Rjeavanje jednadbi

8Tekstualni (problemski) zadaci

Kroz prole smo prezentacije nauili kako rjeavati jednadbe.

U ovoj emo prezentaciji rjeavati tekstualne zadatke (tzv. problemske zadatke). U njima emo iz uvjeta zadatka trebati sloiti odgovarajuu jednadbu i rijeiti je. Rjeenje jednadbe pomoi e nam da doemo do rjeenja zadanog zadatka.Prije nego to krenemo na takve zadatke, prisjetimo se naziva koje emo u njima koristiti...

Prisjetimo se:Izraz u kojem se pojavljuje simbol + (npr. 2+3, 8+13, a+b ...) naziva se zbroj.Izraz u kojem se pojavljuje simbol - (npr. 10-3, 28-3, x-y ...) naziva se razlika.Izraz u kojem se pojavljuje simbol (npr. 73, 8a, xy ...) naziva se umnoak.Izraz u kojem se pojavljuje simbol : (npr. 72:9, a:6, c:d ...) naziva se kolinik.

Prisjetimo se:Imajui na umu te nazive, reci to su sljedei izrazi:a) x - yrazlikab) 2 + xzbrojc) 7xumnoak ( izmeu 7 i x skriva se simbol )d) -5yumnoakrazlomak ili kolinik (razlomaka crta oznaava dijeljenje)f) (x-2) (y+3)umnoak razlike i zbrojag) (2-3x) (4-y)umnoak dviju razlikarazlika kolinika i zbrojai) (5-x) : (7y)kolinik razlike i umnoka

Neka je x neki broj. Reci izraz koji predstavlja:a) x uvean za 2x+2b) x uvean 2 puta2xc) x umanjen za 2x-2d) x umanjen 2 putae) 2 umanjen za x2-xf) 2 umanjen x putag) 30 umanjen za pola vrijednosti broja xNapomena:"x uvean 2 puta" se moe zapisati na sljedee naine:

x2, 2x i 2x.

Svi su oni toni!

Meutim, kao to sme ve puno puta vidjeli u jednabama koje smo rjeavali,u jednadbama je uobiajen oblik 2x !Stoga je preporuljivo koristiti upravo njega, iako su i ostala dva oblika ispravna.Dakle, kod mnoenja je uobiajeno prvo pisati broj, a onda slovo!g) y uvean 6 puta6y

Sad kreemo na problemske zadatke.

Ukoliko te zanima tono odreeni tip problemskih zadataka, moe koristiti donje linkove da bi krenuo ba na taj tip:

problemski zadaci u kojima se trai broj koji zadovoljava neka svojstva ivotniji problemski zadaci geometrijski zadaci sloeniji problemski zadaci

Ako eli krenuti redom, klikni bilo gdje izvan gornjih linkova.

Problemski zadaciu kojima se trai brojkoji zadovoljava neke uvjete...

Primjer 1:Ako neki broj pomnoimo sa 3, dobiveni umnoak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnoimo sa 6, dobit emo isti rezultat kao da smo poetni broj pomnoili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?Ima li ideju kako pronai traeni broj?Vjerujem da ima:

Traeni broj emo oznaiti sa x, a zatim iz teksta zadatka sloiti jednadbu i rijeiti je.Time emo dobiti koliki je traeni broj x...

Primjer 1:Ako neki broj pomnoimo sa 3, dobiveni umnoak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnoimo sa 6, dobit emo isti rezultat kao da smo poetni broj pomnoili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?x - traeni brojSad paljivo itajmo tekst zadatka i zapisujmo ga pomou matematikih simbola (da bismo dobili jednadbu)...3x- 7( ) 6=7x+ 2Dobili smo jednadbu!x u njoj predstavlja upravo onaj broj koji se trai u ovom zadatku.Rijeimo jednadbu i time emo pronai traeni broj...Kako rijeiti ovu jednadbu? to emo prvo?Rijeiti se zagrade!Kako emo se rijeiti ove zagrade?Iza zagrade je simbol , pa broj iza zagrade, tj. broj 6 mnoimo sa svakim u zagradi...18x- 42Ostalo prepiemo...= 7x + 2

Primjer 1:Ako neki broj pomnoimo sa 3, dobiveni umnoak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnoimo sa 6, dobit emo isti rezultat kao da smo poetni broj pomnoili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?x - traeni broj3x- 7( ) 6=7x+ 218x- 42= 7x + 218x- 7x=2+ 4211x =44x=to sad?Nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu...4Traeni broj je broj 4.Time je ovaj zadatak rijeen.

