PRIJEMNI - ZBIRKA 2010

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI

ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA

2001-2008.

Banja Luka

2008.

Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.

1 1

Dr Zoran Mitrovi Mr Biljana Vojvodi

ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA

2001-2008.

Banja Luka

2008.


2 2

Dr Zoran Mitrovi, Mr Biljana Vojvodi Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008. Izdava

Elektrotehniki fakultet, Banja Luka


3 3

KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 02.07.2001.

1. Uprostiti izraz

.1

11

1231

223

2

xxx

xxx

xx

2. Rijeiti jednainu .122 xx 3. Rijeiti nejednainu .899 1 xx

4. Rijeiti nejednainu 822 xx .1x

5. Dokazati identitet

.22sin

1cos

1sin1

22

tgctg

6. Ako u trouglu vrijedi abcbacba 3 , dokazati da je .3

7. Rijeiti jednainu .02cos2sincossin1 xxxx 8. Odrediti jednainu krunice koja prolazi kroz taku 9,8 i dodiruje

svaku od koordinatnih osa. 9. U pravougli trougao upisana je krunica. Taka dodira te krunice sa

hipotenuzom dijeli hipotenuzu na odsjeke duine 5 i 12. Nai poluprenik te krunice.

10. Rijeiti sistem:

,324 xy

yx

.log1log 33 yxyx


4 4

Rjeenja: 1. Vrijedi

1111 12312111 12312 222

23

2

xxx

xxxxx

xx

xxx

xxx

xx

11 1112312 222

xxxxxxxxxx

11 1123222 22223

xxxxxxxxx

,2112

3

3

xx .1x

2. Poto je

2,22,2

2xx

xxx ,

razlikujemo dva sluaja: a) za 2,x data jednaina je ekvivalentna jednaini

,122 xx odakle dobijamo 31x , i to je rjeenje jednaine

jer 2,31 ;

b) za ,2x data jednaina je ekvivalentna jednaini 122 xx , odakle je ,3x to nije rjeenje jednaine jer

,23 . 3. Data nejednaina je ekvivalentna nejednaini 099892 xx ,

koja se smjenom 0 ,9 ttx svodi na kvadratnu nejednainu ,0982 tt tj. 091 tt . Odavde dobijamo ,91,t , to uz uslov 0t , daje ,9t . Dakle, ,99 x , odnosno ,1x .


5 5

4. Iz uslova 0822 xx , tj. 024 xx dobijamo (1) ,24,x .

Ako je ,01x na osnovu (1) za 4,x imamo .10822 xxx

Ako je ,01x odnosno na osnovu (1) za ,2x , nakon kvadriranja dobijamo

,1282 22 xxxx tj. 49x .

Prema tome, rjeenje date nejednaine je .,

494,

x

5. Vrijedi

cossin1

cos

sincos1

sin11cos

1sin1

2222

tgctg

cossincoscossinsincossin1

sincoscos

cossinsin1

22

33

.,,4

,2

,22sin

22sin11 Znknk

6. Iz uslova abcbacba 3 , dobijamo ,322 abcba tj. .222 abbac

Iz kosinusne teoreme imamo ,cos2222 abbac pa dobijamo

21cos , tj. .

3

7. Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama

,0sincoscossin2cossin1 22 xxxxxx ,01cos2cossin2cossin1 2 xxxxx

.0cos21sincos,0cos21sincos21cos

xxxxxxx

Odavde dobijamo 0sincos xx ili ,0cos21 x tj.


6 6

1tgx ili .21cos x

Rjeenja jednaine su .,,,2

32,2

34,

4 nmknxmxkx nmk

8. Neka je jednaina krunice .222 rqypx Poto krunica

dodiruje obe koordinatne ose, vrijedi rqp , i poto prolazi kroz datu taku vrijedi

.98 222 rqp Ako su p i q istog znaka, tj. ,qp dobijamo jednainu

222 98 ppp , odnosno kvadratnu jednainu

0145342 pp . Njena rjeenja su 5 i 29.

Ako su p i q suprotnog znaka, ,qp dobijamo jednainu 222 98 ppp , tj. jednainu 014522 pp , koja nema realna rjeenja.

Dakle, jednaine krunica su 222 555 yx i .292929 222 yx

9.

Trouglovi DAO i OAE su podudarni pa je DA=AE=5. Analogno je BE=BF=12. Primjenjujui Pitagorinu teoremu dobijamo

222 17512 rr , tj. kvadratnu jednainu

060172 rr . Poluprenik krunice je r=3.

A

B

C

12 12

D

E F O

r r

r

r

r

5

5


7 7

10. Iz 52

22

xy

yx

, ,0,0 yx dobijamo 25

xy

yx .

Uvoenjem smjene tyx , dobijamo kvadratnu jednainu

0252 2 tt , ija su rjeenja 2 i

21 .

Iz druge jednaine sistema, uz uslove 0 yx i 0 yx , dobijamo .3loglog 3223 yx Za 2t dati sistem je ekvivalentan sistemu

.32

22

yxyx

Uvrtavajui x iz prve jednaine u drugu, dobijamo jednainu 12 y , ija su rjeenja 1 i 1 . Odavde dobijamo rjeenja sistema (2,1), (-2,-1), od kojih samo rjeenje (2,1) zadovoljava postavljene uslove.

