Osnove matematike - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA...Osnove matematiµcke logike De–nicija. Sud (izjava) je svaka smislena izjavna reµcenica

Osnove matematike

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Osnove matematike 1 / 64

Osnove matematicke logike

Definicija. Sud (izjava) je svaka smislena izjavna recenica koja je samoistinita ili samo lazna.

Zadatak. Koja od sljedecih recenica je sud:

a) "Krava je zivotinja." b) "Broj 4 je veci od broja 6."c) "x je vece od 3." d) "Je li danas vruce?"

Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b) lazan sud, c) nije sud, d) nije sud.

Napomena. Uvodimo oznake:

sudove cemo oznacavati slovima A,B,C , . . . ;istinosnu vrijednost suda A oznacavat cemo s t(A),

ako je sud A istinit, pišemo t(A) = >,ako je sud A lazan, pišemo t(A) = ⊥.



Definicija.

Sud (izjava) je svaka smislena izjavna recenica koja je samoistinita ili samo lazna.



Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:








Zadatak.

Koja od sljedecih recenica je sud:


Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:









a) "Krava je zivotinja."

b) "Broj 4 je veci od broja 6."c) "x je vece od 3." d) "Je li danas vruce?"

Rješenje. Vrijedi:









a) "Krava je zivotinja." b) "Broj 4 je veci od broja 6."

c) "x je vece od 3." d) "Je li danas vruce?"

Rješenje. Vrijedi:









a) "Krava je zivotinja." b) "Broj 4 je veci od broja 6."c) "x je vece od 3."

d) "Je li danas vruce?"

Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:










Rješenje.

Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:

a)

istinit sud, b) lazan sud, c) nije sud, d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud,

b) lazan sud, c) nije sud, d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b)

lazan sud, c) nije sud, d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b) lazan sud,

c) nije sud, d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b) lazan sud, c)

nije sud, d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b) lazan sud, c) nije sud,

d) nije sud.









Rješenje. Vrijedi:

a) istinit sud, b) lazan sud, c) nije sud, d)

nije sud.









Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:


Napomena.

Uvodimo oznake:








Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:



sudove cemo oznacavati slovima A,B,C , . . . ;

istinosnu vrijednost suda A oznacavat cemo s t(A),ako je sud A istinit, pišemo t(A) = >,ako je sud A lazan, pišemo t(A) = ⊥.






Rješenje. Vrijedi:










Rješenje. Vrijedi:




ako je sud A istinit, pišemo t(A) = >,

ako je sud A lazan, pišemo t(A) = ⊥.






Rješenje. Vrijedi:







Definicija.

Neka su A i B sudovi. Osnovne logicke operacije (veznici) sasudovima su:

1 negacija, eA (cita se: "nije A"),2 konjukcija, A∧ B (cita se: "A i B"),3 disjunkcija, A∨ B (cita se: "A ili B"),4 implikacija, A⇒ B (cita se: "Ako je A, onda je B." ili "Iz A slijediB." ili "A implicira B." ili "A povlaci B."),

5 ekvivalencija, A⇔ B (cita se: " A je ako i samo ako je B." ili "A jeekvivalentno B.").



Definicija. Neka su A i B sudovi.

Osnovne logicke operacije (veznici) sasudovima su:





Definicija. Neka su A i B sudovi. Osnovne logicke operacije (veznici) sasudovima su:






1 negacija, eA (cita se: "nije A"),

2 konjukcija, A∧ B (cita se: "A i B"),3 disjunkcija, A∨ B (cita se: "A ili B"),4 implikacija, A⇒ B (cita se: "Ako je A, onda je B." ili "Iz A slijediB." ili "A implicira B." ili "A povlaci B."),





1 negacija, eA (cita se: "nije A"),2 konjukcija, A∧ B (cita se: "A i B"),

3 disjunkcija, A∨ B (cita se: "A ili B"),4 implikacija, A⇒ B (cita se: "Ako je A, onda je B." ili "Iz A slijediB." ili "A implicira B." ili "A povlaci B."),





1 negacija, eA (cita se: "nije A"),2 konjukcija, A∧ B (cita se: "A i B"),3 disjunkcija, A∨ B (cita se: "A ili B"),

4 implikacija, A⇒ B (cita se: "Ako je A, onda je B." ili "Iz A slijediB." ili "A implicira B." ili "A povlaci B."),














Istinosna vrijednost slozenih sudova:

ne ovisi o sadrzaju jednostavnijih sudova,ovisi samo o istinosnoj vrijednosti jednostavnijih sudova,

i to po sljedecoj istinosnoj tablici:

t(A) t(B) t(eA) t(A∧ B) t(A∨ B) t(A⇒ B) t(A⇔ B)

> > ⊥ > > > >> ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥⊥ > > ⊥ > > ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > >




ne ovisi o sadrzaju jednostavnijih sudova,

ovisi samo o istinosnoj vrijednosti jednostavnijih sudova,



> > ⊥ > > > >> ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥⊥ > > ⊥ > > ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > >







> > ⊥ > > > >> ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥⊥ > > ⊥ > > ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > >







> > ⊥ > > > >> ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥⊥ > > ⊥ > > ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > >







> > ⊥ > > > >> ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥⊥ > > ⊥ > > ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > >



Zadatak.

Zadani su sudovi

A = "Split je u Dalmaciji." i B = "Split nije na moru."

Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi

eA = "Split nije u Dalmaciji.",

A∧ B = "Split je u Dalmaciji i Split nije na moru.",

A∨ B = "Split je u Dalmaciji ili Split nije na moru.",

(A⇒ B) = "Ako je Split u Dalmaciji, onda Split nije na moru.",

(A⇔ B) = "Split je u Dalmaciji ako i samo ako Split nije na moru.".

Istinosna vrijednost ovih sudova iskazana je u sljedecoj tablici.

A B eA A∧ B A∨ B A⇒ B A⇔ B

> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED



Zadatak. Zadani su sudovi

A = "Split je u Dalmaciji."

i B = "Split nije na moru."









> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B.

Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA,

A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B,

A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,

A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B

i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B,

te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.

Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedieA = "Split nije u Dalmaciji.",







> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje.

Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥. Nadalje vrijedieA = "Split nije u Dalmaciji.",







> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED





Utvrdi istinosnu vrijednost sudova A i B. Iskazi sudove eA, A∧ B, A∨ B,A⇒ B i A⇔ B, te im utvrdi istinosnu vrijednost.Rješenje. Za sudove A i B vrijedi t(A) = > i t(B) = ⊥.

Nadalje vrijedi








> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED






eA =

"Split nije u Dalmaciji.",







> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED







A∧ B =

"Split je u Dalmaciji i Split nije na moru.",






> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED








A∨ B =

"Split je u Dalmaciji ili Split nije na moru.",





> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED









(A⇒ B) =

"Ako je Split u Dalmaciji, onda Split nije na moru.",




> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED










(A⇔ B) =

"Split je u Dalmaciji ako i samo ako Split nije na moru.".



> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥

⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥

⊥ > ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥

> ⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ >

⊥ ⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥

⊥. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥

. QED













> ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥. QED



Definicija.

Otvorena recenica ili predikat je izjavna recenica koja sadrziparametre i koja postaje sud kada parametri poprime odre�enu vrijednost.

Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj" je predikat s jednim parametrom (oznaka P(x)),2 "x je vece od y" je predikat s dva parametra (oznaka P(x , y)).

Kad se izrazavamo predikatima, najcešce koristimo kvantifikatore:

1 univerzalni,

(∀x)P(x) (citamo: "za svaki x je P(x)")

2 egzistencijalni,

(∃x)P(x) (citamo: "postoji x za koji je P(x)")(∃!x)P(x) (citamo: "postoji tocno jedan x za koji je P(x)")



Definicija. Otvorena recenica ili predikat

je izjavna recenica koja sadrziparametre i koja postaje sud kada parametri poprime odre�enu vrijednost.

Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,




Definicija. Otvorena recenica ili predikat je izjavna recenica koja sadrziparametre

i koja postaje sud kada parametri poprime odre�enu vrijednost.

Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,




Definicija. Otvorena recenica ili predikat je izjavna recenica koja sadrziparametre i koja postaje sud kada parametri poprime odre�enu vrijednost.

Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj"

je predikat s jednim parametrom (oznaka P(x)),2 "x je vece od y" je predikat s dva parametra (oznaka P(x , y)).


1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj" je predikat s jednim parametrom

(oznaka P(x)),2 "x je vece od y" je predikat s dva parametra (oznaka P(x , y)).


1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj" je predikat s jednim parametrom (oznaka P(x)),

2 "x je vece od y" je predikat s dva parametra (oznaka P(x , y)).


1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj" je predikat s jednim parametrom (oznaka P(x)),2 "x je vece od y"

je predikat s dva parametra (oznaka P(x , y)).


1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:

1 "x je paran broj" je predikat s jednim parametrom (oznaka P(x)),2 "x je vece od y" je predikat s dva parametra

(oznaka P(x , y)).


1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,

(∀x)P(x)

(citamo: "za svaki x je P(x)")

2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,





Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,

(∃x)P(x)

(citamo: "postoji x za koji je P(x)")(∃!x)P(x) (citamo: "postoji tocno jedan x za koji je P(x)")




Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,

(∃x)P(x) (citamo: "postoji x za koji je P(x)")

(∃!x)P(x) (citamo: "postoji tocno jedan x za koji je P(x)")




Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,

(∃x)P(x) (citamo: "postoji x za koji je P(x)")(∃!x)P(x)

(citamo: "postoji tocno jedan x za koji je P(x)")




Primjerice vrijedi:



1 univerzalni,


2 egzistencijalni,




Zadatak.

