FizikaI godina studija na Tehnolokom fakultetu u Novom Sadu

dr Fedor Skuban

1

Departman za fiziku, PMF Novi Sad

SadrajMehanika

2

Elementi vektorskog rauna 4Fizike veliine. SI sistem jedinica 8Osnovni pojmovi kinematike 14Brzina 17Ubrzanje 20Pravolinijsko kretanje 24Slobodno padanje 28Vertikalni hitac 30Horizontalni hitac 32Kosi hitac 35Kinematika rotacionog kretanja. Kruno kretanje 38Ugaona brzina 40Ugaono ubrzanje 41Ravnomerno kruno kretanje 45Jednako-ubrzano kruno kretanje 47Dinamika. Sila. 50Njutnovi zakoni kretanja. I Njutnov zakon 52Masa i inertnost. Koliina kretanja. 54II Njutnov zakon 57III Njutnov zakon 59Neki tipovi sila u mehanici 61

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije 62Teina tela 63Sila normalne reakcije podloge 65Sila trenja 67Sila elastinosti 71Sile kod krunog kretanja 78Rad i energija 82Energija 85Kinetika energija 86Potencijalna energija 88Gravitaciona potencijalna energija 90Konzervativna i nekonzervativna polja 94Konzervativne i nekonzervativne sile 95Potencijalna energija elastine deformacije 96Zakon odranja energije 99Snaga 102Impuls sile i koliina kretanja 103Zakon odranja koliine kretanja 106Sudari 109Elastian jednodimenzionalni sudar 111Neelastian jednodimenzionalni sudar 111

Sadraj

3

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela 113Moment sile 117Moment inercije 120Osnovna jednaina dinamike rotacionog kretanja 123Kinetika energija i rad kod rotacionog kretanja 125Moment koliine kretanja 126Zakon odranja momenta koliine kretanja 129Statika vrstog tela 132Uslovi ravnotee vrstog tela 133Vrste ravnotee. Stabilnost. 135Oscilacije i talasi 136Oscilacije 137Oscilovanje tela obeenog o elastinu oprugu 139Matematiko klatno 142Fiziko klatno 144Priguene harmonijske oscilacije 145Prinudne harmonijske oscilacije 147

Talasno kretanje. Prostiranje talasa u elastinoj sredini. 149Jednaina progresivnog talasa 154Brzina irenja talasa 156Energija talasa 158Osnovne osobine talasnog kretanja 159Mehanika fluida. 164Statika fluida. Pritisak . 166Hidrostatiki pritisak 167Paskalov zakon 170Potisak. Arhimedov zakon. 172Povrinski napon 174Osobine gasova. Atmosferski pritisak. 176Dinamika fluida 177Jednaina kontinuiteta 179Bernulijeva jednaina 181Viskoznost 184

4

Elementi vektorskog raunasabiranje i oduzimanje vektora; razlaganje na komponente

22

sin

cosyx

y

xAAA

AA

AA+=

==

Sabiranje

Oduzimanje

5Projekcije vektora na pravac

6

Skalarni i vektorski proizvod vektoraSkalarni proizvod dva vektora je skalar.

Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji je normalan na ravan koju oni ine,a smer mu je odreen pravilom desnog zavrtnja. Intenzitet je brojno jednakpovrini paralelograma konstruisanog iznad vektora a i b.

),(cos),(cos|||| bababababarrrrrrrr ==

),(sin||

),(sin|||| o

bababa

cbababarrrr

rrrrrrr

==

Jedinini (ort) vektor je bezdimenzionivektor jedinine duine (intenzitet jednakjedinici), uveden u upotrebu samo da biodredio pravac i smer neke vektorskefizike veliine i nema nikakav drugifiziki smisao.

7Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije koje su najee koriene su sinus, kosinus itangens i povezuju duine stranica pravouglog trougla sa odgovarajuimuglovima.

Pitagorina teorema povezuje duine stranica pravouglog trougla.

222 ryx =+

8

Fizike veliine. SI sistem jedinica. Potreba da se brojem izraavaju osobine ili opisuju prirodne pojave

nametnula je potrebu uvoenja fizikih veliina i jedinica fizikihveliina.

Fizikim veliinama se kvantitativno opisuju osobine tela, stanja iprocesa (pojava).

Skalarne veliine su potpuno odreene svojom brojnom vrednou, dok suvektorske veliine definisane joi pravcem i smerom.

1960. godine je na meunarodnom nivou dogovoreno da se koristijedinstveni sistem fizikih jedinica u svetu, tzv. SI sistem (meunarodnisistem jedinica), koji sadri 7 osnovnih veliina i njihovih jedinica, dok susve ostale jedinice (jedinice ostalih fizikih veliina) izvedene od osnovnih(iako imaju druge nazive, mogu se nedvosmisleno izraziti preko nekih odpomenutih sedam osnovnih jedinica).

9Fizike veliine. SI sistem jedinica.Osnovne fizike veliine:

naziv veliine najea oznakaveliine jedinica oznaka jedinice

masa m kilogram kgduina l, s, r metar mvreme t sekund stemperatura T kelvin Kjaina elektrine struje I amper A

jaina svetlosti J kandela cdkoliina supstance n mol mol

10

1 m je duina puta koju u vakuumu preesvetlost za 1/299 792 458 deo sekunde.

1 kg je masa etalona u obliku cilindra visine39 mm i prenika 39 mm od legure 90% Pt -10% Ir, koji se uva u Meunarodnom birouza teine i mere u Sevru, Francuska.

1 s je vreme trajanja 9 192 631 770 oscilacijaelektromagnetnog talasa koji se emituje priprelasku elektrona izmeu dva hiperfina nivoau atomu Cs.

Fizike veliine. SI sistem jedinica.

