Embed Size (px)
Citation preview
'· I
-~'
''
,,
:·~ ..... . . \ ) , •. :• .. ; ;·.:. ·, ..... ~·::;.... !·-·:
_:;;:) . .:."; ;_t,_._--'"'
#~<};.. UNIVERSITY OF NOVI SAD c . .-1> i.Jl.!!! j FACULTYOFSCIENCE
~ ~ ~ DEPAR1MENT OF MATHEMATICS iJrOVJ s~· AND INFORMATICS
Zbirka resenih zadataka
SA PRIJEMNIH ISPITA IZ
MATEMATIKE
od 1995. do 2010. godine
Zadatke pripremili:
~
dr Durdica Takaci i dr Dragan Masulovic
Novi Sad, 2011.
"""" .... ~ ....
_.i:::;·~:~
J
-· '
,,_.
JUN 1995.
'/ 1. Odrediti vrednost parametra k tako da koreni Xt i xz kvadratne jed-
nacine x 2 + 3kx + k2 = 0, xr +X~= 112.
2. Resiti jednaeinu '4-.,..fX-2 + 16 = 10. 2v'X-2. I 11 3. Dokazati identitet •!no+cosa _ 1+2cos
2a __ 2_
~ sma-cosa cos2a(tg2a-l)- l+tga·
4. Koliko ima permutacija c!fara 1, 2, 3, ... , 9 u kojima nije 1 ispred 2? '
5. Dijagonale konveksnog cetvorougla ABCD se seku u tacki 0 i dele cetvorougao na trouglove 60AB, 60BC, 60CD i 60DA. Dokazati da je proizvod povrsina trouglova 60AB i 60CD jednak proizvodu povrsina trouglova 60BC i 60DA.
6. Dato je n (3 :::; n :::; 1000) tacaka u ravni svojim koordinatama Xi, Yi·
Napisati program koji odredjuje bar jednu trojku tacaka A(xA, YA), B(xB,YB), C(xc,Yc) takvu da je povrsina trougla 6ABC maksimalna u odnosu na sve trouglove cija su temena u zadatim tackama. (Program napisati u Bejziku ili Paskalu).
0.1 RESENJA
1. Na osnovu Vietovih obrazaca je x 1 + x2 = -3k i x1'x2 = k2, a dato je
da je xi + x~ = 112 pa je
( . )2 k2 2 2 2 Xt + X2 = 9 = X1 + 2Xt~2_ + x 2 = 112 + 2k
iz cega sledi da je
9k2 = 112 + 2k2 -<==} k2 = 16, kl,2 = ±4.
2. Kako je 4-.,..fX-2 = (22)./X=2 = (2.JX=2r to se smenom y = 2v'X-2
dobija jednacina
y2 - lOy + 16 = 0, Yl = 2, Y2 = 8.
Iz Yl = 21 = 2v'X-2 sa dobija jednaCina Jx- 2 = 1 Cije je resenje x1 = 3, a iz Y2 = 8 = 23 = 2.JX=2 se dobijl(jednacina Jx- 2 = 3 Cije je resenje x2 = 11.
1
..
3.
sin a + cos a 1 + 2 cos2 a sin a- cos a - cos2 a (tg2a- 1)
(sin a+ cos a)2 - 1- 2 cos2 a
sin2 a- cos2 a
2cosa
sin a+ cos a
sin a + cos a 1 + 2 cos2 a sina-cosa- sin2 a-cos2a =
2 cos a(sin a- cos a) (sin a- cos a)(sin a+ cos a)
2 1 +tga
4. Svakoj permutaciji od 9 cifara u kojoj je 2 iza 1 odgovara permutacija u kojoj je 1 iza 2, koja se dobija kada 1 i 2 zamene mesta. Dakle ima isti broj permutacija u kome je 1 ispred 2 kao i permutacija u kome je 2 ispred 1. Ukupno ima 9! permutacija, pa permutacija u kojim je 2 iza 1 ima 9!/2 = 181440.
5. Neka su h1 i h2 rastojanja tacaka B i D od dijagonale AC. Tada je h1 visina koja ogovara stranici OA u trouglu D.OAB i takodje visina koja odgovara stranici OC u trouglu D.OBC. Analogno je h2 visina koja odgovara stranici OA u trouglu D.ODA i visina koja odgovara stranici OC u trouglu D.OCD. Tadaje
h1 j0Aj h2jOCj h1/0Cj h2/0Aj Pt:::,oAB·Pt:::,ocD = --·-- = --·-- = Pt:::,oBc·Pt:::,oAD·
2 2 2 2
6. Iskoristimo obrazac za povrsinu trougla kada su date koordinate temena
1 Pt:::, = 2/xA(YB- Yc) + XB(Yc- YA) + xc(yA- YB)/,
i neka se povrsina trougla izracunava u funkciji. Tada se dobija program:
program trouglovi; const
maxbroj = 1000;
var
x, y : array[! .. maxbroj] of real;
n, i, j, k, tl, t2, t3 : integer;
pomp, maxp : real;
function p(xl, x2, x3, y1, y2, y3 : real) : real;
begin
2
p := abs(x1 *(y2- y3) + x2*(y3- yl) + x3*(y1- y2))/2.0
end; (* p *)
begin
(* najpre unos po zahtevima zadatka *)
repeat
writeln('Unesite broj tacaka n (3 <= n <=',maxbroj,')');
readln(n)
until (3 <= n) and (n <= maxbroj);
for i := 1 to n do
begin
writeln('Unesite x koordinatu tacke br. ',i);
readln( x[i]);
writeln('Unesite y koordinatu tacke br. ',i);
readln(y(i])
end;
(* staviti maksimalnu povrsinu na malu vrednost *) maxp := -1.0;
(* probati povrsine svih trouglova *)
for i := 1 to n-2 do
for j := 2 to n-1 do for k := 3 to n do
begin
pomp := p(x[i], xU], x(k], y(i], yUJ, y[k]);
if pomp > maxp then
begin
(* ako se nadje veca, zapamtiti vecu *)
maxp := pomp;
t1 := i;
t2 := j;
t3 := k
end;
end;
3
writeln('Jedan trougao maksimalne povrsine je :');
write('T' ,tl, '(',x[tl],',' ,y[tl], '), ');
write('T' ,t2,'(' ,x[t2] ,', ',y[t2],'), ');
writeln('T',t3,'(',x[t3J,',',y[t3],'), P = ',maxp)
end.
SEPTEMBAR 1995. /'-
/ 1. Resiti jednaeinu log J x - 5 +log J2x - 3 + 1 = log 30.
2. Resiti jednacinu tg x = 2 cos~. --... 3. Koordinate temena trougla suA( -5, -8), B( -5, 2) i C(3, 0). Izracu
nati jednacine simetrala stranica !::,.ABC i poluprecnik opisanog kruga R.
4. Dat je jednakokraki trapez Cije su dijagonale uzajamno normalne. Dokazati da je tada povrsina trapeza jednaka kvadratu njegove visine.
5. Odrediti broj sestocifrenih prirodnih brojeva (oblika 1000a+b) takvih da je zbir trocifrenog brojo. kojeg saCinjava.ju prve tri cifre, a, i trocifrenog broja kojeg saCinjavaju poslednje tri cifre, b, manji od 1000,
a+ b < 1000.
6. Napisati program koji resava sistem jednacina
x1+X2=a1, x2+x3=a2, ... , Xn-t+Xn=an-1: Xn+Xt=an,
gde je n neparana broj. Brojevi n (3 :::; n :::; 99) i ai, i = 1, ... , n, se uCitavaju. (Program napisati u BASIC-u ili Pascal-u)
0.2 RESENJA:
1. Koristeci osobine logaritama data jednacina se moze riapisati u obliku log 10.JX=5J2x- 3 =log 30. Odatle je
J x - 5J2x - 3 = 3,
odnosno, nakon kvadriranja
(x- 5)(2x- 3) = 9 ili 2x2 - 13x + 6 = 0.
4
I.
Resenja ove jednaCine su x1 = 6 i x2 = 1/2. Drugo resenje optpada jer je x- 5 < 0 za x = ~' pa Jx- 5 nije definisan. Dakle, resenje date
jednaeine je x = 6.
2. Ako se tangens izrazi kao kolicnik sinusa i kosinusa dobija se smx = 2 cos~ cos x, cos x /= 0. Kada se predje na poluuglove
sinx 2sin::_cos::.. 2 2'
cos2 .::_ - sin2 .::_ = 1 - 2 sin2 .::_
2 2 2 cosx
i sredi dobija se jednacina
2cosi (2sin2 i+sini-1) =0, (cosx/=0).
Iz cos~ = 0 se dobija resenje:
Xt ='iT+ 2k1T = (2k + 1)1r, k = 0, ±1, ±2, ....
Ostala resenja se dobijaju iz 2 sin2 ~+sin~ - 1 = 0, ili kada se uvede smena y =sin~ iz 2y2 + y- 1 = 0. Rei'lenja ove jednaeine su y1 = 1/2 i Y2 = -1. Re5enja jednaeine sin~ = 1/2 su x2/2 = 1r /3 + 2k1T i x3j2 = 21r /3 + 2k1T pa se dobija da su re5enja
41T X3 =- +4k1f
3 ' 21T
X2 =- +4k1T 3 , k = 0, ±1, ±2, ....
Resenje jednacine sin! = -1 je x4 /2 = 31T /2 + 2k1r pa se dobija da je resenje x
4 = 31T + 4k1T. Ovo resenje je sadrzano u x1. Za sva ova
resenja je cos x i= 0 i time su nadjena sva resenja:
3. DliZ AB je vertikalna, pa je jednacina simetrale du:Zi AB SAB : y = (YA + YB)/2 = -3. Simetrala duzi AC je prava kroz sredinu AC, tj. kroz SAc((xA + xc)/2, (YA +yc)/2) = (-1, -4), a koeficijent pravca je k = -1 j k' gde je k' koeficijent pravca prave kroz A i C, k' = (yc -YA)f(xc -XA) = 8/8 = 1 paje k = -1 i konacno se dobija daje jednaeina simetrale y+4 = -(x+ 1) ili SAC: y = -x-5. Analogno se dobija da je jednaeina simetrale stranice BC SBC : y = 4x + 5. Tacka preseka simetrala T se dobija re8avanjem sistema jednaeina y = 3 i y = -x- 5 pa je T( -2, 3). Du:Zina poluprecnika opisanog kruga je rastojanje bilo kog temena trougla, recimo C, od centra opisanog kruga
T
d(C, T) = R = J(xc- xr) 2 + (Yc- Yr) 2 = V52 + 32 = J34.
5
4. Ako su E i G sredine osnovica AB i CD, a F i H sredine bocnih stranica BC i DA, onda je IEGI = IF HI. Nairne EF je srednja linija u trouglu b.ABC, a GH je srednja linija u trouglu b.CDA i
IEFI = IGHI = ~IACI.
Iz istog razloga je i IEHI = IFGI = ~IBDI. Trapez ABCD je ravnokraki pa su dijagonale AC i BD medjusobno jednake, a po pretpostavci zadatka su normalne. Otuda je cetvorougao EFGH kvadrat. Kako je visina trapeza EG je jedna dijagonala kvadrata EFGH, a srednja linija F H je druga i tvrdjenje je dokazano.
5. Izbrojmo mogucnosti. Da bi broj bio sestocifren a maze da bude 100, 101, 102, ... , 999. Kadaje a= 100 tada za b ima 900 mogucnosti 0, 1, 2, ... , 899, pa ima 900 brojeva sa trazenom osobinom oblika 100 * **· Analogno, kada je a= 101 za b ima jedna mogucnost manje, tj. 899 mogucnosti za brojeve oblika 101000 itd. za a= 998 ima dve mogucnosti za b, 0 i 1, a za a= 999 ima za b samo jedna mogucnost b = 0. Svi ovi slucajevi su disjunktni pa da se nadje trazeni broj mogucnosti treba sabrati
900 + 899 + 898 +- .. + 2 + 1 = 900. c +2900
) = 405450.
6. Zamenjujuci x2 iz druge jednaCine, zatim xa iz trece i tako redom dobija se da je x1 = a1 - a2 + a3 - + · · ·- an-1 +an - x1, pa je
a1 - a2 + a3 - + · · · - an-1 +an Xl = 2
a analogno se dobija da je
a2 - a3 + - · · · - an + a1 X2 = 2
iii u opstem slucaju
a; - ai+l + - ·-- - ai-2 +ai-l Xi=
2 i = 1,2, . .. ,n,
gde se indeksi u brojiocu sa desne strane uzimaju ciklicno. Resenje sistema se izracunavaju tako sto se u petlji saberu svi ak, pri cemu im se naizmenicno menja znak, a za Xi sabiranje potinje od a;.
