INTERNACIONALNI UNIVERZITET U TRAVNIKU

FAKULTET POLITEHNIKIH NAUKA

Smjer: Mainstvo/ motori i vozila

Predmet: PRENOS TOPLOTE I MASEk. godina 2014/2015

SEMINARSKI RADNESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE KONDUKCIJOM

Student: Haris Fio Pregledao: doc.dr. Slavko uriTravnik: juni, 2015. godine.SADRAJ

Jednodimenzioni prenos toplote1

Prenos toplote kroz ravan zid ...2

Prenos toplote u radijalnom pravcu kroz sferu..3

Granini uslovi...4

Viedimenzioni prenos toplote..5

Primjena modela jednodimenzionog prenosa toplote za priblino rjeavanje praktinih problema..6

Temperaturni profil u ravnom zidu vrlo velike povrine..7

Prevoenje matematikog modela u bezdimenzioni oblik ...8

Dobijanje viedimenzionih temperaturnih profila iz jednodimenzionih 10

NESTACIONARAN PRENOS TOPLOTE KONDUKCIJOM

Temperatura nestacionarnog sistema sa raspodeljenim parametrima je funkcija vremena i jedne ili vie koordinata, recimo: T (x, y,z,t). Za funkciju T (x, y,z,t) se koriste termini: temperaturno polje i temperaturni profil. Matematiki modeli nestacionarnog prenosa toplote u sistemu sa raspodjeljnim parametrima, ijim se rjeavanjem dobija temperaturno polje, imaju oblik parcijalnih diferencijalnih jednaina. Oni se mogu izvesti formulisanjem bilansa energije, ija je opta forma data jednainom (1.1): za element (dio) sistema ije su dimenzije besknano male u u onim pravcima du kojih se temperatura mjenja, a u ostalim pravcima element se prostire do granica sistema. To je, za sluaj sistema pravougaone geometrije (kvadar), dimenzija LxLyLz, ilustrovano na slici 4.1.

a) Temperatura se mjenja samo u x pravcu, T (x,t) ; b) Temperatura se mjenja u x i y pravcu,T (x, y,t); c) Temperatura se mjenja u sva tri pravca, T (x, y,z,t)

4.1 Jednodimenzioni prenos toplote

Najjednostavniji sluaj nestacionarnog prenosa je da se temperatura mjenja samo u jednom od pravaca koordinatnog sistema i on se naziva jednodimenzioni prenos. U sluaju pravougaone geometrije, kao i cilindrine geometrije pri emu se temperatura mjenja samo u aksijalnom pravcu (poduno), u pitanju je funkcija T (x,t) . U praksi se sreu i Ulaz - Izlaz + Generisanje = Akumulacija u sistemu u sistemu 57 jednodimenzioni prenos u radijalnom pravcu (du radijalne koordinate), r kroz telo cilindrinog oblika i kroz telo sfernog oblika, odnosno temperaturni profil T (r,t).

Prenos toplote kroz ravan zid

Skica tijela pravougaonog oblika (ravan zid ili sloj) po ijoj debljini (x pravac) se mjenja temperaturno polje, te u tom pravcu postoji fluks toplote, data je na Sl. 4.2a). Radi izvoenja jednaine prenosa, posmatra se, kao element tela, sloj beskonano male debljine dx, normalan na pravac prenosa toplote (Sl. 4.2b)

Pretpostavimo da postoji i generisanje toplote u sistemu. Praktini primjeri generisanja su: stvaranje toplote pri proticanju elektrine struje kroz sistem, oslobaanje ili troenje toplote zbog neke egzotermne ili endotermne reakcije u sistemu, oslobaanje ili troenje latentne toplote pri faznim transformacijama (recimo oslobaanje latentne toplote zamrzavanja vode pri zamrzavanju hrane). Oznaimo brzinu generisanja toplote po jedinici zapremine sistema sa ( ) 3 gT W m . Radi pojednostavljenja modela, pretpostavimo da su fizika svojstva medijuma: gustina , specifina toplota v c i koeficijent provodljivosti toplot konstantna (zanemarujemo uticaj promjene temperature). Uz to, usvojiemo uobiajenu aproksimaciju za vrste supstance:

Sa navedenim pretpostavkama, lanovi u energetskom bilansu (koji svi imaju dimenziju J/s = W ), posmatranog elementa ija je zapremina: dV = Adx , su:

Prenos toplote u radijalnom pravcu kroz cilindar Element cilindra, za koga formiramo energetski bilans da bi izveli diferencijalnu jednainu je cilindrina ljuska beskonano male debljine, dr (Sl. 4.3)