1 K je termodinamika temperatura koja je jednaka 1/273.16 delutermodinamike temperature trojne take vode.

1 A je jaina vremenski stalne elektrine struje koja, prolazei kroz dva prava,paralelna provodnika beskonane duine i zanemarljivog poprenog preseka,koja se nalaze u vakuumu na rastojanju od 1 m, prouzrokuje izmeu njihelektrodinamiku (privlanu ili odbojnu) silu od 2107 N po metru duine.

11

1 cd je svetlosna jaina koju u odreenom pravcu emituje izvor svetlosti u vidumonohromatskog zraenja frekvencije 5401012 Hz i ija je izraena snaga u tompravcu 1/683 deo W po steradijanu.

1 mol je koliina materije sistema koji sadri toliko elementarnih jedinki kolikoima atoma u 0.012 kg izotopa ugljenika 12C (Avogadrov broj).

Fizike veliine. SI sistem jedinica.

12

Fizike veliine Izvedene fizike veliine - skup fizikih veliina koje su funkcije osnovnih ili

osnovnih i ve izvedenih veliina, a dobijaju se na osnovu formule ili relacije. Primeri:

brzina v=dx/dt [m/s]ubrzanje a=dv/dt [m/s2], sila F=ma [N=kgm/s2],pritisak p=F/S [Pa=N/m2]gradijent brzine dv/dz [s1=1/s]koeficijent dinamike viskoznosti =F/(S(dv/dz)) [Pas=Ns/m2=kg/sm]

Mogu biti i bezdimenzione: apsolutni indeks prelamanja n=c/vPoasonov broj =(d/d)/(l/l)

Izuzetak su jedinice za:ugao u ravni [rad]prostorni ugao [sr]

13

Fizike veliine Jedinice fizikih veliina se vrlo esto ne koriste u svom osnovnom

obliku, ve viestruko umanjene ili uveane. Milimetar, nanosekundaili mikrofarad su jedinice koje sadre prefikse mili-, nano- i mikro- ipredstavljaju umnoke osnovne jedinice (metar, sekunda, Farad)zasnovane na razliitim eksponentima broja 10.

red veliine prefiks oznaka

1012 piko- p

109 nano- n

106 mikro- 103 mili- m

102 centi- c

101 deci- d

red veliine prefiks oznaka

101 deka- da

102 hekto- h

103 kilo- k

106 mega- M

109 giga- G

1012 tera- T

14

Mehaniko kretanje tela je promenapoloaja tog tela u odnosu na bilo kojedrugo telo.

Da bi se odredio poloaj tela koje sekree (ili miruje) u odnosu na nekodrugo telo, koriste se tzv. referentnisistemi, najee Dekartov pravouglikoordinatni sistem (x-, y- i z-osa).

Referentni sistemi su vezani za posma-traa dogaaja. Mogu ili mirovati ili sekretati (ravnomerno ili ubrzano).

KINEMATIKA

Referentni sistemi koji miruju ili se ravnomerno kreu su tzv. inercijalni referentnisistemi, a oni koji se ubrzano kreu nazivaju se neinercijalni referntni sistemi.

Osnovni pojmovi kinematike

15

Materijalna taka je telo zanemarljivihdimenzija, ali konane mase. U kinematici nasmanje interesuju dimenzije pokretnih tela, avie samo njihovo kretanje i veliine koje gakarakteriu.

Vektor poloaja je vektor koji spaja koor-dinatni poetak (posmatraa pojave kretanjanekog tela) i datu taku u koordinatnomsistemu u kojoj se nalazi telo, a usmeren je kadatoj taki.

Linija koju materijalna taka opisuje tokomkretanja (skup uzastopnih poloaja) pred-stavlja njenu putanju. Ili, to je skup taakakroz koje telo prolazi tokom svog kretanja.

Osnovni pojmovi kinematike

rr

16

Svako sloeno kretanje se moe pred-staviti kao kombinacija translacije irotacije.

Translacija svaka prava (ili ravan)koja spaja take u telu koje se translator-no kree ostaje sama sebi paralelna.Rotacija sve take tela koje rotira kre-u se po koncentrinim krugovima ijicentri su na istoj pravoj osa rotacije.

Osnovni pojmovi kinematike

rr

Deo putanje s koji telo pree za vreme t izmeudve take (npr. M1 i M2) je preeni put. To jerastojanje izmeu krajnjeg i poetnog poloaja telamereno du putanje.

Vektor pomeraja je vektor koji spaja poetni ikrajnji poloaj take u kretanju (najkrae rastojanjeizmeu poetnog i krajnjeg poloaja).

)()( trttrr vrr +=

12 sss =s

17

Vrste kretanja. Brzina. Brzinom kretanja tela se, u optem smislu, karakterie preeni put u jedinici

vremena. Srednja putna brzina je skalarna veliina kolinik ukupnog preenog puta s

koje telo pree za neko vreme t i vremena kretanja t.

tsvs

=

ttrttr

trvsv

+== )()(

rrrr

s

Jedinica je [m/s].

Srednja vektorska brzina je vektorska veliina kolinik vektora pomeraja (spaja poetni ikrajnji poloaj) i vremena u toku kojeg je pomerajnapravljen t.

rr

18

Trenutna brzinaTrenutna brzina tela (brzina pokretne materijalnetake) u datom trenutku t je srednja vektorskabrzina u beskonano malom intervalu vremena.

Vektor trenutne brzine ima pravac tangente naputanju.