6
Ako se brojevi ai uCitaju u niz a[i] tada se dobija program:
program sistemjednacina; canst
gr = 99;
var
a : array[l .. gr] of real;
i, k, n, indeks, znak : integer;
suma, resenje : real;
begin
repeat
writeln('Unesite broj jednacina (3 <= n <= ',gr,', neparan)');
readln(n)
until (3 <= n) and (n <= gr) and odd(n);
for i := 1 to n do
begin
writeln('Unestie broj a[',i,']');
readln( a[i])
end;
writeln;
writeln('Resenje sistema jednacina je:');
for i := 1 to n do
begin
znak := -1;
suma := a[i];
fork := i+1 to i+n-1 do
begin
indeks := k mod n;
if indeks = 0 then
indeks := n;
suma := suma + znak*a[indeks];
znak :=- znak
7
end;
resenje := suma / 2;
writeln(' x',i,' = ',resenje:l0:5)
end
end.
JUN 1996.
1. Neka su x1 i x2 resenja jednaCine kx2 + kx + 1 = 0. Odrediti vrednosti lc tako vazi jednakost
2. Resiti jednaeinu
~Resiti jednacinu
x2 x~ 4 __!+2=1. x~ xl
~-/"2 __ _
x<~' -5x+S = ·x'f. -~~'
sin x + sin 2x + sin 3x --------- = 1, cos x + cos 2x + cos 3x 0 <X<~. - -2
4. Dat je kvadrat Cija je stranica a i konstruisan je krug tako da dodiruje dve susedne stranice kvadrata, a druge dve stranica ga seku u krajnjim tackama precnika. Izracunati poluprecnik kruga.
5. Koliko ima razlieitih skupova od po 5 prirodnih brojeva od 1, ... , 100, takvih da je zbir elemenata svakog od njih paran broj.
6. Napisati program koji ucitava prvi clan ao = a > 0 i razliku d > 0 aritineticke progresije ai i izracunava sumu
1 1 1 F(n) = + +···+--
Fo + .JCil .JZil + ..fo2 V an-1 + Fn' za zadati prirodan broj n, 1 ::; n ::; 1000.
8
0.3 RESENJA:
1. Datajednacina se moze napisati u obliku x 2+x+i = 0. Koriscenjem Vijetovih formula dobijamo
X1 + X2 = -1, 1
Xl · X2 = -;:;·
2 2 Jedankost ~ + 3 = 14, se moze zapisati kao
x2 xl
xi+ 2(xl · x2? +xi= 16(xl · x2) 2, (xi+ x~? = 16(xl · x2) 2
,
ili ( (x1 + x2)2
- 2xl · x2) 2
= 16(xl · x2)2.
Koriscenjem Vijetovih formula se dobija jednaCina po k
((-1)2 -2~)2_16 k -k'
4 4 16 1- k + k2 = k2'
odnosno jednaeinu k2 - 4k - 12 = 0, Cija su resenja k1 = 3, k2 = 4.
2. Posmatracemo slucaj kada je x 2: 0.
• Ako je X = 0, tada vazi 0 = 0.
• Ako je x > 0, tada se data jednacina moze zapisati kao
(x2 - 5x + 8) lnx = 2lnx, (x2 - 5x + 6) lnx = 0,
(1)
sto znaci daje iii lnx = 0, tj. X= 1,ilije x 2 -5x+6 = 0. Resenja poslednje jednacine su x = 2 i x = 3. Prema tome resenja date jednaeine su {0, 1, 2, 3}.
3. Datu jednacinu mozemo zapisati kao
(sin x + sin3x) + sin2x- (cosx +cos 3x)- cos 2x = 0.
Posle primene adicionih formula dobijamo
2sin 2x cosx + sin3x- 2cos2xcosx- cos2x = 0,
sto daje (2cosx + 1)(sin2x- cos2x) = 0.
9
Iz poslednje jednacine dobijamo da je
2cosx+1=0 sin2x- cos2x = 0,
odakle je 1
cosx = -2, sin2x = cos2x.
Iz prve jednaCine je
. 271" X = ±3 + 2k7r, k E Z.
Iz druge jednacine dobijamo
7r k7r X=B+2, k E Z.
7r 2x =- + k1r, . 4
4. Obelezimo stranicu datog kvadrata sa a trazeni poluprecnik sa r i neka su temena kvadrata A, B, C, D. Jasno je da centar kruga 0 koji dodiruje dve susedne stranice AB i AD, lezi na dijagonali AC i da teme C pripada kruznici, jer druge dve stranice kvadrata seku krug u krajnjim tackama preenika. ZnaCi, duzina dijagonale datog kvadrata je jednaka zbiru poluprecnika r (OC) i dijagonala kvadrata stranice r I A/"\\ o '
\-"1V J, pa Je
av'2 = r + rv'2, r=a y'2 1 + y'2 = a(2 - v'2).
5. Broj skupova od po 5 prirodnih brojeva od 1, ... , 100, takvih da je zbir elemenata svakog od njih paran broj moze se odrediti na sledeCi naCin. U posmtranom skupu postoji 50 parnih i 50 neparnih brojeva.
·· 6. Zbir 'od 5 sabiraka je paran kada se od 50 parnih brojeva izabere 5, iii se od 50 parnih izabere 3, a od 50 neparnih izaberu 2 iii se od 50 parnih brojeva izabere 1, a od 50 neparnih brojeva izaberu 4. ZnaCi, trazeni broj parnih zbirova je:
(~0) + (~0) . c2o) + (~0) . eo). 7. Zadatak se moze resiti i na sledeCi naCin: Ako u svakom izboru za
menimo parne brojeve neparnim, a neparne parnim, dobija se da parnih zbirova od 5 brojeva ima isto toliko koliko i neparnih zbirova od
10
5 brojeva. Dakl,e, trazeni rezultat se dobija kada se prepolovi ukupan broj mogucih zbirova od 5 brojeva, tj.
(1~) 2
Ako se u F( n) racionalise svaki sabirak dobija se da je
F(n) = y'ai- VaO Ja2- val Fn- y'O.n-1 -'---'-- + + ... + ....:...._ _ __,; __ al - ao a2 - a1 an - an-l
Fn-Fo d
jer je niz {a;} aritmeticka progresija. Indeksi poCinje od nule pa je an = a+ nd i treba napisati program koji izracunava
v'a+ nd- y'a F(n) = d , 1::; n ::=:; 1000.
program zadatak6(input, output); var a, d: real; n: integer;
begin repeat
writeln('Unesi a (a> 0)'); read(a)
until a > 0.0; repeat
writeln('Unesi d (d > 0)'); read(d)
until d > 0.0; repeat
writeln('Unesi n (1 <= n <= 1000)'); read(n)
until (1 <= n) and (n <= 1000);
writeln('F(',n,') = ',(sqrt(a+n*d)- sqrt(a))/d: 10: 5) end.
1 JUN 1997.
L Data je familija parabola y = x 2 + (A+ 2)x + 3 - A, gde je A realan parametar.
11
a) Pokazati da sve ove parabole prolaze kroz jednu zajednicu tacku.
b) Naci geometrijsko mesto temena ovih parabola.
2. Odrediti bar jedno resenje jednaCine (~) 2"(1/ loglO x)2 -30 (~) (1/ loglO x)
2 + 200 = 0.
3. Neka je !:!,ABC jednakokraki pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C Cija kateta ima duzinu 1. Na stranicama [AB], [BCJ i [CA] ovog trougla uocene su tacke P, Q, R, redom, tako da je [AP] : [P B] = [BQ] : [QCJ = [CR] : [RA] = 1 : 2. Izracunati duzine stranica trougla l:!,PQR.
4. Resiti jednacinu sin x · sin 2x · sin 3x = ;l sin4x.
5. Nekaje E ={a, b, c, d, e, j,g, h, i,j, k, l, m,n, o,p, q, r, s, t, u, v,w, x,y,z} skup od 26 slova engleske abecede. Koliko razlicitih reCi duzine 5 se moze sastaviti od ovih 26 slova, ako se zahteva da prvo i peto slovo budu razliciti samoglasnici (a, e, i, o, u), dok su ostala tri slova bilo koji (ne nuzno .tazliciti) suglasnici?
6. Priblizna vrednost broja 1r moze se odrediti pomocu Gregorijeve formule: 1r :::::; 4pk gde je
1 1 1 k+l 1 Yk = 1 - 3 +5-7+ ... + (-1) 2k -1·
Napisati program koji racuna pribliznu vrednost broja 1r za zadato k.
1.1 REBENJA
1. a) Neka za dve vrednosti parametra Al i A2 parabole imaju jednake ordinate. Tada iz
x2
+(Al +2)x+3-A1 = x 2 +(A2+2)x+3-A2, A1{x-1) = A2(x-1),
sto je tacno za x = 1, nezavisno od parametra A. Za x = 1 je y = 6, pa je zajednicka tacka A(1, 6).
b) Koordinate temena su T (- .).t2' -A2-t'*8) ' sto znaci da je X =
-¥ odnosno A= -2x-2, paje geometrijsko mesto temena parabole
-A2-8A+8 -(-2x-2)2-8(-2x-2)+8 =-x2+3x+4.
Y= 4 = 4
12
2. Smenom t = (~) (1/ log10 x)2
dobijamo jednaCinu t2 - 30t + 200 = 0, Cija su resenja t1 = 10, t2 = 20. Prema tome iz
( 1
) (1/ log10 x)
2 ( 1 ) (1/logw x)2
10_1/ log
10 x - = 10- oglO X = )
X
sledi 10-1/ log1o x = 10\ odakle je -1/ log10 x = 1, log10 x = -1, pa je jedno resenje x = fo-.
3. Kako je CA = CB = 1 to je AB = J2, CR = ~' CR = ~' RQ = CR2 +CQ2 = '{f.
4. Kakojesinx-sin2x·sin3x = ~sin2xcos2x, tojesin2x-(2sinxsin3xcos 2x) = sin 2x · cos 4x. Prema tome, sin 2x · cos 4x = 0, za x = k;, X=~+~""·
5. 21 suglasnik se rasporedjuje na 3 mesta (varijacije sa ponavljanjem) na 213 nacina, ana dva mesta se raspredjuju 5 samoglasnika, (to su varijacije bez ponavljanja) na 5 · 4 nacina. Prema tome rezultat je 213 -5-4.
6. Sledi program u programskom jeziku Pascal:
program PiPriblizno;
var
pi: real;
k: integer;
i, znak : integer;
begin
write('Unesite k ');
readln(k);
(* pretpostavlja se da je k > 1 *)
pi:= 0.0;
znak := 1;
for i := 1 to k do begin
pi :=pi+ znak / (2 * i- 1);
znak := -znak
13
end;
pi:= 4 *pi;
writeln('pi = ', pi:10:8)
end.
2 JUN 1998.
1. U skupu realnih brojeva resiti nejednaCinu lx-\31 > t· 2. U skupu realnih brojeva odrediti sva resenja jednaCine
/cos2 x + ~· + /sin2 x + ~ = 2.
3. Tri broja, ciji je zbir 26 Cine geometrijski niz. Uveca li se srednji clan za 4, dobija se aritmeticki niz. Koji su to brojevi?
4. Uglovi na vecoj osnovici jednakokrakogtrapeza su po 60°, a duzina vece osnovice je 2(1 + -/3). Sredista strana tog trapeza su temena jednog kvadrata. Izracunati povrsinu tog kvadrata.
5. Telefonski broj u Novom Sadu moze biti petocifren ili sestocifren i ne sme poceti ciframa 0, 1 i 9. Koliko razliCitih telefonskih brojeva moze biti u Novorri Sadu?
6. Napisati program koji od korisnika uCitava pozitivan ceo broj n racuna i ispisuje vrednost izraza
1 1 1 1 (-1)n-l 1 + 12 - 1 + 22 + 1 + 32 - 1 + 42 + .. · + 1 + n2 ·
2.1 RESENJA
1. Iz lx!131 > t sledi da mora biti x #13 i da je
lx -131 < 6 -6 <X -13 < 6,
sto znaci da mora biti 7 < x < 19, x =f. 13, tj. x E (7, 13) U (13, 19).
14
2. U ovom slucaju je cos2 x + ~ > 0 i sin2 x + ~ > 0 pa posle kvadriranja !eve i desne strane imamo
1 cos2 x + 2 + 2
odakle je
1 . 1 . 1 (cos2x + 2)(sm2 x + 2) + sm2 x + 2 = 4,
cos2 x + sin2 x + 1 + 2,/ ( cos2 x + ~) (sin2 x + ~) = 4,
1 + 1 + 2y(cos2x + ~)(sin2 x+ ~) =4,
(cos2 x + ~)(sin2 x + ~) = 2. 2
Posle kvadriranja dobijamo
1 1 (cos2 x + 2)(sin2 x + 2) = 1.
Koriscenjem formula cos2 x = l+c~s 2x i sin2 x = l-c~s 2x dobija se
c + ~os 2x + D . c -~os 2x + D = 1,
odnosno ( 1 + co~ 2x) . ( 1 - co~2x) = 1
odakle je
1 _ cos22x =O 4 '
(2)
sto je tacno za 2x = ~ + k1r, k E Z odnosno x = ~ + k;, k E Z.