Primjer 1:Ako neki broj pomnoimo sa 3, dobiveni umnoak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnoimo sa 6, dobit emo isti rezultat kao da smo poetni broj pomnoili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?x - traeni broj3x- 7( ) 6=7x+ 218x- 42= 7x + 218x- 7x=2+ 4211x =44x=4Traeni broj je broj 4.Provjerimo jesmo li dobili tono rjeenje!to misli - kako emo ovdje izvriti provjeru?itat emo tekst zadatka, sa dobivenim rjeenjem (brojem 4) initi sve to pie u zadatku i vidjeti hoe li to rjeenje zadovoljiti sve to pie.Uinimo tako...

Primjer 1:Ako neki broj pomnoimo sa 3, dobiveni umnoak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnoimo sa 6, dobit emo isti rezultat kao da smo poetni broj pomnoili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?x - traeni broj3x- 7( ) 6=7x+ 218x- 42= 7x + 218x- 7x=2+ 4211x =44x=4Traeni broj je broj 4.Provjera:Umjesto onoga "neki broj" uvrtavamo nae rjeenje - broj 4!43 =1212-7 =556 =3047 =2828+2 =30Zaista smo dobili isti rezultat, kao to i pie u zadatku!Time smo provjerili da nae rjeenje (broj 4) zadovoljava tekst zadatka.

Primjer 2:Ako neki broj umanjimo za 4, dobivenu razliku uveamo za 5,te dobiveni rezultat uveamo 3 puta, dobit emo isti rezultat kao da smobroj 43 umanjili za traeni broj. Koji je to broj?x - traeni brojKrenimo kao i u prolom primjeru:Sa x oznaimo treeni broj, a zatim pomou matematikih simbola zapiimo tekst zadatka...x - 4+ 5( ) 3=43 - xRijeimo dobivenu jednadbu...3x- 12+ 15= 43 - x3x+ x=43+ 124x =40x=10- 15Traeni broj je broj 10.Time je ovaj zadatak rijeen. Provjeru napravi sam.

Evo i nekoliko zadataka za vjebu. Pokuaj ih samostalno rijeiti!Ako e imati potekoa, vrati se na prole primjere.

Nakon sljedeeg klika prikazat e ti se rjeenja zadataka da si moe prekontrolirati jesi li dobro rijeio.Sretno! 2.) Ako neki broj pomnoimo sa -2, dobivenom umnoku dodamo broj 9 i dobiveni zbroj uveamo 4 puta, dobit emo poetni broj. Koji je to broj?1.) Ako neki broj umanjimo za 10, te dobiveni rezultat poveamo 7 puta, dobit emo isti rezultat kao da smo broj 2 umanjili za poetni broj. Koji je to broj?3.) Mira je zamislila neki broj. Pomnoila ga je sa 4 i dobiveni umnoak oduzela od broja 100. Tako dobivenu razliku uveala je 2 puta i od dobivenog rezultata oduzela peterostruki zamiljeni broj. Za rezultat je dobila broj 5. Koji je broj zamislila Mira?

Rjeenja:

1.) To je broj 9.

Uputa: Trebalo je sloiti jednadbu(x-10)7 = 2-x .

2.) To je broj 4.

Uputa: Trebalo je sloiti jednadbu(-2x+9)4 = x .

3.) Mira je zamislila broj 15.

Uputa: Trebalo je krenuti od jednadbe(100-4x)2 - 5x = 5 .

A sad ivotniji primjeri...

Primjer 3:Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?Ima li ideju kako rijeiti ovaj primjer?Naravno, moemo pogaanjem, no ta nam metoda u sloenijim zadacima nee pomoi.

