Zbirka za prijemni iz matematike

  • View
    267

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Zbirka za prijemni iz matematike

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    1/185

     

     

     

     

     

     

           

     

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    2/185

     

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    3/185

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    4/185

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    5/185

         

     

     

     

     

     

     

       

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    6/185

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    7/185

     

     

      1   720

      : 2, 7+2, 7 : 1, 35+

    4, 2 − 1   340

    ·0, 4 : 2 12

     =   2720

    · 1027

     + 270100

    · 100135

     +

    4210

     −   4340

    ·4

    10 ·   2

    5  =  12 + 2 +

      168−4340

      ·   425  =

      52  +

      12540

     ·   425  =

      52  +

      12  = 3 

      3 34

      : 7 12 −  5, 25 : 10 + 1

    2 −   2

    5

      : 0, 2 =   15

    4  :   15

    2 −   21

    4  :   21

    2  +   1

    10  :   2

    10  =

    154 ·   2

    15 −   21

    4 ·   2

    21  +  110

     ·   102   =

      12 −   1

    2 +  12  =

      12

     

      x  x

    0, 0016 : 0, 012 + 0, 7 =

      4 5425

      : 14 75

     + 0, 8

    1, 2 : 0, 375 − 0, 2 ⇔  x

    1610000   :

      121000  +

      710

    =15425

      :   775

      +   810

    1210   :

      3751000

     −   210

    ⇔   x1610000 ·

      1000

    12

      +   710

    =15425

     ·   577  +

      810

    12

    10 ·  1000

    375 −  1

    5

    ⇔   x215

     +   710

    =25  +

      45

    6

    5 ·  8

    3 −  1

    5

    x56

    =65

    3 ⇔  x  =  1

    3.

     

      1, 75 :   23 − 1, 75

    :   712

    1780

     − 0, 0325 : 400   : (6, 79 : 0, 7 + 0, 3)  

      40   730 − 38   512

    : 10, 9 +

    78 −   7

    30

    · 1   911 · 4, 20, 08

     

     

    1 7

    20  : 2, 7 + 2, 7 : 1, 35 +

    0, 4 : 2

    1

    2

    ·

    4, 2 − 1 340

     

    72

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    8/185

     x

     y

    0

     y=| x|

      y = |x|

     x

     y

    0

    -1

    +1

     y = sgn x

      y = sgn x

         

    |x| =

    x, x ≥ 0−x, x  0

    0, x = 0

    −1, x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    9/185

    (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3  a

    2

    − b2

    = (a + b)(a − b)  a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)  a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc    a ≥ 0    am · an = am+n   a >  0    a

    m

    an  =   am−n   (am)n =   am·n     n

    √ am =   a

    mn

     

    ab

    n=   a

    n

    bn 

    a0 = 1 (a = 0)     a−n =   1an (a = 0)     a, b > 0    n

    √ a · b =   n√ a·   n√ b     n ab   =   n√ an√ b   n√ am =   np√ amp = nr√ amr  

    n√ 

    a =   n 

    m√ 

    a =   nm√ 

    a  

     

     

     133 − 1 : 0, 3−5 :   1765

    1 25 · 1

    7 +   2

    11

    − 3

    4

    =

    133 −   10

    3

    −5 ·   5176

    75 ·   25

    77

    − 34

    =

      5176

    511

    − 34

    =

     11

    176

    − 34

    = 1634 =

    24 14

    3= 23 = 8

     

    38 · 9−2 · 54 + 9 · 125 · 15−1(3 · 5)4 · 3−3 : 5 =

     38 · 3−4 · 54 + 32 · 53 · 5(3 · 5)4 · 3−3 : 5 =

    = 34 · 54 + 32 · 54

    3 · 55   = 32 · 54(32 + 1)

    3 · 55   = 32 · 54 · 10

    3 · 55   = 32 · 55 · 2

    3 · 55   = 6  

    4−14 +

      1

    2−32

    − 43

    ·

    4−0,25 −

    2√ 

    2− 4

    3

    =

    (22)− 1

    4 + 232

    − 43

    · (22)− 1

    4 − 2 · 212

    − 43

    22·(−

    14

    ) + 232·(− 43)

    ·

    22·(−14

    ) −

    21+12

    − 43=

    2−12 + 2−2

    ·

    2−12 −

    2

    32

    − 43

    =

    2−12 + 2−2

    ·

    2−12 − 2−2

    =

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    10/185

    = 2−12

    2

    − 2−2

    2= 2−1

    −2−4 =

     1

    2 −

      1

    16 =

      7

    16

     

      15√ 

    6+1 +   4√ 

    6−2 −   123−√ 6

    :   1√ 6+11

     =

    15(

    √ 6−1)

    6−1   +  4(

    √ 6+2)

    6−4   −  12(3+

    √ 6)

    9−6

    :√ 

    6−116−121   =

    3(√ 

    6 − 1) + 2(√ 6 + 2) − 4 3 + √ 6 ·   −115√ 6−11  =

    √ 6 − 11 ·   −115√ 

    6−11  = −115.  

    √ 7−√ 5√ 7+

    √ 5

      +√ 

    7+√ 

    5√ 7−√ 5   =

    √ 7−√ 5√ 7+

    √ 5 ·

    √ 7−√ 5√ 7−√ 5   +

    √ 7+

    √ 5√ 

    7−√ 5 ·√ 

    7+√ 

    5√ 7+

    √ 5

      =  (

    √ 7−√ 5)2

    (√ 

    7)2−(

    √ 5)

    2   +

    (√ 

    7+√ 

    5)2

    (√ 

    7)2−(

    √ 5)

    2   = (7−2·

    √ 7√ 

    5+5)+(7+2·√ 

    7√ 

    5+5)2

      =   242

      = 12.

     √ 5 − √ 2 + √ 3

    √ 5 + √ 2 + √ 3=

    √ 5 +

    √ 3 − √ 2

    √ 5 + √ 3 + √ 2 ·

    √ 5 +

    √ 3 − √ 2

    √ 5 + √ 3 − √ 2=

    √ 5 +

    √ 3 − √ 2

    2

    √ 5 + √ 32 − √ 22  =

    = 5 + 3 + 2 + 2

    √ 5 · √ 3 − 2√ 5 · √ 2 − 2√ 3 · √ 2

    5 + 2√ 

    5 · √ 3 + 3 − 2 = 10 + 2

    √ 15 − 2√ 10 − 2√ 66 + 2

    √ 15

    =

    = 5 +

    √ 15 − √ 10 − √ 63 +

    √ 15

    ·3 −√ 

    15

    3 − √ 15 = −2√ 15 + 2√ 6

    9 − 15   = −2√ 15 + 2√ 6

    −6   =√ 

    15 − √ 63

     

    1√ 2 +   3

    √ 3

    =  1√ 2 +   3

    √ 3·√ 

    2 −   3√ 3√ 2 −   3√ 3 =

    √ 2 −   3√ 3

    2 −   3√ 9 =√ 

    2 −   3√ 32 −   3√ 9 ·

    4 + 2   3√ 

    9 +   3√ 

    81

    4 + 2   3√ 

    9 +   3√ 

    81=

    = (√ 2 −   3√ 3) · (4 + 2   3√ 9 +   3√ 81)

    8 − 9   = (  3√ 

    3 − √ 2) · (4 + 2   3√ 9 +   3√ 81).  

    a2 + b2

    ab  −   a

    2

    ab − b2  +  b2

    a2 − ab  =  a2 + b2

    ab  −   a

    2

    b(a − b) +  b2

    a(a − b) =

    = (a2 + b2) (a − b) − a2 · a + b2 · b

    ab(a − b)   =  a3 + ab2 − ba2 − b3 − a3 + b3

    ab(a − b)   =

    =  ab2 − ba2ab(a

    −b)

     =  ab(b − a)ab(a

    −b)

     = −1, ab = 0, a = b.

     (a − b)2

    ab  + 3

    ·

    a

    b −   b

    a

    :  a3 − b3

    a2b2  =

      a2 − 2ab + b2 + 3abab

      ·a2 − b2

    ab  ·   a

    2b2

    a3 − b3   =

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    11/185

    (a2 + ab + b2) · (a2 − b2)

    a3

    − b3

      = (a2 + ab + b2) · (a − b) (a + b)

    (a2

    + ab + b2

    ) (a − b)  = a + b,

    a = b, ab = 0, a2 + ab + b2 = 0.

      23 

      a  3√ 

    b

    b  8√ 

    a12+

      12

      √ a

    a  8√ 

    b3

    : 4√ a +   4√ b , a,b > 0

    23

       a

      3√ 

    b

    b  8√ 

    a12+

      12

      √ a

    a  8√ 

    b3

    :

    4√ 

    a +  4√ 

    b =

    ab13

    32

    ba

    12

    8 32 +

    a

    12

    ab38

    2 : a

    14 + b

    14

    =a

    32 b

    13· 32

    b32 a

    128 · 32

    +  a

    a2b38·2

    :

    a14 + b

    14

    =

    =

    a

    32 b

    12

    b32 a

    94

    +  a

    a2b34

    :

    a14 + b

    14

    =

      1

    ba34

    +  1

    ab34

    :

    a14 + b

    14

    =

    a

    14

    ba +

     b14

    ab

    :

    a14 + b

    14

    =

      1

    ab.

