TEHNIČKA MEHANIKA...ii i,, yz. TEHNI. Č. KA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc. STATIKA - TEŽIŠTE - KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA- PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 5. PREDAVANJE -

STATIKA

Središte (centar) sistema paralelnih sila;

Koordinate težišta materijalne homogene zapremine;

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Težište krutog tela;

Koordinate težišta materijalne homogene površine;

Koordinate težišta materijalne homogene linije;

SADRŽAJ PREDAVANJA

STATIKA- TEŽIŠTE -

SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (1/9)

Ako kruto telo napada sistem paralelnih sila

u različitim napadnim tačkama koje se ne mogu

pomerati, tj. “vezane su”, taj sistem paralelnih sila se

može svesti na rezultantu postepenom primenom

Teorema o slaganju dve paralelne sile istog ili

suprotnog smera.

( )1,2,..,iF i n=

iA




Tada postoji jedna nepomična (vezana) tačka u odnosu

na telo kroz koju prolazi napadna linija rezultante bez

obzira na pravac napadnih linija sistema paralelnih sila,

odnosno, pri rotaciji datog sistema paralelnih sila za isti

ugao i u istom smeru oko svojih napadnih tačaka, i

rezultanta će se zarotirati za isti ugao i u istom smeru

oko te nepomične tačke.




Nepomična tačka kroz koju prolazi napadna linija

rezultante bez obzira na pravac napadnih linija tog

sistema paralelnih sila zove se središte (centar) C

sistema paralelnih sila.



SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (4/9)Središte ili centar paralelnih sila je ona napadna tačka

njihove rezultante oko koje napadna linija rezultante

rotira pri rotaciji napadnih linija paralelnih sila oko

njihovih napadnih tačaka,

a za isti ugao i u istom

smeru.


T: Koordinate središta sistema paralelnih sila, centra C,

u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu 0xyz

su određene izrazima:



1 1 1

1

1 1 1; ; ;

.

n n n

C i i C i i C i ii i i

n

ii

x F x y F y z F zR R R

R F

= = =

=

= = =

=

∑ ∑ ∑

∑


Ovaj sistem se može

svesti na rezultantu

koja prolazi kroz

središte paralelnih

sila, tj. kroz centar -

tačku C.


SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (6/9)Dokaz (1/4):

Dat je sistem paralelnih sila čije su napadne

tačke .

),...,( 1 nFF

( )1,2,..,iA i n=

R




Rotacijom napadnih linija svih sila sistema za isti ugao i

u istom smeru oko napadnih tačaka, tako da budu

paralelne sa nekom od koordinatnih osa (npr. sa 0z-

( )1 ,..,r r

nF FrR

( ), ,C C CC x y z

osom), dobija se rotirani

sistem paralelnih sila

čija rezultanta

takođe prolazi kroz

tačku .TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.



Na rotirani sistem paralelnih sila se primeni Varinjonova

teorema o momentu rezultante za osu:

T: Ako dati sistem sila ima rezultantu, tada je moment te

rezultante za proizvoljnu osu jednak zbiru momenata

svih sila tog sistema za istu osu:

( ) ( )ri

n

iy

ry FMRM ∑

=

=1




Na osnovu definicije momenta sile za osu:

( )( ) 1

r rny C C

C i iriy i i i

M R R x R xRx F x

M F F x =

⎫= − ⋅ = − ⋅ ⎪→ ⇒ − = − ⇒⎬= − ⋅ ⎪⎭

∑

( ) ( )ri

n

iy

ry FMRM ∑

=

=1

(a)T:

(a)

1 1 1 1

1 1 1; ; ;n n n n

C i i C i i C i i ii i i i

x F x y F y z F z R FR R R= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑- Kraj dokaza -



TEŽIŠTE KRUTOG TELA (1/6)

Na svaku česticu tela koje se nalazi na Zemlji ili u

njenom omotaču dejstvuju privlačne sile - sile Zemljine

teže. Zbog malih dimenzija tela u odnosu na dimenziju

Zemlje, ove sile se mogu smatrati paralelnim,

vertikalnim, sa smerom naniže, ka centru Zemlje i

“vezane” u napadnim tačkama tela. Te napadne tačke

su težišta pojedinih čestica tela, odnosno konačnih

delova tela.




Rezultanta privlačnih sila Zemljine teže, koje su

paralelne i napadaju sve čestice tela, zove se težina tela.

Težište tela je ona tačka koja pri ma kom položaju tela

ostaje uvek napadna tačka njegove težine.




Težište je tačka čiji se položaj ne menja prema krutom

telu, a kroz koju prolazi napadna linija rezultante sila

teže svih delića datog tela pri bilo kakvom položaju tela

u prostoru.