I ovaj emo primjer rijeiti pomou jednadbi, samo je u ovakvim sluajevima slaganje jednadbi neto sloenije.Krenimo redom...

Primjer 3:Uoimo da se u ovom zadatku trae dva broja - broj Aninih i broj Marijinih koljkica!Stoga emo prvo zapisati "Anine koljkice" i "Marijine koljkice",a moemo i krae samo "Ana" i "Marija"...Ana:Marija:Sad uoimo koja je od njih skupila manje koljkica i broj njezinih koljkica oznaimo sa x.Iz uokvirene reenice zakljuujemo da je Marija skupila manje, pa broj njezinih koljkica oznaimo sa x.xPonovo proitaj uokvirenu reenicu i iz nje zakljui:Ako je broj Marijinih koljkica upravo x, a Ana je skupila 3 puta vie, koliko koljkica ima Ana?3xAna i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?

Primjer 3:Za sad smo i broj Aninih i broj Marijinih koljkica oznaili pomou x.Sad nam jo nedostaje jednadba.

Da bismo sloili jednadbu, uoimo koji jo podatak o njihovim koljkicama pie u zadatku, a kojega jo nismo iskoristili!Ana:Marija:x3xUpravo emo tu reenicu iskoristiti da bismo sloili jednadbu, i to ovako:Uoimo koliko koljkica ima Ana,koliko ih ima Marija,te koliko ih imaju zajedno!to (koju raunsku operaciju) trebamo napraviti sa brojem Aninih i brojem Marijinih koljkica da bismo dobili ukupni broj koljkica?3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?Trebamo ih zbrojiti!Taj nam odgovor kae kako iz gore uokvirenoga sloiti jednadbu...

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?Time smo dobili jednadbu!

Kad tu jednadbu rijeimo, dobit emo koliki je x. Nakon toga emo dobiveno rjeenje (broj) umjesto x-a uvrstiti ovdje...... i time emo saznati koliko je Ana skupila koljkica, a koliko ih je skupila Marija.Rijeimo jednadbu!to emo prvo?Nepoznanice ve jesu na lijevoj strani, a poznanica na desnoj. Zbrojimo nepoznanice na lijevoj...4x =84x=21

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?4x =84x=21Time smo rijeili jednadbu, tj. saznali koliki je x!

Sad emo to rjeenje 21 uvrstiti umjesto x da bismo saznali koliko je Ana, a koliko Marija skupila koljkica...=321=63Time smo saznali da je Ana skupila 63 koljkice.Izraunajmo sad za Mariju...=21Dakle, Marija je skupila 21 koljkicu.Zapiimo odgovor...

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?4x =84x=21=321=63Ana je skupila 63, a Marija 21 koljkicu.=21Time smo gotovi sa rjeavanjem zadatka.

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?4x =84x=21=321=63Ana je skupila 63, a Marija 21 koljkicu.=21

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?4x =84x=21=321=63Ana je skupila 63, a Marija 21 koljkicu.Provjerimo jesmo li tono rijeili:U prvoj reenici pie da su zajedno skupile 84 koljkice.Provjerimo je li to u skladu s naim rjeenjem...63 + 21 =84To je u redu!U drugoj reenici pie da je Ana skupila 3 puta vie koljkica od Marije.Provjerimo je li to u skladu s naim rjeenjem...63 je zaista 3 puta vei od 21,63 = 321,dakle rjeenje je u skladu i sa tom reenicom.=21

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?4x =84x=21=321=63Time smo gotovi i sa rjeavanjem zadatka i sa provjerom.

Prije prelaska na sljedei primjer, jo jednom se u kratkim crtama podsjetimo kako smo rjeavali ovaj. (Iste emo korake raditi i u sljedeim primjerima.)=21Ana je skupila 63, a Marija 21 koljkicu.

Primjer 3:Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?

