Vektory a operácie s vektormi

Pravouhlá karteziánska súradnicová sústava

- začiatok O

- 3 súradnicové osi

x = ox, y = oy, z = oz

- 3 súradnicové roviny

Oxy, Oxz, Oyz

Každý bod priestoru

je určený usporiadanou trojicou reálnych čísel

karteziánske súradnice P = [xP, yP, zP]

Euklidovská vzdialenosť dvoch bodov

P1 = [x1, y1, z1] a P2 = [x2, y2, z2]

je určená výrazom

Vektor priestoru E3 je určený dvoma bodmi

Polohový vektor bodu A = [xA, yA, zA] je vektor

2

21

2

21

2

2121 )()()(),( zzyyxxPPd

),,( 12121221 zzyyxxPPu

),,( AAA zyxOAa

Vektorom budeme nazývať každú orientovanú úsečku

A - začiatočný bod

B - koncový bod

daného umiestnenia vektora

Súradnice vektora

ABv

],,[

],,[

BBB

AAA

zyxB

zyxA

),,( ABABAB zzyyxxABv

Dĺžka vektora

je vzdialenosť jeho určujúcich bodov A a B, platí

- jednotkový vektor

- nulový vektor

),,(),,( 321 vvvzzyyxxABAB ABABABv

2

3

2

2

2

1

222 )()()( vvvzzyyxx ABABABv

1v

)0,0,0(0

Uhol dvoch vektorov

rôznobežné vektory

rovnobežné (kolineárne) vektory

),(, vuvu

,0,0,0 vu

),0(

0

Operácie s vektormi

Súčet vektorov

Násobenie vektora číslom

vu,

),,(

),,(

),,(

332211

321

321

vuvuvu

vvv

uuu

vuw

v

u

),,(

),,(

321

321

uuu

uuu

u

u

vuvu ,|| R

Skalárny súčin vektorov

vuvuvu ,,cos..

0.Ak vu0v0u

332211321321 .),,,(),,,( vuvuvuvvvuuu vuvu

0v0uvuvu

0v0uvu

vu

vu

,0.

,,,

.

.cos

Vektorový súčin vektorov je vektor

1.

2.

3. Vektory tvoria pravotočivý systém.

vu,

vuvuw ,,sin.

vwuw

),,(

),,(

321

321

vvv

uuu

v

u

0v0u0vuvu ,||

vuw

wvu ,,

321

321

vvv

uuu

kji

vu

Geometrická interpretácia vektorového súčinu

Dĺžka vektora

sa rovná obsahu P rovnobežníka so stranami

v nekolineárnych vektoroch

bav

ba,

baP

Zmiešaný súčin vektorov je číslo

Vektory ležia v jednej rovine (sú komplanárne)

práve vtedy, keď

wvu ,,

wvuwvu .,,

),,(

),,(

),,(

321

321

321

www

vvv

uuu

w

v

u

wvu ,,

321

321

321

,,

www

vvv

uuu

wvu

wvu ,,

0,, wvu

Geometrická interpretácia zmiešaného súčinu

Absolútna hodnota zmiešaného súčinu troch

vektorov

sa rovná objemu V rovnobežnostena so stranami

v týchto nekomplanárnych vektoroch.

cba ,,V

cba ,,