Objectif général de l’expérience - unine.ch · Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 2 La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la

Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9

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Expérience n°9 – PENDULES

Domaine: Mécanique

Lien avec le cours de Physique Générale: Cette expérience est liée aux chapitres suivants du cours de Physique Générale (Physique I):

- Physique I, Chapitre 11: Mouvement harmonique et résonance - Physique I, Chapitre 4: Newton. Dynamique : force et accélération - Physique I, Chapitre 9: Mouvement de rotation

Objectif général de l’expérience L’objectif de cette expérience est d’étudier le mouvement oscillatoire de différents systèmes composés de pendule(s).

Dans un premier temps, la mesure de la période d’oscillation en fonction de la longueur d’un pendule physique sera utilisée pour déterminer l’accélération de la pesanteur g.

Dans un deuxième temps, les mouvements de deux pendules physiques reliés ("couplés") par un ressort seront étudiés.

1 Introduction

1.1) Définition et historique En physique, un pendule est un corps solide pouvant osciller autour d’un point ou d’un axe fixe et qui, écarté de sa position d’équilibre, y retourne en oscillant sous l’effet d’une force, par exemple la gravité. Le mot pendule donné par Huygens (1629-1695) vient du latin pendere, qui signifie "pendre".

Un pendule est animé d’un mouvement périodique caractérisé par son amplitude A (écartement maximal par rapport à la position d’équilibre) et par sa période T (durée d’un cycle d’oscillation). La fréquence d’oscillation ν correspond à l’inverse de la période (ν = 1/T). La fréquence angulaire ou pulsation ω est donnée par ω = 2πν. Généralement, la période d’un pendule dépend de l’amplitude de son mouvement. Lorsque la période d’oscillation est indépendante de l’amplitude, on parle d’isochronisme.

Il existe de nombreux types de pendules différents, chacun ayant un intérêt particulier. Ils ont été ou sont utilisés dans le cadre d’expériences ayant pour objectif de mettre en évidence un phénomène physique (tel que l’isochronisme) ou encore à des fins métrologiques. Ainsi les pendules furent les premiers gravimètres, c’est-à-dire, les premiers systèmes physiques capables de mesurer l’accélération due à la pesanteur g (1659). Ils servirent aussi à la mesure du temps et furent à l’origine des premières horloges modernes. Il existe aussi certains pendules célèbres comme le pendule de Foucault (1851), qui permit de mettre en évidence la rotation quotidienne de la Terre.

Tous les pendules sont soumis aux lois de la mécanique. Il faut cependant distinguer le pendule simple, qui est une représentation idéale du pendule le plus simple possible, et le pendule physique qui est une représentation plus réelle. Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil inextensible ou d’une tige rigide, tous deux de masse nulle. Au contraire, le pendule physique tient compte de la répartition spatiale de la masse du corps suspendu. Pour cette raison, les lois physiques utilisées pour la description de leur mouvement sont différentes, mais on verra qu’elles mènent à des expressions très similaires.


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La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la 2ème loi de Newton de la dynamique. Cependant, un pendule réel tel qu’utilisé dans des expériences de laboratoire ne peut que rarement être considéré comme un pendule simple. Pour le pendule physique, le volume fini occupé par la masse, qui est caractérisé par le moment d’inertie du corps par rapport à son centre de masse, nécessite de traiter le problème par l’intermédiaire du moment cinétique du système qui décrit le mouvement de rotation d’un corps autour d’un axe.

Dans cette expérience, les mesures se feront sur deux pendules réels (ou pendules physiques). Dans un premier temps, un pendule composé d’une sphère suspendue à un fil (dont on ne prendra pas en compte la masse) sera utilisé pour déterminer l’accélération de la pesanteur g. Dans un deuxième temps, on étudiera des pendules composés d’une tige métallique et d’un cylindre, en particulier les différents types de mouvements qui se produisent lorsqu’on couple deux tels pendules par l’intermédiaire d’un ressort. Dans les deux cas, on aura des pendules physiques et l’étude de leur mouvement nécessite de calculer leur moment d’inertie, qui tient compte de la répartition de la masse du pendule dans son mouvement de rotation.