        1√ 

    a +√ 

    a + 1+

      1√ a − √ a − 1

    :

    1 +

     a + 1

    a − 1

      a ≥ 0, a + 1 ≥ 0, a − 1 ≥ 0    a = 1    a > 1.  

      1√ a +

    √ a + 1

    +  1√ 

    a − √ a − 1

    :

    1 +

     a + 1

    a − 1

    =

    =

    √ a − √ a + 1

    a − (a + 1)   +√ 

    a +√ 

    a − 1a − (a − 1)

    :

    √ a − 1 + √ a + 1√ 

    a

    −1

    =√ 

    a + 1 − √ a + √ a + √ a − 1

    :

    √ a − 1 + √ a + 1√ a − 1

    =

    √ a + 1 +

    √ a − 1

    ·   √ 

    a − 1√ a − 1 + √ a + 1

    =

    √ a − 1

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    12/185

     

    a3

    −b3

    a + b −   aba+b

    −  a3 + b3

    a − b +   aba−b

    =  a3

    −b3

    (a+b)2−aba+b

    −  a3 + b3

    (a−b)2+aba−b

    =

    = (a + b) (a3 − b3)

    a2 + ab + b2  − (a − b) (a

    3 + b3)

    a2 − ab + b2   =(a + b) (a − b) (a2 + ab + b2)

    a2 + ab + b2  − (a − b) (a + b) (a

    2 − ab + b2)a2 − ab + b2   =

    = a2 − b2 − a2 − b2 = 0, a = b, a = −b

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    13/185

     

     

    12

    −8 · 16−2 + 2−3 (0, 2)6 · 50 + 13

    −2 · (81−2) 14 = 3.   1, 7 ·  (4,5·1

    23

    +3,75)   713559

    − 0, 5 +   13 −   512 = 1 1784 .   (16−2)−2 : 16(−2)

    −2: 16−2

    −2= 164.

     

     √ 3 −   95

    2 −   3 85

    3 − √ 32 =   125 .  

    1a2

     +   1b2

    ·   a3−b3a2+b2

    :

    a2+b2

    ab  + 1

    =   a−b

    ab  , ab = 0 

     

    13√ 2+  3√ 3  =

      15

    3√ 

    4 −   3√ 6 +   3√ 9 .  

    23

    10 2−5 5√ 

    340

    3−2  4√ 

    220  = 1.

     

      a−8√ ab+4ba−2  4√ ab−2√ b +

      3√ b

    4√ a +   4√ b

    = 1.

     

    1a2  +

      1b2

    a3−b3a2+b2

    :

    a2+b2

    ab   + 1

    =   a−bab   , ab = 0.  

    1a+   1

    b+c

    :   1a+ 1

    b

    −   1b(abc+a+c)

     = 1.

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    14/185

         

      Df  ⊂  R  Df  ⊂ R      f     R× R  

    (∀x ∈ Df )∃1y ∈ Df  y =  f (x)

      f   : Df  →  Df     ∃1     Df   

      f     Df   

      f  

      f      g    Df  = Dg  

    (∀x ∈ Df ) f (x) = g(x).   f   : Df  → Df       

    (∀x1, x2 ∈ Df ) (x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2)) .

      f   : Df  →  Df       ∀y ∈ Df  (∃x ∈ Df ) y =  f (x).   f    :   Df 

      →  Df   

             

      A    B     C     f   :  B → C, g  :  A → B     f  ◦ g    f     g  A    C   

    (∀x ∈ A) (f  ◦ g)(x) = f (g(x)).

      f   :  Df  →  Df     f −1 :  Df  →  Df     

    (∀x ∈ Df ) f −1 ◦ f  (x) = x   ∀y ∈ Df  f  ◦ f 

    −1

    (y) = y.  

      f 1(x) =  x    f 2(x) =  x2

    x    f 3(x) =

    √ x2  

    f 4(x) = (√ 

    x)2

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    15/185

      f 1(x) =   x    x ∈  R     f 2(x) =   x  x ∈  R \ {0}  f 3(x) = |x|    x ∈  R   f 4(x) =   x  x ∈ [0, ∞)  

      f 1(x) = 2l og2 x    f 2(x) = log2 x2

     

    f 3(x) = 2log2 |x|    f 4(x) =   2logx 2  

      f 1(x) = 2log2 x    x ∈ (0, ∞)    f 2(x) = 2log2 |x|     x ∈ R\{0}  f 3(x) = 2 log2 |x|    x ∈ R\{0}  f 4(x) =2log2 x    x ∈   (0, 1) ∪ (1, ∞)     f 1(x) = f 2(x) = f 3(x) = f 4(x) = f 1(x)  

      f 1(x) = elnx

      f 2(x) =  x2

    x   f 3(x) =

    √ x2  

    f 4(x) = ln(ex)  

      f 1(x) =   x    x ∈  (0, ∞)    f 2(x) =   x      x ∈ R \ {0}   f 3(x) = |x|    x ∈ R   f 4(x) = x  x ∈ R  

      f   xx+1

    = (x − 1)2   f (3)    

       

      x    xx+1   = 3 ⇒   x   = − 32  

    f  (3) = (−32−1)2 = 6.25  

     

     

     

    xx+1

      =   t ⇒   x  =   t1−t  

    f  (t) = (   t1−t − 1)2 =

    2t−11−t

       f  (3) = ( 2·3−11−3  )

    2 = 6.25 

      f 

    x+12x−1

    = x2008 − 2x2007 + 1    f  (f (2))    

        x    x+12x−1   = 2 ⇒ x  = 1  

        f  (2) = 12008 − 2 · 12007 + 1 = 0    x  x+1

    2x−1  = 0 ⇒ x  = −1    f  (0) = (−1)2008 − 2 · (−1)2007 + 1 = 4  f  (f (2)) = f  (0) = 4  

      f  (2x − 1) = x    f (f (x))         2x − 1 =  t ⇒  x  =   t+1

    2  

      f  (t) =   t+12

       f (f (x)) =  f (x+12

      ) =x+12

      +1

    2  =   x+3

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    16/185

      f (x) =   5x+32x−5     g(x) =

      1−x1+x

        h(x) =   3−x2+x

     

     

        f (x)    y   =5x+32x−5 ⇒ 2xy − 5y = 5x + 3 ⇒ x  =   3+5y2y−5    f −1(x) = f (x)  

      g(x)    y =   1−x1+x ⇒ y +xy = 1−x ⇒ x  =   1−y1+y     g−1(x) = g(x)    h(x)  y =   3−x2+x ⇒ 2y + xy  = 3 − x ⇒ x  =   3−2y1+y    h−1(x) = h(x) 

      f (x) + 2f  (1 − x) = x    x ∈ R    f (x)         1 − x =  t ⇒ x  = 1 − t     f (1

    −t) + 2f  (t) = 1

    −t

     ⇒  f (1

    −t) = 1

    −t

    −2f (t)  

    f (x) + 2 (1 − x − 2f (x)) = x ⇒ f (x) =   2−3x3     f (x) =   x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

    x−2−|x−2|  

        x−2−|x−2| = 0    x ≥  2    0 = 0    x <  2    2(x − 2) = 0 ⇒  x = 2    Df   = (−∞, 2)    x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}     x ∈ {0, 1} 

      f (x) = 2x − x2   f (f (f (1 − x)))    f (f (f (1

     − x))) =   f (f (2(1

     − x)

     − (1

     − x)2)) =   f (f (1

     − x2)) =

    f (2(1 − x2) − (1 − x2)2) = f (1 − x4) = 2(1 − x4) − (1 − x4)2 = 1 − x8     f (x) =

    √ 1 − x2   g(x) = sin x    6g f f −π4 +

    g−π

    4

     

      6g

    f −π

    4

      +   f 

    g−π

    4

      = 6g

     1 − −π

    4

    2  +

    sin−π

    4

      = 6g

     1 −   π216

    + f 

    √ 2

    2

      = 6g

     1 − 1 −   π216

    +

     1 −   24  = 6 sin  π4  +

    √ 2

    2   =  7√ 

    22

     

      f      g    g (f  (x)) =   x2    (x) = log16 x      f 

    −32

    + f  (−1)  

        g−1 (x) = 16x   f  (x) = g−1x2

    = 16

    x2   = 4x  

      f −3

    2

    + f  (−1) = 4− 32  + 4−1 =   1

    8 +   1

    4 =   3

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    17/185

     

      f 1(x) = sin x    f 2(x) = cos x · tg x f 3(x) =

     1−cos2x

    2   f 4(x) = | sin x|    f 1(x) = f 2(x) =

    f 3(x) = f 4(x) = f 1(x)   f 1(x) = sin

    2 x + cos2 x    f 2(x) =  xx

     

    f 3(x) =√ x2

    x   f 4(x) = logx x  

      f x−1x+1

    =   x+2x+1    f (3)    0  

      f  (3x + 2) = 2x − 1    f (f (x))      x−89     f (x) + 3f 

    1x

      =   x + 1    x ∈   R \ {0}    f (x)

