OSNOVE LOGIKE

1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s

pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije.

Izjava je vsaka poved, za katero lahko rečemo, da je pravilna ali nepravilna (resnična ali neresnična). Oznake: 𝐴, 𝐵, 𝐶, … 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3

Pravilnost, resničnost: 𝑝, 1

Nepravilnost, neresničnost: 𝑛, 0

Negacija izjave je izjava, ki trdi ravno nasprotno kot dana izjava. Negacija je pravilna, če je dana izjava nepravilna in obratno. Konjunkcija izjav je izjava, ki jo dobimo tako, da dve ali več izjav povežemo z besedo 𝐢𝐧. Konjunkcija je pravilna, če so vse izjave, iz katerih je sestavljena, pravilne. Disjunkcija izjav je izjava, ki jo dobimo tako, da dve ali več izjav povežemo z besedico 𝐚𝐥𝐢. Disjunkcija izjav je pravilna, če je vsaj ena od izjav pravilna.

2. Kaj je implikacija izjav? Kaj je ekvivalenca izjav? Kako je s pravilnostjo implikacije in ekvivalence?

Implikacija izjav ali posledična vez je zveza dveh takšnih izjav, da iz prve sledi druga. Implikacija je nepravilna samo, kadar je pogoj pravilen, posledica pa nepravilna. Ekvivalenca izjav je zveza dveh takšnih izjav, da iz prve sledi druga in iz druge prva. Pravimo tudi, da sta izjavi ekvivalentni ali enakovredni. Ekvivalenca izjav je pravilna, kadar sta obe izjavi pravilni ali pa obe nepravilni.

MNOŽICE

1. Kaj je prazna množica? Kaj je univerzalna množica? Kaj je komplement množice? Kaj je razlika dveh

množic?

Prazna množica je množica, ki nima nobenega elementa.

Univerzalna množica je množica vseh elementov, za katere se v danem primeru zanimamo oz. na katere se v danem primeru omejimo. Komplement množice je množica tistih elementov, ki so v univerzalni množici, pa niso v dani množici.

𝒜𝑐 = 𝒰\𝒜 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝒰 ∧ 𝑥 ∉ 𝒜}

Razlika množic je množica tistih elementov iz prve množice, ki niso v drugi množici.

𝒜\ℬ = 𝒜 − ℬ = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝒜 ∧ 𝑥 ∉ ℬ}

2. Kdaj sta dve množici enaki? Kaj je podmnožica? Kaj je unija in kaj presek množic? → Množica 𝒜 ima n elementov, množica ℬ pa m elementov. Koliko elementov imata lahko 𝒜 ∪ℬ in

𝒜 ∩ ℬ ?

Množici sta enaki, če imata iste elemente.

Množica 𝒜 je podmnožica množice ℬ , če je vsak element iz množice 𝒜 vsebovan v množici ℬ.

Velja: 𝒜 = ℬ ⟺𝒜 ⊂ ℬ ∧𝒜 ⊂ ℬ Unija množic je množica tistih elementov, ki so vsaj v eni množici.

𝒜 ∪ ℬ = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝒜 ∨ 𝑥 ∈ ℬ}

Presek množic, presečna množica je množica tistih elementov, ki so hkrati v obeh (vseh) množicah.

𝒜 ∩ ℬ = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝒜 ∧ 𝑥 ∈ ℬ}

→ 𝒜 ∪ ℬ ima lahko največ toliko elemetov, kot je vsota števila elementov množic 𝒜 in ℬ. To velja, če je 𝒜 ∩ ℬ = ∅ (če sta tuji množici). 𝒜 ∪ ℬ ima najmanj elementov, če je ena množica podmnožica druge. Takrat ima 𝒜 ∪ ℬ toliko elementov, kot jih ima večja množica.

𝒜 ∩ ℬ lahko ima največ toliko elemetov, kot je moč manjše množice. To velja, če je ena množica podmnožica druge. Najmanj elementov je 0, če sta množici tuji.

3. → Kaj je kartezični produkt dveh množic? Kako lahko grafično predstavimo kartezični produkt?

Množica 𝒜 ima n elementov, množica ℬ pa m elementov. Koliko elementov ima 𝒜 ×ℬ?

Kartezični produkt dveh množic 𝒜 in ℬ je množica vseh urejenih parov, ki imajo na prvem mestu

element iz množice 𝒜 in na drugem mestu element iz množice ℬ. Označimo ga z 𝒜 × ℬ.

𝒜 × ℬ = {(𝑎, 𝑏); 𝑎 ∈ 𝒜 ∧ 𝑏 ∈ ℬ}

Če ima množica 𝒜 𝑚 elementov, množica ℬ pa 𝑛 elementov, ima kartezični produkt 𝑚 ⋅ 𝑛 elementov. Grafično lahko kartezični produkt prikažemo:

z mrežo:

s šahovnico:

s koordinatnim sistemom

(V bistvu je to mreža.)

4. → Kaj je potenčna množica? Koliko podmnožic ima množica z n elementi?

Potenčna množica k množici 𝒜 je množica vseh podmnožic množice 𝒜. Množica z 𝑛 elementi ima 2𝑛 podmnožic.

𝒫𝒜 = {ℬ; ℬ ⊂ 𝒜}

Potenčna množica ima torej 2𝑛 elementov.

ŠTEVILSKE MNOŽICE

Naravna števila in cela števila

1. Navedite osnovne računske operacije za računanje v množicah ℕ in ℤ in njihove lastnosti.

Seštevanje ali adicija

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 komutativnost

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) asociativnost

3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je 𝑎 + 0 = 𝑎, za vsako število 𝑎.

4. K vsakemu celemu številu 𝑎 obstaja natanko določeno nasprotno število −𝑎, da je

𝑎 + (−𝑎) = 0.

(3. in 4. veljata v ℤ, ne pa v ℕ.)

Množenje ali multiplikacija

1. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 komutativnost

2. (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) asociativnost

3. (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 distributivnost

4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, za vsako število 𝑎.

Odštevanje je nasprotna operacija od seštevanja: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. Odštevanje v množici ℕ ni vedno izvedljivo, v množici ℤ pa je. Deljenje je obratna operacija od množenja: 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 , 𝑏 ≠ 0. Deljenje v množicah ℕ in ℤ ni vedno izvedljivo. 2. Definirajte soda in liha števila. Pokažite:

a) Vsota dveh lihih števil je sodo število.

b) Kvadrat lihega števila je liho število.

Soda števila so števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 0, liha pa tista, ki dajo ostanek 1. Soda števila so torej vsi večkratniki števila 2.

a) Naj bosta 2𝑚 + 1 in 2𝑛 + 1, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ0, lihi števili. Vsota je

2𝑚 + 1 + 2𝑛 + 1 = 2𝑚 + 2𝑚 + 2 = 2(𝑚 + 𝑛 + 1).

To število je večkratnik števila 2, torej je sodo število. (Lahko sta 𝑚, 𝑛 𝜖 ℤ.)

b) Naj bo 2𝑚 + 1, 𝑚 ∈ ℕ0, liho število.

(2𝑚 + 1)2 = 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 = 2(2𝑚2 + 2𝑚) + 1 je liho število. (Lahko je 𝑚 𝜖 ℤ.)

3. Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Zapišite množico vseh praštevil manjših od 20. Opišite

razcep naravnega števila na prafaktorje.

Praštevilo je naravno število, ki ima točno dva delitelja, samega sebe in število 1.

Sestavljeno število je tisto število, ki ima več kot dva delitelja.

Število 1 ni ne praštevilo ne sestavljeno število.

Praštevila, manjša od 20, so 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 in 19.

Vsako sestavljeno število lahko zapišemo kot produkt praštevil natanko na en način. Temu rečemo praštevilska faktorizacija ali razcep števila na prafaktorje. Npr. 150 2 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 75 3

25 5

5 5

1

4. → Razložite načelo popolne indukcije.

Če neka trditev (formula ...), ki je odvisna od naravnih števil, velja za naravno število 1 in če lahko iz pravilnosti te trditve (formule ...) za naravno število 𝑛 sklepamo na pravilnost te trditve (formule ...) za naravno število 𝑛 + 1, potem ta trditev (formula ...) velja za vsa naravna števila. Preveriti moramo pravilnost trditve za naravno število 1 in dokazati hipotetični sklep: Če trditev velja za poljubno naravno število 𝑛, potem velja tudi za naslednje naravno število 𝑛 + 1. Če velja trditev za 𝑛 = 1, potem po dokazanem hipotetičnem sklepu velja za 𝑛 + 1 = 2. Ker velja za 𝑛 = 2, velja tudi za 𝑛 + 1 = 3… 5. Definirajte deljivost (a|b) v ℕ in naštejte njene lastnosti.

Število 𝑎 deli število 𝑏 natanko takrat, ko obstaja 𝑘 ∈ ℕ, da velja 𝑏 = 𝑘 ∙ 𝑎 .

Lastnosti:

1. Vsako naravno (ali celo) število, razen 1, ima vsaj dva delitelja: 1 in samo sebe. 2. Refleksivnost: 𝑎 ∣ 𝑎

Velja, ker je 𝑎 = 𝑎 ∙ 1. 3. Antisimetričnost: 𝑎 | 𝑏 ∧ 𝑏 | 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏 4. Tranzitivnost: 𝑎 | 𝑏 ∧ 𝑏 | 𝑐 ⇒ 𝑎 | 𝑐 5. Če 𝑎 deli 𝑏 in 𝑐, potem deli tudi njuno vsoto in razliko.

𝑎 | 𝑏 ∧ 𝑎 |𝑐 ⇒ 𝑎|(𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑎 ∣ (𝑏 − 𝑐)

Posledica: Če 𝑎 deli vsoto 𝑏 + 𝑐 in enega od členov, deli tudi drugega.

𝑎 ∣ (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑎 ∣ 𝑏 ⇒ 𝑎 ∣ 𝑐

6. Če 𝑎 deli enega od faktorjev, deli tudi produkt.

𝑎|𝑏 ⇒ 𝑎|𝑏𝑐

6. Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil. Kako ju lahko

izračunamo? Kdaj sta si števili tuji?

Največji skupni delitelj danih števil je največje število, ki deli vsa dana števila. Najmanjši skupni večkratnik danih števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsemi danimi števili. Izračunamo ju lahko s pomočjo razcepa na praštevila. Največji skupni delitelj 𝐷 dveh števil 𝑎 in 𝑏 lahko izračunamo tudi z Evklidovim algoritmom. Najmanjši skupni večkratnik 𝑣 dveh števil 𝑎 in 𝑏 lahko izračunamo s pomočjo zveze 𝐷𝑣 = 𝑎𝑏, ki velja za poljubni naravni števili. Dve števili sta tuji, če je njun največji skupni delitelj število 1. Torej nimata nobenega skupnega delitelja, razen 1. 7. → Kaj je Evklidov algoritem in za kaj ga uporabljamo?

Evklidov algoritem je postopek, s katerim poiščemo največji skupni delitelj naravnih števil. Poiščimo največji skupni delitelj števil 175 in 217: 𝐷(175,217). Uporabimo osnovni izrek o deljenju celih števil. 217 = 1 ∙ 175 + 42 175 = 4 ∙ 42 + 7 42 = 6 ∙ 7

Največji skupni delitelj števil 175 in 217 je zadnji ostanek, ki je različen od 0. V tem primeru je to 7. 8. Povejte osnovni izrek o deljenju. Kaj lahko poveste o številih 𝑎 in 𝑏, če je ostanek pri deljenju števila

𝑎 s številom 𝑏 enak 0?

Osnovni izrek o deljenju: Za poljubni naravni števili 𝑎 in 𝑏 obstajata taki enolično določeni števili 𝑘 ∈ ℕ ∪ {0} in 𝑟 ∈ ℕ ∪ {0} , da velja:

𝑎 = 𝑘 ⋅ 𝑏 + 𝑟; 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. (𝑎 je deljenec, 𝑏 je delitelj, k je količnik, r je ostanek)

Pišemo 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑘 (ost 𝑟). Če je ostanek pri deljenju števila 𝑎 s številom 𝑏 enak 0, je število 𝑎 večkratnik števila 𝑏, torej 𝑏|𝑎. 9. Navedite kriterije deljivosti z 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 . Izpeljite kriterija deljivosti za deljivost z 2 in 4.

Število je deljivo z 2, če so enice sodo število.

Število je deljivo s 3, če je vsota vseh števk deljiva s 3.

Število je deljivo s 4, če je dvomestni konec tega števila deljiv s 4.

Število je deljivo s 5, če so enice 0 ali 5.

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3.

Število je deljivo z 9, če je vsota vseh števk deljiva z 9.

Število je deljivo z 10, če so enice 0.

Kriterij za deljivost z 2:

𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋯𝑎2𝑎1𝑎0 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2102 + 𝑎110 + 𝑎0 =

= 10(𝑎𝑛10𝑛−1 + 𝑎𝑛−110

𝑛−2 +⋯+ 𝑎210 + 𝑎1)+𝑎0

Ker je 10 deljivo z 2, velja 𝟐|𝒂 ⇔ 𝟐|𝒂𝟎.

Kriterij za deljivost s 4:

𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋯𝑎2𝑎1𝑎0 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2102 + 𝑎110 + 𝑎0 =

= 100(𝑎𝑛10𝑛−2 + 𝑎𝑛−110

𝑛−3 +⋯+ 𝑎2) + 𝑎110 + 𝑎0

Ker je 100 deljivo s 4, velja 𝟒|𝒂 ⟺ 𝟒|𝟏𝟎𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 = 𝒂𝟏𝒂𝟎.

Racionalna števila

10. Kaj je ulomek? Kdaj ulomka predstavljata isto racionalno število? Definirajte računske operacije z

ulomki in naštejte njihove lastnosti.

Ulomek je rezultat deljenja dveh celih števil, pri čemer delitelj oziroma imenovalec ne sme biti 0.

𝑚

𝑛; 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ (ali 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≠ 0)

Ulomka 𝑚

𝑛 in

𝑝

𝑞 imata isto vrednost oz. predstavljata isto racionalno število natanko takrat, ko je

𝑚𝑞 = 𝑛𝑝.

1. Seštevanje in odštevanje: 𝑚

𝑛±𝑟

𝑠=𝑚𝑠 ± 𝑟𝑛

𝑛𝑠

2. Množenje: 𝑚

𝑛⋅𝑟

𝑠=𝑚𝑟

𝑛𝑠

3. Deljenje: 𝑚

𝑛∶𝑟

𝑠=𝑚

𝑛⋅𝑠

𝑟

Lastnosti za seštevanje ali adicijo: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 komutativnost

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) asociativnost

3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je 𝑎 + 0 = 𝑎, za vsako število 𝑎.

4. K vsakemu celemu številu 𝑎 obstaja natanko določeno nasprotno število −𝑎, da je

𝑎 + (−𝑎) = 0.

Lastnosti za množenje ali multiplikacijo: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ

1. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 komutativnost

2. (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) asociativnost

3. (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 distributivnost

4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, za vsako število 𝑎.

5. K vsakemu racionalnemu številu 𝑎, razen k 0, obstaja natanko določeno inverzno

število 𝑎−1, da je 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 1.

11. → Kako je urejena množica ℚ ? Pokažite, da je med dvema racionalnima številoma vsaj še eno

racionalno število.

Množica racionalnih števil je urejena z relacijo manjše ali manjše ali enako (večje ali večje ali enako). Lastnosti relacije <:

1. 𝑎 ≮ 𝑎 irefleksivnost

2. 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑏 ≮ 𝑎 asimetričnosti

3. (𝑎 < 𝑏) ∧ (𝑏 < 𝑐) ⇒ 𝑎 < 𝑐 tranzitivnost

4. 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

5. (𝑎 < 𝑏) ∧ (𝑐 > 0) ⇒ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

Lastnosti relacije ≤:

1. 𝑎 ≤ 𝑎 refleksivnost

2. (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑎) ⇒ 𝑎 = 𝑏 antisimetričnost

3. (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑐) ⇒ 𝑎 ≤ 𝑐 tranzitivnost

4. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐

5. (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 > 0) ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐

Med dvema poljubnima različnima racionalnima številoma je vsaj še eno racionalno število. Dejansko jih je vmes neskončno mnogo. Rečemo, da so racionalna števila gosta na številski premici. Dokaz:

Naj bo 𝑎 < 𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ. Potem je tudi 𝑎+𝑏

2∈ ℚ. Ker je 𝑎 < 𝑏, je razlika

𝑎+𝑏

2− 𝑎 =

𝑏−𝑎

2 pozitivno

število, kar pomeni, da je 𝑎 <𝑎+𝑏

2 . Prav tako je razlika 𝑏 −

𝑎+𝑏

2=

𝑏−𝑎

2 pozitivno število, kar pomeni,

da je 𝑎+𝑏

2< 𝑏. Iz tega sledi, da je 𝑎 <

𝑎+𝑏

2< 𝑏. Med dvema poljubnima racionalnima številoma je zato

vsaj še eno racionalno število. 12. Kako racionalno število zapišemo v decimalni obliki? Kdaj je ta zapis končen?

Racionalna števila zapišemo z decimalnim zapisom tako, da števec ulomka delimo z imenovalcem. Prvo decimalno mesto za decimalno vejico (ali piko) pomeni desetine, drugo mesto stotine, tretje mesto tisočine, ... Če se deljenje ne izide, pride vedno do ponavljanja decimalk. Ponavljajočo skupino decimalk imenujemo perioda, označimo pa jo z vodoravno črto nad to skupino decimalk. Zapis je lahko končen ali periodično neskončen. Zapis je končen, če sta v praštevilski faktorizaciji imenovalca okrajšanega ulomka le faktorja 2 ali 5. V tem primeru lahko ulomek razširimo tako, da je v imenovalcu potenca števila 10. Če so v praštevilski faktorizaciji imenovalca okrajšanega ulomka še kakšni drugi faktorji, je decimalni zapis periodično neskončen.

13. Razložite pojme: razmerje, osnova, delež, relativni delež in odstotek.

Razmerje števil je količnik teh dveh števil. Osnova: celota, staro stanje: 𝑜 Delež: del celote, sprememba ali novo stanje: 𝑑

Relativni delež: razmerje med deležem in osnovo: 𝑟 =𝑑

𝑜

Odstotek ali procent: razmerje med deležem in osnovo pomnoženo s 100: 𝑝 = 𝑑∙100

𝑜

Realna števila

14. Katera realna števila so racionalna in katera iracionalna? Kakšen decimalni zapis imajo prva in

druga?

Racionalna števila so ulomki. Delimo jih na končna decimalna števila in neskončna periodična decimalna števila (pozitivna in negativna).

Iracionalna števila: večina korenov, število 𝜋, število 𝑒… To so neskončna neperiodična decimalna števila.

15. → Navedite primere iracionalnih števil. Kako jih zapišemo z decimalnimi števili? Dokažite, da √2

ni racionalno število.

Primeri iracionalnih števil: večina korenov, 𝜋, 𝑒, log 3 ... Iracionalna števila so neskončna neperiodična decimalna števila (pozitivna in negativna).

Izrek: √2 ni racionalno število.

Dokaz: S protislovjem.

Recimo da je √2 ∈ ℚ. Potem je √2 = 𝑚

𝑛 . Ulomek naj bo okrajšan, torej 𝑚 in 𝑛 naj bosta tuji

števili.

√2 =𝑚

𝑛 √2 je takšno število, da je (√2)

2= 2.

2 =𝑚2

𝑛2

𝑚2 = 2𝑛2 𝑚2 je sodo število. Zato je tudi 𝑚 sodo število: 𝑚 = 2𝑘.

(2𝑘)2 = 2𝑛2

2𝑛2 = 4𝑘2

𝑛2 = 2𝑘2 𝑛2 je sodo število. Zato je tudi 𝑛 sodo število, 𝑚 in 𝑛 sta obe sodi števili, torej

nista tuji.

× protislovje √2 ∉ ℚ ⇒ √2 je iracionalno število.

16. Definirajte številsko premico. Kako ponazorimo racionalna in realna števila na številski premici?

Številska premica je premica, na kateri izberemo dve točki, ki predstavljata števili 0 in 1. Točko 0 imenujemo izhodišče številske premice, razdaljo med točkama 0 in 1 pa enota. Vsako realno število lahko predstavimo kot točko na številski premici in obratno, vsaki točki na številski premici lahko priredimo natanko določeno realno število.

Cela števila narišemo s prenašanjem enote po številski premici.

Racionalna števila narišemo s pomožno premico in uporabo Talesovega izreka.

Kvadratne korene narišemo z uporabo Pitagorovega, višinskega ali Evklidovega izreka. 17. Kaj so intervali (definicija in ponazoritev na številski premici, vrste intervalov)?

Omejen interval je množica vseh realnih števil (točk na številski premici) med dvema realnima številoma (dvema točkama).

Interval je zaprt, če krajišči spadata k intervalu. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Interval je odprt, če krajišči ne spadata k intervalu. 𝑎 𝑏

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

Interval je polodprt ali polzaprt, če eno krajišče spada k intervalu, drugo pa ne. 𝑎 𝑏

[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 𝑎 𝑏

Neomejen interval je na eni ali obeh straneh neomejen. Na primer: 𝑎 𝑏

[𝑎,∞) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 𝑎}

𝑎

(𝑎,∞) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 𝑎}

𝑎

(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 𝑏}

𝑏

(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 𝑏}

𝑏

(−∞,∞) = ℝ

18. Definirajte absolutno vrednost realnega števila in naštejte osnovne lastnosti.

Absolutna vrednost realnega števila je (enočlena) operacija, ki pozitivna števila in število 0 ohranja, negativna števila pa spremeni v nasprotna pozitivna števila.

|𝑎| = { 𝑎 ; 𝑎 ≥ 0−𝑎 ; 𝑎 < 0

Lastnosti:

1. |𝑎| grafično pomeni oddaljenost točke 𝑎 od izhodišča številske premice.

2. |𝑎| ≥ 0 , |𝑎| = 0 ⇔ 𝑎 = 0

3. |−𝑎| = |𝑎| Nasprotni števili imata enako absolutno vrednost.

4. |𝑎 ⋅ 𝑏| = |𝑎| ⋅ |𝑏| Absolutna vrednost produkta je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev.

5. |𝑎

𝑏| =

|𝑎|

|𝑏| , 𝑏 ≠ 0 Absolutna vrednost kvocienta je enaka kvocientu absolutnih vrednosti

deljenca in delitelja oz. števca in imenovalca.

6. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| Trikotniška neenakost. 19. → Kaj je absolutna in kaj relativna napaka približka?

Naj bo 𝑎 točna vrednost izmerjene količine, 𝐴 pa njen približek. Absolutna vrednost razlike obeh števil |𝐴 − 𝑎| je absolutna napaka približka 𝐴. Običajno poznamo le oceno za absolutno napako, denimo |𝐴 − 𝑎| < 휀, kar pomeni, da se 𝐴 za manj kot 휀 razlikuje od 𝑎 oziroma 𝑎 − 휀 < 𝐴 < 𝑎 + 휀. To pogosto zapišemo tudi 𝐴 = 𝑎 ± 휀. Relativna napaka približka 𝐴 je razmerje med absolutno napako približka 𝐴 in absolutno vrednostjo

točne vrednosti 𝑎, torej 𝑟 =|𝐴−𝑎|

|𝑎|.

Če točne vrednosti za 𝑎 ne poznamo, tudi relativne napake ne moremo izračunati natančno, ampak jo

zgolj ocenimo navzgor (ocena navzdol je 0). (Včasih izračunamo kar 𝑟 ≐|𝐴−𝑎|

|𝐴|.)

Kompleksna števila

20. Povejte razloge za vpeljavo kompleksnih števil in definirajte množico ℂ.

Kompleksna števila uvedemo zato, da lahko rešimo kvadratne enačbe z negativno diskriminanto (npr. 𝑥2 = −1, 𝑥2 = −4, 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0…) oz. da lahko računamo sode korene iz negativnih števil. To so imaginarna števila.

𝑖2 = −1 ... imaginarna enota Imaginarna števila 𝕀 = {𝑏𝑖; 𝑏 ∈ ℝ }.

Kompleksno število je vsota realnega in imaginarnega števila.

ℂ = { 𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ }

Realna števila so kompleksna števila, ki imajo imaginarno komponento nič. Torej je ℝ ⊂ ℂ. Imaginarna števila so kompleksna števila, ki imajo realno komponento nič. Torej je 𝕀 ⊂ ℂ. 21. Naštejte računske operacije v ℂ in razložite njihove lastnosti.

Seštevanje in odštevanje:

(𝑎 + 𝑏𝑖) ± (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 ± 𝑐) + (𝑏 ± 𝑑)𝑖

Kompleksni števili seštejemo ali odštejemo tako, da seštejemo ali odštejemo realni komponenti skupaj in imaginarni komponenti skupaj.

Množenje realnega in kompleksnega števila:

𝑎(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖

Kompleksno število pomnožimo z realnim tako, da s tem realnim številom pomnožimo realno in imaginarno komponento tega kompleksnega števila.

Množenje kompleksnih števil:

(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑖

Kompleksni števili pomnožimo kot dvočlenika in upoštevamo, da je 𝑖2 = −1.

Lastnosti so enake kot v množici racionalnih števil.

Lastnosti za seštevanje ali adicijo: 𝑧, 𝑣, 𝑤 ∈ ℂ

1. 𝑧 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑧 komutativnost

2. (𝑧 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑧 + (𝑣 + 𝑤) asociativnost

3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je 𝑧 + 0 = 𝑧, za vsako število 𝑧.

4. K vsakemu celemu številu 𝑧 obstaja natanko določeno nasprotno število −𝑧, da je

𝑧 + (−𝑧) = 0.

Lastnosti za množenje ali multiplikacijo: 𝑧, 𝑣, 𝑤 ∈ ℂ

1. 𝑧𝑣 = 𝑣𝑧 komutativnost

2. (𝑧𝑣)𝑤 = 𝑧(𝑣𝑤) asociativnost

3. (𝑧 + 𝑣)𝑤 = 𝑧𝑤 + 𝑣𝑤 distributivnost

4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je 𝑧 ∙ 1 = 𝑧, za vsako število 𝑧.

5. K vsakemu racionalnemu številu 𝑧, razen k 0, obstaja natanko določeno inverzno število

𝑧−1, da je 𝑧 ⋅ 𝑧−1 = 1.

Deljenje kompleksnih števil:

(𝑎 + 𝑏𝑖) ∶ (𝑐 + 𝑑𝑖) =𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)

𝑐2 + 𝑑2=(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (−𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖

𝑐2 + 𝑑2, 𝑐 + 𝑑𝑖 ≠ 0

22. Definirajte absolutno vrednost kompleksnega števila in naštejte njene lastnosti.

Absolutna vrednost kompleksnega števila 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 je nenegativno realno število, določeno s

predpisom: |𝑧| = √𝑧 ∙ 𝑧 = √(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = √𝑎2 + 𝑏2.

V kompleksni ravnini je absolutna vrednost kompleksnega števila razdalja točke, ki predstavlja to kompleksno število od izhodišča kompleksne ravnine oz. dolžina krajevnega vektorja, ki predstavlja to kompleksno število.

Lastnosti absolutne vrednosti:

1. |𝑧| ≥ 0, |𝑧| = 0 ⟺ 𝑧 = 0.

2. Absolutna vrednost nasprotne vrednosti kompleksnega števila 𝑧 je enaka absolutni vrednosti kompleksnega števila 𝑧: |−𝑧| = |𝑧|.

3. Absolutna vrednost konjugiranega kompleksnega števila k številu 𝑧 je enaka absolutni vrednosti kompleksnega števila 𝑧: |𝑧| = |𝑧|.

4. Absolutna vrednost produkta dveh kompleksnih števil je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev: |𝑧1 ∙ 𝑧2| = |𝑧1||𝑧2|.

5. Absolutna vrednost kvocienta dveh kompleksnih števil je enaka kvocientu absolutnih

vrednosti posameznih števil: |𝑧1

𝑧2| =

|𝑧1|

|𝑧2|; 𝑧2 ≠ 0.

6. Absolutna vrednost vsote dveh kompleksnih števil je manjša ali enaka vsoti absolutnih vrednosti posameznih členov (trikotniška neenakost): |𝑧1 + 𝑧1| ≤ |𝑧1| + |𝑧2|. Enakost velja le, če je 𝑧2 = 𝑘 ∙ 𝑧1, 𝑘 ∈ ℝ+.

23. Definirajte konjugirano kompleksno število 𝑧 in naštejte lastnosti konjugiranja.

Konjugirano kompleksno število k danemu kompleksnemu številu je število, ki ima isto realno komponento in nasprotno imaginarno komponento. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 = 𝑧∗ = 𝑧′ = 𝑎 − 𝑏𝑖 ... konjugirano kompleksno število

Lastnosti:

1. �� = 𝑧

2. 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + �� Konjugirano število vsote je enako vsoti konjugiranih števil posameznih členov.

3. 𝑧 ⋅ 𝑤 = 𝑧 ⋅ �� Konjugirano število produkta je enako produktu konjugiranih števil posameznih faktorjev.

4. 𝑧−1 = (𝑧)−1, 𝑧 ≠ 0 Konjugirano število inverznega števila je enako inverznemu številu konjugiranega števila.

5. (𝑧

𝑤)

=

��

�� , 𝑤 ≠ 0 Konjugirano število kvocienta je enako kvocientu konjugiranih števil

deljenca in delitelja. 24. → Pokažite, da je konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil enaka vsoti njunih

konjugiranih vrednosti.

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 Lastnost: 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + ��

𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 − 𝑏𝑖) + (𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑧 + ��

25. → Pokažite, da je konjugirana vrednost produkta dveh kompleksnih števil enaka produktu njunih

konjugiranih vrednosti.

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 Lastnost: 𝑧𝑤 = 𝑧��

𝑧𝑤 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) −

−(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎 − 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑧 𝑤

26. Kako upodobimo kompleksna števila v kompleksni ravnini? Ponazorite v kompleksni ravnini

osnovne operacije v ℂ: seštevanje, množenje (z −1), množenje s pozitivnim realnim številom,

konjugiranje.