2 Principe général de l’expérience

2.1) Equations du mouvement d’un pendule Les équations du mouvement du pendule simple et du pendule physique ont la même forme, la seule différence étant le moment d’inertie I0 par rapport au point de rotation O qui intervient dans le cas du pendule physique. Un calcul détaillé pour obtenir l’équation du mouvement et l’expression de la période d’oscillation d’un pendule simple, puis d’un pendule physique, est présenté dans l’Annexe 1. Les équations du mouvement ne peuvent généralement pas être résolues de manière analytique et la période des oscillations dépend de l’amplitude du mouvement. Cependant, une solution analytique peut être trouvée dans le cas où l’amplitude des oscillations est petite (θ <<1, où θ représente l’angle de déviation du pendule par rapport à sa position d’équilibre, voir Figure 1). Dans les expériences de ce TP, nous nous placerons toujours dans cette approximation. Dans ce cas, on peut faire l’approximation θ θ≈sin et les équations du mouvement deviennent:

- Pour le pendule simple : 0+ =θ θgl

; (Eq. 1)

- pour le pendule physique : O

0+ =θ θMglI

. (Eq. 2)

Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont du même type (oscillateur harmonique) et leur solution générale s’écrit:

( )( ) sinθ ω α= +t A t . (Eq. 3)

A et α sont des constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales. Par exemple, si on lâche le pendule sans vitesse initiale avec un angle de départ θ0 , on obtient:

( )0 0 et ( ) cos2πθ α θ θ ω= = ⇒ =A t t . (Eq. 4)

On obtient ainsi une oscillation harmonique sinusoïdale dont la période vaut 2π ω=T , soit:

- Pour un pendule simple : 2 ω = ⇒gl

2 2π πω

= =lTg

;. (Eq. 5)

- Pour un pendule physique : 2

O

= ⇒ω MglI

O2 2 2 π π πω

= = =I LT

Mgl g , (Eq. 6)


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où L est appelé la longueur réduite du pendule physique (voir §2.1.1). On constate que la période des oscillations est indépendante de l’amplitude du mouvement. On parle alors d’isochronisme. Ceci n’est valable que dans l’approximation des petits angles (θ θ θ<< ⇒ ≈1 sin ) qui a été utilisée pour résoudre l’équation du mouvement.

2.1.1 Longueur réduite du pendule physique Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont de la même forme. On appelle longueur réduite du pendule physique la longueur L du pendule simple donnant lieu à la même équation du mouvement et donc à la même période:

O = ⇒I L

Mgl g0 =

ILMl

. (Eq. 7)

2.2) Moment d’inertie des pendules physiques utilisés dans cette expérience Des rappels détaillés de mécanique du solide sont donnés en annexe. Nous présentons ici les éléments les plus importants pour le déroulement de ce TP.

2.2.1 Moment d’inertie et règle de Steiner Les équations du mouvement du pendule physique font intervenir le moment d’inertie du pendule. Le moment d’inertie d’un solide caractérise la résistance de l’objet à être mis en rotation : plus le moment d’inertie d’un objet est important, plus la mise en rotation du solide va nécessiter l’application d’un moment de force important.

Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe O est défini de la façon suivante:

2O = ∑ i i

iI m r (Eq. 8)

Dans le cas d’objets avec des géométries simples, le moment d’inertie peut être calculé de façon relativement aisée par rapport à un axe de rotation passant par leur centre de gravité G (on note IG ce moment d’inertie).

Dans cette expérience, nous nous intéressons au mouvement de rotation d’un solide (un pendule physique) autour d’un point fixe O qui, en général, ne correspond pas au centre de gravité du pendule : le moment d’inertie IO en question doit être évalué par rapport au centre de rotation du mouvement auquel on s’intéresse. On peut alors calculer ce moment d’inertie à partir de IG en appliquant la règle de Steiner :

2O = +GI I ml , (Eq. 9)

l étant la distance qui sépare l’axe de rotation du centre de gravité de l’objet.

