ODJEL ZA FIZIKU - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/JER08.pdf · 2. Dinamika fluida ... Fluid je nestlačiv: gustoća idealnog fluida konstantna je u svakom dijelu fluida Nema

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Mario Jerbić

Viskoznost tekućina

Diplomski rad

Osijek, 2014.

i

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Mario Jerbić


Diplomski rad

predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike

Osijek, 2014.

ii

Ovaj diplomski rad izrađen je pod vodstvom dr. sc. Marine Poje i izv. prof. dr. sc.

Branka Vukovića u sklopu Sveučilišnog diplomskog studija fizike i informatike na Odjelu za

fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.

iii

SADRŽAJ

1. Uvod .................................................................................................................................... 1

2. Dinamika fluida .................................................................................................................. 2

2.1. Idealni fluid .................................................................................................................. 4

2.1.1. Jednadžba kontinuiteta ......................................................................................... 4

2.1.2. Bernoullijeva jednadžba ....................................................................................... 6

2.2. Viskoznost ili unutrašnje trenje ................................................................................... 8

2.2.1. Protjecanje realnog fluida kroz cijev (Poiseuillev zakon) .................................. 12

2.2.2. Stokesova sila otpora sredstva ............................................................................ 14

2.2.3. Laminarno i turbulentno strujanje - Reynoldsov broj ........................................ 15

3. Eksperimentalni dio .......................................................................................................... 18

3.1. Hopplerov viskozimetar ............................................................................................ 19

3.2. Baždarenje Hopplerovog viskozimetra-konstanta kuglice ....................................... 22

3.2.1. Određivanje gustoće kuglice .............................................................................. 25

3.2.2. Određivanje gustoće tekućina ............................................................................ 25

3.3. Određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti .................................................... 27

4. Rezultati i rasprava ........................................................................................................... 29

4.1. Glicerol ...................................................................................................................... 29

4.2. INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje ...................................................................... 34

4.3. Jestivo suncokretovo ulje ........................................................................................... 37

4.4. Ricinusovo ulje .......................................................................................................... 40

4.5. Bademovo ulje ........................................................................................................... 43

5. Zaključak........................................................................................................................... 46

6. Literatura ........................................................................................................................... 48

7. Životopis ........................................................................................................................... 49

iv

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku


Mario Jerbić

Sažetak

U prvom dijelu rada opisani su i izvedeni neki osnovni zakoni dinamike fluida.

Opisana je teorija koja je potrebna kako bi se razumio eksperiment. Drugi, eksperimentalni,

dio sastoji se od detaljnog objašnjavanja aparature (Hopplerov viskozimetar) i izvođenja

pokusa za određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti. Računski su određene vrijednosti

za koeficijent viskoznosti te uspoređene s tabličnim vrijednostima. Odstupanja su najmanja za

glicerol, dok su kod ostalih ulja odstupanja veća.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: viskoznost / Hopplerov viskozimetar / dinamika fluida

Mentor: izv. prof. dr. sc. Branko Vuković

Sumentor: dr. sc. Marina Poje

Ocjenjivači: izv. prof. dr. sc. Vanja Radolić

izv. prof. dr. sc. Branko Vuković

dr. sc. Marina Poje

mr. sc. Slavko Petrinšak

Rad prihvaćen: 09.07. 2014.

v

J. J. Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

Viscosity of liquids

Mario Jerbić

Abstract

In the first part of the paper some basic laws of fluid dynamics are described and

derived. The theoretical framework for understanding the experiment is also provided. The

second, experimental part consists of a detailed description of the apparatus (Hoppler

viscometer) and conducting the experiment for determining the coefficient of dynamic

viscosity. Values of the coefficient of viscosity are calculated and compared with table values.

While gylcerol deviates the least, other oils show larger deviations

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: viscosity/ Hoppler viscometer/ fluid dynamics

Supervisor: Branko Vuković, PhD, Associate Professor

Co-supervisor: Marina Poje, PhD.

Reviewers: Vanja Radolić, PhD, Associate Professor

Branko Vuković, PhD, Associate Professor

Marina Poje, PhD.

Slavko Petrinšak, Msc.

Thesis accepted: 9th

of July 2014.

1

1. Uvod

Odabrana tema, „Viskoznost tekućina“, dio je mehanike fluida u fizici. Mehanika

fluida jedna je od najopširnijih i najzahtjevnijih grana fizike, razvija se neprestano i tema je

proučavanja mnogih fizičara. Dijeli se na statiku i dinamiku fluida. Viskoznost je isključivo

vezana uz dinamiku fluida jer se u statici ova pojava viskoznosti ne pojavljuje. Fluidi nisu

samo tekućine, nego plinovi i plazme, ali u ovom diplomskom radu bit će riječ isključivo o

viskoznosti tekućina. Naslov zvuči jednostavno, ali iza toga krije se mnogo matematičkog

računa, te je za obrađivanje i razumijevanje ove teme potrebno znanje iz drugih područja

fizike.

Viskoznost je vrlo bitna karakteristika fluida. Svaka tekućina ima različiti koeficijent

viskoznosti, o kojemu će više riječi biti u nastavku ovog diplomskog rada. Krvožilni sustav

čovjeka odličan je primjer za pokazivanje koliko je bitno poznavati viskoznost. Hoće li čovjek

imati šum na srcu ili negdje drugdje usko je povezano s gibanjem krvi kroz žile i srce. Ovisi o

krvnom tlaku, brzini strujanja, ali i o viskoznosti krvi u tijelu. Tekućine do neke određene

brzine teku u slojevima, laminarno, ali ako prijeđu tu neku graničnu brzinu dolazi do

turbulencija i nepredvidljivih gibanja tekućine. Granična ili kritična brzina različita je za

svaku vrstu tekućine, a ovisi o koeficijentu viskoznosti i gustoći tekućine. Nove teorije

determinističkog kaosa bave se upravo ovim turbulentnim pojavama kod fluida, a spektar je

primjena širok, od meteorologije do ljudskog organizma. [17]

Sve navedeno vezano je uz dinamiku fluida, što je općenito vrlo zanimljivo, ali je

preopširno za diplomski rad pa se u radu obrađuje samo manji dio, a to je viskoznost i to ne

fluida, nego samo tekućina. Diplomski rad mogao bi biti koristan za buduće generacije jer će

na jednom mjestu imati objedinjene neke osnove dinamike fluida i malo opširnije razrađenu

pojavu same viskoznosti.

2

2. Dinamika fluida

Tekućine i plinovi razlikuju se, između ostaloga, od čvrstih tijela lakom pokretljivošću

svojih čestica. U pogledu promjene svoga volumena promjenom tlaka, tekućine se znatno

razlikuju od plinova. Promjene volumena koje se javljaju pri kretanju tekućina uvijek su tako

neznatne zbog njihove nestlačivosti da se mogu potpuno zanemariti. Međutim, kod plinova

promjena volumena može se zanemariti samo ako im brzina kretanja ne prelazi 50 m/s niti

visinsku razliku od 100 m. Samo su u tom slučaju promjene volumena plina neznatne pa za

strujanje plinova vrijede isti zakoni kao i za strujanje tekućina.

Znanost koja proučava kretanje tekućina zove se hidrodinamika, a znanost koja

proučava kretanje plinova aerodinamika. Kao što je već naglašeno u uvodu, u ovom

diplomskom radu proučavat će se samo tekućine, ne i plinovi. Neki zakoni primjenjivi su

jednako na tekućine i plinove.

Za lakše razumijevanje tekućina koje protječu kroz neku cijev ili koje protječu tako da

im se na putu nalazi neko tijelo, potrebno je definirati određene pojmove. [2]

Strujanje fluida može se predočiti pomoću strujnica (Slika 1.). Strujnice su zamišljene

prostorne krivulje (linije u fluidu) takve da brzina u bilo kojoj točki fluida leži duž tangente na

strujnicu. Gustoća strujnica razmjerna je brzini; tamo gdje su strujnice gušće, brzina je veća.

Dio fluida omeđen strujnicama naziva se strujna cijev.

Slika 1. Strujnice fluida (zamišljene linije u fluidu)

3

Fluide se može podijeliti na idealne i realne. U nastavku će biti objašnjene te dvije

vrste fluida te njihove značajke.

Važan je problem u hidrodinamici gibanje tijela kroz realni fluid (ova pojava će se kao dio

diplomskog rada proučavati eksperimentalno, uzimajući u obzir sve sile koje djeluju na tijelo

među kojima je i sila otpora u fluidu zbog viskoznosti, a može se proučavati i tako da se

promatra strujanje realnog fluida oko nepomičnog tijela). Strujanje realnog fluida može biti

jako složeno, ali u načelu razlikujemo dva načina strujanja realnog fluida – stacionarno i

nestacionarno.