Intenzitet trenutne brzine se, na osnovu injeniceda je duina pomeraja jednaka preenom putu s usluaju da t0, definie kao:

0, = ttrvrr

ts

ts

trvv

tt ddlim||lim||

00=

== rr

tr

trv

t ddlim

0

rrr ==

19

Trenutna brzinaPrimer objanjenja trenutne brzine (pravolinijsko neravnomerno kretanje):a) na grafikoj zavisnosti poloaja tela (x-koordinata; udaljenost) u funkciji vremena (t)

zapaa se neravnomernost kretanja; x1 je udaljenost izmeu poetnog (x1) i krajnjegpoloaja (x2) tela, koju telo pree za interval vremena t1; intenzitet srednje brzine u tokuovog intervala vremena je kolinik x1/t1 odgovara nagibu prave koja spaja x1 i x2;

b) vremenski interval se smanjuje na t2, a rastojanje postaje x2; intenzitet srednje brzine utoku ovog kraeg intervala vremena je kolinik x2/t2 nagib prave od x1 do x2 je drukiji;

c) u graninom sluaju, kada vremenski interval t tei beskonano maloj vrednosti, u takina mestu x3 koordinatne x-ose i u trenutku t3 od poetka merenja vremena, intenzitettrenutne brzine ima neku konanu vrednost dx/dt (ili, ako se put oznaava sa s, ds/dt),kojoj odgovara nagib tangente na krivu x=f(t) u taki sa koordinatama (t3,x3).

ts

ts

txv

tt ddlimlim

00=

==

20

UbrzanjeUbrzanje je veliina koja karakterie promenu vektora brzine (u bilo kompogledu, po intenzitetu i/ili pravcu) u jedinici vremena.

ttvttv

tvas

+== )()(

rrrr

0, = ttvarr

tv

tva

t ddlim

0

rrr ==

Srednje ubrzanje je vektorska veliina kolinikpromene brzine i vremenskog intervala t u tokukojeg je ta promena nainjena.

Trenutno ubrzanje je granina vrednost srednjegubrzanja kada vremenski interval t0.Jedinica za ubrzanje je [m/s2].

Vektor ubrzanja (srednjeg ili trenutnog) ima pravacvektora promene brzine .Intenzitet trenutnog ubrzanja se definie kao:

vr

2

2

ddtrarr ==

===

==

*2

2

00 dd

dd

dd

dd

ddlim||lim||

tr

tr

ttva

tv

tv

tvaa

tt

rr

* ita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.

vr

21

UbrzanjePrimer objanjenja trenutnog ubrzanja (pravolinijsko neravnomerno kretanje):a) na grafikoj zavisnosti intenziteta brzine tela (v) u funkciji vremena (t) zapaa se

neravnomernost u promeni brzine; v1 je ukupna promena intenziteta brzine tela u tokuintervala vremena t1; intenzitet srednjeg ubrzanja u toku ovog intervala vremena jekolinik v1/t1 odgovara nagibu prave koja spaja v1 i v2;

b) vremenski interval se smanjuje na t2, a promena brzine postaje v2; intenzitet srednjegubrzanja u toku ovog kraeg intervala vremena je kolinik v2/t2 nagib prave od v1 do v2je drukiji;

c) u graninom sluaju, kada vremenski interval t tei beskonano maloj vrednosti, u takina krivoj v=f(t) sa koordinatama (t3,v3), dakle u trenutku t3 od poetka merenja vremena,intenzitet trenutnog ubrzanja ima neku konanu vrednost dv/dt, kojoj odgovara nagibtangente na krivu v=f(t) u datoj taki.

tv

tv

tva

tt ddlim||lim

00=

== r

22

UbrzanjeUbrzanje moe biti pozitivno (vektor brzine i vektor ubrzanja imaju isti smer) ilinegativno (tzv. usporenje vektor brzine i vektor ubrzanja imaju suprotne smerove).

Ubrzanje postoji i kada nema promene intenziteta vektora brzine. Dovoljno je davektor brzine v menja pravac u prostoru.

a) brzina se ne menja po intenzitetu;

b) brzina ravnomerno raste (ubrzanje ima konstantnu vrednost);

c) brzina ravnomerno opada (ubrzanje ima konstantnu vrednost, ali je suprotno usmereno smeru kretanja);

23

KretanjeKretanje se, prema obliku putanje, moe podeliti na:

pravolinijsko, i

krivolinijsko.

Prema brzini, kretanje moe biti:

ravnomerno, jednoliko (brzina ne menja intenzitet ni pravac), i

ubrzano, promenljivo (brzina menja intenzitet i/ili pravac).

Pravolinijsko kretanje moe biti ravnomerno (brzina ne menja intenzitet) ilipromenljivo (intenzitet brzine se menja)

Krivolinijsko kretanje je uvek promenljivo, jer brzina menja svoj pravac uprostoru u toku kretanja tela.

24

Pravolinijsko (jednodimenzionalno) kretanje ravnomerno kretanje

Kretanje kod kojeg je putanja prava linija je pravolinijsko. Vektori brzine iubrzanja (ako je a0) se poklapaju sa pravcem kretanja, a intenziteti trenutnih ovihveliina su (s obzirom da je duina vektora pomeraja r jednaka preenom putu s) :

tsv

dd=

2

2

dd

dd

ts

tva ==

Najjednostavniji oblik pravolinijskog kretanja je ravnomerno (jednoliko,uniformno) pravolinijsko kretanje brzina se ne menja ni po intenzitetu ni popravcu u toku vremena ( ). Njen intenzitet je ravan koliniku preenogputa s i vremena t:

const.==tsv= 0ar

const.=vr

25

Pravolinijsko kretanje ravnomerno kretanje

Zakon poloaja je funkcija promene poloaja tela (materijalne take) savremenom, .

U sluaju pravolinijskog ravnomernog kretanja zakon poloaja glasi *:vtxx += 0

ili prosto (ako uzmemo da je poetni poloaj (poetna kordinata) tela ):

vtx =* Kod pravolinijskog kretanja koordinatnu osu (recimo x-osu) na

kojoj se prati poloaj tela usmeravamo du pravca kretanja.

Grafici intenziteta brzine v i preenog puta s u funkciji vremena:

)(tfx =

00 =x

26

Pravolinijsko kretanje jednako-ubrzano kretanje Kretanje po pravoj liniji pri kojem je ubrzanje konstantno ( ) je jedna-

ko-ubrzano pravolinijsko kretanje. Ubrzanje moe biti pozitivno ili negativno(usporenje; intenzitet brzine se smanjuje u toku vremena).