       

    3+2x−x28x

     

    f (x) =  x(x

    −1)(x

    −2)(x

    −3)(x+4)

    log(2−x)    −4,  0   f      g    g (f  (x)) = 2x    (x) = 3x + 1  

        f  (−1) + f  (−2)    −6   f (x) =   1−2x2+x    g(x) =

      x+13−x    g (f  (x)) + f  (g (−x)) 

     

    2(7x2+8x+13)5(x+1)(x+7)

     

      f (x) =   2x−14−x  

    x ∈   R \ {4}    f   : (−∞, 4) ∪ (4, ∞)   1−1−→na

    (−∞, −2) ∪ (−2, ∞);f −1(x) =   4x+1

    x+2 

      f (x) = x2 − 2x  

    f   : (−∞, 1]  1−1

    −→na [−1, ∞)  

      f −1

    (x) = 1 −√ 

    x + 1

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    18/185

         

     

      P n(x) =   anxn + an−1xn−1 + . . . +  a1x +  a0, an = 0,

    x ∈ C      n−    an, an−1, . . . , a0 ∈ C    

     a0   =   a1   =   a2   =   ...  =   an   = 0     a0 = 0 ∧  n = 0     an = 1  

     

     

      n ≥ 1  P n(x) = anxn + an−1xn−1 + .... + a2x2 + a1x + a0,

      c    P n(c) = 0   

     

      x1, x2,....,x p  ∈   C,   ( p ≤   n)    

    P n(x) = an(x − x1)k1(x − x2)k2 ......(x − x p)kp   x ∈  C    k1, k2, ....k p     k1 + k2 + .... + k p =  n    k1  x1, k2    x2    k p    x p  

     P n(x)     Qm(x) = 0, m < n    

      S n−m(x)    Rk(x),  0 ≤   k < m     P n(x) = Qm(x) · S n−m(x) + Rk(x).

      P n(x)    x − a      P n(     )    cC  

      P n(x)    k    c̄     P n(x)  

      P n(x) =   anxn + an−1xn−1 + . . . +  a1x +  a0, an = 0  

     

    x1 + x2 + . . . + xn   =   −an−1anx1 · x2 + . . . + xn−1 · xn   =   an−2an

     

     

     

    x1 · x2 · . . . · xn   = (−1)n ·   a0an  

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    19/185

      n = 3    P 3(x) = a3x3 + a2x

    2 + a1x + a0, a3 = 0

    x1 + x2 + x3   =   −a2a3x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3   =   a1a3

    x1 · x2 · x3   =   −a0a3   n = 4    P 4(x) = a4x

    4 +a3x3 +a2x

    2 +a1x+a0, a4 = 0

    x1 + x2 + x3 + x4   =   −a3a4x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3 + x2 · x4 + x3 · x4   =   a2a4

    x1 · x2 · x3 + x1 · x2 · x4 + x1 · x3 · x4 + x2 · x3 · x4   =   −a1a4x1

    ·x2

    ·x3

    ·x4   =

      a0

    a4

     

      2x4 − 3x3 +4x2 − 5x + 6    x2 − 3x + 1    x3 − 3x2 − x − 1    3x2 − 2x + 1  

     

      2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6    x2 − 3x + 1(2x4 −   3x3 + 4x2 −   5x   + 6) : (x2 − 3x + 1)−(2x4 −   6x3 + 2x2)

    3x3 + 2x2

    −  5x   + 6

    −(3x3 −   9x2 + 3x)11x2 −   8x   + 6

    −(11x2 −   33x   + 11)25x   −   5  

      2x2 + 3x + 11    25x − 5.   x3 − 3x2 − x − 1    3x2 − 2x + 1

    (x3 −   3x2 −   x   −   1) : (3x2 − 2x + 1)−(x3 −   2

    3x2 +   1

    3x)

    (−73 x2 −   43 x   −   1 −(−73

    x2 +   149

     x   −   79

    269 x

     

      29

     

     

    13

    x −   79

       −269

     x −   29

     

      4x5 +9x3 +19x+92  x + 1  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    20/185

        x + 1    

    P (−1) = 4(−1)5

    + 9(−1)3

    + 19(−1) + 92 = 60     a    P (x) =  x4 + ax2 + x − 6

      x + 2  

        P (x)    x + 2     x1 = −2    P (−2) = 0    16 + 4a − 2 − 6 = 0 ⇒ a  = −2 

     P n(x)    x−1    3  x + 3    −1    x2 + 2x − 3 

        P n(1) = 3  

    P n(−3) = −1    P n(x) = (x2

    + 2x − 3) · K n−2(x) +ax+b    P n(1) = 0·K n−2(1)+a+b = 3     P n(−3) = 0·K n−2(−3)−3a+b =−1    a + b  = 3     3a + b  = 1     a = 1     b = 2    R(x) = x + 2

      P n(x)    x    2  x2 + 1    2x    x3 + x  

        P n(0) = 2     P n(x) = (x

    2 + 1) · Rn−2(x) − 2x  P n(x) = (x

    3 + x) · K n−3(x) + ax2 + bx + c    ax2 + bx + c     

    P n(0) =   c   = 2 

    P n(i) = a   i2 + b · i + c = 2 · i ⇒ a  = 2, b = 2  

      R(x) = 2 · x2 + 2 · x + 2   a, b    Q(x) =  x2 + 2x − 3  

      P (x) = x4 − ax3 + bx2 + 9      

      Q(x) =  x2 + 2x − 3    (x + 3) · (x − 1)    

    P (−3) = 0 ⇒ 81 + 27a + 9b + 9 = 0 ⇒ 3a + b = −10P (1) = 0

     ⇒ 1

    −a + b + 9 = 0

     ⇒ −a + b =

     −10

     

      P (−3) = 0

    P (1) = 0  ⇒

      3a + b   =   −10−a + b   =   −10   ⇒

      a   = 0

    b   =   −10

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    21/185

      a  = 0    b  = −10    P (x) =  x4 −10x

    2

    + 9 

     

    P (x) =   x4 − ax3 + bx2 + 9 = (x2 + 2x − 3) · (x2 + Ax − 3) ==   x4 + Ax3 + 2x3 − 6x2 + 2Ax2 − 6x − 3Ax − 9

     

     

      x3 ⇒ A + 2 = a

     x2

    ⇒ −6 + 2A =  b

      x ⇒ −6 − 3A = 0 ⇒ A  =

     −2, a = 0, b =

     −10.

      P (x) = (x2 + 2x − 3) · (x2 − 2x − 3) = x4 − 10x2 + 9    x1, x2, x3    125x

    3 − 64 = 0    x1 · x2 ·x3 − (x1 + x2 + x3)    

        x1  +  x2  +  x3   = − a2a3 = 0  x1 · x2 · x3  = −a0a3 =   64125    x1 · x2 · x3 − (x1 + x2 + x3) =   64125  

      x3 + ax + b = 0     a     b    x1 = 1  x2 = 2  

        x1 + x2 + x3  = −a2a3 ⇒ 1 + 2 +x3  = 0 ⇒ x3 = −3    x1 · x2 · x3  = −6 

      x3 + 3x2 − 4x − 12         x1 + x2 +  x3   = − a2a3 = −3    x21  +  x

    22  +  x

    23 + 2x1 · x2 + 2x1 · x3  + 2x2 · x3   = 9 

      x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =   a1a3 = −4  x21 + x

    22 + x

    23 = 17 

      x3 − 2x + b, b ∈ R     1 + i, i2 =

     −1  

       

     

      1 +   i    x1  +  x2  +  x3   =  −a2a3 ⇒1 + i + 1 − i + x3 = 0 ⇒ x3  = −2 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    22/185

      a     b    x4 + 2x2 +

    ax + b  

      x2

    − 1    x + 6       x4 + 2x2 + ax + b =(x2 − 1) · S 2(x) +  x + 6    x  = 1    3 +  a  + b  = 7  x = −1    −1 − a + b = 5    a = −1     b = 5 

      x2008+x2007+1  x2 + 1  

       x2008 + x2007 + 1 =

    (x2 + 1) · S 2006(x) +  ax + b    x  =   i    i2008 + i2007 + 1 = (i2 + 1) ·S 2006(i) + a

    ·i + b    2

    −i =  a

    ·i + b

     ⇒ a  =

     −1, b = 2  

        R(x) = −x + 2  

     

      3x4 +5x3−12x+15  x − 2    49 

     a

       P (x) = x4+ax3−2x2−x+3

      x − 1    5    a = 4    P n(x)    x +1    5  

    x−2    2    x2 −x−2  R

    (x

    ) = −x

     + 4 

      P n(x)    x6 + 1    x3 + 2  

        x2 + 1    R(x) = −x + 2     a, b    Q(x) =  x2 + x − 2  

      P (x) = x4 − 5x2 + ax + b    a = 0;  b = 4    x1, x2, x3    2x

    3−x2−4 = 0    x21+x22+x23   

    14

     

      x3 − 4x2 + ax  +  b, a, b ∈   R     1 − 2i, i2 = −1     x3  = 2, a = 9, b = −10 

      x1  = 2, x2 = 2, x3  =

    3    −24    P 3(x) = 2x3 − 14x2 + 32x − 24    x2015 + 3x2014 + x + 3  

      x2 + 3x    R(x) = x + 3  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    23/185

