Rječnik logike prvog reda

Peter Suber, Philosophy Department, Earlham College

Za hrvatski jezik priredio: Berislav Žarnić

Ovaj je rječnik ograničen na osnovnu teoriju skupova, na osnovnu teoriju rekurzivnih funkcija, na dva ogranka logike (istinitosno funkcionalnu propozicijsku logiku i predikatsku logiku prvog reda) i njihovu metateoriju.

Primjedbe i sugestije su dobrodošle.

A

Akko.

Skraćenica za "ako i samo ako", koja označava materijalnu ekvivalenciju. Vidi ekvivalencija, materijalna.

Aksiomi.

Ispravno sastavljene formule koje se pretpostavljaju kao nedokazane premise u dokazu drugih ispravno sastavljenih formula u formalnom sustavu.

- Aksiomska shema.

Formula koja sadrži varijable metajezika i koja postaje aksiomom kada se njezine varijable instanciraju s ispravno sastavljenim formulama u formalnom jeziku.

- Logički aksiom.

Aksiom koji je logički valjana formula u jeziku nekog sustava. Vidi logička valjanost.

- Pravi aksiom.

Aksiom koji nije logički valjana formula u jeziku nekog sustava (ali je zatvorena formula).

- Aksiom izbora.

U teoriji skupova, sporan aksiom kojim se tvrdi za bilo koji ne-prazni skup A sastavljen od ne-praznih razdvojenih skupova, postoji skup B koji obuhvaća upravo po jedan član iz svakog od razdvojenih skupova koji tvore A. Ponekad se aksiom zapisuje tako da se tvrdi kako postoji funkcija koja bira članove za B iz razdvojenih skupova koji tvore A. Cantorova generalizirana hipoteza kontinuuma povlači aksiom izbora. Obično se označava kraticom AC. Naziva se također multiplikativnim aksiomom. Vidi teorija skupova.

Antecedent.

Vidi implikacija.

Antiteorem.

Ispravno sastavljena formula čija je negacija teorem. (Ovo je novi termin koji još nije široko prihvaćen; ovdje je uvršten da bi se ukorijenio.) Vidi teorem.

Apsolutni komplement skupa.

Vidi komplement.

Apsolutna konzistentnost.

Sustav S je apsolutno konzistentan akko barem jedna ispravno sastavljena formula formalnog jezika S nije teorem.

Apsolutna inkonzistentnost.

Sustav je apsolutno inkonzistentan akko su mu sve ispravno sastavljene formule teoremi.

Argument.

(1) zaključak, (2) ulazna vrijednost za funkciju, (3) subjektni termin za predikat. Vidi korespondentni argument.

Aritmetika, formalni sustav.

Teorija prvog reda s konačnim alfabetom i samo s konačno dugim ispravno sastavljenim formulama, pod namjeravanom interpretacijom (1) sadrži teoreme koji iskazuju istine u teoriji brojeva i (2) dopušta termina za označavanje bilo kojeg prirodnog broja. Vidi teorija prvog reda.

Aritmetizacija.

Općeniti oblik Gödelovog numeriranja u kojem se različitim simbolima u alfabetu formalnog jezika dodjeljuju različite brojčane oznake. Posljedično, svaka se ispravno sastavljena formula može ponovo

iskazati brojkom (putem konkatenacije brojaka koje označuju simbole od kojih je sastavljena). Ako je aritmetizacija uspješna, onda je lako pronaći efektivnu metodu koja prevodi formule u brojke et vice versa. Vidi Gödelovo numeriranje.

Asocirana propozicijska formula (APF).

Ispravno sastavljena formula A propozicijske logike dobivena iz ispravno sastavljene formule B predikatske logike putem (1) uklanjanja kvantifikatora iz B, i (2) zamjenom svakog predikatskog simbola (i njegovih argumenata) u B s propozicijskim simbolom. Oznaka: Bprop = p.

Atom.

(1) U propozicijskoj logici, jednostavna propozicija za razliku od složenih propozicija ili molekula. Ispravno sastavljena formula bez poveznika.

(2) U predikatskoj logici, ispravno sastavljena formula bez kvantifikatora ili poveznika.

Atribut.

Svojstvo predmeta: također (na drugoj razini) monadički predikat koji simbolizira takvo svojstvo. Vidi predikatska logika; relacija.

B

Baza.

Vidi matematička indukcija.

Bikondicional.

Vidi ekvivalencija.

Bodež funkcija.

Dijadični konektiv ili istinitosna funkcija "ni/niti". Jedan od dva dijadična konektiva koji mogu svaki za sebe iskazati sve istinitosne funkcije. Oznaka: p q. Također se naziva binegacijom.

Brojčani pridjevi.

Vidi brojka.

Brojevi.

Vidi cijeli brojevi; iracionalni brojevi; prirodni brojevi; brojka; racionalni brojevi; realni brojevi.

Brojevna imenica.

Vidi brojka.

Brojka.

Simbol ili isf čija je namjeravana interpretacija broj. Oznaka: ("n" s crtom iznad), također "n" (brojka za broj n).

- Brojke pridjevi.

Brojke koje modificiraju imenice onako kako to čine pridjevi, kao u "tri vreće" ili u "dva goluba". Predikatska logika može izraziti brojke pridjeve na jednoznačan način, ali ne i brojke imenice.

- Brojke imenice.

Brojke u slučaju kada igraju ulogu imenica ili supstantiva u propozicijama u kojima se javljaju, kao u rečenici "tri je sljedbenik od dva".

C

c (malo slovo "c", često zapisano goticom).

Simbol za kardinalitet kontinuuma; , ili (pod pretpostavkom hipoteze kontinuuma) . Vidi hipoteza kontinuuma.

Cantorov teorem.

Partitivni skup (power set) nekog zadanog skupa ima veći kardinalitet od tog zadanog skupa. Zapis .

Church-ov teorem.

Ako je Church-ova teza istinita, onda je poliadična predikatska logika neodlučiva. Vidi Churchova teza.

Church-ova teza.

Izvorno i u užem smislu, teza po kojoj su sve intuitivno efektivne metode općenito rekurzivne (u smislu u kojem se ovaj termin koristi u teoriji rekurzivnih funkcija). Pripisujemo je Alonzu Churchu, 1935. Trenutačno i u širem smislu, teza po kojoj se sve intuitivno efektivne metode mogu zahvatiti jednom od nekoliko formalizacija, koje uključuju teoriju rekurzivnih funkcija, Turingove strojeve, Markovljeve algoritme, lambda kalkulus, itd. Vidi efektivna metoda; rekurzivne funkcije, teorija.

Cijeli brojevi.

Prirodni brojevi nadopunjeni sa svojim negativnim parnjacima. Skup {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}.

Č

Članstvo.

Odnos nekog elementa sa skupovima kojima pripada. Zapis: x S (x je član skupa S).

D

Dedukcija.

Zaključak u kojemu (kada je valjan) konkluzija ne sadrži nikoju informaciju koja već nije bila prisutna u premisama, ili čiji je korespondentni kondicional tautologija. Vidi korespondentni kondicional; indukcija; tautologija; valjanost.

- Dedukcije, teorem.

Kada je Γ skup isf-a, a A i B su isf, onda ako Γ, AB, onda Γ(AB). Također se naziva pravilom kondicionalnog dokaza.

- Deduktivni aparat.

Aksiomi i pravila zaključivanja u nekom formalnom sustavu. Formalni sustavi mogu ne sadržavati aksiome ili pravila zaključivanja, ali ne mogu ne sadržavati ni jedno ni drugo. Vidi aksiomi; pravila zaključivanja.

Definabilnost funkcije.

Funkcija f s jednim argumentom je definabilna (može se definirati) u sustavu akko je jako zastupljena u sustavu, recimo s isf Axy, te (x)(y)(z)[Axy(Axz y=z)]. Vidi reprezentacija funkcije.

Disjunkcija.

Istinitosna funkcija koja je istinita kada je jedna ili druga njezina komponenta (zvane disjunktima) istinita, a u protivnom neistinita. Također i konektiv koji označava tu funkciju; također i složena propozicija sačinjena pomoću tog konektiva.

- Ekskluzivna disjunkcija.

jedan ili drugi disjunkt je istinit, ali ne oba. Oznaka: nema standardnog simbola, ali pojam se precizno zahvaća sljedećim načinom: p q (negacija materijalne ekvivalencije).

- Inkluzivna disjunkcija.

Jedan ili drugi ili oba disjunkta su istinita. Oznaka: pq.

Disjunktivna normalna forma (DNF).

Oblik složene istinitosno funkcionalne propozicije gdje je ona iskazana niz disjunkata od kojih je svaki ili jednostavna propozicija ili konjunkcija jednostavnih propozicija i njihovih negacija.

Dokaz.

Konačni, neprazni niz isf-a u kojemu je zadnji član isf-a koja se dokazuje a sve ostale isf-e su ili aksiomi ili su dobivene primjenom prvaila zaključivanja na neke od prethodnih isf-a u nizu. Ukratko, izvod u kojemu su sve premise teoremi. Vidi konstruktivni dokaz; izvod; egzistencije, dokaz.

Dokaza, teorija.

Proučavanje deduktivnih aparata formalnih sustava i s time povezanih pitanja o dokazivosti unutar sustava (naime, konzistentnosti, potpunosti, te odlčučivosti, iako ti pojmovi imaju semantičku motivaciju). U širem smislu, svako proučavanje formalnih sustava koje se ne poziva na interpretaciju jezika. Vidi kompletnost (potpunost); konzistentnost; odlučivi sustav; deduktivni aparat; teorija modela; dokaz.

Domena.

(1) domena funkcije, skup objekata ili nizova objekata koji mogu poslužiti kao argumenti (ulazi) funkcije. (2) domena interpretacije formalnog jezika predikatske logike, skup objekata koji mogu poslužiti za dodjeljivanje referencije konstantama u jeziku, argumentima funkcija i argumentima predikata.

- Kardinalitet domene.

Kardinalitet skupa objekata koji sačinjavaju domenu.

E

Efektivno prebrajanje.

Vidi prebrojivi skup.

Efektivna metoda (za klasu problema).

Metoda za rješavanje problema u nekoj klasi problema gdje metoda zadovoljava uvjete:

(1) metoda je logički ograničena, za razliku od fizičkih ograničenja, (2) daje neki odgovor, za razliku od izostanka odgovora, (3) metoda je točna, za razliku od netočne, (4) sadrži konačni broj koraka, za razliku od beskonačnog broja (5) svaki put, ili za sve ulaze, ili za sve probleme u toj klasi, za razliku od selektivnosti, (6) ako se metoda pažljivo slijedi, za razliku od nepažljivog, (7) koliko je nužno, za razliku od u mjere dopuštene resursima, (8) gdje je svaki korak u postupku "glup" ili "mehanički". Osmi zahtjev unosi neotklonjivo intuitivni element u definiciju. Neki dodaju i (9) a kada je zadan problem izvan klase problema za koju je metoda efektivna, onda metoda može stati ili se beskonačno vrtiti bez zaustavljanja, ali ne smije vratiti neku vrijednost kao da je ona rješenje problema. (Način na koji je iskazana ova definicija predložio je Geoffrey Hunter.) Također se naziva algoritmom; postupkom odlučivanja. Vidi Churchova teza.