Primjer 3:Ana:Marija:x3x3x + x = 84Ana i Marija skupile su zajedno 84 koljkice. Ana ih je skupila 3 puta vie od Marije. Koliko je koja skupila koljkica?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo koja je nala manje koljkica i broj njenih koljkica oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliki je broj koljkica druge djevojice u odnosu na prvu i zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka 3x i x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...7. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...Ana je skupila 63, a Marija 21 koljkicu.8. Napiemo odgovor.9. Napravimo provjeru... (to sad neemo)Ako si sve shvatio, krenimo na novi primjer!Ako nisi, moe se vratiti na pojanjavanje prethodnog. Za to moe koristiti sljedee linkove:poetak primjera 3,pojanjavanje primjera 3 u kratkim crtama,provjera rjeenja.Za prelazak na novi primjer, klikni bilo gdje izvan tih linkova.

Primjer 4:Davor:Iva:x8xx + 8x = 108Davor i njegova seka Iva ukupno imaju 108 kuna.Koliko koji od njih ima kuna ako Davor ima 8 puta manje od Ive?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo tko ima manje novaca i broj njezinih/njegovih kuna oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko kuna ima Iva u odnosu na Davora, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka x i 8x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...9x =108x=127. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...=12=812=96Davor ima 12, a Iva 96 kuna.8. Napiemo odgovor.9. Napravimo provjeru.Provjera:Je li rjeenje u skladu sa prvom reenicom?12 + 96 =108OK!A sa drugom reenicom?12 je 8 puta manji od 96, pa je i to u redu.

Primjer 5:crveni:zeleni:xx+7x + 7 + x = 43Na skladitu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 vie nego zelenih,a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladitu?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka x+7 i x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...x+ x=43- 72x =36x=187. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...

Primjer 5:crveni:zeleni:xx+7x + 7 + x = 43Na skladitu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 vie nego zelenih,a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladitu?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka x+7 i x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...x+ x=43- 72x =36x=187. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...=18+7=25=18Na tom skladitu je 25 crvenih i 18 zelenih bicikala.8. Napiemo odgovor.9. Provjeru napravi sam...

Evo i nekoliko zadataka za vjebu. Pokuaj ih samostalno rijeiti!Ako e imati potekoa, vrati se na prole primjere.

Nakon sljedeeg klika prikazat e ti se rjeenja zadataka da si moe prekontrolirati jesi li dobro rijeio.Sretno! 2.) Bara je ispekla 18 kolaia vie nego ura, a zajedno su ispekle 166 kolaia. Koliko ih je ispekla Bara, a koliko ura?1.) U Micikinom i Pepiinom dvoritu zajedno ima 70 kokoi, pri emu je u Micikinom dvoritu 4 puta vie kokoi nego u Pepiinom. Koliko je kokoi u Micikinom, a koliko u Pepiinom dvoritu?3.) Marko ima 36 kuglica triju boja: bijele, ute i plave. Bijelih kuglica ima 2 puta vie nego utih, a plavih koliko bijelih i utih zajedno. Koliko Marko ima bijelih, koliko utih i koliko plavih kuglica?Rjeenja:

1.) U Micikinom dvoritu je 56, a u Pepiinom 14 kokoi.

Uputa: Micika: 4xPepica: x4x + x = 56...

2.) Bara je ispekla 92, a ura 72 kolaia.

Uputa: Bara: x+18ura: xx+18+x=166...

3.) Marko ima 12 bijelih, 6 utih i 18 plavih kuglica.

Uputa: bijele: 2xute: xplave: 3x2x+x+3x = 36...

U prolim smo zadacima uvijek imali zadan ukupan broj - bilo kuna, kuglica, koljkica i dr., pa smo prilikom slaganja jednadbi uvijek zbrajali (jer ukupan broj dobivamo zbrajanjem).

Sad emo rjeiti i nekoliko drugaijih primjera...

Primjer 6:Lolek:Bolek:x4x4x - x = 9Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta vie balona nego Bolek,a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona?1. Krenimo po starom! Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka 4x i x zapiemo jednadbu...Paljivo razmisli:

to moramo uiniti (koju raunsku operaciju) sa brojem Bolekovih i brojem Lolekovih balona da bismo dobili koliko je balona Bolek napuhao manje od Loleka?Trebamo ih oduzeti - od broja Lolekovih balona oduzmemo broj Bolekovih balona!Tebi je moda na pamet pao drugaiji nain slaganja jednadbe:

od broja Lolekovih balona oduzeti razliku 9 i time se dobije broj Bolekovih balona:4x - 9 = xIli: broj Bolekovih balona je za 9 manji od broja Lolekovih: x = 4x - 9Ili: broj Lolekovih balona je za 9 vei od broja Bolekovih: 4x = x + 9Sve ove jednadbe u biti govore isto i sve one vode do istog rjeenja.Svejedno je koju e koristiti, samo pazi da ne sloi neku jednadbu koja ne vrijedi!

