pismeni matematika

8/11/2019 pismeni matematika

1/19

Matematike sposobnosti Nastavni proces je zajednika aktivnost nastavnika iuenika i zato uspjenost nastave matematike u velikojmjeri ovisi o kvaliteti toga odnosa. Uitelju je lake raditiu razredu u kojem veina uenika pokazuje interes zamatematiku, brzo shvaa, pravilno zakljuuje. Takviuenici oito imaju odreene sposobnosti za uenjematematike. U nekom drugom razredu nastavnik se priizvoenju nastave matematike susree s nizom tekoa,nastava ne tee glatko, rezultati su slabiji. rirodno senamee pitanje! "ogu li i trebaju li svi uenici savladati programom predvieno nastavno gradivo iz matematike i jesu li za to savladavanje potrebne posebne matematikesposobnosti#$od mnogih ljudi, roditelja i nekih nastavnika, javlja senedoumica i stanovite zablude. osebno teka zabluda,koja za matematiko obrazovanje i psihiki razvoj nekihuenika mo%e imati vrlo loe posljedice, je ta da nekiuenici nemaju sposobnost za matematiku ili da oni nisuza matematiku.&vaki nastavnik matematike uo je ne jedanput neku od

sljedeih primjedbi!"Matematika je teak predmet"."Uenike treba nauiti samo dobro raunati". "Profesormnogo trai, kao daje matematika najvanija stvar na

svijetu.'". "To nam nee trebati u ivotu. "nogo jeslinih primjedbi u vezi s matematikom."atematiko obrazovanjeUbrzan razvoj znanosti i tehnike te pojava novihtehnologija, postavljaju pred nove generacije mladih ljudisve vee zahtjeve u pogledu opsega znanja, ovladavanjanovim podrujima kao to su in'ormatika, statistika, programiranje, rad uz pomo kompjutora, poznavanjemetoda znanstvenoistra%ivakog rada i sposobnostikreativne primjene znanja, te brzog usvajanja novih

znanja i metoda. (a taj razvoj matematika je od posebnogznaaja )obro matematiko obrazovanje i matematikinain miljenja nu%ni su danas ne samo matematiarima,ve i ljudima u mnogim drugim podrujima koji se usvakodnevnom %ivotu ne bave matematikom i ona nijeva%an dio njihove %ivotne djelatnosti, ali su im takva zna*nja i miljenje vrlo korisni +biologija, pravo, medicina idr. . Nepobitna je injenica! uiti dokazivati znai uitirasuivati, a to je jedan od osnovnih zadataka nastavematematike. -asuivanje nam omoguava da izdvojimoistinite izjave, provjerimo valjanost dokaza, opovrgnemoneije miljenje, donesemo ispravan zakljuak, izaberemo

primjeren sadr%aj za neku temu i sl. (ato uiti dokazivatitreba svaki uenik.)a bi se primjereno odgovorilo na zahtjeve drutva idoprinijelo njegovom razvoju te usavravanjuobrazovanja, pred suvremenu nastavu matematike se kaonu%nost i glavni zadatak postavlja razvoj matematikihsposobnosti i matematikog miljenja uenika.

"atematike sposobnosti&vaki uenik ima odreene sposobnosti koje su dovoljneza praenje, savladavanje i usvajanje matematikihsadr%aja propisanih nastavnim programom. Te sposobnostitrebaju mu omoguiti razumijevanje osnovnih

matematikih pojmova, ideja i metoda, te samostalnorjeavanje standardnih zadataka. "eutim, uspjenost tog procesa ovisi o ispunjavanju nekoliko va%nih preduvjeta! primjeren izbor matematikih sadr%aja u nastavnom programu za odgovarajui uzrast uenika, dobri ud%benici

i vje%benice, kvalitetno izvoenje nastave, i najva%nije susklonost uenika prema matematici i svakodnevnisistematini rad. Uenici nisu uvijek svjesni koliko susposobni i one su nerijetko vee nego to sami pretpostavljaju.od matematikom sposobnosti se ne ubraja sposobnostusvajanja to vie nastavnog gradiva i pamenjematematikih injenica. snovni cilj nastave matematikenije puko usvajanje gradiva propisanog programom i stje*canje znanja koja se temelje na nizu pravila, 'ormula iumijea rjeavanja standardnih zadataka. /ilj je pokretatimiljenje svakog uenika, uiti ga analizirati, sintetizirati,generalizirati, specijalizirati, konkretizirati, inducirati,deducirati. Na taj nain steeno znanje i pamenjeinjenica postaju samo pomona sredstva pri praktinomradu kao to su dokazivanje pouaka i rjeavanje problema. Tu se onda javljaju i dolaze do punog izra%ajamatematike sposobnosti uenika! sposobnost brzogizvo enja raunski! opera ija, sposobnost #akogizvo enja s#oeniji! raunski! opera ija, vje$togtransformiranja s#oeni! a#gebarski! izraza, sposobnost

na#aenja uspje$ni! i nestandardni! naina rje$avanja jednadbi, #akog i jasnog predoivanja prostorni!objekata i odnosa, #akog razumijevanja sri prob#ema,otkrivanja raz#iiti! naina rje$avanja prob#ema,

sposobnost uoavanja i postav#janja novi! prob#ema, stvaranja i izno$enja novi! ideja,#ogikog rasu ivanja,uspore ivanja i povezivanja dobiveni! rezu#tata,

sposobnost uspostav#janja ana#ogija, poop%avanja,spe ija#iziranja, konkretiziranja. "atematike sposobnosti susreemo u raznimkombinacijama. Uenik mo%e imati jednu ili nekolikomatematikih sposobnosti, ali ve razvoj samo jedne odtih sposobnosti mo%e znaiti mnogo. 0ko se s njom jo

povezu kreativne osobine uenika kao to suradozna#ostuma, o$troumnost, ustrajnost, samosta#nost, ma$tovitost,dosjet#jivost, mo%e se od njega oekivati vrlo uspjean radu podruju matematike i dobri rezultati.

Nastava matematike i problemi Nastava matematike je slo%en i vrlo zahtjevan proces injezina uspjenost ovisi o mnogo initelja to mo%e prouzroiti i niz problema. rvi problem pojavljuje se nasamom poetku ostvarivanja nastavnog programamatematike ako se ustanovi da je on preopse%an, aodgovarajui ud%benik neprimjereno i metodiki slaboobrauje njegov sadr%aj. U tom sluaju uspjenost nastave

matematike ovisi samo o nastavniku i njegovojumjenosti izvoenja nastave. Njegova kreativnost mo%enadoknaditi manjkavosti programa i ud%benika. Ne uspijeli on pronai najbolji nain izvoenja nastave, nee pomoi nikakve matematike sposobnosti uenika.U razredu se mogu nai uenici koji pokazuju interes zamatematiku, imaju %elju, ali ne znaju uiti matematiku.Umijee uenja matematike ne dolazi samo od sebe, vekao rezultat zajednikog napora nastavnika i uenika.Umijeu uenja ne poklanja se dovoljno pozornosti. Ne postoji strogo pravilo kako treba uiti matematiku, vevie iskustveno pravilo koje ka%e da se najprije uiteorija, upoznaju de'inicije novih pojmova, prouavaju

pouci i dokazi, a onda se prelazi na rjeavanjeodgovarajuih zadataka.(anemarivanje teorije i pokazivanje pretjeranog interesaza rjeavanje zadataka mogu dovesti do zastoja u razvoju

