PowerPoint Presentation

KALKULUS VARIASIOleh :Alif Jati Santoso (135090301111026)Fahimatul Khoiroh (135090300111004)Lita Anjani wijaya (135090701111018)

Persamaan Euler

Untuk menentukan suatu fungsi acak melewati dua titik, maka diperlukan persamaan Y(x) = y(x) + (x)Dimana- merupakan suatu parameter- (x) merupakan fungsi sembarang yang nilainya nol di x = x1 dan x = x2

(fungsi dari parameter )Ketika = 0, Y(x) = y(x)

y = y(x) minimum untukMetode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana.Kemudian,I() akan mencapai titik minimumnya ketika = 0Maka :

- Keadaan pertama akan bernilai 0 karena (x1)= (x2)=0.- Pada keadaan kedua (x) merupakan fungsi acak agar bernilai 0,

**dari keadaan tersebut y(x) merupakan garis lurus.

Untuk Y(x) = y(x) + (x)

Dengan menggunakan dI/d = 0 dan Y = y saat = 0. maka :Untuk kondisi kedua,

Untuk yang acak,

Merupakan persamaan EulerContoh : Diket F(x) = tentukan persamaan eulernya !

Jawab :

Persamaan EulerJadi, pertama dicari dan

danmaka

Permasalahan Brachistochrone = cycloidMasalah brachistochrone merupakan masalah mengenai kurva yang dilalui sebuah partikel yang menggelinding dalam waktu terpendek di bawah pengaruh gravitasi dari titik O ke titik P yang lebih rendah tetapi tidak langsung di bawah O.

Kurva disamping merupakan suatu sikloida (cycloid) dan merupakan lintasan dari suatu titik O pada lingkaran berjari-jari a yang bergerak sepanjang sumbu-x Andaikan pada saat t partikel itu berada di P(x,y) dan busurnya OP = s. Maka; EKO + EPO = EKP + EPP

Maka waktu yang diperlukan oleh partikel itu untuk bergerak dari O ke P adalah,t =

=

Untuk meminimumkan waktu, maka kita turunkan pengintegralan di atas. Sehingga dari persamaan Euler didapat,

Jika diambil F =

Misalkan maka

misalkanSehingga didapat;

Jadi persamaan parametrik kurva tersebut diberikan oleh;

Dimana,

=

,=2Karena kurva ini melalui titik asal, maka k = 0, sehingga persamaan itu menjadi : Jika kurva ini melalui titik (p,q) maka persamaan parametriknya menjadi,parametrik dari persamaan brachistochrone atau parametrik dari persamaan cycloid.x = a (t - sin t)y = a (1 - cos t)x = a (t - sin t)+ py = a (1 - cos t) + qPersamaan Lagrange

Persamaan yang jumlahnya bergantung pada jumlah variable terikat. Untuk 3 dimensi maka persamaan Lagrangenya dalam sistem kartesian adalah :

kondisi yang diperlukan untuk titik minimum dalma kalkulus biasa,untuk fungsi satu variabel z =z (x), dz/dx=0,untuk fungsi dua variabel z =z (x, y), z/x =0 and z/y =0.

Hal yang sama diterapkan untuk persamaan Euler.ketika F =F (x, y, z, dy/dx, dz/dx) maka akan ditemukan dua kurva y(x) dan z(x) untuk meminimalkanI = F dx,

maka dibutuhkan dua persamaan Euler.Persamaan Lagrange dengan menggunakan prinsip HamiltonLagrange: L = T V dimana T : energi kinetik, V : energi potensialDengan adanya energi kinetik dalam koordinat (x,y,z)

V = (mgx + mgy + mgz)

- Prinsip Hamilton: setiap partikel atau sisem partikel selalu bergerak sedemikian rupa sehingga I = L dt adalah keadaan stasioner

Dalam keadaan ini , persamaan Euler disebut persamaan Lagrange.

Contoh1 :

Carilah persamaan lagrange dari gerak partikel tunggal yang bergerak dibawah gravitasi (gerak 3 dimensi)!

L = T V

Dimana, Persamaan Lagrange : Maka Jawab, Persamaan Lagrange24Contoh2 :

Sebuah cakram menggelinding melewati idang miring, carilah percepatannya dengan menggunakan persamaan Lagrange !

Jawab :L = T V Persamaan Lagrange : Dimana, Maka,percepatan dari cakram tersebut adalah

WASSALAMUALLAIKUM DANTERIMAKASIH