Click here to load reader

Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

  • View
    2.127

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

vector calculus; vector; vektorski račun; uvod u vektorsku algebru;

Text of Rade Raonić - Vektorska Algebra - Uvod

Rade Raoni} VEKTORSKAALGEBRA 2009 [email protected] 1.VEKTORSKAALGEBRA________________________________________________________ 1.1.UVOD________________________________________________________________________ 1.1.1.VEKTORSKIRA^UN_______________________________________________________ 1.1.2.OSNOVNIPOJMOVI______________________________________________________ 1.1.3.VEKTORI___________________________________________________________________ 1.1.4.VRSTEVEKTORA___________________________________________________________ 1.1.5.PROJEKCIJAVEKTORA___________________________________________________ 1.1.6.UGAODVAVEKTORA______________________________________________________ 1.1.7.ANALITI^KOODRE\IVAWEVEKTORA_________________________________ 1.1.7.1.KOORDINATNISISTEMI______________________________________________ 1.1.7.2.ANALITI^KOPREDSTAVQAWEVEKTORA____________________________ 1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR [email protected] ________________________________ PREPORU^ENI MATEMATI^KI SIMBOLI ZA VEKTORSKI RA^UN 1vektor a,A, bc,BC, d,D, m, M 2apsolutna vrednost vektora a,A,bc,BC, *d*, *D*, *m*, *M* 3modul (intenzitet) vektora a, A, bc, bc , BC,BC, d, D, m, M 4jedini~ni vektor u smeru vektoraa:a/ a=a ae ili ae5jedini~ni vektori i,j, k; xe , ye , ze ; x1 , y1 , z1 ; 1e , 2e , 3e ; 1e, 2e, 3e; 6skalarni proizvod vektoraa i b ab ili a b 7vektorski proizvod vektoraa i b a b , abili avb 8dijadski proizvod vektoraa i b ab ili ab 9diferencijalni vektorski operator, nabla / r c cili V 10gradijent od mgrad milim V11 divergencija odAdivA , div A ili V A 12 rotor, rotacija odAcurlA, curl A, rotA, rot A ili V A13laplasijan, Laplace-ov operator od mm A , 2m V14dalamberijan, dAlambert-ov operator od mm 15tenzor drugog reda A 16skalarni proizvod tenzoraS i T : (ik , ikS , kiT ) S T 17tenzorski proizvod tenzoraS i T : (ik , ikS , kiT ) ST 18 proizvod tenzora S ivektoraA: (ik , ikS , kA )S A 19spoqa{wi proizvod tenzora v 20Koordinata tenzora tipa (p,q) 11, ...,, ...,qpi ij jAveli~inasimbol 1.1.UVOD 1.1.1.VEKTORSKIRA^UN Postoji vi{e na~ina pristupawa i re{avawa problema u matematici, prirodnim naukama i tehnici. Jedan od ~esto primewivanih postupaka je vektorski ra~un.Vektorski ra~un omogu}ava: - primenu metoda algebre i analize na veli~ine koje nisu brojevi, -izbegavawesvo|ewara~unawasageometrijskimveli~inamanara~unawesa brojevima, - izbegavawe gubqewa geometrijske o~iglednosti, - vizuelizacija re{avawa problema itd. Stvarawe teorije vektorskog ra~una nije bilo jednostavno, bilo je u tesnoj vezi sa razvojem prirodnih nauka i proisteklo je iz odnosa algebre i geometrije. Na~ini posmatrawa i re{avawa problema u algebri i geometriji su razli~iti. U algebri je razra|en niz algoritama (postupaka) za re{avawe problema. Ovi postupci omogu}avajuiolak{avajure{avawevelikogbrojaklasaproblema.Zarazlikuod algebre u geometriji ve}ina zadataka zahteva individualno re{avawe i uvo|ewe pomo}-nih geometrijskih elemenata: ta~aka, linija i povr{ina. Tokomrazvojamatematike(doXVIIveka)postojalajete`wadasealgebarski postupciiskoristeugeometriji.Tate`wajeostvarenaDekartovim(Descartes1638.) otkri}em analiti~ke geometrije i u vezi sa wom pojavom infinitezimalnog ra~una.Mehanika i matematika su ostvarile ogroman napredak u XVIII veku zahvaquju}i analiti~koj geometriji. Lagran` (Lagrange) je stvorio analiti~ku mehaniku u kojoj je neposredno ra~unawe sa geometrijskim veli~ina mehanike bilo zameweno ra~unawem sa brojevima.Osimvelikihprednosti,analiti~kageometrijaiskazujeiodre|ene