Pengaplikasian Simpleks M

8/16/2019 Pengaplikasian Simpleks M

http://slidepdf.com/reader/full/pengaplikasian-simpleks-m 1/8

3

ANALISA SISTEM

Metode Simpleks Big M

Sama halnya dengan metode Simplex, metode big-M merupakan salah satu metode untuk

menyelesaikan masalah program linier dengan kendala. Metode big-M digunakan untuk

menyelsaikan fungsi kendala yang jenis pertidaksamaannya beraneka ragam..

Aturan yang dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian:

BatasanPenyesuaian fungsi batasan

oefisien fungsi tujuan

Maksimisasi Minimisasi

! "ambah sla#k $ariabel % %

& "ambah artifi#ial $ariabel -M M

' urang sla#k $ariabel % %

(an tambah artifi#ial $ariabel -M M

tentang #ara mengubah kendala simplex sehingga menjadi kendala yang standar. Selain itu,

saya ingin menjelaskan tentang $ariabel-$ariabel tambahan yang diperlukan dalam simplex.

Perhatikan tabel berikut ini:

No Kendala awal Hasil transformasi Jenis variable tambahan

1 ) x*+ x/ ) x*+ x+S *&/ S * : $ariable sla#k

2 x*)0 x12 x*)0 x)S +S &2

S : $ariable surplus

S : $ariable artifi#ial

3 x*+3 x&4 x*+3 x+S 3&4 S 3 : $ariable artifi#ial

(alam programa linear, ada tiga pertidaksamaan yang diijinkan, yakni , 1 dan &. 5al ini

sebagaimana ditunjukkan pada tiga baris pada tabel di atas. "iga keadaan ini akan kita bahas

satu-persatu. Sebelumnya perlu diingat bah6a setiap $ariabel 7baik asli maupun tambahan8

memiliki kendala implisit 1%.

KELOMPOK 3 | METODE SIMPLEKS Big - M



3

ANALISA SISTEM

• eadaan . 9uas kiri pertidaksamaan bernilai kurang dari ruas kanan. Sehingga kita

perlu menambahkan bagian ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan. ntuk itu,

kita perkenalkan $ariabel S *. ;ariabel ini disebut $ariabel sla#k karena ia merupakan

kekurangan dari ruas kiri supaya sama dengan ruas kanan. Bagian ruas kiri akan

ditambah 7bukan dikurang8 S * karena $ariabel S * memiliki kendala implisit non-

negati$e 71%8.

• eadaan 1. 9uas kiri pertidaksamaan bernilai lebih dari ruas kanan. Sehingga kita

perlu mengurangkan bagian ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan. ntuk itu,

kita perkenalkan $ariabel S . ;ariabel ini disebut $ariabel surplus karena ia

merupakan kelebihan dari ruas kiri supaya sama dengan ruas kanan. Akan tetapi,

sayangnya kita memerlukan suatu $ariabel yang memiliki koefisien positif * untuk

memperoleh solusi a6al yang feasibel. <leh sebab itu, kita perlu memperkenalkan

$ariabel S dengan koefisien +*. arena $ariabel ini adalah $ariabel buatan, maka ia

disebut $ariabel artifi#al.

• eadaaan &. eadaan ini sudah dalam bentuk persamaan. Akan tetapi, karena kita

perlu $ariabel yang memiliki koefisien +*, diperkenalkanlah $ariabel S 3 sebagai

$ariabel artifi#ial. "erkadang, ada penulis yang menambahkan $ariable S / agar

kendala ini tetap seimbang =*>.

oefisien +* sebagaimana dijelaskan di atas diperlukan karena kita perlu mendapatkan

matriks identitas sebagai basi# $ariable dalam solusi a6al. ?ilai $ariabel-$ariabel lain kita set

menjadi nol sehingga persamaan matriks menjadi terpenuhi.

