KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU (HB)

1. Polohový vektor, rýchlosť, zrýchlenie HB

Pohyb – zmena polohy telesa vzhľadom na iné teleso.

Hmotný bod (HB) – myslený objekt (model), ktorý z hľadiska vzájomného pôsobenia s inými

objektmi má vlastnosti reálneho telesa, pričom jeho rozmery sú zanedbateľné.

Poloha HB – v pravouhlej súradnej sústave – určená súradnicami x, y, z.

Polohový vektor – 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�,

ak sa mení poloha s časom t - 𝑟 = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)�⃗⃗�.

Vektory 𝑖, 𝑗, �⃗⃗� sú jednotkové vektory ležiace na súradných osiach x, y, z s počiatkom v bode 0

a sú súhlasne orientované s kladným smerom osí.

Veľkosť polohového vektora – |𝑟| = 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 .

Okrem pravouhlého súradnicového systému môžeme na určenie polohy hmotného bodu

použiť tiež systém sférických súradníc r, , alebo aj súradníc valcových , , z (Voľba

systému je daná geometriou problému, ktorý máme riešiť).

Sférické súradnice:

𝑥 = 𝑟 ∙ sin𝜗 ∙ cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 ∙ sin𝜗 ∙ sin𝜑, 𝑧 = 𝑟 ∙ cos𝜗,

pričom r0, ), 0, 2, 0, .

Valcové súradnice:

𝑥 = 𝑟 ∙ cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 ∙ sin𝜑, 𝑧 = 𝑧,

0

𝑧�⃗⃗�

𝑖 𝑗

𝑥𝑖

z

𝑦𝑗

x

�⃗⃗�

y

𝑟

A

pričom r0, ), 0, 2, z (-, ).

Trajektória – sled polôh, ktoré HB v priestore postupne zaujíma.

Dráha (s) – dĺžka trajektórie.

Hmotný bod môže prejsť jednu a tú istú dráhu za rôzny čas. Aby sme z tohto hľadiska

jednotlivé pohyby navzájom rozlíšili a kvantitatívne hodnotili, zavádzame fyzikálne veličiny

rýchlosť a zrýchlenie.

Nech sa hmotný bod pohybuje po nejakej dráhe tak, že v čase t1 je v mieste A1 a jeho

polohový vektor je 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗ . Za čas ∆𝑡 = (𝑡2 − 𝑡1) prejde hmotný bod dráhu s, takže v čase t2 sa

nachádza v mieste A2 a jeho polohový vektor je 𝑟2⃗⃗⃗⃗ .

Priemerná (stredná) rýchlosť – 𝑣s =∆𝑠

∆𝑡 ,

je veličina, ktorá sa číselne rovná dráhe, ktorú hmotný bod prešiel v priemere za

jednotku času.

Ak označíme ∆𝑟 = 𝑟2⃗⃗⃗⃗ − 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗ a uvažujeme čoraz menšiu vzdialenosť |∆𝑟| = |𝑟2⃗⃗⃗⃗ − 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗| medzi

bodmi A1 a A2, a zároveň časový interval ∆𝑡 sa skracuje, potom hovoríme o okamžitej

rýchlosti: �⃗� = lim∆𝑡→0∆𝑟

∆𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡 .

𝑟

z

x

y x

y

z z

A

0

A1

A2 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗

𝑟2⃗⃗⃗⃗

∆𝑟

∆𝑠

0

𝑣s⃗⃗⃗⃗

Okamžitá rýchlosť je prvou deriváciou polohového vektora v bode A1 podľa času.

Rýchlosť má smer dotyčnice k dráhe pohybu v danom bode.

Pre t0 platí |∆𝑟| = 𝑑𝑠 a preto veľkosť vektora okamžitej rýchlosti môžeme vyjadriť

nasledovne:

𝑣 = |�⃗�| = |𝑑𝑟

𝑑𝑡| =

|𝑑𝑟|

𝑑𝑡=

𝑑𝑠

𝑑𝑡.

