Možnosti zmierňovania rizika portfóliových investícií (so zreteľom na analýzu Markowitzovho modelu, CAPM a APT)

DIPLOMOVÁ PRÁCA

Ján SKÁCEL

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta managementu

Katedra financií a ekonómie

Študijný odbor: Manažment Špecializácia: Finančný manažment a finančné služby

Vedúci diplomovej práce: prof. Ing. Milan RALBOVSKÝ, PhD.

Bratislava 2005

II

ABSTRAKT

SKÁCEL, Ján : Možnosti zmierňovania rizika portfóliových investícií (so zreteľom na analýzu Markowitzovho modelu, CAPM a APT) [Diplomová práca] – Univerzita Komenského v Bratislave. Fakulta managementu; Katedra financií a ekonómie. – Školiteľ : prof. Ing. Milan RALBOVSKÝ, PhD. – Bratislava : FMUK, 2005. – 58 s. Cieľom tejto práce je analyzovať problematiku zmierňovania rizika portfóliových investícií pri použití Markowitzovej metódy, modelu oceňovania kapitálových aktív a teórie arbitrážneho oceňovania. Práca je rozdelená na tri kapitoly. Obsahuje 21 ilustrácií a 4 tabuľky. V prvej kapitole sa rozoberá pojem investičného rizika, portfóliových investícií a investičný proces. V druhej kapitole analyzujem v teoretickej rovine Markowitzov model, model oceňovania kapitálových aktív ako aj teóriu arbitrážneho oceňovania. Taktiež sú tu stručne spomenuté aj ďalšie modely zaoberajúce sa touto problematikou. Pri teoretickej analýze uvedených modelov je nutné učiniť niekoľko predpokladov, ktoré deformujú realitu. Preto sa tretia kapitola zaoberá problémami odstraňovania týchto teoretických predpokladov pri zachovaní funkčnosti modelov v praxi. Kľúčové slová:. Riziko. Investičné riziko. Portfólio. Portfóliové investície. Markowitzov model. Moderná teória portfólia. MPT. Model oceňovania kapitálových aktív. CAPM. Teória arbitrážneho oceňovania. APT The objective of this paper is to analyze issues in reducing risk of portfolio investments using Markowitz’s method, capital asset pricing model as well as arbitrage pricing theory. The work is divided into three chapters. It contains 21 illustrations and 4 tables. In the first chapter the concept of investment risk, portfolio investments and process of investing is presented. The second chapter analyzes Markowitz’s model, capital asset pricing model and arbitrage pricing theory on theoretical basis. However, there are also other models briefly mentioned. Theoretical analysis requires us to make some assumptions which may misrepresent reality. Therefore, the third chapter deals with eliminating of these assumptions while retaining practical functionality of these models. Key words: Risk. Investment risk. Portfolio. Portfolio investments. Markowitz’s model. Modern portfolio theory. MPT. Capital asset pricing model. CAPM. Arbitrage pricing theory. APT.

III

PREDHOVOR

Problematika zmierňovania rizika je dôležitou súčasťou vedomostí investora. Myslím si, že

táto téma si udrží večnú aktuálnosť, aj keď sa možno budú meniť modely alebo metódy, ktoré

ju pomáhajú objasňovať a riešiť jej problémy. Keďže väčšina týchto modelov je založená na

historických dátach, predpokladám, že v budúcnosti budú vznikať presnejšie modely, pretože

štatistický súbor sa bude neustále predlžovať.

Modely súvisiace so zmierňovaním rizika, ktoré analyzujem v tejto práci, sú predmetom

neustálych sporov na akademickej ale aj v praktickej rovine. Preto sa snažím tieto modely

posudzovať s nadhľadom a objektívnosťou.

Je mi ľúto, keď musím povedať, že pri svojom skúmaní som nemohol použiť niektorú

základnú primárnu literatúru, pretože v našich podmienkach je naozaj problematické ju

zohnať. Ide najmä o Markowitzove práce z päťdesiatych rokov, ktoré v bratislavských

odborných knižniciach sotva nájdeme. Napriek tomu som mal k dispozícii niektoré výskumy,

napríklad výskum od Jagannathansona a Wanga. Napriek tomu som sa často musel uspokojiť

so sprostredkovaním hlavne sekundárnej literatúry. Takéto sprostredkovanie cez sekundárne

zdroje v tomto prípade považujem za dôveryhodné, pretože som sa opieral o autority v tejto

oblasti, ako je napríklad profesor W. Sharpe ale aj iní. V prípade knihy W. Sharpea a G.

Alexandra, ktorú som použil, ide takmer o primárny zdroj, pretože jedným z najpodstatnejších

modelov, ktoré som v tejto práci analyzoval, je model oceňovania kapitálových aktív, za ktorý

Sharpe získal Nobelovu cenu.

Chcel by som sa touto cestou poďakovať najmä profesorovi Ing. Milanovi

Ralbovskému, PhD., ktorý mi poskytol námety a inšpiráciu pri konzultáciách. Taktiež chcem

vyjadriť vďaku svojej rodine a v neposlednom rade aj svojej jedinej Svetluške za neustálu

podporu.

Zároveň čestne vyhlasujem, že diplomovú prácu som vypracoval samostatne s využitím

vlastných teoretických poznatkov a skúseností získaných počas svojho štúdia a na základe

uvedenej odbornej literatúry.

Ján Skácel

IV

OBSAH

ABSTRAKT II

PREDHOVOR III

OBSAH IV

ZOZNAM ILUSTRÁCIÍ A TABULIEK VI

ZOZNAM SKRATIEK A SYMBOLOV VII

SLOVNÍK TERMÍNOV VIII

ÚVOD 1

1. RIZIKO A PORTFÓLIOVÉ INVESTÍCIE 2

1.1. Pojem portfóliových investícií 2

1.2. Investičný proces pri portfóliových investíciách 2

1.3. Riziko 4 1.3.1. Investičné riziko 4 1.3.2. Kvantifikácia investičného rizika a jeho historický vývoj na kapitálovom trhu 5 1.3.3. Klasifikácia investičného rizika 7

2. TEORETICKÉ PROBLÉMY A MODELY ZMIERŇOVANIA RIZIKA 10

2.1. Diverzifikácia portfólia 10 2.1.1. Portfólio zložené z dvoch akcií 11 2.1.2. Diverzifikácia N cenných papierov 16

2.2. Markowitzov model a jeho rozšírenie o bezrizikovú operáciu 18 2.2.1. Veta o efektívnej množine 19 2.2.2. Kvadratické programovanie a výpočet efektívneho portfólia 20 2.2.3. Averzia k riziku a indiferenčná krivka 22 2.2.4. Spojenie indiferenčnej krivky a efektívnej množiny 25 2.2.5. Kombinácia portfólia s bezrizikovým inštrumentom 25

2.3. Model oceňovania kapitálových aktív (CAPM) 27 2.3.1. CML podľa CAPM 27 2.3.2. Priamka trhu cenných papierov (SML) 29 2.3.3. Charakteristická priamka 32 2.3.4. Vzťah medzi betou a celkovým rizikom 34 2.3.5. Nesprávne ohodnotené aktíva a koeficient alfa 34 2.3.6. Spoľahlivosť a testovanie CAPM 35

V

2.4. Faktorové modely a teória arbitrážneho oceňovania (APT) 38 2.4.1. Faktorové modely 38 2.4.2. Teória arbitrážneho oceňovania (APT) 40

2.5. Niektoré ďalšie modely zmierňovania rizika 41 2.5.1. CAPM pre dlhopisy 42 2.5.2. Sektorové faktorové modely 42 2.5.3. Ostatné možnosti zmierňovania rizika 42

3. PROBLÉMY POUŽITIA MODELOV ZMIERŇOVANIA RIZIKA V PRAXI 44

3.1. Problémy s odstraňovaním teoretických predpokladov modelov 44 3.1.1. Predpoklad hodnotenia portfólia podľa smerodajnej odchýlky s horizontom jedného roka 45 3.1.2. Predpoklad výberu portfólia len z efektívnej množiny 45 3.1.3. Problém deliteľnosti cenných papierov 46 3.1.4. Problém existencie bezrizikovej sadzby 46 3.1.5. Dane a transakčné náklady vo vzťahu k portfóliu 48 3.1.6. Problém prístupu investorov k rovnakej bezrizikovej sadzbe 49 3.1.7. Problém efektívnosti trhu na základe dostupných informácií 49 3.1.8. Homogénne a heterogénne očakávania 50

3.2. Problém výpočtu portfólia Markowitzovým modelom 51

3.3. Možnosti použitia modelov v podmienkach slovenského kapitálového trhu 51

ZÁVER 53

ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ODKAZOV 56

VI

ZOZNAM ILUSTRÁCIÍ A TABULIEK

obr. 22 „Riziko“ čínskymi znakmi ......................................................................................... 5 obr. 23 Funkcia hustoty normálneho rozdelenia .................................................................... 6 obr. 24 Histogram ročných výnosov akcií na burze v USA v období 1926 – 1998. .............. 6 obr. 25 Funkcia hustoty logaritmicko-normálneho rozdelenia............................................... 7 obr. 26 Dekompozícia výnosovej krivky................................................................................ 9 obr. 27 Diverzifikácia dvoch dokonale korelovaných akcií ................................................. 14 obr. 28 Diverzifikácia dvoch dokonale záporne korelovaných akcií ................................... 15 obr. 29 Diverzifikácia dvoch nekorelovaných akcií ............................................................. 16 obr. 30 Závislosť rizika portfólia od počtu cenných papierov v portfóliu............................ 18 obr. 31 Prípustná a efektívna množina ................................................................................. 20 obr. 32 Indiferenčné krivky dvoch investorov s rozdielnou averziou k riziku..................... 24 obr. 33 Prienik efektívnej množiny a indiferenčnej krivky .................................................. 25 obr. 34 Efektívna množina s bezrizikovým inštrumentom pri rovnakých sadzbách za vypožičiavanie a zapožičiavanie .............................................................................................. 26 obr. 35 Odvodenie SML ....................................................................................................... 30 obr. 36 Kovariančná verzia SML ......................................................................................... 31 obr. 37 Beta verzia SML....................................................................................................... 31 obr. 38 Charakteristická priamka pre cenný papier s 2=iβ ................................................. 34

obr. 39 Charakteristická priamka pre cenný papier s 2=iβ a %1−=iα ................................ 35

obr. 40 Porovnanie očakávaných výnosov podľa CAPM a skutočných výnosov. ............... 36 obr. 41 SML a empirická čiara trhu...................................................................................... 37 obr. 42 Efektívna množina s bezrizikovým inštrumentom pri rozdielnych sadzbách za vypožičiavanie a zapožičiavanie .............................................................................................. 47 tab. 5 Ročné výnosy akcie A a B ....................................................................................... 11 tab. 6 Potrebné údaje a medzi výpočty pre výpočet rozptylu ............................................ 12 tab. 7 Kovariančná matica akcií A a B............................................................................... 13 tab. 8 Kovariančná matica pre n aktív................................................................................ 17

VII

ZOZNAM SKRATIEK A SYMBOLOV

APT – Arbitrage pricing theory (Teória arbitrážneho oceňovania)

CAPM – Capital asset pricing model (Model oceňovania kapitálových aktív)

CML – Capital market line (Čiara kapitálového trhu)

MPT – Modern portfolio theory (Moderná teória portfólia)

NYSE – New York Stock Exchange (Newyorská akciová burza)

SML – Security market line (Priamka trhu cenných papierov)

VIII

SLOVNÍK TERMÍNOV

očakávaný výnos (μ alebo )(rE ) výnos aktíva v budúcom období, ktorý investor očakáva

ako pravdepodobný. Počíta sa ako jednoduchý

aritmetický priemer historických výnosov (r) cenných

papierov alebo ako stredná hodnota štatistického súboru

(μ alebo E(r)). Druhý spôsob je presnejší. Vieme, že

pokiaľ je k dispozícii dostatočne veľký štatistický súbor,

aritmetický priemer by mal byť približne rovnaký ako

stredná hodnota. V skutočnosti existujú aj podrobnejšie

a možno aj presnejšie metódy na určenie očakávaného

výnosu. Tie vyžadujú viac informácií ako len štatistický

súbor o historickom vývoji výnosov akcií.

rozptyl ( 2σ - cenného papiera,

pVar - celého portfólia)

jedna z možností vyjadrenia rizika. Je výsledkom

umocnených odchýlok výnosov cenného papiera od jeho

očakávaných výnosov.

smerodajná odchýlka (σ ) je druhou odmocninou rozptylu. Smerodajná odchýlka

je na rozdiel od rozptylu ľahko interpretovateľná,

pretože je udávaná v rovnakých jednotkách, ako

očakávaný výnos, preto sa používa v praxi na

vyjadrovanie rizika.

kovariancia ( abσ ) a korelačný

koeficient ( abρ )

kovariancia vyjadruje v našom prípade závislosť buď

dvoch aktív navzájom alebo aktíva a portfólia.

Korelačný koeficient je lepšie interpretovateľným

prostriedkom vyjadrenia tejto závislosti.

ÚVOD

Problematiku zmierňovania rizika portfóliových investícií považujem v súčasnosti za aktuálnu

tému, pretože sa vyskytujú protichodné názory na praktické využitie niektorých teórií, ktoré

sa touto problematikou zaoberajú.

Cieľom tejto práce je poskytnúť prehľad o možnostiach posudzovania problematiky

investičného rizika v súvislosti s výberom portfólia. Jadrom práce je analýza Markowitzovho

modelu, modelu oceňovania kapitálových aktív a teórie arbitrážneho oceňovania. Súčasne sa

snažím poukázať na možnosti využitia týchto modelov v praxi slovenského kapitálového trhu.

Metódy, ktoré som pri svojom posudzovaní použil, boli najmä analýza dostupných

informačných zdrojov, syntéza zistených poznatkov, komparácia, indukcia a matematické

metódy.

Východiskom tejto práce boli najmä práce od nasledujúcich autorov: Blake a jeho

Analýza finančních trhů, Investice od Sharpea a Alexandra a Teorie a praxe firemmních

financí od Brealeyho a Myersa. Tiež sa opieram o výskumy od Jagannathansona a Wanga,

Anga a Chena a iných odborníkov.

Prvá kapitola tejto práce sa zameriava na objasnenie problematiky rizika, z hľadiska

investora. Stručne objasňujem pojem portfólia, investičný proces, ktorý by mal investor

pri rozhodovaní o svojom portfóliu dodržať. Ťažisko tejto kapitoly je v objasnení definície

investičného rizika, jeho klasifikácie a spôsobu výpočtu.

V druhej kapitole načrtnem princíp diverzifikácie portfólia a následne analyzujem

niektoré modely, ktoré riešia problém rizika vo vzťahu k očakávanému výnosu. Podrobnejšie

sa budem zaoberať normatívnym Markowitzovým modelom počítania efektívnej množiny ako

aj pozitívnym modelom oceňovania kapitálových aktív (CAPM), faktorové modely spolu

s teóriou arbitrážneho oceňovania (APT) a ďalšie možnosti, ktoré riešia problematiku

investičného rizika. Na vytvorenie týchto modelov je nutné prijať niekoľko predpokladov.

V tretej kapitole analyzujem niektoré problémy uplatňovania týchto modelov v realite.

Snažím sa tu poukázať na problémy odstránenia predpokladov prijatých pri analýze modelov.

Ďalej sa tu stručne zamýšľam nad použitím analyzovaných modelov v podmienkach

slovenského kapitálového trhu.

2

1. RIZIKO A PORTFÓLIOVÉ INVESTÍCIE

Aby sme mohli analyzovať problémy spojené so zmierňovaním rizika, musím najprv

zadefinovať niektoré základné pojmy, ako sú portfóliové investície, investičný proces

a investičné riziko. Najdôležitejším pojmom pre cieľ tejto práce je pojem investičného rizika.

V tejto kapitole uvediem jeho klasifikáciu a spôsob, ako sa zvykne kvantifikovať.

1.1. Pojem portfóliových investícií Pojem investícia znamená pre investora vzdať sa určitého pôžitku v súčasnosti výmenou za

neistý pôžitok v budúcnosti. Portfóliová investícia je investícia do kombinácie aktív a môže

ísť o investíciu na primárnom ako aj na sekundárnom trhu.

Existuje aj iný pohľad na portfóliové investície, ktorý ich definuje z medzinárodného

hľadiska. Podľa tejto definície sú portfóliové investície všetky investície, vrátane investícií do

finančných aktív bez očakávania značného vplyvu nad skutočnými aktívami, na ktorých sú

tieto finančné aktíva založené. Piškanin napríklad uvádza, že podľa MMF sú portfóliové

investície investíciami najviac do 10% podielu na aktívach firmy.1

V tejto práci takéto chápanie portfóliovej investície nie je podstatné, preto budeme

predpokladať, že sa jednoducho jedná o kombináciu cenných papierov, ktoré nejakým

spôsobom medzi sebou súvisia. Akým, to si ukážeme v druhej kapitole.