Stacionarno (laminarno) strujanje (Slika 2.): vektor brzine strujanja fluida, tlak i

gustoća u nekoj točki fluida isti je u svakom trenutku. Brzina strujanja, tlak i gustoća

samo su funkcija koordinata, a ne i vremena ( )(),(),( xxppxvv ). Ne dolazi

do miješanja susjednih slojeva fluida, putanje djelića fluida nikada se ne križaju

(strujnice se ne sijeku).

Nestacionarno (turbulentno) strujanje (Slika 2.): iznad određene kritične brzine javlja

se nestacionarno ili turbulentno strujanje. Brzina, tlak i gustoća funkcije su prostora i

vremena ( ),(),,(),,( txtxpptxvv ) i nastaju vrtlozi.

Slika 2. Laminarno i turbulentno gibanje fluida

4

2.1. Idealni fluid

Idealni fluid karakteriziraju četiri glavne značajke. Sve četiri moraju biti zadovoljene

kako bi se moglo reći da se radi o idealnom fluidu:

Stacionarno strujanje: brzina i tlak funkcije su samo položaja, a ne i vremena

Fluid je nestlačiv: gustoća idealnog fluida konstantna je u svakom dijelu fluida

Nema unutarnjeg (viskoznog) trenja: fluid ne pruža otpor pri gibanju tijela niti pruža

otpor pri prolasku uz čvrste granice cijevi kroz koju struji

Tijela pri prolazu kroz fluid ne rotiraju

Idealni nam fluid omogućuje da izvedemo neke osnovne zakone u području dinamike

fluida. Ti zakoni primjenjivi su u praksi te nam njihova primjena uvelike pomaže u

svakodnevnom životu. U nastavku su izvedene jednadžba kontinuiteta i Bernoullijeva

jednadžba.

2.1.1. Jednadžba kontinuiteta

Jednadžba kontinuiteta jest jednadžba iz područja mehanike fluida, točnije dinamike

fluida, jer u statici nema nikakvu primjenu. Jednadžbu je vrlo jednostavno izvesti, a potrebno

je primijeniti zakon očuvanja mase. Za objašnjenje tog zakona potrebno je definirati tok mase

µ (1), kao masu tvari koja protječe ustaljeno kroz neki presjek cijevi u jedinici vremena.

Zakon očuvanja mase kaže da je taj tok mase µ jednak za bilo koji presjek te cijevi (1). Ovaj

zakon može se iskazati ovako:

.constt

m

(1)

Zbog lakšeg predočavanja izvoda potrebna je Slika 3.

5

Slika 3. Cijev različitih poprečnih presjeka na različitim visinama

Ovdje se promatra dva različita presjeka iste strujne cijevi. Definira se tok mase i sada

se promatra djelić fluida mase 1m za presjek cijevi S1 te djelić mase 2m za presjek cijevi S2

i to u istom vremenskom intervalu Δt. Tok mase jednak je za bilo koji dio te cijevi (2) pa se to

može zapisati na sljedeći način:

2121 mm

t

m

t

m

(2)

Na slici se vidi i l ili pomak sloja fluida, a to je sloj koji se giba brzinom v , u vremenu Δt.

tSvlSVm (3)

Ako se sada jednakost (3) uvrsti u jednadžbu (2) i uzme u obzir da se radi o idealnom fluidu

koji je i nestlačiv pa mu je gustoća u svakom dijelu jednaka 21 dobije se sljedeća

jednadžba (4):

2211222111 vSvStvStvS (4)

Ove jednadžbe (4) i (5) jednadžbe su kontinuiteta za idealan fluid. Brzina u užem dijelu cijevi

veća je, a u širem dijelu manja.

.constSv (5)

Jednadžbe (4) i (5) predstavljaju zakon o neuništivosti tvari, posljedica zakona očuvanja

mase. [17]

6

2.1.2. Bernoullijeva jednadžba

Bernoullijeva jednadžba (1738.) osnovna je jednadžba u području mehanike fluida.

Ona objedinjuje statički, hidrostatski i dinamički tlak u jednoj jednadžbi. Jednadžba je

izvedena iz prirodnih zakona: zakon očuvanja energije (6), zakon neuništivosti tvari (5)

(zakon očuvanja mase). U izvodu koji slijedi koristi se idealni fluid koji ima sve karakteristike

objašnjene ranije. Kada se rade izvodi neke jednadžbe uvijek je dobro, poželjno pa čak i

obavezno imati neku skicu, crtež ili sliku kako bi se lakše predočila situacija koju

promatramo. Slika 4. pokazuje cijev kojoj su otvori na različitim visinama i čiji su presjeci

različitih površina u svakom dijelu.

Slika 4. Cijev različitih poprečnih presjeka na različitim visinama

Primijeni li se zakon očuvanja energije za fluide koji kaže da je zbroj kinetičke

energije i potencijalne energije uzrokovane gravitacijskom silom te izvedenog rada tlačne sile

jednak u položajima gdje je presjek cijevi S1 i S2 , dobije se sljedeći izraz:

222111 WUKWUK (6)

Za ovaj slučaj koristi se sloj fluida mase Δm. Članovi su gore navedene jednadžbe redom:

K... kinetička energija

U... gravitacijsko potencijalna energija

W... rad tlačne sile

7

Sada se redom raspisuju članovi, a prva dva člana od ranije su poznata (kinetička

energija i gravitacijsko potencijalna energija). Potrebno je detaljnije opisati treći član, rad

tlačne sile. Rad je umnožak sile i puta na kojem djeluje sila. Sila je umnožak tlaka i površine

presjeka S. Put ovdje predstavlja djelić cijevi l . Ovaj član l može se raspisati kao

umnožak brzine i vremenskog intervala sloja fluida Δm. Ovako raspisano izgleda izraz za rad

tlačne sile (7):

tvSplSplFW (7)

Sada se može raspisati cijela Bernoullijeva jednadžba i doći do konačnog izraza koji se

primjenjuje u fizici. Jednadžba sada izgleda ovako (8):

tvSpmghmv

tvSpmghmv

2222

2

21111

2

1

22 (8)

Primijenjen je zakon očuvanja energije, a kako bi se došlo do poznatog oblika

jednadžbe potrebno je primijeniti i zakon očuvanja mase (neuništivosti tvari). Zakon je već

ranije primijenjen kod izvoda jednadžbe kontinuiteta (5). Masa fluida koja protječe ustaljeno

kroz neki presjek cijevi u jedinici vremena jednaka je za bilo koji presjek te cijevi (3). [2] [17]

tvStvSm 2211

Uvrštavanjem ovog izraza u jednadžbu i manjim sređivanjem dobije se izraz za

Bernoullijevu jednadžbu (9) i (10).

22

2

222

2

111

vghp

vghp

(9)

.2

2

constv

ghp

(10)

Bernoullijeva jednadžba za stacionarno strujanje idealnog fluida (9) i (10).

p ... statički tlak (prenose ga elastične sile čestica fluida)

gh ... hidrostatski tlak (nastaje zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida)

8

2

2v... dinamički tlak ( nastaje zbog gibanja čestica fluida)

U svakoj točki fluida zbroj statičkog tlaka, hidrostatskog tlaka i dinamičkog tlaka stalan je.

2.2. Viskoznost ili unutrašnje trenje

Kod tekućina u mirovanju ne javljaju se nikakve sile trenja između različitih slojeva

tekućine, odnosno tekućina u mirovanju predstavlja jedno izotropno tijelo (homogeno tijelo,

kojemu su sva fizikalna svojstva jednaka u svim smjerovima u svakom djeliću tijela).

Međutim, u svakoj tekućini koja se kreće javljaju se sile trenja između djelića koji su u

dodiru, jer pojedini njeni slojevi klize jedni po drugima. Isto tako, sila trenja javlja se između

djelića tekućine i zidova (stijenki) posude ili cijevi u kojoj se tekućina kreće. Taj otpor koji se

javlja u unutrašnjosti tekućine uslijed trenja pri kretanju njihovih čestica zove se unutrašnje

trenje ili viskoznost (lat. viscum – imela). Dakle, pri kretanju tekućina, sila koja djeluje

između djelića razdvojenih elementarnom površinom nije na nju okomita, nego ima jednu

tangencijalnu komponentu koja se protivi relativnom klizanju dvaju susjednih slojeva. Ta

viskozna sila vrši rad trenja koji prelazi u toplinsku energiju. Koliko je unutrašnje trenje veće

toliko je tekućina viskoznija. Sve su tekućine viskozne, odnosno u svakoj tekućini koja se

kreće javlja se otpor koji se protivi promjeni položaja djelića te tekućine.

Pojava viskoznosti može se primijetiti ako u cijev sa slavinom usipamo glicerin, a na

vrh dolijemo obojenog glicerina. Kada otvorimo slavinu, vidimo da sloj obojenog glicerina ne

putuje kako bismo očekivali, stalno u istoj ravnini. Može se zapaziti da je u sredini cijevi

istureniji obojeni glicerin, a povučeniji kako se približava stijenkama cijevi. Dakle, brzina

kretanja tekućine smanjuje se prema stijenci posude, a duž stijenke jednaka je nuli (Slika 6.).