         

     

     y   =   kx  +  n,   (k, n ∈  R),   (k = 0)  

     k  

      x−    n    

    y−    x  = −nk    k = 0    k  = 0     n = 0   k  = 0     n  = 0  

       

     x

     y

    0

    k > 0 n > 0

    n = 0

    n < 0α

      y =  kx + n, k >  0

      ax =  b      x 

        a = 0    x =   ba

     

       

    a = 0 

      b = 0      a = 0     b = 0  

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    24/185

     x

     y

    0

    k  < 0

    n > 0

    n = 0

    n < 0

    α

      y =  kx + n, k <  0

     x

     y

    0

    n

     y = nk  = 0

    n > 0

    n < 0

    n = 0

      y =  n

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    25/185

     

      y =  mx − 1 + 2m    m     y    A(0, 3)    m    

       

      3 = m · 0 − 1 + 2m ⇔ 4 = 2m ⇔ m  = 2.

     x

     y

    0

    3

    2

    3

     

      p    T (6, −5)    q  : 2x + 3y + 5 = 0.

       

    2x + 3y + 5 = 0 ⇔ y  = −23 x −   53 .     q     k   = − 2

    3.  

     

        y + 5 = −23

    (x − 6) ⇔ y  = −23

    x − 1.   M (−5, 4)  

      P   = 5  

        M (

    −5, 4)      y

    −4 = k(x +

    5) ⇔ y  =  kx + 5k + 4  m     n    xm  +

      yn   = 1,  

        P   =   12|mn|.  

      M   

       

    −5m

     +  4n

     = 1    5  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    26/185

     x

     y

    0

     M (-5,4)

    -5

    4

    n

    m

     

      mn2   = 5     m = 1, n  = 2    m = −52 , n  =−4    2x + 5y − 10 = 0  8x + 5y + 20 = 0.

      3x+my−12 = 0    m    

       

    3x12  +

     my12   = 1 

      4    12m

     

     

       

     42 +

    12m

    2= 5 ⇔  16 +   144

    m2  = 25 ⇔   144

    9  =  m2 ⇔  m2 = 16 ⇔

    m = ±4    

     

    x−12   +

      3x−14   =

      2x−43   +

      x+16

        N ZS (2, 3, 4, 6)     6(x−1)+3(3x−1) = 4(2x−4)+2(x + 1) ⇔ 15x−9 = 10x−14 ⇔5x = −5 ⇔ x  = −1 

     

    1x2+2x+1  +

      2x+2x2+x3   =

      52x+2x2

       

    1(x+1)2

     +   2x(x+1)2

      =5

    2(x+1)    x = −1, x = 0    2x(x + 1)2  

        2x + 4 = 5(1 + x). ⇔ x  = −13

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    27/185

      x −   1+ 34x4

      +  5− 2

    3x

    4  =

      3−x2

    3

        N ZS (3, 4) = 12    12x −3

    1 +   34

    x

    + 3

    5 −   23

    x

    = 4

    3 −   x2

    ⇔ 12x − 3 +   94

    x + 15 −   103

     x − 12 + 2x =0 ⇔ 12x −   94 x = 0 ⇔   394 x  = 0 ⇔ x  = 0.

     

    x−2x+2 +

      x+2x−2  = 2

       

    (x−2)2+(x+2)2(x−2)(x+2)   = 2 ⇔   2x

    2+8x2−4   =

    2 ⇔   2x2+8x2−4 − 2x

    2−4x2−4  = 0 ⇔   16x2−4  = 0.  

     |x + 2| − |2x − 1| = 1

       

     

    |x + 2|   =

    x + 2, x ≥ −2−(x + 2), x  2 ∧ x = 0 ⇔ x ∈ ∅ 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    28/185

      {−1, 1}.   2|x + 1| − |x − 2| − 3 = 0 

       

     

    |x  + 1|   =

    x + 1, x ≥ −1−(x + 1), x  0 ⇔ 6x − 9 − 1 − 3x + 14 − 8x >  0 ⇔−5x + 4  >  0 ⇔ x <   4

    5.

     

    2|x − 2| − |x + 3| + 2 >  0    

        x ∈   (−∞, −3)    x − 2   <   0     x + 3   <   0    

    −2(x − 2) + (x + 3) + 2   >  0 ⇔ −x + 9   >  0 ⇔   x <   9    (−∞, −3) ∩ (−∞, 9) = (−∞, −3)  

        x ∈ [−3, 2]    x−2 <  0     x+3  >  0  −2(x−2)−(x+3)+2 >  0 ⇔ x  2    x−

    2  >  0     x + 3  >  0  2(x − 2) − (x + 3) + 2  >  0 ⇔  x − 5  >  0 ⇔  x >  5  (2, +∞) ∩ (5, +∞) = (5, +∞) 

      (−∞, −3) ∪[−3, 1) ∪ (5, +∞) = (−∞, 1) ∪ (5, +∞).

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    29/185

     

     

     

    x + 7y − 12 = 0     2x − y + 6 = 0    A(8, −4) 2x + 5y − 4 = 0   x − 3y = 0    AB  A(−1, 7)     B(6, 8)    π

    C (3, −1).   kx  + (k + 1)y − p   = 0    k     p     M (2, 1)    

    x + 2y − 4 = 0 

     

    5x−23  −   13x+1

    7   =  x−5

    2   + x    x = 1.  

    x+34  −   2x−1

    2  =   7x−1

    3  + 1   7

    12.    x = 4.

     

    1x3−27  +

      2x−3  =

      2x+1x2+3x+9

    .    x = −2.  

    x1+   x

    1−x= x2.    x ∈ ∅,  

     |2x − 4| + |x + 2| = 3.    x ∈ ∅,  

      |2x − 1| − x + 2 = |x − 3|.    x ∈ {0, 1}.  

      |2x + 5| <  1    x ∈ (−3, −2).  

    |3x − 2| >  4    x ∈ (−∞, −23 ) ∪ (2, ∞).

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    30/185

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    31/185

    a > 0   a  0

     x

     y

    0 x1   x2   x

     y

    0

     x1   x2

    D = 0

     x

     y

    0   x1=  x2

     x

     y

    0

     x1=  x2

    D

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    32/185

        f (3) = (1 + m)32 − (4 + m) · 3 + 8 = −7    

    m = −2    4x2 + mx + m2 − 15 = 0    m  

     

       

      D  =  m2 − 4 · 4 · (m2 − 15) = −15m2 + 240 = 0   m = ±4 

     y   =   x2 + px +  q     p     q   

      −2     3     

    x1 + x2 = −ba ⇔ −2 + 3 = −

     p1 ⇔

     p = −1, x1 · x2 =   ca ⇔ −2 · 3 =   q1 ⇔ q  = −6    x2 − x − 12 ≤ 0  

      

        (x −4)(x + 3) ≤   0    (x + 3 ≥   0 ∧ x − 4 ≤0) ∨ (x + 3 ≤  0 ∧ x − 4 ≥  0) ⇔   (−3 ≤  x ≤  4)    x    

    −3    4      y = (x−4)(x+3)     −3     4     x2    

     

        y   = (x − 4)(x  + 3)    

     

     

    x ∈ (−∞,−3)   x = −3   x ∈ (−3, 4)   x = 4   x ∈ (4, +∞)x + 3  

    x

    −4  

    (x − 4)(x + 3)    

      x ∈ [−3, 4]   

    2x+3x−1  ≤ 0.

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    33/185

     x

     y

    0-3   4

     

       

    x ∈ (−∞, −32

    )   x = −32

      x ∈ (−32, 1)   x = 1   x ∈ (1, +∞)

    2x + 3  

    x − 1  (x − 4)(x + 3)  

      x ∈ [−32 , 1)    

    x+1x−

    3

     ≥ 2.

       

    x+1x−3 ≥ 2 ⇔   x+1x−3 − 2 ≥ 0 ⇔   x−7x−3 ≤ 0.