1.2. Investičný proces pri portfóliových investíciách Aj keď môžeme predpokladať, že investori sa často riadia svojou intuíciou, odporúča sa, aby

sa pri investovaní dodržiaval určitý metodický postup. Podľa môjho názoru je takto oveľa

väčšia pravdepodobnosť, že investorovi neuniknú dôležité informácie. Sharpe a Alexander

špecifikovali päť základných krokov, ktoré by mal investor vykonať pri investičnom

rozhodovaní:2

1. stanoviť investičnú politiku,

2. vykonať analýzu cenných papierov,

1 PIŠKANIN, A. a kol.: Podnikanie v Európe. 2001. s.149 2 SHARPE, W.F. – ALEXANDER, G.J.: Investice. 1994. s. 8

3

3. zostaviť portfólio,

4. revidovať portfólio,

5. ohodnotiť výkonnosť portfólia.

Stanoviť investičnú politiku znamená určiť investorove zámery ako aj množstvo financií,

ktoré je ochotný investovať. Tento cieľ by mal byť zameraný hlavne na oblasť výnosu

a rizika. V tomto bode by mal investor tiež určiť kategórie finančných aktív, do ktorých chce

investovať.

Analýza cenných papierov je dôležitá najmä preto, aby sa zistilo, ktoré cenné papiere sú

podhodnotené a ktoré nadhodnotené. Následne sa podľa toho investor rozhodne nakúpiť tie

cenné papiere, o ktorých analýza ukázala, že sú podhodnotené, lebo predpokladá, že trh sa

po určitom čase „spamätá“, a cena podhodnoteného aktíva vzrastie a on zarobí. Naopak,

rozhodne sa predať tie, o ktorých si myslí, že sú nadhodnotené, ak takéto cenné papiere

vlastní. Poznáme dva základné typy analýzy cenných papierov: Technická analýza

a fundamentálna analýza.

Technická analýza spočíva hlavne v skúmaní grafov historických výnosov daného

aktíva alebo indexu.

Fundamentálna analýza sa vykonáva tak, že investor na základe dostupných informácii

o firme, ktorá emitovala akcie, odhadne súčasnú hodnotu všetkých budúcich finančných

tokov. Problém tejto metódy spočíva v ťažkosti presne odhadnúť budúce finančné toky.

Zostavením portfólia sa myslí určiť konkrétne aktíva z vybraných kategórií aktív

v prvom kroku a pomer v akom sa do nich bude investovať. V tejto fáze sa robia tri základné

činnosti: selektivita, časovanie trhu a diverzifikácia. Selektivita znamená predpovedanie

pohybu cien jednotlivých kmeňových akcií. Časovanie trhu naopak znamená predpovedanie

celkového pohybu cien všetkých kmeňových akcií vzhľadom na cenné papiere s pevnými

príjmami (napríklad dlhopisy s kupónmi). Diverzifikáciu rozoberieme podrobne v podkapitole

2.1. Zatiaľ v stručnosti poviem, že spočíva v takej kombinácii aktív, ktorá znižuje riziko pri

najvyššom možnom výnose. Inými slovami, znamená to odstránenie špecifického rizika.

Nestačí zostaviť portfólio a len nečinne čakať. Revízia portfólia znamená zistiť, či sa

nezmenila hodnota aktív a ak áno, treba následne konať. To znamená predať v súčasnosti už

neatraktívne cenné papiere a nakúpiť atraktívne.

Ohodnocovanie výkonnosti portfólia sa vykonáva porovnávaním portfólia s vhodným

štandardom. Ohodnocuje sa najmä výnosnosť a riziko portfólia.

4

Bodie, Kane a Marcus uvádzajú len dva základné kroky investičného procesu:3

1. analýza cenných papierov a trhov,

2. zostavenie optimálneho portfólia.

Dá sa povedať, že je to len zhrnutie predchádzajúcich piatich bodov do dvoch.

1.3. Riziko Pojem riziko sa definuje napríklad ako „zdroj nebezpečenstva alebo možnosti spôsobenia

straty alebo nešťastia“.4 V ďalšej časti uvediem, ako sa odlišuje investičné riziko od pojmu

obyčajného rizika.

1.3.1. Investičné riziko

Riziko vo financiách môžeme definovať ako „kvantifikovateľnú pravdepodobnosť straty

alebo nižších ako očakávaných príjmov“.5

Táto definícia nie je celkom presná, lebo zohľadňuje len jeden z dvoch zásadných

rozdielov oproti pojmu všeobecného rizika a to jeho kvantifikovateľnosť. V skutočnosti

existuje aj druhý zásadný rozdiel. Keď hovoríme o všeobecnom riziku (napríklad riziko

nehody), má tento pojem len pejoratívny charakter. Vo financiách tomu tak nie je, pretože

investičné riziko, najmä portfóliové riziko, znamená nielen možnosť straty ale aj rovnakú

možnosť zisku. Aj pri investíciách do cenných papierov existujú výnimky. V tejto súvislosti

preto rozlišujeme symetrický rizikový profil a asymetrický rizikový profil.

Symetrický rizikový profil znamená, že riziko v tomto prípade predstavuje rovnako

pravdepodobnosť straty ako aj výnosu. Takýto rizikový profil môžeme pozorovať najmä

u akcií ale aj u niektorých finančných derivátov, ako sú napríklad forwardy.

Asymetrický rizikový profil naopak znamená pravdepodobnosť pohybu očakávaných

výnosov len jedným smerom. Takéto obmedzenie rizika je pozorovateľné len u opcií, pretože

predstavujú právo uplatniť ich ale nie povinnosť.

Opcie však nie sú predmetom nášho záujmu, preto budeme predpokladať, že pri

investíciách existujú len cenné papiere s asymetrickým rizikovým profilom.

Podľa profesora Aswatha Damodarana6 chápanie investičného rizika vystihuje najlepšie

čínsky výraz pre pojem rizika, ktorý je znázornený čínskymi znakmi na obr. 1. Prvý znak

3 BODIE, Z. – KANE, A. – MARCUS, A.J.: Investments. 2003. s. 163. 4 [cit. 20-09-2004]. Dostupné na internete: <http://www.google.sk/search?hl=sk&lr=&ie=UTF-8&oi=defmore&q=define:risk> 5 [cit. 20-09-2004]. Dostupné na internete: <http://www.investorwords.com/4292/risk.html>

5

znamená „nebezpečenstvo“, druhý „príležitosť“. Tieto dva znaky vyjadrujú súvislosť medzi

príležitosťou, čo je v našom prípade zisk a nebezpečenstvom, čo predstavuje riziko. Ako

neskôr ukážem, investora by mal zaujímať vzťah medzi výnosom a rizikom.

obr. 1 „Riziko“ čínskymi znakmi

Na základe predošlého teda môžeme vyčleniť dve základné charakteristiky, ktorými sa

odlišuje portfóliové investičné riziko od všeobecného:

1. je kvantifikovateľné,

2. znamená nielen pravdepodobnosť straty ale aj rovnakú pravdepodobnosť zisku.

1.3.2. Kvantifikácia investičného rizika a jeho historický vývoj na kapitálovom trhu

Keď teda hovoríme o kvantifikovateľnosti investičného rizika, pýtame sa, ako sa takéto riziko

dá odmerať. S odpoveďou na túto otázku prišiel ako jeden z prvých Irving Fisher v roku

1906.7 Navrhoval ako mieru ekonomického rizika použiť štatistický rozptyl. Rozptyl však

nevieme zrozumiteľne interpretovať, lebo je uvádzaný v základných jednotkách umocnených

na druhú. V praxi sa preto používa ako najlepší prostriedok vyjadrenia rizika smerodajná

odchýlka, ktorá je druhou odmocninou rozptylu.

Pri výpočtoch s takýmto rizikom predpokladáme, že skutočné výnosy portfólia sú

normálne rozdelené. Krivka na obr. 2 ukazuje normálne rozdelenie na základe historických

údajov, ktoré sa už udiali. Tieto údaje reprezentujú stĺpce v grafe.

6 DAMODARAN, A.: Investment Valuation. 2002. Chapter 4. s. 2 7 Pozri FISHER, I.: The Nature of Capital and Income. 1906.

6

obr. 2 Funkcia hustoty normálneho rozdelenia

Podľa výskumu firmy Ibbotson Associates8 boli výnosy obyčajných akcií na burze

v Spojených štátoch v rokoch 1926 – 1998 rozdelené podľa obr. 3. Keď stĺpce na tomto

obrázku porovnáme s tými na obr. 2, vidíme, že predpoklad o normálnom rozdelení ročných

výnosov akcií je len aproximáciou. Niektorí odborníci tvrdia, že takéto nepresnosti sú

spôsobené len nedostatočnou dĺžkou štatistického súboru. Napríklad pri výnosoch za tisíc

rokov (namiesto za sedemdesiat rokov) by skutočné výnosy akcií vyzerali ako stĺpce na obr.

2.

0

2

4

6

8

10

12

14

-50

až -4

0

-40

až -3

0

-30

až -2

0

-20

až -1

0

-10

až 0

0 až

10

10 a

ž 20

20 a

ž 30

30 a

ž 40

40 a

ž 50

50 a

ž 60 výnos v %

počet rokov

obr. 3 Histogram ročných výnosov akcií na burze v USA v období 1926 – 1998. (Prameň: Ibbotson

Associates, Inc.: Stocks, Bonds, Bills and Inflation 1999 Yearbook. Chicago: Ibbotson Associates, 1999.)

Podľa P. Joriona9 má normálne rozdelenie pri meraní odchýlky výnosov akcií ešte jeden

nedostatok: Graf normálneho rozdelenia má nekonečné „chvosty“ na oboch stranách. To by 8 Pozri Ibbotson Associates, Inc.: Stocks, Bonds, Bills and Inflation 1999 Yearbook. Chicago: Ibbotson Associates, 1999. 9 JORION, P.: Financial Risk Manager Handbook. 2003. s. 51

náhodná premenná n

frekvencia

0

7

znamenalo, že cena akcie môže mať zápornú hodnotu, ako to definuje ľavý „chvost“ funkcie

hustoty normálneho rozdelenia na obr. 2. Toto evidentne nie je pravda, preto P. Jorion

navrhuje použiť logaritmicko-normálne rozdelenie. Keďže logaritmovaná premenná nemôže

byť záporná, vyriešilo by to načrtnutý problém. Ľavý „chvost“ grafu by sa končil v bode 0,

ako to ilustruje obr. 4.

obr. 4 Funkcia hustoty logaritmicko-normálneho rozdelenia

Keďže pravdepodobnosť, že by sa v praxi takýto prípad vyskytol, je nízka, budeme pri

analýze modelov počítať s normálnym rozdelením výnosov.

1.3.3. Klasifikácia investičného rizika

Ukázali sme si, že miera rizika sa vyjadruje smerodajnou odchýlkou. Takto vyjadrené riziko

reprezentuje celkové riziko portfólia alebo cenného papiera. Ak chceme odstrániť časť tohto

rizika (ako vysvetlím nižšie, celé riziko nie je možné odstrániť), je pre nás dôležitá

dekompozícia celkového rizika na menšie časti.

Investičné riziko možno rozdeliť na dve základné zložky:

1. špecifické riziko (specific risk),

2. trhové riziko (market risk).

Špecifické riziko sa nazýva v odbornej literatúre aj nesystematické, premenlivé,

diverzifikovateľné alebo jedinečné riziko. Podľa D. Blakea sa špecifické riziko skladá zo

štyroch zložiek: manažérske, operačné, finančné a zálohové riziko.10 Pre lepšie pochopenie

pojmu špecifického rizika tieto zložky stručne vysvetlím, z matematického hľadiska však pre

nás nie sú podstatné.

10 BLAKE, D.: Analýza finančních trhů. 1995. s. 80

náhodná premenná n

frekvencia

0

8

Manažérske riziko vyplýva z možnosti, že manažéri danej firmy nebudú kompetentní

a budú viesť firmu k nesolventnosti. Takéto riziko je najväčšie pri nových alebo neznámych

firmách, ktoré môžu mať problém presadiť sa na finančných trhoch.

Operačné riziko je riziko, že firma nebude schopná generovať dostatočné tržby na krytie

fixných nákladov jej činnosti. Týka sa aktívnej strany súvahy firmy.

Finančné riziko sa týka pasívnej strany súvahy firmy a je to riziko, že firma nebude

schopná kryť fixné náklady, ako sú napríklad fixné úrokové náklady.

Zálohové riziko (collateral risk) je závislé od toho, aké má investor požiadavky na aktíva

firmy, ktorá sa ocitla v konkurze. Vo všeobecnosti to znamená poradie, ktorom sa budú

uspokojovať investori. Investori sa uspokojujú v nasledovnom poradí podľa typu investície:

zaistené dlhopisy, nezaistené dhopisy, preferenčné akcie a nakoniec kmeňové akcie.

Všetky druhy špecifického rizika sú vlastne rizikom nesolventnosti firmy. V druhej

kapitole sa budem snažiť vysvetliť, ako možno odstrániť špecifické riziko diverzifikáciou

portfólia pomocou rôznych modeloch.

Trhové riziko môžeme nájsť tiež pod názvom systematické riziko. Vyznačuje sa hlavne

tým, že ho nemožno diverzifikovať. Zatiaľ čo špecifické riziko vyplýva z konkrétnej situácie

v konkrétnej firme, trhové riziko je ovplyvňované makroekonomickými udalosťami.

Výkonnosť trhu je ovplyvňovaná čisto len makroekonomickými podmienkami, pretože

špecifické (mikroekonomické) podmienky sa na trhu sa spriemerujú pôsobením tisícov firiem

a cenných papierov a tým nemajú na trhovú výkonnosť žiaden vplyv.11 Zatiaľ čo špecifické

riziko je rizikom straty solventnosti firmy, trhové riziko väčšinou ovplyvňuje len cenu

cenného papiera emitovaného firmou na trhu.12 Pretože sa trhové riziko nedá diverzifikovať,

požadujú zaň investori rizikovú prémiu.

Túto prémiu väčšinou zarátajú spolu s reálnym úrokom, infláciou a prémiou za likviditu

do nominálnej úrokovej miery, ktorej výpočet ilustruje známy vzťah:

σπρ +++= lr , (1)

kde r je nominálna úroková miera, ρ reálna úroková miera, π očakávaná miera inflácie, l

prémia za likviditu a σ prémia za trhové riziko. Nominálnu úrokovú mieru v závislosti od

doby do splatnosti graficky znázorňuje obr. 5. Hrubo vyznačená krivka sa nazýva výnosová

krivka. Na obrázku je rozložená na jednotlivé zložky podľa vzťahu (1). Vidíme, že čím dlhšia

je doba do splatnosti alebo doba držania, tým požadujú investori vyššiu prémiu za likviditu

a riziko. Platí tu zákon klesajúceho hraničného prírastku k požadovanej prémii. Napríklad, nie 11 BREALEY, R.A. – MYERS, S.C. – MARCUS, A.J.: Fundamentals of Corporate Finance. 2001. s. 408 12 Ref. 10, s. 81

9

je až taký veľký rozdiel medzi dobou splatnosti 30 a 31 rokov. Rozdiel jedného roka je však

už rozhodujúci pri rozhodovaní medzi jednoročnou a dvojročnou investíciou.

obr. 5 Dekompozícia výnosovej krivky

Cenu akcie ovplyvňuje trhové riziko hlavne fluktuáciou ziskov emitenta. Cenu

dlhopisov trhové riziko ovplyvňuje fluktuáciou úrokových sadzieb. Takéto riziko sa nazýva

úrokové riziko. V súvislosti s kupónovými dlhopismi je podstatné aj reinvestičné riziko. Je to

riziko z reinvestície kupónov za zhoršených úrokových podmienok.

Špecifické a trhové riziko matematicky môžeme nazvať aj variančné a kovariančné.

Tieto riziká sa dajú exaktne vypočítať viacerými spôsobmi. Jedným z nich je vzťah, ktorý

štatisticky vysvetľuje diverzifikáciu. Tento výpočet ukážem v druhej kapitole. Zatiaľ môžeme

zaviesť nasledujúci vzťah:

celkové riziko = špecifické riziko + trhové riziko = variančné riziko + kovariančné riziko.

V prípade, že hovoríme o faktorových modeloch, ako napríklad APT, sa riziko bude

členiť na faktorové a nefaktorové alebo tiež idiosynkratické riziko.

doba do splatnosti v rokoch

Úroková sadzba σ prémia za riziko

l prémia za likviditu

π očakávaná inflácia

ρ reálny úrok

10

2. TEORETICKÉ PROBLÉMY A MODELY ZMIERŇOVANIA RIZIKA

V tejto kapitole vysvetlím princíp diverzifikácie portfólia a analyzujem nasledujúce modely,

ktoré rozoberajú problematiku rizika portfóliových investícií:

− Markowitzov model,

− Model oceňovania kapitálových aktív (CAPM),

− Faktorové modely a teória arbitrážneho oceňovania (APT),

− Ďalšie modely a metódy zmierňovania rizika.