.

Vektor rýchlosti možno zapísať v zložkovom tvare:

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�) =

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡�⃗⃗� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧 �⃗⃗�.

Pre príslušné zložky (súradnice) vektora rýchlosti platí:

𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡, 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦

𝑑𝑡, 𝑣𝑧 =

𝑑𝑧

𝑑𝑡.

Veľkosť vektora rýchlosti vypočítame:

|�⃗�| = 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2.

Smer vektora rýchlosti možno tiež charakterizovať uhlami , , , ktoré zviera vektor

rýchlosti so súradnými osami x, y, z: cos = vx /v, cos = vy /v, cos = vz /v.

Hlavnou jednotkou rýchlosti v SI sústave je ms-1

.

Na kvantifikovanie zmeny rýchlosti v čase definujeme veličinu – zrýchlenie.

Priemerné (stredné) zrýchlenie – 𝑎s⃗⃗ ⃗⃗ =∆�⃗⃗�

∆𝑡 ,

Okamžité zrýchlenie - �⃗� = lim∆𝑡→0∆�⃗⃗�

∆𝑡=

𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡=

𝑑2𝑟

(𝑑𝑡)2 .

Pre zložky vektora �⃗� platí - �⃗� =𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡=

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡𝑗 +

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡�⃗⃗� =

𝑑2𝑥

(𝑑𝑡)2 𝑖 +𝑑2𝑦

(𝑑𝑡)2 𝑗 +𝑑2𝑧

(𝑑𝑡)2 �⃗⃗� .

Porovnaním zložiek pri jednotlivých jednotkových vektoroch dostaneme:

𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡=

𝑑2𝑥

(𝑑𝑡)2, 𝑎𝑦 =𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡=

𝑑2𝑦

(𝑑𝑡)2, 𝑎𝑧 =𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡=

𝑑2𝑧

(𝑑𝑡)2.

�⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�.

Pre veľkosť a smer vektora zrýchlenia platí to isté, čo pre rýchlosť:

𝑎 = |�⃗�| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2,

cos = ax /a, cos = ay /a, cos = az /a.

2. Krivočiary pohyb

Vektor okamžitého zrýchlenia �⃗� v danom bode A dráhy rozložíme do dvoch zložiek a to do

smeru dotyčnice k dráhe, ktoré nazývame tangenciálne zrýchlenie 𝒂𝝉⃗⃗⃗⃗⃗, a do smeru do stredu

krivosti dráhy, ktoré nazývame normálové alebo dostredivé zrýchlenie 𝒂𝒏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.

Platí: �⃗� = 𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ ,

pre veľkosť platí: 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛

2 ,

pre uhol , t.j uhol medzi výsledným zrýchlením a tangenciálnym zrýchlením platí:

𝑡𝑔 𝛼 =𝑎𝑛

𝑎𝜏.

Podľa obr. vyjadríme: 𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝜏 ∙ 𝜏, 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑎𝑛 ∙ �⃗�, kde 𝜏 a �⃗� sú jednotkové vektory

v príslušných smeroch, ktorých smer sa ale pohybom hmotného bodu mení.

Platí �⃗� = 𝑣 ∙ 𝜏, potom pre zrýchlenie dostaneme:

�⃗� =𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡=

𝑑(𝑣∙�⃗⃗�)

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡𝜏 + 𝑣

𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡.

Zložka spadajúca do smeru vektora 𝜏 je tangenciálne zrýchlenie 𝒂𝝉⃗⃗⃗⃗⃗:

𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝜏, 𝑎𝜏 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡 .

0

�⃗�

�⃗�

𝜏

𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗

�⃗�

A

𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗

𝜏´

𝜏 d

A1

d

s

A1

A2

𝜏

𝜏´

ds

0

Časová zmena jednotkového vektora �⃗⃗� :

1. platí: 𝜏 ∙ 𝜏 = 1 → 𝑑(𝜏 ∙ 𝜏) = 2𝜏 ∙ 𝑑𝜏 = 0 → 𝜏 ⊥ 𝑑𝜏, pretože ani 𝜏 ani 𝑑𝜏 ≠ 0.