nedostatke.Kori{}ewemanaliti~kegeometrije~estosezapostavqageometrijski sadr`ajproblemaimogu}nostgeometrijskekontroleproblema.Prikori{}ewu analiti~ke geometrije moraju se uvoditi i odgovaraju}i koordinatni sistemi odnosno skupoviparametara(brojevailikoordinata)~ijevrednostiodre|ujunpr.polo`aj ta~ke u prostoru (slika 1). Me|u prvima je ove nedostatke uo~io Lajbnic (Leibniz). On je istakao potrebu da se geometrijske veli~ine ra~unaju neposredno, a ne svo|ewem na ra~unawe sa brojevima u odgovaraju}im koordinatnim sistemima. Slika 1. Odre|ivawe polo`aja ta~ke u prostoru Po~etkom XIX veka javqa se projektivna geometrija. Ona se javqa kao odgovor napotrebuzaneposrednimra~unawemsageometrijskimveli~inama.Projektivna geometrijasevezujezaradovevi{enau~nikapo~etkomXIXveka(Poncelet,Chasles, Mbius, Plcker,...) mada joj se koreni mogu na}i i u XVII veku (Pascal, Desargues). Pojavu projektivnegeometrijeuzrokovaojerazvojteorijskefizike,tehnike,nacrtne geometrije itd. Ona je samo delimi~no odgovorila postavqenim zahtevima jer je tesno vezana za analiti~ku geometriju. SredinomXIXvekamatemati~arGrasman(Grassmann)ifizi~ariastronom Hamilton(Hamilton)uvodedirektnora~unawesageometrijskimveli~inama.Madaim semetoderazlikujukodobojicesejavqapojamvektora(Hamiltonjeuveonaziv vektor).RadoviGrasmanaiHamiltonapredstavqajuosnovuzarazvojvektorskog ra~una. Vektorskira~unudana{wemsmislustvorilisuuglavnomfizi~ari.Prvu zaokru`enuteorijuvektorskogra~unadaojefizi~arGibs(Gibbs),adaqirazvoj poti~eodMaksvela(Maxwell),Lorenca(Lorentz),Abrahama(Abraham),Hevisajda (Haeviside),Fepla(Fppl)idrugih.Uranojfazirazvojamatemati~arisusa nepoverewemgledalinavektorskira~un(izuzetakjebioGrasman).Tokomvremena vektorskira~unjepostaoop{teprihva}enimetodzaoperisawegeometrijskim veli~inamai{irokosekoristiumehanici,fizici,tehnici,geometrijiitd.Zbog {irineprimenenezaobilazanjedeotzv.in`ewerskematematike.Posredstvom vektorskog ra~una uvode se i komplikovanije veli~ine: dijade, afinore, tenzori itd. 1.1.2. OSNOVNI POJMOVI Pri posmatrawu geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina mogu se uo~iti razlike koje uti~u i na na~in primene algebre i analize pri re{avawu problema. Posmatrane geometrijske, mehani~ke i fizi~ke veli~ine se mogu podeliti na : skalare, vektore, tenzore itd. Skalarne veli~inesuveli~inekojesuupotpunostiodre|enejednimrealnim brojem kao mernim brojem.Ove veli~ine se, pri izabranoj jedinici mere, mogu predstaviti na odgovaraju}oj skali, pa se zbog toga i nazivaju skalarne veli~ine odnosno skalari (latinski izraz scala=stube,lestve).Uskalarespadaju:zapremina,vreme,masa,temperatura,rad, energija, elektri~ni kapacitet, otpor provodnika itd. Neki skalari su samo pozitivni brojevi(masa,gustina,...),anekimogubitiipozitivniinegativnibrojevi(rad, temperatura,...). Realni brojevi se smatraju skalarima, pa se sa skalarima ra~una kao saobi~nimbrojevima.Vezeizme|uskalarasemogupredstavitiuokviru"obi~ne analize" kao funkcionalne zavisnosti wihovih promenqivih mernih brojeva. Vektorske veli~ine su veli~ine koje su upotpunosti odre|ene: mernim brojem, pravcem i smerom. Mo`e se uo~iti niz geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina koje se ne mogu odrediti samo jednim brojem. Npr. pri odre|ivawu dejstva dve sile nije dovoqno definisati merni broj sila i tako u potpunosti odrediti sile (merni broj sila mo`e biti isti,a daim sedejstvopri tomerazlikujezbograzli~itihpravacaismerova dejstavasila).Ovova`iizamnogedrugeveli~ine:brzina,ubrzawe,ugaonabrzina, sila, moment sile, magnetna indukcija, elektri~na sila itd. Naziv "vektor" poti~e od latinskih izraza: vehere, vectum = nositi, pomerati. Na operacije sa vektorima ne mogu sedirektnoprimeniti"obi~naalgebraianaliza"odnosnomorajuseutvrditi posebna pravila (vektorski ra~un) koja }e se razmatrati u narednim