Efektivni postupak dokaza.

Efektivna metoda za tvorbu dokaza bilo kojeg teorema u nekom formalnom sustavu. Sustav za kojega postoji efektivni dokazni postupak je odlučiv; ali svi odlučivi sustavi ne moraju imati efektivni dokazni postupak. Vidi odlučivi sustav.

Egzistencije, dokaz.

Dokaz da nešto postoji (npr. broj, isf, dokaz, itd. s određenim svojstvima) ali koji ne proizvodi odgovarajući primjer. Vidi konstruktivni dokaz.

Egzistencijalni unos.

Kvantificirani iskazi imaju egzistencijalni unos akko ih shvaćamo (u standardnoj interpretaciji) kao da tvrde postojanje njihovih subjekata. Aristotel je mislio svi kvantificirani iskazi imaju egzistencijalni unos. Po suvremenom stajalištu, uvedenom kod Georgea Boolea, egzistencijalno kvantificirani iskazi imaju takav unos, a univerzalni nemaju. Stoga, po suvremenom stajalištu, (x)(Ax Bx) ("Svi A su B") nije iskaz koji obavezuje na egzistenciju s obzirom na A; on može biti istinit čak i u interpretacijama gdje domena ne sadrži objekte za instancijaciju x-a ili ako ne sadrži objekte koji su A. Nasuprot tomu, iskaz (x)(Ax·Bx) ("Neki A su B") tvrdi postojanje barem jednoga A i neistinit je u interpretacijama gdje domena ne sadrži takve objekte. Vidi predikatska logika, inkluzivna; kvantifikator.

Egzistencijalni kvantifikator.

Vidi kvantifikator.

Ekskluzivna disjunkcija

Vidi disjunkcija.

Ekvivalencija.

Istinitosna funkcija koja daje istinu kada njezina oba argumenta imaju istu istinitosnu vrijednost, neistinita u protivnom. Također i konektiv koji označava ovu funkciju; također složena propozicija izgrađena s ovim konektivom. Sintaktički: dvije propozicije koje se uzajamno impliciraju. Semantički one imaju iste modele. Također se naziva bikondicionalom, ili bikondicionalnim iskazom.

- Logička ekvivalencija.

Tautološki iskaz materijalne ekvivalencije.

- Materijalna ekvivalencija.

Istinitosna funkcija koja je istinita kada oba njezina argumenta imaju istu istinitosnu vrijednost (ne nužno i isto značenje). Oznaka: pq, ili p akko q.

Ekvivalentni skupovi.

Dva su skupa ekvivalentna akko imaju istu kardinalnost, to jest, ako se mogu postaviti u korespondenciju jedan-za-jedan. Također se nazivaju jednakobrojnim skupovima. Oznaka: AB; ponekad A~B.

Ekstenzija sustava.

Sustav S' ekstenzija je sustava S akko je svaki teorem u S – teorem u S'. Slijedi da je svaki model za S' – model za S.

- Konačna ekstenzija sustava.

Sustav S' je konačna ekstenzija S-a akko S' ima sve aksiome od S, a razlikuje se od S samo što mu je dodan konačan broj dodatnih aksioma koji su isf ali ne i aksiomi u S.

Epimenidov paradoks.

Vidi lažljivac, paradoks.

F

Finitarni formalni sustav.

Formalni sustav u kojemu (1) ima prebrojivo mnogo simbola u formalnom jeziku, (2) isf su konačne duljine, i (3) svako pravilo zaključivanja koristi konačni broj premisa.

Formalni jezik.

Alfabet i gramatika. Alfabet je skup neinterpretiranih simbola. gramatika je skup pravila koja određuju koji su nizovi alfabetskih simbola prihvatljivi (gramatički ispravni ili ispravno sastavljeni) u tom jeziku. Gramatika se može također shvatiti kao skup funkcija koje uzimaju nizove simbola kao ulazne vrijednosti i vraćaju bilo «da» ili «ne» kao izlazne vrijednosti. Gramatička pravila se također nazivaju pravilima tvorbe (pravilima formacije). Vidi odlučivi sustav; finitarni formalni sustav; isf.

Formalni sustav.

Formalni jezik (alfabet i gramatika) i deduktivni aparat (aksiom i pravila zaključivanja). Vidi aritmetika, formalni sustav; kategoričnost sustava; klauzura sustava; odlučivi sustav; formalni jezik; deduktivni aparat.

Formula.

Niz simbola iz alfabeta nekog jezika. Ona može i ne mora biti u skladu s gramatikom tog jezika; ako jest nazivamo je ispravno sastavljenom formulom ili isf. Vidi isf.

Funkcija.

Pravilo pridruživanja nekog člana ili niza članova iz jednog skupa (iz domene) s članom iz drugog skupa (rang, kodomena). Vidi kompozicija; izračunljiva funkcija; definabilnost funkcije; minimizacija; n-adična funkcija; parcijalna funkcija; primitivna rekurzija; propozicijska funkcija; rekurzivna funkcija; teorija rekurzivnih funkcija; reprezentacija funkcije; totalna funkcija; istinitosna funkcija.

G

Generalizacija.

Dodavanje kvantifikatora nekoj isf tako da se vežu varijable koje su prije bile slobodne ili tako da se vežu nove varijable koje su došle na mjesto konstanti. Vidi vezane varijable; slobodne varijable; instancijacija; kvantifikator.

- Egzistencijalna generalizacija.

Generalizirati koristeći egzistencijalne kvantifikator. Na primjer, polazeći od propozicijske funkcije poput Px ili propozicije poput Pa doći do (x)Px; od "x je ljubičasto" ili "alabaster je ljubičast" do "nešto je ljubičasto". Valjano bez ograničenja.

- Univerzalna generalizacija.

Generalizirati koristeći univerzalni kvantifikator. Na primjer, polazeći od propozicijske funkcije poput Px ili propozicije poput Pa doći do (x)Px; od "x je ljubičasto" ili "alabaster je ljubičast" do "sve je ljubičasto". Valjano pod nekim ograničenjima.

Gödelove brojke.

Kod u kojemu se različite brojke dodjeljuju izrazima u nekom jeziku tako da na temelju te brojke možemo reći je li ona dodijeljena nekom simbolu, nizu simbola (možda isf) ili nizu isf-a (možda dokazu). Mora postojati efektivna metoda za prevođenje simbola, formula i nizova formula u Gödelove brojke, i vice versa. Vidi aritmetizacija.

Gödelovi teoremi.

Bilo koji među mnogim teoremima koje je Kurt Gödel dokazao. Sljedeća se tri obično nazivaju po Gödelu. Kada netko naprosto kaže "Gödelov teorem" onda se obično misli na prvi teorem nepotpunosti.

- Gödelov teorem potpunosti (1930). Poliadična logika prvog reda je semantički potpuna, naime, sve logički valjane isf su teoremi.

- Gödelov prvi teorem nepotpunosti (1931). Ugrubo, bilo koji konzistentni ili omega-konzistentni formalni sustav aritmetike koji je "dovoljno snažan" – nepotpun je (nepotpuna prema negaciji i omega-nepotpuna). Da bi imao dovoljnu snagu, sustav mora (1) imati odlučive skupove isf-a i dokaza, i (2) reprezentirati svaki odlučivi skup prirodnih brojeva. Vidi aritmetika, formalni sustav; reprezentacija skupa.

- Gödelov drugi teorem nepotpunosti (1931). Konzistentnost sustava koji je "dovoljno snažan" (isto kao i kod prvog teorema nepotpunosti) nije dokaziva unutar samog sustava, osim ako on nije inkonzistentan. Drugi teorem nepotpunosti je korolar prvome. Vidi Hilbertov program.

Gramatika.

Vidi formalni jezik; isf.

Grellingov paradoks.

Ako neki pridjev istinito opisuje samoga sebe, nazovimo ga "autološkim", u protivnom nazovimo ga "heterološkim". Na primjer, "višesložan" i "hrvatski" su autološki, dok su "jednosložan" i "besmislen" heterološki. Je li "heterološki" heterološki? Ako jest, onda nije; ako nije, onda jest. Grellingov se paradoks ne može iskazati u logici prvog reda, a teško ga je izbjeći u predikatskoj logici višeg reda.

H

Hereditarnost.

Svojstvo koje imaju sve isf u nekom skupu je logički hereditarno (nasljedivo) akko ga sva prihvaćena pravila zaključivanja prenose na sve konkluzije koje se mogu izvesti iz tog skupa.

Heterološki paradoks.

Vidi Grellingov paradoks.

Hilbertov program.

Pokušaj da se izbjegne i relativnost i poročna cirkularnost u dokazu konzistentnosti formalnih aritmetičkih sustava putem korištenja samo jednog malog skupa krajnje intuitivnih operaciji za dokaz konzistentnosti sustava koji sadrži taj skup (Druga je faza programa izgradnja cjelokupne matematike na sustavu kojemu je na prethodni način potvrđena konzistentnost). nade u ostvarenje hilbertovog programa ugasnule su s Gödelovim drugim teoremom nepotpunosti. Vidi Gödelovi teoremi; relativne konzistentnosti, dokaz.

Hipoteza indukcije.

Vidi matematička indukcija.

Hipoteza kontinuuma.

Ne postoji kardinalni broj, a, takav da À0 < a < c, gdje je c kardinalitet kontinuuma. Dokazivanje ili osporavanje hipoteze kontinuuma bilo je na prvom mjestu znamenitom Hilbertovom popisu problema iz 1900. Gödel (1938) i Cohen (1963) dokazali su da hipoteza kontinuuma nije ni dokaziva niti osporiva u standardnoj teoriji skupova. Kratica je CH. Vidi teorija skupova.

- Generalizirana hipoteza kontinuuma.

Ni za jedan transfinitni kardinalni broj, a, ne postoji kardinal b takav da a < b < 2a. Kratica je GCH.

I

Identitet.

2-mjesni predikat, recimo Ixy, kojim se tvrdi da su njegova dva argumenta identična. Obično se simbolizira kao "=" i zapisuje u infiksnom zapisu, "x=y". Iako svi sustavi poliadične predikatske logike mogu izraziti identitet jednako lako kao i bilo koju drugu 2-mjesnu relaciju, ipak za sustav se kaže da je "s identitetom" akko on također sadrži bilo aksiome, bilo aksiomske sheme bilo pravila zaključivanja koja određuju kako se "=" treba koristiti. Uočima da aksiom poput "(x)(x=x)" ili "(x)Ixx" nije logički valjan jer su moguće interpretacije simbola "=" ili "I" u kojima on ne dobiva značenje identiteta. Vidi prvog reda s identitetom, teorija; predikatska logika s identitetom; interpretacija, normalna.