2.2.2 Sphère suspendue à un fil (Pendule 1) Considérons le cas d’un pendule physique composé d’une sphère de rayon R suspendue à un fil de masse négligeable représenté sur la Figure 1 (correspond au pendule utilisé dans la première partie du TP pour la détermination de g). Le moment d’inertie IG de la sphère par rapport à un axe passant par son centre de gravité G est donné par:

22 5

=GMRI . (Eq. 10)

Le moment d’inertie IO par rapport à l’axe de rotation passant par le point O s’obtient par la règle de Steiner à partir du moment d’inertie IG par rapport au centre de masse:

2O = +GI I Ml . (Eq. 11)


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A partir des expressions (Eq. 7), (Eq. 12) et (Eq. 11) , on déduit la longueur réduite du pendule solide:

2 222 1 2

5 5ε

= + = + = +

MR RL Ml l lMl l

. (Eq. 12)

Figure 1: Schéma de principe du pendule utilisé pour la détermination de g (1ère partie du TP).

2.3) Pendules couplés

Figure 2: Schéma de deux pendules couplés par un ressort de constante k.

Lorsque deux pendules mécaniques sont reliés entre eux, par exemple par l’intermédiaire d’un ressort comme représenté sur la Figure 2, de nouveaux mouvements particuliers apparaissent par rapport au mouvement unique du pendule individuel. Parmi les différents mouvements possibles, trois cas sont particulièrement intéressants à observer et seront décrits théoriquement dans la section 2.3.1:

i) Les deux pendules ont le même mouvement (ils oscillent en phase). On parle d’un mode de vibration symétrique.

ii) Les deux pendules ont à l'origine des positions opposées et oscillent à la même fréquence en opposition de phase. On parle d’un mode de vibration anti-symétrique.


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iii) L'un des deux pendules est initialement au repos. L'autre pendule en mouvement voit alors ses oscillations s'amortir, au profit du premier, jusqu'à son arrêt total, le premier atteignant alors son maximum. Puis l'effet inverse se produit, et ainsi de suite, l’énergie mécanique étant alternativement transférée d’un pendule à l’autre. On observe un phénomène de battements.

Un mouvement quelconque des pendules peut être décrit comme une combinaison des deux premiers cas, qu’on appelle les modes propres de vibration des pendules.

2.3.1 Equations du mouvement de deux pendules couplés Les équations du mouvement pour chaque pendule dans le cas de pendules couplés peuvent être résolues de façon relativement simple. Le calcul détaillé de ces équations est donné en annexe. Il peut être démontré que les équations gouvernant les angles θ1 et θ2 de chaque pendule sont données par:

1 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

( ) cos( ) cos( )( ) cos( ) cos( )

= + + + = + − +

θ ω δ ω δθ ω δ ω δ

t A t A tt A t A t

, (Eq. 13)

où ω1 et ω2 représentent les deux fréquences propres du systèmes correspondant aux deux modes de vibrations particuliers qui seront décrits dans le §2.3.2 :

1O

MglI

ω = , (Eq. 14)

2

2O

2 Mgl kaI

ω += , (Eq. 15)

et A1, A2, δ1, δ2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales.

2.3.2 Types de mouvement particuliers On distingue trois types de mouvements particuliers selon les conditions initiales:

• Oscillations symétriques Cette situation correspond au cas où les deux pendules sont lâchés simultanément avec le même angle de départ, sans vitesse initiale:

1 2 0

1 1

(0) (0)

0

= =

= =

θ θ θ

θ θ . (Eq. 16)

Les solutions des équations du mouvement (Eq. 13) deviennent alors:

1 2 0 1 ( ) ( ) cos( )θ θ θ ω= =t t t . (Eq. 17)

Il s’agit d’une oscillation en phase des deux pendules (Figure 3a), à une fréquence identique à celle d’un pendule unique. Dans ce cas particulier, le couplage ne joue aucun rôle, puisque le ressort reste toujours dans le même état de tension. Il est alors naturel qu’on retrouve la période du pendule individuel.


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• Oscillations anti-symétriques Cette situation correspond au cas où les deux pendules sont lâchés simultanément avec un même angle de départ, mais en direction opposée, et sans vitesse initiale:

1 0

2 1 0

1 2

(0)(0) (0)

0

θ θθ θ θ

θ θ

== − = −

= =

. (Eq. 18)

Les solutions des équations du mouvement (Eq. 13) deviennent alors :

1 2 0 2 ( ) ( ) cos( ) = − =θ θ θ ωt t t . (Eq. 19)

Il s’agit encore une fois d’une oscillation à une fréquence identique pour les deux pendules, mais en

opposition de phase (Figure 3b). La période vaut dans ce cas-là : ( )22 2 O2 2 2ω π ω π= = +T I Mgl ka .

