1 Kinematika HB

Zbierka príkladov k predmetu Mechanika K I N E M A T I K A H B

A) kinematika 1D

Aa) stredná rýchlosť

(doc. Ševčík)

1. Teleso sa pohybovalo po dráhe dlhej Δx. Prvú polovicu prešlo rýchlosťou v1 = 5 m.s-1 , druhú polovicu

rýchlosťou v2 = 10 m.s-1. Aká bola stredná (priemerná) rýchlosť telesa?

[6,67 m.s-1]

(doc. Ševčík)

2. Okamžitá rýchlosť telesa pohybujúceho sa po priamke je daná vzťahom 20)( ktvtv += , kde k > 0 je

konštanta. Aká je stredná rýchlosť počas 1. sekundy, 2. sekundy a počas 10. sekundy pohybu, počas n-tej

sekundy pohybu? Aká je stredná rýchlosť za n-sekúnd pohybu od začiatku pohybu?

( )

++−++++

3;133

3;

3

271;

3

7;

3

2

02

0000

knvnn

kvkvkv

kv

Ab) rovnomerný pohyb

(doc. Ševčík)

3. Na prednáške bol skúmaný pohyb telesa po priamke, ktorý bol daný predpisom 352)( 2 +−= tttx a okamžitá

rýchlosť pohybu je 54)(

)( −== tdt

tdxtv . Určte, aká bude okamžitá rýchlosť v ľubovoľnej polohe telesa, t.j. nájdite

funkciu ).(xvv =

(FKS 1999/00, B-2.2)

4. Zo stola odliepame lepiacu pásku ťahaním za jeden jej koniec veľkosťou rýchlosti v0. Akou veľkosťou

rýchlosti sa pohybuje stred odlepenej časti?

verzia ZS 2012 1/21

4

3 0v


Ac) rovnomerne zrýchlený pohyb

(N 2000/2001, 10)

5. Dvaja športovci bežia priamočiaro rovnako dlhý čas. Prvý z nich beží prvú polovicu tohto času so

zrýchlením a

, druhú polovicu so zrýchlením a

2 . Druhý športovec naopak, najprv prvú polovicu so

zrýchlením a

2 a druhú so zrýchlením a

. Prvý bežec prebehne spolu 20 km. Akú vzdialenosť prebehne

druhý bežec?

[28 km]

(N 2001/2002, 5)

6. Cyril chce byť novým Usainom Boltom a zabehnúť 100 metrov za 9 sekúnd. Vypracoval si aj plán svojho

behu: prvú polovicu času rovnomerne zrýchľuje, potom udrží tempo a je to! Akou veľkosťou rýchlosti

vbehne do cieľa?

[53,33 km.h-1]

(N 2004/2005, 2)

7. Peťko ráno zaspal. Hodina mu začne za čas τ. Preto sa z domu rozbehne so zrýchlením veľkosti a. V

polovici cesty si uvedomí, že to nestihne. Preto dvakrát zvýši svoje zrýchlenie, vďaka čomu dobehne na

vyučovanie načas. Koľko by meškal, keby bežal celú cestu so zrýchlením veľkosti a?

[τ.0,0353]

(N 2004/2005, 8 modifikované)

8. Teleso sa pohybuje po priamke. Graf závislosti jeho rýchlosti je na obr. Začiatočná poloha telesa je x(0 =

0.

verzia ZS 2012 2/21


a) Vypočítajte súradnicu jeho polohy v čase t = 4 τ.

b) Vypočítajte celkovú dráhu s, ktorú teleso prešlo.

c) Nakreslite graf funkcie jeho polohy x = x (t).

[ ]τττ 5,12;5,7)4( == sx

(MMF, s. 50)

9. Častica sa začala v čase t = 0 pohybovať po priamke veľkosťou rýchlosti xxv α=)( . Za aký čas t1 sa

dostane z bodu 0 do bodu x1 ?

