Embed Size (px)
Citation preview
11/1/2009
1
Težište
Definicija težišta
Koordinate težišta za Dekartov koordinatni sistem
Težište dvodimenzionih tela
Težište jednodimenzionih tela
Načini određivanja težišta
Definicija težine
Zemlja na sve deliće svakog tela deluje
gravitacionim silama koje nazivamo težinom
tela
Težine delića tela predstavljaju sistem
vezanih paralelnih sila
Njihova rezultanta se zove težina tela
n
i
iGG1
11/1/2009
2
Težina tela
A1
A2
A3
An
X
X
y y
zz
F1
F2
F3
Fn
A1
A2
A3
An
F1
F2
F3
Fn
Ako se telo zaokrene za neki ugao u odnosu na zemlju, težine delića ostaće
paralelne i zadržaće iste intenzitete pravce i smerove
Definicija težišta
Rezultanta težina delića tela, težina tela,
deluje u jednoj tački
Tačka u kojoj deluje
težina tela naziva se
težište
z
x
y0
G1
G2
G3
GnG
rC
Cr1
r2
rn
r3
Zemla
11/1/2009
3
Položaj težišta u prostoru
Koordinatni sistem koji
je nacrtan naziva se
DEKARTOV
koordinatni sistem
Položaj težišta u
prostoru
k
n
k
kC GrG
r 1
1
z
x
y0
G1
G2
G3
Gn
r 1
r2
r n
r 3
Zemlja
Specifična težina
Telo može biti:
homogeno (istih
svojstava po čitavoj zapremini)
Nehomogeno (osobine tela se menjaju po zapremini)
.const
.,, constzyx
V
G
11/1/2009
4
Položaj težišta u prostoru
Za telo konačnih dimenzija najbolje je telo
izdeliti na što više delića čija zapremina postaje
elementarno mala, a položaj tačno određen
Za HOMOGENO telo
Specifična težina je ista za sve deliće tela
Ukupna težina je jednaka zbiru težina delića
.const
VdVGV
– specifična težina N/m3
Položaj težišta homogenog
tela u prostoru
Za Dekartov koordinatni sistem Oxyz za homogeno
telo
VdVGV
dVrV
rconstv
c 1
.
v
C
v
C
v
C zdVV
zydVV
yxdVV
x1
;1
;1
11/1/2009
5
Položaj težišta
dvodimenzionalnog tela
Za Dekartov koordinatni
sistem Oxyz za homogenu
ljusku konstantne debljine:
dAdVGdAdVconstAV
.
A
C
A
C
A
C zdAA
zydAA
yxdAA
x1
;1
;1
dA – element površine
srednje površi ljuske
G – težina tela
z
x
y0
yx
z
dA
Položaj težišta homogene ravne
ploče konstantne debljine
Srednja ravan ploče je u ravni xOy
Za Dekartov koordinatni sistem Oxyz, za homogenu
ljusku konstantne debljine:
0
;1
;1
C
A
C
A
C
z
ydxdyA
y
xdxdyA
xz
x
y0
y
x
z=0
dA
dA=dxdy
’=const.
’ – specifična težina površine
N/m2
11/1/2009
6
Položaj težišta
jednodimenzionog tela
Za Dekartov koordinatni
sistem Oxyz za homogeni
štap konstantnog preseka
L
C
L
C
L
C zdLL
zydLL
yxdLL
x1
;1
;1
dL –element dužine
štapa
” – specifična težina
dužine N/m
z
x
y0
yx
z
dL
dV=AdL
dG= dV= AdL= ”dL
Načini određivanja težišta
Simetrija
Rastavljanje na konačne delove
Metod negativnih težišta
Eksperimentalne metode
Metode integracija
Papos-Guldinove teoreme
11/1/2009
7
Simetrija
Za telo koje ima simetričan geometrijski oblik
(određen spoljašnjim granicama) kaže se da
poseduje geometrijsku simetriju. Ako je telo
homogeno (=const), telo ima materijalnu
simetriju.
