zbirka za prijemni ispit iz matematike

7/23/2019 zbirka za prijemni ispit iz matematike

http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-prijemni-ispit-iz-matematike 1/324

ZBIRKAza prijemni ispit na Vojnoj akademiji

ZADATAKA IZ MATEMATIKE

\URI[I] DU[AN BRKI] NADA



MINISTARSTVO ODBRANE

UPRAVA ZA [KOLSTVO

SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE

VOJNA AKADEMIJA



JEZI^KI REDAKTOR

Gordana Bawac, profesor

TEHNI^KI UREDNIK

@eqko Hr~ek, potpukovnik

AUTORI

Du{an \uri{i}, profesor

Nada Brki}, profesor

RECENZENTI

van. prof. dr Nikola Toma{evi}

mr Ne|eqko Jankovi}

UREDNIK

mr Slavi{a Savi}, pukovnik, dipl.in`.



Beograd, 2005.

DU[AN \URI[I] NADA BRKI]%

IZ MATEMATIKEZA PRIJEMNI ISPIT NA

VOJNOJ AKADEMIJI

ZBIRKA ZADATAKA





5

SADR@AJ

Predgovor.......................................................................................................11

Gr~ki alfabet...............................................................................................12

Prvi deoTeorijski podsetnik iz elementarne matematike

1. Logika i skupovi. Relacije i funkcije................................................151.1. Iskazi i logi~ke operacije ............................................................15

1.2. Skupovi................................................................................................161.3. Relacije ...............................................................................................171.4. Funkcije .............................................................................................18

2. Skupovi brojeva. Proporcionalnost ................................................. 212.1. Realni brojevi....................................................................................212.2. Kompleksni brojevi ..........................................................................252.3. Proporcionalnost ............................................................................27

3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi ........................................ 293.1. Polinomi.............................................................................................29

3.2. Racionalni algebarski izrazi....................................................... 324. Linearne jedna~ine i sistemi linearnih jedna~ina. Linearnenejedna~ine ................................................................................................334.1. Linearna jedna~ina ......................................................................... 334.2. Sistemi linearnih jedna~ina .........................................................334.3. Linearne nejedna~ine .......................................................................35

5. Kvadratne jedna~ine i nejedna~ine ......................................................365.1. Kvadratne jedna~ine..........................................................................365.2. Kvadratne nejedna~ine .....................................................................38

6. Linearna i kvadratna funkcija.............................................................40

6.1. Linearna funkcija ............................................................................406.2. Kvadratna funkcija...........................................................................41

7. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jedna~inei nejedna~ine..............................................................................................457.1. Eksponencijalna funkcija ..............................................................457.2. Eksponencijalne jedna~ine..............................................................457.3. Eksponencijalne nejedna~ine .........................................................46

8. Logaritam. Logaritamska funkcija. Logaritamske jedna~inei nejedna~ine..............................................................................................46



6

8.1. Logaritam ............................................................................................468.2. Logaritamska funkcija ....................................................................488.3. Logaritamske jedna~ine ...................................................................48

8.4. Logaritamske nejedna~ine ...............................................................499. Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijskiidentiteti ..................................................................................................509.1. Ugao.......................................................................................................509.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla .............................................529.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla.....................................549.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla..559.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla

na funkcije o{trog ugla ..................................................................579.6. Osnovni trigonometrijski identiteti ........................................59

9.7. Adicione formule ............................................................................599.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija

u proizvod ............................................................................................619.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija

u zbir ....................................................................................................619.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija......................619.11. Inverzne trigonometrijske funkcije ........................................64

10. Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine ......................................6810.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine..........................................68

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine .....................................6911. Primena trigonometrije u planimetriji i stereometriji...........77

11.1. Povr{ina trougla ...........................................................................7711.2. Sinusna i kosinusna teorema ........................................................7711.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.............................7711.4. Primena trigonometrije u stereometriji .................................79

12. Vektori. Podudarnost. Homotetija i sli~nost ...............................8012.1.Vektori ...............................................................................................8012.2. Podudarnost ......................................................................................8112.3. Homotetija i sli~nost....................................................................84

13. Geometrija trougla, ~etvorougla i mnogougla. Krug......................8513.1. Trougao...............................................................................................8513.2. êtvorougao ......................................................................................8813.3. Mnogougao..........................................................................................9013.4. Krug.....................................................................................................91

14. Poliedri...................................................................................................9414.1. Prizma................................................................................................9414.2. Piramida ...........................................................................................9514.3. Zarubqena piramida .......................................................................97



7

15. Obrtna tela..............................................................................................9815.1. Vaqak..................................................................................................9815.2. Kupa.....................................................................................................99

15.3. Zarubqena kupa ..............................................................................10115.4. Sfera i lopta .................................................................................10216. Analiti~ka geometrija u ravni.........................................................104

16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela duì u datom odnosu ........104Povr{ina trougla .........................................................................104

16.2. Prava u ravni..................................................................................10416.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) ................................................10616.4. Elipsa...............................................................................................10716.5. Hiperbola........................................................................................10916.6. Parabola..........................................................................................111

17. Binomni obrazac. Elementi kombinatorike .................................11317.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac .............................11317.2. Elementi kombinatorike ............................................................114

18. Realni nizovi. Aritmeti~ka i geometrijska progresija.............11718.1. Realni nizovi .................................................................................11718.2. Aritmeti~ka progresija ..............................................................11818.3. Geometrijska progresija...............................................................119

19. Grani~na vrednost i neprekidnost funkcije.................................12120. Izvod funkcije i wegova primena ....................................................123

20.1. Izvod i pravila diferencirawa ...............................................12320.2. Tabli~ni izvodi.............................................................................12520.3. Primena izvoda ..............................................................................126

Drugi deoRe{eni zadaci sa prijemnih ispita iz matematike

1. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1311. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 132

2. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1372. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1383. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1453. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1464. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1534. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1545. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1615. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1626. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................168



8

6. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1697. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1787. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................179

8. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1858. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1869. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................1929. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................19310. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ........................................................20310. grupa 2000. god. (re{ewa) .................................................................... 2041. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2101. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2112. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2182. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................219

3. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2253. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2264. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2334. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2345. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................2435. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................244

Tre}i deoZadaci sa prijemnih ispita iz matematike

(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)

1. grupa 1997. god. ........................................................................................2532. grupa 1997. god. ........................................................................................2553. grupa 1997. god. ........................................................................................2574. grupa 1997. god. ........................................................................................2595. grupa1997. god. ........................................................................................2616. grupa 1997. god..........................................................................................2637. grupa 1997. god. ........................................................................................265

1. grupa 1998. god..........................................................................................2672. grupa 1988. god..........................................................................................2693. grupa 1998. god..........................................................................................2714. grupa 1998. god..........................................................................................2731. grupa 1999. god..........................................................................................2752. grupa 1999. god..........................................................................................2773. grupa 1999. god..........................................................................................2794. grupa 1999. god..........................................................................................2811. grupa 2002. god..........................................................................................283



9

2. grupa 2002. god..........................................................................................2853. grupa 2002. god..........................................................................................2874. grupa 2002. god..........................................................................................289

5. grupa 2002. god..........................................................................................2916. grupa 2002. god..........................................................................................2937. grupa 2002. god .........................................................................................2958. grupa 2002. god..........................................................................................2979. grupa 2002. god .........................................................................................29910. grupa 2002. god........................................................................................3011. grupa 2003. god .........................................................................................3032. grupa 2003. god..........................................................................................3053. grupa 2003. god..........................................................................................3074. grupa 2003. god..........................................................................................309

5. grupa 2003. god..........................................................................................3116. grupa 2003. god..........................................................................................3137. grupa 2003. god..........................................................................................3158. grupa 2003. god..........................................................................................3179. grupa 2003. god .........................................................................................31910. grupa 2003. god .......................................................................................321

Literatura. ..................................................................................................323





11

PREDGOVOR

Osnovna namena ove zbirke je da se kandidati za Vojnu akademiju{to uspe{nije pripreme za prijemni ispit iz matematike.

Zbirka se sastoji iz tri dela. U prvom delu dat je teorijskipodsetnik iz elementarne matematike. Tu se moè na}i pregledosnovnih pojmova, stavova i formula, ~ije je poznavawe neophodno priizradi zadataka na prijemnom ispitu. Istovremeno, sadràj ovog

podsetnika ukazuje i na to kojim matemati~kim oblastima je pridatve}i zna~aj. U drugom delu nalazi se 150 kompletno re{enih zadataka,koji su raspore|eni u 15 grupa. Tre}i deo ~ine zadaci za koje su datakona~na re{ewa ili uputstva za wihovo re{avawe. Zadaci u drugom itre}em delu su sa prijemnih ispita za Vojnu akademiju koji su odràniu periodu od 1997. do 2003. godine. Zbirka obiluje velikim brojemslika, koje ilustruju odre|ene pojmove, postupke u re{avawu zadatakaili kona~na re{ewa.

Ovom prilikom se posebno zahvaqujemo recenzentima dr Ni-koli Toma{evi}u i mr Ne|eqku Jankovi}u, koji su detaqno pregledalitekst zbirke, ukazali na izvesne propuste i dali niz korisnih saveta.

Autori



12

GR^KI ALFABET

α

β

γ

δ

ε

ζ

η θ

ι

κ

λ

μ

Α

Β

Γ

Δ

Ε

Ζ

Η

Θ

Ι

Κ

Λ

Μ

alfa

beta

gama

delta

epsilon

zeta

etateta

jota

kapa

lambda

mi

ν

ξ

ο

π

ρ

σ

τ υ

ϕ

χ

ψ

ω

Ν

Ξ

Ο

Π

Ρ

Σ

Τ

ϒ

Φ

Χ

Ψ

Ω

ni

ksi

omikron

pi

ro

sigma

tauipsilon

fi

hi

psi

omega



Prvi deo

TEORIJSKI PODSETNIK IZELEMENTARNE MATEMATIKE





15

1. LOGIKA I SKUPOVI. RELACIJE I FUNKCIJE

1.1. Iskazi i logi~ke operacije

Iskazi su re~enice koje su ili ta~ne ili neta~ne.Ozna~avamo ih iskaznim slovima p,q,r ,... . Ako je iskaz p ta~an,

onda je wegova istinitosna vrednost ("te") i pi{emo ( ) ; pτ =

istinitosna vrednost neta~nog iskaza q je ⊥ (''не те'') i pi{emo

( )qτ =⊥ .

Osnovne logi~ke operacije su: negacija ( ⎤ – ne), konjunkcija( ∧ − i), disjunkcija( ∨ − ili), implikacija(⇒ − povla~i, implicira,ako...onda) i ekvivalencija ( ⇔ − ekvivalentno, ako i samo ako).Definicije logi~kih operacija date su slede}im istinitosnimtablicama:

p p⎤

⊥

⊥

p q p q∧

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

p q p q∨

⊥

⊥

⊥ ⊥ ⊥

p q p q⇒

⊥ ⊥

⊥

⊥ ⊥

p q p q⇔

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊥ ⊥

.

Polaze}i od iskaznih slova i primewuju}i kona~an broj putalogi~ke operacije, dobijaju se iskazne formule.

Tautologija je iskazna formula koja je ta~na za sve vrednostiiskaznih slova koja u woj u~estvuju.

Simboli ∀ i ∃ zovu se univerzalni i egzistencijalni kvan-tifikator (kvantor). Zapis

( ) ( ) x x α ∀



16

~itamo "za svaki x vaì ( ) x α ", a

( ) ( ) x x α ∃

kao "postoji x za koji vaì ( ) x α ".

1.2. Skupovi

Skupove naj~e{}e ozna~avamo velikim slovima

, , ,..., , , ,... . A B C X Y Z Uobi~ajeni su slede}i zapisi u vezi sa skupovi-

ma:

x X ∈ − element x pripada skupu , X

x X ∉ − element x ne pripada skupu , X

( ){ } X x x α = − X je skup svih elemenata x za koje vaì

( ) , x α

∅ − prazan skup, tj. skup koji nema elemenata.

Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente. Skup A je

podskup skupa B , u oznaci , A B⊂ ako je svaki element skupa A

istovremeno i element skupa B . Vaì

. A B A B B A= ⇔ ⊂ ∧ ⊂

Za skupove A i B defini{u se unija , A B∪ presek A B∩ irazlika \ A B na slede}i na~in:

{ }

{ }

{ }

,

,

\ .

A B x x A x B

A B x x A x B

A B x x A x B

∪ = ∈ ∨ ∈

∩ = ∈ ∧ ∈

= ∈ ∧ ∉

Ako je , A B∩ = ∅ onda za skupove A i B kaèmo da su disjunktni.

Partitivni skup skupa X je skup svih wegovih podskupova.

Ozna~ava se sa ( ). X P Ako se razmatraju samo podskupovi odre|enog

skupa X , onda se X ~esto zove univerzalni skup. U tom slu~aju se za

skup ( ) A X ∈P defini{e wegov komplement sa

\ .c

A A X A= =



17

U op{tem slu~aju, skupove obi~no predstavqamo takozvanimVenovim dijagramima (sl. 1).

Ure|eni par ( ),a b dobijamo ako elemente dvo~lanog skupa

{ },a b pore|amo u niz i pri tome preciziramo da je a prvi, a b

drugi element tog niza. Sli~no se formiraju ure|ene trojke,~etvorke ili, uop{te, n -torke.

Dekartov proizvod skupova A i , B u oznaci , A B× defini{e

se sa:

( ){ }, . A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈

Uop{te, Dekartov proizvod skupova1 2, , ..., n A A A dat je sa

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ... .n n n n A A A a a a a A a A a A× × × = ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ∈

1.3. Relacije

Relacija sa jednog skupa u neki drugi skup je svaki podskup

Dekartovog proizvoda tih skupova. Dakle, ρ je relacija sa skupa A

u skup B ako je . A B ρ ⊂ × Ako je 2, A A A ρ ⊂ × = onda kaèmo da je

(binarna) relacija na . A Umesto ( ),a b ∈ pi{emo a b i

kaèmo da je element a u relaciji ρ sa elementom .b

Neka je 2 A ρ ⊂ . Tada za kaèmo da je:

( ) R refleksivna ako ( )( ) ,a A a a ρ ∀ ∈

( )S simetri~na ako ( )( ), ,a b A a b b a ρ ρ ∀ ∈ ⇒

( ) A antisimetri~na ako ( )( ), ,a b A a b b a a b ρ ρ ∀ ∈ ∧ ⇒ =

( )T tranzitivna ako ( )( ), , .a b c A a b b c a c ρ ρ ρ ∀ ∈ ∧ ⇒

X

c A∩ A B

B

\ A B

B B

∪ A B

Sl. 1



18

Za relaciju kaèmo da je relacija ekvivalencije ako jerefleksivna, simetri~na i tranzitivna (skra}eno: RST ). Ako je

relacija ekvivalencije na skupu A , onda se skup

{ }aC x A a x = ∈

zove klasa ekvivalencije elementa .a Svake dve klase ekvivalencijesu ili disjunktne ili se poklapaju. Skup svih klasa ekvivalencije

odre|enih nekom relacijom ρ na skupu A zove se koli~ni~ki skup i

ozna~ava sa / . A

Relacija koja je refleksivna, antisimetri~na i tranzitivnazove se relacija poretka (skra}eno: RAST ).

1.4. Funkcije

Funkcija (preslikavawe) f sa skupa A u skup B , u oznaci

: , f A B→ je takva relacija f A B⊂ × kod koje je svaki element

skupa A u relaciji sa ta~no jednim elementom skupa B . Dakle,funkcija : f A B→ je okarakterisana slede}im svojstvima:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

, ,

, , , .

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

∀ ∈ ∃ ∈ ∈

∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒ =

Skup A se zove domen (oblast definisanosti) funkcije f i ~esto

ga ozna~avamo sa f D . Skup B je kodomen funkcije f . Ako

( ), x y f ∈ , onda pi{emo ( ) y f x = i x nazivamo originalom, a y

wegovom slikom pri preslikavawu f .

Preslikavawe : f A B→ moèmo smatrati ure|enom trojkom

( ), , f A B pri ~emu je f pravilo tog preslikavawa koje se obi~no

zadaje analиti~ki (formulom), tabli~no ili grafi~ki.

Funkcije : f A B→ i :g C D→ su jednake ako imaju iste

domene, iste kodomene i isto pravilo preslikavawa, tj.

( ) ( ) ( ). f g A C B D x f x g x = ⇔ = ∧ = ∧ ∀ =



19

Preslikavawe : f A B→ je 1 1− (injekcija) ako razli~itim

originalima odgovaraju razli~ite slike, tj.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

је 1 1 ,

, .

f x x A x x f x f x

x x A f x f x x x

− ⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

⇔ ∀ ∈ = ⇒ =

Preslikavawe : f A B→ je na (surjekcija) ako svaki element

kodomena ima svoj original , tj.

( ) ( ) ( )( ) је на . f y B x A y f x ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =

Funkcija je bijekcija ako je i 1 1− i na.

Skup vrednosti funkcije : f A B→ je skup

( ){ } ( ). f R f x x A f A= ∈ =

Identi~no preslikavawe skupa A je funkcija : Ai A A→ za

koju je

( ) ( ) . A x A i x x ∀ ∈ =

Kompozicija (sloèna funkcija) funkcija : f A B→ i

:g B C → je funkcija h , u oznaci h g f = , takva da je

( ) ( )( ) ( )( )( ). x A g f x g f x ∀ ∈ =

Inverzna funkcija funkcije : f A B→ je funkcija1: f B A−

→ (ako postoji) za koju je

1

A f f i−= i 1

. B f f i−=

Funkcija ima inverznu ako i samo ako je bijekcija.

.

Graf (grafik ) funkcije : f A B→ je skup

( )( ){ }, . f G x f x x A= ∈

Ako su A i B podskupovi skupa realnih brojeva R , onda za

funkciju : f A B→ kaèmo da je realna funkcija realne

promenqive. Za wu se defini{u pojmovi nadgrafa ( f G ) i podgrafa

( f G ) (sl. 2):



20

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }

2

2

, ,

, .

f

f

G x y R y f x

G x y R y f x

= ∈ >

= ∈ <

Preslikavawe 2: f A A→ zove se binarna operacija na skupu . A

Umesto ( ),c f a b= obi~no pi{emo c afb= . Naj~e{}e oznake za

operacije su , , , :, , , ... .+ − ⋅ ∗

Sl. 2

0

f G

f

G

f D

f R

f G



21

2. SKUPOVI BROJEVA. PROPORCIONALNOST

2.1. Realni brojevi

Skup (poqe) realnih brojeva ozna~avamo sa R . Wegovi va`-niji podskupovi su:

{ }1 2 3 N , , ,...= − skup prirodnih brojeva,

{ }00 N N = ∪ − skup nenegativnih celih brojeva,

{ }03 2 1 Z N ..., , ,= ∪ − − − − skup celih brojeva,

mQ m Z n N n

⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈ −⎨ ⎬⎩ ⎭

skup racionalnih brojeva,

Ir R \ Q= − skup iracionalnih brojeva, tj. brojeva koji

se ne mogu predstaviti u obliku razlomka.

Za ( )a,b R a b∈ < defini{u se intervali:

[ ] { }( ) { }

[ ) { }( ] { }( ] { }( ) { }

затворени интервал (сегмент),

отворени интервал,

полуотворени (полузатворени) интервал,полуотворени (полузатворени) интервал,

a,b x R a x b

a,b x R a x b

a,b x R a x ba,b x R a x b

,a x R x a ,

,a x R x a ,

a

= ∈ ≤ ≤ −

= ∈ < < −

= ∈ ≤ < −

= ∈ < ≤ −

−∞ = ∈ ≤

−∞ = ∈ <

[ ) { }( ) { }( )

, x R x a ,

a, x R x a ,

, R.

+∞ = ∈ ≥

+∞ = ∈ >

−∞ +∞ =

Za svaki m Z ∈ i n N ∈ postoje jednozna~no odre|eni

brojevi k ,r Z ∈ za koje vaì

0 1m kn r , r n .= + ≤ ≤ −

Broj k zove se koli~nik, a broj r ostatak pri deqewu broja m sa n.

Ako je 0r = , onda je m deqiv sa n , tj. n se sadrì u m (u oznaci

n m ).



22

Broj oblika

( )

{ }( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 9

m n p p m n p

i j k

a a ...a ,b b ...b c c ...c c c ...c ... a a ...a ,b b ...b c c ...c ,

a ,b ,c , , ,

=

∈…

zove se beskona~ni periodi~ni decimalni broj sa periodom1 2 p

c c ...c .

Broj je racionalan ako i samo ako se moè predstaviti u obliku be-skona~nog periodi~nog decimalnog broja. Beskona~ni neperiodi~nidecimalni brojevi su iracionalni brojevi.

Jednakost razlomaka je data sa:

( )0a c a d b c, b,d .b d

= ⇔ ⋅ = ⋅ ≠

Za operacije sa razlomcima vaì:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 : 0

0 0

a b a b a c ad bcc , b,d ,

c c c b d bd

a c a c a c a d a d b,d , b,c,d ,

b d b d b d b c b c

a c a a a ab,c , b .

b c b b b b

± ±± = ≠ ± = ≠

⋅ ⋅⋅ = ≠ = ⋅ = ≠

⋅ ⋅

⋅ −= ≠ − = = ≠

⋅ −

Apsolutna vrednost broja x R∈ je

0

0

x, x x

x, x .

≥⎧= ⎨

− <⎩

Za apsolutnu vrednost vaè slede}e osobine:

x x , x x ,− = ≤

( )

( )

0

0

x a a x a a ,

x a x a x a a ,

x y x y x y .

≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥

≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − ≥

− ≤ + ≤ +



23

Signum broja x R∈ je

1 0

0 0

1 0

, x

sgn x , x .

, x

>⎧

⎪= =⎨⎪

− <⎩

Vaì da je x x sgn x.=

Grafici funkcija y x = i y sgn x = dati su na slikama (sl. 3

i sl. 4)

Sl. 3 Sl. 4

Stepenovawe celobrojnim izloìocem je definisano sa:

( )

( ) ( )

пута

0 1 11 0 0

n

n

n

n

a a a a а R, n N ,

a a , a a, a a .a

−

−

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ∈ ∈

= ≠ = = ≠

Za a R, n N ∈ ∈ svako re{ewe jedna~ine po x

n x a=

(ako postoji) je n -ti koren broja a .

Ako je n neparan broj, onda za svaki a R∈ postoji ta~no jed-no re{ewe i ozna~ava se sa n a . Za parno n i 0a < jedna~ina nema

re{ewa u R ; za parno n i 0a = jedino re{ewe je 0 , tj. 0 0n .= Ako

je n paran broj i 0a > , tada jedna~ina ima dva re{ewa, i pozitivno

re{ewe ozna~avamo sa n a . Drugo re{ewe je n a− . Prema tome, u

ovom slu~aju vaì

x y =

0

0

1

1 y sgn x =



24

n n x a x a .= ⇔ = ±

Za korenovawe vaè slede}e osobine:

( )

( )2 2 2

: :n n n n n n

m npn nm m mpnn m nm

n n

a b a b , a b a b ,

a a , a a , a a ,

x x , x x x R ,

⋅ = ⋅ =

= = =

= = ∈

( )0;a,b m,n, p N > ∈ .

Stepenovawe racionalnim izloìocem uvodi se sa:

( )0

m

n mna a n N , m Z , a= ∈ ∈ > .

Osnovne osobine stepenovawa su:

( )

( )

y x y x y x xy

x x x x x

x

a a a , a a ,

a aa b a b ,

b b

+⋅ = =

⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0;a,b x, y R> ∈

Pribliàn broj (pribli`na vrednost) nekog ta~nog broja jebroj koji se od wega "neznatno" (malo, zanemarqivo) razlikuje. Ako

je * x pribli`na vrednost broja x , onda kaèmo da je x

aproksimiran brojem * x . Broj

( )* * x x x Δ = −

naziva se apsolutna gre{ka broja * x . Bilo koji nenegativan broj *

x A

koji nije mawi od apsolutne gre{ke broja * x , tj. za koji je



25

( ) *

* *

x x x x A ,Δ = − ≤

zove se granica apsolutne gre{ke. Relativna gre{ka ( )* x δ pribli-

`nog broja * x defini{e se sa

( )( )

( )0

*

*x

x x . x

δ Δ

= ≠

Svaki nenegativan broj * x R koji nije mawi od relativne gre{ke, tj.

za koji je

( ) *

*

x x R ,δ ≤

zove se granica relativne gre{ke broja * x .

Pri odre|ivawu pribli`nog broja za dati decimalni brojobavqa se operacija zaokrugqivawa. Zaokrugqivawe decimalnihbrojeva na n decimala vr{i se po slede}im pravilima:

(1) Ako je 1n + -va decimala mawa od 5, onda prvih n decimala ostaje nepromeweno;

(2) Ako je 1n + -va decimala ve}a od 5, onda se n -ta decimala uve}a-

va za 1, a prvih 1n − ili ostaje nepromeweno (ako je n -ta decimalabila mawa od 9) ili se mewaju na odgovaraju}i na~in (ako je n -ta de-cimala jednaka 9);

(3) Ako je 1n + -va decimala jednaka 5 i bar jedna cifra posle wenije jednaka nuli, onda se n -ta decimala uve}ava za 1;

(4) Ako je 1n + -va decimala jednaka 5 i sve cifre posle we su je-dnake nuli, onda se n -ta decimala ne mewa ako je parna, a uve}ava seza 1 ako je neparna (pravilo parne cifre).U svim ovim slu~ajevima izostavqa se 1n + -va decimala i sve cifre

desno od we.

2.2. Kompleksni brojevi

Skup (poqe) kompleksnih brojeva ozana~avamo sa C. Alge-barski oblik kompleksnog broja z je

( ) ( )21 z a,b a bi , a,b R, i ,= = + ∈ = −

pri ~emu je:



26

( )0 1i ,= − imaginarna jedinica,

a Re z= − realni deo kompleksnog broja z ,

b Im z= − imaginarni deo kompleksnog broja z ,

bi − ~isto imaginaran broj (za 0b ≠ ).

Sl. 5

Po{to su kompleksni brojevi definisani kao ure|eni paro-vi, to je jednakost kompleksnih brojeva data sa:

1 2 1 2 1 2 z z Re z Re z Im z Im z= ⇔ = ∧ = .

Za operacije nad kompleksnim brojevima1

z a bi= + i

2 z c di= + vaì:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1

2 2 2 2

2

0 0

z z a c b d i,

z z a c b d i,

z z a bi c di ac bd ad bc i,

z a bi a bi c di ac bd bc ad i , c,d ,

z c di c di c di c d c d

+ = + + +

− = − + −

⋅ = + ⋅ + = − + +

+ + − + −= = ⋅ = + ≠ ⋅

+ + − + +

Celobrojni stepeni imaginarne jedinice odre|eni su sa:

( )4 4 1 4 2 4 31 1

k k k k i , i i, i , i i k Z .+ + +

= = = − = − ∈

Za konjugovawe i moduo kompleksnih brojeva1

z i2

z vaì:

Kompleksne brojeve pred-stavqamo u kompleksnoj (Gausovoj)ravni (sl. 5).Konjugovano kompleksni broj broja

z a bi= + je broj . z a bi= −

Moduo kompleksnog broja

z a bi= + je 2 2. z a b ρ = = +

z a bi= +

z a bi= −

z

z

a

b

b−

0



27

( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

21 12

2 2

111 2 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

0 ;

0

nn

z z z z , z z z z

z z , z , z z , z z z z z

z z z z , z z z z , , z ,

z z

z z z z z z .

± = ± ⋅ = ⋅

⎛ ⎞ = ≠ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅ = ≠

− ≤ + ≤ +

2.3. Proporcionalnost

Koli~nik realnih brojeva a i ( )0b b ≠ , tj. broj

:aa b ,b

=

zove se razmera brojeva a i b .

Jednakost dveju razmera, tj. jednakost oblika

: :a b c d = ,zove se proporcija. Proporcija : :a b c d = ( )0a,b,c,d ≠ je ekviva-

lentna svakoj od slede}ih jednakosti:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2 : :

3 : :

4 : : 0

5 : :

a d b c,

a c b d ,

b a d c,

ak bk c d k ,

ak b ck d .

⋅ = ⋅

=

=

= ≠

=

Za brojeve1 2 1 2

0n n

a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b ≠ defini{e se pro{irena

proporcija:

1 1 2 2: : :

n na b a b a b= = = .

Zapisujemo je i u obliku



28

1 2 1 2: : : : : ... :

n na a ... a b b b .=

Za pro{irenu proporciju vaì:

( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 1: : : : :

n n n na b a b a b a a b b a b= = = ⇒ + + + + = .

Jedan posto broja a R∈ je broj

0 01100

a , a=

i ozna~avamo ga sa 1% od a.

U procentnom ra~unu osnovne veli~ine su: glavnica G,

procentna stopa p i procentni iznos P. Vaì proporcija

: 100:G P p,=

pa se pojedine veli~ine ra~unaju po formulama:

100 100100

G pP PG , P , p p G

⋅= = = ⋅

Neka su m i n dati fiksirani brojevi ( )0m,n ≠ , a x i y

nepoznati brojevi. Za x i y kaèmo da su direktno proporcionalni

ako je: : x m y n= ;

u slu~aju da je: : x m n y=

kaè se da su x i y obrnuto proporcionalni. Direktno

proporcionalne veli~ine x i y odre|uju funkciju

( )0 y kx k ,= ≠

a obrnuto proporcionalne funkciju

( )0a y a . x

= ≠

Grafici funkcija direktne i obrnute proporcionalnosti dati su naslici (sl. 6).



29

(a) (b)

(v) (g)

3. POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

3.1. Polinomi

Polinom (polinomna funkcija) stepena n je svaka funkcija

:nP R R→ takva da je

( )

( )

1

1 1 0

0 1 1 0; 0

n n

n n n

n n n

P x a x a x a x a ,

n N , a ,a ,...,a ,a R a .

−

−

−

= + + + +

∈ ∈ ≠

Pri tome su:

1 1 0n n

a ,a ,...,a ,a−

− koeficijenti polinoma,

n

a − najstariji (vode}i) koeficijent,

Sl. 6

0 x

a y x

= ( )0a >

0 x

a y x

=

( )0a <

0 x

0k <

y kx =

x0

y kx =

0k >



30

n

na x − najstariji (vode}i) ~lan,

0

a − slobodan ~lan,

nn stP= − stepen polinoma .nPZa nulti polinom 0P ≡ ne defini{e se stepen.

Dva polinoma su jednaka ako su istog stepena i ako su im od-govaraju}i koeficijenti (tj. koeficijenti uz iste stepene od x ) je-dnaki.

Drugim re~ima, ako je ( ) 1

1 1 0

m m

m m mQ x b x b x b x b−

−= + + + + , tada

vaì:

( ) ( ) ( )n m i iP x Q x n m i a b .= ⇔ = ∧ ∀ =Polinomi se sabiraju tako {to im se odgovaraju}i koefici-

jenti saberu i pri tome je

( ) { }n mst P Q max n,m .+ ≤

Mnoèwe dva polinoma obavqa se primenom distributivno-sti realnih brojeva, tj. tako {to se svaki ~lan jednog polinoma po-mnoì svakim ~lanom drugog polinoma. Vaì da je

( )n mst P Q m n.⋅ = +

Broj x a C = ∈ je nula (koren) polinoma P ako je ( ) 0P a .=

Pri tome je

( ) ( ) ( )P x x a Q x ,= −

za neki polinom Q , za koji je 1stQ stP= − . Broj x a C = ∈ je nula

(koren) k -tog reda( )k N ∈ polinoma P ako je

( ) ( ) ( ) ( )( )0k

P x x a Q x , Q a= − ≠ ,

za neki polinom Q za koji je stQ stP k .= −

Faktorisani oblik polinoman

P je

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

sk k k

n n sP x a x x x ,= − α − α − α

pri ~emu su1 2 s , ,...,α α α sve razli~ite nule tog polinoma vi{estru-

kosti ( )1 2 1 2s sk ,k ,...,k , k k ... k n .+ + + =



31

Kompleksan broj z iα β = + je nula polinoma nP (sa realnim

koeficijentima) ako i samo ako je nula tog polinoma i wegov

konjugovano kompleksan broj . z iα β = − Prema tome,

( ) ( )0 0.n nP z P z= ⇔ =

Za polinome P i Q postoje jednozna~no odre|eni polinomi

S (wihov koli~nik) i R (ostatak) takvi da je

( )или 0P Q S R, stR stQ R .= ⋅ + < ≡

Prethodnu relaciju moèmo zapisati u obliku

P R

S ,

Q Q

= +

i ona vaì za sve x za koje je ( ) 0.Q x ≠

Ako je ( ) 0 R x ,≡ tada je polinom P deqiv polinomom Q , tj.

Q je sadràn u .P

Deqewe polinoma obi~no se obavqa tako {to se postupnodele wihovi najstariji ~lanovi, i sam postupak je sli~an deqewuvi{ecifrenih brojeva.

(Bezuov stav) Ostatak pri deqewu polinoma P = ( )P x sa

x a− je ( )P a . Specijalno, ako je ( ) 0P a ,= tada je P deqiv sa x a.−

Najve}i zajedni~ki delilac polinoma P i Q , tj. ( ) NZD P,Q ,

je polinom koji ima najvi{i stepen me|u svim polinomima koji susadràni i P i u Q .

Najmawi zajedni~ki sadràlac polinoma P i Q tj.

( ) NZS P,Q , je polinom koji ima najniì stepen me|u svim

polinomima koji su deqivi i sa P i sa Q .

Polinomi P i Q su uzajamno prosti ako je ( ) NZD P,Q =1.

Ako kod polinoma jedne promenqive u izrazima za neki ste-

pen od x oblika

пута r

x x x

−

⋅ ⋅ ⋅…

promenqivu x zamenimo na k pozicija

( )1 k r ≤ ≤ nekom drugom promenqivom , ,... y z , dobijamo polinome

vi{e promenqivih.



32

3.2 Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi su izrazi u kojima u~estvujukonstante (realni brojevi), promenqive( ), , , ..., , , , ... x y z a b c i opera-

cije sabirawa, oduzimawa, mnoèwa, deqewa i stepenovawa promen-qivih celobrojnim izloìocem.

Srediti racionalni algebarski izraz zna~i svesti ga na

oblikP

Q, pri ~emu su P i Q uzajamno prosti.

Za izraze A,B,C i D vaì:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2

2

3 3

0

A B C A B A C ,

A B C D A C B C A D B D,

A B A B A B ,

A B A AB B ,

A B A A B AB B ,

A B A B A A B B ,

A A C B,C ,

B B C

⋅ ± = ⋅ ± ⋅

+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ + = −

± = ± +

± = ± + ±

± = ± ⋅ ⋅ +

⋅= ≠

⋅

∓

( )

( )

( )

0

0

: 0

A C A D B C B,D ,

B D B D

A C A C B,D ,

B D B D A C A D A D

B,C ,D . B D B C B C

⋅ ± ⋅± = ≠

⋅

⋅⋅ = ≠

⋅⋅

= ⋅ = ≠⋅



33

4. LINEARNE JEDNAÎNE I SISTEMI LINEARNIHJEDNAÎNA. LINEARNE NEJEDNAÎNE

4.1. Linearna jedna~ina

Osnovni oblik linearne jedna~ine po nepoznatoj x je

ax b= ( a,b R∈ ).

Pri tome vaì:

1 jedna~ina nema re{ewa ako je 0a = i 0b ≠ ;

2 jedna~ina ima beskona~no mnogo re{ewa (svako x R∈

je re{ewe) ako je 0a b= = ;

3 jedna~ina ima jedinstveno re{ewe b x

a= ako je 0a .≠

4.2. Sistemi linearnih jedna~ina

Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate je konjunk-cija jedna~ina oblika

( )( )

1 1 1

2 2 2 1 1 2 2 1 2; непознате

a x b y c

a x b y c , a ,b ,a ,b ,c ,c R x, y .

+ =⎧⎪∗ ⎨

+ = ∈ −⎪⎩

Ure|eni par realnih brojeva ( ) ,α β je re{ewe sistema ako za-

menom x sa α i y sa β svaka jedna~ina sistema postaje numeri~ki

identitet.Sistem od tri linearne jedna~ine sa tri nepoznate je konjun-

kcija jedna~ina oblika

( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 31 2 3 ; непознате

i i i i

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d , a ,b ,c ,d R, i , , x, y, z .

⎧ + + =⎪⎪

+ + =⎨⎪

+ + = ∈ = −⎪⎩



34

Ure|ena trojka realnih brojeva ( ) , ,α β γ je re{ewe sistema

ako zamenom x sa α , y sa β i z sa γ svaka od jedna~ina sistema

postaje numeri~ki identitet.Sistem od m linearnih jedna~ina sa n nepoznatih

( ),m n N ∈ je konjunkcija jedna~ina oblika

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

...

a x a x ... a x b ,

+ + + =⎧⎪

+ + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =

⎩

pri ~emu su:

( )

( )

1 2

1 2 ; 1 2 коефицијенти уз непознате,

1 2 слободни чланови,

непознате.

ij

j

n

а R i , ,...m j , ,...,n

b R j , ,...,n

x ,x ,...,x

∈ = = −

∈ = −

−

Re{ewe sistema je svaka ure|ena n -torka realnih brojeva

( )1 2 n , ,...,α α α takva da zamenom 1 x sa 1α , 2 x sa 2α , ... , n x sa nαsvaka od jedna~ina sistema postaje numeri~ki identitet.

Re{iti sistem linearnih jedna~ina zna~i na}i skup svihwegovih re{ewa.

Razmatraju}i skup re{ewa, sistem linearnih jedna~ina moèbiti:

− saglasan (mogu}) ako ima bar jedno re{ewe,− odre|en ako ima samo jedno (jedinstveno) re{ewe

tj. po jednu vrednost za svaku nepoznatu,

− neodre|en ako ima beskona~no mnogo re{ewa,− nesaglasan (nemogu}, protivre~an) ako nema re{ewa.

Elementarne transformacije sistema linearnih jedna~inasu:

(1) zamena mesta bilo kojim dvema jedna~inama sistema,(2) mnoèwe bilo koje jedna~ine sistema realnim brojem

razli~itim od nule,



35

(3) dodavawe proizvoqnoj jedna~ini sistema bilo koje drugejedna~ine prethodno pomnoène nekim realnim brojem.

Primenom elementarnih transformacija sistem linearnih jedna~ina ne mewa skup re{ewa.Neka je za sistem (∗ ) od dve linearne jedna~ine sa dve nepo-

znate

1 1

1 2 2 12 2

a b D a b a b

a b= = − (determinanta sistema),

x

D = 1 1

1 2 2 12 2

c bc b c b

c b= − i 1 1

1 2 2 12 2

y

a c D a c a c .

a c= = −

Tada vaì:(1) ako je 0 D ≠ , sistem ima jedinstveno re{ewe koje se dobija

formulama

y x

D D x , y

D D= = (Kramerove formule);

(2) ako je 0 D = i bar jedna od determinanti x y

D ,D razli~ita

od nule, sistem je nemogu};

(3) ako je 0 x y

D D D= = = , tada je sistem ili neodre|en, tj.

ima beskona~no mnogo re{ewa, ili je nemogu}.

4.3 Linearne nejedna~ine

Osnovni oblici linearnih nejedna~ina po nepoznatoj x su:

( )

,

,

,

, .

ax b

ax b

ax b

ax b a b R

≤

<

≥

> ∈

Za nejedna~inu ax b≤ vaì:

1 za 0a > re{ewe je svaki realan broj x za koji je

b x ,

a≤

2 za 0a = i 0b ≥ re{ewe je svaki realni broj,

3 za 0a = i 0b < nejedna~ina nema re{ewa,



36

4 za 0a < re{ewe je svaki realan broj x za koji je

b x

a≥ ⋅

Sli~no se re{avaju i nejedna~ine ,ax b ax b< ≥ i .ax b>

Pri re{avawu nejedna~ina koristimo se osnovnim svojstvima

relacija , ,≤ < ≥ i .> Tako, na primer, za relacije ≤ i ≥ vaì:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a,

a b b a a b,

a b b c a c,

a b a c b c,

a b c ac bc,

a b c ac bc,

ab a b a b ,

ab a b a b ,

aa b a b ,

b

a a b a b , a,b,c R .b

≤

≤ ∧ ≤ ⇒ =

≤ ∧ ≤ ⇒ ≤

≤ ⇒ + ≤ +

≤ ∧ > ⇒ ≤

≤ ∧ < ⇒ ≥

≥ ⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤

≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ ∨ ≤ ∧ ≥

≥ ⇔ ≥ ∧ > ∨ ≤ ∧ <

≤ ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≤ ∧ > ∈

5. KVADRATNE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

5.1. Kvadratne jedna~ine

Osnovni oblik kvadratne jedna~ine po nepoznatoj x je

( )20 0ax bx c , a,b,c R, a .+ + = ∈ ≠

Re{ewa jedna~ine dobijamo po formuli

2

1 2

4

2 ,

b b ac x

a

− ± −= ⋅



37

U specijalnim slu~ajevima imamo:

( )2

2

2

0 0 0

0 за 0

0 за 0

bax bx x ax b x x ,

a

c cax c x ,

a a

c cax c x i .

a a

+ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −

+ = ⇔ = ± − ≤

+ = ⇔ = ± >

Izraz2

4 D b ac= − zove se diskriminanta kvadratne jedna~i-ne.

U zavisnosti od znaka diskriminante razlikujemo slede}e slu-~ajeve:

(1) ako je 0 D > , re{ewa su realna i razli~ita,

(2) ako je 0 D ,= re{ewa su realna i jednaka, tj.

imamo jedno dvostruko realno re{ewe,(3) ako je 0 D < , re{ewa su konjugovano kompleksni

brojevi 1 2 , x i.= α ± βZa re{ewa kvadratne jedna~ine vaè Vietove formule:

1 2

1 2

b x x ,

a

c x x

a

+ = −

⋅ = ⋅

Znak re{ewa kvadratne jedna~ine odre|en je sa:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

b c

x x D ,a a

b c x x D ,

a a

c x R x R x x D ,

a

c x R x R x x D .

a

> ∧ > ⇔ ≥ ∧ − > ∧ >

< ∧ < ⇔ ≥ ∧ − < ∧ >

∈ ∧ ∈ ∧ ⋅ < ⇔ > ∧ <

∈ ∧ ∈ ∧ ⋅ > ⇔ ≥ ∧ >



38

Trinomna jedna~ina je jedna~ina oblika

( )20 0

n nax bx c , a,b,c R, a , n N ,+ + = ∈ ≠ ∈

i ona se smenom nt x = svodi na kvadratnu jedna~inu

20at bt c .+ + =

Za 2n = trinomna jedna~ina postaje bikvadratna jedna~ina 4 2

0ax bx c .+ + =

5.2. Kvadratne nejedna~ine

Osnovni oblici kvadratnih nejedna~ina su:

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c .

+ + ≥

+ + >

+ + ≤

+ + <

( )0a ≠

Ako su1

x i2

x realna i razli~ita re{ewa kvadratne

jedna~ine

2 0ax bx c ,+ + =

onda odgovaraju}u kvadratnu nejedna~inu re{avamo kori{}ewem fa-ktorisanog oblika kvadratnog trinoma, tj. oblika

( )( )2

1 2ax bx c a x x x x + + = − −

i analizom znaka dobijenog proizvoda.

U ostalim slu~ajevima vaì:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2

2

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x R ax bx c a D ,

x R ax bx c a D ,

x R ax bx c a D ,

x R ax bx c a D .

∀ ∈ + + > ⇔ > ∧ <

∀ ∈ + + ≥ ⇔ > ∧ ≤

∀ ∈ + + < ⇔ < ∧ <

∀ ∈ + + ≤ ⇔ < ∧ ≤



39

Ako je 0a > i 0 D > i ako su1

x i ( )2 1 2 x x x < realni i

razli~iti koreni kvadratnog trinoma 2ax bx c+ + , tada vaì:

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1

1 2

0 0

( 0 0) 0 0

ax bx c a x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x , x x , .

+ + ≥ ⇔ − − ≥

⇔ − ≥ ∧ − ≥ ∨ − ≤ ∧ − ≤

⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤

⇔ ≥ ∨ ≤

⎤ ⎡⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣

Sli~no se re{avaju i ostali slu~ajevi kvadratnih nejedna~i-na. Slu~aj 0a < svodimo na slu~aj 0a > mnoèwem kvadratne neje-

dna~ine sa 1− i vode}i ra~una da se pri tome mewa smer nejednako-sti. Ipak, kvadratnu jedna~inu je najjednostavnije re{avati skicira-wem odgovaraju}eg grafika kvadratne funkcije.



40

0k =

6. LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA

6.1. Linearna funkcija

Op{ti oblik linearne funkcije je

( ) ( ) y f x kx n, k ,n R .= = + ∈

Domen funkcije je ( ) f D R , ,= = −∞ +∞ a skup wenih vrednosti

f R R= za 0k ≠ i { } f

R n= za 0k .=

Grafik svake linearne funkcije je prava (sl. 7).Broj k tg= α je koeficijent pravca prave tj. tangens ugla α

koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x -ose. Veli~ina n jeodse~ak na y -osi, tj. ordinata prese~ne ta~ke prave sa y -osom.

Nula linearne funkcije jen

x k

= − za 0k .≠ Za 0k = i 0n ≠

funkcija nema nula. Ako je 0k n= = , funkcija se svodi na 0 y = i

wen grafik je x -osa.

Funkcija je striktno rastu}a za 0k > , striktno opadaju}a za

0k < i konstantna za 0k .=Nije svaka prava grafik neke linearne funkcije. Prave pa-

ralelne sa y -osom, tj. prave sa jedna~inom ( ) x a a R= ∈ ne predstav-

qaju grafik nijedne linearne funkcije

(a) (b)

(v) (g)Sl. 7

nk

−

n

0

0<k

nkx y +=

α

n y =

0

n

0

a x =

a

n

0

0>k

nkx y +=

α

n

k

−



41

6.2. Kvadratna funkcija

Op{ti oblik kvadratne funkcije je

( ) ( )2 0 y f x ax bx c, a,b,c R, a .= = + + ∈ ≠

Domen funkcije je ( ) f D , ,= −∞ +∞ a skup wenih vrednosti

24

4 f

ac b R ,

a

⎡ ⎞−= + ∞ ⎟⎢

⎣ ⎠za 0a > i

24

4 f

ac b R ,

a

⎛ ⎤−= −∞⎜ ⎥

⎝ ⎦za 0a .<

Grafik svake kvadratne funkcije je parabola (sl. 8). Teme

parabole je wena ta~ka2

4

2 4

b ac bT , .

a a

⎛ ⎞−−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sl. 8

Ako je 0a ,> funkcija je konveksna, opada za2

b , ,

a

⎛ ⎞∈ −∞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

raste za2

b x ,

a

⎛ ⎞∈ − +∞⎜ ⎟

⎝ ⎠i za

2

b x

a= − ima minimum

24

4min

ac b y

a

−= ⋅

Teme parabole je wena najnià ta~ka.