Primjer 6:Lolek:Bolek:x4x4x - x = 9Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta vie balona nego Bolek,a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona?1. Krenimo po starom! Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka 4x i x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...7. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...Lolek je napuhao 12, a Bolek 3 balona.8. Napiemo odgovor.9. Napravimo provjeru... (to napravi sam)

Primjer 7:Dalijo:Marin:x5x5x - x = 12Dalijo je 5 puta stariji od Marina, a Marin je 12 godina mlai od Dalija.Koliko godina ima Dalijo, a koliko Marin?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo tko ima manje godina i broj njegovih godina oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je puta Dalijo stariji od Marina i to zapiimo pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo i kreemo na slaganje jednadbe...5. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka 5x i x zapiemo jednadbu...6. Rijeimo jednadbu...7. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...Dalijo ima 15, a Marin 3 godine.8. Napiemo odgovor.9. Napravimo provjeru... (to napravi sam)Paljivo razmisli:

Kako sloiti jednadbu ako znamo da je Marin 12 godina mlai od Dalija?Jedna od mogunosti je - od broja Dalijovih godina oduzeti broj Marinovih godina i time dobivamo razliku u godinama...Moe i: 5x - 12 = x , 5x = x + 12, x = 5x - 12 , x + 12 = 5x ...

Evo i nekoliko zadataka za vjebu. Pokuaj ih samostalno rijeiti!Ako e imati potekoa, vrati se na prole primjere.

Nakon sljedeeg klika prikazat e ti se rjeenja zadataka da si moe prekontrolirati jesi li dobro rijeio.Sretno! 2.) Otac je 4 puta stariji od keri. On je ujedno i za 33 godine stariji od keri. Koliko godina ima otac, a koliko ker?1.) U jednom kokoinjcu bilo je 7 puta vie kokoi nego pijevaca, a pijevaca je bilo za 24 manje nego kokoi. Koliko je tu bilo kokoi, a koliko pijevaca?3.) Pet uenika 6. razreda skupljali su boce. Ivica i Stipe skupili su jednaki broj boca. Josip je skupio 2 puta vie od Ivice, a Vinko je skupio 3 puta vie od Josipa. Zlatko je skupio dvije boce manje od Vinka. Koliko je koji skupio boca ako je Josip skupio 17 boca vie od Ivice?Rjeenja:

1.) Bilo je 28 kokoi i 4 pijevca.

Uputa: kokoi: 7xpijevci: x7x - x = 24...

2.) Otac ima 44, a ker 11 godina.

Uputa: otac: 4xker: x4x-x=33...

3.) Ivica i Stipe skupili su svaki po 17, Josip 34, Vinko 102, a Zlatko 100 boca.

Uputa: Ivica: xStipe: xJosip: 2xVinko: 6xZlatko: 6x-22x-x=17...

Geometrijski zadaciGeometrijske problemske zadatke rjeavat emo na isti nain kao i prethodne, s tim da ovdje trebamo napraviti i skicu. Ona nam ponekad pomae u slaganju jednadbe...