"eknik ini memberikan nilai koefisien yang sangat besar kepada $ariabel-$ariabel

artifisial dalam persamaan obje#ti$e fun#tion. ?ilai koefisien ini bertindak sebagai penalty

dan disebut Big-M. ?ilai ini perlu sangat besar agar algoritma simpleks berusaha

memprioritaskan menangani $ariabel artifisial ini terlebih dahulu. Setelah nilai artifisial ini

bernilai nol, maka suatu solusi feasible sudah ter#apai dan $ariabel artifisial dapat dibuang

dari tabel simpleks.

Sebagai #ontoh apabila obje#ti$e fun#tion yang asli sebagai berikut:

max x*+4 x




3

ANALISA SISTEM

maka persamaan tersebut diubah menjadi:

max x*+4 x) MS ) MS 3

euntungan dari metode ini adalah algoritma simplex dapat dilanjutkan sebagaimana

metode simpleks yang biasa. Akan tetapi, penggunaan angka yang sangat besar dapat

mengakibatkan iterasi simplex yang tidak stabil karena galat pembulatan.

Contoh Soal

Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :




3

ANALISA SISTEM

Minimasi : @ & * + 0,/

(engan pembatas :

0* + 1 *%

* + * 1 *2%

3 1 *%

*, 1 %

Carilah harga * dan D

J!"!B!N

Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M 7BEF G M8, hal ini

dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan 1 7lebih dari sama

dengan8.Persamaan "ujuan : @ - x* - 0,/ - %S* - %S - %S & % Baris %

Persamaan endala : 0x* + x - S* +A* & *% Baris *

x* + *x - S +A & *2% Baris

3x - S + A & *% Baris

Bagi kendala pertidaksamaan jenis , maka variabel slack ditambahkan untuk

menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan

pada kendala pertidaksamaan jenis 1 dan kendala persamaan 7&8 persamaan diatas diperoleh

karena tanda 1 harus mengurangi $ariable surplus.

ntuk mengarahkan artifisial $ariabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada

A*, A, dan A sehingga fungsi tujuannya menjadi :

@ & x* + 0,/ + %S* + %S + %S + MA* + MA + MA

#able simple$ awal dibent%k dengan !1& !2& dan !3 sebagai variable basis& seperti table

berik%t

Basis * S* S S A* A A ? 9ASE<

@ *M- *4M-0,/ -M -M -M % % % /*%M

A* 0 -* % % * % % *% *% : & 0%A * % -* % % * % *2% *2% : * & */A % 3 % % -* % % * *% *% : 3 & %

(ari table diatas kita ketahui bah6a semua BHS belum optimal. 5al ini dikarenakan seluruh

?B; masih mempunyai koefisien yang berharga positif. <leh karena itu ntuk x terpilih

sebagai entry $ariable karena x memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A

menjadi Iea$ing ;ariable. (an yang akan menjadi pi$ot adalah baris karena memiliki rasio paling ke#il.




3

ANALISA SISTEM

'angkah(langkah )*+ ,terasi -ertama

J9< * : Menjadikan nilai koefisien x berharga * pada baris

K x* + x - *L* S +*L* A & */

J9< : Menjadikan nilai koefisien x berharga % pada baris %

@ & 4L3 x* + %S* + */L3 S + %S + MA* + = M - */L3>A + MA + **,/

J9< : Menjadikan nilai koefisien x berharga % pada baris *

**L x* + S + A* - *L3 A& */

J9< 3 : Menjadikan nilai koefisien x berharga % pada baris

-x* +*L S - S -

*L A + A & %

Konversi bent%k standard iterasi -ertama @ & 4L3 x* + %S* +

*/L3 S + %S + MA* + = M - */L3>A + MA + **,/

**L x* + S + A* - *L3 A & */

-x* + *L S - S - *L A + A & %

K x* + x - *L* S +*L* A & */

#abel ,terasi -ertama

Basis * S* S S A* A A ? 9ASE<

@ -*LM- % % 0L* - */L3 -M % *L3 - M % /M G **,/ N

A* **L % % *L3 % * -*L3 % */ */ : /,/ & %A - % % *L -* % -*L * % N K * % -*L* % % *L* % */ */ : %,/ & %

Pada fungsi tujuan masih terdapat $ariable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu

lakukan iterasi kedua.