Ako je 0a < , funkcija je konkavna, raste za2b , ,a

⎛ ⎞∈ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

opada za2

b x ,

a

⎛ ⎞∈ − +∞⎜ ⎟

⎝ ⎠i za

2

b x

a= − ima maksimum

24

4max

ac b y

a

−= ⋅

Teme parabole je wena najvi{a ta~ka.

Ordinata prese~ne ta~ke parabole sa y -osom je ( )0 y f c.= =

a

b

2−

c

0

T 0a <

c

T

0

a

b

2−

0a >



42

Skicirawe grafika kvadratne funkcije omogu}uje jednosta-vno re{avawe odgovaraju}e kvadratnie nejedna~ine. Pri tome su odzna~aja samo broj realnih nula funkcije i znak koeficijenta а .

Broj realnih nula kvadratne funkcije, tj. broj realnih re{e-wa jedna~ine 2

0ax bx c ,+ + = zavisi od znaka diskriminante2

4 D b ac.= −Ako je 0 D ,> funkcija ima dve razli~ite realne nule i para-

bola u dvema ta~kama se~e x -osu (sl. 9).

Sl. 9

U ovom slu~aju (pod pretpostavkom da je1 2

x x < ) vaì:

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x x ,x ,

ax bx c x x , x ,

⎫⎤ ⎡+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣ ⎪⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ⎪⎬

⎡ ⎤+ + ≤ ⇔ ∈ ⎪⎣ ⎦⎪

+ + < ⇔ ∈ ⎪⎭

(za 0a > )

i

( )( ) ( )

( )

21 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x x , x ,

ax bx c x x , x .

⎫⎤ ⎡+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞⎦ ⎣ ⎪⎪+ + < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ⎪⎬

⎡ ⎤+ + ≥ ⇔ ∈ ⎪⎣ ⎦⎪

+ + > ⇔ ∈ ⎪⎭

(za 0a < )

0 2 x 1 x

T

0a >

0 1 x 2 x

0a <T



43

Za 0 D = (sl. 10) kvadratna funkcija ima jednu dvostruku re-alnu nulu, parabola svojim temenom dodiruje x -osu i vaì:

( )

( )

2

2

2

2

0

02 2

02

0 нема реалних решења

ax bx c x , ,

b bax bx c x , , ,

a a

bax bx c x ,

a

ax bx c x ,

⎫+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ +∞⎪

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎬⎪+ + ≤ ⇔ = −⎪⎪

+ + < ⇔ ∈∅ ⎪⎭

(za 0a > )

i

( )

( )

2

2

2

2

02


02 2

0

bax bx c x ,

a

ax bx c x ,

b bax bx c x , , ,

a aax bx c x , .

⎫+ + ≥ ⇔ = − ⎪

⎪+ + > ⇔ ∈∅ ⎪⎪

⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ + < ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪

+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎭

(za 0a < )

Sl. 10

Ako je 0 D < (sl. 11), kvadratna funkcija nema realnih nula i

parabola se nalazi ili iznad (za 0a > ) ili ispod (za 0a < ) x -ose ivaì:

0

a

b

2−

0a >

T

0

a

b

2−

T

0a <



44

( )

( )( )

( )

2

2

2

2

0

0



ax bx c x , ,

ax bx c x , ,

ax bx c x ,

ax bx c x ,

⎫+ + ≥ ⇔ ∈ −∞ +∞⎪

⎪+ + > ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎬+ + < ⇔ ∈∅ ⎪

⎪+ + ≤ ⇔ ∈∅ ⎪⎭

(za 0a > )

i

( )

( )

( )( )

2

2

2

2



0

0

ax bx c x ,

ax bx c x ,

ax bx c x , ,

ax bx c x , .

⎫+ + ≥ ⇔ ∈∅⎪⎪+ + > ⇔ ∈∅ ⎪⎬

+ + < ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎪+ + ≤ ⇔ ∈ −∞ +∞ ⎪⎭

(za 0a < )

Sl. 11

Kanonski oblik kvadratne funkcije je

( )( )2

y a x ,= − α + β

pri ~emu je2

b

aα = − a

2

2

4

4

ac b

a

−β = ⋅

0

0a <

T 0

0a >

T



45

7. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA. EKSPONENCIJALNE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

7.1. Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika

( ) ( )0 1 x y f x a , а , a .= = > ≠

Domen funkcije je ( ) f D R , ,= = −∞ +∞ a skup vrednosti

funkcije ( )0 f

R , .= +∞

Za 1a > funkcija je strogo rastu}a, a za 0 1a< < strogo

opadaju}a.Grafici eksponencijalnih funkcija dati su na slici (sl. 12).

Sl. 12

7.2. Eksponencijalne jedna~ine

Eksponencijalne jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepozna-ta nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti eksponencijalne funkcije:

1 2

1 2

x x a a x x .= ⇔ =

0

1

a

1

x a 1a >

0

1 a

1

x a

0 1a< <



46

Za date funkcije g i h , re{ewe eksponencijalne jedna~ine

( ) ( )g x h x a a=

je { }g h x R x D D∈ ∈ ∩ za 1a = i ( ) ( ){ }g h

x R x D D g x h x ∈ ∈ ∩ ∧ = za

0 1a .< ≠

7.3. Eksponencijalne nejedna~ine

Eksponencijalne nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih senepoznata nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih nejedna~ina koristimo se

svojstvom stroge monotonosti eksponencijalne funkcije x y a= :

ra{}ewa za 1a > i opadawa za 0 1a< < .

Za date funkcije g i h vaì:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )ако је 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x ,

⎫< ⇔ ∈ ∩ ∧ < ⎪>⎬

> ⇔ ∈ ∩ ∧ > ⎪⎭

i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )ако је 0 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x .

⎫< ⇔ ∈ ∩ ∧ > ⎪< <⎬

> ⇔ ∈ ∩ ∧ < ⎪⎭

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ,≤ odnosno .≥

8 . LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA.LOGARITAMSKE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

8.1. Logaritam

Logaritam broja 0b > za datu osnovu (bazu) a ( )0, 1a a> ≠ , u

oznaci alog b , je broj kojim treba stepenovati osnovu a da bi se

dobio broj b . Broj b se zove numerus logaritma.



47

Prema tome, imamo da je

( )0 1 0c

ac log b a b , a ,a , b= ⇔ = > ≠ > ,

odnosno a

log ba b= .

Osnovne osobine logaritma su:

( )

1 0

1

1

1k

a

a

a a a

a a a

x

a a

ca

c

a b

aa

log ,

log a ,

log b c log b log c,

blog log b log c,

c

log b x log b,

log blog b ,

log a

log b ,

log a

log b log b.k

=

=

⋅ = +

= −

=

=

=

=

(U svim navedenim relacijama pretpostavqamo da su osnove

logaritama iz ( ) ( )0 1 1 , , ,∪ +∞ da su svi numerusi pozitivni i da su

imenioci razlomaka razli~iti od nule).Dekadni logaritmi su logaritmi sa osnovom 10. Po dogovoru

pi{emo

10

log x log x.=

Prirodni logaritmi su logaritmi sa osnovom

( )2 7182818e e , ... .= Uobi~ajeno je pisati

e

log x ln x.=



48

8.2. Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika ( ) ( )0 1

a y f x log x, a , a .= = > ≠

Domen logaritamske funkcije je ( )0 f

D , ,= +∞ a skup

vrednosti funkcije ( ) f R , .= −∞ +∞

Funkcija je strogo rastu}a za 1a ,> a strogo opadaju}a za

0 1a .< <

Grafici tipi~nih logaritamskih funkcija dati su na slici(sl. 13).

Sl. 13

Nula svake logaritamske funkcije je 1 x = , tj. grafik loga-

ritamske funkcije se~e x -osu u ta~ki sa apscisom 1 x .=

Logaritamska funkcijaa

y log x = je inverzna eksponenci-

jalnoj funkciji

x

y a=

, i zato su wihovi grafici simetri~ni u od-nosu na pravu y x.=

8.3. Logaritamske jedna~ine

Logaritamske jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepoznata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.

Pri re{avawu logaritamskih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti logaritamske funkcije, kao i ~iwenicom da nu-

0

1

a1

0 1a< <

a y log x =

0 1 a

1

1a >

a y log x =



49

merus svake logaritamske funkcije mora biti pozitivan realanbroj. Prema tome, za 0 1a , a> ≠ i za date funkcije g i h , vaì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0a alog g x log h x g x h x g x h x .= ⇔ = ∧ > ∧ >

8.4. Logaritamske nejedna~ine

Logaritamske nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepo-znata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.

Pri re{avawu logaritamskih nejedna~ina koristimo se svoj-stvom stroge monotonosti logaritamske funkcije (ra{}ewa za 1a >

i opadawa za 0 1a< < ), kao i ~iwenicom da numerus svake logari-tamske funkcije mora biti pozitivan realan broj.

Ako su g i h date funkcije, onda vaì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x g x ,

log g x log h x g x h x h x ,

⎫< ⇔ < ∧ > ⎪⎬

> ⇔ > ∧ > ⎪⎭(za 1a > )

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x h x ,

log g x log h x g x h x g x .

⎫< ⇔ > ∧ > ⎪⎬

> ⇔ < ∧ > ⎪⎭(za 0 1a< < )

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ≤ , odnosno .≥



50

9. OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

9.1. Ugao

Ugao je unija dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom i jedneod dve oblasti na koje te dve poluprave dele ravan (sl. 14).

Zajedni~ki po~etak O je teme ugla, a poluprave Op i Oq su kraci

ugla. Oznaka ugla je α , pOq∠ ili AOB∠ , pri ~emu je p A ∈ , a

q B ∈ . Oznaka za teme ugla pi{e se izme|u p i q , odnosno , izme|u

A i B , dok redosled oznaka p i q , odnosno A i B nije bitan. Da

bi smo naglasili koja od dve oblsti ravni je oblast ugla, ako je topotrebno, moèmo to u~initi navo|ewem bilo koje ta~ke iz unutra-

{wosti te oblasti.Ako se poluprave Op i Oq poklapaju i ako je oblast ugla ra-

van bez poluprave Op, onda se dobijeni ugao naziva pun ugao, a ako jeoblast ugla prazan skup, onda se dobijeni ugao nazivanula-ugao. Ako

je unija polupravih Op i Oq prava, a oblast ugla poluravan, onda se

dobijeni ugao naziva opruèn ugao. Dva ugla u ravni, pOr ∠ i rOq∠ ,

sa zajedni~kim krakom Or nazivaju se susednim uglovima (sl.15), akoosim ta~aka zajedni~kog kraka nemaju drugih zajedni~kih ta~aka.

q

Op

r

Sl. 15 Sl. 17O

pq

r

Sl. 16

q

α

pO

Sl. 14

B α

O

q



51

Ugao pOr je mawi od ugla pOq, ako se krak Or ugla pOr nalazi u

oblasti ugla pOq, a oblast ugla pOr je podskup oblasti ugla pOq .Ako je unija krakova, koji nisu zajedni~ki, prava, za uglove kaèmo

da su naporedni (sl. 16). Ugao je prav ako je podudaran svomnaporednom uglu (sl. 17), a o{tar ili tup ako je mawi ili ve}i odsvog naporednog ugla.

Neka je AB du` u ravni ugla pOq∠ , takva da je Op A ∈ i

Oq B ∈ . Ugao pOq∠ je konveksan (ispup~en) ako je pOq AB ∠⊂

(sl.18; sl.20), a nekonveksan (udubqen) ako je { } B A pOq AB ,=∠∩

(sl.19; sl.21).

Dva ugla su jednaka ako se izometrijskim transformacijamamogu dovesti do poklapawa.

Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 22).

Sl. 22

q

α

pO

B

Sl. 18

q

α

pO

B

Sl. 20

α

q

pO

BSl. 21

Sl. 19

α

O

Bq



52

Uglovi sa normalnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 23).

9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla

Ako kraci ugla pOq ~ine ure|en par ( )OqOp, , onda se kaè

da je ugao pOq orijentisan i ozna~ava se sa ( )Op,Oq∠ . Ako se prvi

krak rotira oko temena O do poklapawa sa drugim krakom u smerusuprotnom od kretawa kazaqki na ~asovniku (pozitivni smer), ugao

je pozitivan ; ina~e je negativan .

Ako se posle rotacije od punog ugla nastavi rotacija u pozitivnomsmeru do poklapawa sa drugim krakom, dobija se ugao ve}i od punogugla.

Ako se prvo izvr{i ( )k k N ∈ rotacija za pun ugao i nastavi

rotacija do poklapawa sa drugim krakom, dobija se proizvoqnoveliki pozitivni ugao. Ako se rotacije vr{e u negativnom smeru,dobijaju se negativni uglovi.

Ugao koji je 90 -ti deo pravog ugla ima meru jedanstepen ( )

1 .

Mawe merne jedinice su jedan minut ( )1′

i jedan sekund ( )1′′

, pri ~emu je:

061 ′= i 061 ′′=′ , odakle sledi da je

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =′

60

11 i

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=

′

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =′′

60

1

60

1

60

11 .

Sl. 23



53

Prema tome, pun ugao ima 360 stepeni (

360 ), a opruèn ugao ima

180 stepeni (

180 ).

Neka je pOq∠ centralni ugao kruga ( )11 , r Ok i neka je ( )22 , r Ok

bilo koji, wemu koncentri~an krug (sl. 24). Odnos kru`nog luka uoblasti ugla i odgovaraju}eg polupre~nika kruga je stalan

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

2

2

1

1

r

l

r

l, pa se moè uzeti za meru ugla. Ova mera se naziva

radijanska mera ugla. Ako je 1=r

l, odgovaraju}i ugao ima meru jedan

radijan (1 rad ili samo 1). Za kru`ni luk koji odgovara punom ugluvaì π r l 2= , pa pun ugao ima π 2 radijana, a opruèn ugao ima π

radijana. Ako je polupre~nik kruga 1=r , onda se radijanska meraugla svodi na merni broj duìne odgovaraju}eg kru`nog luka uoblasti ugla. U narednoj tablici navedene su radijanske iodgovaraju}e stepene mere nekih uglova:

30 2

6 4 3 2 2

0 30 45 60 90 180 270 360

π π π π π π π

radijanska

mera ugla

stepena

mera ugla

.

Sl. 24

q

O

1r

2r 2l

1l



54

9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla

Neka je o{tar ugao pravouglog trougla ABC sa pravim

uglom kod temena C , katetom a naspram ugla , katetom b koja jekrak ugla i hipotenuzom c (sl. 25). Tada je:

c

a=α sin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

hipotenuza

katetanaspramna,

c

b=α cos ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

hipotenuza

katetanalegla,

b

atg =α ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

katetanalegla

katetanaspramna,

a

bctg =α ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

katetanaspramna

katetanalegla.

Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih o{trih uglova date suu narednoj tablici, a s tim u vezi treba obratiti pa`wu na slike 26i 27.

30 45 60

1 2 3sin

2 2 2

3 2 1cos

2 2 2

33 1

3

31 3

3

tg

ctg

α

α

α

α

•

a

b

c

C

B

Sl. 25

Sl. 26

2

1

1

2

3

30

60•

Sl. 27

1

2

1

45

45



55

9.4. Definicija trigonometrijskih funkcijaproizvoqnog ugla Neka je k jedini~ni krug sa centrom u koordinatnom po~etku

i ( )q p OO ,∠ orijentisani ugao, gde je prvi krak pO pozitivnideo x -ose, a drugi krak qO se dobija rotacijom kraka pO za ugao

oko temena O . Neka je { } M k Oq =∩ i neka su M M y x и koordinate

ta~ke M ( sl. 28). Ako je α radijanska mera ugla ( )q p OO , , tada je za

svako R∈α po definiciji:

sin M

yα = ; cos M

x α = ; , 0 M

M

M

ytg x

x α = ≠ ; , 0 M

M

M

x ctg y

yα = ≠ .

Poloàj drugog kraka qO ne}e se promeniti posle rotaci-

je od punog ugla , a odnos M

M

y

x , kao ni odnos M

M

y

x , kada su definisani,

ne}e se promeniti posle rotacije od polovine punog ugla, pa na os-novu prethodne definicije sledi da su trigonometrijske funkcije

proizvoqnog ugla periodi~ne. Za funkcije R x x y ∈= ,sin i

R x x y ∈= ,cos osnovni period je π 2 , a za funkcije

Z k k x tgx y∈+≠=

,2, π

π

i ctgx y=

, Z k k x ∈≠

,π osnovni period je π .

Sl. 28

1

1

1

0 1 x

t

M y

q

M x

M

y



56

Za funkcije ( )sin y x ω ϕ = + i ( ) R x x y ∈+= ,cos ϕ ω i 0ω ≠

osnovni period jeω

π 2=T , a za funkcije ( ) y tg x ω ϕ = + ,

2 x k

π ω ϕ π + ≠ + i ( )ϕ ω += x ctg y ,

2 x k

π ω ϕ π + ≠ + osnovni period

jeω

π =T .

Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova date su u nared-

noj tablici (oznaka − zna~i da funkcija nije definisana za odre-|eni ugao).

30 2

6 4 3 2 2

1 2 3sin 0 1 0 1 0

2 2 2

3 2 1cos 1 0 1 0 12 2 2

33 1 0 0 0

3

31 3 0 0

3

tg

ctg


α

α

α

α

−

−

− −

− − −



57

9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog uglana funkcije o{trog ugla

Kako su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vre-dnosti ovih funkcija za proizvoqan ugao mogu izraziti pomo}u vre-dnosti trigonometrijskih funkcija za o{tar ugao :

( )π β insk sinsin =+= 2 , k Z ∈ ; α α π

β cos2

sinsin =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ;

( )π β cos2 =+= k oscosc , k Z ∈ ; α α

π β ins

2oscosc =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ;

α α π

β cos2

sinsin =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += ; ( ) α α π β inssinsin =−= ;

α α π

β ins2

oscosc −=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += ; ( ) α π β coscoscos −=−= ;

α β

p

q

0

Sl. 29

β p

q

0

Sl. 31

α β p

q

0

Sl. 32

α

β p

q

0

Sl. 30



58

( )π β inssinsin−=+= ;

α α π

β cos

2

sinsin −=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=

3

( )π β coscoscos −=+= ; α α π

β sincoscos −=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

2

3;

α α π

β cos2

sinsin −=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

3; ( ) α α π β inssinsin −=−= 2 ;

α α π

β sincoscos =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

2

3; ( )π β cososcosc =−= 2 .

Za ugao α − vaì :

( ) β sinsinsin −=−= 0 ;

( ) α β coscoscos =−= 0 .

β

q

0α

p β

q

0

Sl. 34Sl. 33

p β

q

0

Sl. 35

β p

q

0

Sl. 36

β p

q

0

Sl. 37



59

Za ostale trigonometrijske funkcije svo|ewe se vr{i naosnovu prethodno navedenih formula i trigonometrijskihidentiteta.

9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti

1. 1cossin22

=+α

2. α

α cos

sin=tg , Z k k ∈+≠ ,

2π

π α

3. α α

sin

cos=ctg , Z k k ∈≠ ,π

4. 1=⋅ α ctgtg ,2

π α

k ≠

5. 1

1

cossin

cos

1

coscos

222

22

2

+=

+==

α α α

α α α

tg,

Z k k ∈+≠ ,2

π π

α

6. 1cossin

sin

1

sinsin

2

2

22

22

2

+=

+==

α

α

α α

α α α

tg

tg,

Z k k ∈+≠ ,2

π π α

9.7. Adicione formule

1. ( ) β α β β α sincoscossinsin +=+

1.а) α cossin22sin =

2. ( ) β α β α β α sincoscossinsin −=−

3. ( ) β α β α β sinsincoscoscos −=+

3.а) α 22sincos2cos −=

4. ( ) β α β α β α sinsincoscoscos +=−

5. ( ) β α

β β α

tgtg

tgtgtg

−

+=+

1, Z k k ∈+≠+ ,

2,, π

π β α β α

5.а) α

α 2

1

22

tg

tgtg

−=



60

6. ( ) β α

β β α

tgtg

tgtgtg

+

−=−

1, Z k k ∈+≠− ,

2,, π

π β α β α

7. ( ) β α

β β α ctgctg

ctgctgctg

+

−

=+

1, Z k k ∈≠+ ,,, π β α β α

7.а) α

α α

ctg

ctgctg

2

12

2−

=

8. ( )α β

β α β α

ctgctg

ctgctgctg

−

+=−

1, Z k k ∈≠− ,,, π β α β α

9. Из 1cos2sincos2cos222

−=−= α α следи да је

2

2cos1

cos

2

α

+=

.

Из α α α 222sin21sincos2cos −=−= следи да је

2

2cos1sin

2 α α

−= .

Из претходне две формуле следи да је

α

α 2cos1

2cos12

+

−=tg и α

2cos1

2cos12

−

+=ctg .

10.

12

22

2cos

2sin

2cos

2sin2

sin222

+

=

+

=α

α

α α

α α

α

tg

tg

,

21

21

2cos

2sin

2sin

2cos

cos2

2

22

22

α

α

α α

α α

α

tg

tg

+

−

=

+

−

= .

Из претходне две формуле следи да је

21

22

2 α

α

α

tg

tg

tg

−

= и

22

21

2

α

α

α

tg

tg

ctg

−

= .



61

9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija uproizvod

1.

2cos

2sin2sinsin

β α β β α

−+=+

2.2

sin2

cos2sinsinβ β α

β α −+

=−

3. 2

cos2

cos2coscosβ α β α

β α −+

=+

4. 2

sin2

sin2coscosβ β α

β α −+

−=−

5.( )

β α

β α

β α coscos

sin ±

=± tgtg , Z k k ∈+≠ ,2, π

π

β α

6. ( )

β α

α β β α

sinsin

sin ±=± ctgctg , Z k k ∈≠ ,, π β α

9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija uzbir

1. ( ) ( )[ ] β α β α β α −++= sinsin2

1cossin

2. ( ) ( )[ ] β α β α β α −++= coscos2

1coscos

3. ( ) ( )[ ] β α β α β α −−+−= coscos2

1sinsin

9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija

1. x sin y =

Основни период функције sin y = је π 2 .

0

y

1

-1

x π π 2

Sl. 38



62

2. x cos y =

Основни период функције osx c y = је π 2 .

x cos x sin =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −

2

π

3. y=tgx

Основни период функције y=tgx је π .

0

1

-1

y

π x π 2

Sl. 39

0 xπ 2−π 2−

2π 23π − 23π 2π − 25π

Sl. 41

0

1

-1

π

y

x π 2

Sl. 40



63

4. y=ctgx

Основни период функције y=ctgx је π .

π 2− 0 xπ π 2 π 3π −

2π 23π − 23π 2π − 25π

Sl.42



64

9.11. Inverzne trigonometrijske funkcije

1. arcsin y =

Функција

[ ] [ ]1,12,2: −→− π π f

( ) sinx x f =

је бијeкција (обострано-

једнозначно пресликавање).

Инверзна функција функције

f је функција

[ ] [ ]2,21,1:1

π π −→−−

f

( ) arcsinx x f =

−1

.

Графици функција f и 1− f су

симетрични у односу на

праву x y = .

0 2π

-1

2π −

1

Sl. 43

0 1-1

2π

2π −

Sl. 44

0 1

1

-1

-1

2π

2π

2π −

2π −

Sl. 45



65

2. x arccos y =

Функција

[ ] [ ]1,1,0: −→π f

( ) cosx x f =



Инверзна функција функције

f је функција

[ ] [ ]π ,01,1:1

→−−

f

( ) arccosx x f =−

1 .

Графици функција f и 1− f

су симетрични у односу на

праву x y = .

0 2π

1

1

π

Sl. 46

0

2π

1 1

π

Sl. 47

0

2π

1

1

11

2π

π

π

Sl. 48



66

3. arctgx y =

Функција

( ) ( )∞∞−→− ,2,2: π π f

( ) tgx x f =



Инверзна функција

функције f је функција

( ) ( )2,2,:1

π π −→∞∞−− f

( ) arctgx =− x f 1

.

Графици функција f и 1− f

су симетрични у односу на

праву x y = .

0 2π 2π −

Sl. 49

0

2π

2π −

Sl. 50

0

2π

2π −

2π −

2π

Sl. 51



67

4. arcctgx y =

Функција

( ) ( )∞∞−→− ,2,2: π π f

( ) ctgx x f =


једнозначно

пресликавање).

Инверзна функција

функције f је функција

( ) ( )

1: , 0, f π

−−∞ ∞ →

( ) arcctgx x f =−1

.

Графици функција f и1− f су симетрични у

односу на праву x y = .

π 2π 0

Sl. 52

0

π

2π

Sl. 53

π 0

π

2π

2π

Sl. 54



68

10. TRIGONOMETRIJSKE JEDNAÎNE INEJEDNAÎNE

10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine

1 1≤= a ,asinx 2 , x arcsina k π = + ili

2 , x arcsina k k Z π π = − + ∈

2 1≤= a ,acosx Z k k aarccos x ∈+±= ,2 π

3 Raatgx ∈= , Z k ,k arctga x ∈+= π

4 Raactgx ∈= , Z k k arcctga x ∈+= ,π

5 ( ) 0=t Pn

{ }ctgx tgx,cosx,sinx,t ∈

Одговарајућом сменом своде

се на алгебарске једначине.

6 0=± sinbx sinax

0=± cosbx cosax

0=± tgbx tgax

0=± ctgbx ctgax

Трансформацијом збира и

разлике тригонометријских

функција у производ своде се

на једначине типа 1,2,3,4.

7 000 ≠≠=+ b ,a ,bcosx asinx

За Z k k x ∈+≠ ,2

π π

дељењем

са cosx , једначина се сводина једначину типа 3.

8

,cbcosx asinx =+

0,0,0 ≠≠≠ cba

22 bac +<

Дељењем са 22 ba +

једначина се своди на

једначину типа 1.

90

=++x ccossinxcosx b x asin

22

За 0≠a deqewem sa

0

2

cos x ≠

своди се на једначину0=++ cbtgx x atg 2

(тип 5)

10 d x ccossinxcosx b x asin 22=++

Ако десну страну једначине

напишемо у облику

( ) x cos x sind 22+ , сређивањем

добијамо једначину типа 9.



69

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine

Nejedna~ine a x ≤sin i a x ≤cos za 1−<a nemaju re{ewa, dok su

za 1>a re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.Nejedna~ine a x ≥sin i a x ≥cos za 1>a nemaju re{ewa, dok su

za 1a < − re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.

Nejedna~ine a x ≤sin , a x ≤cos , a x ≥sin i a x ≥cos za 1≤a ,

zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcija, moèmo re{avatiprvo u bilo kom intervalu duìne π 2 , a zatim odrediti skup svihre{ewa. Osnovni interval treba pogodno izabrati, tako da skupre{ewa iz tog intervala opet bude jedan interval.

1.Nejedna~inu 1,sin ≤≤ aa x prvo re{avamo u intervalu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2,

2

3 π π , (sl. 55). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⊂

2,

2

3,

π π β α , pri ~emu je aarcsin= β i aarcsin−−= π , onda

je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .

Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skupre{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .

Pri re{avawu trigonometrijskih nejedna~ina, osim grafika trigo-nometrijskih funkcija pogodno je koristiti i trigonometrijskikrug.

-1

1

023π − 2π α β

a

x

Sl. 55



70

Na slici 56 oznake2

3,

2,,

π π β α − su radijanske mere uglova.

2. Nejedna~inu 1,sin ≤≥ aa x prvo re{avamo u intervalu

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− 2

3

,2

π π

,(sl. 57). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⊂

2

3,

2,

π π β α , pri ~emu je aarcsin= i aarcsin−= π β , onda je

skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .

Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,2,2 π β π .

1

α β a

2

π

2

3π −

Sl. 56

-1

0

x23π 2π − α β

1 a

Sl. 57



71

Na slici 58 oznake2

3,

2,,

π π β α − su radijanske mere uglova.

3. Nejedna~ina 1,cos ≤≥ aa x prvo se re{ava u intervalu

[ ]π π ,− ,(sl. 59). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ]π π β α ,, −⊂ , pri ~emu je aarccos−=α i aarccos= β , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .



1

α β

a

2π −

23π

0

Sl. 58

0

1

-1

x

a

π π − α β

Sl. 59



72

Na slici 60 oznake π π β α −,,, su radijanske mere uglova.

4. Nejedna~inu 1cos x a , a≤ ≤ prvo re{avamo u intervalu

[ ]π 2,0 ,(sl. 61). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ]π β α 2,0, ⊂ , gde je aarccos=α i aarccos−= π β 2 , onda je skup

svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Z k k k ∈++ ,2,2 π β π α .



0 1

α

β

aπ −

π

Sl. 60

0

1

-1

a

xα β π 2

Sl. 61



73

Na slici 62 oznake 0 и 2 , ,α β π su radijanske mere uglova.

Nejedna~ine atgx ≤ , actgx ≤ , atgx ≥ i actgx ≥ imaju

re{ewa za svako realno a . Ove nejedna~ine prvo se re{avaju u

nekom (pogodnom) intervalu duìne π , a zatim se nalaze i svaostala re{ewa.

5. Nejedna~ina Raatgx ∈≤ , prvo se re{ava u

intervalu ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

2,

2

π π , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine

interval ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⊂⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛ −

2,

2,

2

π π α

π , pri ~emu je arctga= , onda je skup

svih re{ewa date nejedna~ine unija

intervala Z k k k ∈⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛ ++− ,,

2π α π

π .


re{ewa unija otvorenih intervala Z k k k ∈⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++− ,,

2π α π

π .

1

α

β

π 20

a 0

Sl. 62



74

0 xπ 2−π 2−

2π 23π − 23π 2π − 25π

α

a a y =

Sl. 63

0

1

α

a

2

π

2

π −

Sl. 64



75

Na slici 64 oznake2

,2

,π π

α − su radijanske mere uglova.

6. Nejedna~ina Raatgx ∈≥ , prvo se re{ava u interva-

lu ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

2,

2

π π , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⊂⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡

2,

22,

π π π α , pri ~emu je arctga= ,onda je skup svih re{ewa

date nejedna~ine unija intervala2

k , k , k Z π

α π π ⎡ ⎞

+ + ∈⎟⎢⎣ ⎠.

Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala Z k k k ∈⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++ ,

2, π π π α .

7. Nejedna~ina Raactgx ∈≤ , prvo se re{ava u intervalu

( )π ,0 , (sl. 65). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval [ )π α , ,

pri ~emu je arcctga= , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine

unija intervala [ )π π π k k ++ , , Z k ∈ .


re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈++ ,, π π π .

π 2− 0

xπ 2 π 3π −

23π − 23π 2π − 25π 2π

π α

a y =

Sl. 65



76

.

Na slici 66 oznake 0 и ,α π su radijanske mere uglova.

8. Nejedna~ina Raactgx ∈≥ , prvo se re{ava u intervalu

( )π ,0 . Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval( ]α ,0 , pri ~emu

je arcctga=α , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija

intervala ( ]π α π k k +, , Z k ∈ .


re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Z k k k ∈+ ,, π α π .

0

1

α

a

π 0

1-1

Sl. 66



77

11. PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI ISTEREOMETRIJI

11.1. Povr{ina trougla

Kako je sinah

c β = , to je sinah c β = , pa je

sin

2 2 ABC

aah acP

β = =

(sl. 67). Sli~no se dobija da je

sin

2 2 ABC

cch cbP

α = = i

sin2 2

ABC bbh baP γ = = .

11.2. Sinusna i kosinusna teorema

Ako su ba, i c naspramne stranice uglova β α , i γ

proizvoqnog trougla ABC , a R polupre~nik opisanog kruga oko togtrougla (sl. 68) , onda vaì :

a) Rcba

2sinsinsin

===

γ β α

(sinusna teorema)

b) α cos2222 bccba −+=

β cos2222 accab −+=

γ cos2222 abbac −+=

(kosinusna teorema).

11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kompleksni broj bia z += , kao ta~ka u Gausovoj ravni (sl.69),

odre|en je realnim brojevima a i b , a za ( ) ( )0,0, ≠ba moèmo ga

odrediti i pomo}u rastojawa ρ ta~ke z od koordinatnog po~etka i

ugla ϕ koji radijus-vektor ta~ke z gradi sa pozitivnim delom

x -ose :

R

c

ba

C

B β α

γ

O

Sl. 68

β

cb

a

ah

C B

Sl. 67



78

2 2 z a b ρ = = + ( ρ − moduo kompleksnog broja),

0, ≠= a

a

btgϕ , [ )π ϕ 2,0∈ (ϕ − argument kompleksnog broja).

Kako iz sinb ϕ

ρ = sledi da je sinb ϕ = , a iz cos

a ϕ ρ

= sledi da je

cosa ϕ = , to je cos sin z i ρ ϕ ρ ϕ = + , tj. ( )cos sin z i ρ ϕ ϕ = + {to

predstavqa trigonometrijski oblik kompleksnog broja . z

Za 0 02

a bπ

ϕ = > =i je (sl. 70), a za3

0 02

a bπ

ϕ = < =i je (sl. 71).

Ako je ( )2111 sincos ϕ ϕ i z += i ( )2222 sincos ϕ ϕ += z , tada je:

1. =⋅ 21 z z ( ) ( )( )222121 sincos ϕ ϕ ϕ ϕ ρ +++ i ,

2. ( ) ( )( ) 0,sincos22121

2

1

2

1≠−+−= ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ z

z,

3. ( ) N nnin z nn∈+= ,sincos ϕ ϕ ρ ,

(Muavrova formula)

4. { }1,...,2,1,0,2

sin2

cos −∈⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

+= nk

n

k

n

k z nn π ϕ π ϕ

ρ .

bi z =

Sl. 71

bi z =

Sl. 70

a

ϕ

x 0

b bia z +=

ρ

Sl. 69



79

11.4. Primena trigonometrije u stereometriji

Ako je H visina, h apotema, r polupre~nik upisanog, a R

polupre~nik opisanog kruga osnove pravilne piramide, i ψ nagibniugao bo~ne strane piramide (sl. 72), onda vaì:

sin ; cos ; ;r r

r

H H tg ctg

h h H ψ ψ ψ ψ = = = = .

Ako je s bo~na ivica piramide (sl. 73), a ϕ nagibni ugao

bo~ne ivice prema ravni osnove, onda je :

sin ; cos ; ;

R R

R

H H

tg ctgs s H ϕ ϕ ϕ ϕ = = = =

.

Ako je r polupre~nik osnove kupe(sl.74), H visina kupe, s izvodnica,a ϕ nagibni ugao izvodnice prave

kupe prema ravni osnove, onda je:

sin ; cos ; ;r r

r

H H tg ctg

s s H

ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = .

2a ψ

O

H h

a

Sl. 72

r

a

2d

ϕ

O

H

s

Sl. 73

R

r

H s

ϕ O

Sl. 74



80

12. VEKTORI, PODUDARNOST, HOMOTETIJA ISLI^NOST

12.1. Vektori

Za du` AB kaèmo da je usmerena (orijentisana) ako je

precizirano {ta je wena po~etna, odnosno krajwa ta~ka. Ako je A

wena po~etna a B krajwa ta~ka, tada se ta usmerena du` ozna~ava sa

AB

i zove se vektor.Svaki vektor karakteri{u pravac, smer i intenzitet.Pravac vektora je odre|en pravom (nosa~em) kojoj vektor

pripada. Za vektore koji leè na istoj pravoj ili na paralelnim

pravima, kaè se da imaju isti pravac ili da su kolinearni.Smer vektora je odre|en izborom po~etne, odnosno krajwe

ta~ke vektora. Za dati pravac postoje dva me|usobno razli~ita(suprotna) smera.

Intenzitet (duìna) vektora je rastojawe izme|u wegovih

krajwih ta~aka. Intenzitet vektora a AB=

ozna~ava se sa .a AB=

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer iintenzitet. Jednakost vektora je relacija ekvivalencije u skupu svih

vektora u prostoru. Zbog toga, vektor AB

moèmo poistovetiti sawegovom klasom ekvivalencije, tj. sa skupom svih vektora koji su sawim jednaki. Iz definicije jednakosti proizlazi da se radi oslobodnim vektorima, odnosno o vektorima koji se ne mewaju ako separalelno pomeraju kroz prostor.

Suprotan vektor vektoru AB

, u oznaci AB BA− =

, je vektor

koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB

, ali suprotansmer.

Nula vektor, u oznaci 0

, je vektor ~ija se po~etna ta~ka po-klapa sa krajwom. Nula vektor nema odre|en ni pravac ni smer i we-gov intenzitet je nula.

Jedini~ni vektor (ort) je vektor intenziteta jedan.Tri ili vi{e vektora su komplanarni ako leè u istoj ravni.

Zbir vektora a

i b

, u oznaci a b+

, je vektor koji se od ve-

ktora a

i b

dobija po pravilu nadovezivawa ili po pravilu parale-lograma (sl. 75).



81

Po pravilu nadovezivawa na kraj vektora a

stavqa se po~e-

tak vektora b

, pa vektor a b+

ima po~etak u po~etku vektora a

a

kraj u kraju vektora b

. Po pravilu paralelograma vektor a b+

je

odre|en dijagonalom paralelograma koji obrazuju vektori a

i b

.

Proizvod skalara (broja) k R∈ i vektora a

je vektor, u ozna-

ci ka

, odre|en sa:

(1) ka

i a

su kolinearni,

(2) ka k a= ⋅

,

(3) za 0k > vektori a

i ka

su istosmerni, a za 0k <

suprotnih smerova,

(4) 0 0.a =

12.2. Podudarnost

Duì AB i CD su podudarne (jednake), u oznaci AB CD= ,ako su wihove duìne (rastojawa izme|u krajwih ta~aka) jednake.

Izometrijsko preslikavawe (izometrija) je svako bijektivno

preslikavawe figure F u figuru1

F koje duì preslikava u wima

podudarne duì. Ako postoji izometrija koja figuru F prevodi u

figuru1

F , kaè se da je figura F podudarna figuri1

F i pi{e se

1F F .≅

a

ba b+

a

b

a b+

Sl. 75



82

Dva ugla α i β su podudarna (jednaka), u oznaci ,α β = ako

su im jednake wihove mere (npr. u stepenima).Za podudarnost trouglova (sl. 76) vaè slede}a pravila:

(1) (Pravilo SSS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imajuodgovaraju}e stranice jednake, tj.

ABC A B C a a b b c c .′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =

(2) (Pravilo SUS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao zahva}en wima, tj.

ABC A B C b b c c .α α ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =

(3) (Pravilo USU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovaraju}a ugla nalegla na tustranicu, tj.

ABC A B C c c .α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ =(4) (Pravilo SSU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju

jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram jedne od wih, auglovi naspram druge stranice u oba trougla su ili oba o{tra ilioba prava ili oba tupa. Prema tome,

и су оба или

оштра или права или тупа.

ABC A B C a a b b α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ ≅ Δ ⇔ = ∧ = ∧ = ∧

Sl. 76

Dva mnogougla su podudarna ako su im sve odgovaraju}estranice jednake i svi odgovaraju}i uglovi jednaki.

Dva kruga su podudarna ako imaju jednake polupre~nike.

b

C

B

α

γ

β

a

c A′ c′

C ′

B′

′ β ′

γ ′

a′ b′



83

Osna simetrija (sl. 77a) u odnosu na pravu (osu) s je preslika-

vawe ravni koje svaku ta~ku A te ravni preslikava u ta~ku A′ koja je simetri~na sa A u odnosu na pravu s.

Centralna simetrija (sl. 77b) ravni π sa centrom S je pre-slikavawe koje svaku ta~ku A ravni π preslikava u ta~ku A′ koja je

simetri~na sa A u odnosu na ta~ku S .

Rotacija (sl. 77v) sa centrom u ta~ki S za orijentisani ugao

α je preslikavawe koje svaku ta~ku A ravni preslikava u ta~ku A′

iste ravni, tako da je SA SA′ = i ASA .α ′ =

Translacija (sl. 77g) ravni za vektor v

je preslikavawe te

ravni kojim se svaka ta~ka A te ravni preslikava u ta~ku A′ tako da

je AA v .′ =

(a) (b)

(v) (g)

Sl. 77

Osna simetrija, centralna simetrija, rotacija i translacijasu izometrije.

A′

s S

A′

S

A′

α

A′v

v



84

12.3. Homotetija i sli~nost

Homotetija sa centrom S i koeficijentom 0k ≠ je presli-

kavawe ravni koje svaku wenu ta~ku A prevodi u ta~ku A′

isteravni, tako da je SA k SA.′ =

Sli~nost (transformacija sli~nosti) sa koeficijentom0k > je preslikavawe ravni koje svake dve wene ta~ke A i B prevo-

di u ta~ke A′ i B′ iste ravni, tako da je A B kAB.′ ′ =

Figure F i1

F su sli~ne, u oznaci1

F F ,∼ ako postoji tran-

sformacija sli~nosti koja figuru F prevodi u figuru1

F .

Za sli~nost trouglova (sl. 78) vaè slede}a pravila:

(1) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}estranice proporcionalne, a uglovi zahva}eni tim stranicama jednaki, tj.

: : ABC A B C b c b c .α α ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ =∼

(2) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im odgovaraju}e straniceproporcionalne, tj.

: : : : ABC A B C a b c a b c .′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ =∼

(3) Dva trougla su sli~na ako i samo ako imaju jednaka po dvaodgovaraju}a ugla, tj.

ABC A B C .α α β β ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ =∼(4) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e

stranice proporcionalne, uglovi naspram dveju od tih odgovaraju}ihstranica jednaki, a uglovi naspram drugih dveju stranica u obatrougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,

: : и су оба или

оштра или права или тупа.

ABC A B C a b a b α α β β ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ ⇔ = ∧ = ∧∼

Sl. 78

b

C

B

α β

γ a

c c′

β ′

A′

α ′

B′

C ′

γ ′

b′ a′



85

13. GEOMETRIJA TROUGLA, ÊTVOROUGLA IMNOGOUGLA. KRUG

13.1. Trougao

Navodimo neke osnovne elemente trougla.Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta dveju

stranica trougla. Ona je paralelna tre}oj stranici i upola je kra}aod we.

Teì{na du` je du` koja spaja teme trougla sa sredi{tem na-spramne stranice. Sve teì{ne duì se seku u ta~ki koja se zove te-ì{te trougla. Teì{te deli svaku teì{nu du` u odnosu 2:1 (ra~u-

naju}i od temena).Visina trougla je du` koja spaja teme trougla sa podno`jemnormale iz tog temena na naspramnu stranicu. Sve visine se seku uta~ki koja se zove ortocentar trougla. êsto se termin visina kori-sti i za duìnu visine.

Presek simetrala stranica trougla je centar opisanog krugatrougla.

Centar upisanog kruga trougla nalazi se u preseku simetrala(bisektrisa, raspolovnica) unutra{wih uglova trougla.

Zbir unutr{wih uglova trougla je180

, a zbir spoqa{wih360 . Svaki spoqa{wi ugao trougla jednak je zbiru dva unutra{wawemu nesusedna ugla. Naspram ve}e stranice trougla leì ve}i ugaoi obrnuto, naspram ve}eg ugla leì ve}a stranica trougla.

Svaka stranica trougla mawa je od zbira a ve}a od razlikedruge dve stranice trougla.

Jednakokraki trougao je trougao koji ima dve stranice jedna-ke. Jednake stranice zovu se kraci, a tre}a stranica je osnovica tro-ugla.

Jednakostrani~ni trougaoima sve stranice i sve unutra{wei spoqa{we uglove jednake. Svaki unutra{wi ugao jednakostrani-

~nog trougla ima 60 . Kod jednakostrani~nog trougla se poklapajucentar opisanog kruga, centar upisanog kruga, teì{te i ortocen-tar.

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan unutra{wi ugaoprav. Najduà stranica pravouglog trougla, koja se nalazi nasprampravog ugla, zove se hipotenuza, dok su preostale dve katete.

Obim trougla je zbir duìna wegovih stranica.



86

Uobi~ajene su slede}e oznake za elemente trougla (sl. 79):

a,b,c − duìne stranica,

, ,α β γ − unutra{wi uglovi,

1 1 1 , ,α β γ − spoqa{wi uglovi,

a b ch ,h ,h − visine (duìne visina),

полуобим,

полупречник уписаног круга,

полупречник описаног круга.

s

r

R

−

−

−

Sl. 79

Za obim i povr{inu trougla vaè slede}e formule:

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

Херонов образац

4

1 1 1

2 2 2

a b c

О a b c s,

a h b h c hP ,

P s s a s b s c ,

a b cP r s, R

P a b sin a c sin b c sin .

= + + =

⋅ ⋅ ⋅= = =

= − − −

⋅ ⋅= = ⋅

= ⋅ γ = ⋅ β = ⋅ α

C B

a h c

b

a

β γ

1α

1 β

1γ



87

Za pravougli trougao (sl. 80) sa katetama а i b i hipotenu-zom c vaì da je:

2 2 2a b c ,+ =(Pitagorina teorema)

2 2

2

2

ca c p, h p q

cb c q, R

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

Sl. 80

U slu~aju jednakostrani~nog trougla stranice a imamo:

2

33

2

3 32

6 3

3

4

aO a, h ,

a ar , R r ,

aP .

= =

= = =

=

Za sli~ne trouglove vaì da se obimi odnose kao duìne wi-hovih odgovaraju}ih stranica, a povr{ine kao kvadrati tih duìna

(i kao kvadrati visina). Prema tome, ako su a,b,c i h , odnosno

1 1 1a ,b ,c i

1h odgovaraju}i elementi sli~nih trouglova, tada je:

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

и

O a b c

O a b cP a b c h

P a b c h

= = =

= = = = ⋅

c h

BC

c b

a

q



88

13.2. êtvorougao

Navodimo neke osnovne pojmove i ~iwenice u vezi ~etvorou-

glova.Zbir unutra{wih uglova svakog ~etvorougla je 360

.

Zbir spoqa{wih uglova konveksnog ~etvorougla je360 .

Paralelogram (sl. 81) je ~etvorougao ~ije su naspramne stra-nice paralelne. I svaki od slede}ih uslova moè se uzeti za defi-niciju paralelograma:

− naspramne stranice ~etvorougla su jednake,− naspramni uglovi ~etvorougla su jednaki,− dve naspramne stranice ~etvorougla su jednake i dva

naspramna ugla su jednaka,− dijagonale ~etvorougla se me|usobno polove.Romb je paralelogram ~ije su sve stranice jednake. Dijagonale

romba se me|usobno polove pod pravim uglom.Pravougaonik je paralelogram ~iji su svi unutra{wi uglovi

pravi.Kvadrat je pravougaonik sa jednakim stranicama.

Sl. 81

Trapez (sl. 82a) je ~etvorougao sa jednim parom paralelnihstranica. Paralelne stranice su osnovice, a ostale dve su kraci tra-peza. Trapez je jednakokrak ako ima jednake krake. Sredwa linija

a h

b h

a C B

b a h

a

a

B

C

1 d

2 d

a

a b

a



89

trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova. Ona je paralelnaosnovicama i jednaka wihovom poluzbiru.

