Pracovní listyhomel.vsb.cz/~lit40/ZM/ZMA_pracovni_listy.pdf · R2 ⇒6 +3>13. Základy matematiky ... VUT Brno, web Matematika online ... který svírá polohový vektor příslušný

VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY

Základy matematiky Pracovní listy

Martina Litschmannová

2015 / 2016

Základy matematiky

Martina Litschmannová 1

1. cvičení

1. Množiny

Definice 1.1

Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných

objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny.

Zápis 𝒂 ∈ 𝑨 znamená, že 𝑎 je prvkem množiny 𝐴.

Zápis 𝒂 ∉ 𝑨 znamená, že 𝑎 není prvkem množiny 𝐴.

Množiny zadáváme

výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina 𝐴 prvky 𝑎, 𝑏, 𝑐, píšeme 𝐴 =

{𝑎, 𝑏, 𝑐} ),

pomocí charakteristické vlastnosti – zápis 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑉(𝑥)} znamená, že množina B je

tvořena prvky z množiny 𝐸 a to pouze těmi, které mají vlastnost 𝑉(𝑥).

Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se ∅ nebo { }.

Definice 1.2

Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme 𝐴 = 𝐵, jestliže každý prvek

množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A.

a) Nechť 𝐴 = {2,4,5}, 𝐵 = {5,4,2}.

b) Nechť 𝐴 = {2,2}, 𝐵 = {2}.

Definice 1.3

Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme 𝐴 ⊂ 𝐵, jestliže

každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B.

Příklad 1.1

Rozhodněte, zda 𝐴 = 𝐵.

Příklad 1.2

Najděte všechny podmnožiny množiny 𝐴 = {1,2,3}.

1. cvičení - Množiny

2 Martina Litschmannová

Základní množinové operace

název operace označení

sjednocení 𝐴 ∪ 𝐵 průnik 𝐴 ∩ 𝐵

rozdíl 𝐴\𝐵 doplněk 𝐴′

𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴\𝐵 𝐴′

Početní pravidla pro operace s množinami

1. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 komutativní zákony

2. (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) asociativní zákon

3. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) asociativní zákon

4. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) distributivní zákon

5. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) distributivní zákon

6. (𝐴 ∩ 𝐵)´ = 𝐴´ ∪ 𝐵´, (𝐴 ∪ 𝐵)´ = 𝐴´ ∩ 𝐵´ de Morganovy zákony

7. (𝐴´)´ = 𝐴

8. 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵´

Příklad 1.3

Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech.

Příklad 1.4

Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,5}. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴 .

Z

A

B

Z

A

B

Z

A

B

Z

A

B

Základy matematiky


Číselné množiny

ℕ = {1; 2; 3; … } přirozená čísla

ℤ = {… ; −2; −1; 0 − 1; 2; … } celá čísla

ℚ = {𝑝

𝑞: 𝑝 ∈ ℤ; 𝑞 ∈ ℤ} racionální čísla

ℝ reálná čísla

ℝ\ℚ iracionální čísla

ℂ komplexní čísla

a) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) =

b) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) =

c) [[(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶] ∩ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶] =

Příklad 1.5

Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = ℕ. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴.

Příklad 1.6

Zjednodušte:

1. cvičení - Výroková logika


2. Výroková logika

Definice 1.4

Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé.

Mějme výrok 𝐴. Je-li 𝐴 pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost 𝑝(𝐴) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme

𝑝(𝐴) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty.

Definice 1.5

Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci

výroku 𝐴 budeme značit ¬𝑨.

Definice 1.6

Obměna výroku 𝑨 je výrok, který říká totéž co výrok 𝐴, ale jinými slovy.

a) 𝑉: Hradcem Králové protéká řeka Labe.

b) 𝑉: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy?

c) 𝑉: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h.

d) 𝑉: 𝑥 < 5

e) 𝑉: 4 < 5

f) 𝑉: 4 + 5 = 10

Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek:

název spojky označení slovní vyjádření

konjunkce 𝐴 ∧ 𝐵 𝐴 a zároveň 𝐵

disjunkce 𝐴 ∨ 𝐵 𝐴 nebo 𝐵

implikace 𝐴 ⇒ 𝐵 jestliže 𝐴 pak 𝐵

ekvivalence 𝐴 ⇔ 𝐵 𝐴 právě tehdy, když 𝐵

Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky,

nazývá se výrok elementární.

Příklad 1.7

Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní

hodnotu a výrok negujte.

Základy matematiky


Definice 1.7

Mějme výroky 𝐴, 𝐵. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních

hodnot vypsáním všech existujících kombinací.

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑨 ∧ 𝑩) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇔ 𝑩) 1 1

1 0

0 1

0 0

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(¬(¬𝑨)) 𝒑(¬(𝑨 ∧ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩)

1 1

1 0

0 1

0 0

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∨ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇒ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩)

1 1

1 0

0 1

0 0

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇔ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∧ (¬𝑨 ∨ ¬𝑩))

1 1

1 0

0 1

0 0

Příklad 1.8

Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace.

1. ¬(¬𝐴) = 𝐴

2. ¬(𝐴 ∧ 𝐵) = ¬𝐴 ∨ ¬𝐵

3. ¬(𝐴 ∨ 𝐵) = ¬𝐴 ∧ ¬𝐵

4. ¬(𝐴 ⇒ 𝐵) = 𝐴 ∧ ¬𝐵

5. ¬(𝐴 ⇔ 𝐵) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (¬𝐴 ∨ ¬𝐵)

1. cvičení - Výroková logika


𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑪) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∨ 𝑪) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ∧ (𝑩 ⇒ 𝑪)) 𝒑((𝑩 ⇒ 𝑨) ∨ (𝑨 ∧ 𝑩))

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Definice 1.8

Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za

proměnné.

Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující

podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor.

V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory:

obecný kvantifikátor, který se označuje ∀ a čte se „pro každé,

existenční kvantifikátor, který se označuje ∃ a čte se „existuje alespoň jeden“,

kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje ∃! A čte se „existuje právě jeden“.

Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak.

Například: ¬(∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑉(𝑥)) = ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: ¬𝑉(𝑥).

𝑽 𝒑(𝑽) ¬𝑽 ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥2 ≥ 0

∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦

∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦

∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥3 ≥ 0

∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ⇒ 𝑥3 ≥ 𝑦3

Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní

hodnoty 1 se nazývá tautologie.

Příklad 1.9

Doplňte tabulku pravdivostních hodnot.

Příklad 1.10

Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace.

Základy matematiky


a) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ (¬𝐵 ⇒ ¬𝐴) (vztah pro nepřímý důkaz)

b) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ ¬(𝐴 ∧ ¬𝐵) (vztah pro důkaz sporem)

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(¬𝑩 ⇒ ¬𝑨) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∧ ¬𝑩))

1 1

1 0

0 1

0 0

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ (¬𝑩 ⇒ ¬𝑨)) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ ¬(𝑨 ∧ ¬𝑩))

1 1

1 0

0 1

0 0

3. O logické výstavbě matematiky

Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2].

Jak budovat vědeckou teorii?

1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují

tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je

možné říci.

2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět

předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz.

3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového

pojmu.

Matematické důkazy

Věty mají tvar implikace (𝛼 ⇒ 𝛽) nebo ekvivalence (𝛼 ⇔ 𝛽). Protože však lze každou ekvivalenci

převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace.

Mějme větu 𝛼 ⇒ 𝛽, pak 𝛼 jsou předpoklady věty a 𝛽 jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu

vyjádříme některým z následujících způsobů:

Nechť platí 𝛼. Potom platí 𝛽.

Jestliže platí 𝛼, potom platí 𝛽.

Když platí 𝛼, pak platí 𝛽.

Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných

pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a

důkaz matematickou indukcí.

Příklad 1.11

Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii:

1. cvičení - O logické výstavbě matematiky


Princip matematických důkazů:

Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů 𝛼 a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací,

tj.

𝛼 ⇒ 𝛾1 ⇒ 𝛾2 … ⇒ 𝛾𝑛 ⇒ β.

Nepřímý důkaz využívá vztahu

(𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ (¬𝛽 ⇒ ¬𝛼).

(viz příklad 1.11)

Vyjdeme z ¬𝛽 a přímým důkazem dokážeme ¬𝛼.

¬𝛽 ⇒ 𝛿1 ⇒ 𝛿2 … ⇒ 𝛿𝑛 ⇒ ¬𝛼.

Důkaz sporem využívá vztahu

(𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ ¬(𝛼 ∧ ¬𝛽).

(viz příklad 1.11)

Chceme ukázat, že není pravda, že platí 𝛼 a zároveň neplatí 𝛽. Předpokládáme tedy současnou

platnost 𝛼 a ¬𝛽 a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli 𝛾 ukážeme,

že současně platí 𝛾 a ¬𝛾.