Za 21t dati sistem je ekvivalentan sistemu

.3

222

yxxy

Uvrtavajui y iz prve jednaine u drugu, dobijamo jednainu 12 x

koja nema realnih rjeenja.

Dakle, rjeenje sistema je .1,2, yx


8 8


1. Uprostiti izraz

.0 ,11 ,111

11

11

11

aa

aaa

aa

aa

aa

2. Ako je ,1 axx izraunati .33 xx 3. Za koje vrijednosti parametra a jednaina 0725721 2 axaxa ima bar jedan realan korijen.

4. Rijeiti nejednainu 12

23

xx .

5. Rijeiti jednainu 32log2log1

1loglog xxx . 6. Rijeiti nejednainu .1cos3sin xx 7. Dokazati da za uglove ,, proizvoljnog trougla vrijedi .1coscoscos2coscoscos 222 8. Na jednoj teinoj liniji trougla ABC odabrati taku M tako da zbir

222 MCMBMAs ima minimalnu vrijednost.

9. Ako su a i b paralelne stranice, c i d kraci trapeza, p i q dijagonale

trapeza, dokazati da je .22222 abdcqp

10. Sastaviti jednainu krunice koja prolazi takama 0,2A i 1,1B a

centar joj lei na pravoj 0 yx .


9 9

Rjeenja: 1. Vrijedi

aaa

aa

aa

aa

1

11

11

11

11

aa

aa

aa

aa

11

11

11

11

aaa

aa

aa

aa

1

11

11

11

11

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

1

11

11

11

11

112

11

a

aaa

aaaa

1

111

11121

2

22

2

222

.0 ,11 ,01114

2222 22 aaaaaa

aa

2. Vrijedi

.3333

3131

2123133

aaxxxx

xxxxxxxx

3. Jednaina ima bar jedan realan korijen ako vrijedi ,0D odnosno .07212072 2 aaa

Ova nejednaina je ekvivalentna nejednaini ,03272 aa odakle se dobija .

23,

27

a (Za 1a jednaina se svodi linearnu jednainu ,0459 x ije je rjeenje .5x )

4. Data nejednaina je ekvivalentna nejednaini ,012

23

xx odnosno

.02

5

xx Rjeenje nejednaine je .,25, x


10 10

5. Iz 032010 xxx dobijamo ,1x , i tada je jednaina ekvivalentna jednaini 322log1log xxx ,

odnosno jednaini .642 xxx

Dobijamo kvadratnu jednainu ,0652 xx ija su rjeenja .6,1 21 xx Iz uslova ,1x dobijamo da je

rjeenje date jednaine .6x 6. Data nejednaina je ekvivalentna slijedeim nejednainama:

,21

3sin

,21

3sincos

3cossin

,21cos

23sin

21

x

xx

xx

pa je rjeenje nejednaine ,26

5,263 Zk kkx

odnosno

.22

,26Zk kkx

7. Poto je i coscos dobijamo

coscoscos2coscoscos 222 coscoscos2coscoscos 222

sinsincoscoscoscos2 sinsincoscoscoscos 222

sinsincoscos2coscos2sinsin sinsincoscos2coscoscoscos

2222

2222

222222 cos1cos1coscoscoscos .1

coscoscoscos1coscoscoscos 22222222


11 11

A

B

C

M A1 PQ

8. Rjeenje I: Neka je M proizvoljna taka na teinoj dui 1AA . Uzimajui na pravoj 1AA taku 1M tako da je

111 MAMA dobijamo paralelogram .1CMBM Poto je u paralelogramu

zbir kvadrata stranica jednak zbiru kvadrata dijagonala dobijamo

.2 22122 BCMMMCMB Dalje je MAAAMAMM 111 22 pa dobijamo

, 24 22221 MCMBBCMAAA . 2484 2222121 MCMBBCMAMAAAAA Odavde je ,4862 22112222 BCAAMAAAMAMAMCMB tj.

221

2

1222

21

32

323 BCAAAAMAMCMBMAs

.

Ovaj zbir e biti najmanji kada je 132 AAMA , tj. ako je taka M

teite trougla.

Rjeenje II: Trouglovi CQA1 i BPA1 su podudarni pa je .11 PAQA Iz kosinusne teoreme imamo

.cos2222 AMACACMAMC Dalje je ,cos

ACAQ pa je

.cos AQAC Dakle .2222 AMAQACMAMC

Analogno je

,cos ,cos2222ABAPABAMABMAMB

pa je .2222 APAMABMAMB

A

B

C

M A1 M1


12 12

Prema tome .23 222222 AQAPAMABACMAMCMBMAs Poto je

,2 11111 AAQAAAPAAAAQAP dobijamo

.34

323

43

21

222

1

221

2

AAABACAAMA

ABACAAMAMAs

Ovaj zbir e biti najmanji kada je 132 AAMA , tj. ako je taka M teite

trougla. 9.