Deltoid (sl. 82b) je ~etvorougao koji ima dva para jednakih

susednih stranica. Dijagonale deltoida su me|usobno normalne.

(b)(a)

Sl. 82

Tangentni ~etvorougao (sl. 83a) je ~etvorougao u koji se moèupisati krug. êtvorougao je tangentan ako i samo ako su mu zbirovinaspramnih stranica jednaki.

Tetivni ~etvorougao (sl. 83b) je ~etvorougao oko koga se mo-

è opisati krug. êtvorougao je tetivan ako i samo ako su mu zbiro-vi naspramnih uglova jednaki.

(a) (b)Sl. 83

Neka su a i b duìne stranica paralelograma,a

h ib

h odgo-

varaju}e visine i α jedan wegov unutra{wi ugao. Tada za obim ipovr{inu paralelograma vaè slede}e formule:

m

b

a B

d c

h

C

b

a

C

B

1 d

2 d

r

C

B

b

a

d

c

O

R

C

B

α

β

γ

δ O



90

2 2

a b

O a b,

P a h b h a b sin .

= +

= ⋅ = ⋅ = ⋅ α

U specijalnim slu~ajevima vaì:− za romb

( )1 2

1 2

4

дужине дијагонала ;2

a

O a,

d d P a h d ,d

=

⋅= ⋅ = −

− za pravougaonik

2 2

;

O a b,

P a b

= +

= ⋅

− za kvadrat

2

4O a,

P a .

=

=

Ako su a i b duìne osnovica trapeza, m duìna sredwe

linije i h visina (rastojawe izme|u osnovica), tada je

2 2

a b a bm , P m h h.

+ += = ⋅ = ⋅

Povr{ina deltoida, ~ije su duìne dijagonala1

d i2

d ,

ra~una se po formuli1 2

2

d d P

⋅= ⋅

13.3. Mnogougao

Zbir unutra{wih uglova n -tougla je ( )2 180n .− ⋅

Zbir spoqa{wih uglova konveksnog n -tougla je 360 .

Broj dijagonala konveksnog n -tougla je( )3

2

n n −

⋅

Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi unutra-{wi uglovi jednaki.

Tangentni mnogougao je mnogougao u koji se moè upisatikrug.

Tetivni mnogougao je mnogougao oko kojeg se moè opisatikrug.



91

Svaki pravilni mnogougao je i tangentan i tetivan. Kod wegase poklapaju centri upisanog i opisanog kruga.

Ako je a duìna stranice pravilnog n -tougla i r polupre-

~nik upisanog kruga, tada se wegov obim i povr{ina ra~unaju poformulama:

2

a r O na, P n

⋅= = ⋅

13.4. Krug

Krug (kru`nica, kru`na linija) (sl. 84) je skup svih ta~aka uravni koje se nalaze na podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta-~ke. Kru`na povr{ (ili jednostavno krug) je deo ravni ograni~en

kru`nom linijom. Fiksirana ta~ka je centar kruga, a du` koja spajacentar sa nekom ta~kom na krugu je polupre~nik kruga. Termin polu-pre~nik ~esto koristimo i za duìnu polupre~nika. Du` koja spajadve razli~ite ta~ke na krugu je tetiva. Simetrala svake tetive sadr-ì centar kruga. Najduà tetiva, tj. tetiva koja sadrì centar jepre~nik kruga .

Sl. 84

Kru`ni luk je deo kru`ne linije izme|u dve wene razli~iteta~ke. Deo kru`ne povr{i ograni~en tetivom i odgovaraju}im

Prava koja se~e krugu dvema razli~itim ta~ka-ma je se~ica kruga.

Tangenta kruga jeprava koja sa krugom ima sa-mo jednu zajedni~ku ta~ku.Polupre~nik koji odgovaradodirnoj ta~ki tangente jenormalan na tu tangentu.Kroz svaku ta~ku van krugamoèmo povu}i dve tan-gente. Tangentna du` je od-

se~ak tangente od ta~ke izkoje je ona konstruisana nadati krug do ta~ke dodira.Tangentne duì konstrui-sane iz iste ta~ke van datogkruga su jednake.

MA=MB

O

M

C

B

t

s

r

1C



92

kru`nim lukom je kru`ni odse~ak (sl. 85a). Dva razli~ita polupre-~nika i odgovaraju}i kru`ni luk odre|uju kru`ni ise~ak (sl. 85b).

(a) (b)

Sl. 85

Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi neki luk (tetiva) jecentralni ugao koji odgovara tom luku (tetivi). Ugao pod kojim se izneke ta~ke na krugu vidi luk, kojem ne pripada ta ta~ka, zove seperiferijski ugao nad tim lukom. Svi periferijski uglovi nadistim lukom su jednaki. Svakoj tetivi odgovaraju dva periferijska

ugla koji su suplementni (u zbiru daju opruèn ugao) (sl. 86a).Centralni ugao je dva puta ve}i od odgovaraju}eg (nad istim

lukom) periferijskog ugla. Periferijski ugao nad pre~nikom jeprav.

O{tar (tup) ugao koji je odre|en tetivom i tangentom ukrajwoj ta~ki tetive kruga jednak je o{trom (tupom) periferijskomuglu nad tom tetivom (sl. 86b).

(a) (b)Sl. 86

O

α

α 2

α −

180

O

O

r

O

r r



93

Sl. 87

Obim i povr{ina kruga polupre~nika r ra~unaju se poformulama

22O r , P r .= π = π

Neka kru`nom luku odgovara centralni ugao ~ija mera ustepenima iznosi α , a u radijanima ϕ . Tada je duìna luka data sa

180

r l , l r ,

πα= = ϕ

a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka je2

21

360 2

r P , P r .

πα= = ϕ

Povr{ina kru`nog prstena odre|enog krugovima

polupre~nika1

r i ( )2 1 2r r r > jednaka je

( )2 2

1 2P r r .= − π

Krugovi neke ravni su kon-

centri~ni ili ekscentri~ni u zavi-snosti od toga da li im se centripoklapaju ili ne. Deo ravni izme|udva nejednaka koncentri~na kruga(kru`ne linije) zove se kru`ni pr-

sten (sl. 87) .

O

1r

2r



94

14. POLIEDRI

14.1. Prizma

Svaka prizma (sl. 88) ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove~ine dva podudarna mnogougla koji se nalaze u paralelnim ravnima, aomota~ je skup bo~nih strana prizme, pri ~emu je svaka bo~na stranaparalelogram. Ako su osnove neke prizme n -touglovi, onda je re~ o n -tostranoj prizmi. Stranice osnova su osnovne ivice, dok suostale ivice bo~ne ivice prizme. Dijagonala prizme je du` kojaspaja teme jedne osnove prizme sa nesusednim temenom druge osnove.Prizma je prava ako su bo~ne ivice normalne na ravni osnova; u

protivnom je prizma kosa.

Sl. 88

Pravilna prizma je prava prizma ~ije su osnove pravilnimnogouglovi.

Ako su osnove prizme paralelogrami, onda se ta prizma zoveparalelepiped. Kvadar (sl. 89) je pravi paralelepiped ~ije su osnovepravougaonici. Kocka (pravilni heksaedar) (sl. 90) je kvadar ~ije susve ivice jednake.

Sl. 89 Sl. 90

a

b

c

a

a

a



95

Koristimo se standardnim oznakama: B − povr{ina baze prizme,

M − povr{ina omota~a prizme,

H − visina prizme (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina prizme ra~unaju se po formulama:

2P B M ,

V B H .

= +

= ⋅

Ako su a, b i c duìne ivica kvadra, onda su povr{ina i

zapremina kvadra date sa:

( )2P a b a c b c ,

V a b c.

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅

Za kocku, ~ija je duìna ivice a , vaì:

2

6P a= i3

V a .=

14.2. Piramida

Svaka piramida (sl. 91) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova piramide je mnogougao, a omota~ je skup bo~nih stranapiramide. Svaka bo~na strana je neki trougao. Ako je osnovapiramide n -tougao, onda je re~ o n -tostranoj piramidi. Straniceosnove su osnovne ivice, dok su ostale ivice bo~ne ivice piramide.Zajedni~ka ta~ka svih bo~nih strana je vrh piramide.

Sl. 91

H



96

Piramida je pravilna ako joj je osnova pravilan mnogougao iako se podno`je normale kroz wen vrh na ravan osnove poklapa sasredi{tem osnove. Sve bo~ne ivice pravilne piramide su jednake.

Visine bo~nih strana pravilne piramide zovu se apoteme. Trostrana piramida zove se i tetraedar. Pravilni tetraedar je tetraedar ograni~en sa ~etiri jednakostrani~na trougla.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama:

B − povr{ina baze piramide, M − povr{ina omota~a piramide,

H − visina piramide (odstojawe vrha piramide odravni osnove),

s − duìna bo~ne ivice pravilne piramide,

h −

apotema pravilne piramide.Povr{ina i zapremina piramide ra~unaju se po formulama:

3

P B M ,

B H V

= +

⋅= ⋅

Sl. 92 Sl. 93

Za pravilnu n -tostranu piramidu (sl. 92) vaì:

2 2 2

2 2

a r a h B n , M n , s H R ,

⋅ ⋅= = = +

pri ~emu su r i R polupre~nici upisane, odnosno opisane

kru`nice osnove piramide.Za pravilni tetraedar (sl. 93) ivice a imamo da je:

23P a= i

32

12

aV = ⋅

a

a

R

s

h

H

a

a



97

14.3. Zarubqena piramida (sl. 94)

Ako piramidu prese~emo nekom ravni paralelnom sa ravni

osnove i koja ne sadrì vrh piramide, onda se deo piramide sa onestrane ravni sa koje nije vrh zove zarubqena piramida. Svakazarubqena piramida ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove (dowa igorwa) su sli~ni mnogouglovi koji se nalaze u paralelnim ravnima.Omota~ je skup bo~nih strana, pri ~emu je svaka od wih neki trapez.Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale su bo~ne ivice zarub-qene piramide. Zarubqena piramida je n -tostrana ako su joj osnoven -touglovi.

Sl. 94

Zarubqena piramida je pravilna ako je takva piramida odkoje je ona nastala.

Za zarubqenu piramidu obi~no se koriste slede}e oznake:

1

B − povr{ina dowe baze,

2

B − povr{ina gorwe baze,

M − povr{ina omota~a,

H −

visina (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina zarubqene piramide ra~unaju se poslede}im formulama:

( )

1 2

1 1 2 23

P B B M ,

H V B B B B .

= + +

= + +



98

15. OBRTNA TELA

15.1. Vaqak

Svaki (kru`ni) vaqak (sl. 95) ima dve osnove (baze) i omota~.Osnove vaqka su podudarni krugovi koji leè u paralelnim ravni-ma, a izvodnice su mu ili normalne na ravan osnove (pravi vaqak)ili nisu (kosi vaqak). Omota~ pravog vaqka (u razvijenom obliku) jepravougaonik ~ije su dimenzije odre|ene obimom osnove i duìnomizvodnice (visine).

Uobi~ajene su slede}e oznake:

R – polupre~nik osnove (baze) vaqka,

H –

visina vaqka, B – povr{ina baze vaqka,

M – povr{ina omota~a vaqka.

Sl. 95

Za svaki vaqak je

2 B R= π ,

a za pravi vaqak 2 M R H = π ⋅ .

Povr{ina i zapremina vaqka ra~unaju se po formulama:

2

2P B M ,

V B H R H .

= +

= ⋅ = π ⋅

Ako je vaqak prav, onda je

( )22 2 2P R R H R R H = π + π ⋅ = π + .

R

H

H

R



99

Sl. 96

15.2. Kupa

Svaka (kru`na) kupa (sl. 97) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova kupe je krug, a wene izvodnice zaklapaju sa ravni osnove ilikonstantan ugao (prava kupa) ili ne (kosa kupa). Omota~ prave kupe(u razvijenom obliku) je kru`ni ise~ak ~iji je polupre~nikodgovaraju}eg kruga jednak duìni izvodnice, a duìna luka jednakaobimu osnove. Kod prave kupe se podno`je normale kroz vrh kupe naravan osnove poklapa sa centrom osnove.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama: R − polupre~nik osnove (baze) kupe,

H − visina kupe,s − duìna izvodnice prave kupe,

B − povr{ina baze kupe,

M − povr{ina omota~a kupe.

Pravi vaqak je pravilan (sl. 96) ako je 2 R H = , tj. ako je wegovosni presek kvadrat.

2R

H=2R



100

Sl. 97Za svaku kupu je

2 B R= π ,

a za pravu kupu M R s= π ⋅ .

Povr{ina i zapremina kupe ra~unaju se po formulama:

2

3 3

P B M ,

B H R H V

= +

⋅⋅ π ⋅= =

Ako je kupa prava, onda je

( )2P R R s R R s= π + π ⋅ = π + .

Sl. 98

Prava kupa je pravilna (sl. 98) ako je

2 R s= , tj. ako je wen osni presek je-dnakostrani~ni trougao.

H

R

sH

R

s H

2R

s=2R



101

15.3. Zarubqena kupa

Zarubqena (kru`na) kupa (sl. 99) nastaje presecawem (kru`-

ne) kupe nekom ravni koja je paralelna sa osnovom kupe. Ima dve os-nove (baze) i omota~. Osnove su krugovi koji se nalaze u paralelnimravnima. Zarubqena kupa moè biti prava ili kosa, u zavisnosti odtoga da li je nastala presecawem prave ili kose kupe.

Obi~no se koristimo slede}im oznakama za zarubqenu kupu:

1 B – povr{ina dowe baze,

2 B – povr{ina gorwe baze,

M – povr{ina omota~a,

R – polupre~nik dowe osnove,r – polupre~nik gorwe osnove,

H – visina zarubqene kupe (rastojawe izme|u osnova),s – duìna izvodnica prave zarubqene kupe.

Sl. 99

Za svaku zarubqenu kupu je

2 2

1 2 B R , B r = π = π ,

a za pravu zarubqenu kupu

( ) M s R r .= π +

Povr{ina i zapremina zarubqene kupe ra~unaju se po formu-lama:

r

H

R

s H

r

R



102

( ) ( )

1 2

2 2

1 1 2 2

1

3 3

P B B M ,

H V B B B B R Rr r

= + +

π= + + = + + ⋅

Ako je zarubqena kupa prava, onda je

( )2 2P R r s R r .= π + π + π +

5.4. Sfera i lopta

Sfera (sferna povr{) je skup svih ta~aka u prostoru koje suna podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Fiksiranata~ka je centar sfere, a pomenuto odstojawe je polupre~nik sfere.Deo prostora ograni~en sferom zove se lopta (kugla) (sl. 100).

Sl. 100Ako loptu preseca neka ravan, onda se deo lopte sa jedne

strane ravni zove loptin odse~ak, a odgovaraju}i deo sferne povr{i je kapica ili kalota (sl. 101).

Сл. 101

Neka je R polupre~nik lop-te. Tada su wena povr{ina i zapre-mina date formulama:

2

3

4

43

P R ,

V R .

= π

= π

Neka je h visina kalote.Tada je povr{ina kalote

2P R h,= ⋅π

a zapremina loptinog odse~ka

( ) ( )2

2 23 3

3 6

h hV R h r h ,= − = +

π π

pri ~emu je r polupre~nik osno-ve (prese~nog kruga) loptinogodse~ka.

R

h

R

r



103

Ako se lopta prese~e sa dve paralelne ravni, onda se deo lop-te izme|u tih ravni naziva loptin sloj, a odgovaraju}i deo sfernepovr{i je loptin (sferni) pojas (sl. 102).

Sl. 102

Neka je h visina sloja i

neka su1

r i2

r polupre~nici

prese~nih krugova. Tada je povr-{ina sfernog pojasa 2P R h,= ⋅π

a zapremina loptinog sloja

( )

2 2 2

1 23 3

6

hV r r h .

π = + +

2r

O R

1r h



104

16. ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI

16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela duì u datom odnosu.

Povr{ina trougla

Rastojawe izme|u ta~aka ( )1 1

A x , y i ( )2 2

B x , y dato je sa

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1d A,B AB x x y y .= = − + −

Ako ta~ka ( )C x , y deli du` AB u odnosu λ , tj. ako je AC

, BC

= λ tada

je1 2 1 2

1 1

x x y y x , y

+ λ + λ= = ⋅

+ λ + λU specijalnom slu~aju, za λ =1, tj. ako je C sredi{te duì AB, vaì

1 2 1 2

2 2

x x y y x , y

+ += = ⋅

Povr{ina trougla sa temenima ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 A x , y , B x , y , C x , y

ra~una se po formuli( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2

1

2P x y y x y y x y y .= − + − + −

16.2. Prava u ravni

Op{ti (implicitni) oblik jedna~ine prave je

( )2 20 0 Ax By C , A B .+ + = + >

Eksplicitni (glavni) oblik jedna~ine prave je y kx n,= +

pri ~emu je k koficijent pravca prave, a n odse~ak na y -osi.

Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ku ( )1 1 1

M x , y i ~iji je

koeficijent pravca k data je sa

( )1 1 y y k x x .− = −



105

Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ke ( )1 1 1

M x , y i

( )2 2 2

M x , y je

( ) ( )2 1

1 1 2 1

2 1

0 y y

y y x x , x x . x x

−− = − − ≠

−

Segmentni oblik jedna~ine prave je

( )1 0 x y

, m,n ,m n

+ = ≠

pri ~emu su m i n odse~ci koje prava ~ini na koordinatnim osama.

Odstojawe ta~ke ( )0 0 M x , y od prave 0 Ax By C + + =

ra~unamo po formuli

0 0

2 2

Ax By C d

A B

+ += ⋅

+

Neka su1 1 1

0 A x B y C + + = i2 2 2

0 A x B y C + + = jedna~ine dve

prave koje se seku u ta~ki S . Sve prave koje prolaze kroz S date su jedna~inom oblika

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2

0 0 0 A x B y C A x B y C , , , .α + + + β + + = α β ≠

To je jedna~ina pramena pravih sa centrom u ta~ki S . Jedna~inupramena moèmo zapisati i u obliku

( )1 1 2 2 2 2 2 2

0 0 A x B y C A x B y C A x B y C , R.+ + + λ + + = ∨ + + = λ ∈

Za prave 1 1 1:

l y k x n= + i 2 2 2:

l y k x n= + vaì:

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

11

2 услов паралелности

3 1 услов нормалности

k k tg l ,l tg ,

k k

l l k k ,

l l k k , .

−= ϕ =

+

⇔ =

⊥ ⇔ = −



106

16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug)

Jedna~ina kru`nice sa centrom u ta~ki ( )C a ,b i

polupre~nikom r data je sa

( ) ( )2 2 2 x a y b r .− + − =

Specijalno, kru`nica sa centrom u koordinatnom po~etku ipolupre~nikom r ima jedna~inu

2 2 2 x y r .+ =

Sve ta~ke unutar kru`nice 2 2 2 x y r + = zadovoqavaju relaciju

2 2 2 x y r ,+ < dok za ta~ke van te kru`nice vaì da je 2 2 2

x y r .+ >

Jedna~ina oblika

2 20 x y mx ny p+ + + + =

predstavqa jedna~inu kru`nice u ravni ako je 2 24 0m n p .+ − >

Uslov dodira prave y kx n= + i kru`nice

( ) ( )2 2 2 x a y b r − + − = je

( ) ( )22 2

1r k ka b n .+ = − +

Specijalno, ako je re~ o kru`nici 2 2 2 x y r + = , taj uslov glasi

( )2 2 21r k n .+ =

Ako je ( )0 0 M x , y ta~ka kru`nice ( ) ( )

2 2 2 x a y b r − + − = , tada je

jedna~ina tangente kru`nice u toj ta~ki

( )( ) ( )( ) 2

0 0 x a x a y b y b r ,− − + − − =

koja u slu~aju kru`nice 2 2 2 x y r + = postaje

2

0 0 xx yy r .+ =



107

16.4. Elipsa

Elipsa (sl. 103) je skup svih ta~aka u ravni ~iji je zbir

odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantan. Fiksirane ta~ke zovuse ìè ili fokusi elipse. Ako je taj zbir odstojawa 2a i ako su

ìè ( )1

0F c,− i ( )2

0F c, , ( )0 c a ,< < tada je jedna~ina elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = ili

2 2

2 21

x y

a b+ = ,

pri ~emu je 2 2 2b a c .= − To je tzv. kanonski oblik jedna~ine elips e.

Sve ta~ke unutar elipse

2 2

2 2 1 x ya b

+ = zadovoqavaju relaciju

2 2

2 21

x y ,

a b+ < dok za ta~ke van te elipse vaì da je

2 2

2 21

x y.

a b+ >

Sl. 103

r < d

d

r

0

M

b

a

1r 2r

2F 1F

ε

a x =

ε

a x −=



108

Parametri a i b su duìne velike, odnosno male poluoseelipse.

Duìne potega (fokalni radijusi) ta~ke ( ) M x, y na elipsi

su:

( )1 2 1 2

2c c

r a x, r a x, r r a .a a

= + = − + =

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra elip-

se) je parametar 2 2c a b= − .

Numeri~ki ekscentricitet je parametar2 2

1c a b

.a a

−ε = = <

Direktrise elipse su prave a x =ε

i a x = −ε

, tj.2

a x c

= i2

a x c

= − ⋅

Osnovno svojstvo direktrisa je da vaì 1r

,d

= ε < pri ~emu je r

fokalni radijus proizvoqne ta~ke elipse, a d odstojawe te ta~keod odgovaraju}e (istostrane) direktrise.

Uslov dodira prave y kx n= + i elipse2 2

2 21

x y

a b+ = je

2 2 2 2a k b n .+ =

Jedna~ina tangente elipse u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je

0 0

2 21

xx yy.

a b+ =

Povr{ina dela ravni ograni~enog elipsom2 2

2 21

x y

a b

+ = je

P ab .= π

Ako je centar elipse u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wene poluose

(duìna a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena jedna~ina

( ) ( )

2 2

0 0

2 21

x x y y.

a b

− −+ =



109

16.5. Hiperbola

Hiperbola (sl. 104) je skup svih ta~aka u ravni ~ija je apsolu-

tna vrednost razlike odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantna.Fiksirane ta~ke zovu se ìè ili fokusi hiperbole. Ako je apsolu-

tna vrednost razlike odstojawa 2a i ako su ìè ( )1

0F c,− i

( )2

0F c, , ( )0 a c ,< < tada je jedna~ina hiperbole

2 2 2 2 2 2b x a y a b− = ili2 2

2 21

x y

a b− = ,

pri ~emu je

2 2 2

b c a .= − To je tzv. kanonski oblik jedna~inehiperbole.

Sl. 104

Parametri a i b su duìne realne, odnosno imaginarnepoluose hiperbole.

Duìne potega (fokalni radijusi) ta~ke ( ) M x, y na hiperboli su:

d M

r

b

a1F

r > d

0

1r

2r

2F



110

( )1 2 1 22

c cr x a, r x a, r r a

a a= + = − − = (za desnu granu),

( )1 2 1 2 2

c c

r x a, r x a, r r aa a= − − = − + − = (za levu granu).

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra

hiperbole) je parametar 2 2c a b= + .

Numeri~ki ekscentricitet je parametar2 2

1c a b

.a a

+ε = = >

Direktrise hiperbole su pravea

x =ε

ia

x = −ε

, tj.2

a x

c= i

2a x

c= − ⋅ Osnovno svojstvo direktrisa je da vaì 1

r ,

d = ε > pri ~emu

je r fokalni radijus proizvoqne ta~ke hiperbole, a d odstojawete ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise.

Jedna~ine asimptota hiperbole su:b

y x a

= ib

y x.a

= −

Uslov dodira prave y kx n= + i hiperbole

2 2

2 2 1

x y

a b− = je

2 2 2 2a k b n .− =

Jedna~ina tangente hiperbole u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je

0 0

2 21

xx yy.

a b− =

Ako je centar hiperbole u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wenepoluose (duìna a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena

jedna~ina

( ) ( )

2 2

0 0

2 21

x x y y.

a b

− −− =



111

16.6. Parabola

Parabola (sl. 105) je skup svih ta~aka u ravni koje su

podjednako udaqene od jedne fiksirane ta~ke i fiksirane prave kojane sadrì tu ta~ku. Fiksirana ta~ka je ìà (fokus), a fiksiranaprava direktrisa parabole.

Ako je ìà parabole u ta~ki 02

pF ,

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, a direktrisa prava

2

p x = − , tada je jedna~ina parabole

22 y px.=

To je tzv. kanonski oblik jedna~ine parabole sa parametrom{ }0 p R\ .∈

Ekscentricitet parabole je 1r .d

ε = =

Sl. 105

M

F

0

d r =

2

p

d

r

0> p

2

p x −=

2

p x −=

F

0

0< p



112

Uslov dodira prave y kx n= + i parabole 22 y px = je

2 p kn .=

Jedna~ina tangente parabole2

2 y px = u wenoj ta~ki ( )0 0 M x , y je

( )0 0

yy p x x .= −

Parabola, ~ija je ìà u ta~ki 02

pF ,

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i direktrisa prava

2

p y = − , ima jedna~inu 2

2 x py= (sl. 106).

Sl. 106

0

>0

0

<0

0



113

17. BINOMNI OBRAZAC. ELEMENTI KOMBINATORIKE

17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac

Faktorijel prirodnog broja n , u oznaci !n , je proizvod svihuzastopnih prirodnih brojeva od 1 do n . Dakle,

! 1 2 3n n .= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Po definiciji je 0!=1.

Binomni koeficijenti se defini{u sa:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

01 1!

! ! !

1 11

0 !

n n n n k n n,k N , n k ,k k n k k

k , R, k N .

k k

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − +

⎛ ⎞ = = ∈ ≥⎜ ⎟−⎝ ⎠

α α α ⋅ α − ⋅⋅ ⋅ α − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = α ∈ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠Za binomne koeficijente vaè slede}e osobine:

10 1 1

1

1 1

n n n n , n,

n nn n

,k n k

n n n.

k k k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Za stepenovawe izraza ( )a b a,b C + ∈ prirodnim brojem n

vaì tzv. binomni obrazac (Wutnova binomna formula):

( ) 0 1 1 1 1 0

0

0 1 1

n n n n n

n

n k k

k

n n n na b a b a b ... a b a b

n n

na b .

k

− −

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

.



114

U specijalnim slu~ajevima dobijamo:

( )

( )( )

( )

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

2

3 3

4 6 4

a b a b,

a b a ab b ,

a b a a b ab b ,

a b a a b a b ab b .

+ = +

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

17.2. Elementi kombinatorike

Neprazan skup A je kona~an ako za neko n N ∈ postoji bije-

ktivno preslikavawe { }: 1,2,..., f n A.→ U tom slu~aju skup A ima nelemenata, tj. wegov kardinalni broj je n . Kaèmo i da je A jedan

n -skup. Kardinalni broj skupa A ozna~ava se sa A . Prazan skup je

kona~an i vaì 0.∅ =

(Formula ukqu~ivawa-iskqu~ivawa) Za kona~ne skupove

1 2 n A ,A ,...,A vaì da je

( )

1 2

1

1

1 21

n

n i i j i j k

i i j i j k

n

n

A A ... A A A A A A A ...

... A A ... A .

= < < <

−

∪ ∪ ∪ = − ∩ + ∩ ∩ −

+ − ∩ ∩ ∩

∑ ∑ ∑

U specijalnim slu~ajevima (za 2n = i 3n = ) imamo:

A B A B A B

A B C A B C A B A C B C A B C .

∪ = + − ∩

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

(Pravilo zbira) Ako su1 2 n

A ,A ,...,A me|usobno disjunktni

skupovi , tj. ako je ( )i j A A i j ,∩ ≠ tada je

1 2 1 2n n

A A ... A A A ... A .∪ ∪ ∪ = + + +



115

(Pravilo proizvoda) Za kona~ne skupove1 2 n

A ,A ,...,A vaì da

je

1 2 1 2.n n A A A A A A× × ⋅ ⋅ ⋅× = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Partitivni skup skupa A je skup svih wegovih podskupova i

ozna~avamo ga sa ( ) A .P Vaì

( ) 2n

A n A .= ⇒ =P

Multiskup veli~ine m ( m -multiskup ), ~iji je nosa~ u

skupu { }1 2 n A a , a ,...,a= , je kolekcija

1 1 2 2

; ;...;n n

a ,...,a а ,...,а а ,...,a ,

pri ~emu se ia javqa ik puta, ( 0 11 ; ;i ni ,...,n k N k k m= ∈ + + =

).

Za multiskup kaèmo da ima specifikaciju 1 2

1 2n

k k k

na a ...a .⎡ ⎤

⎣ ⎦Dva multiskupa su jednaka ako imaju istu specifikaciju.

Kombinacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je

svaki wegov podskup od k elemenata. Wihov ukupan broj je

k n nC

k

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Kombinacija sa ponavqawem k -te klase nekog n -skupa je sva-

ki k -multiskup ~iji je nosa~ u tom n -skupu. Ukupan broj kombinaci-

ja bez ponavqawa k -te klase n -skupa je

1k

n

n k C

k

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Varijacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je svaka

ure|ena k -torka (ure|eni niz duìne k ) razli~itih elemenata iztog skupa. Wihov ukupan broj je

( )( ) ( )!

1 1!

k

n

nV n n n k n k

= = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − +−

.



116

Varijacija sa ponavqawem k -te klase nekog n - skupa je svaka

ure|ena k -torka (ne obavezno razli~itih) elemenata iz tog skupa.Wihov ukupan broj je

k k n

V n= .

Permutacija n -skupa je svaka wegova varijacija bez ponavqa-wa n -te klase. Zato je wihov ukupan broj

( )1 2 1 !n

n nP V n n n= = ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ = .

Permutacija sa ponavqawem je permutacija m -multiskupa sa

specifikacijom 1 21 2

n

k k k

na a ...a⎡ ⎤⎣ ⎦ . Wihov ukupan broj je

( ) ( )1 2 1 21 2

!

! ! !m n nn

mP k ,k ,...,k k k ... k m .k k ...k

= + + + =

Isak Wutn1643–1727



117

18. REALNI NIZOVI. ARITMETI^KA I

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA

18.1. Realni nizovi

Realni (beskona~ni) niz je svako preslikavawe :a N R.→

Slika broja n N ∈ ozna~ava se san

a i zove se op{ti ili n -ti ~lan

niza. Prirodan broj n je indeks ~lanan

a . Niz se ozna~ava sa

( )n n N a

∈ili ( )n

a , smatraju}i da su wegovi ~lanovi1 2 n

a ,a ,...,a ,... .

Niz ( )na je:

rastu}i ako ( )1n n

n N a a ,+

∀ ∈ ≥

strogo rastu}i ako ( )1n n

n N a a ,+

∀ ∈ >

opadaju}i ako ( )1n n

n N a a ,+

∀ ∈ ≤

strogo opadaju}i ako ( )1n n

n N a a .+

∀ ∈ <

Niz je monoton ako je rastu}i ili opadaju}i, a strogo monoton ako

je strogo rastu}i ili strogo opadaju}i.

Niz ( )na je konstantan ako postoji takav realan broj c R∈

da je

( ) nn N a c.∀ ∈ =

Niz ( )na je ograni~en ako postoje takvi realni brojevi

m,M R∈ da je

( ) nn N m a M .∀ ∈ ≤ ≤

Realan broj a je grani~na vrednost niza ( )na , u oznaci

nnlim a a

→∞

= ili ( )na a n ,→ → ∞ ako se skoro svi ~lanovi niza ( )n

a

nalaze u proizvoqno zadatoj okolini broja a . Preciznije:

( )( )( )( )0 00

n nnlim a a n N n n n a a .

→∞

= ⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ − < ε



118

Ako jen

nlim a a

→∞

= , tada se kaè da je niz ( )na konvergentan i da

konvergira ka broju a.

Ako niz ne konvergira nijednom realnom broju, onda se kaèda je divergentan.

Pojam beskona~ne grani~ne vrednosti niza ( )na defini{e se

na slede}i na~in:

( )( )( )( )0 00

n nnlim a K n N n n n a K ,

→∞

= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≥

( )( )( )( )0 00

n nnlim a K n N n n n a K .

→∞

= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤ −

U slu~aju da jen

n

lim a→∞

= +∞ ilin

n

lim a ,→∞

= −∞ za niz ( )na kaè se i

da odre|eno divergira.

Neka su ( )na i ( )n

b konvergentni nizovi. Tada vaì:

( )

( )

( )( )0

n n n nn n n

n nn n

n n n nn n n

nn n

nn

n nn

lim a b lim a lim b ,

lim ca c lim a c R ,

lim a b lim a lim b ,

lim aalim b , b .

b lim b

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→∞

→∞

→∞

± = ±

= ∈

⋅ = ⋅

= ≠

18.2. Aritmeti~ka progresija

Kona~an ili beskona~an niz ( )na je aritmeti~ka progresija

(ili aritmeti~ki niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobija tako {to se prethodnom ~lanu doda uvek isti broj. Taj broj se zoverazlika aritmeti~ke progresije. Razlika aritmeti~ke progresijeobi~no se ozna~ava sa d .

Aritmeti~ka progresija je jednozna~no odre|ena svojim pr-

vim ~lanom1

a i razlikom d .



119

Za aritmeti~ki niz ( )na vaì:

( )( )

( )

( )

1

1

1 1

1

општи члан низа

2

22

n

n

n n

n nn

a a n d ,

a

a a d n ,

a aa n .

−

− +

= + −

−

− = ≥

+= ≥

(Svaki ~lan aritmeti~kog niza (osim prvog) je aritmeti~ka sredinasvojih susednih ~lanova).

Zbir prvih n ~lanova aritmeti~kog niza ( )na , u oznaci nS ,

ra~una se po formuli

( ) ( )( )1 12 1

2 2n n

n nS a a a n d = + = + − .

Aritmeti~ki niz je rastu}i za 0d ,> opadaju}i za 0d < i

konstantan za 0d .=

18.3. Geometrijska progresija

Kona~an ili beskona~an niz ( )na je geometrijska progresija

(ili geometrijski niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobija tako {to se prethodni ~lan pomnoì uvek istim brojem. Taj brojse zove koli~nik geometrijske progresije. Koli~nik geometrijskeprogresije obi~no ozna~avamo sa q .

Dakle, geometrijska progresija je jednozna~no odre|ena

svojim prvim ~lanom 1a i koli~nikom q.Za geometrijski niz ( )n

a vaì:

( )

( )

1

1

1

општи члан низа

2

n

n

n

n n

a a q ,

a

a q a n ,

−

−

= ⋅

−

= ⋅ ≥



120

( )

( )

2

1 1

1 1

2

0

n n n

n n n n

a a a n ,

a a a a .

− +

− +

= ⋅ ≥

= ⋅ ≥

(Svaki ~lan geometrijskog niza (osim prvog) je geometrijska sredi-na svojih susednih ~lanova).

Zbir prvih n ~lanova geometrijskog niza ( )na , u ozna-

cin

S , ra~una se po formuli

( )

( )

1

1

11

1

1

n

n

n

qS a q ,

q

S n a q .

−= ⋅ ≠

−

= ⋅ =

Ako je 1 1q ,− < < onda postojin

nlim S

→∞

, tj. zbir svih ~lanova

geometrijskog niza je (kona~an) realan broj. Ozna~avaju}i ga saS ∞

,

imamo da je

( )2 1 1

1 1 1 1 за 1 11

n

nn

a

S lim S a a q a q a q q .q

−

∞→∞= = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = − < <−



121

19. GRANI^NA VREDNOST I NEPREKIDNOST

FUNKCIJE

Pod ε -okolinom ( )0ε > ta~ke a R∈ podrazumeva se svaki in-

terval oblika ( )a , a .− ε + ε Ta~ka a R∈ je ta~ka nagomilavawa sku-

pa D R⊂ ako postoji ε -okolina te ta~ke za koju je

( ) { }a , a a D .− ε + ε ∩ ≠ ∅

Neka : f D R→ i neka je a ta~ka nagomilavawa skupa D.

Broj A R∈ je grani~na vrednost (limes) funkcije f kad x teì a

ako vaì ( )( )( ) ( )0 0 0 x D x a f x A∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ⇒ − < ε

i pi{emo

( ) x alim f x A

→

= ili ( ) f x A→ (kad a→ ).

Neka je ( ) x alim f x A

→

= i ( ) x alim g x B.

→

= Tada vaì:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )( )0 0

x a

x a

x a

x a

lim c f x c A, c R

lim f x g x A B,

lim f x g x A B,

f x Alim g x ,B .

g x B

→

→

→

→

⋅ = ⋅ ∈

± = ±

⋅ = ⋅

= ≠ ≠

Funkcija : f D R→ je neprekidna u ta~ki a D∈ ako je

( ) ( ) x alim f x f a .

→

=

Funkcija : f D R→ je neprekidna na D ako je neprekidna u svim

ta~kama iz D.Sve elementarne funkcije su neprekidne u svim ta~kama

svojih domena.



122

Navodimo osnovne (tabli~ne) grani~ne vrednosti:

( ) ( )

( )

20 0 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1 1 1 10 1

2

0

0

11

x x x x

n n n

n n n n x x

n n n

n n nn mm m m x x

m m m

x

x

sin x cos x lim , lim , lim , lim ,

x x x x

lim a x a x ... a x a lim a x , a

a x a x ... a x a a x lim lim , a ,b

b x b x ... b x b b x

lim li x

→∞ →± → →

−

−→∞ →∞

−

−

−→∞ →∞

−

→±∞

−= = ±∞ = =

+ + + + = ≠

+ + + += ≠

+ + + +

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

( ) ( )

1

0

0 0

0 0

1

1 11

1 11

x

x

aa

x x

x x

x x

m x e,

log x ln x lim log e, lim ,

x x

a elim ln a , lim .

x x

→

→ →

→ →

+ =

+ += =

− −= =



123

20. IZVOD FUNKCIJE I WEGOVA PRIMENA

20.1. Izvod i pravila diferencirawa

Neka je data funkcija ( ): f a,b R→ i neka ( )0 x a,b .∈ Grani-

~na vrednost (ako postoji)

( ) ( )0 0

0 0 x x

f x x f x ylim lim

x x Δ → Δ →

+ Δ − Δ=

Δ Δ

je prvi izvod ili izvod funkcije f u ta~ki0

x i ozna~ava se sa

( )0 f x .′ Za funkciju f kaèmo da je diferencijabilna u ta~ki0

x .

Funkcija f je diferencijabilna u intervalu ( )a,b ako je diferen-

cijabilna u svakoj ta~ki tog intervala.

Izvod funkcije f u ta~ki0 x geometrijski predstavqa

koeficijent pravca tangente grafika funkcije f u ta~ki za0

x x =

(sl. 107).

Sl. 107

Postupak nalaèwa izvoda naziva se diferencirawe.

M

0

0 M

0 x

( )0 f x

( )0 f x +Δ x

Δ x

Δ y

0 x + Δ x

t



124

Ako su funkcije f i g diferencijabilne u ta~ki x , tada

vaè slede}a pravila diferencirawa:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )2

0

f x g x f x g x ,

c f x c f x c const. ,

f x g x f x g x f x g x ,

f x f x g x f x g x g x .

g x g x

′ ′ ′± = ±

′ ′⋅ = ⋅ =

′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′⎛ ⎞ ′ ′⋅ − ⋅= ≠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Izvod sloène funkcije) Neka je funkcija ( ) ( ):u a,b c,d →

diferencijabilna u ta~ki ( ) x a,b ,∈ a funkcija ( ): f c,d R→ u ta-

~ki ( ) y u x = . Tada je sloèna funkcija ( ): f u a,b R→ diferenci-

jabilna u ta~ki x i vaì

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) f u x f u x f u x u x .′′ ′ ′= = ⋅

(Izvod inverzne funkcije) Neka je funkcija f neprekidna i

strogo monotona u nekoj okolini ta~ke0

x . Ako f ima izvod

( )00 f x ,′ ≠ tada wena inverzna funkcija 1 f − ima izvod u ta~ki

( )0 0 y f x = i vaì

( )( ) ( )1

0

0

1 f y f x

− ′ = ⋅′

Izvodi proizvoqnog reda defini{u se sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 1n n f x f x , f x f x ,..., f x f x .

− ′′′′ ′= = =



125

20.2. Tabli~ni izvodi

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

1 1

2 2

изводи основних ф ункција изводи сложених функција

0

1 1 1 11;

1 1

2 2

0 1 x x u u

x x

d y d u y f x , y f x u u x , u u x

dx dx

c c con st

x x R u u u R

x u x x u u

x u u x u

a a ln a a a a u ln

e e

α α α α

α α α α − −

′ ′ ′ ′= = = = = =

′ = =

′ ′′= ∈ = ⋅ ∈

′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= = − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′ ′′

= = ⋅

′ ′′= < ≠ = ⋅

′=

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

0 1

1 10 1 0 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

u u

a a

a a

e e u

lo g x a log u u a x ln a u ln a

ln x ln u u x u

sin x cos x sin u u cos u

co s x sin x co s u u sin u

tg x tg u ucos x co s u

ctgx ctg u usin x sin u

a rcsin x arcsin u

x u

< ≠

′′= ⋅

′ ′ ′= < ≠ = ⋅ < ≠

′ ′ ′= = ⋅

′ ′ ′= = ⋅

′ ′ ′= − = − ⋅

′ ′ ′= = ⋅

′ ′ ′= − = − ⋅

′ ′= = ⋅

− −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

u

a rccos x a rccos u u x u

a rctg x a rctg u u x u

a rcctg x a rcctgu u x u

′

′ ′ ′= − = − ⋅

− −

′ ′ ′= = ⋅+ +

′ ′ ′= − = − ⋅+ +



126

20.3. Primena izvoda

Ako funkcija f ima pozitivan (negativan) izvod u intervalu

( )a,b , onda je f strogo rastu}a (strogo opadaju}a) u ( )a,b .

Funkcija ( ): f a,b R→ u ta~ki ( )0 x a,b∈ postiè lokalni

maksimum (lokalni minimum) ako postoji okolina oko0

x u kojoj je

( )0 f x najve}a (najmawa) vrednost funkcije f . Lokalni maksimum i

lokalni minimum zovu se lokalni ekstremumi funkcije (sl. 108).

.

Sl. 108

(Fermaova teorema) Ako ( ): f a,b R→ u ta~ki ( )0 x a,b∈ ima

lokalni ekstremum i ako je diferencijabilna u toj ta~ki, tada je

( )00 f x .′ =

Ta~ke u kojima je izvod funkcije jednak nuli nazivaju se sta-

cionarne ta~ke te funkcije. Neka je0

x stacionarna ta~ka funkcije

f . Ako je ( )0 0 f x ,′′ > tada funkcija f u 0 x postiè lokalni mini-

mum; ako je ( )00 f x ,′′ < tada f u

0 x ima lokalni maksimum. U slu-

~aju da je ( )00 f x ′′ = , ispitivawe prirode ta~ke

0 x vr{i se pomo}u

izvoda vi{eg reda ili ispitivawem monotonosti funkcije f .

max

0 x0 ε

0 x +ε

0 x -

( )0 f x

0 x0

( )0 f x

ε 0

x - ε 0

x +

min



127

Za odre|ivawe grani~nih vrednosti funkcija ~esto sekoristi slede}a teorema.

(Lopitalova teorema) Neka su funkcije ( ): f , g a,b R→

diferencijabilne i neka je ( ) 0g x ′ ≠ za sve ( ) x a,b∈ . Ako je

( ) ( ) 0 x a x alim f x lim g x

→ →

= = (ili ( ) ( ) x a x alim f x lim g x

→ →

= = ∞ ) i ako postoji

( )

( ) x a

f x lim

g x →

′

′, tada je

( )

( )

( )

( )

0

0 x a x a

f x f x lim , lim

g x g x → →

′∞⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

′∞

⎝ ⎠

(Lopitalova pravila)





Drugi deo

RE[ENI ZADACI SA PRIJEMNIHISPITA IZ MATEMATIKE





131

1. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati

2

2

1 3 9 7

: :1 0 06255 4 5 30 log , .

−

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

b) Uprostiti( )

.44

2

22 y x

y x y

y x

x

−

−−

+

2. Re{iti jedna~ine:

a) ,23

25

4

2

5

12 x

x x x −

+=

+−

+

b) ( )( ) ( ) ,02 =+ x f x f ako je ( )1 2

1 2

x , x f x

x , x .

+ <⎧= ⎨ − ≥⎩

3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu 23 1cos x sin xcos x − = − .

4. Re{iti nejedna~inu22 23 1

8log x log x

x − +

< .

5. Na}i jedna~ine zajedni~kih tangenti parabole x y 82

= i kru`nice

222 =+ y x .

6. Izra~unati obim i povr{inu jednakokrakog trapeza opisanog okokruga ako je duìna ve}e osnovice 3cm, a jedan wegov unutra{iugao je °60 .

7. Povr{ina prave kupe je 296 cmπ , a duìna izvodnice je 10cm.

Izra~unati zapreminu kupe.

8. Zbir svih ~lanove beskona~ne geometrijske progresije je 16, azbir kvadrata ~lanova te iste progresije je 153,6. Na}i peti ~lani koli~nik te progresije.

9. Izra~unati 20 40 60 80cos cos cos cos° ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° .

10. Od 5 oficira, 4 podoficira i 10 vojnika treba formirati grupuod 4 osobe u kojoj }e biti bar po jedan oficir i podoficir. Nakoliko na~ina je to mogu}e u~initi?



132

1. grupa 2000. god. (re{ewa)

1.a)

2

2

1 3 9 7

1 0 06255 4 5 30: : log ,

−

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2

2

2

1 3 5 300 25

5 4 9 37log ,

−

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2

22

12 25 302 0 5

60 37log ,

−+⎛ ⎞

⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

12

37 302 2 2

60 37log

−

−⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

21

4 1 4 4 02

−

⎛ ⎞+ − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

b) ( ) ( )( )( )2222

2

2244

2

22 y x y x y x y

y x x

y x y x y

y x x

+−

−−

+=

−

−−

+=

( )

( )( )2 2 2 2

y x y x

x y x y x y

−= − =

+ + +

( ) ( )( )( ) ( )( ) y x y x y x

y xy xy x

y x y x

y x y y x x

+=

++

+−+=

++

−−+=

122

22

22,

uz uslov y y x ≠∧−≠ .

2.a) Ako se data jedna~ina pomnoì sa ( )3,4,5 NZS , tj. sa 60 , dobija

se:

( ) ( ) ( )2 1 2 5 2

2 12 2 1 15 2 20 5 2 1205 4 3

x x x x x x x x

+ + +− = − ⇔ + − + = + −

9 18 20 40 x x ⇔ − = − +

2. x ⇔ =

b) Ako je 2< x , jedna~ina glasi ( ) ( ) 0112

=+++ x x . Tada je

( ) ( ) 2011

2<∧=+++

x x x 2013

2<∧=++⇔

x x x ( ) 221 <∧−=∨−=⇔ x x x

21 −=∨−=⇔ x x .

