Clase 5

El teorema de superposición, como los métodos de mallas y nodos pueden usarsepara encontrar la solución a redes con dos o mas fuentes que no están en serie yparalelo.

La mas obvia ventaja de este método es que no requiere el uso de una técnicamatemática como los determinantes para encontrar los voltajes o las corrientesrequeridas. En vez de eso, cada fuente es tratada independientemente, y la sumaalgebraica se encuentra para determinar una cantidad particular desconocida dela red.

El teorema de superposición establece lo siguiente:

La corriente o el voltaje de un elemento en una red lineal bilateral es igual a lasuma algebraica de las corrientes o voltajes producidos independientemente porcada fuente.

Cuando se aplica el teorema, es posible considerar los efectos de dos fuentes almismo tiempo y reducir el número de redes que se tienen por analizar, pero engeneral

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Para considerar los efectos de cada fuente independientemente se requiere que lasfuentes sean removidas y reemplazadas sin afectar el resultado final.

Para remover una fuente de voltaje al aplicar este teorema, la diferencia enpotencial entre las terminales de la fuente de voltaje debe hacerse igual a cero(corto circuito); remover una fuente de corriente requiere que sus terminales seanabiertas (circuito abierto).

Cualquier resistencia o conductancia interna asociada con las fuentes desplazadasno es eliminada pero, no obstante debe ser considerada.

En la figura 1 se examinan las distintas sustituciones requeridas al remover unafuente ideal, y en la figura 2 se analizan las sustituciones con fuentes practicasque tienen cierta resistencia interna.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la sumaalgebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente.

Esto es, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente es enuna dirección, mientras que la producida por la otra es en al dirección opuesta através del mismo resistor, la corriente resultante es la diferencia de las dos y tienela dirección de la mayor.

Esta regla se cumple para el voltaje en una porción de una red determinada porpolaridades, y su aplicación puede extenderse a redes con cualquier numero defuentes.

El principio de superposición no es aplicable para el calculo de la potencia ya quela perdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de lacorriente o del voltaje, como se ilustra en la figura 3.

Escriba aquí la ecuación.

Figura 1.Demostración quela superposición no es aplicablePara cálculos de potencia

En general por, por tanto

La potencia total entregada a un elemento resistivo debe ser determinada usandoal corriente total o el voltaje total en el elemento y no puede ser determinada poruna simple suma de los niveles de potencia establecidos por cada fuente.

Problema 1

Determine 𝐼1 para la red de la figura 4

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4

Solución

Haciendo 𝐸 = 0𝑉 para la red de la figura 4 se obtiene la red de la figura 5a, dondeun corto circuito equivalente ha reemplazado la fuente de 30V

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 (a) Contribución de 𝐼 𝑎 𝐼1; (b) Contribución de 𝐸 𝑎 𝐼1

Solución

Como se muestra en la figura 5a, la fuente de corriente escogerá la trayectoria de cortocircuito, e 𝐼′1 = 0𝐴. Al aplicar la regla del divisor de corriente

Al establecer 𝐼 en cero ampere resultará la red de la figura 5b, con la fuente decorriente reemplazada por un circuito abierto. Aplicando la ley de Ohm, tenemos

𝐼′1 =𝑅𝑠𝑐𝐼

𝑅𝑠𝑐 + 𝑅1=

0Ω 𝐼

0Ω + 6Ω= 0𝐴

𝐼′′1 =𝐸

𝑅1=30𝑉

6Ω= 5𝐴

Solución

Observe en este caso que la fuente de corriente no tiene efecto sobre la corriente através del resistor de 6Ω. El voltaje del resistor debe fijarse en 30 V porque loselementos son paralelos.

Problema 2

Usando la superposición, determine la corriente a través del resistor de 4Ω de lafigura 6. Observe que está es una red de dos fuentes.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6

Solución

Considerando los efectos de la fuente de 54𝑉(figura 8)

𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 = 24Ω + 12Ω 4Ω = 24Ω + 3Ω = 27Ω

𝐼 =𝐸1

𝑅𝑇=

54𝑉

27Ω= 2𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸1 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼3

Solución

Considerando los efectos de la fuente de 54𝑉(figura 8)

𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 = 24Ω + 12Ω 4Ω = 24Ω + 3Ω = 27Ω

𝐼 =𝐸1

𝑅𝑇=

54𝑉

27Ω= 2𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸1 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼3