=

α1

1

2 xt

(N 2008/2009, 4)

10. Po diaľnici idú autá veľkosťou rýchlosti 135 km.h-1. Ak jedno z nich začne naplno brzdiť zrýchlením

veľkosti 5 m.s-2, vodič auta za ním začne brzdiť s rovnakým zrýchlením, ale najskôr o pol sekundy neskôr.

Aký minimálny odstup musia autá dodržiavať, aby sa za takýchto idealizovaných podmienok nezrazili?

[18,75 m]

(MMF, s. 59)

11. (*) Máme L0 = 1 m kvalitného gumového lana; tak kvalitného, že sa všade naťahuje rovnako. Jeho ľavý

koniec A je pevne uchytený a pravý koniec sa začne od určitého okamihu pohybovať veľkosťou rýchlosti vB

= 10 m/s. V tom istom okamihu začne liezť mucha z bodu A po lane veľkosťou rýchlosti

vm = 1 m/s (voči lanu). Dolezie mucha do bodu B? Ak áno, v akom čase t ?

−

=B

m

B

v

v

vL

t

1exp0

verzia ZS 2012 3/21


(dr. Košinár)

12. (*) V okamihu, keď sa vlak pohybuje rýchlosťou v0 = 10 m.s-1, rušňovodič zapne brzdy, pohyb sa spomaľuje

a za 2 sekundy na dráhe s dlhej 8 metrov vlak zastaví. Ak použijeme na riešenie rôzne nám známe vzorce pre

rovnomerne spomalený pohyb, dostaneme:

a) ak v čase t = 0 je poloha x(0) = 0, pre zrýchlenie a < 0 bude prejdená dráha pri brzdení

20 2

1)( attvts += , a < 0

b) okamžitá rýchlosť od začiatku brzdenia bude:

atvtv += 0)( , a < 0

c) z oboch vzťahov pri vylúčení času t dostaneme:

a

vtvt 0)( −

=

20

2

2

000

20 2222 vvas

a

vva

a

vvvattvs −=⇒

−

+−

=+=

Teraz dosadíme do týchto vzťahov zadané hodnoty z príkladu:

t = 2 s, v0 = 10 m.s-1, s(2) = 8 m, v(2) = 0 m.s-1

podľa a) : a = - 6 m.s-2

podľa b) : a = - 5 m.s-2

podľa c) : a = - 6, 25 m.s-2

Prečo sú výsledky rôzne?

[☺]

verzia ZS 2012 4/21


Ad) voľný pád

(N 2008/2009, 19)

13. Tomáš s Fajom našli v Slovenskom krase krasovú jamu, ktorej nedovideli na dno. Pustili do nej teda

kameň a odmerali čas t medzi tým, ako kameň pustili a tým, ako začuli jeho dopad na dno jamy. Rýchlosť

zvuku je c, tiažové zrýchlenie g a odpor vzduchu zanedbateľný. Aká je hĺbka jamy?

+−+

g

tc

g

c

g

cct

3

2

42 2

B) Kinematika 2D

Ba) vrh zvislo nadol

(doc. Ševčík)

14. Keď teleso nechám voľne padať, dopadne na zem za určitý čas. Ako rýchlo ho musím hodiť smerom nadol, aby

som tento čas skrátil na polovicu?

= Hgv

8

90

Bb) vrh zvislo nahor

(FKS 1996/97, B-6.3)

15. Hádžeme guľôčku zo zeme zvislo nahor do výšky h = 29,4 m. Túto výšku musí guľôčka dosiahnuť

a) za čas t = 3 s,

b) za čas t = 6 s.

Určte veľkosť počiatočnej rýchlosti, ktorú sme museli guľôčke udeliť v oboch prípadoch. Nezdá sa vám na

výsledkoch niečo čudné? Ak ste počítali dobre, vyšla vám rýchlosť v prípade b) väčšia ako v prípade a). To

znamená, že ak má guľôčka doletieť do výšky h za dlhší čas, musí letieť na začiatku rýchlejšie. Vysvetlite

tento paradox. Platí všeobecne, že pre kratší čas letu je potrebná menšia rýchlosť hodu? Ak áno, ako je to

v prípade, keď sa čas t blíži k nule? Ak nie, viete určiť čas, pre ktorý je rýchlosť minimálna?

