Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
NINA SERE
POVEZAVNO 3-OBARVLJIVIGRAFI
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
Dvopredmetni ucitelj: matematika - racunalnistvo
NINA SERE
Mentor: doc. dr. PRIMOZ SPARL
POVEZAVNO 3-OBARVLJIVIGRAFI
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
Najprej bi se rada zahvalila svojemu mentorju, doc. dr. Primozu Sparlu, za nje-
gov cas, potrpezljivost in strokovno pomoc, ki mi jo je namenil tekom pisanja tega
diplomskega dela.
Zahvaljujem se tudi celotni svoji druzini, ki mi je tekom studija stala ob strani
in me podpirala, v prvi vrsti svojim starsem, ki so mi studij sploh omogocili in ves
cas verjeli vame.
Hvala tudi sosolkam in sosolcem, ki ste to poglavje mojega zivljenja napolnili z
lepimi spomini. Brez vas mi ne bi uspelo.
Povzetek
V diplomskem delu se ukvarjamo s kromaticnim indeksom kubicnih grafov, kjer se
omejimo na vecji del dobro znane druzine taksnih grafov, znanih pod imenom po-
sploseni Petersenovi grafi. Graf Γ je k-povezavno obarvljiv, ce se da njegove povezave
obarvati s k barvami tako, da so incidencne povezave obarvane z razlicnimi barvami.
Najmanjse tako stevilo k imenujemo kromaticni indeks grafa in ga oznacimo χ′(Γ).
Ker so posploseni Petersenovi grafi kubicni, ima vsak izmed njih po dobro znanem
Vizingovem izreku kromaticni indeks bodisi enak 3 bodisi 4. Rezultati tega diplom-
skega dela predstavljajo pomemben del dokaza, da je znameniti Petersenov graf edini
posploseni Petersenov graf, ki ni povezavno 3-obarvljiv. Z drugimi besedami, Pe-
tersenov graf GP (5, 2) je edini posploseni Petersenov graf s kromaticnim indeksom 4.
Kljucne besede: barvanje povezav, kromaticni indeks, kubicni graf, posploseni
Petersenov graf
MSC (2010) klasifikacija: 05C15
ii
Abstract
In this BSc thesis we deal with chromatic index of cubic graphs, where we ma-
inly focus on a significant part of the family of graphs, named generalized Petersen
graphs. A graph Γ is said to be k-edge-colorable, if we can color its edges with k
colors, so that incident edges are colored with different colors. The smallest such
number k is called the chromatic index and it is denoted by χ′(Γ). Due to the fact
that generalized Petersen graphs are cubic graphs, Vizing’s theorem implies that
their chromatic index is either 3 or 4. The results of this BSc thesis represent an
important part of the proof, that the famous Petersen graph is the only generalized
Petersen graph, which is not 3-edge colorable. In other words, the Petersen graph
GP (5, 2) is the only generalized Petersen graph, whose chromatic index equals 4.
Key words: edge coloring, chromatic index, cubic graph, generalized Petersen
graph
MSC (2010) classification: 05C15
iii
Kazalo
1 Uvod 1
2 Uvodni pojmi 3
2.1 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Barvanje povezav grafa 9
4 Kromaticni indeks nekaterih GP(n,k) 13
4.1 Predstavniki prve skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Predstavniki druge skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Predstavniki tretje skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Zakljucek 27
Literatura 29
iv
Slike
2.1 Primer upodobitve grafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Hamiltonski cikel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Primer sodega in lihega cikla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Petersenov graf GP (5, 2) in posploseni Petersenov graf GP (6, 3). . . . 8
3.1 Barvanje povezav razlicnih grafov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Optimalni barvanji povezav drugega in cetrtega grafa iz slike 3.1. . . 11
4.1 Vzorcna slika konstrukcije 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (7, 3) in GP (11, 3). . . . . . . . . . . . 16
4.3 Dobri 3-barvanji povezav grafov GP (7, 3) in GP (11, 3). . . . . . . . . 18
4.4 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (11, 5) in dobro 3-barvanje povezav
tega grafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Vzorcna slika konstrukcije 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6 Konstrukcija grafa Γ′ v GP (11, 4) in GP (15, 4). . . . . . . . . . . . . 20
4.7 Konstrukcija grafa Γ′ v GP (13, 4) in GP (21, 8). . . . . . . . . . . . . 21
4.8 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (11, 4) in GP (15, 4). . . . . . . . 22
4.9 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 4) in GP (21, 8). . . . . . . . 22
4.10 Vzorcna slika konstrukcije 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.11 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (13, 6) in GP (21, 10). . . . . . . . . . 25
4.12 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 6) in GP (21, 10). . . . . . . 25
v
Poglavje 1
Uvod
Diplomsko delo sodi na zanimivo podrocje matematike, ki se imenuje teorija grafov.
Kljub temu, da prvi zacetki sodijo v leto 1736, se je ta veja matematike “formalno”
zacela razvijati sele v drugi polovici 20. stoletja in njen razvoj se zdalec ni koncan.
Vse do danes ostaja na tem podrocju se kar nekaj odprtih vprasanj, s katerimi se
ukvarjajo razlicni znanstveniki.
Teorija grafov, kot pove ze ime samo, proucuje grafe. Graf je v matematiki diskre-
tna struktura, ki je sestavljena iz mnozice vozlisc in povezav med njimi. Torej si
ga kljub temu, da je to abstrakten pojem, zelo lahko predstavljamo. Brez tezav ga
lahko upodobimo (ce le ni prevelik), kjer vozlisca predstavljajo tocke, povezave pa
ravne ali krive crte med njimi.
Teorija grafov se je v zadnjih desetletjih mocno razvila in tako danes poznamo kar
nekaj razlicnih podrocij le-te. Eno izmed njih je tako imenovano barvanje grafov.
Zelo znamenit problem s tega podrocja, je problem stirih barv, ki je spraseval po
tem, ali lahko vsak zemljevid pobarvamo z natanko 4 barvami tako, da bodo drzave,
ki imajo skupno mejo obarvane z razlicnimi barvami. Da je temu res tako, je bilo do-
kazano s pomocjo racunalniskega programa, zato se se vedno najde kdo, ki meni, da
problem ni razresen. Obstajajo pa tudi druge vrste barvanj, kot na primer barvanja
vozlisc grafa, barvanja povezav grafa, seznamska barvanja, . . . V tem diplomskem
delu se bomo ukvarjali z barvanjem povezav.
Graf Γ je k-povezavno obarvljiv, ce se da njegove povezave obarvati s k barvami
tako, da so incidencne povezave (povezave, ki se stikajo v skupnem vozliscu) obar-
vane z razlicnimi barvami. V praksi nas najveckrat zanima najmanjse tako stevilko
k. To stevilo imenujemo kromaticni indeks grafa in ga oznacimo z χ′(Γ). Na tem
mestu nam je v veliko pomoc dobro znan Vizingov izrek, ki vse grafe razdeli v dve
skupini. V prvi se nahajajo tisti, katerih kromaticni indeks je enak maksimalni sto-
pnji (∆(Γ)), v drugi pa tisti, katerih kromaticni indeks je enak ∆(Γ) +1. [3, 8]
Kot nakaze ze sam naslov diplomskega dela, se bomo ukvarjali s kubicnimi grafi,
1
2 POGLAVJE 1. UVOD
to so grafi stopnje 3. Glede na Vizingov izrek torej lahko trdimo, da je kromaticni
indeks kubicnih grafov enak 3 ali pa 4.
Glavni cilj diplomskega dela je obravnava posebne druzine kubicnih grafov, ime-
novanih posploseni Petersenovi grafi, in dolocitev njihovega kromaticnega indeksa.
Sestavljeno je takole. V samem zacetku bomo spoznali (oziroma ponovili) osnovne
pojme, katere bomo uporabili tekom diplomskega dela. Dotaknili se bomo tudi te-
orije grup, saj slednja igra pomembno vlogo pri obravnavi simetrij grafov, ki nam
bodo v pomoc. Kot receno, v nadaljevanju pod drobnogled ne bomo vzeli vseh
kubicnih grafov, ampak se bomo posvetili druzini posplosenih Petersenovih grafov,
kateri imajo oznako GP (n, k). Le-ta vsebuje tudi enega izmed najbolj znanih grafov,
tako imenovani Petersenov graf GP (5, 2), po katerem druzina tudi nosi ime. Kot je
omenjeno ze v zgornjih odstavkih, bomo iskali kromaticni indeks grafov GP (n, k).
Ker bi bilo to delo prevec obsezno, ce bi obravnavali vse predstavnike te druzine, se
bomo omejili le na nekatere izmed njih.
