Regresi & Korelasi 1REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA dan

BERGANDA

1. Pendahuluan

Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) Persamaan regresi : Persamaan matematik yang memungkinkan

peramalan nilai suatu peubah/variabel takbebas (dependent variable) dari nilai peubah/variabel bebas (independent variable)

Diagram Pencar = Scatter DiagramDiagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah bebas.

Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)

Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)

Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas

Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas?

Contoh 1:

Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi)Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi,

Y : Vol. penjualan)Jumlah outlet vs volume penjualan

Kualitas produk, brand image, harga produk vs keputusan pembelian produk (X1 KP, X2 BI, X3 HP sedangkan Y KPP)

Browser yang dipilih ? alasannya apa krn faktor user interface, kecepatan, user experience, etc

Mikroprosesor yg digunakan, dipengaruhi apa ?

Regresi & Korelasi 2

Jenis-jenis Persamaan Regresi : a. Regresi Linier : - Regresi Linier Sederhana

- Regresi Linier Berganda b. Regresi Nonlinier

- Regresi Eksponensial

Regresi Linier - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana

Y = a + bXY : peubah takbebas (variabel tidak bebas/independen)X : peubah bebas (variabel bebas/dependen)a : konstanta (intersep/titik potong dgn sumbu Y pada

saat X =0 kalau x=0, maka nilai y =a)b : kemiringan (slope/gradien)

LINIER berarti X berpangkat satu SEDERHANA berarti hanya ada satu X

- Bentuk Umum Regresi Linier BergandaY = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn

Y : peubah takbebas a : konstantaX1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n

X pangkat 1Tetapi jumlah variable bebas (X) LEBIH DARI SATU

Regresi Non Linier- Bentuk umum Regresi Eksponensial Y = abx log Y = log a + (log b) x

Regresi & Korelasi 3

2. Regresi Linier Sederhana

Metode Kuadrat terkecil (least square method): metode paling populer untuk menetapkan persamaan regresi linier sederhana

- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana : Y = a + bX

Y : peubah takbebas X : peubah bebasa : konstanta (intersep, yaitu nilai Y pd saat X = 0)b : kemiringan / gradien/ slope (kemiringan garis,

apakah garis cenderung menuju X atau Y)

Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)

b : positif Y b : negatif Y Y = a + bX Y = a - bX

X X

Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

bn x y x y

n x x

i i ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

1 11

2

1 1

2

a y bx sehingga ay

nb

x

n

ii

n

ii

n

1 1

n : banyak pasangan data

Regresi & Korelasi 4yi : nilai peubah takbebas Y ke-ixi : nilai peubah bebas X ke-i

Contoh 2 :

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng.

ThnxBiaya Promosi (Juta Rupiah)

yVolume Penjualan (Ratusan Juta Liter)

xy x² y²

1992 2 5 10

4

25

1993 4 6 24

16

36

1994 5 8 40

25

64

1995 7 10 70

49

100

1996 8 11 88

64

121

n = 5

x = 26 y = 40 xy = 232

x² =158

y² = 346

bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + b X

Regresi & Korelasi 5

bn x y x y

n x x

i i ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

1 11

2

1 1

2 ; b

( ) ( )

( ) ( ). ...

5 232 26 405 158 26

1160 1040790 676

120114

1052632 =

b = 1.053

ay

nb

x

n

ii

n

ii

n

1 1

a

405

105263265

8 105263 5 2 8 54736 2 5263. ... . ... . . ... . ....= 2.530

Y = a + b X Y = 2,530 + 1,053 X

Peramalan dengan Persamaan Regresi

Contoh 3 :Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut Y = 2.530 + 1.053 X

Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ?

Jawab : Y = 2.530 + 1.053 XX = 10

Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)

Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

Jika X naik sebesar 1 unit maka Y naik sebesar 1,053 unit

Regresi & Korelasi 6

3. Korelasi Linier Sederhana

Koefisien Korelasi Linier (R) : ukuran (kekuatan/keeratan) dan arahnya hubungan linier peubah X dan Y

Nilai R berkisar antara (+1) sampai (-1)Nilai R yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+)Nilai R yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-)

Jika nilai R mendekati +1 atau R mendekati -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi

Jika nilai R = +1 atau R = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurnaJika nilai R = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi `(hubungan) linier(dalam kasus R mendekati 0, anda dapat melanjutkan analisis ke regresi eksponensial)

Koefisien Determinasi Sampel = R² (R square)Ukuran proporsi keragaman total nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai peubah X melalui hubungan linier.