Důkaz matematickou indukcí je popsán např. v [2], v oddílu 2.7.

Přímý důkaz

Nepřímý důkaz – chceme dokázat, že ……………………………………………………………………………………………

Důkaz sporem – chceme dokázat, že ……………………………………………………………………………………………

Příklad 1.12

Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 2 ⇒ 6𝑛 + 3 > 13.

Základy matematiky


Doporučená on-line dostupná literatura:

[1] Moravec Luboš – Výuka logiky (diplomová práce – webová aplikace pro výuku matematické logiky na střední škole)

[2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.2 Výroky a operace s výroky, kap. 2.7 Matematická indukce, kap.2.9 O log. výstavbě matematiky)

[3] VUT Brno, web Matematika online - Matematika I, Základy logiky a teorie množin (studijní text, neřešené příklady, řešené příklady)

[4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz - Matematická logika a teorie množin, Matematické věty a jejich důkazy

[5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě – Výroková logika, Výroky (příklady), Množiny, operace s množinami

[6] Šarmanová Petra, web Základy matematiky - Výroky, kvantifikátory (příklady k procvičení)

http://astra.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/moravecdp/

http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdf

http://mathonline.fme.vutbr.cz/default.aspx

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/default.aspx

http://mathonline.fme.vutbr.cz/Zakladni-pojmy-teorie-mnozin-a-matematicke-logiky/sc-15-sr-1-a-31/default.aspx

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/matematicka-logika-a-teorie-mnozin.htm

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/matematicka-logika-a-teorie-mnozin.htm

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/matematicke-vety-a-jejich-dukazy.htm




http://www.matweb.cz/vyroky

http://www.matweb.cz/vyroky-priklady

http://www.matweb.cz/mnoziny




http://homel.vsb.cz/~s1a64/zaklady_mat/zm_procvic01.pdf

2. cvičení - Komplexní čísla – základní poznatky


2. cvičení

1. Komplexní čísla – základní poznatky

Definice 2.1

Komplexním číslem 𝑧 nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel 𝑥 a 𝑦 píšeme 𝑧 = [𝑥; 𝑦]. Číslu 𝑥

říkáme reálná část komplexního čísla 𝑧, číslu 𝑦 imaginární část komplexního čísla 𝑧.

Geometrické znázornění komplexních čísel

Komplexní čísla znázorňujeme jako body Gaussovy roviny. Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] je v ní

znázorněno bodem 𝑍 o souřadnicích [𝑥; 𝑦].

Každému komplexnímu číslu 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze přiřadit polohový vektor, jehož počáteční bod je

počátek soustavy souřadnic a koncový bod je bod o souřadnicích [𝑥; 𝑦]. Geometrické znázornění

komplexních čísel pomocí polohových vektorů je výhodné při znázorňování operací s komplexními

čísly.

Klasifikace komplexních čísel

Nechť je 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ. Pak používáme následující označení.

𝑧 = [𝑥; 0] = 𝑥 reálné číslo

𝑧 = [0; 1] = 𝑖 imaginární jednotka

𝑧 = [𝑥; 𝑦], 𝑦 ≠ 0 imaginární číslo (ℂ\ℝ)

𝑧 = [0; 𝑦] = 𝑦[0; 1] = 𝑖𝑦 ryze imaginární číslo

(leží na „imaginární“ ose)

−𝑧 = [−𝑥; −𝑦] číslo opačné k 𝑧

𝑧̅ = [𝑥; −𝑦] číslo komplexně sdružené k 𝑧

|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 absolutní hodnota (modul) čísla 𝑧

Základy matematiky


Rovnost komplexních čísel a početní operace s komplexními čísly

Nechť 𝑧1 = [𝑥1; 𝑦1], 𝑧2 = [𝑥2; 𝑦2], 𝛼 ∈ ℝ.

Rovnost: 𝑧1 = 𝑧2 ⇔ (𝑥1 = 𝑥2 ) ∧ (𝑦1 = 𝑦2 )

Součet: 𝑧1 + 𝑧2 = [𝑥1 + 𝑥2; 𝑦1 + 𝑦2]

Součin komplexního a reálného čísla: 𝛼𝑧1 = [𝛼𝑥1; 𝛼𝑦1]

Součin: 𝑧1𝑧2 = [𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2; 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1]

Poznámka: Rozdíl a podíl komplexních čísel není nutno definovat.

𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + (−1)𝑧2

𝑧1

𝑧2 =

𝑧1

𝑧2 ∙

𝑧2̅̅ ̅

𝑧2 ̅̅ ̅̅=

𝑧1𝑧2̅̅ ̅

|𝑧2 |2 =

1

|𝑧2 |2 ∙ 𝑧1𝑧2̅ (uvědomte si, že

1

|𝑧2 |2 je reálné číslo)

Mocniny imaginární jednotky

𝑖1 = 𝑖

𝑖2 = −1

𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −𝑖

𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = 1

⋮

𝑖73 = 𝑖72+1 = 𝑖4∙18+1 = 𝑖4∙18 ∙ 𝑖1 = (𝑖4∙)18 ∙ 𝑖1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖

2. Algebraický tvar komplexních čísel

Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 .

𝑧 = [𝑥; 𝑦] = [𝑥; 0] + [0; 𝑦] = 𝑥[1; 0] + 𝑦[0; 1] = 𝑥 ∙ 1 + 𝑦 ∙ 𝑖 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Operace s čísly v algebraickém tvaru

Nechť 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1, 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, 𝛼 ∈ ℝ. Pak:

Součet: 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)

Součin reálného čísla a komplexního čísla: 𝛼𝑧1 = 𝛼𝑥1 + 𝑖𝛼𝑦1

Příklad 2.1

Dokažte, že 𝑖2 = −1.

2. cvičení - Algebraický tvar komplexních čísel


Součin:

𝑧1𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1𝑥2 + 𝑖𝑥1𝑦2 + 𝑖𝑥2𝑦1 + 𝑖2𝑦1𝑦2 = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)

Podíl: 𝑧1

𝑧2 =

𝑥1+𝑖𝑦1

𝑥2+𝑖𝑦2=

𝑥1+𝑖𝑦1

𝑥2+𝑖𝑦2∙

𝑥2−𝑖𝑦2

𝑥2−𝑖𝑦2=

(𝑥1+𝑖𝑦1)(𝑥2−𝑖𝑦2)

𝑥22+𝑦2

2 =1

𝑥22+𝑦2

2 ∙ (𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)

Poznámka: Pro určení n-té mocniny a n-té odmocniny používáme goniometrický tvar komplexního čísla.

a) 𝑧1 + 𝑧2 =

b) 𝑧1 − 2𝑧2 =

c) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =

d) 𝑧1

𝑧2 =

Příklad 2.2

Nechť 𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = −2 − 𝑖. Určete:

Příklad 2. 3

Zjednodušte: 𝑧 =(5+2𝑖)2

𝑖−1∙ 𝑖3 +

6𝑖7+6𝑖6−𝑖

𝑖5+1.

Základy matematiky


3. Goniometrický tvar komplexních čísel

Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ), kde |𝑧| je velikost

čísla 𝑧 a 𝜑 je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥.

sin 𝜑 =𝑦

|𝑧|⇒ 𝑦 = |𝑧| ∙ sin 𝜑

cos 𝜑 =𝑥

|𝑧|⇒ 𝑥 = |𝑧| ∙ cos 𝜑

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = |𝑧| ∙ cos 𝜑 + 𝑖 ∙ |𝑧| ∙ sin 𝜑 = = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )

Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly

Převod čísel z goniometrického do algebraického tvaru (a naopak)

a) 3 (cos𝜋

3+ 𝑖 ∙ sin

𝜋

3) =

b) 0,727(cos 0,534 + 𝑖 ∙ sin 0,534) =

Příklad 2.5

Převeďte do goniometrického tvaru čísla:

a) 1 =

Příklad 2.4

Převeďte do algebraického tvaru čísla:

2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel


b) 1 + 𝑖 =

c) 1 − 𝑖 =

d) −1,20 − 0,65𝑖 =

Operace s čísly v goniometrickém tvaru

Nechť 𝑧1 = |𝑧1| ∙ (cos 𝜑1 + 𝑖 ∙ sin 𝜑1 ), 𝑧2 = |𝑧2| ∙ (cos 𝜑2 + 𝑖 ∙ sin 𝜑2 ), 𝑛 ∈ ℕ

Součin: 𝑧1𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜑1 + 𝜑2) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 + 𝜑2) )

Podíl: 𝑧1

𝑧2 =

|𝑧1|

|𝑧2|(cos(𝜑1 − 𝜑2) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 − 𝜑2) )

Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla.

Mocnina

Moivreova věta

Pro každé 𝑛 ∈ ℕa všechna 𝜑𝜖ℝ platí:

(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ))𝑛

= |𝑧|𝑛(cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).