Primjer 8:irina:duljina:xx+7x + 7irina pravokutnika je za 7 cm vea od duljine.Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo je li manja irina ili duljina i nju oznaimo sa x...3. Sad uoimo kolika je irina u odnosu na duljinu, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo.5. Prije nego to krenemo na pisanje jednadbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice oznaimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x).7. Rijeimo jednadbu...x+ x=544x =40x=108. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...x+7x+7xx6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka x+7 i x zapiemo jednadbu...Paljivo razmisli:

to je opseg bilo kojeg lika?to moramo uiniti sa stranicama pravokutnika da bismo dobili opseg?Trebamo zbrojiti duljine svih stranica!Uoavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadbu...+ x+ x + 7+ x= 54+ x+ x- 7- 7

Primjer 8:irina:duljina:xx+7x + 7irina pravokutnika je za 7 cm vea od duljine.Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo je li manja irina ili duljina i nju oznaimo sa x...3. Sad uoimo kolika je irina u odnosu na duljinu, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo.5. Prije nego to krenemo na pisanje jednadbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice oznaimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x).7. Rijeimo jednadbu...x+ x=544x =40x=108. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...x+7x+7xx6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka x+7 i x zapiemo jednadbu...+ x+ x + 7+ x= 54+ x+ x- 7- 7=10+7=17=10Stranice tog pravokutnika duge su 17cm i 10cm.9. Napiemo odgovor.10. Provjeru napravi sam...

Primjer 9:kraci:osnovica:x2xxKraci jednakokranog trokuta 2 puta su dulji od osnovice,a opseg tog trokuta je 40 cm. Kolike su mu stranice?1. Proitamo tekst zadatka i uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo je li manja osnovnica ili krak, te to oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliki je krak u odnosu na osnovicu, te zapiimo i to pomou x...4. Kad smo obje traene veliine oznaili pomou x, podvuemo.5. Prije nego to krenemo na pisanje jednadbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice oznaimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (2x i x).7. Rijeimo jednadbu...5x =40x=88. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...x2x2x6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili. Pomou njega, te oznaka 2x i x zapiemo jednadbu...Paljivo razmisli:

to je opseg bilo kojeg lika?to moramo uiniti sa stranicama trokuta da bismo dobili opseg?Trebamo zbrojiti duljine svih stranica!Uoavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadbu...+ 2x+ 2x= 40= 28 = 16= 8Osnovica tog trokuta duga je 8 cm, a kraci 16 cm.9. Napiemo odgovor.10. Provjeru napravi sam...

Opet zadaci za vjebu...Nakon sljedeeg klika prikazat e ti se rjeenja zadataka da si moe prekontrolirati jesi li dobro rijeio.Sretno! 2.) Kraci jednakokranog trokuta za 8cm su dulji od osnovice, a opseg tog trokuta je 46 cm. Kolike su mu stranice?1.) irina pravokutnika je 3 puta vea od duljine, a opseg je 64 cm. Kolike su mu stranice?3.) U raznostraninom trokutu najdulja stranica je 3 puta dulja od najkrae, a srednja je za 4 cm kraa od najdulje. Kolike su stranice tog trokuta ako mu je opseg 38 cm?Rjeenja:

1.) Stranice tog pravokutnika su 24cm i 8cm.

Uputa: irina: 3xduljina: x3x+x+3x+x = 64...

2.) Osnovica mu je 10cm, a kraci 18cm.

Uputa: osnovica: xkraci: x+8x+x+8+x+8=46...

3.) Stranice su mu duge 6cm, 14cm i 18cm.

Uputa: najkraa: xnajdulja: 3xsrednja: 3x-4x+3x+3x-4=38...

4.) Stranice su mu duge 12cm i 6cm.

Uputa: duljina: 2xirina: x2x-x=6...4.) Duljina pravokutnika je 2 puta vea od irine, a irina je za 6 cm kraa od duljine. Kolike su stranice tog pravokutnika?

Sloeniji problemski zadaci

Primjer 10:1. jato:2. jato:x2xLete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta vie ptica nego u drugome.Ako 20 ptica iz drugog jata pree u prvo jato, tada e u prvom jatu biti 3 puta vie ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapiimo pomou x...4. Sa 2x i x smo oznaili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo.prijeMeutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabiljeimo i to pomou x...poslijeAko je u 1. jatu bilo 2x pticai dolo je jo 20 ptica,nakon toga u tom jatu ima - koliko ptica?2x+20Ako je u 2. jatu bilo x pticai otilo je 20 ptica,nakon toga u tom jatu ima - koliko ptica?x-20

