Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowychprętowych

Elementy prętowe -definicja

Elementami pr ętowymi można modelować

- elementy konstrukcji o stosunku wymiarów poprzecznych do podłużnego poniżej 0.1,

- elementy, które są wąskie w porównaniu z pozostałymi elementami, a których wymodelowanie wymagałoby znacznego zmniejszenia pozostałych elementów siatki.

Konstrukcja elewacji w Muzeum Historii Żydów Polskich w Warszawie

Rusztowanie przed wejściem do budynku Centrum Handlowego w Suwałkach

Elementy prętowe




Model do wyznaczania charakterystyk modelu uproszczonego w pomoście mostu Siekierkowskiego w Warszawie

Elementy prętowe




Elementy prętowe

Rodzaje elementów prętowych:

- elementy ramy przestrzennej,

- elementy ramy płaskiej,

- elementy kratowe przestrzenne,

- elementy kratowe płaskie.

Konstrukcja wsporcza elewatora

w Hrubieszowie

Budowa układu równań MES

Model MES, zawierający elementy MES, jest podstawą budowy układu równań MES

nNn puKKKK KK 11111211

Model metody elementów skończonych (MES) jest to schemat statyczny z podziałem na elementy MES. Model musi zawierać prawidłowo dobrane elementy oraz warunki brzegowe (podpory) i obciążeni.

=

nnnnnnn

n

n

N

n

N

n

NNNNN

Nnnnn

Nn

p

p

p

u

u

u

KKKK

KKKK

KKKK

M

M

M

M

KK

MOMMM

KK

MMOMM

KK 22

111

121

122221

Rozwiązaniem są przemieszczenia węzłów, ale ich liczba dla poszczególnych węzłów zależy od tego jakiego rodzaju elementy są łączone.

puK =

Elementy ramy przestrzennej

Rama przestrzenna - przykład

A

KONSTRUKCJA WSPORCZAskala 1:20

A

GŁOWICAG1

GŁOWICAG2

WEZĘŁ A

2a

2a

2

1

2a

O101.6x4.5L=3769

3

234

1

329

8

40,7° 40,7°

15O101.6x4.5L=2187

O101.6x4.5L=1323

16

883

145

8

482

452

30

WEZĘŁ E40,7°

2b

450

180

630

17

Zbiornik stalowy na materiały sypkie w firmie Cersanit w Krasnymstawie

1

A

BB

A

WEZĘŁ C

WEZĘŁ D

PODSTAWASŁUPA

WEZĘŁ B

O101.6x4.5L=4508

4O101.6x4.5L=2205

5

O101.6x4.5L=2220

6

75x50x8L=3740

7

251

825

1828

2

436

1

765

8

833 2017 2017 833

4034

5700

125

91

259

1259

1259

58°

62° 62°

O101.6x4.5L=4360

4a

O101.6x4.5L=2140

5

O101.6x4.5L=2140

6a

180

Model Metody Elementów Skończonych Rysunek techniczny konstrukcji wsporczej

Element ramy przestrzennejprzemieszczenia węzłowe

uu

u'

'

'e i

j=

eee ''' fuK =

u'i

ix

iy

iz

ix

iy

iz

u

u

u=

ϕϕϕ

u' j

jx

jy

jz

jx

jy

jz

u

u

u=

ϕϕϕ

Element ramy przestrzennejsiły węzłowe

ff

f'

'