Ako je 2≥ x , jedna~ina glasi ( ) 0112

=−+− x x . Tada je

( ) ( ) 20112

≥∧=−+− x x x 202

≥∧=−⇔ x x x

( ) 210 ≥∧=∨=⇔ x x x

x ⇔ ∈ ∅ .(jedna~ina nema re{ewa)



133

Re{ewa jedna~ine su 1−= x ili 2−= x .

3. Za 0cos x = ili 0sin x = , tj. za Z k k x ∈⋅= ,2

π jedna~ina je

nemogu}a. Daqe, data jedna~ina je ekvivalentna sa:

( )

( )

2

2

2 2 2

2 2

2

2

2

3 1

1 3 0

3 0

2 3 0

дељењем са 0

2 3 0

3 2 0

2 1

2 1

24

cos x sin xcos x

cos x sin x cos x

cos x sin x cos x sin xcos x

cos x sin x sin xcos x

cos x

tg x tgx

tgx t t t

tgx t t t

tgx tgx

x arctg k , k Z x l , l Z .π

π π

− = −

⇔ + − =

⇔ + + − =

⇔ + − =

≠

⇔ + − =

⇔ = ∧ − + =

⇔ = ∧ = ∨ =

⇔ = ∨ =

⇔ = + ∈ ∨ = + ∈

4. Nejedna~ina2

2 23 1 8log x log x x − +

< ima smisla za 0> x . Ako uvedemosmenu

2log x t = , onda je t x 2= , pa dobijamo:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

3 2

3 1

3 3

3 2

3 2

2

2

2 8

2 2

3 3

3 3 0

3 3 0

3 1 0

3

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t

t t

t .

− +

− +

<

⇔ <

⇔ − + <

⇔ − + − <

⇔ − + − <

⇔ − ⋅ + <

⇔ <

Prema tome, 2 3log x < , tj. 3

2 2 2log x log ,< odakle sledi da je 8< x i,

kako je 0> x , skup re{ewa nejedna~ine je interval )8,0( .



134

5. Uslov dodira prave nkx y += i kru`nice 222r y x =+ je

( ) 2221 nr k =+ . Uslov dodira prave nkx y += i parabole px y 2

2= je

kn p 2= . Kako je 22

=r i 4= p , re{avawem sistema( )

⎭⎬⎫

=

=⋅+

kn

nk

24

2122

dobija se da je

2=n i 1=k ili 2−=n i 1−=k .Prema tome, jedna~ine traènihzajedni~kih tangenti su:

1

2

: 2

: 2

t y x

t y x .

= +

= − −

6.

Dakle, bac +=2 ,22

bac −= i 3=a , odakle je

⎭⎬⎫

=

=⇒

⎭⎬⎫

−=

=⇒

⎭⎬⎫

−=

+=−⇒

⎭⎬⎫

−=

+=

2

1

3

33

3

326

3

32

c

b

bc

b

bc

bb

bc

bc.

Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED :

32

32

2

360sin ===°⋅=

cch . To zna~i da je obim trapeza

2 2 2 3 1 8 ,O c a b cm= + + = ⋅ + + = a povr{ina trapeza

23 13 2 3

2 2

a bP h cm

+ += ⋅ = ⋅ = .

Neka je E podno`je visine h iz

temena D (sl. 2). Tada je

602

c AE x c cos= = ⋅ ° = .

Trapez je jednakokraki, pa je

2

ba

x

−

= , odnosno 22

bac −

= , a

kako je trapez tangentni, to je

bac +=2 .

h

r

E

c

a

b

B

C

x F x

r

c

Sl.2

Sl.1

1t

2

2

-2

0

2t



135

7. Na osnovu formule za povr{inu kupe2P B M r rsπ π = + = + dobijamo da je

( )1096 += r r π π , odnosno, da je

210 96 0r r + − = i 6r cm= .

Kako je 222 r s H −= , to je cm H 8= .Zapreminu kupe izra~unavamo po formuli

H BV ⋅=3

1, pa je 86

3

1 2⋅⋅= π V , tj. 3

96V cmπ = .

8. Prema uslovu zadatka je 162

111 =+++ …qaqaa i 1<q , jer

progresija ima sumu. Kvadrati ~lanova geometrijske progresijeobrazuju, tako|e, geometrijsku progresiju sa koli~nikom

10,22

<< qq i prvim ~lanom2

1a za koju je

6,15342

1

22

1

2

1 =+++ …qaqaa . Zbir svih ~lanova progresije izra~unava

se po formuliq

aS

−=

∞

1

1 , pa iz

2

1 1

216 и 153 6

1 1

a a ,

q q= =

− −sledi:

( )

( ) ⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

−

−=

6,1531

1256

116

2

2

1

q

q

qa

( )

( ) ( )⇒

⎭⎬⎫

+=−

−=

qq

qa

16,1531256

1161

⇒ ( )

⇒⎭⎬⎫

=

−=

q

qa

6,4094,102

1161

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

4

1

121

q

a

.

Dakle,4

1=q i

64

3

256

12

4

112

4

4

15==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=⋅= qaa .

9. Znaju}i da je2

2

sincos

sin

α α

α

= i ( )180sin sinα α ° − = , dobijamo da

je

20 40 60 80cos cos cos cos° ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° =

s

r

H

Sl.3



136

40 80 120 160

2 20 2 40 2 60 2 80

sin sin sin sin

sin sin sin sin

° ° ° °= ⋅ ⋅ ⋅ =

° ° ° °

1 120 160

16 60 20

sin sin

sin sin= ⋅ ⋅

( ) ( )180 60 180 201 1

16 60 20 16

sin sin.

sin sin

− −= ⋅ ⋅ =

10. Mogu}e sastave grupa prikaìmo pomo}u skupova (jer redoslednije bitan):

{ } { } { } { } { } { }V POOV PPOV V POPPPOPPOOPOOO ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,

gde O ozna~ava oficira, P podoficira i V vojnika.

Od 5 oficira moèmo izabrati 3 oficira na5 5 4 3

103 1 2 3

⎛ ⎞ ⋅ ⋅= =⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠na~ina. êtvrti ~lan grupe mora biti podoficir, za ~iji izbor

imamo4 4

41 1

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠mogu}nosti. Svakom izboru tri oficira od pet

oficira odgovaraju ~etiri izbora podoficira, pa za ovukombinaciju imamo 10 4 40⋅ = mogu}a na~na formirawa grupe..

Sli~no rasu|ivawe primewuje se i u ostalim slu~ajevima. Ukupanbroj traènih na~ina je

5 4 5 4 5 4 5 4 10 5 4 10

3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠5 4 10

2 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠40 60 20 900 300 400 1720+ + + + + = .



137

2. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati15 4 12 1

:6 1 6 2 3 6 6 11

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

+ − − +⎝ ⎠.

b) Uprostiti2 2 2 2

2 2

a b a b

ab ab b a ab

+− +

− −.


a)6

1

3

42

4

13

2

1 ++

−=

−+

− x x x x , b) ( ) ( )222

47124 x x x x −=+−

3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

6 6 15 12

8 2

cos x sin x cos x .+ = −

4. Re{iti nejedna~inu ( )3 1

3

13

4

x log x log

+− < .

5. Ta~ka )0,3( A polovi tetivu kru`nice 012422

=++−+ y x y x .

Odrediti jedna~inu prave kojoj pripada tetiva navedene kru`ni-ce.

6. Stranice trougla su ,13=a 14=b i 15=c . Dve od wih (a i b)

su tangente kruga ~iji je centar na tre}oj stranici. Odreditipolupre~nik kruga.

7. Izvodnica prave zarubqene kupe je ,5cms = a polupre~ni-

ci osnova su cm R 5= i 2r cm.= U kupu je upisana pravilna zarub-qena ~etvorostrana piramida tako da je dowa osnova piramideupisana u dowu osnovu kupe, a gorwa osnova piramide u gorwu os-novu kupe. Izra~unati zapreminu zarubqene piramide.

8. Odreditiduìne stranica trougla ako se zna da one obrazuju aritme-

ti~ku progresiju sa razlikom 4=d i ako jedan unutra{wi ugaotrougla ima °120 .

9. Data je funkcija ( )( )

( ] [ )

2

2

1 1 1

11 1

2

x , x ,

f x ln x , x , , .

⎧ − ∈ −⎪

= ⎨∈ −∞ − ∪ ∞⎪

⎩a) Skicirati grafik funkcije f .b) U zavisnosti od realnog parametra a, odrediti broj realnih

re{ewa jedna~ine ( ) a x f = .



138

10. Izra~unati grani~ne vrednosti:

a) 2 2 2

2

2 4 2n

n

log log loglim

n→+∞

+ + +, b)

3 2

20

1 1

x

x lim

x →

+ −.


1. a)15 4 12 1

:6 1 6 2 3 6 6 11

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

+ − − +⎝ ⎠=

= ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

+

−−

+

+−

−⋅

11669

6312

46

264

16

1615

( ) ( ) ( ) ( )3 6 1 2 6 2 4 3 6 6 11⎡ ⎤= − + + − + ⋅ +⎣ ⎦

=

( ) ( )6 11 6 11 6 121 115= − ⋅ + = − = − .

b)

2 2 2 2

2 2

a b a b

ab ab b a ab

+− + =

− − ( ) ( )=

−+

−−

+

baa

b

bab

a

ab

ba 2222

=( )( )

( )=

−

+−−+

baab

bababa 3322

( )

=−

+−−−+

baab

babbaaba 333223

=( )( )

1−=−

−

baab

abab, uz uslov 0,0 ≠≠ ba i ba ≠ .

2. a) Ako datu jedna~inu pomnoìmo sa ( )6,4,3,2 NZS ,tj. sa 12 ,

dobijamo:

1 3 1 2 4 1

2 4 3 6

x x x x − − − ++ = + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )6 1 3 3 1 4 2 4 2 1 x x x x ⇔ − + − = − + + ⇔

1551410915 −=⇔−=⇔−=−⇔ x x x x .

b) Ako uvedemo smenu t x x =− 42 , dobijamo da je



139

( ) ( )22247124 x x x x −=+− 01274

22=++∧=−⇔ t t t x x ⇔

( ) ⇔−=−∨−=−⇔−=∨−=∧=−⇔ 4434434222 x x x x t t t x x

2 24 3 0 4 4 0 3 1 2 x x x x x x x ⇔ − + = ∨ − + = ⇔ = ∨ = ∨ = .

3. Koriste}i identitete:

( )( )2233 babababa +−+=+ ,

( ) 2222242243 bababbaa −+=+− ,

2 2sin xcos x sin x = i

2 21sin x cos x = − ,

transformi{imo levu stranu jedna~ine na slede}i na~in:

6 6cos x sin x + = ( ) ( )3 3

2 2cos x sin x + =

( )( )2 2 4 2 2 4cos x sin x cos x cos xsin x sin x = + − + =

( )2 2

22 2 2 2 4

1 3 1 34

sin x cos x cos x sin x cos x sin x ⎡ ⎤= ⋅ + − = − ⋅ =

⎢ ⎥⎣ ⎦

= ( )2 23 3

1 2 1 1 24 4sin x cos x − = − − .

Data jedna~ina sada ima oblik ( )23 15 11 1 2 2

4 8 2cos x cos x − − = − ,

odakle se sre|ivawem dobija ekvivalentna jedna~ina, odnosno2

2 2 5 2 2 0cos x cos x − + = . Uvo|ewem smene 2cos x t = dobija se

jedna~ina 02522

=+− t t , ~ija su re{ewa 2=t ili2

1=t . Jedna~ina

2 2cos x = je nemogu}a, a jedna~ina1

22

cos x = ima re{ewa

Z k k x ∈+±= ,26

π π

.



140

4. Nejedna~ina ( )3 1

3

13

4

x log x log

+− < ima smisla ako je 03 >− x

i ,04

1>

+ x odnosno ako je ( )3,1−∈ x . Kako je 1 n

n

log a log a= − bi}e

1 3

3

1 1

4 4

x x log log

+ += − =

1

3 3

1 4

4 1

x log log

x

−+⎛ ⎞

=⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Osnova logaritma je ve}a od 1 , pa je logaritamska funkcija rastu}a ,

a nejedna~ina ( )3 3

43

1log x log

x − <

+se svodi na nejedna~inu

1

4

3 +<−

x . Odavde dobijamo da je 01

4

3<

+−−

x x , odnosno

01

122

>+

+− x x ili

( )0

1

12

>+

−

x

x . Re{ewa posledwe nejedna~ine su

svi brojevi ve}i od 1− i razli~iti od 1. Ako uzmemo u obzir da je

( )3,1−∈ x , kona~no re{ewe date nejedna~ine je ( ) ( )3,11,1 ∪−∈ x .

5. Kanonski oblik jedna~ine kruga je ( ) ( ) .41222

=++− y x Centar

kruga je ta~ka ( )1,2−

C , a polupre~nik je r =2. Jedna~ina prave l,

odre|ene ta~kama A i C , prema formuli ( )1

12

121 x x

x x

y y y y −

−

−=− ,

glasi ( )332

010 −

−

−−=− x y , odnosno 3−= x y . Prava l i prava p,

kojoj pripada tetiva, su ortogonalne {to sledi iz podudarnosti

trouglova PAC i QAC (sl. 4).Koeficijent pravca prave l je k l=1,

a prave p

je k p. Iz uslova ortogonalnostipravih 1−=⋅

⋅ l p k k sledi da je 1−= pk .

Jedna~ina prave p kojoj pripada ta~ka ( )0,3 A ,

sa koeficijentom pravca 1−= pk je

( )310 −⋅−=− x y , odnosno 3+−= x y .

6. Kako su poznate sve tri stranice trougla, wegovu povr{inumoèmo izra~unati pomo}u Heronovog obrasca

r

r

C

l

Q

P

Sl.4



141

( )( )( )csbsassP −−−= , pri ~emu je2

cbas

++= poluobim

trougla ~ije su stranice ,a b i c . U ovom zadatku je 21=s , pa je

( )( )( ) 8415211421132121 =−−−= ABC P . Na osnovu uslova zadatka ,

povr{inu trougla ABC moèmo dobiti i kao zbir povr{ina

trouglova AOC i BOC , gde je O centar upisanog polukruga(sl.5).

Dakle, BOC AOC ABC PPP += ,

odnosno22

ar br P ABC += ,

odakle je ( ) 841413

2

=+r

,

pa je9

56=r .

7. Na osnovu Pitagorine teoreme (sl. 6) dobijamo da je

( )222r Rs H −−= , tj. 4= H . Pre~nik dowe osnove zarubqene kupe

je R2 , a kako je i dijagonala D dowe osnove upisane zarubqene pi-

ramide tako|e jednaka R2 (sl. 7), to }e biti 2102 a R D === , pa je 25=a . Sli~no se iz 242 br d === dobija da je 22=b .Povr{ine baza zarubqene piramide su :

221 50cma B == i 22

2 8cmb B == , pa je zapremina zarubqene

piramide ( ) ( ) .1048850503

4

3

32211 cm B B B B

H V =+⋅+=++=

r

a

O

C

B

r

c

b

Sl.5

Sl.7

R

a

a

R

Sl.6

H

s

R

r

H

R-r

a

b

a

Sl.8

60

4−a

a x 4+a

120



142

8. Neka su stranice trougla 4, −= aba i 4+= ac . Sa slike 8 vidi

se da je 2

3a

x = i 2

a

y = . Prema Pitagorinoj teorimi je

( ) ( )22244 +=−++ aa y x , pa je ( )2

22

4422

3+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ aa

aa,

odakle se sre|ivawem dobija jedna~ina 02022

=− aa , ~ija su

re{ewa 0=a ili 10=a . Dakle, stranice trougla su 10 6a , b= =

i 14c = .

9. Kako je ( )1

2 2 221

2ln x ln x ln x ln x = = = i

⎩⎨⎧

<−

≥=

0,

0,

x x

x x x ,

funkcija f bi}e zadata formulom

( )

( )

( )2

1

1 1 1

1

ln x , x

f x x , x ,

ln x, x

⎧ − ≤ −

⎪= − ∈ −⎨⎪

≥⎩

.

Grafik funkcije f je prikazan na slici 10.

Do jedna~ine 02022

=− aa smo mogli do}i i nadrugi na~in. Na osnovu kosinusne teoreme vaì(sl. 9):

( ) ( ) ( )

120cos4244222

−−−+=+ aaaaa . Kako

e1

1202

cos = − (sl. 6), sre|ivawem prethodne

edna~ine dobija se jedna~ina 02022

=− aa .

120

2

1−

Sl. 9



143

U istom koordinatnom sistemu, na slici 11, predstavqenisu grafici funkcija

( ) Raa x g ∈= , i ( ) = x f

( )

( ) ( )2

1

1 1 1

1

ln x , x

x , x ,

ln x, x

⎧ − ≤ −

⎪⎪− − ∈ −⎨

⎪≥⎪⎩

.

Apscise zajedni~kih ta~aka grafika funkcija f i g predstavqa}e

re{ewa date jedna~ine. Na slici 8 to su ta~ke A i B . To zna~i,

za 0<a jedna~ina nema re{ewa, za ( ) { }0,1 ∪∞∈a ima 2 re{ewa,

za 1=a jedna~ina ima 3 re{ewa, za ( )1,0∈a jedna~ina ima 4 re{ewa.

-1 1

1

-e e0

-1

Sl. 10

-1 1

1

-e e0

-1

a B

Sl. 11



144

10. a)( )2

2 2 2

2 2

2 4 8 22 4 2nn

n n

log ....log log ... loglim lim

n n→∞ →∞

⋅ ⋅ ⋅+ + += =

( )1 2

2

2

2... n

n

log

limn

+ + +

→∞

= =( ) 2

2

1 2 2

n

... n loglim

n→∞

+ + +=

( )2

2 2

1 11

12

2 22n n n

n n

n n nlim lim lim

n n←∞ →∞ →∞

++

+= = = = .

b)3 2

20

1 1

x

x lim

x →

+ −=

( )

( )

232 233 2

2 232 20 3

1 1 11 1

1 1 1 x

x x x lim

x x x →

+ + + ++ −

⋅ =

+ + + +

( )( )

33 2 3

232 2 23

1 1

1 1 1 x

x

lim

x x x →∞

+ −

= =⎛ ⎞

+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

2

230 2 2 23

1

31 1 1

x

x lim

x x x →

= =⎛ ⎞

+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠



145

3. grupa 2000. god.

1. a) [ta je ve}e: 13% od 200 ili 30% od 90?

b) Uprostiti izraz22

111

22

11

22

:ba

ba

ab

ba

ba

ba

−

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

+

+ −−

−

−−

−−

.


a)3

23

4

3

25

4

4

31

x x x

x

−

=

−

+

+

− ; b) ( )21

3

2 1log x x + = − .

3. Dokazati identitet 43 4 2 4 8cos cos cosα α α + + = .

4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )x

x

x −

+

−

−≤+ 1212 1

66

.

5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 100422

=+ y x povu~enih iz

ta~ke )7,2( A .

6. Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne.

Izra~unati wegovu povr{inu ako je krak cmc 52= , a odnos

osnovica je 3:1.

7. Osnova piramide je trougao ~ije su stranice 12 16a cm, b cm= =

и 20c cm,= a bo~ne ivice su jednake i imaju duìnu 26 cm .Izra~unati zapreminu piramide.

8. Deveti ~lan aritmeti~ke progresije je pet puta ve}i od drugog~lana, a pri deqewu trinaestog ~lana sa {estim ~lanom dobija sekoli~nik 2 i ostatak 5. O kojoj progresiji je re~?

9. Odrediti najmawu i najve}u vrednost funkcije

( )⎩⎨⎧

>++−

≤=

0 ,18

0 ,22 x x x

x x f

x

na segmentu [ ]8,1− .

10. Skicirati grafike funkcija:

a) 2 y sinx = ; b)2

x y cos= ; v)

22 y log x = ; g)

x y

1= .



146


1.a)100

30902726

100

13200 ⋅=<=⋅ .

b) =

−

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

+

+−−

−

−−

−−

22

111

22

11

22

:ba

ba

ab

ba

ba

ba=

−

−⋅

+

⋅

+

+

ba

ba

ba

ab

ba

ba1111

1122

22

22

( )( )

2 2

2 2

2 2

b aa b a baba b

a b b aa b

ab ab

+

− += ⋅ ⋅ =

+ −+

( )

( )( )

( )

2 2

2 2

a b a bb a ab

ab a b a ba b

− ++⋅ ⋅ =

+ − −+

ab= − , uz uslov 0, ,ab a b a b≠ ≠ − ≠ .

2. a) Ako jedna~inu3

23

4

3

25

4

4

31

x x x

x

−

=

−

+

+

− pomnoìmo sa

( )4,3 NZS , tj. sa 12 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu

0

2

34

3

253

4

31312 =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +−

x x x x

odakle sre|ivawem dobijamo da je 04

39= x , odnosno da je 0= x .

b) Jedna~ina ima smisla za 022

>+ x x , tj. za ≠ 0 i, kako je

⎩⎨⎧

<−

≥=

0,

0,

x x

x x x , bi}e ( )

1

2 2

1

3

12 1 2

3log x x x x

−

⎛ ⎞+ = − ⇔ + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔

( ) ( )00320032

22<∧=−−∨>∧=−+⇔

x x x x x x ⇔

( )( ) ( ) 013031 <∧−=∨=∨>∧−=∨=⇔ x x x x x x 11 −=∨=⇔ x x .

3. Koriste}i formule 2 22cos cos sinα α α = − ,

2 2sin sin cosα α α = ,

2 21sin cosα α + = i

( ) 22222442 bababa −+=+ , dobijamo da je



147

3 4 2 4cos cosα α + + =

= ( )2 2 2 23 4 2 2cos sin cos sinα α α α + − + −

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

3 4 2cos sin cos sin sin cosα α α α α α = + − + − −

( ) ( )2 2 2 2 4 4 2 23 4 6sin cos cos sin cos sin sin cosα α α α α α α α = + + − + + −

( )2

2 2 2 2 2 2 2 27 2 6cos sin cos sin cos sin sin cosα α α α α α α α = − + + − −

2 2 2 27 1 8cos sin sin cosα α α α = − + −

2 2 2 2 2 27 8cos sin sin cos sin cosα α α α α α = − + + −

2 2 28 8cos sin cosα α α = −

( )2 2

8 1cos sinα α = −2 2

8cos cosα α =

=4

8cos α .

4. Zadatak ima smisla ako je 1−≠ x . Tada je :

( ) ( ) x x

x −

+

−

−≤+ 1212 1

66

( ) ⇔⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

≤+⇔ +

− x

x

x

12

112 1

66

( ) x

x

x

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⋅

−

≤+⇔ +

−

12

12

12

112 1

66

( ) ( ) x x

x

1212 1

66

+≤+⇔ +

−

⇔

( osnova eksponencijalne funkcije je ve}a od jedan )

01

66

1

662

≤

+

−−−⇔≤

+

−⇔

x

x x x x

x ⇔

( )( )2 2 35 60 0

1 1

x x x x

x x

+ +− +⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔

+ +

(videti slike 12 i 13 i tablicu)

Sl. 12

10

6

32 x



148

( ] [ )1,2 3, . x ⇔ ∈ − ∪ +∞

( ) ( ) ( ) ( )2

2

, 1 1,2 2,3 3,

5 6

1

5 6

1

x

x x

x

x x

x

−∞ − − +∞

− + + + − +

+ − + + +

− +− + − +

+

5. Neka je nkx y += jedna~ina tangente elipse 100422

=+ y x ,

~iji je kanonski oblik 1510

2

2

2

2

=+ y x . Uslov dodira ove elipse i

prave nkx y += je 2225100 nk =+ . Ta~ka ( )7,2 A pripada pravoj

nkx y += , pa je nk += 27 . Re{avawem sistema jedna~ina

2225100 nk =+ ∧ nk += 27 dobijamo da je

8

3=k i

4

25=n , ili da je

3

2−=k i

3

25=n , pa su jedna~ine traènih tangenti:

05083:1 =+− y x t i 02532:2 =−+ y x t .

6. Trouglovi ABO i CDO su sli~ni jer su im svi odgovaraju}i

uglovi jednaki, pa su im parovi odgovaraju}ih stranica proporcio-

nalni. Kako je OC OBCD AB :: = , tj. OC OB :1:3 = ,bi}e

OC OB 3= . Ozna~imo duìOB , OC i BC redom sa y, x i c. (sl. 14)

Sl. 13

-1

0

1

x



149

Trougao BOC je pravougli, pa je:

( ) ( ) 23522222222

=⇔+=⇔+= x x x y x c ,

iz ~ega sledi da je 2= x . Dijagonale jednakokrakog trapeza su

uzajamno normalne i jednake, pa , ako ozna~imo dijagonaleAC i BD

sa d , sledi da je

( ) ( ) ( )

2

2222

16224

2232

22cm y x d P ABCD ==

+=

+==

7. Iz podudarnosti trouglovaVOB , VOC i VOA (sl. 15; podudarne su

po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram ve}e od wih)

zakqu~ujemo da se podno`je visine piramide nalazi u centru

opisanog kruga oko trougla ABC . Povr{ina baze moè se

izra~unati pomo}u Heronovog obrasca:

( )( )( ) 296481224 cmcsbsassP B ABC =⋅⋅⋅=−−−== . Kako je

R

abcP

4=

Δ, to je .10

964

201612

4cm

P

abc R =

⋅

⋅⋅==

Δ

Sl. 14

b

a

c

O

c

C

B

.



150

Visinu piramide (sl. 16) izra~unavamo pomo}u Pitagorine teoreme:

( )( ) 24641026102610262222

=⋅=+−=−=−= Rd H .

Sada moèmo izra~unati zapreminu piramide:

.7682496

3

1

3

1 3cm BH V =⋅⋅==

Napomena: Ako uo~imo da je bazni trougao pravougli, jer je

222201612 =+ , moèmo koristiti formulu

2

c R = .

8. Neka je 1a prvi ~lan, a d razlika date aritmeti~ke progresije.

Prema uslovu zadatka sledi da je

⇒⎭⎬⎫

+=

⋅=

52

5

613

29

aa

aa ( )⇒

⎭⎬⎫

++=+

+=+

510212

58

11

11

d ad a

d ad a⇒

⎭⎬⎫

=−

=

1

1

52

43

ad

ad

Sl. 16

H d

R

V

O B

Sl. 15

a b

c B

C

V

H

O R

d

d d



151

( )⇒

⎭⎬⎫

−=

−=

52

5243

1 d a

d d

⎭⎬⎫

=

=

3

4

1a

d

.

Prvih nekoliko ~lanova progresije

je 3, 7, 11, 15, 19, ... .

9. Funkcija x y 2= je rastu}a i

( ) ( ) 10,2

11 ==− f f . Koordinate

temena parabole 182

++−= x x y

su :

42

=−=a

b x T

i 17

4=

−=

a

D yT .

Grafik funkcije prikazan je na slici 17. Najmawa vrednost funkci-

je je 12

i postiè se u ta~ki 1 x = − , a najve}a vrednost date funkci-

je je 17 i postiè se u ta~ki 4. x =

10. a) 2 0

22 0

sinx, sinx y sin x

sinx, sinx

≥⎧= = ⎨

− <⎩

0

y

1

-1

x π π 2

2

-2

sinx

sinx −

2sinx −

2sinx

2 sinx

Sl. 18

Sl. 17

8 40

1

-1

17 T

x 2

18

2

++− x x



152

b) Osnovni period funkcije2

x y cos= je

2 24

1 2T

π π π

ω

= = = .

0 2 3 4

30 2

2 2 2

1 0 1 0 1

x

x

y

π π π π

π π π π

−

Grafik funkcije prikazan je na slici 19.

v)2

2 y log x,= 0 x >

1 1

1 2 44 2

1 0 1 2 3

x

y −

g)⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

>

=

0,1

0,1

x x

x x y

1

- 1 π

0

π 4

π 2

π 3

Sl. 19

Sl. 20

0

1

1

2

2

1

1

1

1 0

x

1

x

1−

Sl. 21



153

4. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati:22

222:2

−−− .

b) Za 003,0=a i 994,5=b odrediti vrednost izraza

( ) =ba I , ( )

22229

2:

9

6

3

1

3

1

ba

bab

ba

b

baba −

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−+

+−

−.


a)3

1

21

54

3

23

7

12−

+=

−−

+ x x x ;

b) ( )( ) ( ) 02

=+ x f x f ako je ( ) 21

1 1

log x, x f x

x , x

≥⎧= ⎨

− <⎩.

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 22 3 1sin x sin x + = .

4. Za koje vrednosti realnog parametrak jedna~ina

( ) 01222

=−+−− k kx x k ima pozitivna re{ewa?

5. Na krivoj 724322

=− y x odrediti ta~ku najbliù pravoj

0123 =++ y x .

6. U trouglu ABC je ,8,5 == AC BC °=∠ 30 BAC i .90°<∠ ABC

Odrediti AB.

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine

wenih osnova 225 cmπ i 2

4 cmπ , a povr{ina omota~a 235 cmπ .

8. Hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla je 1. Nad wegovomkatetom, kao nad hipotenuzom, konstruisan je novi jednakokrakipravougli trougao. Nad katetom novog trougla, kao nadhipotenuzom, konstruisan je, opet, jednakokraki pravouglitrougao, itd. do beskraja. Koliki je zbir povr{ina svih takodobijenih trouglova (ukqu~uju}i i polazni)?

9. Re{iti sistem jedna~ina2

2

2

y x log x log y

x y

+ = ⎫⎬

− = ⎭.

10. U xOy -ravni za Rk ∈ skicirati linije odre|ene jedna~inama:

a) ,k x y += b) 12

=+ y y x , v) 122

++−= k kx kx y .



154


1. a) 22222:22:2

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2222

==⋅==−

−−−

.

b) ( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

3 3 6 9 12,

2 29

a b a b b a b b I a b

b a b b a ba b

+ − − + −= ⋅ = =

+ +−

=

12, , 0

2 2

ba b

a b≠ − ≠

+.

( ) 26

12

994,5003,02

12994,5;003,0 ==

+⋅= I .

2.a) Ako jedna~inu3

1

21

54

3

23

7

12−

+=

−−

+ x x x pomnoìmo sa

( )3,7 NZS ,tj. sa 21 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu

( ) ( ) 754237123 −+=−−+ x x x , koja se sre|ivawem svodi na

jedna~inu 01919 =+− x , a weno re{ewe je 1= x .

b) 1° Za 1≥ x je ( ) 2 f x log x = .

2

2 2 0log x log x + =

( )2 2 1 0log x log x ⇔ + =

2 2

0 1log x log x ⇔ = ∨ = −

2

11 =∨=⇔ x x ,

pa je , zbog uslova 1≥ x , jedino re{ewe ove jedna~ine 1= x .

2° Za 1< x je ( ) 1−= x x f .

( ) ( ) 0112

=−+− x x ( ) ( )( )1 1 1 0 x x ⇔ − − + =

001 =∨=−⇔ x x

01 =∨=⇔ x x ,

pa je, zbog uslova 1< x , jedino re{ewe ove jedna~ine .0= x

Dakle, skup re{ewa date jedna~ine je { }1,0 .

3. Koriste}i identitete:



155

2 1 2

2

cos x sin x

−= i 2

2 2cos cos cos cos

α β α β α β

+ −+ =

dobija se:

2 22 3 1sin x sin x + =

1 4 1 61

2 2

cos x cos x − −⇔ + =

4 6 0cos x cos x ⇔ + =

2 5 0cos x cos x ⇔ =

5 0 0cos x cos x ⇔ = ∨ =

Z ll x Z k k x ∈+=∨∈+=⇔ ,2

,2

5 π π

π π

Z ll x Z k k x ∈+=∨∈+=⇔ ,2

,510

π π π π

.

4.Da bi re{ewa1

x i2

x jedna~ine 02

=++ cbx ax bila pozitivna,

treba da budu ispuweni slede}i uslovi: 021

>+ x x , 021

> x x i 0≥ D .

( ) 02

21

21>

−=−=+

k

k

a

b x x ,tj. ( ) 022 >−k k ,

pa je ( ) ( )∞∪∞−∈ ,20,k .

( ) 02

12

21>

−

−==

k

k

a

c x x ,tj. ( )( ) 021 >−− k k ,

pa je ( ) ( )∞∪∞−∈ ,21,k .

( ) ( ) ( )2 23 4 4 4 2 1 0 D b ac k k k = − = − − − ≥ ,

08124422

≥−+− k k k

( ) ⇒≥− 0234 k ⎟

⎠

⎞

⎢⎣

⎡∞∈ ,

3

2k .

Presek skupova re{ewa uslova (1),(2) i (3) je traèno re{ewe inalazimo ga koriste}i sliku 22:

0 2

0 21

3

2

0 1 23

2

Sl. 22



156

Prema tome,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞∈⇔∞∪∞−∈∧∞∪∞−∈∧⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡∞∈ ,2,21,,20,,

3

2k k k k .

5. Data kriva je hiperbola ~iji je kanonski oblik 11824

22

=−y x

.

Dodirna ta~ka hiperbole i wene tangente, paralelene datoj pravoj

bi}e traèna ta~ka. Data prava ima koeficijent pravca2

3−= pk .

Tangenta mora biti paralelna sa pravom p , pa je2

3−=t k . Uslov

dodira prave nkx y += i hiperbole 12

2

2

2

=−b

y

a

x je 2222 nbk a =− . Iz

jedna~ine 2

2

182

324 n=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅ dobija se da je 6=n ili 6−=n .

Tangente hiperbole, paralelne pravoj p , imaju jedna~ine:

01223:1

=−+ y x t i 01223:2

=++ y x t .

Re{avawem sistema⎭⎬⎫

=−+

=−

01223

7243 22

y x

y x i

⎭⎬⎫

=++

=−

01223

7243 22

y x

y x

dobijaju se ta~ke ( )3,61

−P i ( )3,62

−P . Prema formuli za rastojawe

ta~ke od prave sledi da je

( )1

3 6 2 3 1 13,

9 4 13d P p

⋅ − ⋅ += =

+i ( )2

3 6 2 3 1 11,

9 4 13d P p

− ⋅ + ⋅ += =

+.

Dakle, ta~ka ( )3,62 −P je traèna ta~ka.

6. Na osnovu sinusne teoreme vaìa b

sin sinα β = , tj.

5 8

1

2

sin β =

(sl. 23). Na osnovu implikacije



157

4 16 30 1

5 2 25 5sin cos

π β β β = ∧ < < ⇒ = − =

i na osnovu kosinusne teoreme vaì2 2 2

2b a c ac cos β = + − , odnosno

5

3522564

2⋅⋅⋅−+= cc , odakle je 0396

2=−− cc . Re{avawem

kvadratne jedna~ine i uzimaju}i u obzir da je 0>c , proisti~e da je

343 +=c .

7. Kako je poznato da je

2

1 4 cm B π =

i

2

2 25 cm B π =

, to se moguodrediti polupre~nici baza:

cmr r 241

2

1=⇒= π π ,

cmr r 5252

2

2=⇒= π π .

Sada, iz 235 cm M π = moè se odrediti izvodnica zarubqene kupe:

( ) cmssr r 53521 =⇒=+ π π .

Pomo}u Pitagorine teoreme (sl.2) nalazi se visina zarubqene kupe:

( ) cmr r s H 49252

122

=−=−−= .

Na osnovu poznatog obrasca za zapreminu zarubqene kupe sledi da

je ( ) ( ) 32211 524425253

4

3cm B B B B

H V π π π π π =+⋅+=++=

8.2

11

1

2

1

2

1=⇒=+ aaa , pa je

4

1

2

2

1

1==

aP .

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2==⇒=+

aaaaa , pa je

2

1

8

1

21

2

2

2⋅=== P

aP .

8

C

B c β

30

Sl. 23



158

22

1

2

2

3

2

2

2

3

2

3==⇒=+

aaaaa , pa je

2

1

2

3

32

1

16

1

2⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=== P

aP .

Indukcijom se moè dokazati da je niz ,.......,.......,,321 nPPPP

geometrijski niz sa koli~nikom2

1=q . Kako je

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅=++=n

n

nn PPPS

2

11

2

1

211

2

11

4

1.....

21,

prelaskom na grani~nu vrednost, kada se n neograni~eno uve}ava,

dobijamo da je1 1 1

12 22

n nn nlim S lim

→∞ →∞

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

9. Sistem ima smisla za 1,0,0 ≠>> x y x i 1≠ y .

2

2

2

y x log x log y

x y

+ = ⎫⎪⎬

− = ⎪⎭⇒

2

12

2

y

y

log x log x

x y

⎫+ = ⎪

⎬⎪

− = ⎭

⇒

2

2

1 2

2

y ylog x log x

x y

⎫+ = ⎪⎬

− = ⎪⎭

⇒

⇒( )

2

2

1 0

2

ylog x

x y

⎫− = ⎪⎬

⎪− = ⎭

⇒ 2

1

2

ylog x

x y

= ⎫⎪⎬

− = ⎪⎭

⇒

⎭

⎬⎫

=−−

=

02

2

x x

y x .

Iz druge jedna~ine se dobija da je 2= x ili 1−= x . Prema uslovu

zadatka, jedino re{ewe sistema je 2,2 == y x .

Sl. 24

1

1 a

1 a

3 a

2 a 2 a



159

10. a) Linije u − xOy ravni odre|ene jedna~inama Rk k x y ∈+= , su

prave paralelne sa pravom y = , (sl. 25).

b) Jedna~inu 122

++−= k kx kx y napi{imo u obliku

( ) 1122 ++−= x x k y , odnosno u obliku ( ) 11 2 +−= x k y . Sada se vidi

da su linije odre|ene ovim jedna~inama parabole koje prolaze kroz

ta~ku ( )1,1 M za 0≠k , i prava 1= y , za 0=k , (sl.26).

v) Kako je⎩⎨⎧

<−

≥=

0 ,

0 ,

y y

y y y , to jedna~ina 1

2=+ y y x za 0≥ y

glasi 122

=+ y x , a linija koja joj odgovara je deo kru`nice u

Sl.25

Sl. 26

x

1

10

2

2

y

k = 0

k > 0

k < 0

Sl. 27

1 x

y

0-1

-1

1

x10

1

y



160

prvom i drugom kvadrantu (sl. 27). Za 0< y dobija se deo

hiperbole 122

=− y x u tre}em i ~etvrtom kvadrantu.



161

5. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e: 64

500 ili 32000?

b) Izra~unati

3

5 4

1 1764 1: 0 3 :3 5

2 1 21

5 7 11

,

−−⎛ ⎞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.


a) ,2

5

7

113

3

25 x

x x x +

−=

+−

−b) .1

2

2−=

+ x

x

3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina a x x =+66

cossin

ima realna re{ewa?

4. Re{iti nejedna~inu ( )21135235

−−+−>−

x x x x .

5. Odredtiti koordinate ta~ke B simetri~ne ta~ki )2,1( − A u odnosu

na pravu koja prolazi kroz ta~ke )0,5(C i ).1,8( − D

6. Oko kruga polupre~nika 2cm opisan je jednakokraki trapezpovr{ine 20cm

2. Odrediti duìne stranica tog trapeza.

7. Izvodnice prave kupe grade sa ravni osnove ugao od .60° U kupu jeupisana lopta polupre~nika r . Izra~unati povr{inu i zapreminukupe.

8. Re{iti jedna~inu 2 31.cosx cos x cos x + + + =

9. Re{iti sistem jedna~ina⎭⎬⎫

=++

=++

37

48122

4224

y xy x

y y x x .


a) ,2

x x y −= b) , x x sin y ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=

2 v) y ln x .=



162


1. a) ( ) ( ) 20001000

210001000500

2500 3398864 ==<== .

b)

3 3

5 54 41 176 13 10 54 1: 0,3 :

3 5 3 3 176

7 252 1 21

5 775 7 11

− −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⋅⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

4 3

4

5

111765 176

11

−

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 3 3

3 1 14 4 34 4 4116 16 2 2 8

16

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

2. a) Ako jedna~inu x x x x

+−

=+

−−

2

5

7

113

3

25pomnoìmo sa

( )7,3,2 NZS , tj. sa 42, dobijamo da je

x x x x

+−

=+

−−

2

5

7

113

3

25⇔

( ) ( ) ( ) x x x x 4252111362514 +−=+−−⇔ ⇔

042105216782870 =−+−−−−⇔ x x x x

07171 =+−⇔ x

1=⇔ x .

b) Jedna~ina ima smisla za 02 ≥+ x i 01 ≥− x , tj. za 1≥ x .

12

2−=

+ x

x 12

4

2 2+−=

+⇒ x x

x

02942

=+−⇒ x x

4

12 =∨=⇒ x x .

Re{ewe jedna~ine je 2= x .

3. Koristi}emo identitete:

( )( )2233 babababa +−+=+ , ( ) 22222442 bababa −+=+ i

2 2sin x sin x cos x = .



163

Kako je ( ) ( )3 3

6 6 2 2sin x cos x sin x cos x + = + =

( )( )

2 2 4 2 2 4sin x cos x sin x sin x cos x cos x = + − + =

( )2

2 2 2 21 3sin x cos x sin x cos x

⎡ ⎤= ⋅ + − =

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 23 3

1 2 1 24 4

sin x cos x sin x = − = − ,

to se data jedna~ina svodi na jedna~inu 231 2

4sin x a− = , tj. na

jedna~inu ( ) 241 2

3

a sin x − = , ~ija su re{ewa realna, ako je

( ) 113

40 ≤−≤ a . Iz ( )a−≤ 1

3

40 dobijamo da je 1≤a , a iz ( ) 11

3

4≤− a

dobijamo da je4

31 ≤− a , odnosno da je

4

1≥a . Dakle, 1≤a i

4

1≥a ,

pa je ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∈ 1,

4

1a .

4. Deqewem nejedna~ine ( )211

35235−−+

−>−x x x x

sa x

3 (x

3 >0)

dobijamo da je9

2

3

5

5

23

3

5−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅>−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x

, odnosno9

23

3

5

5

2

3

5−>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x

,

odakle je3

5

9

25

3

5⋅>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x

, ili

3

3

5

3

5⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ >⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x

.

Osnova eksponencijalne funkcije j e ve}a od 1, pa je funkcijarastu}a, iz ~ega proisti~e da je 3> x .

5. Jedna~ina prave p , odre|ene dvema ta~kama je

( )1

12

121 x x

x x

y y y y −

−

−=− ,

pa je za ta~ke ( )0,5C i ( )1,8 − D jedna~ina odgovaraju}e prave

( )558

010 −

−

−−=− x y ,



164

odnosno 053 =−+ y x . Koeficijent pravca prave p je3

1−= pk .

Prava n koja prolazi kroz ta~ku ( )2,1 − A i normalna je na pravu p

ima jedna~inu ( ) ( )12 −=−− x k y n ,

pri ~emu je 31

=−=

p

nk

k , pa

jedna~ina prave n glasi:

( )132 −=+ x y , odnosno 053 =+− x y .


=−−

=−+

053

053

y x

y x

dobija se ta~ka ( )1,2S koja je presek

pravih n i p . Koordinate ta~ke B dobijaju se iz uslova da je S

sredi{te duì AB (sl. 28). Dakle, iz s B A x

x x =

+

2dobija se da je

314 =−= B x , a iz s B A y

y y=

+

2da je 422 =+= B y . Traèna

ta~ka je ta~ka ( )4,3 B .

6. Neka su a i b osnovice, c krak i h visina trapeza, a

r polupre~nik kruga. Krug je upisan u trapez (sl. 29), pa je r h 2= .

Kako je cmr 2= , to je cmh 4= . Iz formule za povr{inu trapeza

hba

P ⋅+

=2

dobijamo da je 42

20 ⋅+

=ba

, tj. da je .10=+ ba Trapez je

tangentni , pa je bac +=2 . Na osnovu prethodnog zakqu~ujemo da je

cmc 5= . Kako je trapez jednakokraki,

to je2

ba AE

−

= , gde je E podno`je

visine spu{tene iz temena D na

osnovicu AB . Prema Pitagorinojteoremi , za trougao AED vaì:

916252

22

2

=−=−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −hc

ba,

odnosno .6=− ba

S

B

A

n

Sl. 28

r

c c

b

a F E

C

B

h

r

2

ba −

Sl. 29



165


=−

=+

6

10

ba

badobija se da je 8cma = i cmb 2= .

7. Iz podudarnosti trouglova ADO i AEO (sl. 30) zakqu~ujemo da

je:

30=∠ DAO i

60=∠ AOD , pa je r AO 2= i( )

32

32r

r R == .

Trougao ACB je jednakokraki sa uglom na osnovici od

60 , pa je

322 r R BC AB AC s ===== i r R R

H 332

32=== . Dakle,

( ) 22293233 cmr r r r s R R Rs R M BP π π π π π =+=+=+=+= i

332333

3

1

3

1cmr r r BH V π π =⋅⋅== .

Napomena:

330 r R R

r tg =⇒=

8. Jedna~ina 2 31cos x cos x cos x ....+ + + = ima smisla za Z k k x ∈≠ ,π .

Leva strana jedna~ine predstavqa zbir ~lanova beskona~negeometrijske progresije za koju je

1a cos x = i q cos x = . Kako je 1<q , bi}e

2 3

1cos x cos x cos x cos x ....

cos x + + + =

−.

Iz jedna~ine 11

cos x cos x

=−

dobijamo da

je 1cos x cos x = − , odnosno 2 1cos x = ,

ili1

2cos x = . Re{avawem posledwe jedna~ine

Sl. 31

0 121

3π

3π −

Sl. 30

s

R

H

60

B

30

C

O

R

r

r



167

b) Kako je x x =2 , a

⎩⎨⎧

<−

≥=

0,

0,

x x

x x x , to }e za 0≥ x biti

( )2

y sin x x = − ( )sin x x = − ( )sin x x = − 0 0sin= = , dok za 0< x

imamo da je ( )2 y sin x x = − ( ) ( )( ) 2sin x x sin x x sin x = − = − − = .

Grafik funkcije je prikazan na slici 33.

v) Funkcija y ln x = ima smisla za 0≠ x .

Kako je( )

0

0

ln x, x ln x

ln x , x

>⎧= ⎨

− <

⎩

, to }e biti 0ln x ≥ za

( ] [ )∞∪−∞−∈ ,11, x , a za ( ) ( )1,00,1 ∪−∈ x }e biti 0ln x < (vidi

sliku 34).Sada moèmo detaqno zadati funkciju x y ln= . Dakle,

y ln x = = ( )

( )

1

0 1

1 0

1

ln x, x

ln x, x

ln x , x

ln x , x

≥⎧⎪

− < <⎪

⎨− − − < <⎪⎪ − ≤ −⎩

Grafik funkcije je prikazan na slici 34.

Sl. 33

x

3 2π − 2π −

-1

1

0 π −2π −

Sl.34

y

xe-e 1-1

1

0



168

6. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e: 25

500 ili 22000?

b) Izra~unati

4

3

8

32

13:7,0:2

7

61

75

135

53

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

.


a) ,12

71

3

17

2

12

4

3+

−=

−−

+ x x x b) .112 −=+ x x

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu4 4

4cos x sin x cos x.+ =

4. Za koje vrednosti realnog parametra p jedna~ina2

43 6 2 0 x x log p− − = ima oba pozitivna re{ewa?

