SADRŽAJ:

UvodOsnovni pojmovi matematicke logike................................................................3

KombinatorikaKratak pregled nekih vaznijih kombinatornih objekata.....................................4

Iskazna algebraIzvodjenje zakljucaka.........................................................................................5 Elementi teorije skupovaParcijalno uredjeni skupovi................................................................................6

Kvantifikatorski racun prvog redaPrimjeri valjanih formula...................................................................................8

GrupeNormalne podgrupe i faktorske grupe...............................................................9

Algebarske strukture sa vise operacijaPrsten.................................................................................................................9

Teorija grafovaOperacije sa grafovima....................................................................................11

Formalne teorije i izracunljivostRekurzivne i izracunljive funkcije...................................................................13

Racun vjerovatnoceOperacije sa vjerovatnocama...........................................................................13

Elementi, teorije igaraIgre na grafovima............................................................................................15

Literatura.......................................................................................................16

1

UVOD

1 . O S N O V N I P O J M O V I M A T E M A T I Č K E L O G I K E

Matematičke misli se izražavaju nekim od postojećih jezika koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematičkih simbola. Osnovne cjeline u jednom jeziku su rečenice. Od posebnog interesa su afirmativne rečenice koje imaju neki smisao. Ovakve rečenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.

Definicija 2. Afirmativna rečenica, koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više projenjivih parametara i koja postaje sud uvjek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, naziva se predikat.

Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina predikata. U oznaci predikata uvjek naglašavamo parametre od kojih on zavisi, na primjer, P (x), Q(x,y), R(x1, x2 ,..., xn ) itd.

Definicija 3. Ako su P i Q rečenice, onda se rečenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, označavaju redom sa i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija, ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija rečenica P i Q (odnosno rečenice P kod negacije).

Ako su P i Q sudovi onda se istinitost navedenih složenih rečenica može udvrditi na osnovu vrijednosti istinitosti sudova P i Q bez analize samog značenja rečenica P i Q.

U sledećoj tabeli (tablice istinitosti) navedene su vrijednosti istinitosti složenih rečenica iz definicije 3 u zavisnosti od vrijednosti istinitosti sudova P i Q.

Jedino kod implikacije P Q nailazimo na naizgled neobičnu situaciju kada je τP = 0. Implikacija je tada istinita bez obzira na vrijednosti istinitosti suda Q. To znači: iz pogrešne premise svaki zaključak je logički ispravan. Naravno, zaključivanje iz pogrešnih premisa nema većeg značaja ali su navedene vrijednosti u tablici istinitosti usvojene jer ne »smetaju« čitavoj konstrukciji a u nekim situacijama to ima i izvjesne prednosti.

Rečenica P Q se može pročitati na više ekvivalentnih načina:Ako P, onda Q; iz P proizlazi Q; P povlaci Q;P je dovoljan uslov za Q;Q je potreban uslov za P.

Rečenica P Q se može pročitati na jedan od sledećih načina:Ako je P onda Q i ako Q onda P;P je ekvivalentno sa Q;P važi ako i samo ako važi Q;P potreban i dovoljan uslov za Q;Q je potreban i dovoljan uslov za P.

2

Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je rečenica P Q identična sa rečenicom i da je rečenica P\/Q identična sa rečenicom Od predikata se mogu formirati nove rečenice upotrebom tzv. kvantifikatora. Postoje dva kvantifikatora: univerzalni i egzistencijalni . Simbol se čita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa početnim slovom nemačke reci »aile« (svi) odnosno engleske »all«. se čita »postoji« i potiče od odgovarajućeg njemačkog izraza »es gibt«, odnosno engleskog »exist«.

KOMBINATORIKA

2 . K R A T A K P R E G L E D N E K I H V A Ž N I J I H K O M B I N A T O R N 1 H O B J E K A T A

U novije vrijeme razvili su se unutar kombinatorike razni pravci istraživanja sa veoma kompleksnim sadržajem. Jedan od njih je teorija grafova. Osim toga postoji teorija blok-šema, teorija konačnih geometrija, teorija kodova i druge grane. Navodimo neke osnovne pojmove iz ovih disciplina.