poglavqima. Tenzorskeveli~inesuveli~inekojepredstavqajuuop{tenpojamvektora odnosno to su veli~ine za ~iji je opis potrebno, osim mernog broja, pravca i smera, jo{ podataka. Npr. pri posmatrawu deformacije tela mora se posmatrati deformisawe u tri razli~itapravcaodre|enihsmerova,kojinisuujednojravniimorajuseodrediti mernibrojevisvihtihpojedinihdeformacija.Naziv"tenzor"poti~eodlatinskih izraza:tensio,tendere=zategnuti,upraviti.Naoperacijesatenzorimaprimewujese odgovaraju}i tenzorski ra~un. 1.1.3. VEKTORI Vektor je orijentisana du` odnosno odse~ak prave na kojoj se razlikuju po~etna i krajwa ta~ka i strelica koja obele`ava smer. Praval~iji je odse~ak du` vektora zoveseosnovailinosa~vektora.Oddve grani~ne ta~ke vektora jedna A se zove po-~etakvektora,adrugaB,gdejestrelica, kraj vektora (slika 2).Na osnovu definicije, za odre|ivawe vektora potrebni su slede}i elementi: a) intenzitet vektora (veli~ina, mo-dul,brojnavrednost,apsolutnavrednost) jewegovadu`ina,merenaodre|enommer-nom jedinicom; b)pravacvektora(ufizicise ~esto koriste izrazi napadna linija, lini-ja dejstva) je odre|en pravom (nosa~em vek-tora, osnovom vektora) na kojoj se nalazi vektor; v) smer vektora se ozna~ava strelicom i pokazuje stranu u koju je vektor ori-jentisan; g)po~etakvektora(ufizicise~estokoristiizraznapadnata~kakojimse ozna~ava ta~ka na posmatranom objektu u kojoj deluje vektor). Na pravoj (nosa~u) se mogu razlikovati dva smera kretawa: jedan od wih je pozi-tivan a drugi je negativan smer. Tako orijentisana prava je osa npr. 'x x(slika 3) kod koje je pozitivan smer od 'xkax(pozitivan smer se ~esto obele`ava strelicom). Slika 3. Algebarska vrednost vektora Vektoru AB se mo`e dodeliti brojAB koji se naziva algebarska vrednost vektora i defini{e se na slede}i na~in: 1)wegovaapsolutnavrednost(npr.vektoraAB)jedu`inaodse~kaAB izra`ena pomo}u odre|ene jedinice du`ine i Slika 2. Elementi vektora 2)daje mu se znak "+" ili "" prema tome da li sewegov smer podudara sa pozitivnim ili negativnim smerom nosa~a (na slici 3 jeAB=+3 i CD=5). U literaturi se mogu susresti razli~ite oznake za vektor: a,A, bc,BC, d (bold), D (bold), m (goti~ko bold), M (goti~ko bold) itd. Odgovaraju}e oznake za intenzitet vektora su: a, A, bc, bc , BC,BC, d,D, m ( goti~ko), M ( goti~ko),a,A,bc,BC, *d*, *D*(bold), *m*, *M*(goti~ko bold) itd. Pri kori{}ewu oznaka treba razlikovati slede}a zna~ewa: 1)BC ozna~ava vektor sa po~etkom u ta~ki A i krajem u ta~ki B; 2)BC ozna~ava algebarsku vrednost vektoraBC pri ~emu se pretpostavqa da je wegov nosa~ orijentisan; 3) BC ozna~ava du`inu vektoraBC odnosno aritmeti~ki broj bez znaka. Za vektore se vezuju slede}i pojmovi: a) Ort (jedini~ni vektor ili koordinatni vektor) je vektor jedini~ne du`ine. Oznakezaortovesu:i,j,k; xe , ye , ze (bold)ili x1 , y1 , z1 (bold)odnosnou op{tem slu~aju: 1e , 2e , 3e(bold); 1e, 2e, 3e; b) Nadovezani vektori su vektori koji imaju isti nosa~ i kod kojih je krajwa ta~ka prvog vektora istovremeno i po~etak drugog vektora (npr. vektoriAB iBC su nadovezani); v)Jednakivektori(ekvipolentnivektori)suvektorikojiimajuistinosa~, istu du`inu i isti smer. Algebarske vrednosti jednakih vektora su tako|e jednake. Za jednake (ekvipolentne) vektore va`i:1) refleksivnost: svaki vektor je jednak samom sebi; 2) simetri~nost: Ako je vektor 'E jednak vektoruE, tada je i vektorE jednak vektoru 'E; Slika 4. Tranzitivnost jednakih vektora i odnos dva vektora na paralelnim nosa~ima 3) tranzitivnost : Ako je vektor 1D jednak vektoru 2D (slika 4a) i ako je vektor 2D jednak vektoru 3D nosa~i vektora 1D i 3D su paralelni nosa~u vektora 2D,pasuparalelniime|usobno.Vektori 1Di 3Dsuistogsmeraidu`ine (intenziteta), jer svaki od wih ima isti smer i du`inu (intenzitet) kao i vektor 2D. Naosnovuprethodnogsledidasuvektori 1Di 3Djednakiodnosnodava`i tranzitivnost. Na osnovu prethodnog mo`e se