Pendahuluan Dan Dasar-Dasar Matematika

PENGENDALIAN SISTEM

Dr. Ario Sunar Baskoro, ST, MT, MEng.

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI

PENGENDALIAN SISTEM – ASB/2010-08-01

Pengajar dan Referensi

2

Pengajar: Dr. Ario Sunar Baskoro, ST, MT, MEng

Dr. Ir. Engkos A Kosasih, MT

Kantor: Laboratorium Teknologi Manufaktur DTM UI

Telpon: 727-0032

E-mail: [email protected], [email protected]

Referensi:

K. Ogata, Modern Control Engineering 4th Edition, Pearson

Education International, 2002

F. Golnaraghi, B.C. Kuo, Automatic Control System 9th Edition,

John Wiley & Sons, 2010.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Evaluasi Hasil Pembelajaran

Pekerjaan rumah : (10 %)

Praktikum dan tugas : (15 %)

Kuis : (15 %)

Ujian tengah semester 1 (tutup buku) : (15 %)

Ujian tengah semester 2 (tutup buku) : (15 %)

Ujian tengah semester 3(tutup buku) : (15 %)

Ujian akhir semester (tutup buku) : (15 %)

3

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Penyelenggaraan Pembelajaran

Kuliah Terstruktur : 21 pertemuan dalam kelas ditambah

Praktikum dengan software Math Lab : 4 pertemuan dalam

lab. Komputasi ditambah

Demonstrasi alat : 1 pertemuan di-laboratorium

4

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Topik Kuliah

5

1. Pengenalan Pengendalian Sistem

2. Dasar-dasar Matematika

3. Permodelan Matematis untuk Sistem Dinamik

4. Permodelan Matematis untuk Sistem Fluida dan Sistem Termal

5. Analisis Respon Transien dan Keadaan Tunak

6. Analisis Tempat Kedudukan Akar (TKA)

7. Desain Pengendalian Sistem Menggunakan TKA

8. Analisis Respon Frekuensi

9. Desain Pengendalian Sistem Menggunakan Respon Frekuensi

10. Kontrol PID dan Pengendalian Sistem Dua Derajat Kebebasan

11. Analisis Pengendalian Sistem dalam State Space

12. Desain Pengendalian Sistem Menggunakan State Space

1. Pengenalan Pengendalian

Sistem

6

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


1. Tujuan Pembelajaran:

Mampu menjelaskan sistem kontrol

Mampu menjelaskan mengapa pengendalian itu penting

Mempu mengetahui komponen sistem kontrol

Mampu menjelaskan beberapa contoh aplikasi sistem

kontrol

Mampu menjelaskan berbagai tipe sistem kontrol

7


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Pengenalan Pengendalian Sistem

8

Komponen Dasar Pengendalian Sistem

Objektif: input, actuating signal

Output: variabel terkontrol

Tujuan Pengendalian Sistem:

Mengendalikan output sesuai dengan yang diinginkan oleh input

melalui elemen pengendalian sistem

Sistem KendaliObjektif Hasil


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Istilah dalam Pengendalian Sistem

9

Plant Merupakan gabungan part untuk sebuah operasi tertentu/mengontrol

obyek fisik (seperti peralatan mekanis, tungku pemanas, reaktor kimia, pesawat terbang, dll)

Proses Setiap operasi yang harus dikontrol

Sistem Kombinasi komponen yang bekerja bersama dan meghasilkan tujuan

tertentu.

Gangguan (disturbance) Sinyal yang cenderung memberi efek balik dari nilai output sebuah

sistem

Pengendalian umpan balik (feedback control) Operasi aygn mengurangi perbedaan antara output sebuah sistem

dengan input referensi.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh Aplikasi Pengendalian Sistem

10

Sistem Cerdas


Mesin Perkakas Robot

Biomekanik Solar panel

Fotolitografi

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



11


Solar collector field

Steering control

Sistem kontrol kecepatan idle

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



12


Sistem kontrol kecepatan

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



13


Sistem kontrol temperatur

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Sistem Pengendalian Open Loop

14


Konsep pompa air menggunakan energi matahari

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



15


Sistem kontrol sun tracking

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



16


Elemen sistem kontrol open loop

Controller

Reference

input r

Actuating

signal u Controlled

process

Controlled

variable y

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Sistem Pengendalian Closed Loop

17


Elemen sistem kontrol closed loop untuk kecepatan idle

Controller

Error

detection

TL(Torque Load)

