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Señales y SistemasAnálisis de Fourier.
Introducción
El enfoque de este capítulo es
la representación de señales
utilizando senos y cosenos (en
otras palabras, exponenciales
complejas).
El estudio de señales y sistemas
utilizando exponenciales
complejas se denomina análisis
de Fourier, en honor a Joseph
Fourier (1768-1830) debido a
su gran contribución en este
campo.
Representaciones de Fourier para
cuatro clases de señales
Propiedad de
tiempo
Periódica No periódica
Continua Serie de Fourier
(FS)
Transformada de
Fourier
(FT)
Discreta Serie de Fourier
en tiempo
discreto (DTFS)
Transformada de
Fourier en tiempo
discreto (DTFT)
Señales periódicas:
representaciones mediante las
series de Fourier
Considérese la representación de una señal periódica cualquiera
como una superposición de senos y cosenos (exponenciales
complejas). La frecuencia de cada senoide debe ser un múltiplo de
la frecuencia fundamental de la señal. Supongamos que se tiene una
señal periódica con periodo fundamental N, su representación
mediante la serie de Fourier es:
Donde Ω0 = 2π/N es la frecuencia fundamental de la señal
periódica. La frecuencia de la exponencial k-ésima en la
superposición es kΩ0.
k
n0jkeX[k][n]x
Señales periódicas (cont.)
En el caso de una señal continua periódica
con periodo fundamental T, la serie de
Fourier se define como:
donde ω0 = 2π/T es la frecuencia
fundamental de la señal periódica
continua.
k
tt 0jk
eX[k])(x
Señales periódicas (cont.)
Pensando en el caso de una secuencia discreta periódica surge la
pregunta ¿cuántos términos y pesos debe usarse en cada suma?
Recordemos que, en el caso discreto, exponenciales complejas con
frecuencias distintas no siempre son diferentes. Tenemos:
Es decir, hay sólo N exponenciales complejas distintas de esta
forma.
njk
njknj
njknjNnkNj
e
ee
eee
0
0
000
2
)(
Señales periódicas (cont.)
En consecuencia, podemos reescribir la
ecuación de la serie de Fourier de una
señal discreta periódica:
donde la notación k = <N> indica dejar
que k varíe sobre cualesquiera N valores
consecutivos (comúnmente se usan los
valores de k = 0 hasta N-1).
Nk
nn 0jk
eX[k]][x
La DTFS
La representación mediante la DTFS está dada por
Decimos que x[n] y X[k] son un par DTFS y denotamos
esta relación como
Nk
n0jkeX[k][n]x
Nn
n
N0jk
ex[n]1
X[k]
]X[]x[ 0 DTFS;kn
Importante:
La DTFS es la única representación de
Fourier que puede evaluarse y manipularse
numéricamente (con la computadora). Esto
se debe a que tanto la secuencia en el
tiempo como la representación en
frecuencia están caracterizadas por un
conjunto finito de N números.
Se emplea a menudo para aproximar
numéricamente las otras tres
representaciones de Fourier.
La representación mediante la FS
está dada por:
Afirmamos que x(t) y X[k] son un par FS y
denotamos esta relación como
k
tjkekt 0]X[)x(
T
tjkdtet
Tk 0)x(
1]X[
]X[)x( 0 FS;kt
La serie de Fourier nos conduce a...
¡La transformada de Fourier!
Representación mediante la DTFT
La Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
se expresa como
donde
Representación del par de DTFT:
deen njj )X(2
1]x[
nj
n
j ene ]x[)X(
)X(]x[ jDTFT en
Representación mediante la FT
La Transformada de Fourier (FT) se expresa como
donde
Representación del par de FT:
dejt tj)X(2
1)x(
dtetxj tj)()X(
)X()x( jt FT
Recomendación
Para la DTFT investigar las siguientes
propiedades:
◦ Linealidad
◦ Simetría - señales reales e imaginarias
◦ Simetría - señales pares e impares
◦ Desplazamiento en el tiempo
◦ Desplazamiento en frecuencia
◦ Diferenciación e integración
◦ Convolución y modulación
Ejemplo:
Primera figura: Señal de
voz de hombre (Homero
Simpson en inglés)
Segunda figura: Su
transformada de Fourier
(para valores de ω entre
–π y π)
Otro ejemplo:
Canción electrónica
Su transformada de
Fourier
Dominio
de tiempo
Periódica No periódica
Continua FS FT No
periódica
Discreta DTFS DTFT Periódica
Discreta Continua Dominio de
la
frecuencia
k
tjkekt 0]X[)x(
T
tjkdtet
Tk 0)x(
1]X[
den j )X(2
1]x[
nj
n
j ene ]x[)X(
Nk
n0jkeX[k][n]x
Nn
n
N0jk
ex[n]1
X[k]
de tj)X(j2
1x(t)
dte tjx(t))X(j
Las cuatro representaciones de Fourier