Primjer 10:1. jato:2. jato:x2xLete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta vie ptica nego u drugome.Ako 20 ptica iz drugog jata pree u prvo jato, tada e u prvom jatu biti 3 puta vie ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapiimo pomou x...4. Sa 2x i x smo oznaili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo.prijeMeutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabiljeimo i to pomou x...poslije2x+20x-205. Nakon to smo oba stanja (prije i poslije promjene) oznaili pomou x, podvuemo.6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili i pomou njega zapiimo jednadbu...Sjetimo se da nakon seljenja u 1. jatu imamo 2x+20 ptica, a u 2. jatu x-20 ptica.Tekst zadatka kae da je broj ptica u 1. jatu (tj. 2x+20) tri puta vei od broja ptica u 2. jatu (tj. od x-20 ).Zapiimo to matematikim simbolima...2x + 20 = 3 (x - 20)

Primjer 10:1. jato:2. jato:x2xLete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta vie ptica nego u drugome.Ako 20 ptica iz drugog jata pree u prvo jato, tada e u prvom jatu biti 3 puta vie ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapiimo pomou x...4. Sa 2x i x smo oznaili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo.prijeMeutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabiljeimo i to pomou x...poslije2x+20x-205. Nakon to smo oba stanja (prije i poslije promjene) oznaili pomou x, podvuemo.6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili i pomou njega zapiimo jednadbu...2x + 20 = 3 (x - 20)7. Rijeimo jednadbu...Kako emo rijeiti ovu jednadbu?Naravno, prvo se trebamo rijeiti zagrade.Kako emo je se rijeiti u ovom sluaju?Ispred zagrade je mnoenje, pa emo broj ispred zagrade (tj. broj 3) pomnoiti sa svakim pribrojnikom u zagradi.Sve prije tog broja 3 prepiemo...2x + 20 =3x- 60

Primjer 10:1. jato:2. jato:x2xLete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta vie ptica nego u drugome.Ako 20 ptica iz drugog jata pree u prvo jato, tada e u prvom jatu biti 3 puta vie ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapiimo pomou x...4. Sa 2x i x smo oznaili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo.prijeMeutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabiljeimo i to pomou x...poslije2x+20x-205. Nakon to smo oba stanja (prije i poslije promjene) oznaili pomou x, podvuemo.6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili i pomou njega zapiimo jednadbu...2x + 20 = 3 (x - 20)7. Rijeimo jednadbu...2x + 20 =3x- 602x=-60-x =-80x=80- 3x- 208. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...=280=160= 80=280+20=180= 80-20= 609. Napiemo odgovor.U prvom je jatu 160, a u drugom 80 ptica. Ako se 20 ptica preseli iz drugog jata u prvo, nakon toga e u prvom jatu biti 180, a u drugom 60 ptica.10. Provjeru napravi sam...

Primjer 11:1. vrea:2. vrea:x5xU prvoj je vrei bilo 5 puta vie brana nego u drugoj. Iz prve vree su 24 kg brana presipana u drugu, te su nakon toga obje vree postale jednako teke. Koliko je brana u kojoj vrei bilo prije presipavanja, a koliko poslije?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo u kojoj vrei ima manje brana, te tu koliinu brana oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je brana u 1. vrei u odnosu na 2. vreu i to zapiimo pomou x...4. Sa 5x i x smo oznaili koliine brana prije presipavanja. Oznaimo pomou x i koliine nakon presipavanja...prijeposlijeAko je u 1. vrei bilo 5x kg branai iz nje smo uzeli 24 kg brana,nakon toga u toj vrei ima - koliko brana?5x-24Ako je u 2. vrei bilo x kg branai dosipana su 24 kg brana,nakon toga u toj vrei ima - koliko brana?x+24