Kompleksna števila lahko ponazorimo kot točke ali kot krajevne vektorje v kompleksni ali Gaussovi ravnini. Realna števila so na vodoravni premici (realni osi), imaginarna števila so na navpični premici (imaginarni osi). (Skice) Seštevanje: seštevanje krajevnih vektorjev. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑎, 𝑏) Množenje z −1: zrcaljenje preko izhodišča. 𝑏

Množenje z realnim številom: razteg. 𝑎 Konjugiranje: zrcaljenje preko realne osi. 𝑣 𝑧 + 𝑣 𝑣 𝑧 − 𝑣 𝑧 𝑧 3𝑧 𝑧 𝑧 𝑧

−𝑧 𝑧

27. → V kompleksni ravnini določite množico vseh kompleksnih števil z:

a) dano absolutno vrednostjo,

b) dano realno komponento,

c) dano imaginarno komponento,

d) realno komponento, enako imaginarni komponenti.

a) Dana absolutna vrednost:

|𝓏| = 𝒸 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

√𝑥2 + 𝑦2 = 𝒸

Krožnica z enačbo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑐2. 𝑐 Središče v izhodišču in polmer 𝑐.

b) Dana realna komponenta:

𝑅𝑒 𝓏 = 𝑎 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

Premica z enačbo 𝑥 = 𝑎. 𝑎

c) Dana imaginarna komponenta:

𝐼𝑚 𝓏 = 𝑏 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑏𝑖

Premica z enačbo 𝑦 = 𝑏.

d) Realna komponenta enaka imaginarni komponenti:

𝑅𝑒 𝓏 = 𝐼𝑚 𝓏 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

Premica z enačbo 𝑦 = 𝑥.

ALGEBRSKI IZRAZI, ENAČBE IN NEENAČBE

1. → Razcepite izraz 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛, (𝑛 ∈ ℕ) in se prepričajte o pravilnosti tega razcepa.

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 +⋯+ 𝑎2𝑏𝑛−3 + 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) , 𝑛 ∈ ℕ

Utemeljitev: (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) =

= 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏 + 𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏 − 𝑎𝑛−2𝑏2 −⋯− 𝑎𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛

Če pomnožimo vsak člen z vsakim, se po dva člena, razen prvega in zadnjega, odštejeta.

2. →Razcepite izraz 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛, 𝑛 je liho naravno št. in se prepričajte o pravilnosti tega

razcepa. Zapišite razcep tega izraza za 𝑛 = 3 in 𝑛 = 5.

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 −⋯− 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1)

Utemeljitev: (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 −⋯− 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) =

= 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1𝑏 + 𝑎𝑛−2𝑏2 −⋯+ 𝑎𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑏 − 𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯− 𝑎𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛

Če pomnožimo vsak člen z vsakim, se po dva člena, razen prvega in zadnjega, odštejeta.

𝑛 = 3: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑛 = 5: 𝑎5 + 𝑏5 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎4 − 𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 − 𝑎𝑏3 + 𝑏2) 3. Kaj je rešitev enačbe? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni)? Opišite postopke, ki dano

enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo.

Rešitev ali koren enačbe je takšna vrednost za neznanko, za katero je leva stran enačbe enaka desni strani. Dve enačbi sta ekvivalentni ali enakovredni, če imata isto množico rešitev.

Pravila za reševanje enačb:

1. Na obeh straneh enačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število. Dobimo ekvivalentno enačbo.

2. V enačbi lahko prenesemo kakšen člen z ene strani enačaja na drugo z nasprotnim predznakom. Dobimo ekvivalentno enačbo. 3. Na obeh straneh enačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim od nič različnim številom. Dobimo ekvivalentno enačbo. 4. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 ⇔ (𝑎 = 0) ∨ (𝑏 = 0)

4. Kaj je rešitev neenačbe? Opišite postopke za reševanje neenačb.

Rešitev neenačbe je takšna vrednost za neznanko, za katero je leva stran neenačbe <, >, ≤, ≥ od desne strani. Pravila za reševanje neenačb: 1. Na obeh straneh neenačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število. 2. V neenačbi lahko prenesemo kakšen člen z ene strani neenačaja na drugo z nasprotnim predznakom. 3. Na obeh straneh neenačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom. Če pomnožimo z istim negativnim številom, moramo neenačaj obrniti.

4. Neenačbe višjih stopenj:

Neenačbe uredimo tako, da vse člene prenesemo na eno stran neenačaja, na drugi strani ostane samo 0. Izraze razstavimo in reševanje neenačbe prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb.

Grafično reševanje: Neenačbo uredimo kot v prejšnjem primeru, narišemo graf funkcije, ki ima za funkcijski predpis izraz iz neenačbe, iz grafa razberemo, kje je funkcija pozitivna, negativna…

Neenačbo uredimo kot prej, na številski premici narišemo ničle funkcije, ki ima za funkcijski predpis izraz iz neenačbe ter ugotovimo predznake funkcije na posameznih intervalih.

POTENCE IN KORENI

1. Naštejte in utemeljite pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti.

Naj bo 𝑎 ∈ ℝ in 𝑛 ∈ ℕ. Definiramo 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ⋯ 𝑎⏟ 𝑛 faktorjev

.

Pravila:

1. Seštevanje potenc

𝑎3 + 𝑏5……… ne gre, 𝑎3 + 𝑏3……….ne gre, 𝑎3 + 𝑎2……….ne gre 𝑎3 + 𝑎3 = 2𝑎3

Seštevamo lahko le potence z enakimi osnovami in eksponenti.

2. Množenje potenc

𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo.

3. Potenciranje potenc

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚⋅𝑛

Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa pomnožimo.

4. Potenciranje produkta

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛

Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej.

5. Potenciranje nasprotnega števila

(−𝑎)2𝑛 = 𝑎2𝑛

(−𝑎)2𝑛−1 = −𝑎2𝑛−1

6. Potenciranje ulomka oz. kvocienta

(𝑎

𝑏)𝑛=𝑎𝑛

𝑏𝑛 , 𝑏 ≠ 0

Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej. 2. Definirajte potenco z negativnim celim eksponentom in naštejte pravila za računanje s potencami s

celimi eksponenti.

Za število 𝑛 ∈ ℕ definiramo 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 , 𝑎 ≠ 0. Definiramo še 𝑎0 = 1 , 𝑎 ≠ 0. Izraz 00 ni definiran.

Naj bo 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ . Pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti:

1. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo.

2. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta pa zmnožimo.

3. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej.

4. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Potence z enakimi osnovami delimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa odštejemo.

5. (𝑎

𝑏)𝑛=𝑎𝑛

𝑏𝑛 , 𝑏 ≠ 0

Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej. 3. Definirajte n-ti koren. Naštejte pravila za računanje s koreni.

Korenjenje je obratna operacija od potenciranja: kvadratni koren od kvadriranja, tretji koren od tretje potence ... 𝑛-ti koren od 𝑛-te potence.

√𝑎𝑛

= 𝑥 ⟺ 𝑥𝑛 = 𝑎 , 𝑎 ≥ 0

Imena: 𝑎… osnova ali baza korena ali korenjenec, 𝑛… stopnja korena ali korenski eksponent Pri korenih lihe stopnje je lahko 𝑎 < 0. Naj bosta števili 𝑎, 𝑏 ≥ 0 in 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ. (Za 𝑚 < 0 mora biti osnova različna od 0.)

Pravila za računanje s koreni:

1. √𝑎𝑛𝑛

= 𝑎 , ( √𝑎𝑛)𝑛= 𝑎 Zvezi veljata, ker sta korenjenje in potenciranje obratni operaciji.

2. (√𝑎𝑛)𝑚= √𝑎𝑚

𝑛 Vrstni red korenjenja in potenciranja je poljuben.

3. √𝑎𝑚𝑟𝑛𝑟

= √𝑎𝑚𝑛

Potenčni in korenski eksponent lahko krajšamo ali razširimo.

4. √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

in √𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛 , 𝑏 > 0

Množimo in delimo lahko korene z enakimi korenskimi eksponenti. Množimo in delimo jih tako, da koren prepišemo, števili pod korenom pa pomnožimo ali delimo.

5. √ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛𝑚

Koren iz korena izračunamo tako, da število pod korenom prepišemo, korenska eksponenta pa pomnožimo.

4. Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom ter povejte pravila za

računanje s takimi potencami.

Potenca z racionalnim eksponentom: 𝑎𝑚

𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

, 𝑎 > 0, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ. Vsako potenco z racionalnim eksponentom in pozitivno osnovo lahko spremenimo v koren in obratno. Števec eksponenta je potenčni eksponent, imenovalec eksponenta pa korenski eksponent. Pravila za računanje s potencami z racionalnimi eksponenti so enaka pravilom za potence s celimi eksponenti.

Naj bosta 𝑝 in 𝑞 racionalni števili, 𝑎 in 𝑏 pa poljubni pozitivni realni števili.

1. 𝑎𝑝 ∙ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞

Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo.

2. (𝑎𝑝)𝑞 = 𝑎𝑝∙𝑞

Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta pa zmnožimo.

3. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 ∙ 𝑏𝑝

Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej.

4. 𝑎−𝑝 =1

𝑎𝑝 , 𝑎 ≠ 0

5. 𝑎𝑝 ∶ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝−𝑞

Potence z enakimi osnovami delimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa odštejemo.

6. (𝑎

𝑏)𝑝=𝑎𝑝

𝑏𝑝 , 𝑏 ≠ 0

Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej.

GEOMETRIJA V RAVNINI IN PROSTORU

1. Naštejte nekaj osnovnih zakonov, ki povezujejo osnovne geometrijske elemente: točko, premico in

ravnino.

Dve različni točki določata natanko eno premico.

Aksiom o vzporednici: K dani premici poteka skozi dano točko natanko ena vzporednica.

Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.

Če ima premica z ravnino dve različni skupni točki, potem leži vsaka točka te premice v tej ravnini.

Dve različni ravnini, ki imata eno skupno točko, imata eno skupno premico.

2. Kdaj sta premici vzporedni? Katere lastnosti ima vzporednost premic v ravnini? Povejte aksiom o

vzporednici.

Premici sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če se prekrivata. (Vsaka premica je vzporedna sama sebi.) Oznaka: 𝑝 ∥ 𝑞 Vzporednost je ekvivalenčna relacija. Torej je:

refleksivna: 𝑝 ∥ 𝑝

simetrična: 𝑝 ∥ 𝑞 ⇒ 𝑞 ∥ 𝑝

tranzitivna: (𝑝 ∥ 𝑞) ∧ (𝑞 ∥ 𝑟) ⇒ (𝑝 ∥ 𝑟)

Aksiom o vzporednici: K dani premici obstaja skozi dano točko natanko ena vzporednica. 3. Kakšne so možne medsebojne lege:

a) dveh premic v prostoru,

b) dveh ravnin v prostoru,

c) premice in ravnine v prostoru?

a) Dve premici sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke in ležita v isti ravnini ali pa, če se

pokrivata.

Če imata dve različni premici eno skupni točko, se sekata. Če nimata nobene skupne točke, sta mimobežnici. Med mimobežnici spadata tudi vzporedni premici.

b) Če imata dve ravnini eno skupno točko, imata skupno celo premico in se sekata. Če se ne sekata , sta vzporedni.

c) Če imata premica in ravnina dve različni skupni točki, potem premica leži v ravnini. Če premica ne

leži v ravnini, je lahko vzporedna z ravnino ali jo seka v eni točki. Vzporedna je, če nima z ravnino

nobene skupne točke.

4. Definirajte daljico in dolžino daljice, nosilko daljice in simetralo daljice (v ravnini). Kaj je poltrak,

polravnina, polprostor?

Daljica je množica točk na premici, omejena z dvema točkama.

Dolžina daljice 𝐴𝐵 je razdalja med točkama 𝐴 in 𝐵. Za dolžino rabimo enoto: 1 m.

Nosilka daljice je premica na kateri daljica leži.

Simetrala daljice je premica, ki je pravokotna na daljico in jo razpolavlja.

Poltrak je množica točk na premici, omejena na eni strani.

Polravnina: Vsaka premica razdeli ravnino na dve polravnini.

Polprostor: Vsaka ravnina razdeli prostor na dva polprostora. 5. Definirajte pravokotno projekcijo:

a) točke na premico,

b) daljice na premico, če daljica in premica ležita v isti ravnini,

c) točke na ravnino,

d) daljice na ravnino.

a) Pravokotna projekcija točke 𝑇 na premico 𝑝 je presečišče premice 𝑝 in pravokotnice na premico 𝑝

skozi točko 𝑇.

b) Pravokotna projekcija daljice 𝐴𝐵 na premico p je daljica, katere krajišči sta pravokotni projekciji

točk 𝐴 in 𝐵 na premico 𝑝.

c) Pravokotna projekcija točke 𝑇 na ravnino je presečišče te ravnine in pravokotnice nanjo, ki poteka

skozi točko 𝑇.

d) Pravokotna projekcija daljice AB na ravnino je daljica, katere krajišči sta pravokotni projekciji točk 𝐴 in 𝐵 na to ravnino. 6. Kaj je množica vseh točk v ravnini, ki so:

a) za a oddaljene od dane točke te ravnine,

b) enako oddaljene od dveh točk te ravnine,

c) za a oddaljene od dane premice iz te ravnine?

a) Množica točk v ravnini, ki so za 𝑎 oddaljene od dane točke te ravnine, je krožnica s središčem v dani

točki in polmerom a.

b) Množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dveh točk te ravnine je simetrala daljice med

danima točkama.

c) Množica točk v ravnini, ki so za 𝑎 oddaljene od dane premice iz te ravnine sta dve vzporednici z dano premico, ki sta za 𝑎 oddaljeni od dane premice.

7. → Definirajte toge premike v ravnini. Naštejte toge premike in jih ponazorite s primeri.

Togi premik je preslikava v ravnini, ki ohranja medsebojne razdalje točk. Togi premik preslika daljice v skladne daljice, premice v premice, like v skladne like. Osnovni togi premiki so: vzporedni premik ali translacija za nek vektor, vrtenje ali rotacija okrog dane točke za nek kot, zrcaljenje preko premice in zrcaljenje preko točke. Togi premiki so tudi kompozitumi teh osnovnih togih premikov. Primeri togih premikov:

a) Vzporedni premik za vektor �� je preslikava v ravnini, ki vsaki točki 𝑇 priredi točko 𝑇´, tako da je

𝑇𝑇′ = ��. Vzporedni premik za vektor �� preslika trikotnik 𝐴𝐵𝐶 v skladen enako orientiran trikotnik

𝐴´𝐵´𝐶´.

b) Zasuk ali rotacija za kot 𝜑 okrog dane točke 𝑂 v pozitivni ali negativni smeri. Z zasukom trikotnika

𝐴𝐵𝐶 okrog izbrane točke za dani kot dobimo skladen enako orientiran trikotnik 𝐴´𝐵´𝐶´.

c) Zrcaljenje čez premico 𝑝 preslika poljubno točko 𝑇 v točko 𝑇´, ki leži na pravokotnici na premico 𝑝

skozi točko 𝑇 in je enako oddaljena od premice 𝑝 kot točka 𝑇. Zrcaljenje čez premico 𝑝 preslika trikotnik

𝐴𝐵𝐶 v skladen nasprotno orientiran trikotnik 𝐴´𝐵´𝐶´.

d) Zrcaljenje preko točke 𝑂 preslika točko 𝑇 v točko 𝑇´, ki leži na premici skozi točki 𝑇 in 𝑂 in je razdalja |𝑇′𝑂| = |𝑇𝑂|. Zrcaljenje naredi isto kot zasuk okoli točke 𝑂 za kot 180°. Zrcaljenje trikotnika 𝐴𝐵𝐶 preko točke 𝑂 ohranja orientacijo trikotnika. 8. Kdaj tri točke določajo ravnino? Kako lahko tudi drugače določimo ravnino v prostoru?

Aksiom: Skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici, poteka natanko ena ravnina.

Izreki: Skozi premico in točko, ki ne leži na tej premici, poteka natanko ena ravnina.

Skozi dve sekajoči se premici poteka natanko ena ravnina.

Skozi dve različni vzporedni premici poteka natanko ena ravnina. 9. Definirajte pojem kota in pojasnite izraze: krak, vrh, ničelni, pravi, iztegnjeni in polni kot, ostri in topi kot. Katere enote za merjenje kotov poznate? Kot je del ravnine, ki ga omejujeta dva poltraka s skupnim izhodiščem.

Poltraka, ki omejujeta kot imenujemo kraka kota, skupno izhodišče krakov vrh kota.

Ničelni kot je kot, pri katerem se oba kraka kota pokrivata. Ničelni kot je ta skupni poltrak. Pravi kot

(90°, 𝜋𝑟𝑑

2, 100𝑔𝑟) je polovica iztegnjenega kota. Iztegnjeni kot (180°, 𝜋𝑟𝑑, 200𝑔𝑟) je kot, pri katerem

se oba kraka združita v premico. Polni kot (360°, 2𝜋𝑟𝑑, 400𝑔𝑟) je kot, pri katerem se oba kraka prekrivata. Polni kot je cela ravnina.

Ostri kot je kot, ki je manjši od pravega kota. Topi kot je kot, ki je večji od pravega in manjši od iztegnjenega.

Enote za merjenje kotov:

Stopinje, minute in sekunde: - stopinja: 1° =1

360 polnega kota

- minuta: 1′ =1

60 stopinje

- sekunda: 1′′ =1

60 minute

Polni kot meri 360°.

Radiani: 1𝑟𝑑 je središčni kot nad lokom, katerega dolžina je enaka polmeru kroga.

Polni kot meri 2𝜋𝑟𝑑.

Grad: 1𝑔𝑟 =1

400 polnega kota

Polni kot meri 400𝑔𝑟.

10. Definirajte skladnost kotov. Kaj velja za pare kotov z vzporednimi in pravokotnimi kraki?

Dva kota sta skladna, če obstaja togi premik, ki preslika en kot v drugega.

Kota z vzporednima krakoma sta ali skladna ali suplementarna.

skladna kota suplementarna kota suplementarna kota skladna kota

Če oba para krakov kažeta v isto smer ali pa oba v nasprotno smer, sta kota skladna. Če en par krakov kaže v isto smer, drugi par pa v nasprotno smer, sta kota suplementarna. Kota s pravokotnima krakoma sta skladna ali suplementarna.

Kota sta skladna, saj je vsota kotov Kota sta suplementarna, saj je vsota v trikotnikih 180°. kotov štirikotniku 360°.

11. →Definirajte kot med premicama, kot med premico in ravnino ter kot med ravninama. Kdaj sta

dve ravnini pravokotni?

Kot med premicama, ki se sekata, je manjši kot 𝜑, ki ga tvorita premici. Kot med premicama je najmanj 0°, premici sta vzporedni, in največ 90°, premici sta pravokotni. Kot med premicama, ki se ne sekata, je kot med vzporednicama tema dvema premicama, ki se sekata. Kot 𝜓 med premico in ravnino je kot med premico in njeno pravokotno projekcijo na ravnino. Kot 𝜔 med ravninama je kot med pravokotnicama na presečišče ravnin. Ena pravokotnica je v eni ravnini, druga pa v drugi ravnini. Dve ravnini sta pravokotni, če sta pravokotnici na presečišče teh dveh ravnin med seboj pravokotni.

12. → Kdaj je premica pravokotna na ravnino? Kaj lahko poveste o: a) dveh premicah, pravokotnih na isto ravnino,

b) dveh ravninah, pravokotnih na isto ravnino?

Premica je pravokotna na ravnino, če je njena pravokotna projekcija na ravnino točka.

a) Dve premici, ki sta pravokotni na isto ravnino, sta med seboj vzporedni.

b) Ravnina je pravokotna na drugo ravnino, če je njena pravokotna projekcija na to ravnino premica. Kot med dvema ravninama, ki sta pravokotni na isto ravnino, je lahko poljuben. Lahko sta med seboj vzporedni ali pa se sekata v premici, ki je pravokotna na dano ravnino.

13. Kaj je trikotnik? Kdaj so lahko tri števila dolžine stranic trikotnika? Kakšen je odnos med

stranicami in njim nasprotnimi koti?

Trikotnik je lik, omejen s tremi daljicami.

𝑎 + 𝑏 > 𝑐 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 Vsota dveh stranic je večja od tretje stranice. 𝑏 + 𝑐 > 𝑎

|𝑎 − 𝑏| < 𝑐 |𝑎 − 𝑐| < 𝑏 Razlika dveh stranic je manjša od tretje stranice. |𝑏 − 𝑐| < 𝑎

Daljši stranici leži večji kot nasproti. Večjemu kotu leži daljša stranica nasproti. V enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici enaka. Enakim stranicam nasproti ležita enaka kota. 14. Definirajte: notranji in zunanji kot trikotnika. Pokažite, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180°.

Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika?

Notranji kot trikotnika je kot, ki ima vrh v oglišču trikotnika, stranici trikotnika pa ležita na krakih kota. Vsota notranjih kotov trikotnika je 180⁰.

Po aksiomu o vzporednici poteka skozi 𝐶 natanko ena vzporednica k stranici c. Dobimo tri kote z vrhom v oglišču 𝐶. Poleg kota 𝛾 sta to še kota 𝛼 in 𝛽. Po izreku o kotih z vzporednima krakoma je kot med vzporednico in stranico 𝑏 enak 𝛼, kot med vzporednico in stranico 𝑎 pa 𝛽. Vsota vseh treh kotov pri oglišču 𝐶 je 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°.

Zunanji kot trikotnika je sokot notranjega kota trikotnika. Vsota notranjega in zunanjega kota pri istem oglišču je 180°. Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360⁰.

𝛼 + 𝛼′ + 𝛽 + 𝛽′ + 𝛾 + 𝛾′ = 180° + 180° + 180°

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛼′ + 𝛽′ + 𝛾′ = 180° + 180° + 180°

180° + 𝛼′ + 𝛽′ + 𝛾′ = 360° + 180°

𝛼′ + 𝛽′ + 𝛾′ = 360°

15. Opredelite pojme v trikotniku: težiščnica, višina, simetrala stranice, simetrala kota, središče

včrtanega kroga, središče očrtanega kroga, težišče in višinska točka.

Težiščnica je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika in razpolovišče nasprotne stranice.

Višina je daljica, ki povezuje oglišče s pravokotno projekcijo tega oglišča na nosilko nasprotne stranice.

Simetrala stranice je premica, ki je pravokotna na stranico in jo razpolavlja. Vsaka točka na simetrali stranice je enako oddaljena od krajišč stranice.

Simetrala kota je premica, ki poteka skozi vrh kota in kot razpolavlja. Vsaka točka na simetrali kota je enako oddaljena od krakov kota.

Vse tri simetrale notranjih kotov trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku včrtanega kroga.

Vse tri simetrale stranic trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku očrtanega kroga.

Vse tri težiščnice trikotnika se sekajo v isti točki. To točko imenujemo težišče trikotnika.

Vse tri višine trikotnika ali njihove nosilke se sekajo v isti točki. To točko imenujemo višinska točka trikotnika. 16. Opišite konstrukcijo trikotniku

a) očrtanega kroga,

b) včrtanega kroga.

a) Trikotniku očrtan krog:

Simetrala daljice je premica, ki daljico razpolavlja in je nanjo pravokotna. Vse točke na simetrali daljice so enako oddaljene od obeh krajišč daljice. Vse simetrale stranic trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku očrtanega kroga.

b) Trikotniku včrtan krog:

Simetrala kota je premica, ki kot razpolavlja. Točke na simetrali kota so enako oddaljene od obeh

krakov kota. Vse simetrale kotov trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku včrtanega

kroga.

17. → V pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo. Koliko podobnih trikotnikov

nastane? Odgovor utemeljite. Izpeljite Evklidov izrek.

Nastaneta dva manjša podobni trikotnika. Oba sta podobna celemu trikotniku. Vsi trije so podobni zato, ker imajo vsi kote 𝛼, 𝛽 in 90°.

𝐶 Naj bo točka 𝐸 pravokotna projekcija oglišča 𝐶 na hipotenuzo 𝑐. Daljici 𝐴𝐸 in 𝐸𝐵 sta pravokotni projekciji 𝛽 𝛼 katet 𝑏 in 𝑎 na hipotenuzo 𝑐. Označimo jih |𝐴𝐸| = 𝑏1 in 𝑏 𝑣 𝑎 |𝐸𝐵| = 𝑎1. Velja 𝑎1 + 𝑏1 = 𝑐. 𝛼 𝛽 △ 𝐸𝐵𝐶 ∼△ 𝐴𝐵𝐶

𝐴 𝑏1 𝐸 𝑎1 𝐵 𝑎1 ∶ 𝑎 = 𝑎 ∶ 𝑐 in zato 𝑎2 = 𝑎1 ⋅ 𝑐 𝑐 = 𝑎1 + 𝑏1 Podobno izpeljemo tudi 𝑏2 = 𝑏1 ⋅ 𝑐.

To sta Evklidova izreka. Kvadrat katete pravokotnega trikotnika je enak produktu pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo in hipotenuze.

18. → V pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo. Koliko podobnih trikotnikov

nastane? Odgovor utemeljite. Izpeljite višinski izrek.

Če v pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo, dobimo tri podobne trikotnike. Ti so si podobni, ker se ujemajo v vseh treh notranjih kotih 𝛼, 𝛽 in 90°. 𝐶 Naj bo točka 𝐸 pravokotna projekcija oglišča 𝐶 na hipotenuzo 𝑐. Daljici 𝐴𝐸 in 𝐸𝐵 sta pravokotni projekciji 𝛽 𝛼 katet 𝑏 in 𝑎 na hipotenuzo 𝑐. Označimo jih |𝐴𝐸| = 𝑏1 in 𝑏 𝑣 𝑎 |𝐸𝐵| = 𝑎1. Velja 𝑎1 + 𝑏1 = 𝑐. 𝛼 𝛽 △ 𝐴𝐸𝐶 ∼△ 𝐸𝐵𝐶

𝐴 𝑏1 𝐸 𝑎1 𝐵 𝑣 ∶ 𝑎1 = 𝑏1 ∶ 𝑣 in zato 𝑣2 = 𝑎1 ⋅ 𝑏1 𝑐 = 𝑎1 + 𝑏1

To je višinski izrek. Kvadrat višine na hipotenuzo je enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo. 19. Povejte izreke o skladnosti trikotnikov.

Definicija: Trikotnika sta skladna, če obstaja togi premik, ki en trikotnik preslika v drugega. Izreki: a) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah.

b) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu med njima. c) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in priležnih kotih.

d) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži daljši stranici nasproti. 20. Kdaj sta dva trikotnika podobna? Naštejte nekaj izrekov o podobnih trikotnikih. Kako je z obsegom

in ploščino podobnih trikotnikov?

Definicija: Dva trikotnika sta podobna, če se ujemata paroma v vseh treh kotih. Dovolj je, če se ujemata v dveh kotih. Talesov izrek o podobnih trikotnikih : Stranice podobnih trikotnikov so v enakih razmerjih.

𝑎 ∶ 𝑎′ = 𝑏 ∶ 𝑏′ = 𝑐 ∶ 𝑐′ ali 𝑎′ = 𝑘𝑎, 𝑏′ = 𝑘𝑏, 𝑐′ = 𝑘𝑐

Obsega podobnih trikotnikov sta v enakem razmerju kot stranice obeh trikotnikov.

Ploščini podobnih trikotnikov sta v kvadratnem razmerju kot stranice obeh trikotnikov.

𝑜′ = 𝑘𝑜, 𝑆′ = 𝑘2𝑏

21. Navedite kosinusi izrek in Pitagorov izrek. Kdaj ju uporabljamo?

Kosinusni izrek: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝛼 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos𝛽 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾

Kosinusni izrek rabimo v poljubnem trikotniku, če je podano:

- dve stranici in kot med njima,

- vse stranice.

Če je trikotnik pravokoten, dobimo iz kosinusnega izreka Pitagorov izrek 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2,

𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2 ali 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2. V kosinusni izrek vstavimo 𝛾 = 90° ali cos 𝛼 =𝑏

𝑐 ali cos 𝛽 =

𝑎

𝑐.

Pitagorov izrek rabimo v pravokotnem trikotniku, če imamo podani dve kateti ali eno od katet in hipotenuzo. 22. → Dokažite kosinusni izrek. V kaj preide kosinusni izrek v pravokotnem trikotniku?

𝐶

�� �� Izrazimo: �� = −𝑐 + �� = �� − 𝑐

𝛼 Skalarni produkt: �� ⋅ 𝑐 = 𝑏𝑐 cos𝛼

𝐴 𝑐 𝐵

Potem je

𝑎2 = �� ⋅ �� = (�� − 𝑐)(�� − 𝑐) = 𝑏2 − �� ⋅ 𝑐 − �� ⋅ 𝑐 + 𝑐2 = 𝑏2 − 2�� ⋅ 𝑐 + 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝛼.

Dobili smo kosinusni izrek za stranico 𝑎: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝛼.

Iz te formule dobimo 2𝑏𝑐 cos 𝛼 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 in zato cos𝛼 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐 .

Kosinusni izrek v pravokotnem trikotniku preide v Pitagorov izrek. V kosinusni izrek za stranico 𝑐 vstavimo 𝛾 = 90°. Dobimo 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos90° = 𝑎2 + 𝑏2. Lahko pa v kosinusni izrek za

stranico 𝑎 ali 𝑏 vstavimo ali cos 𝛼 =𝑏

𝑐 ali cos 𝛽 =

𝑎

𝑐. Dobimo 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐

𝑏

𝑐= 𝑐2 − 𝑏2.

Dobimo Pitagorov izrek 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2 in 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2. 23. Povejte sinusni izrek. Kdaj ga uporabljamo?

𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾= 2𝑅

Sinusni izrek rabimo za računanje stranic in kotov v trikotniku, če je podano:

- dve stranici in kot, ki leži eni od teh dveh stranic nasproti,

- dva kota (vsi trije koti) in katerakoli stranica.

24. → Dokažite, da v trikotniku ABC velja enakost 𝑎

sin𝛼 =

𝑏

sin𝛽 =

𝑐

sinγ = 2𝑅.

V trikotniku 𝐴𝐵𝐶 je kot 𝛾 (∢𝐴𝐶𝐵) obodni kot nad lokom 𝐴𝐵, kot ∢𝐴𝑆𝐵 pa središčni kot nad istim lokom. Zato je ta središčni kot 2𝛾. Trikotnik 𝐴𝐵𝑆 je enakokrak, zato višina na osnovnico razpolavlja osnovnico 𝑐 in kot pri vrhu 2𝛾.

Iz sin 𝛾 = 𝑐

2

𝑅 dobimo 𝑐 = 2𝑅 sin 𝛾 in zato

𝑐

sin𝛾= 2𝑅.