9

Slika 5. Laminarno strujanje

Prema ovoj slici (Slika 5.) može se zaključiti da se tekućina koja protječe u uskoj

cijevi može zamisliti kao da je podijeljena u tanke slojeve paralelne sa stijenkom cijevi. Prvi

je takav sloj gotovo „prilijepljen“ uz stijenku, drugi sloj klizi po prvom sloju nekom malom

brzinom, a treći po drugom većom brzinom itd. [2]

Newton je zaključio (1687. godine) o čemu ovisi ta sila unutrašnjeg trenja.

Matematički se taj zakon može ovako izvesti. Između dvije ploče nalazi se tekućina (Slika 6).

Gornja je ploča pomična i na nju se djeluje silom F u smjeru kako je prikazano na Slici 6.

Slika 6. Gibanje slojeva fluida zbog pomicanja gornje ploče

Prvi se sloj povlači za pločom, a taj prvi sloj povlači za sobom drugi sloj tekućine, pa taj drugi

povlači treći itd. Najveću brzinu ima prvi sloj, najbliži pokretnoj ploči, a ostali imaju sve

manju brzinu. Primjer je sličan kao i kod obojenog glicerina, samo što ovdje ne teče tekućina,

nego mi pokrećemo ploču koja zbog viskoznosti pokreće slojeve tekućine.

10

Newton je to radio eksperimentalno te je izveo izraz za tangencijalnu silu koja se

javlja kada se vuče gornja ploča sa Slike 6. Uzme se da je S površina dvaju susjednih slojeva

tekućina koje se kreću. Brzina djelića u prvom sloju je v , a u drugom dvv , gdje je dv

diferencijalni prirast brzine. Između ta dva sloja koja su u dodiru djeluje sila koja teži da im

izjednači brzine, tj. da brže dijelove uspori, a sporije ubrza. Upravo je to ta tangencijalna sila

P koja je prema Newtonu proporcionalna dodirnoj površini S i gradijentu brzine između dva

promatrana sloja dz

dv. Konstanta proporcionalnosti različita je za različite tekućine, a naziva

se dinamički koeficijent viskoznosti. Sada kad je objašnjeno kako je Newton razmišljao i do

kojih je zaključaka došao, može se i napisati izraz za tangencijalnu silu P (11).

dz

dvSP (11)

Mjerna jedinica za dinamički koeficijent viskoznosti (12):

sPamsm

mN

dvS

dzP

12 (12)

Koeficijent viskoznosti sila je trenja koja postoji između dva sloja tekućine površine

21m , kad je gradijent brzine između njih jednak 11 s .

Lakše pokretljiva tekućina ima manji koeficijent viskoznosti, . Recipročna vrijednost,

odnosno

1 naziva se fluidnost, a to je mjerilo lakoće kojom tekućina može teći.

Pored dinamičkog koeficijenta viskoznosti i njegove recipročne vrijednosti, fluidnosti,

postoje i drugi koeficijenti viskoznosti. Postoji kinematička viskoznost koja se češće koristi u

praksi, a zapravo je količnik dinamičke viskoznosti i gustoće te iste tekućine, a označava se

.

Dinamička viskoznost koristi se kod čistih, homogenih sustava, tzv. Newtonove

tekućine koje se ponašaju prema jednadžbi (11). Ostale tekućine, heterogeni disperzni sustavi,

11

ne ponašaju se u skladu s ovom jednadžbom (11) i nazivaju se Nenewtonovskim tekućinama.

Ako se radi o takvim sustavima, potrebno je definirati i uvesti nove koeficijente viskoznosti:

Relativna viskoznost r predstavlja količnik viskoznosti otapala i otopljene

tvari 0 : 0

r (13)

Specifična viskoznost sp prikazuje prirast viskoznosti otapala iznad jedinice,

prouzročen prisustvom otopljene tvari: 10

0

rsp

(14)

Redukcijska viskoznost predstavlja količnik specifične viskoznosti i koncentracije

otopljene tvari: c

sp

red

(15)

Unutrašnja viskoznost ili granični broj viskoznosti definiran je tako kad koncentracija

iz jednadžbe (15) teži u nulu i to na sljedeći način preko limesa: c

sp

c

lim

0

(16)

Unutrašnja viskoznost može se odrediti grafički tako da na graf nanesemo red i c kao što je

prikazano na Slici 7.

Slika 7. Grafičko određivanje unutrašnje viskoznosti

U eksperimentalnom dijelu ovog diplomskog rada istraživat će se kako koeficijent

viskoznosti ovisi o temperaturi tekućine. Teorija kaže da se koeficijent viskoznosti smanjuje

kod povećanja temperature.

12

2.2.1. Protjecanje realnog fluida kroz cijev (Poiseuillev zakon)

U uvodu je spomenuto kako dinamika fluida ima široku primjenu, od meteorologije do

ljudskog organizma. Protjecanje realnog fluida kroz cijev, odnosno Poiseuillev zakon, može

se primijeniti na ljudski krvožilni sustav. Nakon što se izvede Poiseuillev zakon vidjet će se

kako na protjecanje krvi kroz krvne žile utječe viskoznost i suženje krvne žile na nekom

mjestu te će se to povezati s krvnim tlakom.

Promatramo fluid koji jednoliko teče kroz cijev i to laminarno (stacionarno strujanje),

bez vrtloga i turbulencija. Cijev je polumjera R i strujanje se odvija s lijeva na desno kao što

je prikazano na Slici 8. Kao što je vidljivo, vektori brzine nisu isti u svakom dijelu cijevi,

odnosno brzina strujanja fluida nije jednaka u svakom sloju fluida, to znači da se radi o

realnom fluidu gdje se javlja unutrašnji otpor, odnosno viskoznost. Brzina fluida najveća je u

sredini cijevi, a prema rubovima se smanjuje.

Slika 8. Protjecanje realnog fluida kroz cijev

Tlak 1p veći je od tlaka 2p pa se zato i javlja sila zbog koje fluid struji kroz cijev.

Razlika je tlakova 21 ppp . Kao što je napisano ranije, fluid se giba jednoliko pa je onda

rezultanta sila jednaka nuli. Dakle, sila koja se javlja zbog razlike tlakova mora biti

uravnotežena nekom drugom silom koja je istog iznosa, ali suprotnog smjera, a to je sila

trenja u fluidu, odnosno viskoznost i ta sila je oblika kao jednadžba (11) ranije spomenuta kod

viskoznosti.

Sila koja se javlja zbog razlike tlakova izgleda ovako (17):

pzpSFp 2 (17)

S predstavlja površinu presjeka dijela fluida u cijevi ( Rz ;0 ).

13

Sila unutrašnjeg trenja ili viskoznosti izgleda ovako (18):

dz

dvzl

dz

dvSFt 2 (18)

Član zl2 predstavlja površinu između slojeva djelića fluida, a negativan je predznak

u jednadžbi (18) zbog negativnog gradijenta brzine jer z raste od središta prema rubu, a

brzina v najveća je u središtu cijevi, a prema rubu se smanjuje.

Sada se jednostavno mogu izjednačiti jednadžbe (17) i (18):

dz

dvzlpz 22 z

l

p

dz

dv

2

zdz

l

pdv

2

(19)

Nakon ove separacije varijabli, može se integrirati ovu jednadžbu (19) te dobiti izraz

za brzinu strujanja realnog fluida u cijevi:

0

2v

R

z

zdzl

pdv

)(

4

22 zRl

pv

(20)

Kako bi se došlo do Poiseuillevog zakona za protjecanje realnog fluida, potrebno je

definirati volumni protok fluida i to kao,

t

VQ (21)

odnosno volumen fluida koji proteče kroz cijev u jedinici vremena. Diferencijal volumena je:

dSvtdV , a površina presjeka 2zS i kada se ovaj izraz diferencira, dobije se da je

dzzdS 2 . Dakle, dobije se sljedeći izraz dzzvtdV 2 .

S

dSvtV (22)

U jednadžbu (22) se umjesto brzine uvrsti izraz za brzinu koji je izveden u jednadžbi (20) te

se izraz integrira:

R R R

dzzdzzRtl

pdztzzR

l

pV

0 0 0

3222 24

24

14

Nakon integriranja dobije se izraz za volumen fluida i taj izraz uvrsti se u jednadžbu (21)

kako bi se dobio izraz za volumni protok fluida. [17]

4

8R

l

pQ

(23)

Poiseuillev zakon za protok realnog fluida kroz cijev (23)

Spomenuto je ranije da je ovaj zakon, između ostaloga, primjenjiv i kod ljudskog

organizma, točnije u krvožilnom sustavu. Prema tom zakonu kako bi se zadržao jednak protok

krvi kroz neku žilu, a ako je ona sužena, srce mora ubrzano raditi kako bi povećalo tlak jer

vidimo da protok ovisi čak o četvrtoj potenciji radijusa krvne žile. Povećanje krvnog tlaka kod

ljudi pokazatelj je da postoji suženje krvnih žila, zbog naslaga kolesterola ili zbog nekih

drugih razloga. Vidimo da i u jednadžbi za protok (23) postoji član , dinamički koeficijent

viskoznosti.