[☺]

verzia ZS 2012 5/21


(N 2007/2008, 2)

16. Jednu loptičku vyhodíme zo zeme nahor rýchlosťou v

, druhú necháme v tom istom momente voľne

padať z výšky h, presne nad prvou loptičkou. V akej výške sa zrazia?

−

221

v

ghh

Bc) vodorovný vrh

(N 2010/2011, 9)

17. Obyvatelia Šturáku majú štandardné problémy s holubmi, ktoré im špinia balkóny. Uvažujte holuba

letiaceho vodorovne rýchlosťou 0v

priamo k Šturáku. V akej vzdialenosti s od internátu musí holub vypustiť

svoj exkrement, ak chce trafiť balkón nachádzajúci sa o h metrov nižšie?

=

g

hvs

2

Bd) šikmý vrh

(N 2002/2003, 20)

18. Kačka letela po vodorovnej priamke rýchlosťou u

. Pytliak do nej hodil kameň rýchlosťou v

pod uhlom

α. Bol to neskúsený pytliak, takže kameň hodil bez nadbehu, t.j. v smere okamžitej polohy kačky. Ale bol to

zároveň pytliak, ktorý mal šťastie, takže kačku predsa len zasiahol. V akej výške letela kačka?

( )

− uv

g

utg ααcos

2 2

(N 2001/2002, 41)

19. V láske nešťastný Filip chce trafiť kameňom Andreu a tak upútať jej pozornosť. Janka stojí na kopci, jej

vodorovná vzdialenosť od Mirka je l a navyše stojí o h metrov vyššie ako on. Nájdite podmienku pre

minimálnu veľkosť rýchlosti v kameňa, ak ju chce trafiť.

++≥ 2222 glghhgv

verzia ZS 2012 6/21


(N 2007/2008, 11)

20. Ako ďaleko doskočí žaba, ak skáče šikmo nahor rýchlosťou veľkosti v a počas skoku dosiahne

maximálnu výšku h?

− h

g

vh 222

2

(N 2009/2010, 28)

21. Záhradník Braňo polieval trávnik. Všimol si, že keď drží ústie hadice nízko nad zemou, prúd vody

vytvorí oblúk vysoký H a dopadajúci vo vzdialenosti L. Akou veľkosťou rýchlosti vychádzala voda z ústia

hadice? Odpor vzduchu zanedbajte.

+ gH

H

Lg 2

8

1 2

(FKS 1995/96, B-4.1)

22. Po ceste idú za sebou dve autá veľkosťou rýchlosti v = 60 km/h. Aká musí byť minimálna vzdialenosť

týchto dvoch áut, aby kamienky od kolies prvého auta netrafili druhé auto? Predpokladajte, že konštrukcia

auta nijako nebráni odletovaniu kamienkov. (Potrebné číselné údaje pre vyčíslenie výsledku odhadnite.)

g

v 2

(FKS 2000/01, B-1.1)

23. Delo strieľa náboje rýchlosťou veľkosti vo, hlaveň dela zviera s vodorovnou rovinou uhol α. Po rovine sa

priamo k delu blíži tank rýchlosťou u. Pri akej vzdialenosti tanku od dela musí delo vystreliť, aby náboj

zasiahol tank? V akej vzdialenosti od dela bude tank zasiahnutý?

( )

+ uv

g

vα

αcos

sin20

0

(FKS 1998/99, B-5.2)

24. Pri akom pomere h1/h2 je doba pádu telesa na obrázku maximálna?

[2]

verzia ZS 2012 7/21


(N 2002/2003, 8)

25. Guľočku hodíme rýchlosťou 0v

pod uhlom α, ale tá sa nám odrazí späť od zvislej steny vzdialenej od nás

o l (obr.). Nájdite, v akej vzdialenosti x od steny dopadne guľôčka na zem. Odraz považujte za dokonale

pružný.