Základy matematiky


Odmocnina

Věta (důkaz lze najít v literatuře)

Je-li 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ) nenulové komplexní číslo a 𝑛 ∈ ℕ, pak existuje právě 𝑛 komplexních

čísel, která jsou n-tou odmocninou ze 𝑧, tj. takových čísel 𝑧𝑖, že 𝑧𝑘𝑛 = 𝑧. Jsou to čísla

𝑧𝑘 = √|𝑧|𝑛

∙ [𝑐𝑜𝑠 (𝜑+2𝑘𝜋

𝑛) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (

𝜑+2𝑘𝜋

𝑛)], kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.

(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ))𝑛

= |𝑧|𝑛(cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).

Všimněte si:

𝑧𝑘 = √|𝑧|𝑛

∙ [𝑐𝑜𝑠 (𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (

𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛)] = √|𝑧|

𝑛∙ [𝑐𝑜𝑠 (

𝜑

𝑛+

2𝑘𝜋

𝑛) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (

𝜑

𝑛+

2𝑘𝜋

𝑛)]

Vidíme, že všechny n-té odmocniny ze 𝑧 mají stejnou absolutní hodnotu √|𝑧|𝑛

a jejich argumenty se liší

o násobek 2𝜋

𝑛. To znamená, že:

je-li 𝑛 ≥ 3, pak obrazy 𝑧𝑘 jsou vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem

v počátku a poloměrem √|𝑧|𝑛

,

je-li 𝑛 = 2, pak 𝑧𝑘 (𝑧0 a 𝑧1) jsou čísla komplexně sdružená.

a) (1 + 𝑖)53 =

b) √1 + 𝑖3

=

Příklad 2.6

Určete:

2. cvičení - Eulerův tvar komplexního čísla


Příklad 2.7

a) 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 1; √𝑥3

=?

b) 𝑥 ∈ ℂ: 𝑥 = 1; √𝑥3

=?

4. Eulerův tvar komplexního čísla

Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ 𝑒𝑖𝜑, kde |𝑧| je velikost čísla 𝑧 a 𝜑 je

úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥.

Pro převod čísel z goniometrického tvaru do Eulerova tvaru se používá tzv. Eulerův vzorec.

Eulerův vzorec (důkaz lze najít v literatuře)

𝑒𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑

Operace s čísly v Eulerově tvaru

Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla.

Nechť 𝑧1 = |𝑧| ∙ 𝑒𝑖𝜑, 𝑧1 = |𝑧1| ∙ 𝑒𝑖𝜑1, 𝑧2 = |𝑧2| ∙ 𝑒𝑖𝜑2, 𝑛 ∈ ℕ

Součin: 𝑧1𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|𝑒𝑖(𝜑1+𝜑2)

Podíl: 𝑧1

𝑧2 =

|𝑧1|

|𝑧2|𝑒𝑖(𝜑1−𝜑2)

Mocnina: 𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛𝑒𝑖(𝑛𝜑)

Odmocnina: √𝑧𝑛

= 𝑧𝑘 = √|𝑧|𝑛

∙ 𝑒𝑖(

𝜑+2𝑘𝜋

𝑛), kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.

Základy matematiky


a) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =

b) 𝑧1

𝑧2=

c) 𝑧120 =

d) √𝑧13 =


[1] Šilarová, L.: Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu

(diplomová práce – vedoucí: RNDr. Jarmila Robová, CSc., MFF UK)

[2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra -Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.3 Reálná

čísla, kap. 2.4 rozšířená množina reálných čísel)

[3] web priklady.eu – Komplexní čísla (řešené příklady)

Příklad 2.8

Nechť 𝑧1 = 3𝑒0,32𝑖, 𝑧2 = 2𝑒0,20𝑖. Určete:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/silarova/


http://www.priklady.eu/sk/Index.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Mnozina-komplexnych-cisel-C-.alej

3. cvičení - Algebraické výrazy


3. cvičení

1. Algebraické výrazy

Definice 3.1

Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor

proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za

obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených

operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.)

Definice 3.2

Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou

vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a

odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými.

Definice 3.3

Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme

všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo – hodnotu výrazu.

Vlastnosti mocnin

Nechť 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ ℕ, pak

𝑎0 = 1, pokud 𝑎 ≠ 0,

𝑎1 = 𝑎,

0𝑛 = 0, (uvědomte si, že tato rovnost platí pouze proto, že 𝑛 > 0),

00 je nedefinovaný výraz,

𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛,

𝑎𝑚: 𝑎𝑛 =𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 pokud 𝑎 ≠ 0,

𝑎−𝑛 =𝑎0

𝑎𝑛 =1

𝑎𝑛,

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛,

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛,

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛 .

Příklad 3.1

Zjednodušte algebraický výraz 𝑎7𝑏3𝑐

12

𝑎2𝑏5𝑐2 ∶ √𝑎7𝑏33

3.

Základy matematiky


2. Mnohočleny

Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0,

kde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu a x je proměnná. Mnohočlen 1.

stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3.

stupně pak kubický.

Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin nx jedné proměnné

vystupují součiny mocnin několika proměnných. Např.: 3𝑥𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑥.

Základní operace s mnohočleny

Příklad 3.2

Upravte:

a) (𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3) − (𝑥 − 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 1) =

b) (−2𝑟𝑠2𝑡3) ∙ (2𝑠4𝑡2) =

c) (3𝑥 + 5)(2𝑥2 + 𝑥 − 1) =

d) (−2𝑟𝑠2𝑡3): (2𝑠4𝑡2) =

e) (15𝑟4𝑠5 − 10𝑟3𝑠2 + 5𝑟2𝑠5): (5𝑟2𝑠2) =

f) (20𝑥4 − 4𝑥3 + 10𝑥2 − 7𝑥 + 1): (5𝑥 − 1) =

g) (15𝑥4 − 10𝑥3 + 5𝑥 − 2): (5𝑥 − 1) =

3. cvičení - Mnohočleny


Umocňování mnohočlenů

Nechť 𝐴, 𝐵, 𝐶 jsou mnohočleny, pak:

(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2,

(𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2,

(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 + 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶 + 2𝐵𝐶,

(𝐴 + 𝐵)3 = 𝐴3 + 3𝐴2𝐵 + 3𝐴𝐵2 + 𝐵3,

(𝐴 − 𝐵)3 = 𝐴3 − 3𝐴2𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3,

h) (10𝑎4 − 3𝑎2 + 2): (2𝑎 − 1) =

i) 𝑥+1

𝑥=

j) 𝑥

𝑥+1=

Příklad 3.3

Upravte výraz (3𝑎2𝑏3 − 2𝑎3𝑏2)2:

a) roznásobením:

b) úpravou podle vzorce:

Základy matematiky


Příklad 3.5

Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤)2.

Rozklad mnohočlenů na součin

vytýkáním

použitím vzorců

𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵)

𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2)

𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2)

𝐴2 + 𝐵2 …. nelze v reálném oboru rozložit!!!

rozkladem kvadratického trojčlenu (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec)

Příklad 3.4

Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)2.

Příklad 3.6

Rozložte na součin:

a) 6𝑥2𝑡3 + 24𝑥4𝑡5 =

b) 𝑥2𝑡4 − 16𝑎4𝑏6 =

c) 𝑡3 − 7𝑡2 − 𝑡𝑎2 + 7𝑎2 =

3. cvičení - Mnohočleny


Rozklad kvadratického trojčlenu

Mějme kvadratický trojčlen 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Je-li 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, pak

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), kde 𝑥1,2 =−𝑏±√𝐷

2𝑎.

Vietovy vzorce

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥2𝑥2 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞, kde

𝑝 = −(𝑥1 + 𝑥2), 𝑞 = 𝑥2𝑥2

Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec – „přinutíme fungovat“ druhou mocninu

trojčlenu a následně rozdíl čtverců.

Například:

𝑥2 + 8𝑥 + 7 = 𝑥2 + 8𝑥+ ? ? − ? ? +7 = 𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 16 + 7 = (𝑥 + 4)2 − 9 =

= [(𝑥 + 4) − 3][(𝑥 + 4) + 3] = (𝑥 + 1)(𝑥 + 7)

Příklad 3.7

Rozložte na součin:

a) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 =

b) 𝑥2 − 6𝑥 + 5 =

c) 2𝑥2 − 6𝑥 +5

2=

𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2

𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2

(𝑥 + 𝐵)2

Základy matematiky



[1] web Matematika s radostí – Základní poznatky

[2] web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady)

[3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy

[4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz – Algebraické výrazy a jejich úpravy

[5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě - Zlomky

Příklad 3.8

Doplňte na čtverec a následně, pokud to lze, rozložte na součin.

a) 𝑥2 + 4𝑥 − 3 =

b) 𝑥2 − 6𝑥 − 7 =

c) 2𝑥2 − 8𝑥 + 10 =

d) −3𝑥2 − 2𝑥 + 1 =

http://msr.vsb.cz/


http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Algebraicke-vyrazy.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Odmocniny.alej

http://www.zam.fme.vutbr.cz/~martisek/Vyuka%5CPrij%5Cskripta3.pdf

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/algebraicke-vyrazy-a-jejich-upravy-925.htm

http://www.matweb.cz/

http://www.matweb.cz/zlomky

4. cvičení - Racionální lomené výrazy


4. cvičení

1. Racionální lomené výrazy

Definice 4.1

Racionálním lomeným výrazem rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnohočlenů.