2.2.2. Stokesova sila otpora sredstva

Sila otpora na tijelo koje se giba u fluidu ovisi o brzini tijela koje se giba, odnosno o

brzini fluida koje se giba oko nepomičnog tijela. U slučaju koji slijedi promatra se kugla koja

miruje, a fluid se giba oko nje. Fluid se giba malom brzinom v , tako da je strujanje laminarno

(o ovome će više biti napisano u poglavlju 3.3. koje slijedi). Iskustvo pokazuje da na

udaljenosti r3

2 od kugle fluid struji kao da kugle i nema. Kako sloj uz površinu kugle miruje,

sila je otpora zbog viskoznosti prema jednadžbi (11):

rv

r

vr

dz

dvSF 6

3

2

04 2

(24)

r

v

dz

dv

3

2

0 gradijent brzine u blizini kugle (25)

15

Dobiven je sljedeći izraz za silu:

rvF 6 (26)

Stokesova sila trenja (1845.) (26)

Stokesov zakon dobro opisuje silu otpora na tijelo koje se giba u fluidu za male brzine,

dok je strujanje laminarno, odnosno kad je glavni doprinos sili otpora viskoznost fluida, a ne

vrtlozi koji bi nastajali pri većim brzinama fluida. Za veće brzine strujanja gibanje je fluida

turbulentno, sudari tijela s česticama fluida glavni su doprinosi sili otpora na gibanje tijela

kroz fluid ili gibanju fluida oko nepomičnog tijela.

U eksperimentalnom dijelu diplomskog rada mjereno je vrijeme padanja kuglice kroz

različite tekućine, a brzine su bile male, tako da je za računanje sile otpora i koeficijenta

viskoznosti tekućine korištena upravo jednadžba (26), Stokesov zakon.

Slika 9. Protjecanje fluida oko nepomične kugle.

2.2.3. Laminarno i turbulentno strujanje - Reynoldsov broj

Promatranjem protjecanja realne tekućine zapaža se da postoje dva različita stanja

strujanja. Za jedno bi se moglo reći da ostavlja dojam neke pravilnosti: strujnice su paralelne,

ne miješaju se i slobodna je površina, ako postoji, ravna. Takvo kretanje fluida naziva se

laminarno strujanje (strujanje u slojevima).

Drugo strujanje izgleda kao da je uzburkano: pojedine se strujnice miješaju. Na

slobodnoj površini stvaraju se ispupčenja i udubljenja koja nisu postojana. Takva vrsta

strujanja naziva se turbulentno strujanje.

16

Obje vrste strujanja mogu se vidjeti u cijevima i kanalima pri čemu laminarnom

strujanju odgovaraju obično male brzine, a turbulentnom velike. Pri postepenom povećanju

brzine laminarno strujanje prelazi u turbulentno. Obrnuta pojava pojavljuje se smanjenjem

brzine.

Teorija o strujanju realnog fluida dobro se slaže s praksom kada se radi o laminarnom

strujanju i može se reći da je teorija potvrđena, ali to se ne može reći i za turbulentno

strujanje. Do sada se nije stvorila zadovoljavajuća teorija o turbulentnom strujanju i za

rješavanje tehničkih zadataka moraju se upotrijebiti približni obrasci i eksperimentom

određeni koeficijenti. Ne može se reći da je da je postupak turbulencije dovoljno razjašnjen

niti da se razumije mehanizam takvog strujanja.

Razliku između laminarnog i turbulentnog strujanja opazili su još Saint-Venant,

Poncelet, Poiseuille i Hagen, ali su samo Reynoldsovi eksperimenti i zaključci omogućili da

se stvori prava slika o turbulenciji te da se ozbiljnije pozabavi ovom pojavom. Eksperiment

koji je Reynolds radio vrlo je jednostavan. Imao je cijev određenog presjeka kroz koju je

strujala voda, a kroz kapilaru je u tu cijev puštao obojenu tekućinu kako bi mogao promatrati

kako se ponaša u vodi. Temperaturu je držao stalnom, a mijenjao je dimenzije cijevi te brzinu

protjecanja vode. Promatrajući promjenjive brzine strujanja iste tekućine u istoj cijevi, opazio

je da se pri malim brzinama obojena strujnica jasno vidi i da se ne miješa s ostalima.

Međutim, pri većim brzinama strujanja sva tekućina se oboji, odnosno strujnice se izmiješaju.

Slika 10. Reynoldsov eksperiment.

Postepenim povećanjem brzine pri laminarnom strujanju, Reynolds je utvrdio da

prelaženje u turbulentno strujanje nastaje uvijek pri određenoj brzini koja vrlo malo odstupa

17

od slučaja do slučaja. On je tu brzinu nazvao kritičnom. Ako je strujanje turbulentno pa se

smanjuje brzina, onda pri kritičnoj brzini nastaje obrnuta pojava: turbulentno prelazi u

laminarno. Kritična brzina nije ista za sve cijevi ni za sve tekućine, a ovisi o poprečnom

presjeku cijevi te o viskoznosti tekućine. Pri pažljivom provođenju eksperimenta kritična

brzina može biti znatno veća od one koju je Reynolds opazio. Zato se kao kritična brzina

obično smatra najmanja brzina pri kojoj strujanje prelazi iz jednog stanja u drugo. Ako se

pažljivim rukovanjem postigne da laminarno strujanje ostane kao takvo i pri većim brzinama

od kritične vrijednosti, onda se i pri najmanjem poremećaju laminarno strujanje naglo

preobražava u turbulentno. Pojava je slična kao kod labilne ravnoteže. Prijelaz iz turbulentnog

u laminarno strujanje pravilnije je. Ispod određene brzine kretanje je uvijek laminarno i ni na

koji način ne može se postići da se pri toj brzini pojavi turbulencija. Dakle, nikakav

poremećaj ne može izvesti tekućinu iz laminarnog stanja strujanja ako je brzina dovoljno

mala. [2] [16]

Danas postoje snimke koje pokazuju točno kako turbulentno strujanje nastaje i da se

sastoji od mnogo sitnih vrtloga koji neprestano nastaju i lagano nestaju te daju utisak

kaotičnog kretanja. To gibanje nikako nije jednoliko, ali se vidi da se brzine vrte oko neke

stalne vrijednosti koja ne ovisi o vremenu. Međutim, još nisu utvrđeni zakoni takvog strujanja

koje je vrlo složeno. Ne zna se pravi uzrok prelaženja laminarnog strujanja u turbulentno.

Kako bi se dobila vrijednost Reynoldsova broja, moramo znati da vrijedi zakon

očuvanja energije kod protjecanja fluida kroz cijev pa tako imamo dio energije u obliku

kinetičke energije koja ovisi o poprečnom presjeku cijevi, odnosno promjeru d , gustoći

tekućine , te o brzini tekućine v , te imamo dio energije koji prelazi u rad trenja, za koji je

zaslužna viskoznost tekućine, a ovisi o dinamičkom koeficijentu viskoznosti . Kada se te

dvije energije stave u omjer dobije se sljedeći izraz za Reynoldsov broj (27):

dvRe (27)

Reynoldsov broj nema dimenziju, on je samo brojčana vrijednost, što se može vrlo

jednostavno pokazati:

18

13

222

kg

sm

sm

kgm

sm

kgs

m

m

kgm

sPa

s

m

m

kgm

Re

Prema Reynoldsovim eksperimentima kritična vrijednost, kada strujanje prelazi iz

laminarnog u turbulentno i obrnuto, ista je za sve tekućine i iznosi 2000, a novija točnija

vrijednost iznosi 2320. Ako se izvodi eksperiment za bilo koju tekućinu kojoj znamo gustoću

i brzinu strujanja te nam je poznat promjer presjeka cijevi, možemo predvidjeti hoće li

strujanje biti laminarno ili turbulentno.

