Раде Раонић

ПОЛОЖАЈ ТЕЖИШТА ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ И ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

РР©2013.

- 2 -

ЗАДАТАК

Одредити: 1. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомо-

гене раванске фигуре, 2. графичким поступком координате положаја тежишта хомоге-

не раванске фигуре, 3. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомо-

гене раванске линије, 4. графичким поступком координате положаја тежишта хомоге-

не раванске линије и 5. применом Папос-Гулдинових теорема:

а) површине тела која се добијају обртањем хомогене ра-ванске линије око x и око y координатне осе и

б) запремине тела која се добијају обртањем хомогене ра-ванске фигуре око x и око y координатне осе.

Хомогене раванске фигуре и хомогене раванске линије су задате помоћу шифрарника.

ШИФРАРНИК

Ред.бр. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Шифра 2.01.02 3.02.03 4.03.04 5.04.05 6.05.06 2.06.07 3.07.08 4.08.09 5.09.10Ред.бр. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Шифра 6.10.01 2.03.02 3.04.03 4.05.04 5.06.05 6.07.06 2.08.07 3.09.08 4.10.09Ред.бр. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Шифра 5.07.10 6.08.01 2.09.02 3.10.03 4.02.04 5.03.05 6.04.06 2.05.07 3.06.08Ред.бр. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Шифра 4.07.09 5.08.10 6.09.01 2.10.02 3.05.03 4.06.04 5.04.05 6.01.06 2.04.07Ред.бр. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Шифра 3.06.08 4.01.09 5.02.10 6.03.02 2.05.03 3.08.04 4.05.05 5.06.07 6.07.09Ред.бр. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. Шифра 2.07.10 3.10.02 4.08.03 5.09.04 6.10.05 2.09.06 3.01.07 4.07.08 5.08.02

ПРИМЕР ПРИМЕНЕ ШИФРАРНИКА Нпр. шифра

2.01.02. има значење:

2.

a= 2 cm

01.

фигура Ф01

02.

линија Л02

- 3 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф01

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Правоугли троугао

142

a aA

1 3ax a

14

3ay

____

____

Право-угаоник

2

2 4A a

2 2ax a

2 2y a

____

____

Половина круга

2

34

2aA

3823

ax a

3 2y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 4 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л01

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L x L x L x L xxL L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L y L y L y L yyL L L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Коса линија

2

1 17L a

1 2ax

1 2y a

____

____

Водоравна линија

2 2L a

2x a

2 0y

____

____

Половина кружнице

34

2aL

342 ax a

3 2y a

____

____

Водоравна линија

4L a

4 2ax a

4 4y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 5 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф02

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Правоугли троугао

21 2A a

122

3ax a

122

3ay a

____

____

Четвртина круга

22A a

2823

ax a

2823

ay a

____

____

Половина круга

23 2A a

3 2x a

3823

ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 6 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л02

a=____cm

РР©2013.

1 2 3L L L L

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

L x L x L xxL L L

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

L y L y L yyL L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Коса линија

2

1 8L a

1x a

1y a

____

____

Четвртина кружнице

24

4aL

242 ax a

242 ay a

____

____

Половина кружнице

34

2aL

3 2x a

342 ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 7 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф03

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Квадрат

21 4A a

1x a

1y a

____

____

Правоугли троугао

22 2A a

222

3ax a

222

3ay a

____

____

Половина круга

23 2A a

3 2x a

3823

ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 8 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л03

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L x L x L x L xxL L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L y L y L y L yyL L L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Вертикална линија

1 2L a

1 0x

1y a

____

____

Водоравна линија

2 2L a

2x a

2 0y

____

____

Коса линија

2

3 8L a

3 3x a

3y a

____

____

Половина кружнице

44

2aL

4 2x a

442 ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 9 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф04

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Правоугли троугао

21A a

122

3ax a

1 23ay a

____

____

Правоугли троугао

22 4A a

244

3ax a

222

3ay a

____

____

Четвртина круга

23A a

3823

ax a

3823

ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 10 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л04

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4 5L L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L x L x L x L x L xxL L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L y L y L y L y L yyL L L L L

Елементарне линије

iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Вертикална линија

1L a

1 2x a

1 32ay a

____

____

Коса линија

2

2 5L a

2x a

2 22ay a

____

____

Коса линија

2

3 20L a

3 2x a

3y a

____

____

Вертикална линија

4 2L a

4 4x a

4y a

____

____

Четвртина кружнице

54

4aL

542 ax a

542 ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 11 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф05

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Право-угаоник

21 3A a

13

2ax

1 32ay a

____

____

Правоугли троугао

2

29

2aA

233

3ax a

233

3ay a

____

____

Половина круга

2

3 2aA

3433

ax a

3 3y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 12 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л05

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4 5L L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L x L x L x L x L xxL L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L y L y L y L y L yyL L L L L