Zároveň platí: vektor 𝑑𝜏 je orientovaný proti vektoru �⃗�,

2. pre veľkosť vektora 𝑑𝜏 platí: |𝑑𝜏| = |𝜏| ∙ 𝑑𝛼 = 1 ∙ 𝑑𝛼,

3. platí: 𝑑𝑠 = 𝑟 ∙ 𝑑𝛼.

Porovnaním oboch výrazov dostaneme: |𝑑𝜏| =𝑑𝑠

𝑟 .

Potom: 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑣𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡= 𝑣 (

𝑑𝑠

𝑟) . (

1

𝑑𝑡) . (−�⃗�) = −

𝑣2

𝑟. �⃗�, keďže

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑣.

Normálové zrýchlenie : 𝒂𝒏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝒗𝟐

𝒓. �⃗⃗⃗� , 𝒂𝒏 =

𝒗𝟐

𝒓 .

Z príslušných vzťahov pre 𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ a 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ → tangenciálne zrýchlenie spôsobuje zmenu veľkosti

rýchlosti a normálové zrýchlenie spôsobuje zmenu smeru rýchlosti. Hlavnou jednotkou pre

zrýchlenie je ms-2

.

3. Uhlové veličiny:

používajú sa pri hodnotení krivočiareho pohybu: uhol �⃗⃗�, uhlová rýchlosť �⃗⃗⃗� a uhlové

zrýchlenie �⃗�.

Uhol je vektor, ktorého veľkosť je daná veľkosťou uhla a je orientovaný na tú stranu, z ktorej

sa utváranie uhla javí proti pohybu hodinových ručičiek (v smere jednotkového vektora �⃗⃗�):

𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜑. �⃗⃗�.

Vektor okamžitej uhlovej rýchlosti (uhlová rýchlosť): �⃗⃗⃗� =𝑑�⃗⃗⃗�

𝑑𝑡,

orientácia: smer vektora �⃗⃗�,

jednotka: rad.s-1

(s-1

)

Vektor uhlového zrýchlenia (uhlové zrýchlenie): �⃗� =𝑑�⃗⃗⃗⃗�

𝑑𝑡=

𝑑2�⃗⃗⃗�

(𝑑𝑡)2,

orientácia: smer vektora �⃗⃗�,

jednotka: rad.s-2

(s-2

).

Ak sú vektory �⃗⃗⃗� a �⃗� súhlasne orientované zrýchlené otáčanie, ak sú tieto dva vektory

orientované proti sebe spomalené otáčanie.

4. Vzťahy medzi dráhovými a uhlovými veličinami

Vychádzame zo vzťahu medzi prejdenou dráhou 𝑑𝑠 a jej náležiacemu stredovému uhlu 𝑑𝜑:

𝑑𝜑 =𝑑𝑠

𝑟.

Po predelení rovnice prírastkom času 𝑑𝑡, dostaneme:

𝑑𝜑

𝑑𝑡=

1

𝑟∙

𝑑𝑠

𝑑𝑡, resp. 𝜔 =

𝑣

𝑟→ 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟 (�⃗� = �⃗⃗⃗� × 𝑟).

- vzájomný vzťah medzi dráhovou a uhlovou rýchlosťou.

Vzhľadom na túto rovnicu dostaneme vzájomný vzťah medzi dráhovým a uhlovým

zrýchlením:

�⃗� =𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(�⃗⃗⃗� × 𝑟) =

𝑑�⃗⃗⃗⃗�

𝑑𝑡× 𝑟 + �⃗⃗⃗� ×

𝑑𝑟

𝑑𝑡= �⃗� × 𝑟 + �⃗⃗⃗� × �⃗�,

→ �⃗� = �⃗� × 𝑟 + �⃗⃗⃗� × �⃗⃗⃗� × 𝑟.

tangenciálne zrýchlenie 𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗� × 𝑟 (𝑎𝜏 = 𝛼. 𝑟),

normálové zrýchlenie 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = �⃗⃗⃗� × �⃗⃗⃗� × 𝑟 (𝑎𝑛 = 𝜔2𝑟 =𝑣2

𝑟).

d

ds

0

s

y

x

z

5. Niektoré jednoduché typy pohybov

Podľa trajektórie priamočiare (dráha je priamka),

krivočiare (dráha je krivka).