1. Blok-šeme. Posmatrajmo konačan skup , (sa v elemenata). Blok-šema je kolekcija D podskupova skupa S koja zadovoljava neke uslove u vezi broja elemenata u podskupovima, broja pojavljivanja svakog elementa skupa S u tim podskupovima i sl. Podskupovi skupa S koji pripadaju kolekciji D zovu se blokovi.

Definicija 1. Uravnotežena nepotpuna blok-šema (skraćeno BIBD, prema engleskom: balanced incomplete block design) sa parametrima v, k, b, r, λ je kolekcija od b podskupova (blokova) B 1 , B 2 , . . . , B b skupa S = {s1, s2, . . . , sv} kod koje svaki blok sadrži k elemenata, svaki element skupa S se nalazi u r blokova i svaki par elemenata iz S se nalazi u X blokova.

U teoriji blok-šema jedan od osnovnih problema je pitanje egzistencije uravnotežene nepotpune blok-šeme sa zadatim parametrima. Poznati su razni potrebni i razni dovoljni uslovi za egzistenciju ali n isu pronađeni potrebni i dovoljni uslovi. Navodimo neke osnovne potrebne uslove za egzistenciju ovakvih blok-šema.

Teorema 1. Ako postoji BIBD sa parametrima v, k, b, r, λ onda važe relacije

Dokaz. Ukupan broj pojavljivanja elemenata skupa S u blokovima je, sjedne strane, vr jer ima v elemenata a svaki se pojavljuje u r blokova i, s druge strane, bk jer ima b blokova svaki sa po k elemenata. Ovo daje prvu relaciju.

Da bi dobili drugu relaciju prebrojaćemo na dva načina parove elemenata skupa S koji se pojavljuju u blokovima a koji sadrže jedan fiksiran element si iz S. si se pojavljuje u r blokova a u svakom od njih obrazuje po jedan par sa ostalih k—1 elemenata iz bloka. Dakle, traženi broj je r(k—i). S druge strane, si obrazuje v—I parova sa ostalim elementima skupa S, a svaki takav par se pojavljuje λ puta u blokovima šeme pa se dobija za is tu stvar λ (v—1).Ovim je dokaz završen. 2. Konačne geometrije. U kombinatorici se takođe proučavaju konačni skupovi objekata koji imaju osobine tačaka i pravih. To su konačne geometrije. Definisaćemo projektivne ravni koje predstavljaju samo specijalan slučaj konačnih geometrija.

Definicija 2. Projektivna ravan je uređena trojka π={X, Y, ρ), gde je X skup objekata koje zovemo tačkama, Y skup objekata koje zovemo pravama, ρ binarna relacija u X Y (kod koje x ρ y čitamo »tačka x leži na pravoj y« ili »prava y prolazi kroz lačku x«), pri čemu su ispunjeni sledeći uslovi (aksiome projektivnih ravni):

1° dve različite tačke leže na tačno jednoj pravoj,2° dve različite prave polaze kroz tačno jednu zajedničku tačku,3° postoje četiri tačke od kojih nikoje tri ne leže na jednoj pravoj.

Definicija 3. Skup n-torki {X1,...,Xn}zove se kod kodovskog rastojanja d, ako je minimum međusobnih rastojanja n-torki iz koda jednak d.

4. Latinski kvadrati.

3

Definicija 4. Kvadratna šema sa n vrsta i n kolona, u kojoj su elementi a1, a2,... ,an raspoređeni tako da se svaki element pojavljuje tačno jedanput u svakoj vrsti i tačno jedanput u svakoj koloni, naziva se latinski kvadrat reda n.

ISKAZNA ALGEBRA

3 . I Z V O Đ E N J E Z A K L J U Č A K A

Aparat iskazne algebre omogućava da se formalnim putem iz dat ih premisa izvode zaključci. S tim u vezi uvodimo sledeću definiciju:

Definicija 1. Formula F je posljedica skupa formula F={F1, F2, .... Fn} ako F ima vrijednost 1 za sve vrijednosti iskaznih slova za koje svaka od formula iz F ima vrijednost 1.