Zakon brzine je, u optem sluaju, funkcija koja pokazuje zavisnost brzine odvremena, . U sluaju pravolinijskog kretanja to je vremenska zavisnostintenziteta brzine .

Za sluaj da je poetna brzina (brzina u trenutku t=0 s) , zakon brzine glasi:atvv += 0

=++= 0za2 0

2

00 xattvxx

2

2

0attvx +=

Zakon poloaja u sluaju pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja glasi:

const.=ar

)(tfv =r)(tfv =

00 v

27

Pravolinijsko kretanje jednako-ubrzano kretanjeaxvv 220

2 +=

20 vvvs+=

Veza izmeu krajnje (v) i poetne brzine (v0) i preenog puta x je:

Srednja brzina kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja je:

const.=aratvv += 0

2

2

00attvxx ++=

28

Primeri pravolinijskog jednako-ubrzanog kretanja1. Slobodno padanje

Intenzitet brzine v, poloaj tela na vertikalnoj,y-osi du koje se posmatra kretanje tela ipreeni put (raunajui od mesta gde se teloputa da slobodno pada, a to je visina h):

22

22 gtsgthygtv ===

Slobodno padanje tela je pravolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubrzanokretanje tela u polju sile Zemljine tee bez poetne brzine (v0=0).

Intenzitet ubrzanja tela priblino iznosi a g = 9.81 m/s2 i pod izvesnimuslovima se moe smatrati konstantnom veliinom (u blizini povrine Zemlje, uzzanemarivanje sile otpora vazduha, ...). Smer ubrzanja je ka povrini Zemlje(tanije ka centru Zemlje).

29

Slobodno padanje

U optem sluaju, telo moe slobodno padati i pod uticajem gravitacione sile drugihastronomskih objekata (na drugim planetama, satelitima, ), ali drugim ubrzanjem uodnosu na ubrzanje g koje tela imaju na Zemlji usled delovanja sile Zemljine tee.

Kada nema drugih uticaja, ve deluje samo silaZemljine tee na ubrzanje tela, tada sva telapadaju jednako ako su istovremeno putenada padaju, istovremeno i stiu do povrine.

Drugim reima, sva tela prilikom slobodnogpadanja imaju jednako ubrzanje (g).

30

2. Vertikalni hitacVertikalni hitac je jednodimenzionalno (pravolinijsko) i jednako-ubrzano kreta-nje tela u polju sile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) teloje baeno u vertikalnom pravcu (navie ili nanie nekom poetnom brzinom).

Intenzitet ubrzanja tela je takoe g = 9.81 m/s2, a smer ubrzanja je ka povriniZemlje (tanije ka centru Zemlje).

Smer brzine, meutim, moe biti i suprotan odsmera ubrzanja kada se telo baca navie(vertikalni hitac navie), brzina je u poetkuusmerena u pozitivnom smeru y-ose du koje seposmatra poloaj baenog tela telo usporava dokne dostigne maksimalnu visinu (brzina tela u tomtrenutku jednaka je nuli), a zatim slobodno pada.

Kod vertikalnog hica nanie, brzina tela iubrzanje uvek imaju isti smer i brzina seneprekidno poveava.

31

Vertikalni hitac

2

2

0

0

gttvhy

gtvv

=

+=

2

2

0

0

gttvhy

gtvv

+=

=

U momentu pada na zemlju je koordinata tela y=0;

u najvioj taki putanje je intenzitet brzine v=0.

Zakon brzine v=f(t) i zakon poloaja y=f(t) pri vertikalnom hicu sa visine h:

Hitac nanie

Hitac navie

32

Dvodimenzionalno (krivolinijsko) kretanje u polju sile Zemljine tee Horizontalni hitac

U sluaju dvodimenzionalnog kre-tanja (po krivolinijskoj putanji),brzina tela se u svakom momentumoe razloiti na dve komponente du x- i du y-ose koordinatnogsistema vezanog za posmatraa(obino je to Zemljina povrina).

Horizontalni hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i sloeno kretanje tela upolju sile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) telo je baeno(lansirano, ispaljeno) u horizontalnom pravcu sa neke visine.

33

Horizontalni hitacKretanje du x-ose je ravnomerno brzina je konstantna.

Kretanje du y-ose je jednako-ubrzano brzina raste.(slobodno padanje ubrzanje je g; znak ima samo fiziki znaaj brzina vy du y-ose je usmerena suprotno od pozitivnog smera y-ose).

2

20

gthy

tvx

==

gtvvv

y

x

== 0

* h je visina sa koje je baeno telo po putanji horizontalnog hica.

34

22yx vvv +=

U momentu pada na zemlju, y-koordinata tela jey=0 (ukoliko tako postavimo koordinatni sistem) domet xD, brzina vD, ugao putanje D.

20

2

2vgxhy =

Putanja tela koje se kree u horizontalnom hicu je parabola.

Zakon (jednaina) putanje, (zavisnost y-koordinate poloajatela koje se kree po putanji horizontalnog hica od x-koordinate):

Horizontalni hitac

U svakom momentu intenzitet brzine tela vmoe se nai na osnovu poznavanjakomponenti brzine du odgovarajuih osa:

35

Kosi hitacKosi hitac je dvodimenzionalno (krivolinijsko) i sloeno kretanje tela u poljusile Zemljine tee sa nekom poetnom brzinom (v00) telo je baeno podnekim uglom u odnosu na horizontalni pravac. Kretanje se moe opisati kaosuperpozicija dva kretanja du x- i du y-koordinatne ose.