Implikacija.

Iskaz čiji je oblik "ako A, onda B," gdje A i B stoje na mjestu isf-a ili propozicija. Isf u ako-rečenici naziva se antecedens (također implikans i protasis). Isf u onda-rečenici naziva se konzekvens (također implikat i apodosis). Kao istinitosna funkcija, vidi materijalna implikacija. Također se naziva kondicionalom ili pogodbenim iskazom. Vidi korespondentni kondicional.

- Logička implikacija.

Tautološki iskaz materijalne implikacije.

- Materijalna implikacija.

Istinitosna funkcija koja je neistinita kada je njezin antecedens istinit a konzekvens lažan, u protivnom – istinita. Također i konektiv koji označava ovu funkciju, također i složena propozicija izgrađena pomoću ovog konektiva. Ova istinitosna funkcija rijetko kada odgovara značenju pogodbene rečenice u prirodnom jeziku, ali ipak zahvaća logičku osnovu njezine primjene. Zapis: pq.

- Paradoksi materijalne implikacije.

Sljedeće dvije posljedice formalne definicije materijalne implikacije odstupaju od naših neformalnih intuicija o implikaciji: (1) materijalna implikacija je istinita kad god je antecedens lažan, i (2) materijalna implikacija je istinita kad god je konzekvens istinit. Ovi navodni paradoksi ne stvaraju kontradikcije.

Inkluzivna disjunkcija

Vidi disjunkcija.

Inkluzivna teorija kvantifikacije

Vidi predikatska logika.

Individue.

Predmeti ili elementi koji igraju ulogu subjekata za predikate logike prvog reda. Vidi konstanta; domena; varijabla.

Indukcija.

Zaključak u kojemu konkluzija sadrži informacije koje nisu sadržane u premisama. Vidi dedukcija; matematička indukcija.

Instancijacija.

U predikatskoj logici, odstraniti kvantifikator iz isf-e i bilo učiniti prije vezane varijable slobodnima ili zamijeniti ih s konstantama. Vidi generalizacija; kvantifikator.

- Egzistencijalna instancijacija.

Instancijacija koja polazi od egzistencijalnog kvantifikatora. Na primjer, polazeći od iskaza poput (x)Px doći do Px ili do Pa; od "nešto je ljubičasto" do "x je ljubičasto" ili "alabaster je ljubičast". Valjano samo pod nekim ograničenjima.

- Univerzalna instancijacija.

Instancijacija koja polazi od univerzalnog kvantifikatora. Na primjer, polazeći od iskaza poput (x)Px doći do Px ili Pa; od "sve je ljubičasto" do "x je ljubičasto" ili "alabaster je ljubičast". Valjano bez ograničenja.

Interpolacijski teorem.

Ako (AB), i ako A i B imaju barem jedan zajednički propozicijski simbol, onda postoji isf C koja sadrži samo propozicijske simboli koje se javljaju u A i B takva da (AC) i (CB). U sintaktičkoj verziji teorema simbol "" moramo zamijeniti s "".

Interpretacija (formalnog jezika).

Dodjeljivanje predmeta iz domene za konstante formalnog jezika, istinitosnih vrijednosti za propozicijske simbole, istinitosnih funkcija za konektiv, drugih funkcija za funkcijske simbole, te ekstenzija za predikate (kada su te ekstenzije podskupovi domene). Ta dodjeljivanja vrši čovjek, logičar, i ona nisu prirođena simbolima formalnog jezika. Ta dodjeljivanja možemo zahvatiti pomoću funkcije f tako da (na primjer) za konstantu c, f(c) = predmet iz domene D; za propoziciju p, f(p) = istina; za istinitosnu funkciju, f() = materijalna implikacija; za funkciju g, f(g) = kvadrat sljedbenika; ili za predikat P, f(P) = skup ljubičastih stvari. U propozicijskoj logici interpretacija je naprosto takva funkcija, u predikatskoj logici to je neki skup (domena) zajedno s takvom funkcijom definiranom za članove te domene.

- Kardinalitet interpretacije.

Kardinalitet domene interpretacije. Vidi domena; model; teorija modela.

- Normalna interpretacija.

Interpretacija za sustave s identitetom u kojoj je relacija identiteta dodijeljena simbolu "=" ili nekom drugom 2-mjesnom predikatu. Vidi prvog reda s identitetom, teorija; model, normalan; predikatska logika s identitetom.

Iracionalni brojevi.

Realni brojevi koji nisu jednaki omjeru dvaju cijelih brojeva. U decimalnom zapisu, to su razlomci predstavljeni s beskonačnim, neponavljajućim decimalnim produžetkom.

Isf.

Akronim za "ispravno sastavljenu formulu". Niz simbola iz alfabeta formalnog jezika poredan u skladu s gramatikom tog formalnog jezika. Vidi odlučiva isf, formalni jezik.

- Zatvorena isf.

U predikatskoj logici, isf bez slobodnih pojava bilo koje varijable; ona ili ima konstante na mjestu varijabli, ili su njezine varijable vezane. Također se naziva rečenicom. Vidi vezana varijabla; slobodna varijabla; klauzura isf-e.

- Otvorena isf.

U predikatskoj logici, isf s barem jednom slobodnom pojavom neke varijable. Vidi slobodna varijabla; propozicijska funkcija. Neki logičari koriste termine, 1-isf, 2-isf,...n-isf za otvorene formule s 1, 2,…, odnosno n slobodnih varijabli. (Drugi ih nazivaju 1-formula, 2-formula,...n-formula.)

Istinitost pod interpretacijom.

(1) Za isf-u propozicijske logike, biti istinitim pod dodjeljivanjima zadane interpretacije. (2) Za isf-u predikatske logike, biti istinitim za sve nizove neke interpretacije. Također se naziva istinitim za I. Kako neka isf može biti istinita pod interpretacijom mora biti definirano posebno za svaki veznik u jeziku. Vidi veznik; logička valjanost; zadovoljavanje.

Istinitosna funkcija.

Totalna funkcija s istinitosnih vrijednosti (ili njihovih nizova) u istinitosne vrijednosti. Vidi konjunkcija; bodež funkcija; disjunkcija; ekvivalencija; funkcija; implikacija; negacija; potez funkcija.

Istinitosno-funkcionalno složena propozicija.

Složena propozicija za utvrđivanje čije je istinitosne vrijednosti dovoljno znati istinitosnu vrijednost njezinih sastavnica i definicije veznika.

Istinitosno funkcionalni veznik.

Veznik koji daje jedino istinitosno-funkcionalno složene propozicije. Vidi veznik.

Istinitosno-funkcionalna propozicijska logika.

Ogranak logike koji se bavi s istinitosno-funkcionalnim veznicima i s odnosima koje oni dopuštaju među propozicijama. Logika odnosa među propozicijama, za razliku od predikatske logike koja pokriva i unutarnju strukturu propozicija.

Istinitosna vrijednost.

Stanje u kojem je nešto istinito ili lažno.

- 2-vrijednosne logike.

Logika sa samo dvije istinitosne vrijednosti, naime, istinom i laži.

- Više-vrijednosne logike.

Logike koje prihvaćaju više od dvije istinitosne vrijednosti. U 3-vrijednosnoj logici, na primjer, treća istinitosna vrijednost je često "nepoznato" ili "nedokazivo" ili "ni istinito ni lažno". Također se nazivaju n-vrijednosnim logikama.

Izomorfizam modela.

U grubo, slučaj kad su modeli identični po obliku a različiti (ako uopće jesu različiti) po sadržaju. Ili, kad se njihove domene preslikavaju jedna na drugu tako da se njihovi elementi mogu postaviti u korespondenciju jedan-za –jedan na način da stoje u istim odnosima. Za definirati izomorfizam preciznije, neka su D i D' domene dvaju modela koje uspoređujemo, neka za svaki element d iz D postoji odgovarajući element d' iz D' i vice versa, neka svaka funkcija f definirana za D ima odgovarajuću funkciju f' definiranu za D' i vice versa, te neka svaki predikat P definiran za D ima odgovarajući predikat P' definiran za D' i vice versa. Tada su dva modela izomorfna akko su ispunjena sljedeća tri uvjeta: (1) D i D' se mogu postaviti u korespondenciju jedan-za-jedan, (2) za sve funkcije f i f', f(d1...dn) = dn+1 akko f'(d1'...dn') = dn+1' i (3) za sve predikate P i P', Pd1...dn akko P'd1'...dn'. Vidi kategoričnost sustava; Löwenheim-Skolemov teorem.

Izračunljiva funkcija.

Totalna funkcija za koju postoji efektivna metoda određivanja vrijednosti (izlaza, člana ranga), za zadane argumente (ulaze, članove domene). Vidi efektivna metoda; totalna funkcija.

- Neizračunljiva funkcija.

Funkcija za koju nema takve efektivne metode.

Izvod.

Konačni, ne-prazni niz isf-a u kojemu je zadnji član izvedena isf, a svaki ostali član (premise) je ili aksiom ili član skupa prihvaćenih premisa ili rezultat primjene pravila zaključivanja na isf na prethodnim isf-ama. Vidi korespondentni argument; dokaz. Oznaka: Γ A (isf A može se izvesti iz skupa isf-a Γ).

J

Jednostavna konzistentnost.

Sustav je jednostavno konzistentan akko ne postoji isf A takva da su i A i ~A teoremi.

- Jednostavna inkonzistentnost.

Sustav je jednostavno inkonzistentan akko postoji isf A takva da su i A i ~A teoremi.

Jednostavne propozicije.

Propozicija čija nas unutarnja struktura ne zanima, stoga propozicija čiju unutarnju strukturu ne činimo vidljivom u našima zapisima. Zapis: p, q, r, itd. Također se naziva atomom..

Jezik.

Vidi formalni jezik.

K

Kantorska teorija skupova. Vidi teorija skupova.

Kardinalitet (skupa).

Broj elemenata u skupu; intuitivno, "veličina" skupa. Oznaka: dvije paralelne crte iznad simbola koji označuje skup; također "|S|" i "card S" gdje je S simbol koji označuje skup.

Kategoričnost sustava.

(1) Formalan je sustav općenito kategoričan akko su svi njegovi modeli izomorfni. (2) Teorija prvog reda s identitetom je kategorična akko su svi njezini normalni modeli izomorfni. Vidi teorija prvog reda; izomorfizam modela; model, normalan.

- Alfa- kategoričnost.