Na tem mestu je vredno omeniti dejstvo, da je dolocitev kromaticnega indeksa po-
ljubnega grafa izredno tezak problem, saj sodi med tako imenovane NP-polne pro-
bleme. Nekaj besed vec o problemih tega razreda, povemo v poglavju o barvanju
grafov. Sicer pa si lahko bralec kaj vec o zahtevnosti tega problema, prebere v [4].
Poglavje 2
Uvodni pojmi
Kot smo omenili v uvodu, bomo najprej spoznali nekaj osnovnih pojmov iz podrocja
teorije grup in teorije grafov. Za lazje razumevanje smo dodali tudi nekaj zgledov.
V tem poglavju izhajamo iz virov [6], [7] in [8].
2.1 Teorija grup
Osnovno o grupah
Definicija. Naj bo G neprazna mnozica in · notranja operacija na G (to je, za
∀g1, g2 ∈ G je g1 · g2 ∈ G). Tedaj je (G, ·) grupa, ce velja:
- Operacija · je asociativna, to je za ∀g1, g2, g3 ∈ G je (g1 · g2) · g3 = g1 · (g2 · g3)
- V mnozici G obstaja nevtralni element e, da za ∀g ∈ G velja g · e = e · g = g
- Vsak g ∈ G ima inverzni element glede na nevtralni element e, to je:
∀g ∈ G : (∃g−1 ∈ G : g · g−1 = g−1 · g = e)
Ce dodatno velja se, da je operacija · komutativna, to je, ce za ∀g1, g2 ∈ G velja
g1 · g2 = g2 · g1, je grupa (G, ·) komutativna. Kadar gre za komutativno grupo, se
namesto znaka · obicajno uporablja znak +, pri inverznem elementu pa namesto g−1
pisemo kar –g.
V splosnem znak za operacijo opuscamo, torej namesto g1 · g2 pisemo g1g2 in
govorimo kar o grupi G namesto o grupi (G, ·).V grupah velja pravilo krajsanja z leve in z desne strani, to je, za poljuben x, g1, g2 ∈G velja: xg1 = xg2 ⇒ g1 = g2 in g1x = g2x⇒ g1 = g2
Definicija. Naj bo G grupa in g ∈ G. Tedaj je red grupe G, ki ga oznacimo z |G|,enak stevilu elementov, ki jih G premore. Red elementa g je definiran kot najmanjse
naravno stevilo n, da je gn = e. Ce tak n ne obstaja, ima g neskoncen red.
3
4 POGLAVJE 2. UVODNI POJMI
Definicija. Naj bo (G, ·) grupa in H ⊆ G neprazna podmnozica. Ce je tudi (H, ·)grupa, je H podgrupa grupe G, kar zapisemo kot H ≤ G.
Dobro znano dejstvo je, da je v koncni grupi G neprazna podmnozica H njena
podgrupa natanko tedaj, ko je H zaprta za podedovano operacijo.
Definicija. Naj bo G grupa in ∅ 6= S ⊆ G poljubna neprazna podmnozica. Tedaj
je 〈S〉 najmanjsa podgrupa grupe G, ki vsebuje S. Mnozica S se imenuje mnozica
generatorjev podgrupe 〈S〉, podgrupo 〈S〉, pa imenujemo podgrupa grupe G, gene-
rirana s S.
Nekatere druzine grup
Obstaja cela vrsta zelo dobro znanih druzin grup, kot so ciklicne grupe Zn, simetricne
grupe Sn, alternirajoce grupe An, diedrske grupe Dn, itd. Za nas sta pomembni
predvsem naslednji dve.
1. Ciklicna grupa Zn
Ciklicna grupa Zn je komutativna grupa (Zn, +), kjer je Zn mnozica ostankov
pri deljenju z n, sestevamo pa po modulu n. Grupa je reda n, nevtralni element
grupe je 0, inverzni element, elementa i, pa je n− i. Vsak k ∈ Zn, za katerega
je D(k, n) = 1, je generator grupe Zn.
2. Diedrska grupa Dn
Diedrska grupa (Dn, ·), kjer je n ≥ 3, je grupa simetrij pravilnega n-kotnika
z operacijo komponiranja preslikav. Abstraktno lahko zapisemo Dn = 〈r, z :
rn = 1, z2 = 1, zrz = r−1〉 = {1, r, r2, . . . , rn−1, z, zr, zr2, . . . , zrn−1}, kjer r
predstavlja rotacijo, z pa zrcaljenje pravilnega n-kotnika. Ta grupa je reda 2n
in ni komutativna.
2.2 Teorija grafov
Definicija. Enostaven neusmerjen graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par dveh mnozic
V (Γ) in E(Γ), kjer V (Γ) predstavlja neprazno mnozico vozlisc, E(Γ) pa je pod-
mnozica mnozice neurejenih parov razlicnih vozlisc iz V (Γ). Ce je jasno, za kateri
graf gre, namesto Γ = (V (Γ), E(Γ)) pisemo kar Γ = (V,E). Elementom mnozice
E(Γ) pravimo povezave grafa. Povezavo {u, v} krajse zapisemo kot uv, kar pomeni,
da uv predstavlja isto povezavo kot vu. Povezavam, ki se stikajo v skupnem vozliscu
pravimo incidencne povezave. Ce sta u, v ∈ V (Γ) taki vozlisci, da je uv ∈ E(Γ),
potem sta to sosedni vozlisci, kar zapisemo kot u∼Γv oziroma u ∼ v, ce je jasno
za kateri graf gre. Taki dve vozlisci sta krajisci povezave uv, le-ta pa je incidencna
2.2. TEORIJA GRAFOV 5
s tema dvema vozliscema. Kardinalnosti mnozice V (Γ) pravimo red grafa in jo
oznacimo z |V (Γ)| oziroma kar z |Γ|.
Slika 2.1: Primer upodobitve grafa.
Dogovor. Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju namesto enostaven neusmerjen
graf pisali samo graf in s tem vedno mislili na enostaven neusmerjen graf. Nasi
grafi bodo torej brez zank (povezave, katerih krajisci sta isto vozlisce) in veckratnih
povezav (med dvema razlicnima vozliscema obstaja vec povezav).
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Tedaj mnozici N(v) = {u ∈V ;u ∼ v} pravimo okolica (tudi sosescina) vozlisca v. Kardinalnosti |N(v)| pravimo
stopnja (tudi valenca) vozlisca v in jo oznacimo z deg(v). Minimalno stopnjo vozlisc
v Γ oznacimo z δ(Γ), maksimalno pa z ∆(Γ). Ce je δ(Γ) = ∆(Γ), je graf regularen
in tedaj lahko govorimo o stopnji grafa. Ce je δ(Γ) = ∆(Γ) = k, je graf k-regularen
oziroma stopnje k. Ce je k = 3, recemo, da je Γ kubicen.
Lema 2.1 (Lema o rokovanju). Naj bo Γ graf. Tedaj je vsota stopenj vseh njegovih
vozlisc enaka dvakratniku stevila njegovih povezav.
Posledica 2.2. Naj bo Γ poljuben koncen graf. Tedaj ima Γ sodo mnogo vozlisc lihe
stopnje. Ce je torej Γ regularen graf lihe stopnje, je sodega reda. Tako so torej vsi
kubicni grafi sodega reda.
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Zaporedje vozlisc (v0, v1, . . . , vn) grafa Γ je
sprehod v Γ, ce za poljuben 1 ≤ i ≤ n velja vi−1 ∼ vi, to je, ce sta poljubni vozlisci v
tem zaporedju sosednji. Vozliscu v0 pravimo zacetno, vozliscu vn pa koncno vozlisce,
dani sprehod pa je dolzine n. Ce so vse pripadajoce povezave tega sprehoda paroma
razlicne, je to enostaven sprehod, ce pa so paroma razlicna tudi vozlisca, gre za pot.
Ce je v0 = vn, je to obhod. Obhodu, v katerem sta enaka samo v0 in vn, ostala
vozlisca pa so paroma razlicna, pravimo cikel. Cikel dolzine n se imenuje n-cikel.
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Tedaj je komponenta po-
vezanosti grafa Γ, ki vsebuje v, mnozica vseh tistih vozlisc u ∈ V , za katere v Γ
6 POGLAVJE 2. UVODNI POJMI
obstaja vsaj en sprehod med v in u. V primeru, ko ima Γ samo eno komponento
povezanosti, je Γ povezan graf.
Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Tedaj je Γ1 podgraf
grafa Γ2, ce je V1 ⊆ V2 in E1 ⊆ E2. Ce je V1 = V2, je Γ1 vpet podgraf grafa Γ2.