Primjenom kosinusne teoreme na trouglove ABC, ACD, ABD, BCD redom, dobijamo

.cos2

,cos2,cos2

,cos2

222

222

222

222

bcbcqaddaqbddbpaccap

Poto je coscos , sabiranjem dobijamo

cos2cos2cos2cos2

22 222222

bcadbdacdcbaqp

odnosno .coscos )1( 222222 cdbadcbaqp S druge strane, iz pravouglih trouglova AED i FBC imamo

cos,cos cy

dx ,

A B

CD

a

b

p q

x y

cd


13 13

pa je .coscos bayxcd

Uvrtavanjem u (1) dobijamo ,2222222 badcbaqp

i nakon sreivanja .22222 abdcqp

10. Neka je jednaina krunice .222 rqypx Poto centar

krunice lei na pravoj 0 yx , vrijedi ,0 qp pa dobijamo jednainu krunice .222 rpypx Poto krunica prolazi datim takama, dobijamo sistem jednaina

222

222

11 )2(

2 )1(

rpp

rpp

Iz (1)-(2) dobijamo ,012213 pp odnosno .

21p Uvrtavanjem u (1) dobijamo .

210r

Dakle, jednaina krunice je .

25

21

21 22

yx


14 14


1. Uprostiti izraz

22 2111

2xx

xx

xx

: 322

141

xxxx

.

2. Pokazati da je 5122951229 cio broj. Koji je to broj? 3. Odrediti parametar m tako da zbir kubova korijena jednaine 02 mxx

bude jednak 10. 4. Rijeiti nejednainu

112 xxx . 5. Rijeiti nejednainu

06loglog221

21 xx .

6. Rijeiti sistem

.393

9loglog292

yx

yx

7. Rijeiti jednainu

.14sin2sin 22 xx 8. Ako za stranice ba, i ugao trougla vrijedi cos2ba dokazati da je

taj trougao jednakokraki. 9. Krunice poluprenika 2 i 1 dodiruju se spolja u taki T. Njihova

zajednika unutranja tangenta sijee spoljanju tangentu u taki A. Izraunati duinu dui AT.

10. Odrediti jednainu krunice iji je poluprenik 23r , a prave

04 yx i 07 yx je tangiraju.


15 15

Rjeenja: 1. Vrijedi

22 2111

2xx

xx

xx

:

32

2

141

xxxx

211112

xx

xxx

x:

xxxxx

112121

2

xx

xxxxxx

11

112422

2

: 211 2121 xx xx

.21,1 ,

212

2121212

212111

1124 2

2

xxx

xxx

xxxx

xxx

2. Neka je 5122951229 m . Oigledno je 0m .

Kvadriranjem dobijamo

5122951229251229 222 m , 1212582 m , 362 m .

Prema tome .6m 3. Na osnovu Vietovih formula je

mxxxx 2121 ,1 . Dalje je

.313 2122121

2221

2121

32

31

mxxxxxx

xxxxxxxx

Znai, ,1031 m tj. .3m 4. Nejednaina je uvijek definisana jer je Rxxx 012 .

Ako je 01x , vrijedi 1012 xxx ,

pa je rjeenje nejednaine 1,x .


16 16

Ako je 01x , nakon kvadriranja dobijamo nejednainu 121 22 xxxx ,

ije je rjeenje 0x , odnosno, uzimajui u obzir postavljeni uslov, ,1x . Prema tome, rjeenje nejednaine je svako .Rx 5. Nejednaina je definisana za 060 xx , tj. za

(1) 60 xx . Prema tome, za ,00,6x data nejednaina je ekvivalentna nejednainama

6loglog21

2

21 xx ,

,62 xx 062 xx . Rjeenje ove kvadratne nejednaine je 3,2x . Uzimajui u obzir (1) dobijamo rjeenje nejednaine 3,00,2 x .

6. Ako je 0 yx , dati sistem je ekvivalentan sistemu

,33

3loglog922

yxyx

odnosno sistemu

.92

32

yx

yx

Uvrtavajui y iz prve jednaine u drugu, dobijamo kvadratnu jednainu 0322 xx ,

ija su rjeenja .3 ,1 21 xx Odavde se dobija 0 ,4 21 yy . Oba rjeenja zadovoljavaju uslov , 0 yx pa je rjeenje sistema skup

0,3,4,1 . 7. Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama

.012sin52sin4,12sin42sin42sin

,12cos2sin42sin

24

422

222

xxxxx

xxx


17 17

Stavljajui ,0 ,2sin 2 ttx dobijamo kvadratnu jednainu ,0154 2 tt

ija su rjeenja .41 ,1 21 tt Odavde dobijamo

212sin,12sin xx ,

pa su rjeenja jednaine ,24 kxk

,212 nxn .,, ,212

5 Zmnkmxm 8. Iz kosinusne teoreme imamo cos2222 abbac i uvrtavajui da

je ,cos2 ab dobijamo ,2222 abac tj. bc . 9.

Vrijedi ABATAC (tangentne dui), tj, BCAT21 . Dalje je

DOCB 1 , pa iz pravouglog trougla DOO 21 dobijamo ,13 2221 DO odnosno 221 DO . Dakle, 2AT .

AB

C

D

TO 1 O2


18 18

10. Neka je jednaina krunice .1822 qypx Iz uslova dodira prave i krunice 222 1 nqpkkr , dobijamo sistem

.736

4362

2

qp

qp

Razlikujemo 4 sluaja: 1

6764

qpqp

;

rjeenje ovog sistema je ,21,

23 qp pa je jednaina krunice

1821

23 22

yx ,

2

6764

qpqp

;

rjeenje ovog sistema je ,2

11,29 qp pa je jednaina krunice

,182

1129 22

yx

3

6764

qpqp

;

rjeenje ovog sistema je ,2

11,2


,182

112

15 22

yx

467

64

qpqp

;

rjeenje ovog sistema je ,223,


.18223

23 22

yx


19 19


1. Uprostiti izraz .

3933

27329

23

aa

aaa

aa

2. Dokazati da je 2154610154 . 3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su oba korijena

jednaine 0242 mxx pozitivna. 4. Rijeiti jednainu

1221

1 2334 xxxx .