Simetrija - TEOREMA 1
TEOREMA 1
Težište tela koje ima
ravan materijalne
simetrije nalazi se u
ovoj ravni
y
z
x
O
11/1/2009
8
Simetrija - TEOREMA 2
TEOREMA 2
Ako homogeno telo ima
jednu osu simetrije
onda se težište C nalazi
na toj osi simetrrije
Simetrija - TEOREMA 3
TEOREMA 3
Ako homogeno telo ima
centar simetrije, to jest
ako ima dve ili više osa
simetrije, težište C se
nalazi u centru
simetrije, tj. u preseku
osa simetrije
c
11/1/2009
9
Simetrija - TEOREMA 3
TEOREMA 3
Ako homogeno telo ima
centar simetrije, to jest
ako ima dve ili više osa
simetrije, težište C se
nalazi u centru
simetrije, tj. u preseku
osa simetrije
c
Primeri primene simetrije
Na ravne površi
11/1/2009
10
Primeri primene simetrije
Na homogene linije
Rastavljanje na konačne delove
Položaj težišta tela koje se sastoji od konačnog broja delova
koji se međusobno razlikuju oblikom ili materijalom
k
n
k
kC
kk
V
kC
GrG
r
dVrG
r
1
1
1
k
k
kck
k
kck
k
kc GzG
zGyG
yGxG
x
1
1
1
1
1
1
1;
1;
1
z
x
y0
G1
G2
G3
Gn
G
rC
C
r1
r2
rn
r3
11/1/2009
11
Primer rastavljanja na konačne delove
Složenu površinu rastaviti na više prostih, u ovom primeru tri,
za koje su poznati položaji težišta ponaosob za svaku površinu
6
22
R2
x
y
Brojni primer rastavljanja na konačne
delove poznatih oblika i dimenzija
C3
C1
C2
x
y
1
0.6
7
2
3
2
6
R2
4
0;85.08.621028,6
67.0;260106
1;31201012
/10
323
222
111
2
CdNAG
CdNAG
CdNAG
mdN
11/1/2009
12
Brojni primer rastavljanja na konačne
delove poznatih oblika i dimenzija
mxGxGxGG
xC 75.18.242
6.426133211 2
dNGGGG 8.2428.626012031 2
myGyGyGG
yC 32.08.242
8.79133211 2
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Metod negativnih težištaprimenjuje se na telo sa šupljinama
Težina materije koja
bi popunjavala k-tu
šupljinu ima suprotan
smer od smera težine
punog tela, a vezana
je za težište dela u
šupljini
z
xy
0
G1 G
2
G3
Gn
G
rC
Cr1
r2
rn
r3
11/1/2009
13
Metod negativnih težištaprimenjuje se na telo sa šupljinama
n
j
jT GGG1
z
xy
0
G1 G
2
G3
Gn
G
rC
Cr1
r2
rn
r3
Težina je težina tela koje nema šupljine
umanjena za težine šupljna
n
j
jjTTc GrGrG
r1
1
Primer negativnih težišta
Složena ravna ploča ima otvor prečnika 1 m. Odrediti njeno težište, ’ =
10dN/m2
3
4
6
4
60
o
1
Uočava se osa simetrije pa
treba odrediti samo jednu
koordinatu
11/1/2009
14
Primer negativnih težišta
Mogu se uočiti tri definisane
površine: trougao,
pravougaonik i izbušeni otvor.