Contrairement au cas précédent, le couplage joue ici un rôle, en diminuant la période d’oscillation (ou augmentant la fréquence) par rapport au cas du pendule unique.

(a) (b)

Figure 3: Modes propres de vibration de deux pendules couplés: a) oscillations

symétriques; b) oscillations anti-symétriques.

• Battements Cette situation correspond au cas où un des pendules est lâché d’un angle donné sans vitesse initiale, alors que le deuxième pendule est laissé à l’équilibre:

1 0

2

1 2

(0)(0) 0

0

θ θθ

θ θ

==

= =

. (Eq. 20)

La solution des équations du mouvement (Eq. 13) devient alors:

2 1 2 11 0

2 1 2 12 0

( ) cos cos 2 2

( ) sin sin

2 2

ω ω ω ωθ θ

ω ω ω ωθ θ

− + = ⋅

− + = ⋅

t t t

t t t . (Eq. 21)


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Le mouvement des deux pendules est caractérisé par deux fréquences caractéristiques 2 1( ) 2ω ω− et

2 1( ) 2ω ω+ . Nous remarquons que si le moment de force dû au ressort est faible par rapport à celui dû au poids, alors, 2 1 2 1ω ω ω ω− << + ce qui implique qu’une des composantes du mouvement varie lentement (celle de fréquence 2 1( ) 2ω ω− ), alors que l’autre varie rapidement (celle de fréquence

2 1( ) 2ω ω+ ) . On observe alors que les pendules oscillent à la fréquence élevée 2 1( ) 2+ω ω et que l’amplitude de leurs oscillations est modulée à la faible fréquence 2 1( ) 2ω ω− .

Le déphasage de 2π entre le sinus et le cosinus dans les expressions (Eq. 21) traduit le phénomène de battements entre les deux pendules: lorsqu’un pendule est à son amplitude maximale, l'autre est à l’arrêt (Figure 4). L'énergie mécanique est progressivement transférée à chaque oscillation d'un pendule à l'autre par l'intermédiaire du ressort de couplage. La période d'oscillation rapide vaut:

1 2

1 21 2

22 2 ω ω

ω ω

τ πω ω

= =+ +

T TT T

, (Eq. 22)

et la période de battements vaut :

1 2

1 22 1

22 2 ω ω

ω ω

πω ω

= =− −b

T TT

T T . (Eq. 23)

Figure 4: Mouvements des pendules en oscillations avec battements.


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3 Marche à suivre L’expérience se déroulera en deux parties distinctes. Les mesures des périodes d’oscillations se feront à l’aide d’un chronomètre. Afin d’améliorer la précision des mesures, il est demandé de mesurer dans chaque cas la durée de plusieurs cycles d’oscillation et d’en déduire la période. Les mesures se feront aussi sans vitesse initiale. La position de la masse doit donc être correctement choisie en fonction de l’angle souhaité et il suffira ensuite de lâcher celle-ci.

Expliquer pourquoi la mesure de la période sera plus précise ainsi (par rapport à la mesure d’une seule période).

Tous les résultats des mesures sont à reporter sur la feuille Excel de l’expérience.

! Attention: - Dans toutes les mesures, on veillera à prendre des amplitudes suffisamment faibles pour pouvoir

utiliser l’approximation des petits angles, sinθ ≈ θ. - Pour ne pas endommager les paliers de suspension des pendules dans la deuxième partie de cette

experience, il faut éviter toute force en dehors du plan d’oscillation du pendule.

3.1) Détermination de g Dans cette partie, l’objectif est de déterminer l’accélération de la pesanteur g. Les mesures se feront avec le pendule constitué par la sphère suspendue au fil.

Déterminer la longueur réduite L du pendule en mesurant la longueur l = OB + R (voir Figure 1) et en utilisant l’expression (Eq. 12) après avoir mesuré R avec un pied à coulisse.

On fait varier la longueur l du fil entre 70 cm et 120 cm et on mesure pour chaque longueur la période T du pendule. On mesurera avec un chronomètre la durée de 20 oscillations et on répétera trois fois la mesure pour chaque longueur.

Calcul d’erreur: estimer les incertitudes de mesures sur l et sur R et en déduire l’incertitude résultante sur L. Déterminer l’erreur statistique sur la période T à partir des résultats des trois mesures et calculer l’incertitude résultante sur T2.