Primetimo da se ovaj zadatak moze resiti i na sledeci naCin. OznaCimo
sap= Jcos2 x + ~' q = Jsin2 x + ~· Na osnovu uslova zadatka je
p + q = 2, a na osnovu (2) je p · q = 1. Znaci p i q su resenja jednaCine
t2 -2t+1=0
i p = q = 1, odakle imamo da je
Jcos2 x + ~ = 1, Jsin2
x + ~ = 1,
15
tj. 2 . 2 1
COS X= Sin X= 2,
odakle takode dobijamo ista resenja.
3. Kako brojevi Cine geometriski niz mozemo ih oznaeiti sa a, aq, i aq2 .
Njihov zbir je 26 pa imamo
a+ aq + aq2 = 26.
Dalje a, aq + 4 i aq2 Cine aritmeticki niz pa vazi
aq + 4 - a = aq2 - aq - 4, a(1 - 2q + q2 ) = 8.
ZnaCi imamo sistem od dve jednacine sa dve nepoznate tj.
a+ aq + aq2 = 26, a(1- 2q + q2 ) = 8.
Pod pretpostavkom da je a :/:. 0 mozemo podeliti ove dve jednaeine pa imamo
1- 2q + q2 4 1 +q+ q2 = 13'
nrl!)lrl~ io ...... -... ....................... J'-'
13 - 26q + 13q2 = 4 + 4q + 4q2:
pa je resenje
ql = 3, 1
q2 = 3'
• Ako je q = 3 niz je sledeci: 2, 6, 18.
• .Ako je q = -l niz je sledeci: 18, 6, 2.
3q2 - 19q + 3 = 0,
4. Neka je [AB] veea osnovica trapeza i neka suP, Q, R i S sredi!lta, redom, stranica [AB], [BC], [CD] i [DA]. PQRS je, prema uslovu zadatka, kvadrat. Oznaeimo njegovu stranicu sa a.
Posmatrajmo sada !::,.APS. Kako je PR ..LAB i kako je L.SPR = 45°, to je L.S P A = 45°. Prema uslovu zadatka je LA = 60°, pa je L.ASP = 75°. Takode, znamo da je [AP] = 1 + v'3 ida je [PS] =a. Kada na 6APS primenimo sinusnu teoremu, dobijamo da je
[AP] [PS] sin 75° = sin 60° '
16
'"'
_.,
-'\ .
odakle je a= (1 + v'3)•!n 675°J. lmajuci u vidu daje sin75° = sin(30°+
__ Slfi 7
45°) = 1'(t'f'0(n~k~~sredivanja dobijamo da je a= v'6, tako da ... ---~ ··I
je povrsina· kvadrata PQRS jednaka 6.
5. Prebrojmo prvo petocifrene brojeve. Za prvu cifru u broju imamo 7 kandidata (sve cifre osim 0, 1 i 9), a za sve ostale po 10 kandidata. Dakle, petocifrenih brojeva ima 70000. Na isti nacin zakljucujemo da sestocifrenih brojeva ima 700 000. Ukupno, telefonskih brojeva ima
770 000.
program Zad6;
var
s :real;
i, n, znak : integer;
begin
. repeat
readln(n)
until n > 0;
s := 0.0;
znak := 1;
for i := 1 to n do
begin
s := s + znak / (1 + sqr(i));
znak := -znak
end;
writeln(s)
end:
3 JUN 2000
1. Data je kvadratna jednaeina x 2 - ax + a - 1 = 0, gde je a realni " parametar. Ako su x1 i x2 koreni ove jednaCine, odrediti vrednost
parametra a za koji ce izraz xi+ xj. biti minimalan.
2. Resiti jednacinu Jlogx v'3xiog3 ~·~= -'-1.
17
3. Resiti jednacinu sin4 J + cos4 J = i· 4. Neka dliZ PQ = 2 precnik polukru~nice. Uocimo tacke A i B na
polukrliZnici i C i D na du~i PQ takve da je ABCD pravougaonik.
Uocimo tacke E iF na luku AB, i tacke G i H na duzi AB takve da je EFGH kvadrat i du~ A/I= GH. Izracunati povrsinu figure koju obrazuje pravougaonik i kvadrat.
5. Automobilske registarske tab lice u jednoj zemlji se sastoje od 3 cifre iza kojih slede 2 slova engleske abecede (ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXZY). Pri tome, prva cifra ne sme biti 0. Koliko se razlicitih registarskih tablica moze formirati na ovaj naCin.
6. Napisati program koji od korisnika uCitava prirodan broj n, 1:S n :S 100, i realan broj xi potom racuna i vrednost izraza 1 + TI + ... + ~-
3.1 RESENJA
1. Na osnovu Vijetovih formula x1 + x2 =a, x1 · x2 =a- 1, mozemo pisati
xi+ x~ = (x1 + x2)2- 2x1 · x2 = a2 - 2(a- 1) =(a -1)2 + 1.
ZnaCi xi +x~ se moze zapisati kao zbir (a-1)2 i 1 i bite najmanji kada je prvi sabirak nula, odnosno kada je a- 1 = 0, tj., kada je q, = 1.
2. Na osnovu osobin.a logaritma imamo log3 x ·logx 3 = 1, iz uslova zadatka je logx J3X · (log3 x )2 = 1, odnosno !{logx 3 + 1) log3 x
2 = 1 imamo '.log3 xf + log3 X - 2 = 0. Resenja poslednje jednacine su
log3 x = 1, i log3 x = -2. Kako je Vlogx J3X > 0, na osnovu uslova
Vlogx ffxlog3 x = --,1, mora biti log3 x < 0, log3 x = -2, odakle je X= 3-2 .
3. Leva strana jednaCine se moze napisati kao
sin4 J + cos4 J = (sin2 J + cos2 !)2
- 2sin2 J · cos2 J = 1- ~ sin2 23x.
Odatle je 1- ~ sin2 2;' = ~, odnosno sin2 ¥ = l Reilenja poslednje
jednaCine su sin 2;' = ±../.}, odnosno 2;' = k1r ± i• x = (3k + l)i", za k E Z.
18
¥ -.,..- o;--_, ""- ' '. ,-'---·
~-
..q\
4. Neka je 0 centar polukruznice, (slika 1) tj, dliZi PQ i x dliZina dliZi AD, pa prema uslovu zadatka x je i dliZina stranice kvadrata. Ako je y dliZina duzi OD, tada je x 2 povrsina kvadrata EFGH, povrsina pravougaonika ABCD je x 2 + 2xy.
Neka prava EH sece duZ Pq u tacki K. Tada je EK=2x i KO=~. Kako je Eo=1, na osnovu Pitagorine teoreme vazi (2x)2 + (~)2 = 1, odakle je x = ~- Posmatrajmo trougao ADO. Na osnovu Pitagorine
teoreme je x 2 + y2 = 1, ·pa je y = vi7 . Prema tome trazena povrsina . 22-121 4_9 Je x + xy- I7 + 07. 07- 17·
.'i N ... nrv()m mP!':bJ ne mo?:e hiti nuh. nll. o,;tHiu Q mo1rucnosti. Na drue-o ~ • - • -· ... -- . - --- ----- - -· -- --·· - . - , •. -- . I I. . J . '-' ..._.
i trece mesto mogu se odabrati po 10 mogucnosti, a na poslednja dva mesta ima po 26 mogucnosti. Prema tome broj moguCih registarskih tablica je: 9 · 10 · 10 · 26 · 26 = 608 400.
• program Zad6;
var
n, fakt, i
x, sum, stepen
begin
repeat
: longint;
real
writeln( 'Unesite broj izmedju 1 i 100 ')
readln(n)
until (l<=n) and (n >= 100);
write( 'Unesite neki realan broj izmedju ')
readln(n)
19
--- . -·.. ----------------~
sum:= 1.0;
faktk := 1;
• stepen :1,0;
for i := 1 to n do
begin
fakt : =fakt * i; stepen : - srepen * x;
sum= sum + stepen / fakt
end;
writeln( ' Suma je ', sum : 15: 8)
end.
4 JUN 2001
1. Resitijednacinu sinx+sin(2x) +sin(3x) +sin(4x) =<~.0.
........ ~~- Neka je a > b > 0. Naci kvadratnu jednacinu ciji su koreni
1--X2 = yfa
\ v'a-va-b· Xl = yfa v'a+va-b
• v• ig2 x+lg(x3)+3 = _;• rT 3. Resiti Jednacmu po x > 0 x
4. Na stranama AB, BC, CD, DA kvadrata ABCD uocene su tacke P, Q, R i S, redom, tako da je L.CRP = 60° i PR i QS se seku pod pravim uglom. Ako je jSQI = 7, odrediti povrsinu kvadrata i povrsinu cetvorougia PQRS.
5. Na koliko razlieitih nacina 10 osoba moze da formira red pred blagajnom u bioskopu, ali tako da dve uocene osobe stoje jedna do druge?
6. Napisati program koji od korisnika ucitava godinu (broj izmedju 1583 i 10000) i utvrdjuje da li je ona prestupna. Po gregorijanskom kalendaru, prestupne godine se odredjuju na sledeci naein:
20
\
'~" .,
. ". \
L
i I ...---./"'
....
• ako je godina deljiva sa 400, prestupna je (npr. 2000. godina je
prestupna); • ako go dina nije deljiva sa 400, ali je deljiva sa 100, nije prestupna
(npr. 1900. godina nije prestupna);
• ako godina nije deljiva sa 100, ali je deljiva sa 4, prestupna je
(npr. 2004. godina je prestupna); • ako go dina nije deljiva sa 4, nije prestupna ( npr. 2001. nije prestupna).
4.1 RESENJA
1. Ako se prvo saberu prvi i treci i drugi i eetvti sabirak dobija se sin x + sin(2x) +sin(3x) +sin(4x) = 2sin2xcosx+ 2sin3xcosx
= 2 cosx(sin2x+sin3x) = 4cosxsin lif cos~
Data jednacina se moze napisati u ob~u 4 cos x · sin lif · cos ~ = 0, pa se resenja dobijaju iz cos x = 0, sinilif = 0, cos~ = 0. Znaei resenja
'·-su
X= (2k + 1H, X= 2~'\ X= (2k + 1)7r, k E z.
2. Posmatracemo kv;dr~~~~"j:dnaeinu Ax2 + Ex+ C = 0 j iz Vijetovih formula odrediti koeficijente A, B, i C.
_12.-xt+xz- ..;a+ .;a- _2a A - - v'a+Ta=b .;a-VFa=b- b
Q=x ·x = Ja · .;a =~ A 1 2 ..fo+VFa='b .ja-:.,ro;::h b ·
Na osnovu toga je A= b, B = -2a, C =a.
3. Data jednacina se moze zapisati kao x 1g2
x+lg(x3)+
3 = x. Prema tome je lg2 x + lg(x3) + 3 = 1, odnosno lg2 x + 3lgx + 2 = 0. Poslednja jednacina ima resenja lgx = -1, i lgx = -2, odakl~ je x = 10-
1 i
X= 10-2 . • _ ~ (L n
\~ ~ 21
4: Cetvorogao PQRS ima dijagonale u,zajamno normalne. Prema tome trazena povrsina je jednaka polovini proizvoda njegovih dijagonala. Kako je jSQI = 7, potrebno je odrediti jRPj. Duz RR! (slika 2) normalna je na AB, du2 QQ' normalna je na DA. Trougao SQQ' je podudaran trouglu P RR' (RR' = QQ' kao stranice kvadrata, uglovi kod temena R' i Q' su pravi, a uglovi kod temena R i Q su jednaki kao uglovi sa normalnim kracima). Odatle je jRPI = jSQI = 7. Ako je L.CRP = 60°, tada je L.PRR' = 30°, odnosno L.APR = 60°. Odatle je duzina stranice kvadrata jednaka RR' = 7'{3. ZnaCi, povrsina datog kvadrata je P = (I# )2 = 1~7 , a povrsina cetvor-
. 72 49 ougla PQRS Je P1 ~ 2 = 2·
5. 9! · 2 Dve osobe se uvek posmatraju u paru i sapreostalih 8 osoba se rasporedjuju na 9! nacina. One izmedju sebe se mogu rasporediti na dva nacina.
program Zad6;
var
g: integer;
begin
readln(g);
if (g < 1583) or (g > 10000) then
writeln('Unesite broj izmedju 1583 i 10000')
else if g mod 400 = 0 then
writeln('Prestupna je')
else if g mod 100 = 0 then
writeln('Nije prestupna')
else if g mod 4 = 0 then
writeln('Prestupna je')
else
writeln('Nije prestupna')
end.
22
~
1
~
-:)
!"
L
5 JUL 2002
/,) Neka je f(x) = x2-4x+3 . V v'2+x-x2 a) Odrediti definicioni skup funkcije f. b) Resiti nejednaCinu j(x) < 0.
2. Resiti jednacinu i~i:~~ = 1 + sin(2x).
3. Odrediti parametar p tako da koreni kvadratne jednaCine px2 -5x+6 = 0 zadovoljavaju jednakost i; = ~ .
4. U pravouglom trouglu ABC sa pravim uglom kod temena Aje IABI "'=
6 i IACI = 8. Izracunati: a) poluprecnik opisanog kruga oko trougla; b) poluprecnik upisanog kruga u trougao; c) rastojanje izmedju centra opisanog i centra upisanog kruga.