( )

−= l

g

vx α2sin

20

(N 2005/2006, 13)

26. Juraj stojí v jame vo vzdialenosti d = 3 m od veľmi vysokej steny. Ako ďaleko za jamu môže odrazom

od steny hodiť loptičku, ak hádže maximálnou veľkosťou rýchlosti v = 15 m.s-1? Odraz od steny je dokonale

pružný a loptička opúšťa Jurajovu ruku na okraji jamy, teda v nulovej výške. Odpor vzduchu prirodzene

zanedbajte.

≈− md

g

v94,162

2

verzia ZS 2012 8/21


(FYKOS VIII-I-1)

27. Hráč golfu stojí pred náročnou úlohou. Musí trafiť jamku vo vzdialenosti d a súčasne prestreliť prekážku

výšky h. Prekážka sa nachádza vo vzdialenosti l od hráča (obr.). Akou veľkosťou rýchlosti v0 a pod akým

uhlom φ musí golfista odpáliť loptičku?

( )

−

>=ld

d

l

htg

gdv ϕ

ϕ;

2sin2

0

(FYKOS XVII-I-3)

28. (*) Hádžeme granátom stojac na svahu. Smerom dole dokážeme dohodiť 62 m, ale proti svahu len 53 m.

(Predpokladajme, že sme urobili množstvo pokusov a v oboch prípadoch sme našli optimálny uhol hodu.)

Určte sklon svahu.

[približne 4,5°]

(FYKOS XXI-III-3)

29. (**) Malú guľočku hodíme vodorovne na naklonenú rovinu. Guľôčka po nej začne poskakovať a po N

odrazoch dopadne kolmo k povrchu naklonenej roviny (obr.). Aký uhol α zviera naklonená rovina?

Predpokladajte, že guľôčka sa odráža dokonale pružne a rotáciu guľôčky neuvažujte.

[ ]Ngarc 2cot=α

verzia ZS 2012 9/21


(FYKOS XVII-VI-1)

30. (**) Strieľame strelou s počiatočnou rýchlosťou 0v

z výšky h nad povrchom Zeme na kovovú stenu vo

vzdialenosti L (obr.). Pod akým uhlom α máme strieľať, aby sme čo najskôr počuli náraz?

+

=10

20

cvLg

vα

(c1 – rýchlosť zvuku v stene)

C) skladanie rýchlostí

(N 2003/2004, 11)

31. Po trati premávajú v pravidelných intervaloch električky. Keď idem rýchlosťou 1v

v tom istom smere ako

električky, stretávam ich každých t1 sekúnd. Keď sa dám do behu a bežím rýchlosťou 2v

(stále v tom istom

smere), časové intervaly sa zmenia na t2 sekúnd. V akých časových intervaloch premávajú električky?

−−

211122

12 tttvtv

vv

(FYKOS XXV-IV-1)

32. Eskalátory v budúcom bratislavskom metre majú n schodov a pohybujú sa veľkosťou rýchlosti v.

Vypočítajte, koľko schodov v skutočnosti prejdete, ak po nich pôjdete veľkosťou rýchlosti v1:

a) v smere jazdy,

+ vv

vn

1

1

b) proti smeru jazdy (uvažujte, že v1 > v).

− vv

vn

1

1

verzia ZS 2012 10/21


(N 2007/2008, 5)

33. Výletná loď príde po Dunaji z Bratislavy na Devín za hodinu a dvadsať minút, späť za pol hodiny.

Koľkokrát rýchlejšie ide loď vzhľadom na vodu ako voda v Dunaji vzhľadom na breh?

− krát

5

11

(N 2008/2009, 25)

34. V rieke šírky d tečie voda všade veľkosťou rýchlosti u. Tomáš stojí na jednom brehu rieky a chce sa

dostať na druhý breh do protiľahlého bodu. Dokáže však plávať len veľkosťou rýchlosti v menšou než u.