Vždy bychom měli uvádět, kdy mají dané výrazy smysl.

Příklad 4.1

Zjednodušte:

a) 3𝑥2+12𝑥+12

6𝑥2−24=

b) 𝑎+1

𝑎−1+

𝑎−1

𝑎+1=

c) (1 −𝑥2

𝑦2) (𝑥2

𝑦2−𝑥2 + 1) =

d)

𝑎𝑚2−𝑎𝑛2

𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2

𝑎𝑚2−2𝑎𝑚𝑛+𝑎𝑛2

3𝑚+3𝑛

=

e) 1−

𝑥

𝑦

𝑥−𝑦2

𝑥

=

Základy matematiky


2. Iracionální výrazy

Příklad 4.2

Usměrněte výrazy:

a) 1

√𝑥+√𝑦=

b) √

1+𝑎

1−𝑎+√

1−𝑎

1+𝑎

√1+𝑎

1−𝑎−√

1−𝑎

1+𝑎

=

c) √𝑎 √𝑏

3

√𝑎√𝑏3 =

d) √3−√2

√3+√2+

√3+√2

√3−√2=

4. cvičení - Iracionální výrazy



[1] web Matematika s radostí – Základní poznatky

[2] web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady)

[3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy

e) 1 +1+√3

2+√3=

f) 1+√𝑥

1−√𝑥−

3√𝑥

1+√𝑥+

3+√𝑥

1−𝑥=

http://msr.vsb.cz/


http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Algebraicke-vyrazy.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Odmocniny.alej

http://www.zam.fme.vutbr.cz/~martisek/Vyuka%5CPrij%5Cskripta3.pdf

Základy matematiky


5. cvičení

1. Reálné funkce jedné reálné proměnné

Definice 5.1

Nechť 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅. Zobrazení 𝑓 množiny 𝐴 do množiny ℝ (𝑓: 𝐴 → ℝ) nazýváme reálnou funkcí jedné

reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina 𝐴 se nazývá definiční obor funkce 𝑓 a značí se 𝐷(𝑓)

Ke každému prvku 𝑥 ∈ 𝐴 existuje právě jeden prvek 𝑦 ∈ ℝ takový, že 𝑦 = 𝑓(𝑥). Množinu všech

takových 𝑦 ∈ ℝ, k nimž existuje 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak nazýváme obor hodnot funkce 𝑓 a označujeme 𝐻(𝑓).

Zadání funkce

K zadání funkce 𝑓 je nutné uvést jednak definiční obor 𝐷(𝑓) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož

je každému 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) přiřazen právě jeden prvek 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓). Je-li funkce zadána pouze předpisem a

definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových 𝑥 ∈ ℝ, pro

která má daný předpis „smysl“.

Příklad 5.1

Určete definiční obory následujících funkcí.

a) 𝑓: 𝑦 =13

𝑥2−3𝑥+2

b) 𝑓: 𝑦 = √1 − 𝑥 ∙ √1 + 𝑥

c) 𝑓: 𝑦 = √𝑥2 − 5𝑥 + 6

d) 𝑓: 𝑦 =√3𝑥−1

√𝑥+16

−2

5. cvičení - Reálné funkce jedné reálné proměnné


Rovnost funkcí

Definice 5.2

Funkce 𝒇 a 𝒈 jsou si rovny, právě když mají stejný definiční obor a v každém bodě tohoto definičního

oboru platí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Graf funkce

Definice 5.3

Grafem funkce 𝑓: 𝐷(𝑓) → ℝ rozumíme množinu bodů

{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)},

kde (𝑥, 𝑦) značí bod roviny o souřadnicích 𝑥a 𝑦.

POZOR! Ne každá množina uspořádaných dvojic je funkcí (např. kružnice, elipsa, hyperbola, …)

e) 𝑓: 𝑦 =√𝑥+5

𝑙𝑛(9−𝑥)

Příklad 5.2

Rozhodněte, zda se následující funkce rovnají.

a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ (−∞; −1), 𝑔: 𝑦 =𝑥2−1

𝑥−1, 𝑥 ∈ (−∞; −1)

b) 𝑓: 𝑦 = 2 𝑙𝑛 𝑥 , 𝑔. 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥2

Základy matematiky


Příklad 5.3

Nakreslete graf funkce.

a) 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥) = {−1, 𝑥 < 00, 𝑥 = 01, 𝑥 > 0

(signum)

b) 𝑓: 𝑦 = |𝑥| = {𝑥, 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑥 < 0

(absolutní hodnota)

c) 𝐻: 𝑦 = {0, 𝑥 < 01, 𝑥 ≥ 0

(Heavisideova funkce, také jednotkový skok)

5. cvičení - Některé vlastností funkcí


2. Některé vlastností funkcí

Ohraničená funkce

Definice 5.4

Funkce 𝑓 je shora ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐿 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿 pro

každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je shora ohraničená.

Ly

x

d) 𝛿: 𝑦 = {∞, 𝑥 = 00, 𝑥 ≠ 0

(Diracova 𝜹 funkce, také jednotkový impuls)

e) 𝑓: 𝑦 = {1, 𝑥 ∈ ℚ0, 𝑥 ∈ ℝ\ℚ

(Dirichletova funkce)

Základy matematiky


Definice 5.5

Funkce 𝑓 je zdola ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐾 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≥ 𝐾 pro

každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je zdola ohraničená.

Definice 5.6

Funkce 𝑓 je ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže je na množině 𝑀 ohraničená shora i zdola. Je-

li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je ohraničená.

Monotónní funkce

Definice 5.7

Řekneme, že funkce je

a) rostoucí (resp. klesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 < 𝑥2,

platí 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) (resp. 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)),

b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 <

𝑥2, platí 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2) (resp. 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)),

c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí,

neklesající) na celém svém definičním oboru.

K

y

x

Příklad 5.4

Určete, zda je funkce 𝑓: 𝑦 =𝑥2−1

𝑥2+1, 𝑥 ∈ ℝ ohraničená.

5. cvičení - Některé vlastností funkcí


a) b) c) d)

Prostá funkce

Definice 5.8

Řekneme, že funkce 𝒇 je prostá, právě když pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) takové, že 𝑥1 ≠ 𝑥2 platí, že

𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2).

funkce prostá

funkce, která není prostá

Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá.

Příklad 5.5

Vyšetřete monotónii následujících funkcí.

Příklad 5.6

Dokažte, že 𝑓: 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 7, 𝑥 ∈ ⟨1; ∞) je prostá.

Základy matematiky


Sudá a lichá funkce

Definice 5.9

Funkce 𝒇 se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí:

a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

b) 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (resp. 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

funkce lichá (graf souměrný podle počátku)

funkce sudá (graf souměrný podle osy y)

Periodická funkce

Definice 5.10

Řekneme, že funkce 𝑓 je periodická s periodou 𝑝, 𝑝 ∈ ℝ+, jestliže platí:

a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak 𝑥 + 𝑝 ∈ 𝐷(𝑓).

b) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑝) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Příklad 5.7

Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché.

a) 𝑓: 𝑦 =𝑥

𝑥2+1

b) 𝑔: 𝑦 =1−𝑥2

1+𝑥2

c) ℎ: 𝑦 =1+𝑥

1+𝑥2

5. cvičení - Operace s funkcemi


3. Operace s funkcemi

Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí

Definice 5.11

Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Součtem 𝒇 + 𝒈, rozdílem 𝒇 − 𝒈, součinem 𝒇 ∙ 𝒈 a podílem 𝒇/𝒈 funkcí 𝒇 a 𝒈

nazveme funkce, které jsou dány předpisem:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔),

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔),

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔),

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) = 0}.

Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem

|𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)| 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Skládání funkcí

Definice 5.12

Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Složenou funkcí 𝒇 ∘ 𝒈 nazveme funkci definovanou předpisem

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑔) ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝑓(𝑥).

Funkci 𝑓 nazýváme vnější složka a funkci 𝑔 nazýváme vnitřní složka složené funkce 𝑓 ∘ 𝑔.