Penetapan & Interpretasi Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi

Regresi & Korelasi 7

Contoh 4 :

Lihat Contoh 2, setelah mendapatkan persamaan Regresi Y = 2.530 + 1.053 X, hitung koef. korelasi (R) dan koef determinasi

(R²).

Gunakan data berikut (lihat Contoh 2)

x = 26 y = 40 xy = 232 x² =158 y² = 346

12014820

12012173

0 9857. ...

. ...

Nilai R = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi (bukan “baik baik saja”) R²0 9857 2. ... = 0.97165....= 97 %

Regresi & Korelasi 8

Nilai R² = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan linier.

Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain (selain X)

4. Regresi Linier Berganda Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1

dan X2) dan 1 Variabel Tak Bebas (Y).

Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2

Y : peubah takbebas a : konstantaX1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2

a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:

(i) n x x yii

n

ii

n

ii

n

a + b b1 211

21 1

(ii) a + b b1 2x x x x x yii

n

ii

n

i ii

n

i ii

n

11

12

12 1

11

1

(iii) a + b b1 2x x x x x yii

n

i ii

n

ii

n

i ii

n

21

2 11

22

12

1

n : banyak pasangan datayi : nilai peubah takbebas Y ke-i

Regresi & Korelasi 9x1i : nilai peubah bebas X1 ke-ix2i : nilai peubah bebas X2 ke-i

Regresi & Korelasi 10

Contoh 4:Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan aksesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit).

x1 x2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²2 3 4 6 8 12 4 9 163 4 5 12 15 20 9 16 255 6 8 30 40 48 25 36 646 8 10 48 60 80 36 64 1007 9 11 63 77 99 49 81 1218 10 12 80 96 120 64 100 144

x 1=31

x 2 =40

y =50

x x 1 2 =239

x y 1 =296

x y 2 =379

x 12 =

187x 2

2 =306

y 2 =470

Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda Y = a + b1 X1 + b2 X2

n = 6 x 1= 31 x 2 = 40 y = 50x x 1 2 =239 x y 1 =296 x y 2 = 379x 1

2 =187 x 22 =306 y 2 = 470

Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal,

(i) n x x yii

n

ii

n

ii

n

a + b b1 211

21 1

(ii) a + b b1 2x x x x x yii

n

ii

n

i ii

n

i ii

n

11

12

12 1

11

1

(iii) a + b b1 2x x x x x yii

n

i ii

n

ii

n

i ii

n

21

2 11

22

12

1

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:

Regresi & Korelasi 11

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379

Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)

(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296 6(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50 31

(ii) 189 a + 1122 b1 + 1434 b2 = 1776(i) 189 a + 961 b1 + 1240 b2 = 1550

(iv) 161b1 + 194 b2 = 226

Lalu

(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379 6 (i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50 40

(iii) 240 a + 1434 b1 + 1836 b2 = 2274 (i) 240 a + 1240 b1 + 1600 b2 = 2000

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274

Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274 161(iv) 161 b1 + 194 b2 = 226 194

Regresi & Korelasi 12

(v) 31234 b1 + 37996 b2 = 44114(iv) 31234 b1 + 37636 b2 = 43844

360 b2 = 270 b2 = 0.75

Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga:

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274

Perhatikan b2 = 0.75194 b1 + 236 (0.75)= 274194 b1 + 177 = 274

194 b1 = 97 b1 = 0.50

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

Perhatikan b1 = 0.50 dan b2 = 0.75

6a + 31(0.50) + 40 (0.75) = 50 6a + 15.5 + 30 = 50

6a = 4.5 a = 0.75

Sehingga Persamaan Regresi Linier Berganda

a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai

Y = 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2

Regresi & Korelasi 13

5. Korelasi Linier berganda

Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai berikut Ry.12

2 Sedangkan Koefisien Korelasi adalah akar positif Koefisien

Determinasi atau = Ry.12

2

Rumus Ry

JKGn sy. ( )12

211 2

JKG : Jumlah Kuadrat Galatsy² : Jumlah Kuadrat y (terkoreksi)

di mana

s

n y yn ny

22 2

1

( )

JKG y a y b x y b x y 21 1 2 2

Contoh 5:Jika diketahui (dari Contoh 4) n = 6

x 1= 31 x 2 = 40 y = 50x x 1 2 =239 x y 1 =296 x y 2 = 379x 1

2 =187 x 22 =306 y 2 = 470

Regresi & Korelasi 14Maka tetapkan Ry .12

2 dan jelaskan artinya nilai tersebut!

s

n y yn ny

22 2

1

( )= 6 470 50

6 6 52820 2500

3032030

10 6672( ) ( )

( ).