. j
5. Cetiri bracna para sacinjavaju skup od 8 osoba. Na koliko razlicitih naCina moze da se formira troclana komisija iz tog skupa ako: a) u kom!!siji mogu da budu bilo koja tri od osam clanova; b) u komisiji mogu da budu dve zene i jedan mu8karac; c) u komisiji ne mogu istovremeno da budu mliZ i zena.
6. Napisati program koji od korisnika ucitava prirodan broj n, 2 ~· n:::; 50, realan broj xi potom racuna i stampa vrednost izraza:
n .2:< -l)i+l xi-1
i=2 i2- 1.
5.1 Resenja
1. a) Funkcija data sa f(x) = J~-4x+\, definisana za 2 + x- x 2 > 0. +x-x
Posmatramo funkciju y = 2 + x- x2 =- (x + 1) (x- 2).
X -4 -2 0 2 4
~~r~~ -20
'Ona ima nule u tackama -1 i 2,i pozitivna je na intervalu (-1,2). Prema tome do men funkcije f je interval ( -1, 2).
23
• 2 b) U ovom slucaju treba re.Siti nejednaCinu ~2 -4x+; < 0. Kako je
+x-x imenilac -/2 + x - x2 > 0, to se resenje jednaCine dobija kao resenje nejednaCine
x2 - 4x + 3 < 0, odnosno (x- 1) (x- 3) < 0.
-2 4 X
Resenje poslednje nejednaine je interval (1, 3), medjutim resenje nejednaCine f(x) < 0 je interval (L 2), jer funkcija f nije definisana na intervalu (2,3).
2. Desna strana jednacine se maze napisato kao ~!i:~~ I+sin(2x)
cos(2x) •
Prema ~orne posmatra.mo jed.naeinu
1 + sin(2x) = 1 + sin(2x). cos(2x)
cosxtsinx cosx-sinx
(3)
Ona se moze zapisati kao (1 + sin(2x))(1- cos2x) = 0. Odatle je sin(2x) = -1, i cos x = 1, odnosno resenja posl,e.gnje jednaeine su 2x = 4lc+3 71' i 2x- k7T k E Z tJ. x- 4k+3 71' if- k'ir k E Z Medj'utim 2 - ' ' ., - 4 ~- 2 ' . ' ako posmatramo polaznu jednaCinu primecujemo da vrednosti 2kii1r ne mogu biti njena resenja jer funkcija tan x nije definisana u tim tackama. Znaci trazena resenja su x = 4kt31r i x = k1r, k E Z.
Primetimo da jednacinu (3) nismo podelili sa (1 + sin(2x)), jer tada ne bismo do hili sva resenja polazne jednaCine.
3. Na osnovu Vijetovih pravila imamo XI + x2 = ~ i Xt · x2 = ~, iz uslova zadatk;3. je 3xi = 2x2. Resenje poslednje tri jednaeine sa tri nepoznate je p = 1, XI = 2, x2 = 3.
4. Posmacemo sliku
24
')
~
'V
}
~~~~------~•R
gdeje SD poluprecnik upisanog kruga, CO poluprecnik opisanog kruga. Hipotenuza BC = 10 (slika 3).
a) Poluprecnik opisanog kruga · oko pravouglog trougla je polovina hipotenuze CO = BO = 5.
b) Iz BF = BD, iCE= CD, aBC= BD+DC sledi (6-r)+{8-r) = 10. Odatle je p6luprecnik upisanog kruga r = 2.
c) Rastojanje izmedju centra opisanog i centra upisanog kruga je na slici oznaceno sa SO i dobija se kao hipotenuza pravouglog trougla SDO. Jedna kli:teta togtrouglaje r = 2, a drugaje OD = OB-BD = 5- (6- 2) = 1. Pre!!!~ to~e SO~ -/5.
5. a) od osam osoba biramo tri, zp.aci to je broj kombinacija trece klase od 8 elemenata m = 56.
b) Od cetiri zene biramo d~e i od cetiri imiskarca biramo jednog. To je (i) + (i) = 6+4 = io. ·
program Zad6;
var
n, i, znak : integer; ·
suma, x, stepen : real;
begin
write('Unesite x:'); readln(x); '' . write('Unesite n:'); readln(n);
if (n < 2) or (n > 50) then
writeln('n mora biti izmedju 2 i 50')
else begin
25
znak := 1;
stepen := 1.0;
suma := 0.0;
for i := 2 to n do begin
znak : = -znak;
stepen := stepen * x;
suma := suma + znak * stepen / (sqr(i) - 1)
end;
writeln('Suma je ', suma)
end
end.
> JUL 2003
1. Data je funkcija f(x) = (x- I)(x- 3)(x + 5)(x + 7), x E R.
a) Odrediti realna resenjajednaeine f(x) = 297.
h) Oclrecliti minimum fnnkciiP. f. I - - - ,, - - - - . - . .J .,
2. Dataje funkcija f(x) ='loga xfloga~,x, gdeje a> 0 realan parametar. 0 •. ;: ' ••
a) Resiti jednacinu f(x) = 0 0 / · __ , ... -- --.. - ---.. ,./ r: b) Resitijednacinu f(x+a2 +ar= 2f(:t).
I ? • I h. Resiti jednaCinu sinxcos3x = ~(1 + ;in4x).
4. U trouglu ABC sa ostrim uglovima, kod A i B povucena je visina CC'. Neka jeD podnozje normale iz tacke C' na pravu AC. Odrediti povr!!inu trouglaABC akosezna daje AD= 1, CD= 4i BC' = 2J5.
5. Koliko ima desetocifrrenih brojeva kojima su sve cifre razlicite, kojima na prvom mestu stoji parna cifra, a na poslednja dva neparna cifra. (Napomena: Na prvom mestu ne sme stajati nula!)
6. Napisati program koji od korisnika ucitava ceo broj n, 1::::; n ::::; 5000, potom n realnih brojeva i odredjuje koliko njih je strogo vece od proseka svih icitanih realnih brojeva.
26
I{
_'1"'
~-\_
.1-. t /···)1:·. . p ' ~-·
.,..;.::...__,.. tk\ __ \ t.-
~j'"'{-":1t: 1 \ . "-,
" .!
1~t
6.1 RESENJA
,;; E J r -·-'7'\ '" 4- ~ •i l ·--"U! G,.-\. .._o
. f;'6·--~~ 1. a) Jednacina (x -1)(x- 3)(x + 5)(x + 7) = 297 se mozezapisati kao
(pomnoze se prva i treca i drug a i cetvrta zagrada) ( x 2 + 4x - 5) ( x 2 + 4x- 21) = 297. Posle smene x2 + 4x - 5 = t, dobija se jednaeina t(t- 16) = 297, odnosno t 2 - 16t- 297 = 0, cija su resenja t = -11 i t = 27. Prema tome iz jednaeina -11 = x 2 + 4x- 5, i 27 = x 2 + 4x- 5, dobijamo resenja trazene jednaCine xi = --zv'z ~ 2, \~2 = i.;2- 2,1
- -8 - 4 -~--- j i I X3 - ' X4 - . ---··-.. _ _, --"""-...... .._,.,.~
b) Minimum funkcije f mozemo jednostavno odrediti ako::p_<;:>smatramo funkciju j kao f(t) = t(t- 16), koja ima minimurn~ -64/
'-..___./ (Napomena: u zadatku se nije tnizilo da se odrede tacke u kojima funkcija dostize taj minimum, ,sto se takodje jednostavno odredjuje. Funkcija f dostize minimum zaf.t_§Mdnosno iz x 2 + 4x- 5 = 8, sledi da ona dostize minimum za x 1 = -v'I7- 2, x2 = v'I7- 2.) \
/ 2. a) Ako se jednaeina loga x + loga2 x = 0, a > 0, napise u obliku
loga x + ~ loga x = 0, odnosno ~ loga x = 0, dobija se resenje ~ = 1.
b) Iz f(x + a2 +a)= 2f(x) sledi da treba re8iti jednaeinu loga(x + a
2 + a) + loga2 (x + a2 + a) = 2loga x + loga2 x, odnosno jednaCinu ~loga(x + a2 +a)= 3iogax. odaklle je x + a2 +a= x 2• Resenja poslednje jednacine su
x = a + 1 i x = -a. Medjutim, resenje x = -a se ne moze prihvatiti jer je po pretpostavci a > 0, pa resenje polazne jednaeine ne moze biti negativno.
3. Leva strana nejednacine se moze zapisati kao sin x cos 3x = H sin 4x -sin 2x). Odatle je
~(sin4x- sin2x) = H1 + sin4x), odnosno sin2x = -1. Znaei resenja date jednaeine su ·
4k+3 •\311' 2k, -,, k z Xk = -2-7f = T + 7f, E 0
4. Za pravougli trougao AC'C (na slici 4)
27
-~-~-------
~
c
Slika 4.
i visinu IC'DI vazi IC'DI2 = IADI·IDCI = 1· 4 = 4. Na osnovu toga se visina CC' trougla ABC, dobija iz ICC' I = .JIG' Dl 2 + IDCI2 = v4 + 16 = V25 = 2v'5, a dliZina lAC' I = .JIG' Dl2 + IDAI2 = ..)4 + 1 = .J5 = v'5. Znaci duzina stranice IABI = 3v'5, a povrsina trougla je
P _ JCC'l·JABI _ 3VS·2VS _ 15 ABC - 2 - --2- - ·
5. Na prvom mestu mogu stajati cetiri cifre (2, 4, 6, 8), na prepotposlednjem mestu moze stajati pet pet cifara, a na poslednjem mestu samo cetiri, zato sto cifre moraju biti razliCite. Na ostalih sedam mesta mogu se raspporediti preostalih 7 cifara na 7! naCina. Prema tome desetocifrrenih brojevo. kojima su sve cifre rz.zliCite, kojima na prvom mestu stoji parna cifra, ana poslednja dva neparna cifra ima 4-7!-5-4 = 403 200.
program Zad6;
var
n, i, k : integer;
suma, prosek : real;
a : ru:ray[l .. 5000] of real;
begin
write('Unesite n:'); readln(n);
if (n < 1) or (n > 5000) then
writeln('n mora biti izmedju 1 i 5000')
else begin
(* ucitavamo *)
writeln('Unesite ', n, 'brojeva:');
28
'IF
~
fori:= 1 ton do readln(a[i]);
(* racunamo prosek *)
suma := 0.0;
for i := 1 to n do suma := suma + a[i];
prosek := suma / n;
(* brojimo one koji su strogo veci od proseka *)
k := 0;
for i := 1 to n do
if a[i] > prosek then k := k + 1;
writeln('Ima ih ', k)
end
end.
7 JUL 2004
1. Resiti sledecu nejednaCinu:
Jx2- 3x- 4J > 2(x + 1).
\] 2. Resiti sledecu jednaCinu:
J 3.
4x _ 3x-1j2 = 3x+l/2 _ 22x-1.
V4. Resiti sledecu jednaCinu: .J3 sin x + cos x = 1.
Resiti sledecu jednacinu:
logx+2 (x2- 1) = logx+2(5- x).
5. Registarski broj automobila u jednoj ddavi se sastoji iz dva latinicna slova engleske abecede iza kojih se nalazi sest cifara. Pri tome, prva cifra ne moze biti nula. Koliko razlicitih registracija se moze napraviti?
6. Dat je prirodan broj N. Napisati proceduru u proizvoljnom programskarn jeziku koja ce generisati i odstampati niz cifara broja N, pocev od cifre najvece tezine.
(Primer: N=2345; NIZC=[2,3,4,5].)
29
RESENJA
l P d ii . . .. 1 d . I I { x, ako je x > 0 . . o e mCIJI apso utne vre nost1 x = k . -< 0
, nnamo -x, a o Je x _
I 2 I _ { x2 - 3x - 4, ako je x2 - 3x - 4 :;::.: 0
x - 3x - 4 - ( 2 3 4) l . _2 3 4 <
0 . Znak kvadratnog
-X - X- , aw Je X - X- _
trinoma x 2 - 3x - 4 najjednostavnije dobijamo na osnovu graiika
funkcije f(x) = x2 - 3x- 4.
-4
Prema tome vazi x 2- 3x- 4 > 0, za x E ( -oo, -1) U (4, oo), a
x 2 .,.... 3x- 4 < 0, za x E ( -1,4).
Znaci, ako je x E ( -oo, -1) U ( 4, oo) , tada data nejednaCina ima oblik x2 -3x-4 > ~{x+l), Resenja poslednjejed!laCine su x E (-oo, -l)U (6,oo).
Ako je x E (-1,4) tada data nejenaCina ima oblik -(x2 - 3x- 4) > 2(x + 1). Resenja poslednje jednaCine su x E (-1, 2).
Prema tome resenja polazne nejednaeine su x E ( -oo, -1) U ( -1, 4) U (6, oo).