5. Odrediti jedna~inu kru`nice koja prolazi kroz ta~ke).5,5(),1,7(),6,2( C B A

6. U trapsez sa kracima 13=c i 15=d upisan je krug polupre~nika 6.

Izra~unati duìne onovica tog trapeza.

7. Ta~kasti izvor svetlosti udaqen je 4m od centra loptepolupre~nika 2m. Izra~unati povr{inu neosvetqenog dela lopte.

8. Zbir svih ~lanova beskona~ne geometrijske progresije je ,3

2a

zbir kvadrata ~lanova iste progresije je .3

4Koja je to progresija?

9. Izra~unati

20012001

2

3

2

1

2

3

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +− ii (i je imaginarna

jedinica).10. U xOy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:

a) ( )( ) 042 ≤−+− x y y x , b) ( )( ) 01 ≥−−x

e y y ,

v) ( )( ) 012

≤−+− y x x y .



169


1. a) ( ) ( ) 2000100021000100050025002245525 ==>== .

b)

( )( )

33

44 3

34 4 4

8 8

39 25 5 14 1

15 13 7 13 7 2 8.32 1613 2 10 32 1137 7 13

−−

−−

−

−−

⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⋅⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2. a) Ako jedna~inu12

71

3

17

2

12

4

3+

−

=

−

−

+ x x x pomnoìmo sa

( )12,4,3,2 NZS , tj. sa 12, dobijamo ekvivalentnu jedna~inu

( ) ( ) ( ) 1917412633 +−=−−+ x x x . Sre|ivawem ove jedna~in dobija

se da je 037 =− x , odnosno 0= x .

b) Jedna~ina 112 −=+ x x ima smisla ako je 012 ≥+ x i 01 ≥− x ,

tj. ako je21−≥ x i 1≥ x . Dakle, re{ewa traìmo za sve 1≥ x .

112 −=+ x x 12122

+−=+⇔ x x x ∧ 1≥ x

042

=−⇔ x x ∧ 1 x ≥

( ) 04 =−⇔ x x ∧ 1≥ x

( ) 140 ≥∧=∨=⇔ x x x

4=⇔ x .

3. 4 4 4cos x sin x cos x + = ⇔

( )2

2 2 2 2 2 22 2 2cos x sin x cos x sin x cos x sin x ⇔ + − = − ⇔

2 211 2 1 2 2

2sin x sin x ⇔ − = − 23

2 02

sin x ⇔ = 2 0sin x ⇔ = ⇔

Z k k x ∈=⇔ ,2 π Z k k

x ∈=⇔ ,2

π .



170

4. Jedna~ina 2

43 6 2 0 x x log p− − = ima smisla za 0> p . Prema

Vietovim formulama je3

621 =−=+

a

b x x , a 4

1 2

2

3

c log p x x

a

−= = .

Zadatak se svodi na re{avawe sistema nejedna~ina

021 >+ x x , 021 >⋅ x x , 0≥ D i 0> p , tj.

43

4 24

4

60 0 10 0 13

2 3 10 4

3 2 80

36 24 0 0 0

0

plog p p

log plog p p p

plog p p p

p

−

⎫> < <⎪ ⎫< < <⎫ ⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪> ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥⎬ ⎬ ⎬ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪>+ ≥ > >⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭ ⎭

⎪> ⎭

.

Dakle,1

, 18

p⎡ ⎞

∈ ⎟⎢⎣ ⎠.

5. Koordinate ta~aka A, B i C zadovoqavaju jedna~inu kruga

( ) ( ) 222r q y p x =−+− , pa je:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 6

7 1 .

5 5

p q r

p q r

p q r

⎫− + − =⎪⎪

− + − = ⎬

⎪− + − = ⎪⎭Re{avawem ovog sistema dobijamo da je 2, 1, 5 p q r = = = .

Jedna~ina kruga je ( ) ( ) 222512 =−+− y x .

II na~in (sl. 35)

Odrediti jedna~ine simetrala 1s i 2s tetiva AC i BC . Presek

simetrala je ta~ka O - centar kruga. Polupre~nik kruga je rastojawe

ta~ke O od ta~ke A . Jedna~ina prave AC je: ( )225

656 −

−

−=− x y ,

odnosno ( )23

16 −−=− x y . Koeficijent pravca prave AC je

3

1−= AC k , pa }e koeficijent pravca prave

1s ( 1s je normalna na

AC ) biti 3 . Jedna~ina prave CB je:



171

( )557

515 −

−

−=− x y , odnosno ( )525 −−=− x y . Koeficijent pravca

prave CB je 2−=CBk , pa }e koeficijent pravca prave 2s ( 2s je

normalna na CB ) biti2

1. Prava

1s prolazi kroz sredi{te duì

AC , tj. kroz ta~ku ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

2

56,

2

52 M ,

odnosno ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

2

11,

2

7 M , a prava 2s

prolazi kroz sredi{te duì CB ,

tj. kroz ta~ku ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++

2

15,2

75 N ,

odnosno ( )3,6 N .

Jedna~ine pravih1s i 2s su :

1s : ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−

2

73

2

11 x y ; 2s : ( )6

2

13 −=− x y .

Presek pravih 53:1 −= x ys i2

:2 x ys = dobijamo re{avawem

sistema⎭⎬⎫

=−

=−

02

53

y x

y x . Iz druge jedna~ine je y x 2= , pa se zamenom u

prvu jedna~inu, dobija da je 523 =−⋅ y y , odnosno da je 1= y . Dakle,

koordinate ta~ke O su 2= x i 1= y . Duìna duì OA je

polupre~nik kruga, pa je ( ) ( ) 5162222

=−+−=r , a jedna~ina

traènog kruga je ( ) ( )222

512 =−+− y x .

6. Kako je trapez tangentni , to }e zbirosnovica biti jednak zbiru krakova,tj. 28=+=+ d cba , a visina trapeza

h bi}e jednaka r 2 (sl. 36). Duìneosnovica nalazimo re{avawemsistema:

2s

1s

C

BO

Sl. 35

M N

a

c d

b

r

Sl. 36

r



172

( )

( ) ⎭⎬⎫

=

=

⇒⎭⎬⎫

=−

=+

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=+

=

=

=+

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=++

−=

−=

+=+

7

21

14

28

14

9

5

28

2

2

222

222

b

a

ba

ba

ab

y

x

ba

ab y x

r d y

r c x

d cba

.

7. Neka je R polupre~nik lopte, a h visina loptinog odse~ka i

R h= − . Povr{ina lopte je 24 RP L π = . Povr{ina loptinog

odse~ka je 2od P R hπ = . Kako je OABOBC ΔΔ ~ (trouglovi

OBC i OAB su pravougli i uglovi kod temena O su im jednaki ,

sl. 37), to jeOA

OB

OB

OC = , pa je

4

2

2=

x ,

odnosno 1 x m= . Iz x Rh −=

sledi da je 1h m= .

Sada moèmo izra~unati povr{inuneosvetqenog dela lopte:

2 24 2 16 4 12 NOP R Rh mπ π π π π = − = − = .

8. Zbir svih ~lanova geometrijske progresije postoji ako je 1<q .

Kvadrati ~lanova takve geometrijske progresije tako|e ~ine

geometrijsku progresiju ~iji je koli~nik 2qq =′ , a prvi ~lan

2

1 1a a′

= i zbir svih ~lanova te progresije je isto kona~an. Zato je

( )

12 11 1 1

22

2 2 2 2 4 11 1 1 2

2

22 (1 )2... 31 33

414 4 4... 9

3 31 31

a a qa a q a q

q

qaa a q a q

q q

⎫⎫ = −⎫ = ⎪+ + + = ⎪⎪ − ⎪⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬

−⎪ ⎪ ⎪+ + + = = =⎪ ⎪ ⎪⎭ − ⎭ − ⎭

h

R

B

x

O C

Sl. 37



173

( )

( )

( )11

2 22

221

133 .

11 2 1 4 2 2 03

a qa q

q q q q q

⎫ ⎫= − ⎪ = −⎪ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬

⎪ ⎪− + = − − − = ⎭⎪⎭

Iz druge jedna~ine dobijamo da je 1=q ili2

1−=q . Prema uslovu

zadatka , q mora biti mawe od 1, pa je re{ewe zadatka2

1−=q i

11 =a . Prvih nekoliko ~lanova progresije je ,...8

1,

4

1,

2

1,1 −− .

9. Odredimo trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva

2

3

2

11 i z +−= i

2

3

2

12 i z −−= (sl. 38).

12

3

2

1,

3

2,

2,3

2

12

322

1111 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==<<−=

−

= r tgπ

ϕ π ϕ π

ϕ

22

2 2 2 2

33 4 1 32 3, , , 1

1 2 3 2 2

2

tg r π π

ϕ π ϕ ϕ

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= = < < = = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−

Primenom Muavrove formule dobija se:

200120012 2 4 4

3 3 3 3cos i sin cos i sin

π π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

200120012 2 2 2


π π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2001 2 2001 2 2001 2 2001


π π π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2 667 2 667 2 2 1 2cos cosπ π = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .



174

10. a) ( )( ) 042 ≤−+− x y y x

( ) ( )04200420 ≤−+∧≥−∨≥−+∧≤−⇔ x y y x x y y x

( ) ( )4242 +−≤∧≤∨+−≥∧≥⇔ x y x y x y x y

Sl. 39 Sl. 40 Sl. 41

Na slici 39 predstavqen je skup ta~aka za ~ije koordinate vaì

2 4 y x y x ≥ ∧ ≥ − + , a na slici 40 je predstavqen skup ta~aka za ~ije

koordinate vaì 2 4 y x y x ≤ ∧ ≤ − + . Skup ta~aka koji zadovoqavajudatu relaciju predstavqen je na slici 41.

b) ( )( ) 01 ≥−−x

e y y ( ) ( )001001 ≤−∧≤−∨≥−∧≥−⇔x x e y ye y y

( ) ( ) x x e y ye y y ≤∧≤∨≥∧≥⇔ 11

1 z

2 z

21−

32π −

32π

34π

Sl. 38

0

1

4 3

0 2

1 2

x

y

1

4 3

0 2

1 2

x

y

1

4 3

0 2

1 2

x

y



175

Skup ta~aka za koje je 1≥ y predstavqen je na slici 42, skup ta~aka

za koje je x

e y ≥ predstavqen je na slici 43, a wihov presek na slici44.

Skup ta~aka za koje je 1≤ y predstavqen je na slici 45, skup ta~aka

za koje je x

e y ≤ predstavqen je na slici 46, a wihov presek na slici

47.

Unija skupova sa slika 44 i 47, tj. traèno re{ewe, prikazano je na

Sl.48

0 1

1

e

-1

0 1

1

e

Sl.44

-10 1

1

e

Sl. 43

-1

Sl. 42

0 1

1

e

-1

0 1

1

e

Sl. 45

-1 0 1

1

e

Sl. 46

-1 0 1

1

e

Sl. 47

-1



176

slici 48.

v) ( )( ) ⇔≤−+− 012 y x x y

( ) ( )2 2

0 1 0 0 1 0 y x x y y x x y⇔ − ≤ ∧ + − ≥ ∨ − ≥ ∧ + − ≤

( ) ( )2211 x y x y x y x y −≤∧≥∨−≥∧≤⇔ .

x y ≤ 21 x y −≥ x y ≤ ∧

21 x y −≥

Na slici 51 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama 49i 50.

x y ≥ 21 x y −≤ x y ≥ ∧

21 x y −≤

Sl.49

0 1-1

1

Sl.50

0 1-1

1

Sl.51

0-1 1

1

Sl.53

0

1

1-1

Sl.54

0-1

1

1

Sl.52

0-1 1

1



177

Na slici 54 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama52 i 53.

( )( )01

2≤−+−

y x x y

Na slici 55 prikazana je unija skupova predstavqenih na slikama 54i 51, {to je i re{ewe zadatka.

Sl. 55

0

1

1-1



178

7. grupa 2000. god.1. a) [ta je ve}e 49

500 ili 23000 ?

b) Izra~unati

3

2

4

108

7:6,0:1

3

22

1110

73

51

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

.


a)2

16

2

23

13

92

2

23−

−=

−−

− x x x , b) 31 −=− x x .

3. Dokazati identitet

4 42

22 1

sin sin cos coscostg

α α α α

α α

+ −

=− .

4. Re{iti nejedna~inu 2

3 21

x log x

−< .

5. Odrediti ta~ku krive 2322

=− y x koja je najblià pravoj

13 −= x y .

6. U jednakostrani~ni trougao stranice a tri podudarna kruga suupisana tako da se me|usobno dodiruju i da svaki od wih dodiruje dvestranice tog trougla. Odrediti polupre~nike tih krugova.

7. Prava kru`na kupa je opisana oko pravilne ~etvorostrane

piramide. Visina piramide je 7cm , a zapremina 370cm . Izra~unati

povr{inu i zapreminu kupe.

8. Odrediti zbir svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske

progresije ako je zbir prvog i ~etvrtog ~lana 54, a zbir drugog i

tre}eg 36.

9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnihre{ewa jedna~ine 3 2

2 9 x x a− = .

10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~e vrednosti:

a)0

1 1

3 x

x lim

sin x →

+ −, b)

20

2

x

cos x cos x lim

x →

−, v)

31

1 3

1 1 x lim

x x →

⎛ ⎞−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠.



179


1. a) 3000500249 < , jer je

( ) ( ) 3000100031000100050025002287749 ==<== .

b)

3

2

4

108

7:6,0:1

3

22

11

10

7

3

5

1−

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

3

2

4

7

108

3

5

3

8

11

10

35

22

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅

=

3

2

7

108

7

4−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

3

127

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

3 33−

−= = 932= .

2. a) Ako se jedna~ina2

16

2

23

13

92

2

23−

−=

−−

− x x x pomnoì sa

( )13,2 NZS , tj. sa 26 , sledi da je

2

16

2

23

13

92

2

23−

−=

−−

− x x x ⇔

( ) ( ) ( ) 131323139222313 ⋅−−=−−−⇔ x x x

12261 −=⇔ x 2−=⇔ x .

b) Jedna~ina 31 −=− x x ima smisla za 01 ≥− x i 03 ≥− x , tj.

za 3≥ x . Tada je

31 −=− x x 39612

≥∧+−=−⇔ x x x x

301072

≥∧=+−⇔ x x x

( ) 325 ≥∧=∨=⇔ x x x

5=⇔ x .

3.4 4

2

2 1

sin sin cos cos

tg

α α α α

α

+ −=

−

( )( )2 2 2 22

2 1

sin cos sin cos sin cos

tg

α α α α α α

α

− + +=

−=



180

2 22

2 1

sin cos sintg

α α α

α

− +=

−

2 2

2 1

cos sintg

α α

α

− +=

−

2 2

21

2

sin cos

sin

cos

α α

α

α

− += =

−

( )2 2 2

2 2

sin cos cos

cos sin

α α α

α α

− +=

−2cos α = .

4. Nejedna~ina 2

3 21

x log x

−< ima smisla , ako je 123,0 ≠−≠ x x i

023 >− x tj. ako je ( ) ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∪∪∞−∈

2

3,11,00, x .

1) Za ( )0,∞−∈ x ( )1,0∪ osnova logaritma je ve}a od 1, pa je

logaritamska funkcija rastu}a. Prema tome,

( )2

3 21 0

x log x x ,

−< ∧ ∈ −∞ ( )0,1∪ ⇔

( ) ( )2

3 2 3 23 2 0

x x log x log x x ,

− −⇔ < − ∧ ∈ −∞

( )0,232

∞−∈∧−<⇔ x x x ( )1,0∪

( )0,0322

∞−∈∧<−+⇔ x x x ( )1,0∪

( )( ) ( ) ( )1,00,031 ∪∞−∈∧<+−⇔ x x x

( ) ( )0,1,3 ∞−∈∧−∈⇔ x x ( )1,0∪ ( )0,3−∈⇔ x ( )1,0∪ .

2) Za ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈

2

3,1 x osnova logaritma je pozitivna i mawa od 1, pa je

logaritamska funkcija opadaju}a. Dakle, u ovom slu~aju je

2

3 21

x log x

−< ⇔⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈∧

2

3,1 x ( ) ( )2

3 2 3 2

33 2 1

2 x x log x log x x ,

− −< − ∧ ∈

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈∧−>⇔ 2

3,123

2

x x x

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈∧>−+⇔

2

3,1032

2 x x x

( )( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈∧>+−⇔

2

3,1031 x x x

1-3

1-3



181

( ) ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈∧∞∪−∞−∈⇔

2

3,1,13, x x

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈⇔

2

3,1 x

Skup re{ewa nejedna~ine je ( ) ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∪∪−

2

3,11,00,3 .

5. Kanonski oblik hiperbole 2322

=− y x je 12

3

2

22

=−y x

.

Koeficijent pravca date prave p je 3= pk . Tangenta krive koja je

paralelna datoj pravoj dodiriva}e krivu u traènoj ta~ki. Zna~i,

3=t k . Uslov dodira prave nkx yt +=: i hiperbole 1:2

2

2

2

=−b

y

a

x h je

2222 nbk a =− , odakle sledi da je 2223

3

2n=−⋅ , tj. 2=n ili

2−=n . Jedna~ine tangenti su: ,23:1

−= x yt i ,23:2

+= x yt a

odgovaraju}e dodirne ta~ke su ( )1,11P i ( )1,11−−

P .Primenom formule za rastojawe ta~ke od prave dobija se da je

( ) ( )( )

10

3

19

1113,

10

1

19

1113,

21=

+

−+−⋅=<=

+

−−⋅= pPd pPd .

Traèna ta~ka je ( )1,11

P .

6. Neka je x

rastojawe od temena uglatrougla do dodirne ta~ke kruga upisanog

u taj ugao . Tada je x r a 22 += (vidi

sliku 56) . Kako je

30ctgr

x = , to je

3r x = , pa je ( )312 += r a , odakle

je( )132 +

=a

r , odnosno( )

4

13 −=

ar .

a

2r

30

r r r

r

r

Sl. 56

a



182

7. Neka je p H visina i a osnovna ivica piramide, a k H visina i

r polupre~nik osnove kupe. Prema uslovu zadatka je 7 p k H H cm= = ,

a kvadrat stranice a je upisan u krug polupre~nika r (sl.57). Izformule za zapreminu piramide 21 1

3 3 p p p pV B H a H = = ⋅ sledi da je

23 p

p

V a

H = , tj.

32 23 70

307

cma cm

cm

⋅= = .

Pre~nik kruga 2r je dijagonala kvadrata stranice a , pa je

2 2r a=

, iz ~ega se kvadrirawem dobija da je

2 2

4 2r a=

. Kako je230a = , to je 2

15r = , pa je zapremina kupe

2 31 1 115 7 35

3 3 3k k k k V B H r H cmπ π π = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = . Prema Pitagorinoj

teoremi je 222 H r s += (sl. 58), odakle dobijamo da je cms 8= .

Povr{ina kupe je ( ) ( ) 215 15 8k P r r s cmπ π = + = + .

8. Prema uslovu zadatka vaì:

( )( )

( )( )( )

( )

2

13311 1

12

1 1 1 3

1

1 1 541 5454

1 36

36 1 361 54

a q q qa qa a q

a q qa q a q a q q

a q

⎫+ − +⎫ ⎪⎫ =+ =+ = ⎪ ⎪ ⎪

+⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬+ = + =⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎭

+ = ⎪⎭

⇒

r

H s

Sl. 58

a

r

r

Sl. 57



183

( )

2

3

1

36 90 36 0.

1 54

q q

a q

⎫− + = ⎪⇒ ⎬

+ = ⎪⎭

Iz prve jedna~ine dobijamo da je 2=q ili

2

1=q . Progresija je opadaju}a, pa je

2

1=q . Tada je 48

1=a i

148

9611

12

aS

q∞

= = =−

−

.

9. Analizira}emo krivu ( ) ( )922

−= x x x f .

1) f

D R= ,

2) ( )2

900 =∨=⇔= x x x f ,

3) ( ) 3 92

x x lim f x lim x

x →∞ →∞

⎛ ⎞= − = ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( ) 3 92

x x lim f x lim x

x →−∞ →−∞

⎛ ⎞= − = −∞⎜ ⎟

⎝ ⎠,

4) ( ) ( )26 18 6 3 f x x x x x ′ = − = − ,

( ) 0 0 3 f x x x ′ = ⇔ = ∨ = .

( ) ( ) ( )

( )

( )

,0 0,3 3,

x

f x

f x

−∞ ∞

′ + − +

5) ( ) 12 18 f x x ′′ = −

( )0 18 f ′′ = − , pa f ima lokalni maksimum ( )0 0 f = .

( )3 18 f ′′ = , pa f ima lokalni minimum ( )3 27 f = − .

Grafik funkcije f prikazan je na slici 59.

Neka je ( ) a x g = . Grafik funkcije g je prava paralelna sa x -osom.

Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa

jedna~ine. Prema tome,

( ) ( )

22 9 f x x x = −

9/2 3

-27

0

Sl. 59

( )g x a=



184

1) za 0>a ili 27−<a jedna~ina ( ) ( ) x g x f = ima jedno

re{ewe,

2) za 0=a ili 27−=a jedna~ina ima dva re{ewa,

3) za 027 <<− a jedna~ina ima tri re{ewa.

10. a)

( )( )( ) ( )0 0 0

1 1 1 11 1 1 1

3 3 1 1 3 1 1 x x x

x x x x lim lim lim

sin x sin x x sin x x → → →

+ − + ++ − + −= = =

+ + + +

=

( )0

3 1 1

2 3 63 1 1 3 x

x lim

sin x x →

= =

⋅+ + ⋅

,

jer je0 0

3 1 11

3 3 1

3

x x

x lim lim

sin x sin x x

→ →

= = = .

b)2 2

0 0

2 22

2 2 2

x x

x x x x sin sin

cos x cos x lim lim

x x → →

− +− ⋅

−= =

2

0

32

2 2

x

x x sin sin

lim x →

−⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠=

( )0

32

2 2 2 3

3 2 2 22 2

2 2 3 3

x

x x sin sin

lim x x →

− − ⋅

= = =

⋅ ⋅ ⋅

.

v)2 2

3 3 31 1 1

1 3 1 3 2

11 1 1

x x x

x x x x lim lim lim

x x x x

→ → →

+ + − + −⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟

− − − −⎝ ⎠

=( ) ( )

( )( )21

1 2 31

31 1 x

x x lim

x x x →

− += − = −

− + +.



185

8. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati 2

12:4,0

40

312,435,1:7,27,2:

20

71 ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++

.

b) Uprostiti( )

22

332

:3ba

ba

a

b

b

a

ab

ba −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−.


a) 1122 =−−+ x x ; b) ( )( ) 3= x f f ako je ( ) x x x f 22

−= .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

2 25 4 4sin x sin x cos x cos x .− − =

4. Za koje vrednosti realnog parametra p nejednakost

21

22

2

<+−

−+

x

px x

vaì za svaki realni x ?

5. Odrediti ta~ku krive x y 82

= koja je na najkra}em odstojawu od

prave 4+= x y . Koliko iznosi to odstojawe?

6. Duìna osnovice jednakokrakog trougla je 60cm, a polupre~nikupisanog kruga 15cm. Izra~unati povr{inu ovog trougla.

7. Na}i visinu trostrane jednakoivi~ne piramide zapremineV .

8. Zbir prvog i sedmog ~lana aritmeti~ke progresije je 2, a razlikaizme|u {estog i drugog ~lana je 8. Koliko ~lanova progresije trebasabrati da bi wihov zbir bio 16?

9. Re{iti sistem jedna~ina( )

2

3 2 576

4

x y

log y x

⎫⋅ = ⎪⎬

− = ⎪⎭.

10. U xOy -ravni za Rk ∈ skicirati linije odre|ene jedna~inama:

a) 1−= kx y , b) 12

=− y y x , v) 122

+++= k kx kx y .



186


1

.a)

7 3 1

1 : 2,7 2,7 :1,35 4,2 1 0,4 : 220 40 2

⎛ ⎞+ + − ⋅ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

27 10 270 100 42 43 4 2 1 168 43 4

220 27 100 135 10 40 10 5 2 40 25

−⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

32

1

2

5

25

4

40

125

2

5=+=⋅+= .

b)( )

22

332

:3

ba

ba

a

b

b

a

ab

ba −⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−=

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 3a ab b ab a b a b

ab ab a b a ab b

− + + −= ⋅ ⋅ =

− + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

a ab b a b a ba b

a ab b a b

+ + − +

= = +

+ + −

, uz uslov da je 0, ≠≠ abba .

2. a) Kako je

( )⎩

⎨⎧

−<+−

−≥+=+

2,2

2,22

x x

x x x i

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<−−

≥−

=−

2

1,12

21,12

12

x x

x x

x ,

jedna~inu 1122 =−−+ x x }emo re{avati u svakom od tri

intervala:( ), 2−∞ − ,1

2,2

⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

i1,

2

⎡ ⎞+∞ ⎟⎢⎣ ⎠

. Dakle,

1)

( )( ) ( )( )11222 =−−−+−∧−< x x x

( )⇔=−∧−∞−∈⇔ 042, x x

( ) 42, =∧−∞−∈⇔ x x x ⇔ ∈ ∅ ,

2) 11222

12 =−++∧<≤− x x x 0

2

1,2 =∧⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡−∈⇔ x x 0=⇔ x ,

3) 11222

1=+−+∧≥ x x x 2,

2

1=∧⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡∞∈⇔ x x 2=⇔ x .

Skup re{ewa jedna~ine je { }2,0 .



187

b) Kako je ( ) x x x f 22

−= , to je ( )( ) ( ) ( ) x f x f x f f 22

−= , pa je

( ) ( ) 322

=− x f x f ( ) ( ) ⇔=−−⇔ 0322

x f x f

( ) ( )2

1242

2

1242 +−=∨

++=⇔ x f x f

( ) ( ) ⇔−=∨=⇔ 13 x f x f

⇔=+−∨=−−⇔ 01203222 x x x x

( ) 012

1242

2

1242 2=−∨⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∨

++=⇔ x x x

113 =∨−=∨=⇔ x x x

Skup re{ewa jedna~ine ( )( ) 3= x f f je { }3,1,1− .

3. 2 25 4 4sin x sin xcos x cos x − − = ⇒

⇒ ( )2 2 2 25 4 4sin x sin x cos x cos x sin x cos x − − = + ⇒

2 24 5 0sin x sin xcos x cos x ⇒ − − = 054

2=−−⇒ tgx x tg ⇒

4 16 20 4 16 20

2 2

tgx tgx + + − +

⇒ = ∨ = ⇒

15 −=∨=⇒ tgx tgx ⇒

Z ll x Z k k arctg x ∈+−=∨∈+=⇒ ,4

,5 π π

π .

4. Trinom 12

+− x x je pozitivan za svako R x ∈ , jer je 01 >=a i

041 <−= D , pa je

( )( )

222

2 2

2 422 0 2 4 0

1 1

x p x x px x p x

x x x x

− + + −+ −< ⇔ < ⇔ − + + − < ⇔

− + − +

( ) 0422

>++−⇔ x p x .

Da bi kvadratni trinom ( ) 422

++− x p x

bio pozitivan za svaki realni broj,

mora biti ( ) 01622

<−+= p D ,

odnosno 01242

<−+ p p , tj. ( )( )6 2 0 p p+ − < (sl. 60).

Sl. 60

6 2



188

Re{ewa ove nejedna~ine su svi brojevi iz intervala ( )2,6− .

5.

Traèna ta~ka je dodirnata~ka parabole x y 8

2= i

tangente te parabole kojaje paralelna datoj pravoj l

(sl. 61).

14: =⇒+= lk x yl

1: =⇒+= k nkx yt

Uslov dodira parabole

px y 22

= i prave nkx y +=je kn p 2= .

Sl. 61 Dakle, 212

4

2=

⋅==

k

pn .

Jedna~ina tangente je 2+= x y .


=

+=

x y

x y

8

2

2dobijaju se koordinate 2= x , 4= y

dodirne ta~ke P. Rastojawe ta~ke ( )4,2P od prave : 4 0l x y− + = je,

prema formuli za rastojawe ta~ke od prave,

( )

( )22

1 2 1 4 4 2 4 4 22

1 1 21 1

d ⋅ + − ⋅ + − +

= = = =++ −

.

6. Kako je, prema slici 62,2

1

30

15

2

2===

a

r tg

α ,

to je prema formuli za tangens

dvostrukog ugla3

4

4

11

2

12

21

22

2

=

−

⋅

=

−

=α

α

α

tg

tgtg .

h

r

b

a

2α

Sl. 62

p d

0

y

x

P

2

2

4

2− 4−

lt



189

Iz

2

htg

aα = sledi da je 40h cm= , pa je 2

12002

4060

2cm

ahP =

⋅==

Δ.

II na~inNeka je AB=a osnovica, AC=BC=b krak i CD=h visina koja

odgovara osnovici (sl. 63) i neka je O centar upisanog kruga.Izsli~nosti trouglova OCE i BCD sledi da je

2::

ahr x = , odnosno

3015

30 hb=

−, pa je ( ) hb =− 302 .

Povr{inu trougla ABC izra~una}emo na dva na~ina:

( ) 15 602 15 450 152 2 2ra br I P b bΔ

⋅= + = + ⋅ = +

( )( )

( )30602

30260

2−=

−⋅==

Δb

bahP II

Re{avawem jedna~ine ( )306015450 −=+ bb

dobijamo da je45 2250b = , odnosno 50b cm= ,

pa je 2450 15 50 1200P cm .

Δ= + ⋅ =

7. Neka je a ivica date piramide (sl. 64). Kako je3

2

ah = i

2

2 2 1

3 H h h

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠, to je

3

2

4

3

9

8

9

822

22 aah H =⋅== , odnosno

2.

3

a H =

Na osnovu formule za zapreminu piramide dobijamo da je

32

12

2

3

2

4

3

3

1

3

1a

aa BH V =⋅== , iz ~ega sledi da je

2

123 V a = , tj.

33 26

2

12V

V a == .

Sada se moè izrazitivisina H prekozapremine V :

O

C

B

h

r

r

b

a

2α

E

30

30

Sl. 63

a a

a

h H a

a a

h 3

1

H h

Sl. 64



190

333

32

33

2426

3

2

3

2 V V V

a H ==⋅==

.

8. Prema uslovu zadatka vaì:

⎭⎬⎫

=

−=⇒

⎭⎬⎫

=

=+⇒

⎭⎬⎫

=−−+

=++⇒

⎭⎬⎫

=−

=+

2

5

84

262

85

26

8

211

11

11

26

71

d

a

d

d a

d ad a

d aa

aa

aa.

Kako je zbir prvih n ~lanova aritmeti~ke progresije

( )12 1

2

n

nS a n d ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ , n N ∈ ,

to je ( )16 10 1 22

nn⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ , iz ~ega sledi da je 2

6 16 0n n− − = ,

odnosno 8n = ili 2n = − . Dakle, treba sabrati osam ~lanova dateprogresije da bi wihov zbir bio 16.

9. Zadatak ima smisla ako je 0 y x − > . Tada je

( ) ( )

4

4

2

3 2 5763 2 576 3 2 576

4 42

x y x y x x

log y x y x y x

+⎫⋅ =

⎫⋅ = ⎫⋅ =⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬− = = + ⎪− = ⎭⎪ ⎪⎭ ⎭

43 2 2 576

4

x x

y x

⎫⋅ ⋅ = ⎪⇒ ⎬

= + ⎪⎭ ⎭⎬⎫

=

=⇒

⎭⎬⎫

+=

=⇒

⎭⎬⎫

+=

=⋅⇒

6

2

4

366

4

576166

y

x

x y x y

x x

.

10.a) Grafici funkcija 1 y kx , k R= − ∈su prave ravni xOy koje prolaze kroz

ta~ku ( )0, 1 A − , pri ~emu y-osa ne

pripada ovom pramenu pravih (sl. 65).

k > 0

k = 0

k < 0y

x

0

1−

A



191

b) Kako je, 0

, 0

y y y

y y

≥⎧= ⎨

− <⎩, to je

12

=− y y x 2 20 1 0 y x y y∧ ≥ ⇔ − = ∧ ≥ , i

12

=− y y x 2 20 1 0 y x y y∧ < ⇔ + = ∧ < .

Odgovaraju}a linija je prikazana na slici 66.

v) Jedna~inu 22 1 y kx kx k , k R= + + + ∈ napi{imo u obliku

( ) 11

2++=

x k y .Grafici ovih linija su parabole koje imaju teme u ta~ki ( )1,1T − ,

kada je 0k ≠ , a za 0k = , to je prava 1 y = (sl. 67).

Sl. 66

1 x

y

01−

1−

Sl. 67

x

1

1− 0

y

k = 0

k > 0

k < 0

T



192

9. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati ( )

22

112 322

2 9 81 3log−−

−

− + − + .

b) Uprostiti( )

22

332

:3ba

ba

b

a

a

b

ab

ba +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +− .


a) 1213 =−−− x x , b)2

14

1

132

−=

++++

x

x x x

.

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 22cos x sin x cos x + = .

4. Re{iti nejedna~inu12

2

1

1

−>

+ x

x

x .


=+ y x koja je na najkra}em odstojawu

od prave 042 =+− y x .

6. Kroz proizvoqnu ta~ku u datom trouglu povu~ene su prave para-lelne stranicama i tako dobijena tri mawa trougla ~ije su povr-

{ine P1, P2 i P3. Kolika je povr{ina datog trougla?

7. U pravu kru`nu kupu sa polupre~nikom osnove 4r cm= i visinom

6 H cm= upisan je vaqak maksimalne zapremine. Izra~unati tu za-

preminu.

8. Tre}i ~lan aritmeti~ke progresije je 9, a razlika izme|u sedmog idrugog ~lana je 20. Koliko ~lanova progresije treba sabrati da biwihova suma bila 91?

9. Re{iti sistem jedna~ina⎭⎬⎫

=++

=++

84

1422

y xy x

y xy x .

10. U xOy-ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:

a) ( ) ( ) 012

≤+−⋅+ x y y x , b) ( ) ( )1 0 y ln x x − ⋅ − ≥ ,

v) ( ) ( ) 0122

≤+⋅−+ x y y x .



193


1. a) ( )

2

32

11 12 2322 41

2 9 81 3 2 81 39

loglog−− −−

− + − + = − + − + =

= ( )1

4 41 1 12 3 2 2 2 4

3 3 3

−

+ − + = + − + = .

b)( ) ( )

23 3

2 23 :

a b b a a bab a b a b

⎛ ⎞+ +− ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=2 2 2 2 2 2

3 3

3 2ab a ab b b a a bab ab a b

− − − −⋅ ⋅ =

+

( )( )( )

( )( )

2 2

2 2

a ab b b a b aa b

a b a ab b

− − + − += = −

+ − +, uz uslov baab −≠≠ ,0 .

2. a) Kako je

( )

13 1,

33 1

13 1 ,

3

x x

x

x x

⎧− ≥⎪⎪

− = ⎨⎪− − <⎪⎩

, i( )

2 , 22

2 , 2

x x x

x x

− ≤⎧⎪− = ⎨

− − >⎪⎩,

jedna~inu 1213 =−−− x x }emo re{avati posebno u slede}im

intervalima:1,3

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟

⎝ ⎠,1,2

3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

i ( )2,+∞ .

I) ( ) 1223

11213

3

1−=⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=∧<⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+−+−∧< x x x x x x

II) ( ) 14423

1

121323

1

=⇔⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=∧≤≤⇔⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=+−−∧≤≤ x x x x x x

III) ( )( )[ ] [ ] ∅∈⇔=∧>⇔=+−−−∧> x x x x x x 02212132

Prema tome, skup re{ewa date jedna~ine je { 1,1− .



194

b) Kako zbir ~lanova beskona~ne geometrijske progresije postoji

samo za 1q < , a kvadratni koren postoji za nenegativne brojeve, to

}e, s obzirom na to da leva strana ne moè biti 0 , jedna~ina

2

14

1

132

−=

++++

x

x x x

imati smisla za 014 >− x i 1< x , tj.

za1

14

x < < . Kako je q x = pozitivno, to }e biti1

1S

x ∞

=−

, pa vaì:

( ) 14142

14

1

1

1

2

14

.....1

1 2

32−=−⇒

−=

−

⇒−

=++++

x x x

x

x

x x x

21

2505124 2

=∨=⇒=+−⇒ x x x x .

Prema uslovu zadatka, re{ewe jedna~ine je samo2

1= x .

3. 22cos x sin x cos x + =

2 2 2cos x sin x sin x cos x ⇔ − + =

20cos x cos x ⇔ − =

( )1 0cos x cos x ⇔ − =

0 1cos x cos x ⇔ = ∨ =

Z ll x Z k k x ∈π=∨∈π+π

=⇔ ,2,2

.

4. Nejedna~ina12

2

1

1

−>

+ x

x

x ima smisla za 1−≠ x i

2

1≠ x .

( ) ( )

21 2 1 2 2 1

0 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1

x x x

x x x x x x

− −> ⇒ − > ⇒ > ⇒

+ − + − + −

( )( ) ( )

22 1

01 2 1

x

x x

− +⇒ > ⇒

+ −( ) ( )

11 2 1 0 1,

2 x x x

⎛ ⎞+ − < ⇒ ∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

5. Traèna ta~ka je dodirna ta~ka elipse 3222

=+ y x i wene

tangente koja je paralelna datoj pravoj : p 042 =+− y x .



195

Koeficijent pravca tangente jednak je koeficijentu pravca prave

p . Eksplicitni oblik jedna~ine prave p je 2 4 y x = + , iz ~ega

sledi da je 2 pk = , pa je i 2t k = . Iz kanonskog oblika jedna~ine

elipse 13

2

3:

22

=+y x

e nalazimo da je 2 3

2a = i 2

3b = , pa iz uslova

dodira 2222 bk an += prave nkx y += i elipse 12

2

2

2

=+b

y

a

x , gde je

2=k , dobijamo da je 92

=n . Jedna~ine tangenti su:

32:1 += x yt i 32:2 −= x yt .


=−

=+

32

3222

y x

y x i

⎭⎬⎫

−=−

−=+

32

3222

y x

y x dobijamo

dodirne ta~ke ( )1,11 −P i ( )1,12 −P . Rastojawa ovih ta~aka do prave

: p 042 =+− y x su:

( )( )

5

1

14

4112

,1 =+

+−−⋅

= pPd i ( ) 5

7

14

4112

,2 =+

++⋅

= pPd .

Dakle, ta~ka ( )1,11 −P je ta~ka elipse koja je najblià datoj pravoj p

6.

B

1 A

2 A

1 B

2 B

1C

2C

Sl. 68

C

A

M



196

Trouglovi21 B MB ,

21 MA A i M C C 12su sli~ni trouglu ABC (sl. 68),

jer su im svi odgovaraju}i uglovi jednaki kao uglovi sa paralelnim

kracima. Ako je CB a= , 2 1 B M a= , 2 1 2 A A a= i 1 3 A B a= , prema

uslovu zadatka sledi da je aaaa =++ 321.

Povr{ine sli~nih trouglova se odnose kao kvadrati odgovaraju}ihstranica, pa je

2 2

1 1 1 11 12 2

P a P a aP P P

P a a a

⋅= ⇒ = ⇒ = (1)

2 2

2 2 2 22 22 2

P a P a aP P P

P a a a

⋅= ⇒ = ⇒ = (2)

2 2

3 3 3 3

2 23 3

P a P a aP P P

P aa a

⋅= ⇒ = ⇒ = (3)

Iz (1), (2) i (3) se dobija da je ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=++

a

aaaPPPP 321

321,

iz ~ega sledi da je ( )2321 PPPP ++= .

7. Neka je 1 H visina vaqka upisanog u kupu (sl. 69). Prema uslovu

zadatka, visina kupe je 6 H cm= , a polupre~nik osnove kupe je

4 .r cm= Na osnovu sli~nosti trouglova osen~enih na slici 69,

sledi da je4

624

4

61

1

1

1

1

1 r H

r

H

r

H −=⇒

−=

−. Zapremina vaqka je

funkcija od 1r , tj. ( )1r f V = i

2 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1

3 36 62 2

vV B H r H r r r r π π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Iz ( ) 21 1 1

912

2 f r r r π π ′ = − + i ( )1 1 1

80 0

3 f r r r ′ = ⇔ = ∨ =

sledi da funkcija f prima svoju maksimalnu vrednost za 1

8

3r = ,

pa je 364 1282

9 9max V cm

π π = ⋅ ⋅ = .



197

8. Zbir prvih n ~lanova aritmeti~ke progresije izra~unava se po

formuli ( )[ ]d nan

S n 122

1 −+= , n N ∈ . Kako je po uslovu zadatka

⎭

⎬⎫

=

=⇒

⎭

⎬⎫

=+

=⇒

⎭

⎬⎫

=+

=−−+⇒

⎭

⎬⎫

=

=−

1

4

92

205

92

206

9

20

111

11

3

27

a

d

d a

d

d a

d ad a

a

aa,

to je ( )91 2 1 1 42

nn⎡ ⎤= ⋅ + −⎣ ⎦ , odnosno 2

2 91 0n n− − = . Re{ewa

jedna~ine su 7n = ili27

4n = − . Dakle, treba uzeti 7 ~lanova

progresije da bi wihov zbir bio 91.

9. Sistem ima smisla za 0≥ xy . Kako je ( )

2 2 2 214 14 2 14 2 14 2 x y x y x y xy− − = + + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

2 2196 28 28 2 x y x y xy= + + − − + ,

to je ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

+−−++=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

−−=

84

22828196

84

14

22

22

22 y xy x

xy y x y x xy

y xy x

y x xy

Sl. 69

16 H −

r

14 r −

1r

1 H

H

r

s



198

( ) ( )2 2

2 22 2

28 196 8428 196

8484

x y x xy y x y

x xy y x xy y

⎫ ⎫+ = ++ + = + − ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬

+ + =+ + = ⎪⎪ ⎭⎭

2 2

10

84

x y

x xy y

+ = ⎫⎪⇒ ⇒⎬

+ + = ⎪⎭ ( ) ( )2 2

10

10 10 84

x y

y y y y

= − ⎫⎪⇒⎬

− + + − = ⎪⎭

2

10.

10 16 0

x y

y y

= − ⎫⎪⎬

⇒ − + = ⎪⎭

Re{avawem druge jedna~ine sistema dobijamo da je 8= y ili 2= y .

Skup re{ewa sistema je ( ) ( ){ }8,2,2,8 .

II na~in:

Kako je ( )22 2 x xy y x y xy+ + = + − , to }e dati sistem biti

ekvivalentan sistemu:

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−+

=++

84

14

2

xy y x

xy y x . Uvo’|ewem smene

ya += , xyb = dobija se da je

( )( )2 2

1414 14 10

84 6 484

a ba b a b a

a b a b a b ba b

+ =+ = ⎫⎫ + = =⎫ ⎫⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬ ⎬

− + = − = =− = ⎪ ⎪ ⎭ ⎭⎭ ⎭.

Prelaskom na stare promenqive , jednostavno se dolazi do re{ewa

sistema.

10.a) ( )( )21 0 x y y x + − + ≤ ⇔

( ) ( )01001022

≤+−∧≥+∨≥+−∧≤+⇔ x y y x x y y x

( ) ( )1122

−≤∧−≥∨−≥∧−≤⇔ x y x y x y x y .



199

Presek skupova prikazanih na slikama 70 i 71 predstavqen je naslici 72.


- 1

10

2 1 y x y x ≤ − ∧ ≥ −

Sl. 72

10

-1

1 y x ≥ −

Sl. 71

1 y x = −

0 1

-1

-1

2 y x ≥ −

Sl. 73

-1

0 1

Sl. 70

2 y x =

2 y x ≤ −

0 1

-1

1 y x ≤ −

Sl. 74

0 1

-1

21 y x y x ≥ − ∧ ≤ −

Sl. 75



200

Sl. 76Unija skupova prikazanih na slikama 72 i 75 ,tj. kona~no re{ewe,prikazano je na slici 76.b)

( )( )1 0 y ln x x − − ≥ ( ) ( )0 1 0 0 1 0 y ln x x y ln x x ⇔ − ≥ ∧ − ≥ ∨ − ≤ ∧ − ≤

( ) ( )1 1 y ln x x y ln x x ⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤

Presek skupova prikazanih na slikama 77 i 78 predstavqen je na

slici 79.

0 1

-1

( ) ( )2 2

1 1 y x y x y x y x ≤ − ∧ ≥ − ∨ ≥ − ∧ ≤ −

0

1

1 e

Sl. 79

1 y ln x x ≥ ∧ ≥

10

1

e

Sl. 80

1 x ≤

0 1 e

1

Sl. 81

y ln x ≤

0 1 e

1

Sl. 82

1 y ln x x ≤ ∧ ≤

y ln x ≥

0

1

1 e

Sl. 77

y ln x =

10

1

e

Sl. 78

1 x ≥

1 x

=



201


Unija skupova prikazanih na slikama 79 i 82 predstavqena je naslici 83, {to je i kona~no re{ewe zadatka.

v)

( )( )2 21 0 x y y x + − + ≤ ⇔

( ) ( )0010012222

≤+∧≥−+∨≥+∧≤−+⇔ x y y x x y y x

( ) ( ) x y y x x y y x −≤∧≥+∨−≥∧≤+⇔ 112222


0

1

1 e

Sl. 83

( ) ( )1 1 y ln x x y ln x x ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤

0

1

1

Sl. 84

2 21 x y+ ≤

2 21 x y+ =

0 1

1

Sl. 85

y x ≥ −

y x = y x = −

0 1

1

Sl. 86

2 21 y y x + ≤ ∧ ≥ −



202


Unija skupova prikazanih na slikama 86 i 89 predstavqena je naslici 90, {to je i kona~no re{ewe zadatka.

0

1

-1

Sl. 87

2 21 x y+ ≥

0 1

-1

Sl. 88

y x ≤ −

0 1

-1

Sl. 89

2 21 y y x + ≥ ∧ ≤ −

0 1

-1

0

Sl. 90

( ) ( )2 2 2 21 1 x y y x x y y x + ≤ ∧ ≥ − ∨ + ≥ ∧ ≤ −



166

(sl. 31) dobija se da je Z k k x ∈+= ,23

π π

ili Z ll x ∈+−= ,23

π π

.

9. Koristi}emo identitet ( ) 22222442 y x y x y x −+=+ .

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

=++

37

481

22

4224

y xy x

y y x x ⇒

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

=−+

37

481

22

22222

xy y x

y x y x ⇒

( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=+

=−−

xy y x

y x xy

37

48137

22

222

⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=+

=−+−

xy y x

y x y x xy

37

481741369

22

2222

⇒

⇒ ⎭⎬⎫

=+

=

25

12

22 y x

xy⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+

=

025144

12

24 x x

x y

⇒

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=+−

x y

x x

12

014425222

.

Iz prve jedna~ine, uvo|ewem smene t x =2 , dobijamo se jedna~ina

014425

2=+−

t t ~ija su re{ewa 161=

t i 92=

t , odakle sledi da je

{ }3,3,4,4 −−∈ x . Kako je x

y12

= , to }e skup re{ewa datog sistema biti

( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3,4,3,3,4,3,4 −−−− .