U pravilu, ako je Reynoldsov broj manji od 2000, strujanje će biti laminarno, a ako je

veći, moguće je da je turbulentno jer ta granica nije strogo određena i ovisi koliko se pažljivo

izvodi eksperiment. Postoji određeno kritično područje u sljedećem intervalu gdje je moguće i

laminarno i turbulentno strujanje: 2000< eR <4000. Također je vidljivo iz jednadžbe (27) da

viskoznije tekućine daju manji Reynoldsov broj, odnosno „žele“ duže ostati u laminarnom

strujanju. [2]

3. Eksperimentalni dio

Do sada se u diplomskom radu opisivalo općenito strujanje fluida te je težište bilo na

sustavima gdje viskoznost igra bitnu ulogu. Statika fluida nije opisivana jer se u takvim

sustavima ne pojavljuje viskoznost. Sve što je spomenuto teorijski je dio fizike na području

dinamike fluida. Međutim, diplomski rad sastoji se i od eksperimentalnog dijela kojemu je

težište bilo za više različitih fluida odrediti dinamički koeficijent viskoznosti, η. Mjerenja su

vršena na Odjelu za fiziku u Osijeku, a koeficijent viskoznosti mjeren je pomoću

Hopplerovog viskozimetra. Više o Hopplerovom viskozimetru bit će riječi dalje u tekstu

(poglavlje 3.1.). Mjereno je vrijeme padanja staklene kuglice koja je bila uronjena u neku od

tekućina. Rađena su mjerenja za pet različitih tekućina, svaka tekućina na tri različite

temperature tekućina i to deset mjerenja za svaku temperaturu, odnosno sveukupno 150

mjerenja. Također, određivana je konstanta viskozimetra eksperimentalno te gustoća svake od

tekućina kao i gustoća kuglice. Za određivanje gustoća tekućina potrebna je masa i volumen

19

tih tekućina, a korištena je analitička vaga s točnošću do tisućinke grama za masu, te menzure

za volumen.

Slika 11. Analitička vaga i pomična mjerka.

Masa kuglice mjerena je analitičkom vagom, a promjer je mjeren pomičnom mjerkom

pa se iz tih podataka mogla izračunati gustoća kuglice. Više o ovim mjerenjima bit će riječi

kasnije u tekstu (poglavlje 3.2.).

3.1. Hopplerov viskozimetar

Ovaj viskozimetar (Slika 12.) sastoji se od staklene cilindrične posude u koju se stavlja

tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti i staklena kuglica. Oko te posude jedna je veća

posuda koncentrično postavljena i u njoj se nalazi voda. Dvije tekućine ne mogu se miješati, a

voda je oko prve cijevi i služi kao medij da bi se lakše zagrijala tekućina za koju se određuje

koeficijent viskoznosti. U spremniku gdje je voda također se nalazi termometar, kako bi se

mogla odrediti temperatura na kojoj se mjeri jer, kako je ranije objašnjeno, koeficijent

viskoznosti ovisi o temperaturi. U tom spremniku nalazi se i električni grijač koji se uključuje

u gradsku mrežu (220 V, 50 Hz) te služi za zagrijavanje vode koja tada prenosi toplinu i na

tekućinu unutar druge posude te joj povećava temperaturu. [18]

20

Slika 12. Hopplerov viskozimetar.

Hopplerovim viskozimetrom mjeri se vrijeme padanja staklene kuglice u tekućini

kojoj se želi odrediti koeficijent viskoznosti. Mjeri se vrijeme padanja između dva prstena

otisnuta na unutrašnjoj cijevi viskozimetra (Slika 13.).

Slika 13. Padanje kuglice između dva otisnuta prstena.

Viskozimetar za vrijeme mjerenja ne stoji vodoravno s podlogom, nego se mora

namjestiti tako da bude u skladu s libelom (Slika 14.) koju viskozimetar ima na vrhu. Ovo je

potrebno napraviti za Newtonovske tekućine koje se i proučavaju u diplomskom radu. Kut

nagiba mora biti 10o

u skladu s normom DIN53015 [1]. Viskozimetar se mora iznivelirati,

baš kao i analitička vaga. Niveliranje se vrši pomoću tri vijka koji su ujedno i noge

21

viskozimetra i postupak je vrlo jednostavan. Ovo je potrebno napraviti kako bi kuglica bila

dovoljno udaljena od stijenki posude kroz koju prolazi, a proizvođač se pobrinuo da nagib

bude baš takav da kuglica baš između ova dva prstena bude na dozvoljenoj udaljenosti od

stijenki.

Slika 14. Libela na viskozimetru.

Viskozimetar ima cjevčice na dnu pomoću kojih se može ispuštati voda kako bi se

ponekad promijenila, a bitno je da se ulijeva destilirana voda kako se ne bi razvile alge i

zamutile vodu koja mora biti bistra kako bi se moglo uspješno promatrati kuglicu dok pada.

Na vrhu je glavni zatvarač (Slika 15.) za tekućinu kojoj se mjeri koeficijent viskoznosti i ona

se može mijenjati tako da se jednostavno skine zatvarač i izlije tekućina te nakon toga ulije

druga. Kuglica se također vadi kroz isti otvor.

Hopplerov viskozimetar koristi se vrlo jednostavno. Viskozimetar se okrene naopako i

čeka se da kuglica dođe na vrh viskozimetra, tada ga se okrene i postavi u položaj za mjerenje

(iznivelirani položaj) i promatra se kuglica dok pada. Bitno je, pomoću zaporne ure mjeriti

vrijeme potrebno da kuglica prođe od jednog prstena do drugog, te očitati temperaturu na

termometru (Slika 13. i 14.) na kojoj se mjeri. Podaci se upisuju u tablicu.

U viskozimetar je ugrađen i grijač koji omogućuje mjerenje vremena padanja na

različitim temperaturama. Grijač se jednostavno priključi na gradsku mrežu i vrlo brzo zagrije

vodu do željene temperature. Ovdje je problem što se ne može točno namjestiti određena

temperatura, nego je potrebno subjektivno odrediti vrijeme grijanja i tada pričekati neko

vrijeme da toplina preko vode prijeđe i na unutarnju tekućinu koju istražujemo. Viskozimetar

je potrebno malo promućkati kako bi se temperature izjednačile u svakom dijelu jer je grijač

postavljen na jednu stranu viskozimetra (ondje gdje se vidi kabel, Slika 13.).

22

3.2. Baždarenje Hopplerovog viskozimetra-konstanta kuglice

Za određivanje konstante kuglice potrebno je krenuti od činjenice da se kuglica giba

kroz tekućinu i to na početku ubrzano, a zatim konstantnom brzinom 0v i to u području u

kojem se mjeri vrijeme padanja. Kada se kuglica giba jednoliko znači da je rezultanta sila na

kuglicu jednaka nuli. Na kuglicu djeluje sila teža prema dolje ( gF ), sila uzgona prema gore

( uzF ) te Stokesova sila zbog viskoznosti tekućine također prema gore ( StokesF ), jer ona djeluje

suprotno od smjera brzine ( 0v ) gibanja tijela. U ovom slučaju tijelo je kuglica polumjera kr ,

mase km , volumena kV i gustoće k . Masa kuglice eksperimentalno je određena pomoću

analitičke vage, a polumjer pomoću pomične mjerke, te se iz tih podataka računao volumen i

kasnije gustoća kuglice. Tekućina kojoj želimo odrediti koeficijent viskoznosti, i u koju je

uronjena kuglica, ima gustoću t .

U pokusu se mjeri vrijeme padanja kuglice u razmaku između dva prstena otisnuta na

viskozimetru. Razmak između dva prstena ( H ) put je koji kuglica pređe u vremenu t , koje

se mjeri zapornom urom. Kako je već spomenuto, kuglica se giba jednoliko pa se brzina

padanja kuglice može definirati na sljedeći način: t

Hv 0 .

Sada kada su definirane veličine koje se koriste u pokusu, može se pristupiti izvodu za

računanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti i određivanje konstante kuglice. Jednadžba

gibanja kuglice glasi:

Stokesuzg FFF (29)

Raspisivanjem svake od sila i kraćim sređivanjem doći će se do jednadžbe kojom se računa

dinamički koeficijent viskoznosti. Slijedi postupak:

06 vrgVgm kktk

t

HrgVgV kktkk 6

23

tgr

H

gr

t

Hr

kk

k

tk 23 2

9

3

4

6

tH

grtk

k

9

2 2

(Izvod za eksperimentalno dobivanje koeficijenta viskoznosti, η) (30)

U eksperimentu se mjeri vrijeme t , padanja kuglice na putu H koji je stalan za sve

pokuse jer je otisnut na viskozimetru i ne može se mijenjati. Za sva mjerenja korištena je ista

kuglica, a tekućine su se mijenjale, dakle .constk (postupak dobivanja gustoće kuglice u

poglavlju 3.2.1.)

Konstanta je kuglice u jednadžbi (30) član u prvoj zagradi, dakle: H

grk k

9

2 2

.

Sada jednadžba za računanje viskoznosti izgleda ovako:

tk tk (31)

Jednadžba (31) se koristi za određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti, ali za

baždarenje viskozimetra potrebno je odrediti k iz ove jednadžbe kako bi bila određena

konstanta kuglice, čija se vrijednost kasnije koristi za određivanje koeficijenta viskoznosti za

različite tekućine. Baždarenje se izvodi na sljedeći način: nađe se tablična vrijednost

dinamičke viskoznosti za neku tekućinu (u ovom slučaju glicerol) i mjeri se deset vremena

padanja kuglice u glicerolu. Temperatura je glicerola Co20 , kao što je u tablici. Tablična

vrijednost za dinamički koeficijent viskoznosti glicerola na Co20 iznosi sPaGlicerol 41,1 .

