
62
tttt t t
t
ttt t t
���
@@@ @
@@
���
LLLL���CCC
@@
@@
����@
@@��
������G Ha
bc
d e
f
a b e f
c
d
• V. Batagelj, S. Klavzar, DS2, Algebra in teorija grafov, Naloge, DMFA2005, Ljubljana.
• M. Juvan, P. Potocnik, Teorija grafov in kombinatorika, DMFA 2000,Ljubljana.
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Diskretnih struktur, FERI, Maribor2008, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/ds/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Diskretnih struktur, FERI, Maribor 2008,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/ds/diskretne.pdf
63