Podľa rýchlosti rovnomerné (veľkosť rýchlosti sa nemení),

nerovnomerné (veľkosť rýchlosti sa s časom mení).

5.1 Priamočiare pohyby

Vektor rýchlosti �⃗� a vektor zrýchlenia �⃗� ležia na spoločnej vektorovej priamke. Preto

na vyjadrenie pohybu nám postačia skalárne rovnice.

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡, 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑠

(𝑑𝑡)2

→ 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡𝑡1

𝑡0, 𝑠 = 𝑠0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

𝑡1

𝑡0

(𝑣0 – počiatočná rýchlosť, 𝑠0 – počiatočná poloha v čase 𝑡0 = 0)

rovnomerný priamočiary pohyb

𝑎 = 0 → 𝑣 = konšt. → 𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 = 𝑣𝑡 + 𝑠0

rovnomerne zrýchlený (spomalený) priamočiary pohyb

𝑎 = 𝑘𝑜𝑛š𝑡. ≠ 0

→ 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎𝑑𝑡𝑡

0= 𝑣0 + 𝑎𝑡

→ 𝑠 = 𝑠0 + ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡

0= 𝑠0 + ∫ (𝑣0 + 𝑎𝑡 )𝑑𝑡

𝑡

0= 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +

𝑎𝑡2

2

Ak 𝑎 > 0 - rovnomerne zrýchlený pohyb

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2,

𝑎 < 0 - rovnomerne spomalený pohyb

𝑣 = 𝑣0 − |𝑎|𝑡 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 −|𝑎|𝑡2

2.

nerovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb

𝑎 ≠ 𝑘𝑜𝑛š𝑡. → 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡𝑡1

𝑡0, 𝑠 = 𝑠0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

𝑡1

𝑡0

Špeciálne priamočiare pohyby - priamočiare pohyby s tiažovým zrýchlením

- pohyb s konštantným zrýchlením a = tiažovému zrýchleniu g (g = 9,81 ms-2

).

A) voľný pád: 𝑣0 = 0, 𝑎 = 𝑔 = 9,81 ms-2

V bode A: 𝑣𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑔𝑡𝑗, 𝑦 = ℎ −1

2𝑔𝑡2,

dráha a veľkosť rýchlosti: 𝑣 = 𝑔𝑡, 𝑠 =1

2𝑔𝑡2,

čas dopadu, rýchlosť dopadu vypočítame z podmienky 𝑦 = 0.

B) zvislý vrh nadol: 𝑣0 ≠ 0, 𝑎 = 𝑔 = 9,81 ms-2,

- pohyb zvisle nadol s počiatočnou rýchlosťou v0,

- v bode A:

rýchlosť: vy⃗⃗ ⃗⃗ = −(𝑣0 + gt)j⃗ , vy = 𝑣0 + gt ,

súradnica: y = h −1

2gt2 − 𝑣0𝑡,

prejdená dráha: s =1

2gt2 + 𝑣0𝑡.

C) zvislý vrh nahor: 𝑣0 ≠ 0, 𝑎 = 𝑔 = 9,81 ms-2,

- rovnomerne spomalený priamočiary pohyb,

bod A

rýchlosť: vy⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑣0 − gt)j⃗ , vy = 𝑣0 − gt ,

prejdená dráha: 𝑠 = 𝑦 = 𝑣0𝑡 −1

2gt2.

bod B – maximálna dosiahnutá výška

z podmienky 𝑣 = 0 vypočítame čas dosiahnutia

maximálnej výšky a dosiahnutú maximálnu výšku

𝑡 =𝑣0

𝑔 , ℎ =

1

2.

