Modelowanie kognitywne systemów i maszyn...80 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn t – czas dyskretny, N – liczba czynników, – operacja

ALEKSANDER JASTRIEBOW, GRZEGORZ SŁO

MODELOWANIE KOGNITYWNE SYSTEMÓW I MASZYN

Streszczenie Modele komputerowe obiektów technicznych i maszyn s zawsze w pewnym sen-

sie wirtualne. Sposoby przedstawiania takich modeli zale od informacji posiadanej przy ich budowie. W artykule przedstawiono kognitywne podej cie do modelowania obiektów, ich stanów oraz dynamiki opisuj ce zmiany stanu. Takie podej cie mo e by stosowane np. przy modelowaniu, diagnostyce, podejmowaniu decyzji, identyfi-kacji (w pewnym sensie) i innych dziedzinach nauki i techniki.

Opisywane i analizowane w pracy modele nosz nazw map kognitywnych. Sone realizowane na ró nych poziomach pewno ci posiadanej informacji (np. mapy kognitywne deterministyczne, rozmyte i inne). Na wybranych przykładach przytoczo-no pewne wyniki analizy takich modeli o ró nych stopniach pełno ci i pewno ci in-formacji lub wiedzy.

Słowa kluczowe: mapa kognitywna, modelowanie, analiza symulacyjna

1. Wst pPrac po wi cono analizie symulacyjnej wybranych dynamicznych modeli rozmytych

relacyjnych map kognitywnych. W [2–10] okre lono pewn histori wprowadzenia ró nych modeli map kognitywnych (znakowych, ilo ciowych, rozmytych, jednokierunkowych, relacyjnych i innych), które zwykle stosowano dla modelowania słabostrukturalnych systemów informatycznych (decyzyjnych, sterowania, multiagendowych, geoinformacyjnych, ekonomicznych). W pracy, w zale no ci od informacji, opisano ró nego typu struktury (dynamiczne i statyczne), które realizuj odpowiednie relacje pomi dzy czynnikami, okre laj cymi topologi map. Przy tym dynamiczne modele kognitywne odwzorowuj , w zale no ci od typu wst pnej informacji o czynnikach oraz ich relacjach (ostre lub rozmyte), dokładne lub przybli one powi zania..

Przy dokładnej realizacji relacji powi za pomi dzy czynnikami, model dynamiczny opisuje si za pomoc zwykłych nieliniowych równa ró nicowych, w których warto ci zmiennych oraz parametrów s ograniczone do przedziałów [0, 1] lub [-1, 1]. Przy niepełnej informacji o powi zaniach relacje pomi dzy czynnikami i ich wpływami mo na opisa pewnymi relacyjnymirównaniami ró nicowymi, które wprowadzono w nast pnym rozdziale.

79

2. Synteza map kognitywnychMapami kognitywnymi b dziemy nazywali pewne modele matematyczno – informatyczne,

przeznaczone do formalizacji badanego problemu zło onego systemu, w postaci zbioru czynników odwzorowuj cych zmienne (cechy) systemowe oraz relacje przyczynowo – skutkowe mi dzy nimi z uwzgl dnieniem oddziaływa wzajemnych oraz zmian charakteru relacji [2–8]. Zgodnie z powy sz definicj , mapy kognitywne mo na przedstawi w postaci nast puj cej pary zbiorów:

<X, R> (1)

gdzie: X = [X1, ..., XN] – zbiór czynników mapy (wektor stanu), R = {Rij} – macierz relacji pomi -dzy czynnikami Xi i Xj (i,j = 1, ..., N).

Macierz R mo e przybiera ró ne formy: – współczynników liczbowych rij z przedziału [0, 1] lub [-1, 1] (relacje ostre),– rozmytych relacji Rij z odpowiednimi funkcjami przynale no ci i zakresem zbioru no nika.