Teorija prvog reda je a-kategorična akko (1) ima normalni model s kardinalitetom a i (2) bilo koja dva modela s kardinalitetom a su izomorfna.

Klauzura sustava.

Sustav s barem jednim zatvorenim termom zatvoren je akko At/x povlači (x)Ax za svaki zatvoreni term t i svaku 1-isf A. (A 1-isf je isf s točno jednom slobodnom varijablom.) Neformalno, sustav je zatvoren ako činjenica da A postaje teorem kada mu se slobodna varijabla zamijeni sa bilo kojim zatvorenim terminom povlači univerzalnu generalizaciju (x)A. Iz klauzure slijedi da je svaki član domene imenovan s nekim zatvorenim terminom; stoga je domena prebrojiva. Vidi omega-kompletnost; term, zatvoreni; isf, otvorena.

Klauzura za isf.

U predikatskoj logici, vezivanje svih slobodnih varijabli u isf putem njihovog stavljanja u doseg odgovarajućih kvantifikatora. Zatvorena isf smatra se svojom vlastitom klauzurom. Klauzura klauzure isf A smatra se klauzurom od A. Oznaka: Ac (klauzura isf A). Zatvorene isf nazivaju se rečenicama. Vidi vezana varijabla; slobodna varijabla; generalizacija; instancijacija; isf.

k-valjanost.

Isf je k-valjana akko je istinita u svakoj interpretaciji s domenom s točno k članova. Vidi logička valjanost; omega-potpunost.

Komplement skupa.

Komplement skupa A je skup elemenata koji nisu članovi skupa A. Oznaka: ili A s jednom crtom iznad, , ili ispred, , ili u superskriptu, .

- Apsolutni komplement skupa.

Skup svih stvari ma što one bile koje nisu članovi zadanog skupa. Standardna teorija skupova ne prepoznaje apsolutne komplement skupa. Vidi Russellov paradoks.

- Relativni komplement skupa.

Skup svih stvari koje nisu članovi zadanog skupa A, ali jesu članovi nekog posebnog «pozadinskog» skupa, B. Ovo možemo prikazati pomoću oznaka za razliku skupa: relativni komplement od A u B ili u odnosu na B (ne A u B) je skup . Pozadinski skup ponekad se naziva univerzumom ili univerzumom rasprave. Oznaka: B-A, ili B\A. Vidi univerzum rasprave.

Kompletnost.

Vidi potpunost pod negacijom; omega-kompletnost; semantička kompletnost; sintaktička kompletnost.

Komponenta.

Propozicija koja je dio složene propozicije. Komponenta može i sam biti složena. Na primjer, p je komponenta u pq, a pq je komponenta u (pq)r.

Kompozicija ( funkcija).

Jedna među ostalim jednostavnim operacijama za gradnju funkcija u teoriji rekurzivnih funkcija. Ako su nam dane jednomjesne funkcije f(x) i g(x), onda nam kompozicija omogućuje da izgradimo funkciju h ovako: h(x) = f(g(x)). Općenito, ako je f m-mjesna funkcija, f(x1...xm), i ako je dan neki niz n-mjesnih funkcija g, g(x1...xn), onda možemo sagraditi n-mjesnu funkciju h putem kompozicije: h(x1...xn) = f(g(x1...xn),...,gm(x1...xn)). Također se naziva supstitucijom. Vidi rekurzivne funkcije, teorija.

Konkluzija.

Rezultat nekog argumenta ili zaključka. Isf izvedena iz premisa ili njima poduprta. Vidi argument; zaključak; premisa.

Kondicional. Vidi implikacija.

Konjunkcija.

Istinitosna funkcija koja je istinita onda kada su oba njezina argumenta (ili konjunkta) istinita. Također i poveznik koji označuje ovu; također i složena propozicija izgrađena pomoću ovog poveznika. Oznaka: p · q; ponekad i pÙq ili pq.

Konjunktivna normalna forma (KNF).

Oblik istinitosno funkcionalne složevine kada je ona iskazana kao niz konjunkata gdje je svaki konjunkt ili jednostavna propozicija ili disjunkcija jednostavnih propozicija i njihovih negacija. Vidi disjunktivna normalna forma.

Konzekvent. Vidi implikacija.

Konzistentnost.

Vidi apsolutna konzistentnost; model-teorijska konzistentnost; omega-konzistentnost; konzistentnost u smislu teorije dokaza; dokaz relativne konzistentnosti; jednostavna konzistentnost.

Konstanta.

Simbol s utvrđenim referentom. Skraćenica za ime, za razliku od simbola koji čuva mjesto (varijabla). Vidi varijabla.

- Individualna konstanta.

Simbol koji zastupa neki individualni objekt iz domene nekog sustava.

- Predikatna konstanta.

Simbol koji zastupa neko svojstvo ili odnos.

- Propozicijska konstanta.

Simbol koji zastupa neku propoziciju.

Konstruktivan dokaz.

Dokaz kojim se proizvodi primjer nečega čije se postojanje dokazuje (kao što je broj, isf, funkcija itd. s određenim svojstvima). Vidi egzistencije, dokaz.

Kontingencija.

U istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici, propozicija koja nije ni tautologija niti kontradikcija, dakle, bilo koja propozicija koja je ponekad istinita, ponekad lažna, ovisno o retku istinitosno funkcionalne tablice ili tumačenju. Vidi Kontradikcija; tautologija.

Kontinuum.

Brojevni kontinuum je niz realnih brojeva; linearni kontinuum je niz točaka na geometrijskom pravcu.

Kontradikcija.

(1) Konjunkcija bilo koje propozicije s njezinom negacijom, (2) u istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici, negacija bilo koje tautologije, dakle, bilo koja propozicija koja je neistinita u svakom retku njezine istinitosne tablice ili u svakom tumačenju. Vidi Kontradikcija; tautologija.

Konzistentnost, u smislu teorije dokaza (p-konzistentnost).

Stanje u kojem kontradikcija nije posljedica (nije izvediva). Vidi maksimalni p-konzistentni skupovi; model-teorijska konzistentnost.

- Konzistentan skup isf-a u smislu teorije dokaza (p-konzistentan skup).

Skup isf-a je p-konzistentan akko ne postoji isf-a A takva da i A i ~A mogu izvesti iz skupa.

- Inkonzistentnost u smislu teorije dokaza (p-inkonzistentnost).

Stanje u kojem se implicira kontradikcija.

Korak indukcije. Vidi matematička indukcija.

Korespondencija jedan-za-jedan.

Takvo sparivanje članova jednog s članovima drugog skupa da svaki član jednoga ima točno jedan parnjak u drugom skupu i svaki član drugoga ima točno jedan parnjak u prvom skupu. Metoda sparivanja ne mora biti efektivna. Oznaka: AB (skup A se može postaviti u korespondenciju jedan-za-jedan sa skupom B)

Korespondentni argument ili izvod.

Svaki kondicionalni iskaz, AB, može se drukčije iskazati kao izvod, AB, koji se naziva korespondentni argument ili izvod kondicionala.

Korespondentni kondicional.

Svaki izvod, A1, A2,...An B, može se drukčije iskazati kao kondicionalni iskaz, (A1 · A2 · ...· An)B, kojeg nazivamo korespondentnim kondicionalom tog argumenta (zaključka).

Kvantifikacije, teorija. Vidi predikatska logika.

Kvantifikator.

U predikatskoj logici, simbol koji nam kazuje za koliko se predmeta (iz domene) predikat tvrdi. Kvantifikator se primjenjuje, ili vezuje, varijable koje stoje na mjestu argumenata predikata. U logici prvog reda varijable se moraju protezati nad pojedinačnim predmetima; u logikama višeg reda one se mogu protezati i nad predikatima. Vidi vezana varijabla; egzistencijalni unos; slobodna varijabla; generalizacija; instancijacija; predikatska logika.

- Egzistencijalni kvantifikator.

Kvantifikator koji tvrdi, "postoje neki" ili "postoji barem jedan". Zapis: , također V. Na primjer, prirodni prijevod za (x)Px glasi, "Postoji barem jedna stvar sa svojstvom P."

- Univerzalni kvantifikator.

Kvantifikator koji tvrdi, "za sve" ili "za sve stvari". Zapis: (x); također " i . Na primjer, prirodni prijevod za (x)Px glasi, "Sve stavri imaju svojstvo P." Izraz "svi" u univerzalnom kvantifikatoru referira na sve predmete u domeni interpretacije, ne na sve predmete uopće. Vidi univerzum rasprave.

- Isprazni kvantifikator.

Kvantifikator koji ne vezuje niti jednu varijablu, npr. "(y)" u(x)(y)(Ax Bx).

L

Lema.

Teorem (ili metateorem) dokazan samo u svrhu dokazivanja drugog teorema (ili metateorema).

Lažljivac, paradoks.

"Ova rečenica nije istinita." Ako jest istinita, onda nije istinita; ako je neistinita, onda je istinita. Također poznat kao Epimenidov paradoks.

Logički aksiomi. Vidi aksiomi.

Logička valjanost.

Za neku isf-u, istinitost u svim interpretacijama formalnoga jezika; imati svaku interpretaciju kao svoj model. "Svaka interpretacija" ovdje se razumije kao sve one interpretacije i samo one interpretacije u kojima konektivi (veznici) i/ili kvantifikatori imaju standardno značenje. U istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici valjane isf-e nazivaju se također i tautologijama. U standardnoj predikatskoj logici, logička je valjanost ograničena na interpretacije s nepraznim domenama. Logička se valjanost također naziva logičkom istinom. Vidi k-valjanost; model; predikatska logika; tautologija; istinito pod interpretacijom. Zapis: A (A je logički valjana isf-a).

Logika višeg reda.

Vidi predikatska logika.

Löwenheim-Skolem teorem.

Svaka teorija prvoga reda koja ima model ima prebrojivi model. Teorem povlači da će konzistentne teorije prvoga reda, uključujući i one koje trebaju obuhvatiti realne brojeve ili druge neprebrojive skupove, biti ne-kategorične; stoga on povlači da ne postoji konzistentni, kategorični opis realnih brojeva u teoriji prvoga reda. Vidi kategoričnost sustava; Skolemov paradoks.

- Löwenheim-Skolem teorem prema dolje.

Ako teorija prvoga reda ima model beskonačne kardinalnosti k, onda ona ima model bilo koje manje beskonačne kardinalnosti j, j£k.

- Löwenheim-Skolem teorem prema gore.

Ako teorija prvoga reda ima model beskonačne kardinalnosti, onda ona ima model s proizvoljnom beskonačnom kardinalnošću, te stoga, modele sa svakom beskonačnom kardinalnošću. Varijacija za sustave s identitetom: ako teorija prvoga reda ima normalan model beskonačne kardinalnosti, onda ona ima normalni model s bilo kojom beskonačnom kardinalnošću.