'e i

j=

eee ''' fuK =

f 'i

ix

iy

iz

ix

iy

iz

F

F

F

M

M

M

=

f 'i

ix

iy

iz

ix

iy

iz

F

F

F

M

M

M

=

Macierz sztywności elementu ramy przestrzennej w układzie lokalnym

uix uiy uiz ϕix ϕiy ϕiz ujx ujy ujz ϕjx ϕjy ϕjz EA

L

−

EA

L

Fix

12 3

EJ

Lz

6 2

EJ

Lz

− 12 3

EJ

Lz

6 2

EJ

Lz

Fiy

12 3

EJ

L

y

− 6 2

EJ

L

y

−12 3

EJ

L

y

− 6 2

EJ

L

y

Fiz

GC

L

−

GC

L

Mix

−

EJ y EJ y EJ y EJ y Miy

eee ''' fuK =

Element ramowy przestrzenny ma

− 6 2

EJ

L

y

4 2

EJ

L

y

6 2

EJ

L

y

2 2

EJ

L

y

Miy

K 'e = 6 2

EJ

Lz

4 2

EJ

Lz

− 6 2

EJ

Lz

2 2

EJ

Lz

Miz

−

EA

L

EA

L

Fjx

− 12 3

EJ

Lz

− 6 2

EJ

Lz

12 3

EJ

Lz

− 6 2

EJ

Lz

Fjy

− 12 3

EJ

L

y

6 2

EJ

L

y

12 3

EJ

L

y

6 2

EJ

L

y

Fjz

−

GC

L

GC

L

Mjx

− 6 2

E J

L

y

2 2

EJ

L

y

6 2

EJ

L

y

4 2

EJ

L

y

Mjy

6 2

EJ

Lz

2 2

EJ

Lz

− 6 2

EJ

Lz

4 2

EJ

Lz

Mjz

dwa w ęzły , które mają po sześć stopni swobody czyli macierz sztywności pojedynczego elementy ma wymiary 12x12.

Metody określania układu lokalnego elementu ramy przestrzennej

x - surface 3 (kolor żółty)

y - surface 1 (kolor zielony)

z – surface 2 (kolor czerwony )

Płaszczyzna z drugą osią lokalnego układu współrzędnych x2 jest wyznaczana przez oś x1 elementu i prostą równoległą do jednej z osi globalnego układu współrzędnych.

Metody określania układu lokalnego elementu ramy przestrzennej

Płaszczyzna z drugą osią lokalnego układu współrzędnych x2 jest wyznaczana przez oś x1 elementu i punkt, który jest środkiem narysowanego okręgu.

Funkcje kształtu elementu ramowego płaskiego – wielomiany Hermita

Nr 1 2 3 4 5 6

ω i 1− ξ ξ 1 3 22 3− +ξ ξ ( )ξ ξ2 3 2− ( )ξ ξ ξ1 2 2− + ( )− −ξ ξ2 1

wykres

ω i

ωi ' -1 1 ( )− −6 1ξ ξ ( )6 1ξ ξ− 1 4 3 2− +ξ ξ ( )− −ξ ξ2 3

Zestawienie funkcji kształtu czyli funkcji, uzależniającej przemieszczenie w środku elementu od przemieszczeń na końcach pręta.

wykres

ωi '

ω i ' ' 0 0 − +6 12ξ 6 12− ξ − +4 6ξ − +2 6ξ

wykres

ω i ' '

ω1, ω3, ω5 dotyczą węzła początkowego, a ω2, ω4, ω6 dotyczą węzła początkowego

Elementy ramy płaskiej

Rama płaska - przykład

Hala magazynowa w firmie Cersanit

w Krasnymstawie

Model Metody Elementów Skończonych z przestrzennych elementów ramowych, ale może zostać zastąpiony zestawem ram płaskich dla układu, pokazanego na rysunku technicznym.

RAMA R3 skala 1:20

5555 1055 8105

2673

1510

1336

508

550 4415 100 3450 550 5080 220

5465

220PE

5320

550PE

5030

550PE

1941

220PE

1490

210

348

4430

30

600

5557

20565

1a

2a

550PE

48801

275

1926

1669

550PE

34452

3 550PE

4965

4941

550PE

49653

Uwaga:

Połączenia sprężone: węzeł D, F, H.

Powierzchnie do połączeń sprężanych odpowiednio przygotować przez oczyszczenie i śrutowanie.

Siła sprężająca dla śrub sprężanych M20 klasy 10.9 wynosi 178.4 kN .

4

153

917

440

110

1

3

PRZEKRÓJ A-A

WEZĘŁ A

WEZĘŁ B

1607

630

6246

689

WEZĘŁ D

WEZĘŁ C

WEZĘŁ E

STAL St3SELEKTRODY ER146

266711726022

210

47,5

115

47,5

26672667

SZCZEGÓŁ A

60 60 6023960 1642266760

WIDOK Z GÓRY skala 1:20

266760

22

60

109

60 2660164260

SZCZEGÓŁ B

164260

SZCZEGÓŁ A

SZCZEGÓŁ B

200PE

54946a

200PE

54756

200PE

51396b

SZCZEGÓŁ C SZCZEGÓŁ C SZCZEGÓŁ C

WEZĘŁ FWEZĘŁ F

WEZĘŁ F

Rozstaw otworów wg szcz. D na rys. rzutu dachu

2814

2259

440

2796

2259

440

2460

2259

440

100 3450 100 2550

technicznym.