Dynamiczne i statyczne relacje pomi dzy Xi i Xj opisuj nast puj ce podstawowe modele (2)-(6):

A) Model ostry

– dynamiczny +=+=

)()()1(1

tXtXrftX ji

N

iijjj (2)

– statyczny ==

i

N

iijjj XrfX

1(3)

gdzie:

xj jexf λ−+

=1

1)( lub x

x

j j

j

eexf λ

λ

−

−

+−=

11)( lub

<≤>

=1dla11dla1dla1

)(-x-

|x|xx

xf j , j > 0, j = 1, ..., N (4)

B) Model rozmyty

– dynamiczny )()1( tXtX kk =+ )([(1

tX i

N

i⊕

=]))1( ,kii RtX − (5)

– statyczny ))(( ,1

kii

N

ik RtXX ⊕

== (6)

gdzie: k – numer rozpatrywanego czynnika wyj ciowego (k = 1, ..., N),

Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011

80 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło

Modelowanie kognitywne systemów i maszyn

t – czas dyskretny, N – liczba czynników,

– operacja sumowania rozmytego,– operacja odejmowania rozmytego,

Ri,k – pojedyncza rozmyta relacja pomi dzy rozmytymi czynnikami o numerach i oraz k, – operacja maksyminowej kompozycji rozmytej.

Uwagi: 1. Modele dynamiczne rozmytych relacyjnych map kognitywnych, opisanych równaniami (2), (4)

lub (5) realizuj nast puj ce zasady działania:– odwzorowanie asocjacyjne (Xj Xi),– sprz enie zwrotne,– strukturalizacja obszarów czynników mapy.

2. Warto ci czynników oraz współczynników lub relacji w modelu (2)–(4), (5)–(6) okre lono napodstawie wiedzy ekspertowej z mo liwo ci „douczenia” (adaptacji) przy zmianie warunkówpracy obiektu.

3. Podobne modele powi za mi dzy czynnikami mog by zapisane i dla innych (mieszanych)typów modeli. Modele takie mog by wł czone do jednego z głównych typów (A lub B) (przyuwzgl dnieniu procedur odpowiednio – rozmywania lub wyostrzania).

W nast pnym rozdziale zostan przedstawione wyniki analizy modeli dynamicznych (2), (4) oraz (5) dla wybranych przykładów.

3. Wybrane wyniki analizy symulacyjnejPoni ej przedstawiono wyniki syntezy i analizy symulacyjnej monitorowania zmiany stanów

wybranych urz dze i systemów.

3.1. Model ostry Podstaw modelowania dynamicznego procesu monitorowania były mapy kognitywne,

charakteryzuj ce relacje pomi dzy czynnikami zgodnie z zale no ciami (2) i (4). Przykładowa ostra mapa kognitywna opisuj ca pewien problem ekonomiczny [1] została

zsyntetyzowana w postaci struktury pokazanej na rys. 1.

81

Rysunek 1. Schemat ostrej mapy kognitywnej (N = 7, niezaznaczone współczynniki rij maj warto zerow )

ródło: Opracowanie własne.

Uwaga: Wybór czynników wej ciowych i wyj ciowych zale y od eksperta. W niniejszym przykładzie

Wielko ci wej ciowe s opisane przez zmienne X1–X5 oraz X7, natomiast wielko wyj ciowa – przez zmienn X6.

Ocena przydatno ci mapy kognitywnej do monitorowania takiego systemu sprowadza siwła ciwie do odpowiedzi na pytanie: czy i po jakim czasie (po ilu krokach próbkowania) od zmiany wybranych parametrów wej ciowych mo liwe jest uzyskanie nowego stanu ustalonego parametru wyj ciowego. Odpowied analityczna mo e by trudna, poniewa w zło onych systemach technicznych poszczególne czynniki nie tylko podlegaj zmianom wymuszonym, ale równie oddziałuj na siebie wzajemnie. Poni ej przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej dla ró nych warto ci pocz tkowych.

W zestawiono losowo dobrane warto ci składników macierzy r (macierzy współczynników relacji pomi dzy czynnikami).

Tabela 1. Macierz współczynników relacji r r X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

X1 0 0,5 -0,55 -0,17 0 -0,33 0,49 X2 -0,31 0 0 0 0,31 -0,71 0 X3 -0,26 -0,82 0 -0,27 0 0 -0,02 X4 -0,4 0 0 0 -0,8 -0,36 0 X5 0 -0,17 0 0,41 0 0 0 X6 0 0 0 0 0 0 X7 0,13 0 0,77 0,13 0 0 0





Podstaw modelowania dynamicznego procesu monitorowania były zale no ci pomi dzy czynnikami zgodne z (2) i (4). Dla uproszczenia wnioskowania wybrano funkcje fi o charakterze sigmoidalnym ze współczynnikami j równymi 1.

Na ys. 2. i rys. 3. przedstawiono przebiegi warto ci czynników w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych warto ci pocz tkowych.