Ako som už spomenul vyššie, jedine špecifické riziko sa dá odstrániť diverzifikáciou.

Uvidíme, že vždy ostáva ešte trhové alebo faktorové riziko. Keďže špecifické riziko dokáže

investor odstrániť, nepožaduje zaň žiadnu prémiu. Keď už investor nemôže odstrániť trhové

riziko, pýtame sa, akú prémiu by zaň mal požadovať. Na túto otázku dáva odpoveď model

oceňovania kapitálových aktív alebo teória arbitrážneho oceňovania.

2.1. Diverzifikácia portfólia Diverzifikácia je jav, ktorý vzniká pri kombinácii aktív, ktorých výnosy majú korelačný

koeficient nižší ako 1. V praxi to znamená, že takouto kombináciou investor dosiahne značné

zníženie rizika v porovnaní s priemerným rizikom týchto aktív osobitne pri zachovaní

priemerného očakávaného výnosu. Konkrétnym cieľom diverzifikácie je snaha vytvoriť také

portfólio, ktoré bude ležať na takzvanej efektívnej množine. Efektívnu množinu podrobnejšie

rozoberiem nižšie, zatiaľ však v stručnosti prezradím, že je to taká množina portfólií, pre

ktoré neexistujú žiadne portfóliá, ktoré by mali vyšší výnos pri rovnakom riziku alebo nižšie

riziko pri rovnakom výnose.

Na začiatok je potrebné urobiť niekoľko základných predpokladov, ako ich uvádzajú

Sharpe a Alexander:13

1. investor hodnotí portfólio podľa jeho smerodajnej odchýlky s horizontom jedného

roka,

2. investor si z dvoch portfólií s rovnakým rizikom vyberie to, ktoré má vyšší výnos, 13 Ref. 2, s. 166

11

3. investor si z dvoch portfólií s rovnakým výnosom vyberie to, ktoré má nižšie riziko,

4. aktíva sú nekonečne deliteľné,

5. existuje bezriziková úroková sadzba, za ktorú môže investor požičiavať alebo si

vypožičiavať,

6. dane a transakčné náklady sú zanedbané.

2.1.1. Portfólio zložené z dvoch akcií

Ako som už vyššie spomenul, pre meranie rizika sa používa smerodajná odchýlka výnosu

vypočítaná z historických údajov o výnosoch. Teraz ukážem, ako sa vypočíta korelačný

koeficient dvoch akcií, smerodajná odchýlka výnosov portfólia a jeho očakávaný výnos

a následne porovnám tri základné scenáre, pre korelačný koeficient výnosov 1, 0 a -1.

Pre zjednodušenie budeme uvažovať portfólio len s dvomi akciami: A a B. Tieto akcie

majú svoje základné charakteristiky, ktoré popisuje tab. 1.

tab. 1 Ročné výnosy akcie A a B

Rok výnos akcie A v roku t výnos akcie B v roku tt Atμ Btμ1 -0.25 0.12 0.05 0.33 0.4 -0.224 0.45 0.185 0.32 -0.01

Najprv pomocou jednoduchého aritmetického priemeru vypočítame očakávané výnosy akcií

A a B:

%4.19194.051)32.045.04.005.025.0( ==++++−=Ar ,

%0.707.051)01.018.022.03.01.0( ==−+−+=Br .

Rozptyl i-tej akcie sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

∑=

−=N

tiiti rr

N 1

22 )(1σ , (2)

kde ir je priemerný výnos i-tej akcie a itr je výnos i-tej akcie v roku t . Rozptyly akcií A a B

potom vypočítame nasledovne:

0.0683445

34172.02 ==Aσ , 0.031285

1564.02 ==Bσ .

12

Rozptyly odmocníme a dostaneme smerodajné odchýlky A a B:

%14.260.2614068344.0 ===Aσ , %69.170.176903128.0 ===Bσ .

tab. 2 Potrebné údaje a medzi výpočty pre výpočet rozptylu

t Atr )( AAt rr − 2)( AAt rr − Btr )( BBt rr − )( BBt rr − ))(( BBtAAt rrrr −−

1 -0,25 -0,444 0,197136 0,1 0,03 0,0009 -0,013322 0,05 -0,144 0,020736 0,3 0,23 0,0529 -0,033123 0,4 0,206 0,042436 -0,22 -0,29 0,0841 -0,059744 0,45 0,256 0,065536 0,18 0,11 0,0121 0,028165 0,32 0,126 0,015876 -0,01 -0,08 0,0064 -0,01008

Σ 0,97 0,34172 0,35 0,1564 -0,0881

Kovariancia i-tej a j-tej akcie sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

[ ]∑=

−−=N

tjjtiitij rrrr

N 1

))((1σ . (3)

Kovariancia výnosov akcie A a B sa vypočíta nasledovne:

0.0176250881.0

51 5

1−=

−== ∑

=tBtAtAB σσσ .

Vidíme, že kovariancia je záporné číslo, čo nám naznačuje, že výnosy týchto dvoch

akcií sú záporne korelované. Nevieme však, do akej miery sú záporne korelované. Na to

potrebujeme vypočítať korelačný koeficient:

0.381−==BA

ABAB σσ

σρ .

Vieme, že korelačný koeficient môže nadobúdať hodnoty v rozsahu <-1, 1>. Korelačný

koeficient nám už aj hovorí do akej miery je prítomná korelácia. V našom prípade je to slabá

záporná korelácia.

Ukázali sme si, ako sa dajú vypočítať niektoré potrebné premenné. Aby sme mohli

pozorovať efekt diverzifikácie, predstavme si, že sme za 60% našich financií kúpili akcie A a

za 40% akcie B ( 6.0=Ax , 4.0=Bx ).

Vo všeobecnosti môžeme výnos celého portfólia zapísať podľa nasledujúceho vzorca:

i

N

iip rxr ∑

=

=1

(4)

Očakávaná výnosnosť portfólia akcií A a B potom je:

%44.14%0.74.0%4.196.02211 =×+×=+= rxrxrp .

13

Vypočítali sme rozptyly jednotlivých akcií ako aj ich vzájomnú koreláciu. Pre výpočet

rozptylu celého portfólia zloženého z týchto akcií použijeme nasledujúcu kovariančnú maticu

uvedenú v tab. 3.

tab. 3 Kovariančná matica akcií A a B

A B

A

0.0246038068344.06.0 2

22

==×=

=AAx σ

0.004228

1769.02614.0)381.0(4.06.0−=

=××−××==BAABBAxx σσρ

B 0.004228

1769.02614.0)381.0(4.06.0−=

=××−××==BAABBAxx σσρ

0.005004803128.04.0 2

22

==×=

=BBx σ

Rozptyl portfólia vypočítame jednoducho tak, že sčítame jednotlivé prvky kovariančnej

matice. Vo všeobecnosti to môžeme zapísať nasledovne:

)2( 2222BBBAABBAAAp xxxxVar σσσρσ ++= . (5)

Keď do predchádzajúceho vzťahu dosadíme, dostávame:

0.0211526)2( 2222 =++= BBBAABBAAAp xxxxVar σσσρσ .

Smerodajnú odchýlku portfólia vypočítame ako druhú odmocninu jeho rozptylu:

%54.140.14543930211526.0 ==== pp Varσ .

Vidíme, že smerodajná odchýlka diverzifikovaného portfólia je nielen nižšia ako vážený

aritmetický priemer odchýlok jednotlivých akcií, ale záporná korelácia akcií A a B dokonca

spôsobila, že smerodajná odchýlka portfólia je nižšia ako ktorákoľvek z odchýlok

jednotlivých akcií.

Aby sme lepšie ilustrovali efekt diverzifikácie, pozrieme sa teraz na extrémne prípady:

keď je korelačný koeficient rovný 1, 0 a -1.

Akcie A a B sú dokonale korelované

V takomto prípade nemusíme korelačný koeficient dosádzať do jednotlivých prvkov

kovariančnej matice v tab. 3. Stačí odvodiť vzorec pre výpočet smerodajnej odchýlky

a priamo doňho dosadiť:

222222222 )()2()2( BBAABBBABAAABBBAABBAAAp xxxxxxxxxxVar σσσσσσσσσρσ +=++=++= . (6)

Môžeme teda konštatovať, že ak 1=ABρ , potom

14

BBAApp xxVar σσσ +== . (7)

Dosadíme do vzťahu (7) hodnoty pre A a B a vypočítame:

%77.220.2277 ==+== BBAApp xxVar σσσ .

Z výsledku vidíme, že pokiaľ sú dve aktíva dokonale korelované, ich smerodajná

odchýlka je jednoducho priemer jednotlivých odchýlok týchto aktív vážený ich podielom

v portfóliu.

Preto sa v takomto prípade nedá hovoriť o diverzifikácii. Zo vzťahu (7) tiež vidíme, že

neexistuje možnosť, aby pσ bola rovná nule, pretože žiadna zložka vzťahu nemôže byť

záporná. Je to vidieť aj na obr. 6.

obr. 6 Diverzifikácia dvoch dokonale korelovaných akcií

Racionálny investor takéto dva cenné papiere nebude kombinovať, pretože nijako

neznižujú riziko celého portfólia.

Akcie A a B sú dokonale záporne korelované

V tomto prípade, rovnako ako v predošlom, si odvodíme priamo vzorec pre smerodajnú

odchýlku a dosadíme.

222222222 )()2()2( BBAABBBABAAABBBAABBAAAp xxxxxxxxxxVar σσσσσσσσσρσ −=+−=++= . (8)

Z toho teda vyplýva, že ak 1−=ABρ , potom

BBAApp xxVar σσσ −== . (9)

Dosadíme do vzorca (9):

%61.80.0861==−== BBAApp xxVar σσσ .

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P

A

Pr

pσ

15

Pozorujeme, že sa riziko o poznanie znížilo. V tomto prípade je zaujímavá aj ďalšia

skutočnosť: Ak 1−=ABρ , jedine vtedy môže nastať situácia, že pri určitom pomere akcií

A a B dostaneme výsledok s nulovým rizikom. Takýto pomer dostaneme tak, že sa spýtame,

kedy môže byť smerodajná odchýlka portfólia vo vzťahu (9) rovná nule. Odpoveď znie, že

jedine vtedy, pokiaľ platí:

BBAA xx σσ = . (10)

Podmienka (10) platí práve vtedy, keď

BA

BAx

σσσ+

= a BA

ABx

σσσ+

= . (11)

V našom portfóliu by to teda znamenalo pomer približne 0.40360483=Ax ,

0.596395=Bx . Po dosadení do vzorca (9) dostávame:

%0000000027.0 ≈=−== BBAApp xxVar σσσ 14 .

Takýto prípad môžeme pozorovať v bode P na obr. 7.

obr. 7 Diverzifikácia dvoch dokonale záporne korelovaných akcií

Akcie A a B nie sú korelované

Táto možnosť dokazuje, že diverzifikácia funguje aj v prípade nekorelovaných aktív.

Použijeme znova rovnaký postup:

222222222222 )()2( BBAABBAABBBAABBAAAp xxxxxxxxVar σσσσσσσρσ +=+=++= . (12)

Ak 0=ABρ , potom

14 Nepresný výsledok je spôsobený zaokrúhľovaním.

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P

A

Pr

pσ

P’

16

2222BBAApp xxVar σσσ +== . (13)

Dosadíme do vzorca (13):

%21.170.17212222 ==+== BBAApp xxVar σσσ

V takomto prípade už nemôžeme dosiahnuť nulové riziko. Môžeme však vypočítať takú

kombináciu akcie A a B, pri ktorej bude riziko najnižšie možné. Takýto prípad môžeme

pozorovať v bode H na obr. 8.

obr. 8 Diverzifikácia dvoch nekorelovaných akcií

Vo všetkých uvedených prípadoch ostáva očakávaný výnos portfólia rovnaký a to

vážený priemer výnosov cenných papierov v portfóliu.

2.1.2. Diverzifikácia N cenných papierov

Ideálna diverzifikácia by znamenala nákup všetkých rizikových aktív, ktoré trh ponúka,

pretože by takto investor úplne odstránil špecifické riziko. Ostalo by len trhové riziko, ktoré

by mohlo ovplyvniť výnos jeho portfólia. Keďže väčšinou z rôznych dôvodov nie je možné

takúto náročnú investíciu realizovať (napr. na NYSE sa obchoduje v súčasnosti s okolo 3100

kmeňovými akciami15), bude sa musieť investor uspokojiť len s kombináciou niektorých

aktív. Aby odstránil špecifické riziko, investor by mal kombinovať také aktíva, ktoré majú

zápornú koreláciu odchýlok od očakávaného výnosu. V praxi sa však v súčasnosti sotva

stretneme s dvoma aktívami, ktorých výnosy sú záporne korelované, preto sa investor bude

musieť uspokojiť aj s kladnou koreláciou, avšak vždy menšou ako 1. V opačnom prípade by

15 Ref. 11, s. 314.

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

PPr

pσ

A

H

Hσ

Hr P’

17

diverzifikácia nemala zmysel, pretože celkové riziko by už nebolo výsledkom kovariancie

výnosov týchto aktív, ale len ich aritmetického priemeru váženého podielom jednotlivých

aktív v portfóliu.

Z tab. 4 vidíme, že kovariancie medzi jednotlivými aktívami, ktorých políčka sú biele,

vysoko prevažujú nad rozptylmi samotných aktív, ktoré sú označené šedou farbou. Už takéto

grafické znázornenie napovedá, že kovariancie majú na celkové riziko väčší vplyv ako

rozptyly.

tab. 4 Kovariančná matica pre n aktív

j

1 2 ... n ... N

1 21

21σx 211221 σσρxx ... NNNxx σσρ 111

2 211221 σσρxx 22

22σx ... NNNxx σσρ 222

... n

...

...

...

...

... i

N NNNxx σσρ 111 NNNxx σσρ 222 ... 22NNx σ

Najlepšie je to vidieť z nasledujúcej úvahy. Predpokladajme, že do každého cenného

papiera v portfóliu investujeme rovnaké množstvo zdrojov. Môžeme teda povedať, že

N

xx ji1, = pre Nji ,...2,1, = . (14)

Vieme, že riziko celého portfólia dostaneme tak, že sčítame všetky prvky kovariančnej

matice. Formálne napíšeme:

∑∑= =

=N

i

N

jjiijjip xxVar

1 1σσρ . (15)

Pre naše portfólio to teda bude:

∑∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

N

i

N

jjiijp N

Var1 1

21 σσρ . (16)

Pre nás je podstatné sledovať dve základné zložky: kovarianciu a rozptyl – naše biele

a šedé polia. Z tab. 4 vidíme, že rozptyly sa nachádzajú v N poliach a kovariancie v NN −2

poliach, keďže ide vlastne o obyčajný štvorec. Pre naše potreby bude vhodné, ak vyjadríme

18

naše rozptyly ako aritmetický priemer všetkých rozptylov ( 2σ ) a podobne to spravíme

s kovarianciami ( ijσ ). Môžeme konštatovať, že

ij

ijp

NN

NNN

NNVar

σσ

σσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

111

1)(1

2

222

2

. (17)

Zo vzťahu (17) vidíme, že ak bude rásť N , tak sa rozptyl portfólia bude stále viac

približovať k priemernej kovariancii ( ijσ ).

Môžeme povedať, že priemerná kovariancia predstavuje trhové riziko. Je vidieť, že toto

riziko v portfóliu ostane vždy. Naopak, špecifické riziko (variančné riziko), ktoré nám

predstavuje rozptyl jednotlivých akcií, bude pridávaním akcií do portfólia miznúť. Brealey

a Myers uvádzajú, že väčšina diverzifikácie sa dosiahne v portfóliu zloženom z menej ako 20

alebo 30 cenných papierov; potom už pridanie aktíva spôsobuje už len malé zlepšenie.16 Je to

vidieť na obr. 9.

obr. 9 Závislosť rizika portfólia od počtu cenných papierov v portfóliu

2.2. Markowitzov model a jeho rozšírenie o bezrizikovú operáciu

Princíp takejto diverzifikácie sformuloval Harry Markowitz, ktorý za svoj prínos dostal v roku

1990 Nobelovu cenu. Táto teória sa tiež nazýva moderná teória portfólia (Modern

portfolio theory - MPT).

16 BREALEY, R.A. – MYERS, S.C.: Teorie a praxe firemních financí. 1999. s. 147

Smerodajná odchýlka

Počet cenných papierov v portfóliu

1 10 5

špecifické riziko

trhové riziko

19

Samotná diverzifikácia nebola vtedy už ničím novým. O diverzifikácii hovoril už John

Burr Williams v tridsiatych rokoch dvadsiateho storočia. Williams bol presvedčený, že

diverzifikácia eliminuje úplne všetko riziko:17 „Zvyčajný spôsob ohodnocovania rizikového cenného papiera znamená pridať prémiu za riziko k čistej úrokovej miere a potom použiť tento súčet ako mieru na diskontovanie budúcich príjmov. ... Presnejšie povedané, ak je dlhopis ocenený správne, nie je pri jeho kúpe žiadne riziko. Pri správnej diverzifikácii zisk z takého nákupu prevýši stratu a tak sa dosiahne výnos vo výške čistej úrokovej miery. Takto sa riziko úplne odstráni.“18

Za Markowitzov hlavný prínos sa považuje, že odstránil Williamsov omyl. Markowitz

poukázal na to, že pre investora nie je dôležitý rozptyl výnosov jednotlivých aktív v portfóliu.