zakqu~iti da je jednakost (ekvipolentnost) vek-tora relacija ekvivalencije. Jednakost deli mno{tvo vektora na klase, od kojih je sva-kaobrazovanaodme|usobnojednakihvektora.Vektorkojipripadajednojklasinije jednak ni sa kojim vektorom bilo koje druge klase. Tako formirane klase vektora su disjunktna mno{tva. g) Suprotni vektori su vektori koji imaju isti nosa~, istu du`inu i suprotne smerove; d) Kolinearni vektori su vektori koji imaju isti pravac odnosno nosa~;|)Apscisata~kejealgebarskavrednostvektoranpr.ONkojisenalazina osi na kojoj je izabrani po~etak ta~ka O; e) Odnos dva vektora (npr.AB iCD; slika 4b) na paralelnim nosa~ima je broj: 1)kojiimaznak"+"ili""uzavisnostiodtogadalisutadva vektora istog ili suprotnog smera i 2) ~ija je apsolutna vrednost odnos du`ina ta dva vektora. Odnos vektoraAB i CD naj~e{}e se ozna~ava sa: ABCD . `) Nula vektor0 je vektor kod kojeg se po~etak i kraj vektora poklapaju (ista su ta~ka). Susre}useidrugipojmovivezanizavektorekoji}eseuvoditiunarednim poglavqima. 1.1.4. VRSTE VEKTORA Posmatrawem vektorskih veli~ina mogu se uo~iti razlike odnosno razlikuje se vi{e vrsta vektora. Naprimerneka~vrstotelo(npr.telefon,slika5)vr{itranslaciju.Pod translacijomsepodrazumevakretaweprikojemsvakapravailiravankojapripada posmatranom telu ostaje sama sebi paralelna tokom kretawa. Slika 5. Translacija Translacijasemo`eokarakterisativektorimapomerawata~akatelakojisu iste du`ine, istog pravca i smera. Na osnovu definicije translacije, pomerawe celog telakaoiwegovihta~akapotpunojeodre|enobilokojimodvektora: 1AA, 1BB, 1CC itd. bez obzira na polo`aje po~etaka vektora. U ovom primeru se po~etak vek-torapomerawata~keposmatranogtelamo`epotpunoslobodnobirati,adajepri tome potpuno definisano translatornopomerawe tela. Ako se posmatra dejstvo sileF na ~vrsto telo u ta~ki A(slika 6) mo`e se uo~itidasedejstvosilenemewaakosenapadnata~kasilepomeridu`napadne linijesile(npr.izpolo`ajaAupolo`ajB).Uovomprimerusepo~etakvektora mo`e birati ili mewati ali uz odgovaraju}a ograni~ewa. Zarazlikuodprethodnadvaprimera,vektorelektri~nesilejevezanza po~etnuta~ku.Akosepromenipolo`ajnapadneta~keelektri~nesile,uop{tem slu~aju mewa se i vektor elektri~ne sile i po intenzitetu i po pravcu i po smeru . U ovom primeru se po~etak vektora ne mo`e slobodno birati ili mewati.

Slika 6. Pomerawe napadne ta~ke sile du` napadne linije sile Za svaki vektor su zna~ajni: intenzitet, pravac (sve paralelne prave defini{u istipravac)ismer.Zna~ajpo~etkavektorazavisiodosobinavektorskeveli~ine koja se posmatra, pa se razlikuju slede} tipovi vektora: 1) Slobodan vektor (naj~e{}e se naziva samo vektor) je vektor ~iji intenzitet, pravacismernezaviseodpolo`ajapo~etneta~ke(npr.vektortranslacije).Za slobodnevektoreseka`edasujednakiakoimaju:isteintenzitete,istesmerovei isteiliparalelnepravcebezobziranapolo`ajpo~etneta~ke.Slobodnijednaki vektori se uvek mogu dovesti do poklapawa paralelnim pomerawem (slika 7). Slika 7. Dovo|ewe slobodnih jednakih vektora do poklapawa paralelnim pomerawem 2) Vektor vezan za pravu je vektor ~iji intenzitet i smer zavise od polo`aja nosa~a vektora pri ~emu po~etna ta~ka vektora mo`e biti bilo koja ta~ka nosa~a vek-tora (npr. vektor sile koja deluje na ~vrsto telo). Za dva vektora vezana za pravuA i B ka`e se da su jednaki ako su im jednaki intenziteti i smerovi i ako su na istom nosa~u(slika8).Po~etakvektoravezanogzapravumo`esepomeratidu`nosa~a vektora, a da se dejstvo vektora pri tome ne mewa. 3)Vektorvezanzata~kujevektor~ijiintenzitet,pravacismerzaviseod polo`aja po~etne ta~ke (npr. vektor elektri~ne sile). Za dva vektora vezana za ta~ku A iB ka`e se da su jednaki ako su im jednaki: intenziteti, pravci i smerovi i ako imaju istu po~etnu ta~ku. Iz prethodnog se mo`e zakqu~iti da su dva vektora vezana za ta~ku jednaka samo ako se poklapaju. Pojam