1


2/19


3/19

diferencirana nastava homogene grupe"nogi zahtjevi suvremene nastave matematike moguse ostvariti primjerenim izborom nastavnih oblika imetoda. "eu va%nijim je zahtjev da se matematikatreba dobrim dijelom nauiti na nastavnom satu.reduvjet za to je aktivnost svih uenika.To nijellako postii jer se uenici razlikuju pomatematikim sposobnostima i predznanjima. 7edanod naina da se postigne postavljeni cilj jest primjenadi'erencirane nastave.)i'erencirana nastava vodi rauna o konkretnoj si*tuaciji u razredu, uva%ava razlike meu uenicima inastoji da se optimalno izraze matematike i drugesposobnosti svakoga pojedinog uenika.ostoji nekoliko podoblika di'erencirane nastave!individualni rad, rad u parovima, grupni rad, timskirad i homogene grupe.9ndividualni rad Napredniji uenici u redovitojnastavi s lakoom usvajaju gradivo propisano

programom i stjeu znanja koja se temelje na nizu pravila, 'ormula i umijea rjeavanja standardnihzadataka. 0li mogu vie. &labiji uenici esto imajuznatnih tekoa pri svladavanju nastavnog gradiva.nastavnik matematike treba pratiti i poticati op*timalan razvoj naprednijih uenika, a istovremeno pomagati slabijim uenicima da i oni napreduju &vise sudionici nastave moraju primjereno uva%avati, pripremati i razvijati. reduvjet za uspjenostnastave jest poznavanje i uva%avanje osobinauenika kao to su matematike sposobnosti,miljenje, pamenje, volja, karakter.

7edan od djelotvornih naina za poticanje uspjenostinastave jeindividualizacijanastave.U tradicionalnoj organizaciji nastavnog procesa in*dividualni pristup i njegovo ostvarenje nailaze naozbiljne potekoe. Nije lako u razredu s veim brojem uenika voditi brigu o individualnim brzi*nama usvajanja gradiva. ogotovo kad je rije omatematikim sadr%ajima za ije je usvajanje potre* ban vei misaoni napor i vii stupanj apstrahiranja i poopavanja.ostoje razne mogunosti individualizacije nastavematematike. rva su posebni nastavni sustavi!dopunska i dodatna nastava, problemska nastava, programirana nastava, izborna nastava, 'akultativna,mentorska. Uvjet za izvoenje nekog od ovih sustavasu matematike sposobnosti posebnih skupinauenika.U okvirima tradicionalne organizacijenast mat,, netrebaju neki posebni uvjeti,posebna sredstva ni posebno vrijeme, ve sve ovisi o samom nastavnikumatematike i njegovoj umjenosti. Neki dijelovinastavnog procesa posebno su pogodni zaostvarivanje takve individualizacije.U kolskoj matematici postoje mnogi sadr%aji koji seslino, analogno obrauju. Nakon obrade jednogsadr%aja, drugi sadr%aj, mo%e se obraditi lake i br%e.Takva nastavna situacija omoguuje nastavnikuizmjenu nastavnog oblika i nastavne metode! rad s

homogenim grupama zamijeniti individualnimradom, a metoda dijaloga metodom rada s tekstom.1 )okazi tvrdnji da je svaka toka simetrale du%ine jednako udaljena od njezinih krajeva i svaka tokasimetrale kuta jednako udaljena od njegovih krakovasu analogni.: duljine dijagonala kvadra i kocke.vdje je individualizacija vrlo korisna, jeruenicima omoguuje istra%ivanja. Na taj se nainnastavno gradivo povezuje, predavanje pojedno*stavnjuje, ranije usvojeno gradivo se obnavlja iutvruje, a novo gradivo br%e svladava. Naprednije uenike u redovnoj nastavi treba dodatnoopteretiti, tako da se njihove matematikesposobnosti prirodno razvijaju. 7edan jednostavannain poboljanja rada s naprednijim uenicima sudodatni zadaci. To su u pravilu slo%eniji inestandardni zadaci. ni mogu slu%iti produbljivanju gradiva koje se upravo obrauje, alimogu biti i izvan toga. &vaki puta kad se uka%e

prilika nastavnik treba naprednijim uenicima ponuditi na rjeavanje dodatne zadatke. rilika zaindividualni pristup naprednijim uenicima uvijekima! domae zadae, sat vje%banja i ponavljanja, sat provjeravanja znanja, kolske zadae i dr. )odatna pitanja i ea matematika komunikacija na relacijinastavnik matematike * napredniji uenici sigurno enastavniku pomoi da pravilno procijeni njihove potrebe i pravac u kojem se kree interesnajsposobnijih uenika. Na taj nain naprednijiuenici mogu svojim sposobnostima stei primjereno znanje.

-azlozi za potekoe slabijih uenika u praenju iusvajanju novog nastavnog gradiva najee su praznine u znanju. (a popunjavanje praznina slu%e idopunskizadaci. To su u pravilu standardni zadaci,neposredno vezani uz gradivo koje uenici nisuusvojili na zadovoljavajui nain, a koje je potrebnoda bi se razumjelo novo gradivo.

5udui da individualizacija na neki nain slabi povezanost uenika u razredu i smanjujekomunikaciju meu njima, potrebno je misliti i naoblike rada gdje su te slabosti manje izra%ene.odoblik di'erencirane nastave koji je najbli%iindividualizaciji jestrad u parovima. rganizacijarazrednog kolektiva s redovima klupa omoguuje jednostavnu primjenu ovog oblika rada. "o%e se primjenjivati u svim etapama nastavnog procesa, ali je najpogodniji za vje%banje i ponavljanje, posebnozajednikog rjeavanja zadataka i uporabe d%epnograunala. )obre strane rada u parovima! uvruje psiholoki odnos meu lanovima pojedinih parova, poboljava radnu atmos'eru u razredu, stvara poziti*van odnos prema radu, potie aktivnost uenika.-ad u parovima obino poinje i zavrava 'rontal*nim oblikom rada, a prema svojim znaajkama on je prijelazni oblik izmeu individualnog i grupnograda.

;


4/19

Grupni je rad izrazito djelotvoran nain stjecanjaznanja. ovezan s individualnim radom uenika, unastavnom procesu daje najbolje rezultate. Taj obliknastave ima i odgojno znaenje! poveava njihovosamopouzdanje, razvija pojedinane odgovornosti, pospjeuje komunikaciju, navikava uenike da pru%aju pomo jedan drugom, produbljuje odnosemeu uenicima i dr.Uspjenost primjene grupnog rada ovisi o nekolikoinitelja! uestalost primjene, dobru pripremu,kvalitetu pisanih i drugih materijala, vrijeme koje jenastavnik matematike predvidio za izvoenje.Timski radTim je manja grupa ljudi sa znanjima i vjetinamakoje se nadopunjuju, koji rade individualno, a ciljostvaruju zajedno, koji su zadu%eni za posebne poslove, koji imaju odreen stupanj samostalnosti ikoji su svi zajedno odgovorni za ostvarenje cilja.7o neke znaajke uspjenosti tima. otvorena

komunikacija, potovanje razlika, djelotvornodonoenje odluka, konstruktivno rjeavanjekon'likata, imenovanje voe i njegova pomonika,onda se opis u prvom redu odnosi natimski rad uokviru neke drutvene organizacije.mnogi uenici nakon zavrenog kolovanja i sresti ese s opisanim oblikom rada, ali u okviru nastavnog procesa neki su zahtjevi timskog rada prestrogi. (auenike je primjereniji nazivgrupni rad. 5itno!uva%avanje dobi, razliitosti matematikihsposobnosti i psihikih osobina uenika.Homogene grupe

vaj podoblik nije najracionalniji, ali u okvirutradicionalne nastave matematike ima odreene prednosti. odoblik homogene grupe ne zahtijevanikakav preustroj razrednog kolektiva, za rad shomogenim grupama pripremu pravi samo nastavnik matematike i o toj njegovoj pripremi iskljuivo ovisiuspjenost nastave, mo%e se izvoditi i treba nasvakome nastavnom satu matematike neovisno onaravi matematikih sadr%aja obrade, osim u sluajukad je nastavnik predvidio rad s nekim boljimoblikom nastave.