Podobno, z upoštevanjem obodnega kota 𝛼 (∢𝐵𝐴𝐶) nad lokom 𝐵𝐶 in enakokrakega trikotnika 𝑆𝐵𝐶 ter obodnega kota 𝛽 (∢𝐴𝐵𝐶) nad lokom 𝐴𝐶 in enakokrakega trikotnika

𝐴𝑆𝐶, dokažemo 𝑎

sin𝛼= 2𝑅 in

𝑏

sin𝛽= 2𝑅.

Zato je 𝑎

sin𝛼 =

𝑏

sin𝛽 =

𝑐

sinγ = 2𝑅.

25. Definirajte paralelogram. Naštejte posebne primere.

Paralelogram je štirikotnik, ki ima po dve in dve nasprotni stranici vzporedni.

Po dve in dve nasprotni stranici paralelograma sta enako dolgi. Diagonali se razpolavljata. Nasprotna kota paralelograma sta skladna, sosedna kota sta suplementarna. Posebni primeri: pravokotnik, romb, kvadrat, romboid.

Pravokotnik je paralelogram, ki ima vse notranje kote prave.

Romb je paralelogram, ki ima vse štiri stranice enako dolge.

Kvadrat je paralelogram, ki ima vse štiri stranice enako dolge in vse kote prave. Je pravokotnik, ki ima vse štiri stranice enake. Je romb, ki ima vse kote prave.

Romboid je paralelogram, ki ni ne pravokotnik, ne romb in ne kvadrat. 26. → Dokažite, da se diagonali v paralelogramu razpolavljata.

Dokaz s skladnimi trikotniki:

Trikotnika 𝐴𝐵𝑆 in 𝐷𝐶𝑆 sta skladna, saj se ujemata v eni stranici (𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷) in kotih ob njej (∢𝑆𝐴𝐵 ≅ ∢𝑆𝐶𝐷 in ∢𝐴𝐵𝑆 ≅ ∢𝐶𝐷𝑆, saj sta para kotov z vzporednima krakoma). Zato je 𝐴𝑆 ≅ 𝑆𝐶 in 𝐵𝑆 ≅ 𝑆𝐷, kar pomeni, da se diagonali razpolavljata.

Dokaz z vektorji: Vektorja 𝐴𝐵 = �� in 𝐴𝐷 = �� naj bosta baza ravnine. Potem

je 𝐴𝑆 = 𝑚𝐴𝐶 = 𝑚(�� + ��) in 𝐴𝑆 = �� + 𝐵𝑆 = �� + 𝑛𝐵𝐷 =

= �� + 𝑛(−�� + ��).

Izenačimo 𝑚(�� + ��) = �� + 𝑛(−�� + ��) in uredimo

(𝑚 + 𝑛 − 1)�� + (𝑚 − 𝑛)�� = 0.

Ker sta bazna vektorja �� in �� linearno neodvisna oz. nekolinearna, morata biti oba koeficienta enaka

0. Iz 𝑚+ 𝑛 − 1 = 0 in 𝑚 − 𝑛 = 0 dobimo 𝑚 = 𝑛 =1

2. Zato je 𝐴𝑆 =

1

2𝐴𝐶 in 𝐵𝑆 =

1

2𝐵𝐷. Diagonali

se razpolavljata. 27. → Dokažite, da sta diagonali v rombu pravokotni.

Dokaz s skladnimi trikotniki: Romb ima vse štiri stranice enako dolge. Trikotnika 𝐴𝐵𝐶 in 𝐴𝐶𝐷 sta skladna enakokraka trikotnika. Imata skupno stranico 𝐴𝐶, drugi dve stranici pa sta stranici romba. Zato so skladni koti ∢𝐵𝐴𝑆 ≅ ∢𝑆𝐴𝐷 ≅ ∢𝐵𝐶𝑆 ≅ ∢𝑆𝐶𝐷. Skladna sta tudi trikotnika 𝐴𝐵𝐷 in 𝐵𝐶𝐷. Zato so skladni tudi koti ∢𝐴𝐵𝑆 ≅ ∢𝑆𝐵𝐶 ≅ ∢𝐶𝐷𝑆 ≅ ∢𝑆𝐷𝐴. Skladna sta tudi trikotnika 𝐴𝐵𝑆 in 𝐴𝑆𝐷, saj se ujemata v eni stranici (𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐷) in kotih ob njej (∢𝐵𝐴𝑆 ≅ ∢𝑆𝐴𝐷 in ∢𝐴𝐵𝑆 ≅ ∢𝑆𝐷𝐴. Ta dva trikotnika imata zato skladna kota pri oglišču 𝑆 (∢𝐵𝑆𝐴 ≅ ∢𝐴𝑆𝐷). Ker kota skupaj tvorita iztegnjeni kot, sta to

prava kota. Diagonali se sekata pod pravim kotom. Dokaz z vektorji:

Vektorja 𝐴𝐵 = �� in 𝐴𝐷 = �� naj bosta baza ravnine. Njuni dolžini sta

enaki dolžini stranice 𝑎 romba. Potem je 𝐴𝐶 = �� + �� in

𝐵𝐷 = −�� + ��. Skalarni produkt teh veh vektorjev je

𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 = (�� + ��)(−�� + ��) = −𝑎2 + 𝑎2 = 0. Vektorja 𝐴𝐶 in 𝐵𝐷

sta pravokotna. Diagonali se sekata pod pravim kotom.

28. Definirajte trapez in enakokraki trapez ter naštejte njune lastnosti. Kaj je srednjica trapeza? Kako

izračunamo ploščino trapeza?

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici sta osnovnici, drugi dve pa kraka trapeza. Notranja kota ob istem kraku sta suplementarna: 𝛼 + 𝛿 = 180° in 𝛽 + 𝛾 = 180°. Enakokraki trapez je trapez, ki ima skladna kraka. V enakokrakem trapezu sta diagonali skladni, skladna sta tudi kota 𝛼 in 𝛽 ter 𝛾 in 𝛿. Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči krakov. Vzporedna je osnovnicama, njena dolžina je enaka aritmetični sredini dolžin osnovnic. Če sta 𝑎 in 𝑏 dolžini osnovnic trapeza, je dolžina srednjice

𝑠 = 𝑎+𝑐

2.

Če sta 𝑎 in 𝑏 dolžini osnovnic trapeza, 𝑣 pa njegova višina, je ploščina trapeza 𝑆 = (𝑎+𝑐)𝑣

2 .

29. Kolikšna je vsota notranjih kotov poljubnega 𝑛-kotnika? Koliko diagonal ima konveksni 𝑛-kotnik? Definirajte pravilni 𝑛-kotnik. → Izpeljite obrazec za število diagonal konveksnega 𝑛-kotnika.

𝑛-kotnik je večkotnik, ki je omejen z 𝑛 daljicami. Razdelimo ga lahko na 𝑛 − 2 trikotnikov. Notranji koti

vseh trikotnikov tvorijo ravno notranje kote večkotnika. Vsota notranjih kotov 𝑛-kotnika je zato

(𝑛 − 2)180°.

Število diagonal v konveksnem 𝑛-kotniku je 𝑑 =𝑛(𝑛−3)

2.

Pravilni 𝑛-kotnik je 𝑛-kotnik, ki ima skladne vse stranice in skladne vse notranje kote. Pravilnemu 𝑛-kotniku lahko očrtamo in včrtamo krožnico. Pravilni 𝑛-kotnik lahko razdelimo na 𝑛 skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo skupen vrh v središču očrtane oz. včrtane krožnice. →Število diagonal konveksnega 𝑛-kotnika:

Iz vsakega oglišča 𝑛-kotnika lahko potegnemo 𝑛 − 3 diagonal, do vseh oglišč, razen do samega sebe in do dveh sosednjih oglišč. Daljici do sosednjih oglišč sta stranici. Vseh oglišč je 𝑛, vendar je v številu

𝑛(𝑛 − 3) vsaka diagonala šteta dvakrat. Zato je vseh diagonal 𝑛(𝑛−3)

2.

30. → Definirajte krožnico. Opišite vse mogoče medsebojne lege dveh krožnic v ravnini. Za te lege

poiščite zveze med polmeroma in razdaljo med središčema krožnic.

Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od središča. Naj bo Φ ravnina, 𝑆 ∈ Φ središče

krožnice, oddaljenost od središča – polmer naj bo 𝑟. Krožnica 𝒦 = {𝑇 ∈ Φ; 𝑑(𝑆, 𝑇) = 𝑟}.

Naj bo 𝑆1 središče in 𝑟1 polmer ene krožnice ter 𝑆2 središče in 𝑟2 polmer druge krožnice.

Krožnici sta lahko koncentrični , če imata skupno središče. Središči 𝑆1 in 𝑆2 se pokrivata, 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 0. Če je 𝑟1 = 𝑟2, gre za isto krožnico, če je 𝑟1 ≠ 𝑟2, nimata krožnici nobene skupne točke.

Naj imata krožnici enak polmer 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) > 2𝑟, krožnici nimata skupnih točk. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 2𝑟, se krožnici dotikata. - Če je 0 < 𝑑(𝑆1, 𝑆2) < 2𝑟, imata krožnici dve različni skupni točki. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 0, se krožnici pokrivata (koncentrični krožnici).

Naj imata krožnici različna polmera, npr. 𝑟2 < 𝑟1. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) < 𝑟1 − 𝑟2, krožnici nimata skupnih točk. Središče 𝑆2 druge krožnice je

znotraj prve krožnice. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 𝑟1 − 𝑟2, se krožnici dotikata. Središče 𝑆2 druge krožnice je znotraj

prve krožnice.

- Če je 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑑(𝑆1, 𝑆2) < 𝑟1 + 𝑟2, imata krožnici dve različni skupni točki. Če je 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑑(𝑆1, 𝑆2) < 𝑟1, je središče 𝑆2 druge krožnice znotraj prve krožnice, če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 𝑟1, je središče 𝑆2 druge krožnice na prvi krožnici, če je 𝑟1 < 𝑑(𝑆1, 𝑆2) < 𝑟1 + 𝑟2, je središče 𝑆2 druge krožnice zunaj prve krožnice.

- Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) = 𝑟1 + 𝑟2, se krožnici dotikata z zunanje strani. - Če je 𝑑(𝑆1, 𝑆2) > 𝑟1 + 𝑟2, krožnici nimata skupnih točk. Središče 𝑆2 druge krožnice je

zunaj prve krožnice.

Če je 𝑟1 < 𝑟2, se samo vlogi krožnic iz prejšnje točke zamenjata. 31. V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini? Kaj je tangenta na

krožnico? Kako konstruiramo tangento na krožnico v dani točki krožnice?

Premica in krožnica: - Nimata nobene skupne točke. Premica je mimobežnica krožnice. - Imata eno skupno točko. Premica je tangenta krožnice.

- Imata dve različni skupni točki. Premica je sekanta krožnice.

Tangenta na krožnico je premica, ki se dotika krožnice v eni točki. Tangenta je pravokotna na polmer krožnice v dotikališču. Tangento v točki 𝑇 na krožnici konstruiramo tako, da točko 𝑇 povežemo s središčem 𝑆 krožnice. Skozi točko 𝑇 narišemo pravokotnico na zveznico 𝑆𝑇. 32. → Kako konstruiramo tangento na krožnico iz dane točke? Katere primere ločimo? Konstrukcijo

utemeljite.

Če je točka 𝑇 znotraj krožnice, tangenta na krožnico skozi točko 𝑇 ne obstaja.

Če je točka 𝑇 na krožnici, obstaja ena tangenta skozi točko 𝑇. Tangento konstruiramo tako, da točko 𝑇 povežemo s središčem 𝑆 krožnice. Ker je tangenta pravokotna na polmer, narišemo skozi točko 𝑇 pravokotnico na zveznico 𝑆𝑇.

Če je točka 𝑇 zunaj krožnice, obstajata dve tangenti na krožnico skozi točko 𝑇. Konstruiramo ju tako, da to točko 𝑇 povežemo s središčem 𝑆. Daljico 𝑆𝑇 razpolovimo. Narišemo novo krožnico, ki ima središče v razpolovišču daljice 𝑆𝑇 in poteka skozi točko 𝑇 in središče 𝑆. Presečišči 𝐷1 in 𝐷2 te nove krožnice z dano krožnico sta dotikališči tangent s krožnico. Po Talesovem izreku o obodnem kotu nad polkrogom sta kota ∢𝑆𝐷1𝑇 in ∢𝑆𝐷2𝑇 prava kota. Nosilki daljic 𝑇𝐷1 in 𝑇𝐷2 sta pravokotni na polmer, zato sta to tangenti na krožnico.

33. Definirajte središčni in obodni kot v krogu. V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom? Navedite Talesov izrek o kotu v polkrogu. → Dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu.

Središčni kot nad lokom (kot 𝛼 = ∢𝐴𝑆𝐵 nad lokom 𝐴𝐵) je kot z vrhom v središču kroga in kraki, ki potekata skozi krajišči loka. Obodni kot nad lokom (kot 𝛽 = ∢𝐴𝐶𝐵 = ∢𝐴𝐶′𝐵 nad lokom 𝐴𝐵) je kot z vrhom v točki na krožnici in kraki, ki potekata skozi krajišči loka. Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki. Središčni kot je dvakrat večji od obodnega nad istim lokom.

Talesov izrek o kotu nad polkrogom: Obodni kot nad polkrogom je pravi kot. Če je ena stranica trikotnika premer kroga, tretje oglišče pa leži nekje na krožnici, potem je ta trikotnik pravokoten. →Dokaz:

Točka 𝑆 je središče krožnice. Ker je |𝑆𝐴| = |𝑆𝐵| = |𝑆𝐶|, sta

trikotnika △ 𝐴𝑆𝐶 in △ 𝑆𝐵𝐶 enakokraka. Od tod sledi enakost

kotov ∢𝑆𝐴𝐶 = ∢𝑆𝐶𝐵 = 𝛼 in ∢𝑆𝐵𝐶 = ∢𝑆𝐶𝐵 = 𝛽.

Vsota kotov v trikotniku 𝐴𝐵𝐶 je 2𝛼 + 2𝛽 = 180°.

Zato je kot pri oglišču 𝐶: 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 = 90°.

Dokažemo lahko hitreje: Kot 𝛾 pri oglišču 𝐶 je obodni kot nad

lokom 𝐴𝐵. Ker je središčni kot nad tem lokom 180°, je obodni kot

𝛾 =180°

2= 90°.

GEOMETRIJSKI LIKI IN TELESA

1. Navedite formule za ploščine paralelograma, trikotnika, deltoida in trapeza.

Paralelogram: 𝑆 = 𝑎𝑣𝑎 = 𝑏𝑣𝑏 , 𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛼 = 𝑎𝑏 sin𝛽

Trikotnik: 𝑆 = 𝑎𝑣𝑎

2=𝑏𝑣𝑏

2=𝑐𝑣𝑐

2 , 𝑆 =

𝑎𝑏 sin𝛾

2=𝑎𝑐 sin𝛽

2=𝑏𝑐 sin𝛼

2

Heronov obrazec: 𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐

2 , 𝑆 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

- Enakostranični trikotnik: 𝑆 = 𝑎2√3

4

- Pravokotni trikotnik: 𝑆 =𝑎𝑏

2

Deltoid: 𝑆 = 𝑒𝑓

2

Romb: 𝑆 = 𝑎𝑣𝑎 , 𝑆 = 𝑎2 sin 𝛼 = 𝑎2 sin𝛽, ker je paralelogram

𝑆 = 𝑒𝑓

2 , ker je deltoid

Trapez: 𝑆 = (𝑎+𝑐)𝑣

2

2. → Izpeljite formuli za ploščino paralelograma in trapeza.

Ploščina paralelograma: V paralelogramu narišemo višino, vzporedno premaknemo trikotnik in iz

paralelograma naredimo pravokotnik s stranicama 𝑎 in 𝑣𝑎 ali pa stranicama 𝑏 in 𝑣𝑏.

𝑆 = 𝑎𝑣𝑎 = 𝑏𝑣𝑏 𝛼 + 𝛽 = 180°

𝛽 = 180° − 𝛼

V pravokotnem trikotniku izračunamo sin 𝛼 =𝑣𝑎

𝑏.

Iz 𝑣𝑎 = 𝑏 sin𝛼 in sin𝛽 = sin(180° − 𝛼) = sin𝛼

dobimo 𝑆 = 𝑎𝑏 sin𝛼 = 𝑎𝑏 sin𝛽.

Ploščina trapeza: Trapez razdelimo na paralelogram s stranico 𝑐 in višino 𝑣 ter trikotnik s stranico

𝑎 − 𝑐 in višino 𝑣.

𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 = 𝑐𝑣 +(𝑎−𝑐)𝑣

2=

𝑆1 𝑆2 =2𝑐𝑣+𝑎𝑣−𝑐𝑣

2=(𝑎+𝑐)𝑣

2

3. → Izpeljite formuli za ploščino trikotnika in deltoida.

Ploščina trikotnika: Trikotnik dopolnimo do paralelograma tako, da narišemo vzporednici k stranicama.

Dodali smo skladni trikotnik, zato je ploščina trikotnika polovica ploščine paralelograma.

𝑆 = 𝑐𝑣𝑐

2

Za stranici paralelograma lahko vzamemo drugi dve stranici trikotnika.

Dobimo 𝑆 = 𝑎𝑣𝑎

2=𝑏𝑣𝑏

2=𝑐𝑣𝑐

2.

Ker je sin 𝛼 =𝑣𝑐

𝑏 oz. 𝑣𝑐 = 𝑏 sin𝛽,

je 𝑆 =𝑐𝑣𝑐

2=𝑏𝑐 sin𝛼

2 .

Če podobno izrazimo 𝑣𝑎 in 𝑣𝑏, dobimo 𝑆 =𝑎𝑏 sin𝛾

2=𝑎𝑐 sin𝛽

2=𝑏𝑐 sin𝛼

2.

Ploščina deltoida: Deltoid razdelimo na dva trikotnika 𝐴𝐶𝐵 in 𝐴𝐵𝐷. Oba imata skupno stranico 𝑒. Diagonalo 𝑓 razdelimo na dela 𝑓1 in 𝑓2, zato je 𝑓1 + 𝑓2 = 𝑓. Ker se diagonali sekata pravokotno, sta 𝑓1 in 𝑓2 višini teh dveh trikotnikov. Zato je

𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 =𝑒𝑓1

2+𝑒𝑓2

2=𝑒(𝑓1+𝑓2)

2=𝑒𝑓

2.

Ploščina deltoida je 𝑆 =𝑒𝑓

2.

4. Navedite formule za izračun ploščin kvadrata, pravokotnika, romba, enakostraničnega trikotnika in

pravokotnega trikotnika.

Kvadrat: 𝑆 = 𝑎2, 𝑆 =𝑑2

2 , 𝑑… diagonala kvadrata: 𝑑 = 𝑎√2

Pravokotnik: 𝑆 = 𝑎 𝑏

Romb: 𝑆 = 𝑎𝑣𝑎 , 𝑆 = 𝑎2 sin 𝛼 = 𝑎2 sin𝛽, ker je paralelogram

𝑆 = 𝑒𝑓

2 , ker je deltoid

Enakostranični trikotnik: 𝑆 = 𝑎2√3

4 , višina enakostraničnega trikotnika: 𝑣 =

𝑎√3

2

Pravokotni trikotnik: 𝑆 =𝑎𝑏

2

5. Navedite formuli za ploščino in obseg kroga. Kako izračunamo dolžino krožnega loka in ploščino

krožnega izseka?

Obseg kroga: 𝑜 = 2𝜋𝑟

Dolžina krožnega loka: 360°… 2𝜋𝑟

𝛼° … 𝑙 𝑙 =2𝜋𝑟𝛼°

360°=𝜋𝑟𝛼°

180°

Ploščino kroga: 𝑆 = 𝜋𝑟2

Ploščina krožnega izseka: 360°… 𝜋𝑟2

𝛼° … 𝑆𝑖𝑧 𝑆𝑖𝑧 =𝜋𝑟2𝛼°

360°=𝜋𝑟𝛼°𝑟

180°2=𝑙𝑟

2

6. → Pravilni 𝑛-kotnik je včrtan krogu s polmerom 𝑅. Izrazite njegovo stranico in ploščino z danim

polmerom.

Polmer očrtanega kroga naj bo 𝑅, stranica pravilnega večkotnika pa 𝑎. Pravilni 𝑛-kotnik je sestavljen iz 𝑛 enakokrakih trikotnikov. Kot 𝜑 pri vrhu enakokrakega

trikotnika meri 𝜑 =360°

𝑛. Višina 𝑣 enakokrakega

trikotnika razdeli trikotnik na dva skladna pravokotna trikotnika. Potem je

sin𝜑

2=

𝑎

2

𝑅=

𝑎

2𝑅 in zato 𝑎 = 2𝑅 sin

180°

𝑛.

Ploščina 𝑛-kotnika je

𝑆 = 𝑛 𝑆∆ = 𝑛𝑅∙𝑅∙sin𝜑

2=𝑛

2𝑅2 sin

360°

𝑛.

Ploščino lahko izračunamo tudi z višino. Velja cos𝜑

2=𝑣

𝑅 in zato 𝑣 = 𝑅 cos

180°

𝑛.

Ploščina 𝑛-kotnika je

𝑆 = 𝑛 𝑆∆ = 𝑛𝑎𝑣

2=𝑛

22𝑅2 sin

180°

𝑛cos

180°

𝑛=𝑛

2𝑅2 sin

360°

𝑛.

7. Opišite prizmo. Kdaj je prizma:

a) pokončna,

b) enakoroba,

c) 𝑛-strana,

d) pravilna?

Navedite formuli za prostornino prizme in površino pokončne prizme.

Prizma je množica točk, omejenih z dvema osnovnima ploskvama in plaščem. Osnovni ploskvi prizme sta skladna večkotnika, ki ležita v vzporednih ravninah in imata vzporedne robove. Vse stranske ploskve (to so paralelogrami) tvorijo plašč prizme. a) Prizma je pokončna, kadar so stranski robovi pravokotni glede na osnovno ploskev.

b) Enakoroba prizma je prizma, ki ima vse robove enake (stranske in osnovne).

c) 𝑛-strana prizma je prizma, ki ima za osnovni ploskvi skladna 𝑛-kotnika.

d) Pravilna prizma je pokončna prizma, ki ima za osnovno ploskev pravilni večkotnik.

Prostornina prizme: 𝑉 = 𝑆 ⋅ 𝑣

𝑆… ploščina osnovne ploskve, 𝑣… višina prizme

Površina prizme: 𝑃 = 2𝑆 + 𝑆𝑝𝑙

𝑆𝑝𝑙… ploščina oz. površina plašča

Površina pokončne prizme: 𝑃 = 2𝑆 + 𝑆𝑝𝑙, 𝑆𝑝𝑙 = 𝑜 ∙ 𝑣

𝑜… obseg osnovne ploskve 8. Opišite pokončni krožni valj. Kaj je presek takega valja z ravnino, ki vsebuje os valja? Kaj je presek

valja z ravnino, ki je pravokotna na os? Navedite formuli za površino in prostornino pokončnega

krožnega valja.

Valj je množica točk med dvema osnovnima ploskvama in plaščem. Osnovni ploskvi sta dva skladna lika, ki ležita v vzporednih ravninah tako, da dobimo eno osnovno ploskev iz druge z vzporednim premikom. Stranica valja je daljica ki povezuje dve enakoležni točki na obeh osnovnih ploskvah. Pokončni krožni valj je valj, ki ima za osnovni ploskvi dva skladna kroga in je stranica pravokotna glede na osnovno ploskev. Presek pokončnega krožnega valja z ravnino, ki vsebuje os valja, je pravokotnik. Za poševni valj je ta presek paralelogram. Presek pokončnega krožnega valja z ravnino, ki je pravokotna na os, je krog.

Površina pokončnega valja: 𝑃 = 2𝑆 + 𝑆𝑝𝑙, 𝑆𝑝𝑙 = 𝑜 ∙ 𝑣

𝑆… ploščina osnovne ploskve, 𝑆𝑝𝑙 … ploščina oz. površina plašča,

𝑜… obseg osnovne ploskve, 𝑣… višina

𝑃 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝑣

Prostornina valja: 𝑉 = 𝑆 ⋅ 𝑣 = 𝜋𝑟2𝑣 9. Opišite piramido. Opišite piramido, ki je:

a) pokončna,

b) enakoroba,

c) 𝑛-strana,

d) pravilna.

Navedite formuli za površino in prostornino pravilne piramide.

Piramida je oglato telo, ki ima za osnovno ploskev večkotnik, za stranske ploskve pa trikotnike, ki se stikajo v skupni točki. Tej točki rečemo vrh piramide. Piramida je torej telo, ki je omejeno z eno osnovno ploskvijo in stranskimi ploskvami.

Stranske ploskve tvorijo plašč piramide. Stranice osnovne ploskve so osnovni robovi. V osnovnem robu se stikata osnovna in stranska ploskev. Rob, v katerem se stikata dve stranski ploskvi, je stranski rob. Stranski robovi se stikajo v vrhu piramide.

Višina piramide je razdalja med vrhom od osnovne ploskve. Stranske višine so višine stranskih ploskev piramide.

a) Piramida je pokončna, če so vsi stranski robovi enako dolgi.

b) Piramida je enakoroba, če so vsi njeni robovi (osnovni in stranski) enako dolgi.

c) Piramida je 𝑛-strana, če je osnovna ploskev 𝑛-kotnik.

d) Piramida je pravilna, če je pokončna in je osnovna ploskev pravilni večkotnik.

Stranske ploskve so skladni enakokraki trikotniki. Vse stranske višine so enake.

Površina piramide: 𝑃 = 𝑆 + 𝑆𝑝𝑙

𝑆… ploščina osnovne ploskve,

𝑆𝑝𝑙… ploščina oz. površina plašča

Površina pravilne piramide: 𝑃 = 𝑆 + 𝑆𝑝𝑙 , 𝑆𝑝𝑙 =𝑜⋅𝑣1

2

𝑜… obseg osnovne ploskve, 𝑣1… stranska višina

Prostornina piramide: 𝑉 =𝑆⋅𝑣

3

𝑣… višina piramide

Ta formula za prostornino velja za poljubno piramido.

10. Opišite pokončni krožni stožec. Navedite formuli za površino in prostornino.

→ Kaj veste o presekih stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi? Kaj je presek takega stožca z

ravnino, ki vsebuje os stožca?

Pokončni krožni stožec je množica točk med osnovno ploskvijo in plaščem. Osnovna ploskev je krog. Najvišjo točko stožca imenujemo vrh stožca. Zveznice vrha s poljubno točko na robu osnovne ploskve so stranice stožca. Premico skozi vrh in središče osnovne ploskve imenujemo os stožca. Pri pokončnem stožcu je os pravokotna na osnovno ploskev. Vse stranice pokončnega krožnega stožca so enako dolge. Površina pokončnega krožnega stožca: 𝑃 = 𝑆 + 𝑆𝑝𝑙 = 𝜋𝑟

2 + 𝜋𝑟𝑠

𝑆… ploščina osnovne ploskve, 𝑆𝑝𝑙… ploščina oz. površina plašča,

𝑟… polmer osnovne ploskve, 𝑠 … stranica

Prostornina pokončnega stožca: 𝑉 =𝑆𝑣

3=𝜋𝑟2𝑣

3

𝑣… višina stožca

→ Presek krožnega stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, je krog. Čim bližje vrhu je ravnina, tem manjši je polmer kroga. Presek stožca z ravnino, ki poteka skozi os stožca, je osni presek. Osni presek pokončnega krožnega stožca je enakokraki trikotnik z osnovnico 2𝑟 in krakom 𝑠. Če je osni presek stožca enakostranični trikotnik, je stožec enakostraničen (𝑠 = 2𝑟). 11. → Katero geometrijski telo dobimo, če za 360°zavrtimo:

a) pravokotnik okoli ene od stranic,

b) pravokotni trikotnik okoli ene od katet,

c) polkrog okoli premera?

a) Če zavrtimo pravokotnik za 360° okoli ene od stranic, dobimo pokončni krožni valj, ki ima za višino stranico, okoli katere vrtimo, drugo stranico pa za polmer osnovne ploskve.

b) Če zavrtimo pravokotni trikotnik za 360° okoli ene od katet, dobimo pokončni krožni stožec, ki ima za višino kateto, okrog katere vrtimo, drugo kateto za polmer osnovne ploskve, hipotenuzo pa za stranico.

c) Če zavrtimo polkrog za 360° okoli premera, dobimo kroglo z enakim polmerom, kot ga ima polkrog.

12. Kaj je krogla? Navedite formuli za površino in prostornino.

Krogelna lupina ali obla ali sfera je množica točk v prostoru, ki so enako oddaljene od središča. Krogla je množica točk na sferi in znotraj nje.

Površina: 𝑃 = 4𝜋𝑟2 𝑟… polmer krogle

Prostornina: 𝑉 =4𝜋𝑟3

3

VEKTORJI V RAVNINI IN PROSTORU

1. Kdaj sta dva vektorja enaka? Kaj je ničelni vektor in kaj nasprotni vektor? Kako (grafično) seštevamo

in kako odštevamo vektorje?

Dva vektorja sta enaka, ko sta vzporedna, imata enako dolžino in sta enako usmerjena. Ničelni vektor

je vektor z dolžino 0. Nasprotni vektor k danemu vektorju je vektor, ki je z danim vektorjem vzporeden,

ima enako dolžino in nasprotno usmeritev.

Vektorje seštevamo in odštevamo po paralelogramskem ali po trikotniškem pravilu. Vektorja lahko

odštejemo tudi tako, da prištejemo nasprotni vektor.

Paralelogramsko pravilo:

- vsota �� + �� - razlika �� − �� = 𝑐 ⇔ �� = �� + 𝑐

�� �� + �� �� �� − ��

�� ��

Trikotniško pravilo:

- vsota �� + �� - razlika �� − �� = �� + (−�� )

��

�� + ��

��

�� − �� −��

��

2. Definirajte množenje vektorja s številom (skalarjem) in naštejte lastnosti te operacije. Kdaj sta

vektorja kolinearna? Kaj je enotski vektor?

Produkt vektorja �� s skalarjem 𝑚 je vektor z naslednjimi lastnostmi:

1. Vektor 𝑚�� je vzporeden vektorju ��.

2. Dolžina vektorja 𝑚�� je |𝑚|-krat daljša od dolžine vektorja ��. Torej je |𝑚��| = |𝑚||��|.

3. Če je 𝑚 > 0, ima vektor 𝑚�� isto usmeritev kot vektor ��.

Če je 𝑚 = 0, je 𝑚�� ničelni vektor.