Zapremina posmatranog elementa je jednaka proizvodu povrine njegove osnove i njegove visine, tj. povrine krunog prstena irine dr i duine cilindra, L. Povrina posmatranog krunog prstena, beskonano male irine je:

Beskonano malu veliinu, dr koja figurie u zbiru, u zagradi, moemo da zanemarimo u odnosu na r, pa je povrina osnove jednaka 2rdr, a zapremina elementa:

Uz iste pretpostavke kao i u sluaju ravnog zida, pojedini lanovi bilansa su:

Prenos toplote u radijalnom pravcu kroz sferu

Element sfere je sferna ljuska, beskonano male debljine dr, data u projekciji na Sl.4.4. Zapremina elementa je:

4.2 Granini uslovi

Za dobijanje temperaturnog polja (tj. partikularnog reenja dif. jednaine prenosa toplote) neophodni su i granini uslovi. Poto u jednainama (4.1), (4.4) i (4.6) figurie prvi izvod po vremenu i drugi izvod po prostornoj koordinati, prema pravilu izloenom u pogl. 1.3, potreban nam je : jedan granini uslov po vremenu, koji se naziva poetni uslov dva granina uslova po prostornoj koordinati Neophodnost poetnog uslova je fiziki jasna, jer da bi mogli da predvidimo kako e se mjenjati temperatura tokom vremena u posmatranom tijelu (ravan zid, cilindar ili lopta), moramo da znamo poetno stanje, tj poetni temperaturni profil (ili raspodjelu temperature) u tijelu: t = :0 T(x )0, = f (x) (ravan zid) (4.7a) t = :0 T(r )0, = f (r) (cilindar ili sfera) (4.7b) Jednaine (4.7a,b) daju, u optem obliku, potreban poetni uslov. Ako je poetni temperaturni profil uniforman, funkcije na desnim stranama jedn. 4.7a,b postaju konstante. Da bi smo predvidjeli promjene temperature u tijelu, nije dovoljan samo poetni uslov, ve je neophodno da znamo kako okolina djeluje, tj. uslove na graninoj povrini tijela sa okolinom. Oni su opisani graninim uslovima. Tako, u sluaju ravnog zida, u pitanju su dvije granine povrine, pa se moraju definisati uslovi na granicama x = 0 i x = L (vidi Sl.4.2). U sluaju cilindra ili sfere, postoji samo jedna granina povrina sa okolinom, na desnoj granici vrijednosti prostorne promjenljive, r = R , gdje je R poluprenik cilindra ili sfere (vidi Sl.4.3). Drugi granini uslov se odnosi na lijevu granicu, r = 0 (osa cilindra, tj. centar sfere). U pogledu matematike forme, razlikovaemo tri tipa graninih uslova za obine i parcijalne diferencijalne jednaine: 1. Dirihleov (Dirichlet) 2. Nojmanov (Neuman) 3. Robinov (Robin) Dirihleov uslov je najjednostavniji po formi i daje vrednost funkcije koja se trai (ovdje temperaturno polje), na granici. U problemu prenosa toplote, to znai da je poznata temperatura na dodirnoj povrini sa okolinom. Neka je recimo poznata temperatura (T = T1 ) na lijevoj povrini zida ( x = 0). To zapisujemo kao:

Nojmanov uslov daje vrijednost izvoda funkcije (ovde temperature) na granici. Prenos toplote kroz tijelo cilindrinog ili sfernog oblika emo imati kada se ono hladi ili 62 zagrijava pod uticajem okoline. Ako je u pitanju hlaenje (temperatura okoline je nia od poetne temperature tela), tokom vremena e temperatura na granici r = 0 (osa cilndra ili centar sfere) da opada, ali e u bilo kom momentu biti najvea u cijelom radijalnom presjeku tijela. U sluaju zagrijavanja pak, u osi cilindra (centru sfere), r = 0 temperatura e imati minimum. Jasno je onda da e granini uslov na granici r = 0 biti matematiki uslov ekstremuma:

4.3. Viedimenzioni prenos toplote

Ako se temperatura u sistemu (nekom telu) mjenja du dva ili tri koordinatna pravca, kaemo da se radi o dvo ili trodimenzionom temperaturnom polju, odnosno o dvo ili trodimenzionom prenosu toplote. Radi izvoenja jednaine prenosa, formira se energetski bilans za element ije su dimenzije beskonano male u dva ili sva tri pravca (Vidi Sl. 4.1). Analognim postupkom onom za ravan zid, za trodimenzioni prenos toplote u pravouglim koordinatama izvodi se :