vezanog i slobodnog vektora mo`e se uvoditi u vektorski ra~un i na sle-de}i na~in. Slika 9. Uvo|ewe pojma vezanog i slobodnog vektora Neka su u prostoru date dve razli~ite ta~ke A i B koje odre|uju du` AB. Ako seodredidajeta~kaApo~etnata~kaata~kaBkrajwata~ka,ondaseuvodiori-jentacija na du`i AB od ta~ke A ka ta~ki B. U ovom slu~aju mo`e se govoriti o ure-|enom paru (A,B) koji se naziva vezani vektor (slika 9a). U skupu ure|enih parova ta~aka prostora mo`e se definisati binarna relacija ekvivalencijepna slede}i na~in (slika 9b): 1) ZaA B =ili C D =sledi( , ) ( , )A B CD A B p =i C D = ; 2) Ako jeA B =iC D = , tada je( , ) ( , )A B CD p du` AB paralelna, po-dudarna i isto orijentisana kao du` CD, odnosno ta~ke B i D su sa iste strane prave AC. Slika 8. Dva jednaka vektora vezana za pravu Slobodanivektori(vektori)suklaseekvivalencijeuodnosunabinarnu relacijup . Uobi~ajeno je da se pod vektorom podrazumeva slobodan vektor ako nije druga~ije nagla{eno. 1.1.5. PROJEKCIJA VEKTORA Razlikuju se: a) projekcija vektora na pravu (normalna i paralelna), b) projekcija vektora na osu i v) projekcija vektora na ravan. NormalnaprojekcijavektoraABnapravupjevektor 1 1A Bkojispaja podno`janormalaspu{tenihizpo~etneikrajweta~kevektoraABnapravup (slika 10). Projekcija vektora na pravu je tako|e vektor koji je mawi ili je u krajwem slu-~ajujednakposmatranomvektoru.Projekcijevektoranaparalelnepravesujednake odnosno projekcija vektora zavisi od pravca na koji se vektor projektuje. Slika 10. Normalna projekcija vektora na pravu Uop{temslu~ajumo`esedefinisatiparalelnaprojekcijavektoranadatu pravu. Neka se kroz po~etnu i krajwu ta~ku vektoraAB provuku ravni 1Ri 2Rkoje su paralelne ravniR. Mogu se uo~iti preseci ravni 1Ri 2Rsa pravomp, ta~ke 2A i 2B .Vektor 2 2A B(slika11)kojiimapo~etnuta~ku 2A ikrajwuta~ku 2Bnaziva se paralelna projekcija vektoraAB na pravup. Slika 11. Paralelna projekcija vektora na pravu Naj~e{}esepodprojekcijomvektorapodrazumevanormalnaprojekcijavektora na pravu ako druga~ije nije nagla{eno. Projekcija vektoraAB na neku osu 0rje du`ina projekcije (skalar) tog vek-tora na pravu ose ili na bilo koju woj paralelnu pravu sa odre|enim znakom. Projekcijavektorajepozitivnaakojesmerprojekcijeisti kaoismerose,a projekcijavektorajenegativnaakoje smerprojekcijesuprotanuodnosuna smer ose. U primeru na slici 12 je 1 1A Bpozitivna projekcija vektora na osu 0r , a 1 1C D jenegativnaprojekcijavektorana osu 0r . Ako se povu~e prava paralelna sa datomosomkrozpo~etakvektoraAB, ondaje 2 1 1AB A B = ,paiztrougla 2ABB sledi: 1 1cos A B AB o = (1.1.1) U izrazu (1.1.1) je ougao koji vektorAB obrazuje sa osom 0r .Akojeugao/ 2 o t > kaougao| uslu~ajuvektoraCD(slika12)onda,na osnovu jednakosti 2 1 1CD C D = , iz trougla 2CDD sledi : 1 1cos( ) cos C D CD CD t | | = = (1.1.2) U op{tem slu~ju va`i: Projekcija vektora na ma koju osu je skalarna veli~ina koja je jednaka proiz-vodu intenziteta vektora i kosinusa ugla koji vektor zaklapa sa tom osom. Projekcija vektoraAB na neku ravanR je vektor 1 1AB koji ima po~etak u projekciji po~etkaA vektoraAB na ravanR, a kraj u projekciji krajaB vektora na ravanR (slika 13). Slika 12. Projekcija vektora na osu Slika 13. Projekcija vektora na ravan Mo`esezakqu~itidasuprojekcijevektoranapravuiravanvektorske veli~ine, a projekcija vektora na osu je skalarna veli~ina. 1.1.6. UGAO DVA VEKTORA Ugao dva vektoraA iB u ravni je ugao( , ) A B o =(slika 14) za koji treba zaokrenutiprvivektorAudirektnom(pozitivnom)smerudabipre{aoupolo`aj drugog vektoraB. Poddirektnimsmeromobrtawapodrazumevasesmersuprotansmerukretawa kazaqkena~asovniku.PrelazvektoraAupolo`ajvektoraBdirektnimsmerom obrtawa odre|uju se, osim ugla o , i svi uglovi2k o t +gde jekceo broj. Vekto-riA iB imaju isti polo`aj posle obrtawa za oi nakon toga posle celog broja