Homogene grupe +zbog njegove jednostavnosti,iroke primjene, djelotvornosti i posebne va%nosti za poboljanje nastavnog procesa.su takav podoblikdi'erencirane nastave u kojemu nastavnik prividnodijeli razred na grupe prema predznanju imatematikim sposobnostima uenika. bino jerije o ove tri grupe!9. grupi uenika s ocjenama 1 i8, 99. grupi uenika s ocjenom ;, 999. grupi uenika socjenama < i =. 5itno je da pritom razred ostajekolektiv u pravom smislu te rijei, a za grupe znasamo nastavnik matematike.Tijekom nastavnog procesa nastavnik postavljauenicima svake od navedenih grupa pitanja prim* jerena upravo njihovu predznanju. 5udui da priobradi nekog matematikog sadr%aja uvijek imalakih i te%ih dijelova, mogue je gotovo na svakome

nastavnom satu primijeniti rad s homogenimgrupama.snovni cilj rada s homogenim grupama! aktiviranjesvih uenika. o%eljan cilj! pomicanje uenika izni%e grupe u viu na temelju postignutih rezultatarada, to bi bio znak i uspjenosti nastavnikova pouavanja i napredovanja uenika.U naoj nastavnoj praksi najee primjenjuje ili bise trebao primjenjivati ovaj oblik di'erenciranenastave. Tako imamo jedan standardni par oblika imetode za izvoenje nastave matematike! homogenegrupe i metodu dijaloga.

&obre strane. 0ktivnost svih uenika, zadr%avanjedu%e koncentracije i pozornosti svih uenika, ra*zvijanje interesa za matematiku, uenje na satu,mogunost stalnog praenja napredovanja svihuenika, povienje uinkovitosti nastave mat.#abe strane. Nemogunost primjerene komuni*kacije u razredu s veim brojem uenika, postoji

mogunost otkrivanja prividne podjele s negativnim psiholokim posljedicama. Pretpostavka. Nastavnikovo dobro poznavanjeosobina svih uenika u pogledu razine znanja, inte*resa i matematikih sposobnosti, dobra pripremlje*nost nastavnika matematike +anaiiza te%ine novognastavnog gradiva, priprema pitanja i radnih mate*rijala za svaku pojedinu grupu .

matematika zbog svoje raznolikosti i razliitih te%ina pojedinih dijelova nastavnog gradiva vrlo pogodnaza primjenu homogenih grupa. 9zbor matematikih

sadr%aja u kojima su uoene slabosti, posebnouenika prve homogene grupe, ali koji omoguuju postizanje poboljanja rada s tom grupom.1 $onkretni primjeri)jelotvorna i uspjena nastava matematike teko semo%e zamisliti bez navoenja konkretnih primjera. Nastavnik matematike treba svim uenicima pru%iti priliku da sudjeluju u tome navoenju.> $onkretni primjeri! u procesu uvoenja novihmatematikih pojmova pospjeuju postizanje jas*noe, razumijevanja i njihova brzog usvajanja. +do punog izra%aja! prosti broj, viekratnik, linearna jednad%ba, linearna 'unkcija, potencija s prirodnimeksponentom, drugi korijen, iracionalni broj, vektor,kvadratna jednad%ba, sustavi jednad%bi. , u procesuustanovljivanja zakonitosti meu srodnimobjektima +prethode postupku apstrahiranja i'ormuliranja generalizacija ., u procesu ovladavanjarazliitim metodama rjeavanja matematikih prob*lema. Tako i uenici slabijeg predznanja trebali bez potekoa metodom supstitucije rijeiti sustav +primili metodom suprotnih koe'icijenata sustav +prim8 osebni sluajevi"nogi matematiki sadr%aji lake se usvajaju ako senajprije ispitaju posebni sluajevi. To je u skladu snaelom od lakeg prema te%em.


5/19

> ri obradi kvadratne 'unkcije razlikujemo nekoliko posebnih sluajeva. (a prvi posebni sluaj f()* + a) potrebno je promatrati dva podsluaja!a - ? i a ?.> brada rotacijeuspjenija je ako se prije togaobradi centralna simetrija, koja jeposebna rotacija; (ornost(ornost ine svi oni postupci kojima se apstraktnimatematiki sadr%aji prevode u one zasnovane naiskustvu. U miljenju uenika stvaraju se slikovite predod%be apstraktnih matematikih pojmova i boljese usvajaju apstraktni matematiki odnosi. otrebanstupanj apstrakcije uenici e lake postii ako promatraju i koriste realne modele. (ato zornosttreba koristiti za pravilno shvaanje i usvajanjenastavnog gradiva i za razvoj apstraktnog miljenja.(orna sredstva! ploa, crte%i, slike, gra'ovi, sheme,tablice, 'ormule, modeli kri%aljke, gra'oskop,d%.raunalo, raunaloloa je osnovno zorno sredstvo u nastavnikovu radu

i posrednik u prenoenju znanja uenicima. (apisi na ploi moraju biti dobro osmiljeni i uredni kako bi primjereno doprinijeli ostvarenju ciljeva nastave. Nastavnik treba ee na ploi raditi s uenicima prve homogene grupe, a ne pretvarati ih u obine3prepisivae3. $arakteristina mjesta! rjeavanjestandardnih zadataka, gra'ikoni, predoivanjeobjekata u koordinatnom sustavu, pomoni crte%i0ko trebamo nai sjecita8 pravca "etodiki jeispravno algebarskom rjeenju prilo%iti sliku sgeometrijskim rjeenjem jer @eometrijsko rjeenjedaje uvjerljivost u ispravnost algebarskog rjeenja, a

sliku bi trebali znati izraditi svi uenici.< )omae zadae)omaa zadaa nije 'ormalnost nego ozbiljanobrazovni element. na slu%i utvrivanju obraenoggradiva i razrjeenju eventualnih nejasnoa i imaulogu motivacije za obradu sljedeih matematikihsadr%aja. snovni je problem to domae zadaenajee ne rjeavaju najslabiji uenici 5udui da jesamostalno rjeavanje domaih zadaa jedan oduvjeta uspjenog uenja matematike, treba kod svihuenika razvijati tu naviku.> nastavnik matematike zadaje zadatke razliitihte%ina s napomenom da njegov izbor uenici mogunadopuniti s par zadataka po svome izboru:> na sljedeem satu bar jedan uenik svake grupa prezentira na ploi poneko rjeenje:> nastavnik dodatnim pitanjima ustanovljuje ima limeu rjeenjima originalnih i pohvaljuje sve uenikeza izvreni rad, a u svoje zabiljeke unosi novazapa%anja.1 uenici samostalno biraju koje e od predlo%enihzadataka rjeavati,8 uenici samostalno odabiru neke zadatke zadomau zadau,; uenici sami sastavljaju neke zadatke za domauzadau.