Ovako definisana posledica naziva se i semantička posledica. Ako je F posljedica skupa formula F piše se F^ ili F1, F2, . . . , Fn F. Formule iz F zovu se hipoteze.

Primjer 1. Formule p i p q imaju vrijednost 1 samo ako je p =1 i q=1. Prema definiciji 1 to znači p, p q'~q. Ako ove formule interpretiramo kao rečenice zamenjujući p rečenicom P i q rečenicom Q dobijamo P, P Q\zQ što treba shvatiti na sledeći način: Iz pretpostavke da je tačno P i da je tačno da P Q zaključujemo da je tačno Q. U ovome prepoznajemo svakodnevni (ispravan) način zaključivanja koji se naziva modus ponens. Na primjeru uviđamo daje definicija 1 korisna. Neposredno se uviđa da važi takođe F1, F1 F2~F2, gde su F1 i F2 proizvoljne formule.

Primjer 2. Provjeriti ispravnost sleđećeg zaključivanja:Ako su cijene visoke, visoke su i zarade. Cijene su ili visoke ili su kontrolisane. Ako se kontrolišu cijene, izbjegava se

inflacija. Međutim, inflacija postoji.Dakle, zarade su visoke.Ako se za pojedine rečenice uvedu sledeće oznake:P — »cijene su visoke«,Q — »zarade su visoke«,R — »cijene se kontrolišu«,S — »postoji inflacija«,

gornje rečenice se mogu redom predstaviti pomoću P Q, P R, R S, S, Q. Dakle, treba provjeriti:

,

što se može učiniti formalno ali nam je potrebna tablica istinitosti sa 4 iskazna slova p, q, r, s. Ispravnost zaključka se uviđa nešto brže ako se služimo sledećim parcijalnim zaključcima: (pravilo kontrapozicije; uporediti sa

tautologijom istog sadržaja), s, (modus ponens), ,(modus ponens).U formalnim dokazima je od interesa sledeća teorema. Teorema 1. Ako su F1, F2, . . . , Fn , F formule iskazne algebre, važi

Napomena. Izraz »ako i samo ako« obilježen je ovdje izuzetno znakom umjesto .

Dokaz. Ako F1, F2, ... , Fn F onda F ima vrijednost 1 kad god F1, F2,. . ., Fn imaju vrijednost 1. U ovom slučaju ima vrijednost 1. No ova formula ima vrijednost 1 i u ostalim slučajevima, tj. kada bar jedna od

formula F1, F2,..., Fn ima vrijednost 0. Stoga je tautologija.

4

Obrnuto, ako je tautologija onda F mora imati vrijednost 1 ako F1, F2,. . . , Fn imaju vrijednost

1, tj. F1, F2,. . . , Fn F. Ovim je dokaz završen.

ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA

4 . P A R C I J A L N O U R E Đ E N I S K U P O V I

Definicija 1. Uređen par (X, ρ), gdje je X neprazan skup a ρ relacija parcijalnog uređenja u skupu X, naziva se parcijalno uređen skup.

Cesto se sam skup X (a ne uređen par (X, ρ)) naziva parcijalno uređen skup.Parcijalno uređeni skupovi su, u stvari, grafovi posebnog oblika. No zbog njihovog posebnog značaja izgrađena je

zasebna teorija koja naravno ima sličnosti sa teorijom grafova.

Definicija 2. Parcijalno uređeni skupovi

su izomorfni ako postoji bijekcija tako da važi

.

Bijekcija f naziva se izomorfizam parcijalno uređenog skupa na parcijalno uređeni skup (X2, ).Preslikavanje definisano pomoću:

predstavlja jedan izomorfizam parcijalno uređenog skupa iz primjera 2 na parcijalno uređeni skup iz primjera 3.

Definicija 3. Parcijalno uređeni skup je podskup parcijalno uređenog skupa (X,ρ) ako je

(tj. je restrikcija relacije ρ definisane u skupu X na podskup Y).