Rysunek 2. Przebiegi warto ci czynników wej ciowych X1 – X5 i X7 w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych warto ci pocz tkowych


Rysunek 3. Przebiegi warto ci czynnika wyj ciowego X6 w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych warto ci pocz tkowych

ródło: Opracowanie własne. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi zale no ci warto ci wielko ci wyj ciowej (X6) od zmian

poszczególnych wielko ci wej ciowych.

83

Rysunek 4. Zale no warto ci wielko ci wyj ciowej (X6) od zmian poszczególnych wielko ci wej ciowych dla zerowych warto ci pocz tkowych

ródło: Opracowanie własne. Z ys. 2–4 oraz z innych bada , przeprowadzonych dla ró nych charakterów tablicy r, wynika,

e zastosowanie mapy kognitywnej typu (2), (4) zawsze prowadzi do ustalenia si sygnału wyj ciowego, niezale nie od warto ci współczynników relacji czy warto ci pocz tkowych poszczególnych czynników monitorowanego systemu. Co wi cej odbywa si to w prosty sposób, bez konieczno ci uciekania si do stosowania zawiłych i czasochłonnych metod analizy modeli matematycznych. Wynika st d, e mapa kognitywna dla modelu z przykładu 1 jest dobr podstawdo konstruowania np. systemów monitoruj cych.

3.2. Model rozmyty Graficzn reprezentacj przykładowej relacyjnej rozmytej mapy kognitywnej, obejmuj cej

relacje pomi dzy siedmioma czynnikami, przedstawiono na rys. 5. Chocia w ogólnym uj ciu nie jest to konieczne, w przykładzie rys. 5. wyró niono czynniki powi zane z sygnałami wej ciowymi (X1 – X4) oraz wyj ciowymi (X5 – X7). Takie podej cie jest zwi zane z monitorowaniem diagnostycznym. Wprowadzenie do mapy z rys. 5. rozmytych zale no ci (relacji) pomi dzy czynnikami mo na dokona ró nymi metodami, ka da z nich jednak opiera sib dzie na wst pnej ekspertowej wiedzy o sile poszczególnych oddziaływa . Dopiero dalsze kroki zale od przyj tego modelu rozmywania relacji. Istotne jest przy tym dokonanie wst pnej (bezwymiarowej) normalizacji badanych sygnałów, co znacznie ułatwia tworzenie procedur wnioskowania. Dalsze rozmycie systemu wnioskuj cego uzyskuje si dzi ki dodatkowemu rozmyciu samych sygnałów. W takim modelu przetwarzanie danych w cało ci opiera si na logice rozmytej, a wnioski ko cowe s uzyskiwane w drodze wyostrzenia.




Rysunek 5. Przykładowa mapa kognitywna (N = 7) ródło: Opracowanie własne.

Poni ej przedstawiono kolejne kroki algorytmu modelowania dynamiki mapy kognitywnej zgodnie ze schematem z rys. 6.

Rysunek 6. Schemat blokowy dynamiki modelu mapy kognitywnej z Rys. 5. Nadkre lenie oznacza warto rzeczywist danej wielko ci, brak nakre lenia – warto rozmyt


a) rozmycie sygnałów wej ciowychPierwotn form warto ci chwilowej ka dego sygnału wej ciowego jest forma ostra, wyra ona liczb rzeczywist . Dla celów monitorowania liczba ta jest poddawana normalizacji bezwymiaro-wej (w dziedzinie [0, 1]), a nast pnie rozmyciu (np. wg gausoidalnej funkcji przynale no ci) wokół centrum na okre lonym no niku (universum). W rozpatrywanym przykładzie no nik ma zakres od –1 do 2 (uwzgl dnienie symetrii sygnału rozmytego). Przykładowy przebieg funkcji przynale no-ci dla okre lonej warto ci chwilowej sygnału wej ciowego przedstawiono na rys. 7. Podobn ope-

85

racj wykonuje si wobec wszystkich sygnałów wej ciowych.