'angkah(langkah )*+ ,terasi Ked%a

J9< * : Menjadikan nilai koefisien x* berharga * pada baris *

x* + *L S + L**A* - *L A & %

J9< : Menjadikan nilai koefisien x* berharga % pada baris %

@ & %S* + %,0/ S + %S + MA* -%,3A* + = M G %,0/>A + MA + *2%

J9< : Menjadikan nilai koefisien x* berharga % pada baris

%./ A & %

J9< 3 : Menjadikan nilai koefisien x* berharga % pada baris

%,4 S - S +%,A* + %,* A + A & *%

Konversi bent%k standard iterasi ked%a

@ & %S* + %,0/ S + %S + =M -%,3>A* + = M G %,0/>A + MA + *2%x* + *L S + L**A* - *L A & %




3

ANALISA SISTEM

%./ A & %

%,4 S - S + %,A* + %,* A + A & *%

#abel ,terasi Ked%a

Basis * S* S S A* A A ? @ % % % -%,0/ % -M+%,3 -*LM+%,0/ M -*2%

x* * % % *L % L** -*L % %A % % % % % % K % % % % % %,4 -* %, %,* * *%

,terasi ked%a adalah optim%m karena koefisien pada persamaan @ semuanya non positif,

dengan x* & %, x & *% dan O&-*2%.

Contoh -engaplikasian .alam .%nia N/ata

P" nile$er bermaksud membuat jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang.

ntuk itu dibutuhkan ma#am Oat kimia, yakni A dan B. jumlah Oat kimia yang tersedia

adalah A&%%g dan B&%g.

ntuk membuat *g sabun bubuk diperlukan g A dan g B. untuk membuat * g

sabun batang diperlukan / g A dan g B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap

membuat *g sabun bubuk & sedangkan setiap * g sabun batang & , berapa g jumahsabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat D




3

ANALISA SISTEM

J!"!B!N

Pemodelan matematika :

Maksimumkan : @ & x* + x

Pembatas : x* + /x & %%

x* + x & %

Persamaan "ujuan : @ - x* - x & % Baris %

Persamaan endala : x* + /x + A* & %% Baris *

x* + x + A & % Baris

ntuk mengarahkan artifisial $ariabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada

A*, A, dan A sehingga fungsi tujuannya menjadi :

@ & x* - + MA* + MA

Basi

s

x* x A* A ? 9asio

@ 2M- 2M+

% % /%M

A* / * % %% %%:/&3%

A % * % %:&*

%

(ari table diatas kita ketahui bah6a semua BHS belum optimal. 5al ini dikarenakan belum

seluruhnya ?B; mempunyai koefisien yang berharga positif. <leh karena itu ntuk x

terpilih sebagai entry $ariable karena x memiliki nilai koefisien negatif, dan A* menjadi

Iea$ing ;ariable. (an yang akan menjadi pi$ot adalah baris * karena memiliki rasio paling

ke#il.

'angkah(langkah )*+ ,terasi -ertama

J9< * : Menjadikan nilai koefisien x berharga * pada baris *

%,3x* + x + %,A* & 3%

J9< : Menjadikan nilai koefisien x berharga % pada baris %

@ & ,2x* + =M-%,3>A* + MA - 2%

J9< : Menjadikan nilai koefisien x berharga % pada baris

3,2x* G %,A* + A & 3%

Konversi bent%k standard iterasi pertama

@ & ,2x* + =M-%,3>A* + MA - 2%

%,3x* + x + %,A* & 3%




3

ANALISA SISTEM

3,2x* G %,A* + A & 3%

Basis x* x A* A ? 9asio

@ 3,2M-,2 % %,3-%,3M % 3%M+2

% %,3 * %, % 3%

A 3,2 % %, * 3%

,terasi pertama adalah optim%m karena koefisien pada persamaan @ semuanya positif,

dengan x* & 3%, x & 3% dan O&3%M+2%.


Documents

Pengaplikasian Simpleks M