Solución

Usando al regla del divisor de corriente, tenemos

𝐼′3 =𝑅2𝐼

𝑅2+𝑅3=

12Ω 2𝐴

12Ω+4Ω=

24𝐴

16= 1.5𝐴

Solución

Considerando los efectos de la fuente de 48𝑉(figura 9)

𝑅𝑇 = 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 = 4Ω + 24Ω 12Ω = 4Ω + 8Ω = 12Ω

𝐼 =𝐸2

𝑅𝑇=

48𝑉

12Ω= 4𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐸2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼3

Solución

La corriente total a través del resistor de 4Ω es:

𝐼3 = 𝐼′′3 − 𝐼′3 = 4𝐴 − 1.5𝐴 = 2.5𝐴(𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐼′′3)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 10 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼3

Problema 3

a. Usando la superposición, encuentre la corriente a través del resistor de 6Ω de lared de la figura 11.

b. Demuestre que la superposición no es aplicable a los niveles de potencia.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 11

Solución

Considerando el efecto de la fuente de 36𝑉 (Figura 12)

𝐼′2 =𝐸

𝑅𝑇=

𝐸

𝑅1 + 𝑅2=

36𝑉

12Ω + 6Ω= 2𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸 𝑎 𝐼2

Solución

Considerando el efecto de la fuente de 9A (Figura 13). Aplicando el divisor decorriente

𝐼′′2 =𝑅1𝐼

𝑅1 + 𝑅2=

12Ω 9𝐴

12Ω + 6Ω=108𝐴

18= 6𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 13 Contribución de I a 𝐼2

Solución

La corriente total a través del resistor es (figura 14):

𝐼2 = 𝐼′2 + 𝐼′′2 = 2𝐴 + 6𝐴 = 8𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 14 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼2

Solución

Inciso b

La potencia para el resistor de 6Ω es:

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼2𝑅 = 8𝐴 2 6Ω = 384𝑊

La potencia calculada para el resistor de 6Ω debida a cada fuente, mal usando elprincipio de superposición, es:

𝑃1 = 𝐼′22𝑅 = 2𝐴 2 6Ω = 24𝑊

𝑃1 = 𝐼′′22𝑅 = 6𝐴 2 6Ω = 216𝑊 ⟹ 𝑃1 + 𝑃2 = 240𝑊 ≠ 384𝑊

Solución

Como se menciono, el principio de superposición no es aplicable para los cálculosde la potencia ya que la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente o delvoltaje I2R o V2/R

La figura 15 es una gráfica de la potencia entregada al resistor de 6Ω en funciónde la corriente

Figura 15 Trazado de potencia entragada al resistor de 6Ωen función de la corriente a través del resistor.

Solución

Obviamente, 𝑥 + 𝑦 ≠ 𝑧, 𝑜 24𝑊 + 216𝑊 ≠ 384𝑊, y la superposición no se cumple.Sin embargo, para una relación lineal, como entre el voltaje y la corriente delresistor tipo fijo de 6Ω, la superposición puede ser aplicada, como se demuestramediante la gráfica de la figura 16 , donde 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, o 2𝐴 + 6𝐴 = 8𝐴

Figura 16 Trazado de I en función de V para el

resistor de 6Ω

Problema 4

Usando el principio de superposición, encuentre la corriente 𝐼2 a través del resistorde 12 𝑘Ω de la figura 17

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 17

Solución

Considerando el efecto de la fuente de corriente de 6𝑚𝐴 (Figura 18)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 18Efecto de la fuente de

Corriente 𝐼 sobre la corriente 𝐼2

Solución

Regla del divisor de corriente:

𝐼′2 =𝑅1𝐼

𝑅1+𝑅2=

6𝑘Ω 6𝑚𝐴

6𝑘Ω+12𝑘Ω= 2𝑚𝐴

Considerando el efecto de la fuente de voltaje de 9𝑉 (Figura 19):

𝐼′′2 =𝐸

𝑅1+𝑅2=

9𝑉

6𝑘Ω+12𝑘Ω= 0.5𝑚𝐴

Solución

Considerando el efecto de la fuente de corriente de 6𝑚𝐴 (Figura 19)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 19Efecto de la fuente de

Corriente 𝐸 sobre la corriente 𝐼2

Solución

Como 𝐼′2 𝑒 𝐼′′2 tienen la misma dirección a través de 𝑅2, la corriente deseada es lasuma de las dos:

𝐼2 = 𝐼′2 + 𝐼′′2

𝐼2 = 2𝑚𝐴 + 0.5𝑚𝐴

𝐼2 = 25𝑚𝐴