Definicija 4. Elementi x i y parcijalno uređenog skupa su uporedivi ako važi . Elementi x i y su neuporedivi ako vazi .

5

Definicija 5. Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva (neuporediva) naziva se totalno uređeni skup ili lanac (totalno neuređen skup ili antilanac).

Definicija 6. Neka je (X, ) parcijalno uređen skup

1° Element a je najmanji element skupa (X,≤) ako važi a ≤ b za svako .2° Element je najveći element skupa (X,≤)ako važi b ≤ a za svako .

3° Element je minimalni element skupa (X,≤)ako ne postoji tako da vazi b ≤ a.

4° Element je maksimalni element skupa (X,≤) ako ne postoji tako da važi a ≤ b.

Očigledno je najveći element maksimalan ali svaki maksimalan element ne mora biti najveći.Slično tome najmanji element je minimalan ali minimalan element ne mora biti najmanji.

Definicija 7. Totalno uređen skup u kome svaki neprazan podskup ima najmanji element naziva se, dobro uređen skup.Definicija 8. Neka je (X,≤) parcijalno uređen skup i neka je A X.

1° Element je gornja međa podskupa A ako je b ≤ a za svako .2° Element je donja međa podskupa A ako je a ≤ b za svako b A.3° Supremum podskupa A je najmanji element u skupu njegovih gornjih meda.4° Infimum podskupa A je najveći element u skupu njegovih donjih međa.

Dakle,

Definicija 9. Parcijalno uređni skup se naziva mreža (ili S-mreža) ako svaka dva njegova elementa (tj. svaki njegov dvoelementni podskup) imaju supremum i infimum.

Teorema 2. Svaki parcijalno uređen skup je izomorfan nekom skupu skupova parcijalno uređenih inkluzijom.

Dokaz. Neka je dat parcijalno uređeni skup (X,≤). Za svako formirajmo skup i neka

je . Dokazaćemo da su skupovi (X, ≤) i izomorfni.

Izomorfizam je preslikavanje definisano pomoću f(a) = Sa za svako . Lako se može vidjeti da su u važnosti relacije

čime je teorema dokazana.

KVANTIFIKATORSKI RAČUN PRVOG REDA

5 . P R I M J E R I V A L J A N I H F O R M U L A

6

1° Jednu klasu valjanih formula predstavljaju formule izvedene iz tautologija iskazne algebre. Ako se u jednoj tautologiji svako iskazno slovo zamjeni nekom formulom kvantifikatorskog računa, dobijena formula kvantifikatorskog računa je valjana jer pri svakoj interpretaciji ona ima vrijednost 1. Očigledno su interesantnije one valjane formule koje se ne mogu izvesti iz tautologija.

2° Na osnovu definicije 5 iz odjeljka 5.3. očigledno su valjane sledeće formule

(1)

gdje je A(x) formula koja sadrži slobodnu promjenljivu x. Ove formule pokazuju kako se mjenja karakter kvantifikatora kada on zamjeni redoslijed sa znakom negacije. Na osnovu toga negacija rečenice glasi

.

Formule (1) predstavljaju u suštini generalizovane De Morganove formule iz iskazne algebre (videti odjeljak 3.2.). U stvari, ako je domen interpretacije D formula (1) konačan, one se i svode na De Morganove formule. Zaista, ako je

onda u interpretaciji znači isto što i konjukcija , a ima značenje kao i

disjunkcija .Stoga se formula (1) svede na

a to su De Morganove formule.3° Redosljed navođenja istorodnih kvantifikatora očigledno nema posebaa značaj. Na primjer, formula

znači isto što i formula pa je formula <=>

valjana.

Nasuprot tome, redoslijed navođenja raznorodnih kvantifikatora je bitan. Posmatrajmo formule

4° Formula , gde je t term slobodan za protmjenljivu x u formuli A{x), je valjana.

GRUPE

6 . N O R M A L N E P O D G R U P E I F A K T O R S K E G R U P E

7

Neka je (G, ∙ ) grupa i (H, ∙ ) jedna njena podgrupa.