Příklad 5.8

Nakreslete graf periodické funkce 𝑓, jejíž perioda 𝑝 = 2 a 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), jestliže víte, že

𝑓(𝑥) = {−1, 𝑥 ∈ (−1,0)0, 𝑥 = −1 𝑎 𝑥 = 0

1, 𝑥 ∈ (0,1) .

Základy matematiky


Inverzní funkce

Definice 5.13

Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓−1 se nazývá funkce inverzní k funkci 𝑓, jestliže platí:

a) 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓).

b) ∀𝑦 ∈ 𝐷(𝑓−1): 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Věta 5.1

Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓−1 existuje právě tehdy, když 𝑓 je funkce prostá.

(Důkaz lze najít například v [1].)

Grafy funkcí 𝑓 a 𝑓−1 jsou souměrné podle přímky 𝑝: 𝑦 = 𝑥.

Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci 𝒇?

1) Ověříme, že funkce 𝑓 je prostá.

2) Určíme definiční obor 𝐷(𝑓) a obor hodnot 𝐻(𝑓) funkce 𝑓.

3) Určíme 𝐷(𝑓−1) a určíme předpis 𝑓−1.

Příklad 5.9

Jsou dány funkce 𝑓: 𝑦 = 3 − 2𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥.

a) Určete složenou funkci 𝑓 ∘ 𝑔 a její definiční obor.

b) Určete složenou funkci 𝑔 ∘ 𝑓 a její definiční obor.

5. cvičení - Operace s funkcemi


Příklad 5.10

Ověřte, že k funkci 𝑓: 𝑦 =𝑥+2

𝑥−3 existuje funkce inverzní, a najděte ji.

Základy matematiky


4. Transformace grafu funkce

Nechť je dána funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit

grafy následujících funkcí:

a) 𝑓1: 𝑦 = −𝑓(𝑥), b) 𝑓2: 𝑦 = 𝑓(−𝑥), c) 𝑓3: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏, d) 𝑓4: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎), e) 𝑓5: 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), f) 𝑓6: 𝑦 = 𝑓(𝑚𝑥),

kde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}, 𝑘 ∈ ℝ+, 𝑚 ∈ ℝ+ jsou konstanty.

a) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓1 jsou

souměrné podle osy x

b) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓2 jsou

souměrné podle osy y

c) graf funkce 𝑓3 je

posunutím grafu funkce 𝑓 o |𝑏| ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí „nahoru“; (je-li b < 0, jde o posunutí „dolů“)

d) graf funkce 𝑓4 je posunutím grafu funkce 𝑓 o |𝑎| ve směru osy x (je-li a > 0, jde o posunutí „doprava“; je-li b < 0, jde o posunutí „doleva“)

e) graf funkce 𝑓5 je

deformací grafu funkce 𝑓 ve směru osy y (je-li 𝑘 >1, jde o 𝑘 násobné „zvětšení“ ve směru osy y; je-li 0 < 𝑘 < 1, jde o 𝑘 násobné „zmenšení“ ve směru osy y)

f) graf funkce 𝑓6 je deformací

grafu funkce 𝑓 ve směru osy x (je-li 𝑚 > 1, jde o 𝑚 násobné „zúžení“ ve směru osy y; je-li 0 < 𝑚 < 1, jde o 𝑚 násobné „rozšíření“ ve směru osy y)

5. cvičení - Transformace grafu funkce



[1] web Matematika s radostí – Funkce

[2] web priklady.eu – Funkce (řešené příklady)

[3] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra – Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 3 Reálné

funkce jedné reálné proměnné)

[4] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se

vyskytujících funkcí na jejich graf)

Příklad 5.11

Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥2 a 𝑔: 𝑦 =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 9.

http://msr.vsb.cz/


http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Funkcie.alej


http://funkce.argh.cz/default.aspx

Základy matematiky


6. cvičení

1. Grafy elementárních funkcí

Lineární funkce

𝑝: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ

a … směrnice přímky

(𝑎 > 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎, 𝑎 < 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎)

Příklad 6.1

Načrtněte grafy funkcí: 𝑝: 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑞: 𝑦 = −2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑟: 𝑦 = −2𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ.

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí


Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz

Základy matematiky


Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz



Příklad 6.2

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥2 a 𝑔: 𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 − 1 (využijte

doplnění na čtverec).

Příklad 6.3

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 2 − √1 − 𝑥.

Základy matematiky


Příklad 6.4

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥23 a 𝑔: 𝑦 = 1 + √(2 − 𝑥)23

.

Příklad 6.5

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 =1

𝑥 a 𝑔: 𝑦 =

𝑥+1

𝑥+2.



Příklad 6.7

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 0,3𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 ∙ 0,3𝑥−1.

Příklad 6.6

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑒𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑒4−2𝑥.

Základy matematiky


Příklad 6.9

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +𝜋

4).

Příklad 6.8

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑙𝑛(𝑥 + 3).



Příklad 6.10

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛 (𝜋

2− 2𝑥).

Příklad 6.11

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 2𝑥).

Základy matematiky


Příklad 6.12

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑡𝑔 (𝜋

2− 2𝑥).


[1] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se

vyskytujících funkcí na jejich graf)

[2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák - Herbář funkcí

http://funkce.argh.cz/default.aspx

http://mi21.vsb.cz/modul/herbar-funkci

7. cvičení - Rovnice a nerovnice - základní pojmy


7. cvičení

1. Rovnice a nerovnice - základní pojmy

Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů.

Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme

kořeny dané rovnice (nerovnice).

Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice.

Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i

pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané

rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic.

Ekvivalentní rovnice (nerovnice)

Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů.

Ekvivalentní úprava

Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou,

s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic.

Neekvivalentní (důsledková) úprava

Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici

jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice.

(Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.)

Ekvivalentní úpravy rovnic jsou:

přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém 𝑂, k oběma

stranám rovnice,

vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný

a nenulový v celém 𝑂,

umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné

(nebo naopak záporné) v celém 𝑂.

Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou:

přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém 𝑂, k oběma

stranám nerovnice,

vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a

kladný, pro všechny hodnoty neznámé z 𝑂,

vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je

záporný a definovaný v celém 𝑂, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený,

umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice

nezáporné v celém oboru řešení nerovnice 𝑂,

umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice

nekladné v celém 𝑂 a současným otočením znaménka nerovnosti.

Základy matematiky


2. Lineární rovnice a nerovnice

Příklad 7.2

Řešte v ℤ rovnici √3 − √3𝑥 = 3.

Příklad 7.3

Řešte v ℝ rovnici 1

𝑥−2−

1

𝑥−3=

3𝑥−10

(2−𝑥)(3−𝑥).

Příklad 7.4

Řešte v ℝ rovnici (𝑥 − 1)2 − (𝑥 + 1)2 = −4𝑥.

Příklad 7.1

Řešte v ℝ rovnici √3 − √3𝑥 = 3.

7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice


Příklad 7.6

Řešte v ℝ nerovnici −3𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3.

Příklad 7.7

Řešte v ℝ nerovnici −𝑥 − 5 ≤ −𝑥 − 3.

Příklad 7.8

Řešte v ℝ nerovnici 𝑥 + 5 ≤ 𝑥 + 3.

Soustava lineárních nerovnic

Postup:

1. Určíme 𝑂 a 𝐷 společné pro celou soustavu (pro všechny nerovnice),

2. určíme množiny kořenů 𝐾1, 𝐾2, … pro každou nerovnici zvlášť,

3. najdeme průnik všech množin 𝐾1, 𝐾2, …, které nám vyšly. Tím získáme 𝐾 celé soustavy, neboli

všechna 𝑥, která jsou řešením všech nerovnic současně.

Příklad 7.5

Řešte nerovnice v daném oboru řešení.

a) 𝑥 ≥ −7 v ℝ

b) √2 ≤ 𝑥 v ℝ

c) 𝑥 ≥ −7 v ℕ

d) √2 ≤ 𝑥 v ℤ

Základy matematiky


Lineární rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako součin libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů

a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v součinovém tvaru.

Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako podíl libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů v

čitateli i jmenovateli a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v podílovém tvaru.

Obdobně definujeme lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru.

Příklad 7.11

Řešte v ℝ nerovnici (3−𝑥)(2𝑥−4)

(5+𝑥)(𝑥−3)≤ 0.

Příklad 7.9

Řešte v ℝ soustavu nerovnic: −3 ≤ 𝑧 − 2 < 2𝑧 + 1 <1

2𝑧.

Příklad 7.10

Řešte v ℝ rovnici (3−𝑥)(2𝑥−4)

(5+𝑥)(𝑥−3)= 0.

7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice


Příklad 7.12

Řešte v ℝ nerovnici 𝑥+1

𝑥−2< 0.

Příklad 7.13

Řešte v ℝ nerovnici 𝑥+1

𝑥−2≤ 1.