Dogovor. Od tu naprej bomo pojem cikel razumeli kot podgraf, ki je sestavljen iz
vseh vozlisc pripadajocega obhoda in vseh povezav po dveh zaporednih vozlisc na
obhodu. S tem orientacija in zacetno vozlisce izgubita pomen.
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj ciklu dolzine |V | v Γ pravimo hamiltonski
cikel grafa Γ.
Povedano drugace, hamiltonski cikel je cikel, ki obisce vsa vozlisca v grafu, zato
je dolzine |V |. Za zgled vzemimo kar graf na sliki 2.1. Slednji vsebuje hamiltonski
cikel, eden izmed njih pa je z rdeco barvo oznacen na sliki 2.2.
Slika 2.2: Hamiltonski cikel.
Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Preslikava ϕ : V1 → V2
je izomorfizem grafov, ce je bijektivna in za poljuben par vozlisc u1, v1 ∈ V1 velja:
u1 ∼Γ1 v1 ⇐⇒ ϕ(u1) ∼Γ2 ϕ(v1).
Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna, kar oznacimo z Γ1∼= Γ2, ce med njima obstaja kak
izomorfizem grafov.
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Avtomorfizem grafa Γ je tedaj vsaka bijekcija
ϕ : V → V , ki ohranja sosednost. Za poljuben par vozlisc torej mora veljati
u ∼ v ⇐⇒ ϕ(u) ∼ ϕ(v).
Mnozico avtomorfizmov grafa Γ oznacimo z Aut(Γ) in ji recemo grupa avtomorfiz-
mov grafa Γ, kar je, glede na sledeco trditev, upraviceno poimenovanje.
Trditev 2.3. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj je mnozica Aut(Γ) za obicajno kompo-
niranje preslikav grupa.
2.2. TEORIJA GRAFOV 7
Za konec tega razdelka si oglejmo se nakaj standardnih druzin grafov. Obstaja
jih kar nekaj, recimo polni grafi Kn, cikli Cn, posploseni Petersenovi grafi GP (n, k),
Hammingovi grafi H(d, q), itd., a so za nas pomembne le prve tri omenjene druzine.
1. Polni grafi Kn
Naj bo n ≥ 1 naravno stevilo. Tedaj je polni graf reda n, ki ga oznacimo s Kn,
graf z mnozico vozlisc V = {1, 2, . . . , n}, v katerem so vsi pari vozlisc sosedni.
2. Cikli Cn
Naj bo n ≥ 3 naravno stevilo. Tedaj je cikel dolzine n, ki ga oznacimo s Cn,
graf reda n z mnozico vozlisc Zn, edine povezave pa so oblike {i, i+ 1} za vse
i ∈ Zn.
Ce je n sodo stevilo, je Cn sodi cikel, oziroma cikel sode dolzine, ce pa je
n liho stevilo, je Cn lihi cikel, oziroma cikel lihe dolzine. Ocitno je grupa
avtomorfizmov teh grafov izomorfna diedrski grupi Dn. Rotacijsko simetrijo
obicajno oznacimo z ρ, to je avtomorfizem, ki vozlisce i preslika v vozlisce i+1,
avtomorfizem, ki graf zrcali preko izbrane osi pa oznacimo s τ .
Slika 2.3: Primer sodega in lihega cikla.
Posvetimo se se druzini grafov, ki bo igrala osrednjo vlogo tega diplomskega dela.
3. Posploseni Petersenovi grafi GP (n, k)
Naj bo n ≥ 3 naravno stevilo in naj bo 1 ≤ k ≤ n− 1. Posploseni Petersenov
graf GP (n, k) je tedaj graf reda 2n z mnozico vozlisc
V = {ui ; i ∈ Zn} ∪ {vi ; i ∈ Zn}
in sosednostmi naslednjih oblik: ui ∼ vi, ui ∼ ui±1, vi ∼ vi±k za ∀i ∈ Zn.
Kot zanimivost pa lahko na tem mestu omenimo, da je druzina teh grafov ime
dobila po slavnem Petersenovem grafu GP (5, 2), slednji pa se imenuje po danskem
matematiku Juliusu Petersenu.
8 POGLAVJE 2. UVODNI POJMI
Trditev 2.4. Za poljubno naravno stevilo n ≥ 3 in poljuben 1 ≤ k ≤ n − 1 velja
GP (n, k) = GP (n, n− k).
Dokaz. Vsak vi je povezan z vi+k in vi−k, v Zn pa je n − k obrat elementa k, torej
n−k = −k. Vsak vi je potemtakem povezan z vi+(n−k) = vi−k in vi−(n−k) = vi−(−k) =
vi+k, kar pomeni, da imata grafa GP (n, k) in GP (n, n−k) natanko iste povezave.
Opomba. V resnici je zaradi te trditve pri sami definiciji posplosenih Petersenovih
grafov smiselno privzeti k ≤ n2, oziroma kar k < n
2, saj je v primeru, ko je n sodo
stevilo, n2
sam sebi obrat, torej je v primeru k = n2
vsako vozlisce vi povezano samo
z dvema drugima vozliscema (ui in vi+k) in tak graf ni vec regularen.
Ocitna avtomorfizma grafa GP (n, k) sta:
ρ : ui 7→ ui+1 ∧ vi 7→ vi+1 ; i ∈ Zn (2.1)
τ : ui 7→ u−i ∧ vi 7→ v−i ; i ∈ Zn (2.2)
Lahko si predstavljamo, da avtomorfizem ρ graf vrti, τ pa zrcali preko izbrane osi.
Slika 2.4: Petersenov graf GP (5, 2) in posploseni Petersenov graf GP (6, 3).
Dogovor. Vozliscem ui grafa GP (n, k), i ∈ Zn, bomo v nadaljevanju rekli zunanja
vozlisca, vozliscem vi pa notranja vozlisca. Mnozico povezav lahko razbijemo na tri
dele, torej E(GP (n, k)) = E1 ∪ E2 ∪ E3, kjer so v E1 povezave tipa uiui±1, v E2
povezave tipa vivi±k in v E3 povezave tipa uivi, kjer je i ∈ Zn. Povezavam iz E1
bomo rekli zunanje povezave, povezavam iz E2 notranje povezave, povezavam iz E3
pa spice.
Trditev 2.5. Naj bosta n in 1 ≤ k < n2
taki naravni stevili, da je D(n, k) = 1.
Tedaj je GP (n, k) ∼= GP (n, k−1).
Dokaz. Naj bo V = {ui ; i ∈ Zn} ∪ {vi ; i ∈ Zn} mnozica vozlisc grafa GP (n, k)
in V ′ = {u′i ; i ∈ Zn} ∪ {v′i ; i ∈ Zn} mnozica vozlisc grafa GP (n, k−1), kjer so
povezave definirane na obicajen nacin. Tedaj je ϕ : ui 7→ v′k−1i ∧ vi 7→ u′k−1i, kjer je
i ∈ Zn, izomorfizem grafa GP (n, k) na GP (n, k−1).
Poglavje 3
Barvanje povezav grafa
V tem poglavju se srecamo s pojmi, ki se ze bolj dotikajo glavne teme diplomskega
dela. Spoznamo tudi kljucne izreke, na katere se bomo opirali tudi v naslednjem,
najpomembnejsem poglavju. Izhajamo predvsem iz virov [3] in [8].
Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Preslikava c : E → N je dobro barvanje
povezav, ce za poljubni razlicni incidencni povezavi e, e′ ∈ E velja c(e) 6= c(e′).
χ′(Γ) je minimalno stevilko k, da obstaja dobro barvanje povezav c : E → N, za
katerega je c(e) ≤ k za vse e ∈ E. Stevilo χ′(Γ) imenujemo kromaticni indeks grafa
Γ.
Opomba. Za boljso predstavo pri barvanju konkretnih grafov stevila raje nadome-
stimo z barvami. Oglejmo si nekaj zgledov.
Slika 3.1: Barvanje povezav razlicnih grafov.
9
10 POGLAVJE 3. BARVANJE POVEZAV GRAFA
Vsi grafi na sliki 3.1 so dobro obarvani, saj so vse incidencne povezave obarvane z
razlicnimi barvami. Ce pogledamo grafe od od leve proti desni in od zgoraj navzdol
opazimo, da je prvi obarvan s k = 4 barvami, drugi s k = 6, tretji s k = 2, cetrti s
k = 4 in zadnji prav tako s k = 4 barvami. Zanima nas, ali je v teh primerih k tudi
kromaticni indeks danih grafov. Zdi se, da bo χ′(Γ) povezan z maksimalno stopnjo
grafa. Stevilo χ′(Γ) namrec ocitno ne more biti manjse od maksimalne stopnje, saj
morajo biti incidencne povezave razlicnih barv. Torej lahko zapisemo χ′(Γ) ≥ ∆(Γ).