Data jednacina se moze zapisati kao 22x ( 1 + ~) = 3x ( .J3 + )s), 4
odakle' je ( 7J )2x = :7j, odnosno ( ~ )2x = ( ~ )3 . Na osnovu toga je 2
2x = 3, odnosno x = l Data jedna se moze zapiosati kao "i sin x + ~cos x = ~, odnosno
· ( ") 1 P · 11" " 2k '}' ,. 5,. 2k sm x+ 6 = 2 . rematomeJex+ 6 = 6 + 1r, 11x+ 6 = 6 + 1r.
Znaci polazne jednacine su x = 2kn, iii x = 2; + 2k7r.
Iz jednaeine logx+2 (x2 -1) = logx+2(5- x) sledi da je x2 -1 = 5- x, odnosno x2 + x - 6 = 0. Resenja poslednje jednaeine su x = -3 i x = 2.Medjutim x = -3 ne moze biti resenje date jednacine jer osnova x + 2 mora biti pozitivna.
30
;;
~·
."<"'
5. U enleskoj abecedi ima 26 slova, koja se mogu rasporediti na dva mesta i dozvoljeno je ponavljanje (varijacije sa ponavljanjem) na 262
naCina. Prva cifra ne moze biti nula, pa ostaje jos devet cifara. Na preostalih pet mesta moze se rasporediti 10 cifara na 105 naeina (sa ponavljanjem). Prema tome, na pokazani naCin se moze napraviti 26
2 • 9 · 105 = 608 400 000 razlieitih registracija.
6. program Zad6;
·var
n: longint;
k, i : integer;
c : array[ I .. 10] of integer;
(* longint moze imati najvise 10 cifara *)
begin
write('Unesite n:'); readln(n);
if n < 1 then
writeln('n mora biti pozitivan')
e!s~ begin
k := 0;
while n > 0 do begin
k := k + 1;
c[k] := n mod 10;
n := n div 10
end;
write('[', c[k]);
fori := k-1 downto 1 do write(', ', c[i]);
writeln(']')
end
end.
31
... l
JUN 2005
1. Resiti nejednaeinu (2x + 1)(x- 3) < -5
2. Resiti jednaeinu
loglO 2 + logw(4"'-2 + 9) = 1 + log10 (2"'-2 + 1)
3. Resiti jednaeinu
_3_+8=~ cos4 x cos2 x
4. Neka je ABCD jednakokraki trapez sa osnovicama 1 i 3 Ciji uglovi na vecoj osnovici iznose 75°. Neka je P srediste duzi AB, Q srediste dliZi BC, R srediste dliZi CD i S srediste duzi DA. Kolika je povrsina cetvorougla PQRS?
5. U jednoj komisiji Evropske unije nalazi se 9 Nemaca, 11 Francuza i 8 Belgijanaca. Nemci u ovoj grupi govore i razumeju samo nemacki jezik, Francuzi govore i razumeju samo francuski jezik, dok Belgijanci iz ove grupe tecno govore i razumeju i nemaci i francuski jezik. Na koliko naCina se od ovih 28 ljudi moze odabrati radno telo od 12 clanova za Ciji rad nije potreban prevodilac?
6. Napisati program koji od korisnika ucitava realan broj x i ceo broj n 2: 2 i potom racuna i stampa vrednost izraza
1 + 2x + 3x2 + ... + nxn-l
l+2+3+ ... +n
RESENJA
1. Data nejednacina (2x + I)(x- 3) < -5, se moze napisati kao
2x2 - 5x + 2 < 0, odnosno (2x- 1) (x- 2) < O.Resenja jednaCine
(2x- 1) (x- 2) = 0 su x = !, x = 2. Ako posmatramo parabolu datu sa y = 2x2 -5x+2, sa slike jun 2005 se vidi daje y < 0, za x E (!, 2).
32
....
....
y 6
-2
Jun 2005.
3 X
T:razeno resenje se moze dobiti iz uslova da je jedan od faktora
(2x- 1), (x- 2) pozitivan, a drugi negativan:
2x- 1 < 0, ax- 2 > 0, sto nije tacno ni za jedno x.
2x- 1 > 0, a X- 2 < 0, sto je tacno za X E a, 2) .
2. Data jednacina se moze napisati kao
log10 (2- (4"'-2 + 9)) = log10 (10 · (2"'-2 + 1)), odnosno
2- ( 4"'-2 + 9) = 10- (2"'-2 + 1). Posle sredjivanja dobijamo 22{x-2) + 9 = 5 · 2"'-
2 + 5. Smenom t = 2"'-2 , jednaCina dobija se kvadratna jednacina
t2
- 5t + 4 = 0, cija su resenja : t = 1, i t = 4. Na osnovu toga je
2"'-2 = I, odnosno x = 2;
2"'-2 = 4·, odnosno x = 4.
3. Data jednacina se moze napisati kao 3 + 8 cos4 x - 10 cos2 x Smenom cos2 x = t, dobijamo
8t2
- lOt+ 3 = 0, cija su resenja t = ! i t = £.
0,
Na osnovu cos2 x = t, odnosno cosx = ±f, dobijamo x = ±i1r+ . - 3
2k7r, 1 X= ±41r + 2k1r.
Naosnovucosx=±1, dobijamox=±~7r+2k7r, i x=±~7r+2br. Grafik funkcije f(x) = 3 + 8 cos4 x- 10cos2 x
33
-3 -2 -1 0 2 3 X
narD. moze pomoci da odredimo nule.
4. Dijagcnale Cetvorougla PQRS su ortogonalne, pa zato je njegova povrSi!let, jednaka tiPRI · IQSI. Duz QS je srednja linija trapeza i zato je IQSI = 2(IABI + ICDI) = 2. S druge strane, IPRI = IDEI, a iz pravouglog trougla ADE vidimo da je
IDEI 0
IAEI = tg75 .
Kako je IAEI = 1, dobijamo da je IPfll = IDEI = tg74° ==' ~ + J3. Dakle; povrSina cetvorougla PQRS iznosi ~ · 2 · 2 + .J3 = 2 + .J3.
5. U radnom telu mogu biti zajedno Nemci (9) i Belgijanci (8) ili Francuzi (11) i Belgijanci (8). Prema tome, ili od 17 osoba biramo 12, ili od 19 osoba biramo 12, pa se to radno telo moze oformiti na
G~) + G~) naCina.
6. program Zad6;
34
t '\
I i j
!
var x, stepen, brojilac : real; i, n, imenilac : integer;
begin writeln('Unesite x pan'); readln(x, n); imenilac := n * (n + 1) div 2; bro j ilac : = 1 ; stepen := 1; for i := 2 to n do
begin stepen := stepen * x; brojilac := brojilac + i * stepen
end; writeln(brojilac I imenilac : 10 : 2)
end.
8 JUN 2006
,..--"
1. U sk~p~ ~ealcih b:roje~ ... a. reSiti jedua.Ci:u.u
J3x2- X- 2 + 1 =X.
2. U skupu realnih brojeva resiti jednacinu
__ 1_+ .2 =1. 2 + log x 4 - log x
3. U skupu realnih brojeva resiti jednaeinu
2cos2x = ctg x-tg x.
4. Dijagonale cetvorougla ABCD seku se pod pravim uglom u tacki E. Oko cetvorougla ABCD opisan je krug sa centrom u tacki 0 i poluprecni.kom R. Krug upisan u trougao BCE ima takode centar u
tacki 0, a poluprecnik mu je r. Odrediti odnos :i 5. Koliko ima prirodnih brojeva 'U Cijem decimalnom zapisu nema jed
nakih cifara i Cije cifre pripadaju skupu {1, 3, 5, 7}?
35
-- ~··
6. Napisati program koji od korisnika uCitava ceo broj n ~ 3, potom n realnih brojeva a1, ... , an, i utvrduje i stampa najveci od tih brojeva, kao i koliko puta se on pojavio. Na primer, zan= 8 i niz
1.13, 2.56, 2.01, 2.56, -4.9, -3.8, 2.56, 2.56
program ispisuje brojeve 2.56 i 4 zato sto je 2.56 najveCi broj u nizu i pojavljuje se cetiri puta.
RESENJA
1. Data jednaCina se maze zapisati kao
3x2- x- 2 = (x- 1)2
, odnosnb 2x2 + x- 3 = 0.
Poslednja jednaCina ima dva resenja x = 1, i x = -~.
Medjutim, u datoj jednacini mora biti 3x2 - x- 2 ~ 0, tj. x E
[1, oo)U ( -oo, -~] , sto znaCi da x = -~ nije resenje polaznejednaCine.
2. Da!a jednaCina se maze napisati kao
4-log x+4+ 2log x = -log2 x+ 2log x+8, odnosno log2 x-log x = 0.
Resenja poslednje jednacine su log x = 0, x = L i log x = 1, x = 10.
3. U skupu realnih brojeva resiti jednaCinu
2 cos 2x = ctg x - tg x.
Na osnovu 2 cos 2x = ctg x - tg x, mozemo pisati
2cos~x = 1
. cos2x, odnosno cos2x (2-1
. ) = 0. =x~x =x~x
Iz prethodne jednakosti sledi da je
1T cos2x = 0, za 2x = 2 + k1r,
kao i 2 = cos,}sinx· Odatle je
sin 2x = 1, za 2x = i + 2k1r:.
Prema tome resenja date jednaCine su oblika x = ~ + ~k1r, k E Z.
36
J. I
4. Neka krug upisan u trougao BCE dodiruje dliZ BC u tacki F. Tada je OF j_ BC. Kako je 0 centar kruga opisanog oko cetvorougla ABCD, tacka 0 pripada simetrali dliZi BC, odakle zakljucujemo daje F srediste dliZi BC. Zato su trouglovi OFB i OFC podudarni. Kako su EO i CO simetrale uglova L.B i L.C, redom, na osnovu prethodne podudarnosti dobijamo da su uglovi L.B i L.C podudarni. Dakle, BCE je jednakokraki pravougli trougao sa pravim uglom kod temena E, pa je L.B = 45°. Odatle je
r OF . 45° R= OB =sm2.
Kako za ostar ugao a imamo da je·
. a /1-cosa sm2=v 2:
to je
r_.45° v1-cos45° 1p. - -Sin- = = - 2- v 2 R 2 2 2 .
5. Takav broj maze biti najvise cetvorocifren (petocifren broj Cije cifre pripa.daju. skupu {1, 3, 5, 7} ruora imati dve jednake cifre).
Jednocifrenih brojeva ima Dvocifrenih brojeva ima Trocifrenih brojeva ima Cetvorocifrenih brojeva ima Ukupno
6. program Zad6;
var
n, i, br : integer; a, max : real;
begin write('Unesite n >= 3:'); readln(n); if n < 3 then
writeln( 'Greska') else
begin
4 4. 3 = 12 4·3·2=24 4·3·2·1=24 64
write('Unesite broj:');
37
end.
readln(a); max := a; br := 1;
for i := 2 to n do begin
write('Unesite broj: '); readln(a); if a > max then
begin max := a; br := 1
end else if a = max then
br := br + 1 end;
writeln('Maksimum je ',max: 10: 2); writeln('i pojavljuje se ', br, ' puta. ')
end
9 JUN 2007
1. Odrediti koeficijente a, b i c, tako da:
a) Nule XI i x2 polinoma ax2+bx+c zadovoljavaju uslove x1 +x2 = i j XI· X2 = i;
b) P~linom ax4 + bx2 + c ima nule XI = ! i x2 = 1.
2. Datajejednacina 2log2+ (1+ 2~)log3-log(v'3+27) =0.
a) Pokazati da se data jednaCina moze zapisati kao 223(1+f.;) = v'3+ 27.
b) Relliti jednaeinu pod a).
3. Resiti jednaeinu cos x ·cos 2x =cos 3x.
4. Neka je ABC trougao kod koga je LA = 30°, .LB = 60° i lAB I = 1. Neka je k krug Ciji centar 0 je na stranici AB ovog trougla i koji
38
~
':"
dodiruje druge dve stranice trougla. Izracunati poluprecnik r kruga k, kao i odnos u kome tacka 0 deli duz AB.
5. Registarske tablice u Bosni i Hercegovini se sastoje od tri cifre, jednog slova i jos tri cifre, pri cemu prva cifra nije nula, a kao slovo se moze pojaviti samo jedno od sledecih slova: A, E, J, K, M, 0, T. Na primer, 103-T-010 je dobra registarska oznaka, dok 099-A-731 i 103-C-010 to nisu. Koliko razlicitih registarskih oznaka se moze formirati na ovaj naCin?
6. Niz FibonaCijevih brojeva je definisan ovako:
FI = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 n 2:3.