Controlled

process

Speed

transducer

+

+

+

-

r e

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



18


Tipikal respon sistem kendali open loop kecepatan idle

Tipikal respon sistem kendali closed loop kecepatan idle

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



19

Studi Kasus 1:

Buatlah sistem kontrol temperatur untuk kendaraan

penumpang. Temperatur yang diinginkan (dikonversi dari

voltase) adalah input dari controller. Temperatur aktual

dari ruang kabin harus dikonversi menjadi sebuah voltas

melalui sebuah sensor dan diumpan balik ke controller

untuk membandingkan inputnya.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



20


Sistem kontrol untuk kabin kendaraan berpenumpang

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



21

Studi Kasus 2:

Buatlah sistem pengendalian untuk sistem organisasi di

sebuah industri.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



22


Sistem kontrol untuk sistem organisasi industri

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Open Loop dan Closed Loop

23

Open Loop Closed Loop

Keuntungan • Konstruksi mudah dan mudah

dirawat

• Lebih murah dari pada closed loop

• Tidak terdapat masalah stabilitas

• Mudah untuk output yang sulit

diukur atau kepresisian output yg

tidak terlalu ekonomis

• Respon sistem relatif tidak

sensitif terhadap gangguan

eksternal dan variasi internal

dalam parameter sistem

Kerugian • Disturbansi atau perubahan dalam

kalibrasi akan menyebabkan

kesalahan dan output akan berbeda

dari yang diinginkan

• Rekalibrasi selalu diperlukan untuk

menjaga kualitas output

• Stabilitas merupakan masalah

utama

• Biaya lebih tinggi

Aplikasi • Digunakan untuk sistem yang

diketahui inputnya setiap waktu dan

tidak terdapat disturbansi

• Digunakan untuk sistem yang

tidak diketahui disturbasi atau

variasi yang tidak terprediksi


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Sistem Kendali Umpan Balik

24

Sistem kendali umpan balik (feedback control system)

dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa kategori

Metode analisis dan desain:

Linear & Non-linear

Time-varying & Time-invariant

Metode tipe sinyal dalam sistem:

Continuous–data sytem & Discrete-data system

Modulated & Unmodulated system

Metode tujuan utama dari sistem:

Position-control system

Velocity-control system


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Linear & Non-linear

25

Linear Non-linear

• Dalam prakteknya, sistem linear

tidak ada karena semua sistem fisik

adalah non-linear

• Sistem kontrol umpan balik linear

digunakan untuk mengidealisasikan

model agar lebih simpel dalam

analisis dan desain

• Digunakan untuk range sinyal yang

terbatas

• Teknik analitis dan grafis dapat

digunakan untuk desain dan analisis

• Sistem kendali di alam nyata memiliki

karakteristik non-linear

• Digunakan pada range yang lebih

besar dari sistem linear

• Sulit untuk dipecahkan secara

matematis, dan tidak terdapat

metode umum untuk memecahkan

sistem non-linear


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Time-invariant &

Time-varying

26

Time-invariant Time-varying

• Parameter sistem kontrol stasioner

terhadap waktu selama sistem

beroperasi.

• Dalam prakteknya, hampir setiap

sistem fisik memiliki elemen yang

bervariasi setiap waktu


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Continuous-data &

Discrete-data

27

Continuous-data Discrete-data

• Sinyal pada berbagai bagian dari

sistem semua merupakan fungsinya

variabel waktu yang kontinyu t

• Sinyal sistem data kontinyu

diklasifikan sebagai AC dan DC

• Sinyal pada satu atau lebih titik dalam

sistem dalam bentuk pulsa atau kode

digital

• Dibagi menjadi sistem sampled-data

dan kontrol digital.zs


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Modulated dan

Unmodulated

28

Modulated Unmodulated

• Sistem kontrol AC • Sistem kontrol DC


Sistem kontrol closed loop DC

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Modulated dan

Unmodulated

29

Modulated Unmodulated

• Sistem kontrol AC • Sistem kontrol DC


Sistem kontrol closed loop DC

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Sampler dan Digital

Control

30

Sampler Digital Control

• Data sinyal berbentuk data pulsa

• Menerima data secara intermiten

dalam waktu yang tertentu

• Dapat diklasifikasikan sebagai sistem

AC karena sinyal sistem adalah pulsa

termodulasi

• Biaya lebih murah dan sinyal tidak

terganggu noise

• Data sinyal dalam bentuk sinyal

digital atau kode biner

• Komputer digital lebih fleksibel dan

ukurannya lebih kecil


Sistem kontrol sample-data

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Perbedaan Sistem Sampler dan Digital