POZOR!!! Při násobení a dělení výrazem s neznámou (musíme zjistit, zda je výraz kladný nebo záporný

a pokud může být obojí, musíme výpočet rozdělit).

Základy matematiky


3. Kvadratické rovnice a nerovnice

Příklad 7.15

Řešte v ℂ rovnici 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0.

Příklad 7.14

Řešte v ℝ rovnice:

a) 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

b) 2𝑥2 − 1 = 0

c) 2𝑥2 + 𝑥 = 0

d) 9𝑡2 + 12𝑡 + 4 = 0

e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0

7. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice


Příklad 7.17

Řešte v ℝ nerovnice:

a) 2𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0

b) 9𝑡2 + 12𝑡 + 4 ≤ 0

c) 9𝑡2 + 12𝑡 + 4 > 0

d) 9𝑡2 + 12𝑡 + 4 < 0

Příklad 7.16

Řešte v ℝ rovnici 5

𝑥−2−

7

𝑥−1=

3

3−𝑥.

Základy matematiky


e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 > 0


[1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + řešené

příklady použité v těchto pracovních listech)

[2] web priklady.eu – Lineární rovnice, Lineární nerovnice, Kvadratické rovnice, Kvadratické

nerovnice (řešené příklady)

http://www.rovnice.kosanet.cz/


http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Linearne-rovnice.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Linearne-nerovnice.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Kvadraticke-rovnice.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Kvadraticke-nerovnice.alej

http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Kvadraticke-nerovnice.alej

8. cvičení - Iracionální rovnice a nerovnice


8. cvičení

1. Iracionální rovnice a nerovnice

Iracionální rovnice se nazývají rovnice s neznámou pod odmocninou. Základní ekvivalentní úpravou,

kterou budeme v této kapitole používat je umocnění obou stran rovnice na druhou. Tato úprava je

ekvivalentní pouze, když obě strany rovnice mají stejné znaménko. Pokud ale toto nejsme u řešených

rovnic schopni zajistit a použijeme-li přesto tuto úpravu, je nezbytně nutné, abychom po jejich

vypočtení, provedli zkoušku, kterou si správnost vypočtených hodnot ověříme.

Příklad 8.2

Řešte v ℝ rovnici √2𝑥 + 5 = 8 − √𝑥 − 1.

Příklad 8.1

Řešte v ℝ rovnici √𝑥 − 3 = 2.

Základy matematiky


Iracionálními nerovnicemi se nazývají nerovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá pod odmocninou.

Při řešení iracionálních nerovnic je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úprav, které s nerovnicí

provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy

ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice.

Příklad 8.4

Řešte v ℝ nerovnici √2𝑥 − 6 ≥ −1.

Příklad 8.5

Řešte v ℝ nerovnici −√𝑥2 − 4 ≥ 𝑥 − 2.

Příklad 8.3

Řešte v ℝ nerovnici √𝑥 − 3 < −1.

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou


2. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Zápis |𝑎 − 𝑏| můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla 𝑎 od obrazu čísla 𝑏.

Příklad 8.6

Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice.

a) |𝑥| = 3

b) |𝑥| < 3

c) |𝑥 − 2| > 3

d) |𝑥 + 2| = 3

e) |2𝑥 + 2| = 4

f) |2 − 𝑥| ≥ 3

g) |2 − 3𝑥| ≥ 3

Základy matematiky


Příklad 8.7

Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice.

a) 2𝑥 + |𝑥| = 1 + |1 − 𝑥|

b) |𝑥2 − 2𝑥| < 𝑥

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry


3. Rovnice a nerovnice s parametry

V matematice slovo parametr nejčastěji znamená nějaké číslo, jehož konkrétní hodnotu v době řešení,

nebo zpracování úlohy ještě neznáme. Nicméně potřebujeme onu úlohu vyřešit i bez této znalosti,

abychom pak mohli pro konkrétní hodnoty parametrů jednoduše získat konkrétní řešení celé úlohy.

Řešit rovnici s neznámou x a s parametrem t

znamená řešit celý systém rovnic, tj. ke každé přípustné hodnotě parametru t určit obor pravdivosti K

rovnice, kterou získáme po dosazení této hodnoty za t.

Příklad 8.8

Řešte v ℝ rovnici s neznámou x a reálným parametrem t.

a) 𝑥 + 𝑡 = 1 − 𝑥

b) 𝑡(2 − 𝑡)𝑥 = 4𝑡

Základy matematiky


Příklad 8.9

Řešte v ℝ rovnici 2+𝑎𝑡

𝑎+𝑡= 2𝑎 s neznámou t a reálným parametrem a.

Příklad 8.10

Řešte v ℝ rovnici 𝑚

𝑥−

4

𝑚𝑥= 1 −

2

𝑚 s neznámou x a parametrem 𝑚 ∈ ℝ\{0}.

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry


Příklad 8.11

Řešte v ℝ rovnici 𝑎𝑧2+(𝑎−1)𝑧−1

𝑎−3= 0 s neznámou z a parametrem 𝑎 ∈ ℝ\{3}.

Základy matematiky


Řešení nerovnic s parametry není principiálně jiné než řešení rovnic s parametry. Často ale řešení bývá

rozvětveno do více částí, těžší na diskuzi řešení v závislosti na hodnotě parametrů a celkově náročnější

na pozornost.


[1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + příklady použité

v těchto pracovních listech)

[2] web priklady.eu

Příklad 8.12

Řešte v ℝ nerovnici 𝑎(𝑎 − 1)𝑥 < 2 s neznámou x a parametrem 𝑎 ∈ ℝ.

http://www.rovnice.kosanet.cz/


9. cvičení - Exponenciální funkce


9. cvičení

1. Exponenciální funkce

Exponenciální funkce: 𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑥, kde neznámá 𝑥 ∈ ℝ a 𝑎 ∈ ℝ+\{1}.

Příklad 9.1

Určete pravdivostní hodnotu daných výroků.

a) 𝑉1: 30,375 > 0

b) 𝑉2: 3−0,375 > 0

c) 𝑉3: 30,375 > 1

d) 𝑉4: 3−0,375 > 1

e) 𝑉5: (−3)0,375 > 0

f) 𝑉6: 30,375 > 0,30,375

g) 𝑉7: 3−0,375 > 0,3−0,375

Základy matematiky


2. Logaritmus, logaritmická funkce

Logaritmus čísla 𝑥 > 0 o základu 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 je takové číslo 𝑦, pro které platí 𝑎𝑦 = 𝑥, tj.

log𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎𝑦 = 𝑥

Věty o logaritmech

∀𝑎, 𝑧 ∈ ℝ+\{1}, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+, 𝑐, 𝑛 ∈ ℝ:

1. Vztah mocniny a logaritmu: 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 (např.: 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, 10log 𝑥 = 𝑥; 2log2 𝑥 = 𝑥)

2. Logaritmus součinu: log𝑎 𝑥 𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

3. Logaritmus podílu: log𝑎𝑥

𝑦= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

4. Logaritmus mocniny: log𝑎 𝑥𝑛 = 𝑛 log𝑎 𝑥

5. Podíl dvou logaritmů: log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑧= log𝑧 𝑥 (např.: log3 4 =

log 4

log 3=

ln 4

ln 3)

6. Převod reálného čísla na logaritmus: 𝑐 = log𝑎 𝑎𝑐 (např.: 3 = log2 23 = log 103 = ln 𝑒3)

Příklad 9.2

Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ:

a) 3𝑥 > 0

b) 0,3𝑥 > 0

c) 3𝑥 > 1

d) 0,3𝑥 > 1

Příklad 9.3

Určete:

a) 𝑙𝑜𝑔2 8 =

b) 𝑙𝑜𝑔10 100 = 𝑙𝑜𝑔 100 =

c) 𝑙𝑜𝑔51

25=

d) 𝑙𝑜𝑔2

7

7

2=

e) 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑒3 = 𝑙𝑛 𝑒3 =

9. cvičení - Logaritmus, logaritmická funkce


Logaritmická funkce: 𝑓: 𝑦 = log𝑎 𝑥, kde 𝑎 ∈ ℝ+\{1}, 𝑥 ∈ ℝ+

Příklad 9.4

Vypočtěte:

a) 𝑙𝑜𝑔3(81 ∙ 27) =

b) 𝑙𝑜𝑔6 9 + 𝑙𝑜𝑔6 4 =

c) 𝑙𝑜𝑔3 18 − 𝑙𝑜𝑔3 2 =

d) 𝑙𝑜𝑔3 94 =

e) 3 𝑙𝑜𝑔8 2 =

Příklad 9.5

Určete pravdivost daných výroků:

a) 𝑉1: 𝑙𝑜𝑔3 5 > 0

b) 𝑉2: 𝑙𝑜𝑔3 0,2 > 0

c) 𝑉3: 𝑙𝑜𝑔0,1 5 > 0

d) 𝑉4: 𝑙𝑜𝑔0,1 0,25 > 0

e) 𝑉5: 𝑙𝑜𝑔3(−5) > 0

f) 𝑉6: 𝑙𝑜𝑔3 1 > 0

Základy matematiky


3. Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v

exponentu nějaké mocniny.