Če je 𝑚 < 0, ima vektor 𝑚�� nasprotno usmeritev kot vektor ��.

Lastnosti: - asociativnost v skalarnem faktorju: 𝑚(𝑛��) = 𝑛(𝑚��) = (𝑚𝑛)�� - distributivnost v skalarnem faktorju: (𝑚 + 𝑛)�� = 𝑚�� + 𝑛��

- distributivnost v vektorskem faktorju: 𝑚(�� + ��) = 𝑚�� + 𝑚��

Vektorja sta kolinearna (vzporedna), če ležita na vzporednih premicah. Če jih premaknemo v skupno

začetno točko, ležita na isti premici.

Enotski vektor je vektor, ki ima dolžino 1.

3. Definirajte linearno kombinacijo. Kaj je baza ravnine (prostora)? Na koliko načinov lahko izrazimo

vektor kot linearno kombinacijo danih baznih vektorjev v ravnini (v prostoru)? Kaj je ortonormirana

baza?

Naj bosta �� in �� dva vektorja ter 𝑚 in 𝑛 realni števili. Linearna kombinacija vektorjev �� in �� je

vektor 𝑚�� + 𝑛��. Števili 𝑚 in 𝑛 imenujemo koeficienta ali komponenti linearne kombinacije.

Linearna kombinacija treh vektorjev ��, �� in 𝑐 je vektor 𝑚�� + 𝑛�� + 𝑜𝑐. 𝑚, 𝑛 in 𝑜 so realna števila. Imenujemo jih koeficienti ali komponente linearne kombinacije. Naj bodo ��1, ��2, … , ��𝑛 vektorji in 𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 realna števila. Linearna kombinacija danih vektorjev je vektor 𝑚1��1 +𝑚2��2 +⋯+𝑚𝑛��𝑛. Baza ravnine sta dva nekolinearna vektorja. Vsak vektor v ravnini lahko izrazimo kot linearno

kombinacijo baznih vektorjev �� in �� natanko na en način: 𝑐 = 𝑚�� + 𝑛��. Baza prostora so trije nekomplanarni vektorji. Vsak vektor v prostoru lahko izrazimo kot linearno

kombinacijo baznih vektorjev �� , �� in 𝑐 natanko na en način: 𝑑 = 𝑚�� + 𝑛�� + 𝑜𝑐. Ortonormirano bazo sestavljajo enotski vektorji, ki so med seboj paroma pravokotni. V ravnini označimo dva enotska, med seboj pravokotna vektorja 𝑖 in 𝑗. Tvorita ortonormirano bazo v ravnini. Velja 𝑖 ∙ 𝑗 = 0 in 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 1. Poljuben vektor v ravnini lahko zapišemo z linearno kombinacijo �� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗. Zapis poenostavimo �� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 = (𝑎1, 𝑎2).

Vektorje ortonormirane baze v prostoru označimo navadno z 𝑖 , 𝑗 in ��. So torej med seboj pravokotni

enotski vektorji. Zato je 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑖 ∙ �� = 𝑗 ∙ �� = 0 in 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = �� ∙ �� = 1. Poljuben vektor v prostoru

lahko zapišemo z linearno kombinacijo �� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3��. Zapis poenostavimo �� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 +

𝑎3�� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3). 4. → Definirajte linearno kombinacijo vektorjev. Kdaj so vektorji v ravnini (v prostoru) linearno

neodvisni? Kaj je baza ravnine (prostora)? Na koliko načinov lahko izrazimo vektor kot linearno

kombinacijo danih baznih vektorjev v ravnini (v prostoru)?

Naj bosta �� in �� dva vektorja ter 𝑚 in 𝑛 realni števili. Linearna kombinacija vektorjev �� in �� je

vektor 𝑚�� + 𝑛��. Števili 𝑚 in 𝑛 imenujemo koeficienta ali komponenti linearne kombinacije.

Linearna kombinacija treh vektorjev ��, �� in 𝑐 je vektor 𝑚�� + 𝑛�� + 𝑜𝑐. 𝑚, 𝑛 in 𝑜 so realna števila. Imenujemo jih koeficienti ali komponente linearne kombinacije.

Naj bodo ��1, ��2, … , ��𝑛 vektorji in 𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 realna števila. Linearna kombinacija danih vektorjev je vektor 𝑚1��1 +𝑚2��2 +⋯+𝑚𝑛��𝑛. Definicija: Dani vektorji so med sabo linearno neodvisni, če se nobenega izmed njih ne da zapisati kot

linearno kombinacijo ostalih.

Izrek: Vektorja �� in �� sta linearno neodvisna natanko takrat, ko je linearna kombinacija

𝑚�� + 𝑛�� = 0 samo, če je 𝑚 = 𝑛 = 0.

Vektorji ��, �� in 𝑐 so linearno neodvisni natanko takrat, ko je linearna kombinacija

𝑚�� + 𝑛�� + 𝑜𝑐 = 0 samo, če je 𝑚 = 𝑛 = 𝑜 = 0. Baza ravnine sta dva poljubna nevzporedna oz. nekolinearna vektorja. Ravnina je dvorazsežna.

Baza prostora so trije poljubni vektorji, ki ne ležijo v isti ravnini oz. trije nekomplanarni vektorji. Prostor

je trirazsežen.

Vsak vektor lahko izrazimo kot linearno kombinacijo danih baznih vektorjev na natanko en način. 5. Opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Kaj je krajevni vektor točke 𝐴? Zapišite krajevni

vektor točke 𝐴 v ortonormirani bazi. Kakšna je zveza s koordinatami točke 𝐴?

Koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne premice, ki se sekajo v isti točki. To točko imenujemo izhodišče koordinatnega sistema. Premice imenujemo os 𝑥 ali abscisna os, os 𝑦 ali ordinatna os in os 𝑧 ali aplikatna os. Na vsaki osi si izberemo enoto. Vsaki točki prostora lahko priredimo natanko določeno urejeno trojico števil in obratno, vsaki urejeni

trojici števil pripada natanko ena točka v prostoru.

Krajevni vektor točke 𝐴 je vektor 𝑟𝐴, ki ima začetno točko v izhodišču koordinatnega sistema, končno točko pa v točki 𝐴. Naj bo 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) točka v prostoru, potem je krajevni vektor točke 𝐴:

𝑟𝐴 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3).

Komponente krajevnega vektorja so enake koordinatam končne točke tega vektorja. 6. → Izrazite koordinate razpolovišča daljice 𝐴𝐵 (v prostoru) s koordinatami krajišč 𝐴 in 𝐵. Formulo

izpeljite z vektorji.

Krajišči daljice 𝐴𝐵 naj bosta točki 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) in 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), razpolovišče daljice pa naj bo točka

𝑆. Točka 𝑂 naj bo izhodišče koordinatnega sistema. Krajevni vektor točke 𝑆 lahko izrazimo

𝑟𝑆 = 𝑟𝐴 +1

2𝐴𝐵 =

= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) +1

2(𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2, 𝑏3 − 𝑎3) =

𝑟𝐴 = (𝑎1 +𝑏1−𝑎1

2, 𝑎2 +

𝑏2−𝑎2

2, 𝑎3 +

𝑏3−𝑎3

2) =

𝑟𝑆 = (𝑎1+𝑏1

2,𝑎2+𝑏2

2,𝑎3+𝑏3

2).

Zato je 𝑆 (𝑎1+𝑏1

2,𝑎2+𝑏2

2,𝑎3+𝑏3

2).

7. → Izrazite koordinate težišča trikotnika 𝐴𝐵𝐶 (v prostoru) s koordinatami oglišč 𝐴, 𝐵 in 𝐶. Formulo

izpeljite z vektorji.

Oglišča trikotnika 𝐴𝐵𝐶 naj bodo točke 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) in 𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3). Točka 𝑂 naj bo izhodišče koordinatnega sistema, točka 𝐸 razpolovišče stranice 𝐵𝐶 in točka 𝑇 težišče trikotnika.

Potem je 𝐸 (𝑏1+𝑐1

2,𝑏2+𝑐2

2,𝑏3+𝑐3

2). Težišče 𝑇 razdeli težiščnico 𝐴𝐸 v razmerju |𝐴𝑇| ∶ |𝑇𝐸| = 2 ∶ 1.

Krajevni vektor težišča 𝑇 lahko izrazimo

𝑟𝑇 = 𝑟𝐴 + 𝐴𝑇 = 𝑟𝐴 +2

3𝐴𝐸 =

= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) +2

3(𝑏1+𝑐1

2− 𝑎1,

𝑏2+𝑐2

2− 𝑎2,

𝑏3+𝑐3

2− 𝑎3) =

= (𝑎1 +𝑏1+𝑐1−2𝑎1

3, 𝑎2 +

𝑏2+𝑐2−2𝑎2

2, 𝑎3 +

𝑏3+𝑐3−2𝑎3

2) =

𝑟𝐴 = (𝑎1+𝑏1+𝑐1

3,𝑎2+𝑏2+𝑐2

3,𝑎3+𝑏3+𝑐3

3).

𝑟𝑇 Zato je 𝑇 (𝑎1+𝑏1+𝑐1

3,𝑎2+𝑏2+𝑐2

3,𝑎3+𝑏3+𝑐3

3).

8. Definirajte skalarni produkt in naštejte njegove lastnosti. Navedite kriterij za ugotavljanje

pravokotnosti dveh vektorjev.

Skalarni produkt vektorjev �� in �� je produkt dolžin vektorjev �� in �� in kosinusa vmesnega kota:

�� ∙ �� = |��||��| cos𝜑 = 𝑎𝑏 cos𝜑.

Skalarni produkt vektorjev �� in �� je realno število.

Skalarni produkt vektorjev �� in �� je enak tudi produktu dolžine vektorja �� in pravokotne projekcije

vektorja �� na smer vektorja ��, prav tako pa tudi produktu dolžine vektorja �� in pravokotne projekcije

vektorja �� na smer vektorja ��:

�� ∙ �� =|��| 𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� =|��| 𝑝𝑟𝑜𝑗�� ��.

�� ��

𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� = 𝑏 cos𝜑 𝜑 𝜑

𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� �� 𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� ��

𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� > 0 𝑝𝑟𝑜𝑗�� �� < 0

Predznak skalarnega produkta je odvisen od velikosti kota 𝜑. Če je kot 0° ≤ 𝜑 < 90°, je �� ∙ �� > 0,

če je kot 90° < 𝜑 ≤ 180°, je �� ∙ �� < 0, če je kot 𝜑 = 90°, je �� ∙ �� = 0.

Pravila za računanje in lastnosti skalarnega produkta:

�� ∙ �� = �� ∙ �� komutativnost

Skalarni produkt ni asociativen.

(𝑚��) ∙ �� = �� ∙ (𝑚��) = 𝑚(�� ∙ ��) homogenost

(�� + ��) ∙ 𝑐 = �� ∙ 𝑐 + �� ∙ 𝑐 distributivnost

Ker je �� ∙ �� = 𝑎2, je dolžina vektorja 𝑎 = |��| = √�� ∙ ��.

Kot med vektorjema je cos𝜑 = ��∙��

𝑎∙𝑏.

Vektorja sta pravokotna natanko takrat, ko je njun skalarni produkt enak nič.

9. Kako izračunamo skalarni produkt vektorjev, izraženih z ortonormirano bazo? Kako izračunamo

dolžino vektorja in kot med vektorjema v tem primeru?

Naj bosta �� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) in �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) vektorja, izražena z ortonormirano bazo.

Skalarni produkt vektorjev �� in �� je �� ∙ �� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3.

Dolžina vektorja �� je 𝑎 = |��| = √�� ∙ �� = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32.

Kot med vektorjema izračunamo po formuli cos𝜑 = ��∙��

𝑎∙𝑏 =

𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3

√𝑎12+𝑎2

2+𝑎32 √𝑏1

2+𝑏22+𝑏3

2 .

PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI

1. Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini in izpeljite formulo za računanje razdalje med

dvema točkama.

Koordinatni sistem v ravnini tvorita dve med seboj pravokotni premici. Njuno presečišče imenujemo izhodišče koordinatnega sistema. Premici imenujemo koordinatni osi, eno os 𝑥 ali abscisna os in drugo os 𝑦 ali ordinatna os. Na obeh oseh si izberemo enoto. Vsaki točki ravnine lahko priredimo natanko določen urejen par števil in obratno, vsakemu urejenemu

paru števila pripada natanko ena točka v prostoru.

Naj bosta točki 𝐴(𝑥1, 𝑦1) in 𝐵(𝑥2, 𝑦2) poljubni točki v koordinatnem sistemu.

Razdalja med točkama:

|𝐴𝐵| = 𝐴𝐵 = 𝑑(𝐴, 𝐵)

Po Pitagorovem izreku je 𝑑(𝐴, 𝐵)2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2. Zato je

𝑑 = 𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2.

2. Kaj je množica vseh točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini, ki ustrezajo posameznim pogojem:

a) 𝑦 = 0,

b) 𝑥 > 0,

c) 𝑥 ≤ 0 in 𝑦 ≥ 0,

d) 𝑥 = −2,

e) 2 ≤ 𝑦 ≤ 4,

f) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4?

a) Abscisna os. b) Desna polravnina koordinatnega c) Drugi kvadrant koordinatnega sistema brez ordinatne osi. sistema vključno z osema.

d) Premica, vzporedna ordinatni e) Pas, vzporeden osi 𝑥, med f) Krog s središčem v izhodišču osi, ki poteka skozi točko premicama 𝑦 = 2 in 𝑦 = 4 koordinatnega sistema s 𝑀(−2, 0). vključno s tema premicama. polmerom 2 vključno s krožnico.

FUNKCIJE

1. Opredelite pojem funkcije (preslikave, transformacije) 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ ter njenega definicijskega

območja in zaloge vrednosti. Kaj je graf funkcije?

Funkcija, preslikava ali transformacija množice 𝒜 v množico ℬ je predpis, ki vsakemu elementu iz množice 𝒜 priredi natanko določen element iz množice ℬ.

Definicijsko območje 𝒟𝑓 je množica vseh originalov funkcije. 𝒟𝑓 = 𝒜

Zaloga vrednosti 𝒵𝑓 funkcije f je množica vseh slik dane funkcije. 𝒵𝑓 = {𝑓(𝑥); 𝑥 ∈ 𝒜}

Graf funkcije je množica vseh urejenih parov, pri katerih je na prvem mestu element prve množice, na drugem pa ustrezna slika. 𝐺𝑓 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∈ 𝒜 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}

2. → Kdaj je funkcija 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ injektivna, surjektivna, bijektivna?

Funkcija 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ je injektivna (injekcija), če se vsaka dva različna elementa prve množice preslikata v dva različna elementa druge množice.

Funkcija 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ je surjektivna (surjekcija), če je vsak element druge množice slika vsaj enega elementa prve množice.

Funkcija 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ je bijektivna (bijekcija), če je injektivna in surjektivna. Vsak element druge

množice je slika natanko enega elementa prve množice.

3. Kdaj je realna funkcija realne spremenljivke naraščajoča, padajoča, omejena, neomejena? (Pojme

lahko razložite na primerih.)

Funkcija je naraščajoča na nekem intervalu, če za vsaka 𝑥1 in 𝑥2 s tega intervala velja: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2). (strogo naraščajoča … 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2))

Primer: 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

Funkcija je padajoča na nekem intervalu, če za vsaka 𝑥1 in 𝑥2 s tega intervala velja: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2). (strogo padajoča … 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2))

Primer: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5.

Funkcija je navzgor omejena, če obstaja realno število 𝑀, da za vsak 𝑥 ∈ 𝒟𝑓 velja 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.

Primer: 𝑓(𝑥) = −𝑥2.

Funkcija je navzdol omejena, če obstaja realno število 𝑚, da za vsak 𝑥 ∈ 𝒟𝑓 velja 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚.

Primer: 𝑓(𝑥) = 𝑥4.

Funkcija je omejena, če je omejena navzgor in navzdol, torej če obstajata realni števili 𝑚 in 𝑀, da za vsak 𝑥 ∈ 𝒟𝑓 velja 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.

Primer: 𝑓(𝑥) = arc sin 𝑥.

4. Kdaj je funkcija soda in kdaj liha? Kakšni so grafi teh funkcij?

Funkcija je soda, če za vsak 𝑥 iz definicijskega območja velja 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (za negativna števila ima enake vrednosti kot za nasprotna pozitivna števila). Graf sode funkcije je simetričen glede na os 𝑦.

𝑓(𝑥) =1

2(𝑥4 − 4𝑥2)

Funkcija je liha, če za vsak 𝑥 iz definicijskega območja velja 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (za negativna števila ima nasprotne vrednosti kot za nasprotna pozitivna števila). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče koordinatnega sistema.

𝑓(𝑥) =1

2(𝑥3 − 4𝑥)

5. → Opredelite pojem inverzne funkcije. Kdaj inverzna funkcija obstaja? Navedite vsaj dva para

inverznih funkcij.

Inverzna ali obratna funkcija k dani funkciji je funkcija, ki preslika ravno obratno kot dana funkcija. Če dana funkcija preslika 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ, 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑦, potem inverzna funkcija preslika 𝑓−1 ∶ ℬ → 𝒜 , 𝑓−1 ∶ 𝑦 ⟼ 𝑥.

Da inverzna funkcija obstaja, mora biti dana funkcija bijektivna. Če ni surjektivna, skrčimo kodomeno na zalogo vrednosti, da postane funkcija surjektivna. Če ni injektivna, skrčimo definicijsko območje tako, da postane funkcija injektivna (odločiti se moramo za eno možnost).

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 ⟷ 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 − 5 𝑓(𝑥) = sin𝑥 ⟷ 𝑓−1(𝑥) = arc sin 𝑥

𝑔(𝑥) =𝑥

3 ⟷ 𝑔−1(𝑥) = 3𝑥 𝑔(𝑥) = 3𝑥 ⟷ 𝑔−1(𝑥) = log3𝑥

ℎ(𝑥) = 𝑥5 ⟷ ℎ−1(𝑥) = √𝑥5

6. → Opišite, kako iz grafa 𝑦 = 𝑓(𝑥) dobimo grafe:

a) 𝑦 = −𝑓(𝑥),

b) 𝑦 = 𝑓(−𝑥),

c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐,

d) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐),

e) 𝑦 = 𝑘 ⋅ 𝑓(𝑥), 𝑐, 𝑘 ∈ ℝ+

a) Graf 𝑦 = 𝑓(𝑥) prezrcalimo preko os 𝑥.

b) Graf 𝑦 = 𝑓(𝑥) prezrcalimo preko osi 𝑦.

c) Graf 𝑦 = 𝑓(𝑥) vzporedno premaknemo za 𝑐 navzgor, če je 𝑐 > 0.

d) Graf 𝑦 = 𝑓(𝑥) vzporedno premaknemo za 𝑐 v desno, če je 𝑐 > 0.

e) Graf 𝑦 = 𝑓(𝑥) raztegnemo 𝑘-krat v smeri osi 𝑦. 7. → Opišite sestavljeno funkcijo 𝑔 ∘ 𝑓, če je 𝑓 ∶ 𝒜 → ℬ, 𝑔 ∶ ℬ → 𝒞

Naj funkcija 𝑓 preslika 𝒜 → ℬ, funkcija 𝑔 pa ℬ → 𝒞, lahko tudi 𝒵𝑓 → 𝒞. Sestavljena funkcija ali kompozitum funkcij 𝑔 ∘ 𝑓 preslika 𝒜 → 𝒞. Preslika tako, kot bi najprej funkcije 𝑓 vsakemu elementu 𝑥 množice 𝒜 priredila natanko določen element 𝑓(𝑥) množice ℬ, nato pa bi funkcija 𝑔 vsaki sliki 𝑓(𝑥) iz množice ℬ priredila natanko določen element 𝑔(𝑓(𝑥)) množico 𝒞.

𝑓: 𝒜 → ℬ 𝑔: 𝒵𝑓 → 𝒞

𝑔 ∘ 𝑓: 𝒜 → 𝒞 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

8. → Opredelite pojem limita funkcije in navedite pravila za računanje limite vsote, razlike, produkta

in kvocienta funkcij.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏, če k vsaki okolici te točke 𝑏, obstaja takšna okolica točke 𝑎, da je za vsak 𝑥 iz te okolice

točke 𝑎, 𝑥 ≠ 𝑎, funkcijska vrednost 𝑓(𝑥) v izbrani okolici točke 𝑏.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏, če za vsako pozitivno število 휀 > 0, obstaja pozitivno število 𝛿 > 0 , da za vsak 𝑥:

𝑥 ≠ 𝑎 in |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 velja, da je |𝑓(𝑥) − 𝑏| < 휀.

Pravila za računanje:

Limita vsote, razlike, produkta funkcij je vsota, razlika, produkt limit posameznih funkcij, če posamezne

limite obstajajo.

lim𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Limita kvocienta funkcij je enaka kvocientu limit posameznih funkcij, če ti dve limiti obstajata in je limita imenovalca (delitelja) različna od nič.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥), lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

9. → Razložite pojem zveznosti funkcije. Navedite primer funkcije, ki je nezvezna samo v eni točki.

Funkcija je v točki 𝑎 zvezna, če je v tej točki definirana in je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Graf je v tej točki nepretrgana krivulja. Za majhne spremembe neodvisne spremenljivke se vrednost funkcije malo spremeni.

Funkcija je zvezna na intervalu, če je zvezna v vsaki točki tega intervala. Graf take funkcije je na celem intervali nepretrgana krivulja.

Primer funkcije, ki je nezvezna samo v eni točki: racionalna funkcija, npr. 𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥

𝑥−2 za 𝑥 = 2.

10. → Kaj lahko sklepate o grafu funkcije 𝑓, če je:

a) lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑎 ali lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑎,

b) lim𝑥→𝑏

𝑓(𝑥) = ∞ ali lim𝑥→𝑏

𝑓(𝑥) = −∞,

c) lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)?

a) To je limita v neskončnosti. Graf ima vodoravno asimptoto 𝑦 = 𝑎.

b) To je neskončna limita. Graf ima pol sode stopnje 𝑥 = 𝑏.

c) Ta funkcija ima limito, ki je enaka funkcijski vrednosti v dani točki. Funkcija je v točki c zvezna.

Linearna funkcija

11. Definirajte linearno funkcijo. Kaj je njen graf? Kako je graf odvisen od smernega koeficienta?

Kakšna sta grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma?

Linearna funkcija je funkcija, ki realna števila preslika v realna števila in je podana s predpisom 𝑓(𝑥) =𝑘𝑥 + 𝑛.

𝑥… neodvisna spremenljivka

𝑘, 𝑛 ∈ ℝ… dani števili, koeficienta

𝑘… smerni koeficient

𝑛… začetna vrednost ali odsek na ordinatni osi

Graf linearne funkcije je premica. Graf linearne funkcije je lahko katerakoli premica, razen vzporednice z osjo 𝑦. Smerni koeficient pove naklon premice. Če je smerni koeficient pozitiven, je funkcija naraščajoča, če pa je negativen, je funkcija padajoča. Če je smerni koeficient enak 0, je funkcija konstantna, graf je vzporednica z osjo 𝑥. Grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma sta vzporedni premici.

12. Napišite implicitno, eksplicitno in odsekovno enačbo premice. Enačbe katerih premic lahko

zapišemo v teh oblikah?

Implicitna oblika: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 in 𝑏 nista hkrati 0

Eksplicitna oblika: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛, 𝑘, 𝑛 ∈ ℝ

odsekovna ali segmentna oblika: 𝑥

𝑚 +

𝑦

𝑛= 1, 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ,𝑚, 𝑛 ≠ 0

V implicitni obliki lahko zapišemo enačbe vseh premic. V eksplicitni obliki ne moremo zapisati enačb premic, ki so vzporedne ordinatni osi. Te imajo enačbo 𝑥 = 𝑎. V odsekovni obliki ne moremo zapisati enačb premic, ki so ali vzporedne s koordinatnima osema ali pa potekajo skozi koordinatno izhodišče.

13. Kako računamo kot med premicama v danem koordinatnem sistemu v ravnini? Kdaj sta premici

vzporedni in kdaj pravokotni?

Naklonski kot premice je kot med pozitivnim poltrakom abscisne osi in premico, merjen v pozitivni smeri.

Za naklonski kot 𝛼 velja tan𝛼 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1= 𝑘. Tangens naklonskega kota premice je enak smernemu

koeficientu premice.

Kot 𝜑 med premicama s smernima koeficientoma 𝑘1 in 𝑘2 izračunamo po formuli

tan𝜑 = |𝑘1 − 𝑘21 + 𝑘1𝑘2

| = |𝑘2 − 𝑘11 + 𝑘1𝑘2

|.

Premici sta vzporedni: 𝜑 = 0° ⟺ tan𝜑 = 0 ⟺ 𝑘1 = 𝑘2

Premici sta pravokotni: 𝜑 = 90° ⟺ tan𝜑 ne obstaja ⟺ 1+ 𝑘1𝑘2 = 0 ⟺ 𝑘2 = −1

𝑘1

14. Zapišite družino vseh tistih premic v ravnini, ki:

a) potekajo skozi točko 𝑇0 (𝑥0, 𝑦0),

b) so vzporedne dani premici.

a) To je šop premic: premice 𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0), 𝑘 ∈ ℝ in vzporednica z ordinatno osjo 𝑥 = 𝑥0.

b) To je snop premic oz. množica premic z enakim smernim koeficientom 𝑘: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛, 𝑛 ∈ ℝ. 15. → Koliko rešitev ima enačba 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 glede na različne vrednosti 𝑎 in 𝑏.

Enačba 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , je linearna enačba z eno neznanko.

Če je 𝑎 ≠ 0 in 𝑏 ∈ ℝ , je enačba enolično rešljiva: 𝑥 = −𝑏

𝑎.

Če je 𝑎 = 0 in 𝑏 ≠ 0, enačba nima nobene rešitve.

Če je 𝑎 = 0 in 𝑏 = 0, so rešitve enačbe vsa realna števila.

16. Kako rešujemo linearne neenačbe z eno neznanko? Kaj so množice rešitev?

Pravila za reševanje neenačb:

Na obeh straneh neenačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število.

Kakšen člen lahko prestavimo z ene strani neenačaja na drugo stran z nasprotnim predznakom.

Na obeh straneh neenačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom. Če na

obeh straneh pomnožimo z istim negativnim številom, moramo neenačaj obrniti.

Rešitve linearne neenačbe:

poltrak rešitev: poltrak v levo ali v desno,

vsako realno število je rešitev,

neenačba nima nobene rešitve.

17. →Obravnavajte linearno neenačbo 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 (𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0).

Linearno neenačbo 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 (𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0) rešujemo jo tako, da jo prevedemo v obliko 𝑎𝑥 ≥ −𝑏 (𝑎𝑥 ≤ −𝑏), potem pa obravnavamo glede na število 𝑎.

Če je 𝑎 > 0, delimo z 𝑎, neenačaj se ohrani. Rešitev je poltrak [−𝑏

𝑎, ∞) ((−∞,−

𝑏

𝑎]).

Če je 𝑎 = 0, imamo dve možnosti:

ni rešitve, če je 𝑏 < 0 (𝑏 > 0),

vsa realna števila rešijo neenačbo, če je 𝑏 ≥ 0 (𝑏 ≤ 0).

Če je 𝑎 < 0, delimo z 𝑎, neenačaj se obrne. Rešitev je poltrak (−∞,−𝑏

𝑎 ] ([−

𝑏

𝑎, ∞) ).

18. Zapišite sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Kako rešujemo take sisteme? Koliko

rešitev ima sistem? Razložite njegov geometrijski pomen.

Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓

Takšne sisteme rešujemo:

z načinom nasprotnih koeficientov,

z zamenjalnim načinom,

s primerjalnim načinom,

z determinantami,

grafično.

Če 𝑎 in 𝑏 nista hkrati 0 ter 𝑐 in 𝑑 nista hkrati 0, pomenita enačbi dve premici v ravnini. Rešitev

sistema sta koordinati presečišča teh dveh premic. Rešitve so lahko:

Ena rešitev: premici se sekata v eni točki.

Sistem nima rešitve: premici sta vzporedni ali pa je vsaj ena od enačb oblike

0𝑥 + 0𝑦 = 𝑒, 𝑒 ≠ 0.

Nešteto rešitev: vse točke na premici (njihove abscise in ordinate), če enačbi pomenita isto

premico ali pa ena enačba pomeni premico, druga pa je oblike 0𝑥 + 0𝑦 = 0.

Neskončno rešitev: vse točke v ravnini (njihove abscise in ordinate), če je sistem oblike

0𝑥 + 0𝑦 = 0

0𝑥 + 0𝑦 = 0.

Potenčna in korenska funkcija

19. Definirajte potenčno funkcijo z naravnim (sodim, lihim) eksponentom. Narišite grafa za

eksponenta 𝑛 = 2, 3 in navedite njune osnovne lastnosti.

Potenčna funkcija z naravnim eksponentom je podana s predpisom: 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ

Potenčna funkcija z naravnim sodim in lihim eksponentom je definirana za vsa realna števila.

Potenčna funkcija s sodimi eksponenti:

𝒟𝑓 = ℝ, 𝒵𝑓 = [0,∞)

grafi so parabole, 𝑦 = 𝑥2 potekajo skozi 𝑇1(−1,1), 𝑇2(0,0) in 𝑇3(1,1), 𝑦 = 𝑥

4

so pozitivne funkcije, razen 𝑥 = 0 je ničla, 𝑦 = 𝑥6

na intervalu (-∞, 0) so padajoče,

na intervalu (0,∞ ) so naraščajoče,

so sode funkcije; grafi so simetrični glede na os 𝑦,

niso niti injektivne niti surjektivne funkcije.

Potenčna funkcija z lihimi eksponenti: 𝒟𝑓 = ℝ, 𝒵𝑓 = ℝ,

grafi so parabole, razen za 𝑓(𝑥) = 𝑥 (graf te je premica),

grafi potekajo skozi 𝑇1(−1,−1), 𝑇2(0,0) in 𝑇3(1,1),

na intervalu (-∞, 0) so negativne, na intervalu (0,∞ )

pa pozitivne funkcije,

so naraščajoče funkcije,

so lihe funkcije; grafi so simetrični glede na 𝑦 = 𝑥

izhodišče koordinatnega sistema, 𝑦 = 𝑥3

so bijektivne funkcije. 𝑦 = 𝑥5

20. → Definirajte potenčno funkcijo z naravnim eksponentom. Pokažite, katere potenčne funkcije so

lihe oziroma sode, ter z odvodom poiščite intervale naraščanja in padanja za te funkcije.