     

    x ∈ (−∞, 3)   x = 3   x ∈ (3, 7)   x = 7   x ∈ (7, +∞)x − 7  x − 3  

    (x − 4)(x + 3)     x ∈ (3, 7] 

     

    (x+2)(x−1)(x−3)x(x+1)

      ≤ 0.     f (x)  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    34/185

    (−∞,−2)   −2 (−2,−1)   −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 3) 

      (3,∞)

    x + 2  

    x− 1  

    x− 3  

    x  

    x + 1  

    f (x)  

      x ∈ (−∞, −2] ∪ (−1, 0) ∪ [1, 3]    m  

        x2 − 2mx + m2 − 1 = 0    [−2, 4] 

        x1,2   =  2m

    ±

    √ 4m2

    −4·1·(m2

    −1)

    2   =   m ± 1     x1 =  m − 1 ≥ 2     x2  =  m + 1 ≤ 4    −1 ≤ m ≤ 3  

      y = (m − 1)x2 + (m − 4)x − (m + 1)  m    x = 1 

       −   m−4

    2(m−1)  = 1    m = 2 

     

     y = 2x2 + bx − 3    b  

     

    x =  5

    b = −5.   (k − 1)x2 − 2kx − k + 3 = 0    k    

    k = 1 ∨ k = −35

     

      m    (m − 1)x2 +(m − 1)x − 2 <  0    x ∈ R  m ∈ (−7, 1]   

      x2 + 6 ≤ 5x    x ∈ [2, 3]   

    1x

      <   12  

      x

     ∈ (

    −∞, 0)

    ∪(2, +

    ∞) 

      3x−1   <   22x+6 ,    x ∈ (−∞, −174 ) ∪ (−52 , 1)    2|x + 1| 

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    35/185

     

     

      ax4 + bx2 + c = 0     a(x2)2 + bx2 + c  = 0     x2   x2 =   t  at2 + bt + c = 0 

     

      ax4 + bx3 +cx2 + bx + a = 0    x2  

    x +  1x  = t

     

     

      axn±b = 0    a, b  n = 3    ax3±b = 0    y =3 

    ab

       y  

    y3 ± 1 = 0    (y ± 1)(y2 ∓ y + 1) = 0  

     

     

      x4 − 13x2 + 36 = 0       x2 = t    t2 − 13t + 36 = 0    t1,2  =

      13±√ 169−4·1·362

      =   13±52

     

        t1   = 9    t2   = 4    x2 = 9  

    x2 = 4    x1 = 3    x2  = −3    x3 = 2     x4  = −2    x4 − (m2 + n2)x2 + m2n2 = 0

        x2 = t    t2

    −(m2 + n2)t +

    m2n2 = 0    t1,2   =  +(m2+n2)±√ (m2+n2)2−4·1·m2n2

    2   =

    +(m2+n2)±√ m4−2m2n2+n42

      =  (m2+n2)±

    √ (m2−n2)2

    2  =   (m

    2+n2)±|m2−n2|2

     

      t1  = x2 = m2   t2  =  x

    2 = n2     x1 =  m     x2 = −m     x3  =  n     x4  = −n.

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    36/185

      6x4 − 35x3 + 62x2 − 35x + 6 = 0.     x2   6x2 − 35x + 62 −   35

    x  +   6

    x2  = 0 ⇔

    6(x2 +   1x2 ) − 35(x +   1x) + 6 = 0    x +   1x   =   t  x2 + 2 +   1

    x2  =   t2   x2 +   1

    x2  =   t2 − 2  

      6t2 − 35t + 50 = 0.     t =   10

    3 ∨ t  =   5

    2.  

      x +   1x   =  10

    3   x +   1x   =

      52

    .    x2 −103

     x + 1 = 0    x1  = 3     x2  =  1

    3.  

    x2 −   52

    x + 1 = 0    x3 = 2    x4 =  12

    .

      x4 − 1 = 0    

      (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0,  x1  = 1     x2 = −1    x3,4 = ±i 

      x6 − 729 = 0.   

    x6 −729 = 0 ⇔ (x3 −27)(x3 +27) = 0 ⇔ x3 −27 = 0∨x3 +27 = 0.   x1  = 3     x2,3  =

      32 (−1 ± i

    √ 3)  

        x4   = −3     x5,6 =

      32 (

    −1

    ±i√ 

    3)  

     

      x4 − 34x2 + 225 = 0    x1,2 = ±5    x3,4  = ±3    a2x4 − (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0    x1,2  = ± ba     x3,4  = ±a  a = 0    a = 0     b = 0    x = 0    a =  b  = 0     x ∈ R.   4x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 9 = 0    x1,2 =

      1±i√ 52

       x3,4 = −3±i√ 15

      x4 + 1 = 0    x1,2  =√ 

    2(−1±i)2    x3,4  =

    √ 2(1±i)

    2  

      (2x − 4) 12 − (x + 5) 12   = 1    x = 20.   √ x + √ x + 9 = √ x + 1 + √ x + 4    x = 0.  

    √ x + 4  < x − 2.    x ∈ (2, 5).

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    37/185

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    38/185

     

    √ x − 9 − √ x − 18 = 1

       √ x − 9 = 1 + √ x − 18

      4 =√ 

    x − 18    16 =   x −18 ⇔ x  = 34.    

    √ 34 − 9 − √ 34 − 18 = 5 − 4 = 1 

     

     1 − √ x4 − x2 = x − 1,

        x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1  x4 − x2 = x2(x2 − 1) ≥ 0 ⇔ x2 − 1 ≥ 0     1 − √ x4 − x2 ≥ 0    

    1

    −√ 

    x4

    −x2 = x2

    −2x+1

     ⇔√ 

    x4

    −x2 = x(2

    −x)  

      x2(x2−1) = x2(2−x)2 ⇔ x2(x2−1−4+4x−x2) = 0 ⇔ x2(4x−5) =0    x  = 0    x  =   54 .    

      x =   54  

     

    √ x + 5  > x − 1

       

        x    x+5 ≥ 0     x−1 <  0    x ∈ [−5, 1)    x  

    x − 1 ≥ 0 ∧ x + 5  >  (x − 1)2 ⇔ x ≥ 1 ∧ 0 > x2 − 3x − 4.

      x ∈  (−1, 4)     x ≥ 1    x ∈ [1, 4) 

      [−5, 1) ∪ [1, 4) =[−5, 4) 

     

    √ x + 10  > x − 2

       

        x    x + 10 ≥ 0     x − 2 <  0  x ∈ [−10, 2)

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    39/185

        x  x − 2 ≥ 0 ∧ x + 10  >  (x − 2)2⇔ x ≥ 2 ∧ 0 > x2 − 5x − 6 .

      x ∈  (−1, 6)     x ≥ 2    x ∈ [2, 6) 

      [−10, 2)∪[2, 6) =[−10, 6) 

     

     

    √ x+2

    2  = x

    −1.    x = 2 

     

    √ 2x + 1 = x − 1    x = 4   

    √ x − 1 = x − 3    x = 5 

     

    √ x+1+

    √ x−3√ 

    2x−2   =√ 

    3x−5√ x+1−√ x−3 .    x = 3 

     

    √ 2x2 − 7x + 3 ≥ 0    x ∈ (−∞,  12 ] ∪ [3, ∞)  

     

    √ x2 − x − 12 < x.    x ∈ [3, ∞) 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    40/185

     

     

     

      f (x) =   ax,  (a >  0, a = 1)     D  =  R =(−∞, +∞)    a > 1   0 < a 1

    1

     x

     y

    0

     y = a

     x

    0 < a < 1

    1

     

     

     

     

       

      ax1 = ax2 ⇔ x1  =  x2     af (x) > b    b ≤ 0       af (x)   f (x)    b >   0      f (x)   >   loga b  a > 1    f (x) <  loga b    0 < a

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    41/185

     x

     y

    0

     y = 2 x

    1

    y = ( ) x12

     

       

      y = 3x + 1     y = |3x − 1| 

        y = 3x + 1  y = 3x  

     x

     y

    0

     y = 3 x+1

    1

    2

     

     y   = |3x − 1|    y   = 3x

      x  

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    42/185

     x

     y

    0

     y = 3 x-1

    -1

     

     x

     y

    0

     y = |3 x-1|

    1

     

     

    2x−

    1

    = 45

     

    9−3x

    = 1

    27x+3

     

    3

    x−12   − 2

    x+1

    3   =2x−23   + 3

    x−32

       0, 125 ·42x−3 =√ 

    28

    −x   10 ·2x−4x = 16    2 ·3x+1 −

    5 · 9x−2 = 81 

     

      2x−1 = 45 ⇔ 2x−1 = (22)5 ⇔ 2x−1 = 210 ⇔ x − 1 = 10 ⇔ x  = 11    9−3x =

    1

    27

    x+3 ⇔   (32)−3x = (3−3)x+3 ⇔   3−6x = 3−3x−9 ⇔ −6x   =−3x − 9 ⇔ 3x = 9 ⇔ x  = 3.   3

    x−12   − 2x+13   = 2x−23   + 3 x−32   ⇔ 3 x−12   − 3x−32   = 2x−23   + 2 x+13   ⇔ 3 x−32   (3 − 1) =

    2x−23   (2 + 1)    2

     · 3

    x−32   = 3

     · 2

    x−23

      ⇔  3

    x−32

      · 3−1 =

    2x−33   · 2−1 ⇔ 3 x−52   = 2x−53   ⇔ 3 12x−5 = 2 13x−5 ⇔ √ 33√ 2x−5 = 1 ⇔ x − 5 =

    0 ⇔ x  = 5    0, 125 · 42x−3 =

    √ 2

    8

    −x⇔   2−3 · 24x−6 =

    2−

    52

    −x⇔   24x−9 = 2 52x ⇔

    4x − 9 =   52 x ⇔ x  = 6  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    43/185