-ad s homogenim grupama koliko je prividno jed*nostavan, toliko je stvarno zahtijevan. Ne postoji prosjean uenik, u razredima sjede uenici srazliitim osobinama i razliitim predznanjima. &vitrebaju biti subjekti nastave, svi trebaju aktivnoraditi, a ne samo najbolji. 0ko se nastavnikmatematike previe oslanja samo na pomo najboljihuenika, stjee pogrean dojam o uspjenosti svojenastave. "o%da i pored prividno dobro izvoenenastave matematike slabiji uenici zaostaju.(ato je potrebno pojaati rad s uenicima prve ho*mogene grupe tako da se oni aktivnije ukljue unastavni proces. Tek tada mo%e se govoriti ouspjenosti nastave. $ad god ulazimo u razred,trebamo se podsjetiti na staru mudrost!&naga lanca le%i u najslabijoj karici4

aunalo postupno ulazi u nastavu matematike kaova%no pomagalo. no pru%a pomo nastavnicima i

uenicima u prenoenju znanja i uenju. -ad naraunalu mo%e biti potpuno individualiziran.Uenicima viih razreda osnovne kole rad naraunalu mo%e biti izvrsna motivacija za uenjematematike i razvijanje interesa za predmet, mo%e pospjeiti razvoj navike ustrajnog rada, sposobnostidu%e koncentracije, logikog miljenja i zakljuivan.ostoji vie raunalnih programa koji su namijenjeni

prouavanju i rjeavanju matematikih problema.-aunalni programT!e /eometer's ket !padnapravljen za izuavanje planimetrije. rogramomoguuje! usvajanje novih injenica i postupaka,

uvje%bavanje nauenih postupaka, otkrivanje novihsvojstava, primjenu novih znanja. to je dinamian program * omicanjem nekog vorita i promjenomoblika crte%a na ekranu ostaju nepromijenjeni odnosimeu elementima objekta. 9ndividualni rad uenikaovim programom postupno razvija u istra%ivaki radri usvajanju novog gradiva uenici osjeajustanovit psiholoki pritisak. (a promjenu Nisudovoljne samo ee izmjene poznatih nastavnihmetoda, potrebno je uvesti nove oblike rada, rad jovie individualizirati.Avo samo nekih od mo*gunosti!rje$avanje matematiki! kria#jki, kvizovi,

zabavni zada i, zabavni sati, matematike igre,izrada panoa, izrada mode#a geometrijski! tije#a,

$ko#ski asopis i dr. Uvoenje novih oblika radazahtijeva od nastavnika matematike ozbiljnu pripremu i dodatni napor. &ve bi to trebalo bitineznatno prema zadovoljstvu koje bi trebao osjeatinastavnik matematike kada vidi interes uenika injihovo usvajanje novog gradiva bez psiholokogoptereenja i prisile.

=


6/19

!rojekt u nastavi matematike U mnogim djelatnostima ljudi svakodnevno dolaze urazliite problemske situacije koje moraju znatirazrijeiti. roblemske situacije i problemi s kojimae se uenici sresti u %ivotu i svom radu stavljajukolu pred ozbiljan zadatak da uenike primjereno pripremi za takav rad. Na nastavnom satu matematike uenici trebajuaktivno i samostalno raditi, istra%ivati i rjeavati probleme za koje su potrebne razliite matematikesposobnosti. roblemska situacija potie uenike nakreativan i stvaralaki rad.&uvremena metodika nastave matematike ukazuje narazne mogunosti za rjeavanje pitanja razvojastvaralakog miljenja i stvaralakih sposobnostiuenika. 2a%ne elemente rjeavanja ovog pitanjauitelj matematike mo%e nai u naelima nastavematematike, u nastavnim i znanstvenim metodama

te u izboru postojeih nastavnih sustava. Usuvremenom obrazovnom sustavu jedan od va%nihoblika uenja i pouavanja matematike postaje projektna nastava.

rojektna nastava je proces aktivnog, istra%ivakoguenja u kojem uenici dolaze do novih spoznajaistra%ujui neko teorijsko ili praktino pitanje. -adna zadanom problemu, to jest na projektu, uvodiuenike u istra%ivanje i pronala%enje, te pisano iliverbalno izvjetavanje.$ljuni elementi projekta su aktivno uenje, plan i

istra%ivanje."nogo vie o projektnoj nastavi i nainukako je treba provoditi saznajemo iz ciljeva projektne nastave, njenih znaajki i etapa.

(a razliku od klasine nastave koju karakteriziraogranienost nastavnim planom i programom ikoncentriranost na njegovu realizaciju,jasnoodijeljene nastavne cjeline, rijetka odstupanja izokvira matematikih sadr%aja te nedostatak povezanosti s realnim svijetom i nedostatak zadatakaotvorenog i problemskog tipa te zanemarivanjeodgojne zadae nastave koja je uglavnom ogranienana razvijanje sustavnosti, preciznosti i urednosti, projektna nastava donosi mnoge prednosti.rojektnu nastavu karakterizira primjena metodesuradniko*timskog rada, samostalna organiziranost iosobna odgovornost uenika, etapno ciljno planiranje i interdisciplinarnost, realna mogunost primjene znanja u stvarnom %ivotu, razvoj interesaza istra%ivanje i istra%ivaki pristup uenju te razvojvjetina komunikacije i tolerancije.rojektna nastava je otvorena prema problemskimsituacijama i zadacima iz realnog %ivota, potiestvaranje matematikih kompetencija, a ne samovjetina rjeavanja tradicionalnih zadataka. U njoj sekombinira osnovno struno znanje s eksperimentimai osobito je pogodna za povezivanje matematike sdrugim predmetima i razliitim podrujima znanosti

i ljudske djelatnosti. osebna pa%nja se posveujerazvijanju organizacijskih i komunikacijskihkompetencija uenika.

Uloga uitelja u projektnoj nastavi je da vodi projekt, usmjerava ga i njime upravlja. n ne dajerjeenja, ve kontrolira i usmjerava uenike.dgovoran je za organizaciju i nain rada

projektnog tima i mora biti u stanju prepoznati probleme i pokuati ih konstruktivno i sustavnorijeiti. Uitelj preuzima zadatke izbora projektnihtema, podjele u grupe, voenja pri preciziranju postavljanja zadataka, voenja zajednikih rasprava,organiziranja pomoi u radu i podnoenja izvjetaja, pripreme u matematikih i drugih pomonihsredstava, pripreme medija za rad i objave rezultata.

(bog svega navedenog, projektna nastava zahtijevadodatni trud i motivaciju uitelja, odstupanje od

uskih okvira nastavnog plana, primjenu novihnastavnih metoda te umjenost u svladavanju problema jer takva vrsta nastave sa sobom mo%enositi i neke neoekivane situacija i probleme imogunost neizvjesnog ishoda projekta.