Težište je tačka C - središte (centar) paralelnih sila

Zemljine teže.




Problem određivanja težišta tela se svodi na određivanje

položaja središta sistema vezanih vertikalnih paralelnih

sila istog smera.

Položaj težišta tela može da se odredi pomoću

koordinata u odnosu na usvojeni Dekartov koordinatni

sistem.

Postupak određivanja težišta krutog tela:




Telo se podeli na konačne

delove čija su težišta i

težine poznati i zatim se

primene izrazi za određivanje

koordinata središta (centra)

paralelnih sila, gde su

i .

iC

iG

i iF G= − R G= −




1 1

; ; ;n n

i i i ii i

R F R G F G G G= =

= = − = − ⇒ =∑ ∑

1 1

1 1 ;n n

C i i C i ii i

x F x x G xR G= =

= ⇒ =∑ ∑

1 1

1 1 ;n n

C i i C i ii i

y F y y G yR G= =

= ⇒ =∑ ∑

1 1

1 1 .n n

C i i C i ii i

z F z z G zR G= =

= ⇒ =∑ ∑



KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (1/7)

Telo je homogeno ako se težine njegovih proizvoljnih

delova odnose kao njihove zapremine:

,i i i

i

G V G GG V V V

γ γ= = ⇒ = =

gde je

γ - koeficijent srazmere - specifična težina, koja

predstavlja težinu jedinice zapremine.




Ako je homogeno telo sastavljeno iz n tela čije su

pojedinačne zapremine i koordinate težišta tih

zapremina poznate, tada je , gde su:

- zapremina i-tog dela tela sa težištem u tački

i

- zapremina datog tela.

∑=

=n

iiVV

1

( )iiii zyxC ,,iV

V




, , 1,...,i iG V G V i nγ γ= = = ⇒

1

1

1

1

1 ;

1 ;

1 ;

.

n

C i iin

C i iin

C i ii

n

ii

x V xV

y V yV

z V zV

V V

=

=

=

=

⎧=⎪

⎪⎪

=⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪ =⎪⎩

∑

∑

∑

∑




Ako telo nije moguće podeliti na konačan broj delova

čija su težišta poznata, telo se deli na male proizvoljne

zapremine . Tada važi:

gde su koordinate ma koje tačke koja leži unutar

elementarne zapremine, te su izrazi za koordinate

težišta približni.

niVi ,...,1, =Δ

1 1 1 1

1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δn n n n


x V x y V y z V z V VV V V= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

, ,i i ix y z




Za određivanje tačnih vrednosti koordinata težišta je

potrebno da se odrede granične vrednosti izraza

pod uslovom da se telo podeli na beskonačan broj

elementarnih zapremina dV, odnosno da elementarne

zapremine budu veoma male, tj. da teže nuli.

1

1 1 1

Δ ;

1 1 1Δ ; Δ ; Δ ,

n

ii

n n n


V V

x V x y V y z V zV V V

=

= = =

=

= = =

∑

∑ ∑ ∑




Tada granične vrednosti zbirova prelaze u određene

integrale po zapremini:

1lim ;

n

in iV V dV

→∞=

= Δ =∑ ∫∫∫

1lim ;

n

C i in ix V V x xdV

→∞=

= Δ =∑ ∫∫∫

1lim ;

n

C i in iy V V y ydV

→∞=

= Δ =∑ ∫∫∫

1lim .

n

C i in iz V V z zdV

→∞=

= Δ =∑ ∫∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.



Koordinate težišta materijalne homogene zapremine su:

1 ;Cx xdVV

= ∫∫∫

∫∫∫= ;1 ydVV

yC

∫∫∫= ;1 zdVV

zC

.V dV= ∫∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.


KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (1/8)

Materijalnom površinom se smatra homogeno telo čija

je jedna dimenzija veoma mala u odnosu na druge dve

dimenzije.

Za koeficijent srazmere se uzima težina jedinice

površine, tj. specifična težina površine γ´ , tako da je:

, odnosno .G Aγ ′=i iG Aγ ′=




Ako se površina može podeliti na konačan broj površina

čije su težine i koordinate poznate, onda

su koordinate težišta određene sledećim izrazima:

( )iiii zyxC ,,iG

1 1 1

1

1 1 1; ; ;

.

n n n


n

ii

x A x y A y z A zA A A

A A

= = =

=

= = =

=

∑ ∑ ∑

∑




Ako se površina ne može podeliti na konačan

broj površina čije su težine i koordinate

poznate, onda se

ona deli na elementarne

površine .

( )iiii zyxC ,,iG

iAΔ




Tada se izrazi

mogu napisati u obliku

gde su koordinate ma koje tačke koja leži unutar

elementarne površine, pa su izrazi približni.