5. Rijeiti nejednainu 2log205log xxxx . 6. Rijeiti jednainu

xxxx sincossincos 33 .

7. Izraunati uglove pravouglog trougla ako je razlika kateta jednaka 2

2c ,

gdje je c hipotenuza. 8. Stranica jednakostraninog trougla je a . Oko njegovog teita opisana je

krunica poluprenika 3a . Odrediti povrinu dijela trougla koji se nalazi

van ove krunice. 9. Neka su 1d i 2d dijagonale paralelograma i ugao izmeu njih.

Odrediti povrinu paralelograma. 10. Taka 3,1M je unutranja taka krunice .2553 22 yx

Odrediti jednainu najmanje tetive koja sadri M.


20 20

Rjeenja: 1. Vrijedi

393

327

32923 a

aaa

aa

a

3933393 329 22 a aaa aaaa a

933 93332718 2

2

aaaaaaaaa

933 93392718 2232

aaaaaaaaa

.3 ,12727

3

3

a

aa

2. Neka je .154610154 m Oigledno je 0m , pa

nakon kvadriranja dobijamo

154660210154 22 m , odnosno .415415446021615161542 m Dakle, .2m

3. Da bi oba korjena jednaine bila pozitivna treba da budu ispunjeni

uslovi 0,0,0 2121 xxxxD .

Koristei Vietove formule, odavde dobijamo sistem nejednaina 0816,0 mm .

Rjeenje ovog sistema je 2,0m . 4. Data jednaina je ekvivalentna sljedeim jednainama:

,3344 121

21

xxxx ,333144 2

121

21

21

xx


21 21

,33

13334 2

1

x

.33

133log21

34

x Odavde dobijamo

. 931log

21

34

x

5. Uz uslov 0205 xx , data nejednaina je ekvivalentna

nejednainama xxx x 2log10log205log , xx x 5log205log . Odavde je ,5205 xx x tj. .20x Rjeenje nejednaine je

,20x . 6. Data jednaina je ekvivalentna slijedeim jednainama:

.02sinsincos

,012sin211sincos

,0sincossinsincoscossincos 22

xxx

xxx

xxxxxxxx

Odavde dobijamo 0sincos xx ili ,02sin x odnosno 1tgx ili .02sin x

Rjeenja jednaine su ., ,

2 ,

4Znknxkx nk

7. Iz pravouglog trougla dobijamo

,2

sin,sincb

ca

odnosno

.22

2sinsin

cba

bc

a -


22 22

Primjenjujui formulu za transformaciju razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod dobijamo

,22

4sin

4cos2

odnosno

.21

4sin

Odavde dobijamo .12

,125

8.

Jasno je da je 13PP , gdje je 1P povrina dijela trougla van krunice sa tjemenom u B. Iz trugla DFT dobijamo ,

63

3

222

aaDF tj.

.6aDF Odavde se dobije da je ,

362aaaFB pa je etverougao

FBET romb. Prema tome, kr PPP 1 , gdje je rP povrina romba FBET, a kP povrina krunog isjeka FET, sa uglom 60 , pa je

.5418

36

360sin3

22

2

2

1 aa

aaP

Nakon sreivanja dobijamo .3318

2

aP

A B

C

D

E

F

T


23 23

9.

Povrina trugla ABO je ,sin8

sin222

1 21211 ddddP

a povrina trougla BCO je .sin8

sin222

1 21212 ddddP

Prema tome, povrina paralelograma je

.sin2

sin4

22 212121 ddddPPP 10.

Najmanja tetiva krunice je ona za koju je taka M sredite.Naime, neka je AB tetiva ije je sredite taka M i CD bilo koja tetiva koja sadri M. Neka je N sredite tetive CD. Iz pravouglog trugla ONM je oigledno

ONOM ( OM je hipotenuza a ON kateta). Iz trougla OMA imamo 22

2

21 OMrAB

, a iz trougla OCN je .

21 22

2

ONrCD

Odavde i iz nejednakosti ONOM dobijamo CDAB .Poto je tetiva AB okomita na pravu odreenu takama M i S imamo

MSkk 1 , tj.

.1k Prema tome, jednaina traene prave je ,13 xy tj. .04 yx

A B

C

D

M

N

O

r

r

A B

CD

Od1 d2


24 24


1. Uprostiti izraz

baabba

ba

baabba

ba

3333 .

2. Rijeiti nejednainu 252 xx .

3. Rijeiti jednainu 32

27

34

25

xx

xxx

xx .

4. Rijeiti jednainu xx 329log2 . 5. Rijeiti sistem

12

1412

1644

324327

yxy

yx

.

6. Dokazati identitet

4

cos2cossin2sin1 .