Rysunek 7. Przykładowy kształt jednego z sygnałów wej ciowych (po rozmyciu gausoidalnym) o warto ci chwilowej równej 0,36 (po normalizacji bezwymiarowej do przedziału [0, 1])


b) budowa relacji rozmytychRelacje rozmyte pomi dzy sygnałami wej ciowymi i wyj ciowymi maj charakter kompozycji maksyminowej. Z tego powodu konstruuj c relacje nale y uwzgl dni nie tylko sam jej charakter, ale tak e zasi g no nika, który powinien by taki sam, jak dla sygnałów wej ciowych (zarówno pod wzgl dem zakresu warto ci, jak i szeroko ci kroku próbkowania). Sam kształt relacji mo na dobiera według ró nych wzorców. W rozpatrywanym przykładzie zastosowano ci g funkcji gau-soidalnych o charakterze podobnym, jak przy rozmywaniu sygnałów wej ciowych. Poło enie cen-trów poszczególnych ci gów funkcyjnych jest uzale nione od siły oddziaływa pomi dzy danym sygnałem wej ciowym i wyj ciowym (wiedza ekspertowa). W przykładzie zastosowano siły od-działywa zestawione w Tabela 2.

Tabela 2. Siły oddziaływa pomi dzy czynnikami badanej mapy kognitywnej

Wy

We X5 X6 X7

X1 0,4 0 0

X2 0,6 0,4 0

X3 0 0,4 0

X4 0 0 1

Liczby z Tabela 2. s warto ciami odniesienia do konstruowania poszczególnych relacji rozmytych (patrz rys. 15).




Przykładowy kształt pojedynczej relacji rozmytej, wykorzystuj cej zespół gausoidalnych funkcji przynale no ci przedstawiono na rys. 8.

Rysunek 8. Gausoidalna rozmyta relacja R1,5 pomi dzy dwoma czynnikami (X1 i X5) ródło: Opracowanie własne.

c) realizacja modelu dynamicznegoZale no ci (7)–(9) okre laj dynamik relacyjnych powi za pomi dzy sygnałami

wej ciowymi X1 – X4, a wyj ciowymi X5 – X7 (ró nicowe równania relacyjne).

)()1( 55 tXtX =+ )([(4

1tX i

i⊕

=]))1( 5,ii RtX − (7)

)()1( 66 tXtX =+ )([(4

1tX i

i⊕

=]))1( 6,ii RtX − (8)

)()1( 77 tXtX =+ )([(4

1tX i

i⊕

=]))1( 7,ii RtX − (9)

d) wyostrzenie sygnałów wyj ciowychRozmyte sygnały wyj ciowe, wyznaczone zale no ciami(7)–(9), poddaje si wyostrzaniu

metod centrum [2], co pozwala na uzyskanie ich ostrych warto ci chwilowych. Poni ej zamieszczono graficzne przedstawienie realizacji punktów a) – d), zgodnie ze

schematem z rys. 6.

87

Rys. 9 przedstawia zbiorcze zestawienie przebiegów warto ci chwilowych sygnałów wej ciowych (X1 – X4) po wst pnej normalizacji do zakresu warto ci [0, 1]. Na potrzeby analizy symulacyjnej poszczególne przebiegi narzucono zachowuj c ich zró nicowany charakter.

Rysunek 9. Przebiegi czasowe warto ci sygnałów wej ciowych (X1 – X4) ródło: Opracowanie własne.

Warto ci chwilowe sygnałów wej ciowych, przedstawione na rys. 9, poddawano rozmyciu z wykorzystaniem gausoidalnej funkcji przynale no ci o postaci (10):

2)( −−= σ

cu

g ef (10)

gdzie: fg – funkcja przynale no ci, u – argument, c – centrum funkcji fg, – współczynnik szero-ko ci funkcji.

Poniewa zakres normalizacji (podstawowy zakres rozmywania) zawiera si w granicach [0, 1], dla zachowania symetrii sygnałów po rozmyciu zastosowano no nik o zakresie [–1, 2].

Przebiegi rozmyte sygnałów wej ciowych, uzyskane ww. metod , przedstawia rys. 10. Rozmyte tablice relacji opracowano opieraj c si na współczynnikach z Tabela 2, posługuj c

si ci gami funkcji o postaci (10).W efekcie uzyskano dwana cie tablic o charakterze jak na rys. 8. Nast pnie, posługuj c sie zale no ciami (7)–(9), wyznaczono rozmyte warto ci chwilowe wielko ci wyj ciowych (X5 – X7). Przebiegi te pokazano na rys. 1 .




Rysunek 10. Przebiegi rozmyte sygnałów wej ciowych (X1 – X4)

Rysunek 8. Przebiegi rozmyte sygnałów wyj ciowych (X5 – X7) ródło: Opracowanie własne.

