of 53 /53

Matematicka definicija prebrojavanjaˇ - · PDF fileMatematicka definicija prebrojavanja ... Diskretne Analiza Analiza Linearna Uvod u strukture I II algebra programiranje Dragana

Embed Size (px)

Text of Matematicka definicija prebrojavanjaˇ - · PDF fileMatematicka definicija prebrojavanja ......

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    Na definiciju i osnovne principe prebrojavanja, koje dajemo u daljem

    tekstu, toliko smo navikli da retko obracamo paznju na njih.

    Stoga ce formalne definicije i dokazi koje dajemo mozda izgledati oci-

    gledne i dosadne. Medutim, one su neophodne za strogo zasnivanje

    teorije prebrojavanja i kombinatorike uopste.

    Sta mislimo kada kazemo da skup ima n elemenata?

    Podsetimo se, najpre, kako prebrojavamo jednostavne skupove.

    To radimo tako sto redom pokazujemo na elemente skupa i izgovaramo

    reci jedan, dva, tri,. . . .

    Kada svaki element dobije svoj broj, stajemo i poslednji izgovoreni broj

    predstavlja broj elemenata u skupu.

    Diskretne strukture 2 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 2 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 2 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    Da bismo ovu kazi-i-pokazi tehniku preveli na jezik matematike, moramo

    da, za svaki prirodan broj n, definisemo skup

    Nn = {1, 2, 3, . . . , n}.

    Kazi-i-pokazi tehnika svakom elementu skupa Nn pridruzuje element

    skupa X koga prebrojavamo.

    Drugim recima, ona odredjuje funkciju f : Nn X.

    Jasno je da je funkcija f bijekcija, jer ukoliko nismo pogresili pri bro-

    janju, svaki element X dobija tacno jedan broj.

    Dakle, ako je X skup i n prirodan broj, i postoji bijekcija iz Nn u X,

    tada kazemo da X ima n elemenata.

    Diskretne strukture 3 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 3 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 3 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    Primetimo odmah da ovakva definicija prebrojavanja (broja elemenata

    skupa) ne iskljucuje mogucnost da skup moze istovremeno imati i m

    elemenata i n elemenata za m 6= n.

    U sustini, svi smo vec bili u situaciji da pri prebrojavanju nekog dosta

    velikog skupa stalno dobijamo razlicite rezultate.

    Sledeca teorema je glavni korak u dokazu da je ovo moguce samo zbog

    greske u brojanju, i da je broj elemenata skupa jedinstven.

    Teorema 5.1. Ako su m i n prirodni brojevi tako da je m < n, tada

    ne postoji injekcija iz Nn u Nm.

    Diskretne strukture 4 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 4 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 4 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    Dokaz: Oznacimo sa S skup svih prirodnih brojeva n za koje postoji

    injekcija iz Nn u Nm neko m < n.

    Da bi dokazali teoremu, treba dokazati da je S prazan skup.

    Ako S nije prazan skup, onda postoji njegov najmanji element k, a

    posto je k S, tada postoji injekcija f iz Nk u Nl za neko l < k.

    Ne moze da bude l = 1, jer bi onda svaka funkcija iz Nk u Nl bila

    konstantno jednaka 1, i ne bi mogla da bude injekcija. Dakle, l > 1.

    Ako nijedna od vrednosti f(1), f(2), . . . , f(k 1) nije jednaka l, onda

    je restrikcija od f na Nk1 injekcija iz Nk1 u Nl1.

    S druge strane, neka je f(p) = l, za neko p [1, k 1]. Tada mora

    biti f(k) = q 6 l 1, jer je f injekcija.

    Diskretne strukture 5 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 5 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 5 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    U ovom slucaju mozemo da konstruisemo injekciju g : Nk1 Nl1 sa

    g(p) = q i g(i) = f(i), za 1 6 i 6 k 1, i 6= p.

    To se moze prokazati na sledeci nacin

    f :

    1 . . . p . . . k 1 k

    . . . l . . . q

    g :

    1 . . . p . . . k 1 (k)

    . . . q . . . (l)

    Dakle, u oba slucaja smo dobili da postoji injekcija iz Nk1 u Nl1.

    Medutim, to znaci da je k 1 S, a to je u kontradikciji sa izborom

    broja k kao najmanjeg elementa u skupu S.

    Prema tome, S je prazan skup i tvrdjenje je dokazano.

    Diskretne strukture 6 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 6 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 6 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Matematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanjaMatematicka definicija prebrojavanja

    Pretpostavimo da postoji skup X koji ima n elemenata, a takodje i m

    elemenata, za neko m < n.

    Tada postoje bijekcije

    : Nn X i : Nm X,

    odakle sledi da su i

    1 : X Nm i 1 : Nn Nm,

    bijekcije (ovde je sa 1 oznacena kompozicija od i 1).

    Dakle, dobili smo da je 1 injekcija iz Nn u Nm, sto je u suprotnosti

    sa Teoremom 5.1.