Element ramy płaskiejprzemieszczenia i siły węzłowe

uu

u'

'

'e i

j

ix

iy

i

jx

u

u

u=

=

ϕ

eee ''' fuK =

j jx

jy

j

u

ϕ

ff

f'

'

'e i

j

ix

iy

i

jx

jy

j

F

F

M

F

F

M

=

=

Macierz sztywności elementu ramy płaskiej w układzie globalnym

uix uiy ϕix ujx ujy ϕjx 1

122

22

L

cs

λ+

sc

L

1122λ

−

-6s − +

112

2

22

L

cs

λ − −

sc

L

1122λ

-6s

Fix

sc

L

1122λ

−

1

122

22

L

sc

λ+

6c − −

sc

L

1122λ

− +

112

2

22

L

sc

λ 6c

Fiy

K e zEJ

L= 2

-6s 6c 4L -6s -6c 2L

Mi

K u fe e e=

Element ramy L

− +

112

2

22

L

cs

λ − −

sc

L

1122λ

-6s 112

2

22

L

cs

λ+

sc

L

1122λ

−

6s

Fjx

− −

sc

L

1122λ

− +

112

2

22

L

sc

λ -6c

sc

L

1122λ

−

1

122

22

L

sc

λ+

-6c

Fjy

-6s 6c 2L 6s -6c 4L Mj

λ22

= J

ALz c = cosα s = sinα

Element ramy płaskiej ma

dwa w ęzły , które mają po trzy stopnie swobody czyli macierz sztywności pojedynczego elementy ma wymiary 6x6.

Elementy kraty przestrzennej

Kratownica przestrzenna - przykład

Konstrukcja przekrycia dachu kościoła przy ul. Skierki w Lublinie

Element kraty przestrzennej przemieszczenia i siły węzłowe

uu

ue i

j

iX

iY

iZ

jX

jY

u

u

u

u

u

=

=

K u fe e e=

jY

jZ

u

u

ff

fe i

j

iX

iY

iZ

jX

jY

jZ

F

F

F

F

F

F

=

=

Macierz sztywności elementu kraty przestrzennej w układzie globalnym

−−−−−−

−−−−−−−−−

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ZYYYX

ZXYXX

ZYYYX

ZXYXX

ZZYZX

ZYYYX

ZXYXX

ZZYZX

ZYYYX

ZXYXX

e

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCCCCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

L

EAK

K u fe e e=222ZYX LLLL ++=

−−−−−−

22ZZYZX

ZYYYX

ZZYZX

ZYYYX

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CCCCC

CL

LXX= C

L

LYY=

L

LC Z

Z =

Element kraty przestrzennej ma

dwa w ęzły , które mają po trzy stopnie swobody czyli macierz sztywności pojedynczego elementy ma wymiary 6x6.

Elementy kraty płaskiej

Kratownica płaska - przykład

Hala sportowa

Konstrukcja nośna mostu kolejowego k. Białej Podlaskiej

Hala supermarketu Leclerc w Lublinie

Element kraty płaskiej przemieszczenia i siły węzłowe

uu

u'

'

'e i

j

ix

iy

jx

u

u

u

u

=

=

K u fe e e=

jyu

ff

f'

'

'e i

j

ix

iy

jx

jy

F

F

F

F

=

=

Macierz sztywności elementu kraty płaskiej

−−−−

−−−−

=

2

2

2

2

2

2

2

2

ssc

scc

ssc

sccssc

scc

ssc

scc

L

EAeK K u fe e e=

−− sscssc

cL

LX= =cosαs

L

LY= =sinα 22

YX LLL +=

Element kraty płaskiej ma

dwa w ęzły , które mają po dwa stopnie swobody czyli macierz sztywności pojedynczego elementy ma wymiary 4x4.

Budowa modelu MES

Przyjęcie schematu statycznego– dobór elementów

Przyjęcie schematu polega na doborze rodzaju elementu, podpór i połączeń (warunków brzegowych) oraz obciążeń.

Dobór rodzaju elementu (na razie z elementów prętowych): ramowe przestrzenne, ramowe płaskie, kratowe przestrzenne, kratowe płaskie.

Jeżeli wszystkie połączenia możemy potraktować jako przegubowe, to wybieramy elementy kratowe.

Wybór czy robimy zadanie płaskie czy przestrzenne zależy nie tylko geometrii, Wybór czy robimy zadanie płaskie czy przestrzenne zależy nie tylko geometrii, ale również od programu jakiego używamy. Jeżeli program umożliwia obliczenia przestrzenne, to raczej wykonać takie obliczenia.