Da s tem nismo prav dalec od prave vrednosti za χ′(Γ), nam pove spodnji izrek.
Izrek 3.1 (Vizingov izrek). Naj bo Γ poljuben graf. Tedaj velja ∆(Γ) ≤ χ′(Γ) ≤∆(Γ) + 1.
Dokaza na tem mestu ne bomo navajali, saj je le-ta v slovenskem jeziku na-
tancno razdelan ze v drugem diplomskem delu [3]. Omenimo pa, da je dolocitev
kromaticnega indeksa kljub temu, da sta mozni samo dve stevili, v splosnem zelo
netrivialen problem. Spada v razred tako imenovanih NP-polnih problemov. To so
problemi, za katere med drugim velja, da zaenkrat ne poznamo algoritma, ki bi jih
resil v polinomskem casu (glede na velikost objekta, v nasem primeru grafa). V
kolikor pa bo nekoc tak algoritem znan, bodo v polinomskem casu resljivi tudi vsi
drugi problemi iz razreda NP. Ce je graf dovolj majhen, v resnici nimamo tezav z
dolocitvijo kromaticnega indeksa. Problem nastane le, ce ima graf veliko vozlisc.
NP-polni problemi so eni izmed najbolj znanih problemov v svetu racunalnistva in
poznamo jih cel kup. Zanimivo pa je tudi to, da do danes se nihce ni dokazal,
da polinomski algoritmi zanje ne obstajajo in to omenjene probleme naredi se bolj
zanimive.
Vrnimo se na prejsnji zgled. Takoj lahko opazimo, da je χ′(C8) = 2, saj je ta
graf stopnje 2, pri nasem barvanju pa smo uporabili le dve barvi. Po drugi strani je
po Vizingovem izreku 4 ≤ χ′(K5) ≤ 5, torej nase zgornje barvanje polnega grafa K5
se ni optimalno. Za ostale tri grafe pa ne moremo zagotovo reci ali je pripadajoci k
res kromaticni indeks ali ne, saj za vsa tri barvanja velja k = ∆ + 1. Torej bi stevilo
barv v najboljsem primeru lahko zmanjsali se za 1. V nadaljevanju se bomo posvetili
le kromaticnemu indeksu nekaterih posplosenih Petersenovih grafov, tako da je za
nas v resnici zanimiv le zadnji primer, torej GP (11, 5), ki je na zgornji sliki obarvan
s stirimi barvami. Ker za grafe GP (n, k) velja, da so 3-regularni (oziroma kubicni),
lahko po Vizingovem izreku trdimo, da je 3 ≤ χ′(GP (n, k)) ≤ 4. Na vprasanje
ali lahko barvanje pri tem konkretnem grafu se izboljsamo, bomo odgovorili malce
kasneje, preden pa se lotimo dokaza naslednjega izreka, ki igra kljucno vlogo v
naslednjem poglavju, poskusimo izboljsati barvanje povezav grafa K5 in cetrtega
grafa iz zgornjega primera. Novi barvanji sta prikazani na sliki 3.2. Izkaze se, da
11
se povezav grafa K5 s stirimi barvami ne da obarvati (bralca vabimo, da poisce
ustrezno utemeljitev), tako sta na sliki 3.2 kar optimalni barvanji.
Slika 3.2: Optimalni barvanji povezav drugega in cetrtega grafa iz slike 3.1.
Izrek 3.2. Naj bo Γ = (V,E) kubicen graf reda n > 3. Tedaj je Γ povezavno 3-
obarvljiv natanko tedaj, ko vsebuje disjunktno unijo sodih ciklov, ki pokrijejo vsa
vozlisca.
Dokaz. Spomnimo se, da je graf Γ po posledici Leme o rokovanju sodega reda. De-
nimo najprej, da je Γ povezavno 3-obarvljiv in izberimo konkretno dobro barvanje
povezav s tremi barvami. Dokazimo, da vsebuje disjunktno unijo sodih ciklov, ki
pokrijejo vsa vozlisca. V resnici dokazujemo, da Γ premore vpet podgraf, izomorfen
disjunktni uniji sodih ciklov. Vsako vozlisce je stopnje 3 in ker je Γ povezavno 3-
obarvljiv, se v vsakem vozliscu stikajo vse tri barve, recimo modra, rdeca in zelena.
Oglejmo si podgraf Γ′, ki sestoji iz vseh vozlisc in vseh modrih in rdecih povezav.
Ocitno je to vpet podgraf stopnje 2, saj se v vsakem vozliscu stikata povezavi obar-
vani s tema dvema barvama. Imamo dve moznosti, glede na to ali je graf Γ povezan
ali pa je sestavljen iz vec komponent povezanosti. Ce je Γ′ povezan, je izomorfen
grafu Cn, ki je sode dolzine. Ce pa je Γ′ sestavljen iz vecih komponent povezanosti,
pa vsaka izmed njih, enako kot zgoraj, predstavlja cikel, kjer pa se zaradi dejstva,
da gre za dobro barvanje, izmenjujeta modra in rdeca barva. Torej je vsaka kompo-
nenta cikel sode dolzine in v tem primeru dobimo disjunktno unijo sodih ciklov, ki
prav tako pokrijejo vsa vozlisca.
Sedaj pa predpostavimo obratno, da torej vozlisca grafa Γ pokriva unija sodih ci-
klov. Dokazimo, da je tedaj Γ povezavno 3-obarvljiv. Ker so cikli sode dolzine, lahko
povezave vsakega od njih izmenicno obarvamo z dvema barvama, recimo z modro
12 POGLAVJE 3. BARVANJE POVEZAV GRAFA
in rdeco. Ker je Γ kubicen, v vsakem vozliscu obstaja se natanko ena povezava, ki
ni obarvana. Vse te povezave obarvamo s tretjo barvo, recimo zeleno, in dobili smo
dobro 3-barvanje povezav grafa.
Posledica 3.3. Naj bo Γ kubicen graf. Ce premore hamiltonski cikel, je povezavno
3-obarvljiv.
Dokaz. Po posledici leme o rokovanju je hamiltonski cikel sode dolzine, torej je Γ
povezavno 3-obarvljiv po izreku 3.2.
Obrat posledice ne velja. Obstajajo namrec kubicni grafi, ki so 3-povezavno
obarvljivi, a nimajo hamiltonskega cikla. Robertson je leta 1968 dokazal, da grafi
GP (n, k), za katere je n ≡ 5 (mod 6) in je k ∈ {2, n−12, n+1
2, n − 2}, ne premorejo
hamiltonskega cikla (dokaz lahko bralec najde v [5]). Malce kasneje pa bomo navedli
primer dobrega 3-barvanja povezav enega izmed grafov s temi karakteristikami, kar
dokazuje, da obrat posledice 3.3 ne velja.
Poglavje 4
Kromaticni indeks nekaterih
posplosenih Petersenovih grafov
Posvetimo se sedaj osrednjemu delu tega diplomskega dela. V tem poglavju se
ukvarjamo z vprasanjem ali doloceni predstavniki druzine posplosenih Petersenovih
grafov vsebujejo vpet podgraf, ki je izomorfen uniji sodih ciklov ali ne. Po izreku iz
prejsnjega poglavja je namrec to potreben in zadosten pogoj za to, da so povezavno
3-obarvljivi. Pri samem dokazu igra kljucno vlogo avtomorfizem τ iz (2.2). V tem
poglavju izhajamo iz clanka [2].
Tekom diplomskega dela smo ze omenili, kako zelo tezak je problem dolocitve kro-
maticnega indeksa grafov, zato ne bomo obravnavali vseh predstavnikov druzine
GP (n, k), pac pa se bomo v nasi analizi omejili na posplosene Petersenove grafe
GP (n, k), za katere velja:
- n ≥ 7 je liho stevilo,
- D(n, k) = 1,
- 2 < k < (n−1)2
.
Dokaz povezavne 3-obarvljivosti za preostale predstavnike te druzine (z izjemo
Petersenovega grafa GP (5, 2)), je predstavljen v [9]. Kljub precej strnjenemu in
skopemu zapisu je avtor zanj potreboval 11 strani, zato bi bilo nase diplomsko delo
bistveno preobsezno, ce bi vanj vkljucili se ta del. Bralca seveda vabimo, da si ta del
dokaza prebere sam. Nasa analiza, skupaj z omenjenimi rezultati v [9], pokaze, da
je slavni Petersenov graf GP (5, 2) edini posploseni Petersenov graf, ki ni povezavno
3-obarvljiv.