      10 · 2x − 4x = 16 ⇔ 10 · 2x − x2x = 16    2x = t  10t − t

    2

    = 16  

    t1   = 8     t2   = 2    2x = 23   2x = 21

      x1 = 3     x2  = 1    2·3x+1−5·9x−2 = 81 ⇔ 2 ·3·3x−5·3−4 ·32x = 81 ⇔ 6 ·81·3x−5·32x−812 =0    3x =   t    486t − 5t2 − 812 = 0     t1  = 81     t2  =

      815

     

      3x = 34   3x =   815  

     x1 = 4     x2  = 4 −   log 5log 3  

     5x − 3x+1 > 2 (5x−1 − 3x−2)     143x−2 ≤

    12|x+1|  

     

      3x   3x >   0    x   

    5x − 3x+1 > 2 (5x−1 − 3x−2) ⇔ 53x − 3 >  2 · 15 · 53x − 29 ⇔   35 53x > 3 − 29 ⇔35

    53

    x>   25

    9  ⇔ 5

    3

    x>

    53

    3  

    53

      >   1  x > 3  

     

    14

    3x−2 ≤ 12

    |x+1|  ⇔ 12

    23x−2 ≤ 12

    |x+1|  ⇔ 12

    6x−4 ≤ 12

    |x+1| 

     

    12

      <   1     6x − 4 ≥|x + 1| ⇔   [(6x − 4 ≥ x + 1 ∧ x + 1 ≥ 0) ∨ (6x − 4 ≤ −(x + 1) ∧ x + 1  <  0)]⇔ [(5x ≥ 5 ∧ x ≥ −1) ∨ (7x ≥ 3 ∧ x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    44/185

     

      y = 2x − 2     y = 14x + 1    

     x

     y

    0

     y = 2 x-2

    -1

    -2

     

     x

     y

    0

     y = ( ) x

    +11

    4

    1

    2

     

     

    x

    −7

    √ 32x+5

    = 0, 25 · 128x+17

    x−3   x = 10 

      2 · 3x+1 − 4 · 3x−2 = 450    x = 4    4

    √ x−2 + 16 = 10 · 2

    √ x−2

      x1 = 11, x2  = 3    23x · 3x − 23x−1 · 3x+1 = −288    x = 2   

    12

    |x+3| ≤ 14

    2x−3   x ∈ (−∞, 3]  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    45/185

     

     

      x >  0    a (a >  0, a = 1)  loga x    c    a    x   c = loga x ⇔ ac = x    aloga x    

      loga 1 = 0 

      loga a = 1 

      loga

    (b·

    c) = loga

    b + loga

      logabc  = loga b − loga c 

      loga bx = x · loga b  

      loga b =  logc blogc a

     

      loga b =  1logb a

     

      logak b  =  1k loga b 

     

    log10 x = log x    e (e = 2.71828...)     loge x = ln x           

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    46/185

     x

     y

    0 1

     y = loga x

    a > 1

     

    y = loga x    a > 1

     x

     y

    0 1

     y = loga x

    0 < a < 1

     

    y = loga x    0 < a 0, a = 1)      f (x) =   ab   loga f (x) =loga g(x),  (a >   0, a = 1)      f (x) =   g(x) ∧ f (x)   >0 ∧ g(x) >  0     loga f (x) > b,  (a > 0, a = 1)      f (x) > ab  a > 1    0 < f (x) < ab   0 < a

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    47/185

     

     

    log 12 x = 3 ⇔ x  = 123 =   18     x1+log3 x = 9   (1 + log3 x) · log3 x   = log3 32 = 2    log3 x   =   t   (1 +  t)t  = 2 ⇔ t2 + t − 2 = 0    t1  = 1  t2 = −2    log3 x = 1 ⇔ x  = 3     log3 x = −2 ⇔x = 3−2 =   19     log  x(x+9) = 1 ⇔ log10 x(x+9) = log10 10 ⇔ x(x+9) = 10∧x(x+9) >  0     x2+9x+10 = 0    x1  = 1     x2 = −10     x(x+9)   x = 1    

     

     

      logan b  =  1n loga b    log3 x + log9 x +

    log81 x = 7 ⇔ log3 x +   12 log3 x +   14 log3 x = 7 ⇔   74 log3 x = 7 ⇔ log3 x = 4 ⇔x = 34 = 81 ∧ x > 0     log4(x+12)·logx 2 = 1     x + 12   >   0 ∧ x >   0 ∧ x = 1     log4(x + 12) · logx 2 = 1   log4(x + 12) = log2 x ⇔   12 log2(x + 12) = log2 x  log2(x + 12) = log2 x

    2   x + 12 =  x2   x1  = 4  

    x2  = −3    x = 4    log49 x

    2 + log7(x − 1) = log7(log√ 3 3)    x = 0 ∧x − 1 >  0    log72 x2 + log7(x − 1) = log7(log31/2 3) ⇔12 log7 x

    2 +log7(x−1) = log7(2log3 3)    log7 x(x−1) = log7 2   x >  0    x2 − x  = 2   x1  = −1     x2 = 2     x = 2    50log x · 160log x = 400     log 8000log x = log 400 ⇔ log x · log 8000 = log 400 ⇔log x =   log400

    log 8000 =   2+2log2

    3+3log2 =   2

    3 ⇔ x  = 10 23  

     

    log(2x + 3) ≤ 1  

      log13

    3x

    −1

    x+2   > 1  

      log(x +1) <  log(2x − 1)   

      log(2x + 3) ≤ 1 ⇔  log(2x + 3) ≤  log 10 ⇔  2x + 3 ≤ 10 ∧ 2x + 3  >  0 ⇔x ≤   7

    2 ∧ x > −3

    2 ⇔ x ∈ (−3

    2,   7

    2] 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    48/185

      log 13

    3x−1x+2

      >   1 ⇔   0   <   3x−1x+2

      <   13 ⇔   0   <   3x−1

    x+2 ∧   3x−1

    x+2  <   1

    3  

     

    x ∈   (−∞, −2) ∪ (13 , +∞) =   A  

     

    8x−5x+2

       0 ∧ 2x − 1 >  0) ⇔3 < x ∧ x > −2 ∧ x >   12

    ⇔ x > 3    

     

      log2(x − 4) = 3    x = 12   

    log x

    log x−log3 = 2    x = 9,

      1 + 

    log2 x − 1 = log x    x = 10,   2x2 = (2x + 5) logx 4 · log8 x    x =   53    

      logx(x + 2)  >  2    x ∈ ∅    log8(x

    2 − 4x + 3)  <  1    x ∈ (−1, 1) ∪ (3, 5)    log

    √ 2 − x − log √ 4 − x2 + 3 log √ 2 + x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    49/185

         

     

     

     

      α    ABC   sin α =   a

    c  =  

     

    cos α = bc  =  

     

    tg α = ab

      =    

    ctg α = ba  =  

     

    b

    a

    c

    α

     

     ∠ pOq     k1(O, r1)    k2(O, r2)    

     

    l1r1

    =   l2r2  

     

    lr   = 1,    l    

      r  

      1  

     

     

     

    π6

    π4

    π3

    π2

      π   3π2

      2π

      30     45     60    90    180    270    360 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    50/185

     p

    q

    O   r 1

    r 2

     

     

     

      1    

     x

     y

    0

     A(1,0)

     B(0,1)

     M  y M 

     x M 

    C(1, tg  x)

    D(ctg  x, 1)

    q

     

      sin x   =   xM     cos x   =   yM     tg x   =  xM yM 

    , yM  = 0     ctg x   =yM xM 

    , xM  = 0 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    51/185

      Oq   

     

    2π  

      xM 

    yM  

    yM 

    xM   

     π  

      y  = sin x, x ∈ R     y  = cos x, x ∈ R     2π    y   = tg x, x =   π

    2  + kπ, k ∈  Z     y   = ctg x, x =

    kπ, k ∈ Z    π  

    f (x) \ x   0   π6 π4 π3 π2   π   3π2   2πsin x   0   1

    2

    √ 2

    2

    √ 3

    2  1 0   −1 0

    cos x   1√ 

    32

    √ 2

    212   0   −1 0 1

    tg x   0√ 

    33

      1√ 

    3   −   0   −   0ctg x   − √ 3 1

    √ 3

    3   0   −   0   −  

     

     x

     y

    0  x

     y

    0  x

     y

    0

    sin x   cos x   tg x, ctg x

    ++

    - -

    +

    +-

    -   +

    +

    -

    -

     

     

     

     

     

    sin(2kπ + α) = sin α, k ∈ Zcos(2kπ + α) = cos α, k ∈ Zsin(π

    2 − α) = cos α,

    cos(π2 − α) = sin α,sin(π − α) = sin α,

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    52/185

    cos(π − α) = − cos α,sin(

    π

    2  + α) = cos α,cos(π2

     + α) = − sin α,sin(π + α) = − sin α,cos(π + α) = − cos α,sin( 3π2 − α) = − cos α,cos( 3π