Control

31

Sampler Digital Control

• Data sinyal berbentuk data pulsa

• Menerima data secara intermiten

dalam waktu yang tertentu

• Dapat diklasifikasikan sebagai sistem

AC karena sinyal sistem adalah pulsa

termodulasi

• Biaya lebih murah dan sinyal tidak

terganggu noise

• Data sinyal dalam bentuk sinyal

digital atau kode biner

• Komputer digital lebih fleksibel dan

ukurannya lebih kecil


Sistem autopilot digital untuk misil terpandu

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Penggunaan Software Matlab

Untuk membantu pemahaman konsep Pengendalian

Sistem, akan digunakan software Matlab guna keperluan

simulasi dan perhitungan

Penggunaan perintah Matlab untuk setiap teori akan

diberikan dalam slide pengajaran.

33


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Review

Jelaskan definisi sistem kontrol

Jelaskan mengapa pengendalian sistem itu penting

Sebutkan komponen-komponen dalam pengendalian

sistem

Jelaskan beberapa contoh aplikasi sistem kontrol

Jelaskan beberapa tipe sistem kontrol

34



35

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Tujuan Pembelajaran

36

Mampu menjelaskan dasar-dasar bilangan kompleks

Mampu menjelaskan dasar-dasar transformasi laplace

Mampu menyelesaikan transformasi laplace untuk

memecahkan persamaan diferensial

Mampu menggunakan Matlab untuk memecahkan studi

kasus


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Bilangan Kompleks

37

Bilangan kompleks ditunjukkkan sbb:

, x adalah koefisien real dan y

koefisien imajiner thd z.

Dari grafik didapat

R adalah besar z dan adalah fase z

dan diukur dari sumbu x, sehingga

Konjugasi z: atau


(Formula Euler)

Bentuk Polar

Cat:

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Sifat Dasar Bilangan Kompleks

38


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh Kasus Bilangan Kompleks

39

Carilah j3 dan j4.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh Kasus Bilangan Kompleks

40

Carilah zn menggunakan


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Teorema Euler

Ekspansi deret dari sin dan cos adalah

Dan juga

Karena

Sehingga Teorema Euler

Karena

Didapatkan

41


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Variabel Kompleks

42

Variabel kompleks s memiliki 2 komponen:

Komponen real arah horizontal

Komponen imajiner j arah vertikal


Bidang kompleks s

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Fungsi Sebuah Variabel Kompleks

Fungsi G(s) merupakan fungsi variable komplesk s jika

setiap nilai s terdapat satu atau lebih nilai yang

berhubungan dengan G(s)

Re[G(s)] adalah aksis real dan Im[g(s)] sebagai aksis

imajiner

43


Mapping satu nilai dari bidang s ke bidang G(s)

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Fungsi Analitis

44

Sebuah fungsi G(s) dari variabel kompleks disebut sebagai

sebuah fungsi analitis sebuah daerah bidang s jika fungsi

dan semua turunannya ada dalam daerah.

Misalnya untuk fungsi adalah analitis di setiap

titik di bidan s kecuali pada s=0 dan s=-1. Pada dua titik ini

fungsi menjadi tak hingga (infinite).

Contoh lain: G(s) = s+2 adalah analitis pada setiap titik di

bidang hingga s.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Singularitas dan Kutub (Pole) Sebuah

Fungsi

45

Singularitas sebuah fungsi adalah titik-titik dalam bidang-s

yang tidak memiliki fungsi atau turunannya.

Jika sebuah fungsi G(s) adalah analitis dan single-valued

dalam tetangga point pi, , akan memiliki sebuah kutub

dengan orde r pada s = pi jika limit memiliki

nilai hingga dan tidak nol.

Atau denominator G(s) harus termasuk faktor (s-pi)r

sehingga ketika s=pi, fungsi menjadi tidak hingga.

Jika r=1, pole pada s=pi, disebut sebagai kutub sederhana

Contoh: memiliki pole orde 2 pada s=-3

dan simple pole pada s=0 dan s=-1


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Nol (Zero) Sebuah Fungsi

46

Jika fungsi G(s) adalah analitis pada s=zi, akan memiliki

sebuah Nol (Zero) dengan orde r pada s=zi jika limit

memiliki sebuah nilai hingga dan tidak nol.

Atau G(s) memiliki sebuah zero orde r pada s=zi jika

1/G(s) memiliki sebuah pole orde ke-r pada s=zi.