JKG y a y b x y b x y 21 1 2 2

= 470- 0.75(50) - 0.5 (296) - 0.75 (379)= 470 - 37.5 - 148 - 284.25= 0.25

RyJKG

n s y. ( )

..

.

.122

11 10 25

5 10 6671

0 2553 3332

= 1 - 0.0046875= 0.9953125 = 99.53%

Nilai Ry.122 = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman

nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X1 (biaya promosi) dan X2 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier.

Sisanya sebesar 0.47% dijelaskan oleh hal-hal lain.

KORELASI PEARSON

Analisis korelasi adalah teknik analisis yang digunakan untuk mengukur kuat lemahnya hubungan dua variabel. Variabel ini terdiri dari variabel bebas dan tidak bebas. Besarnya hubungan berkisar antara 0-1. Jika mendekati angka 1 berarti hubungan kedua variabel semakin kuat, demikian juga sebaliknya jika mendekati angka 0 berarti

Regresi & Korelasi 15hubungan kedua variabel semakin lemah. Teknik korelasi dalam SPSS dibagi menjadi 3 yaitu : bivariate, parsial dan distance.

Korelasi pearson digunakan untuk mengetahui ada tidaknya hubungan antara 2 variabel, yaitu variabel bebas dan tidak bebas yang berskala interval atau rasio (parametrik) yang dalam SPSS disebut scale. Asumsi dalam korelasi Pearson, data harus berdistribusi normal. Korelasi dapat menghasilkan angka positif (+) dan negatif (-).

Jika angka korelasi positif berarti hubungan bersifat searah. Searah artinya jika variabel bebas besar, variable tidak bebas semakin besar. Artinya jika X naik maka Y naik, sebaliknya jika X turun maka Y akan turun.

Misalkan nilai R = 0,6 Hubungan antara variabel X dengan Y adalah SEARAH, jika X NAIK satu satuan unit maka nilai Y NAIK sebesar 0,6 unit.

Jika angka korelasi negatif berarti hubungan bersifat TIDAK SEARAH. Tidak searah artinya jika nilai variabel bebas SEMAKIN BESAR, variabel tidak bebas SEMAKIN KECIL. Artinya jika X naik maka Y turun, sebaliknya jika X turun maka Y akan naik.

Misalkan nilai R = -0,8 Hubungan antara variabel X dengan Y adalah tidak searah, jika X NAIK satu satuan unit maka nilai Y TURUN sebesar 0,8 unit.

Regresi & Korelasi 16

Rumus Korelasi Pearson :

Dimana :r = nilai korelasix = variabel bebas y = variabel tidak bebas

Angka korelasi berkisar antara 0-1.

Kekuatan hubungan korelasi LINIER, misal menurut Jonathan Sarwono sebagai berikut : 0 : Tidak ada korelasi 0.01 - 0.24 : korelasi sangat lemah 0.25 - 0.49 : korelasi cukup 0.50 - 0.74 : korelasi kuat 0.75 - 0.99 : korelasi sangat kuat 1 : korelasi sempurna

Contoh kasus

Seorang manajer ingin mengetahui apakah ada hubungan antara jumlah sales dengan penjualan barang. Data sebagai berikut.

Regresi & Korelasi 17

Data sales dan penjualan

Langkah analisis :1. Klik Analyze>Correlate>Bivariate2. Pindahkan variabel sales dan penjualan ke kolom variable3. Pilih pearson pada Correlation coeffecient4. Pilih Two-Tailed pada Test of significance5. Aktifkan Flag significant correlations6. Kemudian OK

Hasil Output SPSS

Regresi & Korelasi 18

Hasil Uji Korelasi Pearson

HipotesisH0 : Tidak ada hubungan antara sales dan penjualanH1 : Ada hubungan antara sales dan penjualan

Kriteria : Tolak hipotesis nol (H0) jika nilai signifikansi p-value (< 0.05)Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa nilai signifikansi p-value sebesar 0.000 (< 0.05) maka tolak hipotesis nol (H0), terima H1, berarti ada hubungan antara jumlah sales dan penjualan. Besarnya korelasi ada +0,827, hal ini menunjukkan hubungan jumlah sales dan penjualan positif dan sangat kuat. Semakin banyak jumlah sales maka penjualan akan meningkat. Jika jumlah sales naik 1 unit maka penjualan akan naik sebesar 0,827 unit.

alifadlanayraaliaharith