Rovnice ve tvaru 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙), resp. rovnice, které lze převést na tento tvar

Rovnice 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+\{1} ekvivalentní s rovnicí

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme porovnání exponentů.

Příklad 9.6

Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ.

a) 3𝑥−1 = 32

b) 5𝑥 =1

25

c) 22𝑥+1 = 1

d) 5𝑥 ∙ 2𝑥 = 100𝑥−2

e) √4𝑥4∙ √2𝑥−33

= √166

9. cvičení - Exponenciální rovnice


Logaritmování

Rovnice 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+\{1}, 𝑏 ∈ ℝ+\{1} ekvivalentní s rovnicí

𝑓(𝑥) ∙ log𝑐 𝑎 = 𝑔(𝑥) ∙ log𝑐 𝑏 pro 𝑐 ∈ ℝ+\{1}.

Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování.

f) 27

8= (

2

3)

𝑥∙ (

9

4)

𝑥+1

g) 3𝑥 + 3𝑥+2 = 90

h) 2 ∙ 5𝑥+2 − 5𝑥+1 = 9

Základy matematiky


Příklad 9.7


a) 2𝑥 = 10

b) 3𝑥 = 13𝑥−1

c) 2𝑥 ∙ 3𝑥−1 = 4𝑥+1

d) 3 ∙ 7𝑥 − 7𝑥−1 = 60

9. cvičení - Exponenciální rovnice


Substituce

Úpravě rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ, kde všechny výskyty výrazu 𝑉(𝑥) nahradíme neznámou 𝑎 tak, že v

nové rovnici se nevyskytuje neznámá 𝑥, říkáme substituce výrazu 𝑽(𝒙) neznámou 𝒂.

Příklad 9.8


a) 4𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0

b) 5𝑥 + 2 =3

5𝑥

c) 3𝑥 + 31−𝑥 = 4

d) 16𝑥−0,5 + 160,5−𝑥 =17

4

Základy matematiky


4. Exponenciální nerovnice

Porovnávání exponentů

Nerovnice 𝑎𝑓(𝑥) < 𝑎𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+\{1} ekvivalentní s nerovnicí

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1.

Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů.

e) 2 ∙ (1

4)

𝑥− 3 ∙ (

1

2)

𝑥= [1 + (

1

2)

𝑥] ∙ (

1

4)

−1

Příklad 9.9

Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ.

a) 3𝑥+1 ≤ 27

9. cvičení - Exponenciální nerovnice


b) (1

3)

𝑥−2> 3

c) 73𝑥−3 ≥ 1

d) 2𝑥−1 < 4𝑥+1 ∙ (1

2)

𝑥

e) 3𝑥2−2 ∙ 2𝑥2−2 < 36

f) (1

2)

𝑥−1+ (

1

2)

𝑥−2≤ 12

Základy matematiky


Logaritmování

Při logaritmování nerovnic platí:

Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 > 1, neotáčíme znaménko nerovnosti.

Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 ∈ (0; 1), otáčíme znaménko nerovnosti.

Příklad 9.10


a) 2𝑥 ≤ 7

b) 0,3𝑥 < 5

c) 4𝑥 ∙ 3𝑥 > 14𝑥−1

9. cvičení - Exponenciální nerovnice


Substituce


[1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová

práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie

+ příklady použité v těchto pracovních listech)

[2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3

Příklad 9.11


a) 9𝑥 − 10 ∙ 3𝑥 + 9 < 0

b) 2 ∙ (1

4)

𝑥− 9 ∙ (

1

2)

𝑥+ 4 > 0

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php

http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3

Základy matematiky


10. cvičení – 11. cvičení

1. Logaritmické rovnice

Logaritmickou rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v

argumentu nebo v základu nějakého logaritmu.

Porovnání argumentů

Rovnice log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+\{1} ekvivalentní s rovnicí

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

za předpokladu, že 𝑓(𝑥) > 0 a 𝑔(𝑥) > 0. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání

argumentů.

Příklad 10.1


a) 𝑙𝑜𝑔4(𝑥 + 2) = 𝑙𝑜𝑔4(4 − 𝑥)

b) 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 1) = 3

c) 𝑙𝑜𝑔0,3(𝑥 + 1) = 2

d) 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥2+1

𝑥−1) = 1

10. cvičení - Logaritmické rovnice


Aplikace logaritmických vět

Logaritmické rovnice lze upravovat pomocí vět o logaritmech. V argumentech logaritmu nemusí být

jen čísla, ale i výrazy s neznámou.

Příklad 10.2


a) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 7) − 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 4

b) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) − 3 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 2)

c) 𝑙𝑜𝑔8(6𝑥 − 2) = 2𝑙𝑜𝑔8(𝑥 − 3)

d) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 4) + 𝑙𝑜𝑔 𝑥

Základy matematiky


Substituce

Příklad 10.3


a) 2𝑙𝑜𝑔22𝑥 + 7 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 4 = 0

b) 20

𝑙𝑜𝑔 𝑥2 = 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥3

c) 𝑙𝑜𝑔525𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 25𝑥 = 7

10. cvičení - Logaritmické rovnice


Převod neznámé na logaritmus

Příklad 10.3

Rovnice s různými základy logaritmů

Připomeňme si, že log𝑧 𝑥 =log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑧.

Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔3(10 ∙ 3𝑥 − 3) − 1 = 2𝑥

Příklad 10.4

Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥 = 9

Základy matematiky


Rovnice s neznámou v základu logaritmu

Příklad 10.5

Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔𝑥−2 9 = 2

Logaritmování

Příklad 10.6

Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 9𝑥

10. cvičení - Logaritmické nerovnice


2. Logaritmické nerovnice

Porovnávání argumentů

Nerovnice log𝑎 𝑓(𝑥) < log𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je ekvivalentní s nerovnicí

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1.

Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů.

Příklad 10.7


a) 𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 + 1) > 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 7)

b) 𝑙𝑜𝑔1

3

(𝑥 + 5) > 𝑙𝑜𝑔1

3

(5𝑥 − 3)

c) 𝑙𝑜𝑔 1

10

(𝑥 + 3) > −1

d) 𝑙𝑜𝑔6(𝑥2 − 3𝑥 + 2) ≤ 1

Základy matematiky


Aplikace logaritmických vět

Příklad 10.8


a) 𝑙𝑜𝑔1

6

(𝑥2 + 6) ≤ 𝑙𝑜𝑔1

6

𝑥 + 𝑙𝑜𝑔1

6

5

b) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) ≥1

2(𝑙𝑜𝑔 𝑥5 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥)

Substituce

Příklad 10.9


a) 𝑙𝑜𝑔52𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 ≥ 2

10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice


b) 2+𝑙𝑜𝑔1

2𝑥

𝑙𝑜𝑔12

𝑥< 3

3. Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice

Příklad 10.10

Je známo, že atmosférický tlak s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Předpokládejme, že se pokles řídí

rovnicí 𝑝 = 𝑝0 ∙ 0,88ℎ, kde 𝑝0 je atmosférický tlak v nadmořské výšce 0 m.n.m a h je nadmořská výška

uváděná v kilometrech. Jestliže klesne tlak vzduchu na 40% 𝑝0, nemá již člověk dostatečný přísun kyslíku

z atmosféry. Určete kritickou výšku.

Základy matematiky


Příklad 10.11

Do banky jste uložil na úrok 3% částku 500 000 Kč. Za kolik let budete mít k dispozici 750 000 Kč?

Příklad 10.12

Do banky chcete uložit částku 500 000 Kč. Jaký musí banka poskytnout úrok, abyste si za 10 let našetřil

750 000 Kč?

Příklad 10.13

Intenzita rentgenových paprsků se sníží na polovinu při průchodu vrstvou olova o tloušťce 13,5 mm.

Určete tloušťku olověné desky, která zeslabí intenzitu rentgenových paprsků na desetinu původní

hodnoty.

⋯ ⋯

𝑰𝟎 𝟎, 𝟓𝑰𝟎 (𝟎, 𝟓)𝟐𝑰𝟎 (𝟎, 𝟓)𝒌𝑰𝟎 = (𝟎, 𝟓)𝒅𝒅∗𝑰𝟎

𝑑∗ 𝑑∗ 𝑑∗ 𝑑∗



Příklad 10.14

Počet baktérií jisté kultury vzroste za 1h o 32%. Označme počáteční počet baktérií 𝑁0, čas měření t a

konečný počet baktérií 𝑁𝑡 . Vyjádřete závislost počtu baktérii na čase vztahem:

a) 𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑎𝑡 (tj. určete parametr a)

b) 𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑒𝜆𝑡 (tj. určete parametr 𝜆)

Příklad 10.15

Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete, jaké množství z původního

izotopu radia zůstane za 19 minut.