7. Rijeiti jednainu xx 4cos2sin53 .

8. Dokazati da je 2222212 acbta ,

gdje su cba ,, stranice trougla ABC , a at teinica iz vrha A. 9. Osnovice jednakokrakog trapeza razlikuju se za 10, krak je aritmetika sredina osnovica, a visina 32 due osnovice. Nai povrinu trapeza. 10. Prava kxy sijee krunicu 11 22 yx u takama A i B . Odrediti koordinate taaka A i B i izraunati k ako je 2____ AB .


25 25

Rjeenja: 1. Vrijedi

baabba

ba

baabba

ba 3333

baabba

ba

baabba

ba2

33

2

33

2222

22

22 )()()(baba

babababababa

babababa

02222 baba , uz uslov ba .

2. Za

25,x data nejednaina je ekvivalentna nejednaini 252 xx , tj. nejednaini 7x , pa je u ovom sluaju rjeenje 7,x .

Za

,25x data nejednaina je ekvivalentna nejednaini 252 xx , tj. nejednaini 1x , pa u ovom sluaju rjeenje ,1x .

Dakle, rjeenje nejednaine je ,17,x .

3. Iz uslova 0320

340

25

xx

xx

xx dobijamo da je jednaina

definisana za ,53,x . Uz uslov 02 x , nakon kvadriranja i sreivanja dobijamo ekvivalentnu jednainu

32362

3245 2

xxxx

xxxx .

Poto je 032 xx mora biti i 03622 xx , odakle dobijamo (uz gornja ogranienja ) da 5,1 37x . Kvadriranjem i sreivanjem dobijamo kvadratnu jednainu 02422 xx , ija su rjeenja 61 x i 42 x . Rjeenje 6x pripada definicionom podruju jednaine i to je jedino rjeenje jednaine.


26 26

4. Iz uslova 029 x dobijamo da je za 9log2x data jednaina ekvivalentna jednaini xx 3229 . Smjenom 0,2 ttx dobijamo kvadratnu jednainu 0892 tt , ija su rjeenja 11 t i

82 t . Odavde dobijamo 12 x , odnosno 82 x , pa su rjeenja jednaine 3,0x .

5. Vrijedi

12

1412

1644

324327

yxy

yx

121

145)12(3

4433

yxy

yx

03

146

yxyx

.

Rjeenje sistema je

221,

223, yx .

6. Vrijedi

,4

cos2

4cos

4sin2

2sinsincossin

cossincossin

cossincoscossin2sin

cossin2sin1 222

uz uslov 0cossin , tj. Zkk ,4

. 7. Data jednaina je ekvivalentna jednaini xxx 2sin2cos2sin53 22 ,

tj. jednaini 022sin52sin2 2 xx . Smjenom 1,1,2sin ttx dobijamo kvadratnu jednainu

0252 2 tt , ija su rjeenja 21 t i 21

2 t . Zbog ogranienja za t ( xx 2sin je ograniena funkcija) uzimamo samo rjeenje 2t . Jednaina 2

12sin x ima rjeenja

Znknxkx nk ,,127,

12 .


27 27

8. Iz trougla ADC imamo

,cos2

22

222 aa taatb

tj .cos

41

222 aa taatb

Analogno iz trougla ABD dobijamo

,cos2

22

222

aa taatc tj. cos42

222

aa taatc .

Sabiranjem (1) i (2) dobijamo 2222212 acbta .

9. Iz 2

10 bacba dobijamo c=a-5. Primjenjujui Pitagorinu

teoremu na trougao AED dobijamo ,3255

222

aa odakle je

a=18.

Dalje je 12,8 hb , pa je .156P

A B

C

D

a/2

a/2

c

b

ta

-

A E B

D C

h c


28 28

10. Odredimo koordinate presjenih taaka prave i krunice. Iz jednaine 11 222 xkx dobijamo 221 1

2,0k

xx .

Odavde je 0,0A i

22 12,

12

kk

kB . Iz uslova 2

____ AB dobijamo

21 41 4 222

22 k

kk

, pa je 12 k , tj. 1k .

Dakle, prave xy i xy odsjecaju na krunici 11 22 yx tetivu duine 2 .

x 1 2

y=kx y


29 29


1. Uprostiti izraz

yxyx

xyyxyx

xy 1111 .

2. Rijeiti nejednainu 532 xx .

3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednaina mxmx 218 2

ima jednake korijene.

4. Rijeiti jednainu 1121 77444 xxxxx .

5. Rijeiti sistem

24734

1934log2log2

loglog

yx

yx

.

6. Rijeiti jednainu 0cos3cossin4 2 xxx .

7. Stranica romba je 5a , a zbir dijagonala 1421 dd . Odrediti povrinu romba.

8. Nai uglove trougla ije su stranice date jednainama 3622 ba , 1822 ba , 2:1: cb .

9. Visina i teina linija povuene iz tjemena C trougla ABC dijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trougla ABC .

10. Nai jednainu prave koja sadri taku M(3,1) i iji je odsjeak na x osi dva puta vei nego na y osi.


30 30

Rjeenja: 1. Vrijedi

2)1(1

1111

xy

xyyx

xyxy

xyyx

xyyxyx

xyyxyx

xy

ako je yxyx ,0,0 .

2. Za

23,x data nejednaina je ekvivalentna sa 532 xx ,

tj. sa 8x pa je u ovom sluaju rjeenje

23,8x .