Napisati program koji od korisnika uCitava ceo broj n, 1 ::; n ::; 1000, i potom racuna i stampa vrednost sledeceg izraza:
1 1 1 1 (-1)n+l FI - F2 + F3 - F4 + ... + Fn
RESENJA
1. a) Na osnovu Vijetovih formula XI+ x2 = -~, XI· x2 = ~' XI + x2 = -i, XI· x2 = ~, sledi da je a = 4, b = -5, c = 1.
b) Jednacina ax4 + bx2 + c = 0 je bikvadratna i smenom x 2 = t ona se svodi na kvadratnu jednaCinu at2 + bt + c = 0. Kako su dva resenja bikvadratne jednacine XI=~ i x2 = 1, tada su ti = ~ i t2 = 1 resenja poslednje kvadratne jednaeine. Kako je ti + t2 = £, XI· x2 = ~' to je prema prethodnom a = 4, b = -5, c = 1, odnosno tra.Zena jednacina je oblika 4x4 - 5x2 + 1 = 0.
2. Na osnovu
log(22 · 3(1+f.;)) =log ( V'3 + 27)
dobijamo
22 • 3(1+f.;) = V'3 + 27 odnosno 4 · 3 · 3~- 3~ + 27 = 0
39
1 Smenom t = 32X dobijamo kvadratnu jednaCinu 12t- t2 + 27 = 0, odnosno t2 - 12t + 27 = 0. Resenja poslednje jednacine su t = 9, i
t= 3.
Iz 9 = 3fx, tj., 32 = 3fx, sledi da je 2 = -fx, odnosno x = ~-
Iz 3 = 3fx, sledi da je 1 = -fx, odnosno x = ~-Alco se dobijene vrednosti uvrste u polaznu jednaCinu dobija se:
( l+ 1 )
223 21" = V'3 + 27, odnosno 2233 = 34 + 27, za x = ~-
( 1+ 1 ) 223 21" = y/3 + 27, odnosno 2232 = 32 + 27, za x = ~-
3. Na osnovu
cos3x =cos (x + 2x) = cosxcos2x- sinxsin2x,
data jednacina se moze napisati kao
sinx .- sin2x = 0,
dakle se dobijaju resenja x = k2tr, k E z.
4. Neka krug k dodiruje duz AC u tacki P, a dliZ BC u tacki Q. Jasno je da je OQCP kvadrat cija stranica je r. Trouglovi ABC, AOP i OBQ su pravougli trouglovi sa uglovima 30°, 60°, 90°. Posmatrajuci trougao AOP iz IOPI = r dobijamo IAOI = 2r, dok posmatrajuci trougao
OBQ iz IOQI = r dobijamo IBOI = 2rf3. Odatle je AO: EO= v'3, dok iz lAO I+ lBO I= 1 dobijamo da je r = 3
- 40.
5. Za prvo mesto registracije mozemo odabrati bilo koju od cifara 1. .. 9, dok .na svako od preostaiih pet mesta mozemo staviti svaku od cifara 0 ... 9. Za odabir slova imamo 7 mogucnosti, pa se u skladu sa navedenim pravilima moze formirati 7 · 9 · 105 registracija.
program Zad6;
var
n, i, znak : integer;
sum, fl, £2, £3 : real;
begin
write('Unesite n: '); readln(n);
40
~·
...
if n = 1 then
sum:= 1
else if n = 2 then
sum:= 0
else begin
sum:= 0;
znak := 1;
£2 := 1;
£3 := 1;
for i := 3 to n do begin
f1 := £2;
£2 := £3;
f3 := f1 + f2;
sum := sum + znak / £3;
znak := -znak
end
end;
writeln('Zbir je ', sum : 10 : 2)
end.
10 JUN 2008
1. Odrediti parametar p, tako da:
a) Polinom x2 + (p + 1) x + p2 + 2p +~ irna dve jednake nule;
b) Polinom x4+(p + 1) x2 +p2 +2p+~ ima osobinu x1 = x2 i X3 = x4.
2. Reiliti jednacinu 4x- 4( v'X+l) = 3. 2x+vx.
3. Reiliti' jednaCinu sin4 x + sin4(2x) + sin4 (3x) = cos4 x + cos4(2x) + cos4 (3x).
4. Neka je ABCD trapez kod koga je LA = LD = 90°, LB = 45° lAD I = IDCI =a.
41
...- . ~ --
a) Odrediti poluprecnik opisanog kruga oko L.ABC;
b) Odrediti poluprecnik upisanog kruga u L.ACD .
. 5. Na koliko nacina se iz grupe od 5 matematicara i 5 fizicara moze odabrati delegacija od 3 naucnika u kojoj ce obe struke biti zastu
pljene sa bar jednim predstavnikom?
6. Napisati program koji od korisnika ucitava prirodne brojeve n i k i potom racuna zbir k-tih stepena prvih n prirodnih brojeva, tj.
1 k + 2k + 3k + ... + nk.
RESENJA
1. a) Polinom x2 + (p + 1) x + p2 + 2p + t ima dve jednake nule ako je diskriminanta jednaka nuli, odnosno, ako vazi (p + 1 )
2 - 4(p
2 +
2p + t) = 0. Resenja poslednje jednacine su: p = 0 i p = -2 .
b) Polinomx4 +(p + 1)x2+p2+2P+t imaosobinu x1 = x2 i x3 = x4, kada su nule odgovarajuce kvadratne jednacine jednake, odnosno zap= 0 i p = -2, kao u prethodnom zadatku.
2. J8d...."'lacina 4"'- 4(-v'X+l) = 3 · 2"'+-v'i se (posle deljenja sa 2"'+-v'i ) moze zapisati kao: 2x--v'X - 4 · 2-x+;/X = 3. Posle smene t = 2"'--v'i dobijamo jednacinu t- t = 3, odnosno t2 - 3t- 4 = 0, cija su resenja
t = -1, t = 4. Resenje · t = -1, ne mozemo prihvatiti, a na osnuvu t = 4 dobijamo 4 = 2"'--v'i,odnosno jednacinu 2 = x- .,fii. Posle smene u = .,fii, dobija se jednacina Cija su resenja u = -1, u = 2. Prihvata se same
resenje u = 2, odnosno x = 4,
jer ne m:oze biti .,;x = -1.
3. Data jednacina se moze napisati kao: sin2 x + sin2
(2x) + sin2
(3x) = cos2 x+cos2(2x)+cos2(3x), jer je sin4 x-cos4 x = (si~2 ;- cos
2 ~) (sin2
x + cos2
x) = sin2 x- cos2 x. Na osnovu:
sin2 (o:) = 1- cos(2o:) 2 ,
cos2 o: = 1 + cos(2o:) 2
polazna jednacina se moze napisati kao:
cos (2x)+cos(4~)+cos(6x) = 0, odnosno cos(4x)+2(cos (2x) cos (4x) = 0,
cos(4x) (1 + 2 cos 42
I 1
' ~
! I .,.
+"-------J.-___ __,::,18
A \ E
Resenja poslednje jednacine se dobijaju iz: 4x = 2k:j)rr,
cos(2x) = -!, pa imaju oblik: x = 2kt1rr, k E Z, x = 2;,
kE Z.
k E Z, - 41T X-6,
4. a) Nekaje E podnozje normale iz C na AB. Lake se vidi daje AECD kvadrat, odnosno, da je ABC jednakokrako pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C. Zato je poluprecnik kruga opisanog oko trougla ABC jednak !AEJ =a.
b) Ako je r poluprecnik kruga upisanog u trougao ACD povrsine Pi Cije duzine stranica su a, b i c, onda je, prema poznatoj fprmuli,
ar + br + cr = 2P.
Stranice trougla ACD imaju duzine a, a i aV2. Odatle je
ar + ar + arJ2 = a 2
odakle se lake dobija
r = _a _ _ a(2 - y-'2) 2+V2- 2
5. Razlikujemo dva slucaja: ili u grupi ucestvuje jedan matematicar i dva fizicara, ili u grupi ucestvuju dva matematicara i jedan fizicar. U oba slucaja imamo po 5 · 5:l mogucnosti, take da ukupno ima 5 · 5 · 4 = 100 mogucnosti.
43
. - --
11
6. program zad6;
var
n, k, s, p, i, j : integer;
begin
readln(n, k);
s := 0;
for i := 1 to n do begin
p := 1;
for j := 1 to k do
p := p * i; s := s + p
end;
writeln(s)
end.
JUN 2009
1. Za koju vrednost parametra r je zbir kvadrata resenja jednaeine
minimalan.
2. Resiti jednacinu
3. Resiti jednaCinu
2x2 + rx + 2r - 4 = 0
2sinx-sin(2x) x 2 sin x + sin(2x) = tg2
log2x+l (x3 + 3x2- 6x) ·logx(2x + 1) = 3.
4. Dijagonale jednakokrakog trapeza se seku pod pravim uglom, ugao na osnovici je 60°, a duzina kraka je 3. Odrediti povrsinu tog trapeza.
44
I <
~
5. Na koliko nacina 5 decaka, Adam, Bojan; Cira, Dejan i Emil, i 4 devojCice, Fiona, Goca, Hermiona i Ivana, mogu da sednu oko okruglog stola, ali tako da Cira i Fiona ne sede jedno pored drugog?
6. U primordijalnoj supi ima N atoma vodonika, K atoma kiseonika i P atoma sumpora. Za jedan m.olekul sumporne kiseline (H2S04)_ potrebno je dva atoma vodonika, jedan atom sumpora i cetiri atoma kiseonika. Napisati program koji od korisnika ucitava nenegativne cele brojeve N, KiP i potom racuna i stampa maksimalan broj m.olekula sumporne kiseline koji se moze formirati u takvoj primordijalnoj supi.
RESENJA
1. 2x2 + rx + 2r - 4 = 0. Na osnovu Vijetovih pravila je xi + x2 = -r, a
2r-4 · XI. X2 = -2-.
Zbir kvadrata resenja je
xf+x~ = (xi+ x2)2-2xi·x2 = ( -r)2-(2r- 4) = r 2 -2r+4 = (r- 2)2 .
Na osnovu toga je zbir kvadrata resenja minim.alan ako je r = 2.
o T\ .... J.. .... : .... ,..]~ ..... :::: __ -- ~--~- -· ... ~, 2sinxfl-r.osx.) sin~ .:.. . ..IJa.t~a. JCOUl.lO.\ .. au.c:a. i:::it::: lllU:t~e zap1sa..:;1 .KB.O 2 sinxZl+cosx) = cos~·
Pod uslovom da je sinx f= 0, x =f. k7r, dobijamo jednacinu (~-cosxl (I-cosx) (I+cosx)
1-cosx 1 +cosx
1-cosx .1 +cosx'
odakle J·e ili ~ = 0 ili ~ = 1 Jednacina ~ = 0 za I+cosx ' I+cosx · . . I+cosx . '
x = k7r, stone m.oze biti resenje, a iz jednacine ~+~:~ = 1, se dobija 1- cosx = 1 + cosx, odnosno cosx = 0, za x :== ~ (2k +I), k E_Z, ta'ko da su resenja date jednaene x = ~ (2k + 1), k E Z.
3. Data jednacina se moze zapisati kao
r
3 log,+l ( x( x
2 +3x-6) = , , ~ . , , log"'+ 1 x+log2,+1 ( x 2 + 3x - 6) = 3log"'+ll '
N a osnovu toga je log2.,+ 1 ( x2 + 3x - 6) = log2,+I x 2, odnosno x2 +
3x -6 = x~. Na osnovu toga je resenje date jenacine x == 2.
45
-----------~---- ·-1
4. Dijagonala jednakokrakog trapeza se moze izracunati iz d2 = 2h2,
gde je h, visina jednakokrakog trapeza. Visina trapeza jeste visina jednakostranicnog trougla BDH,
e,;gf pa je h = 3'{3, jer je c = 3.Povrsina je jendnaka P = ~ =
2 ~ = ¥ = 6. 75.
5. 8! - 7! = 35 280.
program zad6;
var
N, K, P, M : integer;
begin
readln(N, K, P);
N := N div 2;
P := P div 4;
if N > K then
M:=K
else
M:=N;
if P < M then
M:=P;
writeln(M)
end.
12 JUN 2010
1. Data je funkcija f (x) = _.,...l.
a) Odrediti domen i kodomen funkcije f. b) Odrediti maksimum funkcije f. c) Odrediti skup vrednosti funkcije f.
2: Resiti jednacinu 1+ sinx + cosx + sin(2x) + cos(2x) = 0. ·
46
3. Resiti jednaCinu Jlog(x- I)+ log(4- x) -log(x)J = Jlogx -log 2J.
4. Dat je jednakokraki trapez ABCD, cije su osnovice: AB = 12cm, CD= 6cm, i krak BC = 6cm. Izracunati poluprecnik opisanog kruga oko trapeza.
5. Prijemni ispit za matematicku gimnaziju polozilo 40 ucenika, od kojih je 8 devojCica. Na koliko nacina se oni mogu podeliti u dva odeljenja po 20 ucenika, tako u svakom odeljenju bude po 4 devojCice.
6. Napisati program koji uCitava prirodan broj N, a zatim izracunava i stampa drugu cifru (C), sa leve strane broja N, kojaje veca od 3. Ukoliko broj N nema dve cifre koje su vece od 3 odstampati odgovarajucu poruku. Primer: Ako je N = 7326; tada je C = 6.