Ostatnim etapem oblicze było wyostrzanie rozmytych warto ci przebiegów wyj ciowych. Przeprowadzano to metod centrum, a uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 12.

89

Rysunek 12. Przebiegi czasowe warto ci sygnałów wyj ciowych (X5 – X6) ródło: Opracowanie własne.

Dla zilustrowania poprawno ci działania metody, na rys. 13 przedstawiono trzy zestawienia zmian warto ci sygnałów wej ciowych i zmian warto ci zale nych od nich sygnałów wyj ciowych.

Rysunek 13. Porównanie przebiegów sygnałów wej ciowych (górne) i zale nych od nich sygnałów wyj ciowych (dolne)


4. PodsumowaniePrzedstawiono modele struktur statycznych i dynamicznych map kognitywnych. Opisano

algorytm budowy map kognitywnych jako narz dzia modelowania. Na konkretnych przykładach dokonano analizy symulacyjnej dynamicznych modeli ostrych i rozmytych relacyjnych map kognitywnych, z której wynika, e opracowane struktury dokładnie odwzorowuj stany równowagi oraz ich stabilno przy ró nych wyborach współczynników relacji. Z analizy dodatkowo wynika, e podobne struktury mog by stosowane w systemach decyzyjnych (np. w monitorowaniu

układów technicznych).




Bibliografia1. Andriejczykow A. B., Andriejczykowa O. N., Inteligentne informacyjne systemy. Wyd. Fi-

nanse i Statystyka, Moskwa 2004 (w j zyku rosyjskim).2. Borisow W. W., Krugłow W. W., Fiedułow A. C. Rozmyte modele i sieci. Wyd. Telekom,

Moskwa 2007 (w j. rosyjskim).3. Jastriebow A., Sło G., Modelowanie słabostrukturalnych systemów logistycznych oparte na

rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych. Logistyka nr 2/2010, Pozna 2010: (wersjaelektroniczna).

4. Jastriebow A., Sło G., Obliczenia ziarniste w modelowaniu nieprecyzyjnych obiektów przyu yciu relacyjnych rozmytych map kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr12/2010: s. 1449–1452.

5. Jastriebow A., Sło G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych namapach kognitywnych – cz I. Synteza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXIwieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu TechnologiiEksploatacyjnej – Pa stwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 67–76.

6. Jastriebow A., Sło G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych namapach kognitywnych – cz II. Analiza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXIwieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu TechnologiiEksploatacyjnej – Pa stwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 77–86.

7. Jastriebow A., Sło G., Ziarnisto informacji w dynamicznych modelach rozmytych rela-cyjnych map kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, Pozna 2010: (wersja elektroniczna).

8. Kosko B. Fuzzy cognitive maps. Int. Journal of Man-Machine Studies, Vol. 24. pp. 65–75,1986.

9. Sło G., Adaptacja relacji w dynamicznych rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych.Logistyka nr 6/2010, Pozna 2010: (wersja elektroniczna).

10. Sło G., Analiza wybranych algorytmów adaptacji relacji w rozmytych mapach kognityw-nych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010, s. 1445–1448.

91

COGNITIVE MODELING SYSTEMS AND MACHINES

Summary Computer models of technical objects and machines are always in certain sense

virtual. Methods of presentation such models depend on the information possessed during building of them. In the article cognitive approach to objects modeling, their states and dynamics which describes changes of states is presented. Such an ap-proach can be used e.g. for the modeling, diagnostics, making decisions, identifica-tion (in certain sense) and other disciplines of science and technology.

Models described and analyzed in the work are called cognitive maps. They are realized on different levels of certainty of possessed information (e.g. deterministic cognitive maps, fuzzy cognitive maps and others). On selected examples certain re-sults of the analysis of such models for different degrees of the information (or knowledge) completeness and certainty are quoted.

Keywords: cognitive map, modeling, simulation analysis

Aleksander Jastriebow Katedra Zastosowa Informatyki Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika wi tokrzyska al. Tysi clecia Pa stwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: [email protected]; Katedra Infomatyki Wydział Nauczycielski Politechnika Radomska ul. Malczewskiego 29, 26-600 Radom

Grzegorz SłoKatedra Zastosowa Informatyki Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika wi tokrzyska al. Tysi clecia Pa stwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: [email protected]


Documents

Modelowanie kognitywne systemów i maszyn...80 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn t – czas dyskretny, N – liczba czynników, – operacja