Neka je P(x) predikat "x je vece od 5". Iskazi recenice:

a) (∀x ∈N)P(x), b) (∃x ∈N)P(x), c) (∃!x ∈N)P(x),

te utvrdi njihovu istinosnu vrijednost.

Rješenje. Vrijedi:

a) "Za svaki x ∈N vrijedi da je x veci od 5." (laz)

b) "Postoji x ∈N takav da je x veci od 5." (istina)

c) "Postoji tocno jedan x ∈N takav da je x veci od 5." (laz)



Zadatak. Neka je P(x) predikat "x je vece od 5".

Iskazi recenice:



Rješenje. Vrijedi:






Zadatak. Neka je P(x) predikat "x je vece od 5". Iskazi recenice:



Rješenje. Vrijedi:







a) (∀x ∈N)P(x),

b) (∃x ∈N)P(x), c) (∃!x ∈N)P(x),


Rješenje. Vrijedi:







a) (∀x ∈N)P(x), b) (∃x ∈N)P(x),

c) (∃!x ∈N)P(x),


Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje.

Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:

a)

"Za svaki x ∈N vrijedi da je x veci od 5." (laz)








Rješenje. Vrijedi:

a) "Za svaki x ∈N vrijedi da je x veci od 5."

(laz)








Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:


b)

"Postoji x ∈N takav da je x veci od 5." (istina)







Rješenje. Vrijedi:


b) "Postoji x ∈N takav da je x veci od 5."

(istina)







Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:



c)

"Postoji tocno jedan x ∈N takav da je x veci od 5." (laz)






Rješenje. Vrijedi:



c) "Postoji tocno jedan x ∈N takav da je x veci od 5."

(laz)






Rješenje. Vrijedi:






Zadatak.

Neka je P(x , y) predikat "y je vece od x". Iskazi recenice:

a) (∀x ∈N)(∃y ∈N)P(x , y), b) (∃y ∈N)(∀x ∈N)P(x , y),


Rješenje. Vrijedi:

a) "Za svaki x ∈N postoji y ∈N takav da je y veci od x ."(istina)

b) "Postoji y ∈N tako da za svaki x ∈N vrijedi y je veci od x ."(laz)

Napomena. Uocimo da je poredak kvantificiranja bitan, jer daje logickirazlicite recenice!



Zadatak. Neka je P(x , y) predikat "y je vece od x".

Iskazi recenice:



Rješenje. Vrijedi:






Zadatak. Neka je P(x , y) predikat "y je vece od x". Iskazi recenice:



Rješenje. Vrijedi:







a) (∀x ∈N)(∃y ∈N)P(x , y),

b) (∃y ∈N)(∀x ∈N)P(x , y),


Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje.

Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:

a)

"Za svaki x ∈N postoji y ∈N takav da je y veci od x ."(istina)








Rješenje. Vrijedi:

a) "Za svaki x ∈N postoji y ∈N takav da je y veci od x ."

(istina)








Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:


b)

"Postoji y ∈N tako da za svaki x ∈N vrijedi y je veci od x ."(laz)







Rješenje. Vrijedi:


b) "Postoji y ∈N tako da za svaki x ∈N vrijedi y je veci od x ."

(laz)







Rješenje. Vrijedi:









Rješenje. Vrijedi:



Napomena.

Uocimo da je poredak kvantificiranja bitan, jer daje logickirazlicite recenice!






Rješenje. Vrijedi:



Napomena. Uocimo da je poredak kvantificiranja bitan,

jer daje logickirazlicite recenice!






Rješenje. Vrijedi:






Definicija.

Formula je svaki izraz F sastavljen na logicki dopustiv nacinod sudova, predikata, kvantifikatora, zagrada, znakova > i ⊥, te logickihoperacija (veznika).

Kazemo da su dvije formule F i G ekvivalentne ili jednako vrijedne akoimaju istu istinosnu vrijednost (tj. t(F ) = t(G)) za svaki moguci izbornjihovih varijabli.



Definicija. Formula je svaki izraz F

sastavljen na logicki dopustiv nacinod sudova, predikata, kvantifikatora, zagrada, znakova > i ⊥, te logickihoperacija (veznika).




Definicija. Formula je svaki izraz F sastavljen na logicki dopustiv nacin

od sudova, predikata, kvantifikatora, zagrada, znakova > i ⊥, te logickihoperacija (veznika).




Definicija. Formula je svaki izraz F sastavljen na logicki dopustiv nacinod sudova, predikata, kvantifikatora, zagrada, znakova > i ⊥, te logickihoperacija (veznika).





Kazemo da su dvije formule F i G ekvivalentne ili jednako vrijedne

akoimaju istu istinosnu vrijednost (tj. t(F ) = t(G)) za svaki moguci izbornjihovih varijabli.






Osnove teorije skupova

Pojam skupa je:

osnovni pojam u matematici (ne svodi se na jednostavnije pojmove),

svojstva se zadaju aksiomatski (necemo to raditi),

odre�en je svojim elementima.

Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,a ∈ S ako a jest element skupa S ,z 6∈ S ako z nije element skupa S ,φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena.

Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,

mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,a ∈ S ako a jest element skupa S ,z 6∈ S ako z nije element skupa S ,φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,

S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,a ∈ S ako a jest element skupa S ,z 6∈ S ako z nije element skupa S ,φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,

a ∈ S ako a jest element skupa S ,z 6∈ S ako z nije element skupa S ,φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,a ∈ S ako a jest element skupa S ,

z 6∈ S ako z nije element skupa S ,φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:

velika slova A, S , X , . . . za skupove,mala slova a, b, x , . . . za elemente skupova,S = {a, f , g , k} za skup S koji se sastoji od elemenata a, f , g , k,a ∈ S ako a jest element skupa S ,z 6∈ S ako z nije element skupa S ,

φ za prazan skup (ne {φ}!!!).



Pojam skupa je:




Napomena. Pišemo:




Definicija.

Neka je S skup. Kazemo da je skup X podskup skupa S (ipišemo X ⊆ S) ako je svaki element skupa X sadrzan u skupu S . Kazemojoši da je S nadskup skupa X .

Napomena. Podskup X skupa S mozemo zadati pomocu nekog predikataP(x), pa pišemo X = {x ∈ S : P(x)} .

Zadatak. Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)} ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} , apredikat P(x) glasi "x je paran".Rješenje. Vrijedi

X = {x ∈ S : P(x)} = {x ∈ S : x je paran} = {4, 8} .



Definicija. Neka je S skup.

Kazemo da je skup X podskup skupa S (ipišemo X ⊆ S) ako je svaki element skupa X sadrzan u skupu S . Kazemojoši da je S nadskup skupa X .






Definicija. Neka je S skup. Kazemo da je skup X podskup skupa S (ipišemo X ⊆ S)

ako je svaki element skupa X sadrzan u skupu S . Kazemojoši da je S nadskup skupa X .






Definicija. Neka je S skup. Kazemo da je skup X podskup skupa S (ipišemo X ⊆ S) ako je svaki element skupa X sadrzan u skupu S .

Kazemojoši da je S nadskup skupa X .






Definicija. Neka je S skup. Kazemo da je skup X podskup skupa S (ipišemo X ⊆ S) ako je svaki element skupa X sadrzan u skupu S . Kazemojoši da je S nadskup skupa X .













Napomena.

Podskup X skupa S mozemo zadati pomocu nekog predikataP(x), pa pišemo X = {x ∈ S : P(x)} .






Napomena. Podskup X skupa S mozemo zadati pomocu nekog predikataP(x),

pa pišemo X = {x ∈ S : P(x)} .













Zadatak.

Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)} ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} , apredikat P(x) glasi "x je paran".Rješenje. Vrijedi






Zadatak. Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)}

ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} , apredikat P(x) glasi "x je paran".Rješenje. Vrijedi






Zadatak. Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)} ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} ,

apredikat P(x) glasi "x je paran".Rješenje. Vrijedi






Zadatak. Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)} ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} , apredikat P(x) glasi "x je paran".

Rješenje. Vrijedi






Zadatak. Odredi skup X = {x ∈ S : P(x)} ako je S = {1, 3, 4, 7, 8} , apredikat P(x) glasi "x je paran".Rješenje.

Vrijedi







X = {x ∈ S : P(x)} =

{x ∈ S : x je paran} = {4, 8} .






X = {x ∈ S : P(x)} = {x ∈ S : x je paran} =

{4, 8} .









Definicija.

Kazemo da su skupovi X i Y jednaki (i pišemo X = Y ) akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X . U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti (pišemo X 6= Y ).

Kazemo da je skup X pravi podskup skupa Y ako je X ⊆ Y i X 6= Y .



Definicija. Kazemo da su skupovi X i Y jednaki

(i pišemo X = Y ) akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X . U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti (pišemo X 6= Y ).




Definicija. Kazemo da su skupovi X i Y jednaki (i pišemo X = Y )

akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X . U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti (pišemo X 6= Y ).




Definicija. Kazemo da su skupovi X i Y jednaki (i pišemo X = Y ) akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X .

U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti (pišemo X 6= Y ).




Definicija. Kazemo da su skupovi X i Y jednaki (i pišemo X = Y ) akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X . U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti

(pišemo X 6= Y ).