Potenčna funkcija stopnje 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, je preslikava 𝑓:ℝ → ℝ, dana s predpisom 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛.

Potenčne funkcije z lihim eksponentom: 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑛−1

- So lihe funkcije: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2𝑛−1 = −𝑥2𝑛−1 = −𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ .

- Odvod funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑥 je 𝑓′(𝑥) = 1. Zato je funkcija povsod strogo naraščajoča.

- Ker je eksponent odvoda 𝑓′(𝑥) = (2𝑛 − 1) ∙ 𝑥2𝑛−2 sodo število, je odvod

potenčne funkcije za vsak 𝑥 ≠ 0 pozitiven. Zato je funkcija strogo naraščajoča na

celotni realni osi, razen za 𝑥 = 0. Ker je 𝑓′(0) = 0, je točka 0 stacionarna točka in

sicer prevoj te funkcije.

Potenčne funkcije s sodim eksponentom: 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑛

- So sode funkcije: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2𝑛 = 𝑥2𝑛 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ .

- Eksponent odvoda potenčne funkcije s sodim eksponentom 𝑓′(𝑥) = 2𝑛 ∙ 𝑥2𝑛−1 je

liho število. Odvod je na intervalu (−∞, 0) negativen, zato je na tem intervalu

potenčna funkcija strogo padajoča. Na intervalu (0,∞) je odvod pozitiven, zato je na

tem intervalu potenčna funkcija strogo naraščajoča. Ker je 𝑓′(0) = 0, je točka 0

stacionarna točka in sicer minimum te funkcije.

21. V istem koordinatnem sistemu narišite grafe potenčnih funkcij za eksponente 𝑛 = −1,−2,−3 in

navedite njihove osnovne lastnosti. Kaj imajo skupnega vse potenčne funkcije z negativnim

eksponentom?

Potenčne funkcije z negativnimi lihimi eksponenti:

- 𝒟𝑓 = ℝ \{0}, 𝒵𝑓 = ℝ\{0}, 𝑦 = 𝑥−1

- grafi so hiperbole, 𝑦 = 𝑥−2 - grafi potekajo skozi točki 𝑇1(−1,−1) in 𝑇2(1,1), 𝑦 = 𝑥

−3 - 𝑥 = 0 je pol teh funkcij, - os 𝑥 je asimptota, - na intervalu (−∞, 0) so negativne,

na intervalu (0,∞) so pozitivne funkcije, - so padajoče funkcije na intervalih

(−∞, 0) in (0,∞) , - so lihe funkcije; grafi so simetrični

glede na izhodišče koordinatnega sistema, - si injektivne funkcije, niso pa surjektivne.

Potenčne funkcije z negativnimi sodimi eksponenti:

- 𝒟𝑓 = ℝ \{0}, 𝒵𝑓 = (0,∞),

- grafi so hiperbole, - grafi potekajo skozi točki 𝑇1(−1,1) in 𝑇2(1,1), - 𝑥 = 0 je pol teh funkcij, - os 𝑥 je asimptota, - so pozitivne funkcije, - na intervalu (−∞, 0) so naraščajoče, na intervalu (0,∞) so padajoče funkcije, - so sode funkcije; grafi so simetrični glede na ordinatno os, - niso niti injektivne niti surjektivne funkcije.

22. Definirajte korensko funkcijo 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ). Narišite graf za 𝑛 = 2, 𝑛 = 3 in navedite njuni

definicijski območji in zalogi vrednosti.

Korenska funkcija je inverzna k potenčni funkciji z naravnim eksponentom.

Torej je 𝑦 = √𝑥𝑛

⟺ 𝑦𝑛 = 𝑥, 𝑛 ∈ ℕ.

𝑓(𝑥) = √𝑥

Funkcija 𝑓(𝑥) = √𝑥: 𝒟𝑓 = [0,∞), 𝒵𝑓 = [0,∞) 𝑓(𝑥) = √𝑥3

Funkcija 𝑓(𝑥) = √𝑥3

: 𝒟𝑓 = ℝ, 𝒟𝑓 = ℝ

Kvadratna funkcija

23. Kaj je kvadratna funkcija? Kaj je njeno definicijsko območje? Naštejte tri najpogostejše oblike

zapisa kvadratne funkcije in opišite pomen posameznih parametrov (konstant).

Kvadratna funkcija je realna funkcija, podana s predpisom

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ … koeficienti, 𝑎… vodilni koeficient

Definicijsko območje je 𝒟𝑓 = ℝ.

Najpogostejše oblike:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0 … splošna oblika

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 +𝑞 , 𝑎 ≠ 0 … temenska oblika

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) , 𝑎 ≠ 0 ... Viètovo pravilo, ničelna oblika, razcepna ali

faktorizirana oblika

Če je:

𝑎 > 0: funkcija je konveksna, graf oz. parabola je obrnjena navzgor

𝑎 < 0: funkcija je konkavna, graf oz. parabola je obrnjena navzdol

Če je:

|𝑎| velik: graf funkcije je strm (vrednosti funkcije hitro naraščajo ali padajo)

|𝑎| majhen: graf funkcije je položnejši (vrednosti funkcije počasi naraščajo ali padajo)

Parameter 𝑐 pove presečišče grafa z osjo 𝑦. Presečišče je točka 𝑇0(0, 𝑐).

Točka 𝑇(𝑝, 𝑞) je teme kvadratne funkcije. Za 𝑥 = 𝑝 ima funkcija največjo ali najmanjšo vrednost 𝑞.

𝑥1 in 𝑥2 sta ničli funkcije.

24. Zapišite splošno kvadratno funkcijo. Opišite pomen vodilnega koeficienta, prostega člena in

diskriminante kvadratne funkcije. Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, 𝑎 ≠ 0.

Splošna oblika kvadratne funkcije:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 =1

2𝑥2

𝑦 = 𝑥2 Graf kvadratne funkcije je parabola. 𝑦 = 3𝑥2 Oblika parabole je odvisna od vodilnega koeficienta 𝑎.

Če je:

𝑎 > 0: funkcija je konveksna, graf oz. parabola je obrnjena navzgor

𝑎 < 0: funkcija je konkavna, 𝑦 = −1

3𝑥2

graf oz. parabola je obrnjena navzdol 𝑦 = −𝑥2

𝑦 = −2𝑥2 Če je:

|𝑎| velik: graf funkcije je strm (vrednosti funkcije hitro naraščajo ali padajo)

|𝑎| majhen: graf funkcije je položnejši (vrednosti funkcije počasi naraščajo ali padajo)

Parameter 𝑐 pove presečišče grafa z osjo 𝑦. Presečišče je točka 𝑇0(0, 𝑐).

Z diskriminanto 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ugotovimo število ničel kvadratne funkcije.

Če je:

𝐷 > 0: kvadratna funkcija ima dve ničli oz. graf ima dve presečišči z osjo 𝑥,

𝐷 = 0: kvadratna funkcija ima eno ničlo šteto dvakrat oz. graf se dotika osi 𝑥,

𝐷 < 0: kvadratna funkcija nima ničel oz. graf nima presečišč z osjo 𝑥.

25. Kako izračunamo teme kvadratne funkcije? Zapišite temensko obliko kvadratne funkcije. → Izpeljite temensko obliko kvadratne funkcije.

Teme kvadratne funkcije 𝑇(𝑝, 𝑞) izračunamo tako, da zapišemo funkcijski predpis v temenski obliki

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞, 𝑎 ≠ 0. Lahko pa teme 𝑇(𝑝, 𝑞) izračunamo s formulami:

𝑝 = − 𝑏

2𝑎 , 𝑞 = −

𝐷

4𝑎 , 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Pretvorimo splošno obliko kvadratne funkcije v temensko:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎) = 𝑎 ((𝑥 +

𝑏

2𝑎)2−

𝑏2

4𝑎2+

𝑐

𝑎) =

= 𝑎 ((𝑥 + 𝑏

2𝑎)2−

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2) = 𝑎 (𝑥 +

𝑏

2𝑎)2−

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎= 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞, 𝑎 ≠ 0,

pri čemer je 𝑝 = −𝑏

2𝑎 , 𝑞 = −

𝐷

4𝑎

26. Zapišite kvadratno enačbo. Kako jo rešimo? Kako je z rešljivostjo v ℝ in kako v ℂ?

Kvadratna enačba: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

Kvadratno enačbo lahko rešimo z razcepom oz. Viètovim pravilom. Iz enačbe 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 dobimo rešitvi 𝑥1 in 𝑥2. Lahko pa enačbo rešimo po formuli

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥1,2 = −𝑏±√𝐷

2𝑎.

Rešitve kvadratne enačbe z realnimi koeficienti so odvisne od diskriminante. Če je:

𝐷 > 0, ima enačba dve različni realni rešitvi,

𝐷 = 0, ima enačba dve enaki realni rešitvi oz. eno rešitev šteto dvakrat,

𝐷 < 0, enačba nima realnih rešitev. Ima dve konjugirani kompleksni rešitvi.

V okviru ℂ ima vsaka kvadratna enačba dve rešitvi.

27. → Povejte Viètovi formuli za kvadratno enačbo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 in ju dokažite.

Če sta 𝑥₁ in 𝑥₂ ničli kvadratne funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, oziroma rešitvi kvadratne enačbe 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0, potem velja:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 ,

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

in 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2).

Dokaz: Ničli funkcije oz. rešitvi enačbe sta 𝑥1 = −𝑏+√𝐷

2𝑎 in 𝑥2 =

−𝑏−√𝐷

2𝑎 , kjer je 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

Potem je

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + √𝐷

2𝑎+−𝑏 − √𝐷

2𝑎=−2𝑏

2𝑎= −

𝑏

𝑎 ,

𝑥1𝑥2 =−𝑏 + √𝐷

2𝑎∙−𝑏 − √𝐷

2𝑎=(−𝑏)2 − 𝐷

4𝑎2=𝑏2−𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2=𝑐

𝑎

in

𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑎(𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2) = 𝑎 (𝑥

2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

28. Kako rešujemo kvadratne neenačbe? Kaj je množica rešitev? Pomagajte si s sliko.

Kvadratna neenačba ima obliko 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 ali 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 , 𝑎 ≠ 0.

Kvadratno neenačbo vedno preoblikujemo v eno od zgornjih neenačb. Izraze poenostavimo, vse člene prenesemo na eno stran neenačaja, na drugi strani naj bo samo 0. Če je 𝑎 < 0, lahko na obeh straneh neenačaja pomnožimo z −1. S tem dosežemo, da je vodilni koeficient pozitiven. Neenačbo lahko rešimo:

Kvadratni izraz razstavimo in kvadratno neenačbo prevedemo v reševanje sistemov linearnih neenačb. Če izraza ne moremo razstaviti na pamet, izračunamo rešitvi 𝑥1 in 𝑥2 kvadratne enačbe 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 po formulah za reševanje kvadratne enačbe in uporabimo Viètovo pravilo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2).

Kvadratni izraz razstavimo kot v prejšnjem primeru, narišemo na številski premici rešitvi 𝑥1 in 𝑥2 kvadratne enačbe in ugotovimo, na katerih intervalih je izraz pozitiven, nenegativen…

Izračunamo ničli in narišemo graf kvadratne funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ter iz grafa ugotovimo, na katerih intervalih je 𝑓(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑓(𝑥) < 0 ali 𝑓(𝑥) ≤ 0.

Rešitve kvadratne neenačbe so lahko:

odprt ali zaprt interval na realni osi,

unija dveh poltrakov,

eno samo realno število,

vsa realna števila razen enega števila,

vsa realna števila,

nobeno realno število ni rešitev.

Množica rešitev kvadratne neenačbe je odvisna od neenačaja in od diskriminante kvadratnega izraza. V kvadratni neenačbi naj bo neenačaj poljuben, vodilni koeficient naj bo 𝑎 > 0 in ustrezna kvadratna funkcija 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Če je:

𝐷 > 0 Kvadratna funkcija 𝑓 ima dve različni realni ničli

𝑥1 in 𝑥2. Naj bo 𝑥1 < 𝑥2.

Za 𝑓(𝑥) > 0 (𝑓(𝑥) ≥ 0) je rešitev unija dveh

poltrakov (−∞, 𝑥1) ∪ (𝑥2, ∞) ((−∞, 𝑥1] ∪ [𝑥2, ∞)).

𝑥1 𝑥2 Za 𝑓(𝑥) < 0 (𝑓(𝑥) ≤ 0) je rešitev interval ( 𝑥1, 𝑥2) ([𝑥1, 𝑥2]).

𝐷 = 0 Kvadratna funkcija 𝑓 ima dve enaki realni ničli oz.

eno dvakrat šteto ničlo 𝑥1,2.

Za 𝑓(𝑥) > 0 (𝑓(𝑥) ≥ 0) so rešitve vsa realna števila

razen 𝑥1,2, torej ℝ− {𝑥1,2} (vsa realna števila).

Za 𝑓(𝑥) < 0 (𝑓(𝑥) ≤ 0) neenačba nima rešitev (število 𝑥1,2). 𝑥1,2

𝐷 < 0 Kvadratna funkcija 𝑓 nima realnih ničel. Za 𝑓(𝑥) > 0 ali 𝑓(𝑥) ≥ 0 je rešitev množica vseh realnih števil.

Za 𝑓(𝑥) < 0 ali 𝑓(𝑥) ≤ 0 neenačba nima rešitve.

29. → Za katere 𝑥 doseže kvadratna funkcija ekstremno vrednost? Koliko je ta ekstremna vrednost in

kdaj je to minimum in kdaj maksimum?

Kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost za 𝑥 = 𝑝 = −𝑏

2𝑎 .

Ekstremna vrednost je toliko, kolikor je funkcijska vrednost kvadratne funkcije za 𝑥 = 𝑝. Ta

ekstremna vrednost je 𝑦 = 𝑞 = −𝐷

4𝑎.

Na grafu kvadratne funkcije je ta točka teme 𝑇(𝑝, 𝑞), torej 𝑇 (−𝑏

2𝑎, −

𝐷

4𝑎).

Ekstremna vrednost je minimum, če je 𝑎 > 0. Funkcija je konveksna. V temenu je minimum.

Ekstremna vrednost je maksimum, če je 𝑎 < 0. Funkcija je konkavna. V temenu je maksimum.

Eksponentna in logaritemska funkcija

30. Definirajte eksponentno funkcijo, povejte njeno definicijsko območje in zalogo vrednosti. Narišite

njen graf in opišite njene osnovne lastnosti.

Eksponentna funkcija je funkcija 𝑓: ℝ → ℝ, podana s predpisom 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, kjer je osnova 𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1.

Definicijsko območje je 𝒟𝑓 = ℝ, zaloga vrednosti je 𝒵𝑓 = ℝ+ = (0,∞).

Lastnosti eksponentne funkcije:

- začetna vrednost funkcije je 1,

- graf poteka skozi točke (−1,1

𝑎) , (0,1) in (1, 𝑎),

- za vsak realen 𝑥 je pozitivna,

- je navzgor neomejena in navzdol omejena,

- če je 𝑎 > 1, je strogo naraščajoča,

- če je 0 < 𝑎 < 1 je strogo padajoča,

- abscisna os je vodoravna asimptota

grafa eksponentne funkcije,

- je injektivna,

- je konveksna funkcija. 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 3𝑥 𝑦 = 4𝑥

𝑦 = (1

5)𝑥

𝑦 = (1

3)𝑥

𝑦 = (1

2)𝑥

31. Definirajte logaritemsko funkcijo z osnovo 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1), povejte njeno definicijsko območje

in zalogo vrednosti. Narišite njen graf in opišite njene osnovne lastnosti.

Logaritemska funkcija 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 z osnovo 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, je inverzna funkcija k eksponentni funkciji 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 z isto osnovo.

𝑦 = log𝑎 𝑥 ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

Definicijsko območje je 𝒟𝑓 = ℝ+ = (0,∞), zaloga vrednosti je 𝒵𝑓 = ℝ.

Graf logaritemske funkcije 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 dobimo z zrcaljenjem grafa eksponentne funkcije 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥

preko simetrale lihih kvadrantov.

Lastnosti logaritemske funkcije 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 1:

- ima ničlo 𝑥 = 1,

- je naraščajoča,

- za 0 < 𝑥 < 1 je negativna, za 𝑥 > 1 je pozitivna,

- ordinatna os je navpična asimptota grafa,

- graf logaritemske funkcije poteka skozi točke

𝑇1 (1

𝑎, −1) , 𝑇2(1,0) in 𝑇3(𝑎, 1),

- je konkavna,

- je injektivna in surjektivna torej bijektivna funkcija.

Lastnosti logaritemske funkcije 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ; 0 < 𝑎 < 1:

- ima ničlo 𝑥 = 1,

- je padajoča,

- za 0 < 𝑥 < 1 je pozitivna, za 𝑥 > 1 je negativna,

- ordinatna os je navpična asimptota grafa,

- graf logaritemske funkcije poteka skozi točke 𝑦 = log2 𝑥 𝑦 = log5 𝑥

𝑇1 (1

𝑎, −1) , 𝑇2(1,0) in 𝑇3(𝑎, 1), 𝑦 = log1

3

𝑥 𝑦 = log12

𝑥

- je konveksna,

- je injektivna in surjektivna torej bijektivna funkcija.

32. Navedite pravila za računanje z logaritmi.

Pravila:

log𝑎 0 ne obstaja.

Pišemo pa log𝑎 0 = −∞, za 𝑎 > 1 in log𝑎 0 = ∞ za 0 < 𝑎 < 1.

log𝑎1 = 0, ker je 𝑎0 = 1

log𝑎𝑎 = 1, ker je 𝑎1 = 𝑎

log𝑎𝑎𝑥 = 𝑥 in 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

Formuli veljata, ker sta 𝑦 = 𝑎𝑥 in 𝑦 = log𝑎 𝑥 inverzni funkciji.

log𝑎1

𝑥= − log𝑎 𝑥

Logaritem obratnega števila je nasprotna vrednost logaritma danega števila.

log𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev.

log𝑎𝑥

𝑦= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

Logaritem ulomka (kvocienta) razlika logaritmov števca in imenovalca (deljenca in delitelja).

log𝑎 𝑥𝑟 = 𝑟 log𝑎 𝑥

Logaritem potence je produkt eksponenta in logaritma osnove potence.

33. → Dokažite (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1):

a) log𝑎 𝑥𝑚 = 𝑚 log𝑎 𝑥,

b) log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 𝑥𝑦.

a) Naj bo log𝑎 𝑥

𝑚 = 𝑧.

Po definiciji logaritma je 𝑎𝑧 = 𝑥𝑚. Uporabimo pravilo za računanje z logaritmom 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 in pravilo za potenciranje potence:

𝑎𝑧 = 𝑥𝑚 = (𝑎log𝑎 𝑥)𝑚= 𝑎𝑚 log𝑎 𝑥 .

Ker imata potenci enaki osnovi, imata tudi enaka eksponenta. Torej je 𝑧 = 𝑚 log𝑎 𝑥 in zato log𝑎 𝑥

𝑚 = 𝑚 log𝑎 𝑥. b) Naj bo log𝑎 𝑥𝑦 = 𝑧.

Po definiciji logaritma je 𝑎𝑧 = 𝑥𝑦. Uporabimo pravilo za računanje z logaritmom 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 in pravilo za množenje potenc z enakima osnovama:

𝑎𝑧 = 𝑥𝑦 = 𝑎log𝑎 𝑥 ∙ 𝑎log𝑎 𝑦 = 𝑎log𝑎 𝑥+log𝑎 𝑦.

Ker imata potenci enaki osnovi, imata tudi enaka eksponenta. Torej je 𝑧 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 in zato log𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦. 34. →Navedite formulo za prehod k novi osnovi pri logaritmih in jo dokažite.

Zveza med logaritmi oz. formula za prehod logaritma k novi osnovi:

log𝑎 𝑥 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎 .

Dokaz: Naj bo log𝑎 𝑥 = 𝑧. Po definiciji logaritma je 𝑎𝑧 = 𝑥. Enačbo logaritmiramo in uporabimo pravilo za logaritem potence:

log𝑏 𝑎𝑧 = log𝑏 𝑥

𝑧 log𝑏 𝑎 = log𝑏 𝑥

𝑧 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎 .

Torej je log𝑎 𝑥 = 𝑧 = log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎 .

35. →Razložite uporabo eksponentne funkcije za opis naravne rasti.

Za naravno rast ali naravno pojemanje gre takrat, ko je povečanje ali zmanjšanje količine snovi sorazmerna količini snovi. Količina eksponentno raste ali pada.

Eksponentna ali naravna rast

Več ko je snovi na začetku, hitreje se povečuje. Prirastek 𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒𝑘𝑡, 𝑘 > 0.

𝑡 … čas, 𝑘 … konstanta, odvisna od snovi, 𝑦0… količina na začetku, 𝑦(𝑡)… količina v času 𝑡

Prirastek lahko zapišemo tudi 𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒𝑘𝑡 = 𝑦0𝑎

𝑡 , 𝑎 > 1. Primer eksponentne rasti: razmnoževanje bakterij v idealnih okoliščinah, ko razmnoževanja nič ne zavira

Eksponentno pojemanje

Količina snovi se zmanjšuje 𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒−𝑘𝑡, 𝑘 > 0.

𝑡 … čas, 𝑘 … konstanta, odvisna od snovi, 𝑦0… količina na začetku, 𝑦(𝑡)… količina v času 𝑡

Prirastek lahko zapišemo tudi 𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒−𝑘𝑡 = 𝑦0𝑎

−𝑡, 𝑎 > 1. Primer eksponentnega pojemanja: razpad radioaktivnih izotopov

Polinomske in racionalne funkcije

36. Definirajte polinom in opišite osnovne računske operacije s polinomi (seštevanje in množenje).

Kdaj sta dva polinoma enaka?

Polinom ali cela racionalna funkcija je funkcija 𝑓:ℝ → ℝ,

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , 𝑎𝑛 ≠ 0

𝑥... neodvisna spremenljivka

𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}… stopnja polinoma: 𝑠𝑡(𝑓(𝑥)) = 𝑛

𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 ∈ ℝ lahko tudi ℂ… koeficienti polinoma,

𝑎𝑛 ≠ 0… vodilni koeficient, 𝑎0… stalni, konstantni ali svobodni člen

Oznake: 𝑓(𝑥), 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑘(𝑥)… Lahko uporabimo indekse: 𝑝1(𝑥), 𝑝2(𝑥), 𝑝3(𝑥)…

Operacije seštevanje in odštevanje polinomov, množenje polinomov s števili ter množenje polinomov

Polinome seštevamo in odštevamo tako, da seštejemo oz. odštejemo koeficiente pri istih

potencah. Rezultat je polinom. Stopnja vsote in razlike je manjša ali enaka stopnji polinoma v

vsoti, ki ima najvišjo stopnjo. Pri seštevanju in odštevanju se lahko stopnja tudi zmanjša, saj se

lahko členi odštejejo.

Polinom množimo s številom tako, da vsak koeficient polinoma pomnožimo s tem številom.

Rezultat je polinom. Če pomnožimo s številom, različnim od 0, je stopnja produkta enaka

stopnji prvotnega polinoma.

Polinoma množimo tako, da pomnožimo vsak člen prvega polinoma z vsakim členom drugega

polinoma. Rezultat je polinom. Tudi produkt več polinomov je polinom. Za produkt polinomov

velja:

- stopnja produkta je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov,

- vodilni koeficient produkta je produkt vodilnih koeficientov posameznih polinomov,

- konstantni člen produkta je produkt konstantnih členov posameznih polinomov.

Za seštevanje in množenje polinomov veljajo enaka pravila kot v množici celih števil:

- Za seštevanje in množenje veljata komutativnost in asociativnost, velja tudi distributivnost.

- Obstajata nevtralna polinoma za seštevanje in množenje, za seštevanje je polinom 𝑛(𝑥) = 0,

za množenje polinom 𝑒(𝑥) = 1.

- K vsakemu polinomu 𝑝(𝑥) obstaja natanko določen nasprotni polinom −𝑝(𝑥). Ima nasprotne

koeficiente kot polinom 𝑝(𝑥) in velja 𝑝(𝑥) + (−𝑝(𝑥)) = 0.

V množici polinomov ne obstajajo inverzni polinomi k danim polinomom, razen h konstantnim

neničelnim polinomom. Polinome zato ne moremo deliti. Lahko jih delimo z ostankom.

Dva polinoma sta enaka, če imata za vsako neodvisno spremenljivko 𝑥 enako vrednost.

Izrek o enakosti polinomov: Polinoma sta enaka natanko takrat, ko imata isto stopnjo in enake vse

koeficiente pri istih potencah.

37. Povejte osnovni izrek o deljenju polinomov. Opišite deljenje z linearnim polinomom.

Osnovni izrek o deljenju polinomov:

Za poljubna dva polinoma 𝑝(𝑥) in 𝑞(𝑥), kjer je stopnja polinoma 𝑝(𝑥) večja ali enaka stopnji polinoma

𝑞(𝑥), obstajata natanko določena polinoma 𝑘(𝑥) in 𝑜(𝑥), da velja:

𝑝(𝑥) = 𝑘(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑜(𝑥), pišemo tudi 𝑝(𝑥) ∶ 𝑞(𝑥) = 𝑘(𝑥) (ost 𝑜(𝑥)),

pri katerem mora biti stopnja polinoma 𝑜(𝑥) manjša od stopnje polinoma 𝑞(𝑥).

𝑝(𝑥)… deljenec, 𝑞(𝑥)… delitelj, 𝑘(𝑥)… količnik, 𝑜(𝑥)… ostanek

Deljenje z linearnim polinomom:

Ostanek pri deljenju polinoma z linearnim polinomom 𝑥 − 𝑥1 je enak vrednosti polinoma v točki 𝑥1.

𝑝(𝑥): (𝑥 − 𝑥1) = 𝑘(𝑥)(ost 𝑐), 𝑐 = 𝑝(𝑥1)

Polinom lahko zapišemo v obliki 𝑝(𝑥) = 𝑘(𝑥)(𝑥 − 𝑥1) + 𝑝(𝑥1).

38. Opišite (brez utemeljitve oziroma dokazovanja) Hornerjev algoritem in pojasnite njegovo

uporabnost.

Vrednost polinoma 𝑝(𝑥) v točki 𝑥1:

𝑝(𝑥1) = 𝑎𝑛𝑥1𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥1

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥12 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎0 =

= ((⋯((𝑎𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛−1)𝑥1 + 𝑎𝑛−2)𝑥1 +⋯+ 𝑎2)𝑥1 + 𝑎1) 𝑥1 + 𝑎0

Računanje vrednosti, kot je v 2. vrstici, navadno preoblikujemo v shemo

𝑎𝑛 𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2 ⋯ 𝑎0

𝑎𝑛𝑥1

(𝑎𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛−1)𝑥1

⋯

⋯

𝑥1

𝑎𝑛

𝑎𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛−1

(𝑎𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛−1)𝑥1 + 𝑎𝑛−2

⋯

𝑝(𝑥1) Tej shemi rečemo Hornerjeva shema ali Hornerjev algoritem oz. postopek. V prvi vrstici so koeficienti polinoma, v zadnji vrstici pa v prvem stolpcu 𝑥1, v drugem količnik pri deljenju polinoma 𝑝(𝑥) z linearnim polinomom 𝑥 − 𝑥1 in v tretjem stolpcu ostanek pri deljenju polinoma 𝑝(𝑥) z linearnim polinomom 𝑥 − 𝑥1, to pa je vrednost polinoma 𝑝(𝑥1). Shema je lahko tudi drugačna.

Hornerjev algoritem uporabljamo za: - računanje vrednosti polinoma, - deljenje polinoma z linearnim polinomom 𝑥 − 𝑥1.

39. Kaj je ničla polinoma? Koliko ničel ima polinom 𝑛-te stopnje? Kako zapišemo polinom, če poznamo

vse njegove ničle?

Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko, za katero ima polinom vrednost 0.

Velja:

Število 𝑥1 je ničla polinoma 𝑝(𝑥) natanko takrat, ko lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑘(𝑥).

Število 𝑥1 je ničla stopnje 𝑟 polinoma 𝑝(𝑥), če lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑟𝑘(𝑥), 𝑘(𝑥1) ≠ 0.

Polinom 𝑛-te stopnje ima 𝑛 kompleksnih ničel. Vsako ničlo štejemo tolikokrat, kot je njena stopnja. Tudi če ima polinom realne koeficiente, ima lahko manj realnih ničel, kot je njegova stopnja. Če poznamo vse ničle polinoma, potem lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛), 𝑎 = 𝑎𝑛.

V okviru množice kompleksnih števil lahko vsak polinom višje stopnje razcepimo na same linearne polinome.

40. → Kaj je ničla polinoma (enostavna, večkratna)? Povejte osnovni izrek algebre. Koliko ničel ima

polinom 𝑛-te stopnje? Kako zapišemo polinom, če poznamo vse njegove ničle?

Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko, za katero ima polinom vrednost 0.

Velja:

Število 𝑥1 je ničla polinoma 𝑝(𝑥) natanko takrat, ko lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑘(𝑥).

Število 𝑥1 je enostavna ničla, enojna ničla oz. ničla 1. stopnje polinoma 𝑝(𝑥), če lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑘(𝑥), 𝑘(𝑥1) ≠ 0.

Število 𝑥1 je ničla stopnje 𝑟 oz. 𝑟-kratna ničla polinoma 𝑝(𝑥), če lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)𝑟𝑘(𝑥), 𝑘(𝑥1) ≠ 0.

Osnovni izrek algebre: Vsak nekonstanten polinom z realnimi ali kompleksnimi koeficienti ima vsaj eno kompleksno ničlo. Polinom 𝑛-te stopnje ima 𝑛 kompleksnih ničel. Vsako ničlo štejemo tolikokrat, kot je njena stopnja. Tudi če ima polinom realne koeficiente, ima lahko manj realnih ničel, kot je njegova stopnja. Če poznamo vse ničle polinoma, potem lahko polinom zapišemo v obliki

𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛), 𝑎 = 𝑎𝑛.

V okviru množice kompleksnih števil lahko vsak polinom višje stopnje razcepimo na same linearne polinome. 41. Koliko realnih (kompleksnih) ničel ima polinom 3. stopnje in koliko ničel ima polinom 4. stopnje z

realnimi koeficienti? Navedite vse možnosti. Odgovor utemeljite.

Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih. Polinom lihe stopnje z realnimi koeficienti ima zato vsaj eno realno ničlo.