To, čo v skutočnosti investora zaujíma, je príspevok jednotlivých aktív k riziku celého

portfólia, teda kovariancia medzi jednotlivými aktívami.

Treba tiež pripomenúť, že v roku 1952 nezávisle od Markowitza uverejnil veľmi

podobnú teóriu Roy, o ktorom sa neskôr Markowitz vyjadril, že Royovi patrí rovnaký podiel

na sláve za MPT, ako jemu.

2.2.1. Veta o efektívnej množine

V predošlom príklade sme sa rozhodli, že investujeme 60% nášho kapitálu do akcie

A a zvyšok do akcie B. Ako však vieme, že takéto rozhodnutie naozaj optimalizuje riziko pri

danom výnose portfólia?

Bez ohľadu na to, aký sklon k riziku má investor, musí platiť nasledujúci princíp, ktorý

Sharpe nazýva vetou o efektívnej množine:19

Investor si vyberie svoje optimálne portfólio z množiny portfólií, ktoré:

1. ponúkajú maximálny očakávaný výnos pri rôznych úrovniach rizika,

2. ponúkajú minimálne riziko pri rôznych úrovniach očakávaného výnosu.

To znamená, že racionálny investor sa môže rozhodnúť investovať len do takej

kombinácie aktív, ktorá leží na efektívnej množine.

Efektívna množina je podmnožinou prípustnej množiny, ktorá je na obr. 10 vyznačená

šedou farbou. Efektívnu množinu kombinácie akcií ACDB ilustruje úsek PB. Všimnime si, že

17 WILLIAMS, J.B.: The Theory of Investment Value. North Holland Publishing 1938. reprinted Fraser Publishing 1997. s. 67-69. In: RUBINSTEIN, M.: Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty-Year Retrospective [online]. 18 Z angličtiny preložil autor. Znenie pôvodného citátu: “The customary way to find the value of a risky security has been to add a ‘premium for risk‘ to the pure rate of interest, and then use the sum as the interest rate for discounting future receipts. … Strictly speaking, however, there is no risk in buying the bond in question if its price is right. Given adequate diversification, gains on such purchases will offset loses, and a return at the pure interest rate will be obtained. Thus the net risk turns out to be nil.” 19 Ref. 2, s. 128

20

úsek PA nepatrí do efektívnej množiny, lebo pri rovnakom riziku sa dá dosiahnuť vyšší

výnos.

obr. 10 Prípustná a efektívna množina

Z uvedeného vyplýva, že naše prostriedky musíme rozdeliť takým spôsobom, aby

takáto kombinácia vytvorila portfólio, ktoré leží v úseku PB, napríklad portfólio O. Ako

určíme takýto pomer? Odpoveď nám našťastie dal Harry Markowitz vo svojej práci.20 Pomer

určíme pomocou úlohy kvadratického programovania.

2.2.2. Kvadratické programovanie a výpočet efektívneho portfólia

Kvadratické programovanie je úloha matematického programovania, ktorého ohraničenia sú

lineárne, a ktorého účelová funkcia je nelineárna suma výrazov nkn

kk xxx ...2121 so stupňom

nkkk +++ ...21 maximálne 2.21

Na obr. 10 vidíme, že bodu O zodpovedá výnos Or . Ako zistíme smerodajnú odchýlku

pre tento bod? Smerodajnej odchýlke Oσ zodpovedá nekonečne veľa očakávaných výnosov

vo vnútri prípustnej množiny, napríklad aj výnos Qr , ktorý je pre danú odchýlku najmenší.

My však chceme práve ten jeden, ktorý je zároveň aj súčasťou efektívnej množiny. Naša

úloha teda znie: pri danom očakávanom výnose nájsť také pomery ix , ktoré minimalizujú

smerodajnú odchýlku. Účelovú funkciu takejto úlohy matematicky vyjadríme nasledovne:

20 Pozri: MARKOWITZ, H.: The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints. In: Naval Research Logistics Quarterly 3, No. 1-2. March-June 1956. s. 111-133. 21 KOMORNÍK, J. – KOMORNÍKOVÁ, M. – MIKULA, K.: Modelovanie ekonomických a finančných procesov. 1997. s. 44.

A

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P D

C

OOr

QO σσ =

Q Qr

21

∑∑= =

=N

i

N

jijjip xxMin

1 1

σσ . (18)

Už vieme, že výnos celého portfólia sa musí rovnať priemeru výnosov jednotlivých akcií

vážených ich podielom v portfóliu:

∑=

=N

iOii rrx

1. (19)

Súčet podielov jednotlivých akcií sa musí rovnať 100%:

∑=

=N

iix

11 (20)

a podiel akcií musí byť nezáporný:

Nixi ...,,2,1;0 =≥ . (21)

Vzťahy (19), (20) a (21) sú lineárnymi podmienkami našej optimalizačnej úlohy.

Postup výpočtu ilustrujem na príklade. Predpokladajme, že chceme rozdeliť naše

prostriedky medzi tri akcie, pre ktoré poznáme očakávaný výnos iμ , rozptyl 2iσ i-tej akcie

a kovarianciu ijσ i-tej a j-tej akcie.

Stanovme si napríklad, že 1.01 =r , 05.02 =r , 16.03 =r , 2.021 =σ , 03.02

2 =σ ,

18.023 =σ , 05.012 =σ , 02.013 =σ , 03.023 =σ . Označme ir ročnú návratnosť i-tej akcie a ix

podiel našich prostriedkov investovaných do tejto akcie. Potom očakávaný výnos nášho

portfólia troch akcií je:

332211 rxrxrxrO ++= .

Vieme, že chceme zostaviť také portfólio, ktorého výnos bude Or ako na obr. 10.

Predpokladajme, že %10=Or . Takto nám vzniká prvé lineárne ohraničenie:

1.0332211 =++ rxrxrx , v našom konkrétnom prípade

1.016.005.01.0 321 =++ xxx .

Znížiť riziko na minimálnu možnú hodnotu znamená minimalizovať rozptyl portfólia:

)( 332211 rxrxrxVarVarp ++= ,

čo je rovné so vzťahom

23321331122123

23

22

22

21

21 222 σσσσσσ xxxxxxxxxVarp +++++= .

Keďže chceme zistiť smerodajnú odchýlku a nie rozptyl, účelová funkcia bude vyzerať takto:

23321331122123

23

22

22

21

21 222 σσσσσσσ xxxxxxxxxp +++++=

22

Keď zhrnieme predošlé a dosadíme za σi2

a ijσ , čím dostaneme účelovú funkciu, môžeme

úlohu kvadratického programovania formulovať nasledovne:

32312123

22

21 06.004.01.018.008.02.0 xxxxxxxxxMin p +++++=σ

1.016.005.01.0 321 ≥++ xxx

1321 =++ xxx

3;2;1;0 =≥ jx j

Podľa Kuhn-Tuckerových nutných a postačujúcich podmienok pre minimum a použitím

Lagrangeových multiplikátorov (alebo jednoducho použitím výpočtovej techniky) dostávame

výsledok:22

261124.0=pσ ; 19447.01 =x ; 43938.02 =x ; 36615.03 =x .

Matematický výsledok môžeme formulovať pre využitie v praxi nasledovne: Ak chce

investor dosiahnuť ročný výnos portfólia aspoň 10% pri najnižšom možnom riziku (ktoré

predstavuje smerodajná odchýlka portfólia 26.11%), musí svoje prostriedky rozdeliť medzi

vybrané tri akcie nasledovne: 19.5%, 43.9%, 36.6% do prvej, druhej a tretej akcie v tomto

poradí.

Takýto postup mu zaručí, že vypočítané portfólio, bude ležať na efektívnej množine. Na

základe vstupných údajov vidíme, že pri väčšom počte cenných papierov v portfóliu je

potrebné vyrátať veľké množstvo kovariancií. Tento problém podrobnejšie popíšem v tretej

kapitole.

2.2.3. Averzia k riziku a indiferenčná krivka

Portfólio musí v každom prípade ležať v efektívnej množine. Vieme ako vypočítať podiel

jednotlivých aktív pomocou kvadratického programovania. Všetky portfóliá, ktoré ležia

v efektívnej množine sú najlepšie, aké si môže investor vybrať. Problém je, že ich je

nekonečne veľa, preto si musí vybrať len jedno. Ako určiť, ktoré portfólio je optimálne? Aby

sme vedeli odpovedať, musíme si zaviesť pojem averzie investora k riziku a jej grafické

znázornenie indiferenčnou krivkou.

22 Aby sme zjednodušili výpočet môžeme účelovú funkciu postaviť na základe rozptylu portfólia:

32312123

22

21 06.004.01.018.008.02.0 xxxxxxxxxVarMin p +++++= a potom výsledok jednoducho odmocniť.

Dostali by sme 0681855.0=pVar a 261124.00681855.0 === pp Varσ

23

Predstavme si, že investor sa má rozhodnúť medzi dvoma portfóliami ľubovoľných

aktív. Prvé bude mať očakávaný ročný výnos 8% a druhé 9%, pričom obidve majú

smerodajnú odchýlku rovnakú, napríklad 10%. Z vety o efektívnej množine je zrejmé, že

racionálny investor si vyberie portfólio s väčším výnosom, v našom prípade 9%. Ako sa ale

rozhodne, ak prvé portfólio bude mať očakávaný výnos 8% a smerodajnú odchýlku 10%

a druhé bude mať očakávaný výnos 9% ale smerodajnú odchýlku 13%?

Aby sme vedeli odpovedať, potrebujeme zaviesť premennú, ktorá sa nazýva averzia

investora k riziku. Pomocou nej je možné vytvoriť matematický model rozhodovania, ktorý

bude platiť na každého investora s rozdielnou averziou k riziku. Takýto model je založený na

predpoklade, ktorý sa nazýva homogénne očakávania. Znamená to zjednodušenie reality

a predpokladá, že všetci investori sa rozhodujú na základe rovnakých očakávaných výnosov,

rozptylov a kovariancií, pričom averzia k riziku ostáva u každého investora rozdielna.23

Matematicky môžeme definovať averziu k riziku v nasledujúcom matematickom

modeli:24

2005.0 σArU p −= , (22)

kde U je účelová funkcia, pr je očakávaný výnos portfólia, A je stupeň averzie investora

k riziku a nakoniec 2σ rozptyl. Konštanta 0.005 sa nazýva kalibračný koeficient a slúži na

vyváženie premennej A . Premenná A má väčšinou hodnotu v rozsahu <2,4>,25 pričom nie je

vylúčené aj väčšie rozpätie. Menšie A znamená menšiu averziu k riziku a vice versa. Investor

sa rozhodne pre to portfólio, ktoré má vyšší výsledok účelovej funkcie U .

Uvažujme napríklad investora, ktorý má nízku averziu k riziku 2=A . Teraz už môžeme

odpovedať na otázku, ktorú sme položili v úvode tejto časti. Stačí len dosadiť uvedené

hodnoty do vzorca (22) a porovnať. Zo zadania vyplýva, že 81 =r , 92 =r , 10010221 ==σ ,

16913222 ==σ . Dosaďme a vypočítajme:

71002005.081 =××−=U ,

31.71692005.092 =××−=U .

Z výpočtov vyplýva, že investor s averziou k riziku 2=A by sa rozhodol pre druhé

portfólio s účelovou funkciou 31.72 =U .

Skúsme vymeniť investora za takého, ktorý má vyššiu averziu k riziku 4=A . Pri

predpoklade ceteris paribus dosadíme A do vzorca (22): 23 Ref. 35, s. 275. 24 BODIE, Z. – KANE, A. – MARCUS A. J.: Investments: Chapter 6. Slide 4. March 1998 25 Portfolio Construction Examples. Portfolio Selection and Risk Aversion.

24

61004005.081 =××−=U ,

62.51694005.092 =××−=U .

Takýto investor by si už vybral prvé portfólio s účelovou funkciou 6.

Zistili sme, že každý investor môže preferovať iné portfólio, pričom sa nedá objektívne

povedať, že by jeden z nich bol racionálnejší ako druhý. Na obr. 11 vidíme vzťah medzi

smerodajnou odchýlkou a požadovaným očakávaným výnosom. Dve krivky vyjadrujú

potenciálne správanie dvoch investorov s rozdielnou averziou k riziku. Nazývame ich

indiferenčné krivky. Krivky vyznačené čiarkovane znázorňujú preferencie investora I2

s nižšou averziou k riziku. Naopak preferencie investora I1 s vyššou averziou k riziku

reprezentujú bodkované krivky.

obr. 11 Indiferenčné krivky dvoch investorov s rozdielnou averziou k riziku

Z obrázku vidíme, že prerušovaná krivka investora s vyššou averziou k riziku je strmšia.

Inými slovami, investor s vyššou averziou požaduje pri rovnakom riziku vyšší výnos ako

investor s nižšou averziou.

Na averziu k riziku u ľudí vplývajú rôzne faktory. Výskumy ukázali, že jedným

z výraznejších vplyvov je vek človeka. Podľa dvoch holandských výskumníkov Kapteyna

a Teppu averzia k riziku rastie s vekom.26 Tento výskum je však podľa môjho názoru

všeobecný a je otázne, či sa dá aplikovať aj na profesionálnych manažérov, ktorí často

narábajú s cudzími financiami.

26 KAPTEYN, A. – TEPPA, F.: Subjective Measures of Risk Aversion and Portfolio Choice. 2002. s. 13.

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

I2

I1

25

2.2.4. Spojenie indiferenčnej krivky a efektívnej množiny

Keď sme si zaviedli indiferenčnú krivku, vieme už odpovedať na otázku, ktoré portfólio

z efektívnej množiny si investor vyberie: Jednoducho to, ktoré leží na dotyčnici indiferenčnej

krivky a efektívnej množiny.

obr. 12 Prienik efektívnej množiny a indiferenčnej krivky

Na obr. 12 vidíme, že z nekonečne mnoho kriviek, ktoré reprezentujú investora I1

a investora I2, budú použité práve tie dve, ktoré sa dotýkajú efektívnej množiny. Je

samozrejmé, že to nemôže byť krivka, ktorá nemá žiaden spoločný bod ani s prípustnou ani

s efektívnou množinou. Zároveň to tiež nemôže byť krivka, ktorá má dva spoločné body

s efektívnou množinou a nekonečno spoločných bodov s prípustnou množinou, pretože by

dávala na výber nekonečne veľa portfólií, z ktorých efektívne by boli len dve. Investor však

potrebuje práve jedno.

2.2.5. Kombinácia portfólia s bezrizikovým inštrumentom

V reálnom svete takto ponímaná Markowitzova efektívna množina nie je potenciálne

najlepšou. Ešte lepší výsledok dosiahneme po skombinovaní efektívneho portfólia

s bezrizikovým inštrumentom, či už predaným alebo kúpeným. Zásluhu o rozšírenie aplikácie

Markowitzovho modelu o bezrizikovú operáciu má najmä James Tobin.27 Po pridaní

bezrizikového inštrumentu bude efektívna množina vyzerať ako krivka PO na obr. 13, kde zr

27 Pozri TOBIN, J.: Liquidity preference as Behavior towards Risk. In: Review of Economic Studies 26, No. 1. February 1958. s. 65-86

A

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

D

C

I2

I1

26

je sadzba pre zapožičiavanie a vr je sadzba pre vypožičiavanie. Nasledujúca úvaha

predpokladá, že tieto dve sadzby sa rovnajú navzájom a sú zhodné s bezrizikovou sadzbou.

obr. 13 Efektívna množina s bezrizikovým inštrumentom pri rovnakých

sadzbách za vypožičiavanie a zapožičiavanie

Úsek PO znamená všetky možné kombinácie rizikového portfólia O ležiaceho na

Markowitzovej efektívnej množine a bezrizikového inštrumentu P. Keď hovoríme o zakúpení

bezrizikového inštrumentu, znamená to, že zapožičiavame svoje zdroje emitentovi tohto

inštrumentu. Úsek na polpriamke PO, ktorý sa nachádza nad portfóliom O, znamená

vypožičiavanie zdrojov a ich následnú investíciu do portfólia O.

Krivka PO sa nazýva priamka kapitálového trhu (capital market line - CML).

Portfólio O sa tiež nazýva tangenciálne portfólio, pretože leží v mieste dotyku priamky

kapitálového trhu a Markowitzovej efektívnej množiny.

V tretej kapitole uvidíme, že v reálnom svete rovnosť fvz rrr == nebude platiť.