Grafe z zgornjimi karakteristikami bomo razdelili v tri skupine. V prvi skupini so
tisti predstavniki GP (n, k), za katere sta n in k obe lihi stevili, v drugi skupini tisti,
za katere je n ≡ 3 (mod 4) ter k sodo stevilo in n ≡ 1 (mod 4) ter k, k−1 obe sodi
13
14 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
stevili, v tretji pa tisti, za katere je n ≡ 1 (mod 4) ter k sodo in k−1 liho stevilo. Ker je
naravno stevilo liho natanko tedaj, ko je kongruentno bodisi 1 bodisi 3 po modulu
4 in ker je stevilo k lahko sodo ali liho, prav tako pa tudi njegov multiplikativni
obrat k−1, je jasno, da smo z zgornjo dolocitvijo skupin pokrili vse moznosti. Grafe
GP (n, k), za katere k v Zn nima obrata, pa izlocimo ze s predpostavko D(n, k) = 1.
Zaradi lazje analize, v nadaljevanju pisemo n = 2m + 1. V naslednjih treh
razdelkih bomo za vsako od treh skupin grafovGP (n, k), podali konstrukcijo vpetega
podgrafa Γ′, in to tako, da bo avtomorfizem τ iz (2.2) tudi avtomorfizem grafa
Γ′. V vsakem razdelku pokazemo, da je Γ′ 2-regularen podgraf in da so njegove
komponente povezanosti sode dolzine. Glavna ideja dokaza sodosti komponent je,
da se spomnimo, da τ fiksira vozlisci u0 in v0 in nobenega drugega. Osredotocili se
bomo na komponento povezanosti grafa Γ′, ki vsebuje u0. Ce se izkaze, da je na njej
tudi v0, je namrec le-ta sode dolzine, ce pa temu ni tako, torej ce vsako izmed vozlisc
u0 in v0 pripada svoji komponenti, je vsaka od obeh komponent liha. V tem primeru
mora vsaka izmed teh dveh komponent vsebovati se natanko eno izmed povezav, ki
jih τ fiksira. Ce torej pokazemo, da taksnih povezav v Γ′ ni, smo s tem pokazali, da
vozlisci u0 in v0 lezita na isti komponenti povezanosti, ki je zato sode dolzine.
Omenimo se to, da bomo v vsakem razdelku zaradi lazjega dokazovanja vpeljali
pojem cetverice vozlisc. To so 4 zaporedna vozlisca na Γ′ oblike vi, ui, ui+1, vi+1 ali
pa vi, ui, ui−1, vi−1. Ocitno je vsaka komponenta povezanosti grafa Γ′, katere vsako
vozlisce pripada kaksni cetverici, cikel sode dolzine, natancneje dolzine 4a, kjer a
predstavlja stevilo cetveric v Γ′.
Preden se posvetimo vsaki skupini grafov posebej, omenimo tudi dejstvo, da je
k generator grupe Zn, saj sta n in k tuji stevili. To pomeni, da notranje povezave
notranja vozlisca povezejo v eno samo komponento.
4.1 Predstavniki prve skupine
Kot receno, so predstavniki prve skupine tisti grafi, za katere sta n in k obe lihi
stevili. Konstruirajmo naslednji vpet podgraf.
Konstrukcija 4.1. Naj bo Γ′ = (V,E ′), kjer je E ′ = E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4, pri tem pa
je
E1 = {um+kum+k+1, um+k+1um+k+2, . . . , un−1u0, u0u1, u1u2, . . . , um−kum−k+1},E2 = {um−k+2um−k+3, um−k+4um−k+5, . . . , um+k−2um+k−1},E3 = {um−k+1vm−k+1, um−k+2vm−k+2, . . . , um+kvm+k} in
E4 = {vm+1vm+k+1, vm+2vm+k+2, . . . , vn−1vk−1, v0vk, v1vk+1, . . . , vm−kvm}Tedaj je Γ′ vpet podgraf grafa GP (n, k) z mnozico povezav E ′.
Podmnozici povezav E1 in E3 sta ocitno dobro definirani. Podrobneje si oglejmo
4.1. PREDSTAVNIKI PRVE SKUPINE 15
E2. Le-ta vsebuje povezave tipa u(m−k)+iu(m−k)+i+1, kjer je 2 ≤ i ≤ 2k − 2 sodo
stevilo. Ker lahko povezavo um+k−2um+k−1 zapisemo tudi v obliki,
um+k−2um+k−1 = um−k+2k−2um−k+2k−1 = um−k+2(k−1)um−k+2(k−1)+1, je jasno, da je
vsebovana v E2, saj je 2(k−1) sodo stevilo. Torej je tudi E2 dobro definirana. Bralec
bo opazil, da je v tej podmnozici povezav, zaradi lihosti k, vsebovana povezava
um−1um = um−k+(k−1)um−k+(k−1)+1. Prav tako pa je dobro definirana tudi E4, saj je
n− 1 = 2m+ 1− 1 = 2m > m+ 1 in 0 < m− k. Da si bomo zgornjo konstrukcijo
lazje predstavljali, si za zacetek oglejmo vzorcno sliko vpetega podgrafa opisanega
z le-to. Na sliki 4.1 je prikazan z modro barvo.
Slika 4.1: Vzorcna slika konstrukcije 4.1.
Za podgraf Γ′ je potrebno dokazati se, da je 2-regularen in sestavljen iz samih
sodih ciklov. Zapisimo ti dve dejstvi kot lemi in ju dokazimo.
Lema 4.2. Vpeti podgraf Γ′ = (V ′, E ′), opisan v konstrukciji 4.1, je 2-regularen.
Dokaz. Vsako vozlisce ui, kjer je 0 ≤ i ≤ m − k ali pa m + k + 1 ≤ i < n, je v
Γ′ povezano natanko z ui−1 in ui+1. Vozlisca ui, kjer je m − k + 1 ≤ i ≤ m + k,
so v Γ′ povezana s pripadajocim notranjim vozliscem vi in pa z natanko enim od
vozlisc ui+1 in ui−1. Torej so v Γ′ res vsa zunanja vozlisca stopnje 2. Stopnjo
preverimo se za notranja vozlisca. Oznacimo mnozico notranjih vozlisc z VN . Naj
bo VN = V1 ∪ V2 ∪ V3, kjer je V1 = {v0, v1, . . . , vm−k} ∪ {vm+k+1, vm+k+2, . . . , vn−1},V2 = {vm−k+1, vm−k+2, . . . , vm}, in V3 = {vm+1, vm+2, . . . , vm+k}. Vsak vi ∈ V1 je v
Γ′ povezan z vi±k, vsak vi ∈ V2 je v Γ′ povezan s pripadajocim zunanjim vozliscem
ui in z vi−k, vsak vi ∈ V3 pa je v Γ′ povezan s pripadajocim zunanjim vozliscem ui in
z vi+k. Torej so v Γ′ tudi vsa notranja vozlisca stopnje 2 in zato je Γ′ res 2-regularen
graf.
16 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
Ker je podgraf Γ′ 2-regularen, so torej njegove komponente povezanosti cikli.
Preden se lotimo dokaza naslednje leme, si oglejmo dva konkretna zgleda opisane
konstrukcije. Prikazana sta na sliki 4.2.
Slika 4.2: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (7, 3) in GP (11, 3).
Bralec lahko na sliki 4.2 opazi, da je Γ′ v GP (7, 3) povezan graf, torej je Γ′ ha-
miltonski cikel in ker je vsak GP (n, k) sodega reda, je po izreku 3.2 graf GP (7, 3)
povezavno 3-obarvljiv. Podgraf Γ′ v GP (11, 3) sestoji iz dveh ciklov, torej je po-
trebno za vsakega posebej preveriti ali je sode dolzine. Tudi v tem primeru sta oba
cikla soda, eden dolzine 10, drugi pa dolzine 12, zato je po izreku 3.2 tudi ta graf
povezavno 3-obarvljiv. Dobili smo dva bistveno razlicna primera vpetega podgrafa
Γ′, to pa pomeni, da kljub temu, da poznamo konstrukcijo, ne vemo tocno koliko
komponent povezanosti bomo dobili. Spodnja lema pa nam pove, da so ne glede na
to, koliko jih je, vse sode dolzine.
Lema 4.3. Komponente povezanosti vpetega podgrafa Γ′, opisanega v konstrukciji
4.1, so cikli sode dolzine.
Dokaz. Po lemi 4.2 so komponente povezanosti grafa Γ′ cikli. Pokazati je torej treba,
da so sode dolzine. Ker v Zn velja −(m + k) = 2m + 1 −m − k = m − k + 1, iz
same konstrukcije sledi, da je τ tudi avtomorfizem grafa Γ′. Naj bo C0 tisti cikel
v Γ′, ki vsebuje u0. Edine povezave iz Γ′, ki jih lahko τ fiksira, so oblike uiu−i in
viv−i. Ker je k liho stevilo, sta edini povezavi tega tipa umum+1 in vn−k2vn+k
2. Naj
bo e1 = umum+1 in e2 = vn−k2vn+k
2.