Tracer le graphique =2 ( )T f L et effectuer une régression linéaire. Déterminer la valeur de g à partir de la pente de la droite de régression.

Calcul d’erreur: déterminer l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente du graphique T2 = f(L).

Préalable: déterminer l’expression de l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente du graphique T2 = f(L).

Comparer le résultat avec la valeur g = 9.8065 m∙s-2, valeur valable pour Neuchâtel.

3.2) Etude des pendules couplés

3.2.1 Etude d’un pendule seul Dans cette première partie, l’objectif est d’étudier le mouvement du pendule physique unique que l’on comparera au cas des pendules couplés dans la partie suivante.

- Enlever le ressort entre les deux pendules en le décrochant sans enlever les bagues de fixation ! - Déterminer la période d’oscillation du pendule en mesurant la durée de 50 oscillations. - Effectuer trois fois cette mesure et déterminer la période moyenne Texp et l’incertitude statistique

sur la moyenne. Reporter ces valeurs sur la feuille Excel de l’expérience.


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3.2.2 Etude des pendules couplés Fixer le ressort de couplage à la même distance de l'axe de rotation sur les deux pendules (a = 20 cm). Installez-le délicatement en prenant garde de maintenir les pendules dans le plan vertical.

a) Modes symétrique et antisymétrique - Mesurer les périodes d’oscillations symétrique

1ωT et anti-symétrique 2ωT en prenant 3

mesures de 50 périodes.

- Calculer les valeurs moyennes correspondantes 1ωT et

2ωT et évaluer l’incertitude statistique sur ces mesures.

b) Battements - En utilisant les valeurs expérimentales mesurées pour les périodes symétriques et anti-

symétriques, calculer les deux périodes caractéristiques du mouvement de battement τ calc et

(voir formules (Eq. 22) et (Eq. 23)).

- Mesurer la période rapide τ en prenant 4 mesures de 6 périodes bien visibles entre deux arrêts successifs du même pendule, puis calculer la période moyenne . Evaluer l’erreur commise sur cette mesure.

- Mesurer la période de battement bT en prenant 4 mesures, puis calculer la période

moyenne bT . Evaluer l’erreur commise sur cette mesure.

- Comparer les valeurs mesurées et calculées.

4 Préalable Cette partie est à préparer en avance afin de gagner du temps lors de la séance de TP. Les points concernant le calcul d’erreur ne sont à considérer qu’à partir de la 3ème séance de TP.

Partie Descriptif

3.1) Déterminer l’expression de l’incertitude sur L en tenant compte des incertitudes sur l et R.

3.1) Déterminer l’expression de l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente du graphique T2 = f(L).


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5 Annexes

Annexe 1: Résolution des équations du mouvement des pendules simple et physique

5.1) Le pendule simple

5.1.1 Rappel de mécanique : 2ème loi de Newton

La deuxième loi de Newton permet d’exprimer l’accélération �⃗�𝑎 produite par un ensemble de forces �⃗�𝐹𝑖𝑖 sur un objet de masse m comme:

1= ∑

ii

a Fm

. (Eq. 24)

L’accélération étant la dérivée de la vitesse par rapport au temps, elle-même dérivée temporelle du

vecteur déplacement

r2

2

= =

dv d radt dt

, l’équation du mouvement d’un corps est donnée par:

2

2 = ∑

ii

d rm Fdt

. (Eq. 25)

Figure 5: Forces s’exerçant sur un pendule simple et mouvement du pendule.

Dans un pendule simple, la masse ponctuelle m est soumise à deux forces: son poids

mg et la tension

TF du fil de longueur l (voir Figure 5). En décomposant ces forces en des composantes radiales et tangentielles, la 2ème loi de Newton donne:

cosθ = Tmg F (Eq. 26)

sinθ = − tmg ma (Eq. 27)

où at est l’accélération tangentielle subie par la masse m: 2 2θ θ= =

ta l d dt l , et θ est son accélération angulaire. L’équation du mouvement devient ainsi :

sin θ θ= − ⇒mg ml sin 0 θ θ+ =

gl

. (Eq. 28)

On observe que cette équation est indépendante de la masse m du corps suspendu, de sorte que le mouvement du pendule, en particulier sa période d’oscillation, ne dépend pas de sa masse mais uniquement de sa longueur l. L’explication fut donnée par Galilée lorsqu’il découvrit cet effet en 1581:


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le fil ne fait que maintenir la masse sur une trajectoire circulaire, sinon elle tomberait en chute libre. Comme tous les objets tombent à la même vitesse sous l’effet de la gravité, il est normal que deux pendules de même longueur mais de masse différente oscillent à la même fréquence. Cette propriété sera utilisée dans la première partie de ce TP pour déterminer l’accélération de la pesanteur g.