Objavuje sa otázka, čo je pre účely Markowitzovho modelu bezrizikové aktívum. Podľa

Sharpa by to mal byť štátny pokladničný cenný papier s jediným hotovostným tokom až

v dobe splatnosti, ktorého dátum splatnosti je rovnaký ako doba držania rizikového portfólia

investorom.28 Odôvodňuje to tým, že pokiaľ by bol tento cenný papier splatený skôr, hrozilo

by reinvestičné riziko. To isté platí aj v prípade, keby bezrizikový cenný papier vyplácal

kupóny v priebehu držania.

28 Ref. 2, s. 139-140

A

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P

D

C

OOr

Oσ

vz rr =

27

2.3. Model oceňovania kapitálových aktív (CAPM) Ako uvidíme v tretej kapitole, Markowitzov model má niektoré nevýhody výpočtu. Preto si

myslím, že v praxi je vhodnejšie použiť model oceňovania kapitálových aktív (capital asset

pricing model - CAPM). Rozdiel spočíva aj v princípoch týchto dvoch modelov. Podľa

môjho názoru tento rozdiel výstižne porovnáva takmer po štyridsiatich rokoch od začiatkov

MPT samotný Markowitz vo svojej stati „Foundations of Portfolio Theory“, keď tieto dve

teórie prirovnáva k štúdiu mikroekonómie. Hovorí, že jeho teória sa podobá

mikroekonomickej teórii o správaní firiem a spotrebiteľov a Sharpeov a Lintnerov CAPM

prirovnáva k podstate mikroekonomickej rovnováhy, ktorá z takého správania vyplýva.29 Inak

povedané, Markowitzov model je normatívny a hovorí investorom ako by mali efektívne

investovať, zatiaľ čo CAPM je pozitívny model a snaží sa len zjednodušene popísať realitu.

Najvýraznejšími osobnosťami, ktoré prispeli k rozvoju tejto teórie, sú už vyššie

spomínaný William F. Sharpe (1964), ktorý dostal (spolu s Markowitzom) v roku 1990 za

svoj prínos Nobelovu cenu a John Lintner (1965).

V Markowitzovom modeli sme uviedli šesť základných predpokladov, ktoré umožnili

tento model vytvoriť. V CAPM platí všetkých týchto šesť predpokladov, musíme však pridať

ešte aj nasledujúce štyri:30

7. všetci investori majú rovnaký horizont jedného obdobia,

8. bezriziková úroková sadzba je pre všetkých rovnaká,

9. informácie sú voľne a okamžite dostupné každému,

10. investori majú homogénne očakávania.

Z toho je vidieť, že CAPM viac okliešťuje realitu, ako si to vyžaduje Markowitzov

model. Na druhej strane prispieva k značnému zjednodušeniu výpočtu.

2.3.1. CML podľa CAPM

Z uvedených predpokladov vyplýva, že v tomto modeli majú všetci investori rovnaké

efektívne portfólio a pretože všetci majú k dispozícii rovnakú bezrizikovú sadzbu, budú mať

aj rovnaké tangenciálne portfólio. To však neznamená, že všetci investori budú investovať do

jedného bodu efektívnej množiny. Pretože každý investor má inú averziu k riziku, bude sa

indiferenčná krivka dotýkať efektívnej množiny u každého na inom mieste. Na základe tejto

úvahy platí v CAPM takzvaný separačný teorém:

29 MARKOWITZ, H.M.: Foundations of Portfolio Theory. In: The Journal of Finance. June 1991. s. 469 30 Ref. 2, s. 166

28

„Optimálna kombinácia rizikových cenných papierov môže byť stanovená bez

akejkoľvek znalosti investorových postojov k riziku a výnosnosti.“31

Keďže CAPM skúma správanie cenných papierov v závislosti od správania trhového

portfólia, treba definovať, čo je to trhové portfólio. Sharpe a Alexander uvádzajú nasledujúcu

definíciu:32

„Trhové portfólio je portfólio, ktoré je tvorené investíciami do všetkých cenných

papierov v takom pomere, že proporcia investovaná do jednotlivého cenného papiera

zodpovedá jeho relatívnej trhovej hodnote.“

Ďalej ešte definujú pojem relatívna trhová hodnota:

„Relatívna trhová hodnota cenného papiera sa rovná agregovanej trhovej hodnote

cenného papiera vydelenej súčtom agregovaných trhových hodnôt všetkých cenných

papierov.“

Podľa Sharpa a Alexandra v praxi na sledovanie trhového portfólia slúžia indexy. Majú

rôzne zloženie a rôznu kvalitu. Jedným z najznámejších je Standard & Poor’s 500 Stock Price

Index, ktorý vyjadruje priemer trhových cien 500 veľkých akcií vážený ich trhovými

hodnotami. Je dôležité, aby index vyjadroval vážený priemer, pretože len takýto index

zodpovedá Sharpovej definícii o trhovom portfóliu. Napríklad index Dow Jones, ktorý

nezohľadňuje váhu trhovej hodnoty jednotlivých akcií, nie je vhodný pre náhradu za trhové

portfólio. Okrem toho, indexuje len 30 akcií.

Už vyššie sme definovali, čo je priamka kapitálového trhu (CML). Teraz sa pozrieme na

to, ako sa vypočíta. Jej vzorec je:

M

fMpfp

rrrr

σσ

−+= , (23)

kde pr je očakávaný výnos efektívneho portfólia a pσ jeho smerodajná odchýlka. Všimnime

si, že M

fM rrσ−

je smernica CML.

CML je dotyčnica k Markowitzovej efektívnej množine. Všetky jednotlivé cenné

papiere portfólia budú ležať pod ňou, pretože samostatné cenné papiere netvoria efektívnu

množinu.

31 Ref. 2, s. 167 32 Ref. 2, s. 169

29

2.3.2. Priamka trhu cenných papierov (SML)

Vzorec (23) budeme potrebovať na vyjadrenie priamky trhu cenných papierov (security

market line – SML). Skôr, ako si povieme, čo je to SML, si ju matematicky odvodíme,

podobne ako to urobili Sharpe a Alexander.33 Na obr. 14 si všimnime krivku Mi, ktorá

znázorňuje kombináciu efektívneho trhového portfólia M a cenného papiera w, ktorý nemôže

ležať v efektívnej množine. Ak by sme rozložili svoje finančné zdroje medzi tieto dva body,

potom by funkcia výnosu a smerodajnej odchýlky vyzerala nasledovne:

Miiip rxrxr )1( −+= , (24)

))1()1(2( 2222MiMiiMiiiip xxxx σσσρσσ −+−+= . (25)

Vieme, že ak chceme vypočítať smernicu krivky Mi, musíme zderivovať vzťahy (24) a (25)

a smernica sa bude rovnať podielu týchto dvoch derivácií:

Mii

p rrxr

−=δδ

(26)

))1()1(2(

22222

222

MiMiiMiiii

MiMMiiMiMiiMii

i

p

xxxx

xxxx σσσρσ

σσσσρσσρσδδσ

−+−+

+−−+= (27)

Samotná smernica má nasledovný postup výpočtu:

ip

ip

p

p

xxrrδδσδδ

δσδ

= , (28)

222

2222

2

))1()1(2()(

MiMMiiMiMiiMii

MiMiiMiiiiMi

p

p

xxx

xxxxrrrσσσσρσσρσ

σσσρσ

δσδ

+−−+

−+−+−= . (29)

Aby sme tento vzorec sprehľadnili, dosadíme za iMMiiM σσσρ = . Odteraz budeme používať

označenie iMσ pre kovarianciu i-tého cenného papiera a trhového portfólia. Zjednodušený

vzťah (29) po dosadení vyzerá nasledovne:

222

2222

2

))1()1(2()(

MiMiMiiMii

MiiMiiiiMi

p

p

xxx

xxxxrrrσσσσσ

σσσ

δσδ

+−−+

−+−+−= . (30)

33 Ref. 2, s. 203-204. Poznámka: V českom preklade štvrtého vydania učebnice Investice od Sharpea a Alexandra, je uvedený chybný postup pri odvodzovaní SML, pretože smerodajná odchýlka portfólia je tam chybne odvodená. Výsledok je tam však uvedený správne. V tejto práci je táto chyba opravená.

30

obr. 14 Odvodenie SML

Keďže nás zaujíma smernica v bode M, dosadíme za 0=ix . Potom z rovnice (30) ostane len:

2)(

MiM

MMi

p

p rrrσσσ

δσδ

−−

= (31)

V bode M sa taktiež smernica krivky Mi musí rovnať smernici CML, ako to vyplýva z obr.

14:

2)(

MiM

MMi

M

fM rrrrσσσ

σ −−

=−

, (32)

a po upravení dostávame:

2

)(

M

fMiMfi

rrrr

σσ

−+= . (33)

Vidíme, že smernica priamky trhu cenných papierov SML sa rovná 2

)(

M

fM rrσ−

. Takto

odvodená SML sa dá zobraziť v grafe na obr. 15. V takomto tvare ide o tzv. kovariančnú

verziu SML.

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P

M

fr

i

31

obr. 15 Kovariančná verzia SML

Pre účely využitia tohto modelu v praxi sa do vzťahu (33) dosadí nasledujúci koeficient:

2M

iMi σ

σβ = , (34)

kde iβ sa nazýva koeficient beta i-tého cenného papiera. Po dosadení beta koeficientu za

smernicu SML do rovnice (33) dostávame známy vzťah, ktorý by mal byť použiteľný priamo

v praxi:

)( fMifi rrrr −+= β . (35)

V takomto vyjadrení bude smernica SML )( fM rr − a graf bude vyzerať podobne ako graf

kovariančnej verzie, ale zmení sa vodorovná os. Reprezentuje to obr. 16.

obr. 16 Beta verzia SML

Beta koeficient (alebo len beta) vyjadruje citlivosť pohybu výnosov aktíva v závislosti

od pohybu výnosov celého trhového portfólia. Ak je v absolútnej hodnote beta cenného

iβ

M

fr

ir

1.00

Mr

iMσ

M

fr

ir

2Mσ

Mr

32

papiera menšia ako 1, znamená to, že cenný papier bude na fluktuáciu trhu reagovať v pomere

menšom ako 1:1. Ak hovoríme o akciách, takúto akciu nazývame obranná akcia (defensive

stock). Ak je v absolútnej hodnote beta akcie väčšia ako 1, bude reagovať cena tejto akcie

opačne a takúto akciu nazývame agresívna akcia (aggressive stock).34

Ak sa napríklad beta akcie rovná 0.8, znamená to, že ak celkový výnos na trhu stúpne

o 1%, výnos akcie stúpne o 0.8%.

Zo vzorca (35) je zrejmé, že pokiaľ by sa beta akcie rovnala 0, tak by sa mal pre

aktívum použiť očakávaný výnos rovný bezrizikovej sadzbe. Preto aj hovoríme, že

bezrizikové inštrumenty majú betu rovnú nule.

Tiež vidíme, že pokiaľ by mala beta zápornú hodnotu, potom by mal cenný papier výnos

menší ako bezriziková sadzba. V skutočnosti sa s cenným papierom a už vôbec s akciou, ktorá

by mala zápornú betu, nikdy nestretneme.35

CAPM sa dá použiť len v tom prípade ak pridávame cenný papier do portfólia, ktoré má

betu rovnú 1. Inými slovami, musí mať podobné zloženie ako trhové portfólio; alebo ešte

inak, malo by byť čo najdokonalejšie diverzifikované. Praktické využitie beta koeficientu teda

spočíva v tom, ako daný cenný papier prispeje k rizikovosti diverzifikovanémo portfólia. Beta

portfólia sa vypočíta ako vážený priemer beta koeficientov jednotlivých cenných papierov:

∑=

=N

iiip x

1ββ . (36)

Z tohto vzťahu vyplýva, že každé portfólio ako aj každý cenný papier musí ležať na

priamke trhu cenných papierov na obr. 16. V tomto sa SML líši od CML, pretože na CML

ležali len kombinácie bezrizikového inštrumentu a efektívneho portfólia.

2.3.3. Charakteristická priamka

Rovnica (35) definuje princíp výpočtu SML. Aby bol model použiteľný, musíme pracovať

s očakávanými výnosmi. Preto vzťah (35) prepíšeme nasledovne:

)( fMife

i rrrr −+= β , (37)

kde eir znamená očakávaný výnos i-tého cenného papiera.

Vieme, že rozdiel fM rr − nám vyjadruje rizikovú prémiu celého trhu, ktorá je

požadovaná investormi ako prirážka k bezrizikovej sadzbe. Keď upravíme vzťah (37),

dostaneme rovnicu pre výpočet takzvanej charakteristickej priamky:

34 Ref. 11, s. 409 35 ROSS, S. A. – WESTERFIELD, R. W. – JAFFE, J.: Corporate Finance. 1996. s. 277

33

)( fMife

i rrrr −=− β (38)

Táto rovnica hovorí, že investor by mal požadovať takú prémiu za riziko, ktorá sa rovná

trhovej prémii za riziko vynásobenej koeficientom beta. Keďže v praxi táto rovnosť zrejme

bude len približná, treba pridať premennú, ktorá by tento rozdiel „doladila“:

ifMife

i rrrr εβ +−=− )( . (39)

Premennú iε nazývame náhodná chyba i-tého cenného papiera a má rovnaké vlastnosti, ako

nezávislá náhodná chyba v regresnom modeli:36

.0),()(,0),()(

,)()(

,0)(22

====

==

=

jiji

MiMi

iii

i

CovErCovrE

VarE

E

εεεεεε

ηεε

ε

Slovami, táto náhodná chyba má nulovú očakávanú strednú hodnotu a konštantný rozptyl,

ktorý označujeme 2iη a je nekorelovaná s trhovým výnosom a tiež s náhodnou chybou j-tého

cenného papiera.

Všeobecne sa dá predošlý model zapísať vzorcom (40). Tiež sa nazýva model indexu

trhu (market index model) alebo trhový model (market model).

iMiie

i rr εβγ ++= , (40)

kde iγ je konštanta. Keďže ide o regresnú rovnicu, vieme, že člen iβ sa vypočíta, ako hovorí

vzťah (34). Tento model vlastne hovorí, že požadovaný výnos by sa mal rovnať súčtu zložky

iγ , ktorá v prípade CAPM predstavuje bezrizikovú sadzbu, zložky Mirβ , ktorá predstavuje

prémiu za trhové riziko a nesystematickej náhodnej chyby iε .

Charakteristickú priamku cenného papiera, ktorý má napríklad 2=iβ , znázorňuje obr.

17. Vidíme, že pokiaľ chce investor investovať do cenného papiera s 2=iβ , mal by

požadovať dvojnásobnú prémiu za riziko, ako je trhová prémia.

36 Ref. 10, s. 435

34

obr. 17 Charakteristická priamka pre cenný papier s 2=iβ

2.3.4. Vzťah medzi betou a celkovým rizikom

Pri výpočte smerodajnej odchýlky je možné použiť beta koeficient. Definuje to nasledujúci

vzťah:

222eiMii σσβσ += . (41)

Tento vzťah veľmi dobre znázorňuje rozdelenie celkového rizika na trhové a špecifické.

Celkové riziko je závislé od citlivosti cenného papiera na trhové riziko 22Mi σβ a od

špecifického rizika 2eiσ . Pri dokonale diverzifikovanom portfóliu sa 02 =eiσ . Preto aj na tomto

mieste pozorujeme, že investora v skutočnosti špecifické riziko nebude zaujímať, pretože

s vysokou pravdepodobnosťou bude chcieť držať diverzifikované portfólio.

2.3.5. Nesprávne ohodnotené aktíva a koeficient alfa

Rovnica (35) definuje výpočet očakávanej výnosnosti cenného papiera a rovnica (37) zase

výpočet rovnovážnej očakávanej výnosnosti cenného papiera. Rovnovážna očakávaná

výnosnosť znamená výnosnosť v prípade, že je cenný papier ohodnotený správne. V praxi sa

stáva, že cenný papier je nadhodnotený alebo podhodnotený. Rozdiel medzi očakávanou

výnosnosťou a rovnovážnou očakávanou výnosnosťou sa zapisuje ako koeficient alfa:

eiii rr −=α . (42)

Koeficient alfa môže byť pre každého investora iný, pretože ak investor pokladá cenný

papier za zle ohodnotený, je to len jeho subjektívny názor. Ak investor predpokladá, že

0≠iα , potom aj charakteristická priamka bude upravená o tento odhad:

fM rr −

10%

fi rr −

5%

16%

8%

35

ifMiifi rrrr εβα +−+=− )( . (43)

Ako ilustruje obr. 18, zlé ohodnotenie cenného papiera nezmení sklon charakteristickej

priamky, lebo beta ostane nezmenená. Priamka sa len vertikálne posunie o iα .

obr. 18 Charakteristická priamka pre cenný papier s 2=iβ a %1−=iα

2.3.6. Spoľahlivosť a testovanie CAPM

O spoľahlivosti tohto modelu sa vedú polemiky. V roku 1980 sa objavil článok s názvom „Is

Beta Dead?“,37 ktorý rozvíril pochybnosti o spoľahlivosti CAPM.