Definicija 1. Skupovi yH={y ∙ z | z H} i Hy={z ∙ y | z H} nazivaju se respektivno ljeva i desna klasa razvoja grupe G po podgrupi H. (Umesto klasa razvoja kaže se i klasa dekompozicije.)

Definicijia 2. Neka je (H,∙) podgrupa grupe (G, ∙ ). Ako je za svako y G ispunjeno Hy=yH,(H, ∙ ) se naziva normalna (ili invarijantna) podgrupa grupe (G, ∙ ).

Definicija 3. Grupa (G|H, ) naziva se faktorska grupa grupe (G, ∙ ) po invarijantnoj podgrupi (H, ∙ ).

Preslikavanje f: G G|H definisano pompću f(x)==Hx je homomorfizam grupe (G, ∙ ) na faktorsku grupu (G|H, ). Zaista preslikavanje je surjekcija i važi

Navedeni homomorfizam naziva se prirodni homomorfizam grupe (G, ∙) na faktorsku grupu (G|H, ).

ALGEBARSKE STRUKTURE SA VIŠE OPERACIJA

7 . P R S T E N

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gde su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1 (S, +) je Abelova grupa;2 (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);

3 (tj. operacija ∙ je distributivna u odnosu na operaciju +).

Teorema 1. U proizvoljnom prstenu (S, +, ∙ ) važi relacija

Dokaz. x ∙ 0 = x ∙ (0+0) = x ∙ 0 + x ∙ 0. Označavajući x ∙ 0 sa y dobijamo y=y+y. »Dodavanjem« elementa (- j) obijema stranama ove relacije dobija se y=0, tj. x ∙ 0 = 0. Na analogan način se dokazuje relacija 0 ∙ x = 0.Ovim jo dokaz završen.

Konstruisaćemo sve prstenove sa 1 i 2 elementa. Postoji samo jedan prsten sa jednim elementom. Obeležimo jedini element prstena sa 0. Cayleyjeve tablice za operacije + i ∙ su

Postoje dva prstena sa dva elementa

8

Aditivna grupa je u oba slučaja jedina grupa sa dva elementa (ciklička grupa), U konstrukciji Cayleyjevih tablica za ∙ teorema 1 ograničava broj mogućnosti. Prvi od ova dva prstena naziva se nula prsten. Drugi prsten je izomorfan sa prstenom ({0, 1},

, ) koji je konstruisan u vezi sa iskaznom algebrom. Izomorfnost se uviđa upoređivanjem Cayleyjevih tablica

sa ranije navedenim tablicama.Primjetimo da ovaj prsten ima neutralni (jedinični) element za drugu operaciju. Elementi ovog prstena su idempotentni

u odnosu na ∙ , tj. za svako x je x ∙ x = x.

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakie, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je ljevi (odnosno, desni) djelitelj nule ako postoji b 0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0). Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djelitelji nule naziva se oblast cjelih (ili područje integriteta).

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ).

Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sledeći uslovi:1° (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x - y T.2° (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

Svaki prstenje podprsten samoga sebe. Takođe, skup koji sadrži samo nulu jednog prstena je podprsten tog prstena. Ovakvi podprstenovi nazivaju se trivijalni podprstenovi.

Definicija 6. Skup I se naziva ljevi, odnosno desni, ideal prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1° (1, +) je podgrupa grupe (S, +);2° odnosno

Ako je I i ljevi i desni ideal, on se naziva ideal.

Očigledno je svaki ideal podprsten. U komutativnem prstenu je svaki ljevi ideal istovremeno i desni, i obrnuto.Idealski uslovi 2° iz definicije 6 se izražavaju pogodno pomoću

S ∙ I I, I - S I,

gde je uveden »proizvod« A ∙ B skupova A i B (A, B S) pomoću

Definicija 7. Neka je I ideal prstena (S, +, ∙ ). Relacija kongruencije po modulu ideala I u skupu S definiše se pomoću

TEORIJA GRAFOVA

8 . O P E R A C I J E S G R A F O V I M A

Nad jednim ili više grafova mogućno je vršiti razne operacije. Rezultati ovih operacija su opet neki grafovi.