Hala sportowa Politechniki Lubelskiej

Hala aluminiowa w Hrubieszowie

Przyjęcie schematu statycznego - dobór połączeń

Wybór rodzaju elementów wiąże się ze sposobem ich połączenia.

Połączenie przegubowe, które zezwala na wzajemny obrót prętów a nie zezwala na wzajemne przemieszczenie połączonych punktówpunktów

Połączenie sztywne, które uniemożliwia wzajemne obracanie się, jak i przemieszczenie połączonych prętów.

Takie połączenie tworzy zatem nowy, zakrzywiony pręt


Połączenie można traktować jako przegubowe wtedy, gdy:- elementy łączone mają możliwość obrotu, np. połączenie za pomocą jednej śruby, nitu lub sworznia;- połączenie ma znacznie mniejszą sztywność na zginanie niż łączone elementy;- elementy są połączone dokładnie w osi i elementy są tylko ściskane lub rozciągane.

Połączenie śrubą – przegub w jednym kierunku

Elementy połączone osiowo oraz za pomocą blachy o znacznie mniejszej sztywności –przegub lub połączenie podatne


Połączenie można traktować jako przegubowe wtedy, gdy:- elementy łączone mają możliwość obrotu, np. połączenie za pomocą jednej śruby, nitu lub sworznia;- połączenie ma znacznie mniejszą sztywność na zginanie niż łączone elementy;- elementy są połączone dokładnie w osi i elementy są tylko ściskane lub rozciągane.

Lina zamocowana na oczku – przegub pełny

Sztywne połączenie elementów

Węzły rusztowań

Przegub w

jednym kierunku

Przegub pełny

Przyjęcie schematu statycznego - dobór podpór

Podpora jest blokadą wybranych przemieszczeń (przesuwów i obrotów):- sztywne zamocowanie – blokada trzech przesuwów i trzech obrotów;- podpora przegubowa nieprzesuwna – blokada trzech przesuwów;

Sztywne zamocowanie – blokada wszystkich przemieszczeń

Podpora przegubowa pełna– na oczku jest zamocowana lina

Podpory przegubowe w mostach –blokady trzech przesuwów

Przyjęcie schematu statycznego - dobór podpór

Podpora jest blokadą wybranych przemieszczeń (przesuwów i obrotów):- sztywne zamocowanie – blokada trzech przesuwów i trzech obrotów;- podpora przegubowa nieprzesuwna – blokada trzech przesuwów; - inne podpory o dowolnej liczbie zablokowanych przemieszczeń

Podpora tylko z puszczonym obrotem względem zaznaczonej osi

Oparcie, blokujące przesuw pionowy, ale jeżeli konstrukcja będzie ciężka, to tarcie spowoduje blokadę ruchu także w poziomie i wtedy mamy podporę przegubową.

Podział układów prętowych na elementy - statyka

Poszczególne pręty kratownicy są jednocześnie elementami MES.

Podział na elementy

Metoda elementów skończonych w odniesieniu do elementów prętowych w liniowej analizie statycznej daje dokładne rozwiązanie, bo funkcje kształtu (wielomiany) dokładnie opisują odkształcenie prętów.

Kratownica

Podział układów prętowych na elementy - statyka

Poszczególne pręty ramy mogą być elementami MES, ale podział może być gęstszy.

Metoda elementów skończonych w odniesieniu do elementów prętowych w liniowej analizie statycznej daje dokładne rozwiązanie, bo funkcje kształtu (wielomiany) dokładnie opisują odkształcenie prętów.

Rama Podział na elementy

Podział układów prętowych na elementy –zagadnienia własne

Poszczególne pręty kratownicy są jednocześnie elementami MES.

Podział na elementy

Elementów kratowych niezależnie od rodzaju analizy nie można dzielić, bo układ stałby się geometrycznie zmienny. Dopiero w analizach nieliniowych z zastosowaniem wstępnego naciągu można stosować podział.

Kratownica

Podział układów prętowych na elementy –zagadnienia własne

Poszczególne pręty ramy dzielimy na kilka części, które stanowią elementy MES.

Funkcje kształtu są wielomianami, a w zagadnieniach własnych forma odkształcenia jest opisana funkcjami trygonometrycznymi.

Rama Podział na elementy

Koniec

Documents

Modelowanie układów prętowych