Du x-ose kretanje je ravnomerno brzina je konstantna.Du y-ose kretanje je jednako-promenljivo ako je ugao izbacivanja pozitivan,brzina du y-ose prvo opada (vertikalni hitac navie), a nakon dostizanja maksimalnevisine, brzina menja smer i raste po intenzitetu (kao kod slobodnog padanja); u sluajunegativnog ugla, brzina du y-ose stalno raste (vertikalni hitac nanie).

36

Kosi hitac

Zakon (jednaina) putanje y=f(x) ima oblik:

Putanja tela u kosom hicu jeparabola.

Vremenska promena komponentibrzina i koordinata tela:

==gtvv

vv

yy

xx

0

0

+=

=

2

2

00

0

gttvyy

tvx

y

x

222

00 cos2

tg xv

gxyy +=

* y0 je visina sa koje je baeno telo po putanji kosog hica.

gtvv

vv

y

x

==

sin

cos

0

0

2sin

cos

2

00

0

gttvyy

tvx

+=

=

37

Kosi hitac

= 2sin20

gvxD

U momentu pada na zemlju je y=0 domet xD,brzina vD, ugao putanje D:

U najvioj taki putanje je vy=0 (v=vx) maksimalna visina ymax. Pod uslovom da je y0=0:

= 220

max sin2gvy

Domet zavisi od poetne brzine tela (v0) iod ugla pod kojim je ispaljen projektil poputanji kosog hica.

* Pretpostavlja se da je otpor vazduha zanemarljiv.

38

Krivolinijsko kretanje. Kinematika rotacionog kretanja. Kruno kretanje.

Svako krivolinijsko kretanje se moe predstavitikao kretanje po krunici, pri emu se poluprenikkrunice menja u toku kretanja.

Poloaj materijalne take pri kretanju po krunicije dat radijus-vektorom.

Svako krivolinijsko kretanje je i ubrzano kretanje,jer se brzina menja barem po pravcu.

39

Kruno kretanje.

00

rad][

ttt

rs

rs

==

==

Poloaj materijalne take pri kretanju po krunici dat je radijus-vektorom, kojipolazi od centra krune putanje, a zavrava na mestu materijalne take.

Ugaoni pomeraj je ugao izmeu poetnog (0) i krajnjeg () poloajaradijus-vektora. Uglovi se izraavaju u radijanima (rad).

* Ugao od 1 rad je onaj za koji je odgovarajua duina luka na krunici jednaka njenom polupreniku (s=r), =s/r=1 rad.

0

40

Ugaona brzina Srednja ugaona brzina s je kolinik ugaonog pomeraja ivremena u toku kojeg je taj ugao opisan. Jedinica je [rad/s].

Trenutna ugaona brzina je jednaka srednjoj ugaonojbrzini kada vremenski interval t0. Ugaona brzina jepozitivna, ako se poveava, a negativna, ako se smanjuje.Trenutna ugaona brzina je vektor iji se pravac poklapa sapravcem ose rotacije normalan je na ravan rotacije. Smervektora je, prema dogovoru, odreen pravilom desnogzavrtnja.

tt

t

t

s

ddlim

0

==

=

Trenutno ugaono ubrzanje je srednje ugaono ubrzanje za granian sluajkada t0.Trenutno ugaono ubrzanje je vektor iji se pravac poklapa sa pravcem oserotacije, dakle normalan je na ravan krunice i kolinearan sa vektorom ugaonebrzine . Smer vektora ugaonog ubrzanja zavisi da li se ugaona brzina poveava(isti smer sa vektorom ugaone brzine) ili smanjuje (suprotan smer).Ni srednja ugaona brzina s, ni srednje ugaono ubrzanje s nisu vektorske veliine, jer se ugaonipomeraji ne mogu sabirati kao vektori da bi se na kraju dobio ukupan ugao rotacije vektorapoloaja.

Ugaono ubrzanje je posledica ubrzanog kretanja materi-jalne take po krunici (poveanje ili smanjenje intenzitetaperiferne brzine v), odnosno promene intenziteta ugaonebrzine .Srednje ugaono ubrzanje s je kolinik promene ugaonebrzine i vremenskog intervala u toku kojeg je dolo do tepromene.Jedinica je [rad/s2] ili samo [s2] .

41

Ugaono ubrzanje

tt

t

t

s

ddlim

0

==

=

2

2

ddt=

r

r

42

Veza izmeu linearnih i ugaonih veliina

Veza izmeu intenziteta periferne brzine vkretanja materijalne take (tela) po krunici iintenziteta ugaone brzine radijus vektora tematerijalne take:

==

==

rv

trs

trs

t/

rv rrr =

Vektor periferne brzine lei u ravni krunice, kao i radijus-vektor , a vektorugaone brzine je tada normalan na ravan krunice. Prema pravilu vektorskogproizvoda, veza izmeu ugaone brzine radijus vektora i periferne brzine date jeizrazom:

rvr rr

rv =

43

Veza izmeu linearnih i ugaonih veliina

Slino tome, veza izmeu intenziteta ubrzanja a materijalne take koja se kreepo krunici (dakle, periferna brzina v se menja po intenzitetu) i intenziteta ugaonogubrzanja radijus vektora dobija se na sledei nain:

==

== rtrt

rtva = ra

Poto je ubrzanje a ovde posledica promene intenziteta periferne brzine, vektorove veliine ( ) ima pravac tangente na krunu putanju (kao i vektor perifernebrzine) iz tog razloga nosi naziv tangencijalno ubrzanje. Smer zavisi od toga dali se periferna brzina poveava ili smanjuje u toku vremena.

ar

odd vtva rr =

* je jedinini vektor periferne brzine. ovr

Oznaka a istie da ovo ubrzanje treba razlikovati od tzv. normalnog (centripetal-nog ubrzanja) koje je posledica promene pravca periferne brzine.

44

Normalno i tangencijalno ubrzanje kod krunog kretanjaU optem sluaju, vektor ubrzanja tela koje se kree po krunoj putanji ima dvekomponente:

tangencijalno ubrzanje , koje ima pravac tangente na putanju, i normalno (centripetalno) ubrzanje , koje je normalno na tangentu u

posmatranoj taki.

Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja (intenzitet periferne brzine se nemenja, ve samo pravac) vektor ubrzanja ima pravac normalan na tangentuputanje, tj. usmeren je ka centru krivine putanje i radi se o normalnom(centripetalnom) ubrzanju.

ar

nar

45

Ravnomerno (uniformno) kruno kretanjePeriferna brzina v ima stalan intenzitet, v=const.

Ugaona brzina takoe ima konstantni intenzitet, =const .

===

=

TT122

rad2krugpuntt

sv =

=

Ravnomerno kruno kretanje je periodino, aperiod rotacije T je vreme potrebno da radijus-vektor opie pun krug od 2 rad.Frekvencija ili uestanost obrtanja (ili f)obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T.

46

Ravnomerno kruno kretanjeZbog neprekidne promene pravca vektora periferne brzine v, postojinormalno ubrzanje intenziteta an, usmereno uvek ka centru rotacije, suprotnood radijus vektora.

==

==

==

rvtrv

tva

tr

rv

tvr

rvv

rr

vv

n

*

0

2

n rrva rr =2

2

n == rrva

Intenzitet normalnog ubrzanja:

Vektor normalnog ubrzanja:

Na osnovu slinosti trouglova i definicije normalnog ubrzanja an i perifernebrzine v, sledi:

* Vektor je posledica promene pravca vektora periferne brzine. v

47

Jednako-ubrzano kruno kretanjeAko se menja i intenzitet brzine, a ne samo pravac, promena brzine tela kojese kree po krunici ima dve komponente, a takoe i ubrzanje koje je opisuje:

+= vvv rrr n

Promena brzine u pravcu normale (brzina promene pravca) definie normalnoubrzanje, a u pravcu tangente (brzina promene intenziteta) - tangencijalnoubrzanje.

+= aaa rrr n

* Vektor (posledica promene pravca vektora periferne brzine) je ovde zamenjen oznakom . v nvr

48

Jednako-ubrzano kruno kretanjeNajprostiji oblik neravnomernog krunog kretanja je jednako-ubrzano (ilijednako-usporeno) kretanje u toku kojeg se, pored pravca, i intenzitet perifernebrzine (pa tako i ugaone brzine) menjaju pravilno u toku vremena. Drugimreima, tangencijalno ubrzanje a ima konstantni intenzitet.

Tangencijalno ubrzanje a je vektor kolinearan tangenti na krunicu.

( ) ( ) 24222 +=+= rrra

= ra22

nn +=+= aaaaaa rrrt

rtr

tva

dd

d)(d

dd ===

Kretanje po krivoj liniji je, praktino,stalno kretanje po krunim putanjama,iji se poluprenici stalno menjaju, atakoe i brzina i ubrzanja tela koje sekree.

odd vtva rr = * je jedinini

vektor periferne brzine. ovr

49

Jednako-ubrzano kruno kretanje

Pri jednako-ubrzanom krunom kretanju mogu se definisati izrazi analognionim kod jednako-ubrzanog pravolinijskog kretanja.

t= 0

2

2

00tt +=

= 2202

tavv = 0

2

2

00tatvxx +=

xavv 2202 =

50

Dinamika.

Dinamika je deo mehanike koji se bavi vezom izmeu kretanja tela i silakoje deluju na njih, tj. uzrocima promene stanja kretanja tela (pri emu je imirovanje neko stanje kretanja).

Do promene stanja kretanja (brzine) nekog tela moe doi samo priinterakciji, uzajamnom delovanju tela sa drugim telima, odnosno pridelovanju sile na telo.

Silom se moe uticati ne samo na promenu intenziteta brzine kretanjatela ve i pravca vektora brzine sila je vektorska veliina.

Silom se moe uticati i na promenu oblika tela. Sila je kvantitativna mera interakcije (meusobnog delovanja) tela, tj.

izraava intenzitet interakcije (jedinica je Njutn, [N]).

Sila

51

Sila Sile mogu biti:

kontaktne, kada pri interakciji postoji dodir izmeu tela, i bezkontaktne, kada se interakcija ostvaruje na daljinu, tj. putem fizikog

polja (redosled prema intenzitetu: jaka nuklearna sila izmeu subatomnihestica; elektromagnetna sila izmeu naelektrisanja; slaba nuklearna sila pojavljuje se u procesima radioaktivnog raspada; gravitaciona sila izmeumaterijalnih objekata).

52

Njutnovi zakoni kretanja I Njutnov zakonPrimer 1: Slika prikazuje razliit uticaj sile trenja na kretanje istog tela (koje se kree u

poetku istom brzinom) po razliitim podlogama postoji, dakle, interakcijaizmeu kotrljajueg tela i podloge.

Podloga, preko sile trenja, utie na promenu stanja kretanja. U sluaju da je podloga glatka (da nema sile trenja) telo bi nastavilo kretanje

nesmanjenom brzinom.

* Isak Njutn, engleski fiziar i matematiar (1642-1727).

53

Njutnovi zakoni kretanja I Njutnov zakon

I Njutnov zakon - zakon inercijeSvako telo zadrava stanje mirovanja ili ravnomernog pravo-linijskog kretanja sve dok drugo telo svojim delovanjem to stanjene promeni, tj. dok ne interaguje sa drugim telom.

Rezultantna sila je vektorska suma svih spoljanjih sila koje deluju na nekotelo.

Spoljanje sile potiu od okoline tela. Unutranje sile potiu od samog objekta i ne mogu promeniti brzinu tela (osim

kada se radi o rotaciji tela).

Ili:Brzina tela ostaje konstantna po intenzitetu i pravcu sve dok nekarezultantna sila, razliita od nule, ne deluje na njega.