9

Počećemo sa operacijom komplementiranja grafa. Ova operacija je unarna, tj. vrši se nad jednim grafom.Neka je G neorijentisan graf bez petlji. Komplement grafa G je neorijentisan graf bez petlji koji ima iste čvorove kao G, pri čemu su dva (međusobno različita) čvora susjedna u ako i samo ako ti čvorovi nisu susjedni u G. Iz definicije sljeduje

, tj. komplement komplementa je polazni graf. Na sl. 1 je predstavljen jedan par uzajamno komplementarnih

grafova.Ako je A matrica susjedstva grafa G, obeležićemo sa matricu susjedstva komplementa . Matrica se može

izraziti pomoću A, jedinične matrice I i kvadratne matrice J, čiji su svi elementi jednaki 1. Očigledno važi relacja =J-A-I.Za grafove sa sl. 1 matrice susedstva imaju oblik:

Dokazačemo sljedeću teoremu:

Teorema 1. Ako je G nepovezan graf, njegov komplement je povezan (tj. bar jedan od grafova G, je povezan graf).

Dokaz. Potrebno je dokazati da su u proizvoljno dva čvora xi i xj povezana putem. Ako xi i xj pripadaju razl ič i t im komponentama povezanosti u G, tada sa oni susjedni u , tj. povezani putem dužine 1.

Ako, pak, xi i xj pripadaju, istoj komponenti povezanosti u G, posmatrajmo čvor xk koji ne pripada istoj komponenti povezanosti. Na osnovu definicije komplementa, čvor xk je u susjedan čvoru xi i čvoru xj. Stoga su xi i xj povezani u putem dužine 2.Ovim je dokaz završen.

Graf G je samokomplementaran ako je izomorfan svome koraplementu . Trivijalan primjer samokomplementarnog grafa je grafa koji se sastoji samo od jednog čvora. Drugi primjeri samokomplementarnih grafova su dati na sl. 2.

10

Teorema 2. Samokomplementaran graf G ima 4r ili 4r+l čvorova, pri čemu je r nenegativan cjeli broj,Dokaz: Neka G ima n čvorova i m grana. Komplement G takođe ima m grana, jer je izomorfan sa G. Objedinjavanjem

skupova grana iz G i dobija se potpun graf, pa je 2

m= , tj. n(n-1)=4 m, odakle je n=4 r ili n=4 r+l.

Definicija 1. Neka je G1= (X1, Ul) i G2=(X2, U2) i neka je X1 X2= , tj: neka G1 i i G2 nemaju zajedničkih čvorova. Unija G1 G2 grafova G1 i G2 je graf G= (X, U) gdje je X=X1 X2 i U=U1 U2.

Definicija 2. Potpuni proizvod G1 G2 grafova G1 i G2 je graf koji se dobija od grafa G1 G2 kada se čvor svaki iz G1

poveže sa po jednom granom sa svakim od čvorova iz G2.Ako su A1 i A2 matrice susjedstva grafova G1 i G2 , matrice susjedstva grafova G1 G2 i G1 G2 se, pri pogodnoj numeraciji čvorova, mogu predstaviti u obliku

respektivno, gdje je J matrica čiji su svi elementi jednaki 1.

Definicija 3. Neka su G1 i G2 grafovi ili digrafovi a X={x1, x2,..., xn} i Y—{y1, y2,..., ym}> redom, njihovi skupovi čvorova. Proizvod G1 G2 ovih grafova je graf čiji je skup čvorova jednak X Y, tj. čvorovi grafa G1 G2 su svi uređeni parovi oblika (xi,yj). Dva čvora (xl1,yj1) i (xl2,yj2) su spojena granom u G1 G2 ako i samo ako su xl1 i xl2 spojeni granom u G1 i ako su yj1 i yj2

spojeni granom u G2.