10. a) Kako je⎩⎨⎧

<−

≥=

0,

0,

x x

x x x , to je

x x y −= 2 ( )12 −=−= x x x x , za 0≥ x , i

x x y −=2 ( ) ( )1

22+=+=−−= x x x x x x ,

za 0< x . Grafik je prikazan na slici 32.

Sl. 32

-1 10



203

10. grupa 2000. god.

1. a) Izra~unati 2% broja

1

21

1

3 1 7 12: :7 2 2 3 18

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

b) Uprostiti⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+

++ 1

11:

1

1

1

1

a

a

aaaa.


a) …121212,011

6= x , b)

( )2

1

33 2log x x − +

= .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 6 5 1cos x cos x cos x − + = .

4. Za koje vrednosti parametra Ra ∈ realni koreni x 1 i x 2 jedna~ine

012

=++ ax x zadovoqavaju uslov 71

2

2

1<+

x

x

x

x .


=+ y x koja je najvi{e udaqena od

prave 42 +−= x y .

6. Tri kruga polupre~nika r me|usobno se dodiruju u ta~kama M , N i

P. Izra~unati povr{inu krivolinijskog trogula MNP.

7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe upisane u jednakoivi~nu~etvorostranu piramidu duìne ivice 2 cm .

8. Zbir prva tri ~lana aritmeti~ke progresije je 18, a zbir slede}atri ~lana je 0. Odrediti zbir prvih dvadeset ~lanova te progresije.

9. Date su realne funkcije:

( ) x x f =1 , ( ) x

x x f 2

2 = , ( ) x x x f

2

3= , ( ) 2

4 2log x f x = i 2

5 )( x x f = .

Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih, a zatim skici-rati grafik funkcije ( ) ( ) ( ) x f x f x f 13 −= .

10. Odrediti sve prirodne brojeve koji su deqivi brojem 8, ~iji jezbir cifara jednak 7, a proizvod cifara jednak 6.



204


1.a)2

12418

6

1

7

22

7

3

18

1:

3

2

1

2

7:

2

1

7

3 11

2

12

12

1

1

==

=

⋅+⋅+=

+

+

−

−−

−

−

.

01,0100

1

100

2

2

1==⋅ .

b) Zadatak ima smisla za 0101,0 >−∧>+> aaa tj. za 1>a .

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

−++⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

−−+

++ 111:

11

11

aa

aaaa

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−++

+−

+−=

1

11:

1

1

1

1

a

aa

aa

aa

aa

aa=

( ) 111

111 −=

++−

−⋅−++−+= a

aa

aaaaa .

2. a) ...121212,011

6= x ...1212,12

11

600=⇔ x ...1212,012

11

600+=⇔ x ⇔

600 612

11 11 x x ⇔ = + 12

11

6

11

600=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⇔ x 12

11

594=⇔ x

594

1112 ⋅=⇔ x

9

2=⇔ x .

II na~in

...10

12

10

12

10

12

11

6642

+++= x

Na desnoj strani jedna~ine je beskona~na geometrijska progresija, za

koju je:1 2 2

12 11

10 10a , q= = < i

21

2

12

1011

110

aS

q∞

= =−

−

, pa je





206

2,

5 x l l Z π = ∈ (naime, za 5 ,l k k Z = ∈ dobijaju se svi brojevi iz skupa

2 , x s s Z π = ∈ ).

4. Koreni1

x i2

x kvadratne jedna~ine 012

=++ ax x su realni, ako

je 01142

≥⋅⋅−= a D tj. ako je ( )( )2 2 0a a− + ≥ , odnosno

( ] [ )∞∪−∞−∈ ,22,a (sl. 91).

Prema Vietovim formulama je a x x −=+ 21 i 121 = x x .

Kako je 71

2

2

1<+

x

x

x

x ( )7

2

21

21

2

21<

−+⇔

x x

x x x x , to je

22 1

71

a − ⋅< , odnosno 2

9 0a − < , tj.( ) ( )3 3 0a a− + < ,

pa je ( )3,3a ∈ − (sl. 92).

Dakle, ( ] [ )( ) ( )3,3,22, −∩∞∪−∞−∈a , odnosno, ( ] [ )3,22,3 ∪−−∈a .

5. Videti 5. zadatak 9. grupe 2000. godine.

Re{ewe: :1t 32 +−= x y , ( )1,11P , ( )5

1,11 = pPd

:2t 32−−=

x y , ( )1,12−−

P , ( ) 5

7

,22=

pPd

Najudaqenija ta~ka elipse od date prave je ta~ka ( )1,12−−P .

6. Centri krugova su temena jednakostrani~nog trougla stranice

r 2 (sl. 93). Povr{inu krivolinijskog trougla MNP dobijamo kada

od povr{ine trougla 1 2 3O O O oduzmemo povr{ine podudarnih

kru`nih ise~aka 1O MN , 2O NP i 3O PM . Prema tome,

-2 2

Sl. 91

-3 3

Sl. 92

2−3− 320



207

=−= MN OOOO MNP PPP1321

3( )

2 22 3 603

4 360

r r π ⋅ ⋅− ⋅ =

2 2

4 34 2

r r π ⋅= − =

=2

23

2

r r

π − = ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

23

2 π r .

7. Baza piramide je kvadrat stranice 2a cm= , a baza upisane kupe je

krug upisan u taj kvadrat, pa je polupre~nik 12

ar cm= = (sl. 96).

Visina piramide H i visina kupe se poklapaju. Kako je piramida jednakoivi~na, wene bo~ne ivice su jednake osnovnim. Iz pravouglogtrougla (sl. 94 i sl. 95) ~ija je jedna kateta visina piramide, drugakateta polovina dijagonale baze i hipotenuza bo~na ivicapiramide, na osnovu Pitagorine teoreme, nalazimo da je

2

22

2

2⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

aa H , tj.

2

22 a

H = , odnosno2

22

a H = = . Visina h

bo~ne strane piramide je izvodnicas kupe ,pa, kako je bo~na strana

jednakostrani~ni trougao, to je3 2 3

32 2

ah = = = . Sada moèmo

da izra~unamo povr{inu i zapreminu kupe:2 2 B r cmπ π = = ; 2

1 3 3 M r s cmπ π π = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

( ) 21 3P B M cmπ = + = + , 31 1

23 3

V BH cmπ = = ⋅ ⋅ .

Sl. 95

H a

a 2

2

Sl. 94

H

a

a

a

h a

r

h

Sl. 96

a

r O

a 2

2

a

Sl. 93

3O

M

1O2O

P

N



208

8. Neka je 1a prvi ~lan , a d razlika date aritmeti~ke progresije.

Prema uslovu zadatka je

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 11 2 3

4 5 6 1 1 1

2 1818

0 3 4 5 0

a a d a d a a a

a a a a d a d a d

⎫+ + + + = −+ + = − ⎫ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬

+ + = + + + + + =⎭ ⎪⎭

⇒ 1 1 1

1

3 3 18 3 3 18 8

3 12 0 9 18 2

a d a d a

a d d d

+ = − + = − = −⎫ ⎫ ⎫⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬

+ = = =⎭ ⎭



209

( ) 2

42

log x f x x = = , 0> x .

Grafik funkcije 4 f prikazan na slici 100.

( ) x x x f ==2

5, R x ∈ .

Grafik funkcije 5 f prikazan na slici 101.

Me|u datim funkcijama nema jednakih.

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

<−

>=−=

0 ,2

0 0, 13

x x

x x f x f x f .

Grafik funkcije f dat je na slici 102.

10. Posledwa cifra traènog prirodnog broja n mora biti parna, jer je k n ⋅= 8 , N k ∈ paran broj.Posledwa cifra ne moè biti 8, jer je zbir cifara 7, a ne moèbiti ni 0, jer je proizvod cifara 6.Jedine mogu}nosti su: 16, 1132, 1312 i 3112.Kako 1132 nije deqiv sa 8, re{ewe zadatka su brojevi : 16, 1312 i3112.

0

Sl. 100

0

Sl. 101

2

-1 0

Sl. 102



210

1. grupa 2001. god.

1. Izra~unati:

a)1

2,0:5

2

2

1

2

110:25,5

2

17:

4

33

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+− , b) ( )

4log21

32

22

1

2482 +−+−−−

.


a)2

37

3

25

5

32 x x x −=

−+

+, b)

( )2

1

31

36

log x x +

= ⋅

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu:3

4=+ ctgx tgx .

4. Re{iti nejedna~inu ( )0 2

2 123

15

,

x log

x −

+

> .

5. Na krivoj 92 22=+ y x odrediti ta~ku najbliù pravoj

0104 =−− y x .

6. Izra~unati povr{inu paralelograma ~iji je obim cm20 , o{tar

ugao

30 , a visine se odnose kao 3:2 .

7. Visina H i izvodnica s prave kupe odnose se kao 5:3 , a wena

zapremina je 3128 cmπ . Izra~unati povr{inu kupe.

8. Re{iti jedna~inu 2 3 13

sin x sin x sin x ...− + − = .

9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih re-

{ewa jedna~ine k x x =−23 3 .

10. Izra~unati grani~ne vrednosti:

a)3

1

1 31 1 x

lim x x →

⎛ ⎞−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠, b)

5

1 25 x

x lim

x →

− −

−, v)

30 x

tgx sin x lim

x →

−⋅



211


1. a)

13 1 1 1 2

3 : 7 5,25 :10 : 0,24 2 2 2 5

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

115 15 21 21 1 2

: : :4 2 4 2 10 10

−

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

1

2

1

2

1

2

10

10

1

21

2

4

21

15

2

4

1511

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−⋅=

−−

b) ( ) ( ) ( )( )

2

1 1

2 2

12 12 1 42 23 23 23 22 8 4 2 2 2 2 2log log

−

− −− −

− + − + = − + − + =

2

4

1

2

1

4

122222 212

=+−+=+−+=−−−

2.a) Pomnoìmo levu i desnu stranu jedna~ine sa ( )2,3,5 NZS = 30 .

( ) ( ) ( ) x x x x x x

371525103262

37

3

25

5

32−=−++⇔

−=

−+

+

x x x 4510520501812 −=−++⇔

0107107 =−⇔ x 1=⇔ x .

b) Jedna~ina ima smisla za 0≠ x . Tada je

( )

( )( )2

12

31

3

11 1 1

36 3 6

log x x log x x

+−+ ⎛ ⎞

= ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

12

1

31 13 6

log x x −

+

⇔ =

611

2=

+⇔

x x

.

.



212

( )( ) ( )

22

2

032

32

06

066

2

22

−=∨=⇔

⊥∨=⇔

>∧=∧−=∨=∧=⇔

=∧−=∨=⇔

=∧=−+⇔

=−+⇔=+⇔

x x

x

x x t t x t t

x t t t

x t t t

x x x x

3.Jedna~ina ima smisla za Z ll x Z k k x ∈+≠∧∈≠ ,2

, π

π

π .Tada je:

3

4=+ ctgx tgx

3

41=+⇔

tgx tgx

03

412

=−+⇔ tgx x tg

013

42=+−∧=⇔ t t t tgx

0343 2=+−∧=⇔ t t t tgx

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∨=∧=⇔

3

33 t t t tgx

3

33 =∨=⇔ tgx tgx

.,6

,3

Z ss x Z ll x ∈+=∨∈+=⇔ π π

π π

4. Nejedna~ina ima smisla za 02

12>

+

−

x

x , odnosno za

( )( )2 1 2 0 x x − + > ,

tj. za ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞∪−∞−∈ ,

2

12, x , (sl. 103).

.

-2 1/2

Sl. 103



213

( ) ( ) ( )0 2 0 2

2 1 2 10

2 23 3 31

5 5 5

, ,

x x log log

x x − −

+ +

> ⇒ > (osnova eksponencijalne

funkcije je

iz intervala ( )0,1 )

0 2

2 10

2 ,

x log

x −

⇒ <+

(osnova logaritamske funkcije

je iz intervala ( )0,1 )

12

12>

+

−⇒

x

x

012

12>−

+

−⇒

x

x

02

3>

+

−⇒

x

x

( )( ) 023 >+−⇒ x x

( ) ( )∞∪−∞−∈⇒ ,32, x .Re{ewe nejedna~ine je presek skupova

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞∪−∞− ,

2

12, i ( ) ( )∞∪−∞− ,32, .

Dakle, skup re{ewa date nejedna~ine je skup ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞ .

5. Kanonski oblik elipse 92 22=+ y x je 1

2

99

22

=+y x

. Dodirna ta~ka

elipse i wene tangente, paralelne datoj pravoj bi}e traèna ta~ka.

Data prava 0104 =−− y x ima koeficijent pravca4

1= pk . Tangenta

je paralelna sa pravom p , pa je4

1=t k . Uslov dodira prave

nkx y += i elipse 12

2

2

2

=+b

y

a

x je 2222 nbk a =+ . Dakle,

0 3-22

1

Sl. 104

-2 3



214

2

2

9

16

19 n=+⋅ , pa je

4

9=n ili

4

9−=n . Jedna~ine tangenti elipse,

paralelnih datoj pravoj su:

4

9

4

1:1 += x yt

ili 094 =+− y x

4

9

4

1:2 −= x yt ili 094 =−− y x .


=+−

=+

094

92 22

y x

y x i

⎭⎬⎫

=−−

=+

094

92 22

y x

y x dobijaju se

dodirne ta~ke ( )1

1 2P ,− i ( )2

1 2P ,− , a na osnovu formula za pastojawe

ta~ke od prave sledi da je

( )17

19

161

1081,1 =

+

−−−= pPd i ( ) .

17

1

161

1081,2 =

+

−+= pPd

Ta~ka ( )2,12 −P date elipse je najblià pravoj p .

6. Kako je baO 22 += , to je ( ) 202 =+ ba , pa je 10=+ ba .

Iz 2

130sin ⋅=⇒= bhb

ha

a

i 2

160cos ⋅=⇒= aha

hb

b

, (sl. 105)

dobija se da je 3:2:2

:2

: === abab

hh ba ili ab 23 = .


=−

=+

032

10

ba

badobija se da je 6=a i 4=b , pa je

2ah = i 3bh = .

Povr{ina paraleloggrama je :

.12 2cmhbhaP ba =⋅=⋅=

b

b

a

a

ah

bh

3060

Sl. 105



215

7. Kako je 5:3: =s H , to je5

3s H =

pa

}e na osnovu Pitagorine teoreme biti

222 H sr −= , odnosno

25

9 222 s

sr −= ,

tj. 25

1622⋅= sr . Iz formule za zapreminu

kupe H r V π 2

3

1= , prema datim podacima

dobija se da je H r 2

3

1128 π π = , odnosno H r 21283 =⋅ ,

tj.5

3

25

161283 2 s

s ⋅=⋅ ili125

16128

3s= , iz ~ega sledi da je 12583

⋅=s ,

tj. 10=s . Sada nalazimo da je 6= H i 8=r . Povr{ina kupe je

( ) 2144188 cmsr r M BP π π π =⋅⋅=+=+= .

8. Leva strana jedna~ine predstavqa zbir svih ~lanova

beskona~ne geometrijske progresije ( )na za koju je 1a sin x = i

q sin x = − . Ako je 1q sin x = − < , onda je taj zbir kona~an, pa }e na

osnovu formule 1

1

aS

q∞

=−

biti 2 3

1sin x

sin x sin x sin x sin x

− + − = ⋅+

Prema uslovu zadatka je1

1 3sin x

,sin x

=+

odakle

dobijamo da je

2

1sin = x , a re{ewa ove

jedna~ine (sl. 107) su svi brojevi oblika

Z k k x ∈+= ,26

π π

ili .,26

5 Z ll x ∈+= π

π

s

r

H

Sl. 106

1/2

10

Sl. 107



216

9.Analizira}emo krivu ( ) 23 3 x x x f −= .

1) R D f =

2) ( ) ( ) 030 2 =−⇔= x x x f

30 =∨=⇔ x x

3) ( ) ( )3 31

x x lim f x lim x

x →+∞ →+∞

= − = +∞

( ) ( )3 31

x x lim f x lim x

x →−∞ →−∞

= − = −∞

4) ( ) x x x f 63 2−=′

( ) ( ) 0230 =−⇔=′ x x x f

20 =∨=⇔ x x

Prvi izvod funkcije je pozitivan za ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,20, x , a

negativan za ( )2,0∈ x , pa je funkcija rastu}a u intervalima

( )0,∞− i ( )+∞,2 , a opadaju}a u intervalu ( ).2,0 (sl. 108)

5) ( ) 66 −=′′ x x f

( ) ( )0 6 0 0max

f f ′′ = − ⇒ =

( ) ( )2 6 2 4min

f f ′′ = ⇒ = −

Prava ( ) k x g = je paralelna sa x -osom.

Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa jedna~ine.

Sada je jasno (sl. 109) da jedna~ina k x x =−23 3 , Rk ∈ ima:

( )23

3 x x x f −=

-4

3 20

( ) k x g =

Sl. 109

( ) 23 3 x x x f −=

-4

3 20

Sl. 108



217

1) jedno re{ewe, ako je ( ) ( ), 4 0, ,k ∈ −∞ − ∪ ∞

2) dva re{ewa, ako je { }0,4−∈k ,

3) tri re{ewa, ako je ( )0,4−∈k .

10. a) 1− , (videti VII grupu iz 2000. god.)

b)( )( )

( )( )5 5

1 2 1 21 2

5 5 1 2 x x

x x x lim lim

x x x → →

− − − +− −= =

− − − +

( ) ( )5

1 4 1

45 1 2 x

x lim

x x →

− −= = ⋅

− − +

( )

( )

3 2 20 0 0

2

20 0

0 0 0

0

11

1в)

2 22 2 2

2 22 2

1 1 12 1 1 12 2 2

2

1

x x x

x x

x x x

x

sin x tgx sin x cos x sin x cos x

lim lim lim x x x x x cos x

x x x sin sin sin

sin x sin x lim lim

x x x x x cos x cos x

x sin

sin x lim lim lim

x x cos x

sin x lim

x

→ → →

→ →

→ → →

→

−− −

= = ⋅ =⋅

⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

=



218

2. grupa 2001. god.

1. a) Koje su od slede}ih jednakosti ta~ne:

( )i 1 1sin sin= , ( )ii ( ) 22 2 =− , ( )iii 162 22 =

−− ,

( )iv ( ) ( )2 3 6log log log− + − = , ( )v 12

arcsinπ

= ?

b) Izra~unati2

627627 ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

+−− .


a)

2

43

4

2

3

45 −=

+−

− x x x , b) 53

22=+− x x .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 3 1sin x sin x = .

4. Re{iti nejedna~inu

123

2

1

4

1+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x

.

5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki )3,2( − A u odnosu na pravu

012 =−+ y x .

6. Oko kruga polupre~nika cm2 opisan je jednakokraki trapez

povr{ine 220 cm . Odrediti duìne stranica trapeza.

7. Povr{ina omota~a prave pravilne trostrane piramide i

povr{ina wene osnove odnose se kao 1:3 . Odrediti kosinus

ugla pod kojim je strana piramide nagnuta prema osnovi.

8. Zbir prva 4 ~lana rastu}eg aritmeti~kog niza je 26, a proizvoddrugog i tre}eg ~lana je 40. O kojem nizu je re~?

9. Izra~unati2 4

5 5cos cos

π π + ⋅

10. Date su funkcije:

( ) x

x x f

2

1 = , ( ) 2

2 x x f = , ( )3

ln x f x e= , ( )

1

2

4−

−=

x

x x x f , ( )

1

5

1−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

x x f .

Ispitati da li me|u wima ima jednakih , a zatim skicirati

grafike za 51 f f + i 51 f f ⋅ .



219


1.a) (i) Data jednakost nije ta~na, jer2

1 1360 180

sin sin sin sinπ π

= = ≠ .

(ii) Jednakost ( ) 222

=− je ta~na, jer ( ) 2222

=−=− .

(iii) Jednakost 1622

2=

−−

nije ta~na, jer 1622244

1

2 2

=≠=−

−−

.

(iv) Jednakost 2 3 6log( ) log( ) log− + − = nije ta~na, jer izraz na

levoj strani nije definisan.

(v) Jednakost 12

arcsinπ

= je ta~na, jer je 1 12 2

sin arcsinπ π

= ⇔ = .

b) ( )2

7 2 6 7 2 6− − + =

( ) ( )2 2

7 2 6 2 7 2 6 7 2 6 7 2 6= − − − ⋅ + + + =

42521462764492627 =−=++⋅−−−= .

2.a) Ako se data jedna~ina pomnoì sa ( )2,4,3 NZS ,tj. sa 12 , dobija se:

( ) ( ) ( )43623454 −=+−− x x x 02418631620 =+−−−−⇔ x x x 02 =+−⇔ x

2=⇔ x .

b) 0503532222

≥−∧≥−∧=+− x x x x

53102532422

≤≤∧+−=−⇔ x x x x

5302811224

≤≤∧=+−⇔ x x x

5302811222

≤≤∧=∧=+−⇔ x x t t t

42=⇔ x

22 −=∨=⇔ x x .

3. ( )( )1

2 3 1 2 2 4 12

sin x sin x cos x cos x = ⇔ ⋅ − − =

2 4 1cos x cos x ⇔ − =

2 1 4cos x cos x ⇔ = +

22 2 2cos x cos x ⇔ =



220

( ) 02cos212cos =−⇔ x x

2

12cos02cos =∨=⇔ x x

Z ll x Z k k x ∈+±=∨∈+=⇔ ,23

2,2

2 π π

π π

Z ll x Z k k x ∈+±=∨∈+=⇔ ,6

,24

π π π π

.

4.Uzimaju}i u obzir da je⎩⎨⎧

−<−−

−≥+=+

1,1

1,11

x x

x x x i da je osnova

eksponencijalne funkcije iz intervala ( )1,0 , pa je ona opadaju}a(sl. 111), sledi da je

123

2

1

4

1+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x 146

2

1

2

1+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇔

x x

146 +≥−⇔ x x

( ) ( )11461146 −<∧−−≥−∨−≥∧+≥−⇔ x x x x x x

( ) ( )10371055 −<∧≥−∨−≥∧≥−⇔ x x x x

( )

−<∧≥∨−≥∧≥⇔ 1

7

311 x x x x

[ ) ∅∈∨∞∈⇔ x x ,1

[ )∞∈⇔ ,1 x .

5. Ta~ka B bi}e na pravoj n koja je normalna na datu pravu p ,

prolazi kroz ta~ku A , a presek prave p i prave n je sredi{te duì

AB (sl. 112). Eksplicitni oblik prave p je2

1

2

1+−= x y , iz ~ega

se dobija da je2

1−= pk . Koeficijent pravca normale n na datu

0 1 21

Sl. 110

0

10 1a< <

x a

Sl. 111

10-1 -1

3/7

0



221

pravu je 21

=−=

p

nk

k . Kako prava n prolazi kroz ta~ku A ,

jedna~ina prave n bi}e ( )223−=+

x y ili 072=−−

y x .

Presek pravih p i n nalazimo re{avawem

sistema jedna~ina:

⇒⎭⎬⎫

=−−

=−+

072

012

y x

y x ⇒

⎭⎬⎫

=−−

=−+

055

012

y

y x

⎭⎬⎫

−=

=

1

3

y

x

Sredi{te duì AB je ta~ka ( )1,3 −

S . Ako sa i y ozna~imokoordinate ta~ke B , bi}e prema formulama za sredi{te duì:

32

2=

+ x i 1

2

3−=

+− y, iz ~ega sledi da je 4= x i 1= y .

Dakle, traèna ta~ka je ta~ka ( )1,4 B .

6. Videti 6. zadatak iz 2000-te godine.

7. U pravouglom trouglu VOS (sl.113) je:

1 3

3 2

OS acos , OS , VS h.

VS α = = ⋅ =

Kako za bazu i omota~ date piramide

vaè formule2

3

4

a B = i 3

2

ah M = ,

prema uslovu zadatka }e biti

1:3: = B M , odnosno 1:3

4

3:

2

32

=aah

.

Odavde dobijamo da je4

3

2

32

aah= , tj.

2

ah = .

Dakle,

3

36

3

2

a

cosa

α = = .

OS

α

V

h H

Sl. 113

S

B

A

n

Sl. 112



222

8. Neka je 1a prvi ~lan , a 0>d razlika rastu}eg aritmeti~kog

niza. Prema uslovu zadatka bi}e 264321 =+++ aaaa i

4032

=⋅aa . Za ~lanove aritmeti~kog niza vaì da je

( )1

1n

a a n d , n N ,= + − ∈ na osnovu ~ega iz prethodnih jedna~ina

dobijamo sistem( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1

1 1

2 3 26

2 40

a a d a d a d

a d a d

⎫+ + + + + + = ⎪⎬

+ ⋅ + = ⎪⎭

, koji je

ekvivalentan sistemu⎭⎬⎫

=++

=+

403

26642

1

2

1

1

d d aa

d a. Iz prve jedna~ine je

2313

1d a −= , {to ,zamenom u drugu, daje jedna~inu .09 2

=− d Kako je

0>d , jedino re{ewe sistema je 2,3 1 == ad . Dakle,

8,5,2 321 === aaa , itd.

9. Koriste se formule:

1) 2

2 2

cos cos cos cosα β α β

α β + −

+ = ,

2) 2 2sin cos sinα α α = ,

3)6

5 5 5sin sin sin

π π π π

⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠(sl. 114),

4)3 2 2

5 5 5sin sin sin

π π π π

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠(sl. 115).

Dakle, dobijamo da je

2 4 2 42 4 5 5 5 525 5 2 2

cos cos cos cos

π π π π π π

+ −

+ = =

3

25 5

cos cosπ π ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

25 5

cos cosπ π

=

0

Sl.114

5π

65

π

0

Sl. 115

25

π 35

π



223

=

3 32

5 5 5 523

25 5

cos sin cos sin

sin sin

π π π π

π π ⋅ =

26 2

1 15 55 53 22 2

25 5 5 5

sin sinsin sin

sin sin sin sin

π π π π

π π π π

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= = ⋅ = − .

10. Funkcije B A f →: i DC g →: su jednake ako i samo ako je

( ) ( ) DC g B A f ,,,, = .

( )22

1 , 0 x x

f x x x x x

= = = ≠ , odnosno

( )1

, 0

, 0

x x f x

x x

>⎧= ⎨

− <⎩.

Grafik funkcije 1 f prikazan je na slici 116.

( ) R x x x x f ∈== ,2

2 , odnosno

( )2

, 0

, 0

x x f x

x x

≥⎧= ⎨

− <⎩.


( )3

0ln x f x e x, x = = > .


0

Sl. 116

0

Sl. 117

0

Sl. 118



224

( )( )

,1

1

1

2

4 x x

x x

x

x x x f =

−

−=

−

−= 1≠ x .


( ) 0,1

1

5 ≠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−

x x x

x f .


Me|u datim funkcijama nema jednakih.

( )( ) ( ) ( ) 0,5151 ≠+=+=+ x x x x f x f x f f ,

odnosno

( ) ( )1 5

0 0

2 0

, x f f x

x, x

<⎧+ = ⎨

>⎩.

Grafik funkcije 1 5 f f + prikazan je

na slici 121.

( )( ) ( ) ( ) 0,5151 ≠⋅=⋅=⋅ x x x x f x f x f f ,

odnosno

( )( ) x f f 51 ⋅ =2

2

0

0

x , x

x , x

⎧ >⎨

− <⎩Grafik funkcije 1 5 f f ⋅ prikazan je na

slici 122.

10

1

Sl. 119

0Sl. 120

20

-4

-2

4

Sl. 122

2

0 1

Sl.121



225

3. grupa 2001. god.1. Izra~unati:

a) ⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −−−⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

5

2

8

1

:8

3

:2

3

2

1

5

4

3

22

; b) 57

57

57

57

−

+

++

−

;

v) ( )4

2

10 5

2 , log

−

− + .


a)6

1

7

52

3

52 +=

−−

+ x x x ; b) 93 =+− x x .


2 23 2 3 1cos x sin x sin xcos x + + = .

4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )2

1 1

3 3

4 2 1log x log x − ≥ − .

5. Na pravoj 02 =++ y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od

ta~aka ( )2,1 − A i ( )6,3 B .

6. Podno`je visine koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougladeli tu hipotenuzu na odse~ke duìna cm6,25 i cm4,14 .

Izra~unati povr{inu kruga upisanog u taj trougao.

7. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka?

8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz kod kojeg je zbir drugog i

petog ~lana 1− , a proizvod ~etvrtog i {estog ~lana 16 .

9. Re{iti sistem jedna~ina2

2

3 2 7

3 2 77

y

x

x y

.⎫⎪− =⎬⎪− = ⎭

10. U xOy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine:

a) 1++= k kx y , k R∈ ; b) x

y−

= 2 ; v)( )2 2ln x x

y e−

= .



226

3. grupa 2001. god. ( re{ewa)

1. a)

22 4 1 3 3 1 2

: :3 5 2 2 8 8 5

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

23 4 1 3 8 5 16

:2 5 2 2 3 40 40

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

9 4 1 11 45 16 10 80 404 :

4 5 2 40 20 20 20 20 11

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − = − − + ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

99 4018

20 11

⎛ ⎞= ⋅ − = −

⎜ ⎟⎝ ⎠.

b) =+

+⋅

−

++

−

−⋅

+

−=

−

++

+

−

57

57

57

57

57

57

57

57

57

57

57

57

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

7 5 7 5 7 2 35 5 7 2 35 512

2 27 5 7 5

.− + − + + +

= + = + =

− −

v) ( )

44 1

2 2

1 1

0 5 22 2 , log log

−− −⎛ ⎞

− + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4 4

22 2 2 1 16 1 15log= − − = − = − = .

2. a)Ako datu jedna~inu pomnoìmo sa ( ) 426,7,3 = NZS , dobijamo da je

( ) ( ) ( )1752652146

1

7

52

3

52+=−−+⇔

+=

−−

+ x x x

x x x

7730127028 +=+−+⇔ x x x

05151 =+⇔ x

1−=⇔ x .

b) Jedna~ina ima smisla za 03 ≥− x i 09 ≥− x , tj. za 93 ≤≤ x .

93 =+− x x 9393 ≤∧≥∧−=−⇔ x x x x

93188132

≤≤∧+−=−⇔ x x x x

93084192

≤≤∧=+−⇔ x x x

( ) 93712 ≤≤∧=∨=⇔ x x x

7=⇔ x .



227

3. 2 2

3 2 3 1cos x sin x sin xcos x + + =

( )2 2 2 2 22 2 3 0cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x ⇔ + + + − + =

( )2 3 0sin x sin x cos x ⇔ + =

0 3 0sin x sin x cos x ⇔ = ∨ + =

( )0 3 0sin x tgx cos x ⇔ = ∨ = − ∧ ≠

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈+≠∧∈+=∨∈=⇔ Z ss x Z ll x Z k k x ,

2,

3

2, π

π π

π π

Z l x Z k k x ∈=∨∈=⇔ ,

3

2,

π π .

Za 0cos x = data jedna~ina bila bi nemogu}a. Na primer, za2

π = x

dobili bismo da je1

2 3sin

π = , {to je neta~no.

4. Logaritamska funkcija sa osnovom3

1je opadaju}a. Dakle,

( ) ( )2

1 1

3 34 2 1log x log x − ≥ − ⇔

0120412422

>−∧>−∧−≤−⇔ x x x x

( ) ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞∪⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∞−∈∧∞∪−∞−∈∧≤−−⇔ ,

2

1

2

1,,22,032

2 x x x x

( ) ( )∞∪−∞−∈∧≤≤−⇔ ,22,31 x x

[ ] ( ) ( )∞∪−∞−∈∧−∈⇔ ,22,3,3 x x

[ ) ( ]3,22,3 ∪−−∈⇔ x .

Napomena:

1) R x x x ∈= ,22

,

2) 03203222

≤−−∧=⇔≤−− t t t x x x

0 1-3

-2 -1 3

2



228

( )( )1 3 0 x t t t ⇔ = ∧ + − ≤

[ ]3,1−∈∧=⇔ t t x (sl. 123)

31 ≤≤−⇔ x

31 ≤∧−≥⇔ x x

( ) [ ]3,3, −∈∧∞∞−∈⇔ x x

[ ]3,3−∈⇔ x .

5. I na~in: (Vidi sliku 124.)Traèna ta~ka M je presek simetrale s duì AB i date prave p .

Sredi{te duì AB je ta~ka ( )2,2S ~ije koordinate dobijamo kao

poluzbirove odgovaraju}ih koordinata krajwih ta~aka duì A i B .Simetrala s sadrì ta~ku S i normalna je na pravoj l koja je

odre|ena ta~kama A i B .

Iz uslova 1−=⋅ sl k k i( )

13

26

−

−−=lk dobijamo da je

4

1−=sk . Dakle,

jedna~ina prave s je ( )24

12 −−=− x y , odnosno 0104 =−+ y x .

Re{avawem sistema jedna~ina

⎭⎬⎫

=++

=−+

02

0104

y x

y x dobijamo koordinate

ta~ke M : 4,6 =−= y x .

II na~in: (Vidi sliku 125.)

Proizvoqna ta~ka P na pravoj p ima koordinate x x P = i

x yP −−= 2 . Iz uslova ( ) ( ) BPd APd ,, = dobijamo da je:

( ) ( ) ( ) ( )2222623221 −−−+−=+−−+− x x x x odakle sledi da je

6−= x . Dakle, ta~ka P ima koordinate: 6 4 x , y= − = .

Sl. 124 Sl. 125

( ) x x P −−2, x −− 2

0

t

f t

-1 30

Sl. 123

S

M

B

l



229

6. Neka je D podno`je visine iz temena B (sl. 126) na hipote-

nuzu AC, cm AD 4,14= i cm DC 6,25= i neka je r polupre~nik upisa-

nog kruga datog trougla. Tada iz sli~nosti trouglova ADB i ABC sle-

di da je AB AC AD AB :: = , odnosno AC AD AB ⋅=2 , a iz sli~nostitrouglova BCD i ABC sledi da je BC AC DC BC :: = , odnosno

AC DC BC ⋅=2 .

Kako je

cm DC AD AC 40=+= ,

cm AC AD AB 24=⋅= i

cm AC DC BC 32=⋅= ,

to je2

AC BC ABs ++

= cm48= .

Povr{inu trougla moèmo izra~unati na dva na~ina:2

BC ABP

⋅=

Δ

tj. 2384cmP =

Δili sr P ⋅=

Δ. Iz toga proisti~e da je cmr 8= , a

povr{ina kruga je 2P r π = , odnosno 264P cmπ = .

II na~in:Iz sli~nosti trouglova ABD i BCD sledi da je : : BD AD DC BD= ,

odnosno DC AD BD ⋅=2 , odakle dobijamo da je

19, 2 . BD AD DC cm= + = Kako je 2 2 2 BC BD DC = + i 2 2 2 AB AD BD= + ,

to je BC = 32cm i AB = 24 cm.

III na~in:

Kada se odrede stranice AB i BC , prema oznakama sa slike

( ) AE x, EC y= = bi}e:

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+

=+

=+

40

32

24

y x

r y

r x

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+

=++

=+

40

562

24

y x

r y x

r x

cmr 8=

Sl. 126

h

r r

r

C

B

E

r r



230

7. Neka je r polupre~nik osnove vaqka, a H visina vaqka upisanog u

sferu polupre~nika R ( R je konstanta). Primenom Pitagorine

teoreme izrazimo H u funkciji od r (sl. 127) .

22

2

2r R

H −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

22

2r R

H −= (jer je 0> H )

222 r R H −=

Zapremina vaqka je funkcija od r, tj.

( ) 2222 r Rr H Br V V −⋅=⋅== π .

( )3

2 2 2 2 2

2 2 2

22 2 2 2

2

r r V r r R r r r R r

R r R r π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−′ = − + = − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )2

2 2 32 3

2 2 2 2

22 3

2 2

r R r r rR r

R r R r π π

− −−

= ⋅ = ⋅ ⋅

− −

( ) 0V r ′ = za3

6 Rr = .

( )2 3

2 2

4 6 R r r V r

R r

π π ′⎛ ⎞−

′′ = =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2 2 2 3

2 2

2 2

24 18 4 6

2

r R r R r R r r

R r

R r

π π π π −

− − − − ⋅

−= ⋅

−

Budu}i da je6

03

RV

⎛ ⎞′′ <⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, za

3

6 Rr = vaqak }e imati

maksimalnu zapreminu.

2

H

r

R H

Sl. 127



231

8. Neka je 1a prvi ~lan i 0<d razlika opadaju}eg aritmeti~kog

niza. Tada vaì:

⎭⎬⎫

=⋅

−=+

16

1

64

52

aa

aa⇒

( )( ) ⎭⎬⎫

=++

−=+++

1653

14

11

11

d ad a

d ad a⇒

⎭⎬⎫

=++

−=+

16158

1522

1

2

1

1

d d aa

d a⇒

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=+−−

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

−−=

16152

518

2

51

2

51

2

2

1

d d d d

d a

⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−−

−−=

06365

2

51

2

1

d d

d a

⇒

⇒ ⎭⎬⎫

−=

=

3

71

d

a.

Traèni opadaju}i niz je: ,...5,2,1,4,7 −− .

9. Uvedimo smene: u x

=3 i v

y

=22 .Tada }e biti:

⎭

⎬⎫

=−

=−

77

7

22

vu

vu⇒

( )( ) ⎭

⎬⎫

=+−

=−

77

7

vuvu

vu⇒

⎭

⎬⎫

=+

=−

11

7

vu

vu⇒

⎭

⎬⎫

=

=−

182

7

u

vu⇒

⇒ ⎭⎬⎫

=

=

9

2

u

v.

Dakle,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

22

93

2

y

x

⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

12

2

22

33

y

x

⇒

⎭⎬⎫

=

=

2

2

y

x .

10. a) Jedna~inu Rk k kx y ∈++= ,1

napi{imo u obliku

( ) Rk x k y ∈+=− ,11

Sve prave ovog skupa prolaze kroz

ta~ku )1,1(− M . Prava 1−= x je jedina

prava date ravni koja prolazi krozta~ku M , ali nije iz zadatog skupa(sl. 128).

-1

1

0

M k=0

k>0

k<0

Sl. 128



232

b)Grafik funkcije

⎩⎨⎧

<

≥==

−

−

0,2

0,22

x

x y

x

x

x

prikazan je na slici 129.

v)

Funkcija( )2

2ln x x y e

−= definisana je za 02

2>− x x i vaì:

( )

( ) ( )2

2 22 2 2 0

ln x x y e x x x x , x x

−

= = − = − − > .

Grafik funkcije prikazan je na slici 130.

20

Sl. 130

x −2

1

2

0-2 -1 2

x 2

1

Sl. 129



233

4. grupa 2001. god.1. a) Izra~unati %5 broja A , ako je

A = ( )

12

1

25,0

4

35:

32

51:

972256

21

−−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

−−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ .

b) Uprostiti

ba

abba

ba

ba

abba

ba

−+−

+−

+−+

−3333

.


a)4

1

3

47

2

35 −=

−−

− x x x ; b) 12

4324

=−− x x )( R x ∈ .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu: 2 8 6 1cos x cos x cos x − + = .


1

2

4 3 3log x x − + ≥ − .

5. Odrediti jedna~ine tangenti krive 6222

=+ y x konstruisanih

iz ta~ke )1,4( − A .

6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su duìne wegovih osnovica cm44 i cm16 a krakova cm25 i cm17 .

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine

wenih osnova 264 cmπ i 2

4 cmπ , a povr{ina omota~a .1002cmπ

8. Na}i rastu}i aritmeti~ki niz u kome je zbir prva tri ~lana 27 , a

zbir wihovih kvadrata 275 .

9. Re{iti sistem jedna~ina( )

( )

2

2

2

2

2 1

9 6

y x

x y

x y

x y

−

−

⎫+ = ⎪⎬

+ = ⎪⎭

.

10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:

a) ( )( ) 012

≥+−− y x y x ; b) ( )( ) 0422

<−−+ x y y x ;

v) ( )( )( )4 1 0 x y y ln x − − − > .



234


1. a) Ozna~imo dati broj sa A . Tada je :

( ) =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−− 12

1

4

14

3

5:

3

2

5

1:

9

25256

2

1 A

( )1

2 112

4 2 45 1 2 3

2 16 :3 5 3 5

⋅ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 3 5 5

16 4 : 12 : 12 1 133 5 3 3

−

⎛ ⎞= − + = + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

65,010065

100513

1005%5 ====⋅ A A .

b)3 3 3 3a b a b

ab aba b a b

a b a b

− +− =

+ − − ++ −

( ) ( )( )

( )( )( )

2 2 2 2

2 2

a b a ab b a b a ab b

a b ab a b ab

a b a b

− + + + − +

= − =+ − − +

+ −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b a ab b a b a ab b

a ab b a ab b

− + + − − +

= − =+ + − +

2 2 2 2

0a b a b= − − + =

pod uslovom da je ba ±≠ .2. a) Ako datu jedna~inu pomnoìmo sa ( ) 124,3,2 = NZS , dobijamo da

je4

1

3

47

2

35 −=

−−

− x x x ( ) ( ) ( )13474356 −=−−−⇔ x x x

3316281830 −=+−−⇔ x x x

01 =+−⇔ x

1=⇔ x .



235

b) 1243

24

=−− x x 043

2224

=⇔−− x x

04324

=−−⇔ x x

22043 x t t t =∧=−−⇔

2

2

1693

2

1693 x t t t =∧⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∨

++=⇔

⇔ ( ) 214 x t t t =∧−=∨=

42

=⇔ x (jer je R x ∈ )

22 −=∨=⇔ x x .

3. 2 8 6 1cos x cos x cos x − + = ( )2 6 1 8 0cos x cos x cos x ⇔ + − + =

22 4 2 2 4 0cos x cos x cos x ⇔ − =

( )2 4 2 4 0cos x cos x cos x ⇔ − =

( )2 4 2 3 0cos x sin xsin x ⇔ =

4 0 3 0 0cos x sin x sin x ⇔ = ∨ = ∨ =

4 3 , , ,2

x k x l x s k l s Z π

π π π ⇔ = + ∨ = ∨ = ∈

8 4 3

k l

x , k Z x , l Z

π π π

⇔ = + ∈ ∨ = ∈ .

(Re{ewa oblika x s , s Z π = ∈ ukqu~ena su u skup3

l x , l Z

π = ∈ za

Z ssl ∈= ,3 .)

4.

( ) =+−= 342

x x x f

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

<++

≥+−

0,34

0,34

2

2

x x x

x x x

-1-3

3

1 3

3



236

Data nejedna~ina ima smisla ako je 0342

>+− x x .

( ) ( )[ ]03400340034222

>++∧<∨>+−∧≥⇔>+− x x x x x x x x

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∞−∪−∞−∈∧<∨∞∪∞−∈∧≥⇔ ,13,0,31,0 x x x x [ ) ( ) ( ) ( )0,13,,31,0 −∪−∞−∈∨∞∪∈⇔ x x

( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−∈⇔ ,31,13, x

Neka je ( ) ( ) ( ) D=∞∪−∪−∞− ,31,13,

( )2

1

2

4 3 3log x x − + ≥ − ( )3

2

1 1

2 2

14 3

2log x x log x D

−

⎛ ⎞⇔ − + ≥ ∧ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠(osnova logaritma mawa od 1)

D x x x ∈∧⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ≤+−⇔

−3

2

2

134

( ) ( )( ) D x x x x x x x ∈∧<∧≤++∨≥∧≤+−⇔ 0834083422

( ) ( )( ) D x x x x x x x ∈∧<∧≤−+∨≥∧≤−−⇔ 0054005422

[ ]( ) [ ]( )01,505,1 <∧∈∧+−∈∨≥∧∈∧−∈⇔ x D x x x D x x

[ ) ( ] [ ) ( )0,13,55,31,0 −∪−−∈∨∪∈⇔ x x

[ ) ( ) ( ]5,31,13,5 ∪−∪−−∈⇔ x .

5. Kanonski oblik jedna~ine elipse 6222

=+ y x je

163

22

=+y x

. Uslov dodira prave nkx y += i elipse 12

2

2

2

=+b

y

a

x je

2222 nbk a =+ , pa je 2263 nk =+ . Ta~ka ( )1,4 − A pripada pravoj

nkx y += , pa je nk +=− 41 . Re{avawem sistema⎭⎬⎫

=−−

=+

nk

nk

41

6322

1-5

0

-1 5

0



237

dobijamo da je ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

13

33,

13

5, 11 nk i ( ) ( )3,1, 22 −=nk . Jedna~ine

traènih tangenti su: 033135:1

=++− y x t i 03:2

=−+ y x t .

6. Neka je cmCBcm ADcm DC cm AB 25,17,16,44 ==== , F podno-

`je visine h iz temena D i E ta~ka osnovice AB takva da je

CB DE || (sl.131). Tada je cm DE 25= i cm AE 28= . Kako su poznate

sve tri stranice trougla AED , wegovu povr{inu nalazimoprimenom Heronovog obrasca. Poluobim trougla AED je cm35 , pa je

( ) ( ) ( ) 2210710183528352535173535 cmP AED =⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅= .

S druge strane je2

DF AE P AED⋅

= , iz ~ega sledi da je

cmh DF 15== . Povr{ina trapeza je

245015

2

1644

2cmh

baP ABCD =⋅

+=⋅

+= .

7. Neka je r polupre~nik gorwe baze 2 B , a R polupre~nik dowe ba-

ze 1 B zarubqene kupe (sl. 132). Tada iz π 2

1 R B = i π 641 = B dobi-

jamo da je cm R 8= , a iz π 2

2 r B = i π 42 = B dobijamo da je cmr 2= .

Povr{ina omota~a zarubqene kupe izra~unava se po formuli

( ) M s r Rπ = + , pa, kako je π 100= M , odavde dobijamo da je

10s cm= . Visinu zarubqene kupe izra~unavamo primenom Pitago-

rine teoreme. Prema podacima sa slike imamo da je

( )222 r Rs H −−= , odnosno cm H 8= .

Sada moèmo izra~unati zapreminu zarubqene kupe:

h

B

C D

E F

Sl. 131



238

( )22113

B B B B H

V ++= , tj.

( ) 38 64 64 4 4 2243

V cmπ π π π π = + ⋅ + = .

8. Neka je 0>d (jer je niz rastu}i) i aad aa =−= 21 , i d aa +=3.

Tada:

⎭⎬

⎫

=++

=++

275

27

2

3

2

2

2

1

321

aaa

aaa

⇔ ( ) ( ) ⎭⎬

⎫

=+++−

=+++−

275

27

222d aad a

d aad a

⇔

⎭⎬⎫

=+

=

27523

273

22 d a

a⇔

⎭⎬⎫

=+⋅

=

2752813

9

2d

a⇔

⎭⎬⎫

=

=

16

92d

a.