    2 − α) = − sin α,

    sin(2π − α) = − sin α,cos(2π − α) = cos α,sin( 3π2 − α) = − cos α,cos( 3π

    2 − α) = sin α,

      0

    −α    sin(0

    −α) = − sin α    cos(0−α) = cos α    

     

     

      sin2 α + cos2 α = 1 

      tg α =   sinαcosα , α =   π2  + kπ, k ∈ Z    ctg α =   cosαsinα , α = kπ, k ∈ Z   tg α · ctg α = 1, k =   kπ2  , k ∈ Z 

      sin2 α =   sin2 α

    1   =  sin2 α

    sin2 α+cos2 α =   tg

    2 αtg2 α+1

    , α =   π2  + kπ, k ∈ Z  

      cos2 α =   cos2 α

    1   =  cos2 α

    sin2 α+cos2 α =   1tg2 α+1 , α =   π2  + kπ, k ∈ Z 

     

      sin(α + β ) = sin α cos β  + cos α sin β  

      sin(α − β ) = sin α cos β  − cos α sin β    cos(α + β ) = cos α cos β  − sin α sin β    cos(α − β ) = cos α cos β  + sin α sin β    tg(α + β ) =   tg α+tg β

    1−tg α·tg β     α , β , α + β  =   π2  + kπ, k ∈ Z  

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    53/185

      tg(α − β ) =   tg α−tg β1+tg α·tg β     α , β , α − β  =   π2  + kπ, k ∈ Z 

      ctg(α + β ) =   ctg α·ctg β−1ctg α+ctg β   ,α,β,α + β  = kπ, k ∈ Z  

      ctg(α − β ) =   ctg α·ctg β+1ctg α−ctg β   ,α, β,α  + β  = kπ, k ∈ Z   

      sin2α = 2 sin α cos α 

      cos2α = cos2 α − sin2 α    tg 2α =   2 tg α

    1−tg2 α , α, 2α =   π2  + kπ, k ∈ Z,

      ctg2α =   ctg2−1

    2ctg α , α, 2α = kπ, k ∈ Z.

     

      2cos2   α2

     = 1 + cos α     cos  α2

      = ± 

    1+cosα2

     

      2sin2  α2

      = 1 − cos α     sin  α2

      = ± 

    1−cosα2

     

      tg  α2   = ± 

    1−cosα1+cosα

    , α = π  + 2kπ, k ∈ Z,

      ctg  α2   = ± 

    1+cosα1−cosα , α = 2kπ, k ∈ Z.

     

     

      sin α + sin β  = 2sin  α+β2   cos α−β

      sin α − sin β  = 2 cos α+β2

      sin  α−β2

     

      cos α + cos β  = 2 cos α+β2

      cos  α−β2

     

     

    cos α − cos β  = 2 sin α+β

    2   sin α−β

      tg α ± tg β  =   sin(α±β)cosα cosβ , α, β  =   π2  + kπ, k ∈ Z,

      ctg α ± ctg β  =   sin(β±α)sinα sinβ , α, β  = kπ, k ∈ Z,

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    54/185

      sin α cos β  =   12 [sin(α + β ) + sin(α − β )] 

      cos α cos β  =   12 [cos(α + β ) + cos(α − β )]   sin α sin β  = −12 [cos(α + β ) − cos(α − β )] 

     

     

     x

     y

    0

    1

    -1

    2

    -

    2

    3

     22

     y = sin  x

      y = sin x

     x

     y

    0 1

    -1

    2

    2

     y = arcsin  x

      y = arcsin x

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    55/185

     x

     y

    0

    1

    -1

    2

    -

    2

    3

     22

     y = cos  x

      y = cos x

     x

     y

    0 1-1

    2

     y = arccos  x

      y = arccos x

     x

     y

    022

    3

     2-

     y = tg  x

      y = tg x

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    56/185

     x

     y

    0

     y = arctg  x

    2

    2

      y = arctg x

     x

     y

    022

    3

     2-

     y = ctg  x

      y = ctg x

     x

     y

    0

     y = arcctg  x

    2

      y = arcctg x

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    57/185

     

    f (x) \ x   −1   −√ 

    32

      −√ 

    22

      −12   0

      12

    √ 2

    2

    √ 3

    2   1

    arcsin x   −π2   −π3   −π4   −π6   0   π6 π4 π3 π2arccos x π   5π

    63π4

    2π3

    π2

    π3

    π4

    π6

      0

    f (x)

    \x

      → −∞ −√ 

    3

      −1

      −

    √ 3

    3  0

    √ 3

    3  1

    √ 3

      → ∞arctg x   → −π2

     + 0   −π3

      −π4

      −π6

      0   π6

    π4

    π3

      →   π2

     + 0arcctg x   → π − 0   5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6   → 0 + 0

     

     

      sin x =  a    |a| ≤ 1 ⇔ x  = arcsin a + 2kπ ∨ x =  π − arcsin a + 2kπ     k ∈ Z.   cos x =  a, |a| ≤ 1 ⇔ |a| ≤ 1 ⇔ x  = arccos a + 2kπ ∨ x = −arccos a +

    2kπ,k ∈ Z.   tg x =  a, a ∈ R ⇔ x  = arctg a + kπ, k ∈ Z.   ctg x =  a, a ∈ R ⇔ x  = arcctg a + kπ, k ∈ Z.   sin ax ± sin bx   = 0    cos ax ± cos bx    tg ax ± tg bx   = 0  

    ctg ax ± ctg bx = 0 

     

     

     

      a sin x + b cos x = 0, a, b = 0 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    58/185

        x =   π2

     + kπ,k ∈ Z.    cos x    

      a sin x + b cos x =  c, a,b, c = 0, |c|  a (1 ≤ a ≤ 1) ⇔ arcsin a+2kπ < x < π−arcsin a+2kπ, k ∈ Z.   sin x < a (1 ≤ a ≤ 1) ⇔ π − arcsin a < x a (1 ≤ a ≤ 1) ⇔ − arccos a + 2kπ < x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    59/185

     

    1+ctg 2x·ctg xtg x+ctg x

      =   12 ctg x    sinα+cosα

    sinα−cosα−   1+2cos2 α

    cos2 α(tg2 α−1)  =

    21+tg α ,    sin4

    α+2sinα cosα−cos4

    αtg 2α−1   = cos 2α    cosα−sinα−cos3α+sin3α2(sin 2α+2cos2 α−1)   = sin α  

     

    8cos3 x−2sin3 x+cosx2cosx−sin3 x   = −32    tg x = 2  

     

     

    1+ctg 2x·ctg xtg x+ctg x

      =  1+ cos 2x

    sin 2x· cosxsinx

    sinxcosx

    + cosxsinx

    =sinx sin 2x+cos2x cosx

    sin 2x sinxsin2 x+cos2 xsinx cosx

    =cos(2x−x)sin 2x sinx

    1sinx cosx

     

    cos2 x sinxsin2x sinx

      =   cos2 x

    2sin x cosx =

    12 ·   cosx

    sinx=   1

    2 ctg x 

     

    sinα+cosαsinα−cosα−   1+2cos

    2 αcos2 α(tg2 α−1)  =

      sinα+cosαsinα−cosα−   1+2cos

    2 α

    cos2 αsin2 αcos2 α

    −1  =   sinα+cosαsinα−cosα−   1+2cos

    2 αsin2 α−cos2 α  =

    (sin α+cosα)2

    sin2 α−cos2 α −   1+2cos2 α

    sin2 α−cos2 α  =  sin2 α+2sinα cosα+cos2 α−1−2cos2 α

    sin2 α−cos2 α   =2sinα cosα−2cos2 α

    sin2 α

    −cos2 α

      =   2cosα(sinα−cosα)(sinα−

    cosα)(sinα+cosα)  =  2cosαsinα+cosα  =

      2sinα

    cosα

    +1 =   2tg α+1  

     

    sin4 α+2sinα cosα−cos4 αtg 2α−1   =

     (sin2 α)2−(cos2 α)2+sin2αtg 2α−1   =

     (sin2 α+cos2 α)·(sin2 α−cos2 α)+sin2αtg 2α−1   =

    (sin2 α−cos2 α)+sin2αtg 2α−1   =

     − cos2α+sin 2αtg 2α−1   =

      sin2α−cos2αsin 2αcos 2α

    −1   =  sin2α−cos2αsin 2α−cos 2α

    cos 2α

    = cos 2α  

     

    cosα−sin α−cos3α+sin3α2(sin 2α+2cos2 α−1)   =

      (cosα−cos3α)+(sin3α−sinα)2(sin 2α+cos2α)

      =   2sin2α sinα+2cos2α sinα2(sin 2α+cos 2α)

      =2sin α(sin2α+cos2α)

    2(sin 2α+cos2α)   = sin α 

      tg x   = 2    sin x   = 2cos x      sin x    8cos

    3 x−2·8cos3 x+cosx2cos x−8cos3 x   =

      cosx−8cos3 x2(cos x−4cos3 x)   =

    cosx(1−8cos2 x)2cosx(1−4cos

    2

    x)

      =   1−8cos2 x

    2(1−4cos2

    x)

      =   sin2 x+cos2 x−8cos2 x

    2sin2

    x+2cos2

    x−8cos2

    x

      =   sin2 x−7cos2 x

    2sin2

    x−6cos2

    x

     

      cos2 x  tg2 x−7

    2 tg2 x−6  =  4−78−6  = −32 .

      x 

      tg x =   34 , π < x ≤   3π2  

        sin x   = ±   tg x√ 1+tg2 x

      sin x   = ± 34√ 1+   9

    16

    = ± 35     π < x ≤   3π

    2    sin x   = − 3

    5  

      cos x = −45 , ctg x =   43    

    cos x+sin x = √ 2    sin x+cos x   = sin x cos x + 1    sin2 x + sin2 2x + sin2 3x   =   3

    2  

    1cosx

      =cos x + sin x    cos2x + sin2 x   = cos x  

    cos x cos  π5  + sin x sin π5   =

    √ 3

    2  

    −π4

    ,   9π4

     

      sin  x2

     + cos x = 1.