FORMALNE TEORIJE I IZRAČUNLJIVOST

11

9 . R E K U R Z I V N E I I Z R A Č U N L J I V E F U N K C I J E

Efektivni postupak nazivamo i algoritam. Intuitivno pod algoritmom shvatamo otprilike ono što je dato sljedećom definicijom. Algoritam za rešenje nekog tipa problema iz unapred fiksirane klase partikularnih slučajeva toga problema je konačan spisak pravila postupajući po kojima dolazimo do rješenja bilo kojeg od partikularnih slučajeva problema iz zadate klase.

Ovo je opisna definicija algoritma koja samo dejlimično zadovoljava. Na primjer nije jasno šta u gornjoj definiciji znači pravilo. Stoga su date razne striktne definicije algoritma.

Posmatraćemo tzv. aritmetičke funkcije, tj. funkcije f obiika f : Nn→N, gdje je N skup prirodnih brojeva, za ovu priliku, po tradiciji, proširen brojem 0. Problem koji posmatramo sastoji se u izračunavanju vrjednosti funkcije f za zadatu n-torku prirodnih brojeva. Vrlo široka klasa problema se može svesti na problem izračunavanja vrjednosti jedne numeričke funkcije što će biti pokazano u sljedećem odjeljku.

Definisaćemo jednu klasu aritmetičkih funkcija za koje postoji algoritam (za s v a k u od njih u opštem slučaju različit) za izračunavanje njihovih vrjednosti. To su. tzv, rekurzivne funkcije koje uvodimo poslje neophodnih prethodnih objašnjenja..Neka su funkcije N(x), S(x) i određene jednakostima

N (x) = 0, S (x) = x + I, (x1 , x2, ..... , xn) =xi.

Pivu funkciju zovemo nula-funkcija, drugu nasljednička funkcija, a treću funkcija identifikovcnja i-te promjenljive ili projekcijska funkcija. Navedene funkcije nazivaju se osnovne rekurzivne ili polazne funkcije.

Određenim postupcima fotmiramo od zadatih funkcija nove funkcije. Raz-matraćemo sljedeće postupke formiranja novih funkcija: supstitucija, rekurzija i mikrorekurzija.

Definicija 1. Funkcija f: Nn→N je rekurzivna funkcija ako postoji niz funkcija f1 ,f2, ... , fm=f takav da je svaki član niza ili osnovna rekurzivna funkcija ili je dobijena supstitucijom, rekurzijom ili mikrorekurzijom od prethodnih članova niza.

RAČUN VJEROVATNOĆE

1 0 . O P E R A C I J E S V J E R O V A T N O Ć A M A

Vjerovatnoću događaja A označavamo sa P (A). Na osnovu ovog P ( ) označava vjerovatnoću događaja suprotnog događaju B, P(A+B) vjerovatnoću zbira događaja A i B, a P (AB) vjerovatnoću proizvoda događaja A i B.

Odredićemo najpre vjerovatnoću suprotnog događaja. Ako je p broj povoljnih slučajeva za ostvarivanje događaja A, a m broj svih mogućnih slučajeva, broj povo l jn ih slučajeva za događaj , suprotan događaju A, biće m - p. Stoga je

Na primjer, vjerovatnoća da se prilikom bacanja kocke ne pojavi šestica je

Često ćemo vjerovatnoću nekog događaja obilježavati sa p (ovo ne treba mešati sa brojem povoljnih slučajeva). Pri tome ćemo sa q označavati vjerovatnoću da se događaj ne desi. Na osnovu izloženog je q=1 - p.

Događaji A i B se zovu uzajamno isključujući, ako ae mogu da se dogode istovremeno. Stoga je po samoj definiciji P(AB)=0. Samim tim je jasno da ne postoji nijedan povoljan slučaj zajednički za događaje A i B.

12

Broj povoljnih slučajeva za događaj A+B je jednak zbiru broja povoljnih slučajeva za događaj A i broja povoljnih slučajeva za događaj B, ako su događaji A i B uzajamno isključujući. Stoga je i vjerovatnoća događaja A+B jednaka zbiru vjerovatnoća događaja sabiraka

P(A+B) = P(A) + P(B).