Za

,23x data nejednaina je ekvivalentna sa 532 xx ,

tj. sa 32x , pa u ovom sluaju rjeenje

32,

23x .

Dakle, rjeenje nejednaine je

32,8x .

3. Da bi jednaina 0828 2 mxmx imala jednake korijene mora biti ispunjen uslov 0D , tj. 08322 2 mm . Odavde dobijamo kvadratnu jednainu 0260362 mm , ija su rjeenja 101 m i

262 m . 4. Data jednaina je ekvivalentna sa 1774444 21321 xx

odakle dobijamo

74

8448

74 1

x ,

pa je 11x , tj. 2x .


31 31

5. Ako uvedemo smjenu vu yx loglog 3,4 , uz uslov 0,0 yx , dobijamo sistem

.247)2(

19)1(22 vu

vu

Iz (2) imamo 247 vuvu , pa koristei (1) dobijamo 13vu . Dakle

1319

vuvu

odakle lako dobijamo da je 3,16 vu . Vraajui se na smjenu dolazimo do

33,164 loglog yx , tj. 1log,2log yx . Rjeenje sistema je 10,100, yx .

6. Data jednaina je ekvivalentna jednaini 0)3sin4(cos 2 xx , odakle

dobijamo 23sin0cos xx .

Rjeenja jednaine su Znknxkx nk ,,3,2 .

7. Za povrinu romba koristimo formulu 2

21ddP .

Poto je 2

22

12

22

dda dobijamo 212212 24 dddda . Uvrtavajui 21 dd i a dobijamo 4821 dd , tj. .24P

A

B

C

D d1/2 d2/2

a


32 32

8. Za stranice trugla vrijedi 36)1( 22 ba 18)2( 22 ba 2:1:3 cb .

Sabiranjem (1) i (2) dobijamo ,542 2 a tj. 33a . Sada se lako dobija 3b , a zatim iz (3) .6c Primjenom kosinusne teoreme dobijamo

bc

acb2

cos222 , pa je

3 .

Analogno dibijamo 6 i

2 .

9. Uoimo da je trougao DBC jednakokraki. (Visina ch je ujedno i

simetrala ugla.) Odavde je EBDE i poto je 2cDB , dobijamo

4cEBDE .

Prema tome

43cAE . Iz trougla EBC imamo

chctg

4 , a iz trougla

AEC je ch

ctg432 . Stavljajui x

hc

c

4

i primjenjujui formulu za

tangens dvostrukog ugla 21

22tgtgtg , dobijamo 21

23xxx , odakle

je 3

1x . Dakle, 3

1tg , pa je 6 . Prema tome, ugao

2 .

AA

C

a b

c/2

hC tC

A B AD AE


33 33

Poto je trougao DBC jednakokraki i ugao u C jednak 2 , tj. 3 ,

zakljuujemo da je taj trougao jednakostranini, pa je ugao 3 .

10. Poto je odsjeak na x osi dva puta vei nego na y osi, moemo

zapisati jednainu prave u segmentnom obliku .1

2

my

mx

Poto prava sadri taku M, dobijamo 1123

mm pa je

25m .

Jednaina prave je 052 yx .


34 34


1. Pokazati da je

10,111111

111

122

aaaaa

aaa

a .

2. Odrediti koeficijente kvadratne jednaine 02 qpxx tako da njeni

korijeni budu p i q .


2323

123

122

xx

xxx

xx

.

4. Rijeiti jednainu xxxx 63349 2 .

5. Rijeiti jednainu

221log

41

111log 2

21

2 xx .

6. Rijeiti jednainu 2sin1cos xx .

7. Dokazati identitet xxtgxctg

x 2sin412cos 2

22 .

8. Izraunati stranice i uglove trougla ako je stranica a jednaka

polupreniku, a stranica b preniku opisane krunice i visina ch jednaka 3.

9. U romb ija je stranica a i otri ugao 3 upisana je krunica. Odrediti

povrinu pravougaonika iji vrhovi lee u takama dodira krunice sa stranicama romba.

10. Odrediti jednainu sjeice konstruisane iz take A(15,-5) na krunicu 5022 yx tako da duina odgovarajue tetive iznosi 10.


35 35

Rjeenja: 1. Vrijedi

.10,11111

2112

112

11

111111

11111

)1(11

1

11)1(11

111

1

11111

111

1

2

222

22

2

22

2

2

22

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aaaa

aa

aaaa

aaa

aa

aaaaa

aaa

aaaaa

aaa

2. Iz Vietovih formula dobijamo .qpqpqp Iz druge jednaine

dobijamo 10 pq . Za 0q dobijamo 0p , dok za 1p dobijamo .2q

3. Iz uslova 03402303 22 xxxxx dobijamo da je

nejednaina definisane za 3,2,1\Rx . Data nejednaina je ekvivalentna sa

032121223312

xxx

xxxxxx ,

odakle sreivanjem dobijamo 0321964 2

xxx

xx .

Rjeenje ove nejednaine je

,3

4533,21,

4533x .


36 36

4. Nakon dijeljenja sa x6 dobijamo jednainu 3

233

32

23

xxx .

Nakon smjene 0,23

ttx

data jednaina postaje 0312 t

t ,

tj. 0132 2 tt . Rjeenja ove jednaine su 1,21

21 tt , odakle

dobijamo rjeenja polazne jednaine 21log

23x i 0x .