Ako najbližšie k protiľahlému bodu vie doplávať?

−d

v

vu 22

(FKS 1998/99, B-3.4)

35. Veľkosť rýchlosti prúdu vody v rieke je u, veľkosť rýchlosti loďky v stojacej vode je v. Aký smer (kurz)

voči prúdu rieky musí udržiavať človek v loďke, ak sa potrebuje dostať na druhý breh

a) za čo najkratší čas? [kolmo na prúd]

b) po čo najkratšej dráhe?

u

varcsin

(FKS 1994/95, B-5.2)

36. Pod akým uhlom voči rýchlosti rieky v

má plávať plavec rýchlosťou u

, aby ho čo najmenej odplavilo

dolu vodou? Uvažujte všetky prípady.

=<> nikdyvu

v

uarvu

u

varvu :;cos:;cos:



(N 2002/2003, 6)

37. Indiáni zajali zálesáka. Ten sa môže oslobodiť, ak zvíťazí v plaveckých pretekoch proti miestnemu

šampiónovi. Okolo dediny tečie rieka veľkosťou rýchlosti v = 1 km.h-1. Zálesák i indián plávajú rovnako

rýchlo, a to c = 3 km.h-1 (voči vode). Pravidlá sú nasledujúce: jeden závodník pláva naprieč riekou tam

a naspäť (na pôvodné miesto). Druhý pláva tam a naspäť tú istú vzdialenosť medzi dvoma kolmi zatlčenými

do dna rieky pozdĺž jej toku. Ktorú trasu si má zálesák vybrať a ak si vyberie správne, o koľko zvíťazí?

Rieka je široká 300 m.

[naprieč riekou; približne o 46 s]

(doc. Ševčík)

38. Športovec v triatlone sa má dostať z bodu A do bodu B na opačnom konci rieky. Veľkosť rýchlosti toku vody je

v0, veľkosť rýchlosti jeho plávania vzhľadom na vodu je 02v a môže do B na druhej strane bežať veľkosťou

rýchlosti 2v0. Pod akým uhlom φ voči brehu má začať plávať, aby sa dostal do bodu B za najkratší čas?

[φ ≈ 118,12°]

(FKS 1999/00, B-5.4)

39. Vlajka na sťažni lode zviera pri rýchlosti 20 km/h s jej smerom uhol 60°. Pri rýchlosti lode 40 km/h je

tento uhol 30°. Predpokladajte, že obdĺžnik listu vlajky vlaje v zvislej rovine.

a) Určte rýchlosť vetra. [20 km/h]

b) Pri akej rýchlosti lode bude tento uhol 90°. [10 km/h]

(MMF, s. 49)

40. Veľkosť rýchlosti tečenia vody v rieke narastá lineárne z nulovej veľkosti na krajoch po veľkosť u0

v strede rieky. Naprieč riekou sa pohybuje loď veľkosťou rýchlosti v. Nájdite trajektóriu lode.

[RIEŠENIE:]



(FKS 1995/96, B-4.1)

41. (*) Za líškou, ktorá beží rovnomerne priamočiaro rýchlosťou 1v

uteká pes, ktorého rýchlosť 2v

konštantnej veľkosti má vždy smer na líšku. V okamihu, keď sú oba vektory rýchlostí na seba kolmé,

vzdialenosť medzi psom a líškou je L. Aké je zrýchlenie psa v tomto okamihu?

L

vv 21

D) polohový vektor

(doc. Ševčík)

42. Hmotný bod sa pohybuje v rovine (x,y) podľa predpisu

)sin()cos()( btAjbtAitr += A > 0, konšt.