Za baždarenje viskozimetra potrebno je jednadžbu (31) napisati u drugačijem obliku:

tk

tk

(32)

24

Dinamička viskoznost glicerola na Co20 poznata je ( sPaGlicerol 41,1 ), razlika u

zagradi razlika je gustoća kuglice i glicerola (ove gustoće određene su u poglavljima 3.2.1. i

3.2.2.), t su vremena padanja kuglice za 10 mjerenja, a k je konstanta kuglice za svako

vrijeme (računa se jednadžbom 32), (Tablica 1.). Uzima se srednja vrijednost za k te je

izračunata i standardna devijacija za ta mjerenja. (standardna devijacija:

9

10

1

2

i

i kk

)

Tablica 1. Vremena padanja kuglice u glicerolu pri Co20

mjerenje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

st 95 89 90 92 86 85 84 84 80 80

522 10/ smk 1,22 1,29 1,28 1,25 1,34 1,36 1,37 1,37 1,44 1,44

tmkgmkg

sPa

tk

tk

33 /1218/63,2437

41,1

225

10

1 /1033,110

sm

k

k i

i

225

1010 /10)07,033,1()( smkk

25

3.2.1. Određivanje gustoće kuglice

Gustoća kuglice određena je eksperimentalno, kao što je već spomenuto. Masa je

izmjerena pomoću analitičke vage, a promjer pomoću pomične mjerke (Slika 12.).

Masa kuglice: kggmk

310576,3576,3

Polumjer kuglice: mmmmd

r k

k 05,72

1,14

2

Volumen kuglice: 3633 10467,105,73

4

3

4mmmrV kk

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k

3.2.2. Određivanje gustoće tekućina

U ovom poglavlju bit će prikazano određivanje gustoća pet tekućina koje su bile

podvrgnute mjerenju u svrhu određivanja njihove viskoznosti. Masa tekućine određena je

analitičkom vagom tako što se od ukupne mase menzure i tekućine oduzimala masa menzure.

U menzuru je u svakom mjerenju bilo usipano točno 310cm . Slijede tekućine:

Glicerol je prva tekućina mjerena u eksperimentu. To je vrlo viskozna tekućina,

prozirna tekućina gušća od vode. Koristi se za proizvodnju eksploziva (glicerol-

trinitrat ili nitroglicerin), te u kozmetičkoj i farmaceutskoj industriji za proizvodnju

krema i sapuna. Također se koristi kao lubrikant, laksativ i antifriz. Umjesto naziva

glicerol, upotrebljava se još i naziv glicerin.

Izmjerena masa glicerola: kggm 210218,1180,12

Volumen glicerola: 353 1010 mcmV

Gustoća glicerola: 3

35

2

/121810

10218,1mkg

m

kg

V

mGlicerol

26

INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje druga je tekućina mjerena u Hopplerovom

viskozimetru. To je kvalitetno mineralno motorno ulje namijenjeno podmazivanju

četverotaktnih benzinskih i dizelskih motora.

Izmjerena masa motornog ulja: kggm 310764,8764,8

Volumen motornog ulja: 353 1010 mcmV

Gustoća motornog ulja: 3

35

3

4015 /4,87610

10764,8mkg

m

kg

V

mWSAE

Jestivo suncokretovo ulje jest ulje koje se dobiva od suncokreta kao glavne sirovine i

to mehaničkim prešanjem bez organskih otapala. Koristi se kao dodatak jelima, a

može se i pržiti na njemu.

Izmjerena masa jestivog ulja: kggm 310217,9217,9

Volumen jestivog ulja: 353 1010 mcmV

Gustoća jestivog ulja: 3

35

3

/7,92110

10217,9mkg

m

kg

V

mSuncokret

Ricinusovo ulje dobiva se od biljke ricinus. Ima široku primjenu, od njege kose do

poboljšanja probave. Djeluje kao laksativ ako se konzumira, dakle djelotvoran je

protiv zatvora. Može se stavljati kao oblog za poboljšanje cirkulacije ili kod različitih

upalnih pojava.

Izmjerena masa ricinusovog ulja: kggm 310325,9325,9

Volumen ricinusovog ulja: 353 1010 mcmV

Gustoća ricinusovog ulja: 3

35

3

/5,93210

10325,9mkg

m

kg

V

mRicinus

Bademovo ulje jest ulje svijetložute boje i blagog mirisa. Koristi se kao ulje za

masažu te je dobro za osjetljivu i suhu kožu. Ima veliku primjenu u kozmetici jer je

pogodno za sve tipove kože i lako se upija.

Izmjerena masa bademovog ulja: kggm 310318,8318,8

27

Volumen bademovog ulja: 353 1010 mcmV

Gustoća bademovog ulja: 3

35

3

/8,83110

10318,8mkg

m

kg

V

mBadem

3.3. Određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti

Dinamički koeficijent viskoznosti određivan je za pet različitih tekućina (poglavlje 4.)

Hopplerovim viskozimetrom. Za svaku tekućinu vršeno je deset mjerenja vremena padanja i

to na tri različite temperature. Na ovaj način moći će se vidjeti kako koeficijent viskoznosti

opada s porastom temperature. Sve potrebne veličine za računanje koeficijenta viskoznosti

izračunate su u prethodnim poglavljima (3.2.-3.2.1-3.2.2.), osim vremena padanja koja će biti

uvrštena u tablice. Dinamički koeficijent viskoznosti računa se pomoću jednadžbe (31).

U prethodnim poglavljima spomenuto je da viskoznost ovisi o temperaturi, a pomoću

podataka iz tablice moguće je prikazati i na koji način ovisi. Najjednostavnije je to napraviti

pomoću grafa. U teoriji, dinamički koeficijent viskoznosti ovisi o temperaturi ovako:

T

B

eA (33)

A i B su konstante i ovise o tome koja se tekućina promatra, a T je temperatura na

kojoj se mjeri viskoznost. Ove konstante mogu se dobiti računski iz podataka dobivenih pri

mjerenju. Mogu se dobiti tako da se rješava sustav dviju jednadžbi (33) s dvije nepoznanice

na različitim temperaturama na kojima se mjerila viskoznost. Za ta dva mjerenja odredi se

koeficijent viskoznosti η, tako da su nepoznanice konstante A i B. Konstante se provjeravaju

tako da se vrijednosti uvrste i u treću jednadžbu (33) gdje je mjerenje vršeno na različitoj

temperaturi od dviju prethodnih.

Ovdje su te konstante dobivene pomoću Microsoft Office Excela 2007. Pomoću

izmjerenih podataka napravljena je regresijska krivulja kojoj je automatski dodijeljena

jednadžba. Iz te jednadžbe iščitane su vrijednosti A i B. Rezultati su u skladu s teorijom što se

može vidjeti i na grafovima (1, 2, 3, 4, 5).

28

Na grafu je na ordinati prikazan dinamički koeficijent viskoznosti ( sPa ), a na

apscisi temperatura ( CT 0 ).

Pomoću krivulje na grafu moguće je odrediti viskoznost na bilo kojoj temperaturi za

promatranu tekućinu. Također je upisana i jednadžba koja opisuje svaku krivulju pa je

moguće koeficijent viskoznosti odrediti i računski, tako da se željena temperatura uvrsti u

jednadžbu te se dobije dinamički koeficijent viskoznosti.

29

4. Rezultati i rasprava

4.1. Glicerol

Gustoća glicerola: 3

35

2

/121810

10218,1mkg

m

kg

V

mGlicerol

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k

Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk

Tablica 2. Dinamički koeficijent viskoznosti glicerola

Mje

renje

CT o2,231 CT o372 CT o413

st sPa st sPa st sPa

1 55,56 0,901 21,27 0,345 16,52 0,268

2 54,94 0,891 20,34 0,329 16,24 0,263

3 55,24 0,896 20,27 0,329 16,31 0,264

4 55,61 0,902 20,01 0,325 16,03 0,260

5 54,85 0,889 20,09 0,326 16,14 0,262

6 53,87 0,874 19,69 0,319 16,40 0,266

7 55,24 0,896 19,90 0,323 16,01 0,260

8 53,71 0,871 20,13 0,326 16,09 0,261

9 54,30 0,881 19,72 0,319 16,20 0,263

10 52,02 0,844 20,14 0,327 16,74 0,271

- - 1T =0,885 -

2T =0,330 - 3T =0,264

U tablicama su određene tri srednje vrijednosti dinamičkog koeficijenta viskoznosti za

tri različite temperature. Za glicerol će biti moguće napraviti i relativnu pogrešku, odnosno,

30

moći će se usporediti poznate vrijednosti s dobivenim vrijednostima. To je moguće jer postoji

web stranica [3] na kojoj se mogu upisati bilo koje vrijednosti temperatura i automatski se

dobije iznos za dinamički koeficijent viskoznosti. Relativna pogreška u tablici 3. računa se na

sljedeći način: %100

Tablicno

TTablicno

mr

Tablica 3. Relativna pogreška

- 1T [Pa s]

2T [Pa s] 3T [Pa s]

Tablična vrijednost [3] 1,078 0,350 0,263

Eksperimentalna vrijednost 0,885 0,330 0,264

Relativna pogreška [%] 17,90 5,71 0,38

Najveća je relativna pogreška na najnižoj temperaturi, a kako se temperatura povećava

pogreška je sve manja.