Kako je 0>d , bi}e 9=a i 4=d . Prvih nekoliko ~lanova niza

glasi: ,...21,17,13,9,5

9. ( )( )

2

2

2

2

2 1

9 6

y x

x y

x y

x y

−

−

⎫+ = ⎪ ⇔⎬

+ = ⎪⎭

⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅=⋅

=+

−−−

−

y x y x y x

y x y x 222

2

3229

22

⇔ ⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=+

−

−

y x

y x y x 2

2

33

2

2

2

⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=+−

2

2

2

22

y x

y x y x

⇔

⎭

⎬⎫

=−

=+

2

42

2

y x

y x ⇔

⎭

⎬⎫

=−

=

2

6 2 2

2

y x

x ⇔

⎭

⎬⎫

=

=

1

32

y

x .

Re{ewa sistema su ure|eni parovi 1,3 i 1,3− .

10. a) ( )( ) 012

≥+−− y x y x

( ) ( )01001022

≤+−∧≤−∨≥+−∧≥−⇔ y x y x y x y x

( ) ( )1122

+≥∧≥∨+≤∧≤⇔ x y x y x y x y

H

s

R

r

H

R-r

Sl. 132



239

2 x y ≤ 1 y x ≤ + 1

2+≤∧≤ x y x y

Sl. 133 Sl. 134 Sl. 135

Na slici 133 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije

koordinate vaì 2 x y ≤ .Ovaj skup se naziva podgraf grafa (ili

grafika ) funkcije 2 x y = . Na slici 134 je prikazan podgraf grafa

funkcije 1+= x y , a na slici 135 je prikazan presek ova dva skupa.

2 x y ≥ 1+≥ x y 12

+≥∧≥ x y x y

Sl. 136 Sl. 137 Sl. 138

Na slici 136 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije koordinate

vaì 2 x y ≥ . Ovaj skup se naziva nadgraf grafa (ili grafika)

funkcije 2 x y = . Na slici 137 je prikazan nadgraf grafa funkcije

1+= x y , a na slici 138 je prikazan presek ova dva skupa.

Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 135 i 138, jeprikazano na slici 139.

0 1

1

-1 0 1

1

-1 0 1

1

-1

0 1

1

-1 0 1

1

-10 1

1

-1



240

( )12

+≤∧≤ x y x y ∨ ( )12

+≥∧≥ x y x y

Sl. 139

b) ( )( ) 0422

<−−+ x y y x

( ) ( )0040042222

<−∧>−+∨>−∧<−+⇔ x y y x x y y x

( ) ( ) x y y x x y y x <∧>+∨>∧<+⇔222222

22

Na slici 142 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 140 i141, a na slici 145 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama143 i 144. Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 142i 145, prikazan je na slici 146.

2222<+ y x x y > 222

2<+ y x ∧ x y >

Sl. 140 Sl. 141 Sl. 142

0 1

1

-1

0 2 0 20 2



241

2222>+ y x x y < 222

2>+ y x ∧ x y <

Sl. 143 Sl. 144 Sl. 145

( ) ( ) x y y x x y y x <∧>+∨>∧<+222222

22

Sl. 146

Granice osen~ene oblasti ozna~ene su isprekidanom linijom i nepripadaju traènoj oblasti, jer relacija kojom je opisan traèniskup sadrì znak stroge nejednakosti.

v) Funkcija y ln x =

je definisana za0>

x . ( ) ( ) ( )4 1 0 x y y ln x − − − > ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 1 0 0 4 1 0 0 x y y ln x x y y ln x ⎡ ⎤⇔ − − > ∧ − > ∨ − − < ∧ − <⎣ ⎦

( ) ( )( ){ 4 1 4 1 x y x y y ln x ⎡ ⎤⇔ > ∧ > ∨ < ∧ < ∧ > ∨⎣ ⎦

( ) ( )( ) }4 1 4 1 x y x y y ln x ⎡ ⎤∨ < ∧ > ∨ > ∧ < ∧ <⎣ ⎦

0 2

0 2 0 2 0 2



242

( ) ( )1414 >∧>∨<∧< y x y x y ln x >

Sl. 147 Sl. 148 Sl. 149

( ) ( )1414 >∧<∨<∧> y x y x y ln x <

Sl. 150 Sl. 151 Sl. 15 2

Na slici 149 prikazan je presek skupova osen~enih naslikama 147 i 148, a na slici 152 prikazan je presek skupovaosen~enih na slikama 150 i 151. Kona~no re{ewe, unija skupovaprikazanih na slikama 149 i 152, prikazan je na slici 153.

Sl. 153

10

1

e 4 0 1 e 4

1

0 1 e 4

1

0 1 e 4

1

0 1 e 4

1

0 1 e 4

1

0 4

1

1 e



243

5. grupa 2001. god.

1. a) Izra~unati4

3od razlike kvadrata brojeva A i B , ako je

= A

12 3

2 3 1 11 : :

5 5 2 10

−

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

i = B ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−

3

5:

3

45

2

1 1

2

;

b) Uporediti brojeve ( ) 10049i i 600

2 ; ( ) 338ii i 50

4 .


a)4

2

7

31

8

32 +=

−−

− x x x ; b) ( ) 222

8812 x x x x =++− .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu1

sin x cos x sin x

+ = .


323

4

1

2

1−+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x

.

5. Odrediti jedna~inu tetive parabole x y 202

= koja prolazi kroz

ta~ku ( )5,2 A i podeqena je tom ta~kom na dva jednaka dela.

6. Stranice trougla ABC su 28= AB , 25= BC i 17= AC .Odrediti polupre~nike opisanog i upisanog kruga tog trougla.

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{inaomota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su

3r cm= i 6 R cm= .

8. Re{iti jedna~inu

2 3

4 4 4

1

3log x log x log x − + − =

.

9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih

re{ewa jedna~ine k x x =−+ 4323 .

10. Razmatramo ~etvorocifrene brojeve u dekadnom zapisu.a) Koliko ih ukupno ima?b) Koliko wih u zapisu ima samo jednu cifru 1?v) Koliko ih je deqivo sa 25?



244

5. grupa 2001. god.(re{ewa)

1. a) Kako je

5102

1108102

5

3

5

7

10

1:

2

1:

5

3

5

21 3

13

1

23

1

2

=⋅=⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−−−

A i

35

4

5

14

5

3

3

4

5

14

3

5:

3

45

2

1 1

2

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−

−

B , to je

( ) ( ) ( ) 12164

3925

4

335

4

3

4

3 2222=⋅=−=−=− B A .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6002003200100210021002288749 ===<=i ;

( ) ( ) ( ) 5050250210099333334222228 ===<==

⋅ii .

2. a) Ako datu jedna~inu pomnoìmo sa ( )4,7,8 NZS ,odnosno sa56 ,

dobijamo da je

4

2

7

31

8

32 +=

−−

− x x x ( ) ( ) ( )214318327 +=−−−⇔ x x x

02211 =−−⇔ x 2−=⇔ x .

b) ( ) 2228812 x x x x =++− ( ) ( ) 0128

222=+−−−⇔ x x x x

012822

=+−∧=−⇔ t t t x x

( )262

=∨=∧=−⇔ t t t x x

2622

=−∨=−⇔ x x x x

020622

=−−∨=−−⇔ x x x x

1223 −=∨=∨−=∨=⇔ x x x x .

3. Jedna~ina ima smisla za 0sin x ≠ , odnosno za Z k k x ∈≠ ,π .

1sin x cos x

sin x + =

21sin x sin x cos x ⇒ + =

2 2 2sin x sin xcos x sin x cos x ⇒ + = +

( ) 0sin x cos x cos x ⇒ − =

0 02

sin x sin x cos x π ⎛ ⎞

⇒ − − = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠



245

2 0 04 4

cos sin x cos x π π ⎛ ⎞

⇒ − = ∨ =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 2 x k , k Z x l , l Z π π

π π ⇒ − = ∈ ∨ = + ∈

4 2

x k , k Z x l , l Z π π

π π ⇒ = + ∈ ∨ = + ∈ .

4.Uzimaju}i u obzir da je( )⎩

⎨⎧

−<+−

−≥+=+

3,3

3,33

x x

x x x i da je osnova

eksponencijalne funkcije iz intervala( )1,0 , pa je funkcija

opadaju}a(sl. 154), sledi da je

323

4

1

2

1−+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x ( )3223

2

1

2

1−⋅+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇔

x x

643 −≥+⇔ x x

( ) ( )364)3(3643 −<∧−≥+−∨−≥∧−≥+⇔ x x x x x x

( ) ( )335393 −<∧−≥−∨−≥∧−≥−⇔ x x x x

( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −<∧≤∨−≥∧≤⇔ 3

5

333 x x x x

[ ] ( )3,3,3 −∞−∈∨−∈⇔ x x ( ]3,∞−∈⇔ x .

5. Neka su ( )11, y x M i ( )22 , y x N prese~ne ta~ke prave l ~ija je jedna-~ina y=kx+n, i parabole p, ~ija je jedna~ina x y 20

2= . Sredi{te du-

ì MN je ta~ka ( )2 5 A , , pa je 52

21=

+ y y(sl. 155). Ako izrazimo x iz

jedna~ine prave i tu vrednost uvrstimo u jedna~inu parabole, dobija-

mo kvadratnu jedna~inu 020202

=+−k

n y

k y . Prema Vietovim for-

0

1

0 1a< <

x a

Sl. 154

3-3

0 3 0 3 5



246

mulama, za re{ewa 1 y i 2 y ove jedna~ine vaìk

y y20

21 =+ . Dakle,

10

20

=k , tj. k =2. Kako ta~ka A(2,5) pripada pravoj y=2 x +n, bi}e

522 =+⋅ n , tj. n=1. Jedna~ina traène prave je y=2 x +1.

6. Poluobim trougla je2

cbas

++= 35= . Povr{inu trougla

moèmo na}i pomo}u Heronovog obrasca ( )( )( )csbsassP −−−= .

Dakle, ( ) ( ) ( )35 35 17 35 25 35 28 210PΔ

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = , pa iz rsP =Δ

(sl. 156) sledi da je 210 35r,= odnosno 6r ,= a iz R

abcP

4=

Δsledi

da je85

6 R = ⋅

7. Povr{inu omota~a zarubqene kupe dobijamo prema obrascu

( ) M s r Rπ = + .Prema uslovu zadatka je 21 B B M += , odnosno

( )2 2 M r Rπ = + . Dakle, ( ) ( )2 2r R s r Rπ π + = + , iz ~ega dobijamo da

R

a

C

B

r

c

b

Sl. 156

l

0

N

M

Sl. 155



247

je cms 5= . Primenom Pitagorine teoreme (sl. 157) nalazimo

visinu : ( )22r Rs H −−= cm4= . Zapremina zarubqene kupe je

( )22113

B B B B H

V ++= , odnosno

( ) 384363699

3

4cmV π π π π π =+⋅+= .

8. Leva strana jedna~ine je zbir beskona~no mnogo ~lanova

geometrijskog niza za koji je 1 4a log x = i 1 4q log x = − , pri ~emu je

0≠ x .

Za4 1log x − < zbir svih ~lanova niza postoji i

4

41

log x S

log x ∞

= ⋅+

Prema uslovu zadatka vaì:

4

4

4

1 1

1 3 2

log x log x

log x = ⇒ =

+

2

1

4=⇒ x 22 −=∨=⇒ x x .

9. Neka je ( ) 4323

−+= x x x f .

Analizirajmo ovu funkciju i

skicirajmo wen grafik.

1) R D f = .

2) ( ) ( ) ( )1 0 1 f x f x = ⇒ − .

( ) ( ) ( )2

1 2 f x x x = − + ;

( ) 210 −=∨=⇔= x x x f .

H s

R

r

H

R-r

Sl. 157

-4

-2 0 1

Sl. 158

( ) 4323

−+= x x x f



248

3) ( )3 2 3

3

3 43 4 1

x x lim x x lim x

x x →∞ →∞

⎛ ⎞+ − = + − = ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠.

( )3 2 3

33 43 4 1

x x lim x x lim x

x x →−∞ →−∞

⎛ ⎞+ − = + − = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

4) ( ) ( )23632

+=+=′ x x x x x f ;

( ) 200 −=∨=⇔=′ x x x f .

Prvi izvod funkcije f pozitivan je za ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,02, x , a

negativan za ( )0,2−∈ x , pa je funkcija f rastu}a u intervalima

( )2,−∞− i ( )∞,0 , a opadaju}a u intervalu ( )0,2− .

5) ( ) 66 +=′′ x x f

( ) ( )0 6 0 4min

f f ′′ = ⇒ = − .

( ) ( )2 6 2 0max

f f ′′ − = − ⇒ − = .

Grafik funkcije f je prikazan na slici 158.

Neka je ( ) Rk k x g ∈= , . Grafik funkcije g je prava paralelnasa Ox -osom, a apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su

re{ewa jedna~ine ( ) k x f = , Rk ∈ (sl. 159). Prema tome, jedna~ina

( ) k x f = ima:

1) jedno re{ewe, ako je ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,04,k ,

2) dva re{ewa, ako je { }4,0 −∈k ,

3) tri re{ewa, ako je ( )0,4−∈k .

-4

-2 0 1( ) k x g =

( ) 43 23 −+= x x x f

Sl. 159



249

10. a) êtvorocifreni brojevi na mestu hiqada mogu imati bilo koju

cifru iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2,1 , a na mestu stotina, desetica ili

jedinica bilo koju cifru iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 . Dakle,

razli~itih ~etvorocifrenih brojeva ima 90001010109 =⋅⋅⋅ .

b) Cifra 1 moè biti samo na jednom od ~etiri dekadna mesta, a

ostale tri cifre mogu biti iz skupa { }9,8,7,6,5,4,3,2 ili iz skupa

{ }9,8,7,6,5,4,3,2,0 . Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji u dekadnom

zapisu imaju samo jednu cifru 1 ima

26731998919899189991 =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ .

v) Neka je abcd ~etvorocifren broj sa dekadnim ciframa a,b,c i d,

pri ~emu a nije 0.

1000 100 10abcd a b c d = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) d cba +⋅+⋅+⋅= 1010010

( ) d cba +⋅+⋅⋅+⋅= 1025410

Broj abcd bi}e deqiv sa 25 ako je d c +⋅10 jedan od brojeva 100, 75,

50 ili 25, tj. ako se broj abcd zavr{ava sa 00, 25, 50 ili 75. Za svakuod te ~etiri mogu}nosti cifra a moè uzeti vrednosti iz skupa

{ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 a cifra b iz skupa { }.9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji su deqivi sa 25 ima

3601094 =⋅⋅ .





Tre}i deo

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZMATEMATIKE

(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)





253

1. grupa 1997. god.

1. Izra~unati: ( )3,07,0:79,6:400:0325,0

80

17

12

7:

8

1175,1

3

2:75,1

+

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−

.

2. Re{iti jedna~inu 57142 +=−−+ x x x .

3. Dokazati jednakost( )4 4

1602

100 40 40

sin

sin cos sin

°=

° ° − °.

4. Re{iti sistem jedna~ina:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

101 13

3 2

log x y log log x log x

log x y log x y log .

+ = + =

+ = − +

5. Odrediti ta~ku parabole x y 42

= koja je najblià pravoj

03 =+− y x .

6. Izra~unati povr{inu paralelograma ako su mu stranice15cm i34cm i jedna dijagonala 35cm.

7. Osnovne ivice pravilne trostrane zarubqene piramide sua i b,

(a > b), a bo~ne ivice zaklapaju sa ve}om osnovom ugao α . Izra~u-nati zapreminu te zarubqene piramide.

8. Aritmeti~ka progresija ima 20 ~lanova. Suma ~lanova na parnimmestima je 250, a na neparnim mestima 220. Odrediti dva sredwa~lana progresije.


10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati:

a)3

3 21

2

1 x

x x lim

x x x →

+ −

− − +, b)

0

5

3 x

sin x lim

sin x →

⋅



254


1. 250

2. 11= x

3. 160 20 2 10 10sin sin sin cos= =

100 10sin cos=

2 240 40 80 10cos sin cos sin− = =

4. 7,9 == y x

5. ( )2,1 M

6. 2504cmP =

7. ( ) α tgbaV 33

12

1−=

8. 25,22 1110 == aa

9.3

6 Rr =

10. a) ( ) ( )1 1 x x

lim f x , lim f x + −

→ →

= +∞ = −∞

b)3

5= L



255

2. grupa 1997. god.

1. Izra~unati

7 5 7 7 9

40 38 :10 9 1 4 230 12 8 30 11

0 08

, ,

,

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ⋅ ⋅

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⋅


>+− x x x .

3. Odrediti realne brojeve x i y tako da vaì010)2()34( =−−−+ i yi x i .

4. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu1

sin x cos x tgx cos x

+ + = ⋅

5. Odrediti ta~ku elipse 20422

=+ y x koja je najblià pravoj

07 =−+ y x .

6. Zbir kateta pravouglog trougla je 32cm. Ako se mawa kateta uve}aza 4cm, a ve}a umawi za 5cm, tada se povr{ina trougla ne mewa.

Odrediti stranice tog trougla.

7. Metalnu {upqu loptu, ~iji je spoqa{wi pre~nik 2 18r cm= , adebqina cmd 2= , treba pretopiti u masivnu loptu. Koliki je wenpolupre~nik?

8. Re{iti jedna~inu 1

3 (3 2 3 ) 2 2 x log x +

− ⋅ = + .

9. Odrediti geometrijski niz …,,, 321 aaa za koji vaì:

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

31

62

a a a a a

a a a a a .

+ + + + =

+ + + + =


a) )(,1)( Rk kx x f ∈+= , b) 1)( −= x x x f , v) 2

2( ) f x log x = .



256


1. 70 2. ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,11, x

3. 2= x , 4= y 4. π k x = , Z k ∈

5. ( )1,4 A 6. cma 12= , cmb 20= , cmc 344=

7. 3 386=r 8. 1−= x

9. 11=a , 2=q

10. (sl. 1) a) b)

( y-osa ne pripada skuputraènih pravih)

v)

Sl. 1

4 20.

2

1

31

x

y

10

−1

−1

k > 0

k = 0

k < 0

y

x0

1



257

3. grupa 1997. god.

1. Izra~unati: a) )40312,4()

212:4,0(35,1:7,27,2:

2071 −⋅++

b)57

22

57

1

75

9

+

+

+

−

−

2. Re{iti jedna~inu 3242 =++− x x .

3. Odrediti realni parametar k tako da re{ewa jedna~ine

( ) ( ) ( ) 02512

=+−−+− k x k x k zadovoqavaju uslov 211

21

>+ x x

.

4. Ako su α , β i γ unutr{wi uglovi nekog trougla, onda je:2 2 2

2 2sin sin sin cos cos cosα β γ α β γ + + − = . Dokazati!

5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 1615

22

=−y x

, koje su

paralelne pravoj 07 =−+ y x .

6. Oko kruga polupre~nika cm2 opisan je jednakokraki trapez

povr{ine 220cm . Odrediti stranice tog trapeza.

7. Na odstojawu d od centra lopte polupre~nika R ( )d R < , nalazi

se svetla ta~ka S . Koliki deo povr{ine lopte osvetqava ta~ka S ?

8. Re{iti jedna~inu 4 163 4 2 4 3 4 0 x x x log log log+ + = .

9. Duìne ivica kvadra ~ija je dijagonala 6 D m= , a povr{ina2

72mP = , obrazuju geometrijski niz. Odrediti duìne ivica.

10. Skicirati grafike slede}ih funkcija:

a) ( ) x x x f −−= 2 , b) ( ) x x x f −=2

, v) ( ) 2

2

1

2 f x log x = .



258


1. a)2

13 b) 6

2. Data jedna~ina nema re{ewa.

3. ( )2,9 −−∈k

4. −

5. 3,3 −−=+−= x y x y

6. 8 , 2 , 5a cm b cm c cm= = =

7.2

o l

d RP P

d

−= ⋅

8.2

11 = x i

8

12 = x

9. 2 3a b c m= = =

10. (sl. 2) b)

a)

v)

Sl. 2

10

2

1

1

2

2

y

x 42–2

1

–4

2

11 0



259

4. grupa 1997. god.

1. Izra~unati: a) ( ) 5,2:25,121

6

55

14

33

5

36

−

⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

b)

( ) ( )131

3

10

3

1

2

3

2

3

1,06,0−−

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

.

2. Odrediti realni parametar a tako da re{ewa jedna~ine

012

=++ ax x zadovoqavaju uslov 71

2

2

1<+

x

x

x

x , ( ) R x x ∈21 , .

3. Re{iti sistem jedna~ina ( )1997

3 5 225 0

1 0

x y

log x y .

⋅ − =

− + =

4. Ako su β , i γ unutra{wi uglovi nekog trougla, onda je:2 2 2

2 1cos cos cos cos cos cosα β γ α β γ + + + = . Dokazati!

5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 1615

22

=−y x

koje su

paralelene pravoj 0=− y x .

6. Stranice trougla su cm25 , cm24 i cm7 . Izra~unati polupre~nikupisanog i opisanog kruga tog trougla.

7. Na kojoj udaqenosti od centra neprozirne lopte polupre~nika

m4 treba da bude svetlosni izvor koji osvetqava3

1povr{i lopte?

8. Dokazati jednakost3 1

5 5 2cos cos

π π + =

9. Zbir prva tri ~lana geometrijskog niza je 91. Ako tim ~lanovimadodamo redom 25, 27 i 1 dobi}emo tri broja koji obrazujuaritmeti~ki niz. Odrediti sedmi ~lan datog geometrijskog niza.

10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati:

a)3

21

2

8 1

6 5 1 x

x lim

x x →

−

− +; b)

20

2 1

x

cos x lim

sin x →

− +⋅



260


1. a) 5,2 b) 5,1−

2. Videti re{ewe 4. zadatka 10. grupe iz 2000. g.

3. 2,2 == y x

4. −

5. 3,3 −=+= x y x y

6. cm Rcmr 5,12,3 ==

7. m12

8.

2 42 2

2 2 15 5 52 225 5 5 5 2

2 2 25 5 5

sin sin sin

cos cos cos cos

sin sin sin


π π π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

9. 1o 51037 =g za 71 =g i 3=q 2o

81

77 =g za 631 =g i

3

1=q

10. a) 6 b)8

2



261

5. grupa 1997. god.

1. Izra~unati:

a) ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

−− 125,1411:25,0

231 , b) ( ) ( )

11

11

132132

−−

−−

⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

++ .


2

2

3

+

+<

+

+

x

x

x

x .

3. Odrediti funkciju f ako je )0(,1

3)(2

≠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ + x x

x f x f .


( )

2

2 2

1 2 2

11

sin cos cos

sin cos tgcos tg

α α α

α α α α α

+ +− = ⋅

− +−

5. Odrediti jedna~ine onih tangenti kru`nice

02541022

=+−−+ y x y x koje prolaze kroz koordinatni po~etak

(slika!).

6. Uglovi trougla ~ine aritmeti~ku progresiju. Koliki su ti uglovi

ako je zbir wihovih kosinusa jednak2

13 +?

7. Kanal za vodu duga~ak je 5m i moè prihvatiti 1440l vode.Popre~ni presek kanala je jednakokraki trapez (sa kra}omosnovicom pri dnu) ~iji je krak 52cm, a visina 48cm. Koliko litaravode prihvata kanal do polovine svoje visine?

8. Re{iti sistem jedna~ina

4 2

2 2

0

5 4 0

log x log y

x y .

− =

− + =

9. U numerisani red od 12 sedi{ta treba da sedne {est devojaka i{est mladi}a. Na koliko razli~itih na~ina oni mogu da se raspore-de tako da nikoje dve osobe istog pola ne sede jedna pored druge?

10. U Oxy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine:

a) 1=+ y x , b) )(,22

Rk k y x ∈=− .



262


1. a) 9− b) 1 2. ( ) ( )∞∪−∞−∈ ,12, x

3. ( )2

4

8

3

x

x x f

−= 4. −

5. x y y21

20,0 == 6.

2,

3,

6

π π π

7. l600

8. ( )2,4 i ( )1,1

9. ( ) 1036800!62 2 =⋅

10. (sl. 3)a) b) 1)

b) 2) b) 3)

Sl. 3

y

x0

1

1

y = x

y x = −

k = 0

x1

1

1−

1−

0

y = x + 1

1 x − y =

1 y x = − +

1 y x = − −

y

y

x0 k

k > 0

k y

x

0 − k

k < 0

− k



263

6. grupa 1997. god.

1. Izra~unati:

a)22 )2(2

225:225−−

−− , b)1

13

1

33

23

33

1

13

23−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

+⋅⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

+.


1

43

22

>−+

−

x x

x .

3. Odrediti funkciju f ako je )0(,1

2)( ≠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ + x x

x f x f .


4 4

6 6 1 231sin cossin cos

α α

α α

+ −= ⋅

+ −

5. Date su prave 0332:1 =−− y x p i 0932:2 =−+ y x p .

a) Izra~unati povr{inu trougla koji odre|uju prave p1 i p2 i y-osa.

b) Odrediti jedna~inu prave p koja prolazi kroz presek pravih p1

i p2 i normalna je na pravoj p1.

6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su mu osnovice 8=a i 4=b , a

unutra{wi uglovi na ve}oj osnovici 45

0

i 30

0

.

7. Ako su a, b i c duìne ivica, a P povr{ina kvadra, tada vaì

implikacija3

22

k Pk cba ≤⇒=++ . Dokazati!

8. Re{iti jedna~inu ( ) ( ) ( )12 2 1 5 1 5 5

x x log log log .−− + + = +

( )10

log x log x =

9. Tri broja obrazuju aritmeti~ki niz i wihov zbir je 15. Ako prvomdodamo 1, drugom 4 i tre}em 19, onda se dobijaju brojevi koji ~inegeometrijsku progresiju. Odrediti te brojeve.

10. Skicirati linije u ravni ~ije su jedna~ine:

a) )(,422

Rk k y x ∈=− , b) 12

−= x y , v) 10log x

y .−=

( )10

log x log x =



264


1. a)15

1b) 1 2. ( )1,4−∈ x

3. ( )x

x f 3

2 2−=

4.

3

2

5. a) 6=Δ

P b) 3,1 == x y 6. 1312 −=P

7. ( )bcacabP ++= 2 8. 9= x

( ) ( ) ( )2 2 2

0a b a c b c− + − + − ≥

( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

9. 8,5,2 321 === aaa za 3=d

16,5,26 321 −=== aaa za 21−=d

10. (sl. 4)

a)

b) v)

Sl. 4

0 1−1

2

y

x

y = 2x− y = 2x

k = 0

0 1

1

−1

−1

x

y

x0 4 3 21

1

3

4

2

y

k 2

k > 0

k y

x0

− k

k < 0

− k 2

y

x0



265

7. grupa 1997. god.

1.a) Odrediti broj ~ijih je 12% jednako 4,2% broja

( )3 4 2 : 0 1

71 : 0 3 0 1253

, ,

, ,

+⋅

− ⋅

b) Izra~unati222

1

2169)2(

−−

−

−+− .

2. Za koje vrednosti realnog parametra k jedna~ina2

43 6 2 0 x x log k − − = ima:

a) realna re{ewa,b) oba pozitivna re{ewa?

3. Re{iti jedina~inu1997 1

19974 4 25

3 3 12

log x log x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Odrediti ona re{ewa jedna~ine 7 3 5cos x sin x cos x sin x = koja se

nalaze u [ ]π ,0 .

5. Date su ta~ke )3,2(),5,2( −− B A i prava 01943: =−+ y x l . Odrediti

jedna~inu kruga koji sadrì ta~ke A i B i dodiruje pravu l, a zatimodrediti koordinate zajedni~ke ta~ke pravel i traènog kruga.

6. Duìna osnovice jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nikupisanog kruga 7,5cm. Izra~unati povr{inu ovog trogula.

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine we-

nih osnova 225 cmπ i 2

4 cmπ i povr{ina omota~a 235 cmπ .


4 2 2 4

2 2

481

37

x x y y

x xy y

⎫+ + = ⎪⎬

+ + = ⎪⎭.

9. Odrediti prirodan broj n ako se zna da je zbir n++++ 321

trocifren broj ~ije su sve cifre jednake.



266

10. Date su realne funkcije:

1 f ( x ) log x = , 2

2

1

2 f ( x ) log x = , 3

1

10 x

f ( x )log

= , 2

4 f ( x ) log x = ,

25

2 10

log x f ( x )

log= ⋅

a) Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih. Odgovorobrazloìti.

b) Skicirati grafike funkcija f 2 i f 4 ( )10log x log x = .


1. a) 126 b)6

112. a)

1

8k ≥ b) ⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡∈ 1,

8

1k

3.1997

1,1997 21 == x x

4.8

7,

8

5,

8

3,

8,,

2,0 7654321

π π π π π

π ======= x x x x x x x

5. ( ) 252

22=++

y x ili ( ) ( ) 6251022

22=+++

y x ( )4,1P ( )9,7−P

6. 2300cm 7. 3

52 cmV π=

8. ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,3,4,4,3,4,3 −−−−=s R 9. 36=n

10. (sl. 5) a)51 f f =

b)

Sl. 5

−1

1

1

x

y

10−10 0

1 x

y

1010



267

1. grupa 1998. god.

1. a) Izra~unati

5 5 2 1

1 : 1 7: : 3 7512 2 9 8 , ,

⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

b) Uprostiti ( ) ( )2

11

3232−

−−

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

−⋅+ .


a)6

5

28

3

4

2

123

14−

−=

−

+−

− x

x ; b) ( )2

1

2

1log x x + = − .

3. Dokazati identitet2 2

62 2

sin tg tgcos ctg

α α α

α α

− =−

.


4364

9

1

3

1−−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x

.

5. Kvadrat i jednakostrani~ni trougao imaju jednake obime.

Povr{ina trougla je 34 . Kolika je dijagonala kvadrata?

6. Na}i povr{inu prave kru`ne kupe koja je opisana oko loptepre~nika R2 , a ~ija je visina dva puta ve}a od pre~nika lopte.

7. Na krivoj 724322

=− y x odrediti ta~ku najbliù pravoj

0123 =++ y x .

8. Zbir prvih pet ~lanova aritmeti~kog niza je 25, a wegov drugi~lan je 3. Koliki je zbir prvih dvadeset ~lanova tog niza?

9. Re{iti sistem jedna~ina4 2 2 4

2 2

481

37

x x y y

x xy y .

+ + =

+ + =

10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:

a) ( )( ) 0122

≤−−+ y x y x ; b) ( )( )1 0 y y ln x − − ≥ ; v) 1=+ y x .



268


1. a) 3= A b)16

1= B

2. a) 5= x b) 1,1 21−== x x

3.2 2

2 2

sin tg

cos ctg

α α

α α

−=

−

( )( )

2 22 2

2 6

2 2 2

2

11

11

sin sinsin cos tg tgcos cos cos

sin

α α α α

α α

α α α

α

− −

⋅ = ⋅ =

−−

4. ⎟ ⎠ ⎞

⎢⎣⎡ +∞∈ ,

5

7 x

5. 23,4 == d b

6. π 2

8 RP =

7. ( )3,6−P

8. 40020 =S

9. ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,3,4,4,3,4,3 −−−−=s R

10. (sl. 6)a) b) v)

Sl. 6

1 0

1

1

11

1

y

x0 x

y

1

1

0 2 e

lnx



269

2. grupa 1998. god.1. Izra~unati:

a) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⋅+

25834,1

871

4032:81,5 , b) ( )

13

1

1 4

253 11

log−

⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


a) ,136

98

16

2

61

32

−

+−

+=

− x

x

x x b) 02

2=−+ x x .

3. Dokazati identitet1

14 2

sintg

cos

π α α

α

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. Re{iti nejedna~inu 3 1 02 1

x log x

−<

+. ( )10

log x log x =

5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A(1,2) u odnosu na pravu

052 =+− y x .

6. Stranice trougla su 5 6cm, cm i 9 cm . Izra~unati polupre~nike

upisanog i opisanog kruga tog trougla.

7. Pravougli trapez sa osnovicama 10a cm= i 2b cm= rotira okomaweg kraka. Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog tela ako jevisina trapeza 15h cm= .

8. Odrediti sumu svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijskeprogresije ako je poznato da je suma prvog i ~etvrtog ~lana 54, a sumadrugog i tre}eg 36.

9. U zavisnosti od realnog parametara a odrediti broj realnih

re{ewa jedna~ine 06 23 =+− a x x .

10. Ispitati da li me|u funkcijama :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

1 2 3 4 51

ln x x x x x f x e , f x x , f x ln e , f x , f x

x x

−= = = = =

−,

ima jednakih, a zatim skicirati grafike funkcija

( ) ( ) ( ) x f x f x f 32 += i ( ) ( ) ( ).32 x f x f x g ⋅=



270


1. a)5

4− b)

2

12. a)

3

1= x b) 1,1

21

−== x x

3.1

4 2

sintg

cos

π α α

α

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2 2

14 2 4 2

4 2 4 2 2 2

sin cos cos sinsin

cos cos sin sin cos sin

π α π α

α

π α π α α α

+−

⋅ =

− −

2

1 12 2 21

12

2 2 2 22 2 2

cos sinsin sin

sincos sin cos sincos sin

α α

α α

α α α α α α α

⎛ ⎞+⎜ ⎟

− −⎝ ⎠= ⋅ = =

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− +− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

.

4. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈ 2,

3

1 x 5. ( )4,3− B

6.27 2

2 ,8

r cm R cm= = 7. 321650,780 cmV cmP π π ==

8. 96=∞

S 9. Jedna~ina ima:

1) jedno re{ewe za 0>a

2) dva re{ewa za { }0,32−∈a

3) tri re{ewa za ( )0,32−∈a

4) nema re{ewa za ostalevrednosti a

10. (sl. 7) Me|u datim funkcijama nema jednakih.

( ) ( )2 3

2 , 0

0, 0

x x f x f x

x

≥⎧+ = ⎨

<⎩ ( ) ( )

2

2 3 2

, 0

, 0

x x f x f x

x x

⎧ ≥⎪⋅ = ⎨

− <⎪⎩

Sl. 7

x

y

1

0−1

−1

1

0 1

2

y

x



271

3. grupa 1998. god.

1. a) Izra~unati9

54

10

1

15

4

5

2

4

3

2

11:

3

1

2

11 ⋅−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +− ;

b) Uprostiti( ) ( )

2 23 3

4 1a b a b a b

:ab ab ab

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


a)3

4

4

3

8

1

2

5 −+

−=

−+

− x x x x ; b) 42

2

=− x x

.

3. Odrediti ona re{ewa jedna~ine 1 2sin x cos x sin x + = +

koja senalaze u intervalu ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2,

2

π π .


2

2

32 1

x log

x −< .

5. Na krivoj 20422

=+ y x odrediti ta~ku najbliù pravoj 7=+ y x .

6. Oko kruga polupre~nika 2 cm opisan je jednakokraki trapez

povr{ine 220 cm . Odrediti duìne stranica trapeza.


8. Re{iti jedna~inu 83 3 3

=⋅⋅⋅ … x x x x .

9. Izra~unati2 5

9 9 9cos cos cos

π π π ⋅


a) 2

2

1( )

2 f x log x = ; b)

x e x f

−=)( ; v) 2( ) 2

log x f x −

= .



272


1. a) 0 b)ab

ba −

2. a) 13= x b) 22 =∨−= x x

3.2

,0,4

π π ==−= x x x

4. ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,33, x

5. ( )1,4P

6. Osnovice su 8 2a cm, b cm,= = a krak 5c cm= .

7.3

6 Rr = 8. 4= x 9.

8

1−

10. (sl. 8) a) ( ) 2 f x log x =

b) ( ) x e x f

−

= v) ( ) ( )01

>= x

x

x f

Sl. 8

00

1

x

y xe

− xe

− 2 −1

1

1 20 x

y

2log x ( )2

log x −



273

4. grupa 1998. god.

1. Izra~unati: a) 5% broja )03,0(:125,14

11:25,02

31 −⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− ;

b) ( )1

22

1 42 223 4 16 2

log−−

−− + − + .


a)3

)7(2

2

3

5

)3(2

2

114

−−=

+−

x x x ; b) 02

2=−− x x

3. Na}i ona re{ewa jedna~ine2

121

1

2

cos x

x cos x cos

π ⎛ ⎞−

⎜ ⎟⎝ ⎠= −

+koja se nalaze

u intervalu [ ]π 3,0 .

4. Re{iti nejedna~inu 12 1 x log x + > .

5. Na krugu 204222

=−−+ y x y x na}i ta~ku A najbliù pravoj

03443 =++ y x i izra~unati odstojawe ta~ke A od te prave.

6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ako su mu duìne os-

novica 39 cm i 21cm a kraka 41cm .

7. Odrediti prostornu dijagonalu zarubqene pravilne ~etvorostra-ne piramide ako su povr{ine wenih osnova 2,8 21 == B B i zapremi-

na 28=V .

8. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{e-

wa jedna~ine a x =− 2 .

9. Ako brojevi 0,,0,0 21 ≠≠≠ naaa…

obrazuju aritmeti~ku progresi-

ju, tada jennn aa

n

aaaaaa 113221

1111 −=+++

−

… . Dokazati!

10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vredno-sti:

a)0

5

1 1 x

sin x lim

x → + −

; b)3

0 x

tgx sin x lim

x →

−⋅



274


1. a) 15%5,300 == A A b)4

13

2. a) 7= x b) 22 =∨−= x x

3.2

5,2,

2,0

π π

π ==== x x x x

4. ( )4,1∈ x 5. ( ) 4,2,2 =−− d A

6. 21200cmP =

7. 53= D

8. (sl. 9) Jedna~ina ima:0 re{ewa za 0<a

2 re{ewa za 0 2a a= ∨ >

4 re{ewa za ( )2,0∈a

3 re{ewa za 2a =

Sl. 9

9. =⋅

−⋅

−++

⋅

−⋅

−+

⋅

−⋅

−−

−

− 1

1

123

23

2312

12

12

1...

11

nn

nn

nn aa

aa

aaaa

aa

aaaa

aa

aa

nn

n

nn aa

n

aa

aa

d aaaaaad 11

1

13221

1111

...

11111 −=

−⋅=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −++−+−=

−

10. a) 10 b)2

1

2

x

y

2− 2

y = a

− 2

0



275

1. grupa 1999. god.

1. Izra~unati:

a) 4,0:3

1

2

1

2

3

2

11 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − ; b)

11 1

2 29 161 1

16 25

−

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

.


a)10

1

3

2

5

32 +=

−+

− x x x ; b) ( )2

4

1

2log x x + = ⋅

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 3 1sin x cos x + = .


3 2

11 1

2 4

x

x

−

−⎛ ⎞> ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

5. Na pravoj 022 =−− y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od

ta~aka )6,1( A i )4,3( B .

6. Na}i obim jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga ako je ve}a

osnovica 12cm i o{tar ugao 60 .

7. Trougao sa temenima )1,0( A , )4,0( B i )2,2( −C rotira oko y-ose.

Izra~unati povr{inu i zapreminu tako nastalog tela.

8. Tri broja obrazuju geometrijski niz ~iji je zbir 65. Ako se sredwi~lan uve}a za 10, niz postaje aritmeti~ki. Odrediti niz.

9. Ispitati da li me|u realnim funkcijama

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 3 4 52 2

1 1 1 1

2

ln x

log x

x f x , f x , f x e , f x , f x

x x x x

−−= = = = =

−

ima jednakih.

10. Odrediti najmawi prirodan broj deqiv brojem 7 koji prilikomdeqewa brojevima 2, 3, 4, 5 i 6 daje ostatak 1.



276


1. a)3

1b)

13

15−

2. a) 1−= x b) 1±= x

3. 2 26 2

x k , k Z x l , l Z π π

π π = − + ∈ ∨ = + ∈

4. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈

5

4,0 x

5. ( )8,5 M

6. cmO 32=

7. ( )2 2 10 13 , 4P V π π = + =

8. ( )45,15,5 ili ( )5,15,45

9.53 f f =

10. 301=n



277

2. grupa 1999. god.

1. a) Izra~unati2

1

2

1

3

1

2

1

21

4812716 ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+ ;

b) [ta je ve}e: 2300 ili 3

200? Obrazloìti.


a)2

1

6

12

23

1−

−=−

+ x x x ; b) 64

2

12

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − x x

.

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu2 23 2 0cos x sin x sin x − − = .

4. Re{iti nejedna~inu ( ) 2 3 11000

log x log x x − +

> . ( )10log x log x =

5. Odrediti jedna~ine tangenti konstruisanih iz ta~ke )0,2( A na

hiperbolu 198

22

=−y x

.

6. Zbir kateta pravouglog trougla je 17, a duìna wegove hipotenuze je 13. Kolika je povr{ina trougla?

7. Prava 01 =−+ y x gradi sa koordinantnim osama trougao. Na}i po-

vr{inu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom trougla oko dateprave.

8. Izra~unati …+

+

++

−

+

−

+

224

1

2

1

22

1

12

12.


a) x x x f −+= 3)( ; b) x

e x f =)( ; v) ( ) 21

2 f x ln x = .

10. Ne koriste}i se Lopitalovim pravilom, izra~unati:

a)2

3 23

4 3

5 7 3 x

x x lim

x x x →

− +

− + −; b)

0

1 1

x

sin x sin x lim

tgx →

+ − −⋅



278


1. a) 3 b) 2003

2. a) 2= x b) 3±= x

3. ( ) Z k k x Z llarctg x ∈+=∨∈+−= ,4

,3 π π

π

4. 1000> x

5. 32

3

,32

3

+−=−= x y x y

6. 30=P

7. π π

6

2,2 == V P

8. 423 +=S

9. (sl. 10)a) b) v)

Sl. 10

10. a)2

1b) 1

x1 e0 1

1

e

3 4 x

y

0

3

0 x

y

1

xe− x

e



279

3. grupa 1999. god.

1. a) Izra~unati

1

4 24 3 3

:9 4 2

−−⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ;

b) Cigla je te{ka kilogram i pola cigle. Koliko je te{ko petcigala?


a)14

25

7

1

4

67

2

35 +−

+=

−+

+ x x x x ; b) ( )2

1

2

1log x x − = − .


1

sin x cos x sin x + = ⋅


772

<−

−+−

x

x x .

5. Odrediti ta~ku na elipsi 4422

=+ y x najbliù pravoj

03032 =+− y x .

6. Izra~unati povr{inu trapeza ~ije su paralelne stranice 44cm i16cm, a neparalelne 17cm i 25cm.

7. Trougao sa temenima )0,4( ),0,1( B A i )2,2(−C rotira oko x -ose.

Na}i povr{inu i zapreminu tako nastalog tela.

8. Re{iti jedna~inu 4=… x x x x .

9. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine.Odrediti polupre~nik osnove vaqka u funkciji od R.

10. U xy-ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:

a) ( ) ( ) 02422

≥−−⋅−+ x y y x ; b) ( ) ( ) 01 ≥−⋅− ye yx .





281

4. grupa 1999. god.

1. a) Izra~unati22

2)2(16:16

−−−− ;

b) [ta je ve}e: 25% od 200 ili 30% od 180?


a)3

2

3

2

2

1

4

23−

−=

++

− x x x ; b) 93

2

=− x x

.

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 3cos x cos x sin x − = .


2

2≥

+−

−

x x

x .

5. Na}i jedna~ine tangenti kruga 0158622

=+−−+ y x y x koje su

normalne na pravu x y 3= .

6. Osnovica jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nik upisanogkruga 7,5cm. Kolika je povr{ina ovog trougla?

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{inaomota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su 3r = i

6= R .

8. Re{iti jedina~inu 2 3

2 2 2 1log x log x log x + + + =… .

9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih

re{ewa jedna~ine 033

=+− a x x .

10. Od 5 inèwera, 4 matemati~ara i 3 tehni~ara treba formiratiekspertski tim od 4 ~lana u kojem }e biti bar po jedan inèwer imatemati~ar. Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?



282


1. a) 4 b) %30 od 180

2. a) 0= x b) 2±= x

3.2

23 2 4

k x , k Z x l , l Z x s , s Z

π π π π π = ∈ ∨ = − + ∈ ∨ = + ∈

4. ⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡∈ 1,

2

1 x

5. 53,253 =+=+ y x y x

6. 2300P cm

Δ=

7. 34 84 H cm, V cmπ = =

8. 2= x

9. (sl. 12)Jedna~ina ima:

1) tri re{ewa, ako je ( )2,2−∈a

2) dva re{ewa, ako je 22 −=∨= aa

3) jedno re{ewe, ako je 22 −<∨> aa

Sl. 12

10. Na390 na~ina

1−1 0− 3 3

− 2

2



283

1. grupa 2002. god.

1. a) Izra~unati

1

24 10,8 : 1

1 2 1 15 4: : : 0,4 .

1 2 3 2 30,64

25

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Uporediti brojeve 2 i 3 3 .


a) ,6

5

123

14

28

3

4

2=

−−

−+

−

+

x x x

x b) ( )2

31 1

3 2

log x x +

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Ako su γ β α и, unutra{wi uglovi trougla, tada je

,γ β α γ β tgtgtgtgtgtg ⋅⋅=++ )90,,( °≠γ β α . Dokazati!


181732

2

≤+−

+−

x x

x x .

5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki ( )5, 1 A−

u odnosu na pravukoja prolazi kroz ta~ke ( )1 1,2 M i ( )2 1,6 M − .

6. Duìna mawe katete pravouglog trougla je30 cm , a nad ve}om

katetom kao nad pre~nikom konstruisan je krug ~ija je prese~nata~ka sa hipotenuzom (a koja nije teme trougla) udaqena odtemena pravog ugla 24cm . Izra~unati obim tog kruga.

7. Oko lopte opisana je prava kupa ~ija je izvodnica jednaka pre~ni-ku osnove. Odrediti odnos povr{ina lopte i kupe.

8. Tri broja ~iji je zbir 19 ~ine gemetrijski niz. Ako se posledwibroj smawi za 1, dobija se aritmeti~ki niz. Koji su to brojevi?9. Odrediti sve kompleksne brojeve iy x z += za koje je

( )( ) ( )5 3 2 1i i z z− + = + ( z je konjugat od z ).

10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:

a) 1≤+ y x ; b) ( )( )1 0 y sin x y− − ≥ ; v) 0)44)(( 222≥−+− y x x y .



284


1. а)2

1 б) 2 < 3 3

2. а) 5= x б) { }1,1 x ∈ −

3. =−

+−+=+−+=++

β α

β α β α β α β α γ β α

tgtg

tgtgtgtgtgtgtgtgtgtg

1)(

γ β α β α

β β α tgtgtg

tgtg

tgtgtgtg =

−

+−= )

1(

4. ( ] ( ]5,42,1 ∪∈ x

5. ( )3,1 − B

6. cmO π 40=

7. 9:4: =K L PP

8. 4, 6, 9a b c= = = или 9, 6, 4a b c= = =

9. 1 24 , 3 z i z i= − − = −

10. (сл.13) б)

а)

в)

Сл. 13

1

1

0

1

1 2

1

0

1

2

1

0

1

π



285

2. grupa 2002. god.