Podľa CAPM cenný papier s betou napríklad 0.5 by mal ležať na SML v polovici medzi

výnosom cenného papiera a bezrizikovým výnosom. Analýzy historických údajov hovoria, že

v poslednom čase to nie je pravda.

Fama a MacBeth ešte v roku 1973 publikovali výskum,38 ktorý porovnával očakávané

výnosy dvadsiatich portfólií so skutočnými výnosmi, ktoré v realite nastali. Znázorňuje to obr.

19. Vidíme, že skutočné výnosy naozaj ležali v okolí SML, ktorá predstavuje očakávané

výnosy.

37 Pozri WALLACE, A.: Is Beta Dead?. In: Institutional Investor 14. July 1980. s. 22-30 38 Pozri FAMA, E. F. – MACBETH, J. D.: Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests. In: Journal of Political Economy, 81. May 1973. s. 607-636

fM rr −

9%

fi rr −

5%

15%

8% -1%

36

obr. 19 Porovnanie očakávaných výnosov podľa CAPM a skutočných výnosov. (Prameň: FAMA, E. F. –

MACBETH, J. D.: Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests. In: Journal of Political Economy, 81. May 1973. s. 607-636, In: ref. 16, s. 179)

Brealey, Myers a Marcus uvádzajú príklad,39 v ktorom by CAPM približne fungoval,

keby investori podľa tohto modelu investovali do cenných papierov určitú čiastku každý rok

od roku 1931 až do roku 1991. Absolútne by už nefungoval, keby sa taký istý postup uplatnil

napríklad od roku 1966.

Okrem toho sa vyskytujú anomálie, ktoré CAPM nevysvetľuje ako napríklad

skutočnosť, že akcie malých firiem alebo firiem s nízkym P/E pomerom40 majú oveľa vyššie

výnosy, ako CAPM predpovedá.41

Na obr. 20 vidíme porovnanie teoretickej SML vypočítanej podľa CAPM a empirickej

čiary, ako ju uvádza Blake.42 Obe čiary sú lineárne a obe prechádzajú bodom M, ktorý

znázorňuje trhové portfólio.

39 Ref. 11, s. 419-420 40 price-earning ratio 41 Ref. 11, s. 42 Ref. 10, s. 452

37

obr. 20 SML a empirická čiara trhu

Ang a Chen43 uvádzajú vo svojom výskume, že zlomový bod, kedy prestal CAPM

fungovať bol rok 1963. Podľa nich CAPM dokáže vysvetliť správanie trhu v období od 1926

po 1963, ale od 1963 po 2001 už tento model nie je použiteľný. Napriek tomu sa podľa nich

dá použiť na vysvetlenie celého obdobia 1926-2001.

To by znamenalo, že aj keď v minulosti CAPM odrážal správanie trhu, v súčasnosti už

toto tvrdenie neplatí. Problém spočíva hlavne v tom, že nevieme konkrétne povedať, prečo

CAPM už neodráža realitu. Môže to byť spôsobené napríklad tým, že trhové portfólio

zostavujeme nesprávne. Brealey a Myers tvrdia,44 že do trhového portfólia by mali byť

zahrnuté všetky rizikové investície na trhu, ako sú aj dlhopisy, komodity, nehnuteľnosti a aj

ľudský kapitál, nielen akcie.

Fama a French v roku 199245 vyslovili o CAPM rozsudok, že model je nepoužiteľný pre

ten účel, na ktorý je určený. Ich výskum ukázal, že CAPM dokáže vysvetliť len 1%

z reprezentatívnej vzorky rozptylu priemerných výnosov. Ich výskum však spochybnila práca

Jagannathana a Wanga „The CAPM is Alive and Well“.46 Táto práca kritizuje závery Famu

a Frencha. Spochybňuje totiž dva nasledujúce predpoklady, ktoré sa vyskytujú v empirických

výskumoch o CAPM, a ktoré použili aj Fama a French:

1. návratnosť hodnotovo váženého portfólia všetkých akcií je rozumné priblíženie

k výnosu trhového portfólia všetkých aktív v ekonomike,

2. beta koeficienty ostanú stále konštantné.

43 ANG, A. – CHEN, J.: CAPM Over the Long-Run: 1926-2001. 28 September 2003, s. 1 44 Ref. 16, s. 178-179 45 FAMA, E.F. – FRENCH, K.R.: The cross-section expected stock returns. In: Journal of Finance, 47. 1992. s. 427-466 46 JAGANNATHAN, R. – WANG, Z.: The CAPM Is Alive and Well [online]. November 1993.

iβ

M

fr

ir

1.00

Mr

SMLempirická čiara trhu

38

Spochybnenie prvého predpokladu vlastne znamená zamietnutie Sharpovej

a Alexandrovej definície trhového portfólia, ako sme ju uviedli vyššie. Jagannathan a Wang

zahrnuli do trhového portfólia aj ľudský kapitál. Vypustenie druhého predpokladu znamenalo

používať beta koeficient, ktorý sa neustále menil podľa ekonomických cyklov. Po vypustení

oboch predpokladov spomínaní autori uvádzajú, že CAPM je schopné vysvetliť až 58%

vzorky priemerných výnosov z výskumu Famu a Frencha.

2.4. Faktorové modely a teória arbitrážneho oceňovania (APT)

Aby sme mohli vysvetliť podstatu teórie arbitrážneho oceňovania, potrebujeme najprv

vysvetliť princíp fungovania faktorového modelu, ktorého použitie APT predpokladá.

2.4.1. Faktorové modely

Zatiaľ, čo CAPM predpokladal, že výnosy cenných papierov sú závislé len od pohybu

trhového portfólia, existujú tiež tzv. faktorové modely, ktoré sú závislé od N faktorov.

Viac faktorový model sa dá všeobecne vyjadriť rovnicou (44):

i

N

jjijii eFbar ++= ∑

=1, (44)

kde ijb je citlivosť i-tého aktíva k faktoru jF , ktorý vplýva na výnos aktíva. ie je náhodná

chyba a ia je konštanta, ktorá predstavuje očakávaný výnos aktíva, pokiaľ by sa hodnota

faktoru rovnala nule.

Teraz vidíme, že z tohto všeobecného modelu môžeme ľahko vytvoriť CAPM:

iMiifii errr ++−+= ββα )1( . (45)

V tomto prípade člen )1( ifii ra βα −+= , faktorom je výnos trhového portfólia

a citlivosťou na tento faktor je beta. Z toho vyplýva, že CAPM je vlastne len špeciálny prípad

faktorového modelu, ktorého jediným faktorom je pohyb výnosov trhového portfólia.

Podľa niektorých odborníkov cenné papiere na trhu sú závislé od viacerých faktorov

a nie len od pohybov výnosov trhového portfólia. Dokonca podľa samotného tvorcu CAPM

Sharpea, takéto modely odrážajú lepšie realitu: „Ukazuje se totiž, že skutečné výnosnosti cenných papírů jsou citlivé na více než jen na pohyb tržního portfolia.“47

47 Ref. 2, s. 207

39

Sharpe a Alexander uvádzajú tieto štyri základe faktory, ktoré majú podľa nich

významný vplyv na výnos cenných papierov:48

1. tempo rastu HNP,

2. pohyb reálnych úrokových sadzieb,

3. úroveň inflácie,

4. budúce ceny ropy.

Treba poznamenať, že nejde o súčasný stav faktorov ale o ich očakávaný stav

v budúcnosti. Sharpe medzi týmito faktormi neuviedol ako významný faktor výnos trhového

portfólia, ktorý použil ako jediný v CAPM, pretože predpokladal, že tento faktor je

vyjadrením všetkých makroekonomických faktorov v jednom.

Chen, Roll a Ross uvádzajú štyri faktory, ktorými sú neočakávané zmeny:49

1. úrovne ekonomickej aktivity v odvetví,

2. miery inflácie,

3. rozpätia medzi krátkodobými a dlhodobými úrokovými sadzbami,

4. rozpätia medzi výnosmi dlhopisov korporácií s nízkym a vysokým rizikom.

Sharpove a Alexandrove faktory sú špecifikované všeobecnejšie ako Chenove, Rollove

a Rossove. Napriek tomu môžeme podľa môjho názoru tvrdiť, že sa približne zhodujú v troch

faktoroch okrem ceny ropy a rozpätia medzi výnosmi dlhopisov korporácií s nízkym

a vysokým rizikom. Mnoho ekonómov sa domnieva, že tento zoznam nie je dostačujúci a že

pri narastajúcom počte akcií treba zvýšiť aj počet faktorov.50 Je to zrejme odôvodnené tým, že

na organizácie pracujúce v rôznych odvetviach pôsobia rozdielne faktory.

Blake sa k tomuto zoznamu pripája tromi úplne odlišnými faktormi:51

1. veľkosť firmy,

2. P/E pomer,

3. dividendový výnos.

Všimnime si, že tieto faktory sú všetky len špecifickou záležitosťou firmy. Vo svetle

predchádzajúcich úvah je však podľa môjho názoru otázne, či sú tieto tri faktory pre investora

naozaj dôležité, pretože sú predmetom špecifického rizika, ktoré ako vieme, je možné

odstrániť diverzifikáciou.

48 Ref. 2, s. 210 49 CHEN, N-F. – ROLL, R. – ROSS, S.A.: Economic Forces and the Stock Market. 1986. s. 383-403. In: ref. 16, s. 183 50 Ref. 16, s. 184 51 Ref. 10, s. 457

40

Pokiaľ by sme chceli pomocou faktorového modelu vypočítať Markowitzovu efektívnu

množinu, použili by sme nasledujúce dva vzťahy pre výpočet smerodajnej odchýlky i-tého

cenného papiera a kovariancie medzi dvomi cennými papiermi:

2

1

22ei

N

zFzizi b σσσ += ∑

=

, (46)

∑=

=N

zFzjzizij bb

1

2σσ . (47)

Tieto dva vzťahy platia len za predpokladu, že jednotlivé faktory nie sú medzi sebou

navzájom korelované.

2.4.2. Teória arbitrážneho oceňovania (APT)

Jednou z najpoužívanejších alternatív CAPM je teória arbitrážneho oceňovania (arbitrage

pricing theory - APT). S jej formuláciou prišiel v roku 1976 Ross.52 Táto teória predpokladá

použitie viac faktorového modelu, nedefinuje však, ktoré faktory sú dôležité. Pre vysvetlenie

princípu fungovania APT nie je dôležité, aké faktory použijeme.

Predpokladajme, že pre pohyby výnosov cenných papierov sú podstatné napríklad štyri

faktory. Potom pre výpočet očakávaného výnosu cenného papiera použijeme nasledujúci

faktorový model:

44332211 FbFbFbFbar iiiiii ++++= . (48)

APT predpokladá, že na trhu existuje tak veľa cenných papierov s rozdielnymi

citlivosťami na jednotlivé faktory, že je možné ich skombinovať tak, že celkové portfólio

bude citlivé len na jeden faktor a to konkrétne jedna ku jednej, čiže jeho citlivosť voči tomuto

faktoru bude rovná 1. Môže to byť napríklad faktor 1F . Ostatné faktory potom nebudú mať

pre portfólio žiaden význam, pretože aby sme dosiahli takýto výsledok, musíme vybrať také

cenné papiere, ktorých priemerná citlivosť k faktoru 1F sa bude rovnať 1, teda 11 =ib

a priemerná citlivosť na ostatné faktory bude rovná 0, teda 0432 === iii bbb . Matematicky

chceme dostať také portfólio, pre ktoré bude platiť nasledujúci vzťah:

14321 0001 FaFFFFar iii +=×+×+×+×+= . (49)

Takto dostaneme portfólio, ktoré bude závislé len na jednom faktore a zároveň bude

mať minimálne nefaktorové riziko spôsobené diverzifikáciou. Je vidieť, že existuje viac

52 Pozri ROSS, S.A.: The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing, In: Journal of Economic Theory, December 1976, s. 341-360

41

možností kombinácií cenných papierov, aby sme dostali takéto portfólio. Čo by sa ale stalo,

keby sa takto dalo poskladať viac portfólií s rozdielnym očakávaným výnosom? Potom príde

na rad arbitráž, čo vysvetľuje aj dôvod názvu tejto teórie. Pokiaľ existujú na viacerých trhoch

dve portfóliá s rovnakým rizikom ale s rozdielnou cenou, ktorá je daná ich očakávanými

výnosmi, potom sa investori budú snažiť kúpiť portfólio lacnejšie na jednom trhu a predať ho

drahšie na druhom trhu. Takto by si zaistili abnormálny výnos bez dodatočného rizika. To

potom spôsobí rast ceny lacnejšieho portfólia a pokles ceny drahšieho portfólia a cena

obidvoch sa ustáli na rovnakej hladine. Potom účastníci trhov stratia možnosť získať takýmto

spôsobom abnormálny bezrizikový výnos. Takto arbitráž spôsobuje úpravu cien aktív.

V skutočnosti nedokážeme zostaviť portfólio, ktoré by bolo citlivé jedna ku jednej

na jediný faktor a na ostatné by malo nulovú citlivosť. Nikdy to nebude nulová citlivosť, ale

bude sa aspoň približovať nule.

Vieme, že očakávaný výnos sa rovná súčtu bezrizikovej sadzby a rizikovej prémie.

Preto môžeme do APT dosadiť rovnosť fi ra = . Očakávaný výnos sa potom podľa APT

vypočíta nasledovne:

∑=

+=N

jjijfi Fbrr

1, (50)

pričom citlivosť faktora sa vypočíta podobne ako beta:

2j

j

F

iFijb

σ

σ= , (51)

čiže ako podiel kovariancie medzi výnosom i-tého cenného papiera s j-tým faktorom

a rozptylu j-tého faktora.

APT sa podľa môjho názoru ťažko testuje, pretože samotná teória nedefinuje správne

faktory. Pri štatistických testoch, ktoré by vyvracali jej pravdivosť, môžu jej zástancovia

spochybniť správnosť určenia týchto faktorov.

2.5. Niektoré ďalšie modely zmierňovania rizika V tejto časti spomeniem ostatné metódy a možnosti zabezpečenia portfólia proti investičnému

riziku. Stručne tu uvediem modely, ktoré sú len modifikáciami predošlých modelov a nie sú

pre nás také podstatné, alebo naopak iné dôležité metódy, ktoré by si zaslúžili samostatnú

publikáciu a preto ich tu nebudem rozoberať podrobne.

42

2.5.1. CAPM pre dlhopisy

David Blake uvádza verziu modelu oceňovania kapitálových aktív pre dlhopisy.53 Rozdiel

spočíva v tom, že beta koeficient v takomto modeli sa nebude rovnať podielu kovariancie

cenného papiera s trhovým portfóliom a rozptylu výnosov trhového portfólia, ale podielu

durácie dlhopisu a durácie trhového portfólia dlhopisov. Môžeme to zapísať nasledovne:

M

ii D

D=β (52)

2.5.2. Sektorové faktorové modely

Existuje modifikácia faktorového modelu, ktorá sa zvykne nazývať sektorový faktorový

model. Rozdiel medzi týmto a obyčajným faktorovým modelom spočíva v tom, že namiesto

makroekonomických faktorov, ktoré pôsobia na pohyb očakávaného výnosu sa do rovnice

(44) dosadí za jF sektorový faktor. Pre každý cenný papier sa potom použije taký sektorový

faktor, ktorý je špecifický pre dané odvetvie, v ktorom emitent cenného papiera podniká.

Jednotlivé citlivosti v tomto modeli môžu nadobúdať hodnoty len 0 a 1, ktoré hovoria, či je

cenný papier ovplyvňovaný daným sektorovým faktorom alebo nie.

2.5.3. Ostatné možnosti zmierňovania rizika

Existuje aj mnoho iných možností ochrany portfólia proti riziku. Takýmito možnosťami sú

v neposlednom rade napríklad finančné deriváty, ktoré by si zaslúžili samostatnú prácu.

Riziko tiež závisí od správneho manažmentu portfólia a od výberu vhodnej investičnej

stratégie. Toto sú metódy, ktoré odstraňujú riziko portfóliových investícií iným spôsobom ako

analyzované modely a nie sú substitútmi k týmto modelom, ale skôr pôsobia

komplementárne. Veď len samotné finančné deriváty sú cennými papiermi.

V praxi sa tiež často používa pre rozhodovanie o uskutočnení obchodu na burze

technická analýza. Investori podľa tejto analýzy odhadujú, ako bude vyzerať krivka výnosov

na grafe podľa trendov a obrazcov, ktoré sa už v minulosti vytvorili. Zjednodušene povedané:

Ak sa začne krivka výnosov na začiatku vytvárať podľa obrazca, ktorý sa už vyskytol v

minulosti, investori predpokladajú, že sa jeho tvar bude vyvíjať presne alebo približne tak

isto. Niektorí odborníci tvrdia, že technická analýza nie je dôveryhodná, pretože obrazce sú

vytvárané úplne náhodne. Iní s nimi nesúhlasia a výsledkom je, že sa technická analýza

používa v praxi. 53 Ref. 10, s. 452-454

43

V tejto kapitole sme sa dozvedeli, ako funguje diverzifikácia a že by mala byť pre

každého racionálneho investora úplnou samozrejmosťou bez ohľadu na to, ktorý

z analyzovaných modelov používa, pretože tieto modely vedú k zostaveniu portfólia

z efektívnej množiny. Pokiaľ ide investorovi len o zostavenie diverzifikovaného portfólia,

MacQueen uvádza, že podľa štatistického výskumu ohľadom MPT zostavenie portfólia

z náhodných 20 akcií odstráni 95% diverzifikovateľného rizika.54 Táto skutočnosť podľa

môjho názoru spochybňuje dôležitosť použitia týchto modelov na účely diverzifikácie.