Od praktinog interesa za modelovanje toplotnih operacija u prehrambenoj industiji je i dvodimenzioni prenos toplote, u aksijalnom (z) i radijalnom (r) pravcu, kroz cilindar. Jednaina prenosa glasi:

a njenim rjeavanjem, uz odgovarajue granine uslove, dobija se dvodimenziono, nestacionarno temperaturno polje cilindra: T (r,z,t)

4.4. Primjena modela jednodimenzionog prenosa toplote za priblino rjeavanje praktinih problema

Pri priblinom modelovanju procesa termike sterilizacije, rashlaivanja i zamrzavanja namirnica u prehrambenoj industriji, koristi se jednodimenzioni model prenosa bez generisanja toplote kroz telo pravilnog geometrijskog oblika (kvadar, cilindar ili lopta), jer za taj model postoji relativno jednostavno analitiko rjeenje. Pri tom se primjenjuju sljedee (glavne) aproksimacije (uproenja): idealizacija geometrijskog oblika sistema; aproksimacija viedimenzionog prenosa toplote, jednodimenzionim; zanemarivanje lana generisanja toplote u jednaini prenosa u sluajevima kada postoje fazne transformacije; zanemarivanje uticaja temperature na termofizika svojstva sistema: , Cp, i njihovo uproeno procjenjivanje za hranu, kao sloeni medijum Za primjenu rjeenja modela jedno- ili viedimezionog prenosa toplote, neophodna je idealizacija stvarnog oblika tijela. Tako se jaja, dinje, jabuke itd. aproksimiraju loptama, neke konzerve i peciva kvadrima, a neka peciva, virle i banane cilindrima. 68 U stvarnosti je najee u pitanju dvo ili trodimenzioni prenos toplote. On se u nekim sluajevima moe aproksimirati jednodimenzionim. Tako, ako je cilindrino tijelo dugako u odnosu na prenik (praktian kriterijum za to je: L > 6R ) ukupna povrina osnova je znatno manja od povrine omotaa pa je uticaj okoline (koji je proporcionalan povrini dodira) znatno manji u aksijalnom, nego u radijalnom pravcu. To daje osnovu da se posmatra prenos toplote, tj. promene temperature u tijelu, samo u radijalnom pravcu: T (r,t) . Primjer za ovaj sluaj su virle ili banane. Ako je pak tijelo pljosnatog oblika, sa velikim povrinama osnova u odnosu na debljinu (naprimjer: tijesto za picu, pogaa, biftek) onda se zanemaruje uticaj okoline kroz bonu povrinu tijela i primjenjuje se model jednodimenzionog prenosa kroz ravan zid. Ako su prisutne fazne transformacije, na primjer zamrzavanje vode i otapanje leda pri zamrzavanju hrane i otapanju zamrznute hrane, jednaina prenosa bi morala da sadri lan generisanja toplote. Kod priblinog modelovanja on se zanemaruje, a greka moe da se smanji odgovarajuim korigovanjem specifine toplote medijuma (smanjenje kod zamrzavanja i poveanje kod otapanja) Poseban problem predstavlja procjenjivanje neophodnih fizikih parametara , Cp, , s obzirom da je hrana vrlo sloen medijum i da se tokom termike obrade esto menja konzistencija i sastav. U literaturi (Toledo, 2007), postoje jednaine za procjenjivanje potrebnih svojstava sa zadovoljavajuom tanou za potrebe projektovanja i inenjerske analize termikih procesa u prehrambenoj industriji.

4.5. Temperaturni profil u ravnom zidu vrlo velike povrine

Posmatrajmo prenos toplote kroz zid debljine 2L i vrlo velike povrine (pa se prenos toplote moe aproksimirati jednodimenzionim), koji je na poetku imao temperaturu Tp, i od jednog momenta (t = 0 ) je, sa obje strane, izloen uticaju okoline, temperature T0 (Sl. 4.5). Neka je koeficijent prelaza toplote sa zida na okolni fluid jednak . Na Sl.4.5 su skicirani temperaturni profili u zidu u momentima: t = ,0 0 < t < i t = . Uoljiva je njihova simetrinost, to navodi na ideju da se posmatra samo desna polovina zida, tj. da se poetak ose x postavi u centralnu ravan zida. Na osnovu iskustva, steenog kroz prethodne primjere, nije teko formulisati matematiki model (diferencijalnu jednainu i granine uslove), koji opisuje temperaturno polje T (x,t) zida:

Prevoenje matematikog modela u bezdimenzioni oblik

Prije no to se pristupa rjeavanju matematikog modela, korisno je da se on prevede u bezdimenzioni oblik, smjenom promjenljivih. Uveemo bezdimenzionu temperaturu, i bezdimenzionu prostornu koordinatu, z kao:

Da bi uveli smjenu promjenljivih u jednainu (4.21), potrebno je izvod originalne zavisno promjenljive, T po vremenu, izraziti preko izvoda nove zavisno promjenljive , po vremenu. Takoe, treba drugi izvod 2 2 T x izraziti preko izvoda 2 2 z . To nije teko izvesti, primenjujui pravilo diferenciranja sloene funkcije - podsjetimo se, da ako je y funkcija promjenljive u, a u funkcija od x, slijedi da je y (sloena) funkcija od x:

formalno posmatrajui v , gdje je v bilo koja promjenljiva, kao njen prirataj i imajui u vidu da je kolinik prirataja dve promjenljive jednak izvodu prve po drugoj. Tako se prirataj jedne od dve promjenljive dobija kao proizvod izvoda po drugoj promjenljivoj i prirataja te, druge promjenljive. Tako, ako u izvodu T t brojilac T posmatramo kao prirataj temperature, on je prema (4.23a) jednak (Tp T0 ) (jer je dT d = Tp T0 ), i smjenom u T t dobijamo:

Da bi smo nali 2 2 T x , moramo prvo da naemo prvi izvod, T x . Njega lako dobijamo tako to prirataj T zamjenjujemo sa (Tp T0 ) , a prirataj x sa Lz (prema 4.23b). Dakle,

Da bi smo nali drugi izvod po x, primjeniemo pravilo diferenciranja sloene funkcije:

Preostalo je da uvedemo izraze (4.24a) i (4.24c) u diferencijalnu jednainu i u granine uslove. Tako dif. jednaina dobija oblik:

Oigledno je da nismo jednainu preveli u bezdimenzionu i za to je neophodno izviti smjenu i druge nezavisno promjenljive vremena t, nekom bezdimenzionom promjenljivom - bezdimenzionim vremenom. Smjena koja pojednostavljuje jednainu (4.25) je :

U literaturi se bezdimenziona grupa (4.26) zove Furijeov broj (Fourier) i moe se interpretirati kao odnos brzine provoenja toplote (fluksa provoenja) i brzine akumulacije toplote u zidu. Zaista,

Dobijanje viedimenzionih temperaturnih profila iz jednodimenzionih

U prethodnim izlaganjima smo objasnili kako se izraunavaju jednodimenzioni nestacionarni temperaturni profili, T (x,t) , koji su rezultat nestacionarnog prenosa toplote bez generisanja, u koordinatnom pravcu x, kroz: zid (sloj) velike povrine polubeskonaan medijum dugi cilindar sferu i ilustrovali praktinu primjenu u nekim problemima zagrijavanja i hlaenja u prehrambenoj tehnologiji. U praksi se suoavamo sa problemom definisanja dvo- i tro- dimenzionih temperaturnih profila, naprimjer u: kratkom cilindru, T (x,r,t) tijelu oblika kvadra, T (x, y,z,t) U teoriji je izveden princip superpozicije jednodimenzionih profila, prema kome se viedimenzioni profil, u odsustvu generisanja toplote, dobija kao proizvod rjeenja jednodimenzionih problema prenosa toplote ( tj. jednodimenzionih temperaturnih profila) za tijela ijim presjekom se dobija posmatrano tijelo, a koja su izloena dejstvu iste okoline, temperature T0 . Treba naglasiti da se opisani princip primjenjuje na profile u bezdimenzionom obliku, koje smo oznaavali slovom . Posmatrajmo na primjer kratki cilindar visine H i poluprenika R , temperature Tp , koji se u momentu t = 0 izloi dejstvu okoline, temperature T0 . Kao rezultat dejstva okoline, temperatura u cilindru e se mjenjati i u aksijalnom (x) i u radijalnom (r) pravcu , dakle uspostavlja se dvodimenziono temperaturno polje T (x,r,t) . Posmatrani cilindar se dobija kao presjek ravnog sloja vrlo velike povrine, debljine H i dugog cilindra, poluprenika R (vidi Sl.4.8) , pa u skladu sa opisanim principom superpozicije, vai:

gdje je u sluaju > 2.0 , funkcija ( , ) sloj x t definisana jednainom (4.29), pri emu je L = H 2 , a funkcija ) ( , cil r t jednainom (4.39).Kao drugi primjer uzmimo vrlo dug tap 82 pravougaonog presjeka, dimenzija a b . On se dobija u presjeku dva ravna sloja, jednog debljine a i drugog debljine b (Sl. 4.9), pa njegov temperaturni profil, T (x, y,t) dobijamo kao