Definicija. Kazemo da su skupovi X i Y jednaki (i pišemo X = Y ) akovrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ X . U suprotnom kazemo da su skupovi X i Yrazliciti (pišemo X 6= Y ).





Kazemo da je skup X pravi podskup skupa Y

ako je X ⊆ Y i X 6= Y .







Definicija.

Neka je S skup, te X i Y podskupovi skupa S . Definiramosljedece skupove.

1 Unija skupova X i Y je skup X ∪ Y koji sadrzi elemente skupa S kojisu sadrzani u X ili u Y .

2 Presjek skupova X i Y je skup X ∩ Y koji sadrzi elemente skupa Skoji su sadrzani u X i u Y .

3 Razlika skupova X i Y je skup X\Y koji sadrzi elemente skupa S kojisu sadrzani u skupu X , a nisu sadrzani u skupu Y .

4 Komplement skupa X je skup c(X ) koji sadrzi elemente skupa S kojinisu sadrzani u skupu X .



Definicija. Neka je S skup, te X i Y podskupovi skupa S .

Definiramosljedece skupove.







Definicija. Neka je S skup, te X i Y podskupovi skupa S . Definiramosljedece skupove.








1 Unija skupova X i Y je skup X ∪ Y

koji sadrzi elemente skupa S kojisu sadrzani u X ili u Y .















2 Presjek skupova X i Y je skup X ∩ Y

koji sadrzi elemente skupa Skoji su sadrzani u X i u Y .















3 Razlika skupova X i Y je skup X\Y

koji sadrzi elemente skupa S kojisu sadrzani u skupu X , a nisu sadrzani u skupu Y .















4 Komplement skupa X je skup c(X )

koji sadrzi elemente skupa S kojinisu sadrzani u skupu X .










unija X ∪ Y

presjek X ∩ Y

razlika X\Y komplement c(X )



unija X ∪ Y presjek X ∩ Y





razlika X\Y

komplement c(X )







Zadatak.

Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .

Odredi X ∪ Y , X ∩ Y , X\Y i c(X ).

Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ,

X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} ,

Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje.

Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y =

{1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,

X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y =

{2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,

X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y =

{3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,

c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) =

{1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Zadatak. Neka je

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , X = {2, 3, 7, 9} , Y = {1, 2, 7, 8, 10} .


Rješenje. Vrijedi

X ∪ Y = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10} ,X ∩ Y = {2, 7} ,X\Y = {3, 9} ,c(X ) = {1, 4, 5, 6, 8, 10} .



Definicija.

Kazemo da su skupovi X ,Y ⊆ S disjunktni, ako jeX ∩ Y = φ.



Definicija. Kazemo da su skupovi X ,Y ⊆ S disjunktni,

ako jeX ∩ Y = φ.



Definicija. Kazemo da su skupovi X ,Y ⊆ S disjunktni, ako jeX ∩ Y = φ.



Definicija. Kazemo da su skupovi X ,Y ⊆ S disjunktni, ako jeX ∩ Y = φ.



Definicija.

Direktni produkt ili kartezijev produkt skupova X i Y je skupX × Y ure�enih parova (x , y) pri cemu je x ∈ X i y ∈ Y , tj. vrijedi

X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .

Zadatak. Odredi X × Y ako je X = {1, 3, 7} i Y = {a, c} .Rješenje. Vrijedi

X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .



Definicija. Direktni produkt ili kartezijev produkt skupova X i Y je skupX × Y

ure�enih parova (x , y) pri cemu je x ∈ X i y ∈ Y , tj. vrijedi

X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .



Definicija. Direktni produkt ili kartezijev produkt skupova X i Y je skupX × Y ure�enih parova (x , y) pri cemu je x ∈ X i y ∈ Y ,

tj. vrijedi

X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .



Definicija. Direktni produkt ili kartezijev produkt skupova X i Y je skupX × Y ure�enih parova (x , y) pri cemu je x ∈ X i y ∈ Y , tj. vrijedi

X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .

Zadatak.

Odredi X × Y ako je X = {1, 3, 7} i Y = {a, c} .Rješenje. Vrijedi

X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .

Zadatak. Odredi X × Y

ako je X = {1, 3, 7} i Y = {a, c} .Rješenje. Vrijedi

X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .

Zadatak. Odredi X × Y ako je X = {1, 3, 7} i Y = {a, c} .

Rješenje. Vrijedi

X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .

Zadatak. Odredi X × Y ako je X = {1, 3, 7} i Y = {a, c} .Rješenje.

Vrijedi

X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y =

{(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c),

(3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) ,

(7, a) , (7, c)} .




X × Y = {(x , y) : x ∈ X i y ∈ Y } .


X × Y = {(1, a), (1, c), (3, a) , (3, c) , (7, a) , (7, c)} .



Posebno je vazan produkt

X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.

Definicija. Binarna relacija na skupu X je svaki skup R ⊆ X × X . Ako je(x , x ′) ∈ R, onda pišemo joši xRx ′ i kazemo da je element x u relaciji Rsa elementom x ′ skupa X .

Primjer. Moze biti

X = skup stanara neke zgrade

X × X = skup parova stanara (npr. Ante i Mate, pa Ante i Jure, pa....)

R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"

R3 = "stanovati na istom katu".




X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.

Definicija.

Binarna relacija na skupu X je svaki skup R ⊆ X × X . Ako je(x , x ′) ∈ R, onda pišemo joši xRx ′ i kazemo da je element x u relaciji Rsa elementom x ′ skupa X .

Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.

Definicija. Binarna relacija na skupu X

je svaki skup R ⊆ X × X . Ako je(x , x ′) ∈ R, onda pišemo joši xRx ′ i kazemo da je element x u relaciji Rsa elementom x ′ skupa X .

Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.

Definicija. Binarna relacija na skupu X je svaki skup R ⊆ X × X .

Ako je(x , x ′) ∈ R, onda pišemo joši xRx ′ i kazemo da je element x u relaciji Rsa elementom x ′ skupa X .

Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.

Definicija. Binarna relacija na skupu X je svaki skup R ⊆ X × X . Ako je(x , x ′) ∈ R, onda pišemo joši xRx ′

i kazemo da je element x u relaciji Rsa elementom x ′ skupa X .

Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer.

Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"





X 2 = X × X ={(x , x ′) : x , x ′ ∈ X

}.


Primjer. Moze biti



R1 = "poznavati se"

R2 = "biti mla�i"




Definicija.

Za binarnu relaciju R na skupu X kazemo da je:

1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .

Zadatak. Skup X je skup stanara neke zgrade. Utvrdi je li relacija Rrefleksivna, simetricna, antisimetricna ili tranzitivna, ako je R relacija:

a) "poznavati se", b) "biti mla�i", c) "stanovati na istom katu".

Rješenje. Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.



Definicija. Za binarnu relaciju R na skupu X kazemo da je:








1 refleksivna,

ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,

2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna,

ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,

3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna,

ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,

4 tranzitivna, ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .







1 refleksivna, ako za svaki x ∈ X vrijedi xRx ,2 simetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy slijedi yRx ,3 antisimetricna, ako za svaki par x , y ∈ X iz xRy i yRx slijedi x = y ,4 tranzitivna,

ako za svaku trojku x , y , z ∈ X iz xRy i yRz slijedi xRz .















Zadatak.

Skup X je skup stanara neke zgrade. Utvrdi je li relacija Rrefleksivna, simetricna, antisimetricna ili tranzitivna, ako je R relacija:







Zadatak. Skup X je skup stanara neke zgrade.

Utvrdi je li relacija Rrefleksivna, simetricna, antisimetricna ili tranzitivna, ako je R relacija:







Zadatak. Skup X je skup stanara neke zgrade. Utvrdi je li relacija Rrefleksivna, simetricna, antisimetricna ili tranzitivna,

ako je R relacija:















a) "poznavati se",

b) "biti mla�i", c) "stanovati na istom katu".







a) "poznavati se", b) "biti mla�i",

c) "stanovati na istom katu".















Rješenje.

Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:

a) relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:a)

relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;

b) relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;b)

relacija R je samo tranzitivna;c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;

c) relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.







Rješenje. Vrijedi:a) relacija R je samo refleksivna;b) relacija R je samo tranzitivna;c)

relacija R je refleksivna, simetricna i tranzitivna, ali nije antisimetricna.










Definicija.

Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna, simetricna itranzitivna zovemo relacijom ekvivalencije i oznacavamo sa ∼ (tilda). Zadva elementa skupa X koji su u relaciji ekvivalencije ∼ kazemo da suekvivalentni.

Relacija ekvivalencije na X cijepa X na disjunktne klase, tako da:

svaka dva elementa iz iste klase me�usobno ekvivalentna,

nikoja dva elementa iz razlicitih klasa nisu ekvivalentni.

Primjer. Primjeri relacije ekvivalencije su:

X =skup trokutovaR ="biti slican"

iliX =skup pravacaR ="biti paralelan"



Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna, simetricna itranzitivna zovemo relacijom ekvivalencije

i oznacavamo sa ∼ (tilda). Zadva elementa skupa X koji su u relaciji ekvivalencije ∼ kazemo da suekvivalentni.









Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna, simetricna itranzitivna zovemo relacijom ekvivalencije i oznacavamo sa ∼ (tilda).

Zadva elementa skupa X koji su u relaciji ekvivalencije ∼ kazemo da suekvivalentni.









Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna, simetricna itranzitivna zovemo relacijom ekvivalencije i oznacavamo sa ∼ (tilda). Zadva elementa skupa X koji su u relaciji ekvivalencije ∼ kazemo da suekvivalentni.








































Primjer.

Primjeri relacije ekvivalencije su:
































Definicija.

Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna,antisimetricna i tranzitivna zovemo relacijom ure�aja.

Primjer. Primjeri relacije ure�aja su:

X = skup brojeva (N, Z, Q, R)R = "≤"



Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X

koja je refleksivna,antisimetricna i tranzitivna zovemo relacijom ure�aja.





Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna,antisimetricna i tranzitivna

zovemo relacijom ure�aja.





Definicija. Binarnu relaciju R na skupu X koja je refleksivna,antisimetricna i tranzitivna zovemo relacijom ure�aja.






Primjer.

Primjeri relacije ure�aja su:













Skupovi brojevaSkup prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva

Poznajemo skup:

prirodnih brojevaN = {1, 2, 3, 4, . . .}

cijelih brojeva

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}racionalnih brojeva

Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

racionalnih brojeva

Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}



Poznajemo skup:


cijelih brojeva


Q = {12,23,−75,98, . . .}


Skup realnih brojevaSkup realnih brojeva

Uocimo da:

skupovi N i Z nisu gusti,

skup Q jest gust.

Napomena. Iako je skup Q gust, on ipak ne pokriva cijeli pravac.



Uocimo da:


skup Q jest gust.




Uocimo da:


skup Q jest gust.




Uocimo da:


skup Q jest gust.




Uocimo da:


skup Q jest gust.

Napomena.

Iako je skup Q gust, on ipak ne pokriva cijeli pravac.



Uocimo da:


skup Q jest gust.

Napomena. Iako je skup Q gust,

on ipak ne pokriva cijeli pravac.



Uocimo da:


skup Q jest gust.




Uocimo da:


skup Q jest gust.



Skup realnih brojeva

Definiramo:

nepokrivena tocka pravca⇒ novi broj (iracionalan).

Skup svih iracionalnih brojeva oznacavamo sa I.

Ocito vrijedi: Q∩ I = φ i I 6= φ.

Definicija. Skup realnih brojeva R definiran je sa R = Q∪ I.

Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,

skup R pokriva cijeli pravac.



Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:



Ocito vrijedi:

Q∩ I = φ i I 6= φ.


Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:



Ocito vrijedi: Q∩ I = φ

i I 6= φ.


Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:




Definicija.

Skup realnih brojeva R definiran je sa R = Q∪ I.

Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Definiramo:





Ocito vrijedi:

Q ⊆ R,




Racunske operacije i ure�aj u skupu R.

Operacije +,−, ∗,/ i ure�aj ≤na skupu R uvodi se tako da:

na skupu Q bude isti kao vec prije uveden,

na skupu I pomocu onih na skupu Q.



Racunske operacije i ure�aj u skupu R. Operacije +,−, ∗,/

i ure�aj ≤na skupu R uvodi se tako da:





Racunske operacije i ure�aj u skupu R. Operacije +,−, ∗,/ i ure�aj ≤

na skupu R uvodi se tako da:





Racunske operacije i ure�aj u skupu R. Operacije +,−, ∗,/ i ure�aj ≤na skupu R uvodi se tako da:















Definicija.

Neka su a, b ∈ R. Definiramo skupove

〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .

koje nazivamo ome�enim (ili ogranicenim) intervalima.

Uvodimo i nazive:

〈a, b〉 nazivamo otvorenim intervalom,

[a, b] nazivamo zatvorenim intervalom ili jošsegmentom,

〈a, b] i [a, b〉 nazivamo poluotvornim (ili poluzatvorenim) intervalima.



Definicija. Neka su a, b ∈ R.

Definiramo skupove



Uvodimo i nazive:






Definicija. Neka su a, b ∈ R. Definiramo skupove

〈a, b〉 =

{x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,

〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] =

{x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,

[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 =

{x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:







〈a, b〉 = {x ∈ R : a < x < b} ,〈a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,[a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x < b} ,[a, b] =

{x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .


Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:









Uvodimo i nazive:






Definicija.

Neka su a, b ∈ R. Definiramo skupove

〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R

koje nazivamo neome�enim (ili neogranicenim) intervalima.



Definicija. Neka su a, b ∈ R.

Definiramo skupove


〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 =

{x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,

[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 =

{x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,

〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 =

{x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,

〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,

〈−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ,〈−∞,+∞〉 = R





〈a,+∞〉 = {x ∈ R : x > a} ,[a,+∞〉 = {x ∈ R : x ≥ a} ,〈−∞, b〉 = {x ∈ R : x < b} ,〈−∞, b] =

{x ∈ R : x ≤ b} ,〈−∞,+∞〉 = R






〈−∞,+∞〉 = R






〈−∞,+∞〉 =

R






〈−∞,+∞〉 = R






〈−∞,+∞〉 = R




Definicija.

Neka je X ⊆ R. Kazemo da je:

1 m ∈ X minimum skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ X maksimum skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X .

Napomena. Uocimo da skup ne mora imati ni minimum, ni maksimum.

Primjer. Skupovi:

1 [a,+∞〉 i [a, b〉 nemaju maksimum,2 〈−∞, b] i 〈a, b] nemaju minimum,3 〈a, b〉 i 〈−∞,+∞〉 nemaju ni minimum ni maksimum,4 [a, b] ima i minimum i maksimum.



Definicija. Neka je X ⊆ R.

Kazemo da je:



Primjer. Skupovi:




Definicija. Neka je X ⊆ R. Kazemo da je:



Primjer. Skupovi:





1 m ∈ X minimum skupa X

ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ X maksimum skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X .


Primjer. Skupovi:





1 m ∈ X minimum skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,

2 M ∈ X maksimum skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X .


Primjer. Skupovi:





1 m ∈ X minimum skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ X maksimum skupa X

ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X .


Primjer. Skupovi:







Primjer. Skupovi:






Napomena.

Uocimo da skup ne mora imati ni minimum, ni maksimum.

Primjer. Skupovi:







Primjer. Skupovi:







Primjer.

Skupovi:







Primjer. Skupovi:

1 [a,+∞〉 i [a, b〉 nemaju maksimum,

2 〈−∞, b] i 〈a, b] nemaju minimum,3 〈a, b〉 i 〈−∞,+∞〉 nemaju ni minimum ni maksimum,4 [a, b] ima i minimum i maksimum.






Primjer. Skupovi:

1 [a,+∞〉 i [a, b〉 nemaju maksimum,2 〈−∞, b] i 〈a, b] nemaju minimum,

3 〈a, b〉 i 〈−∞,+∞〉 nemaju ni minimum ni maksimum,4 [a, b] ima i minimum i maksimum.






Primjer. Skupovi:

1 [a,+∞〉 i [a, b〉 nemaju maksimum,2 〈−∞, b] i 〈a, b] nemaju minimum,3 〈a, b〉 i 〈−∞,+∞〉 nemaju ni minimum ni maksimum,

4 [a, b] ima i minimum i maksimum.






Primjer. Skupovi:




Definicija.

Neka je X ⊆ R. Kazemo da je

1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.

Napomena. Cesto se kaze ’me�a/ome�en’=’granica/ogranicen’.

Pitanje. Koja je razlika izme�u minimuma/maksimuma i donje/gornjeme�e skupa X ⊆ R?Odgovor.

minimum : m ∈ X sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ Xdonja me�a : m ∈ R sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ X



Definicija. Neka je X ⊆ R.

Kazemo da je







Definicija. Neka je X ⊆ R. Kazemo da je








1 m ∈ R donja me�a skupa X

ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.







1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,

2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.







1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X

ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.







1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,

3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.







1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,

4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.







1 m ∈ R donja me�a skupa X ako vrijedi m ≤ x za svaki x ∈ X ,2 M ∈ R gornja me�a skupa X ako vrijedi x ≤ M za svaki x ∈ X ,3 skup X ome�en odozdol ako ima donju me�u,4 skup X ome�en odozgor ako ima gornju me�u,

5 skup X ome�en ako je ome�en i odozdol i odozgor.















Napomena.

Cesto se kaze ’me�a/ome�en’=’granica/ogranicen’.















Pitanje.

Koja je razlika izme�u minimuma/maksimuma i donje/gornjeme�e skupa X ⊆ R?Odgovor.







Pitanje. Koja je razlika izme�u minimuma/maksimuma i donje/gornjeme�e skupa X ⊆ R?

Odgovor.minimum : m ∈ X sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ X

donja me�a : m ∈ R sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ X














minimum : m ∈ X sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ X

donja me�a : m ∈ R sa svojstvom m ≤ x za svaki x ∈ X










Definicija.

Ako je:

skup X ⊆ R ome�en odozgor, onda za najmanju gornju me�ukazemo da je supremum skupa X (pišemo supX ),

skup X ⊆ R ome�en odozdol, onda za najvecu donju me�u kazemoda je infimum skupa X (pišemo inf X ).

Lako se vidi:

m je minimum skupa ⇒ m je infimum skupa,

m je infimum skupa 6⇒ m je minimum skupa.

Isto vrijedi za maksimum i supremum.

Teorem. Svaki neprazni i odozdol (odnosno odozgor) ome�eni skupX ⊆ R ima infimum (odnosno supremum).



Definicija. Ako je:

skup X ⊆ R ome�en odozgor,

onda za najmanju gornju me�ukazemo da je supremum skupa X (pišemo supX ),


Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:


skup X ⊆ R ome�en odozdol,

onda za najvecu donju me�u kazemoda je infimum skupa X (pišemo inf X ).

Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Definicija. Ako je:



Lako se vidi:




Teorem.

Svaki neprazni i odozdol (odnosno odozgor) ome�eni skupX ⊆ R ima infimum (odnosno supremum).



Definicija. Ako je:



Lako se vidi:







Zadatak.

Odredi minimum, maksimum, infimum i supremum skupa X , za:

a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX ne postoji, supX = 11;

b) minX = ne postoji, inf X ne postoji, maxX = 5, supX = 5;

c) minX = ne postoji, inf X = −√2, maxX ne postoji, supX =

√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X = 0, maxX = 1, supX = 1.



Zadatak. Odredi minimum, maksimum, infimum i supremum skupa X , za:

a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 ,

b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,

c) X ={x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

},

d) X ={x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje.

Vrijedi:

a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:

a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX =

− 1, inf X = − 1, maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1,

inf X = − 1, maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X =

− 1, maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X = − 1,

maxX ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX

ne postoji, supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX ne postoji,

supX = 11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.

Rješenje. Vrijedi:a) minX = − 1, inf X = − 1, maxX ne postoji, supX =

11;



√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX =

ne postoji, inf X ne postoji, maxX = 5, supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji,

inf X ne postoji, maxX = 5, supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji, inf X

ne postoji, maxX = 5, supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji, inf X ne postoji,

maxX = 5, supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji, inf X ne postoji, maxX =

5, supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji, inf X ne postoji, maxX = 5,

supX = 5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.


b) minX = ne postoji, inf X ne postoji, maxX = 5, supX =

5;


√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX =

ne postoji, inf X = −√2, maxX ne postoji, supX =

√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX = ne postoji,

inf X = −√2, maxX ne postoji, supX =

√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX = ne postoji, inf X =

−√2, maxX ne postoji, supX =

√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX = ne postoji, inf X = −√2,

maxX ne postoji, supX =√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX = ne postoji, inf X = −√2, maxX

ne postoji, supX =√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.



c) minX = ne postoji, inf X = −√2, maxX ne postoji,

supX =√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX =

−√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2,

inf X = −√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X =

−√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2,

maxX =√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2,

supX =√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;





a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX =

ne postoji, inf X = 0, maxX = 1, supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji,

inf X = 0, maxX = 1, supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X =

0, maxX = 1, supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X = 0,

maxX = 1, supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X = 0, maxX =

1, supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X = 0, maxX = 1,

supX = 1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;

e) minX = ne postoji, inf X = 0, maxX = 1, supX =

1.




a) X = [−1, 3] ∪ 〈5, 11〉 , b) X = 〈−∞, 0〉 ∪ {5} ,c) X =

{x ∈ Q : x2 ≤ 2

}, d) X =

{x ∈ R : x2 ≤ 2

},

e) X ={ 1n : n ∈N

}.




√2;

d) minX = −√2, inf X = −

√2, maxX =

√2, supX =

√2;




Definicija.

Apsolutna vrijednost realnog broja x ∈ R (kazemo joši modulrealnog broja) definirana je pravilom

|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:

|x | ≥ 0 za svaki x ∈ R,

|x | = 0 ako i samo ako je x = 0.

Geometrijsko znacenje: udaljenost broja od ishodišta na brojevnompravcu!



Definicija. Apsolutna vrijednost realnog broja x ∈ R

(kazemo joši modulrealnog broja) definirana je pravilom

|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:






Definicija. Apsolutna vrijednost realnog broja x ∈ R (kazemo joši modulrealnog broja)

definirana je pravilom

|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:






Definicija. Apsolutna vrijednost realnog broja x ∈ R (kazemo joši modulrealnog broja) definirana je pravilom

|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:







|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:







|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:







|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:







|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:



Geometrijsko znacenje:

udaljenost broja od ishodišta na brojevnompravcu!




|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Uocimo da je:







|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.

Svojstva apsolutne vrijednosti su:

1 |x | = |−x | ,2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,3 |xy | = |x | |y | ,4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,

5 |x + y | ≤ |x |+ |y | (nejednakost trokuta).




|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.


1 |x | = |−x | ,

2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,3 |xy | = |x | |y | ,4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,





|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.


1 |x | = |−x | ,2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,

3 |xy | = |x | |y | ,4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,





|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.


1 |x | = |−x | ,2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,3 |xy | = |x | |y | ,

4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,





|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.


1 |x | = |−x | ,2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,3 |xy | = |x | |y | ,4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,





|x | ={x , za x ≥ 0,−x , za x < 0.


1 |x | = |−x | ,2 − |x | ≤ x ≤ |x | ,3 |xy | = |x | |y | ,4

∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x ||y | za y 6= 0,




Zadatak.

U skupu R riješi jednadzbe |x | = 1 i |x − 2| = 5.Rješenje. Vrijedi

|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3

Zadatak. U skupu R riješi nejednadzbe |x | ≤ 3, |x + 1| > 4.Rješenje. Vrijedi

|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .



Zadatak. U skupu R riješi jednadzbe |x | = 1 i |x − 2| = 5.

Rješenje. Vrijedi

|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .



Zadatak. U skupu R riješi jednadzbe |x | = 1 i |x − 2| = 5.Rješenje.

Vrijedi

|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .



Zadatak. U skupu R riješi jednadzbe |x | = 1 i |x − 2| = 5.Rješenje. Vrijedi

|x | = 1 ⇒ x1,2 =

± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.

|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒

x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒

x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3

Zadatak.

U skupu R riješi nejednadzbe |x | ≤ 3, |x + 1| > 4.Rješenje. Vrijedi

|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3

Zadatak. U skupu R riješi nejednadzbe |x | ≤ 3, |x + 1| > 4.

Rješenje. Vrijedi

|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3

Zadatak. U skupu R riješi nejednadzbe |x | ≤ 3, |x + 1| > 4.Rješenje.

Vrijedi

|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈

[−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]

|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒

x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒

x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .




|x | = 1 ⇒ x1,2 = ± 1.|x − 2| = 5 ⇒ x − 2 = ±5⇒ x1 = 7, x2 = −3


|x | ≤ 3 ⇒ x ∈ [−3, 3]|x + 1| > 4 ⇒ x + 1 > 4 ili x + 1 < −4⇒ x ∈ 〈−∞,−5〉 ∪ 〈3,+∞〉 .


Skup kompleksnih brojeva

Definicija. Imaginarna jedinica i je broj sa svojstvom i2 = −1.

Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1

za svaki k ∈N∪ {0}.



Definicija.

Imaginarna jedinica i je broj sa svojstvom i2 = −1.

Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,

i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 =

− 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,

i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 =

− i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,

i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 =

1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 =

i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,

i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 =

− 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,

i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 =

− i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,

i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 =

1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 =

i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,

· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i ,

i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1,

i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i ,

i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1





Uocimo sljedece:

i ,i2 = − 1,i3 = − i ,i4 = 1,

i5 = i ,i6 = − 1,i7 = − i ,i8 = 1,

i9 = i ,· · ·

Formalno vrijedi:

i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , i4k+4 = 1




Zadatak.

Odredi:a) i323, b) i426, c) i77.

Rješenje. a) Vrijedi

i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1

c) Vrijedii77 = i76+1 = i



Zadatak. Odredi:

a) i323, b) i426, c) i77.


i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1




Zadatak. Odredi:a) i323,

b) i426, c) i77.


i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1




Zadatak. Odredi:a) i323, b) i426,

c) i77.


i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1




Zadatak. Odredi:a) i323, b) i426, c) i77.


i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1





Rješenje.

a) Vrijedi

i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1





Rješenje. a)

Vrijedi

i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 =

i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 =

i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 =

(i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 =

180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 =

i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 =

− i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b)

Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 =

i424+2 = i2 = − 1c) Vrijedi

i77 = i76+1 = i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 =

i2 = − 1c) Vrijedi

i77 = i76+1 = i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 =

− 1c) Vrijedi

i77 = i76+1 = i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1






i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1

c)

Vrijedii77 = i76+1 = i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1

c) Vrijedii77 =

i76+1 = i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1

c) Vrijedii77 = i76+1 =

i





i323 = i320+3 = i4·80+3 = (i4)80 · i3 = 180 · i3 = i3 = − i

b) Vrijedii426 = i424+2 = i2 = − 1




Definicija.

Kompleksni broj je svaki broj z oblika

z = x + yi

pri cemu su x , y ∈ R. Broj:

x se zove realni dio broja z i oznacava s Re z ,y se zove imaginarni dio broja z i oznacava s Im z .

Prikaz kompleksong broja u obliku z = x + yi naziva se algebarski prikazkompleksnog broja.

Definicija. Skup kompleksnih brojeva C definiran je sa

C = {x + yi : x , y ∈ R} .



Definicija. Kompleksni broj je svaki broj z oblika

z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi

pri cemu su x , y ∈ R.

Broj:




C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi


x se zove realni dio broja z

i oznacava s Re z ,y se zove imaginarni dio broja z i oznacava s Im z .



C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi


x se zove realni dio broja z i oznacava s Re z ,

y se zove imaginarni dio broja z i oznacava s Im z .



C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi


x se zove realni dio broja z i oznacava s Re z ,y se zove imaginarni dio broja z

i oznacava s Im z .



C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi




Definicija.

Skup kompleksnih brojeva C definiran je sa

C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .




z = x + yi





C = {x + yi : x , y ∈ R} .



Uocimo da vrijediR ⊆ C

jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.

Geometrijski prikaz kompleksnog broja:




jerx ∈ R

⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i

∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.





jerx ∈ R⇒ x + 0 · i ∈ C.




Zadatak.

Odredi Re z i Im z , te prikazi z u kompleksnoj ravnini, ako je:

a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje. a) VrijediRe z = 1, Im z = 4

b) VrijediRe z = − 1, Im z = 2

c) VrijediRe z = 0, Im z = − 2

d) VrijediRe z = 4, Im z = 0



Zadatak. Odredi Re z i Im z ,

te prikazi z u kompleksnoj ravnini, ako je:

a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.







Zadatak. Odredi Re z i Im z , te prikazi z u kompleksnoj ravnini,

ako je:

a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.







Zadatak. Odredi Re z i Im z , te prikazi z u kompleksnoj ravnini, ako je:

a) z = 1+ 4i ,

b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1,

c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i ,

d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje.

a) VrijediRe z = 1, Im z = 4







a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje. a)

VrijediRe z = 1, Im z = 4







a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje. a) VrijediRe z =

1, Im z = 4







a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje. a) VrijediRe z = 1,

Im z = 4







a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.

Rješenje. a) VrijediRe z = 1, Im z =

4







a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.


b)

VrijediRe z = − 1, Im z = 2






a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.


b) VrijediRe z =

− 1, Im z = 2






a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.


b) VrijediRe z = − 1,

Im z = 2






a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.


b) VrijediRe z = − 1, Im z =

2






a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.



c)

VrijediRe z = 0, Im z = − 2





a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.



c) VrijediRe z =

0, Im z = − 2d) Vrijedi

Re z = 4, Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.



c) VrijediRe z = 0,

Im z = − 2d) Vrijedi

Re z = 4, Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.



c) VrijediRe z = 0, Im z =

− 2d) Vrijedi

Re z = 4, Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.








a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.




d)

VrijediRe z = 4, Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.




d) VrijediRe z =

4, Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.




d) VrijediRe z = 4,

Im z = 0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.




d) VrijediRe z = 4, Im z =

0




a) z = 1+ 4i , b) z = 2i − 1, c) z = −2i , d) z = 4.







Zadatak.

Odredi gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je:

a) Re z = 1, b) Im z = 3.

Zadatak. Odredi gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je:

a) Re z > 2, b) Im z ≤ −1, c) Re z > 1 i − 2 ≤ Im z < 1.




a) Re z = 1, b) Im z = 3.






a) Re z = 1,

b) Im z = 3.






a) Re z = 1, b) Im z = 3.






a) Re z = 1, b) Im z = 3.

Zadatak.

Odredi gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je:





a) Re z = 1, b) Im z = 3.






a) Re z = 1, b) Im z = 3.


a) Re z > 2,

b) Im z ≤ −1, c) Re z > 1 i − 2 ≤ Im z < 1.




a) Re z = 1, b) Im z = 3.


a) Re z > 2, b) Im z ≤ −1,

c) Re z > 1 i − 2 ≤ Im z < 1.




a) Re z = 1, b) Im z = 3.





Definicija.

Za kompleksni broj z = x + yi definiramo:

kompleksno konjugirani broj z sa z = x − yi ;apsolutnu vrijednost ili modul |z | sa |z | =

√x2 + y2.

Geometrijska interpretacija:



Definicija. Za kompleksni broj z = x + yi definiramo:


√x2 + y2.





kompleksno konjugirani broj z

sa z = x − yi ;apsolutnu vrijednost ili modul |z | sa |z | =

√x2 + y2.





kompleksno konjugirani broj z sa z = x − yi ;

apsolutnu vrijednost ili modul |z | sa |z | =√x2 + y2.





kompleksno konjugirani broj z sa z = x − yi ;apsolutnu vrijednost ili modul |z |

sa |z | =√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.






√x2 + y2.




Zadatak.

Odredi z i |z | za:

a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2



Zadatak. Odredi z i |z | za:

a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i ,

b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3,

c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5,

d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .

Rješenje.

a) Vrijedi

z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .

Rješenje. a)

Vrijedi

z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z =

2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i ,

|z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =

√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b)

Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z =

− i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3,

|z | =√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 =

2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c)

Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z =

− 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5,

|z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =

√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 =

5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d)

Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z =

− 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i ,

|z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =

√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 =

2




a) z = 2+ 3i , b) z = i −√3, c) z = −5, d) z = 2i .


z = 2− 3i , |z | =√22 + 32 =

√13

b) Vrijedi

z = − i −√3, |z | =

√(−√3)2 + 12 =

√4 = 2

c) Vrijedi

z = − 5, |z | =√(−5)2 + 02 =

√25 = 5

d) Vrijedi

z = − 2i , |z | =√02 + (−2)2 =

√4 = 2



Zadatak.

Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je: a) |z | = 2, b) |z | > 1, c) |z | ≤ 3, d) |z − 1+ i | <

√2.

Rješenje. a) Vrijedi|z | = 2

|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1

c) Vrijedi|z | ≤ 3

|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9

d) Vrijedi|x + yi − 1+ i | <

√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je:

a) |z | = 2, b) |z | > 1, c) |z | ≤ 3, d) |z − 1+ i | <√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je: a) |z | = 2,

b) |z | > 1, c) |z | ≤ 3, d) |z − 1+ i | <√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je: a) |z | = 2, b) |z | > 1,

c) |z | ≤ 3, d) |z − 1+ i | <√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je: a) |z | = 2, b) |z | > 1, c) |z | ≤ 3,

d) |z − 1+ i | <√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze kompleksni brojevi zakoje je: a) |z | = 2, b) |z | > 1, c) |z | ≤ 3, d) |z − 1+ i | <

√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.

Rješenje.

a) Vrijedi|z | = 2

|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.

Rješenje. a)

Vrijedi|z | = 2

|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2

√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2

/2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b)

Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1

√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1

/2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1

c)

Vrijedi|z | ≤ 3

|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3

√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3

/2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9

d)

Vrijedi|x + yi − 1+ i | <

√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2

√(x − 1)2 + (y + 1)2 <

√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2

/2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2




√2.


|x + yi | = 2√x2 + y2 = 2 /2

x2 + y2 = 4

b) Vrijedi|z | > 1

|x + yi | > 1√x2 + y2 > 1 /2

x2 + y2 > 1


|x + yi | ≤ 3√x2 + y2 ≤ 3 /2

x2 + y2 ≤ 9


√2

|(x − 1) + (y + 1)i | <√2√

(x − 1)2 + (y + 1)2 <√2 /2

(x − 1)2 + (y + 1)2 < 2



Definicija.

Neka su z1 = x1 + y1i i z2 = x2 + y2i dva kompleksna broja.Definiramo

z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,

z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ,z1 · z2 = (x1 + y1i) (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 =

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.

Napomena. Relacija ure�aja (relacija "≤" ili "≥") na skupu C nijedefinirana.



Definicija. Neka su z1 = x1 + y1i i z2 = x2 + y2i dva kompleksna broja.

Definiramo

z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.




Definicija. Neka su z1 = x1 + y1i i z2 = x2 + y2i dva kompleksna broja.Definiramo

z1 + z2 =

(x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,

z1 − z2 =

(x1 − x2) + (y1 − y2)i ,z1 · z2 = (x1 + y1i) (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 =

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,

z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ,

z1 · z2 = (x1 + y1i) (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 =

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,

z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ,z1 · z2 =

(x1 + y1i) (x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 =

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,

z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ,z1 · z2 = (x1 + y1i) (x2 + y2i) =

x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 =

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,

z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=

x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=

x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i ,

za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.





z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.

Napomena.

Relacija ure�aja (relacija "≤" ili "≥") na skupu C nijedefinirana.




z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.

Napomena. Relacija ure�aja

(relacija "≤" ili "≥") na skupu C nijedefinirana.




z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.

Napomena. Relacija ure�aja (relacija "≤" ili "≥")

na skupu C nijedefinirana.




z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ,


= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ,z1z2

=x1 + y1ix2 + y2i

· x2 − y2ix2 − y2i

=x1x2 + y1y2x21 + y

21

+y1x2 − x1y2x21 + y

21i , za z2 6= 0.




Zadatak.

Izracunaj z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, te z1z2ako je z1 = 1+ i , a

z2 = 2− 3i .Rješenje. Vrijedi

z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i



Zadatak. Izracunaj z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, te z1z2

ako je z1 = 1+ i , az2 = 2− 3i .Rješenje. Vrijedi


= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i



Zadatak. Izracunaj z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, te z1z2ako je z1 = 1+ i , a

z2 = 2− 3i .

Rješenje. Vrijedi


= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i




z2 = 2− 3i .Rješenje.

Vrijedi


= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 =

(1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) =

3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2i

z1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 =

(1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) =

− 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 =

= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4i

z1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 == 5− i

z1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 =

(1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 == 5− i

z1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) =

2− 3i + 2i − 3i2 = 2− 3i + 2i + 3 == 5− i

z1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i





z1 + z2 = (1+ i) + (2− 3i) = 3− 2iz1 − z2 = (1+ i)− (2− 3i) = − 1+ 4iz1 · z2 = (1+ i)(2− 3i) = 2− 3i + 2i − 3i2 =

2− 3i + 2i + 3 == 5− i

z1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− i

z1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=

1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i

· 2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=

2+ 3i + 2i − 34+ 9

=−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=

−1+ 5i13

= − 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

=

− 113+513i






= 5− iz1z2

=1+ i2− 3i ·

2+ 3i2+ 3i

=2+ 3i + 2i − 3

4+ 9=−1+ 5i13

= − 113+513i



Zadatak.