Polinom 3. stopnje z realnimi koeficienti ima tri ničle v množici kompleksnih števil. Ima lahko: - 3 realne ničle, - 1 realno ničlo in 2 konjugirano kompleksni ničli.

Polinom 4. stopnje z realnimi koeficienti ima štiri ničle v množici kompleksnih števil. Ima lahko : - vse 4 ničle iz množice realnih števil, - 2 realni in 2 kompleksni ničli; kompleksni ničli sta par konjugiranih kompleksnih števil, - 4 kompleksne ničle; dva para konjugiranih kompleksnih števil.

42. → Pokažite, da je mogoč razcep polinoma stopnje 𝑛 ≥ 3 z realnimi koeficienti na dva faktorja z

realnimi koeficienti, kakor hitro poznamo eno njegovo kompleksno ničlo 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑏 ≠ 0.

Polinom 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥

2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 naj ima realne koeficiente, kompleksno število 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑏 ≠ 0, pa naj bo ničla tega polinoma. Torej je 𝑝(𝑧) = 0. Potem za konjugirano število 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 velja

𝑝(𝑧) = 𝑎𝑛 𝑧𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑧

𝑛−1+⋯+ 𝑎2 𝑧

2+ 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑧2 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑧2 + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 =

= 𝑝(𝑧) = 0 = 0,

kar pomeni, da je tudi število 𝑧 ničla tega polinoma. V dokazu smo uporabili lastnosti konjugirane vrednosti kompleksnega števila: konjugirana vrednost vsote kompleksnih števil je enaka vsoti konjugiranih vrednosti členov, konjugirana vrednost produkta kompleksnih števil je enaka produktu konjugiranih vrednosti faktorjev in konjugirana vrednost realnega števila je enaka temu številu.

Dokazali smo izrek: Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih.

Če ima polinom 𝑝(𝑥) z realnimi koeficienti kompleksno ničlo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑏 ≠ 0, je ničla tega polinoma tudi 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖. Polinom je deljiv z (𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑖)) in (𝑥 − (𝑎 − 𝑏𝑖)), zato je deljiv tudi s produktom teh dveh izrazov. Polinom lahko zapišemo

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎 − 𝑏𝑖)(𝑥 − 𝑎 + 𝑏𝑖)𝑘(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2)𝑘(𝑥). Če ima polinom stopnjo večjo ali enako 3, je polinom 𝑘(𝑥) vsaj linearen. Ker ima prvi faktor realne koeficiente, ima tudi količnik 𝑘(𝑥) pri deljenju polinoma 𝑝(𝑥) z (𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2) realne koeficiente. Oba faktorja imata zato realne koeficiente.

43. Kako poiščemo cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti? → Odgovor utemeljite.

Naj bo 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 polinom s celimi koeficienti.

Cele ničle polinoma s celimi koeficienti so delitelji prostega člena 𝑎0.

→ Utemeljitev: Naj bo 𝑐 ∈ ℤ ničla polinoma 𝑝(𝑥). Potem je 𝑝(𝑐) = 0, torej je

𝑎𝑛𝑐𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑐

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑐 + 𝑎0 = 0.

Enačbo preoblikujemo v enačbo

𝑎𝑛𝑐𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑐

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑐 = −𝑎0

ali

𝑐(𝑎𝑛𝑐𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑐

𝑛−2 +⋯+ 𝑎1) = −𝑎0.

Ker 𝑐 deli −𝑎0, deli tudi 𝑎0. Cela ničla torej deli prosti člen 𝑎0.

Če je racionalno število, kjer sta števec in imenovalec tuji števili, ničla polinoma s celimi

koeficienti, potem števec deli prosti člen 𝑎0, imenovalec pa vodilni koeficient 𝑎𝑛.

→ Utemeljitev: Naj bo okrajšani ulomek 𝑐

𝑑∈ ℚ ničla polinoma 𝑝(𝑥), 𝑐 in 𝑑 sta tuji števili, torej

je 𝑝 (𝑐

𝑑) = 0 ali

𝑎𝑛 (𝑐

𝑑)𝑛+ 𝑎𝑛−1 (

𝑐

𝑑)𝑛−1

+⋯+ 𝑎1𝑐

𝑑+ 𝑎0 = 0.

Potenciramo, pomnožimo z 𝑑𝑛 in dobimo enačbo

𝑎𝑛𝑐𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑐

𝑛−1𝑑 +⋯+ 𝑎1𝑐𝑑𝑛−1 + 𝑎0𝑑

𝑛 = 0.

Če prenesemo člen 𝑎0𝑑𝑛 na desno stran, na levi strani pa izpostavimo 𝑐, dobimo

𝑐(𝑎𝑛𝑐𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑐

𝑛−2𝑑 +⋯+ 𝑎1𝑑𝑛−1) = −𝑎0𝑑

𝑛.

To pomeni, da 𝑐 deli −𝑎0𝑑𝑛, zato deli tudi 𝑎0𝑑

𝑛. Ker sta števili 𝑐 in 𝑑 tuji, števec 𝑐 ničle deli

prosti člen 𝑎0.

Če na desno stran zgornje enačbe prenesemo člen 𝑎𝑛𝑐𝑛 in na levi strani izpostavimo 𝑑, dobimo

𝑑(𝑎𝑛−1𝑐𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑐𝑑

𝑛−2 + 𝑎0𝑑𝑛−1) = −𝑎𝑛𝑐

𝑛.

To pomeni, da 𝑑 deli −𝑎𝑛𝑐𝑛, zato deli tudi 𝑎𝑛𝑐

𝑛. Ker sta števili 𝑐 in 𝑑 tuji, imenovalec 𝑑 ničle

deli vodilni koeficient 𝑎𝑛.

44. → Razložite metodo bisekcije pri iskanju realnih ničel polinoma oziroma pri reševanju enačb. Ali

lahko z bisekcijo najdemo ničlo sode stopnje?

Metoda bisekcije je preprosta metoda za iskanje ničel oz. približkov ničel polinoma ali kakšne druge zvezne funkcije.

Naj bo 𝑝(𝑥) polinom ali kakšna druga zvezna funkcija na intervalu [𝑎, 𝑏]. Če ima polinom ali zvezna funkcija v krajiščih intervala nasprotno predznačeni vrednosti, ima polinom oz. funkcija na tem intervalu vsaj eno ničlo.

V nadaljevanju bomo govorili o polinomu. Graf je na sliki.

Pri metodi gre za ponavljanje treh korakov.

1. a) Ker je 𝑝(𝑎) < 0 in 𝑝(𝑏) > 0, je na intervalu [𝑎, 𝑏] vsaj ena ničla.

b) Prvi približek je aritmetična sredina 𝑥1 =𝑎+𝑏

2, 𝑎 𝑥2

to je razpolovišče intervala [𝑎, 𝑏]. 𝑥1 𝑏

c) Vrednost polinoma 𝑝(𝑥1) > 0.

2. a) Ker je 𝑝(𝑎) < 0 in 𝑝(𝑥1) > 0, je ničla na intervalu [𝑎, 𝑥1].

b) Drugi približek je aritmetična sredina 𝑥2 =𝑎+𝑥1

2, to je razpolovišče intervala [𝑎, 𝑥1].

c) Vrednost polinoma 𝑝(𝑥2) < 0.

3. a) Ker je 𝑝(𝑥2) < 0 in 𝑝(𝑥1) > 0, je ničla na intervalu [𝑥2, 𝑥1].

b) Tretji približek je aritmetična sredina 𝑥3 =𝑥2+𝑥1

2.

c) Izračunamo vrednost polinoma 𝑝(𝑥3).

4. a) Če je 𝑝(𝑥3) > 0, je ničla na intervalu [𝑥2, 𝑥3]. b) Potem je približek 𝑥4 =𝑥2+𝑥3

2…

a) Če je 𝑝(𝑥3) < 0, je ničla na intervalu [𝑥3, 𝑥1]. b) Potem je približek 𝑥4 =𝑥3+𝑥1

2…

…

S približki se postopno bližamo ničli polinoma. Postopek nadaljujemo tako dolgo, da smo zadovoljni s

približkom.

Ničle sode stopnje na ta način ne moremo poiskati, saj se v ničli sode stopnje predznak polinoma ne

spremeni. Za metodo bisekcije mora imeti polinom v krajišču intervala nasprotno predznačeni

vrednosti.

Rešitve enačbe, na primer 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥), kjer sta 𝑔 in ℎ poljubni zvezni funkciji, lahko tudi dva

polinoma, poiščemo tako, da prenesemo ℎ(𝑥) na drugo stran enačaja in dobimo enačbo

𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) = 0. Rešitve te enačbe so ničle funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥). Ničle lahko poiščemo z

metodo bisekcije.

45. Razložite postopek risanja grafa polinoma. Kako vodilni koeficient in prosti člen vplivata na potek

grafa polinoma? Kako se graf polinoma obnaša v okolici ničel?

Graf polinoma 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , 𝑎𝑛 ≠ 0, se za velike |𝑥|

»obnaša« kot prvi člen. Ko gre |𝑥| ⟶ ∞, se graf polinoma vse bolj bliža grafu funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

𝑛. Potek grafa polinoma je odvisen od vodilnega koeficienta in stopnje polinoma. 𝑎𝑛 > 0, stopnja 𝑛 polinoma soda 𝑎𝑛 < 0, stopnja 𝑛 polinoma soda 𝑎𝑛 > 0, stopnja 𝑛 polinoma liha 𝑎𝑛 < 0, stopnja 𝑛 polinoma liha

Izračunamo začetno vrednost polinoma 𝑝(0) = 𝑎0. Presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo je točka 𝑇0(0, 𝑎0).

Izračunamo realne ničle polinoma. V ničlah lihe stopnje polinom spremeni predznak oz. graf preseka os 𝑥, v ničlah sode stopnje pa predznak ostane enak oz. graf se dotakne osi 𝑥. Čim višje stopnje je ničla, tem bolj položno se graf približa presečišču z osjo 𝑥.

46. Kje polinomska funkcija spremeni predznak? Kako rešujemo polinomske neenačbe?

Polinomska funkcija oz. polinom spremeni predznak v ničlah lihe stopnje. V ničlah sode stopnje

polinom ohranja predznak.

Polinomske neenačbe rešujemo tako, da najprej vse člene prenesemo na eno stran neenačaja. Na eni strani dobimo polinom 𝑝(𝑥), na drugi strani pa 0. Neenačbo preoblikujemo v neenačbo 𝑝(𝑥) > 0,𝑝(𝑥) ≥ 0…

Neenačbo lahko rešimo:

Grafično: Narišemo graf polinoma 𝑝 in iz grafa preberemo intervale, na katerih je polinom

pozitiven, nenegativen…

S sistemi linearnih neenačb: Polinom razcepimo in reševanje polinomske neenačbe

prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb. Upoštevamo, da imajo nerazcepni

kvadratni polinomi, polinomi z negativno diskriminanto, povsod konstanten predznak, da so

izrazi (𝑥 − 𝑥𝑖)𝑘 ≥ 0, če je 𝑘 sodo število in da imajo izrazi (𝑥 − 𝑥𝑖)

𝑘 enak predznak kot izrazi

𝑥 − 𝑥𝑖, če je 𝑘 liho število.

S številsko premico: Na številsko premico narišemo ničle polinoma in ugotovimo predznak

polinoma na posameznih intervalih. Upoštevamo, da se vrednost polinoma v ničlah sode

stopnje ohranja, v ničlah lihe stopnje pa se predznak spremeni.

47. Definirajte racionalno funkcijo. Kaj je ničla in kaj pol racionalne funkcije? Opišite vedenje grafa racionalne funkcije daleč od izhodišča. V katerih primerih ima racionalna funkcija vodoravno asimptoto in kako jo določimo? → V katerih primerih ima racionalna funkcija poševno asimptoto in kako jo izračunamo?

Racionalna funkcija je kvocient dveh polinomov 𝑝 in 𝑞, pri čemer polinom v imenovalcu ni ničelni polinom.

𝑟(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)=𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥

2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥

𝑚−1 +⋯+ 𝑏2𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0

, 𝑞 ≠ 0

Ničla racionalne funkcije 𝑟 je ničla števca okrajšane racionalne funkcije.

Pol racionalne funkcije 𝑟 je ničla imenovalca okrajšane racionalne funkcije. Racionalna funkcija ni definirana v vseh ničlah imenovalca.

Daleč od izhodišča se graf racionalne funkcije bliža asimptoti ali asimptotični krivulji. Če je stopnja števca 𝑝 manjša od stopnje imenovalca 𝑞, je asimptota os 𝑥, torej premica 𝑦 = 0. Če sta stopnji enaki,

je asimptota količnik vodilnih koeficientov 𝑦 =𝑎𝑛

𝑏𝑚 . V teh dveh primerih ima racionalna funkcija

vodoravno asimptoto.

→ Če je stopnja števca 𝑝 večja od stopnje imenovalca 𝑞, je asimptota količnik pri deljenju števca z imenovalcem 𝑝(𝑥) ∶ 𝑞(𝑥). Če je 𝑝(𝑥) ∶ 𝑞(𝑥) = 𝑘(𝑥) (ost 𝑜(𝑥)), je asimptota ali asimptotična krivulja 𝑦 = 𝑘(𝑥). Če je stopnja števca za 1 večja od stopnje imenovalca, je asimptota poševna premica. Če je stopnja števca več kot za 1 večja od stopnje imenovalca, se graf racionalne funkcije bliža asimptotični krivulji 𝑦 = 𝑘(𝑥). 48. → Kje racionalna funkcija spremeni predznak? Kako rešujemo racionalne neenačbe?

Racionalna funkcija spremeni predznak v ničlah in polih lihe stopnje. V ničlah in polih sode stopnje racionalna funkcija ohrani predznak.

Racionalne neenačbe rešujemo tako, da najprej vse člene prenesemo na eno stran neenačaja. Na eni strani dobimo racionalno funkcijo 𝑟(𝑥), na drugi strani pa 0. Neenačbo preoblikujemo v neenačbo 𝑟(𝑥) > 0, 𝑟(𝑥) ≥ 0…

Neenačbo lahko rešimo:

Grafično: Narišemo graf racionalne funkcije 𝑟 in iz grafa preberemo intervale, na katerih je

funkcija pozitivna, nenegativna…

S sistemi linearnih neenačb: Polinoma v števcu in imenovalcu razcepimo in reševanje

racionalne neenačbe prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb. Upoštevamo, da

imajo nerazcepni kvadratni polinomi, polinomi z negativno diskriminanto, povsod konstanten

predznak, da so izrazi (𝑥 − 𝑥𝑖)𝑘 ≥ 0, če je 𝑘 sodo število in da imajo izrazi (𝑥 − 𝑥𝑖)

𝑘 enak

predznak kot izrazi 𝑥 − 𝑥𝑖, če je 𝑘 liho število.

S številsko premico: Na številsko premico narišemo ničle in pole racionalne funkcije in

ugotovimo predznak funkcije na posameznih intervalih. Upoštevamo, da se vrednost

racionalne funkcije v ničlah in polih sode stopnje ohranja, v ničlah in polih lihe stopnje pa se

predznak spremeni.

Kotne funkcije

49. Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 za poljuben kot 𝑥. Opišite lastnosti funkcije.

Sinus poljubnega kota je ordinata točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico.

Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku.

sin𝛼 =𝑦

1= 𝑦

Lastnosti:

𝒟𝑓 = ℝ 1 𝑦 = sin𝛼

je omejena funkcija, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝒵𝑓 = [−1,1] 𝛼

za kote 𝛼, 0 < 𝛼 < 𝜋, je pozitivna,

za kote 𝛼, 𝜋 < 𝛼 < 2𝜋, je negativna funkcija

za kote 𝛼, 0 < 𝛼 <𝜋

2 in

3𝜋

2< 𝛼 < 2𝜋 je naraščajoča,

za kote 𝛼,𝜋

2< 𝛼 <

3𝜋

2, je padajoča funkcija

je periodična funkcija, osnovna perioda je 2𝜋

je liha funkcija

ničle: 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

minimum: 𝑥 = − 𝜋

2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑚 = −1 𝑦 = sin𝛼 1

maksimum: 𝑥 =𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑀 = 1 𝛼

50. Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 za poljuben kot 𝑥. Opišite lastnosti funkcije.

Kosinus poljubnega kota je abscisa točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico.

Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku.

cos 𝛼 =𝑥

1= 𝑥

Lastnosti:

𝒟𝑓 = ℝ

je omejena funkcija, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝒵𝑓 = [−1,1]

za kote 𝛼, 0 < 𝛼 <𝜋

2 in

3𝜋

2< 𝛼 < 2𝜋 je pozitivna, 1

za kote 𝛼,𝜋

2< 𝛼 <

3𝜋

2, je negativna funkcija 𝛼

za kote 𝛼, 0 < 𝛼 < 𝜋, je padajoča, 𝑥 = cos𝛼

za kote 𝛼, 𝜋 < 𝛼 < 2𝜋, je naraščajoča funkcija

je periodična funkcija, osnovna perioda je 2𝜋

je soda funkcija

ničle: 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

minimum: 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑚 = −1

maksimum: 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑀 = 1

1

𝛼

𝑥 = cos𝛼

51. Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin 𝑥. Zapišite ničle in ekstreme funkcije.

Funkcija 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥

Ničle funkcije: 𝑦 = sin 𝑥 = 0: 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Minimumi funkcije: 𝑦 = sin 𝑥 = −1: 𝑥 = −𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Maksimumi funkcije: 𝑦 = sin𝑥 = 1: 𝑥 =𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

52. →Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin 𝑥. Za katere 𝑎 ∈ ℝ premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije

𝑓(𝑥) = sin𝑥? Zapišite presečišča.

Funkcija 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥

Premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin𝑥, če je −1 ≤ 𝑎 ≤ 1.

Presečišča premice in grafa funkcije sinus: sin 𝑥 = 𝑎, −1 ≤ 𝑎 ≤ 1

𝑥1 = arc sin 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝑥2 = 𝜋 − arc sin𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Presečišča so točke: 𝑇1(arc sin 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑎), 𝑘 ∈ ℤ

𝑇2(𝜋 − arc sin 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑎), 𝑘 ∈ ℤ

53. Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Zapišite ničle in ekstreme funkcije.

Funkcija 𝑓(𝑥) = cos 𝑥

Ničle funkcije: 𝑦 = cos𝑥 = 0: 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Minimumi funkcije: 𝑦 = cos 𝑥 = −1: 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Maksimumi funkcije: 𝑦 = cos 𝑥 = 1: 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

54. → Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Za katere 𝑎 ∈ ℝ premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije

𝑓(𝑥) = cos 𝑥? Zapišite presečišča.

Funkcija 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 Premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije 𝑓(𝑥) = cos𝑥, če je −1 ≤ 𝑎 ≤ 1.

Presečišča premice in grafa funkcije kosinus: cos 𝑥 = 𝑎, −1 ≤ 𝑎 ≤ 1

𝑥1 = arc cos 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝑥2 = −arc cos 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Presečišča so točke: 𝑇1(arc cos 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑎), 𝑘 ∈ ℤ

𝑇2(−arc cos 𝑎 + 2𝑘𝜋, 𝑎), 𝑘 ∈ ℤ

55. Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 za poljuben kot 𝑥. Opišite lastnosti funkcije.

Tangens poljubnega kota je ordinata točke na tangenti na enotsko krožnico v točki (1,0), v kateri seka drugi krak kota 𝑥 ali njegovo nosilko.

Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku.

tan𝛼 =𝑧

1= 𝑧

Lastnosti: 𝑧 = tan 𝛼

funkcija je definirana povsod, razen 𝛼

za 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ , 𝒟𝑓 = ℝ ∖ {

𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}

je neomejena funkcija, 𝒵𝑓 = ℝ

za kote 𝛼, 0 < 𝛼 <𝜋

2 in 𝜋 < 𝛼 <

3𝜋

2 je pozitivna,

za kote 𝛼,𝜋

2< 𝛼 < 𝜋 in

3𝜋

2< 𝛼 < 2𝜋 je negativna funkcija

je naraščajoča funkcija na vseh intervalih,

na katerih je definirana

je periodična funkcija, osnovna perioda je 𝜋

je liha funkcija

ničle: 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝛼

𝑧 = tan𝛼

56. Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. Zapišite definicijsko območje in ničle funkcije.

Funkcija 𝑓(𝑥) = tan 𝑥

𝒟𝑓 = ℝ \ {𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ}

Ničle funkcije: 𝑦 = tan 𝑥 = 0 sin 𝑥 = 0 : 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

57. → Narišite graf funkcije 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. Za katere 𝑎 ∈ ℝ premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije 𝑓(𝑥) =

tan 𝑥? Zapišite presečišča.

Funkcija 𝑓(𝑥) = tan 𝑥

Premica 𝑦 = 𝑎 seka graf funkcije 𝑓(𝑥) = tan𝑥 za poljuben 𝑎 ∈ ℝ.

Presečišča premice in grafa funkcije tangens: tan 𝑥 = 𝑎

𝑥 = arc tan𝑎 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Presečišča so točke: 𝑇(arc tan𝑎 + 𝑘𝜋, 𝑎), 𝑘 ∈ ℤ

58. Povejte in utemeljite zveze med kotnimi funkcijami komplementarnih, suplementarnih in

nasprotnih kotov.

90° − 𝛼

Zveze za komplementarne kote: 90° − 𝛼

sin𝛼 = cos(90° − 𝛼)

cos 𝛼 = sin(90° − 𝛼) 𝛼 90° − 𝛼

tan𝛼 = cot(90° − 𝛼) 𝛼 90° − 𝛼

cot 𝛼 = tan(90° − 𝛼) Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota. Kosinus kota je enak sinusu komplementarnega kota. Tangens kota je enak kotangensu komplementarnega kota. Enakosti sledijo iz skladnosti Kotangens kota je enak tangensu komplementarnega kota. trikotnikov v enotski krožnici .

Zveze za suplementarne kote:

sin𝛼 = sin(180° − 𝛼)

cos 𝛼 = −cos(180° − 𝛼)

tan𝛼 = − tan(180 ° − 𝛼) 𝛼 180° − 𝛼

cot 𝛼 = −cot(180° − 𝛼) 𝛼 180° − 𝛼

Sinusa suplementarnih kotov sta enaka.

Kosinusa, tangensa in kotangensa suplementarnih kotov sta nasprotna.

Zveze za nasprotne kote:

sin(−𝛼) = −sin𝛼

cos(−𝛼) = cos𝛼

tan(−𝛼) = − tan 𝛼

cot(−𝛼) = −cot𝛼 𝛼

−𝛼 𝛼

−𝛼

Kosinus je soda funkcija. Sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije.

59. Definirajte kotne funkcije ostrega kota v pravokotnem trikotniku in izpeljite osnovne zveze med

njimi.

Sinus ostrega kota je razmerje med nasprotno kateto in hipotenuzo v pravokotnem trikotniku.

sin𝛼 =𝑎

𝑐, sin 𝛽 =

𝑏

𝑐

Kosinus ostrega kota je razmerje med priležno kateto in hipotenuzo v pravokotnem trikotniku.

cos 𝛼 =𝑏

𝑐, cos 𝛽 =

𝑎

𝑐

Tangens ostrega kota je razmerje med nasprotno in priležno kateto v pravokotnem trikotniku.

tan𝛼 =𝑎

𝑏, tan𝛽 =

𝑏

𝑎

Kotangens ostrega kota je razmerje med priležno in nasprotno kateto v pravokotnem trikotniku.

cot 𝛼 =𝑏

𝑎, cot 𝛽 =

𝑎

𝑏

Osnovne zveze:

zveza med sinusom in kosinusom: sin2 𝛼 + cos2𝛼 = 1

sin2 𝛼 + cos2𝛼 = (𝑎

𝑐)2

+ (𝑏

𝑐)2

=𝑎2 + 𝑏2

𝑐2=𝑐2

𝑐2= 1

zveza med tangensom in kotangensom: tan𝛼 ⋅ cot 𝛼 = 1

tan𝛼 ⋅ cot 𝛼 =𝑎

𝑏⋅𝑏

𝑎= 1

tangens in kotangens, izražena s sinusom in kosinusom: tan𝛼 = sin𝛼

cos𝛼 , cot 𝛼 =

cos𝛼

sin𝛼

tan 𝛼 =𝑎

𝑏=

𝑎𝑐𝑏𝑐

=sin𝛼

cos𝛼 , cot 𝛼 =

𝑏

𝑎=

𝑏𝑐𝑎𝑐

=cos𝛼

sin𝛼

zveza med kosinusom in tangensom ter med sinusom in kotangensom:

tan2𝛼 + 1 = 1

cos2𝛼 , cot2𝛼 + 1 =

1

sin2𝛼

sin2 𝛼 + cos2𝛼 = 1 /: cos2𝛼 sin2 𝛼 + cos2𝛼 = 1 /: sin2𝛼

sin2𝛼

cos2𝛼 +1 =

1

cos2𝛼 1 +

cos2𝛼

sin2𝛼 =

1

sin2𝛼

tan2𝛼 + 1 = 1

cos2𝛼 cot2𝛼 + 1 =

1

sin2𝛼

60. S kotno funkcijo sinus izrazite druge tri kotne funkcije za kote 𝛼:

a) 0 < 𝛼 <𝜋

2,

b) 𝜋

2< 𝛼 < 𝜋.

a) Izrazimo kotne funkcije kota 𝛼, 0 < 𝛼 <𝜋

2, s sin𝛼:

cos 𝛼 = √1 − sin2𝛼 tan𝛼 =sin𝛼

cos𝛼=

sin𝛼

√1−sin2𝛼 cot 𝛼 =

cos𝛼

sin𝛼=√1−sin2𝛼

sin𝛼

b) Izrazimo kotne funkcije kota 𝛼,𝜋

2< 𝛼 < 𝜋, s sin𝛼:

cos 𝛼 = −√1 − sin2𝛼 tan𝛼 =sin𝛼

cos𝛼= −

sin𝛼

√1−sin2𝛼 cot 𝛼 =

cos𝛼

sin𝛼= −

√1−sin2𝛼

sin𝛼

61. Povejte adicijska izreka za sinus in kosinus. Izpeljite formuli za sinus in kosinus dvojnega kota.

Adicijska izreka za sinus in kosinus:

sin(𝛼 ± 𝛽) = sin𝛼 cos 𝛽 ± cos𝛼 sin𝛽

cos(𝛼 ± 𝛽) = cos𝛼 cos 𝛽 ∓ sin𝛼 sin𝛽

Sinus in kosinus dvojnega kota:

sin2𝑥 = sin(𝑥 + 𝑥) = sin𝑥 cos 𝑥 + cos𝑥 sin𝑥 = 2 sin 𝑥 cos𝑥

cos 2𝑥 = cos(𝑥 + 𝑥) = cos 𝑥 cos 𝑥 − sin𝑥 sin𝑥 = cos2𝑥 − sin2𝑥

62. V istem koordinatnem sistemu narišite grafa funkcij sinus in kosinus ter izračunajte koordinate njunih presečišč.

Funkciji 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 in 𝑔 (𝑥) = cos 𝑥

Presečišča:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

sin 𝑥 = cos 𝑥

tan 𝑥 = 1

𝑥 =𝜋

4+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ , 𝑦 =

√2

2

Presečišča so točke:

𝑇 (𝜋

4+ 𝑘𝜋,

√2

2) , 𝑘 ∈ ℤ

63.→ Opišite, kako narišemo grafe naslednjih funkcij:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑎 sin𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ

b) 𝑓(𝑥) = sin𝑘𝑥 , 𝑘 ∈ ℕ

c) 𝑓(𝑥) = sin(𝑥 − 𝑏) , 𝑏 ∈ ℝ

d) 𝑓(𝑥) = sin𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ a) Narišemo graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 in naredimo:

če je 𝑎 > 0: razteg s faktorjem 𝑎 v smeri osi 𝑦 (za 𝑎 > 1: razteg, za 0 < 𝑎 < 1: skrčitev),

če je 𝑎 = 0: dobimo funkcijo 𝑓(𝑥) = 0,

če je 𝑎 < 0: razteg s faktorjem |𝑎| v smeri osi 𝑦 in zrcaljenje grafa preko osi 𝑥.

b) Narišemo graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 in naredimo skrčitev s faktorjem 𝑘 v smeri osi 𝑥.

c) Narišemo graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin𝑥 in ga vzporedno premaknemo:

če je 𝑏 > 0: za 𝑏 v desno,

če je 𝑏 = 0: ostane funkcija 𝑓(𝑥) = sin 𝑥,

če je 𝑏 < 0: za |𝑏| v levo.

d) Narišemo graf funkcije 𝑓(𝑥) = sin𝑥 in ga vzporedno premaknemo:

če je 𝑐 > 0: za 𝑐 navzgor,

če je 𝑐 = 0: ostane funkcija 𝑓(𝑥) = sin𝑥,

če je 𝑐 < 0: za |𝑐| navzdol.

64. Kotne funkcije so periodične funkcije. Razložite in utemeljite to lastnost.

Funkcija 𝑓 je periodična, če obstaja realno število 𝜔, da je za vsak 𝑥 iz 𝒟𝑓 velja 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝜔).

Za periodično funkcijo 𝑓 velja 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑘𝜔), 𝑘 ∈ ℤ.

Število 𝜔 imenujem perioda funkcije 𝑓. Periode funkcije 𝑓 so tudi vsa števila 𝑘𝜔, 𝑘 ∈ ℤ. Najmanjši periodi rečemo osnovna perioda.

Če neodvisni spremenljivki periodične funkcije prištejemo periodo, se vrednost funkcije ne spremeni. Graf periodične funkcije se ponovi na vsakem intervalu širine 𝜔. Kotni funkciji sinus in kosinus sta periodični funkciji z osnovno periodo 2𝜋. Če kotu prištejemo 2𝜋, se vrednost funkcij sinus in kosinus ne spremeni.

sin 𝑥 = sin(𝑥 ± 2𝜋) = sin(𝑥 + 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ

cos 𝑥 = cos(𝑥 ± 2𝜋) = cos(𝑥 + 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ

Da se vrednost funkcij sinus in kosinus ne spremeni, če kotu prištejemo 2𝜋 oz. 360°, sledi iz definicije teh dveh funkcij v enotski krožnici. Kotni funkciji tangens in kotangens sta periodični funkciji z osnovno periodo 𝜋. Če kotu prištejemo 𝜋, se vrednost funkcij tangens in kotangens ne spremeni.

tan 𝑥 = tan(𝑥 ± 𝜋) = tan(𝑥 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ

cot 𝑥 = cot(𝑥 ± 𝜋) = cot(𝑥 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ

Da se vrednost funkcij tangens in kotangens ne spremeni, če kotu prištejemo 𝜋 oz. 180°, sledi iz definicije teh dveh funkcij v enotski krožnici. 65. → Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti?