M

Matematička indukcija.

Moćna tehnika za dokazati da teorem vrijedi u svim slučajevima u velikom ili beskonačnom skupu. Dokaz ima dva koraka, osnovni korak (baza indukcije) i induktivni korak. Ugrubo, u osnovnom se koraku dokazuje da teorem vrijedi u slučaju "pretka", a u induktivnom koraku se dokazuje da teorem vrijedi za sve "nasljedne" slučajeve. Za precizniji definiciji, pogledajte točke ispod. Vidi nasljeđivanje; indukcija.

- Baza.

Dokaz da zadani teorem vrijedi u minimalnom slučaju.

- Induktivna hipoteza.

Pretpostavka da zadani teorem (u slaboj matematičkoj indukciji) vrijedi za proizvoljni slučaj k, ili (u jakoj matematičkoj indukciji) da vrijedi u svim slučajevima do k uključujući k.

- Induktivni korak.

Dokaz da ako je induktivna hipoteza istinita, onda zadani teorem vrijedi i za slučaj k+1.

- Snažna i slaba matematička indukcija.

Dvije verzije induktivne hipoteze (vidi gore).

Matrica.

U isf-ma predikatske logike u kojima su svi kvantifikatori pomaknuti na lijevu stranu, onaj dio formule koji se nalazi zdesna kvantifikatorima. Vidi prefiks; preneksna normalna forma.

Maksimalno konzistentni skup u smislu teorije dokaza (maksimalni p-konzistentni skup).

Skup isf koji se ne može proširiti a da ne postane p-inkonzistentan. Vidi konzistentnost u smislu teorije dokaza.

Metajezik.

Jezik u kojemu govorimo o nekom formalnom jeziku. "Meta" metajezika naziva se objektnim jezikom. Vidi objektni jezik.

Metalogika.

Proučavanje formalnih sustava, posebno onih koji ciljaju prema shvaćanju ogranaka logike, npr. istinitosno-funkcionalne propozicijske logike, koje rezultira s metateoremima o tim sustavima. Razmišljanje o razmišljanju. Vidi metajezik; metateorem.

Metateorem.

Tvrdnja o formalnom sustavu (za razliku od isf-s u njemu) dokazana bilo neformalno bilo uz pozivanje na aksiome i pravila nekog drugog sustava (za razliku od dokazanosti unutar sustava kod teorema).

Minimizacija.

Jedna među jednostavnim operacijama za tvorbu funkcija u teoriji rekurzivnih funkcija. Ugrubo, ako nam je zadana izračunljiva funkcija f(x,y), onda određujemo drugu funkciju g koja izračunava najmanju vrijednost za y (jedan prirodni broj) takvu da f(x,y) = 0. Kažemo da je g izgrađena iz f putem minimizacije. Jedan mogući način: započeti 0 te provjeravati redom svaki prirodni broj u nizu dok ne dođemo do onoga gdje vrijedi f(x,y) = 0. Vidi rekurzivnih funkcija, teorija. Također se naziva µ (Grčko slovo mi).

- Ograničena minimizacija.

Da bismo osigurali da g bude totalna funkcija, gradimo je iz f pomoću ograničene minimizacije. Odabiremo granicu z i iskušavamo svaku vrijednost 0...z kao vrijednost za y; prva među njima koja daje f(x,y) = 0 vraća se kao vrijednost za g; ako niti jedna ne daje f(x,y) = 0, onda g vraća 0. Budući da g uvijek vraća neku vrijednost, g je totalna funkcija; budući da je z uvijek konačan, g je izračunljiva.

- Neograničena minimizacija.

Ako f(x,y) nikada nije jednak 0, onda je g nedefinirana; stoga je g parcijalna, i zato neizračunljiva funkcija. Zamislite da se g vrti na računalu; kada je neograničena, ona će se vrtiti bez kraja za neke ulaze. Ona bi mogla provjeriti vrijednosti 0, 1, 2... u potrazi za vrijednošću za y koja će dati f(x,y) = 0. Ali ako nema takvog y, i ako se ne postavi nikoja granica pretraživanju, onda se pretraživanje nikada neće zaustaviti.

Model.

Interpretacija u kojoj izrazi koji nas zanimaju (npr. neka isf, skup isf-a, neki sustav) postaju istinitima za tu interpretaciju. Vidi interpretacija; izomorfizam modela; istina pod interpretacijom.

- Kardinalitet modela.

Kardinalitet domene modela. Vidi domena.

- Model za isf-u ili za skup isf-a.

Interpretacija, I, koja čini te isf-e istinitima pod I.

- Model formalnog sustava.

Interpretacija, I, koja čini skup teorema istinitim pod I. Model sustava je model njegovog skupa teorema.

- Ne-standardni model.

U slabom smislu, bilo koja ne-standardna interpretacija koja je model. U jakom smislu, bilo koji model koji nije izomorfan namjeravanom (standardnom) modelu. Vidi izomorfizam modela.

- Normalni model.

Normalna interpretacija koja je model. Vidi normalna interpretacija.

- Model-teorijska konzistentnost (m-konzistentnost).

Svojstvo posjedovanja modela. Vidi model; konzistentnost u smislu teorije dokaza.

- Model-teorijski konzistentna isf.

Isf koja ima model.

- Model-teorijski konzistentan skup isf-a (m-konzistentan skup).

Skup isf-a za koji postoji model, I, u kojem je svaki član istinit pod I.

- Model-teorijska inkonzistentnost (m-inkonzistentnost).

Svojstvo neposjedovanja modela; ne biti istinit ni pod jednom interpretacijom.

Modela, teorija.

Proučavanje interpretacija formalnih jezika pojedinih formalnih sustava i s time povezana pitanja istinitosti i izomorfizma interpretacija. Vidi kategoričnost; interpretacija; izomorfizam modela; Löwenheim-Skolem teorem; model; teorija dokaza.

Modus ponens.

Pravilo zaključivanja pomoću kojega zaključujemo na B kada su nam dani A i A B.

Modus tollens.

Pravilo zaključivanja pomoću kojega zaključujemo na ~A kada su nam dani A B i ~B.

Molekula.

U propozicijskoj logici, složena propozicija, za razliku od jednostavne propozicije ili atoma. Vidi atom.

Monotoničnost.

Svojstvo sustava koje se sastoji u mogućnosti da se dodaju nove isf-e bilo kojem skupu isf-a a da se pri tome ne obezvrijede prethodni ispravni izvodi koji polaze od tog skupa. Ako je A proizvoljna isf-a, ta ako su G i D proizvoljni skupovi isf-a, kažemo da je sustav monotoničan akko G A povlači G,DA. U ne-monotoničnim logikama, izvodi koji su valjani s obzirom na G ne moraju biti valjani s obzirom na GD. Manje formalno, u ne-monotoničnim logikama, konkluzija koja slijedi iz skupa premisa ne mora slijediti kada se nove premise dodaju k početnom skupu a niti jedna se ne izuzme iz njega.

N

N-adična funkcija ili predikat.

Funkcija ili predikat koji ima n argumenata. Također ih nazivamo n-arnim funkcijama i predikatima.

Nadskup.

Skup iz kojega neki članovi tvore skup na kojega referiramo. Ako je A podskup od B, onda je B nadskup od A. Vidi podskup.

Negacija.

Istinitosna funkcija koja je istinita kad je njezin argument lažan, i lažna kada je njezin argument istinit (u 2-vrijednosnoj logici). Također, operator ili konektiv (veznik) koji označava ovu funkciju; također propozicija izgrađena pomoću ovog operatora. Zapis: ~p, također ¬p, također, p s crtom iznad. (Po dogovoru neukrašeni je propozicijski simbol, p, afirmacija propozicije p.)

Negacijom, potpunost pod.

Sustav je potpun s obzirom na negaciju kada za svaku zatvorenu isf-u A iz jezika sustava vrijedi da je ili A teorem ili je ~A teorem. To jest, sve zatvorene isf-e su odlučive. Vidi odlučiva isf.

- Nepotpunost pod negacijom.

Sustav je nepotpun s obzirom na negaciju kada barem za jednu zatvorenu isf-u A vrijedi da ni A niti ~A nisu teoremi, drugim riječima, kada postoji barem jedna zatvorena isf koja je neodlučiva.

Neprebrojiv skup.

Skup čija je kardinalnost veća od À0. Vidi prebrojiv skup.

Neodlučiv skup. Vidi odlučiv skup; odlučiv sustav; odlučiva isf

Neodlučiv sustav. Vidi odlučiv sustav.

Neodlučiva isf. Vidi odlučiva isf.

Neovisnost aksioma.

Ako s "S-A" označimo sustav S minus aksiom A, onda za mnoge logičare aksiom A jest neovisan o sustavu S akko ni A niti ~A nisu teoremi S-A. Za neke, A je neovisan akko A nije teorem od S-A, iako ~A jest teorem od S-A. Prvi pojam je ekvivalentan s neodlučivošću isf-e A u sustavu S.

N-formula. Vidi isf, otvorena.

Niz.

Uređeni niz elemenata (koji se nazivaju termima). Također se naziva n-torkom gdje n broj terma u nizu. Zapis: kutne zagrade, <...>. Zapis: s(d/k), niz s kada je k-ti član zamijenjen s predmetom d iz domene. Zapis: t*s, član domene interpretacije I dodijeljen termu t u nizu s.

Normalan. Vidi interpretacija, normalna; model, normalan.

N-torka.

Niz od n terma. Vidi niz.

Nulti skup.

Skup s nula članova. Oznaka: Ø, ponekad 0 ili L. Također ga nazivamo praznim skupom.

N-vrijednosne logike.

Vidi istinitosna vrijednost.

N-isf. Vidi isf, otvorena.

O

Objektni jezik.

Formalni jezik nekoga sustava. Jezik koji koristimo kada govorimo o formalnom jeziku je meta-jezik. Izvan logike, objektni jezik ne mora biti formalan; jezik na kojega se odnosi neka meta-jezik je objektni jezik. Vidi formalni jezik; metajezik.

Odlučivi skup.

Takav skup za kojeg postoji efektivna metoda određivanja je li neki proizvoljni predmet njegov član. Vidi efektivna metoda, rekurzivni skup.

- Neodlučiv skup.

Skup za kojeg ne postoji takva efektivna metoda.

Odlučivi sustav.

Formalni sustav za kojega postoji efektivna metoda određivanja je li neka proizvoljna isf njegov teorem. Sustav u kojem je skup teorema odlučiv skup. Pitanje je li neki sustav odlučiv često se naziva Entscheidungsproblem, ili problem odlučivanja. Vidi odlučivi skup, efektivna metoda, efektivni postupak dokaza.

- Neodlučiv sustav.

Sustav za kojeg ne postoji takva efektivna metoda.