Odredi Re z i Im z ako je:

a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4

Napomena. Kompleksni broj nije u algebarskom obliku, dok god ima i unazivniku.



Zadatak. Odredi Re z i Im z ako je:

a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

,

b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.

Rješenje.

a) Vrijedi

z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.

Rješenje. a)

Vrijedi

z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=

24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i

⇒ Re z =12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12

i Im z =34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b)

Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i

· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=

2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i

⇒ Re z =14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14

i Im z = −14





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4





a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4

Napomena.

Kompleksni broj nije u algebarskom obliku, dok god ima i unazivniku.




a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4

Napomena. Kompleksni broj nije u algebarskom obliku,

dok god ima i unazivniku.




a) z =2+ 3i4

, b) z =1

2+ 2i.


z =2+ 3i4

=24+34i =

12+34i ⇒ Re z =

12i Im z =

34

b) Vrijediz =

12+ 2i

6⇒ Re z =12i Im z =

12

z =1

2+ 2i· 2− 2i2− 2i =

2− 2i4+ 4

=2− 2i8

=

=14− 14i ⇒ Re z =

14i Im z = −1

4




Geometrijski prikaz tocke u ravnini:

pravokutne koordinate polarne koordinate

Vrijedi:

x = r cos ϕy = r sin ϕ

ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx

pa jez = x + yi = r cos ϕ+ i · r sin ϕ = r(cos ϕ+ i sin ϕ).





Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx





pravokutne koordinate

polarne koordinate

Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






polarne koordinate

Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






polarne koordinate

Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






polarne koordinate

Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






polarne koordinate

Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:

x =

r cos ϕy = r sin ϕ

ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:

x = r cos ϕ

y = r sin ϕir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:

x = r cos ϕy =

r sin ϕir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ =

arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx






Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx

pa jez = x + yi =

r cos ϕ+ i · r sin ϕ = r(cos ϕ+ i sin ϕ).





Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx

pa jez = x + yi = r cos ϕ+ i · r sin ϕ =

r(cos ϕ+ i sin ϕ).





Vrijedi:


ir =

√x2 + y2

ϕ = arctgyx




Definicija.

Prikaz kompleksong broja u obliku

z = r(cos ϕ+ i sin ϕ)

naziva se trigonometrijski prikaz kompleksnog broja. Broj:

r naziva se modul kompleksnog broja z ,

ϕ naziva se argument kompleksnog broja z .



Definicija. Prikaz kompleksong broja u obliku









naziva se trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Broj:


























Zadatak.

Prikazi u trigonometrijskom obliku kompleksne brojeve:

a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)



Zadatak. Prikazi u trigonometrijskom obliku kompleksne brojeve:

a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i ,

b) z = 2−√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i ,

c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3,

d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .

Rješenje.

a) Vrijedi

z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .

Rješenje. a)

Vrijedi

z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =

√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 =

2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =

√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒

ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ =

π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}=

2(cosπ

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b)

Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =

√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ =

−√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒

ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ =

7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=

√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 1+√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =√31

1. kv⇒ ϕ = π3

}= 2(cos

π

3+ i sin

π

3)

b) Vrijedi

z = 2−√2i =

{r =√4+ 2 =

√6

tg ϕ = −√22

4. kv⇒ ϕ = 7π4

}=√6(cos

7π

4+ i sin

7π

4)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .

Rješenje. c)

Vrijedi

z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .

Rješenje. c) Vrijedi

z = 3 =

{r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r =

3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3

ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ =

0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}=

3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d)

Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i =

{r = 2

ϕ = 3π2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r =

2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2

ϕ = 3π2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ =

3π2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}=

3(cos3π

2+ i sin

3π

2)




a) z = 1+√3i , b) z = 2−

√2i , c) z = 3, d) z = −2i .


z = 3 ={r = 3ϕ = 0

}= 3(cos 0+ i sin 0)

d) Vrijedi

z = −2i ={

r = 2ϕ = 3π

2

}= 3(cos

3π

2+ i sin

3π

2)



Zadatak.

Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze brojeviz = r(cos ϕ+ i sin ϕ) za koje vrijedi:

a) r > 1 i 0 ≤ ϕ ≤ π

2, b) 1 ≤ r < 3 i π

4< ϕ <

3π

4.



Zadatak. Skiciraj gdje u kompleksnoj ravnini leze brojeviz = r(cos ϕ+ i sin ϕ) za koje vrijedi:

a) r > 1 i 0 ≤ ϕ ≤ π

2, b) 1 ≤ r < 3 i π

4< ϕ <

3π

4.




a) r > 1 i 0 ≤ ϕ ≤ π

2,

b) 1 ≤ r < 3 i π

4< ϕ <

3π

4.




a) r > 1 i 0 ≤ ϕ ≤ π

2, b) 1 ≤ r < 3 i π

4< ϕ <

3π

4.



Propozicija.

Neka su z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) iz2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) kompleksni brojevi. Tada vrijedi

z1 · z2 = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),z1z2

=r1r2(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2) za z2 6= 0.

Zadatak. Odredi z1 · z2 i z1z2 ako je

z1 = 2(cos π4 + i sin

π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )



Propozicija. Neka su z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) iz2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) kompleksni brojevi.

Tada vrijedi





π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )



Propozicija. Neka su z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) iz2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) kompleksni brojevi. Tada vrijedi

z1 · z2 = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),

z1z2




π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )





=r1r2(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)

za z2 6= 0.



π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )






Zadatak.

Odredi z1 · z2 i z1z2 ako je


π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )






Zadatak. Odredi z1 · z2 i z1z2

ako je


π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 )

i z2 = 4(cos 2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje.

Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 =

2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4(

cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 )

+ i sin(π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) =

8(cos 11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

=

24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 (

cos(π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 )

+ i sin(π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )








π4 ) i z2 = 4(cos

2π3 + i sin

2π3 ).

Rješenje. Vrijedi

z1 · z2 = 2 · 4( cos(π4 +

2π3 ) + i sin(

π4 +

2π3 )) = 8(cos

11π12 + i sin

11π12 )

z1z2

= 24 ( cos(

π4 −

2π3 ) + i sin(

π4 −

2π3 )) =

12 (cos

19π12 + i sin

19π12 )



Propozicija.

Neka je z = r(cos ϕ+ i sin ϕ) kompleksni broj. Tada vrijedi

zn = rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ)),n√z = n

√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))

za k ∈ {0, 1, 2, . . . , n− 1} , pri cemu je ϕ0 =ϕn , ∆ϕ = 2π

n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒



Propozicija. Neka je z = r(cos ϕ+ i sin ϕ) kompleksni broj.

Tada vrijedi


√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒



Propozicija. Neka je z = r(cos ϕ+ i sin ϕ) kompleksni broj. Tada vrijedi

zn = rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ)),

n√z = n

√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))

za k ∈ {0, 1, 2, . . . , n− 1} ,

pri cemu je ϕ0 =ϕn , ∆ϕ = 2π

n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))

za k ∈ {0, 1, 2, . . . , n− 1} , pri cemu je ϕ0 =ϕn ,

∆ϕ = 2πn .

3√z ⇒ 4

√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒

4√z ⇒





√r (cos(ϕ0 + k · ∆ϕ) + i sin(ϕ0 + k · ∆ϕ))


n .

3√z ⇒ 4

√z ⇒



Zadatak.

Izracunaj z3 i z15 ako je

z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =

= 215(cosπ + i sinπ)



Zadatak. Izracunaj z3 i z15

ako je

z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =




Zadatak. Izracunaj z3 i z15 ako je

z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje.

Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 =

23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) =

8(cos21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 =

215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) =

215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =





z = 2(cos7π

15+ i sin

7π

15).

Rješenje. Vrijedi

z3 = 23(cos3 · 7π

15+ i sin

3 · 7π

15) = 8(cos

21π

15+ i sin

21π

15),

z15 = 215(cos15 · 7π

15+ i sin

15 · 7π

15) = 215(cos 7π + i sin 7π) =




Zadatak.

Odredi i skiciraj sve kompleksne brojeve za koje je:

a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)

pa imamo 3 korijena (rkor =3√8 = 2, ϕ0 =

03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)



Zadatak. Odredi i skiciraj sve kompleksne brojeve za koje je:

a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8,

b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .

Rješenje.

a) Vrijedi

z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .

Rješenje. a)

Vrijedi

z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 =

{r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r =

8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8

ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ =

0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}=

8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)

pa imamo 3 korijena

(rkor =3√8 = 2, ϕ0 =

03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)

pa imamo 3 korijena (rkor =3√8 =

2, ϕ0 =03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)

pa imamo 3 korijena (rkor =3√8 = 2,

ϕ0 =03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 =

0 i ∆ϕ = 2π3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0

i ∆ϕ = 2π3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ =

2π3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 =

2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 =

2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 =

2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z3 = 8 ={r = 8ϕ = 0

}= 8(cos 0+ i sin 0)


03 = 0 i ∆ϕ = 2π

3 ):

z0 = 2(cos 0+ i sin 0)

z1 = 2(cos2π

3+ i sin

2π

3)

z2 = 2(cos4π

3+ i sin

4π

3)




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .

Rješenje. b)

Vrijedi

z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)

pa imamo 4 korijena (rkor =4√2, ϕ0 =

5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .

Rješenje. b) Vrijedi

z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =

√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 =

2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ =

−√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒

ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ =

5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}=

2(cos5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)

pa imamo 4 korijena

(rkor =4√2, ϕ0 =

5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)

pa imamo 4 korijena (rkor =4√2,

ϕ0 =5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12

i ∆ϕ = 2π4 =

6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =

6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =

4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =

4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =

4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =

4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )




a) z3 = 8, b) z4 = 1−√3i .


z4 = 1−√3i =

{r =√1+ 3 = 2

tg ϕ = −√31

4. kv⇒ ϕ = 5π3

}= 2(cos

5π

3+ i sin

5π

3)


5π34 =

5π12 i ∆ϕ = 2π

4 =6π12 ):

z0 =4√2(cos 5π

12 + i sin5π12 )

z1 =4√2(cos 11π

12 + i sin11π12 )

z2 =4√2(cos 17π

12 + i sin17π12 )

z3 =4√2(cos 23π

12 + i sin23π12 )



Definicija.

Neka kompleksni broj z ima modul r i argument ϕ. Prikazkompleksnog broja z u obliku

z = re iϕ

naziva se eksponencijalni prikaz kompleksnog broja.



Definicija. Neka kompleksni broj z ima modul r i argument ϕ.

Prikazkompleksnog broja z u obliku

z = re iϕ




Definicija. Neka kompleksni broj z ima modul r i argument ϕ. Prikazkompleksnog broja z u obliku

z = re iϕ




Definicija. Neka kompleksni broj z ima modul r i argument ϕ. Prikazkompleksnog broja z u obliku

z = re iϕ



Binomni koeficijent

Neka su x i y dva realna (ili kompleksna) broja. Sada definiramo:

binom je izraz oblika x + y ,

potencija binoma je izraz oblika (x + y)n za n ∈N∪ {0}.Uocimo da za prvih nekoliko prirodnih brojeva n ∈N∪ {0} vrijedi:

(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent

Neka su x i y dva realna (ili kompleksna) broja.

Sada definiramo:



(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent



potencija binoma je izraz oblika (x + y)n za n ∈N∪ {0}.

Uocimo da za prvih nekoliko prirodnih brojeva n ∈N∪ {0} vrijedi:

(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1

= (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1 = (00)

(x + y)1= x + y

= (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1 = (00)

(x + y)1= x + y = (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

= (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1 = (00)

(x + y)1= x + y = (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2 = (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

= (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1 = (00)

(x + y)1= x + y = (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2 = (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3 = (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=?

= (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent




(x + y)0= 1 = (00)

(x + y)1= x + y = (10)x + (11)y

(x + y)2= x2 + 2xy + y2 = (20)x2+ (21)xy + (

22)y

2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3 = (30)x3+(31)x

2y+(32)xy2+(33)y

3

(x + y)4=? = (40)x4+(41)x

3y+(42)x2y2+(43)xy

3+(44)y4


Binomni koeficijent

Dakle, imamo koeficijente

(00) = 1,

(10) = 1, (11) = 1

(20) = 1, (21) = 2, (

22) = 1

(30) = 1, (31) = 3, (

32) = 3, (

33) = 1

(40) =?, (42) =?, . . .. . .


Binomni koeficijent


(00) = 1,

(10) = 1, (11) = 1

(20) = 1, (21) = 2, (

22) = 1

(30) = 1, (31) = 3, (

32) = 3, (

33) = 1

(40) =?, (42) =?, . . .

. . .


Binomni koeficijent


(00) = 1,

(10) = 1, (11) = 1

(20) = 1, (21) = 2, (

22) = 1

(30) = 1, (31) = 3, (

32) = 3, (

33) = 1

(40) =?, (42) =?, . . .. . .


Binomni koeficijent

Definicija.

Neka su n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k ≤ n. Binomnikoeficijent (nk) je broj definiran sa(

nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (63), b) (82), c) (

71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent

Definicija. Neka su n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k ≤ n.

Binomnikoeficijent (nk) je broj definiran sa(

nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent

Definicija. Neka su n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k ≤ n. Binomnikoeficijent (nk)

je broj definiran sa(nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent

Definicija. Neka su n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k ≤ n. Binomnikoeficijent (nk) je broj definiran sa(

nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .

Zadatak.

Izracunaj binomne koeficijente: a) (63), b) (82), c) (

71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente:

a) (63), b) (82), c) (

71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (63),

b) (82), c) (71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (63), b) (82),

c) (71), d) (40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71),

d) (40).Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje.

Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a)

(63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =

6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 =

20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b)

(82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =

8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 =

28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c)

(71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =

71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 =

7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d)

(40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =

4!0!·(4−0)! =

4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =

4!4! = 1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! =

1


Binomni koeficijent


nk

)=n(n− 1)(n− 2) · . . . · (n− (k − 1))

1 · 2 · . . . · k =n!

k !(n− k)! .


71), d) (

40).

Rješenje. Vrijedi:

a) (63) =6·5·41·2·3 = 20

b) (82) =8·71·2 = 28

c) (71) =71 = 7

d) (40) =4!

0!·(4−0)! =4!4! = 1


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (97), b) (139 ), c) (

1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).

Zadatak.

Izracunaj binomne koeficijente: a) (97), b) (139 ), c) (

1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente:

a) (97), b) (139 ), c) (

1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (97),

b) (139 ), c) (1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).

Zadatak. Izracunaj binomne koeficijente: a) (97), b) (139 ),

c) (1310).Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje.

Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a)

(97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) =

( 99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) =

(92) =9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 =

36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b)

(139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) =

( 1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) =

(134 ) =13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 =

715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c)

(1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) =

( 1313−10) = (

133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) =

(133 ) =13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 =

286


Binomni koeficijent

Uocimo da vrijedi(n

n− k

)=

n!(n− k)!(n− (n− k))! =

n!(n− k)!k !

=

(nk

).


1310).

Rješenje. Vrijedi:

a) (97) = (99−7) = (

92) =

9·81·2 = 36

b) (139 ) = (1313−9) = (

134 ) =

13·12·11·101·2·3·4 = 715

c) (1310) = (13

13−10) = (133 ) =

13·12·111·2·3 = 286


Binomni koeficijent

Teorem (Binomni poucak).

Neka su x i y dva realna (ili kompleksna)broja. Za svaki n ∈N vrijedi

(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + y)4.Rješenje. Vrijedi

(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent

Teorem (Binomni poucak). Neka su x i y dva realna (ili kompleksna)broja.

Za svaki n ∈N vrijedi

(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent

Teorem (Binomni poucak). Neka su x i y dva realna (ili kompleksna)broja. Za svaki n ∈N vrijedi

(x+ y)n =

(n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+

(n1)xn−1y +(n2)x

n−2y2+ . . .+(nn)yn =

n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +

(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+

. . .+(nn)yn =

n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =

n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .

Zadatak.

Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + y)4.Rješenje. Vrijedi

(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + y)4.

Rješenje. Vrijedi

(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + y)4.Rješenje.

Vrijedi

(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 =

(40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 +

(41)x3y + (42)x

2y2 + (43)xy3 + (44)y

4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y +

(42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 +

(43)xy3 + (44)y

4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 +

(44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) =

1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =

41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 =

4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =

4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 =

6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) =

(41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) =

4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) =

(40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) =

1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

=

x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent


(x+ y)n = (n0)xn+(n1)x

n−1y +(n2)xn−2y2+ . . .+(nn)y

n =n

∑k=0

(nk)xn−ky k .


(x + y)4 = (40)x4 + (41)x

3y + (42)x2y2 + (43)xy

3 + (44)y4 =

=

(40) = 1

(41) =41 = 4

(42) =4·31·2 = 6

(43) = (41) = 4

(44) = (40) = 1

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4


Binomni koeficijent

Definiramo Pascalov trokut sa:

n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .

Uocimo da za binomne koeficijente vrijedi:

1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (

n+1k+1) za svaki n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k < n,

3 (nk) = (nn−k) za svaki n, k ∈N∪ {0} sa svojstvom k ≤ n.


Binomni koeficijent


n = 0 (00)

n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)

n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)

n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)

n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)

n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 (00)n = 1 (10) (11)n = 2 (20) (21) (22)n = 3 (30) (31) (32) (33)n = 4 (40) (41) (42) (43) (44)n = 5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 (21) 1n = 3 1 (31) (32) 1n = 4 1 (41) (42) (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 (31) (32) 1n = 4 1 (41) (42) (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 (32) 1n = 4 1 (41) (42) (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 (41) (42) (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 (42) (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 (43) 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 (51) (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 (52) (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 (53) (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 (54) 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


1 (n0) = (nn) = 1 za svaki n ∈N∪ {0},

2 (nk) + (nk+1) = (




Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .

Zadatak.

Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + 2)5.Rješenje. Vrijedi

(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + 2)5.

Rješenje. Vrijedi

(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + 2)5.Rješenje.

Vrijedi

(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .

Zadatak. Odredi koeficijente u razvoju binoma (x + 2)5.Rješenje. Vrijedi

(x + 2)5=

1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+

5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+

10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+

10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+

5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+

1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 =

= x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Binomni koeficijent


n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1

· · · . . .


(x + 2)5= 1 · x5· 20+ 5 · x4· 21+ 10 · x3· 22+ 10 · x2· 23+ 5 · x1· 24+ 1 · x0· 25 == x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32


Documents

Osnove matematike - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA...Osnove matematiµcke logike De–nicija. Sud (izjava) je svaka smislena izjavna reµcenica