Primjer 11:1. vrea:2. vrea:x5xU prvoj je vrei bilo 5 puta vie brana nego u drugoj. Iz prve vree su 24 kg brana presipana u drugu, te su nakon toga obje vree postale jednako teke. Koliko je brana u kojoj vrei bilo prije presipavanja, a koliko poslije?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo u kojoj vrei ima manje brana, te tu koliinu brana oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je brana u 1. vrei u odnosu na 2. vreu i to zapiimo pomou x...4. Sa 5x i x smo oznaili koliine brana prije presipavanja. Oznaimo pomou x i koliine nakon presipavanja...prijeposlijex+245. Nakon to smo oba stanja (prije i poslije promjene) oznaili pomou x, podvuemo.6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili i pomou njega zapiimo jednadbu...Sjetimo se da nakon presipavanja u 1. vrei imamo 5x-24 kg brana, a u 2. vrei x+24 kg brana.Tekst zadatka kae da su te koliine brana jednake.Zapiimo to pomou matematikih simbola...5x - 24 = x + 245x-24

Primjer 11:1. vrea:2. vrea:x5xU prvoj je vrei bilo 5 puta vie brana nego u drugoj. Iz prve vree su 24 kg brana presipana u drugu, te su nakon toga obje vree postale jednako teke. Koliko je brana u kojoj vrei bilo prije presipavanja, a koliko poslije?1. Proitajmo tekst zadatka, uoimo to se trai, te zapiemo to...2. Iz teksta zadatka uoimo u kojoj vrei ima manje brana, te tu koliinu brana oznaimo sa x...3. Sad uoimo koliko je brana u 1. vrei u odnosu na 2. vreu i to zapiimo pomou x...4. Sa 5x i x smo oznaili koliine brana prije presipavanja. Oznaimo pomou x i koliine nakon presipavanja...prijeposlijex+245. Nakon to smo oba stanja (prije i poslije promjene) oznaili pomou x, podvuemo.6. U tekstu zadatka uoimo podatak kojeg jo nismo iskoristili i pomou njega zapiimo jednadbu...5x - 24 = x + 247. Rijeimo jednadbu...5x=244x =48x=12- x+ 248. Dobiveno rjeenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...=512=60= 12=512-24=36= 12+24= 369. Napiemo odgovor.Prije presipavanja u 1. vrei je bilo 60 kg brana, a u 2. vrei 12 kg.Nakon presipavanja u svakoj je vrei bilo 36 kg brana.10. Provjeru napravi sam...5x-24

Opet zadaci za vjebu...Nakon sljedeeg klika prikazat e ti se rjeenja zadataka da si moe prekontrolirati jesi li dobro rijeio.Sretno! 2.) Tanja i Vanja dobile su bombonijere. U Tanjinoj bombonijeri bilo je 2 puta vie bombona nego u Vanjinoj. Stoga je Tanja poklonila Vanji 7 bombona, pa su nakon toga imale jednako mnogo bombona. Koliko je koja dobila bombona?1.) Zoran je imao 4 puta vie autia od Gorana. Kad je Zoran izgubio 5 autia, ukupan broj Zoranovih i Goranovih autia bio je 10. Koliko je autia na poetku imao koji djeak?3.) U jednoj je bavi bilo 3 puta vie ulja nego u drugoj. Zatim je iz druge bave istoeno 17 litara, a iz prve 6 litara, pa je u obje babe zajedno ostalo 105 litara ulja. Koliko je litara u kojoj bavi bilo na poetku?Rjeenja:

1.) Zoran je imao 12, a Goran 3 autia.

Uputa:prijeposlijeZoran:4x4x-5Goran:xx 4x-5+x=10...

2.) Tanja je dobila 28, a Vanja 14 bombona.

Uputa:prijeposlijeTanja:2x2x-7Vanja:xx+7 2x-7 = x+7...

3.) Na poetku je u 1. bavi bilo 96 litara, a u drugoj bavi 32 litre ulja.

Uputa:prijeposlije1. bava:3x3x-62. bava:xx-17 3x-6+x-17 = 105...

Time smo doli do kraja ove cjeline.Nadam se da je bilo korisno, jasno i ne preteko.

Autorica prezentacije:Antonija Horvatek

lipanj 2008.

Ovaj materijal moete koristiti u nastavi, tj. u radu s uenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako koritenje materijala koje nije rad s uenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u asopisima,udbenicima, na CD-ima..., za koritenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je traiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji nain koristite moje materijale, bit e mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vae primjedbe, komentare...Antonija Horvatekahorvatek@yahoo.comhttp://public.carnet.hr/~ahorvate