Za dinamičke koeficijente viskoznosti moguće je izračunati standardnu devijaciju

(

9

10

1

2

i

Ti

) i to za svaku temperaturu kako bi se vidjela odstupanja u mjerenju, te

konačni zapis rezultata dobivenih u eksperimentu i to u obliku: sPa 10)( (Tablica

4.).

31

Tablica 4. Standardna devijacija i rezultat mjerenja

- CT o2,231 CT o371 CT o411

Standardna devijacija,

[Pa s] 0,018 0,007 0,004

Rezultat

mjerenja, [Pa s] 10)018,0885,0( 10)007,0330,0( 10)004,0264,0(

Jednadžba krivulje koja najbolje opisuje dobivene eksperimentalne podatke u skladu je

s teorijom, odnosno ima očekivani oblik. (Jednadžba 33, T

B

eA )

Računski su određene konstante A i B: A=0,061 Pa s B=62,217 oC

Te

217,62

061,0 (34)

Pomoću jednadžbe (34) moguće je odrediti dinamički koeficijent viskoznosti za

glicerol na željenoj temperaturi.

32

Graf 1. Ovisnost η-T za glicerol

Dodatni račun potrebno je napraviti za glicerol zbog usporedbe relativne pogreške za

glicerol sa relativnim pogreškama ulja koja slijede. Relativna pogreška za glicerol izračunata

je tako da su uspoređivane točne vrijednosti za temperature na kojima je izvođen eksperiment

sa tabličnim vrijednostima na istim temperaturama. Kod ostalih ulja usporedba se radila

drugačije zbog nemogućnosti pronalaženja tabličnih vrijednosti koeficijenta viskoznosti na

temperaturama na kojima je mjeren koeficijent. Kod ostalih ulja pronađena je vrijednost

koeficijenta viskoznosti na nekoj određenoj temperaturi. Ta vrijednost uspoređivana je sa

vrijednošću koja se dobije pomoću jednadžbe krivulje (33). Svako ulje ima svoju jednadžbu

(34, 35, 36, 37, 38) te se u svaku jednadžbu uvrsti pronađena tablična temperatura i dobije

koeficijent viskoznosti. Na taj način je izračunata relativna pogreška za sva ostala ulja osim

glicerola pa je potrebno to napraviti i za glicerol kako bi se mogle međusobno uspoređivati te

vrijednosti. Temperatura za glicerol u ovom dodatnom računu je 27 oC, a tablična vrijednost

koeficijenta viskoznosti iznosi: sPaC

764,0027 . Vrijednost koju glicerol ima na 27

oC

prema jednadžbi (34) je sPa 607,0 .

33

Tablica 5. Relativna pogreška (dodatak)

- sPaC

027

Tablična vrijednost [3] 0,764

Računski dobivena vrijednost (34) 0,607

Relativna pogreška [%] 20,55

34

4.2. INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje

Gustoća motornog ulja: 3

35

3

4015 /4,87610

10764,8mkg

m

kg

V

mWSAE

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k


Tablica 6. Dinamička viskoznost INA Delta SAE 15W-40 motornog ulja

Mje

renje

CT o2,221 CT o5,302 CT o5,383


1 16,15 0,326 10,27 0,207 6,67 0,136

2 15,80 0,319 10,30 0,208 6,84 0,138

3 15,87 0,320 9,93 0,200 6,92 0,140

4 16,21 0,327 9,78 0,197 6,74 0,136

5 15,77 0,318 9,80 0,198 6,78 0,137

6 15,65 0,316 10,08 0,203 6,86 0,138

7 16,06 0,324 10,23 0,206 6,56 0,132

8 15,67 0,316 9,70 0,196 6,68 0,135

9 16,03 0,323 9,94 0,200 6,82 0,138

10 15,84 0,319 9,96 0,201 6,59 0,133

- - =0,321 - =0,202 - =0,136

Relativna pogreška može se računati tako da se usporedi tablična vrijednost za

dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 40 oC [10] [11] i vrijednost koja se

računski može dobiti iz jednadžbe (35) za tu temperaturu. Ovdje je potrebno pogrešku

računati na ovaj način jer je poprilično teško naći bilo kakvu poznatu vrijednost za dinamički

35

koeficijent viskoznosti za ovo ulje i za sva sljedeća ulja, a nemoguće je pronaći točne

vrijednosti na kojima su izvođena mjerenja. Poznata je vrijednost na temperaturi od 40 oC.

Jednadžba krivulje (35) opisuje opadanje koeficijenta viskoznosti za ovo ulje porastom

temperature i moguće je pomoću nje odrediti koliki bi koeficijent bio na 40 oC prema

podacima dobivenim eksperimentom.


- sPaC

040

Tablična vrijednost [10] [11] 0,102




- CT o2,221 CT o5,301 CT o5,381


[Pa s] 0,004 0,004 0,002

Rezultat mjerenja,

[Pa s] 10)004,0321,0( 10)004,0202,0( 10)002,0136,0(


Jednadžba krivulje: Te

599,38

057,0 (35)

36

Graf 2. Ovisnost η-T za INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje

37

4.3. Jestivo suncokretovo ulje

Gustoća jestivog ulja: 3

35

3

/7,92110

10217,9mkg

m

kg

V

mSuncokret

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k


Tablica 9. Dinamička viskoznost jestivog suncokretovog ulja

Mje

renje

CT o7,241 CT o302 CT o7,363


1 3,12 0,063 2,71 0,055 2,08 0,042

2 3,24 0,065 2,64 0,053 2,09 0,042

3 3,24 0,065 2,52 0,051 2,05 0,041

4 3,20 0,065 2,50 0,050 2,04 0,041

5 3,20 0,065 2,61 0,053 2,10 0,042

6 3,11 0,063 2,73 0,055 2,11 0,043

7 3,18 0,064 2,58 0,052 2,02 0,041

8 3,23 0,065 2,68 0,054 2,00 0,040

9 3,14 0,063 2,61 0,053 2,07 0,042

10 3,10 0,063 2,54 0,051 2,06 0,042

- - =0,064 - =0,053 - =0,042


dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 25 oC [7] i vrijednost koja se računski

može dobiti iz jednadžbe (36) za tu temperaturu:

38


- sPaC

025





- CT o7,241 CT o301 CT o7,361


[Pa s] 0,001 0,002 0,001

Rezultat mjerenja,

[Pa s] 10)001,0064,0( 10)002,0053,0( 10)001,0042,0(



995,26

022,0 (36)

39

Graf 3. Ovisnost η-T za jestivo suncokretovo ulje

40

4.4. Ricinusovo ulje

Gustoća ricinusovog ulja: 3

35

3

/5,93210

10325,9mkg

m

kg

V

mRicinus

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k


Tablica 12. Dinamička viskoznost ricinusovog ulja

Mje

renje

CT o4,281 CT o352 CT o403


1 34,88 0,698 21,49 0,430 15,67 0,314

2 34,98 0,700 22,20 0,444 17,48 0,350

3 34,42 0,689 21,52 0,431 15,72 0,315

4 34,59 0,692 22,30 0,446 16,52 0,331

5 34,52 0,691 21,69 0,434 16,34 0,327

6 34,68 0,694 20,80 0,416 17,01 0,341

7 34,73 0,695 22,53 0,451 15,52 0,311

8 34,69 0,694 21,48 0,430 16,35 0,327

9 34,88 0,698 20,14 0,403 16,55 0,331

10 35,02 0,701 22,61 0,453 17,00 0,340

- - =0,695 - =0,434 - =0,329




41


- sPaC

027





- CT o4,281 CT o351 CT o401


[Pa s] 0,004 0,016 0,013

Rezultat

mjerenja, [Pa s] 10)004,0695,0( 10)016,0434,0( 10)013,0329,0(



233,67

066,0 (37)

42

Graf 4. Ovisnost η-T za ricinusovo ulje

43

4.5. Bademovo ulje

Gustoća bademovog ulja: 3

35

3

/8,83110

10318,8mkg

m

kg

V

mBadem

Gustoća kuglice: 3

36

3

/63,243710467,1

10576,3mkg

m

kg

V

m

k

k

k


Tablica 15. Dinamička viskoznost bademovog ulja

Mje

renje

CT o281 CT o342 CT o5,363


1 3,70 0,079 2,42 0,052 2,33 0,050

2 4,10 0,088 2,74 0,059 2,28 0,049

3 3,20 0,068 2,57 0,055 2,29 0,049

4 3,52 0,075 2,63 0,056 2,31 0,049

5 3,72 0,079 2,35 0,050 2,21 0,047

6 3,94 0,084 2,67 0,057 2,34 0,050

7 3,35 0,072 2,71 0,058 2,31 0,049

8 4,04 0,086 2,62 0,056 2,30 0,049

9 3,20 0,068 2,58 0,055 2,32 0,050

10 4,13 0,088 2,45 0,052 2,34 0,050

- - =0,079 - =0,055 - =0,049




44


- sPaC

035





- CT o281 CT o341 CT o5,361


[Pa s] 0,008 0,003 0,001

Rezultat mjerenja,

[Pa s] 10)008,0079,0( 10)003,0055,0( 10)001,0049,0(



311,60

009,0 (38)