1 1 1 1

1 1 1; ; ;n n n n


x A x y A y z A z A AA A A= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δ .n n n n



= = = =∑ ∑ ∑ ∑

iii zyx ,,




Da bi se postigla što veća tačnost, broj elementarnih

površina bi trebalo da bude što veći.

Za iznalaženje tačnih vrednosti, potrebno je odrediti

granične vrednosti izraza


elementarnih površina dA, odnosno da elementarne

površine budu veoma male, tj. da teže nuli.

1 1 1 1

1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δ ,n n n n



= = = =∑ ∑ ∑ ∑




Tada granične vrednosti zbirova prelaze u određene

integrale po površini. Na taj način se dobijaju konačni

izrazi, u kojima se pojavljuju određeni integrali po datoj

površini, a iz kojih slede izrazi za tačno određivanje

koordinata težišta površina:

1lim ;

n

in iA A dA

→∞=

= Δ =∑ ∫∫1

lim ;n

C i in ix A A x xdA

→∞=

= Δ =∑ ∫∫

1lim ;

n

C i in iy A A y ydA

→∞=

= Δ =∑ ∫∫

1lim .

n

C i in iz A A z zdA

→∞=

= Δ =∑ ∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.



Koordinate težišta materijalne homogene površine

određene su sledećim izrazima:

1 ;Cx xdAA

= ∫∫1 ;Cy ydAA

= ∫∫1 ;Cz zdAA

= ∫∫

1.

n

ii

A A dA=

= Δ =∑ ∫∫




Ako materijalna površina leži u jednoj ravni, tada je

položaj težišta određen dvema koordinatama.

Težište se nalazi u toj ravni, pa je koordinata u pravcu

ose koja je upravna na tu ravan jednaka nuli.



KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (1/7)

Materijalnom linijom se smatra homogeno telo čije su

dve dimenzije veoma male u odnosu na treću dimenziju.

Za koeficijent srazmere se uzima težina jedinice linije, tj.

specifična težina materijalne linije γ" , tako da je:

, odnosno .G Lγ ′′=i iG Lγ ′′=




Ako se linija može podeliti na konačan broj linija čije

su dužine i koordinate poznate, onda su

koordinate težišta određene izrazima:

( )iiii zyxC ,,

1 1 1 1

1 1 1; ; ; .n n n n


x L x y L y z L z L LL L L= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

iL




Ako linija ne može da se podeli na konačan broj linija

čije su dužine i koordinate poznate, onda

se ona deli na elementarne linije,

( )iiii zyxC ,,iL

čiji bi broj trebalo da bude što

veći kako bi se postigla što

veća tačnost.




Tada se izrazi

mogu napisati u obliku

gde su koordinate ma koje tačke koja leži na

elementarnoj liniji, pa su izrazi približni.iii zyx ,,

1 1 1 1

1 1 1; ; ; .n n n n



= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

1 1 1; ; ; ,n n n n



= Δ = Δ = Δ = Δ∑ ∑ ∑ ∑




Određivanjem graničnih vrednosti izraza


elementarnih linija dL, odnosno da dužine elementarnih

linija budu veoma male, tj. da teže nuli, dobijaju se izrazi

za tačno određivanje koordinata težišta linije:

1 1 1

1

1 1 1; ; ;

,

n n n


n

ii

x L x y L y z L zL L L

L L

= = =

=

= Δ = Δ = Δ

= Δ

∑ ∑ ∑

∑




1lim ;

n

in iL L dL

→∞=

= Δ =∑ ∫

1lim ;

n

C i in ix L L x xdL

→∞=

= Δ =∑ ∫

1lim ;

n

C i in iy L L y ydL

→∞=

= Δ =∑ ∫

1lim .

n

C i in iz L L z zdL

→∞=

= Δ =∑ ∫




Koordinate težišta materijalne homogene linije su:

1 ;Cx xdLL

= ∫1 ;Cy ydLL

= ∫1 ;Cz zdLL

= ∫ .L dL= ∫

Ako materijalna linija leži u jednoj ravni, tada je položaj

težišta određen dvema koordinatama. Težište se nalazi

u toj ravni, pa je koordinata u pravcu ose koja je

upravna na tu ravan jednaka nuli.


STATIKA

1. Šta je težina tela, a šta težište tela?

Napisati izraze za koordinate težišta tela.

2. Napisati izraze za koordinate težišta materijalne

homogene zapremine.


homogene površine.


homogene linije.

Kontrolna pitanja 5


Documents

TEHNIČKA MEHANIKA...ii i,, yz. TEHNI. Č. KA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc. STATIKA - TEŽIŠTE - KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE