50

OSCILATORNO KRETANJE Oscilatorno kretanje je kretanje koje se karakterie izvesnim stepenom ponovljivosti. Nime, odreeni fiziki proces ponavlja se na isti nain, estica (telo) vie puta prolazi kroz isto, ravnoteno, stanje. Prema prirodi fizikog procesa koji se ponavlja, oscilatorno kretanje moe biti:

mehaniko (ice na gitari, matematiko klatno...) elektromagno (oscilovanje elektromagnetnog polja pri prostiranju svetlosti ili radio

talasa...) elektromehaniko (oscilovanje atoma u kristalnoj reetki...).

Mi emo se u naem prouavanju oscilatornog kretanja ograniiti na mehaniko escilatorno kretanje. Mehaniko oscilatorno kretanje je periodino ako su njegove karakteristike (put, brzina i ubrzanje) periodine funkcije vremena, a harmonijsko, ako je ta funkcija trigonometrijska (sinusna ili kosinusna). Pod pojmom period (T) podrazumevamo vremenski interval u kojem se kretanje ponavlja na isti nain, odnosno: f(t+T)=f(t). ()

Linearno harmonijsko oscilovanje Linearno harmonisjsko oscilovanje je najjednostavniji oblik harmonisjkog oscilovanja, koje se odvija u jednoj ravni (kretanje po pravoj liniji) pod dejstvom sile koja je srazmerna udaljenju tela od ravnotenog poloaja i koja se naziva restituciona sila:

xkF rr

=

Ovakvo svojstvo imaju elastine sile iji je intenzitet srazmeran deformaciji tela, pa se restitucione sile esto nazivaju i kvazielastine sile. Fizika priroda restitucione sile moe biti razliita, odnosno, to nije novi tip sile ve njenu ulogu u konkretnom oscilatornom sistemu preuzima neka od ranije navedenih sila (npr. gravitaciona ili elastina). Konstanta k naziva se, u optem sluaju, restituciona konstanta i zavisi od osobina samog oscilatora.

Jedan od najjednostavnijih linearnih harmonijskih oscilatora prikazan je na slici levo. Telo mase m, koje lei na glatkoj horizonatlnoj podlozi, je prikaeno za oprugu, koja je svojim drugim krajem privrena za nepokretan zid. Kada se opruga nalazi u relaksiranom stanju (nije ni sabijena ni istegnuta), telo se nalazi u ravnotenom poloaju koji smo oznaili nulom. Ako telo izvedemo iz ravnotenog poloaja za neko x ulevo, opruga e se istegnuti i javie se sila xkF r

r= ,

istog pravca, a suprotnog smera od pomeraja xr , koja tei da telo vrati u ravnoteni poloaj, kako bi istegnutu oprugu vratila u ravnoteno stanje (slika gore). Konstanta k u ovom sluaju predstavlja konstantu elastinosti opruge. Na rastojanju x od ravnotenog poloaja telo ima potencijalnu energiju (energiju ati ka ravnotenom poloaju pod dejstvom sile F

r. U trenutku

prolaska kroz ravnoteni poloaj sva potencijalna energija tela pretvorila se u kinetiku energiju, na raun koje e telo proi ravnoteni poloaj i sabiti oprugu za x (jer se tada sva kinetika energija pretvorila u potencijalnu). U tom trenutku na telo deluje sila F

poloaja) na raun koje e se kret

r, sada ulevo, teei da ga vrati u

x

0

x

F

F

51

ravnoteni poloaj, kako bi sabijenu oprugu vratila u ravnoteno stanje. Postupak pretvaranja potencijalne u kinetiku energiju se ponavlja (obzirom da ne postoji trenje, niti otpor sredine) i telo osciluje oko svog ravnotenog poloaja. Napiimo jednainu kretanja za ovaj sluaj (II Njutnov zakon). Imajui u vidu da je jedina sila koja deluje na telo restituciona sila (ne raunajui silu tee i normalno dejstvo podloge koje ne utiu na kretanje obzirom da deluju u pravcu normalnom na kretanje) piemo:

kxma = , odnosno:

00 22

2

2

2

2

=+=+= xmk

dtxdkx

dtxdmkx

dtxdm

Oznaimo li, u zadnjem izrazu, kolinik mk sa , dobijamo: 2

0222

=+ xdt

xd

to predstavlja diferencijalnu jednainu kretanja linearnog harmonijskog oscilatora (LHO). Opte reenje ove jednaine daje trenutni poloaj estice (tela) koje osciluje u odnosu na poloaj ravnotee i dato je izrazom:

( )

+=+=

2cossin 0000

txtxx ,

gde je:

mk

= - kruna frekvenca,

x je elongacija i predstavlja ma koje udaljenje tela od ravnotenog poloaja, x0 je amplituda i predstavlja maksimalno udaljenje tela od ravnotenog poloaja,

( 0 ) += t - je faza oscilovanja (odreuje trenutni poloaj i smer kretanja tela), a - poetna faza oscilovanja (odreena poloajem tela u poetnom trenutku). Imajui u vidu () i da je period sinusne funkcije 2 , moemo napisati:

( )( ) ( ) ===++=++

mk

TTtTt 2222sinsin 00

kmT 2= ,

odakle vidimo da period oscilovanja sistema ne zavisi od poetnih uslova, ve samo od svojstava samog oscilatora. Reciprona vrednost perioda predstavlja broj oscilacija u jedinici vremena, naziva se frekvenca oscilovanja:

=T1 ,

pri emu je : [ ] Hzs==

1 .

52

Brzina , ubrzanje i energija estice koja linearno harmonijski osciluje Brzinu i u ubrzanje estice koja osciluje moemo nai kao prvi, odnosno drugi, izvod jednaine kojom je odreen njen trenutni poloaj. Dakle:

( )[ ] ( ) ( )000000 coscossin +=+=+== tvtxtxdtd

dtdxv ,

gde je 00 xv = amplituda brzine, odnosno najvea brzina koju oscilujua estica (telo) ima (to je brzina kojom prolazi kroz ravnoteni poloaj).

( ) ( ) xtatxdtdva 2000

20 sinsin =+=+== ,

gde je - amplituda ubrzanja, a predznak - govori o smeru delovanja ubrzanja (uvek ka ravnotenom poloaju).

200 xa =

Vremenska zavisnost trenutnog poloaja (elongacije), brzine i ubrzanja tela, grafiki je predstavljena na slici dole.

t

t

x0

-x0T

x0

x0

2x0

2x0

x

v

a

elongacija

brzina

ubrzanje

t

Kako smo ve videli, linearno harmonijsko oscilovanje predstavlja zapravo translatorno kretanje, pa se ukupna mehanika energija moe napisati kao zbir kinetike energije translatornog kretanja i potencijalne energije. Poto restituciona sila ima isti oblik kao elastina sila, neemo posebno izvoditi izraz za potencijalnu energiju (vidi predavanje 6). Tako je:

22

21 kxmv +

21EEE pk =+=

Ako zamenimo gornje izraze za elongaciju i brzinu dobijamo:

( ) ( )

( ) ( )[ ]+++

+++

02

0

022

00

sin

sin21

t

tkxt

=

=

220

2220

cos21

cos21

tkxE

mxE

202

1 kxE =

Dakle, ukupna mehanika energija direktno je srazmerna kvadratu amplitude.

Kao primere linearnih harmonijskih oscilatora razmotrimo matematiko i fiziko klatno.

53

Matematiko klatno Pod pojmom matematiko klatno podrazumevamo malo telo mase m, zanemarljivih dimenzija i oblika (materijalna taka) zakaeno o dovoljno dug lak neistegljiv konac koje moe da osciluje u vertikalnoj ravni oko ose koja prolazi kroz taku kaenja konca. Pri tom se klatno izvodi iz ravnotenog poloaja za veoma mali ugao (reda nekoliko stepeni) i pretpostavljamo da se mogu zanemariti sile otpora vazduha oscilovanju klatna, kao i trenje u taki kaenja konca. Ovakav sistem prikazan je na slici dole. Napiimo jednainu kretanja i odredimo period oscilovanja ovog klatna.

Kako na klatno deluju samo sila zemljine tee i sila zatezanja konca, imamo da je:

cossin

: :

mgTmazmgmay

n

T

==

Pod pretpostavkom da sin:0 , pa se problem svodi

na translatorno kretanje: lx

=sin , i sx (pomeraj je jednak

duini opisanog krunog luka s) i , pa je: aaT

x

mg

y

z

T

T

022

2

2

=+== xlg

dtxdx

lg

dtxd

lxmgma

Kako vidimo ovaj izraz odgovara diferencijalnoj jednaini linearnog harmonijskog oscilatora, pri

emu je lg

=2 , tako da:

glT

lg

22 ===

Dakle, period oscilovanja matematikog klatna ne zavisi od mase klatna (mada se ne sme zanemariti, jer kako vidimo restituciona sila nije nita drugo do projekcija sile tee), ve samo od njegove duine. Fiziko klatno Fiziko klatno je vrsto telo sposobno da vri oscilovanje oko nepokretne take koja nije njegov centar inercije. Model fizikog klatna prikazan je na slici dole. Jedina sila koja je u stanju da obrne telo oko take O je sila Zemljine tee i njen moment je

C

mg

l

O

sinmglM = (znak minus je otud to tei da smanji ugao ).

Izjednaavajui ovaj izraz sa II Njutnovim zakonom za rotaciono kretanje

2

2

dtd , IIM ==

i imajui u vidu da sin0 , dobijamo:

54

022

2

2

=+= mgl I

mgldtd

dtdI

to odgovara jednaini LHO, gde je:

mglIT

Imgl

222 ===

Predstavljanje harmonijskog oscilovanja fazorskim dijagramom

Koristei svoj teleskop Galilej je 1610. godine otkrio etiri najvea Jupiterova satelita.

lo mase m (ispunjeni krui) kree po krunoj putanji

harmonijsku oscilaciju, koja oem

Slaganje oscilacija istog pravca i ugaone frekvence

Posmatrajui ih tokom noi, zabeleio je da se oni kreu na pomalo udan nain, napred nazad, odnosno, kako bismo danas rekli, da linearno harmonijski osciluju oko sredita u kojem se nalazio Jupiterov disk. Koristei Galilejeve beleke, profesor Fren sa MIT univerziteta je pokuao da rekonstruie kretanje jednog od satelita, Kalista i otkrio da je njegovo kretanje daleko od prosto harmonijskog. Naime, Kalisto se kree konstantnom brzinom po pravilnoj krunoj putanji oko Jupitera. Postavlja se pitanje, ta je to zapravo Galilej video? Odgovor je jednostavan, ako imamo u vidu sliku desno. Kada se te

x

m

o

y

njegov se poloaj menja u svakom trenutku toje predstavljeno na slici praznim kruiima. (Radi preglednosti predstavljeno je svega nekoliko uzastopnih poloaja). Ako posmatramo projekcije trenutnog poloaja tela videemo da te projekcije osciluju po x, odnosno, y, osi oko take O, i to prostim harmonijskim oscilacijama. Dakle, moemo rei i da: prosto harmonijsko oscilovanje predstavlja projekciju ravnomernog krunog kretanja na dijametar krune putanje. To znai da ugaona frekvenca harmonijskih oscilacija nije nita drugo do konstantna ugaona brzina kojom se referentna taka m kree po krugu. To nam daje ideju da svaku linearnu se odvija du npr. x ose, m o predstaviti jednim vektorom koji bi odgovarao radijus vektoru poloaja referentne take m, ija je duina jednaka amplitudi oscilovanja, a nagib prema x osi odgovara poetnoj fazi te oscilacije (odreuje poetni poloaj tela). Vrh tog vektora opisao bi pun krug za vreme koje

odgovara jednom periodu, a to znai da je ugaona brzina vrha vektora . Predstavljanje oscilaovanja na ovaj nain naziva se fazorskim ili

x0

x t( )

0

-x t( )

vektorskim dijagramom i umnogome olakava reavanje nekih problema, kao to je slaganje vie oscilacija da bi se dobila rezultujua oscilacija. Naime, mogue je da telo istovremeno uestvuje u vie oscilacija du istog pravca ili po meusobno normalnim pravcima (sve ostalo se moe svesti na ova dva sluaja).

Neka telo istovremeno uestvuje u dve oscilacije koje se odvijaju po istom pravcu i smeru rimer

(p , kuglica na opruzi zakaena za tavanicu eleznikog vagona), istim ugaonim frekvencama. Jednaine tih oscilacija su:

( )( )221

111

cos,cos

+=+=

taxtax

de su sa oznaene amplitude tih oscilacija, a njihove poetne faze oscilovanja. 21 i aa 21 i g

55

Jednainu tujue oscilacije moemo dobiti pomo orskog dijagrama predstavljenog narezul u faz slici.

otujui pravilo vektorskog sabiranja, sa slike se P

1 2

a1a2

aa2

vidi da se amplituda rezultujue oscilacije moe dobiti (kosinusna teorema) iz:

( )[ ]( )12

12

212

22

12 2

++=

cosaaaaa (**)

da se rezultujua faza moe dobiti iz:

212

22

12 2 += cosaaaaa

a

2211 coscos 2211 sinsin aatg +=

aa +

Dakle, ako su oscilacije u fazi (fazna razlika je nula), tj: , onda se (iz **) rezultujua 012 =amplituda dobija prostim zbirom amplituda, 21 aaa += , a ako se faze pojedinanih oscilacija razlikuju za , tj. : = 12 , onda je 21 aaa = psolutna vrednost je stavljena jer nema fizikog smisla da am

. (Aplituda bude negativan broj.

laganje oscilacija istog pravca i amplitude i razliitih ugaonih frekvenciS

zliite (ali bliske, do

Razmotrimo sluaj slaganja oscilacija istog pravca i iste amplitude i ra na 10%) frekvence. Poto su im frekvence razliite to znai (u smislu predstavljanja oscilacija pomou vektora) da 21 i aa

rr rotiraju razliitim ugaonim brzinama, pa e rezultujua amplituda pulsirati. Odredimo am u rezultujue oscilacije:

plitud

tax cos1 = , ( )tax += cos2

(Pri sabiranju ova dva izraza koristiemo se poznatom formulom:

2coscos2coscos BABABA +=+ ).

2Dakle:

( )[ ] ttatttatttaxxx cos2

cos22

cos2

2cos2coscos21

+

=++=+=

gornjem izrazu je iskorieno da je U AA cos)cos( = , kao i to da ttt 22 + , jer je (kako

smo na poetku razmatranja uslovili) 1.0Onda je amplituda rezultujue oscilaci

. je:

2cos2 ta

jer se ovaj lan mnogo sporije menja sa vremenom od lana tcos (obratite panju da smo ranijim asluajevima uvek govorili o konstantnoj amplitudi). Veliin predstavlja frekvencu pulsacije

amplitude, a ovakva rezultujua oscilacija se naziva otkucaj ili ijanje. Na slici dole predstavljen je grafik funkcije x(t) i pulsacija amplitude.

izb

56

laganje uzajamno normalnih oscilacija

x

T =2 /a

T=2 /

t

t

amplituda

S

Pretpostavimo da materijalna taka moe istovremeno da vri oscilovanje du pravca x i y ose. U optem sluaju to rezultira krivolinijskom trajektorijom koja zavisi od frekvencija i poetnih faza pojedinanih oscilacija. Takve trajektorije se nazivaju figurama. Mi emo razmatrati samo sluaj kada se razlikuju poetne faze komponentnih oscilacija, dok su im frekvencije jednake. Neka taka istovremeno osciluje po zakonu:

tax cos= i ( ) += tby cos

Eliminacijom vremena iz gornje dve jednaine dobiemo rezultujuu trajektoriju. Iz prve jednaine sledi da je:

ax

=tcos i 22

1sinaxt = , ( jer je )

to zamenom u drugu jednainu (uz korienje poznate formule

1cossin 22 =+ AA

( ) BABABA sinsincoscoscos =+ ) daje:

( ) ==+= sin1cossinsincoscoscos 22

ax

axttt

by

sin1cos 22

ax

ax

by

= , to posle kvadriranja daje:

=+ 222

222

2

2

2

sinsincos2cosax

abxy

ax

by

222

2

2

sincos2 =+abxy

ax

by ()

57

Iz analitike geometrije je poznato da izraz () predstavlja jednainu elipse ije su ose proizvoljno orijentisane u ravni xOy. Razmotrimo nekoliko specijalnih sluajeva: a. Neka se oscilacije nalaze u fazi ( 0= ). Zamenom u () dobijamo:

=

=+ 002

2

2

2

2

2

ax

by

abxy

ax

by

xaby =

to predstavlja jednainu prave koja prolazi kroz koordinatni poetak i iji je koeficijent pravca ab .

b. Neka je fazna razlika izmeu oscilacija . Onda je:

=

+=++ 002

2

2

2

2

2

ax

by

abxy

ax

by

xaby =

to predstavlja jednainu prave koja prolazi kroz koordinatni poetak i iji je koeficijent pravca ab

.

c. Neka je fazna razlika 2 = :

122

2

2

=+ax

by

to predstavlja jednainu elipse. Smer obilaska elipse je smer kazaljke na satu u sluaju 2 = ,

odnosno, suprotan smeru kazaljke na satu ako je 2 = .

Na slici dole predstavljene su trajektorije u gornja tri sluaja, a nazivaju se i Lisau figurama.

x

y

x

y

b

aO Oa

b=/2

=/2x

y

Ob a

Slobodne (priguene) oscilacije U dosadanjim primerima smo pretpostavljali da kada telo jednom izvedemo iz ravnotenog poloaja, ili na neki drugi nain, delovanjem spoljne sile, pobudimo na oscilovanje, nadalje ono osciluje konstantnom amplitudom sve dok delovanje neke druge sile to ne promeni, jer je pod uticajem samo kvazielastine sile. U realnom sluaju, meutim, jasno je da se oscilatornom kretanju tela suprotstavlja sila otpora sredine, kao i trenje (u taki kaenja, npr., u sluaju klatna). Usled delovanja ovih sila doi e do smanjivanja amplitude i, na posletku, do prestanka oscilovanja. Ovo je sluaj slobodnih ili tzv. priguenih oscilacija. Napiimo jednainu slobodnih oscilacija.

58

Ako su oscilacije male, mala je i brzina oscilovanja, pa silu otpora moemo smatrati direktno srazmernoj toj brzini (istog je pravca sa pravcem brzine, a suprotnog smera), tj.:

dtdxrFvrF rr ==

rr ,

gde je r, koeficijent otpora sredine. Onda jednaina kretanja moe da se napie kao:

02

0

202

2

2

2

2

2

=++

=++=

xdtdx

dtxd

xmk

dtdx

mr

dtxd

dtdxrkx

dtxdm

gde je.

mk

=0 -sopstvena frekvenca oscilovanja, tj, ugaona frekvenca kojom bi oscilator oscilovao

da nema priguenja,

mr

2= koeficijent (brzina priguenja).