54

Prirodna tendencija tela da ostane u stanju mirovanja ili ravnomernogkretanja po pravoj liniji u odsustvu spoljanje sile je inertnost i jedna jeod osnovnih osobina tela.

Masa tela je kvantitativna mera inertnosti. to je vea masa tela, to jetee promeniti stanje njegovog kretanja. To je osobina tela nezavisna od uticajaokoline i od metode merenja. Jedinica za masu je [kg].

Inercija je pojam koji se odnosi na mirovanje ili kretanje tela bez obzira nanjihovu masu, a inertnost je opiranje promeni stanja kretanja.

Brzina je osnovna kinematika veliina koja karakterie telo u kretanju. Pri promeni brzine dolazi do izraaja inertnost tela, pa se masa, kao njena mera,

i brzina javljaju zajedno u novoj, kompleksnijoj veliini koja bolje opisujekretanje. To je koliina kretanja k vektor, koji se dobija kao proizvod masei brzine tela (jedinica za koliinu kretanja je [kgm/s]):

vmk rr =

Masa i inertnost. Koliina kretanja.

55

Matematiki izraz I Njutnovog zakona

const.const.

00

:je Ukoliko

====

vmv

aFrr

rr

Sutina I Njutnovog zakona je u tome to govori ne o tome ta se deava sa telomkada nema spoljanjih sila ve ta se deava kada one prestaju da deluju.

Nakon prestanka delovanja spoljanjih sila, tj. kada rezultanta spoljanjih silapostane jednaka nuli, a kada se vri posmatranje ponaanja tela u inercijalnomreferentnom sistemu, telo koje miruje ostaje u stanju mirovanja, a telo koje sekree nastavlja kretanje sa konstantnom brzinom i to po pravoj liniji(nepromenjena koliina kretanja).

Dakle, kada nema sila koje bi delovale na telo, nema ni njegovog ubrzanja, iliobrnuto telo koje se kree ubrzano mora biti pod uticajem neke sile.

Ovaj Njutnov zakon upravo definie silu kao uzrok promene stanja kretanja.

56

Matematiki izraz I Njutnovog zakona Ovaj zakon vai samo u tzv. inercijalnim referentnim sistemima, koji ili

miruju ili se ravnomerno kreu po pravoj liniji.* Referentni sistem je koordinatni sistem u kojem se ili u odnosu na koji se posmatra

kretanje nekog tela.** Postoje neinercijalni referentni sistemi koji se kreu ubrzano i tela ije se kretanje

posmatra u takvim sistemima trpe delovanje dodatnih (fiktivnih) tzv. inercijalnih sila, kojisu posledica neravnomernog kretanja referentnog sistema.

Iz I Njutnovog zakona koji definie silu kao uzrok promene stanja kretanjaproizilazi II Njutnov zakon koji blie definie uticaj sile na stanje kretanja.

Primer: Kada se deluje silom na telo mase m (npr. gura se blok po glatkoj povrini u horizon-

talnom pravcu), ono se kree ubrzanjem . Kada se deluje silom dvostrukog intenziteta, eksperiment pokazuje dvostruko intenzivnije

ubrzanje; trostruko jaa sila daje telu trostruko vee ubrzanje . Obrnuto, kada se masa tela dvostruko povea (2m), ubrzanje je upola manje; delovanje

iste sile na trostruko masivnije telo (3m), uzrokuje trostruko manje ubrzanje .

Fr

ar

aF rr

ma /1r

57

II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike Ako na telo mase m deluje spoljanja sila , ubrzanje koje pri

tome telo dobija direktno je srazmerno (rezultantnoj) sili koja nanjega deluje, a obrnuto srazmerno masi tela.

amFm

Fa r

rrr ==

Fr

ar

Ova jednaina je vektorskog oblika, a njoj ekvivalentan je sistem jednaina napisan zakomponente sile i ubrzanja du svake koordinatne ose:

zzyyxx maFmaFmaF === NAPOMENA:

Proizvod nije sila. Sve sile koje deluju na telo vektorski se sabiraju i dajurezultantnu silu (leva strana jednaine) koja je jednaka tom proizvodu.

amr

58

II Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike

Sila nije uzrok kretanja tela, ve je uzrok promeni stanja kretanja, kojase meri ubrzanjem ona menja koliinu kretanja tela.

Masa u ovim izrazima je inercijalna masa i predstavlja meruodupiranja tela promeni stanja kretanja ona je kvantitativna merainertnosti tela.

Brzina promene koliine kretanja tela proporcionalna je sili koja nanjega deluje i vri se u pravcu sile.

amtvmvm

tF r

rrr ===dd)(

dd

59

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcijePrimer:

Udarac ekia o ekser ini da ekser ulazi u zid,ali isto tako ekser deluje na eki koji usporavasvoje kretanje do zaustavljanja. Dakle, udaracekia izaziva reakciju kod eksera istogintenziteta i pravca, ali u suprotnom smeru.

Njutn je zapazio da izolovana sila ne moepostojati sile uvek postoje u parovima.

2112 FFrr =

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telodeluje na prvo silom istog intenziteta i pravca, a suprotnogsmera.

2211 amamrr =

60

III Njutnov zakon - zakon akcije i reakcije

Svako delovanje (akcija) stvara uvek suprotno po smeru i jednakopo intenzitetu protivdelovanje (reakciju), tj. delovanja dva telajedno na drugo su jednaka i suprotnog smera.

Svaka sila se moe oznaiti kao sila akcije ilikao sila reakcije na delovanje one druge, sileakcije.

Sile akcije i reakcije deluju na razliitatela i uvek su iste prirode (kontaktnesile*, elektrine, gravitacione, itd.).

* Kontaktne sile su, strogo gledano, elektromagnetne prirode.

61

Neki tipovi sila u mehanici

Gravitaciona sila Sila potiska Sila normalne reakcije podloge Sila zatezanja Elastina sila opruge Sila trenja

62

Gravitaciona sila. Njutnov zakon univerzalne gravitacije.

