Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk1

Teoria maszyn i części maszyn

Teoria maszyn i mechanizmów,

kinematyka

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk2

Kinematyka

• Do określania położeń członów, prędkości i przyspieszeń korzysta się z następujących metod:

- metody graficzne,

- metody analityczne,

- metody numeryczne,

- metody kombinowane.

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk3

Kinematyka

• Metody graficzne (metody dydaktyczne, mało dokładne)

Stosując graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy występujące wielkości, np. przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie w postaci odcinak linii prostej. Aby to przedstawienie było jednoznaczne, wprowadza się pojecie podziałki.

Podziałką nazywamy stosunek wielkości rzeczywistej do wartości wielkości rysunkowej

Podziałka =

Np. podziałka prędkości:

wartość wielkości rzeczywistej

wartość wielkości rysunkowej

mm

sm

v

vv

/

)(

30 mm

v = 10 m./s

mm

sm

mm

smv

/

3

1/

)30(

10

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk4

Kinematyka

• Metoda graficzna - Metoda planów

Niech będzie dany człon BCM w ruchu złożonym płaskim (rys) i niech VB, VC, VM będą prędkościami punktów B, C i M tego członu.

C

M

BS

CV

MV

BV

V

CV MV

BV

c

m

b

c

m

b

Biegun planu prędkości

CMV

BMV

BCV

Plan prędkości

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk5

Kinematyka

• Posługując się związkami zachodzącymi między prędkościami punktów B, C i M., czyli:

V

CV MV

BV

c

m

b

CMV

BMV

BCV

CBBC VVV

MBBM VVV

MCCM VVV

Można wykazać, że odcinki bc, bm i cm reprezentują w przyjętej podziałce v [m/smm] odpowiednie prędkości względne, a mianowicie

vCB bcV vMB bmV

vMC cmV Figura bcm jest podobna do członu BCM i obrócona względem niego o 90o, zgodnie z prędkością kątową

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk6

Kinematyka

Plan przyspieszeń

C

M

B

P – chwilowy środek przyspieszeń

Ca

c

m

b BaMa

Ca

Ba

Ma

c

b

m

MCa

BCa

BMa

a

Biegun planu przyspieszeń

Figura bcm jest podobna do członu BCM i obrócona względem niego o kąt 180o-, zgodnie z przyspieszeniem kątowym

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk7

Kinematyka

Wartość kąta wynosi

Odcinki łączące odpowiednie końce wektorów określają przyspieszenia względne poszczególnych punktów, np.

gdzie a [m/s2mm] jest podziałką planu przyspieszeń.

2 arctg

aMC mca

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk8

Kinematyka

Zadanie 1.

Wyznaczyć metodą planów prędkości i przyspieszenia członu AB oraz punktów A i B dla mechanizmu przedstawionego na rysunku.

Dane: = 4s-1, OA = 0,25 m, AB = OA3

A

O

B

smOAVV OAA /1 1. Prędkość punktu A

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk9

Kinematyka

2. Podziałka prędkości

mm

sm

v

vv

/

)(

(v) =50 mm

v = 1 m./s

mm

sm

mm

smv

/

50

1/

)50(

1

3. Prędkość punktu A w podziałce rysunku

mmV

Vv

AA 50

50/1

1)(

A

O

mmVA 50)(

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk10

Kinematyka

4. Plan prędkości

ABAB VVV

A

O

B

AVV

Biegun planu prędkości

Znany kierunek prędkości punktu B

Znany kierunek prędkości członu AB

BV

ABVb

a

5. Prędkość członu AB

smVVmmV vABABAB /5

2

50

120)(,20)(

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk11

Kinematyka

6. Prędkość kątowa członu AB

192,025,03

5/2

sAB

VABAB

7. Prędkość punktu B

smVVmmV vAAA /06,150

153)(,53)(

22 /4 smOAaa OAA 8. Przyspieszenie punktu A

mm

sm

a

aa

2/

)( (a) =50 mm

a = 4 m/s2

mm

sm

mm

sma

22 /08,0

/

)50(

4

9. Podziałka przyspieszeń

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk12

Kinematyka

Aa

O

B

10. Przyspieszenie punktu B

tAB

nABAB aaaa

10.1 Przyspieszenie normalne odcinka AB

mma

a

sma

a

ABa

a

nABn

AB

nAB

nAB

ABnAB

625,408,0

37,0)(

/37,0

325,092,02

2

2

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk13

Kinematyka

Aa

O

B

10.2. Plan przyspieszeńtAB

nABAB aaaa

a

Biegun planu przyspieszeń

Aa

nABa

Znany kierunek przyspieszenia stycznego AB

Znany kierunek przyspieszenia punktu Bt

ABa

Ba

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk14

Kinematyka

10.3. Przyspieszenie styczne odcinka AB

mma tAB 47)(

22

/76,3/

08,047)( smmm

smmmaa a

tAB

tAB

10.5. Przyspieszenie punktu B

mmaA 5)(

22

/4,0/

08,05)( smmm

smmmaa aBB

10.4. Przyspieszenie kątowe odcinka AB

269,8325,0

76,3,

s

AB

aABa

tABt

AB

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk15

Kinematyka

• Metoda graficzna, wykresów kinematycznych

Wykresy kinematyczne są graficznym przedstawieniem zależności funkcyjnej drogi, prędkości liniowej i przyspieszenia liniowego lub kąta obrotu, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego członu od określonego parametru.W takim przedstawieniu ruchu punktu lub członu mechanizmu parametrem może być czas lub dowolna inna współrzędna uogólniona, np. droga lub kąt obrotu członu czynnego.

y()

y()

y()

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk16

Kinematyka

• Podczas sporządzania wykresów kinematycznych pewne przebiegi np. s = s(t) należy poddać operacji różniczkowania (np. v = ds/dt) lub całkowania. Można te operacje przeprowadzić graficznie.

• Różniczkowanie graficzne metodą stycznych

Dla zadanej krzywej przemieszczeń s(t) należy znaleźć przebieg zmian prędkości v(t) w funkcji czasu. Dla ułatwienia zakładamy, że obydwa wykresy mają wspólną podziałkę czasu t [s/mm].

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk17

(t)

(s)a)

1 2 3 4

1. Prowadzimy styczne w wybranych punktach

(t)

1 2 3 4

Hv

2. Przez punkt Hv przyjęty dowolne na ujemnej osi układu (v,t) prowadzimy proste równoległe do stycznych, które na osi v odetną odcinki proporcjonalnle do prędkośći w chwilach 1 ,2, 3

b)(v)

ev

Podziałka prędkości:

vt

sv e