Contoh memiliki zero pada s= -2


Representasi fungsi G(s) di bidang s:

x-pole, O-zero

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Membuat

Fungsi Alih

47

Program untuk membuat model zero-pole-gain

>>G=zpk([-2],[0,-1,-3,-3],10)

Zero/pole/gain:

10 (s+2)

---------------

s (s+1) (s+3)^2

Mengkonversi fungsi alih menjadi bentuk polinomial

>>Gp=tf(G)

Transfer function:

10 s + 20

--------------------------

s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 9 s


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Membuat

Fungsi Alih

48

Cara lain membuat fungsi alih

>>clear all

>>s=tf(‘s’)

>>Gp=10*(s+2)/(s*(s+1)*(s+3)^2)

Transfer function:

10 s + 20

--------------------------

s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 9 s


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Mencari Pole

dan Zero

49

>>pole(Gp)

ans =

0

-3.0000

-3.0000

-1.0000

>>zero(Gp)

ans =

-2


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Mengubah Fungsi

Alih Gp menjadi bentuk zero-pole

50

>>Gzpk=zpk(Gp)

Zero/pole/gain:

10 (s+2)

---------------

s (s+3)^2 (s+1)


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Transformasi Laplace

51

Merupakan salah satu alat matematika untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear.

Metode ini memiliki dua keunggulan

Persamaan homogen dan integral tertentu dari hasil persamaan

diferensial didapatkan dalam satu operasi

Transformasi Laplace mengubah persamaan diferensial menjadi

persamaan aljabar di domain s. Sehingga dapat memanipulasi

persamaan aljabar dengan aturan aljabar untuk mendapatkan

hasil di domain-s. Hasil akhir diperoleh dengan menggunakan

transformasi balik laplace.


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Definisi Transformasi Laplace

52

Jika diberikan fungsi f(t) yang memenuhi kondisi

untuk beberapa hingga dan real, Transformasi Laplace

dari f(t) didefinisikan sebagai

Atau F(s) = Transformasi Laplace f(t) =

s adalah operator Laplace dimana s= + j

adalah simbol operasional yang menunjukkan jumlah

yang akan ditransformasikan oleh integral Laplace


Transformasi Laplace Balik


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Transformasi Laplace Fungsi Unit

Satuan

53

Jika f(t) adalah fungsi unit satuan (unit-step) yang

didefinisikan sbg:

Transformasi Laplacenya adalah

Dan valid jika

Sehingga s, harus lebih besar dari nol.

Selanjutnya untuk transformasi Laplace fungsi unit satuan

adalah 1/s


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Transformasi Laplace Fungsi

Eksponensial

54

Jika ada fungsi eksponensial

Dimana adalah sebuah konstanta real.

Transformasi Laplacenya adalah


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Tranfsormasi Laplace Fungsi Ramp

55

Jika terdapat fungsi Ramp

dimana A konstanta.

Transformasi Laplace-nya adalah


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Tranfsormasi Laplace Fungsi Sinusoidal

56

Jika terdapat fungsi Sinusoidal

dimana A dan konstanta.

sin t dapat ditulis menjadi

Sehingga transformasi Laplace-nya adalah

Sedangkan untuk fungsi kosinus


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



57


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



58


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



59


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



60


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab untuk Transformasi

Laplace

61

>>syms t

>>f=t

f =

t

>>laplace(f)

ans =

1/s^2


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Teorema Transformasi Laplace

62


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Teorema Transformasi Laplace

63


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh Teorema Transformasi Laplace

64

Jika diberikan fungsi:

Karena sF(s) analitis di sumbu imajiner dan di sebelah

kanan bidang s, teorema harga akhir dapat diterapkan.

Didapatkan


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



65

Merupakan proses untuk mengubah variabel kompleks

menjadi ekspresi waktu

Dapat menggunakan sebuah tabel transformasi Laplace


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



66

Metode Uraian Pecahan Parsial

Jika ada sebuah bentuk transformasi Laplace:

Dimana A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s, dan

derajat B(s) tidak lebih tinggi dari A(s). Jika lebih besar,

maka pembilang B(s) harus dibagi oleh penyebut A(s)

Jika F(s) dibagi menjadi komponen:

Maka transformasi Laplace baliknya adalah:


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



67

Uraian Pecahan Parsial jika F(s) melibatkan pole-pole yang

berbeda

Jika F(s) dituliskan sbb:

Dimana p1, p2,…, pn dan z1, z2, …, zm adalah real atau

kompleks tetapi untuk setiap bilangan kompleks p dan z

masing-masing akan mempunyai konjugasi kompleks.