Odlučiva isf.

Isf koja je ili teorem ili čija je negacija teorem. Ili isf ili njezina negacija je teorem. Žargon: ako je isf A odlučiva u sustavu S, često kažemo da "S odlučuje A".

- Neodlučiva isf.

Isf koja nije teorem i čija negacija nije teorem.

Omega-potpunost.

Sustav je omega-potpun akko ne postoji isf W s jednom slobodnom varijablom takva da (1) Wn je teorem za svaki prirodni broj n, i (2) (x)Wx nije teorem. Vidi klauzura sustava.

- Omega-nepotpunost.

Postoji isf W s jednom slobodnom varijablom takva da (1) Wn jest teorem za svaki prirodni broj n, i (2) (x)Wx nije teorem. Wx je zadovoljena sa svakim n putem instancijacije ali ne i generalizacije. Vidi k-valjanost.

Omega-konzistentnost.

Sustav je omega-konzistentan akko ne postoji isf W s jednom slobodnom varijablom takva da (1) Wn je teorem za svaki prirodni broj n, i (2) ~(x)Wx je također teorem.

- Omega-inkonzistentnost.

Postoji isf W s jednom slobodnom varijablom takva da (1) Wn je teorem za svaki prirodni broj n, i (2) ~(x)Wx je također teorem.

Operator. Vidi konektiv (veznik).

P

Paradoks.

Izvorno, bilo koja začuđujuća, zbunjujuća ili ne-intuitivna tvrdnja, a posebno protu-intuitivna istina. U suvremenoj logici, pojam ili propozicija koji ne samo da nose proturječnost u sebi već su i njihove očigledne alternative takve ili vrlo «skupe». Vidi Grellingov paradoks; Lažljivca, paradoks; materijalne implikacije, paradoksi; Russellov paradoks; Skolemov paradoks.

Parcijalna funkcija.

Funkcija čija vrijednost nije definirana za neke argumente. Vidi totalna funkcija.

Potpunost Vidi kompletnost.

Partitivni skup.

Skup svih podskupova nekog skupa. Oznaka: *S je partitivni skup skupa S; ponekad P(S) ili Ã(S) ili 2S.

Podskup.

Skup čiji svi članovi pripadaju drugom skupu (nadskupu tog podskupa).Zapis: A B (A je podskup od B). Vidi nadskup.

- Pravi podskup.

Podskup kojemu nedostaje barem jedan član njegovog nadskupa. Skup A je pravi podskup skupa B akko su svi članovi od A također članovi od B, ali barem jedan član od B nije član od A. Zapis: A B.

Potez funkcija.

dijadična istinitosna funkcija "ne-oba". Jedna od samo dvije dijadične istinitosne funkcije koje mogu izraziti sve istinitosne funkcije. Zapis: p|q. Također se naziva Shefferovim potezom, te osporavanjem alternativa. Vidi bodež funkcija.

Pouzdanost.

Argument ili zaključak je pouzdan akko je njegova logika valjana a sve premise su istinite. U protivnom je nepouzdan, tj. bilo ako je njegova logika nevaljana ili je barem jedna premisa neistinita, ili oboje. Vidi valjanost.

Pravi aksiom. Vidi aksiomi.

Pravi podskup. Vidi podskup.

Pravila zaključivanja.

Eksplicitna pravila za proizvođenje teorema kada je već dan jedan ili više teorema. Funkcije s nizova teorema na teoreme. U formalnom sustavu ta pravila trebaju biti formalne naravi (naime, sintaktička ili tipografska), te trebaju djelovati bez pozivanja na značenje «struna» (strings) s kojima manipuliraju. Također se nazivaju: pravilima transformiranja, pravilima proizvođenja Vidi na primjer modus ponens i modus tollens

Prebrojivi skup.

Skup čiji je kardinalitet ili konačan ili À0. Vidi neprebrojiv skup.

Otprilike, skup koji se može prikazati kao niz. Točnije, takav skup u kojemu svaki njegov član ima odgovarajući član u nekom nizu (iako mogu imati više od jednog odgovarajućeg člana), a svaki član u nizu ima odgovarajući član u skupu. Rezultirajući niz naziva se enumeracijom skupa. Skup {a, b, c} izbrojen je nizom <a, b, c>, ali također i s nizom <a, a, c, b>; dok nije izbrojen s nizom <a, a, c, c>.

· Efektivno prebrojiv skup.

Prebrojiv skup za kojeg postoji efektivna metoda za utvrđivanje ntog članog niza za svaki pozitivni cijeli broj n.

· Rekurzivno prebrojiv skup.

Skup koji je efektivno prebrojiv pomoću neke rekurzivne funkcije. Po Churcheovoj tezi, skup je rekurzivno prebrojiv akko je efektivno prebrojiv. Vidi Churchova teza; rekurzivna funkcija.

Predikat.

Intuitivno, ono što se tvrdi o subjektu rečenice. Funkcija s pojedinačnih predmeta (ili njihovih nizova) na istinitosne vrijednosti. Vidi atribut; matrica; n-adičan predikat; predikatska logika; prefiks; propozicijska funkcija; relacija. Oznaka: u "Px", P je predikat.

- Argument predikata.

Pojedinačni predmet o kojem se predikat izriče. oznaka: u "Pxyz", x, y, i z su argumenti predikata P. U predikatskoj logici prvoga reda, samo termi mogu biti argumenti. Vidi term.

- Ekstenzija predikata.

Skup svih predmeta za koje je predikat istinit. Oznaka: ekstenzija predikata P je {x : Px}. Vidi Russellov paradoks.

Predikatska logika.

Grana logika koja se bavi s propozicijama u kojima su subjekt i predikat zasebno označeni, zaključivanje čija valjanost ovisi o ovoj razini artikulacije, te sustavi koji sadrže takve propozicije i takvo zaključivanje. Također se naziva i kvantifikacijskom teorijom. Vidi predikat; prvog reda, teorija.

- Predikatska logika prvoga reda.

Predikatska logika u kojoj predikati za argumente uzimaju samo pojedinačne predmete a kvantifikatori vezuju samo individualne varijable.

- Predikatska logika višeg reda.

Predikatska logika u kojoj predikati uzimaju za argumente druge predikate a kvantifikatori vezuju predikatske varijable. na primjer, predikati drugoga reda uzimaju za svoje argumente predikate prvoga reda. Predikati n-tog reda uzimaju za argumente predikate (n-1)-tog reda (n > 1). Vidi Grellingov paradoks.

- Inkluzivna predikatska logika.

Predikatska logika koja ne isključuje interpretacije s praznim domenama. Standardna predikatska logika isključuje prazne domene i definira logičku valjanost prema tome, tj. kao istinitost u svim interpretacijama s nepraznim domenama. Također se naziva inkluzivnom kvantifikacijskom teorijom. Vidi egzistencijalni unos; logička valjanost.

- Monadička predikatska logika.

Predikatska logika u kojoj predikati imaju samo jedan argument, logika atributa.

- Poliadička predikatska logika.

Predikatska logika u kojoj predikati uzimaju više od jednog argumenta, logika n-adičnih predikata (n> 1); logika relacija

- Predikatska logika s identitetom.

Sustav predikatske logike s aksiomom (x)(x=x), te sa sljedećom aksiomskom shemom, [(x=y) (AA')]c, kada se A' razlikuje od A samo po tome što y eventualno zamjenjuje bilo koju slobodnu pojavu x.a u A pod uvjetom da je y slobodan svugdje gdje zamjenjuje x (x ne mora zamijeniti svaku pojavu x-a u A), te kada je Bc proizvoljna klauzura od B. Vidi prvog reda s identitetom, teorija; identitet.

- Čisti predikatski račun.

Sustav predikatske logike čiji jezik ne sadrži ni funkcijske simbole niti individualne varijable. Nasuprot tome, predikatski račun teorije brojeva sadrži spomenuto.

Prefiks.

U predikatskoj logici isf-e u kojima su svi kvantifikatori zbijeni na lijevoj strani, kvantifikatorska dionica formule. Vidi matrica; preneksna normalna forma.

Premisa.

Isf iz koje se druge isf-e izvode ili se pomoću nje dokazuju. U argumentu ili zaključku, sve one propozicije koje podupiru konkluziju. Vidi argument; konkluzija; izvod; zaključak.

Preneksna normalna forma.

Isf predikatske logike je u preneksnoj normalnoj formi akko (1) svi njezini kvantifikatori su zbijeni na lijevoj strani, (2) nijedan kvantifikator nije negiran, (3) doseg svakog kvantifikatora se proteže do kraja isf-e, (4) nije slučaj da dva kvantifikatora kvantificiraju istu varijablu, (5) svaka se kvantificirana varijabla javlja u matrici isf-e. Vidi matrica; prefiks; Skolemova normalna forma.

Presjek skupova.

Presjek dvaju skupova, A i B, skup je elemenata koji članovi i skupa A i skupa B. Zapis: AB, ili ponekad, AB. Također se naziva produktom od A i B. AB =df {x : (xA)·(xB)}

Primitivna rekurzija.

Jedna među jednostavnim operacijama gradnje funkcija u u teoriji rekurzivnih funkcija. Ako su nam zadane funkcije f(x) i g(x), onda novu funkciju h(x) možemo sačiniti iz f i g putem primitivne rekurzije na sljedeći načini: ako x = 0, onda h(x) = f(x); ali kada x > 0, onda h(x) = g(h(x-1)). (Za strogu definiciju znak minusa bismo trebali zamijeniti s drugom funkcijom, no ostavljamo to ovakvim zbog neformalne jasnoće). Ne smije se poistovjetiti s "primitivnim rekurzivnim funkcijama". Vidi rekurzivnih funkcija, teorija.

Prirodni brojevi.

Skup {0, 1, 2, 3...}. On isključuje negativne brojeve i razlomke. Kardinalitet ovoga skupa je po definiciji À0 (alef nula).

Produkt skupova. Vidi presjek.

Propozicija.

(1) U istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici, bilo koji iskaz. (2) U predikatskoj logici, zatvorena isf-a, za razliku od propozicijske funkcije ili otvorene isf-e. (3) Općenito u logici (za neke autore), značenje rečenice koje je invarijantno u odnosu na parafraze i prijevode rečenice. Vidi složena propozicija; kontingencija; kontradikcija; jednostavna propozicija; tautologija.

Propozicijska funkcija.

U predikatskoj logici, funkcija s individualnih predmeta na istinitosne vrijednosti. Isf-a predikatske logike s barem jednom slobodnom varijablom. Otvorena isf. Propozicijska funkcija postaje propozicijom kada se zatvori; zatvara se bilo generalizacijom bilo instancijacijom, to jest, bilo putem vezivanja slobodnih varijabli bilo putem njihovog zamjenjivanja s konstantama. Vidi klauzura za isf-u; slobodna varijabla; funkcija; generalizacija; instancijacija; isf, otvorena.