Zakon univerzalne gravitacije:Bilo koje dve materijalne take u prirodi uzajamno se privlaegravitacionom silom: pravac te sile prolazi kroz materijalne take,intenzitet je srazmeran masama materijalnih taaka, a obrnutosrazmeran kvadratu rastojanja izmeu njih.

221

rmmF = o2 21 rr

mmF rr =

2

211

kgNm10672.6 =

Gravitaciona sila je jedna od osnovnih interakcija u prirodi (najslabija) silauzajamnog privlaenja izmeu bilo koja dva tela u svemiru.

- gravitaciona konstanta- jedinini vektor usmeren od m1 ka m2or

r

63

Teina tela Teina Q nekog objekta na ili iznad povrine Zemlje (ili iznad nekog drugog

svemirskog tela) je sila kojom telo deluje na horizontalnu podlogu na koju jepostavljeno, odnosno sila kojom telo zatee konopac o koji je okaeno davisi. Teina tela je posledica i mera gravitacione sile kojom Zemlja (ili datosvemirsko telo) deluje na objekat.

2rMmQ Z=

r=RZ na povrini Zemljer=RZ+h na visini h iznad

povrine Zemlje

gmQ rr =

Izraz za teinu na osnovu II Njutnovogzakona dinamike (gde su sila i ubrzanjesrazmerni) ima oblik:

g je ubrzanje gravitacione sile Zemlje. Sila teine nije nezavisna osobina tela, kao to je to masa tela. Teina je mera

gravitacionog privlaenja izmeu tela i Zemlje (ili nekog drugog svemirskogobjekta). Teina je osobina sistema objekata (u ovom sluaju tela i Zemlje).

64

Teina tela

2

2

Z

ZZ

Z

RMg

mgQ

RMmQ

=

=

=

U sluaju da se zanemari rotacija Zemlje, njena nehomogenost iodstupanje od pravilnog sfernog oblika, teina Q objekta mase m napovrini Zemlje (ili blizu povrine, r RZ) jednaka je gravitacionoj sili:

Iz II Njutnovog zakona

Ubrzanje g sile Zemljine tee na njenoj povrini. Ono opada sa poveanjem rastojanja od centra Zemlje.

VANO: Sila Zemljine tee (gravitaciono privlaenje od strane Zemlje) deluje na

telo, a teina tela deluje na podlogu (ili na neko drugo telo).

65

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN

U mnogim situacijama telo je u kontaktu sa nekompodlogom (povrinom), a sila reakcije povrine nasilu teine, tj. na ukupnu silu kojom telo pritiskapodlogu je upravo normalna sila .

Tanije, komponenta sile reakcije podloge koja jenormalna na povrinu predstavlja normalnu silu .

NFr

NFr

66

Sila normalne reakcije podloge - normalna sila FN Telo na strmoj ravni (sluaj kretanja bez prisutne sile trenja izmeu tela i

strme ravni). Za prouavanje kretanja tela po strmoj ravni pravi se dijagram sila u kome se sile i njihove

komponente predstavljaju u x-y koordinatnom sistemu.

67

Sila trenja Kada se neko telo kree po nekoj povrini ili kroz tzv. viskoznu sredinu (vazduh,

voda, ), javlja se otpor tom kretanju zbog interakcije tela sa okruenjem trenje. Trenje je posledica delovanja meumolekularnih sila izmeu dodirnih povrina

tela i podloge na kojoj se telo nalazi (spoljanje trenje), ili izmeu sastavnihdelova unutar nekog sistema, kao to su fluidi (unutranje trenje).

Sila trenja deluje na dodirnoj povrini izmeu tela i usmerena je nasuprot smeru(predstojeeg) kretanja tela u odnosu na povrinu.

U optem sluaju, postoji sila statikog trenja (trenje mirovanja), i sila kinetikogtrenja (ona se jo deli na trenje klizanja i trenje kotrljanja).

Sila trenja kotrljanja je znatno slabija od siletrenja klizanja.

68

Sila statikog trenja (trenje mirovanja) Sila trenja mirovanja jednaka je po intenzitetu i pravcu, a suprotna po smeru (u

odnosu na mogue kretanje) rezultantnoj spoljanjoj sili koja deluje na telo upravcu paralelnom podlozi (suprotna predstojeem kretanju).

Sila statikog trenja Fs moe imati intenzitet od 0 do neke maksimalne vrednosti,nakon koje telo poinje da se kree a sila statikog trenja ustupa mesto silikinetikog trenja, koja je po intenzitetu neto slabija.

Nssss FFFF = maxmax0

),( maxsF

Maksimalna vrednost sile statikog trenjaje srazmerna sili normalne reakcije podlogeFN na kojoj se telo nalazi.

s koeficijent statikog trenja (zavisi od prirodedodirnih povrina).

FN normalna sila, kojom podloga deluje na povr-inu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapa pravugao sa povrinom.

maxsF

69

Sila kinetikog trenja (trenje klizanja) Sila kinetikog trenja deluje u pravcu tangente na dodirnu povrinu izmeu tela i

podloge po kojoj se kree i uvek je usmerena nasuprot relativnoj brzini tela uodnosu na podlogu. Pod odreenim uslovima, priblino vai sledee:

nezavisna je od veliine dodirne povrine izmeu tela i podloge; nezavisna je od brzine kretanja (klizanja), ukoliko je brzina mala; proporcionalna je veliini normalne sile FN:

Po intenzitetu je neto manja odmaksimalne sile statikog trenja.

Nkk FF =k koeficijent kinetikog trenja (zavisi od pri-

rode dodirnih povrina).

FN normalna sila*, kojom podloga deluje na po-vrinu tela sa kojim je u kontaktu i zaklapaprav ugao sa povrinom.

* Na grafiku je normalna sila FN obeleena sa N.

maxsk FF