1. a) Izra~unati

1

22 41,08 :

1725 7 :5 1 2 7

6 3 19 4 7

−

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟

− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Uporediti brojeve 1032 i 7128 .2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina

4

4

22

)(22

2

−

−+

−=

+

+

x

a x

x

x

x

a x

ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu .1321 =+++ x x

3. Dokazati identitet2

1 2 32

2 1

cos cos coscos .

cos cos

α α α α

α α

+ + +=

+ −

4. Re{iti nejedna~ine:

a) ,1

24

x x

−≤− b) ( )1

2

2 1log x − > − .

5. Odrediti ta~ku na krugu 054222=−+−+ y x y x najbliù ta~ki

( )3,4 A . Kako glasi jedna~ina tangente kruga u traènoj ta~ki?

6. Osnovica jednakokrakog trougla je 48cm , a polupre~nik upisanog

kruga 8cm . Izra~unati obim i povr{inu tog trougla.

7. U sferu polupre~nika 6 upisan je vaqak maksimalne zapremi-

ne. Izra~unati povr{inu i zapreminu tog vaqka.

8. Odrediti rastu}i geometrijski niz ,...,,321 aaa za koji je

14321 =+− aaa i 16852 =+ aa .

9. Re{iti sistem jedna~ina:

1723 2=−

x y

1732 2 =+

y

x .10. U xy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:

a) 0))(1( ≥−−x

e y y x , b) 0))(1( 2≥−− x y y , v) 12 22

<+− y xy x .



286


1. a)7

17 b) 710 12832 >

2. a) 3=a ; } ( ) ( ){ ( ) \ 2, 2 , 2 2,2 2, x R∈ − = −∞ − ∪ − ∪ +∞

б) 1−= x .

( )

2 22 3 2 2 23

2 2

2 22

2

cos cos cos cos cos cos.

cos cos cos cos

cos cos coscos .

cos cos

α α α α α α

α α α α

α α α α

α α

+ + += =

+ +

+= =

+

4. а) ( ) [ ]3,21, ∪∞−∈ x , б) 42 << x

5. ( )1,2 M ,3

5

3

1+−= x y .

6. 2 108O a b cm= + = , 24322

ahP cm= = .

7. )21(8 += π P , π 28=V .

8. 2,6,18,54,...

9. 3= x , 4= y .

10. (сл. 14)

. а) б) в)

Сл. 14

1

0

1

1

00 1

1

1

1



287

3. grupa 2002. god.

1.a) Izra~unati ( ) ( )2

12 23

1

2

3 8 16 8log−−

−− + − − + .

b) Uprostiti)(

1

1

1:

1

1

1

caabcb

ba

cb

a++

−

+

+

+

.


a)3

4

4

3

6

2

2

32 −=−

++

− x x x x , b) )3(8)3(20 222 x x x x −=−− .


3 3 2

8sin x cos x sin x cos x − = ⋅


42

2

≥+−

−

x x

x .

5.Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole 72 22=− y x

konstruisanih iz ta~ke ( )1, 2 M − .

6. Osnovice trapeza su 5cm i 3cm , a uglovi na ve}oj osnovici °30

i 45 . Izra~unati povr{inu trapeza.

7. U poluloptu polupre~nika 5 R cm= upisana je pravilna trostra-

na prizma ~ija je visina 3 H cm= (jedna baza prizme je u osnovi

polulopte). Izra~unati povr{inu i zapreminu te prizme.

8. Re{iti jedna~inu 21...842 +=+++x x x .

9. Cifre jednog trocifrenog broja obrazuju rastu}i aritmeti~kiniz. Ako se ovaj broj podeli zbirom svojih cifara, dobija se ko-li~nik 30 i ostatak 6. Ako se broju doda 198 , dobija se broj napi-

san istim ciframa, ali obrnutim redom. O kom broju je re~?

10. Skicirati grafike slede}ih funkcija: a) 12)( 2+−= x x x f ,

b) 12)( 2−++= k kx kx x f )( Rk ∈ , v) ( )2( ) 2 f x sin x = .



288

3. grupa 2002. god. (re{ewa)1. а) 1 б) 1

2. а) 2−= x б) }{ 5,2,1,2−∈ x

3. ,216

π π k x +=

216

3 π π l x += , ),( Z lk ∈

4. ( ) ( ]4,22,1 ∪∈ x

5. ( ) 0723:1 =−− y x t , ( ) 0765:2 =++ y x t

6. 24( 3 1)P cm= −

7. 260 3P cm= , 336 3V cm= 8.2

1−= x

9. 456

10. (сл. 15) а) б)

в)

Сл. 15

0

1

1

1

01

k=0

k>0

k<0

1

1

02

π −

2

π



289

4. grupa 2002. god.

1.a) Izra~unati

1 1 1 7 5 25

: 205 2 3 5 5 5

+⎛ ⎞+ − ⋅

⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

b) Uprostiti ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−⋅

+

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+−1

2:1

233

33

22 ba

b

ba

ba

baba

ab.

2.Re{iti jedna~ine:

a)22

1711

2

35

1

75

x x

x

x

x

x

x

−+

+=

−

+−

+

+, b)

( )

4 2

2

13 360

3

x x

log x

− +=

−.

3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina4 4sin x cos x a+ =

ima re{ewa? Za najve}u dozvoqenu vrednost parametra a re{iti je-dna~inu.


2

1

22 4

x log

x

−

+

< .

5. Odrediti ta~ku hiperbole 154 22=− y x najbliù pravoj

018 =−− y x .

6. Katete pravouglog trougla su 3cm i 4cm . Odrediti polupre~ni-

ke upisanog i opisanog kruga tog trougla.7. Izra~unati povr{inu i zapreminu prave zarubqene kupe ako je

wena visina 8 H cm= i ako se izvodnica s i polupre~nici osno-

va R i r odnose kao 5:4:1.8. Pedeset brojeva ~ini aritmeti~ku progresiju. Zbir ~lanova na

neparnim mestima je 50, a na parnim 25. Odrediti prvi i drugi~lan progresije.


7=++ y xy x ,

2122=++ y xy x .

10. Ispitati da li me|u realnim funkcijama: x

x x f

3

1 )( = ,

1)(

2

2−

−=

x

x x x f , ( )

1

23

ln x

f x e= , 4 2

4 )( x x f = , x x f =)(5 ima

jednakih i skicirati grafik funkcije4 f .



290


1. а) 2 б) 1

2. а) } ( ) ( ){ ( ) \ 1, 2 , 1 1,2 2, x R∈ − = −∞ − ∪ ∪ +∞ , б) { }3,3 x ∈ −

3. 12

1≤≤ a ; re{ewe za 1a = je Z k

k x ∈= ,

2

π

4. ( ) ( )2

, 2 2, 2,5

x ⎛ ⎞

∈ −∞ − − +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∪ ∪

5. ( )1,2 M

6. cm R 5,2= , cmr 1=

7. 2168 cmP π = , 3224V cmπ =

8. 1 226, 25a a= =

9. ( ) ( )}{ 1,4,4,1

10. )()( 31 x f x f = ; ( )4 2

4 f x x x = = (сл.16)

Сл. 16

1 410 4

1

2



291

5. grupa 2002. god.

1. a) Izra~unati ( ) ( )

2

170

270 4

35

2 1 12 0 5

2 1 2

log

,−− ⎛ ⎞

− − + − + ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠.

b) Uprostiti2 2

1 2 3:

1 1 2 1 1

x x

x x x x x

−⎛ ⎞− + ⋅⎜ ⎟

− − − + +⎝ ⎠


a) 3212 −=+−− x x x , b) x x =++ 24 .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 12 22=−− x cos x cos x sin x sin .

4. Re{iti nejedna~inu ( ) ( )1

1 65 2 5 2

x x

x

−

++ ≤ − .

5. Na elipsi 204 22=+ y x odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od

prave 07 =−+ y x .

6. Oko kruga polupre~nika 6cm opisan je jednakokraki trapez ~ija

je duìna kraka 13cm . Izra~unati duìne osnovica tog trapeza.

7. Osnova prave prizme je paralelogram ~ije su stranice 9cm i

10 cm , a jedna dijagonala17cm . Izra~unati zapreminu prizme ako je

wena povr{ina 2334 cm .

8. Tri broja ~iji je zbir 15 ~ine aritmeti~ku progresiju. Akoprvom dodamo 4, od drugog oduzmemo 1 i tre}em dodamo 3, dobijamogeometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?

9. Odrediti vrednost realnog parametra a tako da sistem

1222 ≤++ x y x

0=+− a y x

ima jedinstveno re{ewe.

10. Za okruglim stolom sedi 12 qudi, pri ~emu niko od wih negovori sa susednim osobama. Na koliko na~ina moèmo odabrati 5osoba, a da me|u wima ne bude onih koji me|usobno ne govore?



292


1. a)17 б) ( ) 21 x −−

2. { }0,1 x ∈ б) 5 x =

3. ( )2 , ,4

x arctg k x l k l Z π

π π = + ∨ = − + ∈

4. ( ) [ ], 1 2,3 x ∈ −∞ − ∪

5. ( )4, 1 M − −

6. 18 , 10a cm b cm= =

7. 3360V cm=

8. 3,5,13 12,5, -2− ili

9. { }1,3a ∈ −

10. Na 36 na~ina



293

6. grupa 2002. god.

1.a) Izra~unati

2

3 31 5

: 0,1 3: 7 :

7 27 2 144

9 5 17

−−⎛ ⎞⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Uporediti brojeve 10011002 − i 10001001 − .


a)

42

)3(2

22

2

−

−=

+

+−

− x

x

x

x

x

x , b)

2

1

21

2

20

log x x ⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅

3. Dokazati identitet 2442

48122

2

=−+

−− α α

sinsin

coscos.

4. Re{iti nejedna~inu)1(

2332

+

−<

−

x x

x

x

x .

5. Ta~ka ( )5, 2P − je sredi{te tetive parabole x y 82

= . Odrediti je-

dna~inu prave kojoj pripada ta tetiva.6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ~ije su osnovice

10cm i 6cm , a ugao na ve}oj osnovici 750 .

7. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadr-ì jedno wegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici trougla.Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog obrtnog tela.

8. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina

a x x x x

=+−+− ...16842

ima re{ewa?9. Izra~unati

2 5

9 9 9cos cos cos

π π π ⋅ ⋅ ⋅

10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vredno-sti:

a) ( )2

x lim x x x →+∞

+ − , b)2

3 21

3 2

3 3 x

x x lim

x x x →

− +

− − +, v)

20

3 5

x

cos x cos x lim

x →

−⋅



294


1. a) 4 b) 10011002 − < 10001001 −

2. a) x ∈ ∅ (nema re{ewa) b) { }5, 5 x ∈ −

3.2

2 2

1 8 4

2 4 4

cos cos

sin sin

α α

α α

− −=

+ −

2

2 2 2

1 4 8

4 4 4

cos cos

sin cos sin

α α

α α α

− −=

+ −

( )

2 2

2 2 2

2 2 8

4 4 1

sin cos

sin cos sin

α α

α α α

−= =

+ −

2 2 2

2 2 2

8 82

4 4

sin cos cos

sin cos cos

α α α

α α α

−=

−

4. ( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−∈

2

3,01,2 ∪ x

5. 82 +−= x y

6. 23216 cmP +=

7.2

2 3P a π = , 2

3π a

V =

8. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈

2

1,0a

9.

92

9

2

π

π

sin

sin

A =8

1

9

9

8

1

9

5

2

9

10

9

2

2

9

4

−=

−

⋅=⋅⋅π

π

π

π

π

π

sin

sin

sin

sin

sin

sin

10. a)2

1b)

2

1v) 8



295

7. grupa 2002. god.

1. a) Izra~unati

1

3

12

5 1 14

7 6 23

1 3 1: 0,2 :

9 2 9

−

−−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟

− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) [ta je ve}e : 5% od 300 ili 4% od 400?2. a) Odrediti parametar Ra ∈ tako da jedna~ina

422

)(22

2

−=

−−

+

+

x

x

x

x

x

a x

nema re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu( )

25,02232

2

=+−+ x x

.

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 1sin x cos6 x sin5x − − = .

4. Odrediti realni parametar k tako da je

)( R x ∈∀ 01)1(2

>+−−+ k x k kx .

5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 16422

=+ y x normalnih na

pravu 01823 =+− y x .

6. Duìne stranica trougla su 27cm , 29cm i 52cm . Izra~unati po-lupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla.

7. Na kom odstojawu od centra lopte polupre~nika R treba da budeta~kasti svetlosni izvor koji osvetqava jednu ~etvrtinu povr{i-ne lopte?

8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz ,...,, 321 aaa za koji je

554321 −=++++ aaaaa i 2854 =⋅ aa .

9. U xy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:

a) x sin y = , b) 22 0 x ln y− = , v) 02

22=+− ykx x )( Rk ∈ .

10. Razmatramo petocifrene brojeve (u dekadnom zapisu).a) Koliko je me|u wima parnih u ~ijem zapisu nema ponavqawa

cifara?b) Koliko je onih ~ije nikoje dve susedne cifre nisu jednake?v) Koliko ih je deqivo sa 25?



296


1. а) 3 б) 16400100

415300

100

5=⋅<=⋅

2. а)3

,32

a⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

б) }{ 0,1,3,4 −−−∈ x

3.3 2

, 2 ,6 3 2 10 5

k m x x l x

π π π π π π = + = + = + ; Z mlk ∈,,

4. ( )+∞∈ ,1k 5. 01032 =−+ y x , 01032 =++ y x

6. cmr 5= , cm R 7,37= 7. Rd 2=

8. 7,4,1,2,5 −−−

9. (сл.17)

a)

б) в)

Сл. 17

10. а) 13776678846789 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

б) 5904999999 =⋅⋅⋅⋅

в) 3600101094 =⋅⋅⋅

0

1

1

0

k=0

k>0 k<0

1

y

x 0

1

π π − π 2π 2−



297

8. grupa 2002. god.

1.a) Izra~unati

123 1 7 1 1 5 18

: : 35 4 10 2 3 7 29

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

b) Uprostiti

11

2

1 3 2

2 2

1 1 1: :

11 1

x

x x x x

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⋅⎜ ⎟ −⎜ ⎟

+ + −⎝ ⎠2. Re{iti jedna~ine:

a)

13331 −=−−−x x x , b) ( ) ( )

0112712836

=−−+−x x .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 02542

=−− x cos x sin .

4. Re{iti dvostruku nejedna~inu 145

65

9

12

2

<+−

+−≤

x x

x x .


=+ y x najvi{e udaqenu od prave

0102 =−+ y x .

6. Centar upisanog kruga jedanakokrakog trougla deli visinu kojaodgovara osnovici tog trougla na odse~ke duìne 5cm i 3cm ,ra~unaju}i od temena. Izra~unati obim i povr{inu tog trougla.

7. Pravilna trostrana prizma upisana je u vaqak. Polupre~nikosnove vaqka je 6 R cm= , a dijagonala osnog preseka vaqka je

13 D cm= . Izra~unati povr{inu i zapreminu prizme.

8. Re{iti jedna~inu 12...16842 −=+−+−x x x x .


9 31 2 9log x log y− =

2821

=⋅−− y x .

10. Na polici je pore|ano 12 kwiga. Na koliko na~ina moèmoodabrati 5 kwiga, tako da me|u wima ne budu nikoje dve koje subile jedna do druge?



298


1. a)21 b) 1+ x

2. a) 5 x = b)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈ 0,4

3 x

3. π π

π π

l x k x 26

5,2

6+=+= ; ( ) Z lk ∈,

4. 52

x =

5. ( )2,1 −− M

6. 232 , 48O cm P cm= =

7. 2 3144 3 , 135 3P cm V cm= =

8.1

2 x = −

9.1

2,6

x y= =

10. Na 56 na~ina



299

9. grupa 2002. god.

1. Koji su od slede}ih iskaza ta~ni:

( )i 13 12cos cos>

, ( )ii 32)3)(2( −⋅−=−− , ( )iii 1 1

2 2

6 5log log> ,

( )iv ( )4

3 2 9log log− = , ( )v3

π arcsin je realan broj?

Odgovore ukratko obrazloìti.

b) Izra~unati2

872728 ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−+ .

2. Re{iti jedana~ine:

a)6765

263

367 x x x x −+=++− , b) ( ) ( )222 510556 x x x x −=−− .

3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu

( ) ( )21 3 3sin x tgx sin x cos x sin x + = − + .

4. Odrediti realni parametar k tako da kvadratna funkcija

( ) 222)(2

++++= k x x k x f

bude negativna za sve vrednosti R x ∈ .

5. Na pravoj 062 =++ y x odrediti ta~ku podjednako udaqenu od

ta~aka ( )3, 1 A − i ( )5, 3 B − .

6. Povr{ina jednakokrakog tangentnog trapeza je 2156cm , a visina

12cm . Odrediti duìne stranica tog trapeza.

7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kru`ne kupe ako su povr-

{ine wenih osnova 264 cmπ i 2

9 cmπ i povr{ina omota~a

2143 cmπ .

8. Odrediti aritmeti~ki niz ~iji je zbir prvih ~lanova uvek jednaktrostrukom kvadratu broja tih ~lanova.

9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re-{ewa jedna~ine

a x x =− 55 .

10. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva kod kojih se samo jednacifra pojavquje 2 puta?



300


1. а) ( i ) ⊥ , ( ii ) ⊥ , ( iii ) ⊥ , ( iv ) , ( v ) ⊥ ; б) 4

2. а) ( ), x R∈ = −∞ +∞ б) { }7,4,1,2−∈ x

3. π π

π π

l x k x +±=+=3

,4

; ( ) Z lk ∈,

4. ( )3,−∞−∈k

5. ( )4,2 − M

6. 18 , 8 , 13a cm b cm c cm= = =

7.3

388 cmπ

8. 3, 9, 15, 21, ...

9. Једначина има:

1) једно решење за 44 −<∨> aa ;

2) два решења за { }4,4−∈a ;

3) три решења за ( )4,4−∈a

10. 3888



301


1.a) Uprostiti

11

4 34 16 : : .2 2 22 8 16

a a aaa a aa a a

−−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠b) Bazen se napuni vodom iz 4 cevi za 21 sat. Za koliko sati se

napuni tre}ina bazena vodom iz 7 cevi?


a)34

73

1

2

3

12

+−

−=

−+

− x x

x

x x , b) 0

2

91024

=−

+−

x

x x .

3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 132

22=+− x cos x cos x sin x sin .


2

9 2 3 x log x − > − .

5. Na elipsi 22222

=+ y x odrediti ta~ku najbliù pravoj

0153 =++ y x .

6. U kvadratu stranice a sme{tena su 4 podudarna kruga. Svaki odwih dodiruje dve susedne stranice kvadrata i dva od tri preosta-la kruga. Izra~unati povr{inu krivolinijskog ~etvorougla odre-|enog lukovima sva ~etiri kruga.

7. Izra~unati zapreminu kose kru`ne kupe ~ija je najduà izvodnica

361 =s cm , najkra}a 62 =s cm , a ugao koje one zaklapaju je °30 .

8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz ,...,, 321aaa za koji je

1452 =+ aa i 4543 =⋅ aa .

9. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina a x x =−2

ima maksimalan broj re{ewa?10. Od 5 u~enika, 6 studenata i 3 profesora treba izabrati peto-

~lanu delegaciju u kojoj }e biti bar po jedan student i profesor.Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?



302


1. а) 2+a б) Za ~etiri сата

2. а) { } ( ) ( ) ( ) \ 1,3 ,1 1,3 3, x R∈ = −∞ ∪ ∪ ∞ ; б) 3= x

3. π π

π l x k x +==3

, ; ( ) Z lk ∈,

4. ( ) ( )20 3 9 x , ,log∈ −∞ ∪

5. ( )2,3 −− M

6. (sl. 18) ( )π −= 416

2a

P

Sl. 18

7.3

39 cmV π =

8. ,...13,9,5,1,3−

9.(sl. 1 9) Шест решења за ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∈

4

1,0a

Sl. 19

10. Na 1485 na~ina

4

1

1 10

y a=

4a

a

a



303

1. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati1 1 57 1 7 2

:20 407 3 7 2 5 3 3 2

⎛ ⎞ +− − ⋅

⎜ ⎟− + −⎝ ⎠.

b) Uporediti brojeve 3 124 i1

1

3

13 :3

2log .

−

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2. Re{iti jedna~ine :

a)3 5 5 8 1 3 2

;4 3 6 4

x x x x − − − −− + = b) ( ) ( )

6 3

1 7 1 8 0 x x .+ + + − =


1cos x sin x ctgx

sinx + − = ⋅

4. Za koje su vrednosti realnog parametra m re{ewa jedna~ine

( )22 2 3 0mx m x m− − + − =

istog znaka ?5. Na pravoj 4 0 x y+ − = odrediti ta~ku podjednako udaqenu od

ta~aka ( )1 3 A , i ( )3 7 B , .

6. Duìna dijagonale jednakokrakog trapeza je 12cm , a ugao izme|u

dijagonale i osnovice tog trapeza je 30 .

Izra~unati povr{inutrapeza .7. Sfera sa centrom u vrhu kupe i polupre~nika jednakog visini

kupe deli omota~ kupe na dva dela jednakih povr{ina. Odreditiugao izme|u izvodnice i visine kupe.

8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz 1 2 3, , ,a a a … za koji je

1 2 3 4 5 5a a a a a+ + + + = i 2 4 8.a a⋅ = −

9. Uspravni stub, koji se nalazi na horizontalnom terenu, posmatra

se iz ta~ke na povr{ini zemqe. Sa rastojawa od 8m vidi se poddva puta ve}im uglom nego sa rastojawa od 25m . Kolika je visinastuba?

10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama:

a) ( )2 24 2 ; x y x y≤ + ≤ + b) ( ) ( )2 0 x y y log x .+ − ≥



304


1. a) 2 b)

1

3 3

1

3

1

124 3 : 3 5 1252log

−

⎛ ⎞< + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2. a) 2= x b) { }0,3−∈ x

3. Z k k x ∈+= ,2

π π

4. ( ] ( ]4,30, ∪∞−∈m

5. ( )8,4− M 6.2

336 cmP =

7.

45=α 8. ( ),...7,4,1,2,5 −−

9. (сл. 20)

α tg x

=25

α

α

α 21

2

28 tg

tg

tg

x

−

==

Сл. 20

10. (сл. 21)

a) b)

Сл. 21

2

2

2

2

20

1

1

α 2α

25

8

15 x m⇒ =



305

2. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati ( )1

16 2

31

2

2 16 125 3:4log

−−

− + − + .

b) Uprostiti .bb

b

aabbbaab

b1

22234

3

22

2

2

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

++

+⋅

−−+−

−

2. a) Odrediti parametar a R∈ tako da jedna~ina

2

1

1 2 3 2

x a x

x x x x

+− =

− − − +

nema re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu 5 7 x x − − = .3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

2 4 6 0cos x cos x cos x .− + =


2

1

221

3

x log

x .

−

+⎛ ⎞>⎜ ⎟

⎝ ⎠

5. Odrediti jedna~ine tangenti krive 2 22 8 x y− = paralelnih

pravoj 4 0 x y− − =

. Skicirati odgovaraju}u sliku.6. Izra~unati povr{inu trougla ako duìne wegovih stranica

obrazuju aritmeti~ku progresiju sa razlikom 2d = i ako je

jedan unutra{wi ugao trougla 120 .

7. Pravougli trapez sa osnovicama 10cm i 2cm i povr{ine 290cm

rotira oko ve}e osnovice Izra~unati povr{inu i zapreminunastalog tela.

8. Odrediti opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje je zbirprvog i ~etvrtog ~lana 35 , a drugog i tre}eg 30.

9. Data je funkcija

( )

( )

( )

2

2

4 0

8 3 0 393 3

x x , x

f x x x , x

x, x .

⎧− + ≤

⎪⎪= − < ≤⎨⎪

− >⎪⎩Skicirati grafik funkcije f i koriste}i se wim, odrediti

broj realnih re{ewa jedna~ine ( ) ( ) f x a a R .= ∈



306

10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~nevrednosti:

a)21

1;

3 4 x

x lim x x →

−

+ −

b)20

7;

x

cos x cos x lim x →

− v)3

0

1 1

x

x x lim x →

+ − −⋅


1. a) 5, b) 1 под условом да је 0, 1, 3 и 2a a b b b a≠ ≠ − ≠ − ≠

2. a) 21 −=∨= aa , b) 4−= x

3. ( ) Z lk l x k

x ∈+±=∨+= ,648

π π π π

4. ( )1, x ∈ +∞

5.02:

02:

2

1

=+−

=−−

y x t

y x t

6. (sl. 22)

( ) ( ) ( )2 22

2 2 2 2 120a a a a a cos+ = + − − −

5=a

( )1 15 32 1202 4P a a sin= − =

Sl. 22

7.2

2 382 1050

3T V K

RV V V R cm

π π π

⋅= + = ⋅ + =

2540 cmPPPP

K V V M M B π =++=

8. 27, 18, 12, 8, ...

9. Jedna~ina ima(sl.23):4 re{ewa za 02 <<− a

3 re{ewa za 20 −=∨= aa

2 re{ewa za 102 <<∨−< aa

1 re{ewe za 1=a

0 re{ewa za 1>a Sl. 23

10. a)1

10, b) 24, v)

5

6

120a–2

a+2

a

2

31

1

0

=a



307

3. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati ( ) ( )3

1150

50 3325

3 4 13 0 12533 2

log

, .−− ⎛ ⎞− − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠+

b) Uprostiti2

2 2

1 3 10:2 24 4 4

x x x x x x x x

⎛ ⎞ −− + ⋅⎜ ⎟

− +⎝ ⎠− − +

2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina2

2

2 81 2 2

x a x x x x x x

+ +− =

− + − −

ima beskona~no mnogo re{ewa i navesti ta re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu 4 12 x x .+ =3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

( )22 4 2 2 3 1sin x sin x cos x sin x .+ = −


2

4 31

1

x x . x x

− −≤

+ +

5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse 2 22 9 x y+ = konstruisanih

iz ta~ke ( )9 0 M , .

6. Tetiva kruga je za 2 mawa od pre~nika, a odstojawe centra krugaod tetive je za 2 mawe od polupre~nika kruga. Odrediti duìnutetive, obim i povr{inu kruga.

7. U pravilnu trostranu prizmu upisana je lopta koja dodiruje svebo~ne strane i osnove prizme. Na}i odnos povr{ina lopte

prizme.8. Re{iti jedna~inu

( )13 9 27 3 1

2 x x x .− + − = −

9. Ispitati da li me|u funkcijama: ( ) ( ) 21 21 1 f x x , f x x ,= + = +

( )2

3

2 3

3

x x f x

x

− −=

−

, ( ) ( ) ( )2 1 24 52 2 1

log x f x , f x x x

+= = + + ima jednakih,

a zatim skicirati grafik funkcije ( ) ( ) ( )2 5 f x f x f x .= ⋅

10. Koliko se ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 3 moèformirati od cifara 0,1,2,3,4 i 5, ako nijedan broj nema jednakihcifara?



308


1. a) 3 b)

( )22

1

−

−

x x

2. a) za 4−=a skup re{ewa je { }1,2 \ − R b) 81= x

3.2 2 7 2

, , , , , , ,2 6 3 18 3 18 3

l m n x k k l m n Z

π π π π π π π π

⎧ ⎫∈ + + − + + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

4. [ )∞∪⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−∈ ,2

2

1,

5

4 x 5. ( )9

4

1:1 −= x yt , ( )9

4

1:2 −−= x yt

6. π π 25,10,8 === POt 7. 39:2: π =PR L PP

8.2

1−

9. (sl. 24)

( ) R x x x f ∈+= ,11

( ) R x x x f ∈+= ,12

( ) { }3 \ ,13 R x x x f ∈+=

( ) 1,14 −>+= x x x f

( ) R x x x f ∈+= ,15

Me|u datim funkcijamanema jednakih.

( ) ( )

( )

2

2

2

1, 1

1 1 1 , 1 0

1 , 0

x x

f x x x x x

x x

⎧ − ≤ −⎪⎪

= + ⋅ + = − − < ≤⎨⎪

+ >

⎪⎩

10. Zbir cifara mora biti deqiv sa 3. êtvorocifrenih brojeva

formiranih od cifara skupa { }5,4,2,1 bez ponavqawa cifara

ima 4!=24. êtvorocifrenih brojeva formiranih od cifara

skupova{ }3,2,1,0 ,{ } { } { }0,3,4,5и4,3,2,0,5,3,1,0 bez ponavqawa cifa-

ra ima ( ) 7212334 =⋅⋅⋅⋅ .

Dakle, traènih brojeva ima 9641824 =⋅+ .

(vidi sliku 24)

11

1

0

Sl. 24



309

4. grupa 2003. god.

1. a) Ispitati ta~nost slede}ih iskaza:

( i ) Ako je svaki pravougaonik kvadrat, onda je 3<2;

( ) { } { }{ } ( ) ( ) ( ) 2 4

3 32 1 2 <1, 3 8

5 2 2ii , , iii tg iv , v log log

π − −⊂ = <

− −.

Odgovore ukratko obrazloìti.

b) Izra~unati ( )2

6 2 5 2 5 6 .+ − −


a)2

2

2 1 2 2

2 1 2

x x x x

x x x x

− + −− =

− + − −

, b)

( )

4 210 9 02

x x .log x

− +=

−

3. Re{iti jedna~inu

2

29 9 4cos x cos x .+ =


2 2 3 3 3 x x x .− − < −

5. Na}i jedna~inu kruga ~iji je centar u ta~ki ( )5 4 A , i koji spoqa

dodiruje krug 2 2 4 5 0 x y x + − − = .

6. Jedan ugao trougla je 120 , a stranica naspram tog ugla ima

duìnu 2 7cm. Odrediti duìne preostale dve stranice ako je

povr{ina trougla 22 3 .cm

7. Ta~kasti svetlosni izvor udaqen je 8m od centra lopte polupre-

~nika 4m . Na}i odnos povr{ina osvetqenog i neosvetqenog de-la lopte.

8. Tri broja ~iji je zbir 38 ~ine opadaju}u geometrijsku progresiju.Ako se od prvog broja oduzme 2, dobija se aritmeti~ka progresija.

Koji su to brojevi?9. Re{iti sistem jedna~ina

4 3

32

x ylog y log x

xy .

− =

=

10. Ukrotiteq zveri treba da izvede na cirkusnu arenu u koloni 5lavova i 4 tigra, a da pritom nikoja dva tigra ne budu jedan zadrugim. Na koliko na~ina on to moè u~initi?



310


1. а) ( )i ( )ii ⊥ ( )iii ( )iv ⊥ ( )v ⊥; б) 4

2. а) 1= x б) { }1,3 −−∈ x

3. ( ) Z k k

x ∈+=24

π π

4. ( )5,2∈ x

5. ( ) ( ) 44522

=−+− y x

6. 4 , 2a cm b cm= =

7. (сл. 25)

d

R

R

x = , 2= x , 2=−= x Rh

π π 162 == RhPosv

π π 4842

=−= osvneosv P RP

3:1: =neosvosv PP

Сл. 25

8. 18,12,8

9. ( ){ }16,2

10. Ukupan broj na~ina je 65! 4! 120 15 24 43200

4

⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

R x h d O



311

5. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati

3

2 5

1

3 32 1 : 0 7

7 160

2 4 71 :

25 3 9

,

−−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b)Tri radnika su zaradila 3780 dinara. Prvi radnik je radio 5sati, drugi radnik 6 sati, a tre}i radnik 7 sati. Kako treba dapodele zaradu?

2. Re{iti jedna~ine

a)2

2 1 6;

4 1 3 4

x

x x x x

+− =

− + − −

b)( )2

2 21 1

2 3

log x х−⎛ ⎞

= ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

5 9 0cos x cos x cos x .+ + =

4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da re{ewajedna~ine

( )2 2 2 1 0mx m x m− + + − =

budu pozitivna.

5. Na elipsi 2 22 3 14 x y+ = odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od

prave 3 8 0 x y .+ − =

6. U trapez sa kracima 15cm i 13cm i ve}om osnovicom 21cm

upisan je krug. Izra~unati povr{inu trapeza.7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kru`nog vaqka upisanog u

pravu trostranu prizmu ~ije su osnovne ivice 9a cm,= 10b cm=

i 17c cm,= a visina 10 H cm.=

8. Odrediti beskona~nu opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje

je drugi ~lan 4, a suma svih wenih ~lanova je 3

16

sume kvadrata

tih ~lanova.9. Re{iti sistem jedna~ina

2 2

6

84

x xy y

x xy y .

− + =

+ + =

10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama

a) ( ) ( )2 2 2 29 9 4 0; x y x y+ − + − ≤ b) ( )( )1 0 x x y e x y .− + − ≥



312


1. а) 8 б) 1050, 1260, 1470

2. а) { }4,1 \ −∈ R x б) { }3,3−∈ x

3. ( ) Z lk l

x k

x ∈±=∨+= ,62510

π π π π

4. ( )∞∈ ,1m 5. ( )2,1 −− M

6. 2168 cmP = 7. 248 cmP π = , 340 cmV π =

8. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ,

4

1,

2

1,1,2,4,8 9. ( ) ( ) ( ){ }2,8,8,2, ∈ y x

10.(сл. 26)

а) б)

Сл. 26

21 1

2

2

2

3

3

0

0 1

1

e



313

6. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati

3

21 1 3:4 5 8

5 22 1:1,4 5

7 5

−

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Koliki su unutra{wi uglovi trougla ako se odnose kao

7:14 :15 ?

2. Re{iti jedna~ine

a)2

2

3 5 8

5 2 3 10

x x x

x x x x

+ −− =

− + − −

; b) 1 3 2 1 x x − + − = .


2 22 5 2sin x sin x cos x + + = .4. Re{iti nejedna~inu

2

2

113

2

x log

x

−

+⎛ ⎞<⎜ ⎟

⎝ ⎠.

5. Ta~ka ( )2 1 A , je sredi{te tetive parabole 2 4 y x = . Odrediti

jedna~inu prave kojoj pripada ta tetiva.6. Duìne stranica trougla su 13 14cm, cm i 15cm. Odrediti

polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla.7. Izra~unati zapreminu zarubqene kupe ako je wena povr{ina

2216 cmπ , razlika polupre~nika osnova 5cm , a izvodnica 13cm.

8. Ako tri broja istovremeno obrazuju aritmeti~ku i geometrijskuprogresiju, onda su oni jednaki. Dokazati!

9. Dokazati jednakost

5 55 65 2 3tg tg tg .⋅ ⋅ = −

10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama

a) ( )21 0 xy x y+ − ≤ ; b) ( )( )2 2

2 1 0 x y y x y+ − + − ≤ ;

v) ( )( ) ( )2 3 0sin x y ln x y x + + − ≥ .



314


1. а) 27 б)

75,70,35 === γ β α

2. а) Nema re{ewa б) 1= x

3. ( ) Z lk l x k arctg x ∈+−=∨+= ,4

3 π π

π

4. ( )5 7

, 1 1, ,4 2

x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. 32 −= x y 6. cm R 125,8=

7. (sl. 27) 3

388 cmV π =

8.2

2a cb b ac+= ∧ = ⇒ cba ==

9.

5 55 655 55 65

5 55 65

sin sin sintg tg tg

cos cos cos⋅ ⋅ = =

( )

( )

11 5 105 10 12022

1 15 10 120 5 10

2 2

sin cossin cos cos

cos cos cos cos cos

⎛ ⎞+− ⎜ ⎟

⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )

1 1 15 10 5 15 5 5

2 2 21 1 1

5 10 5 15 5 52 2 2

sin cos sin sin sin sin

cos cos cos cos cos cos

+ − +

= =

− + −

15 2 3tg = −

10.(сл. 28)

a) б) в)

H

R–r

Sl. 27

1

110

10 e

1

Sl. 28

1

1 10



315

7. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati

1

3

5

2 1 7 1: 4

7 2 8 2

1 73 1:0 4 :

2 8 ,

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅

⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Koliki su spoqa{wi uglovi trougla ako se oni odnose kao 7:11:12 ?

2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina

2

2

2 213 2 6

x x a x x x x x

+ +− =

+ − + −

ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu 2 3 3 x x .− + + =


( ) ( )25 6 4 4 5 1sin x sin x sin x cos x − = + .


( )21 1

2 2

4 3log x log x − ≥ .

5. Na krivoj

2

8 y x =

odrediti ta~ku najbliù pravoj 4 0 x y− + =

.Skicirati odgovaraju}u sliku.

6. Duìna sredwe linije trapeza je 10cm . Ona deli trapez na

delove ~ije se povr{ine odnose kao 5 : 3. Odrediti duìneosnovica trapeza .

7. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilne ~etvorostrane

piramide ~ija je visina 8cm, a povr{ina dijagonalnog preseka

248 2 cm .

8. Nenulti brojevi 1 2 3a ,a ,a ,…

obrazuju aritmeti~kuprogresiju. Dokazati da je

1 2 2 3 1 1 1

1 1 1

n n n

na a a a a a a a+ +

+ + + = ⋅

9. Odrediti sve kompleksne brojeve z x y i= + za koje je

( ) ( ) ( )2 3 3 11 13 1i i z z− + = − , ( z je konjugat od z ).

Za 0 x > izra~unati i ( )2003

2 z .−

10. U xOy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:



316

a) 2 y cos x = ; b) 1 y xe = ; v) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 y k x kx , k R .= + − − ∈


1. а)3

2 б)

144,132,84 111 === γ β α

2. а) { }2,3 \ ,7 −∈−= R x a б) 21 −=∨= x x

3. ( )2

,15 5

l x k x k l Z

π π π = ∨ = ± + ∈ 4. [ ) ( ]4,22,4 ∪−−∈ x

5. ( )4,2P 6. cmbcma 5,15 == 7.3

384cmV = ,2

384cmP =

8. 3 2 12 1

1 2 1 1 2 2 3 1

1 1 1 1 1 n n

n n n n

a a a aa aa a a a d a a d a a d a a

+

+ +

− −−+ + = + + + =

1 1

1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n

a nd a n

d a a a a d a a d a a a a+ + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −= − + − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. ( ) i zi zi z −=−−−=−=

2003

21 2,1,2

10.(sl. 29)

a)

б) в)

Sl. 29

x

2

10

k<0

k>0

k=0

02

π −

2

π

1

e10



317

8. grupa 2003. god.

1. a) Izra~unati

2

33 2 455 7 11

1 71:0 3 1 :

3 36 ,

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Uporediti brojeve 4 22

log i 27 33

log.

2. Re{iti jedna~ine

a) 2 1 2 1 x x x − − − = +

; b) 3 1 3 x x + + =

.3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu

2 28 5 2 14 6sin x sin x cos x − + = .4. Re{iti nejedna~inu

( ) ( )6

13 2 3 2 x

x .−

++ ≤ −

5. Odrediti jedna~ine tangenti kruga 2 2 2 4 0 x y x y+ − + =

konstruisanih iz ta~ke ( )4 3 M ,− .

6. Visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli tuhipotenuzu na odse~ke duìna 16 cm i 9 cm . Na}i povr{inu

kruga upisanog u taj trougao.7. Bo~ne ivice pravilne zarubqene trostrane piramide nagnute

su prema ravni osnove pod uglom od 45 . Izra~unati zapreminu

te piramide ako su wene osnovne ivice 4a cm= i 2b cm= .

8. Tri broja ~ine rastu}u geometrijsku progresiju. Uve}avawemdrugog ~lana za 8, data progresija postaje aritmeti~ka. Ako unovoj progresiji tre}i ~lan uve}amo za 64, dobijamogeometrijsku progresiju. Koji su to brojevi?

9. U zavisnosti od realnog parametra a , odrediti broj realnihre{ewa jedna~ine

3 3 1 0ax ax − − = .10. Koliko ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 5 moèmo

formirati od cifara 0, 1, 2, 5, 6 i 7, a da nijedan od tih brojevanema istih cifara?



318


1. а) 4 б)3log3662log 274 339822 ==<==

2. а) { } [ )1 2, x ∈ − ∪ +∞ б) 1 x =

3. ( )4 ,4

x k x arctg l k l Z π

π π = + ∨ = + ∈ ; 4. [ ) [ )3, 1 2, x ∈ − − ∪ +∞

5.⎭⎬⎫

=−+

=++

022

052

y x

y x 6. 225 cmP π =

7. 3

3

14cmV = 8. 36,12,4

9.(sl. 30) Једначина има:

1) два решења за ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=±=

2

12

1a

a

2) три решења за ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞∪⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∞−∈<<− ,

2

1

2

1,2

12 a

a

3) једно решење за ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∪⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∈−<∨>

2

1,00,

2

12

12

1a

aa

4) нула решења за 0=a

Sl. 30

10. 60!335 =⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ( 0 на крају)

24!334

=⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ (5 на крају, а 0 не учествује)

( ) 242!324

=−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ (5 на крају и 0 учествује)

Укупно има 108 таквих бројева.

x x y 33−=

0,1

≠= aa

y

3− 3

2

2

1 10



319

9. grupa 2003. god.


1

2

5 1 7 1 1: 0 25 1 : -1:0,58 2 6 4 2

,

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Uprostiti4 3

2 13 :

1 1 11

x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠2. Re{iti jedna~ine:

a) 3 1 2 5 ; x x x − − − = + b) ( ) ( )2

2 2 3 2 2 x x x x − − = − .


( )6 68 3 4 5sin x cos x cos x + − = .

4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da je

( ) ( ) ( )22 1 2 1 0 x R m x m x m∀ ∈ − + + + − < .

5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki ( )3 5 A , u odnosu na pravu

2 6 0 x y+ − = .

6. U trapez sa kracima 6cm i 10 cm upisan je krug. Sredwa linija

trapeza deli trapez na dva dela ~ije se povr{ine odnose kao

11:5. Odrediti duìne osnovica trapeza.

7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe ako je wena izvodnica za 1cm duà od visine, a pre~nik osnove je 1 dm .

8. Re{iti jedna~inu

1

2 4 8 1615

x x x x + + + + = ⋅


( ) ( )2 3

2 2

1

2

log x y log x y

x y .

+ − − =

− =

10. Igra~ igra 5 razli~itih igara, pri ~emu u svakoj igri obaveznoosvaja tri, ~etiri ili pet poena. Na koliko na~ina on moèosvojiti ukupno 20 poena?



320

9. grupa 2003. (re{ewa)

1. а) 2 б) 1+ x

2. а) { }4,2−∈ x б) { }3,1,1−∈ x

3. ( ) =−+ x cos x cos x sin 438 66

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

+= x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin 43232433

228 4

( ) 543418

318432

4

318 2

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= x cos x cos x cos x sin

4. ( )0,∞−∈m

5. ( )3,1− B

6. 14 , 2a cm b cm= =

7. 290P cm ,π = 3100V cmπ =

8. 4−= x

9.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

2

1,

2

3

10. Ukupan broj na~ina je 5130201

!2!2

!5

!3

!51 =++=++



321



1

214 11 7 52 : 0 8 1 0,9

5 5 3 9 ,

−

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

b) Uprostiti4 3

6 1: 9

3 3 33 27 81

x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞− + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +− + −⎝ ⎠⎝ ⎠2. a) Odrediti sve vrednosti parametra a R∈ za koje jedna~ina

2

2

2 3

1

x x a x

x x x x

+ −− =

− −

nema re{ewa.

b) Re{iti jedna~inu ( ) ( )1 1

2 41 1 2 x x − − − = .


( ) ( )24 4 2 4 3 3sin x sin x sin x cos x − = + ⋅


( )2 2

100 01log x log x x , log x log x .

+ +< =

5. Na krivoj 2 2 10 x y+ = odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od prave

3 12 0 x y+ − = i izra~unati tu udaqenost. Skicirati

odgovaraju}u sliku.6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trougla ~ija je osnovica

duìne 30 cm , a polupre~nik upisanog kruga 10cm.

7. Izra~unati zapreminu pravilne ~etvorostrane zarubqene

piramide ~ija je dijagonala 9 D cm= , a osnovne ivice 7a cm= i

5b cm.=

8. Tri broja ~iji je zbir 6 obrazuju rastu}u aritmeti~ku progresiju.

Ako se prvom broju doda 5, a drugom i tre}em po 1, dobija segeometrijska progresija. Koji su to brojevi?

9. Oko sfere polupre~nika R opisana je prava kupa minimalnezapremine. Odrediti wenu visinu.

10. U xOy - ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:

a) y cos x ,= b)( )2ln x x

y e ,−

= v) ( )2 2kx y k k R .+ = ∈



322


1. а) 3 б) 3+ x 2. а) { }3,2∈a ; б) 17

3. ( ) Z mk m

x k x ∈+±=∨= ,3

2

9

π π π 4. ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

∈10

1,0 x

5. ( )3,1 −− M ,10

22=d 6. 2540 cmP =

7. 3109 cmV = 8. 8,2,4−

9. ( )4 4minV V R , H R= =

10. (Сл. 31)

а)

б)

в)

Сл. 31

0

k=0

1 1

0

k<0

1

0

1

11

k −−

k −

0

1

1

y

x

2

π

2

π

−2

5π −

2

5π

2

3π

2

3π

−

k>0

1

1

1 10

k −

k



323

LITERATURA

[ ]1 @. Ivanovi} , S. Ogwanovi}: Matematika 1, Zbirka re{enih za-

dataka za I razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beograd1995.

[ ]2 @. Ivanovi}, S. Ogwanovi}: Matematika 2, Zbirka re{enih za-

dataka za II razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beo-grad 1997.

[ ]3 S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}, L. Milin: Matematika 3, Zbirka

re{enih zadataka za III razred gimnazija i tehni~kih {kola,"Krug", Beograd 1992.

[ ]4 S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}: Matematika 4, Zbirka zadataka i

testova za IV razred gimnazija i tehni~kih {kola, »Krug«, Beo-grad 1999.

[ ]5 Vene T. Bogoslavov: Zbirka re{enih zadataka za IV razred gi-

mnazija i tehni~kih {kola, Zavod za uxbenike i nastavna sred-stva, Beograd 1999.

[ ]6 S. Ogwanovi}: Matematika 4+, Re{eni zadaci sa prijemnih ispi-

ta na univerzitetima u Srbiji 1995– 2000, "Krug", Beograd 2001.

[ ]7 \. Dugo{ija, @. Ivanovi}: Matematika 5, Re{eni zadaci iz ma-tematike sa prijemnih ispita na univerzitetima u Srbiji,Dru{tvo matemati~ara Srbije, Beograd 1991.

[ ]8 \. Vukomanovi}, D. Georgijevi}, A.Zoli} i dr.: Zbirka zadataka

i testova iz matematike za pripremawe prijemnog ispita za upis na tehni~ke i prirodno-matemati~ke fakultete, Zavod zauxbenike i nastavna sredstva, Beograd 2000.

[ ]9 V. T. Vodnev, A. F. Naumovi~, N. F. Naumovi~: Osnovn∫e maтema-

тi~eskie formul∫ , Minsk′′V∫{eŸ{a® {kola

″1988.

[ ]10 N. P.Antonov, M.Â. V∫godskiŸ, V. V. Nikitin, A. I. Sankin:

Sbornik zada~ пo Ì lemenтarnoй maтemaтike, Moskva, 1962.

Documents

zbirka za prijemni ispit iz matematike