B > 0, konšt.

a) Vypočítajte karteziánske zložky rýchlosti a veľkosť vektora rýchlosti,

[ ]AbvbtAtybtAtx === ),sin()(),cos()(

b) Určte zložky jednotkového vektora τ

, ktorý určuje smer rýchlosti v každom čase t,

[ ] [ ][ ])cos()sin( btjbti +−=τ

c) Určte karteziánske zložky zrýchlenia a veľkosť zrýchlenia,

[ ] [ ][ ]222 ,)sin()cos( AbabtAbjbtAbia =−+−=

d) Odvoďte rovnicu trajektórie hmotného bodu, [ ]kruznicaAyx ,222 =+

e) Nakreslite karteziánske zložky rýchlosti a zrýchlenia.

[ ]ybyxbxbxybyx 22 ,;, −=−=+=−=



(doc. Ševčík)

43. Hmotný bod sa pohybuje v rovine (x,y) podľa predpisu

)sin()(

)cos()(

ktBty

ktAtx

==

A > B A, B, k sú konštanty

a) vypočítajte karteziánske zložky rýchlosti a veľkosť vektora rýchlosti,

( ) ( )[ ]ktBktAkvktBkvktAkv yx2222 cossin),cos(),sin( +==−=

b) Určte karteziánske zložky zrýchlenia a veľkosť zrýchlenia, [ ]ykaxka yx22 , −=−=

c) Aká bude jeho trajektória?

=+ elipsa

B

y

A

x,1

2

2

2

2

d) Kde pohyb začína? Bude pohyb pravo- alebo ľavotočivý?

[x (0) = A, y (0) = B; proti smeru hod. ručičiek]

e) V akých časoch bude hmotný bod prechádzať cez bod C2?

=+= ,...3,2,1,0,

2

)14(2 l

k

lt

π

f) Aká je perióda obehu?

=

kt

π22

(doc. Ševčík)

44. Pohyb hmotného bodu je daný v polárnych súradniciach rovnicami

,)(

)(

ktt

Aetr kt

==

ϕkde A, k sú konštanty, A > 0, k > 0.

Nájdite:

a) rovnicu trajektórie pohybu hmotného bodu, [ ]ϕAer =

b) jeho rýchlosť, [ ]ϕ1)(1)( kt

rkt AkeAkev +=

c) jeho zrýchlenie. [ ]ϕ12 2 kteAka =



E) príklady na vhodnú voľbu vzťažnej sústavy

(N 2001/2002, 3)

45. Guľôčka nalietava vodorovne veľkosťou rýchlosti 2 m/s na ťažkú steno, ktorá sa proti nej pohybuje

veľkosťou rýchlosti 3 m/s. Ak uvažujeme dokonale pružnú zrážku, aká bude rýchlosť guľôčky po odraze:

a) vzhľadom na pevnú stenu?, [ ])0,0,5(−=v

b) vzhľadom na vonkajšieho pozorovateľa? [ ])0,0,8(−=′v

(N 2002/2003, 7)

46. Delostrelec chce trafiť jablko, ktoré je od neho vzdialené 3l a je o výšku l vyššie ako on. Jeho náboje

vylietavajú z hlavne rýchlosťou v. V okamihu vystrelenia náboja jablko začne padať k zemi. Pod akým

uhlom má delostrelec strieľať, aby trafil jablko? Odpor vzduchu a rozmery dela zanedbajte.

3

1arcsin

(N 1999/2000, 12 – zlý vzorák !)

47. Delo strieľa vodorovne rýchlosťou 0v

z kopca so sklonom α. Vypočítajte vzdialenosť s, kam strela

doletí.

=

αα

2

20

cos

sin2

g

vs



(N 2004/2005, 38)

48. Z naklonenej roviny s uhlom sklonu α = 30° hádžeme hmotný bod (počiatočná poloha hmotného bodu je

na naklonenej rovine). Pod akým uhlom β, meraným od vodorovnej roviny, musíme tento hmotný bod

hodiť, aby sa po dokonale pružnom odraze od naklonenej roviny vrátil naspäť do bodu, z ktorého bol

hodený?