5. Iz uslova 02

2101

11001 xxxx dobijamo da je jednaina definisana za 1x . Imamo

2

2

1log22

log1

log 222

x

xx

x

xx

xx

pa je 412

xx . Rjeenje jednaine je .4x

6. Poto je 0sin1 x za svaki realan broj, uz uslov 0cos x , nakon

kvadriranja dobijamo jednainu xx sin1cos2 2 , odnosno jednainu 01sinsin2 2 xx .

Stavljajui 1,1,sin ttx dobijamo kvadratnu jednainu 012 2 tt , ija su rjeenja

21,1 21 tt .

Za 1sin x dobijamo kxk 22 , a za 21sin x , uz uslov

0cos x , dobijamo Znknxn ,,26 .


37 37

7. Vrijedi

,2sin41cossinsincossincos sincoscossinsincos

sincoscossin

cossin

sincos

sincos2cos

2222222

2222

44

2222

2

2

2

2

22

22

xxxxxxx

xxxx

xxxxxx

xx

xx

xxxtgxctg

x

uz uslov xxxx sincos0cos0sin .

8. Iz sinusne teoreme imamo Rb 2sin

, tj 1sin , pa je .2 Takoe

je Ra 2sin

, pa je 21sin , .

6 Odavde dobijamo da je .

3

Iz pravouglog trougla ADC dobijamo

bhcsin , pa je .6b Sada lako

dobijamo da je 3a i 33c . 9. Povrina pravougaonika je xyP 4 . Trougao DBC je jednakostranini

pa je aDB i 2

3aOC . Trougao OPC je pravougli pa je

6sin

OCOP , odakle dobijamo

43aOP .

A

a

hC

c

b

C

B


38 38

Poto je x visina pravouglog trougla OPC , vrijedi

ECyECOEx 2)1( . Iz pravouglog trougla EPC je

6tg

ECx ,

pa je xEC 3 . Uvrtavajui u (1) dobijamo 3yx . Sada primjenom Pitagorine teoreme na trougao OPE

dobijamo 222 OPyx , tj. 1634

22 ay .

Dobijamo 8

3,8

3 axay .

Povrina je 16

33 2aP . 10. Sjeice na krunicu su tangente na koncentrinu krunicu, poluprenika

2

21050

, tj. na krunicu 2522 yx . Iz uslova da sjeica sadri

taku A(15,-5) i uslova dodira prave i krunice dobijamo sistem 22 125155 nknk , odakle dobijamo jednainu 068 2 kk , ija su rjeenja 0 i

43 .

Jednaine sjeica su 05 y i 02543 yx .

O(0,0)

A(15,-5)

B

C

A

B

C

D

P Q

M N

O

E x

y

6

6


39 39


1. Uprostiti izraz

222

22

32

:2 ba

aba

ababa

aba

a .


xx .

3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednaina 0828 2 mxmx

ima pozitivne korijene.

4. Rijeiti jednainu 033432 xx .

5. Rijeiti jednainu 23271log3110log 5 x .

6. Odrediti 2,0x tako da vrijedi ctgxxx 2

5sinsin

2 .

7. U jednakokrakom trapezu sa paralelnim stranicama a i b dijagonale se sijeku pod pravim uglom. Odrediti duinu kraka.

8. Nai uglove trougla ije su stranice date jednainama

3622 cb , 1822 cb , 2:1: ac .

9. Visina i teina linija povuene iz tjemena C trougla ABC dijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trougla ABC .

10. Nai jednainu prave koja sadri taku M(1,3) i iji je odsjeak na y osi dva puta vei nego na x osi.


40 40

Rjeenja: 1. Vrijedi

.0,0, uslove uz ,

:

:

:2

2

22

2

32

2

2

32

22

2

22

32

babababaa

abbaba

baba

babaabaa

baabaa

babaa

baa

baa

baa

baa

baa

babaa

baa

2. Vrijedi 01x3-x- 02

112

11

xx

xx ,

odakle dobijamo ,13,x . 3. Da bi jednaina imala pozitivne korijene, mora biti diskriminanta

nenegativna i zbir i proizvod korijena pozitivni. Dakle, 000 2121 xxxxD .

Koristei Vietove formule dobijamo sistem nejednaina 0

880

8208322 2 mmmm .

Iz prve nejednaine je 0260362 mm , tj. ,2610,m , dok iz druge i tree nejednaine dobijamo ,8m . Prema tome, korijeni jednaine e biti pozitivni za 10,8m .

4. Uvodei smjenu 0 ,3 ttx dobijamo kvadratnu jednainu

0342 tt , ija su rjeenja 3,1 21 tt . Odavde dobijamo rjeenja polazne jednaine 0x i 1x .

5. Jednaina je definisana za 0x (jer je 03271 5 x ). Imamo

.

536 tj.,653310003271

33271log23271log3110log

655

55

xxxx

xx


41 41

6. Nakon mnoenja sa xsin ( 0sin x ) i sreivanja dobijamo jednainu 02cos5cos2 2 xx , koja se smjenom 1,1 ,cos ttx , svodi na

kvadratnu jednainu 0252 2 tt . Rjeenja ove jednaine su

21 ,2 21 tt . Zbog uslova 1,1t , odbacujemo rjeenje 1t , pa

traimo rjeenja jednaine 21cos x koja pripadaju intervalu 2,0 .