RESENJA
1. a) Kako je x 2 - x + 1 > 0, za svako x E R, to je domen date funkcije
f (x) =..; / skup svih realnih brojeva. Kodomen funkcijeje x -x+l
skup R.
b) Posi11B.ti'all10 fu:rlk.ciju g(x) = x2 - x +I.
J...olK:
~ 4 ~ ~ ~ 0 1 2 3 4 5 X
Ona ima minimum za x = ~' a vrednost minimuma je g(~) = £. Prema tome funkcija f ima maksimurn za x = ~, a vrednost maksimuma je
1 2VJ = 1.154 7 1(2) = -3
c) Skup vi:ednosti funkcije j je interval ( 0, ¥) .
47
-·~ ------------·-- ------~-
I
I
I I
!
~
2. Data jednacina se moze napisati kao
l+sin x+cos x+sin(2x)+cos(2x) = 0, Solution is: { -~1!" + 21rk I k E Z}u { ~1!" + 21rk 1 k E z} u { £1r + 1l"k 1 k E z}
2 cos2 ( x) + sin x + cos x + 2 sin x cos x = 0,
odnosno
(2cos (x) + 1)(sinx + cosx) = 0.
Odatle je 2sin (x) + 1 + 0, za x = 2; + 2b, i x = ~ + 2b, k E Z
a sin x = - cos x, za x = 3; + 2k1l" i x = 7; + 2k1l", k E Z
3. Data jednaCina se moze napisati kao dve jednaCine
log(x -1) + log(4- x) -log(x) = logx -log2,
log(x- 1) + log(4- x) -log(x) =log 2 -logx,
odnosno
x2 x2 log(x-1)(4-x)=log
2, (x-1)(4-x)=2.
log(x- 1)(4- x) = log2, (x -1)(4- x) = 2.
Resel?-ja prve jednaCine su x = 2, x = ~
Resenja prve jednacine su x = 2, x = 3.
Sva tri resenja se mogu prhvatiti kao resenja pola:tne jednaCine jer ispunjavaju uslove: x - 1 > 0, 4 - x > 0, x > 0.
4. Poluprecnik opisanog kruga oko trapeza jeste tacka G, jer je rastojanje od tacke G do temena jednako 6cm. Trouglovi AGD, i GBC su jednakostranicni.
48
I [· ! I .~
IV\ A G 8
5. Prijemni ispit za matematicku gimnaziju polozilo 32 decaka i je 8 devojcica. da bi u odeljenju bilo 20 ucenika potrebno je izabrati po 16 decaka i po 4 od 8 devojCica u svako odeljenje. To se moze uCiniti na (ii) (!). program zad6;
var
N, C, D : integer;
begin
readln(N);
c := -1;
D := -1;
while N > 0 do begin
if N mod 10 > 3 then begin
C :=: D;
D := N mod 10
end;
N := N div 10
end;
ifC = -1 then
writeln('ne postoji')
else
writeln(C)
end.·
49
I[ I .
J[ -·;·-··~--~·------.-~._,. ..... ~..,..,-..,~ ' -,-
Ј
/\7\ А G 8
var
N, С, D : integer;
begin
readln(N);
с:= -1 ;
D := -1 ;
while N > О do begin
if N mod 10 > 3 then begin
С:= D;
D := N пюd 10
end;
N := N div 10
end;
if С= -1 then
writeln('ne postoji')
else
writel11( С)
end.
JUN 2011
Ј 1. Ako su х1 i х2 resenja jednacine х2 +рх+ q = О , odrediti jednaCinu cija su resenja
' 1 Х1 = Х1 +-, - Xz
1 1 Xz = Х2 + -.
Х1
49
~
!Р 1/
~'
., t
~\'~ r'v ~ 2. а) Resiti jednaciпu log10 (100000 · (1 .04)х - 8160) = log2 32.
Ь) Dimitrije је u banku је ulozio 100000 dinara sa kamatoш 4% 1ш godisnjem nivou. Odrediti koJiko се dinara imati Dimii;1·ijc pc;:-ilc dve godine, ako se kamata pripisuje godisnje i Diшitt'ijc нс pщ[i%r
novac.
с) Odrediti funkciju koja prikazuje zavisnost kolicine novш 11 0<I 1~0-
dina х drzanja para u banci, pod gore navedeпim usloviш1i.
3. Resiti jednacinu si114 х + cos4 х + sin 2х = 1.
4. U pravuogloш tгouglu АВС visina koja odgovaгa hipotenнzi sсёс blpotenuzu u taeki D, u odnosu BD : DC = 1 : 4. Ako је hipotenнza С = 5 odгediti katete.
5. U restoranu se sluzi sedarn vrsta i-azlicitog jela: plJeskavica, pomft-it, salata, hleb, kolac, voce ј sladoled.
а) Na koliko пaeina se mogu odabrati samo tri razliёita jela?
Ь) Na koliko nacina se moze kreirati jelovnik tako u meniu bude od 1 do 7 razlieitir1 jela?
6. Napisati program koji uёitava dimenziju niza 3 <= К <= 6, а zatim i niz ,iednocifrenih prirodnih brojeva L zadate dimeпzije К,а zatiш od zadatog niza L q;enerise i stampa pi-irodan broj N spajajuci elemente ni:>:a vece od 3 s leva na desno. Ukoliko пеша elemeм.ta niza vecih od 3 odstampati odgovarajucu poi-uku . Primer 1: Ako је К = 4; L = [5, 3, 4, б];Primer 2: Ako је К = 3; L = [1, 2, 3J;U nizu nema cifara vecih od 3.
RESENJA
1. U zadatku su х~, i х~ su re8enja nove jednaCine. Na osnovu Vijetovih formula i datih uslova imamo
1 / ( 1 ) ( 1 ) .1 1 (q + 1)2
Х1 ·Х2 = Хј + - Xz + - = --+х1х2+2 = -+q+2 = ---'--Х2 Х1 Х1Х2 q q
50
(, 1) ( 1) 1 1 Х} + - + ђ + - = Хј + Xz + - + -Х2 Х 1 Хј Х2
Х1 + Х2 -р (х1х2 + 1) -- = (q + 1) -.
Х1Х2 q
1'1.·crria toma trazenajednacinaje oЫika qx2 +p(q + 1) x+(q + 1)2 =О
:~. н) Data jednaёina se moze napisati kao
log10 (100000 · (1.04)х - 8160) = 5,
(Hlakle је 105 = 105 (1 . 04)Х - 8160, tj . 108160 = 105(1.04)x.Resenje poslednje jednacine је х = 2. f
Ь) Posle godinu dana Dimitrije се imati
100000 + 100000 · 0.04 ::::: 100000 · (1.04) ::::: 104000 dinara.
~os!e dve godine Dimitrije се imati
104000 · 0.04 = 100000 · (1.04)2 = 108160 dinaш.
с) F\.шkcija koja prikazнje zavisnost koliёiпe novca у od godina х drzanja para и banci, је у= 100000 · (1.04)х, ( ako se uiozi 100000, pod navedenim uslovima) .
З. Ako se levoj i desnoj strani jednacine doda izraz 2sin2 (x) cos2 (2х) doЬija se ,. ,.
(sin2 х + cos2 х) 2 + sin 2х = 1+2sin2 (x) cos2 (2х),
odnosno jednaёina -2sin2(x) cos2 (2х) +sin(2x) =О. Na osnovu toga iz
Slll Х --- - 1 = . (Z ) (siп(2x) ) 0 2
dobijaшo r·esenja х = k~, k Е Z.
51
4. Ako ozпacimo sa х duzinн duzi CD, а as h, duzirш visiнc.
Tada iz h = Ј4Х2 = 2х, sledi 5х = 5, odнosno х = 1. Na osnovt1 toga је hipotenu:ta с= 5, а strnice su а= Ј5, Ь = 2Ј5. 1
5.
а) Ш = 7~5 = 35
Ь) (i) + (;) + (i} + Ш + {i) + Ш + (;) = 27 -1.
6. PROGRAM zad6;
VAR
L: ARRAY [1 .. 6] OF INTEGER;
i, К, N : INTEGER;
BEGIN
REPEAT . Write('Unesite dimenziju нiza koja је veca od 3 а manja od б: ');
R.ead (К);
WiiteLn;
UNTIL ((К>=З) AND (К< =б));
N:=O;
FOR i:=l ТОК DO
BEGIN
REPEAT
Wгite('Uпesite jednociћ·en Ьшј : ');
Read(L[bl);
WгiteLn;
UNТIL((L[i]>=O) AND (L[i]<=9)) ;
IF L[i]>3 THEN
N:= N*lO + L[i]
END;
IF N>O THEN
WriteLn('DoЬijeнi broj је: ', N)
52
ELSE
WriteLn('U nizu nema cifara vecih od 3')
,Ј tJN 2012
1. l)н.ta је funkcija
Ј (:с)= (~х2 - 13х + 4) 2 - (~х2
- 1/х + 5) 2 Odrediti:
----~ '(:-. ~-~~ -
а) Domen, znak, nule~k~~~~нnkcije f. / 1,) Data је funkcija g (х) = (
4!}:)
1)2. Odrediti domen funkcije g.
.,,ј с) ReЭiti jednaciпu g (х) = -1.
" llcsiti jednaeinu sin х - cos х - /sin х + cos х\ = О
/ :1. llesiti jednacinu !оgхз 2 = log5 5 - log8 х2
Ј ·1. Data је oЬim pravouglog trougla О= 15. Odrediti katete trougla:
а) ako је jedan ugao datog trougla 45°;
Ь) ako је jedan ugao datog trougla 60°.
Na okupu se nalazi 5 bracпih parova (lQ. osoba). Na koliko пacina se rrюze formirati komisija od tri clana (predsednik, sekretar i Ьlagajnik) tako: •·
а) da svi prisutni imaju isto pravo ucesca;
Ь) da и komisiji ne budu sve muskarci;
с) da и komisiji ne bude ni јеdан bracni par.
ri. Pгogram па pocetku treba da ucita petocifreni prirodan broj N. ЂеЬа Vl'iJiti lшntrolu unosa. Od ucitanog broja N, treba generisati niz L па н\с(\есi пaein: svaki elemenat niza се doЬiti vrednost minimalne cifre lн·оја N, а niz се imati onoliko elemenata kolika је vrednost maksi-111al11c cifгe br·oja N . Primer: N=248"73 ; 1=[2,2,2,2,2,2,2,2] . ЂеЬа 11111щ~u c iti vir:iestruko izvrsavaпje progгama.
53
' 1 1 i
1\
RESENJA
1. Posle srediva11ja izгaza na desnoj straпi se dobija
а) odakle se јаsпо vidi da је domeп fuпkcije skup realnih rлojcva, rшle su х ·= 1, i х = !· Funkcija ima negativne vrednosti ;.\lt нvako хој t, хој t' gde је п11lа i u tim tackamo опа dostizc makнim1m1.
l " · Ь]'] ( ) _ f(x) _ -(2х- 1) 2 (5х-З) 2 __ (5:1:- З)~ Ь) Fuп CClJa g Је о 1 са g х -~ - (4х2 _ 1 )2 - - (2:c+l) '
tako da ј е dome11 fuпkcije g, skup svih realnih br"ojeva bez х = 1
-2·
с) Rese11ja jednacine g (х) = -1, se dobijajн iz
(Sx -3)
2 = - 1 odnosno' (Sx - 3)2 = (2х + 1)2
(2х + 1)2 '
i ona sн х1 = ~' х2 = 9. 2. Ako је sin х + cos х 2': О , tada data jednacina postaje 2 cos х = О ,
njena resenja su х = ~7r + 7rk, k Е Z. ;
Ako је sin х + cos х :::; О , tada data ј еdпаСiпа postaje 2 sin х = О ,
nјепа гesenja su х = 7rk, k Е Z .
3. Data jednaCina logxз 2 = log5 5 - log8 х2 se moze zapis1ф kao
1 2 --- = 1- -log2 x, 3 log2 х 3
odakle se smenom t = log2 х, doblja jednacina -2t2 + Зt - 1 =О , 6,ia sн rese11ja t 1 = 1, t2 = ~· . Iz 1 = log2 х, t = 1og2 х s!edi da su reseпja date jednacirю з; ,.,., 2, i
х= V2.
4. Ako је jedan ugao pravoнglog troug!a:
54
а) 45° ,tada ј е troнgao jed11akolнaki, ра ako ozпacimo sa а katet u, tada је а(2 + V2) = 15 odakle ј е
а = -1-5
- = 4. 393 4 = Ь· 2+ V2 1
Ь) 60°, tada vazi а(З + /3) = 15, odak!e је
а=-1-5 -=·l5 (3 -vГз) =3.1699; Ь=2а. ,[ з+vГз 9 - 3
[) . Imamo pet pet bracnih parova (5 zепа i 5 muskaraca) .
а) Biramo predsedпika, sekretara i Ыagajпika, znaci Ьitan ј е raspored ра ј е rezнltat
10. ~· 8.