45

Graf 5. Ovisnost η-T za bademovo ulje

46

5. Zaključak

Ovaj diplomski rad sastoji se od dva dijela. Prvi dio sve do četvrtog poglavlja odnosi

se isključivo na teoriju te tumačenje nekih osnovnih fizikalnih zakona koji su potrebni za

razumijevanje pojave viskoznosti u tekućinama. Drugi je dio eksperimentalni, odnosno

istraživački. U tom dijelu težište je na što preciznijem objašnjavanju pokusa koji se izvodio te

obradi dobivenih podataka. Također, bilo je potrebno izvesti pokus te je izvršeno mnogo

mjerenja za pet različitih tekućina. Ukupno 150 mjerenja izvršeno je samo za padanje kuglice,

a mjereni su još mase i volumeni tekućina te volumen i masa kuglice. Izvođenje pokusa vrlo

je jednostavno i zanimljivo te je potrebno naglasiti da pokus može izvoditi jedna osoba.

Hopplerov viskozimetar koji je korišten za mjerenja nema dobar sustav za zagrijavanje

jer je gotovo nemoguće postići točno željenu temperaturu pa su mjerenja vršena na različitim

temperaturama i težište eksperimenta stavljeno je na određivanje i dokazivanje zakona po

kojemu koeficijent viskoznosti opada s temperaturom. Taj je zakon eksperimentom i dokazan

i to za svaku od pet različitih tekućina (jednadžba 33). Krivulje se na grafovima razlikuju po

tome koja brže ili sporije opada pa je tako vidljivo da sporije opadaju funkcije koje opisuju

INA Delta motorno ulje i jestivo suncokretovo ulje, a brže one koje opisuju glicerol,

bademovo i ricinusovo ulje. To ovisi o konstanti B koja je različita za svaku tekućinu. Sporije

padajuće funkcije imaju manju konstantu B od tekućina čija funkcija brže opada.

Za glicerol je napravljena usporedba eksperimentalnih vrijednosti s poznatim tabličnim

vrijednostima i najveća je pogreška na sobnoj temperaturi (17,90%), na temperaturi od 37 oC

pogreška je 5,71%, a na 41oC pogreška je samo 0,38%. Dakle, porastom temperature sve je

manje odstupanje od prave vrijednosti, što me osobno iznenadilo, jer kuglica puno brže pada

na većim temperaturama pa je veća mogućnost pogreške pri mjerenju. Efekt viskoznosti je na

višim temperaturama manji pa je možda i to razlog manje pogreške. Tablične vrijednosti za

glicerol su vrijednosti koje su na temperaturi na kojima je izvođen i eksperiment, stoga su

odstupanja mala, što nije slučaj i za ostala ulja gdje je metoda uspoređivanja drugačija pa su

odstupanja veća.

Za ostala ulja relativna pogreška je veća nego za glicerol, čak do 47,05 % za bademovo

ulje, ricinusovo ulje ima pogrešku od 21,53 %, jestivo suncokretovo ulje 30,61 % i INA

Delta SAE 15W-40 ima pogrešku 46,07 %. Razlog tome je način na koji je rađena usporedba

47

sa tabličnom vrijednošću. Podatke za dinamički koeficijent viskoznosti teško je pronaći za

ova ulja. Podaci su pronađeni samo za određene temperature na kojima se nije izravno mjerila

viskoznost u eksperimentu. Te vrijednosti uvrštavane su u jednadžbe za svako ulje te je

izračunata vrijednost za dinamički koeficijent viskoznosti. Vrijednosti koje se tako dobiju

nešto više odstupaju nego što bi odstupale da su izravno mjerene na toj određenoj temperaturi.

To se dogodilo jer jednadžba koja opisuje opadanje koeficijenta viskoznosti sa temperaturom

ne može na tako točan način opisati koeficijent viskoznosti za bilo koju temperaturu. Ta

jednadžba krivulje je ona koja na najbolji mogući način odgovara izmjerenim podacima, što

ne znači da su oni idealni, tako da je zbog toga relativna pogreška za ova ostala ulja nešto

veća nego za glicerol.

Dodatnim računom za glicerol pokazano je da je relativna pogreška nešto veća kada se

računa metodom da se uspoređuje tablična vrijednost sa onom dobivenom iz jednadžbe

krivulje računski. Kada je i za glicerol korištena ta metoda relativna pogreška na 27oC iznosila

je 20,55 %. Dakle, pogreška je veća nego kada su se uspoređivale direktno tablične vrijednosti

i mjerene vrijednosti.

Zbog ovoga se može zaključiti da regresijska krivulja ne opisuje idealno smanjivanje

koeficijenta viskoznosti sa porastom temperature.

Smatram da su mjerenja izvršena precizno što pokazuje i standardna devijacija.

Odstupanja su vrlo mala, a to se može uočiti u rezultatima mjerenja dinamičkog koeficijenta

viskoznosti za svaku tekućinu.

Pokus ne zahtijeva mnogo opreme i jednostavan je za izvođenje. Mogao bi se izvoditi i

u školama kako bi se pokazalo da viskoznost ovisi o temperaturi, odnosno da koeficijent

viskoznosti opada porastom temperature i to se jednostavno vidi kada kuglica brže pada na

većoj temperaturi, odnosno tekućina pruža manji otpor.

48

6. Literatura

[1] Brookfield Engineering Laboratories, Inc.; Operation instructions manual, Falling ball

viscometer .pdf

[2] Đurić, B., Ćulum, Ž.; Fizika 1, Mehanika čvrstih, tečnih i gasovitih tela, Naučna

knjiga Beograd, 1967.

[3] http://www.met.reading.ac.uk/~sws04cdw/viscosity_calc.html [pristupljeno 15.05.

2014.]

[4] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pfric.html [pristupljeno 02.03.2014.]

[5] http://wiki.xtronics.com/index.php/Viscosity [pristupljeno 12.02.2014.]

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity [pristupljeno 15.01.2014.]

[7] http://acta.chem-soc.si/45/45-1-69.pdf (str. 4) [pristupljeno 12.06.2014.]

[8] Fasina, O.O., Colley, Z. ; Viscosity and specific heat of vegetable oils as a function of

temperature: 35oC to 180

oC, International Journal of Food Properties, 2008.

[9] http://www.engineeringtoolbox.com/absolute-viscosity-liquids-d_1259.html

[10] http://www.widman.biz/English/Calculators/Graph.html [pristupljeno 12.06.2014.]

[11] http://www.cactus2000.de/uk/unit/massvis.shtml [pristupljeno 12.06.2014.]

[12] Krauskopf, K.B., Beiser, A.; The Physical Universe (eleventh edition), McGraw-Hill

New York, 2006.

[13] Lončar, G., Andročec, V.; Mehanika tekućina . pdf

[14] Prieve, D.C.; A Course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory (electoronic

version .pdf)

[15] Sorić, I.; Dinamika fluida .pdf , Kemijsko-tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu

[16] Voronjec, K., Obradović, N.; Mehanika fluida, Građevinska knjiga Beograd, 1973.

[17] Vuković, B.; Osnove fizike dinamika fluida .ppt

[18] Vuković, B.; Skripta za praktikum iz osnova fizike I .pdf

49

7. Životopis

Mario Jerbić rođen je 23. listopada 1988. godine u Našicama. Osnovnu školu Antuna

Gustava Matoša pohađao je u Čačincima. Nakon završetka osnovne škole, 2003. godine

upisao je opću gimnaziju u Srednjoj školi Marka Marulića u Slatini. Srednju školu završio je

2006. godine i iste godine upisao studij fizike na Odjelu za fiziku u Osijeku, a 2009. završio je

preddiplomski studij fizike i stekao zvanje prvostupnika fizike. Odmah nakon toga upisao je i

diplomski studij fizike i informatike, također na Odjelu za fiziku u Osijeku. Trenutno je

apsolvent na diplomskom studiju fizike i informatike na Odjelu za fiziku te je odabrao temu

„Viskoznost tekućina“ za diplomski rad kod mentora prof. dr. sc. Branka Vukovića i

sumentorice dr. sc. Marine Poje.

Documents

ODJEL ZA FIZIKU - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/JER08.pdf · 2. Dinamika fluida ... Fluid je nestlačiv: gustoća idealnog fluida konstantna je u svakom dijelu fluida Nema