Prvog-reda, logika. Vidi predikatska logika.

Prvog-reda, teorija (TPR).

Formalni sustav predikatske logike prvog reda u kojem (1) ima prebrojivo mnogo novih individualnih konstanti u formalnom jeziku, pod uvjetom da su efektivno prebrojive, i (2) ima prebrojivo mnogo pravih aksioma pored logičkih aksioma. Vidi pravi aksiom.

- Prvog reda s identitetom, teorija.

Teorija prvog reda koja sadrži (x)(x=x) kao svoj aksiom, te sljedeću aksiomsku shemu, [(x=y) (AA')]c, gdje je Bc proizvoljna klauzura od B, a A' se razlikuje od A samo po tome što y može zamijeniti bilo koju slobodnu pojavu x-a u A pod uvjetom da je y slobodan svugdje gdje zamjenjuje x (y ne mora zamijeniti svaku pojavu x-a u A). Vidi identitet; predikatska logika s identitetom.

R

Racionalni brojevi.

Svi brojevi koji su jednaki omjeru dvaju cijelih brojeva.

Rang.

Skup predmeta koji se mogu pojaviti u ulozi vrijednosti (izlaza) funkcije.

Razlika skupova.

Razlika skupa B prema skupu A je skup svih članova skupa A koji nisu članovi skupa B. Oznaka: A-B, ili A\B. A-B =df {x : (xA)·(xB)}

Razdvojeni skupovi.

Dva su skupa razdvojena (disjunktna) akko nemaju zajedničkih članova, tj. akko je njihov presjek prazan skup.

Realni brojevi.

Racionalni brojevi plus iracionalni. Crta realnih brojeva naziva se kontinuum realnih brojeva (ili numerički kontinuum).

Rečenica. Vidi klauzura; isf; propozicija.

Rekurzivne funkcije.

Bilo koja funkcija dobivena iz malog broja intuitivno izračunljivih funkcija putem konačnog broja primjena operacija za gradnju funkcija. Vidi izračunljiva funkcija; rekurzivnih funkcija, teorija.

- Generalne rekurzivne funkcije.

Skup primitivnih rekurzivnih funkcija plus one funkcije koje se mogu izgraditi pomoću okončavajuće neograničene minimizacije. Vidi minimizacija.

- Parcijalne rekurzivne funkcije.

Skup generalnih rekurzivnih funkcija plus one koje se mogu izgraditi pomoću neokončavajuće neograničene minimizacije. Vidi minimizacija.

- Primitivne rekurzivne funkcije.

Skup rekurzivnih funkcija koje se mogu izgraditi koristeći jedino kompoziciju, primitivnu rekurziju, te ograničenu (stoga okončavajuću) minimizaciju. Vidi kompozicija; primitivna rekurzija; minimizacija.

Rekurzivnih funkcija, teorija.

Ako započnemo s malim brojem intuitivno izračunljivih funkcija i s malim brojem operacija koje stvaraju nove izračunljive funkcije iz starih, onda možemo proizvesti veliki skup funkcija koje se nazivaju rekurzivnima. Ako izaberemo inicijalne funkcije i operacije gradnje na način kojim zahvaćamo ono što smatramo intuitivno izračunljivim funkcijama, ona generiramo skup koji ima istu ekstenziju kao i skup funkcija izračunljivih na Turingovom stroju. (Ova je činjenica navela Churcha na slutnju da du sve intuitivno izračunljive funkcije ili efektivne metode – rekurzivne funkcije.) teorija rekurzivnih funkcija proučava te funkcije, metodu kojom se one generiraju, načine kojima se može dokazati neke funkcije nisu rekurzivne u tom smislu, te povezana pitanja. Vidi Churchova teza; kompozicija; efektivna metoda; minimizacija; primitivna rekurzija; rekurzivna funkcija.

Rekurzivni skup.

Skup za kojega postoji rekurzivna funkcija koja određuje je li neki predmet njegov član. Vidi odlučivi skup; rekurzivna funkcija.

- Rekurzivno prebrojiv skup. Vidi prebrojiv skup.

Relacija.

Način na koji su dva ili više predmeta povezani, združeni ili postavljeni u odnos, ili (na drugoj razini) poliadični predikat koji simbolizira takvu relaciju. Vidi atribut; predikatska logika.

Relativni komplement skupa. Vidi komplement.

Relativne konzistentnosti, dokaz.

Dokaz da je neki sustav S konzistentan gdje se pozivamo na teoreme i metode zaključivanja iz nekog drugog sustava S'. Za rezultat imamo to da znamo da je S konzistentan samo ako je sustav S' konzistentan. Vidi Hilbertov program.

Reprezentacija funkcije.

Funkcija f s n argumenata s prirodnih brojeva na prirodne brojeve je reprezentirana u nekom sustavu akko postoji isf A s n+1 slobodnih varijabli takva da je A teorem kada su njezine varijable instancirane s k1...kn+1 gdje f(k1...kn) = kn+1, a u protivnom – A nije teorem.

- Jaka reprezentacija funkcije. Funkcija f je jako reprezentirana u sustavu akko je reprezentirana s isf-om A, gdje je A teorem akko ~A nije teorem.

Reprezentacija skupa.

Skup N je reprezentiran u sustavu akko postoji neka propozicijska funkcija s točno jednom slobodnom varijablom, Px, takva da je Px teorem uvijek kada je x instanciran s članom skupa, a u protivnom – nije teorem. Ili, ako je N skup prirodnih brojeva, ako n prirodni broj, a x je brojka za n, onda je N reprezentiran akko P/x nN.

Russellov paradoks.

Neka je S skup svih skupova koji nisu svoji vlastiti članovi. Je li S svoj vlastiti član? Ako jest, onda nije, a ako nije, onda jest. Ova kontradikcija ugrožava teoriju skupova ako je dopušteno govoriti o "svim skupovima" ili o apsolutnim komplementima skupova, ili kada je skup definiran neprecizno kao bilo koja kolekcija bilo kojih elemenata, ili kada svaki predikat (intenzija) determinira neki skup (ekstenziju). Vidi komplement.

S

Shema Vidi aksiomska shema; tautološka shema; teoremska shema.

Semantička potpunost.

Svojstvo formalnog sustava u kojemu (1) formalan jezik može iskazati kao isf-e sve propozicije za koje je autor htio da budu smislene, (2) deduktivni aparat može dokazati kao teoreme sve propozicije za koje je autor htio da budu istinite. Drugi se uvjet može sažetije iskazati: sve logički valjane isf-e tog jezika jesu teoremi sustava. Prvi od dvaju uvjeta naziva se također ekspresivnom potpunošću, drugi – deduktivnom potpunošću.

- Semantička nepotpunost.

Manjak semantičke potpunosti, ali posebno onda kad sve logički valjane isf-e nisu teoremi.

Semantička posljedica.

(1) U istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici, B je semantička posljedica od A akko ne postoji interpretacija, I, u kojoj je A istinito za I a B je neistinito za I, ili ukratko, ako svi modeli od A jesu modeli od B. (2) U predikatskoj logici, B je semantička posljedica od A akko za svaku interpretaciju, svaki niz koji zadovoljava A također zadovoljava B. Ili, ne postoji niz ni u jednoj interpretaciji koji zadovoljava A, a da pri tome ne zadovoljava B. Zapis: A B. Vidi zadovoljavanje.

Semantička tautologija.

Isf istinitosnofunkcionalne propozicijske logike čiji stupac u tablici sadrži samo T, gdje se T interpretira kao istinitosna-vrijednost Istina. Vidi sintaktička tautologija.

Semantička valjanost.

Zaključak je semantički valjan akko ne može biti slučaj su sve premise istinite a da istodobno konkluzija bude neistinita. Vidi sintaktička valjanost.

Simetrična razlika skupova.

Simetrična razlika dva skupa, A i B, je skup predmeta koji su članovi ili od A ili od B ali ne i jednog i drugog. Ne postoji standardni zapis. Simetrična razlika skupova A i B je skup {x : (xA) (xB)}. Simetrična razlika je ekvivalent za ekskluzivnu disjunkciju u teoriji skupova. Za ekvivalent inkluzivne disjunkcije, vidi unija skupova.

Sintaktička potpunost.

Sustav je sintaktički potpun akko u njemu nema nedokazive sheme B koja bi se mogla dodati sustavu bez izazivanja jednostavne inkonzistentnosti.

- Sintaktička nepotpunost.

Nedostatak sintaktičke potpunosti; postoji barem jedna nedokaziva shema koja bi se mogla dodati sustavu bez izazivanja jednostavne inkonzistentnosti.

Sintaktička posljedica.

A je sintaktička skupa isf-a, G akko se A može izvesti iz G (i aksioma). Zapis: GA.

Sintaktička tautologija.

Isf istinitosno-funkcionalne logike čiji stupac u istinitosnoj tablici sadrži samo T, gdje su T-ovi neinterpretirani znakovi a ne, recimo, istinitosne vrijednosti. Pravila koja generiraju stupac istinitosne tablice kažu nam primijenimo jedan od tih neinterpretiranih T-ova upravo u onim slučajevima u kojima bi nas semantički razlozi doveli do toga da upotrebimo istinitosnu-vrijednost Istina. Vidi semantička tautologija.

Sintaktička valjanost.

Zaključak je sintaktički valjan akko se konkluzija može izvesti iz premisa pomoću prihvaćenih pravila zaključivanja. Vidi semantička valjanost.

Skup.

Intuitivno, kolekcija elemenata (koje nazivamo članovima). Intuitivni pojam skupa vodi u paradokse, pa susrećemo značajno matematičko i filozofsko neslaganje u pitanju o najboljem načinu pročišćavanja pojma skupa. U skupu je poredak članova irelevantan, a ponavljanje članova nema smisla. Zapis: vitičaste zagrade, {...}. Vidi komplement; prebrojiv skup; odlučiv skup; izbrojiv skup; razlika; razdvojeni skupovi; izbrojiv skup; ekvivalentni skupovi; presjek; članstvo; nulti skup; partitivni skup; pravi podskup; reprezentacija slupa; Russellov paradoks; teorija skupova; podskup; nadskup; simetrična razlika; neprebrojiv skup; unija skupova; univerzalni skup.

Skolemova normalna forma.

Isf predikatske logike je u Skolemovoj normalnoj formi akko (1) jest u preneksnoj normalnoj formi, (2) ne sadrži funkcijske simbole, i (3) svi egzistencijalni kvantifikatore se nalaze s lijeve strane univerzalnih kvantifikatora. Vidi preneksna normalna forma.

Skolemov paradoks.