Pošto se događaj A+B može interpretirati kao događaj »ili se desilo A ili se desilo B«, vjerovatnoća P(A+B) se zove vjerovatnoća »ili — ili«.

Ako A i B nisu međusobno isključujući događaji formula za P (A+B) je za nijansu komplikovanija. Neka je p1

broj povoljnih slučajeva za događaj A, a p2 broj povoljnih slučajeva za događaj B. Pošlo A i B mogu zajednički da se dogode postoji izvestan broj povoljnih slučajeva, koji ćemo označavati sa p12, zajedničkih za A i B. Broj povoljnih slučajeva za A+B nije sada. P1+.p2 jer su zajednički povoljni slučajevi uračunati dvaput. Stoga treba od p1+p2 oduzeti p12. Na osnovu ovog dobijamo

Neka su, prema ranijem primjeru, događaji A i B definisani sa: »prilikom bacanja kocke pojavio se paran

broj« i »prilikom bacanja kocke pojavio se broj koji nije djeljiv sa tri«. Tada je P (A)= (m=6, povoljni slučajevi

su 2, 4, 6) i P (B)= (m=6, povoljni slučajevi su 1, 2, 4, 5). Proizvod A ∙ B ovih događaja ima povoljne

slučajeve 2 i 4 te je P (AB) = . Ako primjenimo formulu za vjerovatnoću zbira događaja, dobijamo

Zaista A+B se sastoji, kao što je ranije pokazano, od pet elementarnih događaja (1, 2, 4, 5, 6) te neposrednim određivanjem P (A+B) dobijamo isti rezultat.Neka p1, p2 i p12 imaju isto značenje kao kod izvođenja formule za P (A+B).

Tada je P (AB)= . Ako proširimo ovaj razlomak sa p1 dobijamo

je, kao što znamo, vjerovatnoća P (A) događaja A dok smo količnik

označili sa P(B | A). Ovu posljednju oznaku treba čitati »verovatnoća događaja B ako se desio događaj A«.Vjerovatnoću događaja koju ne određujemo apsolutno već uz uslov nastupanja nekog drugog događaja,

nazivamo uslovna vjerovatnoća ili »ako — vjerovatnoća«. Prilikom određivanja uslovne vjerovatnoće za broj mogućih slučajeva za događaj B, uzimamo broj povoljnih slučajeva p1 za događaj A, a za broj povoljnih slučajeva za B broj p12

povoljnih slučajeva zajedničkih za A i B, tj.

U poslednjem primjeru sa bacanjem kocke je p1=3 i p12 = 2 te je P(A)= i P(B | A)= . Na osnovu ovog

je

13

ELEMENTI, TEORIJE IGARA.

1 1 . I G R E N A G R A F O V I M A

Igru igraju dva igrača tako što naizmenično biraju čvorove zadatog grafa. Najpre se žrebom ili na drugi način određuje jedan čvor grafa. Prvi igrač može da izabere čvor do koga se može stići granom iz početnog čvora; drugi igrač bira između čvorova u koje vode grane iz čvora koji je izabrao prvi igrač itd. Igru gubi onaj koji ne može više da izabere nijedan čvor.

Sljedeći stav može da pomogne prilikom igranja ovakvih igara.

Teorema 1. Igrač koji izabere čvor iz jezgra grafa ne može (pri pravilnoj igri) da izgubi.

Dokaz. Neka je igrač A izabrao čvor iz jezgra. Pošto je jezgro unutrašnje stabilni skup, igrač B mora da izabere čvor van jezgra. Igrač A pri ovom ne može da izgubi, jer je jezgro i spoljasnje stabilni skup, pa iz svakog čvora van jezgra vodi bar jedna grana u neki čvor iz jezgra. Pošto A ponovo izabere čvor u jezgru situacija se ponavlja, te A ne može da izgubi igru.Ovim je teorema dokazana.

LITERATURA

Prof. dr Esad Jakupovic – Diskretne matematicke strukture, 1. izdanje

14

15