    Prema tome, tvrdjenje X ima n elemenata moze da vazi za najvise

    jedan prirodan broj n.

    Diskretne strukture 7 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 7 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 7 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip jednakostiPrincip jednakostiPrincip jednakosti

    Kada skup X ima n elemenata, onda pisemo |X| = n i kazemo da je

    kardinalnost ili velicina skupa X jednaka n.

    Za prazan skup posebno usvajamo da je || = 0.

    Kada je |X| = n, cesto je pogodno pisati

    X = {x1, x2, . . . , xn},

    sto je samo drugi nacin da se kaze da postoji bijekcija : Nn X

    tako da je (i) = xi, za svaki i Nn.

    Setimo se i definicija koje kazu:

    Skup X je konacan ako je prazan ili je |X| = n, za neki n N.

    Skup X je beskonacan ako nije konacan.

    Diskretne strukture 8 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 8 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 8 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip jednakostiPrincip jednakostiPrincip jednakosti

    Sada dolazimo do prvog principa prebrojavanja principa jednakosti:

    Teorema 5.2. Ako izmedu dva konacna skupa A i B postoji bijekcija,

    tada je |A| = |B|.

    Dokaz: Zbog postojanja bijekcije izmedju A i B, ako je A = onda

    je B = , a takodje, ako je B = onda je A = , i u oba slucaja vazi

    |A| = |B| = 0.

    Sa druge strane, neka je |A| = n, i |B| = m, za neke n, m N.

    Neka su : Nn A, : Nm B i : A B bijekcije.

    Tada su bijekcije i 1 : Nn Nm i 11 : Nm Nn.

    Diskretne strukture 9 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 9 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 9 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip jednakostiPrincip jednakostiPrincip jednakosti

    Ako je m < n, tada je 1 ujedno i injekcija iz Nn u Nm, sto je u

    kontradikciji sa Teoremom 5.1.

    Sa druge strane, ako je m > n, tada je 11 injekcija iz Nm u Nn,

    sto je opet u kontradikciji sa Teoremom 5.1.

    Prema tome, mora da vazi m = n, tj. |A| = |B|.

    Diskretne strukture 10 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 10 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 10 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip zbiraPrincip zbiraPrincip zbira

    Sledeci princip princip zbira je takodje veoma jednostavan i koriscen

    je pri prebrojavanju jos od pradavnih vremena.

    Teorema 5.3. Ako su A i B neprazni i disjunktni konacni skupovi

    (tj. A B = ), tada je

    |A B| = |A| + |B|.

    Dokaz: Neka je |A| = m i |B| = n, za neke prirodne brojeve m i n.

    To znaci da postoje bijekcije f : Nm A i g : Nn B.

    Definisimo funkciju h : Nm+n A B sa

    h :

    1 2 . . . m m + 1 m + 2 . . . m + n

    . . . . . .

    f(1) f(2) . . . f(m) g(1) g(2) . . . g(n)

    Diskretne strukture 11 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 11 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 11 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip zbiraPrincip zbiraPrincip zbira

    Kako su f i g injekcije i skupovi A i B su disjunktni, to su u nizu

    (1) f(1), f(2), . . . , f(m), g(1), g(2), . . . , g(n)

    svi elementi medusobno razliciti, pa je h injektivna funkcija.

    Sa druge strane, kako su f i g sirjekcije, to se u nizu (1) nalaze svi

    elementi iz skupa A B, pa je i h sirjektivna.

    Prema tome, h je bijekcija iz Nm+n u A B, sto znaci da je

    |A B| = m + n.

    Dakle, |A B| = m + n = |A| + |B|.

    Jasno je da princip zbira dalje vazi ako je jedan od skupova A i B

    prazan (ili cak oba).

    Diskretne strukture 12 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 12 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 12 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip zbiraPrincip zbiraPrincip zbira

    Princip zbira se na prirodan nacin moze prosiriti i na uniju proizvoljnog

    broja medusobno disjunktnih konacnih skupova.

    Naime, za konacne medusobno disjunktne skupove A1, A2, . . . , Anvazi:

    |A1 A2 . . . An| = |A1| + |A2| + . . . + |An|.

    Dokaz ove cinjenice je laka vezba za koriscenje matematicke indukcije.

    Diskretne strukture 13 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 13 Osnove prebrojavanja - I deoDiskretne strukture 13 Osnove prebrojavanja - I deo

  • Princip proizvodaPrincip proizvodaPrincip proizvoda

    Cesto smo situaciji da brojimo stvari koje se lakse predstavljaju kao

    parovi objekata, nego kao pojedinacni objekti.

    Uzmimo, na primer, da studentska sluzba sreduje prijave studenata za

    januarski ispitni rok.

    Pritom su dosli do situacije kao u sledecoj tabeli.

    Diskretne Analiza Analiza Linearna Uvod ustrukture I II algebra programiranje

    Dragana Jovanovic

    Predrag Markovic

    Dejan Petrovic

    Milica