Najva%niji odgojno B obrazovni uinci projektnenastave za uenike su! usvajanje novih metodarada ,razvijanje kompetencije planiranja, razvijanjekritikog odnosa prema vlastitom i tuem radu,razvijanje vjetina timskog rada i donoenja odlukasamostalno i u timu, razvijanje sposobnostiodluivanja, izra%avanja i argumentacije isposobnosti rjeavanja problema, osposobljavanje zasamostalno pronala%enje in'ormacija i kritiki odnos prema njima te pravilnu procjenu raspolo%ivihresursa, razvijanje samostalnosti i odgovornost uradu, osposobljavanje za integriranje zajednikidobivenih radnih rezultata, stvaranje proizvoda zavlastito koritenje ili za koritenje od strane drugih.

Ueniki matematiki projekt je rad tima uenika naslo%enijem matematikom problemu, esto bliskomrealnom svijetu. -adom na projektu posti%e secjelovito uenje s jakim samostalnim elementom,veza sa %ivotnom praksom i drutvom, komunikacijai interdisciplinarni rad &vaki projekt mora imati cilj. Ueniki matematiki projekti trebaju biti orijentirani na konani proizvod.To mogu biti! matematiki panoi, plakati,matematiki lanci, asopisi, Ceb stranice, predavanja ili radni materijali za druge uenike islino.rojekt mora imati odreen rok za zavretak.2rijeme

potrebno za jedan projekt je nekoliko kolskih sati,

no mogui su i manji projekti. Ueniki projekt semo%e kombinirati sizvanuionikom nastavom ili u prilikama dana integrirane ili otvorene

D


7/19

nastave. 2remenski plan mora biti prikladan i poznatuenicima.9zuzetno je va%an odabir teme. rojekt podrazumijeva slo%eniji zadatak koji se smislenomo%e podijeliti na jednostavnije zadatke. Takoermora biti jasna veza i va%nost odabrane teme za prethodnu i buduu nastavu.rojekt u pravilu ukljuuje rad vie uenika +grupa i

podrazumijeva suradnju i koordinaciju svihsudionika. Uenike treba podijeliti u grupe koje su ustanju suraivati i koje imaju dovoljno znanja za svoj potproblem. rema broju sudionika projekti mogu biti! mali osobni projekti koje uenici izraujusamostalno ili u skupinama, razredni projekti koje provodi cijeli razred ili projekti cijele kole koje provode svi uenici kole i javno ih predstavljaju ukoli.

Tijek i realizacija matematikog projekta ima

nekoliko etapa.rva etapa je priprema projekta u kojoj je izabratitemu ili problem koji e se obraivati +dio gradiva,izborni sadr%aj, istra%ivaki projekt . 0ko je mogue,temu projekta odabiremo u podruju interesauenika, tematski okvir postavljamo na temeljusadr%aja koji su primjereni i dostupni uenicima.Uitelj treba izraditi plan istra%ivanja te imati naumu vremensku i prostornu organizaciju, potrebneresurse i materijale i metode rada i prikupljanja podataka. Nakon planiranja slijedi odreivanje zadae ili cilja

projekta, tj. postavljanje problema. roblem mora biti postavljen dovoljno otvoreno i slo%eno i pomogunosti da izlazi iz okvira matematike. Ueniketreba potaknuti da zapiu sve idejei pitanja unutardogovorenog tematskog okvira. 2a%no je odabrati pitanje na koje bi %eljeli i mogli nai odgovor uz provedbu manjeg istra%ivanja. Tada se prelazi nasreivanje i grupiranje ideja, izbor parcijalnih problema koji e se obraditi, preciziranje zadataka,odreivanje strukture tima i podjela rada u grupi,izbor materijala i metoda rada, dogovor o mjestu ivremenu radaTrea etapa je provedba projekta i izvoenjeistra%ivanja i karakterizira ju rad u grupama, prikupljanje radnih materijala i izvora in'ormacija,upotreba pomonih sredstava i dokumentacijskiradovi. 5itno je da uenici rade uredne i precizne biljeke na kojima e se temeljiti zakljuak jer otome kako prikazujemo rezultate esto ovisi mo%e lise iz njih neto jasno uoiti2a%no je da uitelj cijelo vrijeme nadgleda rad na projektu i ima ulogu menad%era projekta. n mo%esasluati izvjetaje o radu grupa, pogledati prezentacije meurezultata i dati eventualne kritika inove smjernice.6etvrta etapa je integriranje radnih rezultata i predstavljanje projekta U njoj se daju zavrniizvjetaji grupa i prezentacije rezultata, podnosi se

dokumentacija i daju dopune, rezultati se integrirajuu cjeloviti proizvod. va je etapa iznimno va%na jerse u njoj usavravaju i izgrauju slo%ene vjetine iva%ne %ivotne kompetencije! timsko usuglaavanje idemokratinost odluivanja kod grupnih radova,argumentirani odabir onoga to najbolje pokazujeto je va%no i to %elimo istaknuti, preglednost,kompozicija i skladnost, preciznost, urednost iestetska vrijednost, te uvjerljivost, dinaminost,sigurnost, i dopadljivost u nastupu. Naglaavaju setekoe u radu i uspjesi, a takoer se mogu iznijeti ineke ideje za nastavak istra%ivanja.osljednji dio je vrednovanje projekta. rocjenjujese ostvarenost projekta, provedba i predstavljanje projekta. "ogu se ocjenjivati razliiti elementi!usvojenost znanja, primjena znanja, samostalnost uradu, praktian rad. @rupni se uradak mo%e ocijeniticijeloj grupi ili se mo%e ocijeniti izvjestitelj. U grupise mogu dogovoriti i timske uloge te se pri

ocjenjivanju tada mo%e znati to je iji doprinos.@rupni rad takoer mo%e biti prilika za vje%banjesamoevaluacije i evaluacije rada u grupi.

ostoji irok spektar tema koje se u matematicimogu zanimljivo obraditi kao projekt.7edna od projektnih tema mo%e biti i E&ve okrugovimaF.$ao polazite za postavljanje podtema mo%e bitislika ili 'otogra'ija. U poetnoj etapi je va%no neraditi selekciju ideja. &vaki uenik bilje%i svoje idejena papir. Tako dobiveni parcijalni zadaci mogu biti!

elementi kruga +sredite, polumjer, promjer , krug ikru%nica, dijelovi kruga +isjeak, odsjeak , mjerenjekruga i njegovih dijelova +opseg,povrina , trokutuopisana i upisana kru%nica, etverokut i kru%nica, broj0 , krug i kru%nica u koordinatnom sustavu, krugi kru%nica u prirodi + valovi, &unev sustav. , uumjetnosti +likovna umjetnost, arhitektura , u sportuili u knji%evnosti, s'era i kugla i mnoge druge.otrebno je voditi rauna da projekt ne bude

preambiciozno i preiroko postavljen.7o neki primjeri projekata su! mostovi+oblici,dijelovi mostova , egipatski razlomci, iteracije+nizovi, rekurzije, Gibonaccijevi brojevi, 'raktali,mozaici , kriptogra'ija +i're, Anigma i naravnomnogi drugi.