Spomnimo se, da je lahko C0 v Γ′ liha komponenta le v primeru, da sta u0 in v0
v razlicnih komponentah povezanosti, vsaka od katerih vsebuje po eno povezavo
4.1. PREDSTAVNIKI PRVE SKUPINE 17
zgornje oblike. Dovolj je torej pokazati, da e1 /∈ E ′. To pa je lahko videti, saj bi bila
lahko glede na konstrukcijo povezava umum+1 kvecjemu v E2, kjer pa smo ze videli,
da so le povezave oblike um−k+ium−k+i+1 za sode i. Ker je k liho stevilo, to potem
ne gre. To pomeni, da je cikel C0 res sode dolzine.
V nadaljevanju dokaza bomo uporabljali pojem cetverice vozlisc, ki smo ga definirali
na zacetku tega poglavja. V splosnem se lahko zgodi, da je C0 kar cel Γ′, kar smo
videli na sliki 4.2 za graf GP (7, 3). V primeru, ko pa temu ni tako, vzemimo nek
vi, kjer je m + k < i ≤ n − 1 ali pa 0 ≤ i < m − k + 1, ki ni na C0, torej vi ∈ V1,
kjer so notranja vozlisca podgrafa Γ′ oznacena kot v dokazu leme 4.2. Vozlisce
vi je vsebovano na neki komponenti skupaj z vi+k, vi+2k, . . . , vi+rk, vi+(r+1)k, kjer je
i + rk < m − k + 1 in i + (r + 1)k > m − k + 1. To pomeni, da vi+rk ni element
cetverice vozlisc, vi+(r+1)k pa je. Ker je vi+(r+1)k element cetverice vozlisc, bodo v
tej komponenti vsebovani se ui+(r+1)k, ui+(r+1)k±1 in vi+(r+1)k±1, odvisno od parnosti
indeksov. Tu se “smer cikla obrne” in “zadanemo” vozlisce vi+rk±1 ∈ V1. Cikel se
nadaljuje z vozlisci vi+(r−1)k±1, . . . , vi±1 in nato naprej vi−k±1, vi−2k±1, . . . , vse dokler
za nek l vozlisce vi−lk±1 zopet ni na cetverici vozlisc. Torej so na tej komponenti se
ui±1–lk, ui±1–lk±1, vi±1–lk±1 (zopet v odvisnoti od parnosti indeksov). Na enak nacin
kot je opisano zgoraj bo cikel po tem “obratu” po l korakih “zadel” vozlisce vi, vi+2 ali
pa vi−2. Ce pridemo v vozlisce vi, bo cikel zakljucen, saj smo s tem vozliscem zaceli.
Pripadajoci cikel bo sode dolzine, ker indeksi vozlisc vj nastopajo v parih (vj in vj+1
ali pa vj in vj−1), ostala vozlisca pa pripadajo cetvericam. Ce pa pridemo v vozlisce
vi+2 (ali vi−2), lahko postopek nadaljujemo kot prej in pridemo do vi+2−1 = vi+1 ali
pa v vi+3. Tako nadaljujemo vse do vi+4, vi+5, . . . , vm−k+1. Na tem mestu pridemo
do protislovja, saj smo Γ′ konstruirali tako, da vm−k+1 lezi na C0. Torej po dveh
“obratih” zagotovo pridemo v vi, kar je bila nasa prva moznost. S tem je lema
dokazana.
Lemi 4.2 in 4.3 nam torej povesta, da je v vseh grafih prve skupine moc najti
vpet podgraf Γ′, ki je sestavljen iz unije sodih ciklov. Torej so po izreku 3.2 ti grafi
povezavno 3-obarvljivi. Na sliki 4.3 sta prikazana primera dobrih 3-barvanj povezav
v grafih GP (7, 3) in GP (11, 3), ki temeljita na konstrukciji 4.1.
Spomnimo se sedaj se primera iz 3. poglavja. Povezave grafa GP (11, 5) so tam
obarvane s stirimi barvami. Ker ta graf spada v skupino grafov iz razdelka 4.1, je
jasno, da se da njegove povezave dobro obarvati tudi s tremi barvami. Slika 4.4,
prikazuje vpet podgraf Γ′ iz konstrukcije 4.1 in pripadajoce dobro 3-barvanje tega
grafa. Na tem mestu pa omenimo se to, da je ta graf tudi primer, ki pokaze, da
obrat posledice 3.3 ne velja. Kot receno grafi GP (n, k), za katere je n ≡ 5 (mod 6) in
je k ∈ {2, n−12, n+1
2, n− 2}, nimajo hamiltonskega cikla. Graf GP (11, 5) res ustreza
tem karakteristikam, torej nima hamiltonskega cikla, je pa povezavno 3-obarvljiv.
18 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
Slika 4.3: Dobri 3-barvanji povezav grafov GP (7, 3) in GP (11, 3).
4.2 Predstavniki druge skupine
V drugi skupini so tisti predstavniki GP (n, k), za katere je n ≡ 3 (mod 4) in je k
sodo stevilo ali pa je n ≡ 1 (mod 4) in sta k in k−1 obe sodi stevili.
Konstrukcija 4.4. Naj bo Γ′ = (V,E ′) podgraf, kjer je E ′ = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4,
pri tem pa je
E1 = {un−1u0, u0u1}E2 = {u2ju2j+1; 1 ≤ j ≤ (n−3)
2}
E3 = {u1v1, u2v2, . . . , un−1vn−1}E4 = {v2jkv(2j+1)k; 0 ≤ j ≤ n−1
2}
Tedaj je Γ′ vpet podgraf grafa GP (n, k) z mnozico povezav E ′.
Kot v prejsnjem razdelku je potrebno pokazati, da je graf Γ′, opisan v zgornji
konstrukciji, 2-regularen in da so njegove komponente povezanosti cikli sode dolzine.
Se prej pa si oglejmo vzorcno sliko konstrukcije grafa iz 4.4, ki je prikazana na sliki
4.5 z modro barvo.
Lema 4.5. Vpeti podgraf Γ′, opisan v konstrukciji 4.4, je 2-regularen.
Dokaz. Vsako vozlisce ui, 1 ≤ i ≤ n − 1, je sosedno s pripadajocim notranjim
vozliscem vi in pa z ui+1, ce je i sodo stevilo, oziroma z ui−1, ce je i liho stevilo.
Vozlisce u0 je sosedno z vozliscema un−1 in u1. Torej so v Γ′ vsa zunanja vozlisca
stopnje 2. Vsako vozlisce vi, kjer je 1 ≤ i ≤ n − 1, je sosedno s pripadajocim
vozliscem ui. Na tem mestu spomnimo, da notranje povezave vsa notranja vozlisca
v grafu GP (n, k) povezujejo v eno komponento lihe dolzine (ker je D(n, k) = 1).
Konstrukcijo smo podali tako, da v graf Γ′ dodamo vsako drugo povezavo tega cikla,
4.2. PREDSTAVNIKI DRUGE SKUPINE 19
Slika 4.4: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (11, 5) in dobro 3-barvanje povezav tega
grafa.
zacensi z v0vk. Ker je notranja komponenta grafa GP (n, k) lihe dolzine, je jasno, da
sta povezavi v0vk in v0vn−k obe v Γ′. To dejstvo pa nam tudi pove, da sta to edini
dve notranji povezavi grafa GP (n, k), ki sta v Γ′ incidencni, zato je vsak vi, kjer je
1 ≤ i ≤ n− 1, soseden (poleg s pripadajocim ui) se z natanko enim od vozlisc vi+k
in vi−k. Vozlisce v0 je v Γ′ sosednje z v−k in vk. Vsa vozlisca grafa Γ′ so torej res
stopnje 2, zato je Γ′ 2-regularen.
Lema 4.5 nam pove, da so komponente povezanosti grafa Γ′ res cikli. Oglejmo
si nekaj konkretnih zgledov konstrukcije podgrafa Γ′.
Na sliki 4.6 sta prikazana vpeta podgrafa Γ′, ki smo ju s konstrukcijo 4.4 konstru-
irali v grafih GP (11, 4) in GP (15, 4). V obeh primerih je n ≡ 3 (mod 4). Tudi pri
grafih druge skupine se lahko zgodi, da je Γ′ kar hamiltonski cikel, kar lahko vidimo
pri grafu GP (11, 4). Podgraf Γ′ v grafu GP (15, 4) pa je sestavljen iz treh ciklov in
opazimo lahko, da so vsi sode dolzine (en cikel je dolzine 14, dva pa dolzine 8). Na
sliki 4.7 sta prikazani tudi konstrukciji podgrafa Γ′ v grafih GP (13, 4) in GP (21, 8).