pu-nih obrtaja. Ako seA iB zamene i obrtawe se vr{i u indirektnom smeru, onda ugao omewa znak:( , ) ( , ) BA A B o = = ;(1.1.3) Ukolikosemo`eodreditisamo kosinusugladvavektora,kaougaodva vektoradovoqnojesmatratiugaokoji odgovaraprelazujednogvektoraupolo`aj drugogvektoranajkra}imputem(bezobzira na smer), jer kosinus odre|uje samo apsolutnu vrednost ugla: cos cos( ) o o = ;(1.1.4) Svakaosa(orijentisanaprava)jepo pravcuismeruodre|enaortom.Ugaokoji nekivektorobrazujesadatomosomjeugao izme|u orta te ose i vektora. Ugao koji obrazuju dva vektoraA iB u prostoru( , ) A B o =je ugao koji odgovara prelazu jednog vektoraA direktnim putem u polo`aj drugog vektoraB. Akoravanuprostorunijeorijentisananemo`esejednozna~noodreditiugao koji obrazuju dva vektora u prostoru. Da bi se izbegao problem koji se javqa zbog toga {to ravan u prostoru ima dve strane (pa se postavqa pitawe u odnosu na koju stranu se posmatra vektor), vr{i se orijentacija ravni. Orijentisati ravan zna~i povu}i iz nekeweneta~keortnormalannaravansasmeromnajednustranuravni.Kao pozitivna strana (lice) ravni smatra se strana koja odgovara delu prostora u koji je usmerenort.Stranasuprotnapozitivnojstraninazivasenegativnastranaravni (nali~je). Nakon orijentacije ravni ugao koji obrazuju dva vektora u prostoru mo`e se jednozna~noodrediti.Akosegledauliceravniugaojepozitivanakoseobrtawe vr{iudirektnomsmeru,aakosegledaunali~jeravniugaojepozitivanakose obrtawe vr{i u indirektnom smeru (na ovaj na~in se odre|uje i znak ugla u prostoru). Akosemo`eodreditisamokosinusuglakoji~inedvavektorauprostoru,ondase kaougaoizme|uvektorauprostorusmatraugaokojiodgovaranajkra}emprelazuiz polo`aja jednog vektora u polo`aj drugog vektora bez obzira na smer (uvek se u ovom slu~aju ugao mo`e smatrati pozitivnim i birati tako da mu je veli~ina izme|u0 i / 2 t ). Slika 14. Ugao dva vektora Ugaoizme|udveose(orijentisaneprave)dobijasekadaseposmatraugao izme|u dva vektora od kojih je svaki od wih paralelan po jednoj osi i ima isti smer kao i ta osa. Veli~ina ugla oizme|u vektoraA iB u ravni mo`e se odrediti i ra~unski pomo}u izraza: 2 2 2 2cosA B A BA A B BX X Y YX Y X Yo + =+ +; (1.1.5) U izrazu (1.1.5) su,A AX Yi,B BX Yveli~ine normalnih projekcija vektoraA iB(pogledatipoglavqe1.1.5.)nakoordinatneosexiyDekartovogpravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.5) se dobija posredstvom skalarnog proizvoda vektora A iB koji }e se definisati u narednim poglavqima. Veli~ina ugla oizme|u vektoraA iB u prostoru mo`e se odrediti ra~unski pomo}u izraza: 2 2 2 2 2 2cosA B A B A BA A A B B BX X Y Y Z ZX Y Z X Y Zo + + =+ + + +; (1.1.6) Uizrazu(1.1.6)su, ,A A AX Y Z i, ,B B BX Y Z veli~inenormalnihprojekcija vektoraAiB(pogledatipoglavqe1.1.5.)nakoordinatneosex,yizDekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.6) se tako|e dobija posredstvom skalarnog proizvoda vektoraA iB. 1.1.7. ANALITI^KO ODRE\IVAWE VEKTORA Svaki vektor je u potpunosti odre|en sa dve ta~ke: po~etkom vektora i krajem vektora. Kao po~etak vektora mo`e se izabrati bilo koja ta~ka prostora, jer se po~e-tak vektora mo`e preneti paralelnim pomerawem u bilo koju ta~ku prostora.Nekajepo~etakvektorakoordinatnipo~etaknekogkoordinatnogsistema.U ovom slu~aju vektor je u potpunosti odre|en polo`ajem svog kraja. Kraj vektora (kao i bilo koja druga ta~ka) je u prostoru odre|en sa tri broja koja se nazivaju koordinate. Koordinate zavise od izbora koordinatnog sistema. Koordinatevektorasubrojevikojiodre|ujuvektoruodnosunanekikoor-dinatni sistem. 