Narišite graf funkcije 𝑓.

Funkcija arkus sinus je inverzna funkcija k funkciji sinus.

𝑦 = arc sin 𝑥 ⟺ sin𝑦 = 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1,−𝜋

2≤ 𝑦 ≤

𝜋

2

Definicijsko območje: 𝒟𝑦 = [−1,1]

Zaloga vrednosti: 𝒵𝑦 = [− 𝜋

2 ,𝜋

2 ]

Ker je funkcija 𝑓(𝑥) = arc sin 𝑥 inverzna funkcija k funkciji sinus, je graf 𝑦 = arc sin 𝑥 zrcalna slika grafa funkcije sinus

na intervalu [− 𝜋

2 ,𝜋

2 ] glede na simetralo lihih kvadrantov.

66. → Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti?

Narišite graf funkcije 𝑓.

Funkcija arkus kosinus je inverzna funkcija k funkciji kosinus.

𝑦 = arc cos 𝑥 ⟺ cos𝑦 = 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋

Definicijsko območje: 𝒟𝑦 = [−1,1]

Zaloga vrednosti: 𝒵𝑦 = [0 , 𝜋]

Ker je funkcija 𝑓(𝑥) = arc cos 𝑥 inverzna funkcija k funkciji kosinus, je graf 𝑦 = arc cos 𝑥 zrcalna slika grafa funkcije kosinus na intervalu [0 , 𝜋 ] glede na simetralo lihih kvadrantov.

67. → Definirajte funkcijo 𝑓(𝑥) = arctan𝑥. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti?

Narišite graf funkcije 𝑓.

Funkcija arkus tangens je inverzna funkcija k funkciji tangens.

𝑦 = arc tan𝑥 ⟺ tan𝑦 = 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ,−𝜋

2< 𝑦 <

𝜋

2

Definicijsko območje: 𝒟𝑦 = ℝ Ker je funkcija 𝑓(𝑥) = arc tan𝑥 inverzna funkcija k

Zaloga vrednosti: 𝒵𝑦 = (− 𝜋

2 ,𝜋

2 ) funkcije tangens, je graf 𝑦 = arc tan𝑥 zrcalna slika

grafa funkcije tangens na intervalu (− 𝜋

2 ,𝜋

2 ) glede

na simetralo lihih kvadrantov.

STOŽNICE

1. Naštejte in skicirajte stožnice. Razložite ime stožnica.

Krožnica

Elipsa

Hiperbola

Parabola

Tem krivuljam rečemo stožnice, ker jih lahko dobimo kot presek enojnega ali dvojnega neskončnega stožca z ravnino. Krožnica nastane, če neskončni stožec

presekamo z ravnino, ki je vzporedna z krožnica «osnovno ploskvijo« stožca. Elipsa nastane, če stožec presekamo z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice stožca.

Hiperbola nastane, če dvojni stožec s skupnim vrhom presekamo z ravnino, ki je pravokotna na »osnovno ploskev« stožca.

Parabola nastane, če je naklonski kot ravnine, s katero presekamo stožec, proti osnovni ploskvi enak naklonskemu kotu med stranico stožca in »osnovno ploskvijo«.

2. Povejte geometrijsko definicijo krožnice. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v točki 𝑆(𝑝, 𝑞) in polmer 𝑟. Krožnica je množica točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini, ki so za 𝑟 oddaljene od izbrane točke S. Točka S je središče krožnice, 𝑟 pa polmer krožnice.

Enačba krožnice s središčem v točki 𝑆(𝑝, 𝑞) in polmerom 𝑟: (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟2 3. → Povejte geometrijsko definicijo krožnice. Izpeljite enačbo krožnice, ki ima središče v izhodišču

koordinatnega sistema in polmer r. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v točki S (p,q) in polmer

r. Kdaj enačba 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 predstavlja krožnico?

Krožnica je množica točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini, ki so za 𝑟 oddaljene od izbrane točke S. Točka S je središče

krožnice, 𝑟 pa polmer krožnice.

Enačbe krožnice s središčem 𝑆(0,0) in polmerom r:

Ne glede na lego točke 𝑇(𝑥, 𝑦) na krožnici lahko uporabimo Pitagorov izrek: 𝑟 𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥 𝑥 𝑦 𝑟

Enačba krožnice s središčem v točki 𝑆(𝑝, 𝑞) in polmerom 𝑟: (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟2

Enačba 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 lahko predstavlja krožnico, točko ali prazno množico.

Enačbo 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 preoblikujmo v enačbo (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟2.

Preoblikujmo 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑦2 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

(𝑥 + 𝑎)2 − 𝑎2 + (𝑦 + 𝑏)2 − 𝑏2 + 𝑐 = 0

(𝑥 + 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐

Krožnica je, če je desna stran enačbe 𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐. Koren √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 je polmer krožnice.

Če je 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐, enačba prestavlja točko 𝑇(−𝑎,−𝑏). Vsota kvadratov je 0, če sta oba člena 0, torej 𝑥 = −𝑎 in 𝑦 = −𝑏.

Če je 𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐, enačbi ne ustreza nobena točka, saj vsota kvadratov ne more biti negativna. 4. → Povejte geometrijsko definicijo elipse in zapišite enačbo elipse, katere osi ležita na koordinatnih

oseh. Skicirajte to elipso. Zapišite enačbo elipse, ki ima središče v točki 𝑆(𝑝, 𝑞) in osi vzporedni s

koordinatnima osema.

Elipsa je množica točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini, za katere je vsota razdalj do izbranih točk – gorišč konstantna.

Naj bosta 𝐹1 in 𝐹2 gorišči. Potem je 𝑑(𝑇, 𝐹1) + 𝑑(𝑇, 𝐹2) = konst. Ta konstanta je dvakratnik daljše polosi elipse.

Elipsa, ki ima osi na koordinatnih oseh, ima središče 𝑆(0,0). Njena enačba:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2 = 1 , 𝑎, 𝑏… polosi Goriščna razdalja 𝑒2 = 𝑎2 − 𝑏2, če je 𝑎 > 𝑏.

Goriščna razdalja 𝑒2 = 𝑏2 − 𝑎2, če je 𝑎 < 𝑏.

𝑎 > 𝑏 𝑎 < 𝑏

𝑥2

4+ 𝑦2 = 1

Gorišči sta na osi 𝑥. 𝑥2

4+𝑦2

9= 1 Gorišči sta na osi 𝑦.

Enačba elipse s središčem v 𝑆(𝑝, 𝑞) in osema, vzporednima koordinatnima osema:

(𝑥−𝑝)2

𝑎2+(𝑦−𝑞)2

𝑏2 = 1

5. Povejte geometrijsko definicijo hiperbole in zapišite enačbo hiperbole, katere osi ležita na koordinatnih oseh. Skicirajte to elipso. → Zapišite enačbo hiperbole, ki ima središče v točki 𝑆(𝑝, 𝑞).

Hiperbola je množica točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini s konstantno razliko razdalj do dveh izbranih točk – gorišč.

Naj bosta 𝐹1 in 𝐹2 gorišči. Potem je |𝑑(𝑇, 𝐹1) − 𝑑(𝑇, 𝐹2)| = konst. Ta konstanta je dvakratnik realne polosi hiperbole.

Hiperbola, ki ima osi na koordinatnih oseh, ima središče 𝑆(0,0). Njeni enačbi:

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1 ali

𝑦2

𝑏2−𝑥2

𝑎2= 1 , 𝑎, 𝑏… polosi Goriščna razdalja 𝑒2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑥2

4−𝑦2

9= 1 𝑦2 −

𝑥2

4= 1

Gorišči sta na osi 𝑦. Gorišči sta na osi 𝑥. Enačba hiperbole s središčem v 𝑆(𝑝, 𝑞) in osema, vzporednima koordinatnima osema:

(𝑥−𝑝)2

𝑎2−(𝑦−𝑞)2

𝑏2 = 1 ali

(𝑦−𝑞)2

𝑏2−(𝑥−𝑝)2

𝑎2 = 1

6. Povejte geometrijsko definicijo parabole in zapišite njeno temensko enačbo. Zapišite koordinati gorišča in premice vodnice za primer 𝑦2 = 2𝑝𝑥. → Zapišite enačbo parabole, ki ima središče v točki 𝑇(𝑟, 𝑑).

Parabola je množica točk 𝑇(𝑥, 𝑦) v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke – gorišča in od

izbrane premice – vodnice.

Enačba parabole, ki ima teme v izhodišču koordinatnega sistema, njena os pa je:

os 𝑥: 𝑦2 = 2𝑝𝑥 Gorišče: 𝐹 (𝑝

2, 0), premica vodnica: 𝑥 = −

𝑝

2

os 𝑦: 𝑥2 = 2𝑝𝑦 Gorišče: 𝐹 (0,𝑝

2), premica vodnica: 𝑦 = −

𝑝

2

𝑦2 = 2𝑝𝑥 𝑥2 = 2𝑝𝑦

𝑥2 = 4𝑦

𝑦2 = 6𝑥

Enačba parabole, ki ima teme v točki 𝑇(𝑟, 𝑑), njena os pa je:

vzporedna z osjo 𝑥: (𝑦 − 𝑑)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑟)

vzporedna z osjo 𝑦: (𝑥 − 𝑟)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑑)

7. → Katere množice točk v ravnini lahko predstavlja enačba 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, če

je vsaj eden od parametrov 𝐴 ali 𝐶 različen od 0?

Enačba 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, če je vsaj eden od parametrov 𝐴 ali 𝐶 različen od 0,

lahko v ravnini predstavlja:

Če je 𝐴 = 𝐶 ≠ 0, je enačba nerazcepna. Predstavlja lahko:

- krožnico,

- točko,

- prazno množico.

Če sta 𝐴 ≠ 0 in 𝐶 ≠ 0, imata pa isti predznak, je enačba nerazcepna. Predstavlja lahko:

- elipso, ki ima osi na koordinatnih oseh ali na vzporednicah s koordinatnima osema,

- točko,

- prazno množico.

Če sta 𝐴 ≠ 0 in 𝐶 ≠ 0, imata pa nasprotni predznak, je enačba lahko:

- nerazcepna. Predstavlja hiperbolo, ki ima osi na koordinatnih oseh ali na

vzporednicah s koordinatnima osema.

- razcepna. Predstavlja dve premici, ki se sekata.

Če je eden od parametrov 𝐴 ali 𝐶 enak 0, drugi pa različen od 0, je enačba lahko:

- nerazcepna. Predstavlja lahko:

o parabolo, ki ima os eno od koordinatnih osi ali pa vzporednico z eno od

koordinatnih osi,

o prazno množico.

- razcepna. Predstavlja lahko:

o dve različni vzporedni premici. Vzporedni sta eni od koordinatnih osi.

o eno premico, šteto dvakrat, vzporedno eni od koordinatnih osi.

ZAPOREDJA IN VRSTE

1. → Kaj je 휀-okolica točke na številski premici? Napišite pogoj, da število 𝑥 leži v 휀-okolici števila a.

ε-okolica dane točke na številski premici je odprt interval, ki to točko vsebuje in ima krajišči enako oddaljeni od dane točke. ε-okolica točke 𝑎 je odprt interval

𝑂𝜀(𝑎) = (𝑎 − 휀, 𝑎 + 휀) = {𝑥 ∊ ℝ; 𝑎 − 휀 < 𝑥 < 𝑎 + 휀} = {𝑥 ∊ ℝ; |𝑥 − 𝑎| < ε }.

Točka leži v ε-okolici:

𝑥 ∈ 0𝜀(𝑎) ⇔ 𝑎 − 휀 < 𝑥 < 𝑎 + 휀 ⇔ |𝑥 − 𝑎| < ε .

2. Kaj je zaporedje? Kdaj narašča (pada), kdaj je omejeno?

Zaporedje je funkcija iz množice naravnih števil v množico realnih števil. Vsakemu naravnemu številu

𝑛 priredi neko realno število 𝑎𝑛.

Zaporedje 𝑓: ℕ ⟶ ℝ, 𝑓:

1 ⟼ 𝑎1 2 ⟼ 𝑎2 3 ⟼ 𝑎3 ⋯ 𝑛 ⟼ 𝑎𝑛 ⋯ 𝒟𝑓 = ℕ, 𝒵𝑓 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3… 𝑎𝑛…} ⊂ ℝ

Zaporedje je naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja: 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛 (𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛).

Zaporedje je naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja: 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ≥ 0

(𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 > 0).

Za pozitivno zaporedje, pri katerem so vsi členi zaporedja pozitivna števila, velja, da je

naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja: 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛≥ 1 (

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛> 1 ).

Zaporedje je padajoče (strogo padajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja: 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 (𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛).

Zaporedje je padajoče (strogo padajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja: 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ≤ 0

(𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 < 0).

Za pozitivno zaporedje velja, da je padajoče (strogo padajoče), če za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja:

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛≤ 1 (

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛< 1 ).

Zaporedje je omejeno navzgor, če obstaja realno število 𝑀, tako da za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja 𝑎𝑛 ≤ 𝑀. Število 𝑀 imenujemo zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, obstaja neskončno zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja. Supremum je lahko člen zaporedja ali ne. Če obstaja člen, ki je enak supremumu, ga imenujemo maksimum zaporedja.

Zaporedje je omejeno navzdol, če obstaja realno število 𝑚, tako da za vsak 𝑛 ∈ ℕ velja 𝑎𝑛 ≥ 𝑚. Število 𝑚 imenujemo spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, obstaja neskončno spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja. Infimum je lahko člen zaporedja ali ne. Če obstaja člen, ki je enak infimumu, ga imenujemo minimum zaporedja.

Zaporedje je omejeno, če je omejeno navzgor in navzdol.

3. → Kaj je limita zaporedja? Navedite pravila za računanje z limitami konvergentnih zaporedij.

Število 𝑎 je limita zaporedja, če se v vsaki njegovi okolici, ki je lahko poljubno majhna, nahajajo skoraj vsi členi tega zaporedja. V vsaki njegovi okolici je neskončno členov, zunaj okolice pa končno.

Število 𝑎 je limita zaporedja, če k vsakemu pozitivnemu številu 휀, ki je lahko poljubno majhno, obstaja naravno število 𝑁, da je za vsako naravno število 𝑛 > 𝑁: |𝑎𝑛 − 𝑎| < 휀.

Pišemo lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝑎.

Pravila za računanje:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo končno členov, dobimo zaporedje, ki je tudi konvergentno in ima isto limito kot prvotno zaporedje.

Vsako neskončno podzaporedje konvergentnega zaporedja je konvergentno zaporedje in ima isto limito kot dano zaporedje.

lim𝑛→∞

𝑐 = 𝑐

lim𝑛→∞

1

𝑛= 0, lim

𝑛→∞

1

𝑛𝑘= 0, 𝑘𝜖ℕ

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0, 0 < |𝑎| < 1, lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 1, 𝑎 = 1

Limita vsote, razlike, produkta, kvocienta zaporedij je enaka vsoti, razliki, produktu, kvocientu limit, če limite obstajajo. Pri kvocientu mora biti limita imenovalca različna od nič.

lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ± lim𝑛→∞

𝑏𝑛

lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ∙ lim𝑛→∞

𝑏𝑛

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑏𝑛=lim𝑛→∞

𝑎𝑛

lim𝑛→∞

𝑏𝑛, lim𝑛→∞

𝑏𝑛 ≠ 0

lim𝑛→∞𝑛→−∞

(1 +1

𝑛)𝑛

= 𝑒

4. Kdaj je zaporedje aritmetično? Zapišite splošni člen in obrazec za vsoto prvih 𝑛 členov. Kaj je

aritmetična sredina dveh pozitivnih števil?

Zaporedje je aritmetično, če je razlika med poljubnim členom in njegovim neposrednim predhodnikom konstantna, 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 𝑑, 𝑛 ∈ ℕ.

Splošni člen aritmetičnega zaporedja: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Vsota prvih 𝑛 členov aritmetičnega zaporedja: 𝑠𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

Aritmetična sredina dveh pozitivnih števil 𝑎 in 𝑏 je število 𝑎+𝑏

2.

5. Kdaj je zaporedje geometrijsko? Zapišite splošni člen in vsoto prvih 𝑛 členov. Kaj je geometrijska

sredina dveh pozitivnih števil?

Zaporedje je geometrijsko, če je kvocient med poljubnim členom in njegovim neposrednim

predhodnikom konstanten, 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 = 𝑞, 𝑛 ∈ ℕ.

Splošni člen geometrijskega zaporedja: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞𝑛−1

Vsota prvih 𝑛 členov geometrijskega zaporedja: 𝑠𝑛 = 𝑎1(𝑞

𝑛−1)

𝑞−1, 𝑞 ≠ 1.

Geometrijska sredina pozitivnih števil 𝑎 in 𝑏 je število √𝑎 ∙ 𝑏.

6. → Dokažite, da je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil manjša ali enaka aritmetični sredini

istih dveh števil. Pri katerih pogojih sta obe sredini enaki?

Naj bosta 𝑎 in 𝑏 dve pozitivni realni števili. Potem je

𝑎 + 𝑏

2− √𝑎𝑏 =

𝑎 + 𝑏 − 2√𝑎𝑏

2=𝑎 − 2√𝑎𝑏 + 𝑏

2=(√𝑎 − √𝑏)

2

2≥ 0.

Zato je 𝑎+𝑏

2≥ √𝑎𝑏. Aritmetična sredina dveh pozitivnih realnih števil je torej večja od njune

geometrijske sredine. Obe sredini sta enaki, če je njuna razlika nič. Iz zgornjega računa vidimo, da razlika nič, če sta števili 𝑎 in 𝑏 enaki. 7. → Kaj je vrsta in kdaj je konvergentna?

Vrsta je vsota neskončno členov zaporedja: 𝑠 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯.

Vsota vrste je limita zaporedja delnih vsot, če ta limita obstaja.

Zaporedje delnih vsot: Vsota vrste:

𝑠1 = 𝑎1

𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2

𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3

…

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

…

𝑠 = lim

𝑛→∞𝑠𝑛

Če je zaporedje delnih vsot konvergentno (ima limito), je vrsta konvergentna (ima vsoto.)

8. Kdaj obstaja vsota neskončnega geometrijskega zaporedja in kolikšna je?

Vsota neskončnega geometrijskega zaporedja obstaja oz. neskončna geometrijska vrsta je konvergentna, če je absolutna vrednost količnika manjša od 1, |𝑞| < 1.

Vsota neskončne geometrijske vrste: 𝑠 = 𝑎1

1−𝑞 , −1 < 𝑞 < 1

9. Zapišite in razložite osnovne pojme in obrazce za navadno in obrestno obrestovanje.

Denarni znesek, ki ga obrestujemo, imenujemo glavnica ali kapital. Lahko je:

vloga, če ga vložimo v banko, zavarovalnico…

dolg, če si ga izposodimo.

Če gre za vlogo, prejmemo od banke oz. tistega, ki razpolaga z našim denarjem, obresti. Če pa si denar izposodimo, plačamo obresti posojilodajalcu. Obresti so odvisne od:

glavnice (𝐺0),

časa obrestovanja,

obrestne mere 𝑝, ki je izražena v odstotkih.

Čas med dvema zaporednima pripisoma obresti imenujemo obrestovalno ali kapitalizacijsko obdobje, obrestovalna ali kapitalizacijska doba, lahko tudi obrestovalni ali kapitalizacijski čas. To je lahko eno leto, pol leta, en mesec, en dan ...

Obrestna mera 𝑝 je letna. Če kapitalizacijska doba ni leto, moramo obrestno mero prilagoditi tej dobi.

Obresti po enem letu oz. enem obrestovalnem obdobju so 𝐺0∙ 𝑝

100.

1. Pri navadnem obrestovanju ves čas obrestujemo le začetno glavnico. Zneski tvorijo aritmetično

zaporedje, ki ima za diferenco obresti v enem obrestovanju obdobju:

𝐺0, 𝐺1 = 𝐺0 +𝐺0∙𝑝

100 , 𝐺2 = 𝐺0 + 2 ∙

𝐺0∙𝑝

100 , … , 𝐺𝑛 = 𝐺0 + 𝑛 ∙

𝐺0∙𝑝

100

2. Pri obrestnem obrestovanju se ob koncu kapitalizacijskega obdobja nastale obresti pripišejo h

glavnici in se naprej obrestujejo skupaj z glavnico.

Obrestovalni ali kapitalizacijski faktor: 𝑟 = 1 +𝑝

100

Zneski pri obrestnem obrestovanju tvorijo geometrijsko zaporedje, ki ima za količnik obrestovalni faktor 𝑟:

𝐺0, 𝐺1 = 𝐺0𝑟 , 𝐺2 = 𝐺0𝑟2, … , 𝐺𝑛 = 𝐺0𝑟

𝑛

DIFERENCIALNI RAČUN

1. Kaj je odvod funkcije f v dani točki in kakšen geometrijski pomen ima?

Odvod funkcije 𝑓 v dani točki je limita diferenčnega količnika te funkcije v tej točki, ko gre sprememba neodvisne spremenljivke proti nič, če ta limita obstaja.

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Odvod funkcije 𝑓 v točki 𝑥 je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki 𝑇(𝑥, 𝑓(𝑥)). Pomeni naklon krivulje v tej točki oz. hitrost spreminjanja vrednosti funkcije.

Če je:

|𝑓′(𝑥)| velika, se vrednost funkcije v točki 𝑥 hitro spreminja. Graf funkcije v točki 𝑇(𝑥, 𝑓(𝑥)) je strm.

|𝑓′(𝑥)| majhna, se vrednost funkcije v točki 𝑥 počasi spreminja. Graf funkcije v točki 𝑇(𝑥, 𝑓(𝑥)) je položen.

Če je:

𝑓′(𝑥) > 0, je funkcija naraščajoča.

𝑓′(𝑥) < 0, je funkcija padajoča.

𝑓′(𝑥) = 0, je 𝑥 stacionarna točka funkcije. Tangenta na graf funkcije v točki 𝑇(𝑥, 𝑓(𝑥)) je vodoravna. Stacionarna točka je lahko maksimum, minimum ali prevoj.

2. Navedite pravila za računanje odvoda vsote, produkta in kvocienta funkcij ter odvod produkta funkcije s številom. → Izpeljite formulo za odvod produkta funkcije s številom.

Če sta funkciji 𝑓 in 𝑔 odvedljivi v točki 𝑥, sta v točki 𝑥 odvedljivi tudi njuna vsota in razlika.

Odvod vsote ali razlike funkcij je enak vsoti ali razliki odvodov posameznih funkcij.

Velja (𝑓 ± 𝑔)′ = 𝑓′ ± 𝑔′.

Če sta funkciji 𝑓 in 𝑔 odvedljivi v točki 𝑥, je v točki 𝑥 odvedljiv tudi njun produkt.

Velja (𝑓𝑔)′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′.

Če sta funkciji 𝑓 in 𝑔 odvedljivi v točki 𝑥 in je 𝑔(𝑥) ≠ 0, je v točki 𝑥 odvedljiv tudi njun kvocient

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥). Velja (

𝑓

𝑔)′

= 𝑓′𝑔−𝑓𝑔′

𝑔2 , 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Odvod funkcije pomnožene s konstanto: (𝑐𝑓)′ = 𝑐𝑓′.

→ Odvod funkcije pomnožene s konstanto: (𝑐𝑓)′ = 𝑐𝑓′. Uporabimo pravilo za odvod produkta funkcij in upoštevamo, da je odvod konstantne funkcije enak 0.

(𝑐𝑓(𝑥))′= 0 ⋅ 𝑓(𝑥) + 𝑐𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

3. Opredelite pojem lokalnega ekstrema funkcije in ekstrema funkcije na danem območju. Kako

določimo globalne ekstreme odvedljive funkcije na danem zaprtem intervalu?

Funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥0 lokalni maksimum 𝑀, če obstaja okolica točke 𝑥0, da je za vsak 𝑥 iz te okolice 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.

Funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥0 lokalni minimum 𝑚, če obstaja okolica točke 𝑥0, da je za vsak 𝑥 iz te okolice 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥0 lokalni maksimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) > 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) < 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥0 lokalni minimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) < 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) > 0.

Dvakrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem, če je 𝑓′(𝑥) = 0 in 𝑓′′(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓′′(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓′′(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum.

(Večkrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem tudi, če je 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = 0 in

𝑓(4)(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓(4)(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓(4)(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.)

Funkcija 𝑓 ima na nekem območju maksimum 𝑀, če za vsak 𝑥 iz tega območja velja, da je 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.

Funkcija 𝑓 ima na nekem območju minimum 𝑚, če za vsak 𝑥 iz tega območja velja, da je 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚.

Globalni ekstrem odvedljive funkcije na zaprtem intervalu je lahko v eni od stacionarnih točk ali pa v krajiščih intervala. Globalni maksimum na zaprtem intervalu je največja vrednost med lokalnimi maksimumi na tem intervalu ter funkcijskima vrednostma v krajiščih intervala. Globalni minimum na zaprtem intervalu je najmanjša vrednost med lokalnimi minimumi na tem intervalu ter funkcijskima vrednostma v krajiščih intervala. 4. Kaj je stacionarna točka? Kako z odvodom ugotovimo, ali funkcija na danem intervalu narašča ali

pada? Kako z odvodom ugotovimo, ali je v stacionarni točki ekstrem?

Stacionarna točka je vrednost neodvisne spremenljivke 𝑥, za katero je odvod 𝑓′(𝑥) = 0. Stacionarna točka je lahko ekstrem (maksimum ali minimum) ali prevoj.

Funkcije 𝑓 je na danem intervalu naraščajoča, če je za vsak 𝑥 iz tega intervala odvod 𝑓′(𝑥) > 0.

Funkcije 𝑓 je na danem intervalu padajoča, če je za vsak 𝑥 iz tega intervala odvod 𝑓′(𝑥) < 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v stacionarni točki 𝑥0 lokalni maksimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) > 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) < 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v stacionarni točki 𝑥0 lokalni minimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) < 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) > 0.

Če za odvedljivo funkcijo 𝑓 velja, da je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo in desno od 𝑥0 pa ima odvod 𝑓′ isti predznak, je v stacionarni točki 𝑥0 prevoj.

Dvakrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem, če je 𝑓′(𝑥) = 0 in 𝑓′′(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓′′(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓′′(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum.

(Večkrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem tudi, če je 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = 0 in

𝑓(4)(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓(4)(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓(4)(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.) 5. Izračunajte odvode funkcij:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑐 √𝑥𝑚𝑛

, ℎ(𝑥) = cos 𝑎𝑥 , 𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑛,𝑚 ∈ ℕ

Odvodi danih funkcij:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑥𝑛−1

𝑔(𝑥) = 𝑐 √𝑥𝑚𝑛

𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑚

𝑛𝑥𝑚

𝑛−1

ℎ(𝑥) = cos 𝑎𝑥 ℎ′(𝑥) = −𝑎 sin𝑎𝑥

𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥 𝑢′(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥 + 𝑒𝑥

𝑥

6. Kako izračunamo kot med grafom funkcije 𝑓 in abscisno osjo? Kako izračunamo kot med grafoma

funkcij 𝑓 in 𝑔?

Kot med grafom funkcije 𝑓 in abscisno osjo izračunamo tako, da:

Izračunamo ničle funkcije oz. presečišče grafa funkcije z abscisno osjo. Naj bo presečišče točka

𝑇(𝑥0, 0). Lahko jih je več. Kot izračunamo za vsako točko posebej.

Izračunamo odvod funkcije 𝑓 v presečišču z osjo 𝑥: 𝑓′(𝑥0).

Odvod v točki 𝑥0 je enak smernemu koeficientu tangente na graf dane funkcije v presečišču z

osjo 𝑥, ta pa tangensu naklonskega kota tangente: 𝑓′(𝑥0) = 𝑘𝑡 = tan𝛼.

Kot med grafom funkcije in abscisno osjo je kot med tangento na graf v presečišču in osjo 𝑥.

To je ostri kot oz. največ kot 90°. Če je naklonski kot tangente 𝛼 topi kot, je kot med grafom

funkcije in abscisno osjo suplementarni kot kotu 𝛼. Ta ostri kot lahko dobimo iz enakosti

tan𝛼 = |𝑘𝑡| = |𝑓′(𝑥0)|.

V točki 𝑇1 je naklonski kot tangente ostri kot 𝛼1. To je tudi kot med grafom funkcije in abscisno osjo.

V točki 𝑇2 je naklonski kot tangente topi kot 𝛼2. Kot med grafom funkcije in abscisno osjo je ostri kot 𝜋 − 𝛼2.

Kot med grafoma funkcij 𝑓 in 𝑔 izračunamo tako, da:

Izračunamo presečišče grafov teh dveh funkcij. Naj bo presečišče točka 𝑇(𝑥0, 𝑦0). Lahko jih je

več. Kot izračunamo za vsako točko posebej.

Izračunamo odvoda obeh funkcij v tem

presečišču: 𝑓′(𝑥0) in 𝑔′(𝑥0).

Odvoda funkcij v točki 𝑥0 sta enaka

smernima koeficientoma tangent na grafa

teh dveh funkcij v tem presečišču:

𝑓′(𝑥0) = 𝑘1 in 𝑔′(𝑥0) = 𝑘2.

Kot med grafoma funkcij v presečišču je kot

med tangentama na grafa v tem presečišču.

Tega pa izračunamo po formuli za kot med

premicama tan𝜑 = |𝑘1−𝑘2

1+𝑘1𝑘2|.

7. → Kaj je stacionarna točka? Kako z drugim odvodom ugotovimo, ali je v stacionarni točki ekstrem?

Opišite konveksne in konkavne funkcije.

Stacionarna točka je vrednost neodvisne spremenljivke 𝑥, za katero je odvod 𝑓′(𝑥) = 0. Stacionarna točka je lahko ekstrem (maksimum ali minimum) ali prevoj.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v stacionarni točki 𝑥0 lokalni maksimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) > 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) < 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓 ima v stacionarni točki 𝑥0 lokalni minimum, če je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo od 𝑥0 odvod 𝑓′(𝑥) < 0, desno od 𝑥0 pa odvod 𝑓′(𝑥) > 0.