Елементарне линије

iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Вертикална линија

1L a

1 0x

1 32ay a

____

____

Коса линија

2

2 18L a

23

2ax

23

2ay

____

____

Вертикална линија

3 2L a

3 3x a

3y a

____

____

Половина кружнице

42

2aL

423 ax a

4 3y a

____

____

Водоравна линија

5 3L a

53

2ax

5 4y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 13 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф06

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Половина круга

2

1 2aA

143

ax a

1 3y a

____

____

Половина круга

2

2 2aA

243

ax a

2y a

____

____

Правоугли троугао

2

312

2aA

33

3ax a

34

3ay

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 14 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л06

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L x L x L x L xxL L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L y L y L y L yyL L L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Половина кружнице

12

2aL

12 ax a

1 3y a

____

____

Половина кружнице

22

2aL

22 ax a

2y a

____

____

Водоравна линија

3 3L a

33

2ax a

3 0y

____

____

Коса линија

2

4 25L a

43

2ax a

4 2y a

____

____

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 15 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф07

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Половина круга

2

1 2aA

1423

ax a

1 3y a

____

____

Половина круга

2

24

2aA

2823

ax a

2 2y a

____

____

Квадрат

2

3 4A a

3x a

3y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 16 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л07

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4 5L L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L x L x L x L x L xxL L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L y L y L y L y L yyL L L L L

Елементарне линије

iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Половина кружнице

12

2aL

122 ax a

1 3y a

____

____

Половина кружнице

24

2aL

242 ax a

2 2y a

____

____

Водоравна линија

3 2L a

3x a

3 0y

____

____

Вертикална линија

4 2L a

4 0x

4y a

____

____

Водоравна линија

5 2L a

5x a

5 2y a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 17 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф08

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Правоугли троугао

2

1 2aA

1 23ax a

1 23ay a

____

____

Четвртина круга

2

24

4aA

2823

ax a

2823

ay a

____

____

Правоугли троугао

2

38

2aA

34

3ax

322

3ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 18 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л08

a=____cm

РР©2013.

1 2 5 6...L L L L L

1 1 2 2 5 5 6 6

1 2 5 6

...

...CL x L x L x L xx

L L L L

1 1 2 2 5 5 6 6

1 2 5 6

...

...CL y L y L y L yy

L L L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Вертикална линија

1L a

1 2x a

1 32ay a

____

____

Четвртина кружнице

24

4aL

242 ax a

242 ay a

____

____

Коса линија

2

3 20L a

3 2x a

3y a

____

____

Вертикална линија

4 2L a

4 0x

4y a

____

____

Водоравна линија

5L a

5 2ax

5 2y a

____

____

Коса линија

2

6 2L a

6 2ax a

6 22ay a

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 19 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф09

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Половина круга

2

1 2aA

143

ax a

1 3y a

____

____

Право-угаоник

2

2 3A a

23

2ax a

2 22ay a

____

____

Правоугли троугао

2

36

2aA

334

3ax a

322

3ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 20 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л09

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4 5L L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L x L x L x L x L xxL L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5C

L y L y L y L y L yyL L L L L

Елементарне линије

iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Половина кружнице

12

2aL

12 ax a

1 3y a

____

____

Коса линија

2

2 13L a

2 22ax a

2y a

____

____

Вертикална линија

3 3L a

3 4x a

3 2ay a

____

____

Водоравна линија

4 3L a

4 22ax a

4 3y a

____

____

Вертикална линија

5L a

5x a

5 32ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy

- 21 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

Ф10

a=____cm

РР©2013.

1 2 3A A A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A x A x A xxA A A

1 1 2 2 3 3

1 2 3C

A y A y A yyA A A

Елементарне фигуре

iA 2(cm )

ix

(cm)

iy

(cm)

i iA x 3(cm )

i iA y 3(cm )

Половина круга

2

14

2aA

1 2x a

1823

ay a

____

____

Правоугли троугао

2

22

2aA

222

3ax a

2 23ay a

____

____

Правоугли троугао

2

34

2aA

322

3ax a

322

3ay a

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix A x A

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy A y A

_____/_____ ____ cmCy

- 22 -

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л10

a=____cm

РР©2013.

1 2 3 4L L L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L x L x L x L xxL L L L

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4C

L y L y L y L yyL L L L

Елементарне

линије iL

(cm)

ix

(cm)

iy

(cm)

i iL x 2(cm )

i iL y 2(cm )

Половина кружнице

14

2aL

1 2x a

142 ay a

____

____

Коса линија

2

2 5L a

2x a

2 22ay a

____

____

Вертикална линија

3 3L a

3 2x a

3 2ay a

____

____

Коса

линија

2

4 8L a

4 3x a

4y a

____

____

____

____

_______

____

____

( ) /( )C i i ix L x L

_____/_____ ____ cmCx

( ) /( )C i i iy L y L

_____/_____ ____ cmCy