[70° 54´]

(N 2003/2004, 16)

49. Loď pláva z miesta A rýchlosťou v

tak, že zviera s úsečkou AB uhol α (obr.). Pod akým uhlom β má

nepriateľská loď z miesta B vypustiť rýchlosťou u

torpédo, aby loď A trafila?

= αβ sinarcsin

u

v

(N 2010/2011, 11)

50. Dva mravce sa nachádzajú na protiľahlých vrcholoch hárku papiera tvaru obdĺžnika so stranami a, b

(obr.). Oba mravce sa začnú naraz pohybovať rýchlosťami 21 , vv

, pričom platí: vvv == 21

. Jeden ide po

hrane papiera, druhý krížom cez papier tak, ako to znázorňuje obrázok. Pod akým uhlom α sa má pohybovať

druhý mravec, aby sa oba mravce stretli v jednom bode na hrane papiera?

( )

−=

ab

baarctg

2

22

α



(N 2001/2002, 45; 200 problems, 1)

51. Tri psy sa hrajú naháňačku: postavia do rovnostranného trojuholníka s dĺžkou a, ktorého vrcholy

označme 1, 2, 3 (viď obrázok). Pes 1 beží vždy na psa 2, pes 2 vždy na psa 3 a pes 3 vždy na psa 1. Za aký

čas sa stretnú v strede trojuholníka, ak každý z nich beží rovnakou veľkosťou rýchlosti v?

BONUS: Nájdite trajektóriu (rovnicu krivky) psa.

=

v

at

3

2

F) pohyb po kružnici

(Hajko I/20)

52. Koleso železničného vozňa sa valí bez kĺzania po priamej koľajnici tak, že rýchlosť jeho stredu je 0v

.

Určte rýchlosti A a B kolesa v okamihu zachytenom na obrázku.

[vA = v0 2 , Av

zviera s osou x uhol 45 ° ; vB = 2v0, Bv

je rovnobežná s osou x]



(N 2004/2005, 7)

53. Obruč s polomerom R sa valí po ceste rýchlosťou v

(obr.). Nájdite rýchlosť bodu A na obruči, ktorý

zviera so zvislicou uhol φ.

[veľkosť: ϕcos2vvA = ]

(Hajko I/13)

54. Teleso sa začína otáčať okolo pevnej osi s konštantným uhlovým zrýchlením ε = 0,04 s-2. V ktorom čase

od počiatku otáčania bude celkové zrýchlenie ľubovoľného bodu telesa zvierať uhol α = 76° s rýchlosťou

toho istého bodu?

[10 s]

(Hajko I/16)

55. Koleso sa otáča s frekvenciou n = 1 500 otáčok/min. Brzdením možno dosiahnuť, že jeho otáčanie bude

rovnomerne spomalené a koleso sa zastaví po čase t0 = 30 s od začiatku brzdenia. Vypočítajte uhlové

zrýchlenie ε a počet otáčok N, ktoré koleso vykoná od začiatku brzdenia až do zastavenia.

[ε = - 5,24 s-2; N = 375]

(FKS 1997/98, B-5.1)

56. Koncertné pódium má tvar kruhu s polomerom 10 m. Na začiatku pesničky je skupina rozmiestnená na

odvrátenej strane a pódium sa z pokoja začne roztáčať s konštantným uhlovým zrýchlením veľkosti ε. Určte

veľkosť celkového (uhlového) zrýchlenia a speváka skupiny (stojaceho na okraji pódia) počas celého

otáčania.

[ ]241 εε tRa +=



(Hajko, I/15)

57. Vlak sa pohybuje rovnomerne spomalene po dráhe dĺžky s = 800 m, ktorá je zakrivená do tvaru kružnice

s polomerom R = 800 m. Určite hodnotu celkového zrýchlenia ľubovoľného bodu vlaku na začiatku a na

konci zakrivenej trate a čas, za ktorý túto časť trate urazí. Veľkosť rýchlosti vlaku na začiatku je v0 = 54

km/h a na konci v1 = 18 km/h.