Ь) U komisij i nisu svi шuskaгci . Od ukupпog broja odнzmemo komisije u kojiшa su mнskarci.
10 . 9 . 8 - 5 . 4 . 3.
с) U komisiji nije пi jedan bracni par. Pi-edsedпika biramo na 10 naciпa; kad njega izaberemo tada i njegov partner vise пе ucestvuje н Ьiranjн. Sekretara Ьiгаmо na 8 naCina i analogno Ьlagajnika na 6 naciпa.
10. 8. 6.
(i. PROGRAM zadб ;
VAR
L : ARRAY [1"9] OF INTEGER;
N, i ,min ,max, cif: INTEGER;
jos: CHAR;
l!IIOIN
П.ЕРЕАТ
IШРЕАТ
vVIite('Unesite petocifre11i broj: ' );
55
,•
Read(N);
WriteLn;
UNTIL ((N>9999) AND (N<=99999)) ;
min:=9;
max:=O;
WНILE N>O DO
BEGIN
cif:=N MOD 10;
IF cif < шin THEN
min:=cif;
IF cif > max THEN
max:=cif;
N:=N DIV 10
END;
FOR i:=l ТО max DO
L[i]:=min;
Write( 'Vas niz L је: ');
Write('[');
FOR i:=l ТО max-1 DO
BEGIN
Wi-ite(L[i]);
Write(', ')
END;
Wгite(L[max]);
WriteLn('] ') ;
vVrite('Da li zelite jos? (d/n)');
Read(jos);
WriteLn;
UNTIL(jos='n')
END.
56
1
1 )1 н l.atak
1 )at.c su sledece iskazne i·eceпice:
:11 : (р =? q) .;=} r
: .12: •r /\ w
Pokazati da је iskazna receнica
1\:p/\w
logicka posledica tЉ recenica.
'.!.. f)ate su sledece iskazne recenice:
А 1 : р V ( q /\ r) =? •и
А2: и/\ r
.43 : •р .;=} w
Pokazati da је iskazna recenica
А: w /\ --.q
logicka posledica tih recenica.
:\. Date su sledece iskazne гecenice:
Al: (p/\q) .;=} (rVw)
А2: w /\и
Pokazati da. је iskazria recenica
A:q/\u
logicka posledica tih recenica.
1. Date su sledece iskazne recenice: .. Al : (р V q) /\ r .;=}и
А2: ·r· /\ q
ЛЗ: -.и=> ш
Pokazati da је iskazna recenica
1\:1111\q
l(~i cka posledica tih receпica.
57
._o=w ,;_;;;;., =-'
~· Date su sJed се iskazne receпicc: Al : (р => q) ~ т
А2: r /\и
А3: р v •U
Proveriti da Ji је iskazna Iecenica
А: q
logicka posledica tih recenica.
Date su s]edece iskazne receпice:
А 1 : •р V ( q /\ •r) => и V •W
А2: q /\ w
А3: •r <=> w
Proveriti da li је iskazna recenicњ
А : и
Jogicka posledica tih i·eceпica .
V 7. Date su sleclece iskazne receпice:
Al : (pVq) <=> (r/\w)
А2 : •Т /\·и
Proveriti da li је iskazna recenica
А : •р /\ ·п
logicka posledica tih recenica.
V 8. Date su sledece iskazne recenicP.:
Al : (р v •q) /\ r ~и
А2: и/\ w
А3: r => t
Proveriti da li је iskazпa recenica
A : t/\w
logicka posledica tiЬ recenica. /
V9. Date su sledece iskazne recenice:
А1: р '1 •(q v r) => •1i
58
:\ ~( : •q
: \ :! : т <=> •'Ш
:\.1 : 'W
J>r·overiti da li је iskazna recenica
А:и
logicka posledica tih recenica.
1 (). Pokazati da је iskazna formula
А : (р /\ q) <=> r
logica posledica iskazne formule
Al : (р <=> r) /\ (q {=> r).
! ! . Date su s!edece iska:tne recenice:
Al : (р <=> r) V (q <=> r) .
А : (р V q) <=> r.
Proveriti tacпost sledecih tvrdпji:
а) А је logicka posledica od Al.
Ь) А 1 је logicka posledica od А.
ltc!Jenja
1 ) Ргеша definiciji logicke posledice treba pokazati с]а је iskazna formula
F : Al /\ -12 =:> А
tautologija. Koristicemo metod kontradJ.kcije. Pretpostavimo da postoji komЬinacija istinitos11il1 vrednosti iskaznih slova р, q, r, w za koju је istinitosna vrednost iskazne formule F netacna: v (F) = .l. Iz toga ~ledi da ј е
1) v (Al) == Т, 2) v(A2) = Т, З)v (А)= .l.
Ј(щlа н doЬijene jednakosti нbacimo konkretne iskazne formџle d0Ьij111110
1) v((p=:>q){=>r)=T, 2) v(•r/\w) = Т, 3) v (р /\ 'Ш) = .l.
59
Iz 2) iшamo da јс
4) v(•r) = Т =? v(т) = .1, 5) v(w) = Т.
Iz 3) i 5) irnamo
6) v (р /\. Т) = .1 =? v(p) = .1
Iz 4), 6) i 1) imaшo
sto је kontradikcija.
v ((.1 =? q) <=> .1) = т,
v (Т <=> .1) = Т, v (ј_) = т .
Zakljucujemo da ј е pocetna pretpostavka pogresna, sto znaei da је isti11itosna vred11ost formule F tacna Zii svaku mоgнсн kombinaciju istinitosnih v1·ednosti iskaznЉ slova р, q,'т i w. Drнgim reCima iskazna foпnнla F је taнtologija, сiше smo pokazali da је А. logicka posledica od Al i А2 .
7) Da bi iskazna foгmula А bila logicka posledica foгmнla Al i А2 , iskazna fщmula F : Al /\. А2 =? А , tгеЬа da bude taнtologija. Pretpostavimo da to нiје tac110. Znaei da postoji kombinacija iskaznih slova р, q., т, и i w, za koj11 је
u(F) = .l.
Iz toga sledi da је
1) v ( (р V q) <=> ( r /\. w)) = Т,
2) V ( •Т /\. 1Ј,) = Т 3) v ( •р /\. и) = .1.
Iz 2) iшаnю da је
4) v (•r) = т =? v(r) = .1, 5) v(u) = Т.
Iz 3) i 5) imamo
60
" ,.:_ -·
6) v(•p/\. Т) = .1 =? v(•p) = .l =? v(p) = Т .
lr .\) 5) , 6) i 1) imaшo
v((T V q) <=> (_i /\. w)) = Т, v(T<=>.l)=T , v (.1) = т,
sto је kont1-adikcija.
ZnaCi da ne postoji komЬinacija istinitosnih vrednosti iskaznih slova р , q, r, и i w, za koju је iskazna f'ormula F је tautologija, а to povlaei tvrdnju da ј е iskazna formula А logicka posledica iskaznih formнla Al i А2.
9) Iz pretpostavke da iskazna formula
F : AI /\. А2 Л АЗ /\. А4 =? А,
nije tautologija, sledi da је
1) v((p V •(q V т)) =? •w) = Т, 2) v(-,q) = Т =? v(q) = .1 , 3) w (r <=> •w) = Т , 4) v(w) = Т , 5) v(u) = ..l.
Iz 3) i 4) imamo da ј е
6)v (r <=> .1) = Т =? v(r ) = .1 .
" Iz 2), 4), 5), 6) i 1) imamo
v(p V •(..l V ..l) =? Т) = Т, v(pv-,(..l) =? Т) = Т, v(p V Т =:> Т) = Т v(T =? Т) = Т v(T) = Т.
O;im smo potvdili da istinitosna formula F нiје tautologija i na8li ~нно komЬinaciju istinitosnih vrednosti iskaz11Љ slova za koju је iskaz11a 1·1Jl'lrшla F пеtасна.
61
То su v(p) ЬiЈо sta, v(q) = _1_, ·и(т) = .l, v(u) = ..L, ·и('Ш) = Т. То znaci da iskazna fOI"mнJa А nije logicka posledica iskazпЉ fогпшlа Al i А2, А3 i А4.
10) Zadatak se resava aпalogno pгethodnoш. Sada treba pokfl.7.fl l:i da је iskazna t'ormula
F: Al =>А
ta н tologij а.
Iz pгetpostavke da је: v (F) = .l sledi da је
1) v (р {::} т) = Т, 2)v(q{::}r)=T, 3) v((p/\q) <:::} т) = ..L.
Sada сето preci na metodu diskusije ро iska.Znom slovu. Odabп1cemo iskazno slovo т .
Ргvо 1лetpostavimo da је istinitosna viednost iskaznog slova т tacna
v(r) = Т.
Tada iz 1) imaшo
4) v(p <=? Т) = Т => v(p) = Т.
Iz 2) imamo 5) v(q <=? Т) = Т => ·u(g) = Т .
Iz 4), 5) i 3) imaшo da је
v((T /\ Т) {::} Т) = .l, v(T <=? Т) = .l ·u(T) = .l, sto је kontradikcija.
Ostaje паm sada slucaj kada је istiпitosna vrednost iskazrюp; нlo\la т netacna
v(1·) = .l.
Tada iz 1) iшamo
6) ·и (р <=? _l_) = Т => v(p) = .l.
62
[z 2) iшашо da је
7) v(q <=? .l) = Т => v(g) = .l.
Iz 6), 7) i 3) imamo da ј е
v((.l /\ .l) {::} .l) = .l , v(l. {::} .l) = Ј_ v(T) = .l, sto је kontradikcija.
Тiше sшо pokazazali pocetnu tvrdnju da је istinitosna formula А logicka posledica iskazne fornшle Al.
11) а) Da bi dokazali da је trvdnja tacna treba pokazati da је iskazпa formula
F: Al =>А
tautologija. ћetpostavimo suprotno da је v(F) = .l. Iz toga sledi da је:
1) v ((р {::} т) V (q {::} т)) = Т, 2) v ( (р v q) <=? т) = .l.
Sadя. сето preci па metodu diskusije ро iskaznoш slovн т.
I Pretpostavimo da је istinitosna vredпost iskazпog slova т tacna v(r) = Т. "
Iz 2) imamo da је
v = ((р V q) <=> Т) = l ==;. v(p V q) = .l
odakle је 3) v(p) = 1-,
Iz 3), 4) i 1) imamo da је
4) v(q) = 1-.
·u((.l {::} Т) V (1- {::} Т)) = Т, v(l_ V .l) = Т v(.l) = т, sto је kontradikcija.
П Ostaje slucaj kada је 11(т) = 1-.
63
Tada iz 1) iшamo
v ((р <=> ..L) v (q <=> ..L)) = т
(bar jedan netacan).
Iz 2) imamo
v ((р V q) <=> ..L)) = ..L =;. v(p V q) = Т
(bar jedan је tacan).
Ako, на primer uzmemo da је v(p) = Т, v(q) = ..L,tacla. јс
(1) v((T {:} ..L) V (..L {:} ..L)) = Т v(..L V Т) = Т
?Ј(Т) = Т
(2) v((T V ..L) <=> ..L) = ..L v(T {:} ..L) = ..L v(..L) = Ј_
Kako ~u sc оЬа uslova ispunila, to znaci da smo pionasli komЬinaciju istinitosnih vrednosti iskaznih slova р, q, т,
v(p) = Т, v(q) = l., v(r) = ..L,
t.akvu da је, za te vredrюsti, istinita vrednost iskazne foгmule Р netacna, sto znaCi da ona nije tautologija i da iskazna formula А nije logicka posledica iskazne formule Al.
Ь) Da Ьi trvdnja Ьila tacna treba pokazati da је iskazna fошшlа
F: А=;. Al
tautologija. Pretpostavimo suprotno da је v(F) sledi da је
..L . Iz toga
1) v((p V q) {:} r) = Т, 2) v((p <=> r) V (q <=? r)) ~ .1 ..
Sada сето preci па metodu diskнsije ро iskaznom slovн 7'.
1 Pretpostavimo da је istinitosna vrednost iskazпog slov11. ·1· t : нћ1n. ·и( r) =
Т .
Iz 2) imamo
64
v((p {:} Т) V (q {:} Т)) = ..L =;.
·и(р <=? Т) = l. А v(q <=> Т) = ..L => 3) v(p) = ..L, 4) v(q) = ..L.
Iz 3), 4) i 1) imamo da је
v((l. v ..L) {:} Т) = Т, v (..L {:} Т) = Т v( ..L) = т , sto је kont.гadikcija.
II Ostaje slucaj kada је v(r) = ..L. Tada iz 1) imamo
v((p V q) <=? ..L) = Т => v(p V q) '= ..L => З)v(р) = ..L 4)v(q) = ..L.
Iz 3), 4) i 2) imamo da је
v((..L ~ ..L) V (..L <=? 1.)) = l., v(T V Т) = l. i1(T) = l., sto је kontradikcija.
Ovim smo dokazali da је iskazna formula F tautologija i samim tim da iskazna fornшla Al jeste logicka posledica iskazne formt1le А.
•·
65