Efektívnosť použitia CAPM sa jednoznačne nevyvrátila, ale ani nepotvrdila. Niektorí

autori ju úplne zamietajú. Niektorí tvrdia, že funguje dokonale aj v súčasnosti, stačí len

zmeniť niektoré predpoklady pri CAPM hlavne ohľadom zloženia trhového portfólia

a konštantnosti beta koeficientu v čase.

54 MACQUEEN, J.: Beta Is Dead! Long Live Beta! In: The Revolution in Corporate Finance. 1992. s. 72

44

3. PROBLÉMY POUŽITIA MODELOV ZMIERŇOVANIA RIZIKA V PRAXI

V tejto kapitole sa budem snažiť uviesť posudzované modely do praktickej roviny

a analyzovať problémy, ktoré môžu pri ich aplikácii vzniknúť. Na koniec poukážem na

problém výpočtu podľa Markovitzovej metódy a zamyslím sa nad možnosťami použitia

týchto modelov v podmienkach kapitálového trhu v Slovenskej republike.

3.1. Problémy s odstraňovaním teoretických predpokladov modelov

Modely, ktoré som rozobral v druhej kapitole vznikli ako odraz skutočného sveta. Najprv

existovala realita, ktorú som musel zjednodušiť tým, že som urobil niekoľko predpokladov.

Vybral som z reality len to, čo som považoval za najpodstatnejšie. Couffignal všeobecne

definuje model nasledovne: „Model obsahuje vo svojej konštrukcii identické funkcie s originálom, čím sa aj definuje analógia medzi modelom a originálom a ďalej subjektívne určitou domnienkou o účinnosti tohto modelu pre toho, ktorému má slúžiť. Model sa stáva objektívne účinný vtedy a len vtedy, keď závery a návrhy vzniknuté z jeho využitia sú napokon skúsenosťou overené.“55

Markowitzov model môžeme označiť za objektívne účinný, pretože ide o normatívny

model. U CAPM a APT to už nie je také jednoznačné, pretože ide o deskriptívne modely

a výskumy, ktoré sme citovali v druhej kapitole ich účinnosť stopercentne nepotvrdili.

Napriek tomu sa vo všeobecnosti uznáva, že aj keď kvantifikácia očakávaného výnosu na

základe trhového alebo faktorového rizika nie je presná (niektorí by povedali, že vôbec

nefunguje), existuje medzi týmito dvomi veličinami podstatná závislosť. Tieto modely majú

významné miesto v procese investovania.

Keď som v druhej kapitole rozoberal jednotlivé modely, urobil som spolu desať

predpokladov (pri Markowitzovom modeli šesť a ďalšie štyri pri CAPM), ktorými som tieto

modely „vysekol“ z reality. Keďže sme ešte nepoznali pojem efektívnej množiny,

predpoklady 1 a 2 som napísal osobitne. Tieto predpoklady sa dajú zlúčiť do jedného:

55 COUFFIGNAL, L.: Science économique et cybernétique de l’économie. In: Cahiers de l’I. STR E. A. No 98 (Série N, No 3). Paris, I. S. E. A. 1960, s. 46. In: ČESTNĚJŠÍ, A.: Manažérske rozhodovanie. 2001. s. 31

45

predpoklad, že investor si vyberie portfólio len z Markovitzovej efektívnej množiny. Potom

ostane deväť nasledujúcich predpokladov:

1. investor hodnotí portfólio podľa jeho smerodajnej odchýlky s horizontom jedného

roka,

2. investor si vyberie portfólio len z efektívnej množiny,

3. aktíva sú nekonečne deliteľné,

4. existuje bezriziková úroková sadzba, za ktorú môže investor požičiavať alebo si

vypožičiavať,

5. dane a transakčné náklady sú zanedbané,

6. všetci investori majú rovnaký horizont jedného obdobia,

7. bezriziková úroková sadzba je pre všetkých rovnaká,

8. informácie sú voľne a okamžite dostupné každému,

9. investori majú homogénne očakávania.

Aby sme sa mohli vrátiť späť do reality, musíme tieto podmienky postupne odstrániť.

To je predmetom nasledujúcich úvah.

3.1.1. Predpoklad hodnotenia portfólia podľa smerodajnej odchýlky s horizontom jedného roka

Nie je nikde predpísané, že sa investor musí rozhodovať podľa smerodajnej odchýlky a ani

nemusí byť vypočítaná na základe ročných údajov. Môže ich hodnotiť napríklad aj podľa

denných údajov. Tento rozdiel podľa môjho názoru v praxi nie je až taký podstatný, pretože

to nijako nedeformuje princíp rozhodovania o výbere vhodných cenných papierov do

portfólia.

3.1.2. Predpoklad výberu portfólia len z efektívnej množiny

Predpoklad je samozrejmý, pretože sa predpokladá, že väčšina investorov rozmýšľa

racionálne a platí pre nich veta o efektívnej množine. Ako nižšie uvidíme, v praxi takmer

nikdy neexistuje možnosť, že by portfólio ležalo na efektívnej množine, pretože aktíva

v portfóliu v skutočnosti nie sú nekonečne deliteľné. Tento predpoklad je rozumný, pretože

každý investor sa zrejme bude snažiť zloženie svojho portfólia čo najviac k efektívnej

množine priblížiť.

46

3.1.3. Problém deliteľnosti cenných papierov

Nie je možné kúpiť napríklad 0.763 cenného papiera. Dokonca aj komodity sa obchodujú

v štandardizovaných množstvách (napríklad ropa v bareloch). Výsledok, ktorý nám však

ponúka skladba efektívneho portfólia, je práve v takomto tvare.

To znamená, že keď investor dostane taký výsledok, že musí investovať 19.5%, 43.9%,

36.6% svojich prostriedkov do akcie A, B a C, mal by tieto podiely najprv vyjadriť

v peňažných jednotkách. Ak sú jeho disponibilné prostriedky €1 000 000, potom by mal do

jednotlivých akcií investovať €195.00, €439.00 a €366.00. Čo urobiť, keď akcia A stojí

€50.00, akcia B €75.35 a akcia C €25.90. Z týchto údajov vyplýva, že pokiaľ chce investor

držať efektívne portfólio, mal by nakúpiť približne 3.9 akcií A, 5.83 akcií B a 14.13 akcií C.

Pokiaľ by investor zaokrúhlil počet kusov akcií nadol, mohol by tým značne posunúť

portfólio od efektívnej množiny. Keby namiesto €195.00 minul na nákup troch akcií A len

€150.00 znížil by podiel akcie A o 4.5 percentuálneho bodu. Keby namiesto toho zaokrúhlil

3.9 akcií A na 4 akcie, nemal by dostatok prostriedkov. Musel by potom zobrať prostriedky

z iných akcií.

Najlepším riešením, aj keď nie vždy reálnym, sa javí prispôsobiť svoje zdroje počtu

akcií a počet ich kusov potom prirodzene zaokrúhliť (od 0.5 na celé čísla hore). Takto potom

zistíme, že optimálnym riešením bude investovať do 4 akcií A, 6 akcií B a 14 akcií C

v celkovej hodnote €362.60, €452.10 a €200.00 po rade. Takto sa nám ale zvýši množstvo

požadovaných zdrojov na €1014.70.

V skutočnosti prichádzajú ešte ďalšie obmedzenia zo strany burzy. Burza napríklad

môže stanoviť, že minimálny objem uskutočnenia transakcie je aspoň sto akcií a množstvo sa

môže meniť len po celých stovkách. V takomto prípade sa môže portfólio vychýliť

z efektívnej množiny oveľa viac a prispôsobenie môže stáť oveľa viac ako €14.70.

Z toho vyplýva, že v skutočnosti investorove portfólio s vysokou pravdepodobnosťou

nebude ležať nikdy presne na efektívnej množine. Bude ležať niekde blízko nej.

3.1.4. Problém existencie bezrizikovej sadzby

V druhej kapitole sme videli ako vyzerá priamka kapitálového trhu (CML) za predpokladu, že

platí rovnosť medzi sadzbou na vypožičiavanie a zapožičiavanie.

V realite je situácia zložitejšia a to najmä v tom, že s najväčšou pravdepodobnosťou

nebude platiť vzťah vz rr = , čiže sadzba na vypožičiavanie a zapožičiavanie nebude rovnaká.

Preto je nutné túto skutočnosť zohľadniť. Teoreticky ani nie je možné, aby mal investor

47

príležitosť požičať si za bezrizikovú sadzbu, pretože pre jeho veriteľa už samotná takáto

investícia je riziková. Preto je prirodzené, že sadzba na vypožičiavanie bude vždy vyššia ako

bezriziková sadzba, ktorá je určená na zapožičiavanie a bude teda platiť vz rr < . Zároveň bude

platiť, že sadzba na zapožičiavanie sa rovná bezrizikovej sadzbe. Po pridaní druhej sadzby

bude vyzerať efektívna množina ako krivka POQR na obr. 21.

obr. 21 Efektívna množina s bezrizikovým inštrumentom pri rozdielnych

sadzbách za vypožičiavanie a zapožičiavanie

Z grafu je vidieť, že pokiaľ zapožičiavame naše prostriedky za bezrizikovú sadzbu, naša

kombinácia bude ležať niekde na segmente PO. Keďže na časti OQ nemáme možnosť

zapožičania ani vypožičania za vhodnú sadzbu, bude tento úsek jednoducho ležať na

pôvodnej Markowitzovej efektívnej množine. Po vypožičaní za vr budeme našu investíciu

rozdeľovať medzi rizikové portfólio Q a bod R, ktorý je teoreticky v nekonečne, pokiaľ

predpokladáme, že nám niekto bude ochotný požičať neobmedzené množstvo prostriedkov.

Spomenuli sme, že bezrizikové aktívum musí mať dobu splatnosti rovnakú ako je doba

držania portfólia. Je v praxi jednoduché nájsť takéto aktívum? To závisí len od toho, aká je

investorova doba držania portfólia. Agentúra Reuters uvádza na svojej internetovej stránke

sadby pre takéto americké Treasury Bonds: trojmesačné, šesťmesačné, dvojročné, päťročné,

desaťročné a tridsaťročné.

A

B

Smerodajná odchýlka

Očakávaný výnos

P

D

C

OOμ

Oσ

Q Qμ

vμ

zμ

Qσ

R

48

Pokaľ ide o súčasnú situáciu na Slovensku, v roku 2004 sa vydávali prevažne 364 dňové

ale aj 91 dňové štátne pokladničné poukážky56 a štátne dlhopisy s dobou splatnosti 3, 5, 10

a 15 rokov.57

To znamená, že investor by mal upraviť svoju dobu držania portfólia podľa doby do

splatnosti bezrizikového aktíva.

Pri použití CAPM nastane problém, pokiaľ neexistuje žiadne bezrizikové aktívum

a teda ani žiadna bezriziková sadzba. Vtedy by sa za bezrizikovú sadzbu mohol dosadiť výnos

aktíva, ktoré má betu rovnú nule. Lenže takúto betu má len bezrizikové aktívum. Z toho

vyplýva, že pokiaľ neexistuje bezrizikové aktívum, bezriziková sadzba sa rovná nule a potom

sa bude očakávaný výnos cenného papiera rovnať len čisto výnosu trhového portfólia

vynásobeného betou tohto cenného papiera.

3.1.5. Dane a transakčné náklady vo vzťahu k portfóliu

Problém so zdanením výnosov dosiahnutých na kapitálovom trhu je evidentný najmä za

predpokladu progresívneho zdaňovania týchto výnosov. To by znamenalo výnos, že portfólia

nie je závislý len na relatívnom zložení cenných papierov ale aj na absolútnom vyjadrení

výšky investície. Z toho usudzujem, že v prípade progresívneho zdanenia bude efektívna

množina závislá presne na výške investície. Takýto spôsob zdaňovania je podľa môjho názoru

nespravodlivý. V Sloveskej republike v súčasnosti tento problém nie je, pretože existuje len

jedna relatívna daňová sadzba.

Transakčné náklady sú hlavne poplatky za obchodovanie. Môže to byť percentuálna

sadzba z objemu obchodu. Napríklad na Burze cenných papierov v Bratislave je takýto

poplatok stanovený na 0.08% z objemu bežného obchodu, najviac však 10 000 Sk. To

znamená, že obchody v objeme nad 125 000 Sk sa tu oplatia relatívne viac ako akýkoľvek

obchod s objemom pod túto hranicu.

Dane a transakčné náklady podľa môjho názoru deformujú efektívnu množinu. Pokiaľ

deformujú túto množinu každému investorovi v rovnakej miere, nebude žiaden účastník trhu

zvýhodnený ani znevýhodnený.

56 ŠPP za rok 2004 [online]. [cit. 2005-04-16]. Dostupné na internete: <http://www.nbs.sk/SDDS/UROK/SPPS2004.HTM> 57 Štátne dlhopisy za rok 2004 [online]. [cit. 2005-04-16]. Dostupné na internete: <http://www.nbs.sk/SDDS/UROK/SDRS2004.HTM>

49

3.1.6. Problém prístupu investorov k rovnakej bezrizikovej sadzbe

Vyššie sme uviedli, že za bezrizikové aktívum pokladáme štátne dlhopisy alebo štátne

pokladničné poukážky. Je rozumné predpokladať, že na jednom trhu bude mať k ich emisiám

prístup každý investor. Pokiaľ by mal jeden investor prístup k viacerým trhom súčasne, mohol

by teoreticky kúpiť bezrizikové aktívum za nižšiu cenu a tým zvýšiť svoju bezrizikovú

sadzbu.

Predpokladajme, že existujú nemecké štátne dlhopisy N a grécke štátne dlhopisy G

s rovnakou dobou splatnosti, obidva denominované v eurách, ale neobchodujú sa na

spoločnom trhu. Dlhopis N by poskytoval výnos 2% a dlhopis G 3%. Potom investor, ktorý

by mal prístup na obidva trhy by nakúpil len grécke dlhopisy. To by znamenalo, že podľa

CAPM by požadoval na nemeckom trhu za všetky rizikové aktíva o jeden percentuálny bod

nižší výnos ako nemeckí investori, ktorí by nemali prístup k dlhopisom G, resp. keby

požadoval rovnaký výnos, znamenalo by to, že by dosiahol za rizikové aktíva abnormálny

výnos. Toto sa iným slovom nazýva arbitráž, ktorá v praxi nie je možná za predpokladu

fungovania efektívneho trhu, ako si ukážeme nižšie.

Treba tiež pripomenúť, že bezrizikové aktívum musí byť denominované v rovnakej

mene, ako sú rizikové aktíva v portfóliu. V opačnom prípade by sa investor vystavoval

kurzovému riziku a bezrizikové aktívum, by už pre neho nebolo bezrizikovým.

3.1.7. Problém efektívnosti trhu na základe dostupných informácií

Podľa hypotézy o efektívnosti trhov sa meria efektívnosť trhu v troch nasledujúcich formách:

1. slabá forma,

2. polo silná forma,

3. silná forma.

Slabá forma efektívnosti znamená, že súčasné ceny na trhu cenných papierov odrážajú

všetky informácie o minulých cenách. Tiež to znamená, že pokiaľ je trh efektívny v tejto

forme, nie je možné na ňom dosiahnuť abnormálne vysoký zisk. Väčšina výskumníkov sa

zhoduje na tom, že existujú dôkazy, že trhy akcií sú efektívne prinajmenšom v tejto forme.

Polo silná forma efektívnosti hovorí, že ceny cenných papierov odrážajú nielen

informácie o minulých cenách ale aj všetky v súčasnosti publikované informácie. To

znamená, že všetky oficiálne vyhlásené informácie vedú k okamžitej úprave cien akcií. Blake

uvádza,58 že asi 90% korekcií cien na trhu sa udeje ešte pred oficiálnym vyhlásením

58 Ref. 10, s. 367

50

informácie. Dokonca tvrdí, že 90% zmeny ceny sa udeje v období od 12 mesiacov pred

oficiálnym vyhlásením informácie a len 10% v období 6 mesiacov po jej vyhlásení. Je to

zrejme preto, že investori majú k dispozícii aj iné informácie, ako sú oficiálne správy a tie

majú k dispozícii oveľa skôr. Uznáva sa teda, že trhy sú efektívne aj v tejto forme a nie je

možné žiadne z takto získaných informácií použiť k dosiahnutiu abnormálne vysokého zisku.