Disini pangkat tertinggi dari s pada A(s) dianggap lebih

tinggi dari B(s)


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



68

Untuk penjumlahan parsial sederhana:

Dimana ak adalah konstantata. Di sini ak disebut residu

pada pole s=-pk. Nilai ak dapat dierpoleh dengan

mengalikan harga s=-pk

Sehingga resudu ak diperoleh

Karena

Diperoleh


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh 1 Tranformasi Laplace Balik

69

Carilah transformasi Laplace balik dari

Uraian pecahan parsial dari F(s) adalah

Dimana a1 dan a2 diperoleh dengan menggunakan

persamaan ak sbb:

Sehingga didapatkan


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh 2 Transformasi Laplace Balik

70

Carilah transformasi Laplace balik dari

Karena pembilang lebih besar dari penyebut , kita harus

membagi pembilang dengan penyebut

Karena transformasi Laplace dari fungsi impulsa satuan

(t) adalah 1 dan transforamsi Laplace d (t) /dt adalah s.

Sedangkan suku ketiga adalah seperti contoh 1 sehingga

didapatkan


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



71

Uraian Pecahan Parsial Jika F(s) Melibatkan Pole Konjugasi

Kompleks

Jika diketahui F(s):

Uraian pecahan parsial dari F(s) melibatkan 3 suku

Dimana b3, b2 dan b1 diperoleh dengan mengalikan kedua

sisi dengan persamaan (s+1)3 dan didapatkan

Jika s=-1 maka

Jika diturunkan kedua sisinya didapatkan

Jika s=-1 maka


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI



72

Jika persamaan sebelumnya diturunkan lagi didapatkan

Sehingga untuk mendapatkan nilai b3, b2 dan b1 adalah

Sehingga didapatkan


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Uraian Pecahan

Parsial

73

Jika diberikan persamaan

>> b=[5 3] pembilang

b =

5 3

>> a=[1 6 11 6] penyebut

a =

1 6 11 6

Hasilnya:


>> [r,p,k]=residue(b,a)

r =

-6.0000

7.0000

-1.0000

p =

-3.0000

-2.0000

-1.0000

k =

[]

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Uraian Pecahan

Parsial

74


>>clear all

>> a=[1 3 3 1] penyebut

a =

1 3 3 1

>> b=[0 1 2 3] pembilang

b =

0 1 2 3

Hasilnya



r =

1.0000

0.0000

2.0000

p =

-1.0000

-1.0000

-1.0000

k =

[]

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Program Matlab Untuk Mencari Zero

dan Pole dari B(s)/A(s)

75


>>clear all

>> a=[1 3 3 1] penyebut

a =

1 3 3 1

>> b=[0 1 2 3] pembilang

b =

0 1 2 3

Hasilnya



r =

1.0000

0.0000

2.0000

p =

-1.0000

-1.0000

-1.0000

k =

[]

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Aplikasi Transformasi Laplace Untuk

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa

76

Persamaan diferensial biasa untuk sistem linear orde

pertama:

Sistem linear orde kedua:

Untuk memecahkan persamaan diferensial adalah sbb:

Transformasikan persamaan diferensial ke dalam domain-s

menggunakan transformasi Laplace (gunakan tabel)

Manipulasikan persamaan aljabar tertransformasi dan pecahkan

untuk variabel output

Uraikan pecahan parsial ke persamaan aljabar tertransformasi

Carilah transformasi Laplace balik (gunakan tabel)


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Contoh Aplikasi pada Persamaan

Diferensial

77

Carilah solusi dari persamaan diferensial


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Tujuan Pembelajaran

78

Carilah solusi x(t) dari persamaan diferensial


Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


Kuis

Carilah Transformasi Laplace Balik dari persamaan:

79

)3)(1(

5)(

ss

ssF

Mech

anic

al E

ngi

neeri

ng

Depar

tment

UI


PR

80

1. Carilah Laplace balik dari persamaan

a. b.

c. d.

2. Pecahkanlah persamaan diferensial di bawah ini

menggunakan transformasi Laplace

a.

b.

Dikumpulkan hari Senin, 20 September 2010 jam 13.00.

Tidak boleh terlambat, karena sebagian soal akan dibahas.


)3)(1(

5)(

ss

ssF

)2)(1(

)4(3)(

sss

ssF

)1(

542)(

2

ss

sssF

2

2 42)(

s

sssF

2)0(,0)0(,122

xxxxx

0)0(,0)0(,3sin

xxtxx

Documents

Pendahuluan Dan Dasar-Dasar Matematika