Dobijamo

35,

3x .

7. Poto je trougao ABO jednakokrako pravougli, ugao OAB je 4 pa je

2ax . Analogno dobijamo da je

2by . Iz pravouglog trougla AOD

imamo 222 yxc , pa je 2

22 bac .

8. Vidjeti zadatak 8. od 06.09.2004. 9. Vidjeti zadatak 9. od 06.09.2004. 10. Kao i u zadatku 10. od 06.09.2004. imamo

12311

2

mmmy

mx

odakle dobijamo 25m , pa je jednaina prave 052 yx .

A B

C D

O x

y

c c x

y


42 42


1. Uprostiti izraz

aaba

babababa 21

21:11 2

22

2233

.

2. Rijeiti nejednainu . 51

4 xx

3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra k nejednakost

07215142 22 kkxkx vrijedi za svako realno x.

4. Rijeiti jednainu .913

21

352 2x

xx

5. Rijeiti jednainu .3logloglog 2,0255 xx 6. Rijeiti sistem jednaina

.01log02423

2006 xy

yx

7. Rijeiti jednainu 3sin2x cos4x 1 = 0. 8. Duine stranica trougla su a=p2+p+1, b=p2+2p, c=2p+1. Izraunati

srednji po veliini ugao tog trougla. 9. U jednakostranini trougao stranice 2cm upisana su 3 jednaka kruga, koji

se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti povrinu krivolinijskog trougla odreenog ovim krugovima.

10. Napisati jednainu krunice najmanjeg poluprenika koju krunica

x2 + y2 - 2x - 12y + 29 = 0 dodiruje iznutra, i koja dodiruje pravu x - y - 3 = 0.


43 43


1. Uprostiti izraz

1,111:

11

11

xxx

xxxx.


xx .

3. Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jednaine

0322 2 kkxxk su pozitivna? 4. Rijeiti nejednainu 125512425 xx . 5. Rijeiti jednainu 3logloglog

3193 xx .

6. Rijeiti sistem jednaina 5

25 yx

xy

yx .

7. Dokazati identitet 22222

cos1sinsin2cos tg .

8. U krugu su date tetive cmAB 4 i cmAC 7 . One grade ugao od 60 .

Izraunati poluprenik krunice. 9. U jednakokraki pravougli trougao upisan je kvadrat tako da mu dva

tjemena pripadaju hipotenuzi, a po jedno katetama. Odrediti duinu stranice kvadrata ako je duina katete cm8 .

10. Napisati jednainu krunice koja je koncentrina sa krunicom

052622 yxyx i sadri taku 4,1 M .


44 44


1. Uprostiti izraz

aaba

babababa 21

21:11 2

22

2233

.

2. Rijeiti nejednainu xx 1253 . 3. Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jednaine

0322 2 kkxxk su negativna?

4. Rijeiti jednainu 272

4

913

2

x

xx .

5. Rijeiti jednainu xx 329log2 . 6. Rijeiti sistem jednaina

103

10 yxxy

yx .

7. Rijeiti jednainu .014cos2sin3 xx 8. Duine stranica trougla su 12 ppa , ppb 22 , 12 pc .

Izraunati srednji po veliini ugao tog trougla. 9. U jednakostranini trougao stranice cm5 pisana su 3 jednaka kruga, koji

se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti povrinu krivolinijskog trougla odreenog ovim krugovima.

10. Napisati jednainu krunice koja je koncentrina sa krunicom



45 45


1. Uprostiti izraz

baabba

ba

baabba

ba

3333 .

2. Rijeiti nejednainu 2312 xx . 3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rjeenja jednaine

021 2 mxxm negativna. 4. Rijeiti sistem jednaina

.1062591453

yx

yx

5. Rijeiti jednainu 02log1log2log 5255 xx . 6. Rijeiti sistem jednaina

.4log2log5log

42

222

yx

yx

7. Dokazati identitet 4cos832cos44cos . 8. Rijeiti jednainu .02cos2sincossin1 xxxx

9. U trouglu ABC je 33,6 cb i 4 . Izraunati stranicu a i

ugao . 10. Krajnje take dui su (-1,4), (1,0). Iz koje se take na simetrali ove dui

data du vidi pod pravim uglom?


46 46


1. Uprostiti izraz

1441

1224

12421:

181

241

223

aaa

aaaa

aa

a.

2. Rijeiti nejednainu 2331 xxx . 3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rjeenja jednaine

02212 2 mxxm realna. 4. Rijeiti jednainu 99111111 2 xx . 5. Rijeiti sistem jednaina

.2log57623

2

xy

yx

6. Rijeiti jednainu 32loglogloglog 812793 xxxx .

7. Dokazati identitet 2222 coscos ctgctg .

8. Rijeiti nejednainu 21sin2 x .

9. U krugu su date tetive cmAB 4 i cmAC 7 . One grade ugao od 60 .

Izraunati poluprenik krunice. 10. Napisati jednainu krunice koja je koncentrina sa krunicom



47 47



48 48

Rjeenja:


49 49


50 50


51 51


52 52


53 53


54 54


55 55


56 56



57 57



58 58


ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA 2001-2007. ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA 2001-2007.

Documents

PRIJEMNI - ZBIRKA 2010