𝑣02

𝑔.

y

y

h

v0 = 0

s

𝑣y⃗⃗ ⃗⃗

A

0

A

B

𝑣y⃗⃗ ⃗⃗

𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = 𝑠

ℎmax

0

𝑦

5.2 Krivočiare pohyby

Pohyb po kružnici

HB opisuje dráhu tvaru kružnice o polomere 𝑅 = |𝑟|. Stredom kružnice kolmo k jej rovine

prechádza tzv. os otáčania (rotácie).

Platí: 𝑑𝜑 =𝑑𝑠

𝑟, 𝜔 =

𝑑𝜑

𝑑𝑡, 𝛼 =

𝑑𝜔

𝑑𝑡 → 𝜔 = 𝜔0 + ∫ 𝛼𝑑𝑡

𝑡

0, 𝜑 = 𝜑0 + ∫ 𝜔(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0.

Rovnomerný pohyb po kružnici 𝛼 = 0, 𝜔 = konšt.

→ 𝜑 = 𝜑0 + ∫ 𝜔𝑑𝑡𝑡

0= 𝜑0 + 𝜔𝑡.

𝜑0 - integračná konštanta (počiatočný uhol).

obvodová rýchlosť (𝑣 = 𝜔𝑟) je konštantná 𝑇 = konšt. (T - perióda pohybu – čas

jedného obehu)

𝑇 =𝑠

𝑣=

2𝜋𝑅

𝑣=

2𝜋

𝜔

frekvencia kruhového pohybu 𝑓 =1

𝑇=

𝜔

2𝜋

- ak 𝑡 > 𝑇 (t - celkový čas pohybu) HB vykoná určitý počet otáčok N:

𝑁 =𝜑

2𝜋= ∫ 𝑓𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

→ 𝑎𝜏 = 0, 𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅= 𝜔2𝑅 → 𝑎 = 𝑎𝑛

Nerovnomerný pohyb po kružnici

A) Rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici 𝛼 = konšt. ≠ 0

- ak 𝛼 > 0 (𝛼 < 0) - rovnomerne zrýchlený (spomalený) pohyb po kružnici,

→ 𝜔 = 𝜔0 + ∫ 𝛼𝑑𝑡𝑡

0= 𝜔0 + 𝛼𝑡,

→ 𝜑 = ∫ 𝜔𝑑𝑡𝑡

0= ∫ (𝜔0 + 𝛼𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0= 𝜑0 + 𝜔0𝑡 +

1

2𝛼𝑡2.

Počet otáčok do zastavenia: 𝑁 =𝜑

2𝜋 .

→ 𝑎𝜏 = 𝛼𝑅 = 𝑘𝑜𝑛š𝑡. ≠ 0, 𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅= 𝜔2𝑅,

→ �⃗� = 𝑎𝜏⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗, 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛

2.

B) Nerovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici 𝛼 ≠ konšt.

→ 𝜔 = 𝜔0 + ∫ 𝛼𝑑𝑡𝑡

0,

→ 𝜑 = ∫ 𝜔𝑑𝑡𝑡

0.

krivočiare pohyby s tiažovým zrýchlelním

A) vodorovný vrh

- pohyb zložený z dvoch priamočiarych pohybov:

- rovnomerný pohyb vo vodorovnom smere s rýchlosťou 𝑣0,

- voľný pád vo zvislom smere.

- okamžitá rýchlosť HB: �⃗� = 𝑣0𝑖 − 𝑔𝑡𝑗,

veľkosť rýchlosti 𝑣 = √𝑣02 + 𝑔2𝑡2 .

zložky vektora rýchlosti 𝑣𝑥 = 𝑣0, 𝑣𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡,

- zložky polohového vektora 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗: 𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑡, 𝑦(𝑡) = ℎ −1

2𝑔𝑡2.