Základy matematiky


Příklad 10.17

DDT (dichlordifenyltrichlorethan), pro člověka velice škodlivá látka, se dostává potravinovým řetězcem

do mléka a dalších potravin. Její koncentrace ve výši 5 ∙ 10−6% je v současné době ještě tolerována, do

budoucna je však požadována limitní koncentrace 2 ∙ 10−6%.

Používání DDT je dnes téměř všude zakázáno. Chemický rozklad této látky však probíhá velmi pozvolna

(poločas rozpadu je 30 let). Za jakou dobu bude dosaženo požadované nižší koncentrace?

Příklad 10.16

Pacientovi byla jednorázově podána léčebná látka, jejíž koncentrace v krvi pacienta dosáhla 3 mg/l.

Poločas přeměny této látky je cca 4 h. Za jak dlouho se koncentrace látky sníží na 0,5 mg/l?




[1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová

práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie

+ příklady použité v těchto pracovních listech)


Příklad 10.18

Radiouhlíková metoda určování stáří organických materiálů využívá rozpad radioaktivního uhlíku 𝐶614 .

Radioaktivní uhlík 𝐶614 má poločas rozpadu 5 730 let, protože však neustále vzniká kvůli dopadu

kosmického záření, jeho obsah v atmosféře se nemění. Protože suchozemské živé organismy čerpají

uhlík z atmosféry, je za jejich života obsah radioaktivního uhlíku 𝐶614 v jejich tělech stejný jako v

atmosféře. Jakmile však zemřou, přestane se radioaktivní uhlík v jejich tělech doplňovat a kvůli rozpadu

jeho množství exponenciálně klesá. Z podílu radioaktivního uhlíku tak můžeme zjistit, jak dlouhá doba

uplynula od okamžiku, kdy organismus uhynul. Při vykopávkách byl nalezen skelet zvířete, který

obsahoval 78,6% radioaktivního uhlíku živého organismu. Jaké je stáří nálezu?

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php


Základy matematiky


12. cvičení – 13. cvičení

1. Goniometrické funkce

12. cvičení - Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku


2. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

sin 𝜑 =𝑐

𝑏

cos 𝜑 =𝑎

𝑏

tg 𝜑 =sin 𝜑

cos 𝜑=

𝑐

𝑎 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠

𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

cotg 𝜑 =1

𝑡𝑔 𝜑=

cos 𝜑

sin 𝜑=

𝑎

𝑐 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

3. Goniometrické funkce – základní tabulkové hodnoty

Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly

Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů:

𝜋

6;

𝜋

4;

𝜋

3

Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí?

𝟎 𝝅 𝟔⁄ 𝝅 𝟒⁄ 𝝅 𝟑⁄ 𝝅 𝟐⁄

𝐬𝐢𝐧 𝝋 √0

2

√1

2

√2

2

√3

2

√4

2

𝐜𝐨𝐬 𝝋 √4

2

√3

2

√2

2

√1

2

√0

2

𝐭𝐠 𝝋 0 √3

3 1 √3 ---

𝐜𝐨𝐭𝐠 𝝋 --- √3 1

√3

3 0

Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí

Základy matematiky


Příklad 11.1

Pomocí jednotkové kružnice určete:

a) 𝑠𝑖𝑛3𝜋

4

b) 𝑐𝑜𝑠3𝜋

4

c) 𝑡𝑔3𝜋

4

d) 𝑐𝑜𝑡𝑔3𝜋

4

e) 𝑠𝑖𝑛7𝜋

6

f) 𝑐𝑜𝑠7𝜋

6

g) 𝑡𝑔7𝜋

6

h) 𝑐𝑜𝑡𝑔7𝜋

6

i) 𝑠𝑖𝑛 (−4𝜋

3)

j) 𝑐𝑜𝑠 (−4𝜋

3)

k) 𝑡𝑔 (−4𝜋

3)

l) 𝑐𝑜𝑡𝑔 (−4𝜋

3)

12. cvičení - Goniometrické rovnice


4. Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí.

Základní goniometrická rovnice je každá rovnice zapsaná ve tvaru 𝑔(𝑥) = 𝑎, kde 𝑔(𝑥) je jedna z

goniometrických funkcí (𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥, 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥), 𝑎 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ. (Uvědomte si, že při definici

goniometrické rovnice uvažujeme, že 𝑥 ∈ ℝ, tzn. že hodnoty neznámé 𝑥 uvádíme v obloukové míře!!!)

Řešení základních goniometrických rovnic je přímo viditelné z grafů příslušných goniometrických

funkcí nebo z jednotkové kružnice.

Příklad 11.2:

Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ.

a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1

2

b) 2𝑐𝑜𝑠 𝑥−1

3−

4𝑐𝑜𝑠 𝑥+1

2= −1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥

c) 𝑡𝑔 𝑥 = √3

3

Základy matematiky


Složitější goniometrické rovnice

Substituce na základní typ: Pomocí jednoduché substituce 𝑦 = 𝑥 + 𝑙 nebo 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑙 převedeme

složitější gon. rovnici typu 𝑔(𝑥 + 𝑙) = 𝑘 nebo 𝑔(𝑥 ∙ 𝑙) = 𝑘, kde 𝑔 je gon. funkce s neznámou 𝑥 a

𝑙, 𝑘 jsou reálná čísla, na základní typ gon. rovnic 𝑔(𝑥) = 𝑘.

d) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −√3

3

e) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −0,374 1 (výsledek zapište s přesností

na 2 des. místa)

Příklad 11.3:


a) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = −√2

2



Substituce na kvadratickou rovnici

b) √2 𝑐𝑜𝑠(4𝜋 + 2𝑥) = −1

Příklad 11.4:


a) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0

Základy matematiky


Dvojnásobný argument – při řešení tohoto typu úloh se využívají vzorce pro dvojnásobný argument

gon. funkcí:

sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥

cos(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥

b) 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Příklad 11.5:


a) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0



Goniometrické funkce součtů a rozdílů, součet a rozdíl gon. funkcí – při řešení tohoto typu úloh se

používají následující vzorce:

sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 + cos 𝑥 cos 𝑦

sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 − cos 𝑥 cos 𝑦

cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦

cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦

sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin𝑥 + 𝑦

2cos

𝑥 − 𝑦

2

sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin𝑥 − 𝑦

2cos

𝑥 + 𝑦

2

cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos𝑥 + 𝑦

2cos

𝑥 − 𝑦

2

cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin𝑥 + 𝑦

2sin

𝑥 − 𝑦

2

b) 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2

Základy matematiky


Příklad 11.6:


a) 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 +𝜋

4) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

b) − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 7𝑥

12. cvičení - Goniometrické nerovnice


5. Goniometrické nerovnice

Základní goniometrické nerovnice

Příklad 11.7:

Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ.

a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 > 0,5

b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 < −0,5

c) 𝑡𝑔 𝑥 ≤√3

3

Základy matematiky


Složitější goniometrické nerovnice

Příklad 11.8:

Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ.

a) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 −𝜋

4) ≤ 0,5

b) −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4 ≥ 0

12. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice


6. Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice

Příklad 11.10:

Příklad 11.9:

Silnice má stoupání 3°30‘. O kolik metrů se liší nadmořská výška dvou míst, která jsou od sebe po

silnici vzdálená 2km? (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.)

Železniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 12m a 8m,

výška náspu je 3m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.)

Příklad 11.11:

Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníka. Jeho šířka je 14m, sklon střechy je 31°. Jaká je

výška štítu v metrech? (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)

Základy matematiky



[1] Matúš Kepič: Využitie internetu vo výuke goniometrických rovníc a nerovníc (bakalářská práce) -

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/matus_kepic_bp/ (teorie + příklady

použité v těchto pracovních listech)


Příklad 11.12:

Na těleso působí v jednom bodě dvě síly: síla F1 o velikosti 760N působí ve vodorovném směru (zleva

doprava) a síla F2 o velikosti 28,8N působí ve směru svislém (shora dolů). Těleso se vlivem těchto dvou

sil dá do pohybu. Určete odchylku trajektorie tělesa od vodorovného směru. (Výsledek zaokrouhlete na

celé stupně a minuty.)

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/matus_kepic_bp/


Documents

Pracovní listyhomel.vsb.cz/~lit40/ZM/ZMA_pracovni_listy.pdf · R2 ⇒6 +3>13. Základy matematiky ... VUT Brno, web Matematika online ... který svírá polohový vektor příslušný