V teh dveh primerih je n ≡ 1 (mod 4). Podgraf Γ′ je v GP (13, 4) sestavljen iz dveh
ciklov, v GP (21, 8) pa iz treh in vsi so sode dolzine.
Tudi v tem razdelku opazimo, da se podgrafi Γ′, dobljeni s konstrukcijo 4.4,
za razlicne predstavnike grafov druge skupine med seboj lahko precej razlikujejo.
Vcasih dobimo samo en cikel, vcasih je ciklov vec. Da bodo vse komponente pod-
grafa Γ′, dobljenega s konstrukcijo 4.4, vedno sode dolzine, ne glede na to iz koliko
komponent povezanosti je Γ′ sestavljen, nam pove naslednja lema. Preden pa jo
formalno zapisemo, opazimo, da je iz same konstrukcije lahko videti, da τ iz (2.2)
ohranja vsako izmed mnozic E1, E2, E3 in E4, torej je τ avtomorfizem grafa Γ′.
20 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
Slika 4.5: Vzorcna slika konstrukcije 4.4.
Kot receno, bomo tudi tokrat v dokazu uporabili cetverice vozlisc, ki smo jih vpe-
ljali na zacetku poglavja. Opazimo lahko, da z izjemo sestih vozlisc (u−1, u0, u1 in
v−1, v0, v1) vsako vozlisce grafa Γ′ pripada neki cetverici.
Slika 4.6: Konstrukcija grafa Γ′ v GP (11, 4) in GP (15, 4).
4.2. PREDSTAVNIKI DRUGE SKUPINE 21
Slika 4.7: Konstrukcija grafa Γ′ v GP (13, 4) in GP (21, 8).
Lema 4.6. Komponente povezanosti vpetega podgrafa Γ′, opisanega v konstrukciji
4.4, so cikli sode dolzine.
Dokaz. Ker razen vozlisc ui, vi, kjer je i ∈ {0, 1, 2}, vsa vozlisca podgrafa Γ′
pripadajo cetvericam, ima lahko Γ′ kaksno liho komponento le, ce katero izmed teh
vozlisc lezi na lihi komponenti. Ker so v−1, u−1, u0, u1 in v1 vsa na isti komponenti,
je dovolj pogledati samo vozlisci u0 in v0. Ker sta umum+1 in v− k2v k
2edini povezavi,
ki ju τ fiksira, ima lahko Γ′ kaksno liho komponento le, ce Γ′ vsebuje obe zgornji
povezavi, u0 in v0 pa sta na razlicnih komponentah povezanosti Γ′.
Ce je n ≡ 3 (mod 4), je m liho stevilo, kjer je n = 2m+ 1. Torej povezave umum+1
po defeniciji ni v Γ′, kar pa glede na zgoraj pomeni, da sta vozlisci u0 in v0 vsebovani
na skupni komponenti sode dolzine. Ce pa je n ≡ 1 (mod 4), je m sodo stevilo. V
tem primeru sta v Γ′ vsebovani povezavi vk−1kv(k−1+1)k, kjer upostevamo, da je je
k−1k = 1, in ukuk+1, saj sta po predpostavki k in k−1 obe sodi stevili. Torej cikel,
ki vsebuje vozlisca v−1, u−1, u0, u1 in v1, vsebuje tudi vk+1, uk+1, uk, vk in v0.
Opazimo, da sta v tem primeru u0 in v0 vsebovani na isti komponenti povezanosti,
torej bo le-ta sode dolzine. Ker pa so vsa ostala vozlisca vsebovana na cetvericah,
je jasno, da so vse komponente povezanosti podgrafa Γ′, dobljenega s konstrukcijo
4.4, sode dolzine.
Ker nam lemi 4.5 in 4.6 zagotovita, da lahko s konstrukcijo 4.4 v predstavnikih
druge skupine dobimo vpet 2-regularen podgraf, katerega komponente povezanosti
so sode dolzine, so vsi ti grafi po izreku 3.2 povezavno 3-obarvljivi. Na slikah 4.8
in 4.9 si lahko ogledamo pripadajoca dobra 3-barvanja povezav grafov iz prejsnjega
zgleda.
22 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
Slika 4.8: Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (11, 4) in GP (15, 4).
Slika 4.9: Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 4) in GP (21, 8).
4.3 Predstavniki tretje skupine
Za zadnjo skupino grafov GP (n, k), ki smo jih studirali, je n ≡ 1 (mod 4), k je sodo
stevilo, njegov multiplikativni obrat k−1 pa je lih. Ker lahko v primeru, da je k−1 <n2, uporabimo konstrukcijo 4.1 za izomorfni graf GP (n, k−1), lahko privzamemo se
k−1 > n2. Podajmo konstrukcijo podgrafa Γ′.
Konstrukcija 4.7. Naj bo Γ′ = (V,E ′) graf, kjer je E ′ = E1 ∪E2 ∪E3, pri tem pa
je:
E1 = {u0u1, u2u3, u4u5, . . . , uk−2uk−1} ∪{uk−1uk, uk+1uk+2, . . . , un−k−2un−k−1, un−kun−k+1} ∪{un−k+1un−k+2, un−k+3un−k+4, . . . , un−3un−2}
4.3. PREDSTAVNIKI TRETJE SKUPINE 23
E2 = {uivi; 0 ≤ i ≤ n− 1, i /∈ {0, k − 1, n− k + 1}}E3 = {v0vk, v2kv3k, v4kv5k, . . . , v(n−k−1)kv(n−k−1+1)k} ∪{v(n−k−1+1)kv(n−k−1+2)k, v(n−k−1+3)kv(n−k−1+4)k, . . . v(k−1−2)kv(k−1−2+1)k} ∪{v(k−1−1)kv(k−1)k, v(k−1+1)kv(k−1+2)k, . . . , v−kv0}.Pri tem naj bralec opazi, da imamo v E3 povezave v−1vk−1, vk−1v2k−1, v1−2kv1−k in
v1−kv1. Glede na parnost stevil n, k in k−1, so vse tri podmnozice povezav ocitno
dobro definirane. Malce podrobneje si oglejmo samo podmnozico E3. V zacetku
razdelka, smo predpostavili, da je k−1 > n2, zato je res n − k−1 + 1 < k−1 − 1 (in s
tem n− k−1 < k−1 − 2). Torej je tudi mnozica E3 dobro definirana.
Konstrukcija 4.7 torej ne pokriva tistih predstavnikov GP (n, k), za katere je
n ≡ 1 (mod 4), k sodo stevilo, njegov multiplikativni obrat k−1 pa je lih in k−1 < n2.
Protiprimer je graf GP (17, 6), kjer se konstrukcija 4.7 ne izzide, v kar se lahko
bralec preprica sam. Kot receno to ni tezava, saj sta po trditvi 2.5 grafa GP (n, k)
in GP (n, k−1) izomorfna, zato nam dobro 3-barvanje povezav teh grafov podaja
konstrukcija 4.1, kjer vpet podgraf Γ′ konstruiramo v grafu GP (n, k−1).
Tudi v tem razdelku bomo pokazali, da je graf Γ′, opisan v konstrukciji 4.7,
2-regularen in da so njegove komponente povezanosti cikli sode dolzine. Preden to
dvoje zapisemo kot lemi in ju dokazemo, pa si na sliki 4.10 oglejmo vzorcno sliko
podgrafa Γ′ iz konstrukcije 4.7, ki je oznacen z modro barvo.
Slika 4.10: Vzorcna slika konstrukcije 4.7.
Lema 4.8. Vpet podgraf Γ′, opisan v konstrukciji 4.7, je 2-regularen.
Dokaz. Vozlisca ui, kjer je i ∈ {0, k− 1, n− k+ 1}, so sosedna z ui+1 in ui−1. Vsa
preostala vozlisca ui pa so sosedna z vi in se z ui+1 ali ui−1, odvisno od parnosti i in
24 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
od tega v katerem izmed intervalov [1, k−2], [k, n−k] in [n−k+2, n−1] je i. Torej
so vsa zunanja vozlisca res stopnje 2. Stopnjo preverimo se za notranja vozlisca.