Nakoniec, silná forma efektívnosti tvrdí, že súčasné ceny odrážajú úplne všetky možné

informácie, nielen verejne dostupné ale aj vnútorné informácie emitentov. Takéto informácie

sa dajú získať dvoma spôsobmi: nelegálne alebo podrobnou analýzou, akú vykonávajú pre

seba napríklad rôzne investičné spoločnosti. V prvom prípade môžeme hovoriť, že v tejto

forme sú trhy neefektívne, pretože takýmto spôsobom je možné dosiahnuť abnormálne

vysoký zisk. Takéto získavanie informácií je väčšinou trestné. V druhom prípade, kedy

investičné spoločnosti vykonajú podrobnú analýzu na základe legálne dostupných informácií.

Takto získané informácie by teoreticky mohli byť zdrojom abnormálne vysokého zisku,

v skutočnosti však tieto nadbytočné zisky stačia len na to, aby pokryli náklady na vykonanie

takéhoto výskumu.59

Môžeme teda tvrdiť, že tento predpoklad bude s veľkou pravdepodobnosťou platiť aj

v skutočnom živote, samozrejme ak nebude nechaný priestor pre nelegálne získavanie

informácií zo zákulisia.

3.1.8. Homogénne a heterogénne očakávania

Doteraz sme predpokladali, že investori majú rovnaké údaje a preto aj zhodné očakávania

ohľadom výnosov cenných papierov, kovariancií a aj ich smerodajných odchýlok.

V skutočnosti sa môže stať, že jednotliví investori budú mať rozdielne očakávania ohľadom

týchto premenných. Vtedy hovoríme, že majú heterogénne očakávania. Lintner uvádza, že

každý investor bude mať v realite jedinečnú efektívnu množinu.60 Sharpe potom ešte dodáva,

že rovnovážny očakávaný výnos každého cenného papiera bude za takýchto podmienok

„zložitým aritmetickým priemerom názorov všetkých investorov na jeho výkonnosť“.61

Podľa môjho názoru, ak investori nemajú homogénne očakávania, nemôže platiť

separačný teorém.

59 Ref. 10, s. 369 60 Pozri LINTNER, J.: The Aggregation of Investor’s Diverse Judgments and Preferences in Purely Competitive Security Markets. December 1996. s. 347-400 61 Ref. 2, s. 200

51

3.2. Problém výpočtu portfólia Markowitzovým modelom

Predpokladajme, že chceme zostrojiť portfólio zložené z dvesto cenných papierov. Ako

uvidíme, pri takomto množstve už nie je jedno, aký model použijeme.

Pri takomto množstve je Markowitzov model zjavne nevhodný. Ak by sme ho chceli

použiť, museli by sme vypočítať všetky odchýlky a očakávané výnosy, ktorých počet je spolu

N2 , všetky kovariancie, ktorých počet je 2)( 2 NN − a bezrizikovú sadzbu, ktorá je len

jedna, a ktorú musíme vypočítať aj tak pri všetkých modeloch. To znamená, že dokopy ide o

2)23( 2 ++ NN parametrov.

Pri použití CAPM potrebujeme takisto bezrizikovú sadzbu, ale potom už len očakávanú

výnosnosť trhového portfólia, jeho rozptyl, alfu, betu a rozptyl náhodnej chyby každého

cenného papiera, ktorých je dokopy N3 . Pre CAPM celkovo potrebujeme teda len 33 +N

parametrov.

To znamená, že pri spomínaných dvesto cenných papierov, pri Markowitzovom modeli

by sme museli vypočítať 20 301 parametrov, zatiaľ čo pri použití CAPM stačí vypočítať len

603 parametrov.

Aj keď je Markowitzov model normatívny a CAPM pozitívny model, používa sa tento

druhý z vyššie uvedených dôvodov.

3.3. Možnosti použitia modelov v podmienkach slovenského kapitálového trhu

Skúsme sa zamyslieť nad aplikovateľnosťou Markowitzovho modelu, modelu oceňovania

kapitálových aktív a teórie arbitrážneho oceňovania v podmienkach slovenského kapitálového

trhu.

Podľa nedávneho výskumu RNDr. F. Čámského zo Správní fakulty Masarykovy

university v Brne je slovenský kapitálový trh v slabej forme efektívny.62 Je to prekvapujúce,

pretože sa podľa neho doteraz predpokladalo, že slovenský kapitálový trh je úplne

neefektívny. Tento výskum viedol k zamietnutiu hypotézy o neefektívnosti slovenského

kapitálového trhu, výsledky však boli o poznanie horšie ako v Českej republike. Na

slovenskom trhu je podľa môjho názoru nepochybne čo doháňať, pretože nespĺňa ešte

62 ČÁMSKÝ, F.: Testování efektivnosti slovenského kapitálového trhu. Marec 2005

52

podmienku polo silnej formy efektívnosti, ktorú normálne trhy, podľa úvahy o efektívnych

trhoch vyššie, spĺňajú.

Podľa môjho názoru na použitie týchto modelov by takáto efektívnosť stačila, pretože

premenné, s ktorými tieto modely pracujú sú založené na historických údajoch, z ktorých

pramení aj slabá forma efektívnosti. Myslím si, že problém spočíva v niečom inom.

V Bratislave ako aj v Prahe sa začalo obchodovať na burze po česko-slovenskom rozpade

v roku 1993. To znamená, že údaje o ročných výnosoch obchodovaných aktív sú k dispozícií

len za dvanásťročné obdobie. Takýto krátky štatistický súbor môže byť len sotva použitý

na výpočet dôveryhodných rozptylov, kovariancií alebo beta koeficientov pri CAPM

a citlivostí pri APT. Podľa môjho názoru tento problém postupne odpadne, na to je ale

potrebné ešte dlho čakať.

Z tejto úvahy súdim, že účastníci slovenského kapitálového trhu by mali používať iné

metódy; také, ktoré nie sú založené na historických informáciách.

53

ZÁVER

Na základe tejto práce som dospel k nasledujúcim záverom:

a. Podstatným prostriedkom vyjadrenia rizika cenného papiera je jeho citlivosť na rôzne,

najčastejšie makroekonomické veličiny či už reprezentované v mnohých faktoroch

alebo podľa Sharpa všetky zhrnuté len do pohybu trhového portfólia. Platí to len v tom

prípade pokiaľ sa investor snaží držať dostatočne diverzifikované portfólio.

b. Markowitzov model je podľa môjho názoru do určitej miery použiteľný v praxi, pretože

je normatívny. Neposkytuje žiadne predikcie, ale odporúča investorom, ktoré aktíva

majú skombinovať, aby zostrojili také portfólio, ktoré bude ležať na efektívnej množine.

c. Rozšírenie aplikácie tohto modelu Jamesom Tobinom o bezrizikovú operáciu poukazuje

na potrebu použitia bezrizikového aktíva, ktorého doba splatnosti by mala byť zhodná

s dobou držania portfólia investorom. V tomto vidím obmedzenie a nevýhodu tohto

modelu.

d. Ďalší problém Markowitzovho modelu vzniká pri výpočte portfólia. Na výpočet

všetkých potrebných údajov, teda výnosu a smerodajnej odchýlky portfólia zloženého

z N cenných papierov je potrebné vypočítať 2)23( 2 ++ NN parametrov. Pri CAPM je

počet potrebných parametrov rovný len 33 +N . To znamená, že pri dvesto cenných

papieroch je potrebné vypočítať 20 301 parametrov pri Markowitzovom modeli, zatiaľ

čo pri CAPM stačí len 603 parametrov. V tom vidím problém použiteľnosti

Markowitzovho modelu v praxi a zároveň výhodu CAPM pri väčšom množstve

cenných papierov kombinovaných do portfólia.

e. Z doterajších poznatkov ohľadom MPT vyplýva, že pri náhodnom výbere dvadsiatich

akcií dostávame takmer dokonale diverzifikované portfólio. To by mohlo spochybniť

potrebu využitia Markowitzovho modelu v praxi.

f. Model CAPM je na rozdiel od Markowitzovho modelu deskriptívny model. O jeho

využití v praxi sa vedú neustále spory. Niektorí kritici napádajú funkčnosť tohto modelu

a jeho možnosť určiť správne očakávaný výnos portfóliového aktíva. Iní zase tvrdia, že

nie je problém v samotnom modeli, ale problém je vo výpočte premenných, ktoré doňho

54

vstupujú, ako sú alfa a beta koeficient. Preto sa títo odborníci snažia vytvoriť

alternatívny spôsob výpočtu týchto premenných.

g. Podľa výskumu Anga a Chena z roku 2005 CAPM odrážal realitu do roku 1963. Po

tomto roku rovnaké testy ako pred rokom 1963 ukazujú opak. Jeden zo známych testov,

ktoré vyvracajú funkčnosť CAPM sú výskumy Famu a Frencha z roku 1992. Existuje

ale aj výskum Jagannathana a Wanga z roku 1993, ktorý spochybňuje Famove

a Frenchove závery tým, že ich kritizuje (1) v definovaní trhového portfólia a (2)

v predpoklade, že beta koeficient je v čase konštantný. Po vypustení týchto

predpokladov Jagannathanove a Wangove testy CAPM ukazujú, že tento model funguje

na základe tých istých dát, ktoré použili Fama a French.

h. Zložky týchto modelov sú závislé od historických údajov. Podľa môjho názoru výpočet

kovariancií, rozptylov, očakávaných výnosov, beta koeficientov a faktorových citlivostí

môže byť skreslený nedostatočnou dĺžkou štatistického súboru.

i. Analyzované modely sú založené na historických údajoch. Mnohí autori sa zhodnú

na tom, že trhy sú efektívne aspoň v slabej forme, čiže na základe historických

informácií. Z toho usudzujem, že tieto modely ani žiadne iné založené len na

historických údajoch nie je možné použiť na dosiahnutie abnormálneho bezrizikového

výnosu.

j. Problém použiteľnosti APT v praxi vidím hlavne v subjektívnom definovaní faktorov

a vo výpočte citlivostí na tieto faktory.

k. Zásadným problémom testovania APT je skutočnosť, že tento model nedefinuje

konkrétne faktory, ktoré sú dôležité pre pohyb výnosov. Z toho vyplýva, že nie je

možné samotný model testovať. Bolo by to možné za predpokladu subjektívneho

určenia faktorov. V prípade, že by takýto výskum ukázal, že APT neodráža realitu, jeho

zástancovia by poľa môjho názoru mohli vysloviť pochybnosti o správnom výbere

faktorov pri testovaní.

l. Nedávny výskum ohľadom slovenského kapitálového trhu ukázal, že tento trh je

efektívny v slabej forme. Mohlo by to byť predzvesťou naplnenia dôležitého

predpokladu fungovania modelu oceňovania kapitálových aktív na slovenskom trhu.

m. Aj keď slovenský trh bude spĺňať predpoklady využitia CAPM ako aj Markowitzovho

modelu, podľa môjho názoru vzniknú ťažko odstrániteľné problémy v tom, že budú

ťažkosti pri výpočte rozptylov, kovariancií a beta koeficientov. Ak sme predpokladali,

že údaje o niektorých akciách obchodovaných na burzách už sedemdesiat alebo aj viac

rokov neposkytujú dostatočne dlhý štatistický súbor pre výpočet týchto premenných,

55

tým skôr to musíme konštatovať o slovenskom kapitálovom trhu, ktorý funguje len

dvanásť rokov. Štatistický súbor, ktorý existuje od roku 1993, kedy začala fungovať

Burza cenných papierov v Bratislave, je spochybniteľný kvôli spomínaným

predpokladom o nízkej efektívnosti slovenského kapitálového trhu.

Tieto modely vznikali za prítomnosti určitých predpokladov, ktoré bolo potrebné

sformulovať. Tým sa tieto modely vzdialili od reality. Cieľom tejto práce bolo poskytnúť

preklenutie teórie k praktickému využitiu poznatkov v realite.

Keďže logicky s pribúdajúcim časom sa bude predlžovať aj štatistický súbor o výnosoch

aktív, môžeme predpokladať, že táto skutočnosť prinesie príležitosti na spresnenie,

modifikáciu alebo dokonca vytvorenie úplne nových modelov založených na historických

informáciách. Podľa môjho názoru platí princíp, že žiaden z týchto modelov nebude

poskytovať možnosť na dosiahnutie abnormálneho bezrizikového výnosu, pretože

predpokladám, že trhy budú efektívne aspoň v slabej forme aj naďalej.

56

ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ODKAZOV

ANG, A. – CHEN, J.: CAPM Over the Long-Run: 1926-2001 [online]. 20 January 2005. [cit.

21-04-2005]. Dostupné na internete:

<http://www2.gsb.columbia.edu/faculty/aang/papers/value_beta.pdf>

BLAKE, D. Analýza finančních trhů. Praha : Grada, 1995. 624 s. ISBN 80-7169-201-8

BODIE, Z. – KANE, A. – MARCUS A.J. Investments. Vol. I. 5. ed. [s.l. (USA)] :

Irwin/McGrawHill, 2003. 915 s. ISBN 0-390-32002-1

BODIE, Z. – KANE, A. – MARCUS A.J. Investments: Chapter 6 [online]. [Colorado] :

Irwin/McGrawHill, March 1998. [cit. 2004-04-25]. Dostupné na internete:

<www.collegeofbusiness.fau.edu/giannetti/FIN%204504/Ch12-4e.ppt>. [Na spustenie

je potrebný MS PowerPoint]

BREALEY, R.A. – MYERS, S.C. Teorie a praxe firemních financí. 4. ed. Praha : East, 1999. 971

s. ISBN 80-85605-24-4

BREALEY, R.A. – MYERS, S.C. – MARCUS, A.J. Fundamentals of Corporate Finance. 3. ed.

[s.l. (USA)] : McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-07-553109-7

COUFFIGNAL, L. Science économique et cybernétique de l’économie. In: Cahiers de l’I. STR

E. A. No 98 (Série N, No 3). Paris, I. S. E. A. 1960, s. 46. In: ČESTNĚJŠÍ, A.:

Manažérske rozhodovanie [skriptá]. Bratislava : Fakulta managementu Univerzity

Komenského, 2001. 156 s. ISBN 80-223-1490-0

ČÁMSKÝ, F.: Testování efektivnosti slovenského kapitálového trhu. In: Finančné trhy

[online]. Marec, 2005. ISSN 1336-5711. [cit. 2005-04-16]. Dostupné na internete:

<http://www.derivat.sk/index.php?PageID=107>.

DAMODARAN, A.: Investment Valuation. 2. ed. [s.l.]: John Wiley & Sons, 2002. 1008 str.

ISBN 0-471-41490-5

FAMA, E.F. – FRENCH, K.R.: The cross-section expected stock returns. In: Journal of Finance,

47. 1992. s. 427-466

JAGANNATHAN, R. – WANG, Z.: The CAPM Is Alive and Well [online]. November 1993. [cit.

21-04-2005] Dostupné na internete: <http://minneapolisfed.org/research/sr/sr165.pdf>.

[Na spustenie je potrebný Adobe Acrobat Reader]

57

JORION, P.: Financial Risk Manager Handbook. 2. ed. New Jersey : 2003, John Wiley & Sons.

708 s. ISBN 0-471-43003-X

KAPTEYN, A. – TEPPA, F.: Subjective Measures of Risk Aversion and Portfolio Choice

[online]. [Tilburg] : RAND, February 2002. [cit. 2004-04-26]. Dostupné na internete:

<www.rand.org/labor/DRU/DRU2802.pdf>. [Na spustenie je potrebný Adobe Acrobat

Reader]

KOMORNÍK, J. – KOMORNÍKOVÁ, M. – MIKULA, K.: Modelovanie ekonomických a finančných

procesov [skriptá]. Bratislava : Fakulta managementu Univerzity Komenského, 1997.

189 s.

MACQUEEN, J.: Beta Is Dead! Long Live Beta!. In: The Revolution in Corporate Finance. 2.

ed. Cambridge, Massechusetts: Blackwell, 1992. ISBN 0-631-18554-2

MARKOWITZ, H.M.: Foundations of Portfolio Theory. In: The Journal of Finance. Vol. XLVI,

No. 2. June 1991

PIŠKANIN, A. – BAJZÍKOVÁ, Ľ.: Podnikanie v Európe. Bratislava : Ofprint, 2001. ISBN 80-

89037-02-X

Portfolio Construction Examples [online]. [cit. 2004-04-25]. Dostupné na internete:

<http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/finance/fintut31.html>

ROSS, S.A. – WESTERFIELD, R.W. – JAFFE, J.F.: Corporate Finance. 4. ed. [s.l. (USA)] : Irwin,

1996. 899 s. ISBN 0-256-20690-2

RUBINSTEIN, M.: Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty-Year Retrospective [online]. [cit.

2005-03-20]. Dostupné na internete: <http://www.in-the-

money.com/artandpap/Markowitz.doc>

SHARPE, W.F. – ALEXANDER, G.J.: Investice. Praha : Victoria Publishing, 1994. 810 s.

ISBN 80-85605-47-3