U klasino organiziranom nastavnom procesu,najvei problem pri uvoenju projekta u nastavu jeorganizacijskog tipa te se uitelji rijetko odluuju zatakav oblik poduavanja, iako su svjesni mnogihkoristi koje se ostvaruju primjenom projekta unastavi. "atematiki sadr%aji su takoer najeealati u projektima, a ne temeljni problem koji seistra%uje budui da se istra%ivanje u matematicinajee temelji na apstraktnom miljenju.Uzimajui u obzir realnost i prednosti koje sobomnosi projektno uenje potrebno je pronai naine da

H


8/19

projektno uenje i u klasino organiziranoj nastavi postane svakodnevica.2elike mogunosti u nastavi matematike pru%ainjenica da polazite za projekt mo%e biti bilo kojatema. Tako tema istra%ivanja projekta mo%e postati bilo koji matematiki problem, postavljen od stranenastavnika ili uenika.Uvoenjem u nastavu zadataka koje sadr%ajno predstavljaju mali projekt te uz to sadr%e obavezu prezentacije i re'leksiju, ostvarujemo i velik diociljeva projektne nastave, posebno onih vezanih uzvjetine komunikacije, sposobnosti objektivnogvrednovanja svog i tueg rada i toleranciju. bzirom da se u matematici skoro svaki klasian

problemski zadatak mo%e trans'ormirati u mali projektni zadatak, na ovaj nain se otvara irokspektar tema za male projektne zadatke koji moguobogatiti svakodnevnu nastavu matematike i uvelikoj mjeri poveati kvalitetu usvojenih znanja i

vjetina.(adaci projektnog tipa(adatak projektnog tipa je jasno de'iniran zadatakkoji treba rijeiti detaljnim istra%ivanjem pounaprijed utvrenom planu te pripremiti prezentacijui prezentirati bitne korake u istra%ivanju i rezultate,a mo%e biti individualan ili grupni.

(adaci projektnog tipa mogu se zadati vrlo lako iuklopiti u klasino organiziran nastavni proces i uskoro svaku nastavnu temu. rikladni su za uenje

teoretskih sadr%aja matematike i sistematizacijugradiva te za primijenjene sadr%aje. &adr%ajno mogu biti vrlo raznoliki pa se mogu prilagoditi uenicimaraznih sposobnosti za matematiku tako da svakiuenik u razredu mo%e raditi na ovakvim zadacima, atreba odluiti i da li e tra%enje materijala biti dio projekta ili je literatura poznata. (adaci mogu biti takvi da zahtijevaju kratko vrijemeza istra%ivanje i da se u cijelosti mogu izvestitijekom sata ili da je za istra%ivanje potrebno viedana pa se dio poslova obavlja se kod kue, a diotijekom nastavnih sati. vakvi zadaci mogu se postaviti ak i tako da se u potpunosti, ukljuujui pripremu prezentacije i prezentaciju, mogu izvesti u jednom nastavnom satu, pri emu uenicima moraju biti na raspolaganju odgovarajui mediji i materijaliza dokumentaciju.

rojektni se zadatak mo%e izraditi u sklopu redovitenastave jednog predmeta ili vie predmeta, pri emuvie nastavnika surauje u ostvarivanjuinterdisciplinarnosti.(adatke projektnog tipa karakteriziraju slijedeielementi! istra%ivaki karakter, plan istra%ivanja, prezentacija tijeka istra%ivanja i rezultata i postupakvrednovanja.(a zadavanje ovakvih zadataka uitelj treba preciznoodrediti zadatak,dati smjernice za istra%ivanje i

literaturu, navesti kriterije za vrednovanje i odreditivrijeme trajanja prezentacije.$ao kriterije vrednovanja mo%emo navesti! preciznost izrauna, domiljatost pri odabiru, tonostiskazanih tvrdnji i dokaza, preciznostkonstrukcija,preciznost i sistematinost zapisa, jasnoa i zanimljivost prezentacije, kreativnost plakata.

!rimjer ". (adatak teorijskog tipa za =. razredosnovne kole.#statak pri dijeljenju brojem $(adatak je istra%iti koji se brojevi mogu pojaviti kaoostatak pri dijeljenju brojem H, objasniti zato vrijedita tvrdnja i pripremiti kratku prezentaciju. &mjerniceza istra%ivanje!> 9zaberi nekoliko prirodnih brojeva manjih od 8? isvaki od njih podijeli sa H i prika%i u obliku Ha I b.(adatak je prikladan za individualni rad i koristan jeza uvoenje u matematiku teoriju.

Uenike upoznaje s razliitim nainima prikaza broja.

!rimjer % . zadatak za uenike &. razreda 'veliki brojevi(adatak je istra%iti FvelikeJ brojeve. &mjernice!9stra%iti to su to Eveliki brojeviF i koji je najvei broj koji je netko zapisao.

!rimjer ( . zadatak za uenike &. razreda brojevi u povijesti(adatak je istra%iti kako su stare civilizacije

zapisivale brojeve i kako su njima raunali.

!rimjer ). (adatak za uenike D. razreda ieventualno uenike =. razredaazotkrijtematematiku igru(adatak je otkriti pravilo kako pogoditi zamiljeni broj iz rezultata te dokazati pravilo i pripremiti prezentaciju pravila i dokaza te izmisliti slinu igru.1 2gra3 4amis#ite jednoznamenkasti broj.

Pomnoite ga brojem 5. &odajte mu trostruki zami$#jeni broj. 6ezu#tat pomnoite brojem iumno$ku dodajte zami$#jeni broj. 6e ite rezu#tat.mjerni e za istraivanje ! onoviti igru i zapisati

postupak izrauna s nekoliko zamiljenih brojeva te pokuati odgonetnuti pravilo. rimjeniti postupakizrauna koristei nepoznanicu K, te zapisati i sreditiizraz.

!rimjer & . (adatak za uenike H. razreda #dnosduljine dlana i stopala(adatak je gra'iki prikazati i komentirati odnosizmeu duljine dlana i duljine stopala nekolikouenika.&mjernice za istra%ivanje! 9zmjeriti duljinu stopala iduljinu dlana nekoliko uenika i podatke prikazatitablino za svakog od izabranih uenika.U pravokutnom koordinatnom sustavu ucrtati ureene

L


9/19

parove duljine stopala i dlana. 9zabrati po dvije tokei odrediti i ucrtati pravac koji prolazi kroz njih te procijeniti koji pravac bolje opisuje vezu duljinedlana i stopala.

!rimjer * . (adatak za uenike L. razreda #plo+je!latonovih tijela.(adatak je istra%iti u literaturi to su to latonovatijela, koja su im svojstva, gdje se pojavljuju u prirodi te kako im mo%emo izraunati oploje.&mjernice za istra%ivanje! rouiti latonova tijela inain raunanja povrine likova od kojih se onasastoje.(a svako tijelo analizirati koje suin'ormacije potrebne za raunanje oploja. 9zraditi jedno tijelo pomou mre%e i izraunati mu oploje te pripremiti kratku prezentaciju.

rednost koja se ostvaruje ukljuivanjem ovakvih

zadataka u nastavu je u navikavanju uenika na planski, istra%ivaki nain uenja u klasinoorganiziranom nastavnom procesu. vakvi zadaci pripremaju uenike za izvoenje opse%nijihinterdisciplinarnih projekata. Navikavanjem uenika na prezentiranje rezultata izajedniko vrednovanje realiziraju se neki od bitnihciljeva suvremene kole. (adaci projektnog tipaorganizacijski su vrlo jednostavni za provoenje uklasinom nastavnom procesu, a zadr%avaju dobrestrane projektne nastave.