Sva tri težišta leže na osi
simetrije koju obeležimo sa x,
Proizvoljno biramo y na
osnovici trougla i kraćoj strani
pravougaonika
dNAAAAG 43.301321
0;154.1;28.69;928.6
0;3;85.7;785.0
0;3;240;24
3333
2
3
2222
2
2
1111
2
1
ymxdNAGmA
ymxdNAGmA
ymxdNAGmA
43.301
154.1928.6385.73240 cx
0;283.2 cc ymx
221
332211
GGG
xGxGxGxc
y
31.15
1C3
C1
xC2
Eksperimentalne metode
Za heterogena tela veoma komplikovanog
oblika i strukture težište tela se može
odrediti eksperimentalno
Za eksperimentalno određivanje težišta
razvijeno je više metoda, a neke su:
Kačenjem tereta o jedno uže u najmanje dva merenja
Kačenjem o dva užeta
Merenje na vagama
11/1/2009
15
Eksperimentalne metode
Kačenjem tereta o jedno uže u
najmanje dva merenja
G G GC C C
Eksperimentalne metode
Kačenjem o dva užeta
GC
GC
GC
11/1/2009
16
Eksperimentalne metode na vagama
a b
LG1 G2
C
G
VA GA VA GA
21 GGG
LG
GaLGaGM A 2
2 0
Eksperimentalne metode na vagama
BG
QeBQeGM A 11 0
C
VA GA
G
B
e2 e1Q
11/1/2009
17
Eksperimentalne metode na vagama
VA GA
C
G
Gsin a
ZGcosa
a
aa
a
aaa
sin
coscos
0sincoscos
22
aGLZh
HL
Htg
haGLZM B
Metode integracije
Za određene matematički definisane
zapremine, površine i linije može se
metodom integracije odrediti težište te figure
Za uobičajene slike i linije ovo je urađeno i
tabelarno sređeno tako da se po potrebi
uzimaju gotovi izrazi
11/1/2009
18
Metode integracijeTežište kružnog luka ugla p/2 rad
Dužina kružnog luka
nad uglom 2a=p/2
odnosno ap/4
Težište po obrascu
22
pa
RRL
p
Ryx cc
2
ph
RC
22
x
xC
y
y c
0
ap/445o
ap/445o
A
B
R C
h C
Metode integracijeTežište kružnog luka ugla p rad
Dužina kružnog luka
nad uglom 2a=p
odnosno ap/2
Težište po obrascu
pa RRL 2
ppa
a RRRyc
2
2
1sin
x
y
y c
0
ap/2ap/2
AB
R
C
11/1/2009
19
Metode integracijeTežište kružnog luka
Dužina kružnog luka radujegdeRL aa;
a
a
a
a
a sin
2
cos1
2
R
R
dR
ydLL
yL
c
a dRdLRy ;cos
x
y
y c y
0
a
a
d
AB
R
C
Papos-Guldinove teoreme
Teorema 1:
Površina koja se dobija obrtanjem neke
ravne linije oko ose koja leži u ravni linije,
a ovu ne preseca, jednaka je proizvodu
ugla obrtanja, dužine linije i normalnog
rastojanja težišta linije od ose obrtanja
dLxdA
11/1/2009
20
Obrtna površina oko y ose
L
dL
xC
z
x
y
dLxdAy
dLxdAAL
yy
LxA cy
Papos-Guldinove teoreme
Teorema 2:
Zapremina tela koja se dobija obrtanjem
neke ravne površine oko ose koja leži u
ravni površine a ovu ne preseca
jednaka je proizvodu ugla obrtanja,
površine i normalnog rastojanja težišta
linije od ose obrtanja
dAxdV
11/1/2009
21
Rezime
rezultanta sila gravitacije na sve deliće telase zove
težina tela
Homogeno telo koje ima geometrijsku osu simetrije
ima i materijalnu osu simetrije
Ako homogeno telo ima centar simetrije, to jest ako
ima dve ili više osa simetrije, težište C se nalazi u
centru simetrije, tj. u preseku osa simetrije
Određivanje položaja težišta – simetrija,
eksperimentalne metode, metoda podele na konačan
broj elemenata, metode integracija
Papos-Guldinove teoreme o obrtnoj površini i obrtnoj
zapremini