1.1.7.1. KOORDINATNI SISTEMI Koordinatni sistem je na~in na koji se uvode izvesni brojevi pomo}u kojih se metodomkoordinataupotpunostiodre|ujepolo`ajta~keuprostoru.Postojivi{e razli~itih koordinatnih sistema. Pri definisawu vektora bira se onaj koordinatni sistem koji je u konkretnom problemu najpogodniji. Naj~e{}e se koriste slede}i koor-dinatni sistemi: a) Dekartov pravougli koordinatni sistem Ovaj koordinatni sistem ~ine tri me|usobno normalne orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomi~nu ta~ku O i ne le`e u istoj ravni. OseOx(apscisa), Oy(ordinata) iOz(aplikata ili kota) se nazivaju koordinatne ose, a ta~kaO se naziva koordinatni po~etak.Prema orijentaciji koordinatnih osa razlikuju se: levi pravougli koordinatni sistem(salevimtriedromkaoosnovom;slika15a)idesnipravouglikoordinatni sistem(sadesnimtriedromkaoosnovom;slika15b).Naj~e{}esekoristidesni pravougli koordinatni sistem. Slika 15. Levi i desni pravougli koordinatni sistem Dvekoordinatneoseobrazujukoordinatnuravan,pasetakorazlikujuravni: xOy ,xOziyOz . Koordinatne ravni dele prostor na osam triedara. Polo`aj neke ta~keNu prostoru, u odnosu na dati koordinatni sistemOxyz , odre|en je sa tri koordinate (tri realna broja):x ,yizodnosno:Ta~kiN uprostoruodgovarajedansistemodtrirealnabrojax ,y iz i obrnuto svakoj trojki ( x ,y ,z ) formiranoj od tri elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u prostoru. Uvedenakonvencijauspostavqabiunivoknukorespodencijuizme|ubilokoje ta~ke, npr. M, u prostoru i trojke realnih brojeva ( x ,y ,z ). Elementi trojki moraju bitiuzetiuodre|enomporetku.Prvoseuzimaapscisa,zatimordinatainakraju aplikata odnosno kota. Polo`aj neke ta~keMu ravni, u odnosu na dati koordinatni sistem npr.xOy , odre|en je sa dve koordinate (dva realna broja):xiyodnosno:Ta~kiMu ravni odgovara jedan sistem od dva realna brojaxiyi obrnuto svakoj dvojki ( x ,y ) formiranoj od dva elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u ravni. Uop{temslu~ajuzadefinisawevektorauprostorupotrebnesu:trikoor-dinate za odre|ivawe po~etka vektora (ako on nije u koordinatnom po~etku) i tri ko-ordinatezaodre|ivawekrajavektora.Ovekoordinatesedobijajunormalnimpro-jektovawem ta~ke na koordinatne ose (poglavqe 1.1.5.). b) Kosougli koordinatni sistem Ovajkoordinatnisistem (slika16)~inetriorijentisane prave(ose)kojeprolazekrozistu nepomi~nu ta~ku (npr. ta~kuO), ne le`e u istoj ravni i me|usobno ob-razujuizvesneuglove(kojine moraju biti pravi). OseOc ,Oni O.se nazivaju koordinatne ose, a ta~kaO se naziva koordinatni po-~etak.Iuovomkoordinatnom sistemujeta~kaodre|enasatri koordinate(trirealnabroja):c , ni. .Ovekoordinatesedobijajuparalelnimprojektovawemta~kenakoordinatne ose. v) Polarno cilindri~ni koordinatni sistem Upolarnocilindri~nomko-ordinatnomsistemu(slika17)po-lo`ajta~kejeodre|enmernim brojevima: potegar , ugla ui kote z .Vezaizme|uDekartovihpravo-uglihkoordinataipolarnocilin-dri~nihkoordinatadatajeizrazi-ma: cossinx ry rz zuu==`=)(1.1.7) g) Sferni koordinatni sistem Polo`ajta~keuprostoruu sfernomkoordinatnomsistemu (slika18)jeodre|en:polarnim potegompi uglovima ui m(ili v ). Veza izme|u Dekartovih pravo-uglihkoordinataisfernihkoor-dinata data je izrazima: cos cossin cossinxyzp u mp u mp m= = `= ) (1.1.8) Vezaizme|upolarnocilindri~nihkoordinataisfernihkoordinatadataje izrazima: Slika 16. Kosougli koordinatni sistem Slika 17. Polarno cilindri~ni koordinatni sistem Slika 18. Sferni koordinatni sistem cossinrzp mu up m= =`= )(1.1.9)

1.1.7.2. ANALITI^KO PREDSTAVQAWE VEKTORA NekaseposmatravektorAB A = iDekartovpravouglikoordinatnisistemu prostoruOxyz inekasepo~etakvektoraAnenalaziukoordinatnompo~etkuO (slika 19). U ovom slu~aju normalne projekcije vektoraA na koordinatne ose su: x B Aa x x = , y B Aa y y = i z B Aa z z = .