U sluaju malog otpora sredine ( ), reenje gornje jednaine kretanja ima oblik: 20

2

( ) += teax t cos0 , pa se kretanje moe tretirati kao harmonijsko oscilovanje sa amplitudom koja se menja po zakonu:

teaa = 0 ,

gde je - amplituda u poetnom trenutku, 0ai ugaonom frekvencom:

220

2 = ,

odakle za period priguenih oscilacija dobijamo:

220

22

==T

Na slici dole je prikazano kako se elongacija prinudnih oscilacija menja u vremenu. Sa slike se, takoe, moe videti da u toku svakog perioda opada vrednost amplitude. Odnos intenziteta dve uzastopne amplitude naziva se dekrement priguenja:

( )( ) ( )

TTt

t

ee

eTta

ta

==+ +

,

dok se veliina

59

( )( ) TTta

ta =+

= ln

naziva logaritamski dekrement priguenja.

x(t)

t

a0

T

Prinudne oscilacije Prinudno oscilatorno kretanje je takvo oscilatorno kretanje pri kome deluje prinudna sila koja se menja po prostoperiodinom zakonu. Neka je ta sila oblika: tFF cos0= , gde je amplituda spoljanje prinudne sile, a njena kruna uestanost. Tada jednaina kretanja dobija oblik:

0F

tfxdtdx

dtxd

tmFx

mk

dtdx

mr

dtxd

tFdtdxrkx

dtxdm

cos2

cos

cos

02

02

2

02

2

02

2

=++

=++

+=

Reavanjem ove diferencijalne jednaine dobija se da je amplituda prinudnih oscilacija:

( ) 2222200

4 +=

fa ,

a poetna faza:

220

2

= arctg .

Kao to vidimo, ampltuda zavisi od amplitude i frekvence prinudne sile. To znai da pri nekoj odreenoj vrednosti frekvence prinudne sile, amplituda dostie maksimalnu vrednost. Ova pojava se naziva rezonancijom, a odgovarajua frekvenca pri kojoj se to deava rezonantnom uestanou.

U realnom sluaju, kada postoji priguenje, rezonantnu uestanost emo nai iz uslova: 0=d

da ,

odakle dobijamo jednainu:

( ) 084 220 =+

60

koja ima tri reenja: 0= (nije reenje naeg zadatka jer odgovara maksimalnoj vrednosti imenioca u izrazu za

ampltudu, tj. minimalnoj vrednosti amplitude), 22

0 2 = (nije reenje naeg zadatka jer uestanost ne moe biti negativan broj) i

220 2 =rez ,

odakle, zamenom u izraz za a, moemo dobiti i vrednost rezonantne amplitude:

220

0

2 =

farez

U odsustvu otpora sredine ( 0 ) vidimo da rezonantna uestanost tei sopstvenoj uestanosti, dok amplituda prinudnih oscilacija tei beskonanosti. Pojava rezonancije je od jako velikog znaaja i mora se imati u vidu pri konstrukciji razliitih maina, gradnji i odravanju mostova i saobraajnica ali i saobraajno - transportnih sredstava. Naime, sopstvena uestanost oscilovanja krila aviona mora se razlikovati od uestanosti vibracija motora da ne bi dolo do njihovog loma. Talasi na moru vre periodine udare o korito broda koji se ponaa kao oscilatorni sistem sa malim priguenjem. Kako osnovna frekvenca oscilovanja trupa (koji se ponaa slino dugakom tapu) i uestanost udara talasa mogu biti bliske, moe se dogoditi pucanje korita broda usled znaajnog poveanja amplitude oscilovanja, a svakako izaziva zamor materijala od kojeg je brod napravljen. Pojava rezonancije se moe i iskoristiti, npr. u radiotehnici, gde olakava izdvajanje eljenog signala usled pojaanja njegove amplitude u rezonantnom reimu rada elektrinog oscilatornog kola.