ostupak vrednovanja bitan je element kojiupotpunjuje projektne zadatke.(adatak zavrava prezentacijom pa imamo mogunost ukljuiti sveuenike razreda u diskusiju i vrednovanje.9ako konanu i realnu ocjenu mo%e dati jedinouitelj, postupak vrednovanja od strane uenika isamovrednovanje radi se u svrhu razvijanjasposobnosti vrednovanja kod uenika te stvaranjeobaveze pa%ljivog sluanja prezentacije. U tu svrhumo%emo tra%iti od uenika zapis podataka o prezentaciji te komentare najuspjenijeg i najmanjeuspjenog aspekta u bilje%nicu. )a bismo pomogliuenicima u razvijanju sposobnosti objektivnogvrednovanja mo%emo de'inirati kriterije po kojima se projektni zadaci vrednuju. ri tome se od uenika neoekuje ocjena po svim elementima nego im tikriteriji mogu poslu%iti kada navode najuspjeniji inajmanje uspjean aspekt prezentacije. Time ueniciujedno postupno usvajaju navedene elementevrednovanja kao bitne elemente prezentacija i samiih u svojim prezentacijama nastoje zadovoljiti.

&vi matematiki sadr%aji nose u sebi stanovitu problemnost. (ato je mogue pri obradi svakogsadr%aja pobuditi interes uenika stvaranjem prikladne problemske situacije. te%inimatematikog sadr%aja, uzrastu i predznanju uenika

i umjenosti nastavnika ovisi kako e se problemobraivati i koje e se oblici i nastavne metodekoristiti.5itna pretpostavka za uspjenu nastavu je da suuenici primjereno osposobljeni za umni rad+pravilan izbor izvora za prouavanje, izdvajanje potrebnih teorijskih injenica, postavljanje i provjeravanje hipoteza, jezino oblikovanje i zapisrezultata rada i dr. . &posobnost umnog rada posti%ese postupno i u svim nastavnim sustavima.0ko je projektna nastava organizirana tako da imanavedene znaajke, da zadovoljava navedene ciljevei prolazi kroz predviene etape ima mnogo prednosti pred klasinom nastavom. Na taj nain se mnogodublje povezuje znanje i razmiljanje, poma%e seuenicima u stjecanju vjetina rjeavanja problema, potie se razvoj navike razmiljanja, istra%ivanja i planiranja u svim segmentima %ivota, ukljuuju se imotiviraju uenici koji se dosauju ili su

indi'erentni, povezuju se sadr%aji koji su u klasinojnastavi bitno razdvojeni, ui se djecu kako prezentirati rezultete, razvija se kritinost premasvom i tuem radu, ali se i razvija sposobnostiobjektivnog vrednovanja svog i tueg rada. 7ednomrijeju, ogromne su koristi od projektnoorganiziranog uenja.Uz sve navedene prednosti, projektna nastava nije prikladna za sve kolske sadr%aje, na primjer zarazvijanje vjetine raunanja. &ve nastavne metode inastavni sustavi imaju svoje mjesto u nastavi i uskosu povezani i uvijek treba voditi rauna da dobru

nastavu karakterizira esta izmjena razliitihnastavnih metoda. 9 stalna projektna nastava jednakotako postaje dosadna kao i stalna 'rontalna nastava.

M


10/19

aelo zornosti

"atematika je znanost ije su postavke egzaktne, alinerazumljive i apstraktne za veliki broj uenika.(adatak uitelja je kroz nastavni predmet pribli%itiuenicima matematiku kao znanost, nauiti ih povezivati sadr%aje, zakljuivati,istra%ivati te razvitiinteres i time poveati motivaciju za rad. Uz ostale didaktike principe, veliku pomo uiteljima pru%a i naelozornosti.)r%ati se principa zornosti znai omoguitiuenicima da osjetilnim organima neposredno do%ivestvarnost koja se u nastavi prouava. (ornost potierazumijevanje i olakava uenje te uenicimaomoguava prijelaz od konkretnog premaapstraktnom. Naelo zornosti nala%e da se nastavnisadr%aji usvajaju promatranjem konkretnih injenicakoje omoguavaju do%ivljavanje i stvaranje

predod%bi te potiu misaone aktivnosti te takoolakavaju i usvajanje onih sadr%aja koji predstavljaju apstrakcije. reko osjetilne spoznaju umiljenju uenika stvaraju se slikovite predod%beapstraktnih matematikih pojmova, apstraktnimatematiki sadr%aji prevode se u iskustvene, perceptivne sadr%aje i tako se lake se usvajajuapstraktni matematiki odnosi. Na primjer, apstraktni pojam broja < uenicima se mo%e prikazati kao < prsta ruke, kao broj < na brojevnom pravcu ili kao 9spiite prvo sve viekratnike broja M manje od8?? i zbrojeve njihovih znamenki i ka%ite kojutvrdnju mo%ete izrei za te zbrojeve. (atim promatrajte nekoliko veih brojeva iji su zbrojeviznamenki viekratnici broja M, pa opet ka%ite kojutvrdnju mo%ete izrei o

polaznim brojevima.rva tvrdnja! 7ko je prirodni broj dje#jiv s 8, onda

je i zbroj njegovi! znamenki dje#jiv s 8.)ruga tvrdnja! 7ko je zbroj znamenki prirodnog

broja dje#jiv s 8, onda je i taj prirodni broj dje#jiv saMva obratna tvrdnja omoguuje br%e ispitivanje

djeljivosti prirodnih brojeva s M, nego to se to mo%e postii dijeljenjem. To je osobito va%no kod velikih brojeva. "eutim, u tom sluaju mo%e se primijenitid%epno raunalo4

-astavljanje broja na proste 'aktore. U nastavimatematike osnovne kole uenici obino nauerastavljati na proste 'aktore male brojeve. omoud%epnog raunala i tablice prostih brojeva manjih od1?? +manjih od 1 ??? brzo se mo%e istra%iti

djeljivost prirodnih brojeva manjih od 1? ???+manjih od 1 ??? ??? . Narav teme omoguuje dauenici bez tekoa sami sastavljaju nove probleme uvezi s temom i vre dodatna istra%ivanja.

(broj kutova u trokutu. Uitelj postavlja problem*sku situaciju na temelju injenica da uenici znaju dasu sva etiri kuta pravokutnika prava i da visina jednakokranog trokuta dijeli kut uz isti vrh na dva jednaka dijela. romatrajte pravokutni i jednakokrani trokut. Naite zbrojeve kutova u timtrokutima. Teko da bi uenici estog razreda mogli potpuno samostalno razrijeiti ovu problemskusituaciju. (ato je ipak potrebno da ih uitelj vodi.

Uitelj e voenjem navesti uenike da u prvomkoraku istra%uju pravokutni trokut, nadopune ga do pravokutnika, uoe par paralelnih pravacai njihovu presjenicu te kutove uz nju i zakljue da je zbrojkutova u pravokutnom trokutu jednak"79: .

&ljedei korak je istra%ivanje jednakokranog tro*kuta. 2isina toga trokuta dijeli ga na dva sukladna pravokutna trokuta. To znai da se mo%e primijeniti prethodni rezultat i doi do zakljuka da je i usvakom jednakokranom trokutu zbroj kutova jed*nak 1L?

$ao trei korak uenici mogu istra%ivati konkretnetrokute.