Paradoks koji proizlazi iz Löwenheim-Skolemovog teorema (LST). Kaže li LST da realni brojevi imaju istu kardinalnost kao i prirodni brojevi? Kaže li on da razlika između realnih i prirodnih brojeva koja objašnjava veću kardinalnost realnih ne može u načelu biti opisana ili dokazana? Kaže li da nijedan skup nije "apsolutno" neprebrojiv već samo "relativno" prema zadanom skupu aksioma i zadanoj interpretaciji? Vidi Löwenheim-Skolemov teorem; teorija modela.

Slobodna varijabla.

U predikatskoj logici, individualna varijable čija barem jedna pojava u isf ne leži unutar dosega kvantifikatora primijenjenog na istom slovu. budući da druge pojave te varijable mogu biti slobodne, varijabla može biti i slobodna i vezana u istoj isf. Vidi vezana varijabla; klauzura; isf.

- Slobodna pojava varijable.

Bilo koja pojava individualne varijable koja nije u dosegu kvantifikatora primijenjenog nad istim slovom.

Složena propozicija.

Propozicija koja je sačinjena od dvije ili više jednostavnijih propozicija (komponenti) povezanih s veznikom. Složena propozicija ima točnu jednu istinitosnu vrijednost u zadanoj interpretaciji. Također se naziva "molekulom" (kod onih autora koji jednostavnu propoziciju nazivanju "atomom").

Supstitucija.

Zamjena jednog simbola s drugim ili s isf-om. U aksiomskoj shemi, zamijeniti metajezične varijable s isf-ama iz predmetnog jezika. U instancijaciji, zamjena varijable s konstantom. U generalizaciji, zamjena konstante s varijablom. Zapis (za jedan od navedenih slučajeva): At/v (rezultat supstitucije slobodnih pojava varijable v s termom t u isf-i A).

Sustav. Vidi klauzura sustava; formalni sustav.

T

Tautologija.

Logički valjana isf u istinitosno-funkcionalnoj logici. Složena propozicija koja je istinita u svakom retku svoje istinitosne tablice ili u svakoj interpretaciji. Vidi kontingencija; kontradikcija; logička valjanost; semantička tautologija; sintaktička tautologija.

- Tautološka shema. Formula koja sadrži varijable metajezika i koja postaje tautologijom kada se varijable instanciraju s isf-ama formalnoga jezika.

Term.

Gramatički, vrsta izraza koji može poslužiti kao argument za neki predikat ili neku funkciju. Subjekt predikacije; ulaz za funkciju. Kao takav (u predikatskoj logici prvoga reda) on je ili individualna konstanta, ili individualna varijabla, ili funkcija (koja ima svoje vlastite argumente) koja je definirana na domeni i rangu koji obuhvaća individualne. Vidi konstanta; funkcija; varijabla.

- Zatvoreni term. Term bez varijabli. - Otvoreni term. Term s barem jednom varijablom.

Teorem.

Isf koja je dokazana ili dokaziva. Aksiomi su poseban slučaj teorema. Zapis: A (A je teorem); ili SA (A je teorem u sustavu S). Vidi antiteorem; dokaz.

- Teoremska shema. Formula koja sadrži varijable iz metajezika i koja postaje teorem kada se varijable instanciraju s isf-ama formalnog jezika.

Teorija skupova.

Matematičko proučavanje skupova. Vidi skup.

- Aksiomatska teorija skupova.

Proučavanje formalnih sustava čiji su teoremi, pod namjeravanom interpretacijom, istine teorije skupova.

- Kantorska teorija skupova.

Teorija skupova u kojoj je aksiom ili generalizirana hipoteza kontinuuma ili aksiom izbora. Vidi aksiom izbora; hipoteza kontinuuma.

- Konstruktibilna teorija skupova.

Teorija skupova koja je ograničena na skupove čije je postojanje zajamčeno s aksiomima ograničene teorije skupova (vidi dolje). 1938 Gödel je dokazao da su aksiom izbora, hipoteza kontinuuma i generalizirana hipoteza kontinuuma teoremi (čak i ako nisu aksiom) konstruktibilne teorije skupova.

- Ne-kantorska teorija skupova.

Teorija skupova u kojoj je ili negacija generalizirane hipoteze kontinuuma (GCH) ili negacija aksioma izbora (AC) - aksiom. Budući da GCH AC, ako je ~AC aksiom, onda će ~GCH biti teorem.

- Ograničena teorija skupova.

Standardna teorija skupova bez aksioma izbora. Gödel je dokazao 1938. da ako je ograničena teorija skupova konzistentna, onda ona ostaje konzistentnom ako se doda aksiom izbora (također i ako se doda hipoteza kontinuuma). Vidi aksiom izbora.

- Standardna teorija skupova.

Formalni sustav kojega su prvi formulirali Ernst Zermelo i Abraham Frankel. Također se naziva Zermelo-Frankel teorijom skupova ili ZF.

Totalna funkcija.

Funkcija čija je vrijednost definirana za sve moguće argumente (iz domene). Vidi parcijalna funkcija.

Transfinitni kardinal.

Beskonačni kardinalni broj, to jest, bilo koja kardinalnost veće ili jednaka À0.

Transformacijska pravila. Vidi pravila zaključivanja.

Tvorbe, pravilo. Vidi formalni jezik.

U

Unija skupova.

Unija dvaju skupova, A i B, skup je svih predmeta koji su članovi bilo u A bilo u B bilo u oba skupa. Zapis: AB. Također se naziva i zbrojem dvaju skupova. AB =df {x : (xA)(xB)}. Unija skupova je u ekvivalent u teoriji skupova za inkluzivnu disjunkciju; za ekvivalenta ekskluzivne disjunkcije pogledajte simetrična razlika skupova.

Univerzalni kvantifikator. Vidi kvantifikator.

Univerzalni skup.

Skup svih predmeta. Cantorov teorem (kardinalitet partitivnog skup nekoga skupa je veći od kardinaliteta tog skupa) povlači da nema najvećeg skupa ili skupa koji uključuje sve, barem onda ako svaki skup ima partitivni skup. Zato univerzalni skup nije prihvaćen u standardnoj teoriji skupova. Ponekad se tako skup svih stvari pod razmatranjem, u kontekstu, univerzum rasprave. Komplement praznog skupa. Zapis: 1 (brojka jedan), ili V. Vidi komplement; partitivni skup; univerzum rasprave.

Univerzum rasprave.

Skup svih stvari pod razmatranjem u kontekstu; skup svih stvari zahvaćenih univerzalnom kvantifikacijom. Vidi komplement; univerzalni skup.

V

Valjanost.

(1) Za isf-e ili propozicije, pogledajte logička valjanost. (2) Za argumente i zaključke, pogledajte semantička valjanost; pouzdanost; sintaktička valjanost.

Varijabla.

Simbol čiji se referent mijenja ili je nepoznat. Simbol koji «čuva mjesto», za razliku od neke pokrate ili imena (konstante). Vidi vezane varijable; konstanta; slobodne varijable.

- Individualna varijabla.

Varijabla koja 2ide preko» individualnih predmeta u domeni nekog sustava. Samo individualne varijable i konstante mogu poslužiti kao argumenti neke funkcije ili predikata prvoga reda. Vidi domena.

- Metajezična varijabla.

Varijabla u metajeziku nekog sustava S koja ide preko isf-a sustava S.

- Predikatska varijabla.

Varijabla koja ide preko svojstava i odnosa u logici višeg reda.

- Vezana varijabla.

U predikatskoj logici, individualna varijabla čija barem jedna pojava leži unutar dosega kvantifikatora primijenjenog na isto slovo. druge pojave mogu biti slobodne, zato varijabla može biti i vezana i slobodna u istoj formuli. Vidi klauzura; slobodna varijabla; isf.

o Vezati varijablu.

Primijeniti kvantifikator na individualnu varijablu x tako da sve njezine prethodne slobodne pojave budu u dosegu tog kvantifikatora.

Veznik.

Simbol koji služi za povezivanje dviju ili više propozicija u složenu propoziciju. Ponekad konektivom (veznikom) nazivamo i simbol koji se primjenjuje samo na jednu propoziciju (poput "~" za negaciju). Ponekad se tako naziva istinitosna funkcija koju simbol označuje, a ne simbol sam.

- Istinitosno-funkcionalni konektiv (veznik) je istinitosna-funkcija; njezine komponente njegovi su argumenti, a istinitosna vrijednost složevine njegova je vrijednost. Vidi istinitosna funkcija; istinitosno funkcionalna složena propozicija; istinitosno-funkcionalni konektiv (veznik).

- Konektivi (veznici) koji se primjenjuju samo na jednu propoziciju nazivaju se monadičnim; koji se primjenjuju na dvije dijadičnim; na tri trijadičnim, itd. Monadični konektivi (veznici) nazivaju se i operatorima

Vidi semantička posljedica; sintaktička posljedica.

Z

Zadovoljavanje.

(1) U istinitosno-funkcionalnoj propozicijskoj logici, isf A je zadovoljena akko je istinita u barem jednom retku svoje istinitosne tablice, tj. ako je A ili kontingencija ili tautologija. (2) U predikatskoj logici, isf A je zadovoljena akko postoji niz predmeta iz domene neke interpretacije takav da je A istinito za taj niz. Što za isf-u znači da jest istinita za neki niz definiramo različito za različite vrste isf-a u predikatskoj logici, npr. za kvantificirane isf-e, atomarne isf-e, isf-e složene pomoću različitih veznika u jeziku, te za čiste propozicijske simbole. Među atomarnim isf-ama, zadovoljavanje se definira različito ovisno o tome jesu li argumenti predikata – konstante, varijable ili funkcije, a u posljednjem slučaju, jesu li argumenti funkcija konstante, varijable ili funkcije. Stoga se pojam zadovoljavanja ne može učiniti preciznijim bez pružanja možda jednog tuceta preciznih načina provjere za različite vrste isf-a. Vidi istinito pod interpretacijom.

Zadovoljivost.

Isf je zadovoljiva akko postoji interpretacija u kojoj je zadovoljena.

- Simultana zadovoljivost.

Skup isf-a je simultano zadovoljiv ako postoji interpretacija u kojoj je svaki član skupa zadovoljen. U predikatskoj logici, svaki član može biti zadovoljen s različitim nizom iz te interpretacije, ali svaki mora biti zadovoljen u istoj interpretaciji.

Zaključak.

Niz isf-a ili propozicija u kojem neke od njih (premise) podupiru drugu (konkluziju); također i radnja povlačenja konkluzije iz premisa. Vidi konkluzija; dedukcija; izvod; indukcija; premisa; dokaz.

Zbroj skupova. Vidi unija.

Ovaj dokument je elektronički hand-out za tečaj, Logical Systems.

Peter Suber, Department of Philosophy, Earlham College, Richmond, Indiana, 47374, U.S.A.

peters@earlham.edu. Copyright © 1999, Peter Suber.