Iz same konstrukcije je jasno, da so vozlisca vi, kjer je i ∈ {0, k − 1, n − k + 1},sosedna z vi+k in vi−k. Ocitno je tudi vsak vi, kjer je i ∈ Zn\{0, k − 1, n −k + 1}, soseden s pripadajocim zunanjim vozliscem ui. Za ta vozlisca je potrebno
pokazati, da so sosedna se s po natanko enim od notranjih vozlisc vi+k in vi−k. V
resnici je tudi to ocitno zaradi dejstva, da notranja vozlisca grafa GP (n, k) notranje
povezave povezujejo v eno komponento lihe dolzine (ker je D(n, k) = 1 in je n
liho stevilo). Konstrukcijo smo namrec podali tako, da pri pogoju, da zacnemo s
povezavo v0vk v Γ′ dodamo vsako drugo notranjo povezavo grafa GP (n, k), z dvema
izjemama. Ko pridemo do povezave vn−1vk−1, v Γ′ dodamo tudi vk−1v2k−1 in potem
zopet nadaljujemo z vsako drugo, dokler ne pridemo do povezave vn−2k+1vn−k+1, ko
dodamo tudi vn−k+1v1 in od tod prav tako nadaljujemo z vsako drugo povezavo.
Zadevo na koncu zakljucimo s povezavo vn−kv0, ki je v Γ′ incidencna z v0vk. Ti trije
pari povezav, torej vn−1vk−1 in vk−1v2k−1, vn−2k+1vn−k+1 in vn−k+1v1 ter vn−kv0 in
v0vk, so edini pari notranjih povezav grafa GP (n, k), ki so v Γ′ incidencni, zato je
res vsak vi, kjer je i ∈ Zn\{0, k − 1, n − k + 1}, poleg pripadajocega zunanjega
vozlisca ui soseden se z natanko enim izmed vozlisc vi+k in vi−k.Vsa vozlisca grafa
Γ′ so torej res stopnje 2, zato je Γ′ 2-regularen.
Lema 4.8 nam pove, da so komponente povezanosti grafa Γ′ res cikli. Konkretna
zgleda konstrukcije 4.7 sta predstavljena na sliki 4.11. Tudi v tem razdelku se Γ′
od primera do primera razlikuje. Bralec lahko opazi, da je v GP (13, 6) graf Γ′
hamiltonski cikel, v GP (21, 10) pa ni, a so njegove komponente povezanosti vseeno
sode dolzine. Po izreku 3.2 sta torej oba omenjena grafa povezavno 3-obarvljiva.
Ker pa ne vemo zagotovo ali bo Γ′ povezan ali ne, je tudi na tem mestu potrebno
podati formalen dokaz za to, da so vse njegove komponente povezanosti v vsakem
primeru sode dolzine.
V dokazu bomo tudi tokrat potrebovali dejstvo, da je τ iz (2.2) avtomorfizem
grafa Γ′. Ker je v Zn −(n − k + 1) = k − 1, je to povsem jasno iz konstrukcije
4.7. Potrebovali pa bomo tudi cetverice vozlisc. Iz konstrukcije je jasno razvidno,
da imamo le osemnajst vozlisc, ki ne pripadajo cetverici, namrec ui, vi, ui±1, vi±1 za
i ∈ {0, k − 1, n− k + 1}.
Lema 4.9. Komponente povezanosti vpetega podgrafa Γ′, opisanega v konstrukciji
4.7, so cikli sode dolzine.
Dokaz. Podgraf Γ′ ima lahko kaksno komponento lihe dolzine le, ce katero od vozlisc
ui, vi, ui±1, vi±1 za i ∈ {0, k−1, n−k+1} lezi na lihi komponenti. Dovolj je pogledati
4.3. PREDSTAVNIKI TRETJE SKUPINE 25
Slika 4.11: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (13, 6) in GP (21, 10).
le vozlisci u0 in v0, saj vozlisca vn−k+2, un−k+2, un−k+1, un−k, vn−k, v0, vk, uk, uk−1, uk−2
in vk−2 zagotovo lezijo na skupni komponenti povezanosti, prav tako pa tudi vozlisca
vn−k+1, v1, u1, u0, un−1, vn−1 in vk−1. Ce u0 in v0 lezita na skupnem ciklu, je le-ta sode
dolzine, zato predpostavimo, da lezita vsak na svojem ciklu. Potemtakem mora eden
vsebovati povezavo umum+1, drugi pa povezavo v− k2v k
2. Vendar pa povezava umum+1
zaradi sodosti m, po definiciji ni vebovana v Γ′, kar pripelje do protislovja. To po-
meni, da sta u0 in v0 na skupni komponenti povezanosti, ki je sode dolzine.
Lemi 4.8 in 4.9 nam torej povesta, da je Γ′, dobljen s konstrukcijo 4.7, res 2-
regularen in sestavljen iz unije sodih ciklov. To pa pomeni, da je vsak tak graf
po izreku 3.2 povezavno 3-obarvljiv. Preden zakljucimo to poglavje, podajmo se
pripadajoca primera dobrih 3-barvanja grafov iz slike 4.11. Predstavljeni sta na
sliki 4.12.
Slika 4.12: Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 6) in GP (21, 10).
26 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)
Ce zdruzimo rezultate vseh treh razdelkov, lahko zapisemo naslednji izrek.
Izrek 4.10. Naj bo n ≥ 7 poljubno liho naravno stevilo in 2 < k < n−12
tak, da je
D(n, k) = 1. Tedaj je graf GP (n, k) povezavno 3-obarvljiv.
Poglavje 5
Zakljucek
V diplomskem delu smo se ukvarjali s kromaticnim indeksom kubicnih grafov, pri
cemer smo se osredotocili predvsem na druzino posplosenih Petersenovih grafov
GP (n, k). Nekoliko povrsno lahko recemo, da smo kromaticni indeks dolocali za
grafe GP (n, k), kjer je n liho stevilo, stevili n in k pa sta si tuji. Pokazali smo, da
se v teh grafih (z eno izjemo) da najti dobro 3-barvanje povezav, kar smo dosegli
tako, da smo nasli vpet podgraf, izomorfen uniji sodih ciklov. Ceprav se morda zdi,
da je tak podgraf lahko najti, je potrebno kar nekaj iznajdljivosti. Obravnavane
grafe smo razdelili v 3 skupine in za vsako od njih podali konstrukcijo ustreznega
vpetega podgrafa, ki nam je omogocil,a da smo potem povezave grafa brez tezav
dobro obarvali s tremi razlicnimi barvami.
Obstaja se veliko posplosenih Petersenovih grafov, s katerimi se v diplomskem delu
nismo ukvarjali, zato lahko to diplomsko delo sluzi kot osnova za nadaljni studij.
Pri tem bralcu priporocamo Watkinsov clanek [9]. V diplomskem delu smo se oprli
tudi na dobro znani Vizingov izrek, ki nam kromaticni indeks kubicnih grafov omeji
med 3 in 4. Ker smo v tem diplomskem delu proucevali tiste kubicne grafe, za katere
je χ′(Γ) = 3, lahko studij nadaljujemo tudi tako, da se posvetimo tistim, za katere
je χ′(Γ) = 4. Takim grafom recemo snarki (pri cemer dodatno zahtevamo se to,
da nimajo tako imenovanih mostov). Najmanjsi snark je Petersenov graf GP (5, 2),
zato torej χ′(GP (5, 2)) = 4. Kot pokazejo rezultati clanka [9], skupaj z izrekom
4.10, je to pravzaprav edini posploseni Petersenov graf s kromaticnim indeksom 4.
27
28 POGLAVJE 5. ZAKLJUCEK
Literatura
[1] Alspach, B. (1983). The clasification of Hamiltonian Generalized Petersen
Graphs. Journal of Combinatorial Theory, B 34, 293-312.
[2] Castagna, F., Prins, G. (1972). Every Generalized Petersen Graph has a tait
coloring. Pacific journal of mathematics, 1, 53-58.
[3] Chiarelli, N. (2011). Vizingov izrek in snarki. Diplomsko delo, Koper: Univerza
na Primorskem, Pedagoska fakulteta.
[4] Holyer, I. (1981). The NP-Completness of Edge-Colouring. SIAM J. COMPUT,
Vol. 10, No. 1, 718-720.
[5] Kodric, K. (2012). Hamiltonskost posplosenih Petersenovih grafov. Diplomsko
delo, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta.
[6] Malnic, A. (2013). Zapiski pri predmetu algebrske strukture. Ljubljana: Pe-
dagoska fakulteta.
[7] Sparl, P. (2014). Zapiski pri predmetu abstraktna algebra. Ljubljana: Pedagoska
fakulteta.
[8] Sparl, P. (2017). Zapiski pri predmetu teorija grafov. Ljubljana: Pedagoska
fakulteta.
[9] Watkins E. M. (1969). A Theorem on Tait Colorings with an Application to the
Generalized Petersen Graphs. Journal of Combinatorial Theory, 6, 152-164.
29