[t = 80 s; a0 = 0,308 m.s-2; a1 = 0,129 m.s-2]

(Hajko I/14)

58. Na obvode kladky s polomerom R, otáčajúcej sa okolo vodorovnej osi, je preložené lanko, na ktorom je

zavesené závažie (obr.). Pohyb závažia je určený rovnicou 2

2

1ats = . Nájdite časovú závislosť zrýchlenia

bodu M, ležiaceho na obvode kladky.

+= 422* taR

R

aa

(N 2003/2004, 10)

59. Na obrázku je nakreslená cievka s niťou. Veľký polomer je R, polomer menšieho valca (na ktorom je

namotaná niť) je r. Koniec nite chytíme a začneme ho ťahať veľkosťou rýchlosti v. Akou veľkosťou

rýchlosti sa začne pohybovať stred cievky? Cievka pri pohybe neprešmykuje.

+=

R

rvw

1

1



(N 1999/2000, 19)

60. Guľa sa kotúľa bez prešmykovania vo vodorovnom žľabe z dvoch rovinných dosiek (ktoré zvierajú uhol

60°) rýchlosťou 10 cm/h. Aká je maximálna rýchlosť, akú dosahuje niektorý z bodov na jej povrchu?

[v MAX = 3v = 30 cm.s-1]

(FKS 1997/98, A-3.1)

61. Lampáš sa nachádza vo vzdialenosti R0 = 3 m od zvislej steny a vrhá na ňu malú svetelnú stopu. Lampáš

sa otáča okolo zvislej osi idúcej jeho stredom frekvenciou n = 0,5 s-1 (viď obrázok). Pri otáčaní lampáša sa

stopa po stene pohybuje po vodorovnej priamke . Určte veľkosť rýchlosti v1 svetelnej stopy v čase t1 = 0,1 s,

keď viete, že v čase t = 0 s dopadala svetelná stopa kolmo na stenu.

[v1 = 10,42 m.s-1]

G) Iné druhy kinematických príkladov

(Hajko I/18)

62. Určte periódu periodického pohybu telesa, ktoré kĺže dole aj hore po naklonenej dvoch naklonených

rovinách, zvierajúcich s vodorovnou rovinou uhol α, resp. β (obr.), keď v čase t = 0 je voľne pustené

z polohy A, a keď zanedbávame trenie, ako aj straty kinetickej energie telesa pri jeho dopade z jednej roviny

na druhú.

+βα sin

1

sin

122

g

h



(FKS 2000/01, B-1.2)

63. (*) Obruč s polomerom R stojí na vodorovnej podložke. Rovnaká obruč sa kotúľa popred ňu

rýchlosťou v

. Čas ich prvého zdanlivého dotyku označme t = 0 s. Nájdite závislosť rýchlosti pohybu

horného „priesečníka“ oboch obručí od času.

− )4( vtRt

vR

(FX A2)

64. (**) Kozmonaut našiel vo vesmíre dlhý a veľmi tenký valec s polomerom r. Na jeho plášti bol uviazaný

špagát s voľnou dĺžkou L, s malým kamienkom pripevneným na druhom konci. Ako správny fyzik,

kozmonaut natiahol špagát tak, aby sa uviazaným koncom práve dotýkal valca a kamienku udelil rýchlosť v

kolmú na špagát tak, aby sa začal namotávať v rovine kolmej na os valca. Za aký čas sa špagát úplne namotá

na valec?

=

rv

LT

2

2

(FYKOS XXI-I-1)

65. (**) Zamyslite sa nad nasledovnou skutočnosťou: pri pohľade z idúceho vlaku sa vzdialenejšie objekty

na horizonte zdanlivo pohybujú po okne pomalšie, kým stĺpy pri trati sa len-tak mihnú. Ako závisí táto

zdanlivá (uhlová!) rýchlosť ω pohybu krajiny na jej vzdialenosti od cestovateľa?

=

l

v αω sin


Documents

1 Kinematika HB