- uhol 𝛼 - tg𝛼 =𝑔𝑡

𝑣0 ,

- z podmienky dopadu HB (𝒚(𝑡) = 𝟎) čas dopadu 𝑡D, za ktorý teleso dopadne

na zemský povrch 𝑡D = √2ℎ

𝑔 ,

- miesto dopadu na osi 𝑥 - vodorovný dolet HB: 𝑥D = 𝑣0√2ℎ

𝑔 ,

- rýchlosť pri dopade: 𝑣 = √𝑣02 + 2𝑔ℎ .

B) šikmý vrh nahor

- pohyb HB vzhľadom na zemský povrch pod uhlom 𝛼,

- pohyb zložený z dvoch priamočiarych pohybov,

𝑥D

h

y

0 x

0v

A

- počiatočná rýchlosť 𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗ sa rozkladá na zložky: 𝑣0𝑥 = 𝑣0cos𝛼, 𝑣0𝑦 = 𝑣0sin𝛼,

- zložený pohyb:

- rovnomerný pohyb rýchlosťou 𝑣0𝑥 vo vodorovnom smere,

- zvislý vrh nahor s počiatočnou rýchlosťou 𝑣0𝑦.

- zložky vektora rýchlosti �⃗�(𝑡) = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑗 :

𝑣𝑥 = 𝑣0cos𝛼, 𝑣𝑦(𝑡) = 𝑣0sin𝛼 − 𝑔𝑡 .

- polohový vektor 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗:

𝑥(𝑡) = 𝑣0t cos𝛼, 𝑦(𝑡) = 𝑣0t sin𝛼 −1

2𝑔𝑡2.

- veľkosť rýchlosti HB: 𝑣 = √(𝑣0cos𝛼)2 + (𝑣0sin𝛼 − 𝑔𝑡)2 .

- HB sa pohybuje po parabole.

- v bode A HB kulminuje vektor okamžitej rýchlosti je súhlasne rovnobežný s osou x

𝑣𝑦(𝑡) = 0 (v bode A) čas kulminácie 𝑡V =𝑣0sin𝛼

𝑔.

- po dosadení 𝑡V do rovnice pre 𝑦(𝑡) dostaneme:

- maximálnu výšku výstupu ℎV =(𝑣0sin𝛼)2

2𝑔,

- maximálny dolet 𝑥D po dosadení 2. 𝑡V do rovnice pre 𝑥(𝑡): 𝑥𝐷 =𝑣0

2𝑠𝑖𝑛2𝛼

𝑔.

- rýchlosť dopadu má rovnakú hodnotu ako rýchlosť vrhu.

0

ℎV

𝑥D

−𝑣0𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

x

y

A

B

𝛽

𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑣0𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑣𝑦⃗⃗⃗⃗⃗

�⃗�

- ak by sme vrhali hmotný bod z bodu B šikmý vrh nadol

(počiatočná rýchlosť je pod uhlom 𝛽 vzhľadom na os 𝑥)

- zložený pohyb:

- rovnomerný pohyb rýchlosťou 𝑣0𝑥 vo vodorovnom smere,

- zvislý vrh nadol s počiatočnou rýchlosťou 𝑣0𝑦.

- zložky vektora rýchlosti �⃗�(𝑡) = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑗 :

𝑣𝑥 = 𝑣0cos𝛽, 𝑣𝑦(𝑡) = 𝑣0sin𝛽 + 𝑔𝑡 .

- polohový vektor 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗:

𝑥(𝑡) = 𝑣0t cos𝛽, 𝑦(𝑡) = ℎ − (𝑣0t sin𝛽 +1

2𝑔𝑡2).

- maximálny dolet 𝑥D vypočítame z podmienky 𝑦(𝑡) = 0. Z tejto podmienky vypočítame čas

dopadu 𝑡D, ktorý potom dosadíme do rovnice pre 𝑥(𝑡) = ⋯.

ℎ

𝑥D

0 x

y

𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑣𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�

𝛽

𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣0𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ B

𝑣0𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