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    60/185

     

     

    sin(x +  π

    4 ) = 1 

      x +   π4

      =  t    sin t = 1     t = arcsin 1+ 2kπ ∨t =  π −arcsin 1+2kπ, k ∈ Z    arcsin 1 =   π

    2  

    t  =   π2  + 2kπ ∨ t =  π −   π2  + 2kπ.    π −   π2   =   π2     t =   π

    2+2kπ, k ∈ Z.    x+π

    4  =   π

    2+2kπ, k ∈

    Z    x =   π4  + 2kπ, k ∈ Z.   sin x + cos x   = sin x cos x + 1 ⇔   sin x − sin x cos x + cos x − 1 = 0 ⇔sin x(1 − cos x) − (1 − cos x) = 0 ⇔ (sin x − 1)(1 − cos x) = 0,  sin x −   1 = 0    1 −   cos x   = 0    sin x   = 1 ∨   cos x   = 1   ⇔x =   π

    2 + 2kπ

    ∨x = 2kπ, k

     ∈Z.

      sin2 x  + sin2 2x  + sin2 3x   =   32  ⇔   1−cos2x2   +   1−cos4x2   +   1−cos6x2   =   32  ⇔32 −   1

    2(cos 2x  + cos 4x + cos 6x) =   3

    2 ⇔   cos2x  + cos 4x  + cos 6x   = 0 ⇔

    (cos 6x + cos 2x) + cos6x   = 0 32  ⇔   2cos  6x+2x2   cos   6x−2x2   + cos4x   = 0  ⇔2cos4x cos2x +cos4x = 0 ⇔ cos 4x(2cos2x + 1) = 0    cos4x = 0   cos2x   = − 12    4x   =   π2   + 2kπ    2x   = ± 2π3   + 2kπ    k ∈   Z     x =   π

    8 +   kπ

    2    x =   π

    3 + lπ    x =   π

    3 + mπ  

    k , l , m ∈ Z     cos x = 0    1

    cosx  = cos x + sin x  

        1−cos2 x−sin x cos x = 0    sin2 x−sin x cos x = 0     sin x    sin x = 0    

    sinx

    (sinx

    − cosx

    ) =0 ⇔ sin x = 0 ∨ sin x = cos x ⇔ x  =  kπ ∨ x =   π4  + lπ, k, l ∈ Z     cos2x +sin2 x = cos x ⇔ cos2 x− sin2 x +sin2 x = cos x ⇔ cos2 x−cos x =0 ⇔ cos x(cos x − 1) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 1 ⇔ x  =   π2  + kπ,k ∈ Z∨ x =2lπ, l ∈ Z,   cos x cos  π5 + sin x sin

     π5   =

    √ 3

    2 ⇔ cos(x− π5 ) =

    √ 3

    2 ⇔ x − π

    5   = ±π6 + 2kπ, k ∈Z,    x =   π

    5 ±   π

    6 + 2kπ, k ∈ Z ⇔ x  =   π

    30 + 2kπ, k ∈ Z∨x =   11π

    30  + 2lπ, l ∈ Z  

     

    π30

    ,   61π30

     

    11π30

     

      sin  x2

     + cos x  = 1 ⇔   sin  x2

     +

    1 − 2sin2   x2

     = 1 ⇔   sin  x

    2 − 2sin2   x

    2  = 0 ⇔

    sin  x2

    1 − 2sin  x2

      = 0 ⇔   sin  x2   = 0 ∨ sin  x2   =   12  

     

    x2

      =  kπ, k

     ∈ Z

     ⇔  x  = 2kπ, k

     ∈ Z

     

      x2

      =   π6

     + 2lπ, l

     ∈ Z

    ∨  x

    2  =

    π −   π6  + 2mπ, m ∈ Z    x =   π3  + 4lπ, l ∈ Z ∨ x =   5π3   + 4mπ, m ∈ Z.   2cos x + 1 ≥ 0   √ 3 tg x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    61/185

      2cos x + 1 ≥   0 ⇔   cos x ≥ −12

     

     

    cos x = −1

    2  

      x = ±2π3

     +2kπ, k ∈ Z.     cos x    [−π, π]    

    −2π3

      + 2kπ < x <2π3   + 2kπ k ∈ Z.

     x

     y

    0

    1

    -1

    -

    2

     y = cos  x

    1

    2

    2

     3

    2

     3

     

     

    √ 3 tg x

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    62/185

     

     

    sin x  

      [0, 2π]  

     

    π7

     + 2kπ ≤ x ≤   6π7

      + 2kπ k ∈ Z  

     x

     y

    0

    -1

    2

    - 22

     y = sin  x

    7

    7

     

      y   = sin x     y   = cos x   [−π, π]  sin x   = cos x    x   =  −3π

    x =   π4  −3π4

      + 2kπ < x <   π4

     + 2kπ, k ∈ Z  

     x

     y

    0

    -1

    2

    -

    23 2

     y = sin  x

     y = cos  x

    4

    3

     4 2

     

     

     

      sin        −√ 22     cos        −

    √ 2

      sin75   + sin15    √ 

    62  

     

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    63/185

     

    2·ctg α1+ctg2 α

     = sin 2α  

     

    sin2α1+cosα ·

      cosα1+cos 2α  = tg

     x2

     

     

    1−cosxsinx   =

      sinx1+cosx  = tg

     x2

     

     

      sin(α +  β ) − sin(α − β )    sin α   =   35     sin β   = −   725     0   < α <   π2  π < β <   32 π    −   56125     sin  α

    2    cos  α

    2    tg  α

    2    cos α   =   119

    169    sin  α

    2  = ±   5

    13, cos  α

    2  =

    ±1213

    , tg  α2   =  512

     

     

      sin3x = −√ 

    22

       x = −π4  + 2kπ ∨ x =   5π4   + 2kπ, k ∈ Z     sin5x = sin 3x + sin x    x =  kπ ∨ x = ± π

    12 +   kπ

      tg 4x = ctg 6x    x =   π

    20

     +   kπ

    20

    , k

     ∈Z 

     

    √ 3sin x + cos x = √ 2    x =   π12

     + 2kπ ∨ x =   7π12

     + 2lπ, k, l ∈ Z    

      sin x ≤ cos 3x    −π4

     + 2kπ ≤ x ≤   π8

     + 2kπ, k ∈ Z    5π8

      + 2kπ ≤x ≤   3π

    4   + 2kπ, k ∈ Z    9π8   + 2kπ ≤ x ≤   13π8   + 2kπ, k ∈ Z   ctg x ≥ ctg   π

    11    kπ < x ≤   π

    11 +  kπ, k ∈ Z  

      2sin2 x − sin x − 1 ≤ 0    −π6  + 2kπ ≤ x ≤   7π6   + 2kπ, k ∈ Z.

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    64/185

         

     

     

     A   B

    ab

    c

    hc

     

     

    a, b, c  

    α, β, γ   

    α1, β 1, γ 1  

    ha, hb, hc  

    s  

    r  

    R  

     

    O =  a + b + c = 2sP   =   a·ha

    2  =   b·hb

    2  =   c·hc

    2

    P   = 

    s(s − a)(s − b)(s − c)P   =   a·b·c4R   = r · sP   =   1

    2 · a · b · sin γ  =   1

    2 · a · c · sin β  =   1

    2 · b · c · sin α  

      a =  b  =  c  

    O = 3a, P   =  a2

    √ 3

    4   , h =  a√ 

    3

    2   , r =  a√ 

    3

    6   , R = 2r =  a√ 

    3

    3   .  c    a     b  

     

    c2 = a2 + b2  P   =   ab

    2 , R =   c

    2, a2 = c · p    h2c  = p · q     b2 = c · q 

     

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    65/185

  • 8/19/2019 Zbirka za prijemni iz matematike

    66/185

     A   B

    C  D

    d  2 

     d  1

    .

    ha

     

     

     

        P   = a

    ·h    ha    a 

     

     

      P   = a · b    O = 2a + 2b.

     A B

    C  D

    .   .

    ..

    d   

     d

    a

    b

     

     

     

      P   = a2,    P   =   d2

    2    O = 4a