5.2) Le pendule physique

5.2.1 Rappel de mécanique: solide rigide en rotation Pour un solide rigide possédant un point fixe O, on définit le moment τO (par rapport au point O) d’une force extérieure

F appliquée en un point A comme étant le produit vectoriel de la force

F et du vecteur =

r OA (aussi appelé le vecteur support) comme schématisé sur la Figure 6:

0 τ =

r x F . (Eq. 29)

Figure 6: (a) Moment de force appliqué par une main sur un tournevis. (b) Règle de la main droite pour

le produit vectoriel.

Le moment de force décrit la capacité à produire une rotation. Il constitue l’équivalent rotationnel de la force. Le moment de force τO engendre une rotation du corps et induit donc un changement de son

moment cinétique O =

L r x p , où =

p mv est la quantité de mouvement. Pour un corps solide en rotation autour d’un axe passant par le point O, le moment cinétique

OL s’écrit:

O O ω=

L I , (Eq. 30)

où = ∑ 2O i i

iI m r est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation et ω la vitesse

angulaire de rotation (voir Figure 7).

Comme pour le pendule simple (voir §5.1), seules deux forces agissent sur un pendule physique de masse M: son poids Mg et la force de tension du fil

TF . Seul le poids a un moment de force non nul. Le moment de la force de tension du fil est nul, car cette force est toujours perpendiculaire au vecteur déplacement.


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Figure 7: Solide en rotation autour d’un axe passant par le point O. ω est la vitesse angulaire de

rotation du corps et

OL son moment cinétique par rapport au point O.

Le théorème du moment cinétique montre que la variation du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces extérieures:

OO =

dL Mdt

. (Eq. 31)

Figure 8: Représentation schématique d’un pendule physique oscillant autour

d’un axe passant par le point O.

En appliquant le théorème du moment cinétique (Eq. 31) au cas du pendule physique (Figure 8) et en tenant compte de l’expression (Eq. 30) et du fait que ω θ θ= = d dt , l’équation du mouvement du pendule physique est obtenue :

( ) ( )OO O O 0 sin ω θ θ θ= = = = = − ⇒

dL d dI I I M Mgldt dt dt 0

sin 0 θ θ+ =

MglI

. (Eq. 32)

On constate que les équations du mouvement du pendule simple (Eq. 28) et du pendule physique (Eq. 32) ont une forme semblable. Mais contrairement au pendule simple pour lequel l’équation du mouvement est indépendante de la masse m, la masse M et sa répartition spatiale qui intervient dans le moment d’inertie IO jouent un rôle dans le mouvement du pendule physique.


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Annexe 2: Résolution des équations de mouvement des pendules couplés Considérons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de constante de rappel k situé à une distance a de l'axe de rotation (Figure 2). La force de rappel d'un ressort est proportionnelle à l'élongation ∆x du ressort par rapport à sa position d’équilibre:

= − ∆

F k x . (Eq. 33)

∆x est calculé par des considérations géométriques en se plaçant dans l’approximation des petits angles (voir Figure 2) :

1 2 1 2(sin sin ) ( )θ θ θ θ∆ = ∆ = − ≈ −x x a a . (Eq. 34)

Les équations du mouvement s’obtiennent en appliquant le théorème du moment cinétique (Eq. 31). Dans le cas du mouvement d’un pendule unique, le seul moment de force à considérer était dû au poids du pendule. Le ressort entre les deux pendules ajoute un moment de force supplémentaire, dû à la force de rappel du ressort, qui s’écrit pour le pendule 1:

21 2( )τ θ θ= × = − −

za F ka e . (Eq. 35)

Le théorème du moment cinétique permet de déterminer les équations du mouvement des deux pendules:

- Pendule 1:

( ) ( ) 2OO O 1 O 1 0 1 1 2sin ( ) ω θ θ τ θ θ θ= = = = = − − − ⇒

dL d dI I I Mgl kadt dt dt

2

1 1 1 2O O

sin ( ) 0 θ θ θ θ+ + − =

Mgl kaI I

. (Eq. 36)

- Pendule 2:

( ) ( ) 2OO O 2 O 2 O 2 1 2sin ( ) ω θ θ τ θ θ θ= = = = = − + − ⇒

dL d dI I I Mgl kadt dt dt

2

2 2 1 2O O

sin ( ) 0 θ θ θ θ+ − − =

Mgl kaI I

. (Eq. 37)

Dans l’approximation des petits angles (θ1, θ2 <<1), les équations du mouvement suivantes sont obtenues:

2

1 1 1 2O O

2

2 2 1 2O O

( ) 0

( ) 0

θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + − =

+ − − =

Mgl kaI I

Mgl kaI I

. (Eq. 38)

Ces équations sont dites couplées: le mouvement du pendule 1 a un effet sur le pendule 2 et vice-versa. Il est possible de résoudre ce système d’équations en posant:

φ θ θφ θ θ

= + = −

1 1 2

2 1 2

. (Eq. 39)

Le système d’équations devient alors:


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1 1O

2

2 2O

2

φ φ

φ φ

= −

+ = −

MglI

Mgl kaI

. (Eq. 40)

dont les solutions sont donnés par :

φ ω δφ ω δ

= + = +

1 1 1 1

2 2 2 1

( ) cos( )( ) cos( )t A tt A t

. (Eq. 41)

avec

1O

ω =MglI

, (Eq. 42)

2

2O

2 ω +=

Mgl kaI

, (Eq. 43)

et A1, A2, δ1, δ2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales. En revenant maintenant aux variables initiales, les solutions de l’équation du mouvement sont:

θ ω δ ω δθ ω δ ω δ

= + + + = + − +

1 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

( ) cos( ) cos( )( ) cos( ) cos( )t A t A tt A t A t

. (Eq. 44)

Vers. 7/11/2016, révision S. Schilt

3.1) Détermination de g

Rayon de la sphère: R = [cm]

Incertitude sur le rayon de la sphère: [cm]Incertitude sur les longueurs mesurées: [cm]

l [cm] e [cm] L [cm] DL [cm] 20∙T1[s] T1 [s] 20∙T2[s] T2 [s] 20∙T3[s] T3 [s] T [s] sT [s] T2 [s2] DT2 [s2]

Valeur de référence: g = [m/s2] Valeur expérimentale: g = ± [m/s2]

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Représentation graphique : T 2 = T 2 (L )

insérer graphique ici

Travaux Pratiques de PhysiqueExpérience N°9 : Pendules

Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3

3.2) Etude des pendules couplés

3.2.1) Période expérimentale du pendule unique:

50∙T 1 [s] T 1 [s] 50∙T 2 [s] T 2 [s] 50∙T 3 [s] T 3 [s] T [s] s T [s]

3.2.2) Période expérimentale des différents modes des pendules couplés

a) Mode symétrique:

50∙T w 1,1 [s] T w 1,1 [s] 50∙T w 1,2 [s] T w 1,2 [s] 50∙T w 1,3 [s] T w 1,3 [s] T w 1 [s] s T w 1 [s]

Mode anti-symétrique:

50∙T w 2,1 [s] T w 2,1 [s] 50∙T w 2,2 [s] T w 2,2 [s] 50∙T w 2,3 [s] T w 2,3 [s] T w 2 [s] s T w 2 [s]

b) Battements :

Périodes théoriques :

tcalc [s] = ± T b,calc [s] = ±

Période de l'oscillation rapide:

6∙t1 [s] t1 [s] 6∙t2 [s] t2 [s] 6∙t3 [s] t3 [s] 6∙t4 [s] t4 [s] t [s] s t [s]

Période de battement:

Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3 Mesure 4T b,1 [s] T b,2 [s] T b,3 [s] T b,4 [s]

version fichier: 29/9/2014 (cs&SSc)

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Travaux Pratiques de Physique


Expérience N°9: Pendules

Mesure 1 Mesure 2 Mesure 3 Mesure 4

[s]bT [s]bT

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Objectif général de l’expérience - unine.ch · Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 2 La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la