> Nacrtajte nekoliko trokuta, pomou kutomjeraodredite njihove kutove i nainite tablicu

tih kutova i njihovih zbrojeva. piite kojizakljuak mo%ete izvesti na temelju tablice.

Na temelju tablice zbrojeva kutova uenici mogunaslutiti da vrijedi tvrdnja! 4broj kutova u svakomtrokutu jednak je 1L?

Tek sad e uenici moi s razumijevanjem pratitidokaz tvrdnje. ri obradi teme mogua je i uporabaraunala.

#sobite toke trokuta. 2a%ne du%ine i pravci zatrokut su visine, te%inice, simetrale stranica isimetrale kutova. (a te du%ine i pravce vrijede jed*nostavne tvrdnje. 9stra%ivanje tih tvrdnji vrlo je po*godno za obradu na raunalu. Avo problemskihsituacija!

> Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajtesimetrale njegovih stranica. 9stra%ite odnos tih pravaca.Uenici trebaju spoznati da se simetralestranica trokuta sijeku u jednoj toki.

> Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte

njegove te%inice. 9stra%ite odnos tih du%ina.Uenici trebaju spoznati da se te%inice trokuta si* jeku u jednoj toki.

> Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte sime*trale njegovih kutova. 9stra%ite odnos tih pravaca.Uenici trebaju spoznati da se simetralekutova trokuta sijeku u jednoj toki.

> Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajtenjegove visine. 9stra%ite odnos tih du%ina.

Uenici trebaju spoznati da se pravci na kojima le*%e visine trokuta sijeku u jednoj toki.

Tako se malim istra%ivanjem otkrivaju etiri va%ne

toke trokuta! sredite opisane kru%nice, srediteupisane kru%niceU, te%iteT; ortocentar 9stra%ite polo%aj toaka, T, ? za razne polo%aje toke/ na danoj kru%nici +kutomjer, raunalo, animacija .piite to ste uoili.Uenici trebaju spoznati davrijedi tvrdnja!vaki obodni kut nad promjeromkruni e je pravi kut (Ta#esov pouak*.

> Nacrtajte kru%nicuk( ,r*, jednu njezinu tetivu@7? i bilo koju njezinu toku / s iste strane tetivena kojoj je sredite kru%nice. 9stra%ite mjeru kuta

7>? za razne polo%aje toke> na danoj kru%nici+kutomjer, raunalo, animacija . piite to steuoili.

1H


18/19

Uenici trebaju otkriti sljedei pouak o sredi*njem i obodnom kutu! &va navedena pravila mogu se generalizirati.

$ada se u nastavnom gradivu naie na neko pravilo,treba se uvijek sjetiti analogije i generalizacije4

itagorin pouak. Tradicionalna obrada ove temeima jedan izraziti metodiki nedostatak! poinjenajee tako da se odmah na poetku iska%esvojstvo duljinaa,b; stranica pravokutnog trokuta uobliku itagorina pouka + a A b . Nerijetkomanjka i dokaz, ve se brzo prelazi na primjenu pouka na razne geometrijske likove.

9stra%ivanja u ovoj temi mogu se provesti u neko*liko smjerova. (a samo otkrie itagorina poukadovoljna su samo dva koraka. Nakon kratkognastavnikovog uvoenja u problemsku situaciju,svaki korak omoguuje istra%ivaki rad uenika."o%emo jo dodati da su koraci vrlo pogodni za primjenu jo jedne korisne metode u nastavi ma*tematike u osnovnoj koli * metode demonstracije+raunalo .

> 9zraunavanje povrine kvadrata u kvadratnojmre%i. Uenici crtaju ili precrtavaju s prozirnicekvadratnu mre%u i u njoj nekoliko kvadrata razliitih polo%aja s vrhovima u voritima mre%e. ovrinetakvih kvadrata su cjelobrojne. $orak zavravaizradom tablice povrina kvadrata.

> itagorine 'igure. itagorina 'igura sastoji se od pravokutnog trokuta i tri kvadrata nad njegovimstranicama. &ada se u kvadratnoj mre%i crta niz

takvih 'igura i na temelju prvog koraka odreuju povrine kvadrata i unoseu tablicu. $orak zavravauoavanjem veze meu povrinama i 'ormulacijom pouka.

"ogui daljnji koraci!> 9stra%ivanje analogona pravokutnog trokuta

+polovica kvadra, itagorin tetraedar, tetraedaromeen pravokutnim trokutima .

> 9stra%ivanje analogona itagorinog pouka.> tkrivanje generalizacija itagorinog pouka.

ostoje tri pogodne zamjene kvadrata nadstranicama pravokutnog trokuta koje vode dogeneralizacija itagorinog pouka! kvadrati QSslini etverokuti, kvadrati Qpravilni mnogokuti,kvadrati *slini mnogokuti.

> ostoji jo jedan zanimljiv smjer istra%ivanja uvezi itagorinog pouka * Pitagorine trojke brojeva.ravokutni trokut ije su duljine stranica prirodni

brojevi naziva se Pitagorin trokut. Ureena trojka

prirodnih brojeva(a, b, * koja zadovoljava Pitagorinu jednadbu ) AB + z C naziva se Pitagorina trojka. 7asno je da za svaku itagorinutrojku(a, b, * postoji pravokutan trokut kojemu sua, b, duljine stranica. ritom trojke(a, b, * i (b, a,* geometrijski ne razlikujemo jer odreuju sukladne

pravokutne trokute. 9stra%ite sve itagorine trokutekojima duljine stranica nisu vee od 1??.

omou tablice kvadrata ili rjeavanjem itagorine jednad%be metodom razlikovanja sluajeva uenicimogu otkriti da postoje =8 itagorina trokuta kojizadovoljavaju uvjet!

+;,


19/19

te%inu i uenicima i nastavnicima matematike,Uenicima je ona teka zato to samostalno rje*avanje problema nije ni jednostavno, ni lako. rva bitna pretpostavka za uspjenu primjenu ove nastave je da su uenici primjereno osposobljeni za umnirad.

Te%ina istra%ivakog rada uenika mo%e se ubla%ititako da se pretpostavljeni samostalni rad uenikakombinira radom u paru ili grupnim radom, a samanastava s heuristikom i problemskom nastavom.-azred ne gubi svoju cjelovitost,a suradnja,razmjena miljenja i ideja uenika pridonosekvaliteti nastave. &ve se to treba provoditi u ma*tematikoj radionici4 9 u svakodnevnom %ivotuistra%ivanja najee provode istra%ivake grupe,odnosno istra%ivaki timovi.

lako se pouavanje nastavnika matematike u istra*%ivakoj nastavi znatno smanjuje, ovaj nastavnisustav relativno je te%ak i za nastavnika. Uloga na*

stavnika u njemu sastoji se u stvaranju problemskihsituacija, savjetovanju i pomaganju uenika priizboru izvora, ukazivanju na potrebne teorijskeinjenice i zavrnoj raspravi o rezultatimaistra%ivakog rada uenika. Tu se mogu pojaviti i postavke uenika koje nastavnik nije predvidio. Natakvu situaciju on mora biti pripravan. (ato je druga bitna pretpostavka za primjenu istra%ivake nastavedobra osposobljenost nastavnika matematike.

& istra%ivakim radom treba poeti vrlo rano, veod petog razreda

Documents

pismeni matematika