(1.1.10) Uizrazima(1.1.10)su: Ax , Ay i Az koordinateta~keA,a Bx , By i Bzkoordinate ta~keB. Brojevi xa , yai zau potpunosti odre|uju vektorA i jednaki su koordinatama kraja vektoraA kada se vektorA dovede u koordinatni po~etak. Neka vektorA ~ini sa koor-dinatnim osama uglove: ( , )( , )( , )xAyAzAo|==`=) (1.1.11) i neka se intenzitet vektoraA oz-na~isaa .Naosnovudefinicije projekcije vektora na osu (poglavqe 1.1.5.) dobijaju se slede}i izrazi: coscoscosxyza aa aa ao| = = `= )(1.1.12) Kvadrirawemisabirawem izraza(1.1.12)dobijaseintenzitet vektoraA: 2 2 2x y za a a a = + +. (1.1.13) jer je: 2 2 2 2 2 2 2 2 2(cos cos cos ) 1x y za a a a a a o | + + = + + = = . Pred kvadratnim ko-renom se uzima samo pozitivan znak, jer je intenzitet vektora pozitivan. Na osnovu izraza (1.1.12) mogu se dobiti kosinusi uglova, a posredstvom wih mo-gu se odrediti i pravac i smer vektoraA: cosxaao =,cosyaa| =icoszaa =. (1.1.14) Slika 19. Analiti~ko predstavqawe vektora Mo`esezakqu~itidajesvakivektorodre|ensatrikoordinate(trirealna broja) u odnosu na Dekartov pravougli triedar. Da bi se znalo kojoj osi odgovara koji realan broj (odnosno koordinata), brojevi se uvek pi{u po utvr|enom redosledu. Prvi brojodgovaraxkoordinatnojosi,drugibrojodgovaray koordinatnojosi,atre}i broj odgovarazkoordinatnoj osi. VektorAsemo`edefinisatianaliti~ki,pomo}upravouglogkoordinatnog sistema, kao skup od tri ure|ena broja (tri koordinate u odnosu na taj sistem). Ovako analiti~ki definisan vektorA se zapisuje na slede}i na~in: { }, ,x y zA a a a = .(1.1.15) Jedinaprednostovakvogdefinisawavektorauodnosunaprethodno(poglavqe 1.1.3.) je {to se mo`e uop{titi i na prostor odn dimenzija. Analiti~ka definicija vektoraA u prostoru odn dimenzija zapisuje se izrazom: { }1 2 3, , ,...,nA a a a a = .(1.1.15) Akosevektorposmatraunekojravni,ondajeonutojravniodre|ensadva broja,sadvekoordinateuodnosunanekikoordinatnisistemuravni.Kadavektor le`i na nekoj osi, on je odre|en sa jednim pozitivnim ili negativnim brojem, prema tome, da li su vektor i osa istog ili suprotnog smera. Ovaj broj u prethodnom slu~aju naziva se i algebarska vrednost vektora (poglavqe 1.1.5.). 1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR [email protected] Sve ose su po pravcu i smeru odre|eneortom(jedini~nimvekto-rom). Npr. na slici 20 osau je od-re|ena ortom 0u. Nekasuprojekcijeorta 0u na ose Dekartovog pravouglog koor-dinatnog sistema: 1u , 2ui 3u . Ako se primeni izraz 1.1.13, dobija se: 2 2 2 20 1 2 31 u u u u = + + = ; (1.1.16) Uizrazu(1.1.16)je 201 u = , jer je 0u jedini~ni vektor. Projekcije 1u , 2ui 3usu jednake kosinusima uglova o ,|i koje ort gradi sa osama Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema: 110cosuuuo = =, 220cosuuu| = =i 330cosuuu = = ; (1.1.17) Na osnovu izraza (1.1.16) i (1.1.17) mo`e se zakqu~iti da su samo dve projekcije orta nezavisne, odnosno da je pravac i smer svake ose odre|en sa dva broja. Slika 20. Ort proizvoqne ose Svakikoordinatni sistem je u potpunosti odre|en ako je dat koordinatni po-~etakitriorta 1e, 2e, 3ekojiodre|ujukoordinatneose.Oviortovisenazivaju osnovni ortovi odnosno: Osnovniortovi 1e, 2e, 3e su ortovi koji odre|uju koordinatne oseposmatranogkoordinatnogsis-tema. Uslu~ajuDekartovogpravo-uglog koordinatnog sistema osnovni ortovi se obele`avaju sa:i,j ik (slika 21). Koordinate ortovai,j ik u odnosu na triedar koji odre-|uju date su izrazima: { }{ }{ }1, 0, 00,1, 00, 0,1ijk==`=)(1.1.18) Polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki koordinatni sistem, mo`e se od-rediti i vektoromr (umesto sa tri broja) koji ima po~etak u koordinatnom po~etku O a kraj u posmatranoj ta~ki A. Ovako definisan vektor naziva se vektor polo`aja r u odnosu na koordinatni po~etak O (slika 22a). U op{tem slu~aju polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki odre|eni pol, npr. O, mo`e se odrediti vektoromr koji ima po~etak u posmatranom polu O a kraj u posmatranoj ta~ki A. Vektor polo`ajar u odnosu na odre|eni pol O je vektor koji ima po~etak u posmatranom polu O a kraj u posmatranoj ta~ki A (slika 22b). Slika 21. Osnovni ortovi Dekartovog pravouglogkoordinatnog sistema Slika 22. Vektor polo`aja