Če za funkcijo 𝑓 velja, da je 𝑓′(𝑥0) = 0, levo in desno od 𝑥0 pa ima odvod 𝑓′ isti predznak, je v stacionarni točki 𝑥0 prevoj.

Dvakrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem, če je 𝑓′(𝑥) = 0 in 𝑓′′(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓′′(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓′′(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum.

(Večkrat odvedljiva funkcija 𝑓 ima v točki 𝑥 lokalni ekstrem tudi, če je 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = 0 in

𝑓(4)(𝑥) ≠ 0. Če je 𝑓(4)(𝑥) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je 𝑓(4)(𝑥) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.)

Funkcija je v točki 𝑥 konveksna, če obstaja okolica točke 𝑥, v kateri leži graf funkcije nad tangento ali na njej oz. natanko takrat, ko je drugi odvod funkcije v tej točki pozitiven.

Funkcija je v točki 𝑥 konkavna, če obstaja okolica točke 𝑥, v kateri leži graf funkcije pod tangento ali na njej oz. natanko takrat, ko je drugi odvod funkcije v tej točki negativen.

INTEGRALSKI RAČUN

1. Kaj je nedoločeni integral funkcije 𝑓? Kako izračunamo nedoločeni integral vsote oziroma razlike

dveh funkcij in nedoločeni integral produkta funkcije s številom?

Nedoločeni integral funkcije 𝑓 je vsaka funkcija 𝐹, katere odvod je funkcija 𝑓.

𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Nedoločeni integral ni natanko določen. Vsaki funkciji, katere odvod je funkcija 𝑓, rečemo primitivna funkcija k funkciji 𝑓. Nedoločeni integral je družina oz. množica vseh primitivnih funkcij, ki se med seboj razlikujejo po aditivni ali integracijski konstanti.

Integral vsote oz. razlike:

∫(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Integral vsote oz. razlike funkcij je enak vsoti oz. razliki integralov posameznih funkcij.

Integral produkta funkcije s številom:

∫𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Pomnoženo konstanto lahko postavimo pred integralski znak.

2. Pojasnite geometrijski pomen določenega integrala zvezne funkcije na danem intervalu in osnovno

formulo integralskega računa (Newton-Leibnizova formula).

Določeni integral funkcije 𝑓 na intervalu [𝑎, 𝑏] je limita spodnjih in zgornjih vsot, ko delitve gostimo, če limita obstaja. Določeni integral je število. Če je funkcija zvezna in nenegativna na nekem intervalu, je določeni integral te funkcije na tem intervalu ploščina lika med grafom funkcije in abscisno osjo.

Delitev intervala [𝑎, 𝑏]: 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛 = 𝑏, širine podintervalov [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]: ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, minimumi 𝑚𝑖 in maksimumi 𝑀𝑖 funkcije 𝑓 na podintervalih [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Spodnje vsote 𝑆𝑛 so vsote ploščin pravokotnikov s stranicami ∆𝑥𝑖 in 𝑚𝑖, zgornje vsote 𝑍𝑛 so vsote ploščin pravokotnikov s stranicami ∆𝑥𝑖 in 𝑀𝑖. Ploščina lika med grafom funkcije 𝑓 in abscisno osjo na intervalu [𝑎, 𝑏] naj bo 𝑆. Limita spodnjih in zgornjih vsot, ko delitve gostimo, če limita obstaja, je določeni integral funkcije 𝑓. Če je funkcija zvezna in nenegativna, je določeni integral enak ploščini 𝑆:

𝑆𝑛 =∑𝑚𝑖∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

⟶ 𝑆 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

⟵ 𝑍𝑛 =∑𝑀𝑖∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Newton-Leibnizova formula:

Če je 𝑓 zvezna funkcija na intervalu [𝑎, 𝑏], in je 𝐹 njen nedoločeni integral oz. katerakoli primitivna funkcija, potem je

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎

3. Navedite nedoločene integrale funkcij: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥𝑛 (𝑚, 𝑛 ∈ ℝ),

ℎ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑢(𝑥) = 𝑒𝑘𝑥 (𝑘 ∈ ℝ).

Integrali danih funkcij:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑎𝑥2

2+ 𝑏𝑥 + 𝐶

𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥𝑛 ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑚𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

ℎ(𝑥) = sin 𝑥 ∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

𝑢(𝑥) = 𝑒𝑘𝑥 ∫𝑢(𝑥)𝑑𝑥 =𝑒𝑘𝑥

𝑘+ 𝐶

4. → Navedite in pojasnite formulo za prostornino rotacijskega telesa.

Lik, omejen z grafom nenegativne zvezne funkcije na intervalu [𝑎, 𝑏] in abscisno osjo, zavrtimo za 360° okrog osi 𝑥. Telo, ki ga dobimo, imenujemo rotacijsko telo ali vrtenina. Prostornina tega rotacijskega telesa:

𝑉 = 𝜋∫(𝑓(𝑥))2𝑑𝑥

𝑏

a

Delitev intervala [𝑎, 𝑏]: 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛 = 𝑏, širine podintervalov [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]: ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, minimumi 𝑚𝑖 in maksimumi 𝑀𝑖 funkcije 𝑓 na podintervalih [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].

Če lik, omejen z grafom funkcije na intervalu [𝑎, 𝑏] in abscisno osjo, zavrtimo za 360° okrog osi 𝑥, so spodnje vsote 𝑆𝑛 vsote prostornin valjev, ki imajo za polmere osnovnih ploskev minimume 𝑚𝑖 in višine ∆𝑥𝑖, zgornje vsote 𝑍𝑛 pa vsote prostornin valjev, ki imajo za polmere osnovnih ploskev maksimume 𝑀𝑖 in višine ∆𝑥𝑖. Prostornina rotacijskega telesa naj bo 𝑉.

Ko delitve gostimo, se spodnje in zgornje vsote bližajo določenemu integralu, ki predstavlja prostornino vrtenine:

𝑆𝑛 =∑𝜋𝑚𝑖2 ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

⟶ 𝑉 = 𝜋∫(𝑓(𝑥))2𝑑𝑥

𝑏

a

⟵ 𝑍𝑛 =∑𝜋𝑀𝑖2 ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

5. Kako z določenim integralom izračunamo ploščino lika, omejenega z grafoma dveh funkcij?

Naj bosta 𝑓 in 𝑔 zvezni funkciji. Njuna grafa naj se sekata v točkah z abscisama 𝑎 in 𝑏.

Ploščina lika, omejenega z grafoma Ploščina lika, omejenega z grafoma funkcij 𝑓 in 𝑔, je funkcij 𝑓 in 𝑔, je

𝑆 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥

𝑏

𝑎

. 𝑆 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 + ∫(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥

𝑐

𝑏

.

𝑏

𝑎

6. → Na primeru razložite uvedbo nove spremenljivke pri računanju nedoločenega in določenega

integrala.

Primer računanja nedoločenega integrala funkcije:

∫(𝑥2 + 1)32𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑡3𝑑𝑡 =𝑡4

4+ 𝐶 =

(𝑥2 + 1)4

4+ 𝐶

Nova spremenljivka: 𝑥2 + 1 = 𝑡

Diferencial: 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 Primer računanja določenega integrala funkcije:

∫ sin𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡

12

0

𝑑𝑡 =

𝜋6

0

𝑡2

2 |0

12

=1

8− 0 =

1

8

Nova spremenljivka: sin 𝑥 = 𝑡 Novi meji: sin𝜋

6=1

2 in sin0 = 0

Diferencial: cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

Lahko pa najprej izračunamo nedoločeni integral

∫sin𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑡 𝑑𝑡 =𝑡2

2+ 𝐶 =

sin2 𝑥

2+ 𝐶

in vstavimo v nedoločeni integral prvotne meje

∫ sin𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =

𝜋6

0

sin2 𝑥

2 |0

π6

=1

8− 0 =

1

8

7. → Zapišite formulo za integracijo per partes.

Naj bosta 𝑢 in 𝑣 odvedljivi funkciji. Potem je

∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢.

Integracijo per partes uporabljamo za računanje integralov funkcij: 𝑥 sin 𝑥 , 𝑥𝑛 cos 𝑥 , 𝑥𝑛𝑒𝑥, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑒𝑥 sin𝑥, 𝑥𝑛 ln 𝑥 , ln 𝑥 … Primer računanja nedoločenega integrala funkcije po metodi integracije po delih:

∫𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin𝑥 − ∫sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶

Izberemo: 𝑥 = 𝑢 in cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣

Potem je: 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 in sin 𝑥 = 𝑣

KOMBINATORIKA

1. Povejte osnovni izrek kombinatorike in pravilo vsote. Kaj je kombinatorično drevo?

Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta:

Če poteka izbira ali proces odločanja v 𝑘 fazah, pri čemer je v 1. fazi možnih 𝑛1 izbir ali odločitev, v 2. fazi 𝑛2 izbir ali odločitev... v 𝑘-ti fazi 𝑛𝑘 izbir ali odločitev in je število izbir ali odločitev v posamezni fazi neodvisno od izbir ali odločitev v prejšnjih fazah, potem je vseh možnih izbir ali odločitev

𝑛 = 𝑛1 ⋅ 𝑛2 ∙ … ∙ 𝑛𝑘.

Pravilo vsote:

Če izbiramo med 𝑛1 možnostmi prvega izbora ali 𝑛2 možnostmi drugega izbora ... ali 𝑛𝑘 možnostmi

𝑘-tega izbora in so vsi ti izbori nezdružljivi (ne morejo nastopiti hkrati), je vseh možnih izbir

𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘.

Kombinatorično drevo je shematski prikaz možnih izbir oz. odločitev, če proces odločanja poteka v več fazah. Shematski prikazi so lahko različni.

Kombinatorično drevo

2. Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je? Kaj so permutacije s ponavljanjem? Koliko jih

je?

Permutacija brez ponavljanja je razporeditev končnega števila različnih elementov v vrsto. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh elementov zamenjamo, dobimo drugo permutacijo. Permutacija je tudi bijektivna preslikava končne množice same vase.

Število vseh permutacij brez ponavljanja 𝑛 različnih elementov je

𝑃𝑛 = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 𝑛!

Permutacija s ponavljanjem je razporeditev končnega števila elementov, lahko tudi enakih, v vrsto. Zelo pomemben je vrstni red. Če zamenjamo vrstni red dveh različnih elementov, dobimo drugo permutacijo. Če zamenjamo vrstni red enakih elementov, dobimo isto permutacijo.

Med 𝑛 elementi v vrsti naj bo 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑘 enakih. Prvi element naj se ponovi 𝑟1-krat, drugi 𝑟2-krat, ..., 𝑘-ti 𝑟𝑘-krat. Torej je 𝑟1 + 𝑟2 +⋯+ 𝑟𝑘 = 𝑛. Število takih permutacij s ponavljanjem je

𝑃𝑛𝑟1,𝑟2,…𝑟𝑘 =

𝑛!

𝑟1! ⋅ 𝑟2! ⋅ … ⋅ 𝑟𝑘!

3. Kaj so variacije brez ponavljanja in kaj variacije s ponavljanjem ter koliko je prvih in koliko drugih?

Variacije reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 elementov je razporeditev 𝑟 različnih elementov v vrsto oz. niz 𝑟 različnih elementov, ki jih izbiramo izmed 𝑛 različnih elementov, 𝑟 ≤ 𝑛. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh elementov zamenjamo, dobimo drugo variacijo.

Število vseh variacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov je

𝑉𝑛𝑟 = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑟 + 1) =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Variacije reda 𝑟 s ponavljanjem iz 𝑛 elementov je razporeditev 𝑟 elementov, lahko tudi enakih, v vrsto oz. niz 𝑟 elementov, lahko enakih, ki jih izbiramo izmed 𝑛 različnih elementov. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh različnih elementov zamenjamo, dobimo drugo variacijo.

Število vseh variacij reda 𝑟 s ponavljanjem iz 𝑛 različnih elementov je

𝑉𝑛𝑟

(𝑝) = 𝑛𝑟

4. Kaj so kombinacije in koliko jih je? Kaj je binomski simbol in kako ga izračunamo? Navedite lastnosti

binomskih simbolov.

Pri permutacijah in variacijah je pomemben vrstni red elementov. Če zamenjamo vrstni red različnih elementov, dobimo drugo permutacijo ali variacijo. Pri kombinacijah nas zanima le razdelitev elementov v skupine, ne pa vrstni red elementov.

Kombinacije reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov so podmnožice z močjo 𝑟 množice z močjo 𝑛.

Število vseh kombinacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov je

𝐶𝑛𝑟 =

𝑉𝑛𝑟

𝑟!=𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑟 + 1)

𝑟!=

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Število vseh kombinacij brez ponavljanja označimo tudi 𝐶𝑛𝑟 =

𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!= (

𝑛𝑟) in ga imenujemo binomski

simbol ali binomski koeficient.

Če izbiramo hkrati iz množice z 𝑛1 elementi 𝑟1 elementov, iz množice z 𝑛2 elementi 𝑟2 elementov ... in iz množice z 𝑛𝑘 elementi 𝑟𝑘 elementov, kjer vrstni red izbranih elementov ni pomemben, rečemo takim izborom vezane kombinacije.

Število vezanih kombinacij je

𝐶𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑘𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑘 = (

𝑛1𝑟1) ⋅ (

𝑛2𝑟2) ⋅ … ⋅ (

𝑛𝑘𝑟𝑘)

Pri kombinacijah s ponavljanjem vrstni red elementov ni pomemben, lahko pa se elementi ponavljajo.

Število vseh kombinacij reda 𝑟 s ponavljanjem iz 𝑛 različnih elementov je

𝐶𝑛𝑟 = 𝐶𝑛

𝑟 = (𝑛 + 𝑟 − 1

𝑟)

(𝑝)

Lastnosti binomskih simbolov:

1. (𝑛0) = 1, (

𝑛𝑛) = 1

2. (𝑛1) = 𝑛, (

𝑛𝑛 − 1

) = 𝑛

3. (𝑛𝑟) = (

𝑛𝑛 − 𝑟

)

4. (𝑛𝑟) + (

𝑛𝑟 + 1

) = (𝑛 + 1𝑟 + 1

) , 𝑛 ≥ 𝑟 + 1

5. Povejte binomski izrek. Koliko podmnožic ima množica z 𝑛 elementi? →Utemeljite odgovor na zadnje vprašanje.

Z binomskim izrekom lahko izračunamo potenco dvočlenika ali binoma.

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛0)𝑎𝑛 + (

𝑛1)𝑎𝑛−1𝑏 + (

𝑛2)𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+ (

𝑛𝑛 − 1

)𝑎𝑏𝑛−1 + (𝑛𝑛) 𝑏𝑛 =

=∑(𝑛𝑟)

𝑛

𝑟=0

𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟

Množica z 𝑛 elementi ima 2𝑛 podmnožic.

→ Binomski simbol (𝑛𝑟) pomeni število kombinacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov

oz. število podmnožic z močjo 𝑟 množice z močjo 𝑛.

Naj ima množica 𝒜 𝑛 elementov. Množico vseh podmnožic množice 𝒜 imenujemo potenčna množica 𝒫𝒜 množice 𝒜.

Potenčna množica vsebuje eno (1 = (𝑛0)) prazno množico ∅, 𝑛 = (

𝑛1) množic z enim elementom, (

𝑛2)

množic z dvema elementoma ... in eno (1 = (𝑛𝑛)) celo množico 𝒜. Z upoštevanjem binomskega izreka,

za 𝑎 in 𝑏 vstavimo vrednost 𝑎 = 𝑏 = 1, ugotovimo, da je vseh množic

(𝑛0) + (

𝑛1) + (

𝑛2) +⋯+ (

𝑛𝑛) = (1 + 1)𝑛 = 2𝑛.

To je število elementov potenčne množice 𝒫𝒜 oz. število podmnožic množice 𝒜.

6. Opišite Pascalov trikotnik in pojasnite zvezo z binomskimi simboli.

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

⋯

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Vrstice Pascalovega trikotnika so koeficienti v razvoju potenc dvočlenikov ali binomov oz. koeficienti v binomskem izreku. To so binomski simboli. S seštevanjem dveh koeficientov v vrstici dobimo koeficient v naslednji vrstici. To sledi iz lastnosti binomskih simbolov

(𝑛𝑟) + (

𝑛𝑟 + 1

) = (𝑛 + 1𝑟 + 1

) , 𝑛 ≥ 𝑟 + 1.

7. → Primerjajte variacije brez ponavljanja s kombinacijami. Kakšna je povezava med številoma 𝑉𝑛

𝑟 in

𝐶𝑛𝑟?

Pri variacijah je pomemben vrstni red elementov. Če zamenjamo vrstni red različnih elementov, dobimo drugo variacijo. Pri kombinacijah nas zanima le razdelitev elementov v skupine, ne pa vrstni red elementov.

Variacije reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 elementov je razporeditev 𝑟 različnih elementov v vrsto oz. niz 𝑟 različnih elementov, ki jih izbiramo izmed 𝑛 različnih elementov, 𝑟 ≤ 𝑛.

Kombinacije reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov so podmnožice z močjo 𝑟 množice z močjo 𝑛.

Število vseh variacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov je

𝑉𝑛𝑟 = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑟 + 1) =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Število vseh kombinacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov je

𝐶𝑛𝑟 =

𝑉𝑛𝑟

𝑟!=𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑟 + 1)

𝑟!=

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Povezava med številom kombinacij in variacij reda 𝑟 brez ponavljanja iz 𝑛 različnih elementov je

𝐶𝑛𝑟 =

𝑉𝑛𝑟

𝑟! ali 𝑉𝑛

𝑟 = 𝐶𝑛𝑟 ∙ 𝑟!

VERJETNOSTI RAČUN

1. Opišite osnovne pojme verjetnostnega računa: poskus, dogodek (nemogoč, gotov, slučajni,

elementarni, sestavljeni) in definirajte verjetnost dogodka.

Poskus je vsako dejanje, ki ga opravimo v natanko določenih pogojih. Če kakšen pogoj spremenimo, ni več isti poskus.

Dogodek je pojav, ki se v poskusu lahko zgodi ali pa se ne zgodi. Dogodek vedno proučujemo v okviru natanko določenega poskusa.

Gotov dogodek je dogodek, ki se v vsaki ponovitvi poskusa gotovo zgodi.

Nemogoč dogodek je dogodek, ki se v nobeni ponovitvi poskusa ne more zgoditi.

Slučajni dogodek je dogodek, ki se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v nekaterih ponovitvah pa ne.

Dogodek je sestavljen, če ga lahko izrazimo kot vsoto vsaj dveh med seboj nezdružljivih dogodkov, od katerih ni nobeden nemogoč dogodek. Elementarni dogodek ali izid je dogodek, ki ni sestavljen. Oznaka 𝐸... ali 𝐸1, 𝐸2...

Statistična definicija verjetnosti

Verjetnost dogodka 𝐴 v proučevanem poskusu je število 𝑃(𝐴), pri katerem se ustali relativna frekvenca dogodka 𝐴 v dovolj velikem številu ponovitev tega poskusa.

Klasična definicija verjetnosti

Verjetnost dogodka 𝐴 v nekem poskusu je razmerje med številom ugodnih elementarnih dogodkov za nastop danega dogodka in številom vseh elementarnih dogodkov v tem poskusu.

𝑚… število ugodnih elementarnih dogodkov za nastop dogodka 𝐴 𝑛… število vseh elementarnih dogodkov v poskusu

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛

Pogoj, da je ta definicija v redu je, da imajo vsi elementarni dogodki enako verjetnost. Pravimo, da je popoln sistem elementarnih dogodkov simetričen.

2. Kaj je vsota dogodkov in kaj je nasprotni dogodek? Kako izračunamo verjetnost nasprotnega

dogodka in verjetnost vsote dogodkov?

Vsota ali unija dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če se zgodi vsaj eden od danih dogodkov. Oznaka: 𝐴 ∪ 𝐵 ali 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ...

Negacija dogodka ali nasprotni dogodek k danemu dogodku je dogodek, ki se zgodi, če se dani dogodek ne zgodi. Oznaka 𝐴′.

Velja: 𝐴 ∩ 𝐴′ = 𝑁 in 𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝐺

Vsota verjetnosti dogodka in njegove negacije je enaka 1.

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴′) = 1 , 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴′)

Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti posameznih dogodkov.

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑁 ⟹ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Verjetnost vsote poljubnih dogodkov:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

3. → Kaj je produkt dogodkov? Kako izračunamo verjetnost produkta? Kdaj sta dogodka neodvisna?

Kako izračunamo verjetnost produkta neodvisnih dogodkov?

Produkt ali presek dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če se zgodijo vsi dani dogodki hkrati. Oznaka: 𝐴 ∩ 𝐵 ali 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ...

Velja: 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 in 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵 in 𝐵 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵

Dogodka 𝐴 in 𝐵 sta neodvisna, če je pogojna verjetnost 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) ali 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵). (Pogoja 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) in 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) sta vedno izpolnjena hkrati. To sledi iz verjetnosti produkta dogodkov.)

Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov je produkt verjetnosti posameznih dogodkov.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) Dogodka 𝐴 in 𝐵 sta odvisna, če je 𝑃(𝐴/𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) ali 𝑃(𝐵/𝐴) ≠ 𝑃(𝐵).

Za odvisna dogodka moramo verjetnost produkta računati s pogojno verjetnostjo. Verjetnost produkta je 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴/𝐵).

4. → Definirajte pogojno verjetnost. Kdaj sta dogodka neodvisna? Kako izračunamo verjetnost

produkta neodvisnih dogodkov?

Naj bo popoln sistem elementarnih dogodkov simetričen. Verjetnosti dogodka 𝐴 pri pogoju, da se je zgodil nek drug dogodek 𝐵, rečemo pogojna verjetnost dogodka 𝐴 glede na dogodek 𝐵 oz. pri pogoju 𝐵. Oznaka: 𝑃(𝐴/𝐵)

Pogojna verjetnost dogodka 𝐴 pri pogoju 𝐵:

𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

Če sta dogodka 𝐴 in 𝐵 nezdružljiva, je 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑁 in zato 𝑃(𝐴/𝐵) = 0.

Dogodka 𝐴 in 𝐵 sta neodvisna, če je pogojna verjetnost 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) ali 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵). (Pogoja 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) in 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) sta vedno izpolnjena hkrati. To sledi iz verjetnosti produkta dogodkov.)

Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

5. → Opišite Bernoullijevo zaporedje. Kako izračunamo verjetnost dogodka v Bernoullijevem zaporedju?

Bernoullijevo zaporedje je zaporedje neodvisnih poskusov, pri katerih se v vsakem poskusu zanimamo le za to, ali se zgodi dani dogodek 𝐴 ali pa njegova negacija 𝐴′.

Dogodek 𝐴 naj ima verjetnost 𝑃(𝐴) = 𝑝. Dogodek 𝐴′ ima torej verjetnost 𝑃(𝐴′) = 1 − 𝑝 = 𝑞.

Verjetnost dogodka, da se v 𝑛 ponovitvah poskusa dogodek 𝐴, ki ima v posamezni ponovitvi poskusa verjetnost 𝑝, zgodi natanko 𝑘-krat, dogodek 𝐴′ pa (𝑛 − 𝑘)-krat:

𝑃(𝑛; 𝑝; 𝑘) = (𝑛𝑘)𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 = (

𝑛𝑘)𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 Bernoullijev obrazec

STATISTIKA

1. Na primeru opišite osnovne statistične pojme: populacija, vzorec, statistična enota, statistični znak,

statistični parameter.

Populacija ali statistična množica je množica, ki jo proučujemo.

Vzorec je del populacije, ki jo proučimo.

Statistična enota je posamezen element populacije.

Statistični znak ali statistična spremenljivka ali podatek je tista značilnost populacije, ki nas v konkretnem proučevanju zanima.

Statistični parametri so značilnosti populacije kot celote.

Primer: Nadmorska višina slovenskih mest.

Populacija: Vsa slovenska mesta.

Vzorec: Vzorec so lahko kar vsa slovenska mesta, če nas zanimajo vsa. Sicer je vzorec množica tistih mest, ki ji dejansko proučimo.

Statistična enota: Posamezno mesto.

Statistični znak: Nadmorska višina mesta.

Statistični parameter: Povprečna nadmorska višina slovenskih mest ali kakšna druga ugotovitev o nadmorski višini slovenskih mest.

2. Kaj pomenijo aritmetična sredina, mediana in modus in kako jih izračunamo?

Aritmetična sredina dveh števil 𝑎 in 𝑏 je 𝑎+𝑏

2.

Aritmetična sredina ali povprečna vrednost števil 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁 je

𝜇 = �� =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑁

𝑁=∑ 𝑥𝑖𝑁𝑖=1

𝑁.

Če je več enakih vrednosti, npr. 𝑓1 vrednosti 𝑥1, 𝑓2 vrednosti 𝑥2, … 𝑓𝑟 vrednosti 𝑥𝑟, izračunamo aritmetično sredino ali povprečno vrednost

𝜇 = �� =𝑓1𝑥1+𝑓2𝑥2+⋯+𝑓𝑟𝑥𝑟

𝑁=∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑟𝑖=1

𝑁.

Če številske podatke razvrstimo po velikosti, je mediana podatek, od katerega je polovica podatkov

manjših, polovica pa večjih. Če je podatkov liho število, je mediana ravno srednji podatek (podatek na 𝑁+1

2 – tem mestu). Če je podatkov sodo število, je mediana aritmetična sredina srednjih dveh podatkov.

Modus je podatek, ki se največkrat pojavi. Modusov je lahko tudi več, če najbolj pogost podatek ni

samo eden, ampak se več podatkov pojavi enakokrat.

0

2

4

6

8

10

12

0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

Število dijakov

Oddaljenost v km

Oddaljenost od šole

3. Opišite prikaz statističnih podatkov na tri različne načine.

Načine prikazovanja predstavimo na primeru.

Oddaljenosti domov dijakov od šole v km: 𝑁 = 30

2, 4, 7, 11, 11, 14, 29, 18, 21, 24, 1, 1, 1, 6, 21, 17, 18, 12, 11, 11, 5, 3, 9, 16, 10, 14, 10, 13, 3, 5

Uredimo podatke po velikosti:

1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 16, 17, 18, 18, 21, 21, 24, 29

Populacija: dijaki šole, vzorec: dijaki enega razreda, statistična enota: posamezni dijak, statistični znak, podatek, spremenljivka: oddaljenost od šole

Prikaz podatkov:

Tabela: Podatke združimo v razrede

Razred Oddaljenost (v km) Sredina (v km) Število dijakov (𝑓𝑘) Delež dijakov (𝑓𝑘0)

1 0 – 5 2,5 7 0,233

2 5 – 10 7,5 5 0,166

3 10 – 15 12,5 10 0,333

4 15 – 20 17,5 4 0,133

5 20 – 25 22,5 3 0,100

6 25 – 30 27,5 1 0,033

Skupaj 30

Frekvenčni poligon

0

2

4

6

8

10

0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

Število dijakov

Oddaljenost v km

Oddaljenost od šole

0

5

10

0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

Število dijakov

Oddaljenost v km

Oddaljenost od šole

23%

17%

34%

13%

10% 3%

Oddaljenost od šole

0 – 5

5 – 10

10 – 15

15 – 20

20 – 25

25 – 30

Frekvenčni histogram, stolpčni diagram

Frekvenčni kolač ali strukturni krog

4. Razložite pojme: variacijski razmik, standardni odklon in medčetrtinski razmik?

Variacijski razmik ali razpon je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo statistične spremenljivke:

𝑅 = 𝑥max − 𝑥min

Variacijski razmik je torej izračunan iz obeh skrajnih vrednosti statistične spremenljivke, ne glede na to, kako so razporejene vrednosti vmes. Lahko so razporejene enakomerno, lahko je večina bližje najmanjši vrednosti, lahko je večina bližje največji vrednosti. Iz variacijskega razmika ne moremo razbrati, kako so posamezne vrednosti razporejene med najmanjšo in največjo vrednostjo.

Medčetrtinski razmik ali interkvartilni rang je razlika med tretjim in prvim kvartilom

𝐼𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1

Prvi kvartil je mediana prve polovice podatkov (od prvega podatka do mediane celega niza podatkov), tretji kvartil pa je mediana druge polovice podatkov (od mediane celega niza podatkov do zadnjega podatka).

Variacijski razmik, mediano, kvartile in medčetrtinski razmik lahko zelo nazorno ponazorimo s škatlo z brki ali diagramom kvartilov.

Disperzija ali varianca ter standardni odklon povesta, kako so posamezne vrednosti razpršene okrog srednje vrednosti. Če sta majhna, so vrednosti blizu srednje vrednosti, če sta velika, pa so posamezne vrednosti bolj oddaljene od srednje vrednosti.

Disperzija ali varianca je povprečje kvadratov odklonov posameznih vrednosti od povprečne vrednosti. Standardni odklon ali standardna deviacija 𝜎 je koren iz disperzije. Če so vrednosti 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁 in srednja vrednost 𝜇, je disperzija

𝜎2 = 𝐷 = (𝑥1−𝜇)

2+(𝑥2−𝜇)2+ ⋯ +(𝑥𝑁−𝜇)

2

𝑁 = ∑ (𝑥𝑖−𝜇)

2𝑁𝑖=1

𝑁.

Če je več enakih vrednosti, npr. 𝑓1 vrednosti 𝑥1, 𝑓2 vrednosti 𝑥2, … 𝑓𝑟 vrednosti 𝑥𝑟 in srednja vrednost 𝜇, izračunamo disperzijo

𝜎2 = 𝐷 = 𝑓1(𝑥1−𝜇)

2 +𝑓2(𝑥2−𝜇)

2+ ⋯ +𝑓𝑟(𝑥𝑟−𝜇)2

𝑁 = ∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖−𝜇)

2𝑟𝑖=1

𝑁.

Disperzijo lahko izračunamo tudi

𝜎2 = 𝐷 = 𝑥12+𝑥2

2+ ⋯ +𝑥𝑁2

𝑁 −𝜇2 ali 𝜎2 = 𝐷 =

𝑓1𝑥12 +𝑓2𝑥2

2+ ⋯ +𝑓𝑟𝑥𝑟2

𝑁 −𝜇2.

Standardni odklon je

𝜎 = √𝐷 = √(𝑥1−𝜇)

2+(𝑥2−𝜇)2+ ⋯ +(𝑥𝑁−𝜇)

2

𝑁 ali 𝜎 = √𝐷 = √

𝑓1(𝑥1−𝜇)2 +𝑓2(𝑥2−𝜇)

2+ ⋯ +𝑓𝑟(𝑥𝑟−𝜇)2

𝑁 .